コンピュータグラフィックス...
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コンピュータグラフィックス基礎
第7回曲線・曲面の表現形状モデリング
金森 由博
3DCG表示
• 対象物を計算機内で表現する
• 形の定義
• 表面の材質
• 光源
モデリング レンダリング
対象物をディスプレイに表示する 投影（座標変換）
照光（反射・屈折の計算）
今回のテーマ
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モデリング
• モデリングとは？• 画面表示したい物体の形，位置，大きさなどをコンピュータ内部のデータとして表現すること
• 出来上がったデータ → モデル
• 目的に応じた適切なモデリングのために・・・• 多面体の表現方法
• 曲線，曲面の表現方法
• 自然物，複雑な形状の表現方法
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様々な形状モデリングの例
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点群モデル
• 頂点座標だけを記録する• データ表現が単純
• 立体を表現できない
• 3次元形状測定器で得られる
• point cloud (点群)• 後の処理が必要
• 複数データの位置合わせ
• 面の生成
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ワイヤーフレームモデル
• 頂点座標，稜線だけを記録する
• データ表現が単純
• 計算が容易• 計算機の性能が低かった時代によく使われた
• 欠点• 裏側も見えてしまう（複雑な形を把握しにくい）
• 形が一意に定まらない場合がある
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ワイヤーフレームモデルのデータ構造
頂点リストと稜線リスト
ワイヤフレームモデルの表現
class Vertex {public:Vector3d position;
};
class Edge {public:Vertex *sp;Vertex *ep;
};
class Model {public:std::vector<Vertex*> vertices;std::vector<Edge*> edges;
};
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サーフェスモデル
• ワイヤーフレーム＋面情報
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サーフェスモデルのデータ構造
サーフェスモデルの表現
class Vertex {public:
Vector3d position;};
class Face {public:
std::vector<Vertex*> vertices;};
class Model {public:
std::vector<Vertex*> vertices;std::vector<Face*> faces;};
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ソリッドモデル
• サーフェスモデル＋物体の内外を区別する情報
(穴の無いサーフェスモデルで表現することも)
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形状の表現法の進化
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ソリッドモデルの形状表現
• 建築物や機械部品などを設計するCADの分野で使用される
• 数式で表現される形状を扱うことが多い
• 境界表現• CSG表現• スイープ表現• 局所変形
境界表現
• 頂点座標と稜線・面の接続関係で立体を表現
境界表現
• 幾何情報• 形状を定めるための情報
• つまりは頂点の座標値
• 位相情報• 立体表面がどのように構成されているかを定める情報
例• どの頂点とどの頂点が稜線で結ばれているか
• ある面のカドを構成している頂点はどれであるか
• ある面の周囲を構成している稜線はどれであるか
• ある面と隣接する面はどれであるか
• 位相情報をどのようなデータ構造で保持するかには、様々な方法がある（例：ハーフエッジ構造）
ハーフエッジ構造
近傍の面、頂点、稜線に高速にアクセスできる
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CSG（Constructive Solid Geometry）表現
• 立体をプリミティブ（基本立体）と，その組み合わせで表現
• 基本立体の種類，大きさ，位置情報，結合状態をツリー構造で表す
基本立体： 立方体，円柱，多角柱，円錐，球
集合演算： 和集合，積集合，差集合，補集合
CSGの例
CSGの例：POV－Rayのシーンファイルの記述
http://www.sato-lab.jp/ml2006/8th.html
スイープ表現
• 平面図形を一定方向に移動したときの軌跡で立体を表現
• 局所変形との組み合わせで，様々な形状を表現可能
• 平行移動スイープ，回転移動スイープ
オイラー操作(局所変形)• ソリッドモデルに対する形状操作
• 面や頂点、稜線を増やす操作
• 次のような性質がある• 操作後もオイラー・ポアンカレの公式を常に満たす
• オイラー操作の組み合わせで任意のソリッドモデルを作成できる
（ソリッドモデル＝オイラー操作の組み合わせ）
オイラー・ポアンカレの公式
• オイラー・ポアンカレの公式とは• ソリッドモデルに不変な構成要素の関係式
v - e + f - h = 2 (m - g)頂点数 - 稜線数 + 面数 - 面内ループ数 = 2 （物体数 -貫通穴数） どちらでも成り立つか？
オイラー操作の例
• L字型立体の生成• 変形１：面の２分割
• 変形２：面の押し出し
オイラー操作の例
• MEV(Make Edge Vertex):新しい頂点と稜線を追加
• KEV(Kill Edge Vertex)：頂点と稜線を削除
• MEF(Make Edge Face)：新しい面と稜線を追加
• KEF(Kill Edge Face)：面と稜線を削除
オイラー操作の例
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他の表現方法
• ボリューム表現
• 八分木表現
• フラクタル図形
• メタボール
• パーティクル
• 三角形メッシュ
ボリューム表現
• 立体を3次元の格子状の小立方体（ボクセル）の集合で表す
• 長所• データ構造が単純，集合演算が容易
• 人工的な物体より，自然界の不規則な形状表現に適する
• 短所• データ量が膨大，操作に手間がかかる
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ボリュームレンダリング
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ボリュームレンダリング
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八分木表現
• ボクセルを階層的に，木構造で生成
• 物体が存在するボクセルのみ細かく分割
• 空間量（メモリ）も少なくて済み，高速
３次元画像の八分木表現
フラクタル図形
• 全体形状がその形状の各部分にも現れるような形状．
• 自己相似形状, 再帰構造• 例）コッホ曲線，ジュリア集合，マンデブロ集合など
中点変位法
• 中点に起伏量Ｚを加える操作を繰り返す
• 起伏量Zは，正規分布に従う乱数によって決定
Ｘｍ＝（Ｘ１＋Ｘ２）／２ 、Ｙｍ＝（Ｙ１＋Ｙ２）／２ＸＸ ＝ Ｘｍ ＋ Ｚ、ＹＹ ＝ Ｙｍ ＋ Ｚ
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中点変位法による画像生成
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メタボール
• 立体を球の集まりで表現
• 距離とともに減衰する影響力（関数）を定義し, その重ね合わせで形状を表現
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パーティクル
• 形状が不定で，明確な表面が存在しない物体• 樹木，炎，滝，雲 などの自然物
• 一定の規則に従って生成した多数の粒子で表現• 粒子（パーティクル）の生成，移動，消滅，衝突 の物理的規則が必要
パーティクルで表現した炎と煙
三角形メッシュ表現
• 三角形の集合で形を表現する• 自然物など数式で表現しにくい形状を扱いやすい
• データ構造がシンプルである
• 面の細かさで精度を調整できる（データ量と精度のトレードオフ）
課題説明
OBJViewの動作確認• OBJファイルを表示するアプリケーション
• Windows, Mac で動作するバイナリコードとソースコード付き
立方体モデルデータの作成
• OBJ形式で立体の形を記述してみる（テキストファイル）
• 記述した形が意図したものになっているか確認する
v 0.0 0.0 100.0………f 1 2 3f 1 3 4……
面の向きが裏になっている場合はグレーで表示される
OBJ形式とは
• Wavefront社の策定したフォーマット• 数あるフォーマットの1つに過ぎない。これ以外にも様々なフォーマットがある。一長一短。
• キーワード「v」の後に頂点の座標を記す
• キーワード「f」の後に面を構成する頂点番号を記す
• 1行1エントリ
OBJ, 3DS, VRML, X3D, DXF, STL, POV, etc.
例
V1 （0, 0, 1）
V2 （2, 0, -1）
V3 （0, 2, 0）
V4（-1, 0, 0）
v 0 0 1v 2 0 -1v 0 2 0v -1 0 0f 3 1 2f 3 4 1f 3 2 4f 1 4 2
頂点番号は1から始まる
座標系と面の向き
反時計回りに見える向きが表面
OBJViewでは、裏面（内側）は灰色で表示される
パラメトリック曲面の作成実験頂点座標を2次元配列で保持
#define NUM_U 50 // U方向の分割数
#define NUM_V 50 // V方向の分割数
double x[NUM_U+1][NUM_V+1]; // x 座標
double y[NUM_U+1][NUM_V+1]; // y 座標
double z[NUM_U+1][NUM_V+1]; // z 座標
1つの四角形領域は2つの三角形で表現。それぞれ、{lb, rb,rt}および{lb,rt,lt}に位置する頂点を参照する。
2つのパラメータu,v(0<=u,v<=1)から生成されるパラメトリック曲面の生成
多くの曲面は2つのパラメータで表現できる（球、トーラス、平行スイープ、回転スイープ）
NUM_V ：v方向の分割数 (右の例では6)NUM_U：u方向の分割数 (右の例では8)
頂点の数 = (NUM_V + 1) * (NUM_U + 1)四角形の数 = NUM_V * NUM_U
頂点インデックスの計算
for(int i = 0; i < NUM_U; i++) {for(int j = 0; j < NUM_V; j++) {int lb_index = 左下の頂点番号の計算式int lt_index = 左上の頂点番号の計算式int rb_index = 右下の頂点番号の計算式int rt_index = 右上の頂点番号の計算式
// 三角形を構成する頂点番号を出力// （OBJ形式の場合はインデックスが1から始まる）fprintf(fout, "f %d %d %d¥n", lb_index+1, rt_index+1, lt_index+1);fprintf(fout, "f %d %d %d¥n", lb_index+1, rb_index+1, rt_index+1);
}}
頂点位置の計算lb rb
rtlt
u
v
for(int i = 0; i < NUM_U+1; i++) {for(int j = 0; j < NUM_V+1; j++) {// u と v の値を 0.0 ～ 1.0 に正規化するdouble u = 1.0 / NUM_U * i;double v = 1.0 / NUM_V * j;
// 座標値の設定x[i][j] = uとvで定義されるy[i][j] = uとvで定義されるz[i][j] = uとvで定義される
}}
数式で表現されるパラメトリック曲面
�
𝑥𝑥 = 𝑢𝑢𝑦𝑦 = 𝑣𝑣
𝑧𝑧 =1
10sin(8�(𝑢𝑢 − 1/2)2 + (𝑣𝑣 − 1/2)2 π)
(0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1, 0 ≤ 𝑣𝑣 ≤ 1)
波紋 ガウス関数
⎩⎨
⎧𝑥𝑥 = 𝑢𝑢𝑦𝑦 = 𝑣𝑣
𝑧𝑧 =12
exp�−(𝑢𝑢 − 1/2)2 + (𝑣𝑣 − 1/2)2
0.1�
(0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1, 0 ≤ 𝑣𝑣 ≤ 1)
数式で表現されるパラメトリック曲面
球
�𝑥𝑥 = cos(𝑢𝑢) cos(𝑣𝑣)𝑦𝑦 = sin(𝑢𝑢) cos(𝑣𝑣)
𝑧𝑧 = sin(𝑣𝑣) (0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 2𝜋𝜋,−
𝜋𝜋2≤ 𝑣𝑣 ≤
𝜋𝜋2
)
トーラス
数式を自分で考えてみよう
自由形状
ベジェ曲線の作図と組み合わせて、様々な曲面を作ってみよう
曲線を回転してできる回転対称な図形
先輩たちの作例
