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COMUNICA INFORMACIÓN POR MEDIO DE EXPRESIONES

Construcción de estrategias para expresar el resultado de la potencia de cualquier binomio

Figura 1. Hueco

Reconocer el triángulo de Pascal como herramienta en la solución de potencias de binomiosAplicar un proceso para determinar por simple inspección el desarrollo de potencias de binomios

Objetivos de aprendizajeConstrucción de estrategias para expresar el resultado de la potencia de cualquier binomio

La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a.c .

Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029) y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio.

Triángulo aritmético chino.

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Como vimos en la introducción, en este material aprenderemos sobre una de las estrategias para solucionar la potencia de un binomio de la forma, (a ± b)n cuya herramienta será el triángulo de Pascal. Hasta ahora has visto cómo se solucionan binomios de la forma (a + b)2 y (a + b)3

(a+b)0 =1 por propiedad de la potencia de cero

Actividad 1 Estrategias para la construcción del triángulo de Pascal

En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.

En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes.- Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: “Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM” (del latín: “Triángulo aritmético de Pascal”), que se convirtió en el nombre occidental moderno.

(a+b)1= 1a +1b (a+b)2 = 1a2+2ab+1b2

(a+b)3= 1a3 +3a2b+3ab2+1b3

Si extraemos los coeficientes de cada binomio tenemos,

11 1

1 2 11 3 3 1

Como puedes observar se va formando un triángulo con los coeficientes de los binomios.

Ahora, teniendo en cuenta sólo el triángulo que se formó con los coeficientes, responde las siguientes preguntas:

• ¿El vértice de este triángulo tiene como número? _________________

• ¿El lado derecho y el lado izquierdo del triángulo tienen como número? _________________________

3

• ¿Qué relación tiene el número 2 con los dos números que están sobre el?

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• ¿De dónde resulta el primer 3 de la fila 4, y el segundo 3 de la misma fila?

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• Si seguimos resolviendo indefinidamente, binomios elevados a diferentes potencias, qué pasará con el triángulo

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• Si pasamos una línea por la mitad, de arriba hacia abajo, en el triángulo, ¿cómo son los números que quedarían al lado izquierdo con respecto a los que quedarían al lado derecho?

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•Con lo visto hasta ahora define con tus palabras, qué es el triángulo de Pascal

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Partiendo de los elementos anteriores podemos definir que:

Ahora veamos paso a paso como se va construyendo el triángulo (ten en cuenta las respuestas que diste anteriormente y la retroalimentación del docente) y veamos cómo es su aplicación en un caso particular.

Triángulo aritmético chino.

El triángulo que lleva mi nombre es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo, de manera simétrica, que expresan coeficientes binomiales.Una de sus aplicaciones es la solución de potencias de binomios de la forma:

(a±b)n

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Lee la siguiente situación y después observa cómo se aplica el triángulo de Pascal a la misma:

Tu padre tiene una oficina de forma cuadrada, la cual tiene un baño, un salón para los muebles de oficina, una cocineta y un espacio para los archivadores. El área para el archivador y la cocineta es igual y tienen una forma rectangular. Y el espacio para los muebles y el baño tiene forma cuadrada, tal y como lo muestra la siguiente imagen:

Ahora resuelve los ejercicios:

Ejercicio 1

Si las respuestas dadas a los interrogantes antes presentados, constituyen algunas de las características del triángulo de pascal, arma dicho triángulo en los siguientes tres pasos:

a) Si la siguiente figura representa el triángulo de Pascal, escribe el número que corresponde al vértice superior del triángulo y responde:

Figura 3. Oficina

Figura 4. Triángulo de Pascal 1

BañoArchivadores

MueblesdeOficina Co

cine

ta

a

a

b

b

Para calcular el área de la oficina podemos multiplicar las medidas de los lados de esta, es decir: (a + b)•(a + b), lo que es igual a:(a+b)2= a2+2ab+b2. Esta última expresión tiene como coeficientes 1, 2, 1. Para entender cómo se relaciona esto con el triángulo de pascal, observa los siguien-tes pasos donde se construye el triángulo de Pascal y compara estos coeficientes con el arreglo numérico hecho en la tercera fila del triángulo.

¿De dónde sale ese número?

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b) Llena los dos lados extremos del triángulo y responde:

c) Ahora completa todo el triángulo e indica de dónde salen los diversos números al interior de este. Puedes usar para el desarrollo los de diferentes binomios a las potencias que requieras.

Para tener una mayor claridad sobre las construcción del tríangulo, consulta el siguiente link.http://algebra-pga111.blogspot.com/2012/10/triangulo-de-pascal.html




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Ya conoces el triángulo de Pascal. Puedes basarte en la siguiente gráfica, alusiva a este, y al desarrollo de potencias de binomios, para contestar las siguientes preguntas:

Nota: así como se tomaron a y b para ejemplificar el desarrollo de los binomios, también se pudo usar cualquier variable, por ejemplo pudieron ser: (t + q)2

Ejercicio 1

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tienen en común los coeficientes que resultan de las potencias de los binomios, con el triángulo de Pascal?b) ¿Qué comportamiento tuvo el exponente del primer término del binomio, a lo largo de cada una de las soluciones del binomio?c) ¿En qué término de las diferentes soluciones del binomio, no aparece a? y ¿Por qué pasará esto?d) ¿Cuál es el comportamiento del exponente del segundo término del binomio, a lo largo de cada una de las soluciones?e) ¿Cómo es el exponente del primer y el último término, en cada una de las soluciones del binomio? Y ¿cómo es dicho exponente con respecto a la potencia del binomio?f) ¿En qué termino de las diferentes soluciones del binomio, no aparece b? y ¿Por qué pasará esto?g) ¿Qué tienen en común las potencias de cada binomio y la suma de los exponentes de cada término en cada una de las soluciones de los respectivos binomios? h) ¿Qué relación encuentras entre el exponente del binomio y la cantidad de términos de la solución de dicho binomio?i) ¿Qué diferencia encuentras en los signos de la solución de cada binomio, cuando los términos del binomio están separados por el signo MENOS o por el signo MAS?

Actividad 2Solución de potencias de un binomio a partir del triángulo de Pascal.

Figura 7. El triángulo de Pascal y las potencias

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1 111

1 111

1

610 105 5

4 43 3

2

(a+b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3+5ab4+b5

(a-b)4 = a4 - 4a3b +6a2b2 -4ab3+b4

(a-b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 -b3

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)1 = a+b (a+b)0 = 1

potencia a la 5

potencia a la 4

potencia a la 3potencia a la 2

potencia a la 1

potencia a la 0

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Realiza aquí los cálculos que requieras

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Ejercicio 2.

Ahora resuelve el siguiente ejercicio teniendo en cuenta las repuestas de las preguntas anteriores :

Figura 8. Cultivo

(X+Y)2

(X+Y)2

Si se desea cultivar un terreno cuadrado de lado (x+y)2 , escribe la expresion algebraica que representa el area de dicho terreno como la solución de un binomio. Para la solución aplica lo aprendido con el triángulo de Pascal.


Área: _____________________

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Ejercicio 3.

Con base en lo aprendido en el ejercicio anterior resuelve los siguientes binomios:

a) (a+b)6 =

b) (p - r)7 =

c) (k + m)8=


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Ejercicio 4.

Coloca el valor o signo desconocido en los cuadrados para que se cumpla lo aprendido hasta ahora.a) (2x+3y)2 = (2x) + (2x)(3y) (3y) aplicamos triángulo de pascal. = 4x2 + xy + 9y2 realizando las potencias.

b) (3a-4b)3 = (3a) (3a) (4b)+ (3a)(4b) - (4b) 27a3 – a2b 144ab2- b3

Para institucionalizar los conceptos hasta ahora vistos, podemos concluir que:

1. Para la solución de la potencia de un binomio, a través del triángulo de Pascal, debemos ver cada una de las filas del triángulo como los coeficientes de las soluciones de los binomios elevados a diferentes potencias enteras positivas.

2. En el desarrollo de una potencia de la forma (a + b)n :

• La cantidad de términos en el desarrollo será igual al grado del binomio más uno.

• Los exponentes de a van decreciendo desde n hasta cero, y los de b van creciendo, desde cero hasta n:

1

1

1

1 12

1331

11 4 46

Coeficientes potencia de 0





1 . (2x2)4-4(2x2)3 . 1 +6(2x2)2 . 1 -4(2x2)1 . 1 + 1 . 1x1 x2 x3 x4

(2x2- 1 )4 =x

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

n= n+1 términos

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

a2,a1,a0

b0 ,b1 ,b2

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3. En el desarrollo de una potencia de la forma (a - b)n :El desarrollo es el mismo al del signo positivo, pero en la solución, se alternan los signos de los términos, iniciando con el primer término positivo, el segundo término negativo, el tercero positivo y así sucesivamente se van intercalando. Ejemplos: (+,-,+,-,+,- ………….).

• La suma de los exponentes de cada términos es siempre igual a n:

Halla el área de las figuras a y b, y calcula el volumen de la figura c, aplica el triángulo de Pascal.

Actividad 3Aplicación del triángulo de Pascal en la geometría

Figura 9. Cuadrado 1

Figura 10.Cuadarado 2

Figura 10.Cuadarado 2

3a+2b2

2x+y

(a-b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b41)

(a2-2b)3 = (a2)3 - 3(a2)2·(2b) + 3(a2)·(2b)2 - (2b)3 = a6 - 6a4b + 12a2b2 - 8b32)

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

nn

n1 + 1

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Realiza aquí tus cálculos y coloca tus respuestas

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Una de las formas de solucionar la potencia de un binomio es a través del triángulo de Pascal, llamado así en honor Blaise Pascal.

Los números de cada fila del triángulo son los coeficientes de los términos de la solución de la potencia de cada binomio.

La cantidad de términos en el desarrollo de la potencia de un binomio será igual al grado del binomio más uno. Figura 12. Triángulo de Pascal

1

2

3

4 45

3

11

11

11

11

+

+

+ + +

+

En la solución de la potencia de un binomio, los exponentes del primer y el segundo término del binomio presentan el siguiente comportamiento: En (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, el exponente de a y b:

En la solución de la potencia de un binomio, la suma de los exponentes de cada término siempre es igual a n.

a2,a1,a0 b0 ,b1 ,b2

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Realiza los siguientes problemas aplicando el triángulo de Pascal.

Q1. Se desea cubrir el área de una plancha de forma cuadrada con una carpa plástica.Si un lado de la plancha tiene como medida 4x+3z ¿Cuál es el área de la carpa?

Q2. La siguiente gráfica presenta un complejo acuático con las medidas que se presentan, halle el área total de las piscinas.

Q3.Una caja de madera tiene como medida en uno de sus lados 4X+3.Se necesita saber ¿Cuál es el volumen de la caja?

Figura 13. Complejo acuático


2x+y

4x+2y

4x+2y

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Lista de figurasFigura 1. Triángulos

Figura 2. Triángulo simétrico

Figura 3. Oficina

Figura 4. Triángulo de pascal 1

Figura 5. Triángulo de pascal 2


Figura 7. El triángulo de Pascal y las potencias

Figura 8. Cultivo



Figura 11. Cubo

Figura 12. Triángulo de Pascal


Figura 14. Caja de madera

figura 1. hueco objetivos de...

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