Final Examination

1. Understand the algorithm of MFEMWASP in detail.

환경공학과

20051462손미애

1) Understand the algorithm of MFEMWASP in

detail. 다차원 유한 요소 모형의 개발 가 ) 가중잔차법의 적용 유한요소법은 수치해의 오차를 최소화하도록 해를 구하는 방법이다 .

즉 , 수치해에서는 좌변과 우변이 다르므로 , 좌변과 우변의 차이를 잔차라고 정의한다 . 잔차의 미분운영함수 L(C) 와 L(T) 는 다음과 같다 .

지배식의 가중잔차의 최소해를 구하기 위한 가중잔차식은 다음과 같다 .

여기서 , 는 절점에서의 가중함수이다 . 따라서 , 다음과 같은 식을 유도할 수 있다 .

위의 방법을 가중잔차법 (Weighted Residual Method) 이라고 하며 , 유한요소법의 근본 원리가 된다 . 즉 , 공간 및 시간영역에 대하여 격자화된 각 계산점에서 수치해의 오차가 최소화되도록 , 각 격자점의 수치해에 가중치를 곱하여 합한다음 전체 오차가 0 이 되게끔 알고리즘을 설정하는 방법인 것이다 .

나 ) 가중잔차식의 이산화 어떤 수치해석 기법을 사용하던간에 지배방정식에 관계되는 모든 주변수 ,

매개변수 , 독립변수 , 자료 등을 이산화하여야 한다 .

기저함수는 계산시간을 크게 감소시킬 수 있도록 , 격자점의 좌표계만 주어지면 프로그램에서 1 회 평가된다 . 즉 , 다른 본 기작을 평가하기 이전에 입력자료로서 주어지는 격자망의 좌표계로서 평가되는 것이다 . 따라서 , 기저함수는 모든 Gaussian 지점에서 구해진 후 , 요소행렬들의 적분이 수행될 때 조합된다 . 각 요소별 절점의 좌표는 다음과 같이 기저함수를 이용하여 평가된다 .

기저함수는 계산좌표계에서 계산된다 . 계산좌표계에서 선형 기저함수는

각 방향으로의 선형기저함수를 사용하여 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다 (Kim,1989).

각 요소에서의 절점의 계산좌표계 ( , , ) 의 값은 다음과 같다 . = -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1 = -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1 = 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1

< 그림 > 실제 좌표계의 계산 좌표계화

= 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1 각 요소에서의 가우스점의 좌표는 다음과 같다 . = 0.577, 0.577, 0.577, -0.577, -0.577, 0.577, 0.577, -0.577 = -0.577, -0.577, 0.577, 0.577,-0.577, -0.577, 0.577, 0.577 = 0.577, 0.577, 0.577, 0.577,-0.577, -0.577, -0.577, -0.577

기저함수의 도함수 는 직접 구하는 대신에 , 계산좌표계와 전체좌표계 사이에 도함수를 서로 관계시켜주는 Jacobian

행렬 , [J] 를 사용하여 다음과 같이 구한다 .

계산좌표계에서 도함수의 값은 다음과 같다 .

Huyakorn 과 Nikuha(1979) 의 방정식을 사용하여 비대칭의 가중함수는

기저함수에 비대칭의 가중항을 첨가하여 유도된다 .

계산좌표계에서 선형 가중함수는 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다 .

기저함수의 도함수 도 직접구하는 대신 일종의 전환 행렬인 Jacobian 행렬 , [J] 을 사용하여 다음과 같이 구한다 .

요소행렬의 정의 및 온도 전달 방정식의 유한요소식

물질이동방정식의 유한요소식의 유도 과정과 마찬가지로 온도전달방정식의 유한요소식을 다음과 같이 정리할 수 있다 .

시간영역에 대하여 이산화하여 최종 시스템식을 구성하면 다음과 같다 .

다차원 모델링을 통한 MFEMWASP 모형의 검증

전산모형의 검증은 다음과 같은 4 가지 방법에 의해 수행될 수 있다 . - 수학적 해와 전산모형의 계산 결과의 비교

- 실험 결과와 전산 모형의 계산 결과의 비교 - 현장의 실측치와 모델링 결과의 비교 - 다른 모형과 개발된 모형의 모델링 결과의 비교 - 1 차원문제에 대한 1 차원 , 2 차원 , 3 차원 모델링 결과 비교

개발된 모형의 가용성 및 정확성을 검증하기 위하여 유체의 유동 및 오염물

이동 문제에 대하여 다차원 모델링을 수행하면 모델링을 수행한 결과 일 , 이 , 삼차원 모델링 결과가 동일하게 나타나 모형의 정확성을 검증할 수가 있다 (< 그림 Ⅰ -3-4> 참조 ). 다차원 해석을 수행할 수 있는 전산모형의 개발이 가능하였던 것은 수치해석방법으로 유한요소법을 사용하였기 때문이다 .

유한요소법의 특징은 다음과 같다 . - 편미분 방정식으로부터 공간을 독립적으로 해석할 수 있다 . - 일 , 이 , 삼차원 공간의 해석을 단계적으로 수행할 수 있다 . - 공간 및 시간 도함수를 전체 방정식으로부터 분리할 수 있다 . - 파라미터를 분리할 수 있다 . - 이러한 분리된 모듈을 결합함으로서 여러 형태의 편미분방정 식을 해석할 수있다 . - 경계조건을 유한요소법으로 해석함으로서 삼차원 문제의 경 계조건도 쉽게 해석한다 .

MFEMWASP 모형의 안정성 분석

반응계수에 의한 영향보다는 유속 및 확산에 의한 이동이 지배적인 경우 , 수질관리 모형의 안정성에 상당히 영향을 미칠 수 있다 . 따라서 이러한

파라 미터에 의한 MFEMWASP 모형의 안정성 및 예민도를 평가하는 분석을 수행 한다 . MFEMWASP 모형의 확산 및 유속의 비에 대한 모형의 해석능력은 가중계 수 (Weighting Factor) 에 따라서 좌우되고 , 적절한 가중계수의 선택이 중요 하다 . 따라서 , 유속에 의한 이동이 큰 경우 , 확산에 의한 이동이 큰 경우 ,

중 간의 경우 등에 대해 가중계수를 변경하여 모형의 안정성을 검토한다 .

․ 유속에 의한 이동이 매우 큰 경우 (fw11, fw14) - 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.0001725m2/day ․ 확산에 의한 이동이 매우 큰 경우 (fw12, fw15)

- 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.01725m2/day

․ 중간의 경우 (fw13, fw16)     - 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.001725m2/day

모형의 안정성 검토에 사용된 가중계수는 다음 < 표 Ⅰ -3-1> 과 같다 .

모형의 안정성 검토 결과를 예로들면 , < 그림 Ⅰ -3-5> 에 나타난 바와 같이 대부분의 경우에서 안정된 해를 보이는 것으로 나타났다 . 다만 , 유속의 의 한 이동이 큰 경우에는 수치해가 진동하는 것을 볼 수 있는데 (fw11), 이는 상부가중함수를 사용하여 안정된 해를 구할 수 있는 것으로 나타났다

2. Study the hydraulic model DYNHYD5 and develop the excel based model DYNDYD-

Excel.

• DYNHYD5란 ?

수리학적 모형인 DYNHYD5 는 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2 를 확장한 모형이다 . DYNHYD5 는 지류 및 수체에 합류점 (channel-junction (link- node)), 계산망 (computational network) 을 구성하여 연속방정식과 운동방정식을 해석하여 수심 및 유속을 계산하는 모형이다 . 시간에 따라 변하는 유동이나 수심의 경계조건을 입력할 수 있다 . 수리모델링은 수질모델링 보다 작은 시간 간격을 필요로 하기 때문에 , 수리모델링 결과인 유속 및 수심을 수질모델의 입력자료로 활용하기 위해서는 수질모델링의 시간간격에 대하여 수리모델링 결과를 평균화시킨다 .

• DYNHYD5 모형의 지배방정식 수리학적 모델은 운동량과 질량모두를 보존하며 천해를 통과하는 긴 파장의 전파를 모사하는 일차원 유동 방정식을 해석한다 . 운동량 이 보존된다는 가정하의 운동방정식은 유속과 유동을 예측하고 , 질 량이 보존된다는 가정하의 연속방정식은 수심과 유량을 예측한다 . 이러한 접근은 물의 흐름을 일차원으로 가정하며 , 유동의 방향으로 의 Coriolis 와 다른 가속상태는 무시해도 좋고 , 수로는 가변적인 수 리학적 깊이를 갖는 연속의 정상폭에 의해 정확하게 표현된다고

가정하며 , 유동길이는 깊이보다 더 크고 바닥 경사는 완만하다고 가정

한다 . 또한 가장 나중의 두 가정에 유효 적절한 엄격한 기준들은 없다 . Dam- break 상황과 소규모의 조류는 DYNHYD5 로 모형화 되

지 않을 것이다 .

　

　

짧은 시간 간격이상에서의 유동은 정상유동으로 고려된다 . (3.2.2-4) 방정식으로부터 연속적인 에너지 구배는 (3.2.2-5) 의 식에 대입 될 수 있다 .

여기서 , U2 은 U의 절대치인 U시간으로 대체해 왔다 . 따라서 마찰력은 항상 유동의 흐름에 반대로 작용한다

2) 연속 방정식

• 모델 네트워크 (The Model Network)

DYNHYD5 모델의 기본식 들의 해법은 시뮬레이션의 지속시간에 걸 쳐 유체의 통과 속도 (U) 와 수심 (heads) 을 알아낸다 . 폐쇄 형태 (closed-form) 의 분석적 해법은 유용하지 못하므로 (3.2.2-1) 과 (3.2.2-8) 의 식의 해법은 각각의 공간과 시간에서 측정된 U와 H 값 이 있는 수치적으로 통합된 컴퓨터 network 을 필요로 한다 . 유연

하 고 수치적으로 효과적인 형태의 네트워크는 이러한 식들을 위해 개 발 되어왔다 .

　

3. Study and explain the Groundwater Management Model PM5,  which includes groundwater flow model MODFLOW, groundwater quality model MOC3D, and

parameter estimation model.

• MODFLOW 모형의 이론 지하수 유동의 지배방정식을 유도하기 위해서는 지하대수층의 저류 특성과 Darcy 의 유량의 물질평형을 연결하여야 한다 .

지하대수층의 저류능은 대수층을 구성하는 토양 구조의 특성과 지하수 특성 (압축 성 및 탄성 ) 에 따라 결정된다 . 토양의 압축도는 Terzaghi 의 압축이론

을 사용하여 유도한다 . 이러한 대수층의 저류능에 대하여 다음과 같 이 비저류계수 (Ss : Specific Storativity) 를 정의한다 (L-1).

여기서 비저류계수는 단위 지하수의 수두 변화에 의한 지하수 부피 의 변화율을 의미한다 . 비저류계수를 정의한 것과 유사한 방법을 사용하여 대수층의 저류 계수를 정의할 수 있다 . 피압지하수의 경우 다음의 식으로 정의된다 ( 단위는 무차원 ). 이러한 경우 , 수평방향의 흐름만 주로 고려하기

때 문에 대수층의 주 파라미터는 투수도 T(Transmissivity=KB) 와 저류 능 S 이다 . 비저류계수는 일반적인 3 차원 유동에 대하여

정의되었기 때문에 S 를 S0B로 평가하는 데 주의가 필요하다 . 피압대수층의

저 류의 주원인은 물과 토양의 압축도이다 .

자유수표면 지하수의 경우 다음의 식으로 저류능을 정의한다 . 저류나 배수의 주 원인 지하수위의 상승이나 하강이다 . 지하수위의 하강에 의해 대수층

이 지하수를 방출하므로 비생산계수 (Sy : Specific Yield) 라 정의한다 .

배수가 완전히 진행된 후에 대수층에 남아있는 지하수에 의한 저류능을 비 보유계수 (Specific Retention) 라 정의한다 . 따라서 , 비생산계수와

비보유계 수의 합은 다음과 같이 공극율이다 . 따라서 , 비생산계수를 유효공극율 (Effective Porosity) 이라 정의하기도 한다 .

지하 공극을 통한 일정한 밀도의 지하수의 삼차원 유동은 위에 언급한 지하 대수층의 저류 특성에 연속방정식과 운동방정식 (Darcy 의 유속 ) 을

결합하여 지배식을 유도할 수 있다 . 2 차원 지하수유동에 대한 유도 과정은 다음과 같 다 .

　

3 차원 지하수유동식은 다음과 같다 . 여기서 , 비저류계수를 사용하

는 것을 주의하여야 한다 .

• 격자망의 구성 < 그림 3.1.1-1> 는 격자망을 나타낸다 . 이러한 격자망은 row, column, layer 로 설명된다 . 이러한 공간을 지칭하기 위하여 i(row), j(column), k(layer) 의 지수를 사용한다 . < 그림 3.1.1-1> 는 nrow=5, ncol=9, nlay=5 를 가진 격자망이다 . 이러한 지수의 증가는 격자망을 세분화하는 것을 의미한다 . 모델링은 이러한 지수를 사용하여 진행 된다 .

• 유한차분식

지하수 유동에 있어서 , 격자로의 유입 또는 유출의 합은 격자내의 저장량의 변화비율과 동일해야 한다 . 지하수의 밀도가 일정하다는 가정하에 각 격자내의 연속방정식은 다음과 같이 나타낸다 .

< 그림 3.1.2-2> 은 I, j, k 격자에 인접한 격자를 나타낸다 . I, j, k 격자로 유입되는 유량은 양의 값으로 나타낸다 . I, j-1, k 격자로부터 I, j, k 격자로의 유량은 다음과 같이 Darcy의 법칙을 사용하여 평가할 수 있다 .

나머지 다섯면에 대해서도 유량을 해석 하고 정리하면 ,

대수층 외부의 유량의 생성원인 하천 , 수로 , 재충진 , 증발산 , 양수정등을 설명

하기 위해서 다음과 같은 추가적인 파라미터가 필요하다 .

• MOC3D 모형 가 ) 지하수 유동 방정식 본 모형은 다음과 같은 지배식을 가지고 있는 지하수 유동 모형인 MODFLOW 와 연계되어 지하수 유속 및 지하수위를 구한다 .

나 ) 용질 이동에 대한 지배방정식 용질이동의 3 차원 물질이동식은 다음과 같다 .

　

• 수치해석 가 ) 격자망의 구성    < 그림 3.2.2-1> 및 < 그림 3.2.2-2> 에 MOC3D 모형에 사용되는

유한차분 격자망의 구성을 나타내었다 .

나 ) 평균 간극 유속 이류 이송 및 수리학적 분산은 모두 지하수 유동 속도에 의존하기 때문에 , 이송 방정식의 해는 유속장의 지식을 필요로 한다 .

그러므로 , 주어진 시간 간격 또는 정상상태 유동조건에 대해 수두 분포가 계산 된 후에 , 이송 하부격자망내의 각 유한차분 격자의 각 면을

가로지르 는 단위유량이 계산된다 .

다 ) 특성법 (Method of Characteristics) 특성법은 쌍곡선 미분방정식을 해석하기 위해 개발되었다 . 이 방법의 장점 은 수치해석적 발산을 최소화한다는 것이다 . 특성법에 의한 이러한 접근방식은 Lagrange 형태의 방정식을 직접 해석하 는 것이 아니라 , 상미분 방정식 체제를 해석하기 위한 것이다 . Lagrange 형 태의 방정식은 다음과 같이 재배열될 수 있다 .

오른쪽의 마지막 세 항은 x, y, z방향에서 유속에 의해 규정되는 위치의 전미 분함수를 포함한다 . 이는 다음과 같다 .

로 표현되는 평균 농도는 다음과 같이 계산된다 .

라 ) 입자 추적 이류 유송은 입자 추적에 의해 모델링된다 . 지배방정식의 분산 , 생성 ,

감소 등의 항은 각 입자와 관련된 농도로 조정시켜 고려된다 . 분산 및 유체 생성에 의해 야기되는 농도 변화는 공간에 대해 고정된 유한차분 격자에서 계산되는 반면 , 감소에 의해 야기되는 농도 변화는 다음에 서술된 것처럼 , 입자에 관해 직접 계산된다 . 초기 입자 위치는 모형 입력 자료에서 정의되며 , 이후의 입자위치는 공간적․시간적으로 변하는 유속 영역을 사용한 시간에서 적분된다 .

McDonald 와 Harbauga(1988) 에 의한 준 3 차원 해석에 의하면 , 수평 유동은 각 층의 투과계수를 사용하여 계산되며 , 수직 유동은 층 중심부 사이의 수직 거리로 나눈 수직 투수계수를 사용하여 계산된다 . 따라서 , 단위 유량은 다음 과 같이 나타낼 수 있다 .