ハローパワースペクトルとrsd - kyoto...

ハローパワースペクトルとRSD

Yosuke Kobayashi in collaboration with Takahiro Nishimichi & Masahiro Takada

「宇宙論における高次統計: バイスペクトルの理論と観測」@YITP March 2018

based on the master thesis

OutlineRedshift-space distortion

Modeling of the nonlinear clustering in redshift space

Dark matter halo — Galaxy

Dark Emulator

Emulator of the nonlinear redshift-space power spectrum of halos

Cosmological information extractable from the nonlinear RSD

Redshift-space distortion

zobs = z +vza

s = x+v(x) · zaH(z)

赤方偏移空間での位置座標

実空間での位置座標

銀河の特異速度

plain-parallel近似: 視線方向を1つ（eg. z軸）に定める

・密度揺らぎの実空間ー赤方偏移空間の対応

�D(k) + �s(k)

=

Zd3xeik·xe�ikzuz(x)[1 + �(x)]

・赤方偏移空間におけるパワースペクトル

�D(k) + P s(k) =

Zd3reik·r

⌦e�ikµ�uz [1 + �(x)][1 + �(x0)]

↵

© Nishimichi

: 波数とz軸との方向余弦

統計的等方性の破れ

Linear Regime: Kaiser’s FormulaRSDの線形理論での定式化（Kaiser, 1987）

�D(k) + P s(k) =

Zd3reik·r

⌦e�ikµ�uz [1 + �(x)][1 + �(x0)]

↵

P s(k, µ) = (1 + fµ2)2P (k)

single streaming, 線形近似

物質が高密度領域に集まる速度成分によってクラスタリングが増幅される効果

銀河のパワースペクトル

P sg (k, µ) = b2(1 + �µ2)2P (k)

Hamilton 1998

P s(k, µ) =1X

l=0

Pl(k)Ll(µ)

P sl (k) = (2l + 1)

Z 1

�1

dµ

2P s(k, µ)Ll(µ)

Constraint from the linear theory

線形理論におけるμ依存性からのの制限f(z)�8(z)

線形理論では　　　と　　　　の縮退を解けないf(z) �8(z)

Okumura et al., 2016

Failure of the linear model赤方偏移空間でのクラスタリングは比較的大きなスケールで線形理論から逸脱する

（eg. Carlson et al, 2009, Okumura and Jing, 2011）N体シミュレーションと線形理論との比較

現在のサーベイ解析の限界スケール

Perturbative Approaches赤方偏移空間クラスタリングの非線形効果

・real space — redshift space mapping の非線形性・物質密度場・速度場の非線形クラスタリング・ハロースケールにおける物質の random motion・galaxy bias

解析的模型：非線形摂動論による模型構築 (eg. Taruya et al., 2010)

P s(k) =

Zd3reik·r

⌦e�ikµ�uz [�(x) +rzuz(x)] [�(x

0) +rzuz(x0)]↵

各項を摂動展開、　　までの Leading term をとる⇠ �4

P s(k) '⇥P��(k) + 2µ2P�✓(k) + µ4P✓✓(k) +A(k) +B(k)

⇤exp(�k2µ2�2

v)

streaming motion（この模型ではフリーパラメータ）

Perturbative Approaches赤方偏移空間クラスタリングの非線形効果

・real space — redshift space mapping の非線形性・物質密度場・速度場の非線形クラスタリング・ハロースケールにおける物質の random motion・galaxy bias

解析的模型：非線形摂動論による模型構築 (eg. Taruya et al., 2010)

⇠ �4

streaming motion（この模型ではフリーパラメータ）

・、バイアスなどのフリーパラメータ�v

・ハロースケールにおける　single streamingの破綻

非線形スケール（k > 0.2 h/Mpc）で精密な解析的模型の構築が困難

N体シミュレーションによるモデル構築

monopole

quadrupole

Dark Matter Halo — Galaxy

Hikage et al. 2012

・銀河形成の理解の不足　→第一原理からの銀河クラスタリングの予言は困難

・重力進化で生成が可能なダークマターハローのクラスタリングの模型を作って銀河と結びつける

・eg. halo reconstruction (Okumura et al. 2017)

Okumura et al. 2017

Dark Emulator (led by Nishimichi-san)

ダークマターハローの統計的性質の宇宙論＋赤方偏移＋ハロー質量閾値依存性を N体シミュレーションに基づいてモデル化する

多数のパラメータの値に対するシミュレーションデータを機械学習的な回帰手法でパラメータ空間上で補間

摂動論によらずにシミュレーションからモデルを作ることで、multi-streaming effect,

halo biasを自動的に含んだ模型構築ができ、サーベイデータのもつ非線形領域の

宇宙論情報をより多く抽出できる

将来の銀河分光サーベイのデータ解析に向けた理論模型整備

Dark Emulator

pcosmo = {⌦bh2,⌦ch

2,⌦de, ln[1010As], ns, w}

6次元宇宙論パラメータ空間から

Planck 2015を中心に60→57個

約20個ずつが1つの偏りのないサンプルセット (Optimal Sliced Latin Hypercube design, Ba et al, 2015)

0 < z < 1.5 から21個の赤方偏移

N = 20483

L = 2Gpc/hGadget2 (Springel, 2005)

広い宇宙論パラメータ＋赤方偏移のパラメータ空間の領域の中から偏りなくハローのパワースペクトルを測定

Learning: Gaussian process本研究で用いた多次元空間の離散データ点の補間

ガウス過程 … 確率変数の集合、そのうちどの有限個をとってもガウス分布

・入力ベクトルとそれに対する出力値が与えられたデータf(xn)xn

• データの出力　　　　を多変量ガウス分布に従う確率変数と見なすf(xn)

出力値の集まり　　　　　がガウス過程になっていると思う{f(xn)}

ガウス分布の共分散を指定するcovariance function

k(x,x0 |✓): ハイパーパラメータでパラメトライズされる入力ベクトルの関数

✓ = {✓0, ✓1, ...}

ガウス過程が学習データを生成する尤度関数を最大化するようなハイパーパラメータを求める（＝「学習」）

Gaussian Process for Power Spectrum

input 7次元パラメータベクトル {pcosmo, z}

pcosmo = {⌦bh2,⌦ch

2,⌦de, ln[1010As], ns, w}

parameter range

redshift 21

cosmology 38

output P0(k),P2(k)をB-spline fit、7個の係数に対して別々にガウス過程を作る

次元削減

Halo Selection

⌦S

survey region

observer

halo mass function emulator by Nishimichi-san

ハロー選択の基準・分光サーベイでの直接観測量　Δz、Ωs、Nを固定

・Δz、Ωs、Nを変えない　ように各宇宙論でハローの　質量閾値を決める

Power Spectrum Emulator

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

Ps 2(k

)/P

s 0(k

)

�8 = 0.835

⌦m = 0.231

⌦m = 0.247

⌦m = 0.264

⌦m = 0.281

⌦m = 0.299

構築されたエミュレータ

ハローの赤方偏移空間におけるパワースペクトルのmonopoleおよびquadrupoleの

宇宙論＋赤方偏移依存性を高速に予言する模型

モジュールのインポート

エミュレータクラスのインスタンス

宇宙論パラメータ、z、k

P0, P2 を出力（～1 msec）

Validation of the Emulator

0.1 0.2 0.3 0.4k [hMpc�1]

�0.04

�0.02

0.00

0.02

0.04Ps

0,sim/P s0,emu � 1

BOSS CMASS Gaussian error

1% line

0.1 0.2 0.3 0.4k [hMpc�1]

�0.2

�0.1

0.0

0.1

0.2Ps

2,sim/P s2,emu � 1

BOSS CMASS Gaussian error

5% line非線形領域で~1%

非線形領域で~5%

検証データの宇宙論19個それぞれについて

38宇宙論を学習して作ったエミュレータによる予言

シミュレーションデータ(+ B-spline fit )— 1

nfid = 10�3[h3Mpc�3] V = 2[Gpch]3

Cosmological Information in the Nonlinear RSD

P2(k) (非等方成分のLeading order)

P0(k) (等方成分)

・線形理論ではスケール不変P s2 (k)

P s0 (k)

��!k!0

43� + 4

7�2

1 + 23� + 1

5�2

� = f/b

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

Ps 2(k

)/P

s 0(k

)

�8 = 0.835

⌦m = 0.231

⌦m = 0.247

⌦m = 0.264

⌦m = 0.281

⌦m = 0.299

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

Ps 2(k

)/P

s 0(k

)

⌦m = 0.264

�8 = 0.781

�8 = 0.808

�8 = 0.835

�8 = 0.861

�8 = 0.888

Ωm dependence σ8 dependence

・非線形RSDの宇宙論情報の豊富さを直接的に表現

Kaiser-like

streaming motionstreaming motion

large scale bias

Scale dependence of the Nonlinear RSD

0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.1 hMpc�1

9.45

9.90

10.35

10.80

11.25

11.70

12.15

12.60

13.05

13.50

・エミュレータが予言する　　　　　のスケール毎の依存性⌦m � �8k3P s0 (k)

・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3

0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.2 hMpc�1

26.4

28.0

29.6

31.2

32.8

34.4

36.0

37.6

Scale dependence of the Nonlinear RSD・エミュレータが予言する　　　　　のスケール毎の依存性⌦m � �8k3P s

0 (k)・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3

0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.3 hMpc�1

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69



0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.4 hMpc�1

54

60

66

72

78

84

90

96

102



0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.1 hMpc�1

4.35

4.80

5.25

5.70

6.15

6.60

7.05

7.50

7.95




0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.2 hMpc�1

13.65

14.10

14.55

15.00

15.45

15.90

16.35

16.80

17.25

17.70




0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.3 hMpc�1

17.5

19.0

20.5

22.0

23.5

25.0

26.5

28.0

29.5

31.0




0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.4 hMpc�1

13.5

18.0

22.5

27.0

31.5

36.0

40.5

45.0




0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

�8

k = 0.4 hMpc�1

13.5

18.0

22.5

27.0

31.5

36.0

40.5

45.0




P0, P2で異なる宇宙論依存性

クラスタリングの非等方性が宇宙論情報を持っている

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

�8

Ps0

kmax = 0.1

kmax = 0.2

kmax = 0.3

Fisher Forecasts

・非線形性の情報で宇宙論パラメータの縮退が緩和

・　　　　　　　　　, でP0を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1

・　　　　　　　　～BOSS CMASSV = 2[Gpch]3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

�8

Ps2

kmax = 0.1

kmax = 0.2

kmax = 0.3

Fisher Forecasts


・　　　　　　　　　, でP0を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

�8

Ps0 + Ps

2

kmax = 0.1

kmax = 0.2

kmax = 0.3

Fisher Forecasts


・　　　　　　　　　, でP0+P2を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1


�1.15

�1.10

�1.05

�1.00

�0.95

�0.90

�0.85

w

P s2

Ps0

Ps0 + Ps

2

0.28 0.30 0.32 0.34⌦m

0.76

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

�8

�1.1 �1.0 �0.9w

Fisher Forecasts: Subaru PFS

・

　でP0+P2を用いてFisher解析

・Subaru PFSを想定したFisher forecast

・の4つのredshift binz = {0.7, 0.9, 1.1, 1.3}

kmax = 0.3hMpc�1kmin = 0.02hMpc�1

非等方性＋非線形性で宇宙論パラメータの縮退が緩和することを確認

Conclusion

・シミュレーション＋ガウス過程で　k = 0.05 - 0.40 h/Mpc において、ハローのmonopole を~1%、quadrupoleを~5%

　で高速に予言できるエミュレータが構成された

・非線形monopole+quadrupoleにより、宇宙論パラメータの縮退が

　効果的に解けることを確認：非線形性の持つ情報の豊富さ

・Subaru PFS など広視野・高精度銀河分光サーベイ

　のもたらすクラスタリング情報の効果的な活用に寄与すると期待

Future Works

・実際の観測データをエミュレータを用いて解析（BOSS DR12など）→ Halo reconstruction (Okumura et al., 2017) などとの併用による宇宙論情報の抽出

・追加シミュレーションによるエミュレータの予言精度の向上→ P4, Bispectrum ??

ハローパワースペクトルとrsd - kyoto...

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