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物理学C

慣性モーメント（つづき）

工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可加藤潔(C) 20181

慣性モーメント（復習）

• 剛体の運動並進運動＋回転運動

• 質量：「並進運動」での動かしやすさ，動かしにくさ

• 「回転運動」での動かしやすさ，動かしにく⇒ 剛体の慣性モーメント I⇒ 剛体の形や構造を力学的に記述


剛体の運動の対応(p.82表5.1)並進運動回転運動

2

21 mv 2

21 ωI

m I質量慣性モーメント

mvp = ωIL =maF = αIN =

角運動量

運動方程式

運動エネルギー

運動方程式

運動量

運動エネルギー

2

2

dtxda

dtdxv ==

2

2

dtd

dtd φαφω ==

角速度角加速度工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可加藤潔(C) 2018

3

慣性モーメント（復習）

2mrI = 2MrI =

r

回転軸

M

回転軸

mr

回転する質点回転する円輪


平行軸の定理（復習）

重心 a

M

重心を通る軸のまわりの慣性モーメント

GI

それに平行な軸のまわりの慣性モーメント

I

2MaII G +=


慣性モーメント：一般論

慣性モーメントはいくつあるのか？無数？

１）重心を通らない回転軸の I は，重心を通る平行な軸に関する I から決まる。(p.83-84:平行軸の定理）

２）重心を通る任意の軸に関する I は３つの主慣性モーメントから決まる。（5.1.4節：慣性テンソル）

→ 以下で説明


さまざまな剛体の「力学的」特徴は，たった４つの数（質量，３つの主慣性モーメント）で決まる！


剛体の慣性モーメント

剛体＝多数の質点の集まり

回転軸 ∑= 2jjbmI

jb

jm質量

回転軸からの距離

慣性モーメントは剛体と回転軸で決まる量


回転軸

∑= 2jjbmI

重心 G

jm

),,(ˆ 321 nnnr =

rrrrb jjj ˆ)ˆ( ⋅−=

r̂

jb

jr

r̂ 回転軸の方向を表す単位ベクトル

代入して計算する (p.93)

),,( jjjj zyxr =

結果 rJrI t ˆˆ=

J は慣性テンソル


rrrrb jjj ˆ)ˆ( ⋅−=

このbj の2乗を求める。内積＝絶対値の2乗

( ) ( )rrrrrrrrb jjjjj ˆ)ˆ(ˆ)ˆ( ⋅−⋅⋅−=2

rrrrrrrrrrb jjjjjj ˆˆ)ˆ()ˆ)(ˆ( ⋅⋅+⋅⋅−⋅= 22 2展開する

1=⋅ rr ˆˆ を使う

)ˆ)(ˆ()ˆˆ)(( rrrrrrrrb jjjjj ⋅⋅−⋅⋅=2

計算の詳細 p.93


( )

3

2

1

2

2

2

321

000000

nnn

rr

rnnn

j

j

j

||||

||

行列で表現する

)ˆ)(ˆ()ˆˆ)(( rrrrrrrrb jjjjj ⋅⋅−⋅⋅=2),,(ˆ 321 nnnr =),,( jjjj zyxr =

( )

3

2

1

321

nnn

zzyzxzzyyyxyzxyxxx

nnn

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

2222jjjjjj zyxrrr ++==⋅ ||

( )

+−−−+−−−+

=

3

2

1

22

22

22

3212

nnn

yxyzxzzyzxxyzxyxzy

nnnb

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

j


慣性テンソルによるI の表現

+−−−+−−−+

=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

)()(

)(

22

22

22

jjjjjjjjj

jjjjjjjjj

jjjjjjjjj

yxmzymzxmzymzxmyxmzxmyxmzym

J

教科書 p.93 (5.38) 3行3列の実対称行列

∑= 2jjbmI に bj

2 を代入する。和は剛体を構成する要素を全部加えることである。

rJrI t ˆ ˆ=


慣性テンソル

• 重心を通る一般的な回転軸の周りの慣性モーメント：

慣性テンソル（３行３列の行列）と回転軸の単位方向ベクトルで記述される。

• 数学（線形代数D）：直交行列（座標変換）により実対称行列は「対角化」される。

• 慣性主軸と３つの主慣性モーメント（固有値）で記述される。


数学（線形代数D）：直交行列により実対称行列は「対角化」される。

=

zyx

Ozyx

'''

O 3行3列の直交行列

=

3

2

1

000000

II

IOOJ t

適切なOを選ぶと

これは，回転変換された座標系でみると慣性テンソルが対角化されるという意味

321 III ,,主慣性モーメント

',',' zyx 軸

剛体に固定された慣性主軸

元の空間座標工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可加藤潔(C) 2018

14

( )

=

3

2

1

3

2

1

321

000000

nnn

II

InnnI

主軸の座標系では

3232

221

21 InInIn ++=

11 θcos=n

回転軸

重心 G),,(ˆ 321 nnnr =

r̂

主軸１

1θ

単位ベクトル回転軸の方向余弦


332

222

112 coscoscos IIII θθθ ++=

重心

1θ

2θ3θ

主軸１：I1

主軸３：I3

主軸２：I2

慣性テンソル


公式の使い方（例）

立方体の慣性主軸は対称性から，面の中心を通る３本の直交する軸個々の慣性モーメントは

M

2321 6

1 MaIII ===

a


回転軸

（３）

332

222


90=θ

45=θ

45=θ

2

61 Ma=

2145 =cos

222

22

610

61

21

61

21 MaMaMaI ⋅+

+

=


回転軸（４）

332

222


回転軸を含む断面

31

=θcosθ

a

a2

2

61 Ma=2

22

22

2

61

31

61

31

61

31 MaMaMaI

+

+

=


基本的な立体の慣性モーメント（１）

一様な剛体，質量Ｍ，重心を通る軸（p.92)

)(121 22 baMI +=

2

121 MaI =

長さ a の棒辺 a,b の長方形

の板，あるいは直方体

回転軸a

b

a

回転軸

前回の復習


基本的な立体の慣性モーメント（２）

一様な剛体，質量Ｍ，重心を通る軸（p.92)

2

52 MrI = 2

21 MrI = 2

103 MrI =

半径 r の球半径 r の円錐半径 r の円板，円柱

回転軸

r

回転軸

r

回転軸

r

前回の復習


円板，円柱半径ｒ

x

この部分の質量

Mr

xx2

2ππ ∆

幅 x∆ この部分の面積

xx ∆⋅π2

その慣性モーメント

22

2 xMr

xx⋅

∆ππ

0=x rx =

多数の円輪に分割

回転軸は中心を通って円板に垂直

M


∑ ⋅∆

= 22

2 xMr

xxIππ

分割和から積分へ（p.16：基本パターン）

2

21 Mr=∫=

rdxx

rMI

0

32

2r

xrM

0

4

2 42

=


球半径ｒ

多数の円板に分割

回転軸はｚ軸（中心を通る）

z

厚さΔｚ

この部分の体積

zx ∆⋅2π

x

この部分の質量

Mr

zx3

34

2

ππ ∆

その慣性モーメント

23

34

2 21 Mx

rzx

ππ ∆

z22 zrx −=

rz =

rz −=

M


∑ ⋅∆

= 23

34

2 21 xM

rzxI

ππ

分割和から積分へ（p.16：基本パターン）

r

r

zzrzrrM

−

+−=

532

83 532

43

22 zrx −=∫−=r

rdzx

rMI 4

383

∫− −=r

rdzzr

rM 222

383 )(

2

52 Mr=

∫− +−=r

rdzzzrr

rM )( 4224

3 283

253

283 55

53 ×

+−=

rrrrM

251

321

83 5

3 ××

+−= r

rM


慣性モーメント（つづき）ft82039/teaching/doc/cphys5.pdf慣性テンソル •...

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