Ficha de Trabalho Nº 2 - 11º Ano – 2005 – 2006 ESAS Página 1 de 11

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO MATEMÁTICA 11º ANO

FICHA DE TRABALHO Nº 2 (Trigonometria)

ESCOLHA MÚLTIPLA 1. De um ângulo α sabe-se que ( )sen π α− é positivo e que cosα é negativo. Então α

pertence a: A 1º quadrante B 2º quadrante C 3º quadrante D 4º quadrante

2. O valor da expressão 5(5 )2

sen x cos xππ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

é:

A - 2 B 0 C 1 D 2

3. O valor da expressão 3 102

cos sen tgππ π− + é:

A - 2 B 0 C 1 D 2

4. Das seguintes afirmações

I- 74º Q :2

senα α∃ ∈ =

II- 2º Q : . 0sen cosα α α∀ ∈ < , podemos dizer que: A I e II são ambas verdadeiras B I e II são ambas falsas C I é falsa e II é verdadeira D I é verdadeira e II é falsa

5. O valor da expressão: 2 (900º ) 2 (180º ) 3 (540º )cos sen tg− + é: A 2 B 0 C 1 D -2

6. Qual das seguintes equações tem uma única solução em ] [0,π ?

A 0cos x = B 0tg x = C 1sen x = − D 1cos x =

7. Se 32

cos x = − e [ [0,x π∈ o valor de (3 )4

sen x tg ππ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

é:

A) 12

B) 12

−

C) 32

− D) 32

8. Os valores de k para os quais a condição 23

kcosβ −= é possível são:

A 22,

5k ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

B [ ]5,1k∈ − C [ ]1,5k∈ −

D 2 ,23

k ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

9. Os valores de m que verificam simultaneamente as condições: sen mθ = e 1cos mθ = − são:

A { }0,1 B { }0 C { }0, 1− D { }1

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10. O valor exacto de 7 2 4cos6 3 3

sen tgπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

é:

A 1 3 3

2− +

B 3 C

1 32+ D 3

3

11. A expressão geral das raízes da equação 12

cos x = − é:

A 2 2 ,3

x k kπ π= ± + ∈Z B 2 ,3

x k kπ π= + ∈Z

C 2 ,3

x k kπ π= ± + ∈Z D 2 ,3

x k kπ π= − + ∈Z

12. O valor da expressão (3 ) (5 )sen x cos xπ π− − − , sendo 34

tg x = e 3º Q∈ , é:

A 1

5 B 7

5 C

15

− D 75

−

13. Os valores de [ ]0, 2x π∈ tais que 2 1 0sen x + = são:

A 5 ,

6 6x π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ B 5 7,

6 6x π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ C

7 11,6 6

x π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭

D 4 5,3 3

x π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭

14. No triângulo [ ]ABC , 10AB cm= , 20AC cm= e α amplitude do ângulo BAC

A área do triângulo [ ]ABC em função de α é:

A 100A senα=

B 100A cosα=

C 5 20A senα= + D 20A senα= 15. Dos quatro ângulos seguintes um deles tem 1 radiano de amplitude. Qual poderá ser?

A x

B x

C x

D x

16. Na figura abaixo, está representado um triângulo rectângulo [ ]ABC , cuja a hipotenusa mede

2 m . Qual das expressões dá a área, (em m 2 ) do triângulo [ ]ABC , em função da amplitude α , do ângulo ABC A 2sin cosα α B 2sin tanα α C 4sin cosα α D 4sin tanα α

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17. Na figura estão representados, em referencial o. n. xOy: • um quarto de círculo com centro na origem e raio 1 • uma semi-recta paralela a Oy, com origem no ponto

( )0,1 • um ponto A pertencente a esta semi recta • um ângulo de amplitude α , cujo lado origem é o

semieixo positivo Ox, e cujo lado extremidade é a

semi recta OA•

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de α ?

A 2απ tg

+ B α

πtg

2+

C 24απ tg

+ D α

πtg

24+

2001 2C 1F

18. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ ]ABCD , cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [ ]AB . Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [ ]PD divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema?

A 1002

302

=xsen B 100

2302

=xtg

C 1504

1030=

× xsen D 1504

1030=

× xtg 2003 2F

19. A área da parte colorida da figura, com duas casas decimais, é: A 2100,30cm B 298,03cm C 2100,25cm D 2105,90cm

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20. Na figura estão representados o círculo trigonométrico e um rectângulo [ ]ABCD .

O lado [ ]CD está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ ]ABCD é igual a: A 2sin cosx x B 2sin tanx x C 2sin x D 2 tan x 21. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da recta r.

Seja ( )αd

a distância de P a r, após uma rotação de amplitude α . Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α ? A ( ) αα cos1+=d B ( ) αα send += 2 C ( ) αα cos1−=d D ( ) αα send −= 2

2002 2F

22. Sendo 3,2

α π π⎤ ⎡∈⎥ ⎢⎦ ⎣, só uma das seguintes expressões é falsa. Qual?

A cos 0

senαα> B 2 0cos tgα α⋅ >

C cos 0senα α+ > D cos 0senα α× > 23. Seja g uma função definida por ( )g x tg x= . Qual dos seguintes conjuntos poderá ser o domínio de g ?

A ,3 3π π⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

B 3,4 4π π⎤ ⎡

⎥ ⎢⎦ ⎣

C ] [0, π D ] [, 2π π

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24. Na figura está representada uma circunferência de centro em O e raio 1. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da circunferência. Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo AOP. Seja f a função que, a cada valor de [ ]0,x π∈ , faz

corresponder o produto escalar OA OP⋅ . Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f ? A a

B a

C a

D a

25. Na figura está representada, em referencial o. n. xOy, uma recta r paralela ao eixo Oy. Considere que um ponto P se desloca ao longo de toda a recta r. Sejam:

• x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semi-recta

O P•

; • f a função que dá, para cada x, a distância de P à origem do referencial

Dos gráficos seguintes apenas um pode ser o da função f. Qual? A a

B a

C a

D a

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26. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica. Qual dos valores poderá ser o período da função?

A 9π B 2

9π C

23π D 4

3π

27. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função

definida por: ( ) 1s n

s xe x

=

A a

B a

C a

D a

28. Qual é o limite da sucessão de termo geral 12

Un tgn

π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

?

A −∞ B +∞ C 0 D 1 29. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? A lim 0

xsen x

→+∞= B lim

xsen x

→+∞= +∞

C lim 1x

sen x→+∞

= D não existe limx

sen x→+∞

30. Qual das expressões seguintes define uma função injectiva, de domínio ℜ ? A cos x B 2x x− C 1x + D 3x

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31. Seja D o domínio de uma função g tal que ( ) 11

g xtg x

=−

.

Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa.

A 0 D∈ B 34

Dπ ∈ C Dπ ∈ D 54

Dπ ∈

32. A profundidade da água do mar, à entrada de um certo porto de abrigo, varia com a maré. Admita que, num certo dia, a profundidade é de 11 metros, na maré alta, e de 7 metros, na maré baixa.

Admita ainda que o tempo que decorre entre cada maré baixa e cada maré alta é de 6 horas, sendo igualmente de 6 horas o tempo que decorre entre cada maré alta e cada maré baixa.

Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função que dá a profundidade, em metros, da água do mar, à entrada desse porto, t horas após a maré baixa.

Qual é a expressão correcta?

A 9 2cos6

tπ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

B 9 2cos3

tπ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

C 11 4cos

12tπ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ D 9 2cos

6tπ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

33. Quantas são as soluções da equação 3 1sen x = que pertencem ao intervalo [ ]0, 2π ? A 5 B 10 C 15 D 20 34. Considere, em ℜ , a equação cos 4sen x x+ = . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A A equação é impossível B A equação tem exactamente uma solução C A equação tem exactamente duas soluções D A equação tem uma infinidade de soluções

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EXERCÍCIOS DE DESENVOLVIMENTO 1. Averigúe se existe algum ângulo, tal que:

1.1. 35

senα = e 45

cosα =

1.2. 32

cosα =

2. Determine o valor exacto das expressões:

2.1. 13 3 (5 )6

tg senπ π⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2.2. 13 5 103 6 3

tg sen cosπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.3. 5 25(6 )3 6

sen tg cosπ ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Simplifique as seguintes expressões:

3.1. 1 3 3(2 ) cos(3 ) ( )2 2 2

tg tg sen ππ θ π θ θ θ⎛ ⎞− + + − − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

3.2. ( )22 .2 2

sen cos sen cosπ πθ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Considere o ângulo 3º Qα ∈ tal que 5cos12

α = − . Calcule:

4.1. tgα

4.2. 2 ( )2

sen sen ππ α α⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Sabendo que 4(2 )5

sen xπ − = + e 32

xπ π< < , calcule:

5.1. (5 )tg xπ +

5.1. 32

sen xπ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Considere a expressão 2( )A x sen x cos x= − .

6.1. Sabendo que 2 23

sen x = e 2º Qx∈ , determine o valor de ( )A x

6.2. Calcule o valor de x tal que 1( )2

A x cos x+ =

7. Prove que, para x∀ ∈ℜ , 2 2( ) ( ) 2cos x sen x cos x sen x+ + − =

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8. Simplifique as expressões:

8.1. ( ). tg xcos x sen xsen x

−

8.2. 21. sentg cos

senαα α

α⎛ ⎞−

+⎜ ⎟⎝ ⎠

9. Determine os valores de k que satisfazem simultaneamente cada uma das condições:

9.1. 2 13

ksenα −= e ,

2πα π⎤ ⎡∈⎥ ⎢⎦ ⎣

9.2. 12

ksenα += e 1

2kcosα −

=

10. Determine, em ℜ , o conjunto-solução das seguintes equações trigonométricas: 10.1. (2 ) 1sen x =

10.2. 36 3

tg xπ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

10.3. 22 0sen x sen x− = 11. Resolva, em ℜ , as seguintes equações: 11.1. (2 1) 0sen x cos x + = 11.2. 22 3 1sen x sen x− = − 11.3. 2 0cos x cos x− = 11.4. 3 3 (2 ) 0tg x+ =

12. Resolva, em [ [0,2π , as equações trigonométricas.

12.1. 22 2sen x cos x= −

12.2. 314 3

tg tg xπ+ = +

13. Defina, em extensão, o seguinte conjunto:

, : 2 . 1 02 2

A x cos xπ π⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈ − − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

14. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo

( )dtcsenbaY ++= em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo em horas. Numa praia da costa Portuguesa, em determinado dia foram feitas várias medições que permitiram

chegar à função ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

223

tsenY

14.1. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboça o gráfico da função, durante o período de um dia.

14.2. Às oito horas da tarde, qual era o nível da água? 14.3. Em que momentos a água atingiu o nível 4 m ?

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15. Um painel publicitário é suportado por duas colunas A e B, distanciadas de 15 m, como mostra a figura.

O recorte superior do Painel foi feito recorrendo à função f definida por

( ) xx

senxf cos3

4 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= .

Admite que f (x) é a altura em metros, do ponto do recorte superior do painel situado x metros à direita da coluna A.

15.1. Mostra que a diferença da alturas do painel nos extremos, ligação com as colunas, é de aproximadamente, de 80 cm.

15.2. Determina a diferença entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo do painel. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Nota: Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

15.3Um ponto P situa-se na base do painel e dista da parte superior do mesmo 3,8 m é possível localizar o ponto P? Justifica. (recorre à calculadora para justificares a resposta, apresentando todos os elementos recolhidos, nomeadamente o gráfico ou gráficos, bem como as possíveis coordenadas do ponto P).

16. Quando, há muito tempo atrás o David esteve com uma virose benigna, a temperatura do seu corpo evoluiu, num certo dia, de acordo com a função

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 1

425,38 tsentF

π

com F em gruas Celcius e t em horas. Responde às perguntas com a temperatura aproximada às décimas e o tempo ao minuto. 16.1 O Guilherme foi visitá-lo às 15h 30m. Qual era a temperatura do David? 16.2 Qual foi a temperatura máxima que ele teve nesse dia? 16.3 A febre do David repete-se com um certo período. Qual é esse período? 16.4 Usando a calculadora diz quantas vezes nesse dia, a febre foi de 40 graus e indica dois

desses momentos. Explica muito claramente como respondeste a esta questão.

f(x)

Férias na Neve

15 m

x

B A

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SOLUÇÕES Escolha Múltipla 1 - B 2 - B 3 - B 4 - C 5 - D 6 - A 7 - C 8 - C

9 - A 10 - B 11 - A 12 - D 13 - C 14 - A 15 - C 16 - A

17 - C 18 - B 19 - A 20 - A 21 - A 22 - C 23 - A 24 - A

25 - A 26 - D 27 - A 28 - A 29 - D 30 - D 31 - D 32 - A

33 - B 34 - A

Exercícios de desenvolvimento

1.1 existe 1.2 não existe 2.1 3

3 2.2 3 2.3

3 12+

3.1 2cosθ 3.2 1− 4.1 1195

4.2 2 119 5

12−

5.1 43

5.2 35

6.1 119

6.2 45 90 ,x k k= + ∈

8.1 1 ( 0 cos 0)tg x sen x x− ≠ ∧ ≠ 8.2 cos xsen xsen x

+ 9.1 1 , 22

k ⎤ ⎡∈⎥ ⎢⎦ ⎣ 9.2 1k = ±

10.1 ,4

x k kπ π= + ∈ℜ 10.2 ,3

x k kπ π= + ∈ℜ 10.3 52 2 ,

6 6x k x k x k kππ π π= ∨ = + ∨ = + ∈ℜ

11.1 2 2 ,3

x k x k kπ π π= ∨ = ± + ∈ℜ 11.2 52 2 ,

2 6 6x k x k x k kπ ππ π π= + ∨ = + ∨ = + ∈ℜ

11.3 2 2 ,2

x k x k kππ π= ∨ = + ∈ℜ 11.4 ,6 2

x k kπ π= + ∈ℜ 12.1

2π⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

12.2 7,

6 6π π⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

13. ,4 4π π⎧ ⎫−⎨ ⎬

⎩ ⎭ 14.1

14.2 1.5 14.3 1:05, 5:24, 13:6; 17:8 15.1 ( ) ( )15 0 0,8 80f f m cm− = = 15.2 3,8m 15.3 Sim. Em 1 21,01 e 10,76x x= =

16.1 37,4 16.2 40,5 16.3 8 horas 16.4 6 vezes. P. e. 3h 48’ e às 5’ 38’