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正方形グリッドから得られるケルト結び目模様

橋爪　惠

奈良教育大学　理数教育研究センター/OCAMI

2019年 12月 21日

船越紫氏との共同研究

Megumi Hashizume 正方形グリッドから得られるケルト結び目模様


1 Background

2 Preliminaries

3 Main Results



1. Background



Background

8世紀頃に作られたとされる聖書写本「ケルズの書 (The Bookof Kells)」はケルト文化の影響を強く受けた美しい装飾がたくさん施されている．

ja.wikipedia.org\wiki\ケルズの書



Background

ケルトデザインはこの中にも多く見られる装飾で，ケルト文化の伝統的なシンボルである．

　　 ja.wikipedia.org\wiki\ケルズの書

特に Fisher–Mellorによってこのデザインをケルト結び目模様という link diagramとして定義した．



2. Preliminaries



Preliminaries

Definition 1

多角形（１角形を含む）で平面（もしくは多様体）が分割されているとする．この平面（もしくは多様体）の閉じた部分集合で，境界が分割の多角形のいくつかの辺からなるようなものをグリッド（grid）という．



Preliminaries

Fact 1

１種類で平面を分割（充填）することができる正多角形は，正方形・正三角形・正六角形の３種類のみである．



Preliminaries

Definition 2

正方形（正三角形，正六角形 resp.）で平面が分割（充填）されているとする．この平面（もしくは多様体）の閉じた部分集合で，境界が平面を充填している正方形（正三角形，正六角形 resp.）の，いくつかの辺から成るようなものを正方形グリッド（正三角形グリッド，蜂の巣（正六角形）グリッド resp.）と呼ぶ．

Example 2



Preliminaries

Definition 3

任意の gridに対して，gridを構成する各正多角形の各辺の中点で内接する新しい正多角形を描くと，これらの和集合は link のprojection とみなせる．これを Celtic Knot Projection (CKP)と呼ぶ．この projection の各交差に alternating になるように上下の情報を加えることで得られる link diagram を Celtic KnotDesign (CKD) （ケルト結び目模様）と呼ぶ．

Example 3



Preliminaries

Example 4

Example 5



Preliminaries

Remark 1

任意のグリッドに対して，CKDは２種類得られる．



Preliminaries

・特に断らない限り，一方のみを想定する．

・本講演では上図のように交点に上下の情報を入れることとする．



Preliminaries

Definition 4

１辺の長さが 1の正方形からなる正方形グリッドの boundaryが，１辺が p，もう１辺が qの長方形となっているとき，この正方形グリッドを p× q正方形グリッド (p× q square grid)という．

本講演では，p× q正方形グリッドから誘導される Celtic KnotDesign (CKD) について考える．



Preliminaries

D: p× q正方形グリッドから誘導される Celtic Knot Design(CKD),

Theorem 1 (Fisher-Mellor)

gcd(p, q) = rのとき，得られる Celtic Knot Design Dは，r-component linkの diagramである．

Corollary 1

r = 1のとき，D は knot の diagram である．

G. Fisher and B. Mellor, On the Topology of Celtic Knot Designs,

Bridges Mathematical Connections in Art, Music, and Sicence, 2004, pp37–44



Preliminaries

r := gcd(p, q) ≥ 1, p′ :=p

r, q′ :=

q

r.

Corollary 2

p′ × q′正方形グリッドから誘導される CKDは，knotの diagramである．

∵ gcd(p′, q′) = 1.



3. Main Results



Main Results

D: p× q正方形グリッドから誘導される CKD,

r := gcd(p, q), p′ :=p

r, q′ :=

q

r.

Main Result 1

Dから得られる linkの各 componentは，（knotとして）一意である．

Main Result 2

Dから得られる linkの任意の componentは，p′ × q′正方形グリッドから誘導される CKDで表される knotとなっている．



Main Result

Example 6

3× 3 3× 6

4× 4 4× 6



Main Result

Example 7 (4× 6)



Main Result

Example 8 (6× 10)



Main Result

Example 9 (6× 15)



Main Result

Example 10 (8× 12)



Main Result

Example 11 (10× 15)



Main Result

Example 12 (12× 15)



Main Results （再掲）

D: p× q正方形グリッドから誘導される CKD,

r := gcd(p, q), p′ :=p

r, q′ :=

q

r.

Main Result 1

Dから得られる linkの各 componentは，（knotとして）一意的である．

Main Result 2

Dから得られる linkの任意の componentは，p′ × q′正方形グリッドから誘導される CKDで表される knotとなっている．



Main Result

Example 13

3× 3 4× 4

Example 14 (1× 1)



Main Result

Example 15 (4× 6)



Main Result

Example 16 (2× 3)

74



Main Result

Example 17 (8× 12)



Main Result

Example 18 (10× 15)



Main Result

Example 19 (6× 10)



Main Result

Example 20 (3× 5)


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