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2015학년도 대비 전공수학 합격전략 가이드 목차

◈ 교원임용고시 중등임용 제도적 설명 ·························································································· 1

I. 개요 ·············································································································································· 1

II. 출제 ··········································································································································· 3

III. 채점 ·········································································································································· 4

IV. 출제인력 ·································································································································· 4

◈ 한국사능력검정시험(3급) 안내 ····································································································· 5

◈ 중등 가산점 및 대학성적 반영 변경안내 ·················································································· 6

◈ 교육학논술이란? ···························································································································· 7

◈ 2015학년도 전공수학 기출분석과 공부방법론 ········································································· 9

◈ 2009~2014학년도 지역별 경쟁률 및 합격선 ········································································ 13

◈ 이행래 2014학년도 기출문제 해설 ·························································································· 14

◈ 정현민 2014학년도 기출문제 해설 ·························································································· 32

◈ 임재영 수학교육론 과년도 기출문제 해설 ·············································································· 41

2015대비 전공수학 교원임용 합격가이드 박문각 임용고시학원

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교원임용고사 시험 제도

Ⅰ. 개요

출제방향

• 합리적인 방법과 절차를 통하여 수준 높은 양질의 문항을 출제

• 교사로서의 전문적인 능력을 측정하는 평가

• 공정하고 객관적이며 신뢰성이 있는 중등교사 임용 전형자료를 제공

근거법령

• 교육공무원법 및 교육공무원임용령(개정 2012.12.11.)

• 교육공무원임용 후보자 선정 경쟁시험규칙(개정 2012.12.28.)

시험관리기관

• 시·도교육청 : 시행공고, 원서 교부 · 접수, 문답지 운송, 시험 실시, 합격자 발표

• 한국교육과정평가원 : 1차 시험 출제, 2차 시험 출제, 채점, 3차 시험 출제

시험 과목, 시험 시간, 문항 유형

• 1차 시험

교시 1교시 : 교육학 2교시 : 전공 A 3교시 : 전공 B

출제 분야 교육학 교과교육학(25~35%) 교과내용학(65~75%)

시험 시간 60분 90분 90분

문항 유형 논술형 기입형 서술형 서술형 논술형

문항수(배점) 1문항(2점)

15문항(30점)

4~6문항(20점)

2~3문항(10점)

2문항(20점)

문항당 배점 20점 2점 3~5점 3~5점 10점교시별

문항수(배점) 1문항 (20점) 19~21문항 (50점) 4~5문항 (30점)

• 2차 시험

시험 과목 시험 시간 문항 유형

교직적성 심층면접,교수·학습 지도안 작성,수업능력 평가(수업실연,

실기·실험)

시·도교육청 결정 전년도와 동일

※ 비교수교과(보건, 사서, 전문상담, 영양)은 교수·학습 지도안 작성, 수업능력 평가 제외


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중등교사 임용시험 문항 유형별 안내

중등교사임용시험은 기입형, 서술형, 논술형이 혼합해서 출제됩니다. 그럼 이러한 유형들이 구체적으로 어떠한

지를 알려 드리겠습니다.

▶기입형

기입형은 전공 학문에 대한 지식이나 이해의 수준, 적용 능력 등을 측정하는 문항 형식입니다. 기입형은 문항

에서 요구하는 답을 핵심어나 핵심 어구 등으로 작성하는 경우나 계산 문항 등에서 사용 할 수 있습니다. 중

등교사 임용시험에서는 완성형과 단답형을 기입형 문항으로 출제합니다. 완성형이란 질문을 위한 문장의 처

음, 중간 또는 끝에 여백을 두어 응답을 유도하는 문항형식이며, 단답형이란 질문에 대해 짧은 단어, 구, 절

혹은 수, 기호 등 제한된 형태로 답하는 형식입니다.

▶서술형

서술형은 문제 인식, 추리, 예상, 결론 도출, 인과관계, 상관관계, 문제해결 과정 등의 사고 능력을 측정하며

문장 형태의 답안을 요구하는 문항 형식입니다. 서술형은 기입형 문항보다 심층적이거나 상세한 내용을 물을

때 사용할 수 있습니다. 중등교사 임용시험에서는 상기의 사고 과정을 바탕으로 한 응답 결과를 1~3문장 정

도로 기술하는 문항을 서술형으로 출제합니다.

▶논술형

논술형은 논리적 기술 능력, 분석 능력, 비판 능력, 문제해결 능력, 창의력 등 고차적이고, 종합적인 사고 능

력을 측정하는 문항 형식입니다. 논술형은 답안을 논리적이고 설득력 있게 조직 작성해야 할 때 사용 할 수

있습니다. 중등교사 임용시험에서는 상기의 사고 과정을 바탕으로 한 응답 결과를 주어진 답안 분량 내에서

기술하는 문항을 논술형으로 출제합니다.

<논술형 답안 작성 분량>

구분 문항수 1문항 당 답안 작성 분량 전체 답안 분량

교육학 논술 1 2쪽 이내 2쪽 이내

전공 논술 2 1/2쪽 이내 1쪽 이내


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Ⅱ. 출제

1차 시험

교시 시험과목 출제 범위 및 내용

1교시 교육학교육학개론, 교육철학 및 교육사, 교육과정, 교육평가, 교육방법 및 교육공학,

교육심리, 교육사회, 교육행정 및 교육경영, 생활지도 및 상담※ 특수(중등), 보건, 사서, 전문상담, 영양도 동일 적용

2교시 전공 A

교육과학기술부 고시 제2012-27호(2012.11.21)의 [별표3] ‘교사자격종별 및 표시과목별 기본이수과목(또는 분야)’에 제시된 과목

- 교과교육학(25~35%) : 표시과목의 교과교육학(론)과 임용시험 공고일 현재 교육부에 의해 고시되어 있는 총론 및 교과 교육과정까지를 출제범위로 함.

- 교과내용학(75~65%) : 표시과목의 교과교육학(론)을 제외한 과목※ 특수(중등)도 동일 적용

※ 비교수교과(보건, 사서, 전문상담, 영양)는 교과내용학에서 100% 출제※ 영어 과목 : 영어듣기 평가 문항 포함

※ 중등 외국어 과목은 해당 외국어로 출제

3교시 전공 B

2차 시험

시험과목 출제 범위 및 내용 문항수

교직적성 심층면접 교사로서의 적성, 교직관, 인격 및 소양 4문항

교수·학습 지도안 작성 교수·학습 지도안 작성 1문항

수업실연 수업실연 1문항

출제위원 자격 및 선정• 대학 전임 교수(정년트랙) 이상, 정부출연연구기관 및 국립연구기관의 연구원 또는 교수, 석사학위 소지자 로서 중등학교 교원 경력 만 5년 이상 교사• 인력풀 응모 : 교육과정평가원 홈페이지에서 ‘출제 인력 공모란’ 참조• 인력풀 등을 활용하여 후보자의 일정, 전공, 경력, 재직학교, 출신교 등을 고려하여 ‘출제위원선정 심사 위원회’ 심의를 거쳐 출제위원으로 선정함.

출제 원칙• 중등학교(특수학교 포함) 교사에게 필요한 전문 지식과 자질을 종합적으로 평가하는 문항을 출제함• 교육 현장에서 실제로 필요한 지식과 기능, 소양을 평가하는 문항을 출제함.• 지식, 이해, 적용, 분석, 종합, 평가, 문제해결, 창의, 비판, 논리적 기술 등을 종합적으로 평가하는 다양한 문항 유형을 출제함• 중등학교 교사 양성기관 교육과정을 충실히 이수한 자면 무난히 풀 수 있는 문항을 출제함.• 출제 범위는 교육과학기술부 고시 제2012-27호(2012.11.21)의 [별표3]‘교사자격종별 및 표시과목별 기 본이수과목(또는 분야)’에 제시된 과목, 임용시험 공고일 현재 교육부에 의해 고시되어 있는 총론 및 교 과 교육과정, 교육학의 전범위로 한다.• 평가의 목표 및 내용이 특정 영역이나 학설(또는 이론)에 치우치지 않고, 해당 분야 전반에 걸쳐 고르게 출제함.• 특히, 공동관리위원회가 발표한「표시과목별 교사 자격 기준과 평가 영역 및 평가 내용요소」를 반영하여 출제함.


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Ⅲ. 채점 (2014학년도 기준)

채점 방법• 공정하고 객관적이며 정확한 채점 업무 수행을 위한 채점시스템 운영 * 채점위원 워크샵, 가채점 운영, 채점기준의 수정·보완, 3인의 채점위원 별도 채점 등

채점 절차

채점위원 워크숍

⇩

가채점(3차)

⇩

채점기준의 수정·보완

⇩

채점위원 3인의 독립 채점

모범답안 및 채점기준 비공개• “공공기관의 정보공개에 관한법률” 제9조 제1항 제5호의 규정과 “중등교사 신규임용 전형공동 관리 위원회”가 한국교육과정평가원에 위탁한 사항에 따라 중등교사 임용시험 문항의 ‘모범답안’과 ‘채점 기준’은 비공개 원칙 준수

IV. 출제인력

【인력풀 활용】▪후보자의 일정, 전공, 경력, 재직학교, 출신교 등 출제위원 선정에 필요한 사항을 종합적으로 고려하여 매년

중등교사임용시험의 전공과목 출제위원 선정

【대상 및 자격】▪대학 전임 교수(정년트랙) 이상, 정부출연연구기관 및 국립연구기관의 연구원 또는 교수, 석사학위 소지자로

서 중등학교 교원 경력 만 5년 이상 교사

【신청 방식】▪소속기관에서 후보자를 추천▪후보자 본인이 직접 신청


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교원임용시험 응시 조건에‘한국사능력검정시험 인증(3급이상)’취득 필수

2013년 9월 1일 이후 시행하는 시험부터 적용.

한국사능력검정시험 인증 취득 유효기간

- 시험 시행 예정일부터 역산하여 5년이 되는 해의 1월 1일 이후에 실시된 인증서

(예시) ’14년도 11월 시험 경우 : 2009년 1월1일 이후 취득 자격

2014년도 한국사능력검정시험 일정 안내

제 22회 2014년 1월 25일 (토) 제 23회 2014년 5월 24일 (토)

제 24회 2014년 8월 9일 (토) 제 25회 2014년 10월 25일 (토)

자세한 것은「국사편찬위원회 홈페이지 참조(http://www.historyexam.go.kr)」

한국사능력검정시험 어떻게 대비할 것인가?

한국사능력검정시험 대비 강의 및 교재는 우리 주변에 많이 있습니다. 수험생 본인에게 맞는 방법을 선택해서

대략적으로 한국사능력검정시험 시험일 1달 전에 집중적으로 공부한다면, 무난하게 합격을 할 것입니다.

▶역사는 반복됩니다! 문제도 반복됩니다!

기출문제 분석이 필요합니다. (수업시간에 문제를 분석하고, 시대별 기출 문제 풀이를 과제로 제시하여, 수험생

이 기출문제를 통해서 복습할 수 있도록 하였습니다.)

▶비교준거를 파악해야 합니다!

수업시간에 수험생이 혼자 할 수 없는 시기별 사건 비교, 인물 비교, 사상 비교, 정책 비교, 용어 비교를 합니

다.

▶연도 외우기 NO! 시기구분만 OK!

모든 역사의 수 많은 연도를 외우는 것은 힘이 들고, 불가능합니다. 수업에서는 스토리텔링기법을 활용하여,

역사의 인과관계를 활용하여 흐름을 파악할 수 있도록 하였습니다.

▶주제사 가운데 문화사의 비중이 높아지고 있습니다!

사료의 화인을 통해서 경제,정치,사회 변화와 연관지어 통합적으로 학습할 수 있도록 하였습니다.

▶시기 가운데 근현대사 비중이 높습니다!

수험생들이 가장 어려워 하는 근현대사 부분을 강의 마지막 주 집중학습을 통해서 시험효과의 극대화를 높였

습니다.

«한국사능력검정시험 홈페이지 (http://www.historyexam.go.kr/)

시험일정 및 원서접수 그리고 지금까지 치러진 한국사능력검정시험에 대한 기출문제를 확인할 수 있습니다.


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중등 가산점 및 대학성적 반영 전면폐지

지역사범계대학 및 복수·부전공 교원자격증 가산점 부여 적용시한이 2013년에 공고되는 임용시험까지로,

2014년에 공고되는 임용시험부터 해당 가산점 및 대학성적(또는 제1차 시험성적) 반영이 적용되지 않는다. 이

는 17개 시·도 공통적으로 변경되는 사항으로 이제는 개인의 시험성적으로만 합격여부가 가려지게 되었다.

단, 취업지원대상자에 대한 가산점은 그대로 유지된다.

지역사범계대학 가산점 및 복수·부전공 교원자격증 가산점 폐지

부여 대상 및 내용가산점

2014학년도 2015학년도

지역사범계대학 가산점

1~4점(지역별상이)

폐지복수·부전공 교원자격증

가산점

교원자격종별이 같은 복수전공 교원자격증 소지

교원자격종별이 같은 부전공 교원자격증 소지자로서 주전공

표시과목 응시자

대학성적 또는 제1차 시험 성적 반영 폐지

반영대상자 2014학년도 2015학년도

1) 지역사범계대학 가산점부여 대상자

대학성적을 제1차 시험 배점의 20% 이내에서 별도 반영

폐지2) 위 1)항 이외의 자

제1차 시험 성적의 석차를 산출하고 석차백분율에 해당하는 등급의 점수를 제1차

시험 배점의 20% 이내에서 별도 반영


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박 교사: 선생님께서는 교직 생활을 오래 하셨으니 학교의 일상적인 업무뿐만 아니라 가르치는 일에서도 큰 어려움이 없으시죠? 저는

새내기 교사라 그런지 아직 수업이 힘들고 학교 일도 낯섭니다.

최 교사: 저도 처음에는 선생님과 마찬가지로 교직 생활이 힘들었지요. 특히 수업 시간에 반응을 잘 보이지 않으면서 목석처럼 앉아

있는 학생이 있을 때는 어떻게 해야 할지 모르겠더군요.

박 교사: 네, 맞아요. 어떤 학급에서는 제가 열심히 수업을 해도, 또 학생들에게 질문을 던져도 몇몇은 그냥 고개를 숙인 채 조용히

있습니다. 심지어 어떤 학생은 수업 시간에 아예 침묵으로 일관하기도 하고, 저와 눈도 마주치지 않으려고 해요. 또한 가정

환경이 좋지 않은 몇몇 학생은 다양한 문화적 경험을 가질 기회가 상대적으로 부족해서 그런지 수업에 관심도 적고 적극

적으로 참여하지도 않는 것 같아요.

최 교사: 선생님의 고충은 충분히 공감해요. 그렇다고 해서 수업 시간에 학생들을 그대로 방치해서는 안됩니다. 교육적으로 바람직하

지 않아요.

박 교사: 그럼 수업에 소극적인 학생들을 적극적으로 참여시킬 수 있는 동기 유발 방안을 고민해 보아야 겠네요. 이를테면 수업방법

차원에서 학생들끼리 서로 도와 가며 학습하는 형태로 수업을 진행하면 어떨까요?

최 교사: 그거 좋은 생각이네요. 다만 학생들끼리 함께 학습을 하도록 할 때는 무엇보다 서로 도와주고 의존하도록 하는 구조가 중요

하다는 점을 유의해야겠지요. 그러한 구조가 없는 경우에는 수업 활동에 열심히 참여하지 않는 학생들이 많아진다는 문제가

발생할 수 있어요.

박 교사: 아, 그렇군요. 그런데 선생님, 요즘 저는 수업방법뿐만 아니라 평가에서도 고민거리가 있어요. 저는 학기 중에 수시로 학업성

취 결과를 점수로 학생들에게 알려 주고 있는데요. 이렇게 했을 때 성적이 좋은 몇몇 학생들을 제외하고는 나머지 학생들은

자신의 성적을 보고 실망하는 것 같아요.

최 교사: 글쎄요, 평가결과를 선생님처럼 그렇게 제시할 수도 있겠죠. 하지만 학습 동기를 유발하기 위해서는 평가를 어떻게 활용하느

냐가 중요해요.

박 교사: 그렇군요. 그런데 제가 보기에는 학생들의 수업 참여 정도가 교사의 지도성에 따라서도 다른 것 같아요.

최 교사: 그렇죠. 교사의 지도성 행동에 따라 달라질 수 있죠. 그래서 교사는 지도자로서 학급과 학생의 상황을 고려하여 학생들의 학

습동기를 불러일으킬 수 있는 지도성을 발휘해야겠지요.

박 교사: 선생님과 대화를 하다 보니 교사로서 더 고민하고 노력해야겠다는 생각이 듭니다.

최 교사: 그래요, 선생님은 열정이 많으니 잘하실 거예요.

교육학논술이란?

1. 교육학논술의 개념

기존의 교육학 객관식시험은 단순히 이론을 이해하고 용어를 암기하여 문제에서 주어진 조건에 맞는 답을 찾아내는 것 이

었다면, 교육학논술은 통합적으로 교육학 이론들을 실제 교직생활에 적용, 활용하는 능력을 평가하는 시험으로 종합적 이

해력, 문제해결능력을 평가의 중요한 요소로 여기는 시험입니다.

2. 교육학논술 기출문제 (2014학년도 중등 교원임용시험)

다음은 A 중학교 초임 교사인 박 교사와 경력 교사인 최 교사의 대화 내용이다. 다음 대화문을 바탕으로 학생들이 수업에

서 소극적으로 행동하는 문제를 2가지 관점(① 잠재적 교육과정, ②문화실조)에서 진단하고, 수업에 소극적인 학생들의 학

습 동기를 유발하기 위한 방안을 3가지 측면(① 협동학습 실행, ② 형성평가 활용, ③ 교사지도성 행동)에서 각각 2가지씩

만 논하시오. [20점]

. 답안의 논리적 구성 및 표현 [총 5점]

. 논술의 내용 [ 총 15점]

- 잠재적 교육과정 관점에서의 진단 [3점]

- 문화실조 관점에서의 진단 [3점]

- 협동학습 실행 측면, 형성평가 활용 측면, 교사지도성 행동 측면에서의 동기 유발 방안 논의 [9점]

▶교육학논술 문항을 분석해보면, 대화문과 자료 등의 분석을 토대로 주어진 논제에 맞게 한 편의 글을 완성하는 형식으로

출제가 되며, 60분 시험에 1문항이 출제되는데, 1문항에는 3가지의 문제를 통합적으로 묻는 문제가 나오고 있습니다.


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교육학논술 합격가이드

1) 직강으로는 선택을 할 수 없다면, 인강을 활용하라.

학원에 직접 와서 여러 교육학논술 교수님들의 강의를 한번씩 들어보면 좋겠지만, 안타깝게도 교육학논술 직강은 같은 시

간대에 시작하고, 직강은 청강을 할 수 없습니다. 그럼 어떻게 해야 할까요?

바로, 각 교육학논술 교수님들이 직강에서 촬영한 인터넷 강의를 활용하면 됩니다. 12월에 진행된 합격전략설명회 및 1-2

월 기본개념강의의 샘플강의를 들어보시는 것이 가장 효과적입니다. 이 방법은 이미 진행된 교육학논술 직강 강의를 선택

할 때 수험생들이 많이 이용하는 방법 중에 가장 큰 비중을 차지하고 있습니다.

2) 교육학논술의 교재 편성을 확인해 본다.

교재를 통해서 강의를 선택할 수 있습니다. 교재는 강의의 재료이기 때문에, 수험생 본인에게 맞는 교재가 있다면, 일단

50%는 그 강의를 수강해도 효과적일 것입니다.

3) 교육학논술 기본개념정리는 5-6월 이전에 끝내라!!

개인이 처한 상황에 따라 다르겠지만, 일반적으로 교육학논술의 기본개념정리는 5-6월 이전에 끝내는 것이 좋습니다. 그

이유는 전공의 비중이 교육학논술의 비중보다 훨씬 높기 때문에 후반부에는 전공공부에 집중을 해야 하기 때문입니다.

일반적으로 교육학논술 기본개념정리 학원 강의는 1-2월 또는 3-4월에 끝납니다. 따라서 1-2월 또는 3-4월 강의를 수강한

후에 배운 내용을 반복적으로 학습하는 공부법이 필요합니다.

4) 중간 중간마다 진행되는 교육학논술 전국모의고사를 응시하라!!

교육학논술 전국모의고사가 후반부에 집중되겠지만, 초반부에도 전국모의고사가 진행됩니다. 전국모의고사는 무료로 진행

되는 경우가 많습니다. 직강으로 직접 참여해보면 좋고, 만약에 직강으로 참여가 불가능하다면, 인터넷 강의를 통해서 풀어

보는 연습을 해야 합니다. 인터넷 강의를 이용할 때, 실제 시험시간에 맞춰서 문제를 풀어보고 해설 강의를 들어보는 것이

중요합니다. 중간 중간마다 진행되는 모의고사를 풀어보는 이유는 이론을 수십번 본다고 해서 시험을 잘 보는 것은 아니기

때문입니다. 문제는 시험형태로 출제되기 때문에, 지금까지 수험생 자신이 얼마만큼 기본개념을 잘 익히고 있는가를 테스

트해 볼 수 있고, 교육학의 내용이 어떻게 문제화되는지를 파악할 수 있으며, 무엇보다도 가장 중요한 것은 자신이 잘 못

쓰거나, 이해를 못하는 영역이 있다면, 다시 기본서로 돌아가서 확인도 하고 복습을 할 수 있는 기회로 삼을 수 있어서 좋

습니다.


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2014학년도 전공수학 임용시험 문제분석(교과내용학)

과목 출제내용 비고

해석

이중적분

수렴구간

도함수의 연속

함수열 적분의 극한

컴팩트에서 연속이면 최댓값존재

대체적으로 평이한 문제.

대수순환군의 성질

Galois 군의 위수Galois 관련 내용도 선택이 아닌 필수

위상

점에서 연속

적공간에서의 폐포,내부, 경계

콤팩트 예제 찾기

이론을 증명하는 것 보다는 구체적인 예제분석이 중요하다.

복소 복소적분 (residue) 과목의 핵심이라 할 수 있는 복소적분 문제

미기곡률과 열률

측지곡률빠른 판단과 정확한 계산 요구

선대 직교대각화의 응용 잘 공부하지 않던 영역에서 문제가 출제됨. (새로운 유형)

정수오일러정리

르장드르

겉으로 보기엔 대수 문제였으나 본질은 정수문제. (새로운

유형)

이산 생성함수 생성함수도 선택이 아닌 필수.

확통이항분포의 정규근사

결합확률밀도함수의 조건부기댓값대체적으로 평이한 문제.

1. 실질적인 난이도가 크게 높지 않았지만 새로운 유형(선대, 대수+정수론)출제됨.

2. 예전(02~08)에 중요하게 생각하지 않았던 부분(Galois, 생성함수)에서 문제가 출제됨.

3. 시간이 부족했고 풀 수 있는 문제더라도 최적의 답안을 작성하기 힘들다.

4. 예전과 마찬가지로 해석학 문제가 가장 많이 출제되었다.

5. 05에서 06으로 넘어가는 시기에 문제 수가 줄어든 것처럼 내년 시험 문항수 줄어들 가능성이 있다.


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2014학년도 임용시험 문제분석(수학교육론)

임재영 수학교육론 강사 제공

* 현실주의 교육관 ⇒ 인간은 완벽하지 않고, 오류가능하다.

⇒ 교수-학습에서 어떻게 보완할 것인가?

⇒ 현재 학교 수학교육에서 고려할 만한 가치가 있는 것.

* 오랜 수학의 역사를 통하여 수학의 기초에 대한 논쟁은

ㆍ연역적 접근 : BC 2000년경 이집트, 바빌로니아인들의 경험적이고 실용적인 수학

⇒ 체계적인 연역적 증명으로의 그리스 수학

⇒ 18세까지 수학은 절대적인 진리로써 논리적으로 완벽한 것으로 간주

ㆍ직관적 접근 : 17세기 경험주의 철학의 영향

⇒ Rousseau의 영향을 받은 Pestalozzi에 의해 정립

⇒ Poincare, Fischbein, Brouwer, Freudenthal

직관이 수학 문제해결 과정에 긍정적인 영향을 끼치는 것이 사실이지만, 반대로 직관이 문제해결 과

정에서 오류를 일으키는 원인이 되기도 한다.

ㆍ문제해결로서의 종합법과 분석법

ㆍVygotsky는 효과적인 학습을 위해서 ‘근접발달영역’내에서의 사회적 상호작용이 중요하며, 적절한

도움(비계 scaffolding)을 받으면 모든 학생들은 스스로 할 수 있는(자기 주도학습) 것 이상을 할

수 있다.

ㆍBrousseau의 교수학적 상황에서 경계해야 할 극단적인 교수 현상

(메타-인지 이동, 형식적 고착, 토파즈식 외면치레, 조르단식 외면치레)

ㆍ정수 계산에서의 셈돌, 수직선 모델, 귀납적 외삽법

ㆍ역사 발생적 원리,


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전공수학의 효과적인 공부법.

해석, 대수는 주요정리의 증명도 중요하고, 위상수학은 예제분석을 중심으로 나머지 과목은 정리의 증명보다

문제풀이를 중점적으로 공부하기.

(1) 정확한 이해를 동반하여 공부하기. (정의, 정리는 정확히 암기할 것!)

이해가 바탕이 되지 않는 공부는 장기기억이 되지 않고 응용력도 생기지 않는다. 한 가지 주제를 깊게 사

고하는 능력이 중요하다. 한 문제를 오랫동안 생각하면 다른 공부시간을 빼앗긴다고 생각하지만 이러한 공부

방법이 결과적으로 시간을 가장 단축시키는 공부방법이다. 글로 적거나 말로 표현하거나 둘 중 하나가 되지

않는다면 그 다음 과정으로 넘어가도 공부를 했다고 할 수 없다.

(2) 복잡한 계산 문제일수록 꼼꼼하게 풀이를 작성하는 방법을 연습하자.

실수를 줄이고 정확한 계산을 하려면 이러한 연습이 반드시 필요하다.

(3) 꾸준히 서술형 답안 작성연습을 해보고 스터디를 통해서 다른 사람에게 검증받기.

이해는 정확하게 했으나 답안을 작성하는 과정에서 틀린 풀이를 적는 경우가 많이 있다.

(4) 기출에 나온 유형은 반드시 익힐 것.

정말 중요한 내용은 한정적이므로 비슷한 유형이 나올 수 밖에 없다.

(5) 기본에 충실할 것.

수험생들 중 종종 기본이 갖춰져 있지 않은 상태에서 어려운 문제만 풀어보려는 경향이 있다.


- 12 -

전공수학의 연간 학습계획.

ㆍ1~2월 :

⑴ 전공의 기초적인 개념을 학습하는 시기이다. 이 시기에는 해당 과목의 기본적인 개념과 용어, 필수예제 등을

학습하는 것을 목적으로 삼는 것이 좋다.

⑵ 교과 교육론은 교육과정/ 수리철학/ 수학학습 심리학/ 문제해결 등 수학교육론의 기본적인 언어와 개념을 학

습하고 정리하는 시간을 갖는 것이 좋다.

⑶ 기출문제는 책에서 제시된 문제 정도로만 보는 것이 좋다.

ㆍ3~4월 :

⑴ 전공의 심화 개념을 학습하는 시기이다. 이 시기에는 해당 과목의 기본적인 개념과 용어, 필수예제 등을 학습

하는 것은 물론 심화내용까지 학습하는 것이 좋으며 30~60분 정도가 요구되는 문제를 해결하는 연습도 함께

하면 좋다.

⑵ 교과 교육론은 교육과정/ 수리철학/ 수학학습 심리학/ 문제해결 등 수학교육론의 기본적인 언어와 개념을 기

초로 학교수학과 연계하여 학습하는 것이 좋다.

ㆍ5~8월 :

⑴ 본격적으로 임용시험에 관련된 문제와 예상 문제 등을 다루어 보는 것이 효과적이다. 특히, 기출문제 등을 풀

어보면서 기입형/ 서술형/ 논술형 등의 문제를 해결하기 위한 연습과 준비가 필요한 시기이다.


초로 학교수학과 연계하여 학습하는 것이 좋으며 기출문제 등과 최근 추세와 관련된 논문 등을 읽어보는 시간

을 갖는 것이 좋다.

ㆍ9~10월 :

⑴ 문제풀이를 중심으로 학습하는 것이 좋으며, 이 시기에 중요한 것 중 하나는 기본서를 “꼭” 공부해야 한다는

것이다.


초로 학교수학과 연계하여 학습하는 것이 좋다. 수학교육학 신론, 학교수학의 기초, 수학교육과정과 교재연구

등을 다시 읽어보고 복습하는 시기이다.

ㆍ11월 :

모의고사 등을 통하여 자신이 알고 있는 것을 간략하게 표현해야 할지, 구체적인 이유를 제시하는 방법, 논술

형 등을 연습하고 부족한 부분을 찾아 수정하는 학습이 필요하며, 이 시기에는 가능한 학원의 도움을 받는 것

이 좋다고 생각합니다.


- 13 -

2009~2014학년도 전공수학 경쟁률 및 합격선 안내

2009학 년 도 2010학 년 도 2011학 년 도

지 역 모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

2차합격선

최 종합격선

모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

2차합격선

최 종합격선

모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

2차합격선

최 종합격선

서 울 5 4 1 1 1 4 2 0 .6 3 9 0 .4 5 5 .3 3 2 4 8 .7 4 4 7 1 ,1 8 4 2 5 .2 0 8 6 .8 4 9 .3 2 4 1 .5 3 3 7 1 ,0 2 7 2 7 .7 6 9 1 .3 4 8 .0 0 2 4 6 .4 7 경 기 9 3 2 1 5 0 2 3 .1 2 9 2 .1 5 5 .3 4 2 5 1 .5 0 7 7 1 ,3 3 0 1 7 .2 8 8 1 .6 4 5 .3 2 3 3 .2 6 5 5 1 ,2 3 7 2 2 .5 0 8 7 .1 4 4 .3 3 2 3 6 .9 6 인 천 3 1 6 0 0 1 9 .3 5 9 0 .2 5 2 .0 0 2 3 8 .0 3 3 0 5 7 5 1 9 .1 7 8 4 .4 4 7 .3 2 3 6 .8 3 3 3 6 3 0 1 9 .1 0 8 9 .2 4 0 .0 0 2 3 2 .7 4 대 전 2 3 4 0 2 1 7 .4 8 8 8 .6 5 3 .3 4 2 3 8 .5 4 2 7 5 1 9 1 9 .2 3 8 6 .6 5 1 .3 2 3 7 .3 3 2 5 3 8 8 1 5 .5 2 8 6 .2 4 3 .6 7 2 3 5 .3 7 대 구 2 3 3 4 7 1 5 .0 9 8 8 .8 5 8 .9 9 2 4 9 .5 1 1 8 2 8 5 1 5 .8 4 8 3 .2 4 7 .3 2 4 1 .2 0 1 7 3 2 6 1 9 .1 8 9 0 .1 4 5 .6 7 2 3 8 .9 8 울 산 1 9 5 5 1 2 9 9 0 .1 5 9 .3 4 2 5 6 .1 0 2 8 3 9 5 1 4 .1 1 7 7 .2 4 4 .6 2 2 8 .6 1 6 1 2 8 2 1 .3 4 7 6 .6 4 0 .0 0 2 1 7 .3 2 부 산 1 6 2 8 7 1 7 .9 4 8 9 .2 5 4 .0 0 2 5 8 .4 3 1 8 3 1 5 1 7 .5 0 8 5 .8 4 7 .6 2 3 5 .1 4 2 2 3 5 7 1 6 .2 3 8 4 .1 4 1 .3 3 2 3 1 .0 8 광 주 1 1 1 5 0 1 3 .6 4 9 2 .9 5 8 .6 7 2 6 1 .0 9 5 1 0 7 2 1 .4 0 8 6 .2 4 8 .0 2 3 9 .5 5 2 4 3 1 3 1 3 .0 5 8 7 .9 4 3 .0 0 2 3 1 .9 1 강 원 2 1 5 2 3 2 4 .9 0 8 5 .6 4 7 .6 7 1 1 3 0 4 2 7 .6 4 8 6 .6 4 4 .0 2 3 6 .5 9 3 0 4 1 0 1 3 .6 7 8 4 .2 4 1 .0 0 2 2 8 .8 3 충 남 9 2 1 5 2 3 .8 9 8 2 .2 4 8 .6 7 2 2 7 .4 1 2 4 4 1 1 1 7 .1 3 8 0 .6 4 3 .6 2 2 2 .6 0 2 0 3 3 4 1 6 .7 0 8 7 .1 4 0 .3 3 2 3 0 .4 6 충 북 2 8 6 4 7 2 3 .1 1 8 9 .6 5 8 .0 0 2 5 7 .2 7 1 5 2 5 1 1 6 .7 4 8 5 .1 5 1 .0 2 4 2 .1 3 2 3 2 9 6 1 2 .8 7 8 3 .2 4 9 .0 0 2 3 8 .9 4 전 남 1 8 4 1 7 2 3 .1 7 8 8 .3 5 0 .9 9 2 3 4 .6 9 8 1 7 0 2 1 .2 5 8 2 .4 5 0 .3 2 3 0 .5 1 1 9 2 6 6 1 4 .0 0 8 6 .1 4 4 .0 0 2 3 4 .3 4 전 북 2 0 4 3 3 2 1 .6 5 8 5 .6 5 2 .3 3 2 2 9 .6 3 1 9 5 2 5 2 7 .6 4 8 4 .2 4 6 .6 2 2 6 .0 0 1 7 3 4 0 2 0 .0 0 8 2 .6 4 1 .0 0 2 2 9 .7 6 경 남 1 6 4 4 7 2 7 .9 4 9 0 .5 5 5 .3 4 2 5 0 .4 0 2 9 5 4 4 1 8 .7 6 8 2 .6 4 4 .6 2 3 1 .7 4 4 3 9 1 1 2 1 .1 9 8 7 .7 4 2 .6 7 2 3 2 .6 5 경 북 1 1 2 3 7 2 1 .5 5 8 5 .1 5 1 .0 0 2 4 1 .4 0 2 6 5 8 5 2 2 .5 0 8 3 .6 4 9 .0 2 3 9 .7 3 2 1 3 4 7 1 6 .5 3 8 6 .5 4 2 .6 7 2 2 9 .0 7 제 주 1 0 9 9 9 .9 8 2 .9 5 2 .6 6 2 4 3 .6 9 1 2 1 9 1 1 5 .9 2 8 0 .4 4 5 .6 2 3 0 .4 6 3 4 5 1 5 .0 0 9 0 .9 5 4 .6 7 2 4 8 .3 4

계 4 0 3 8 ,6 1 9 2 0 .7 7 8 8 .2 6 5 3 .9 8 2 4 5 .7 6 3 9 4 7 ,6 9 1 1 9 .8 3 8 3 .5 8 4 7 .2 1 2 3 4 .5 8 3 9 5 7 ,3 5 5 1 7 .7 9 8 6 .3 4 3 .8 3 2 3 3 .9 5

2012학 년 도 2013학 년 도 2014학 년 도

지 역 모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

2차합격선

최 종합격선

모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

2차합격선

최 종합격선

모 집인 원

응 시인 원

실 제경쟁율

1차합격선

최 종합격선

서 울 4 5 8 4 2 1 8 .7 2 8 9 .7 0 5 1 .3 3 1 5 2 .5 7　 21 498 23.72 97.20 56.60 150.05 4 7 3 7 5 7 .9 8 7 9 .7 3 1 6 0 .8 0경 기 1 0 2 1 ,9 1 8 1 8 .8 1 9 0 .1 0 4 9 .3 3 　5 1 .5 0 145 1,532 10.57 86.20 50.00 152.11 1 6 2 1 ,4 0 6 8 .6 8 7 7 .8 7 1 5 5 .1 7인 천 1 4 2 2 9 1 6 .3 6 8 3 .4 0 4 7 .0 0 1 4 9 .4 4 48 614 12.80 87.90 48.67 148.01 2 6 2 5 8 9 .9 2 8 2 .0 6 1 6 1 .8 2대 전 2 7 3 3 1 1 2 .2 6 8 7 .7 0 5 1 .0 0 1 5 0 .4 1 21 293 13.96 88.70 49.33 153.76 1 9 1 6 0 7 .4 2 7 2 .8 7 1 4 9 .0 3대 구 2 3 2 8 6 1 2 .4 4 8 5 .7 0 4 8 .6 7 1 4 7 .7 5 14 228 16.29 91.70 59.33 155.37 3 3 2 3 7 7 .1 8 7 8 .8 7 1 5 7 .1 2울 산 　　　　　　 6 1 1 2 8 3 .2 6 1 6 2 .4 7부 산 2 0 4 3 9 2 1 .9 5 9 0 .1 0 4 5 .6 7 1 4 7 .2 2 17 359 21.12 91.10 49.67 145.69 2 1 2 3 3 1 1 .1 0 7 8 .8 7 1 5 7 .4 2광 주 3 0 3 7 0 1 2 .3 4 8 7 .9 0 4 7 .3 3 1 4 9 .6 3 13 211 16.24 90.40 50.67 146.79 1 7 1 2 0 7 .0 6 7 8 .4 3 1 5 8 .7 8강 원 2 2 2 2 3 1 0 .1 4 8 1 .2 0 4 2 .3 3 1 4 5 .5 8 32 400 12.50 86.70 47.67 146.20 1 9 1 4 2 7 .4 7 7 3 .5 4 1 5 4 .6 7충 남일 반 2 8 3 7 1 1 3 .2 5 8 7 .7 0 4 3 .0 0 1 4 3 .0 6 23 325 14.14 88.70 45.67 149.13 2 9 2 2 4 7 6 .2 0 1 5 3 .9 5충 남지 역 6 92 15.34 82.20 40.00 139.56 3 3 5 7 2 .8 7 1 5 0 .9 7

충 북 3 9 4 6 7 1 1 .9 8 8 4 .0 0 4 2 .3 3 1 4 2 .5 8 6 110 18.34 88.10 50.67 150.60 2 1 1 5 3 7 4 .4 7 1 5 0 .7 1전 남일 반 2 6 2 5 3 9 .7 4 7 9 .2 0 4 1 .0 0 1 3 8 .1 6 23 363 15.79 85.80 46.67 144.92 3 1 3 4 5 8 0 .5 4 1 5 7 .3 7전 남 도 서 1 28 28.00 1 1 1

전 북 1 0 2 0 3 2 0 .3 0 8 2 .6 0 4 1 .0 0 1 4 1 .7 7 11 257 23.37 94.60 53.67 150.42 2 2 1 5 8 7 .1 8 7 2 .5 3 1 5 1 .0 6경 남 4 7 7 5 2 1 6 .0 0 8 5 .7 0 4 4 .3 3 1 4 5 .5 5 35 628 17.95 91.60 53.67 151.60 2 4 2 6 8 1 1 .1 7 7 9 .2 0 1 5 7 .9경 북 3 5 4 1 9 1 1 .9 8 8 4 .2 0 4 5 .0 0 1 4 7 .8 8 35 541 15.46 88.20 51.00 149.55 3 6 2 9 9 7 7 .8 7 1 5 7 .3 5제 주 3 3 8 1 2 .6 7 8 6 .6 0 4 1 .6 7 1 6 2 .6 4 8 81 10.13 92.20 61.00 163.15 1 4 7 4 5 .2 9 7 7 .8 0 1 5 5 .7 7세 종 3 48 16.00 84.10 40.67 131.40 4 0 4 2 8 8 0 .8 7 1 5 6 .2 2

계 4 3 3 6 ,6 8 4 1 4 .9 5 8 5 .7 7 4 5 .7 2 1 3 8 .8 6 4 6 2 6 ,6 0 8 1 6 .7 6 8 9 .1 4 5 0 .2 9 1 4 8 .7 2 5 7 1 5 ,3 6 9 7 7 .9 1 5 6 .2 7

(충남/충북/세종/전남/울산 지역은 응시현황 미발표되어 지원현황으로 표기)


- 14 -

이행래 전공수학 2014학년도 기출문제 해설

제공 : 이행래 전공수학

- 이 행 래 -

기입형/서술형(전공 2교시)

기입형 【1~15】

1. 프로이덴탈(H.Freudenthal)의 수학화 교수⋅학습이론에 따르면, 아래의 2가지 사항은 현상으로부

터 본질에 이르는 접근이 아니라 학습자에게 본질에 부과하는 접근이다. 프로이덴탈은 이와 같은 교

수학적 접근 방식을 무엇이라 하였는지 쓰시오. [2점]

о 기성수학의 전개 순서에 따라 학교수학의 교재를 구성하는 것

о 수학화 과정에서 대한 경험은 생략하고 기성 지식을 초등화해 가르치는 것.

정답 및 해설 : 반교수학적 전도


- 15 -

2. 다음은 어떤 수학적 개념의 원형과 그 개념에 들어있는 아이디어를 다룬 교사 교육용 자료의 일부

이다.

● 이 개념의 원형은 다음과 같다.

[그림]과 같이 선분 와 반직선 에 대하여, 선분 위의 점 와 반직선 위의

점 가 각각 와 로부터 같은 속도로 동시에 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 하

자. 이때 점 의 속력은 의 거리에 비례하고, 점 의 속력은 일정하다고 하자.

[그림]

이때, 거리 를 거리 의 ( )(이)라고 하였다.

● 다음은 이 개념에 들어있는 아이디어를 활용한 계산의 한 예이다.

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

이 표를 활용하면, × 의 근삿값을 쉽게 얻을 수 있다.

⋯ (하략) ⋯

( )안에 들어갈 용어가 무엇인지 쓰시오. 그리고 수학을 완성된 생산품으로 제공하는 것

이 아니라 수학이 발생해 온 과정을 경험하게 하기 위해 수학적 개념의 원형이나 그 개념에 들어

있는 아이디어를 활용하는 교수⋅학습 원리가 무엇인지 쓰시오. [2점]

정답 및 해설 : ① 로그 ② 교수학적 상황론


- 16 -

3. 다음은 중학교 2학년 기하 영역의 평행사변형의 성질을 다루는 수업의 일부이다.

교사 : 측정 활동을 통해 알아낸 평행사변형의 성질 ‘두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.’가

왜 성립하는지 설명해보도록 하지요.

학생 : 어려워요.

(이 문제를 해결한 학생이 없는 듯 보인다.)

교사 : 시간이 없으니 어쩔 수 없네. 대각선을 그어 평행사변형을 두 삼각형으로 나누면, 드

두 삼각형이 합동이 돼요. 그러면 그 성질이 성립한다는 것을 바로 보일 수 있을 것입

니다.

학생 : 합동이 되니까 성립하네요.

교사 : 그러면 다음 내용을 공부합시다.

밑줄 친 부분에서 학생 스스로 학습할 환경을 교사가 제거하는 현상이 발생하고 있다. 여기서 이 교

수학적 현상은 ‘교사는 수학적 지식을 가르쳐야 하고 학생은 그것을 배워야 한다.’는 압박에 의해

발생한다고 할 수 있다. 브루소(G. Brousseau)의 수학 교수학적 상황론(Theory of Didactical

Situations in Mathematics)에서 이러한 현상을 설명할 수 있는 개념과 이러한 압박을 설명할 수 있

는 개념을 각각 쓰시오. [2점]

정답 및 해설 : 토파즈효과, 교수학적 계약


- 17 -

4. 다음은 중학교 1학년 기하 영역에서 모든 다각형의 외각의 크기의 합이 임을 알아내는 수업

상황이다.

(학생들은 삼각형의 외각의 크기의 합이 임을 알고 있지만, 아직은 각형의 외각의 크

기의 합을 구할 수 없는 상태이다.)

⋯ (상략) ⋯

교사 : (그림을 제시하며) 다각형의 각 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 얼마인가요?

학생 : 입니다.

교사 : 그러면 각형의 모든 내각과 외각의 크기의 합은 얼마인가요?

학생 : × 입니다.

교사 : 외각의 크기의 합은 어떻게 구할 수 있을까요?

학생 : 잘 모르겠어요.

교사 : 내각과 외각의 관계를 생각해보면 외각의 크기의 합을 구할 수 있지 않을까요? (다각

형에 외각과 내각을 표시하면서 외각과 내각의 관계를 떠올릴게 한다.)

학생 : 아! 알겠어요. 내각과 외각의 크기의 합에서 내각의 크기의 합을 빼면 될 것 같아요.

교사 : 내각의 크기의 합은 알고 있지요?

학생 : 네. × 입니다.

교사 : 그러면 외각의 크기의 합을 구하는 식을 나타낼 수 있을까요?

학생 : (외각의 크기의 합) × (내각의 크기의 합)

× × 입니다.

교사 : 잘했어요. 따라서 다각형에서 외각의 크기의 합은 언제나 로 일정함을 알 수 있

어요.

⋯ (하략) ⋯

위 상황에서 교사는 학생의 근접 발달 영역에서 교사의 사고 과정을 모방할 수 있는 시범이나 실

마리를 제공하고 있다. 이러한 교수⋅학습 상황에서 학생들이 과제를 수행해 나가는 데 있어서 도

움을 적절히 조절하며 제공하는 것을 비고츠키(L. Vygotsky)학파는 무엇이라 하는지 쓰시오.

[2점]

정답 및 해설 : 비계설정(Scaffolding)


- 18 -

5. 과 서로소인 양의 정수 에 대하여 의 마지막 두 자리 수가 이다. 의 마지막 두 자

리 수를 구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

6. 위수(order)가 × × 인 순환군(cyclic group) 에 대하여 의 부분군의 개수를 ,

에서 위수가 인 원소의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

7. 반복적분

sin 의 값을 구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

sin

cos

8. 거듭제곱급수(멱급수, power series)

∞

의 수렴구간을 구하시오. [2점]

정답 및 해설 : 수렴구간은 이다.

9. 양수 에 대하여 함수 → 를 다음과 같이 정의하자.

sin sin

≤

함수 의 도함수 ′ 이 에서 연속이기 위한 필요충분조건을 에 대한 부등식으로 나타내시

오. [2점]

정답 및 해설 :


- 19 -

10. lim→∞

의 값을 구하시오. [2점]

정답 및 해설 : lim→∞

11. 3차원 유클리드공간 에서 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion)과 곡률(curvature)이 각각 상수 ,

인 단위속력곡선 에 대하여 곡선 를 다음과 같이 정의하자.

여기서 는 곡선 의 주법벡터장(단위주법벡터장, principal normal vector field, unit principal

normal vector field)이다. 곡선 의 곡률과 비틀림률을 각각 라 할 때, 의 값을

구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

12. 3차원 유클리드공간 에 놓인 곡면

cos sin (≥ ≤ ≤ )

에 포함되는 영역 ≤ ≤ ≤ ≤ 가 있다. 의 경계(boundary) 의 측

지곡률을 라 할 때, 의 측지곡률합(전측지곡률, total geodesic curvature) 의 절댓값

을 구하시오. (단, 는 호의 길이를 나타내는 매개변수이다.) [2점]

о 도움말

정칙곡선(정규곡선, regular curve) ⋯ 들로 이루어진 조각별 정칙곡선(piecewise

regular curve) 의 측지곡률합은

로 정의한다.

정답 및 해설 :


- 20 -

13. 좌표평면 위에 곡선 ∈ 이 주어져 있다.

곡선 를 원점을 중심으로 시계방향으로 만큼 회전이동 했을 때, 초점이 축에 있는 쌍곡선이

되는 자연수 중에서 가장 작은 수를 구하시오. [2점]

정답 및 해설 : 최소의 자연수 이다.

14. 자연수 전체의 집합 에서 위상 를 ⊂ 는 유한집합 ∪∅ 으로,

함수 → 을

≤ ≤ ≤

으로 정의하자. 를 에서 이산위상(discrete topology)이라 하고, 집합 를

∈ → 는 에서 불연속

이라 할 때, 집합 의 원소의 개수를 구하시오. [2점]

정답 및 해설 : 집합 의 원소의 개수는 9개다.

15. 어느 도시의 성인 중 가 통신사를 이용한다고 한다. 이 도시의 성인 명을 임의로 조사

할 때, 통신사를 이용하는 성인이 명 이상 명 이하가 될 확률을 이항분포의 정규근사를 이

용하여 구하면 ≤ ≤ 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수

이고 연속성 보정은 하지 않는다.) [2점]

정답 및 해설 : 이다.


- 21 -

셈돌 모델 ●●+○○○=○

수직선 모델

-1 0 1 2 3 4 5

+5

+2 -3의 반대

귀납적 외삽법 ×

×

×

×

×

×

×

서술형 【1~6】

1. 다음은 정수의 사칙연산을 지도하기 위한 셈돌 모델, 수직선 모델, 귀납적 외삽법에 대한 예시이

다.

정수의 사칙연산을 지도할 때, 셈돌 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 수직선 모델의 장점을 각

각 쓰시오. 그리고 정수의 사칙연산을 지도할 때, 수직선 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 귀납

적 외삽법의 장점을 각각 쓰시오. [3점]

정답 및 해설 :

① 셈돌 모델에서 × (음수 곱하기 음수는 양수)임을 설명하는 방법이 곤란한데 수직선

모델에서는 방향성을 가지고 있으므로 × 임을 설명하는데 효과적일 수 있다.

② 수직선 모델의 약점은, 음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다는 것이다. 처음에는 음수를 표현하기

위한 음의 부호가 ‘왼쪽을 향한다’는 뜻이었는데 곱셈이나 나눗셈을 할 때에는 ‘반대 방향’의 의미를

갖게 된다. 그런데 귀납적 외삽법은 연산의 구조가 유지하면서 수 체계를 확장하는 것이 효과적이

다.


- 22 -

2. 위의 보통위상(usual topology)을 , 함수 → 를 이라 하고, 위의 위상

을 ∈ 라 하자. ∪ , 이라 할 때, 적공간(product space)

× 에서 × 의 폐포(closure) × 와 × 의 내부(interior) × 를 구하시

오. 이를 이용하여 × 에서 × 의 경계(boundary) × 를 구하는 과정을 쓰

시오. (단, 은 자연수 전체의 집합, 는 정수 전체의 집합, 는 실수 전체의 집합이다.) [3점]

정답 및 해설 : × × × , × × ∅ , × ×

3. 다항식환 에서 를 두 일차식의 곱 로 나타낼 수 없

음을 증명하시오. [4점]

정답 및 해설 :

이면 이므로 는 모두 단원이

다. 따라서 의 근이 에 존재한다. 이제 인 ∈ 가 존재한다고

가정하면 ≡ mod 의 해가 존재하고 가 모두 짝수이므로 인 ∈ 가 존

재한다. 즉, ≡ mod 이고 ≡ mod 이다.

⋅ 이므로 ≡ ⋅ mod 이다. 또, ⋅ 이고 르장드리 기호

⋅

이므로 ≡ ⋅ mod 의 정수해는 존재하지 않는다. 따라서 의 근이 존

재하지 않는다. 따라서 를 두 일차식의 곱 로 나타낼 수 없

다.


- 23 -

4. 연속함수 → 에 대해 집합 ∈ 의 상한(최소상계, supremum, least

upper bound) 이 존재한다. <정리 1>을 증명 없이 이용하여 을 만족하는 ∈

이 존재함을 증명하시오. [4점]

<정리 1>

유계인 실수열은 수렴하는 부분수열 갖는다.

정답 및 해설 :

⑴ 우선 가 유계가 아니라고 가정하면 각 자연수 에 대하여 이 성립하는 ∈ 이

존재한다. 구간 이 유계이므로 수열 도 유계이다. <정리 1>에 의해서 수열 은 수렴

하는 부분수열 을 가진다. 이제 lim→∞

라 가정하면 구간 이 폐집합이므로

∈ 이다. 따라서 ∈ 이다. 그러나 가정에 의해 이므로

lim→∞

∞

이므로 ∈ 라는 사실에 위배된다. 따라서 함수 는 유계이다.

⑵ 모순을 얻기 위해 모든 ∈ 에 대하여 라고 가정하자. 이 때 함수

은 구간 위에서 연속이므로 는 유계이다. 따라서 ≤ 가 되는 가 존재한다.

즉, ≤

(∈ )이다. 이는 이 ∈ 의 상한이라는 사실에 위배된다.

따라서 을 만족하는 ∈ 이 존재한다.


- 24 -

5. 두 연속확률변수 와 의 결합 확률밀도함수(joint probability density function) 를

그 외의 경우 라 하자. 의 주변 확률밀도함수(marginal probability density function) 를 구하고, 이를 이

용하여 가 주어졌다는 가정 하에 의 조건부확률밀도함수 (conditional probability density

function) 와 의 조건부 기댓값(conditional expectation) 를 구하시오. [3

점]

정답 및 해설 :

⑴ 인 경우에 주변확률밀도함수

∞

∞

이다. 따라서

그 외의 경우⑵ 주변확률밀도함수

이므로

① ,

②

6. 자연수 에 대하여, 방정식

(단, ≤ ≤ ≤ )

을 만족하는 정수해의 개수를 이라 하자. 의 생성함수 를 구하고, 이를 이용하여 를 구

하시오. [3점]

정답 및 해설 :


- 25 -

- 이 행 래 -

서술형/논술형(전공 3교시)

서술형 【1~3】

1. 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학적 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결한 과정의 일부이

다.

<이해 단계>

문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 파악하면서 문제를 분석한다. 구하려는 것을 로 놓는

다.

<계획 단계>

문제에서 구하려는 것과 주어진 것 사이의 관계를 파악하고, 그러한 관계를 나타내는 방정식

을 세운다. 이때 방정식이 참이라고 하자.

<실행 단계>

양변을 제곱하여 정리하면 이고, 이므로 또는

이다. 그런데 이 조건은 주어진 방정식이 참이 되기 위한 필요조건이다.

<반성 단계>

또는 가 주어진 방정식을 참이 되게 하는 충분조건도 되는지 알아본다. 은

충분조건이지만 는 충분조건이 아니다. 따라서 이 주어진 방정식을 참이 되게 하

는 필요충분조건이다.

이 문제의 상황에 부합하는지의 여부를 점검한다.

위 문제해결 과정에서는 수학적 발견술인 분석법이 사용되고 있다. <계획 단계>와 <실행 단계>에

서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오. [3점]

정답 및 해설 :

☞ 분석법은 역행적 추론이라고도 불리는 데, 찾고자 하는 것을 이미 찾은 것처럼, 증명해야 할 것

을 참인 것처럼 가정하고, 바라는 결과가 이루어지 위해 어떤 조건이 있어야 하는가를 묻고 이러

한 과정을 계속 반복하여 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것에 도달하는 방법이다.

☞ 종합법은 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 명제에서 출발하여 논리적으로 자연스러운


- 26 -

과정을 따라 마지막에 찾고자 하는 것이나 증명해야 할 명제에 이르는 과정이다. 종합은 가정으로

부터 결론은 논리적으로 유도하는 연역적인 증명이라 할 수 있다.

<계획 단계>

“관계를 나타내는 방정식을 세운다. 이때 방정식이 참이라고 하자. ”는 관계가

참인것처럼 가정하고 바라는 결과가 이루어지 위한 조건으로 을 제시하고 있다.

<실행 단계>

방정식이 성립하기 위한 조건을 찾기 위해서 “양변을 제곱하여 정리하면 이고,

이므로 또는 이다.”라는 조건을 제시하고 있다.

2. 다항식 의 유리수체 위에서의 분해체(splitting field)를 라 하면 갈루아군 의

위수(order)가 6임을 증명하시오. [4점]

정답 및 해설 :

① 로 놓으면 Eisenstein의 판정법에 의해서 유리수체 위에서 기약인 다항식이다.

② 유리수체 의 표수가 “0”이고 이 기약인 다항식이므로 은 분리다항식

이다.

③ 따라서 위에서 의 분해체 는 의 Galois 확대체이고 이

다.

④ 의 근은 cos

sin

(여기서 ⋯ 이다.)이다. 따

라서 이다. 즉, 이다.


- 27 -

3. 자연수 전체의 집합 에 대하여, 집합 ∪ 위에

∪∪ 는 의 유한부분집합 ∪

을 기저(base)로 하는 위상을 라 하자.

① ⊊⊊ ≠ ∪ 이고 가 콤팩트(compact)이다.

② ⊊⊊ 이고 가 콤팩트가 아니다.

①을 만족하는 를 모두 구하고, ②를 만족하는 의 예를 하나 제시하고 예가 되는 이유를 설명

하시오. (단, ⊂ 이고, ⊂ 일 때 ∩ ∈ 이다.) [3점]

정답 및 해설 :

① ⊊⊊ ∪ ⊂ 이면 는 콤팩트(compact)이다. 따라서 조건에 맞는 는

∪ ∪

등 3개가 존재한다.

② ∪ 로 놓고, ∈ ∪ 로 놓으면 는 의 개피복이지만 이

무한집합이므로 의 유한부분집합족은 를 피복할 수 없다. 따라서 는 콤팩트가 아니다.


- 28 -

논술형 【1~2】

1. 다음은 중학교에서 학률 개념을 도입하는 수업의 일부이다. 이 수업 이전에 2009 개정 교육과정에

따른 수학과 교육과정에 따라 ‘가능성’은 초등학교 5~6학년군에서 다루어졌고 ‘상대도수’, ‘사건’,

‘경우의 수’는 중학교에서 이미 다루어졌다고 하자.

두 주사위의 눈의 합

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

30회

상대도수

60회

상대도수

360회

상대도수

김교사 : 오늘은 가능성의 크기를 어떻게 구하는지에 대해 공부하려고 해요. 이와 관련해 일

어날 가능성이 가장 큰 사건을 찾는 활동을 해 봅시다. 예를 들어 두 주사위를 던졌을

때, 두 주사위의 눈의 합이 나올 수 있는 사건의 수는 11입니다. 합이 2인 사건부터

12인 사건까지 나올 수 있는 것이지요. 그 11가지 사건 중에서 일어날 가능성이 가장

큰 사건은 무엇일까요 ?

학생들 : 11가지 사건이 일어날 가능성은 서로 같을 것 같아요.

김교사 : 왜 그렇게 생각하나요 ?

학생들 : 그냥 서로 같을 것 같아요.

김교사 : 그러면 두 주사위를 던지는 실험을 통해 여러분의 예상이 맞을지에 대해 알아보도록

하지요.

12개의 모둠을 편성해서 모둠마다 두 주사위를 30번씩 던지고, 던진 횟수에 대해 각 사건

이 나온 횟수를 기입하는 방식으로 상대도수를 나타낸 아래의 표를 완성하였다.


- 29 -

김교사 : 우리가 예상한 것과 상당히 다른 결과가 나온 이유가 뭘까요 ? 왜 그런지 생각해 봅시

다.

학생 A : 제 생각에는 11가지 사건이 일어날 가능성이 원래부터 서로 같지 않아서 그런 것 같아

요. 각 사건에 들어있는 경우의 수를 잘 세어야 해요.

김교사 : 그 가능서이 어떻게 서로 다른지에 대해 자세히 설명해줄 수 있나요 ?

학생 A : 네. 두 주사위의 눈의 합이 나오는 사건의 수는 11이 맞습니다. 하지만 두 주사위의 눈

이 나오는 경우의 수는 (1,1), (1,2), (1,3), ⋯ , (5,6), (6,1), ⋯ , (6,6)과 같이 36입니

다.

이후, 학생 A는 두 주사위의 눈의 합이 2인 사건부터 12인 사건 각각에 포함된 경우들을 언급

하면서, 전체 경우의 수에 대한 해당 사건에 포함된 경우의 수를 세어서 11가지 각 사건이 일어

날 가능성이

임을 설명하였다.

김교사 : 실험 결과에서 합이 2인 사건부터 12인 사건까지의 상대도수가 서로 비슷하지 않은 이

유가 무엇진지 알겠어요?

학생들 : 네. 알 것 같아요. 원래 가능성이 서로 달랐기 때문에 실험 결과에서도 서로 다르게 나

온 것 같아요.

학생 B : 그러고 보니까, 학생 A가 제시한 각각의 가능서이 실험을 통해 나온 각각의 상대도수

와 거의 같아요.

김교사 : 좋은 관찰입니다. ⋯ (중략) ⋯ 어떤 사건이 일어날 가능성을 확률이라 합니다. 이제

우리가 오늘 했던 활동을 바탕으로 일반적으로 확률을 어떻게 구하면 될지 생각해 볼까

요?

학생 A : 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때에는 그 사건에 들어있는 경우의 수를 전체 경우의

수로 나누면 구할 수 있어요.

학생들 : ㉠선생님, 다른 상황에서도 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때 각각의 경우는 항상 같

은 가능성을 가지고 있다고 생각하면 되는 거지요?

김교사 : ㉡지금 질문한 내용이 중요합니다. 여러분이 확률을 구해야 하는 상황에서 흔히 잘못

생각하는 부분이 있어요. 정육면제 주사위와 직육면체 주사위를 던진다고 생각해 봅시다.

⋯ (중략) ⋯ 실험도 해 볼까요. ⋯ (중략) ⋯ 이런 점을 잘 고려해서, 어떤 사건이 일어

날 확률은 어떻게 구하면 되고 이때 무엇에 유의해야 하는지 정리해 볼까요.

⋯ (중략) ⋯


- 30 -

2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 확률과 통계 영역 <교수⋅ 학습상의 유의

점> 2가지 사항과 확률 직관에 대한 피시바인(E. Fischbeine)의 이론을 적용하여, 김 교사는 ‘경우

의 수의 비율’로 확률 개념을 도입하고 있다.

김 교사의 수업에서 확률과 통계 영역의 <교수⋅ 학습상의 유의점> 2가지 사항이 각각 어떻게

적용되고 있는지 설명하시오. 그리고 학생이 확률을 배우기 이전부터 가지고 있던 ‘확률 직관의 특

성’과 ‘확률 직관 발달의 특성’에 대한 피시바인의 이론을 각각 설명하고, 위의 밑줄 친 ㉠과 ㉡에서

그러한 피시바인의 이론이 어떻게 적용되고 있는지 각각 설명하시오. [10점]

정답 및 해설 :

⑴ 확률과 통계 영역의 <교수⋅ 학습상의 유의점>

① 합의 법칙과 곱의 법칙은 구체적인 예를 통해 직접 나열해 보거나 수형도를 그려 보는 등의 활

동을 통해 그 의미를 설명해 보게 한다.

② 경우의 수, 순열, 조합, 분할을 이용하여 실생활 문제를 해결해 봄으로써 그 유용성을 인식하게

한다.

③ 염주순열, 같은 것이 있는 원순열은 다루지 않는다.

④ 분할의 수를 구하는 식은 예를 통하여 이해하고 설명해 보게 한다.

⑵ Fischbeine의 연구 결과에 의하면

① 우연에 대한 원시적인 직관은 비교적 일찍 형성되며, 구체적 조작기에 적절한 지도를 하면 비율

적 사고와 가능성의 비교를 할 수 있다.

② 확률 직관의 발달은 조합이나 치환 조작과 직접적으로 관련되지 않으며, 확률 개념이나 치환조작

은 인지발달에 따라 자발적으로 발달되는 것이 아니라 형식적 조작기에 도달하여 학교에서의 의도

적인 확률 교육을 통해서만이 발달될 수 있는 것이다.

③ ㉠에서 “다른 상황에서도 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때 각각의 경우는 항상 같은 가능성

을 가지고 있다고 생각하면 되는 거지요?” 는 학생들이 확률적 사고를 비율적 사고와 가능성의

비교를 통해서 이해하려 하고 있음을 알 수 있다.

㉡ “지금 질문한 내용이 중요합니다. 여러분이 확률을 구해야 하는 상황에서 흔히 잘못 생각하는

부분이 있어요. 정육면제 주사위와 직육면체 주사위를 던진다고 생각해 봅시다.” 는 학생들이

자발적으로 발달되는 것이 아니라 의도적인 확률 교육을 실행하고 있음을 알 수 있다.


- 31 -

2. 다음 4개의 복소함수 로 생성되는 복소 벡터 공간

∈

를 라 하자. 여기서 는 의 켤레복소수이다.

복소평면 상의 시계반대방향의 단위원 에 대하여 사상(map) → 를 다음과

같이 정의하자.

가 선형사상임을 증명하시오. 선형사상 의 핵(kernel) ker 의 기저를 구하고, ker 를 이용

하여 ∈ 를 나타내시오. [10점]

정답 및 해설 :

⑴ 가 단위원 에서 연속이므로

이다. 따라서 임의의 ∈ 와 임의의 복소수 에 대하여 가 성립한

다. 즉, 는 선형사상이다.

⑵

① 가 정함수이므로 단위원 로 둘러싸인 영역과 에서 해석적이다. Cauch-

Goursat의 정리에 의해서

이다.

②

③

이다. 따라서 ker ∈ 이다. 즉, ker 의 기저는

이다. 따라서

∈ ∈


- 32 -

정현민 전공수학 2014학년도 기출문제 해설

제공 : 정현민 전공수학

전공 A형 기입형

5. 과 서로소인 양의 정수 에 대하여 의 마지막 두 자리 수가 이다. 의 마지막 두 자리 수를 구하시오. [2점] 정답:

과 은 서로 소 이므로 과 역시 서로 소 이다. 그러면 오일러 정리에 의하여 ≡≡ mod 가 성립한다. 또한 의 마지막 두 자리 수가 이므로 ≡ mod 이 성립한다. 따라서 ≡ ≡≡≡ mod 이다. 즉, 의 마지막 두 자리 수는 임을 알 수 있다.

(Euler 정리) ≥ , gcd 이면 ≡ mod 이다.

정리 임의의 정수 와 에 대해 ≡mod 일 필요충분조건은 와 는 으로 나누었을 때 같은 나머지를 가진다.

6. 위수(order)가 ××인 순환군(cyclic group) 에 대하여 의 부분군의 개수를 , 에서 위수가 인 원소의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [2점]

정답:

순환군 의 부분군의 개수는 의 위수의 약수의 개수이므로 이다. 의 값은 ≤ ≤ 인 에 대하여 다음을 만족하는 의 개수를 구하면 충분하다.

・gcd

⇔ gcd ⇔ gcd (≤ )따라서 이다.

정리 위수가 인 순환군 는 의 약수 에 대하여 의 위수를 갖는 부분군이 유일하게 존재하고 그러한 부분군이 의 모든 부분군이다. 즉, 의 부분군의 개수는 의 약수의 개수와 같다.

정리 군 와 ∈에 대하여 다음이 성립한다.

gcd

7. 반복적분

sin 의 값을 구하시오.

[2점]

정답: cos

sin

sin

sin

sin ((∵ ⇒ ))

sin

cos


- 33 -

8. 거듭제곱급수(멱급수, power seies)

∞

의

수렴구간을 구하시오. [2점]

정답:

이라 하면 lim→∞

lim→∞

이므로 주어진 급수의 수렴반경은 이다.

이면

∞

∞

이므로 교대급수판정

법에 의하여 수렴한다.

이면

∞

∞

이므로 급수 판정법

에 의하여 발산한다. 따라서 수렴구간은 이다.

정리 lim 이 존재하면 그 값은 거듭제곱급

수 의 수렴반경이다.

9. 양수 에 대하여 함수 ℝ→ℝ를 다음과 같이 정의하자.

sinsin

≤

함수 의 도함수 ′이 에서 연속이기 위한 필요충분조건을 에 대한 부등식으로 나타내시오. [2점]

정답:

′이 존재한다.

⇔ lim→

lim

→

⇔ lim→sin

sin

⇔

따라서 인 경우 ′는 다음과 같이 주어진다.

sincos

sin

cos

≠

′이 에서 연속이다

⇔ lim→

′가 존재하고 lim→

′ ′인 것이다.

⇔ lim →

sin cos

sin

cos

⇔

⇔

10. lim→∞

의 값을 구하시오. [2점]

정답:

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

11. 차원 유클리드 공간 ℝ에서 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion)과 곡률(curvature)이 각각 상수 인 단위속력 곡선 에 대하여, 곡선 를 다음과 같이 정의하자.

여기서 는 곡선 의 주법벡터장(단위주법벡터장, principal normal vector field, unit principal normal vector field)이다. 곡선 의 곡률과 비틀림률을 각각 , 라 할 때, 의 값을 구하시오. [2점]

정답:

T s ′ s N ⇒ : 단위속력곡선T′ ′′ N′ TB (Frenet-Serret정리와 곡률 , 열률 이용)∥T′ ∥ ∥TB∥ ⟨TBTB⟩ ⟨TT⟩⟨BB⟩


- 34 -

∥T′ s∥

N ∥T′ ∥T′

TB

B T ×N

BT

B′

B′ T′

NN

⟨B′ N ⟩ ∴

정의 단위속력곡선 → 에 대하여 (1) T ′ : 단위접벡터장 (2) T′ ′′ : 곡률벡터장 (3) ∥T′ ∥ : 곡률함수

(4) N T′ : 단위주법벡터장

(5) B T×N : 단위종법벡터장 (6) ⟨B′ N⟩ : 열률함수

(Frenet-Serret 정리)단위속력곡선 → 의 곡률 (>0)와 열률 에 대하여, 다음이 성립한다. T′ N N′ TB B′ N

12. 차원 유클리드 공간 ℝ에 놓인 곡면

cos sin ≥ ≤ ≤

에 포함되는 영역 ≤ ≤ ≤ ≤가 있다. 의 경계(boundary) 의 측지곡률합(전측지곡률, total geodesic curvature)

의 절댓값

을 구하시오. (단, 는 호의 길이를 나타내는 매개변수이다.) [2점]

∘ 도움말정칙곡선(정규곡선, regular curve) ⋯ 들로 이루어진 조각별 정칙곡선(piecewise regular curve) 의 측지곡률합은

로 정의된다.

정답:

: (i) , ≤≤

(ii) , ≥

: ⇒ U

(i) : , ≤ ≤

U , ′ ,

′′ , ′×′′ ∴

(ii) : cos sin , ≤ ≤

⇒ : 단위속력곡선

U cos sin , ′ sin cos ,

′′ cos sin , ′×′′

∴

∴

정의 곡면 위의 한 점 p를 지나는 단위속력곡선 에 대하여 단위법벡터장을 U, 단위접벡터장을 T라고 할 때,

VU×T , ⟨ ′′V⟩라고 정의한다. 이때 를 측지곡률이라 한다.

정리 를 의 호장에 의한 재매개화로 위의 단위속력곡선이라 하면 다음이 성립한다.

⟨U ′× ′′⟩⟨U ′×′′⟩


- 35 -

13. 좌표평면 ℝ 위에 곡선 ∈ℝ

이 주어져 있다. 곡선 를 원점을 중심으로 시계방향으로 만큼 회전이동 했을 때, 초점이 축에 있는 쌍곡선이 되는 자연수 중에서 가장 작은 수를 구하시오. [2점]

정답:

cos sin

sin

cos

⇒

라 할 때,

에

를 대입하여 나온

는 의 그래프를 원점을 중심으로 시계방향으로 만큼 회전이동한 도형이다.

이므로 이 초점이 축에 있는 쌍곡선이 되려면

이 되어야 한다. 즉, 또는 이므로 최소의 자연수 는 이다.

14. 자연수 전체의 집합 ℕ에서 위상 를 ⊆ℕ ℕ는 유한집합∪∅

으로, 함수 ℕ→ℕ을

≤ ≤ ≤

으로 정의하자. 를 ℕ에서 이산위상(discrete topology)이라 하고, 집합 를 ∈ℕ ℕ →ℕ 는 에서 불연속

이라 할 때, 집합 의 원소의 개수를 구하시오. [2점]

정답: 의 원소의 개수

(1) ≥

을 포함하는 임의의 열린집합 에 대하여 ℝ ⋯ 는 을 포함하고 ⊂

이므로 는 에서 연속이다.

(2) ∈ ⋯

가 에서 연속이라 가정하자. 그러면 을 포함하는 열린집합 에 대하여 을 포함하는 열린집합 가 존재하여 ⊂ 가 성립한다. 는 공집합이 아닌 열린집합이므로 ℕ ⋯ 인 실수 이 존재한다. 는 이상인 자연수를 포함하므로 ∈⊂ 이 되어 모순이다.

정의 함수 →가 ∈에서 연속이란 를 포함하는 각각의 열린집합 ⊂에 대하여 를 포함하는 -개집합 가 존재하여 ⊂가 되는 것을 의미한다.

15. 어느 도시의 성인 중 %가 통신사를 이용한다고 한다. 이 도시의 성인 명을 임의로 조사할 때, 통신사를 이용하는 성인이 명 이상 명 이하가 될 확률을 이항분포의 정규근사를 이용하여 구하면 ≤ ≤ 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 연속성 보정은 하지 않는다.) [2점]

정답:

통신사를 이용하는 성인의 수를 확률변수 라 하면 는 정규분포 로 근사시킬 수 있다. 따라서

≤≤

≤

≤

≤ ≤

이 성립한다.

정리 가 평균이 이고 분산이 인 이항확률

변수이면

의 분포는 표준정규분포를

따른다.

정리 확률변수 가 이항분포 를 따를 때 다음이 성립한다. (단, ) , ,


- 36 -

전공 A형 서술형

2. ℝ 위의 보통위상(usual topology)을 , 함수 ℤ→ℝ를 이라 하고, ℤ위의 위상 을 ∈라 하자. ∪ℕ, 이라 할 때, 적공간(product space) ℤ × ℤ 에서 × 의 폐포(closure) × , 와 ×의 내부(interior) × 를 구하시오. 이를 이용하여 ℤ × ℤ 에서 ×의 경계(boundary) × 를 구하는 과정을 쓰시오. (단, ℕ은 자연수 전체의 집합, ℤ는 정수 전체의 집합, ℝ는 실수 전체의 집합이다.) [3점]

정답: ×ℤ× , ×× , × ℤ×

(1) × × ℤ×

이 아닌 정수 에 대하여 ∈인 열린집합 를 생각하자. ∈이므로 ± ⊂

이다. 그러면 ∈∩≠∅ 이므로 ℤ이다. ∪∈ℕ

이므로 는 폐집합

이다. 따라서 이다.

(2) ×××

∈ ⊂이므로 은 의 내점이다. 자연수 에 대하여 이 의 내점이라 가정하면 ∈⊂ 를 만족하는 보통위상의 원소 가 존재한다. 그러면 ∈이므로 ± ⊂⊂가 성립한다. ∉이므로 모순이다. 따라서 이다. 이므로 이다.

(3) × ××ℤ×

정리 를 각각 위상공간 의 부분집합이라 하면 다음이 성립한다. (1) × ×

(2) ××

정리 위상공간 의 부분집합 에 대하여 int∪ 이 성립한다.

3. 다항식환 ℤ 에서 를 두 일차식의 곱 로 나타낼 수 없음을 증명하시오. [4점]

(귀류법) 인 ∈ℤ가 존재한다고 가정하자. 그러면 이므로 이 되어 는 ℤ에서 근을 갖는다. 즉, ≡ mod 의 해가 존재한다. 는 의 약수이므로 ≡ mod 역시 근을 갖는다. 그러면 르

장드르 기호 이 성립한다.~(*)

이는 (*)에 모순이다.

(이차상호법칙) 와 를 서로 다른 홀수인 소수라 하면 다음이 성립한다.

정리 홀수인 소수 에 대하여 다음이 성립한다.

정리 를 홀수인 소수 그리고 와 를 와 서로 소인 정수라 하자. 그러면 르장드르 기호는 다음과 같은 성질을 갖는다.(a) ≡ mod 이면 이다.(b)

(c) ≡ mod (d)

(e) 그리고


- 37 -

4. 연속함수 →ℝ에 대해 집합 ∈

의 상한(최소상계, supremum, least upper bound) 이 존재한다. <정리 >을 증명 없이 이용하여 을 만족하는 ∈ 이 존재함을 증명하시오. [4점]

<정리 1>유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

은 집합 ∈ 의 상한이므로 각각의 자연수 에 대하여 ≤

을 만족하는 ∈ 이 존재한다. 은 유계인 실수열 이므로 정리 에 의하여 수렴하는 부분수열 를 갖는다. 의 수렴 값을 라 하자. 모든 자연수 에 대하여 ≤ ≤이므로 는 에 속한다. 는 에서 연속이고 수열 는 에 수렴하므로 는 에 수렴한다. 또한 ≤

이므로 조임정리에 의하여 는 에 수렴한다. 실수열의 수렴 값은 유일하므로 이 성립한다.

5. 두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability density function) 를

그 외의 경우라 하자. 의 주변확률밀도함수(marginal probability density function) 를 구하고, 이를 이용하여 가 주어졌다는 가정하에 의 조건부확률밀도함수(conditional probability density function) 와 의 조건부기댓값(conditional expectation) 를 구하시오. [3점]

정답:

,

정의 와 의 주변분포는 다음과 같이 주어진다.(1) 이산형인 경우

,

(2) 연속형인 경우

∞

∞

, ∞

∞

정의 와 를 이산형 또는 연속형인 두 확률변수라고 하자. 로 주어졌을 때 확률변수 의 조건부 분포(conditional distribution)는 다음과 같이 주어진다.

,

같은 방법으로 로 주어졌을 때 확률변수 의 조건부 분포는 다음과 같이 주어진다.

,


- 38 -

6. 자연수 에 대하여, 방정식 (단, ≤ ≤ , ≤ , ≤ )을 만족하는 정수해의 개수를 이라 하자. 의 생성함수 를 구하고, 이를 이용하여 를 구하시오. [3점]

정답: ,

⋯ ⋯⋯

∞

∞

∞

∞

∞

정의 임의의 실수 와 음이 아닌 정수 에 대하여 일반화된 이항계수 는 다음과 같이 정의된

다.

⋯ ≥

정리 자연수 에 대하여 이다.

전공 B형 서술형

2. 다항식 의 유리수체 ℚ위에서의 분해체(splitting field)를 라 하면 갈루아군 ℚ의 위수(order)는 임을 증명하시오. [4점]

에 대하여 Eisenstein 판정법을 적용하면 이 ℚ 에서 기약다항식임을 알 수 있다. ,

에 대하여 은 의 서

로 다른 근 이고 이므로

ℚ ℚ

이 성립한다. 또한 은 ℚ 위에서 분리다항식이므로 ℚ ℚ ℚ ℚ deg

이 성립한다.

(Eisenstein 판정법)정수를 계수로 가지는 다항식

⋯ , ≠ ≥

에 대하여 적당한 소수 가 존재하여 ∣ ∣⋯ ∣ ∤

∤

이면, 는 유리수체 ℚ 위에서 기약이다.

정리 는 의 확대체, ∈ 가 위에서 대수적 원소, 는 를 근으로 갖는 차의 최소다항식이라 하면 다음이 성립한다.(1) ≅

(2) 는 위에서 벡터공간 에 대한 기저이다.(3)

정리 체 위의 차 다항식 에 대하여 를 체 위에서의 의 분해체라고 할 때, 가 위의 분리다항식이면 다음이 성립한다.


- 39 -

3. 자연수 전체의 집합 ℕ에 대하여, 집합 ℕ∪

위에 ℕ∪ℕ∪ 는 ℕ의 유한부분집합

∪

을 기저(base)로 하는 위상을 라 하자.

① ℕ⊊⊊ , ≠ℕ∪이고 가 콤팩트(compact)이다. ② ℕ⊊⊊이고 가 콤팩트가 아니다.

①을 만족하는 를 모두 구하고, ②를 만족하는 의 예를 하나 제시하고 예가 되는 이유를 설명하시오. (단, ℕ ⊆ℕ, ⊂일 때 ∩ ∈이다.) [3점]

ℕ⊊⊊ , ≠ℕ∪을 만족하는 를 모두 찾으면 다음과 같다. ℕ∪, ℕ∪, ℕ∪ , ℕ∪ , ℕ∪

의 부분집합 에 대하여 ℕ∪가 컴팩트일 필요충분조건은 ∈임을 보이자. ⇒ (귀류) ∉라 가정하자. 그러면 ∈ℕ∪

는 ℕ∪의 열린피복이지만 유한부분피복을 갖지 않는다. ⇐ 기저의 원소로 이루어진 임의의 열린피복 C 에 대하여 을 포함하는 C 의 원소 가 존재한다. 그러면 그 열린집합은 ℕ의 유한부분집합 에 대하여 ℕ∪의 형태이다. 이제 의 각 원소와 의 각 원소를 포함하는 C 의 원소를 ⋯ 이라 하면 ⋯ 은 C 에 대한 ℕ∪의 유한부분피복이다.

따라서 ①을 만족하는 는 ℕ∪ , ℕ∪

이고 ℕ∪, ℕ∪, ℕ∪ 은 을 포함하지 않으므로 콤팩트가 아니다.

전공 B형 논술형

2. 다음 개의 복소함수 , , ,

로 생성되는 복소 벡터 공간 ∈ℂ

를 라 하자. 여기서 는 의 켤레복소수이다. 복소평면 ℂ 상의 시계반대방향의 단위원 에 대하여 사상(map) →ℂ 를 다음과 같이 정의하자.

가 선형사상임을 증명하시오. 선형사상 의 핵(kernel) ker 의 기저를 구하고, ker 를 이용하여 ∈

를 나타내시오. [10점]

(i) ∈, ∈에 대해

이므로 는 선형사상이다.

(ii) 는 전해석 함수이므로

이다.

,

.

∵

⋯ ∞

⇔ ⇔

따라서 Ker span 이다. 이라 놓고 을 대입 하면 이므로 는 차 독립이 다. 그러므로 Ker의 기저 이다.

(iii)

⇔ ⇔


- 40 -

∈

∈Ker

Ker .

정의 경로 가 ≤ ≤ 로 표현될 때, 에서 조각마다 연속인 함수 에 대하여 경로 적분을

′ 로 정의한다.

(Cauchy 정리)함수 가 단순 닫힌 경로 와 그 안쪽의 모든 점에서 해석적이면 다음이 성립한다.

정의 이 함수 의 고립 특이점이면,

∞

⋯

로 표현된다. 그러면 뚫린 원판 에 포함되고 의 둘레를 양의 방향으로 도는 임의의 단순 닫힌 경로 에 대해

로 나타낼 수 있다. 이때 을

에서 의 유수(residue)라고 한다.

정의 가 임의의 벡터공간이고 v v ⋯ v이 의 벡터집합일 때 가 다음 두 조건을 만족하면 를 의 기저(basis)라 한다.(1) 는 1차 독립이다.(2) 는 를 생성한다.


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임재영 수학교육론 과년도 기출문제 해설

제공 : 임재영 수학교육론

▶ 2010년 임용시험 1번

년 개정 수학과 교육과정에서 기하 영역과 관련된 교육 내용 및 교수∙학습 상의 유의점으로 옳은 것을

<보기>에서 모두 고른 것은? [1.5점]

보기

ㄱ. 중학교 1학년에서 점, 선, 각, 원에 대한 성질은 직관적으로 탐구한다.

ㄴ. 중학교 2학년에서 삼각형과 사각형의 성질은 증명 없이 직관적으로 이해하는 정도로 다룬다.

ㄷ. 중학교 3학년에서 피타고라스 정리의 역은 증명 없이 문제 상황을 통해 간단히 다룬다.

ㄹ. 고등학교의 ‘기하와 벡터“에서 공간도형의 성질은 관찰과 직관에 의해 이해한 후 증명을 하도록

한다.

① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

❹ ㄱ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[풀이] 중학교 1학년의 기하내용은 직관적으로 탐구하여 배운다. 이 후 중학교 2학년의 삼각형과 사각형의

성질 단원에서 증명을 핵심내용으로 가르친다.


년 개정 수학과 교육과정의 내용에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? [1.5점]

① 고등학교 학년의 학습 내용이었던 “두 원의 위치관계”를 중학교 학년으로 이동하였다.

② 중학교 학년에 있던 “무리수의 도입은 무한소수를 소재로 한다”라는 학습 지도상의 유의점을

삭제하였다

③ 고등학교 학년의 수와 연산 영역에 “조건”, “진리집합”, “모든”, “어떤”이라는 용어를

도입하였다.

④ ｢적분과 통계｣ 과목에 “중복조합” 및 “표본비율과 모 비율의 관계”에 대한 내용을 도입하였다.

❺ ｢기하와 벡터｣ 과목에 “일차변환과 행렬” 및 “복소수의 극형식”에 대한 내용을 도입하였다.

[풀이]

[풀이] 년 개정 수학과 교육과정의 내용에서 일차변환과 복소수의 극형식은 삭제되고, 2009년 개정

수학과 교육과정의 고급수학에 도입되었다.


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▶ 2010년 임용시험 10번

2007년 개정 수학과 교육과정에 제시된 교수․학습방법과 관련된 내용 중, 다음의 수업 계획에서 알 수 있는

것과 가장 거리가 먼 것은? [1.5점]

역동적 기하 소프트웨어를 활용한 수업 계획

<1단계> 삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 새로운 삼각형을 만들고 두 삼각형 넓이의 비를 알아본다.

<2단계> 넓이의 비가 항상 이 되는 이유를 각자 생각해 보고 모둠별 토의를 거쳐서 각 모둠에서 학생

한 명이 모둠의 의견을 발표한다.

<3단계> 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 새로운 사각형을 만들고 두 사각형 넓이의 비를 알아본다.

<4단계> 넓이의 비가 항상 이 되는 이유를 생각해 보고 모둠별 토의를 거쳐서 각 모둠에서 학생 한

명이 모둠의 의견을 발표한다.

<5단계> 다른 다각형에 대해서도, 각 변의 중점을 연결하여 새로운 다각형을 만들고 두 다각형 넓이의 비

에 대해 탐구한다.

① 탐구학습, 협동 학습 등 다양한 교수․학습방법을 사용한다.② 구체적 조작활동과 탐구활동을 통하여 원리와 법칙을 발견하게 한다.③ 귀납, 유추 등을 통해서 학생스스로 수학적 사실을 추측하게 하고, 이를 정당화하거나 증명해 보도록 한다.④ 수학적 의사소통 능력을 신장하도록 한다.❺ 학생 개인의 학습 능력과 수준을 고려한다.[풀이] 위 내용에서 학생 개인의 학습 능력과 수준을 고려한 내용은 찾을 수 없다.

▶ 2013년 임용시험 11번

확률과 통계의 교수•학습에 대한 논의 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

보기

ㄱ. 물리적으로 비대칭적인 압정이나 윷은 라플라스(P. S. Laplace)의 고전적 확률 정의가 적용되지 않

는 상황이 있음을 이해시키는 데 교수 • 학습 소재로 이용될 수 있다.

ㄴ. 2009년 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정에 의하면, 확률은 실험이나 관찰 상황에서

구한 상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미를 연결하여 이해하게 한다.

ㄷ. 어느 도시 인구의 정도가 안경을 쓴 사람이라고 할 때, 5명 중 2명은 반드시 안경을 쓴 사람

일 것이라 생각하는 것과 같이, 학생들이 ‘작은 표본이어도 모집단과 유사하다.’고 생각하는 경

향은 교수 • 학습을 통해 교정되어야 할 필요가 있다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ❺ ㄱ, ㄴ, ㄷ


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▶ 2014년 임용시험 논술형 [1~2]번 (10점)

다음은 중학교에서 확률 개념을 도입하는 수업의 일부이다. 이 수업이전에, 2009 개정 교육과정에 따른

수학과 교육과정에 따라 ‘가능성’은 초등학교 5-6 학년 군에서 다루어졌고 ‘상대도수’, ‘사건’,

‘경우의 수’는 중학교에서 이미 다루어졌다고 하자.

김교사 : 오늘은 가능성의 크기를 어떻게 구하는지에 대해 공부하려고 해요. 이와 관련해 일어날 가능성이

가장 큰 사건을 찾는 활동을 해 봅시다. 예를 들어 두 주사위를 던졌을 때, 두 주사위의 눈의 합

이 나올 수 있는 사건의 수는 입니다. 합이 인 사건까지 나올 수 있는 것이지요. 그 가지

사건 중에서 일어날 가능성이 가장 큰 사건은 무엇일까요?

학생들 : 가지 사건이 일어날 가능성은 서로 같을 것 같은데요.

김교사 : 왜 그렇게 생각하나요?

학생들 : 그냥 서로 같을 것 같아요.

김교사 : 그러면 두 주사위를 던지는 실험을 통해 여러분의 예상이 맞을지에 대해 알아보도록 하지요.

개의 모둠을 편성해서 모둠마다 두 주사위를 번씩 던지고, 던진 횟수에 대해 각 사건이 나온

횟수를 기입하는 방식으로 상대도수를 나타낸 아래의 표를 완성하였다.

김교사 : 우리가 예상한 것과 상당히 다른 결과가 나온 이유가 뭘까요? 왜 그런지 생각해 봅시다.

학생 : 제 생각에는 가지 사건이 일어날 가능성이 원래부터 서로 같지 않아서 그런 것 같아요. 각 사

건에 들어있는 경우의 수를 잘 세어야 해요.

김교사 : 그 가능성이 어떻게 서로 다른지에 대해 자세히 설명해 줄 수 있나요?

학생 : 네. 두 주사위의 눈의 합이 나오는 사건의 수는 이 맞습니다. 하지만 두 주사위의 눈이 나오는

경우의 수는 , , , ⋯, , , ⋯, 과 같이 입니다.

이후, 학생 는 두 주사위의 눈의 합이 인 사건부터 인 사건 각각에 포함된 경우들을 언급

하면서, 전체 경우의 수에 대한 해당 사건에 포함된 경우의 수를 세어서 가지 각 사건이 일어

날 가능성이

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

임을 설명하였다.

김교사 : 실험 결과에서 합이 인 사건부터 인 사건까지의 상대도수가 서로 비슷하지 않은 이유가 무엇

인지 알겠어요?

학생들 : 네, 알 것 같아요. 원래 가능성이 서로 달랐기 때문에 실험 결과에서도 서로 다르게 나온 것 같아

요.

학생 : 그러고 보니까, 아까 학생 가 제시한 각각의 가능성이 실험을 통해 나온 각각의 상대도수와 거

의 같아요.


- 44 -

김교사 : 좋은 관찰입니다. ⋯(중략)⋯ 어떤 사건이 일어날 가능성을 확률이라 합니다. 이제 우리가 오늘

했던 활동을 바탕으로 일반적으로 확률을 어떻게 구하면 될지 생각해 볼까요?

학생 : 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때에는 그 사건에 들어있는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누

면 구할 수 있어요.

학생들 : ㉠ 선생님, 다른 상황에서도 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때, 각각의 경우는 항상 같은 가능

성을 가지고 있다고 생각하면 되는 거지요?

김교사 : ㉡ 지금 질문한 내용이 중요합니다. 여러분이 확률을 구해야 하는 상황에서 흔히 잘못 생각하는

부분이 있어요. 정육면체 주사위와 직육면체 주사위를 던진다고 생각해 봅시다. ⋯(중략)⋯ 실

험도 해 볼까요. ⋯(중략)⋯ 이런 점을 잘 고려해서, 어떤 사건이 일어날 확률은 어떻게 구하면

되고 이 때 무엇에 유의해야 하는지 정리해 볼까요. ⋯(하략)⋯

2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 확률과 통계영역 <교수ㆍ학습상의 유의점> 2가지 사항

과 확률 직관에 대한 피시바인(E. Fischbein)의 이론을 적용하여, 김 교사는 ‘경우의 수의 비율’로 확률 개

념을 도입하고 있다.

김 교사의 수업에서 확률과 통계 영역의 <교수ㆍ학습상의 유의점> 2가지 사항이 각각 어떻게 적용되고 있는지

설명하시오.

[풀이] 첫째, 확률은 실험이나 관찰 상황에서 구한 상대 도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미를

연결하여 이해하게 한다.

둘째, 경우의 수의 비율로 확률을 다룰 때 각 경우가 발생할 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의

하고, 발생할 가능성이 동등하지 않을 때는 확률이 다르게 나타남을 보이고 있다.

그리고 학생이 확률을 배우기 이전부터 가지고 있던 ‘확률 직관의 특성’과 ‘확률 직관 발달의 특성’에 대

한 피시바인의 이론을 각각 설명하고,

[풀이] 확률을 배우기 이전부터 가지고 있는 직관의 일반적 특성으로 확률에 대한 진술이 정당화에 대한 필요

도 없이 스스로 참이라고 느껴지는 성질로 자명성을 들 수 있다. 이러한 개인의 특수한 경험에 따라 영향을

받아 생성된 것으로 확률 교육과 무관하게 나타나는 직관을 피시바인은 일차 직관이라 하고, 체계적인 학교

교육의 영향을 받아 새롭게 개발되는 직관을 이차직관이라 한다.

위의 밑줄 친 ㉠과 ㉡에서 그러한 피시바인의 이론이 어떻게 적용되고 있는지 각각 설명하시오.[10점]

[풀이] ㉠에서는 일상에서 접하는 경우의 대부분 특히 주사위 같은 경우 정육면체만을 다루므로 여기에서 각

각의 어떤 사건이 일어날 확률이 항상 같은 가능성을 가지고 있다는 일차 직관을 갖게 된다.

㉡은 교사가 학생들이 잘못 생각하는 부분에 관찰과 실험을 통해 확률에 대한 정확한 개념을 갖추는 이차

직관을 생성 시켜 준다.


- 45 -


2009년 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 교육 내용 및 교수 • 학습상의 유의점에 대한 설명으로 옳은

것은?

❶ 지수와 로그는 '수학 Ⅱ' 과목에서 다루고, 지수함수와 로그함수는 '미적분 Ⅱ' 과목에서 다룬다.

② 중학교에서 다루었던 집합은 '수학 Ⅱ' 과목으로 이동하였으나, 함수를 다루는 데 필요한 정의역, 공역,

치역 용어는 중학교에서 다룬다.(삭제)

③ 중학교에서 이진법은 삭제하였으나, 실생활에서 유용하게 활용되는 근삿값과 오차의 한계(삭제)는 중학교

에서 다룬다.

④ 중학교에서 작도는 삼각형을 작도하는 정도로만 다루고, 이를 이용하여 삼각형의 결정조건(합동조건)을 이

해하도록 한다.

⑤ 등식의 성질, 정비례, 반비례(초등학교 5, 6학년군에서 다룸), 줄기와 잎 그림, 회전체는 초등학교의 학습

량 경감을 위하여 중학교로 이동하여 다룬다.


다음은 다면체에 대한 오일러(L. Euler)의 추측, 이에 대한 개략적 증명, 그와 관련된 세 가지 사례를 제시

한 것이다. 라카토스(I. Lakatos)의 오류주의 수리철학의 입장에서 옳은 설명인 것은? [2.5점]

오일러의 추측다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 각각 라 할 때, 이다.

개략적 증명[1단계] 탄력이 좋고 속이 비어 있는 다면체를 상상하고서 그 다면체의 어떤 한 면을 제거한 후, 제거된

면에 다른 면들이 평면 그물처럼 펼쳐지도록 만든다. 이 때, 면이 1개 줄게 되므로, 본래의 다면체에 대하

여 임을 보이는 것은 평평한 그물에 대해 임을 보이는 것과 같다.

[2단계] 모든 면이 삼각형이 될 때까지 각 면에 대각선을 긋는다. 대각선을 1개 그을 때마다, 는 각

각 1개씩 늘어나므로 의 값은 변하지 않는다.

[3단계] 삼각형으로 분할된 그물에서, 모서리와 면을 1개씩 없애거나 모서리 2개, 꼭짓점 1개, 면 1개를

없애는 방식으로 삼각형을 하나씩 제거하여 단 하나의 삼각형만 남도록 한다. 삼각형을 제거하는 과정에서

의 값은 변하지 않고 마지막에 남은 삼각형에 대해 의 값은 1이 되므로, 원래의 추

측을 증명한 것이다.

사례 ㉠

정육면체에 작은 정육면체 볏이 달린 입체

사례 ㉡

정육면체에 네모 구멍이 뚫린 입체

사례 ㉢

정육면체 속에 작은 정육면체가 비어 있는 입체

① 사례 ㉠은 [1단계]와 [2단계]를 통과하지만 [3단계]는 통과 하지 못한다.

❷ 사례 ㉢은 [1단계]를 통과하지 못하는 국소적 반례인 동시에 추측을 반박하는 전면적 반례이다.

③ 괴물 배제 법(반례를 인정)은 사례 ㉠, ㉢과 같은 전면적 반례를 수용해서 원래의 추측이 틀렸다고

인정하는 방법이다.

④ 사례 ㉠은 [1단계][2단계]에 대한 국소적 반례인데, 그 반례를 가지고 [1단계]를 분석하는 과정을 통해


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‘단순 연결된 면을 가진 다면체’라는 개념을 생성해 낼 수 있다.(원래의 추측에 증명의 2단계를 합체하

여 원래의 추측을 ‘대각선에 의해 분할되는 어떤 면도 두 부분으로 되는 (단순 연결인)다면체에 대하여

’로 수정)

⑤ 예외 배제 법은 사례 ㉠, ㉡과 같은 전면적 반례를 다면체의 예외적인 경우로 인정하고 원래의 추측에 그

예외를 언급한 조건 절을 첨가하는 것이기 때문에, 다면체의 정의를 정교과하는 데 기여한다.(안전한 영역

으로 철수하여 추측을 수정하는 방법)

▶ 2013년 임용시험 2차

라카토스(L. Lakatos)는 수학적 지식이 증명과 반박의 논리에 의해 추측이 개선되는 과정을 통해 성장한다고

주장하였다.

추측에 대한 반례가 출현할 때 라카토스가 제시한 대응방법 중 괴물 배제법, 예외 배제법, 보조 정리 합체법

에 대해 기술하시오.

[풀이] 괴물 배제법 : 반례를 인정하지 않으며 반례를 배재하여 원래의 추측을 존속시키는 것.

예외 배제법 : 새로운 반례가 나타날 때마다 예외에 대하여 언급한 조건 절을 첨가하여 안전한 영역으로 철수

하여 추측을 수정하는 방법

보조 정리 합체법 : 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명

을 고치는 방법

▶ 2005년 임용시험

다음은 라카토스(I. Lakatos)의 준 경험주의 입장과 수학적 지식의 성장 과정을 요약한 것이다.

(가) 수학은 '추측 - 증명 - 반박'의 논리에 의한 추측의 끊임없는 개선을 통해 성장하는 준 경험과학이다. (나) 라카토스가 제시한 수학적 지식의 성장 과정은 다음과 같다. 1단계 : 수학적 추측을 제기하는 단계 2단계 : 추측을 부분 추측으로 분해하는 단계(사고실험) 3단계 : 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계 4단계 : 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계

<보기>는 어떤 학생의 추측과 증명을 나타낸 것이다. 위 (나)의 3, 4단계를 근거로 잠정적으로 참으로 받아들

일 수 있는 개선된 추측과 그 과정을 제시하시오.[4점]

보기

<소박한 추측> 미분 가능한 함수 는 ′ 일 때, 에서 극값을 갖는다.

<증명(사고실험)>

1단계 : 미분 가능한 함수 는 ′ 일 때, 의 좌우에서 ′의 부호가 바뀐다.

2단계 : ′의 부호가 바뀌므로 이 함수는 에서 극값을 갖는다.

[풀이] 3단계 : 소박한 추측에 대한 반례 , 등이 제시되고, ′ , ′ 은 에서 ′ , ′ 이지만 전 구간에서 극값을 갖지 않는다.


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4단계 : 1단계 증명에서 미분 가능한 함수는 ′ 일 때, 의 좌우에서 ′ 의 부호가 바뀐다고 하였는데 위의 두 함수 , 은 ′ ≥ , ′ ≥ 이므로 의 좌우에서 부호가 바뀌지 않는다.

원래의 증명을 검토하면 에서 ′ 에서 ′

이거나 에서 ′ 에서 ′

이 되어야 한다.

따라서 반례에 대한 조건을 제거하기 위해

″ lim→

′ ′ , ″ lim

→

′ ′

인 보조정리를 사용하여 원래의 추측에 첨가하여 추측을 다음과 같이 개선한다. 『미분 가능한 함수 는 ′ 이고, ″≠ 일 때, 에서 극값을 갖는다.』


라카토스(I. Lakatos)는 반례의 출현과 오류를 수정해 가는 과정이 수학의 발달에서 중요하다고 하였다.

반례를 찾는 활동이 수학교육 측면에서 지니는 긍정적 효과로 적절하지 않은 것은?

① 반례를 찾는 과정에서 기존에 학습한 수학적 지식을 통합하거나 견고하게 만들 수 있다.

② 반례를 찾는 과정을 통해 비판적 사고력을 신장시킬 수 있다.

③ 예외적인 경우를 찾는 활동을 통해 이전의 추측에서 고려하지 못한 부분을 생각해 보게 함으로써 사고의

엄밀성을 강화시킬 수 있다.

④ 결과에 이르게 된 과정이나 관련된 지식을 재음미시켜 수학적 힘을 신장시킬 수 있다.

❺ 반례를 찾아 명제가 거짓임을 밝힘으로써 수학에서 거짓명제가 의미 없다는 인식을 강화시킬 수 있다.


라카토스(I. Lakatos)의 수리철학에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. 수학은 증명과 반박을 통해 확증된다.(잠정적으로 참)(거짓)

ㄴ. 증명 분석은 이론적 개념을 생성하는 도구이다.(참)

ㄷ. 연역적 추축은 수학적 발견의 수단이 될 수 있다.(참)

ㄹ. 수학적 발견에 있어서 직관과 귀납의 역할을 강조하였다.(거짓)

라카토스는 수학적 발견은 증명과 변증법에 의해 발견된다고 강조


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▶ 2014년 임용시험 기입형 [4]번 (2점)

다음은 중학교 1학년 기하 영역에서 모든 다각형의 외각의 크기의 합이 임을 알아내는 수업 상황이다.

(학생들은 삼각형의 외각의 크기의 합이 임은 알고 있지만, 아직은 각형의 외각의 크기의 합을 구

할 수 없는 상태이다.)

⋯(상략)⋯

교사 : (그림을 제시하며) 다각형의 각 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 얼마인가요?

학생 : 입니다.

교사 : 그러면 각형의 모든 내각과 외각의 크기의 합은 얼마인가요?

학생 : ×입니다.

교사 : 외각의 크기의 합은 어떻게 구할 수 있을까요?

학생 : 잘 모르겠어요.

교사 : 내각과 외각의 관계를 생각해 보면 외각의 크기의 합을 구할 수 있지 않을까요?

(다각형에 외각과 내각을 표시하면서 외각과 내각의 관계를 떠올리게 한다.)

학생 : 아! 알겠어요. 내각과 외각의 크기의 합에서 내각의 크기의 합을 빼면 될 것 같아요.

교사 : 내각의 크기의 합은 알고 있지요?

학생 : 네. ×입니다.

교사 : 그러면 외각의 크기의 합을 구하는 식을 나타낼 수 있을까요?

학생 : (외각의 크기의 합) × (내각의 크기의 합)×× 입니다.

교사 : 잘했어요. 따라서 다각형에서 외각의 크기의 합은 언제나 로 일정함을 알 수 있어요.

⋯(하략)⋯

위 상황에서 교사는 학생의 근접 발달 영역에서 교사의 사고 과정을 모방할 수 있는 시범이나 실마리를 제공

하고 있다.

이러한 교수ㆍ학습 상황에서 학생들이 과제를 수행해 나가는 데 있어서 도움을 적절히 조절하여 제공하는 것

을 비고츠키(L. Vygotsky)학파는 무엇이라 하는지 쓰시오.

[풀이] 비계설정(scafolding), 혹은 발판


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▶ 2014년 임용시험 서술형 [1]번 (3점)

다음은 폴리아(G. Polya)의 수학적 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결한 과정의 일부이다.

< 이해 단계 >

문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 파악하면서 문제를 분석한다. 구하려는 것을 로 놓은다.

< 계획 단계 >

문제에서 구하려는 것과 주어진 것 사이의 관계를 파악하고, 그러한 관계를 나타내는 방정식을 세운다.

이 때 방정식이 참이라고 하자.

< 실행 단계 >

양변을 제곱하여 정리하면 이고, 이므로 또는 이다. 그런데

이 조건은 주어진 방정식이 참이 되기 위한 필요조건이다.

< 반성 단계 >

또는 가 주어진 방정식을 참이 되게 하는 충분조건도 되는지 알아본다. 은 충분조건

이지만 은 충분조건이 아니다. 따라서 이 주어진 방정식을 참이 되게 하는 필요충분조건이다.

이 문제의 상황에 부합하는지의 여부를 점검한다.

위 문제해결 과정에서는 수학적 발견술인 분석법이 사용되고 있다.

<계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오.

[풀이] <계획 단계>에서 방정식은 미지수의 값에 따라 참인 명제도 되고, 거짓인 명제도 되는 명제함수이다.

그런데 방정식을 풀 때에는 그 방정식이 이미 풀린 것으로 가정한다.

<실행 단계> 등식의 성질을 이용하여 방정식을 변형하여 해이기 위한 필요조건을 찾아 푸는 것이다.


폴리아(G. Polya)의 수학관 및 수학 문제해결 교육론에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?① 수학 문제해결 과정에서 학생이 교사의 시범을 모방하는 것은 바람직하지 않다.② 수학적 지식의 발견은 귀납에 의해서가 아니라 하나의 전형적인 예에 대한 관찰에 의해 이루어진다.❸ 수학 문제해결 과정에서 인내하고 작은 진전의 가치를 인식하는 것과 같은 정의적 측면의 교육을 중요시하였다.

④ 수학 문제해결 과정에서 문제와 관련된 요소를 재조직하고 그 요소 사이의 관련성을 파악하게 하는 측면을 간과하였다.

⑤ 문제제기 활동은 해결의 실마리나 단서를 찾고 주의를 집중하는 데 방해가 되므로 문제해결의 계획 단계에서 하지 않는 것이 바람직하다.


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학생이 연립방정식의 활용 문제를 다음과 같이 해결 하였다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

문제두 자연수의 합이 이고 큰 수는 작은 수의 배보다 가 크다고 할 때, 두 자연수를 구하여라.

A학생의 풀이 과정1단계) 큰 수를 , 작은 수를 로 놓는다.2단계) 를 사용하여 문제의 뜻에 따라 연립방정식을 세우면 다음과 같다.

3단계) 이 연립방정식을 풀면 이다.4단계) 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인해 보면 × 이므로 문제의 뜻에 맞는다.

보기

ㄱ. 1단계는 문제에 주어진 조건과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하는 단계로 폴리아(G. Polya)가 말한

문제 해결 계획을 수립하는 단계에 해당한다.(문제의 이해단계)

ㄴ. 숀펠드(A. Schoenfeld)가 언급한 문제해결 성공 요인 중 통제(control)는 위의 모든 단계에 적용될 수

있다.

ㄷ. 4단계는 찾은 답이 문제의 조건에 합당한지 확인하는 단계로 폴리아가 말한 반성 단계에 해당한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ❹ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ


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▶ 2012년 임용시험 10번

김 교사는 수업 시간에 학생들에게 한 변의 길이가 5인 기하판, 즉 5×5 기하판에 못을 연결하여 서로 다른 길이의 선분을 최대한 몇 개나 만들 수 있는지 찾아보게 하였다. 그 결과, A학생은 풀이과정을 다음과 같이 제시하고 20으로 답하였으나, 실제로 정답은 19이다.

A 학생의 풀이 과정5×5 기하판 위에 1×1 정사각형부터 시작하여 4×4 정사각형에 이르기까지 서로 다른 길이의 선분의 수를 모두 구해 보았다. 그 결과, 다음과 같은 규칙을 얻었다.(서로 다른 길이의 선분의 수) (이전 정사각형에서 구한 선분의 수) (새로 만든 선분의 수)

정사각형의 크기 서로 다른 길이의 선분의 수

1×1 2 22×2 (2)+3 53×3 (2+3)+4 94×4 (2+3+4)+5 14

이 규칙을 5×5 정사각형에 적용한 결과, 서로 다른 길이의 선분의 수는 (2+3+4+5)+6 20(개)이다.

A 학생이 해결한 방법과 관련하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는대로 고른 것은?

보기

ㄱ. A 학생이 5×5 정사각형에 자신이 발견한 규칙을 적용한 것은 선입견이나 부주의 등으로 인하여

관찰해야 할 사례를 간과하고 조급하게 일반화한 것이다.

ㄴ. A 학생은 일부 사례로부터 일반적 결론을 이끌어 내기 위하여 수학적 귀납법을 사용하였다.

(귀납적인 방법이지 연역추론인 수학적 귀납법을 적용한 것은 아니다.)

ㄷ. A 학생은 1×1 정사각형부터 4×4 정사각형까지 서로 다른 길이의 선분의 수를 구한 방식을 형식불역

의 원리에 의해 5×5 정사각형에 적용하였다.(귀납적인 방법이나 귀납추론을 활용)

❶ ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ


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▶ 2009년 임용시험

연결주의(connectionism)에 입각한 손다이크(E. I. Thorndike)의 관점에서 수학 학습 - 지도를 설명한 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. 계산이 부정확하다는 것은 관련 본드(bond)가 약하다는 것을 의미한다.

ㄴ. 계산의 기초적인 학습은 연역적인 설명보다는 귀납적인 확인을 통해 이루어지는 것이 효과적이다.

ㄷ. 추론적 사고는 연습의 법칙으로 설명될 수 없으므로 훈련을 통하여 얻을 수 없다.

손다이크(E. I. Thorndike)는 추론적 사고도 연습의 법칙으로 훈련될 수 있다고 보았다.)ㄹ. 수 개념은 양의 측정 활동을 통해 구성되므로 사칙연산도 지속적으로 측정 활동과 관련지어 다루는

것이 바람직하다.(J. Dewey의 주장과 맥을 같이 한다.)

❶ ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄹ ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

▶ 2014년 임용시험 기입형 [1]번 (2점)

프로이덴탈(H. Freaudenthal)의 수학화 교수ㆍ학습 이론에 따르면, 아래의 2가지 사항은 현상으로부터 본질에

이르는 접근이 아니라 학습자에게 본질을 부과하는 접근이다. 프로이덴탈은 이와 같은 교수학적 접근 방식을

무엇이라 하였는지 쓰시오.

◦ 기성 수학의 전개 순서에 따라 학교 수학의 교재를 구성하는 것

◦ 수학화 과정에 대한 경험은 생략하고 기성 지식을 초등화해 가르치는 것

[풀이] 반교수학적 전도

▶ 2014년 임용시험 기입형 [3]번 (2점)

다음은 중학교 2학년 기하 영역의 평행사변형의 성질을 다루는 수업의 일부이다.

교사 : 측정 활동을 통해 알아낸 평행사변형의 성질 ‘두 쌍의 대각선의 크기가 각각 같다.’가 왜 성립

하는지 설명해 보도록 하지요.

학생 : 어려워요.

(이 문제를 해결한 학생이 없는 듯 보인다.)

교사 : 시간이 없으니 어쩔 수 없네. 대각선을 그어 평행사변형을 두 삼각형으로 나누면 그 두 삼각형이

합동이 돼요.

그러면 그 성질이 성립한다는 것을 바로 보일 수 있을 것입니다.

학생 : 합동이 되니까 성립하네요.

교사 : 그러면 다음 내용을 공부합시다.

밑줄 친 부분에서 학생 스스로 학습할 환경을 교사가 제거하는 현상이 발생하고 있다. 여기서 이 교수학적 현상은 ‘교사는 수학적 지식을 가르쳐야 하고 학생은 그것을 배워야 한다.’는 압박에 의해 발생한다고 할 수 있다. 브루소(G> Brousseau)의 교수학적 상황론(Theory of Didactical Situations in Mathematics)에서 이러한 현상을 설명할 수 있는 개념과 이러한 압박을 설명할 수 있는 개념을 각각 쓰시오.

[풀이] 교수학적 계약(didactical contract), 토파즈 효과(Topaze effect)


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▶ 2014년 임용시험 기입형 [2]번 (2점)

다음은 어떤 수학적 개념의 원형과 그 개념에 들어있는 아이디어를 다룬 교사 교육용 자료의 일부이다.

● 이 개념의 원형은 다음과 같다.

[그림]과 같이 선분 와 반직선 에 대하여, 선분 위의 점 와 반직선 위의 점 가 각

각 와 로부터 같은 속도로 동시에 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 하자. 이 때 점 의 속력

은 의 거리에 비례하고, 점 의 속력은 일정하다고 하자.

이때, 거리 를 거리 의 ( )(이)라고 하였다.

● 다음은 이 개념에 들어있는 아이디어를 활용한 계산의 한 예이다.

이 표를 활용하면, ×의 근삿값을 쉽게 얻을 수 있다.

⋯ (하략) ⋯

( ) 안에 들어갈 용어가 무엇인지 쓰시오. 그리고 수학을 완성된 생산품으로 제공하는 것이 아니라 수학이 발생해 온 과정을 경험하게하기 위해 수학적 개념의 원형이나 그 개념에 들어있는 아이디어를 활용하는 교수ㆍ학습 원리가 무엇인지 쓰시오.

[풀이] (로그), 역사 발생적 원리

file.eduspa.comfile.eduspa.com/user/pto/imgs/guide/park2_guide.pdf · 교육학 논술 1 2쪽...

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