新田宗土慶應義塾大学・日吉物理学教室自然科学研究教育センター

トポロジカル・ソリトン入門

2017年度 瀬戸内サマーインスティテュート＠山口県由宇青少年自然の家 9/27-29, 2017

F. Duncan M. Haldane J. Michael KosterlitzDavid J. ThoulessThe Nobel Prize in Physics 2016 was divided, one half awarded to David J.

Thouless, the other half jointly to F. Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz

"for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological

phases of matter".

２０１６年ノーベル物理学賞物質の 「トポロジカル相転移」 と「トポロジカル相」 の理論的発見に対して

トポロジー（位相幾何学）とは？

=

なぜトポロジーが重要?

細かいことを気にしないで済む！？

From wikipedia

ある性質がトポロジーで決まっていれば、非常に強固（変形、雑音に強い）

http://www.google.co.jp/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjBou3Ok5LLAhVlGaYKHWzZCWMQjRwIBw&url=http://www.caina.jp/commodity_detail/94338840&psig=AFQjCNHys8YaEZZ1lblmL37O6aldn8EmTA&ust=1456463519640953http://www.google.co.jp/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiW_oHqk5LLAhXDI6YKHbVgBEQQjRwIBw&url=http://haradonuts.jp/menu.html&psig=AFQjCNFQNfia-6G7dq9YTtEpmiswV4eNqg&ust=1456463587377003

基礎物理学素粒子・原子核・宇宙

物性物理学超伝導・超流動・磁性半導体，…….，量子情報

古くからトポロジーが活躍量子異常, トポロジカル・ソリトン, トポロジカル場の理論, …..

近年トポロジーが大活躍トポロジカル物質トポロジカル絶縁体，トポロジカル超伝導トポロジカル量子計算，…

物理学の多様化 → 細分化

トポロジーを通した新しい物理科学

対称性

SO(2) = U(1)

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

南部陽一郎くるくる回す自由度＝南部Goldstoneモード

場の理論における対称性の自発的破れ

棒がたくさんあって、ゴムかバネでつながっている

場の理論における対称性の自発的破れ

振動が波として伝わって行く。量子化すれば、粒子となる。＝南部Goldstone粒子相対論では、ゼロ質量。光速。物性論では、ギャップレス・モード

そもそもが、同じ方向に倒れるとは限らない

倒れない棒が一本だけある

21RS

)( 11 S

空間を一周すると、棒の倒れる方向（矢印）が一周する。

１次ホモトピー群

1S1S

倒れない棒を囲む空間

倒れた棒の自由度

写像

Z整数

巻き付き数

2R

巻き付き数

+1 +2-1

渦反渦

矢印の定義できない点＝欠陥

位相欠陥トポロジカル・ディフェクト

対称性が回復している

Kibble-Zurek機構

21RS

２＋１次元では点 ３＋１次元では線 ４＋１次元では面

１＋１次元ではインスタントン

x

t

コディメンジョン（余剰次元）＝２

ではこれらは一体何なのか？

(1) 超伝導体、超流動体、冷却原子気体における量子渦超伝導では量子化磁束超流動、冷却原子気体では超流動渦

(2) 宇宙論・素粒子論では、宇宙紐

物性系 （非相対論的） 宇宙論・素粒子論 （相対論的）

超流動渦糸 大域的渦(cosmic strings)アクシオンストリング(Axion strings)

超伝導渦糸 局所的渦(cosmic strings)

多成分超伝導の渦糸 Semi-local cosmic strings

+1

-1

距離 R

)/log(~ dRE

Rf /1~

相互作用エネルギー

2+1次元クーロン力

相互作用

ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移(Berezinskii- Kosterlitz-Thouless=BKT)

d

２＋１次元

ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移(Berezinskii- Kosterlitz-Thouless=BKT)

)/log( dJE

2)/log(/log dTdJ

TSEF

渦１つのエネルギー

渦１つの自由エネルギー

2/JT BKT転移

系のサイズ

S エントロピー

2S

)2()3( SOHSOG

2

)2(

)3(S

SO

SO

H

G

オーダーパラメーター空間

自発的対称性の破れ

商空間（コセット空間） とはHG /

},|~{][ HhGggghg

ヘッジホッグ 3R

From Wikipedia

32RS

)( 22 S

空間を囲むと、矢印が一周する。

２次ホモトピー群

2S2S

矢印の定義できない点を囲む空間

矢印の自由度

写像

Z整数

巻き付き数

3R

３＋１次元では点 ４＋１次元では線 ５＋１次元では面

２＋１次元ではインスタントン

x

t

コディメンジョン（余剰次元）＝３

ではこれらは一体何なのか？

磁気モノポール（磁気単極子）

(1) 素粒子論・宇宙論におけるモノポール問題大統一理論においては必ずモノポールが現れる。

)1()2()3(etc )5( USUSUHSUG

Z ))1(()()/( 112 UHHG

強い力 弱い力と電磁気力

(2) 場の理論の非摂動効果において本質的例）超対称ゲージ理論： Seiberg-Witten理論 双対性

弱結合小さい g

強結合大きい g

素励起（クォーク，南部ゴールドストーン・・）

軽い＝基本的自由度

位相励起（モノポール，渦・・）

重い＝基本的自由度ではない

素励起（クォーク，南部ゴールドストーン・・）

重い＝基本的自由度ではない

位相励起（モノポール，渦・・）

軽い＝基本的自由度

双対性

2/1 g

v.s v.s

gg /1~ 大きい gg /1~ 小さい

非摂動的 双対性を使うと理論が全領域で解ける

}0{)1( 2 HOG Z イジング模型

ドメイン壁

１＋１次元では点 ２＋１次元では線 ３＋１次元では面

０＋１次元ではインスタントン

t

コディメンジョン（余剰次元）＝１

)( 20 Z

空間を囲むと、矢印が一周する。

0次ホモトピー群

2Z矢印の定義できない点を囲む空間

矢印の自由度

写像

2Z

1R

2Z

様々な位相励起が物性論・宇宙論・素粒子論で現れる

余次元 d 位相欠陥 位相テキスチャー

1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク

2 量子渦宇宙紐

2D（ベービー）スキルミオンランプ

3 磁気モノポール 3Dスキルミオン

0

1

2

1

2

3

1d d

11 ddd SSRddd SS }{R

様々な位相励起が物性論・宇宙論・素粒子論で現れる

余次元 d 位相欠陥 位相テキスチャー

1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク

2 量子渦宇宙紐

2D（ベービー）スキルミオンランプ

3 磁気モノポール 3Dスキルミオン

0

1

2

1

2

3

1d d

11 ddd SSRddd SS }{R

Z)( 11 S1S

サインゴルドン・キンク（ソリトン）= 1Dスキルミオン

1R

(1) 超伝導のジョセフソン接合、多ギャップ超伝導(2) 2成分Bose-Einstein凝縮（BEC）

2S

2R

射影座標stereographic

2R

Z)( 22 S2Dスキルミオン

欠陥ではない

(3) 磁性体磁気スキルミオン磁気メモリーなど

From Wikipedia

(1) 素粒子論ベービー・スキルミオン、ランプ

(2) 宇宙論： 宇宙紐の一種スキルミオン・ストリングテキスチャー・ストリング

(4) 量子ホール効果

3D2D

12 SD を同一視

2S 23 SD を同一視

3S

“ヘッジホッグ” 3R

From Wikipedia

欠陥ではない

)2(3 SUS

rrfiU

σr)( exp

1||||det 22 baU

** ab

baU

3Dスキルミオン

r

f

)( 33 S Z 3次元巻き付き数３次ホモトピー群

(1) QCD (Quantum Chromo Dynamics=量子色力学)

カイラル対称性の破れ

RLRL SUHSUSUG )2()2()2(

3)2()2(

)2()2(SSU

SU

SUSU

H

G

RL

RL

)( 33 S Z 3次元巻き付き数＝バリオン数

スキルミオン＝バリオン（核子＝陽子、中性子）

Skyrme(スカーム、スキルム)のアイデア

From

Wikipedia

パイオン（中間子）

ではこれらは一体何なのか？

(2) 3He B相の Shankerモノポール Z))3((3 SO

(3) 2成分ＢＥＣ

Stable Skyrmions in SU(2) Gauged Bose-Einstein CondensatesTakuto Kawakami,1 Takeshi Mizushima,1 Muneto Nitta,2 and Kazushige Machida1

PRL 109, 015301 (2012)

ホッピオン（結び目ソリトン）

)( 23 S３次ホモトピー群 Z ホップ写像

2S

2点の逆像がリンク

(1) 素粒子論

Faddeev-Skyrme模型SU(2)ヤンミルズ理論(の低エネルギー理論)のグルーボール

(2) 物性論スピノールＢＥＣ（最近実験的に成功）磁性体

ではこれらは一体何なのか？

Knots in a Spinor Bose-Einstein

CondensateYuki Kawaguchi,1,* Muneto Nitta,2 and Masahito Ueda1,3,*

PRL 100, 180403 (2008)

Tying quantum

knots•D. S. Hall,1,

•M. W. Ray,1, n1

•K. Tiurev,2,

•E. Ruokokoski,2,

•A. H. Gheorghe1, n1

•& M. Möttönen2, 3,

Nature Physics 12

,, 478–483 (2016)

doi:10.1038/nphys3624

http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-2http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#ft-n1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-3http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a2http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-4http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a2http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-5http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#ft-n1http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/abs/nphys3624.html?foxtrotcallback=true#auth-6http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a2http://www.nature.com/nphys/journal/v12/n5/full/nphys3624.html#a3

様々な位相励起が物性論・宇宙論・素粒子論で現れる

余次元 d 位相欠陥 位相テキスチャー

1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク

2 量子渦宇宙紐

2D（ベービー）スキルミオンランプ

3 磁気モノポール 3Dスキルミオンホッピオン（結び目ソリトン）

0

1

2

1

2

3

1d d

11 ddd SSRddd SS }{R1dS etc

Manton & Sutcliffe,

Topological Solitons

Volovik,

The Universe in

a Helium Droplet

(can be downloaded

from his page)

中原幹夫

理論物理学のためのトポロジー

Vikenkin & Shellard,

Cosmic Strings and

Other Topological Defects

基礎 素粒子 宇宙 物性

)()( xx xx

2)]([ xxdK d

)1(

)]([)]([)(

2

222

K

xxdxxdK

d

ddd

)()( xAxA

)( vxdVd

)1()( )( VvxdVdd

)1()]([ )( 42 FFxdFdd

2][ FxdF

d

Derrickの定理

scalar kinetic scalar potential gauge kinetic

shrinking 2

marginal 2

expanding 2

d

d

d

shrinking 4

marginal 4

expanding 4

d

d

d

shrinking :any d

1d

)1()1()()( 2 VKVK dd

2d

)1()1()1(

)()()(

42

FVK

FVK

ddd

3d

(局所的)渦

(局所的)モノポール

ドメイン壁（キンク）

)1()( 2 KK d

)1()( 4 FF d

スケール不変

ランプ2d

4d ＹＭインスタントン

Landau-Ginzburg free energy （T~Tc）

222

222 ||

4

2

42

1v

c

ei

mxdF D

AB

superconductor

)(2

)()( )],(exp[)()( xxAxAxxx e

ci

gauge symmetry

Ground state

Order parameter space (OPS)

)1(1 US

)1(U

=Abelian-Higgs model

22|| ,02

,0 vc

ei

AB

Far from vortex @

)()(

22 )( xxxA ii ee

e

ci

e

ci

)(exp)( xx iv

0 ,)(

22

rA

d

d

e

c

e

ciA

polarpure gauge

1

S

vortex

1

S

ke

ce

c

d

dd

e

c

AddBxdS

22

22

2

0

2

03

2

1

Αr

kke

hc0

2 ]weber[1007.2

2

15

0

e

hcQuantized fluxFlux quantization

d

d

e

cA

2

flux

Zkvorticity

Large(small) for small(large) e → duality

1

S

vortex

vortex

x

y

Real spaceOrder parameter

(phase of wave fn)

Z )1(21

1

2

0U

d

ddk

Winding #

1st homotopy

vorticity

map

FBxd 32

1st Chern classsome math

evmv 2 evmv 2/11

penetration

depth

vms /11

coherence

length

gauge

scalar

Mass spectra

)()(,)()( rae

krAerfr ik

vms

)1(21

0

)(2

)1(1

0

22

222

2

2

afear

a

fvffar

kf

rf

)2/ ,4/1 ,1( eemc

solution

EOM

aafvf

1

asymptotics

energy

)2exp(#1~ rmra v

rrmvf s /)exp(#~

v2

22ve

evrevr

Numerical sol

evmv 2 evmv 2/11

penetration

depth

vms /11

coherence

length

gauge

scalar

Mass spectra

)()(,)()( rae

krAerfr ik

vms

)2/ ,4/1 ,1( eemc

solution

type region force App magnetic

Type I mv-1ms

-1 repulsion stable

critical mv-1=ms

-1 non

Intervortex force

Short range (Yukawa-type) ±exp(-mR)exchange scalar → attraction

exchange gauge → repulstion

distance R

supersymmetryBPS vortices

evmv 2 evmv 2/11

penetration

depth

vms /11

coherence

length

gauge

scalar

Mass spectra

vms

)2/ ,4/1 ,1( eemc

Abrikosov

lattice

Gross-Pitaevskii (Nonlinear Schrödinger) equation

Gross-Pitaevskii energy functional

422

23

2)(

2

gV

MdE

r

*

222

2

EgV

Mti

M

ag S

24 Sa : s-wave scattering length

: chemical pot M : mass of atom

: trapping potential for BEC22

2

1rMV

Scalar BEC, 4He superfluid

= Goldstone model

2222422

vgg

U

gv

2

42

223

2)(

2

gV

Mi

MdE rΩr

rΩ

MiRotation frame

Looks like a gauge field

kMd

dd

Md

xdxd

S

2

2

0s

s

2

s

2

1

vr

v

kkM

h 0

Quanta of circulation Quantization of circulation

1

S

vortex

rotation

Zkvorticity

MiM

2

sv

Superfluid velocity（=Noether current/density）

]m/s[10.9970 5-0 M

h

Feynman & Onsager

ikerfr )()(

Energy density

22

2

1rm

k

)/log(2 22 kvT

system

sizeEnergy (tension)

Vortex solution

)(2

10 22

2

2

fvffr

kf

rf

) 1( c

2222

2

2

222

2

2

22

2

222*2

)(4

12

)(4

11

)|(|4

vffr

kff

rffrdr

vffrrrr

frdrd

vxdT

System sizecore size

Vortex tension (mass per unit length)

)/log(2

12

22

22

kvr

drkv

ikerfr )()(

1

S

vortex

)()( 2

rOvrfr

force

R

v

R

EF

2

int 4

distance R

Exchanging Nambu-Goldstone mode (phonon)

→ long range force

Intervortex force

BKT transition D=2+1

phononvortex

U(1) gauge fieldCharged particle

Coulomb gasHubbard-Stranovich tr

222 )/log(2 kkvT

RvE log4 2int

tension