fiche de rÉvision du bac le cours [série …...annales, corrigés et résultats du bac à...
TRANSCRIPT
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
1
Note liminaire
Programme selon les sections : - lois normales : toutes sections - lois uniformes : STI2D – STL – S – ES/L - lois exponentielles : STI2D, STL, S
Prérequis
Etude de fonctions – exponentielle – intégration – continuité – variable aléatoire – loi binomiale – espérance –
écart-type
Plan du cours
1. Lois à densité 2. Lois uniformes 3. Lois exponentielles 4. Lois normales
1. Lois à densité
Les lois à densité concernent l’étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux probabilités discrètes). Définition : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I ( ) est une densité de probabilité si : - f est continue sur I - f est positive sur I - l’aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unité d’aire).
f étant positive, la troisième condition peut se formuler :
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
2
Exemple :
sur
f est continue sur et pour tout
donc f est une densité de probabilité.
Définition : Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour tout intervalle , la probabilité de l’événement « » est égale à :
Remarques : - correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle J. - Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f.
- (on retrouve la probabilité de l’événement certain)
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
3
- (comme pour toute probabilité) Union d’événements incompatibles entre eux Soient des intervalles de I tels que les événements « » ( ) soient incompatibles entre eux (c’est-à-dire disjoints). On a alors :
Probabilités conditionnelles : Soient un intervalle et un intervalle tel que . On a alors :
Propriétés :
- si alors
- pour tout
- si J est un intervalle de I ou une réunion d’intervalles de I alors
Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité f sur est :
L’espérance correspond à la notion de moyenne.
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
4
2. Lois uniformes
Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle ( ) si sa densité de
probabilité est la fonction f définie sur par
- On a bien alors
-La loi uniforme correspond à une situation d’équiprobabilité.
Ex : est une loi uniforme sur .
Probabilité : La probabilité de l’événement « » (avec ) est alors :
Ex : sur .
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
5
Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est :
Ex : sur .
3. Lois exponentielles
Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ( réel strictement positif) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par :
- On a bien alors
- Ex : sur est une loi exponentielle.
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
6
Probabilité : La probabilité de l’événement « » (avec ) est :
La probabilité de l’événement « » (avec ) est :
Ex : sur
Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est :
Ex : sur
Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle, et t et h réels positifs, alors :
Cette propriété est appelée de durée de vie sans vieillissement. En effet, si X est interprétée comme la durée de vie d’un appareil, la probabilité que l’appareil fonctionne encore à l’instant t+h sachant qu’il fonctionne à l’instant t est la même que la probabilité qu’il fonctionne à l’instant h (si l’appareil fonctionne encore à l’instant t, tout se passe comme s’il n’avait pas vieilli jusqu’à cet instant).
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
7
4. Lois normales
Définition : On dit qu’un variable aléatoire Z est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son écart-type est égale à 1.
et Propriétés :
- Soit X est une variable aléatoire quelconque. Soit Z la variable aléatoire telle que :
Z est alors une variable aléatoire centrée réduite. Cette propriété permet de passer facilement d’une variable aléatoire quelconque à une variable aléatoire centrée réduite. - La loi de probabilité d’une variable aléatoire centrée réduite est une fonction paire (Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). On a donc pour tout réel a positif:
Loi normale centrée réduite :
La fonction f définie sur R par est une densité de probabilité. On l’appelle loi normale
centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :
Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Etant centrée réduite, elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1, et qu’elle est une fonction paire (avec les propriétés définies précédemment). Ex : (aire en rose sous la courbe)
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
8
Propriété : - Soit Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel
tel que : - On peut en déduire : Soit . Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel tel que : La calculatrice permet de trouver ce réel a en entrant en paramètres l’espérance, l’écart-type et la probabilité p.
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
9
Loi binomiale : Dans le cadre de probabilités discrètes, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale , on rappelle qu’on a :
Représentation graphique : Ex : En abscisse : k correspondant au nombre de succès En ordonnée : correspondant à la probabilité d’obtenir k succès
Si X suit la loi binomiale alors est centrée réduite.
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
10
Théorème de Moivre-Laplace : Soit p réel tel que . Soit une suite de variables aléatoires telle que chaque variable aléatoire soit la loi binomiale
. A chaque on associe telle que ( est centrée réduite).
Alors, pour tous réels a et tels que , on a :
Ce théorème permet de passer du cas discret au cas continu, il permet de montrer que la loi normale est une extension au cas continu de la loi binomiale.
Loi normale :
Soient réel et réel positif.La fonction f définie sur R par est une densité de
probabilité. On l’appelle loi normale centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :
Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Son espérance est est son écart-type est .
Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]
11
Exemples :
(en bleu) (en rouge) (en vert)
Propriétés :
- Si une variable aléatoire X suit une loi normale , alors la variable aléatoire suit la loi
normale centrée réduite. - On a :
(à près)
(à près)
(à près) Presque l’intégralité des valeurs possibles pour X se situent donc dans l’intervalle .