ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/trananhdung/phuongphaptinh.pdf · 1 chƯƠng 1 sỐ xẤp xỈ...

1

CHƯƠNG 1

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ

1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị

đúng (vì nó là kết quả của các phép đo và thí nghiệm). Như vậy chúng ta đã sử dụng giá trị gần

đúng thay cho giá trị đúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn đề phức tạp vì giá trị đúng chỉ có một

nhưng giá trị gần đúng thì rất nhiều. Để có cơ sở khoa học trong việc sử dụng các số gần đúng

người ta đưa ra khái niệm sai số để đo độ chênh lệch giữa các giá trị đúng và giá trị gần đúng.

Chú ý rằng khi sử dụng số gần đúng thay cho một số đúng nào đó người ta luôn phải

dùng đồng thời hai đại lượng đó là : giá trị gần đúng và sai số. Hai đại lượng này có vai trò

như nhau.

1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI

1.2.1. Sai số tuyệt đối

Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A.

Trị tuyệt đối Δ = |a-A| được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A).

Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính được.

Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số Δa > 0 sao cho

|a - A| ≤ Δa

Số dương Δa được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.

Chú ý: Nếu Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi số thực lớn hơn Δa đều là sai số tuyệt

đối giới hạn của a, nhưng nếu sai số tuyệt đối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó

không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa. Trong những điều kiện cụ thể người ta cố

gắng chọn Δa là số dương bé nhất.

1.2.2. Sai số tương đối

Đại lượng A

được gọi là sai số tương đối của a.

Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết, vì vậy người ta định nghĩa đại lượng

aa a

là sai số tương đối giới hạn của a. Đôi khi người ta biểu diễn sai số tương đối dưới dạng %.

Ví dụ . với a =10, Δa = 0.05, khi đó ta có

0.050.5%

10a .

2

Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do đó người ta thường gọi

một cách đơn giản Δa là sai số tuyệt đối, a

là sai số tương đối.

1.2.3. Chú thích:

Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn

được phản ánh qua sai số tương đối.

1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ

1.3.1. Chữ số có nghĩa

Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ

số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các chữ

số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa.

1.3.2. Chữ số đáng tin

Mọi số thập phân đều có dạng

0 11 0 1( 10 10 10 10 10 ) , 0,1,...,9

nn m

n m s ss m

a

.

Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối là Δa.

Nếu Δa ≤ 0.5 10

s thì ta nói rằng chữ số αs

là đáng tin (như vậy các chữ số có nghĩa bên

trái αs đều là đáng tin).

Nếu Δa > 0.5 10

s thì ta nói rằng chữ số αs

là đáng nghi (như vậy các chữ số bên phải

αs đều là đáng nghi).

Ví dụ. Cho số xấp xỉ a = 4.67329 hãy xác định các chữ số đáng tin và các chữ số đáng ngờ khi

Δa = 0.004726 hoặc Δa= 0.005726.

Giải

Ta có Δa = 0.004726 ≤ 0.5 10-2

do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ số đáng ngờ là

3,2, 9.

Khi Δa= 0.005726 ta có Δa ≤ 0.5 10

-1 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng ngờ

là 7, 3, 2, 9.

1.3.3. Cách viết số xấp xỉ

a. Kèm theo sai số

Nếu Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:

A = a ± Δa

với ý nghĩa

3

a – Δa ≤ A ≤ a + Δa

Hoặc A = a(1 ± a )

b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt

đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.

Ví dụ. Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này Δa= 0.5 10-5

1.4. CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT

Khi giải một bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản

hơn để có thể giải được bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng

một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng. Sai số do phương

pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, nhưng

trong quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả hoặc xử dụng các số xấp xỉ , sai

số tạo ra trong quá trình này gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số,

nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện.

Tóm lại khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp gần đúng ta thường gặp những

loại sai số sau đây:

• Sai số trong việc mô hình hóa bài toán : xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số

điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.

• Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng.

• Sai số của số liệu : xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác.

• Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ trong quá trình tính

toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.

Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so

với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán

hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết.

1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP

1.5.1. Sai số quy tròn các số xấp xỉ

Khi tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước:

Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu

chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.

4

Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là Δ. Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai

số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là:

| a' - a| ≤ θ.

Khi đó

|a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + Δ

Vậy có thể lấy θ + Δ làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng sai

số tuyệt đối giới hạn.

1.5.2. Sai số khi tính toán trên các số xấp xỉ

Bài toán

Cho u = f(x1, x2,..., xn) . Biết các đối số x1, x2,..., xn là các số xấp xỉ với các sai số tuyệt đối

tương ứng là Δ1 , Δ2

, ... Δn và f là hàm khả vi liên tục theo các đối số xi.

Hãy xác định Δu, u .

Giải

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: 11

nn

u udu dx dx

x x

Từ đây suy ra 1 11 1

n nn n

u u u uu x x

x x x x

Vì vậy có thể chọn : 11

u nn

u u

x x

Để tìm u ta dùng công thức : uu u

Ví dụ. Cho hàm 2( , , ) .u f x y z x y yz Hãy xác định giá trị hàm số u, sai số tuyệt đối và

sai số tương đối của u biết 0.983, 1.032(1 0.05), 2.114 0.02.x y z

BÀI TẬP

Trong các bài tập dưới đây chúng ta ngầm hiểu sai số tương đối và sai số tuyệt đối là sai số

tương đối giới hạn và sai số tuyệt đối giới hạn

Bài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị : a= 21o37’3”; b=1

o10’ . Hãy xác định sai số tương

đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo là 1”.

Bài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của

chúng:

5

a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2.32; δ

b=0.7%

Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau:

a) a= 0,3941; Δa=0,25.10

-2 b) a=38,2543; Δ

a= 0,27.10

-2

Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau:

a) a=1,8921; δa=0,1.10

-2 b) a=22,351; δa=0,1

Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định

sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng:

a) 2,514 b) 0,16152 c) 0,01204 d) –0,0015281

Bài 6. Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, Sai số tuyệt đối giới hạn và Sai số tương đối giới

hạn. Biết giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.

2

sin( )

) ( , , ) ( ), 0.983, 1.032, 2.114.

) ( , , ) , 0.133, 4.732, 3.015.xy

a u f x y z tg x y yz x y z

b u f x y z ze x y z

Bài 7. Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Biết giá trị

của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.

2) sin( ), 1.113; 0.102; 2.131.

) ln( ) , 0.162; 4.531; 1.91.

a u x yz x y z

b u z xy x y z

22) 2 , 0.085; 0.055; 2.152.

) (1 ) , 2.918; 1.032; 2.114.

x y

x

c u x y z

d u xyz x y z

Bài 8. Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được

d = 1,112m và sai số của phép đo là 1 mm.

Bài 9. Hãy xác định sai số tương đối , sai số tuyệt đối và chữ số đáng tin của cạnh hình vuông

a. Biết rằng diện tích hình vuông là 216, 45 , 0,01.SS cm

6

CHƯƠNG 2

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

2.1. GIỚI THIỆU CHUNG

2.1.1. Đặt vấn đề

Khi giải quyết bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu :

Xác định thông số đầu vào, để đầu ra của một hệ thống nào đó đạt một mức cho trước.

yêu cầu này có thể phát biểu bằng ngôn ngữ toán học như sau:

Xác định giá trị ( , )x a b sao cho ( ) 0f x , (2.1)

Như chúng ta đã biết việc giải phương trình (2.1) không đơn giản (vì không có phương pháp

chung) ngay cả khi ( )f x là đa thức có bậc lớn hơn 3. Trong kỹ thuật người ta có thể chấp nhận

giá trị x (sao cho ( ) 0f x ) thay cho nghiệm đúng α của phương trình nhưng với điều kiện

đánh giá được sai số tuyệt đối giữa x và α (Điều này cũng hoàn toàn hợp lý bởi thực tế ngay

cả khi chúng ta xác định được chính xác giá trị thông số đầu vào thì khi qua hệ thống kết quả

đầu ra cũng chỉ gần bằng với yêu cầu).

Giá trị x nói ở trên gọi là nghiệm gần đúng của phương trình (2.1). Việc đi tìm giá trị

xvà đánh giá sai số gọi là giải gần đúng phương trình.

Chú ý: Khi đánh giá sai số chúng ta cần phải tính

* *x x và * * *f x f x f f x .

Sai số chung của bài toán được tính bởi * *max ;x f x .

Trong bài giảng chỉ tính * *x x .

2.1.2. Các bước giải gần đúng phương trình phi tuyến

Khi giải gần đúng nghiệm của phương trình (2.1) ta cần tuân theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm đúng duy nhất trên (a,b) (hay (a,b) là khoảng cách ly)

Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị x và đánh giá sai số

7

2.1.3. Một số định lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng

Để thực hiện bước 1, 2 ta dùng các định lý dưới đây

Định lý1.

Nếu hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì (a,b) là một khoảng

cách ly nghiệm của phương trình (2.1).

Định nghĩa2.

Gọi 0:S x x x C là một lân cận đóng của 0x R , A là ánh xạ từ S vào S.

Ta nói A là ánh xạ co trên S nếu tồn tại hằng số q < 1 sao cho

, : ( ) ( )x y S A x A y q x y .

Định lý 3.

Giả sử α là nghiệm đúng của phương trình ( )x A x và tồn tại lân cận đóng S của α

sao cho A là ánh xạ co trên S thì α là nghiệm duy nhất của phương trình ( )x A x trên S và

có thể thu được bằng cách lấy giới hạn của dãy

1 ( ); 0,1,..n nx A x n

với x0 là một điểm nào đó thuộc S.

Định lý4.

Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên đoạn [a,b], ngoài ra tồn tại m sao cho

0 < m ≤ |f'(x)| với mọi x thuộc [a,b] khi đó ta có đánh giá:

( )nn

f xx

m .

2.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG NGHIỆM

2.2.1. Phương pháp lặp đơn

a. Mô tả phương pháp

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là (a,b).

- Biến đổi (2.1) được về dạng tương đương ( )x x ( gọi là hàm lặp)

- Chọn 0 2

a bx

. Tính các nghiệm xấp xỉ xn+1 theo công thức

1 ( ), 0,1,2,...n nx x n

8

- Đánh giá sai số n nx . Đặt [ , ]

max '( )x a b

q x

Ta có:

11n n nq

x xq

b. Điều kiện hội tụ của phương pháp

Định lý.

Nếu hàm ( )x có đạo hàm '( )x và thỏa mãn: '( ) 1, [ , ]x q x a b

thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim nn

x

Chú ý.

Khi sử dụng phương pháp lặp chúng ta sẽ gặp khó khăn trong việc tìm hàm ( )x (vì phải

thỏa điều kiện : '( ) 1, [ , ]x q x a b ). Để khắc phục điều này ta làm theo hướng dẫn

- Nếu '( ) 0, [ , ]f x x a b ta đặt ( )

( )f x

x xM

với [ , ]

max '( )x a b

M f x

- Nếu '( ) 0, [ , ]f x x a b ta đặt ( )

( )f x

x xM

với [ , ]

max '( )x a b

M f x

- Nếu ( ) 0

[ , ] :'( ) 0

f cc a b

f c

thì ta thu hẹp đoạn [ , ]a b thành [ , ]c b hoặc

[ , ]a c với là hằng số dương đủ nhỏ sao cho đoạn thu hẹp vẫn là đoạn cách ly

nghiệm.

Chú ý: Với cách đặt như trên thì

[ , ]

max '( ) 1 1x a b

mq x

M

Trong đó [ , ]

min '( )x a b

m f x

.

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [1,2] của phương trình:

3 1 0x x

thỏa yêu cầu sai số 10-1

Giải

Đặt 3( ) 1f x x x suy ra 2'( ) 3 1f x x , ''( ) 6f x x

9

Ta có

''( ) 0 0 (1,2)

'(1) 2

'(2) 11

f x x

f

f

suy ra

[1,2]

[1,2]

'( ) 0, [1,2]

max '( ) 11

min '( ) 2

x

x

f x x

f x

m f x

Bước 1: Kiểm tra (1,2) là khoảng cách ly nghiệm

f(x) liên tục trên [1,2],

Ta có (1) (2) 5 0,

'( ) 0, (1,2).

f f

f x x

. Vậy (1,2) là khoảng cách ly nghiệm.

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

Chọn M=11. Đặt 3 3( ) 1 12 1

( )11 11

f x x x x xx x x

M

Ta có [1,2]

9max '( ) 1

11xq x

. Vậy hàm ( )x thỏa điều kiện của phương pháp lặp.

Đặt 01 2

1.52

x

ta tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp dưới đây

1 0

11 1 0

( ) 1.420455

0.36 101

x x

qx x

q

;

2 1

12 2 1

( ) 1.379947

0.18 101

x x

qx x

q

3 2

13 3 2

( ) 1.357418

0.1 101

x x

qx x

q

;

4 3

2 14 4 3

( ) 1.344351

5.9 10 101

x x

qx x

q

Vậy 4 1.344351x là nghiệm gần đúng thỏa yêu cầu về sai số.

Ví dụ2. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.5,1] của phương trình: x 2e - 3x 0

thỏa yêu cầu sai số 10-2.

Ví dụ3. Giải gần đúng trên [1.5, 3] của phương trình:

4 32 4 0x x


10

2.2.2. Phương pháp Newton-Rapson ( hay phương pháp tiếp tuyến )


- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b].

- Chọn x0 thuộc [a,b] sao cho f(x

0) cùng dấu với f’’(x), x (a,b)

- Tính giá trị của nghiệm gần đúng thứ n+1 theo công thức

nn 1 n

n

f (x )x x ; n=0,1,2...

f '(x )

- Đánh giá sai số n 1 n 1x .

Đặt x [a,b]x [a,b]

M max f ''(x) , m min f '(x) .

Ta có 2

n 1 n 1 nM

x x2m


Chú ý phương pháp Newton-Rapson cũng là một dạng của phương pháp lặp với hàm lặp là

f (x)x x

f '(x)

Do vậy muốn phương pháp Newton-Rapson hội tụ thì hàm x phải thỏa điều kiện

2( ) ''( )

'( ) 1; [ , ]'( )

f x f xx x a b

f x

Việc kiểm tra điều kiện trên khá vất vả nên trong thực hành người ta thường sử dụng điều

kiện đủ dưới đây

Định lý.

Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên đoạn [a,b] và f''(x) không đổi dấu trong (a,b).

Nếu x0 , xn được chọn như trong mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức là:

lim nn

x

Chú ý:

Nếu ( ) 0

[ , ] :'( ) 0

f cc a b

f c

hoặc ''( )f x đổi dấu khi qua c thì ta thu hẹp đoạn

[ , ]a b thành [ , ]c b hoặc [ , ]a c với là hằng số dương đủ nhỏ sao cho đoạn

thu hẹp vẫn là đoạn cách ly nghiệm.

11

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [-3,-2] của phương trình:

3 23 1 0x x

thỏa yêu cầu sai số 10-3

Giải

Đặt 3 2( ) 3 1f x x x suy ra 2'( ) 3 6f x x x , ''( ) 6 6f x x , (3) ( ) 6f x

Xét f’(x)

Ta có

''( ) 0 1 ( 3, 2)

'( 3) 9

'( 2) 0

f x x

f

f

Vì '( 2) 0f nên ta phải thu hẹp [-3,-2] thành [-3,-2.5]

Khi đó

''( ) 0 1 ( 3, 2.5)

'( 3) 9

'( 2.5) 3.75

f x x

f

f

suy ra

[ 3, 2.5]

'( ) 0, [ 3, 2.5]

min '( ) 3.75 x

f x x

m f x

Xét f’’(x)

Ta có

(3) ( ) 6 0

''( 3) 12

''( 2.5) 9

f x

f

f

suy ra

[ 3, 2.5]

''( ) 0, [ 3, 2.5]

max ''( ) 12x

f x x

M f x

Bước 1: Kiểm tra [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm

Ta có f(x) liên tục trên [-3,-2.5],

( 3) ( 2.5) 1 2.215 0,

'( ) 0, [ 3, 2.5].

f f

f x x

Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm.

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

- Đặt 0 3x (Vì ( 3)f cùng dấu với ''( ), [ 3, 2.5]f x x )

- Tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp

12

01 0

0

2 31 1 0

( )2.888889

'( )

0.0198 102

f xx x

f x

Mx x

m

;

12 1

1

2 4 32 2 1

( )2.879452

'( )

1.43 10 102

f xx x

f x

Mx x

m

Vậy 2 2.879452x là nghiệm gần đúng thỏa yêu cầu sai số.

Ví dụ2. Cho phương trình: 2 ln 1 02

xx . Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.2,1] sau 4 lần lặp.

Đánh giá sai số khi nhận giá trị nghiệm ở lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm.

Ví dụ3. Giải gần đúng trên [0,1] của phương trình: 2x cos x 0


BÀI TẬP

Bài 1. Dùng một trong hai phương pháp (Lặp hoặc Newton-Rapson) tìm nghiệm gần đúng của

phương trình dưới đây thỏa yêu cầu sai số 10-4

30

4 20

4 30

0

0

0

1) 1 0; 1;2

2) 3 3 0; 1;2

3) 2 4 0; 2;3

4) 0; 0.2;1

5) +0,5sin ; 0;22

6) 2 0; [0.3;1]x

x x x

x x x

x x x

x tgx x

xx x

x x

2 x0

0

0

30

sin x 40

7) 3x e 0 ; x [0;1]

8) x cos x 0 ; x [0;1]

9) x+ln x 5 0 ; x [3;5]

10) x x 1 0 ; x 1;2

11) e x 3 0 ; x 1;2

1

2x 1 20

x2) tg e x 10 0 ; x 3;4

2

Bài 2. Tự tìm khoảng cách ly nghiệm và giải bằng phương pháp lặp đơn hoặc tiếp tuyến

2

2

1) ( 1)2

2) x =ln(x+1)

3) sinx+cosx=4x

xex

2

4) 4 5ln 5

5) sin( lg 2)

6) 2 x

x x

x x x x

x e

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của các phương trình :

1) x

2e 2x 0 2) 21,8x sin(10x) 0 3) x2 4x 0

13

CHƯƠNG 3

GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH



Khi xác định giá trị các thông số trong kỹ thuật đôi khi chúng ta phải giải hệ thống

phương trình tuyến tính

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(I)

Để giải hệ trên người ta đi theo hai hướng sau:

Hướng giải đúng

Sử dụng các phương pháp giải đúng để tìm ra giá trị chính xác của các nghiệm xj. Một

số phương pháp tiêu biểu như : Cramer, Gauss-Jordan…Đã được khảo sát trong môn toán cao

cấp A2, C2.

Hướng giải gần đúng

Sử dụng các phương pháp giải gần đúng để tìm ra giá trị xấp xỉ của các nghiệm xj. Một

số phương pháp tiêu biểu như : Lặp đơn, Seidel,…

Nhận xét

Hướng giải đúng có ưu điểm là tìm ra được giá trị đúng của nghiệm trong trường hợp

hệ có nghiệm duy nhất và chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Tuy nhiên

lại rất khó thực hiện trong trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân.

Hướng giải gần đúng có khuyết điểm là chỉ tìm ra được giá trị gần đúng của nghiệm

trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất và không chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có

vô số nghiệm. Tuy nhiên lại tỏ ra hiệu quả trong trường hợp các hệ số aij ,bi là các số thập phân.

Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật bằng hệ phương trình, thường hệ có các hệ số rất lẻ

và chỉ có duy nhất nghiệm nên hướng giải gần đúng chiếm hầu hết khi giải bài toán kỹ thuật.

14

Lưu ý. Các phương pháp giải gần đúng dưới đây chỉ giải được một số hệ có dạng đặc biệt (sẽ

được chỉ rõ trong từng thuật toán). Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng hướng

giải đúng để xử lý.

3.1.2. Các bước giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khi giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm đúng duy nhất

Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị gần đúng của nghiệm và đánh giá sai số

3.1.3. Một số khái niệm toán học cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng

Để thực hiện bước 1, 2 ta cần nhắc lại và xây dựng một số khái niệm sau

Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

Định nghĩa1. Ta nói chuẩn của ma trận A là một trong các số sau

1 1,.., 1

maxm

ijj n i

A a

(gọi là chuẩn cột)

1,.., 1

maxn

iji m j

A a

(gọi là chuẩn hàng)

2

21 1

n m

ijj i

A a

(gọi là chuẩn Euclicd)

Ví dụ. Với

1 0 1

4 2 1

2 2 5

A

ta có 1

2

max{7,4,7} 7

max{2,7,9} 9

1 0 1 16 4 1 4 4 25 56

A

A

A

Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên .

Trong không gian véc tơ Rn người ta xây dựng khái niệm chuẩn của véc tơ như sau

15

Định nghĩa2

Trong không gian véc tơ Rn cho vecto 1 2( , ,..., )nx x x x . Ta nói chuẩn của vecto x là một

trong các số sau.

1 1,..,max jj n

x x

hoặc 1

n

jj

x x

hoặc

2

21

n

jj

x x

Ghi chú : Khái niệm 2

x của vecto mang ý nghĩa hình học là độ dài của vecto đó

Tính chất của chuẩn (đọc giáo trình)

Định lý4 (Về sự duy nhất nghiệm của hệ (I)).

Xét hệ (I) khi m=n . Nếu 11 1

1

0n

n nn

a a

a a

thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

3.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG NGHIỆM

3.2.1. Phương pháp lặp đơn


- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.

- Biến đổi (I) được về dạng

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n n

x x x x

x x x x

x x x x

(II)

Đặt 1 11 1 1

1

, = , =n

n n nn n

x

x

x

Khi đó (II) được viết dưới dạng x x

- Chọn (0)x . Tính các xấp xỉ nghiệm ( 1)nx theo công thức

16

( 1) ( ) , 0,1,2,...n nx x n

- Đánh giá sai số 11 *n

n x x với x* là nghiệm đúng của hệ

( 1) ( )1 1

n nn x x


Định lý.

Nếu ma trận có chuẩn bé hơn 1 thì phương pháp lặp đơn hội tụ.

Ví dụ1. Giải gần đúng hệ phương trình:

10x 2y 3z 20

2x 20y 5z 40

x 3y 10z 8

(I)

Thỏa yêu cầu sai số10-2

Giải

Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

10 2 3

2 20 5 1862 0

1 3 10

. Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần đúng và đánh giá sai số

Biến đổi (I) được về dạng

x 0x 0.2y 0.3z 2

y 0.1x 0y 0.25z 2

z 0.1x 0.3y 0z 0.8

(II)

Đặt

0 0.2 0.3 2

= 0.1 0 0.25 , = 2 , X

0.1 0.3 0 0.8

x

y

z

17

Khi đó (II) được viết dưới dạng

x x

Ta có =max 0.5, 0.35, 0.4 0.5 1 . Vậy ma trận thỏa điều kiện hội tụ .

Đặt (0)2

X = = 2

0.8

. Ta tính nghiệm xấp xỉ ( 1)nX , 0,1,2,...n theo công thức

(1) (0)

(1) (0) 21

0 0.2 0.3 2 2 2.64

x + = 0.1 0 0.25 2 2 2.4

0.1 0.3 0 0.8 0.8 1.2

0.50.64 0.64 10

1 1 0.5

x

x x

(2) (1)

(2) (1) 22

2.84

x + = 2.564

1.256

0.2 101

x

x x

;

(3) (2)

(3) (2) 23

2.8896

x + = 2.598

1.2852

0.05 101

x

x x

18

(4) (3)

(4) (3) 24

2.90516

x + = 2.61026

1.29044

0.02 101

x

x x

;

(5) (4)

(5) (4) 3 25

2.909184

x + = 2.613126

1.292562

4 10 101

x

x x

Vậy x(5) hay

2.909184

2.613126

1.292562

x

y

z

là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số.

Ví dụ2. Giải gần đúng hệ phương trình:

19.2x 2.6y 1.2z 20.3

3.7x y 15.3z 4

x 13.5y z 8.3

(I)


Ví dụ3. Cho hệ phương trình:

10x 2y z t 10

2x 20y 5z 2t 20

x y 10z t 10

x 2y 2z 10t 10

(I)

Tìm nghiệm gần đúng của hệ sau 2 bước lặp. Đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này.

3.2.2. Phương pháp Seidel


19

- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.

- Biến đổi (I) được về dạng x x

- Chọn (0)x . Tính các xấp xỉ nghiệm ( 1)kx theo công thức

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 1 1 1 11 1 2 1

( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )21 22 2 1 2 22 1 2 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( )1 2 11 2 1

k k k k kn n nn

k k k k kn n nn

k k kk kn n n nn nn n nn

x x x x x

x x x x x

x x x x x

(*)

Nếu phân tích

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

0 0 0

0 0 0 =

0 0 0

= L

n n

n n

n n nn n n nn

+ U

Thì (*) sẽ đươc viết lại là

( 1) ( 1)( 1) ( ) 1 ( ) ( )k kk k knx Lx Ux x I L Ux (**)

- Đánh giá sai số 11 *n

n x x với x* là nghiệm đúng của hệ

( 1) ( )1 1

n nn

Lx x

Chú ý : Theo biểu diễn (**) ta nhận thấy rằng phương pháp Seidel cũng là một dạng của

phương pháp lặp đơn .


Định lý.

Nếu ma trận có chuẩn bé hơn 1 thì phương pháp lặp Seidel hội tụ.

Ví dụ1. Giải gần đúng hệ phương trình bằng phương pháp Seidel

10x 2y 3z 20

2x 20y 5z 40

x 3y 10z 8

(I)

20


Giải

Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

10 2 3

2 20 5 1862 0

1 3 10

. Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần đúng và đánh giá sai số (Theo công thức (**))

Biến đổi (I) được về dạng

x 0x 0.2y 0.3z 2

y 0.1x 0y 0.25z 2

z 0.1x 0.3y 0z 0.8

(II)

Đặt

0 0.2 0.3 0 0 0 0 0.2 0.3

= 0.1 0 0.25 0.1 0 0 0 0 0.25

0.1 0.3 0 0.1 0.3 0 0 0 0

2

= 2 ,

0.8

L U

x

x y

z

Ta có

3

0.5 1, 0.4

1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0.1 0 0 0.1 1 0

0 0 1 0.1 0.3 0 0.1 0.3 1

L

I L

Đặt (0)2

x = = 2

0.8

. Ta tính nghiệm xấp xỉ ( 1)nx , 0,1,2,...n theo công thức

21

(1) 1 (0)

(1) (0) 21

2.64

x ( ) + = 2.464

1.2752

0.40.64 0.512 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

;

(2) 1 (1)

(2) (1) 22

2.87536

x ( ) + = 2.606336

1.294365

0.40.24 0.192 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

;

(3) 1 (2)

(3) (2) 2 23

2.909577

x ( ) + = 2.614549

1.293407

0.40.034 2.72 10 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

;

(4) 1 (3)

(4) (3) 3 3 24

2.910932

x ( ) + = 2.614445

1.29324

0.41.4 10 1.12 10 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

;

22

Vậy x(4) hay

2.910932

2.614445

1.29324

x

y

z

là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số.

Chú ý : Chúng ta cũng có thể tính các xấp xỉ nghiệm theo công thức (*)

Ví dụ2. Cho hệ phương trình

10x 2y 3z t 20

2x 20y 5z 3t 40

x 3y 10z t 8

x y 2z 10t 10

(I)

Bằng phương pháp Seidel (dùng công thức *) tìm nghiệm gần đúng của hệ sau 3 bước lặp.

Đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này.

BÀI TẬP

Bài1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn , Seidel với sai số 10-3 .

1)

1,02x 0,05y 0,1z 0,795

0,11x 1,03y 0,05z 0,849

0,11x 0,12y 1,04z 1,398

2)

6,1x 2,2y 1,2z 16,55

2,2x 5,5y 1,5z 10,55

1,2x 1,5y 7,2z 16,80

3)

1,02x 0,25y 0,30z 0,515

0,41x 1,13y 0,15z 1,555

0,25x 0,14y 1,21z 2,780

4)

4x y z 8

2x 5y 2z 3

x 2y 4z 11

5)

4x y 2z 9

2x 4y z 5

x y 3z 9

6)

3x y z 1

3x 6y 2z 0

3x 3y 7z 4

7)

10x y 9

x 10y 2z 7

2y 10z 6

8)

4x 3y 24

3x 4y z 30

y 4z 24

9)

0,42x 5,05y 0,11z 0,215

12,5x 1,02y 0,05z 0,743

0,11x 0,12y 2,09z 1,395

10)

2,1x 2,2y 7,5z 14,65

5,2x 0,5y 1,5z 20,15

1,6x 4,5y 1,2z 6,18

23

Bài2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel sai số 10-5 .

1)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1,42x 0,5x 0,1x 0,2x 2,525

0,5x 5,02x 1,15x 0,3x 0,741

0,17x 2,12x 13,5x 0,4x 5,190

0,18x 0,12x 1,05x 20,7x 1,824

2)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0,42x 5,05x 0,11x 0,1x 0,215

12,5x 1,02x 0,05x 0,5x 0,743

0,11x 0,12x 2,09x 0,4x 1,395

0,11x 0,12x 1,05x 5,2x 2,092

3)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

8x x 2x x 2x 24

2x 12x x 2x x 72

x 5x 23x x 3x 46

3x 2x 5x 35x x 70

4x x x 2x 72x 144

4)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

25x x 3x 2x x 75

x 17x x 3x 4x 170

3x 2x 35x x 5x 105

4x 5x x 55x 7x 330

x x x 2x 29x 580

24

CHƯƠNG 4

ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT


Khi nghiên cứu các vấn đề kỹ thuật, kinh tế, xã hội chúng ta thường gặp phải nhu cầu

từ các số liệu rời rạc đã có của các đại lượng đang xét, suy ra mối quan hệ toán học giữa chúng,

sau đó sử dụng công cụ toán học nghiên cứu các vấn đề mà ta quan tâm trên các đại lượng đang

xét.

Ví dụ. Quan sát hai đại lượng X , Y ta có bảng số liệu:

x 32 32.9 34 34.5 35 36.6

y 32.4 33 33.1 34.7 35.2 33.6

Có rất nhiều câu hỏi liên quan đến mối quan hệ giữa X,Y mà nếu không sử dụng công cụ toán

học thì chúng ta không trả lời được ví dụ như:

- Khi X tăng thì Y có tăng hay không ?

- Khi nào thì Y đạt cực đại?

- Khi X= 36 thì Y là bao nhiêu ?

…

Vấn đề xây dựng mối quan hệ toán học giữa các đại lượng có thể phát biểu bằng bài toán tổng

quát sau

Bài toán

Quan sát hai đại lượng x, y ta được bảng số liệu

x x0 x1 … xn

y y0 y1 … yn

Tìm mối liên hệ giữa x,y dưới dạng y = f(x) ?.

Khi giải bài toán trên điều đầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm f(x) như thế nào.

Các định lý về xấp xỉ sau đây của Weierstrass sẽ cho chúng ta gợi ý về dạng hàm f(x).

Định lý Weierstrass 1

25

Cho f (x) là một hàm thực liên tục xác định trên đoạn [a,b]. Khi đó với mọi ε>0 tồn tại

một đa thức

2 mm 0 1 2 mp (x) a a x a x ... a x

với các hệ số thực sao cho với mọi giá trị x thuộc [a,b] ta có

|f(x) – pm(x)|<ε.

Định lý Weierstrass 2

Cho f (x) là một hàm thực liên tục xác định trên đoạn [-π,π] và f(-π) = f(π). Khi đó với

mọi ε>0 tồn tại một đa thức lượng giác

m0

m j jj 1

ap (x) a cos( jx) b sin( jx)

2

với các hệ số thực sao cho với mọi giá trị x thuộc [-π,π] ta có

|f(x) – pm(x)|<ε.

Như vậy việc chọn đa thức là thích hợp cho dạng hàm f(x).

Tiếp theo chúng ta sẽ đi xác định các hệ số ai, bj trong đa thức pm(x). Việc xác định các hệ số

thường dựa vào một trong hai dạng yêu cầu:

Dạng 1:

Đa thức pm(x) phải đi qua các điểm (xi ,yi). Tức là pm(xi ) = yi với i=0,1,...,n.

Dạng 2:

Đa thức pm(x) đi gần các điểm (xi ,yi) theo nghĩa n

2m i i

i 1

p (x ) y

bé nhất.

Người ta gọi đa thức pm

(x) xây dựng theo dạng 1 là đa thức nội suy và được dùng khi biết

yi = f(xi). Đa thức tìm theo dạng 2 gọi là tìm theo phương pháp bình phương bé nhất (hay còn

gọi là bài toán hồi quy hoặc hàm hồi quy) nó được dùng khi i iy f (x ) .

Chú ý: Khi xây dựng quan hệ giữa y và x theo phương pháp bình phương bé nhất có thể không

phải dạng đa thức.

4.2. ĐA THỨC NỘI SUY

4.2.1 Đa thức nội suy Lagrange (đọc giáo trình)

4.2.2. Đa thức nội suy Newton

Bài toán

Quan sát hai đại lượng x, y ta được bảng số liệu

26

x x0 x1 … xn

y y0 y1 … yn

Trong đó : x0 < x1 <…< xn . Tìm mối liên hệ giữa x,y dưới dạng

2 nn 0 1 2 ny p (x) a a x a x ... a x .

Thỏa điều kiện i n iy p (x ) . Tìm giá trị y khi x = x* với *0 1 nx x ,x ,..., x .

Giải

a) Các giá trị xi cách đều : h = xi+1 - xi

Bước 1. Tính các hiệu hữu hạn tiến ki :

i i 1 i

k 1 k ki i 1 i

y y

; k=0,1,...n-1.

Bước 2. Lập đa thức nội suy

Đa thức nội suy Newton tiến

2 nT 0 0 0n 0 0 0 1 0 n 12 n

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) ... (x x ) (x x )h 2!h n!h

Đa thức nội suy Newton lùi

n2L 0n 1 n 2n n n n n 1 n 12 n

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) ... (x x ) (x x )h 2!h n!h

Bước 3 . Tính y khi x = x*

Nếu x* gần x0 thì T *ny p (x ) . Nếu x* gần xn thì L *

ny p (x ) .

b) Các giá trị xi không cách đều

Bước 1. Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến i i nf[x ,...x ]

i 1 ii i 1

i 1 i

i 1 i k i i k 1i i k

i k i

y yf[x , x ]

x x

; i = 0,1...; k = 1,2,...

f[x ,..., x ] f[x ,..., x ]f[x ,..., x ]

x x


27


Tn 0 0 1 0 0 n 0 n 1p (x) y f[x ,x ](x x ) ... f[x ,..., x ](x x ) (x x )


Ln n n 1 n n 0 n n 1p (x) y f[x ,x ](x x ) ... f[x ,..., x ](x x ) (x x )

Bước 3 . Tính y khi x = x*

Nếu x* gần x0 thì T *ny p (x ) . Nếu x* gần xn thì L *

ny p (x ) .

Ví dụ1. Cho bảng số liệu

Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến, lùi. Tìm y khi x=1.2345 hoặc x = 9.5437

Giải

Bước 1. Tính các hiệu hữu hạn tiến ki

n x y i 2

i 3i 4

i 5i

0 1 3.2

1 3 3.3 0.1

2 5 1.7 -1.6 -1.7

3 7 2.5 0.8 2.4 4.1

4 9 5.1 2.6 1.8 -0.6 -4.7

5 11 4.3 -0.8 -3.4 -5.2 -4.6 0.1



2 3T 0 0 05 0 0 0 1 0 1 22 3

4 50 0

0 1 2 3 0 1 2 3 44 5

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )h 2!h 3!h

(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )4!h 5!h

x 1 3 5 7 9 11

y 3.2 3.3 1.7 2.5 5.1 4.3

28

T5 2 3

4 5

0.1 1.7 4.1p (x) = 3.2 + (x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 5)

2 2!2 3!24.7 0.1

(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7)(x 9)4!2 5!2


2 3L 34 25 5 5 5 4 5 4 32 3

5401

5 4 3 2 5 4 3 2 14 5

L5 2

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )h 2!h 3!h

(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )4!h 5!h

0.8 3.4 5.2p (x)= 4.3 (x 11) (x 11)(x 9)

2 2!2 3!

3

4 5

(x 11)(x 9)(x 7)2

4.6 0.1 (x 11)(x 9)(x 7)(x 5) (x 11)(x 9)(x 7)(x 5)(x 3)

4!2 5!2

Bước 3 . Tính y

Khi x = 1.2345. Vì x gần x0 nên ta có T5y p (1.2345) =

Khi x = 9.5437. Vì x gần x5 nên ta có L5y p (9.5437) =

Ví dụ2. Cho bảng số liệu

Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến, lùi. Tìm y khi x=2.6375 hoặc x = 8.5722

Giải

Bước 1. Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến

x 1 2 5 7 8 10

y 3 2 1 4 5 1

n x y TH1 TH2 TH3 TH4 TH5

0 1 3

1 2 2 -1

2 5 1 -1/3 1/6

3 7 4 3/2 11/30 1/30

29



T5

1 1p (x) = 3 (x 1) + (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 5)

6 3011 13

(x 1)(x 2)(x 5)(x 7) (x 1)(x 2)(x 5)(x 7)(x 8)630 15120


L5

1p (x)= 1 2(x 10) (x 10)(x 8) (x 10)(x 8)(x 7)

67 13

(x 10)(x 8)(x 7)(x 5) (x 10)(x 8)(x 7)(x 5)(x 2)720 15120

Bước 3. Tính y

Khi x = 2.6375. Vì x gần x0 nên ta có T5y p (2.6375)

Khi x = 8.5722. Vì x gần x5 nên ta có L5y p (8.5722)

4.3. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài toán . Quan sát hai đại lượng x, y ta được bảng số liệu

x x1 x2 … xn

y y1 y2 … yn

Trong đó : x1 < x2 <…< xn . Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) 1y p (x) a bx b) 22y p (x) a bx cx c)

y q(x) a bcos x csin x

4 8 5 1 -1/6 -4/45 -11/630

5 10 1 -2 -1 -1/6 -7/720 13/15120

30

Thỏa điều kiện n

2i i

i 1

p(x ) y

bé nhất .

Giải

a) Đặt: n n

2 2i i i i

i 1 i 1

F(a,b) p(x ) y a bx y

.

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm a,b sao cho F(a,b) đạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 2 biến để F(a,b) đạt cực tiểu a, b phải thỏa hệ:

n'a i i

i 1

n'b i i i

i 1

F (a,b) 2 a bx y 0

F (a,b) 2 x a bx y 0

n n

i ii 1 i 1

n n n2

i i i ii 1 i 1 i 1

an b x y

a x b x x y

b) Đặt: n n

2 2i i i i i

i 1 i 1

F(a,b,c) p(x ) y a bx cx y

.

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm a, b, c sao cho F(a,b,c) đạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 3 biến để F(a,b,c) đạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ

n' 2a i i i

i 1

n' 2b i i i i

i 1

n' 2 2c i i i i

i 1

F (a,b,c) 2 a bx cx y 0

F (a,b,c) 2 x a bx cx y 0

F (a,b,c) 2 x a bx cx y 0

n n n2

i i ii 1 i 1 i 1

n n n n2 3

i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

n n n n2 3 4 2i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

an b x c x y

a x b x c x x y

a x b x c x x y

c) Đặt: n n

2 2i i i i i

i 1 i 1

F(a,b,c) p(x ) y a bcos x csin x y

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm a, b, c sao cho F(a,b,c) đạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 3 biến để F(a,b,c) đạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ

31

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

n n n n2

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

n n n n2

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

an b cos x c sin x y

a cos x b cos x c cos x sin x y cos x

a sin x b cos x sin x c sin x y sin x

Chú ý. Để xác định dạng hàm người thường biểu diễn các cặp điểm (xi,yi) lên mặt phẳng tọa

độ Oxy, sau đó nối các điểm xem đường nối có hình dạng nào và chọn dạng hàm theo gợi ý

sau:

- Nếu là đường thẳng (hoặc gần thẳng) chọn dạng a) .

- Nếu là đường cong Parabol chọn dạng b).

- Nếu là đường tuần hoàn chọn dạng c)

Ví dụ1. Quan sát hai đại lượng x, y ta được bảng số liệu

Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng y a bx .

Giải. y 1.603588 0.554593x


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng 2y a bx cx .

Giải. 2y 1.385703 3.55484x 0.528606x


x 1 2.3 3.1 4 4.2 5.5 6

y 2 3.2 3.1 3.8 4 5 4.6

x 1 2.3 3.1 3.4 4.1 5 5.6

y 2 3.2 3.1 6.8 4 3.5 1.6

32

Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng y a bcos x csin x .

Chú ý.

Khi yêu cầu xây dựng các hàm không phải dạng a), b), c) chúng ta có thể dùng một

trong hai cách sau :

Cách 1. Dùng phép đổi biến để đưa về các dạng a), b), c).

Cách 2. Dùng điều kiện n

2i i

i 1

p(x ) y

bé nhất để xác định các hệ số.


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) by ax , a 0 . b) bxy ae , a 0 . c) ln x

1y 1; a,b 0

ab .

d) 2x

32x x

ey

ae be c

. e)

b c ln x

1y 1; a 0

ax f)

32b

y a c tan xcos x


x 0 1.05 1.57 3.14 6.28

y 2 3.2 3 0 2

x 1 2.3 3.1 4 4.2 5.5 6

y 2 3.2 3.1 3.8 4 5 4.6

x 1 2 3 4

y 2 3.2 3.1 3.8

33

Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) xy a x be . b) c

y a bln xx

. .

BÀI TẬP

Bài1. Cho các mốc nội suy sau :

x 0 3 4 5 7

f(x) -1 3 2 1 4

1) Viết đa thức Newton tiến, tính f(2.5) 2) Viết đa thức Newton lùi, tính f(6.82)

Bài 2. Cho các mốc nội suy cách đều :

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 -1 1 0 3

1) Viết đa thức Newton tiến và tính (1,5)f 2) Viết đa thức Newton lùi và tính (4,5)f

Bài 3. Từ bảng số liệu đã cho, bằng pp bình phương bé nhất tìm hàm đã chỉ ra

1) lny a x bx c . Biết

2) cosy a bx c x . Biết

3) 2( sin )y ax b x x . Biết

4) 2( 2) cosy a x b x . Biết

x 1 2 3

y 5 7.7 10

x 1 2 3

y 4.6 3.7 4

x 1 2 3 4

y 3.8 8.9 15 22.2

x 1 2 3 4

y 5 4.3 7 15

34

5) ( 1) ln( 1)xy a e b x . Biết

Bài 4. Cho bảng dữ liệu

Bằng phép đổi biến số thích hợp rồi dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất tìm các hàm

22

2

232

1 ax bx ca) y . b) y . c) y ax b.

ax b x1 a

d) y . e)y b ax . f) y= b tan x c1 a bx cos x

CHƯƠNG 5

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 5, yêu cầu sinh viên:

1. Hiểu được thế nào là bài toán tính gần đúng tích phân xác định.

2. Thực hiện được các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định, qua đó biết cách

tính giá trị gần đúng tích phấn xác định của một hàm bất kỳ.

3. Biết cách áp dụng các phương pháp tính gần đúng trên vào việc giải các bài toán ngoài

thực tế.

4. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp.


Quá trình tính giá trị các thông số kỹ thuật hoặc giá trị các đại lượng kinh tế đôi khi

phải tính tích phân

x 0 1 3

y 0 5.5 42.3

x 1 1,5 2 2,4 3

y 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89

35

b

a

I f (x)dx

Để tính đúng tích phân I ta chỉ có công thức Newton-Leibniz nhưng công thức này sẽ gặp khó

khăn khi hàm f(x) có nguyên hàm phức tạp khó tìm hoặc không có nguyên hàm hoặc cho bởi

bảng giá trị rời rạc (điều này rất dễ gặp trong kỹ thuật, kinh tế…).

Trong thực tế người ta giảm bớt khó khăn khi tính I bằng cách sử dụng các phương

pháp tính gần đúng để tìm giá trị xấp xỉ của I rồi dùng nó thay cho giá trị đúng nhưng với điều

kiện đánh giá được sai số tuyệt đối.

Đa số các phương pháp tính gần đúng đều theo các bước sau

Bước 1: Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau i i 1x , x ; i=0,...,n-1 .

Bước 2: Trên từng đoạn nhỏ i i 1x , x xây dựng đa thức nội suy bậc m imp (x) của f (x) .

Bước 3: Tính i 1

i

xn 1* i

i i mi 0 x

I I ; I p (x)dx

. Kết luận *I I .

Bước 4: Đánh giá sai số *I I .

5.2. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG

5.2.1. Công thức hình thang

- Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên [a,b]

- Chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bằng nhau

- Đặt 0x a tính: i 1 i

i i

b ah

nx x h; i = 0,1,...,n-1.

y f (x ); i = 0,1,...,n.

36

- Tính * 0 n1 n 1

y yI h y ... y

2

. Kết luận *I I .

- Đánh giá sai số : 2

* (b a)hI I f ''(c) ; c [a,b].

12

.

Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé.

Chú ý : Trong thực hành

- Nếu đạo hàm cấp 2 của f(x) tính được thì sai số đánh giá theo công thức

2(b a)hM

12

với

x [a,b]M max f ''(x)

- Nếu đạo hàm cấp 2 của f(x) không tính được hoặc quá phức tạp thì sai

số đánh giá theo công thức

* *n 2n

1I I

3

với *hI , *

2hI lần lượt là giá trị *I được tính khi chia đoạn [a,b] thành n và

2n đoạn có chiều dài bằng nhau.

Ví dụ1. Tính gần đúng 2

1x

0

I e dx .

Đánh giá sai số. Biết chia đạn [0.1] thành 10 đoạn có chiều dài bằng nhau

Giải

- Lập bảng số liệu với h= 0.1

- Tính giá trị

* 0 101 9

y yI h y ... y = 1.467175

2

- Đánh giá sai số

Ta có

2 2 2x x x 2y e y ' 2xe y '' 2e (1 2x )

suy ra x [0,1]max y ''(x) 6e

.

Vậy 2(1 0)0.1

6e 0.01412

i ix 2ix

iy e

0 0 0y 1

1 0.1 1y 1.01005

2 0.2 2y 1.040811

3 0.3 3y 1.094174

4 0.4 4y 1.173511

5 0.5 5y 1.284025

6 0.6 6y 1.433329

7 0.7 7y 1.632316

8 0.8 8y 1.896481

9 0.9 9y 2.247908

10 1 10y 2.718282

37

Ví dụ2. Tính gần đúng 2

6

I ln(cos x sin x)dx

.

Đánh giá sai số. Biết chia đoạn ,6 2

thành 12 đoạn có chiều dài bằng nhau

Ví dụ3. Cho tích phân

2

1

ln(1 )xI e dx

Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia đoạn [1,2] thành ít nhất mấy đoạn

có chiều dài bằng nhau để sai số khi tính gần đúng I không quá 10-3.

5.2.2. Công thức Simpson tổng quát (Simpson 1/3)

- Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 4 liên tục trên [a,b]

- Chia đoạn [a,b] thành n =2m đoạn con bằng nhau

- Đặt 0x a tính: i 1 i

i i

b ah

nx x h; i = 0,1,...,n-1.

y f (x ); i = 0,1,...,n.

- Tính *0 2m 1 2m 1 2 2m 2

hI y y 4(y ... y ) 2(y ... y )

3 .

- Kết luận *I I .

- Đánh giá sai số

4* (4)(b a)h

I I f (c) ; c [a,b].180

.

Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé.

Chú ý : Trong thực hành

- Nếu đạo hàm cấp 4 của f(x) tính được thì sai số đánh giá theo công thức

4(b a)hM

180

với (4)

x [a,b]M max f (x)

- Nếu đạo hàm cấp 4 của f(x) không tính được hoặc quá phức tạp thì sai

số đánh giá theo công thức

38

* *2m 4m

1I I

15

với *2mI , *

4mI lần lượt là giá trị *I được tính khi chia đoạn [a,b] thành 2m

và 4m đoạn có chiều dài bằng nhau.

Ví dụ1. Tính gần đúng

21

x

0

I e dx .

Đánh giá sai số. Biết chia đạn [0.1] thành 10 đoạn có chiều dài bằng nhau

Giải

Lập bảng số liệu với h= 0.1

- Tính *0 10 1 9 2 8

hI y y 4(y ... y ) 2(y ... y ) = 1.462652

3

- Đánh giá sai số *I I

Với mọi x thuộc [0,1] ta có : 2xy e e

2x

(3)

(4) (3)

y ' 2xe 2xy 2e

y '' 2(y xy ') 6e

y 2(2y ' xy '') 20e

y 2(3y '' xy ) 76e

.

i ix 2ix

iy e

0 0 0y 1

1 0.1 /////////////////////// 1y 1.01005

2 0.2 2y 1.040811 ///////////////////////

3 0.3 /////////////////////// 3y 1.094174

4 0.4 4y 1.173511 ///////////////////////

5 0.5 ////////////////////// 5y 1.284025

6 0.6 6y 1.433329 ///////////////////////

7 0.7 /////////////////////// 7y 1.632316

8 0.8 8y 1.896481 ///////////////////////

9 0.9 /////////////////////// 9y 2.247908

10 1 10y 2.718282

39

Vậy x [0,1]max y ''(x) 76e M

. Kết luận : 4

4(1 0) 0.176e 1.148 10

180

40

Ví dụ2. Tính gần đúng

2x

0

I cos(e 1)dx

.

Không đánh giá sai số. Biết chia đoạn 0,2

thành 10 đoạn có chiều dài bằng nhau

Ví dụ3.

Cho tích phân

1

0

I ln(1 x 1)dx

Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy đoạn con bằng nhau để khi tính gần đúng I bằng công thức

simpson bảo đảm được sai số tuyệt đối < 3.10-4

BÀI TẬP

Bài1. Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang với n = 10.

I= 0

1dx

x cos x

; J=

1

0

xdx

ln 2 x ; K=

1 2

0

x dx

sin 1 x ; L= 1

11 x

0

tgxdx

e ;

M=

1 2

0

sin x dx

ln 2 x ; N=

1 x

0

e dx

sin 1 x ; G= 1

x0

x arcsin xdx

2 1 ; H= 1 2x

0

edx

1 cos3x

Bài2 Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n = 10.

Bài3

Khi tính gần đúng 3,1 3

2,1

xI dx

x 1

bằng công thức simpson 1/3, cần chia đoạn [2,1;3,1]

thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt được sai số nhỏ hơn 10-4.

Bài4.

Khi tính gần đúng 1 2

0

x 1I dx

x 2

bằng công thức simpson 1/3, cần chia đoạn [0;1]

thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt được sai số nhỏ hơn 0,75.10-4.

41

CHƯƠNG 6

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 6, yêu cầu sinh viên:

1. Hiểu được vai trò và tầm quan trọng của bài toán giải gần đúng phương trình vi phân.

2. Thực hiện được các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân.

3. Biết cách áp dụng các phương pháp trên vào việc giải quyết các bài toán thực tế.

4. Đánh giá được sai số của từng phương pháp.



Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật dẫn về việc tìm giá trị của hàm y=y(x) khi x=x*. Biết

y là nghiệm riêng của phương trình vi phân thường:

( )( , , ',..., ) 0; [ , ]nF x y y y x a b thỏa điều kiện đầu

0

1

( 1)1

( )

'( )

( )nn

y a y

y a y

y a y

.

Giải quyết bài toán trên có hai nhóm phương pháp

Phương pháp tìm giá trị thông qua nghiệm chính xác:

Bằng cách dựa vào cách tính tích phân trực tiếp, xác định được dạng tổng quát của

nghiệm rồi dựa vào điều kiện ban đầu để xác định nghiệm riêng, sau đó thay giá trị x* vào

nghiệm riêng để tìm ra giá trị y.

Phương pháp tìm giá trị gần đúng :

Sử dụng xấp xỉ hàm bằng công thức khai triển Taylor sau đó dùng phương pháp tính

gần đúng tích phân để tính gần đúng giá trị y.

Nhận xét

Hướng giải đúng có ưu điểm là tìm ra được giá trị đúng của y. Tuy nhiên lại rất khó

thực hiện bởi không có phương pháp tìm nghiệm riêng tổng quát cho mọi bài toán

42

Hướng giải gần đúng có khuyết điểm là chỉ tìm ra được giá trị gần đúng của nghiệm

trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên phương pháp này có thể áp dụng cho một

lớp phương trình vi phân rộng hơn rất nhiều so với phương pháp trực tiếp, do đó được dùng

nhiều trong thực tế.

Trong chương này ta nghiên cứu cách tính gần đúng và đánh giá sai số giá trị hàm y

thỏa bài toán đơn giản nhất của phương trình vi phân là bài toán Cauchy đối với phương trình

vi phân cấp 1

Bài toán

Cho hàm y=y(x) thỏa

0

' ( , ); [ , ].

( )

y f x yx a b

y a y

(6.1)

Tìm giá trị gần đúng của y khi ix x thỏa 0

1

,; 0,1,.., 1 .n

i i

x a x bi n

x x h

Đánh giá sai

số.

Giải

Khi giải bài toán trên ta cần tuân thủ các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra (6.1) có nghiệm đúng duy nhất trên [a,b]

Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị xấp xỉ iy của iy x và đánh giá sai số

i i iy y x

6.1.2. Một số định lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng

Để thực hiện bước 1, 2 người ta thường dùng các định lý dưới đây

Định lý1.

Nếu ( , )f x y và ( , )f

x yy

liên tục trên miền D chứa (x0,y0) thì tồn tại duy nhất hàm y=y(x) thỏa

(6.1).

Ghi chú : Ngoài Định lý 1 còn rất nhiều Định lý nữa nói về sự tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý2.

43

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x0 và lân cận của x0. Giả sử h là một

giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này. Ta có:

( ) ( 1)2 10 0

0 0 0''( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( ) ...2! ! ( 1)!

n nn nf x f x f c

f x h f x hf x h h hn n

.

Trong đó c là hằng số thuộc (x0 , x

0+h).

6.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

6.2.1. Phương pháp Euler cải tiến

- Kiểm tra bài toán có nghiệm duy nhất.

- Đặt 0 0 0x a, y y(x ) .

- Tính i 1y :

(0)i i ii 1

(1) (0)i i i i 1i 1 i 1

(m) (m 1)i i i i 1i 1 i 1

y y hf (x , y )

hy y f (x , y ) f (x , y )

2 ; i = 0,1,...,n-1.

hy y f (x , y ) f (x , y )

2

Nếu ( ) ( 1)1 1

m mi iy y thì kết luận ( )

1 1m

i iy y .

Ví dụ1. Cho hàm y=y(x) thỏa hệ

/ 2; x [0,1]

(0) 1

y x y

y

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.1), y(0.2) thỏa yêu cầu sai số 10-3.

Giải

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có

2( , )

( , ) 1

f x y x y

fx y

y

liên tục trên R2. Vậy phương trình có nghiệm riêng duy nhất.

Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(0.1) và y2 = y(0.2).

Tính y1

44

(0) 20 0 0 0 0 01

(1) (0) (0)2 20 0 0 1 0 0 0 11 1 1

( , ) ( ) 1 0.1(0 1) 0.9

( , ) ( , ) 0.9055 2 2

y y hf x y y h x y

h hy y f x y f x y y x y x y

(1) (0) 3 -31 1

(2) (1) (1)2 20 0 0 1 0 0 0 11 1 1

5.5 10 >10

( , ) ( , ) 0.905225 2 2

y y

h hy y f x y f x y y x y x y

(2) (1) 4 31 1 2.75 10 10y y

Vậy 1 0.905225 y .

Tính y2

(0) 2 21 1 1 1 1 12

(1) (0)1 1 1 22 2

(1) (0)2 2

( , ) ( ) 0.905225 +0.1(0.1 0.905225 )=0.815703

( , ) ( , ) 0.8216792

5.9

y y hf x y y h x y

hy y f x y f x y

y y

3 -3

(2) (1)1 1 1 22 2

(2) (1) 4 32 2

8 10 >10

( , ) ( , ) 0.821382

2.99 10 10

hy y f x y f x y

y y

Vậy 2 0.82138 y .


/ ( )cos; x [0.5,1]

(0.5) 2

xy y e y

y

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.55), y(0.58) thỏa yêu cầu sai số 10-3.

6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta

- Kiểm tra bài toán có nghiệm duy nhất.

- Đặt 0 0 0x a, y y(x ) . Tính i 1y theo công thức

45

(i) (i) (i) (i)1 2 3 4

i 1 ik 2k 2k k

y y6

. Với

(i)i i1

(i)(i) 1

i i2

(i)(i) 2

i i3

(i) (i)i i4 3

k hf (x , y )

khk hf x , y

2 2; i 0,n 1

khk hf x , y

2 2

k hf x h, y k


/ 2; x [1,2]

(1) 1

y x y

y

Tìm giá trị xấp xỉ của y(1.1), y(1.12) .

Giải

Vì khoảng cách giữa các giá trị x không đều nên ta phải tính hai lần riêng biệt với hai giá trị h

là 0.1 và 0.12

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có

2

2

( , )

( , )

f x y x y

fx y x

y

liên tục trên R2. Vậy phương trình có nghiệm riêng duy nhất.

Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(1.1) và y2 = y(1.12).

Tính y1 ( với h=0.1)

(0) 20 0 0 01

2(0) (0)(0) 1 1

0 0 0 02

(0)0 03

( , ) ( ) 0.1

, 0.115763 2 2 2 2

,2

k hf x y h x y

k kh hk hf x y h x y

hk hf x y

2(0) (0)2 2

0 0

(0) (0) (0)20 0 0 04 3 3

0.116631 2 2 2

, ( ) 0.135112

k khh x y

k hf x h y k h x h y k

Vậy (0) (0) (0) (0)1 2 3 4

1 02 2

1.116656

k k k ky y

.

46

Tính y1 (với h=0.12)

(0) 20 0 0 01

2(0) (0)(0) 1 1

0 0 0 02

((0) 2

0 03

( , ) ( ) 0.12

, 0.1429232 2 2 2

,2

k hf x y h x y

k kh hk hf x y h x y

khk hf x y

20) (0)2

0 0

(0) (0) (0)20 0 0 04 3 3

0.144467 2 2 2

, ( ) 0.172274

khh x y

k hf x h y k h x h y k

Vậy (0) (0) (0) (0)1 2 3 4

1 02 2

1.1445096

k k k ky y


/ ( )sin; x [0.5,1]

(0.5) 2

xy y e y

y

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.55), y(0.6) .

BÀI TẬP

Bài1:

Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến. Cho 410

/ 2) ; (0) 1a y x y y trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 2b y xy y trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 12

yc y x y trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) 2 3 ; (0) 1.5d y xy y trên đoạn [0;1], với bước h = 0,125.

2/ 2

) ; (0) 11

x ye y y

xy

trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,125.

/ 2 31) 3 ; (0) 2

2f y x x y y trên đoạn [0;1], với bước h = 0,125.

Bài2.

47

Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-kutta .

/ 2) ; (0) 1a y x y y trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 2b y xy y trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25.

/2

) ; (0) 11

yc y y

x


/ 2) 1 3 ; (0) 2d y xy y trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25.

2/) ; (0) 1

1 2

x ye y y

xy


48

MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ

Đề số 1

Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu)

Câu 1

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 2 bước lặp

2 2 10 10

10 2 10

2 20 5 2 20

3 20 5 20

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Đánh giá sai số khi nhận giá trị xấp xỉ nghiệm ở lẩn ở lần lặp thứ hai.

Câu 2 Cho bảng số liệu

x 0 1 3

y 0 5.5 42.3

Từ bảng số liệu trên, bằng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm có dạng:

( 1) ln( 1)xy a e b x

Câu 3 Cho tích phân

2

1

ln( 2)xI e dx

a) Tính gần đúng I bằng phương pháp Simpson 1/3. Biết chia đoạn [1, 2] thành 10

đoạn có chiều dài bằng nhau . Không đánh giá sai số .

b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia đoạn [1,2] thành ít nhất mấy đoạn có chiều dài bằng nhau để sai số khi tính gần đúng I không quá 10-3.

Câu 4

Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ

' sin( 2 ) ; x [0,1]

(0) 1

y x x y

y

a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3. b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không đánh giá sai số .

.……………………………………………………………………………….

49

Đề số 2

Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu)

Câu 1

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 2 bước lặp

10 2 10

2 20 5 4 20

2 2 10 10

3 20 3 20

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Đánh giá sai số khi nhận giá trị xấp xỉ nghiệm ở lẩn ở lần lặp thứ hai.

Câu 2 Cho bảng số liệu

x 0 1 3

y -1 2.1 12.2

Từ bảng số liệu trên, bằng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm có dạng:

2( 1) ln( 1)y a x b x

Câu 3 Cho tích phân

2

1

ln(1 )xI e dx

a) Tính gần đúng I bằng phương pháp Simpson 1/3. Biết chia đoạn [1, 2] thành 10

đoạn có chiều dài bằng nhau . Không đánh giá sai số .

b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia đoạn [1,2] thành ít nhất mấy đoạn có chiều dài bằng nhau để sai số khi tính gần đúng I không quá 10-3.

Câu 4

Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ ' cos( 2 ) ; x [0,1]

(0) 1

y x x y

y

a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3. b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không đánh giá sai số . .……………………………………………………………………………….

ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/trananhdung/phuongphaptinh.pdf · 1 chƯƠng 1 sỐ xẤp xỈ...

Documents