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FIEECS, UNI
Teoría Macroeconómica II
Modelo de Solow (II)
Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com
Agosto del 2017
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1 Modelo de Solow con cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del Estado Estacionario1.3 La dinámica de la transición
2 Anexos2.1 Anexo 12.2 Anexo 2
Índice
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Fuente: Acemoglu (2009).
La estructura básica del modelo
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Crecimiento balanceado
• Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasaconstante, mientras que el ratio capital/producto, la tasa deinterés, y los porcentajes de los factores de producción semantienen constantes.
La estructura básica del modelo
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Tipos de progreso tecnológico neutralPosibles funciones de producción, de acuerdo a “posición” delprogreso técnico, A(t):• Neutral en el sentido de Harrod
Y (t) = F(K (t),A(t)L(t))
• Neutral en el sentido de Solow
Y (t) = F(A(t)K (t),L(t))
• Neutral en el sentido de Hicks
Y (t) = A(t)F(K (t),L(t))
La estructura básica del modelo
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A: Hicks neutral, B: Solow neutral, C: Harrod neutral.Fuente: Acemoglu (2009).
La estructura básica del modelo
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Importante:Para que exista crecimiento balanceado se necesita que lafunción de producción sea neutral en el sentido de Harrod(Usawa’s Theorem).
La estructura básica del modelo
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Evolución en el tiempo de los factores de producción:
L(t) = nL(t)
A(t) = gA(t) (1)
Donde n y g son parámetros exógenos. Además, g > 0.Crecimiento exponencial
La estructura básica del modelo
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Ecuación fundamental en niveles:
K (t) = sF(K (t),A(t)L(t))− δK (t) (2)
“Normalizamos” las variables en términos “efectivos”.Definimos k(t):
k(t) ≡ K (t)A(t)L(t)
(3)
La estructura básica del modelo
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• Tasa de crecimiento del capital per cápita(
˙k(t)k(t)
):
∂k(t)∂t
≡ ˙k(t) =K (t)
A(t)L(t)K (t)K (t)
− K (t)A(t)L(t)
L(t)L(t)− K (t)
A(t)L(t)A(t)A(t)
˙k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− L(t)L(t)
− A(t)A(t)
˙k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− n − g
La estructura básica del modelo
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Además:y(t) ≡ Y (t)
A(t)L(t)
En forma intensiva:
1A(t)L(t)
×F(K (t),A(t)L(t)) = F(
K (t)A(t)L(t)
,1)≡ f (k(t))
Llamando y(t) ≡ Y (t)L(t) , entonces:
y(t) = A(t)y(t) (4)
y(t) = A(t)f (k(t))
La estructura básica del modelo
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˙k(t)k(t)
=sF(K (t),A(t)L(t))
K (t)− (δ + g + n)
˙k(t)k(t)
=sF(K (t),A(t)L(t))× 1
A(t)L(t)
K (t)× 1A(t)L(t)
− (δ + g + n)
˙k(t)k(t)
=sf (k(t))
k(t)− (δ + g + n) (5)
Donde:• sf (k(t)): inversión por unidad de trabajo efectivo.• (δ + g + n)k(t): inversión de reposición.• Restricción adicional es que δ + g + n > 0.
La estructura básica del modelo
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Proposición 1
Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnologíaneutral en el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa gy crecimiento poblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 semantienen, entonces existe una única senda de crecimientobalanceado, donde el ratio capital-trabajo efectivo es igual ak∗ ∈ (0,∞), dado por:
f (k∗)
k∗=δ + g + n
s(6)
Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.
Análisis del Estado Estacionario
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Definición 1Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicialde tecnología, el nivel de estado estacionario del ratiocapital-trabajo efectivo consistente con la senda balanceadak∗(A(0), s, δ,n) y el nivel de estado estacionario del productoper cápita y∗(A(0), s, δ,n, t), entonces:
∂k∗
∂A(0)= 0,
∂y∗
∂A(0)> 0,
∂k∗
∂s> 0,
∂y∗
∂s> 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂y∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n< 0;
∂y∗
∂n< 0 ∀ t .
Análisis del Estado Estacionario
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k
f (k)
k∗
sf (k(t))sf (k∗)
f (k(t))f (k∗)
(δ + n + g)k(t)
consumo
inversión
Análisis del Estado Estacionario
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Proposición 2
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional esasintóticamente estable, por lo que si se empieza de cualquierk(0) > 0, el ratio de capital trabajo efectivo converge a k∗
(k(t)→ k∗).
La dinámica de la transición
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k
f (k)
k∗viejo k∗
nuevo
sviejof (k(t))
snuevof (k(t))
(δ + n + g)k(t)
Dinámica comparativa
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k(t)
˙k(t)k(t)
k∗viejo k∗
nuevo
sviejo f (k(t))
k(t)− (δ + g + n)
snuevo f (k(t))k(t)
− (δ + g + n)
Dinámica comparativa
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Fuente: Romer (2006).
Dinámica comparativa
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Fuente: Romer (2006).
Dinámica comparativa
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1 Modelo de Solow con cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del Estado Estacionario1.3 La dinámica de la transición
2 Anexos2.1 Anexo 12.2 Anexo 2
Índice
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Evolución en el tiempo de los factores de producción:
L(t) = nL(t) (7)
A(t) = gA(t) (8)
Donde n y g son parámetros exógenos. Además, una variablecon “punto” indica la derivada de esa variable respecto altiempo:
X (t) =∂X (t)∂t
(9)
Anexo 1 Crecimiento exponencial
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Tasa de crecimiento de una variable:
X (t)X (t)
=∂lnX (t)∂t
=∂lnX (t)∂X (t)
∂X (t)∂t
(10)
Aplicando esto en las ecuaciones 7 y 8, se tiene:
lnL(t) = lnL(0) + nt (11)
lnA(t) = lnA(0) + gt (12)
Anexo 1
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Aplicando operador exponencial a ambos lados de lasecuaciones 11 y 12:
L(t) = L(0)expnt (13)
A(t) = A(0)expgt (14)
Por tanto, L y A crecen exponencialmente a una tasa exógenade n y g, respectivamente.
Anexo 1
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Senda de crecimiento balanceada:Cuando k → k∗, ¿Qué sucede con las otras variables deinterés?• K = AL× k , si llegamos a k = k∗, entonces K
K = n + g.
• Y = F(K ,AL) = AL× f (k∗,1), luego YY = n + g.
• k = A× k∗, entonces kk = g.
• y = A× y∗, por lo que yy = g.
1 Todas las variables de interés del modelo crecen a unatasa constante.
2 En Estado Estacionario, la tasa de crecimiento de laproducción per cápita depende sólo de la tasa decrecimiento tecnológico (progreso técnico).
Anexo 2 Senda de crecimiento balanceada
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