伊敷 吾郎（大阪大学）

Fiber Bundles and Matrix Models

共同研究者

arXiv: 0802.2782 [hep-th]

石井貴昭氏 ( 大阪大学 ) 　　・　島崎信二氏 ( 大阪大学 ) 　　・　土屋麻人氏 ( 大阪大学 )

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JHEP 0705(2007)014 [hep-th/0703021]

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IIB matrix model [Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya]

BFSS Matrix model [Banks-Fischler-Shenker-Susskind]

Matrix string theory [Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde]

行列模型による曲がった時空の記述についての知見を得たい。

[Hanada-Kawai-Kimura]

■ Matrix model as nonperturbative definition of superstring theory

■ AdS/CFT correspondence

Motivation

今回の話の特別な場合　⇒ 　 R×S3 上の　 N=4 SYM 理論の行列正則化　（島崎氏の講演参照）

曲った時空がどのように行列によって実現されるのか？

Our results

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P 上の YM M 上の YM-higgs

(1) 主ファイバー束 P 上の YM の dimensional reduction （ファイバー G , 低空間 M ） 　

(2) Extended matrix T-duality 　 ( G=U(1) or SU(2) or SU(2)k×U(1)l)

YM on P = YM-higgs on M のある真空周りの理論で orbifolding を課したもの

例 )

S7 上の YM S4 上の YM-higgs(1)

(2)

S7 = SU(2) bundle on S4

(3) CPn 上の U(1) monopole 背景中の YM-higgs は、行列模型 のある真空周りの理　　論の可換極限で得られることを示した。 (monopoles on fuzzy CPn [Dolan et al.])　　　　　 我々は連続極限での、　 CPn 上の理論の作用とモノポール配位を具体的に導いた。(4) : (2)+(3) より、ある行列模型の適切な真空周りの理論おいて orbifolding を課すと、

　　　 S2n+1 （ =U(1) on CPn ）上の YM-higgs と等価であることが言える。 (Fuzzy space での monopole の構成＋ extended matrix T-duality)

(5) IIB + Myers 型の作用の連続極限　⇒　 YM + Chern-Simons like term

G 方向の reduction

特に、 (2) で G ＝ U(1) の場合は Buscher の T-duality として解釈できる。

Plan of Talk

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3. Extended matrix T-duality

4-2. Fuzzy CPn, U(1) monopoles on Fuzzy CPn

1. Introduction & Motivation

4-4. IIB+ Myers term

2. Dimensional reduction of YM on P (= G on M)

4. Total space = SU(n+1) 　 ( =SU(n) on S2n+1 = SU(n)×U(1) on CPn )

4-1. Dimensional reductions to S2n+1, CPn and matrix model

4-3. YM –higgs on S2n+1 from matrix model

5. Summary & outlook

Dimensional reduction of YM on P

5

Local metric on P

Local connection 1-form of PHorizontal

Vertical

Dimensional reduction

YM-higgs theory on M

[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya]

Ex) P=S3 (U(1) on S2) 　 ⇒　　　　： Dirac monopole の配位　

YM on P (G bundle on M)

Extended matrix T-duality for U(1) bundle

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真空： U(1) モノポール

次の特別な真空を考える。

この真空の周りで、揺らぎに Orbifolding 条件を課す。

background + fluctuation

M 上のあるモノポール真空周りの U(N×∞) YM-higgs にorbifolding を課したものは、 P 上の U(N) YM と等価である。

[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya] [cf. Taylor]

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ファイバーが U( １ ) の場合、 Orbifolding 条件を課したある monopole 真空まわりの M 上の YM-higgs は、 P 上の YM と等価である。

ファイバーが SU(2) ＝ S3 の場合にも拡張できる。

各パッチの上で、 P 上のゲージ場を定義

一般に、ファイバーが SU(2)k×U(1)l の場合にも拡張できる。

場の揺らぎに Orbifolding 条件を課すU(N×∞) 行列の中にたくさんの N×N 行列

対角方向に同一視

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Total space = SU(n+1)

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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1

ファイバー SU(n) の reduction

全ての方向を reductionKilling vector

直行する vector

Horizontal

Vertical ( SU(n) 方向 )

fABC : structure constant 　 of SU(n+1)

[Kitazawa]

YM-higgs on CPn

YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn

ファイバー U(1) 方向 reduction

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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1

YM-higgs on CPn

Extended matrix T-duality for U(1)

For n=2 case,extended matrix T-duality for SU(2)

Fuzzy CPn の可換極限（任意のモノポール真空も実現できる）

YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn

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Extended matrix T-duality for U(1)

For n=2 case,extended matrix T-duality for SU(2)

Fuzzy CPn の可換極限（任意のモノポール真空も実現できる） 組み合わせると

行列模型からYM-higgs on S2n+1

が実現される。

YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1

YM-higgs on CPn

YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn

Fuzzy CPn

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真空

表現の SU(n+1) generator

可換極限は

[Dolan-Huet-Murray-O’Connor]Dim ×Dim 行列の基底

関数の基底 (CPn の球面調和関数 )

[Grosse-Steinacker, Barachandran et al, Kitazawa]

YM-higgs on CPn

次の表現の真空を選ぶ

New result !

U(1) monopoles on Fuzzy CPn

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可換極限において、上の真空周りの行列模型は、下の U(1) モノポール真空周りのCP ｎ上の YM-higgs 理論に帰着する。

＝

任意の CP ｎ上のモノポール真空が実現できる。⇒ 適切な真空で orbifolding 条件をかせば、 S2n+1 上の YM-higgs が実現できる。　

New result

[Grosse et al, Dolan et al]

IIB + Myers 項 型作用の連続極限

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(YM-higgs on CPn )

+

S2n+1 を実現する表現＋ orbifolding 条件

(YM-higgs on S2n+1)Chern-Simons like term

ex.) n =1 の場合 , IIB+Myers → YM on S3 + Chern Simons on S3

表現　（ Fuzzy CPn ）

Summary

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１．ファイバーが U(1), SU(2) の場合の extended matrix T-duality

２． Fuzzy CPn の可換極限での作用の形を導いた （ U(1) モノポールも実現）

３．この二つを組み合わせて、全空間が SU(n+1) のときに、　

YM-higgs on CPn

YM-higgs on S2n+1

YM on SU(n+1)

Matrix model

Matrix T-duality for U(1) bundle

Fuzzy CPn の可換極限（任意の U(1) モノポール　真空を再現できる。）

Dim.Red.

YM-higgs on S2n+1 が行列模型で表わされる。

For n=2, Matrix T-duality for SU(2) bundle ( 島崎氏の講演参照 )

４． IIB+Myers 型の作用の可換極限で得られる CPn, S2n+1 上の理論の　　作用の形も導いた。　

Future works

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◆ U(n) モノポールの Fuzzy CPn 上での実現

◆ Matrix T-duality の U(n) bundle への拡張

◆ SU(n+1) 上の YM の行列模型における実現

◆ AdS/CFT 対応の検証　 (n=1 の場合 ) 　　　　

[Grosse-Steinacker, Dolan-Huet-Murray-O’Connor]

PWMM → R×S3 上の N=4 SYM 理論　　（島崎氏の講演参照）

◆ 弦理論における Non-abelian T-duality との関係

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群多様体上の YM 場 Maurer-Cartan 方程式

: right invariant 1-form

群多様体上の Killing vector

群多様体上の pure YM 理論

YM theory on group manifold

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上の pure YM 理論

上の YM-higgs 理論

上の YM-higgs 理論

Matrix model

SU(n) 方向の reduction

U(1) 方向の reduction

全て reduction

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上の pure YM 理論

上の YM-higgs 理論

上の YM-higgs 理論 ( 任意の monopole bg.)

Matrix model

Matrix T-duality (U(1) を構成 )

Fuzzy CPn の可換極限

のとき、

[J,0, ,0]‥ 表現を並べた真空

[Grosse, Kitazawa]