‘Finance & Insurance’: Wiskunde

(heel) veel soorten wiskunde bij F&I

hier: concentreren op wiskundige statistiek verzekeren

studie bij onze leerstoel: kansrekening, statistiek (basis + vervolg), toepassingsvakken (‘risk analysis’, ‘life insurance’), stage + afstudeeropdracht

(bij bedrijven als Achmea, NN, CB, Univé)

Basis idee bij verzekeren héél simpel; als eerste begin: ‘onderlinge’

veel boerderijen, per jaar een paar branden allemaal elk jaar een klein bedrag in de pot schade betalen uit deze pot

wat ‘preciezer’ maken in (groter) voorbeeld: n = 106 klanten, p = 10-3 kans op schade per jaar gemiddeld np= 103 gevallen per jaar ‘voor het gemak’ alle schades even groot: s ‘benodigde’ premie pr = 10-3s

Waarom/hoe werkt dit idee?

tot nu toe alleen gemiddeld wat te doen bij ‘pech’: (te) veel schades?

basisstap: verhoog premie: bijv. tot 2pr maar dan: concurrent probeert (3/2)pr gaat die failliet of wordt hij marktleider?

-> waar ligt de juiste grens? toeval in de hand houden: statistiek!

BUT: θ not large low detection power (known)

Wait till rth (r>1) defective; too quick signal

More formally: Xr,p ≦ n

where Xr,p neg.bin.(r,p) and n lower limit

Question: “which r?”Idea: θ large r small

Beetje ‘echte’ wiskunde erbij…

X = aantal schades is bin(n,p) we ‘wisten’ al: EX=np nu erbij: de ‘schaal’ (std.afw.) σX={np(1-p)}1/2

in ons voorbeeld: EX=103, σX = {10610-3(1-10-3)}1/2 ≈103/2 ≈32

vragen: hoeveel schaal-stappen 32 boven 103 is redelijk ? wat bedoelen we met redelijk?

Nóg wat wiskunde erbij… ‘beroemdste’ verdeling: de normale waarom? Centrale Limietstelling:

som van o.o.(!) gelijksoortige termen ≈ normaal is hier dus te gebruiken!

eigenschap: X N(μ,σ 2), dan ligt boven: (i) μ nog 50%, (ii) μ+σ nog 16%, (iii) μ+2σ nog 2.5% en (iv) μ+3σ nog 0.1%

Plaatje

Toepassen! EX=np = 103, σX={np(1-p)}1/2 ≈32, dus: P (X>1100) ≈ 10-3

conclusie: 1.1pr als ‘kale’ premie is hier al behoorlijk veilig (dus niet ‘2’ of ‘3/2’)

verder natuurlijk nog opslag voor kosten!

vervolgens ‘minder simpel’ maken:bijv. ook schadegrootte toevalsafhankelijk

in principe nu opgelost!!! KLAAR?

MAAR…..NRC van 25 juni 2003:

                Weinig winst voor verzekeringssector

DEN HAAG, 25 juni. Het veiligstellen van verzekeringsrisico’s heeft een wissel getrokken op de resultaten van de schadeverzekeraars in Nederland. De kosten voor herverzekering verdubbelden vorig jaar tot 4 procent van de premies. Hierdoor wisten de schadeverzekeraars geen winst te maken, zo heeft het Verbond van Verzekeraars vanochtend bekend gemaakt. Het jaar ervoor behaalden de verzekeraars nog een resultaat van 1 procent. Vooral de inkomsten uit de particuliere verzekeringen drukten het resultaat. De levensverzekeraars kwamen uit op een bedrijfsresultaat van 4 procent, een halvering tegenover 2001.(ANP)

Ongelukje? zo’n krantenbericht staat niet op zich zelf méér signalen dat zaken fout gaan!

vraag: zoek eens uit wat er aan de hand is! gevolg: overal veel onderzoek laatste jaren

bij ons: aantal stages/afstudeeropdrachten +promotieonderzoek (STW: ook ‘nut’)

nadruk op afhankelijkheden (dus NIET o.o.)

Idee ‘een ongeluk komt zelden alleen…’ eerst maar eens een extreem voorbeeld: The following sequence of 23 numbers gives for each of the

years 1971 to 1993 the total earthquake claim amount that was paid out in California, as a percentage of the premiums received: 17   0   1  3   0  0   1   2   2   9   1   0

   3   5   1   9   23   12   130   47   17   13   3On average this is 13 %, which looks very nice of course (at least from the insurer’s point of view).

Tja….

Vervolg……However, in 1994, on January 17, the Northridge earthquake struck.

It scored 6.6 on Richter’s scale and caused a damage of 30 billiondollars, 10.4 billion of which were insured.

As a result, the 24th figure in our sequence became…….. 2273,

bringing up the average from 13% to 107%……..

extreem voorbeeld, maar ook enorm effect!

dus (?) ‘gewoon’ voorbeeld: ‘groot’ effect

Uit STW-aanvraag: To give a more moderate, but equally real, example as well,

we mention a problem presented to us by ‘Nationale Nederlanden’. Since 1996 Dutch employers are required by law to continue paying 70% of the wages for the period of 1 year for their employees who have fallen ill. Especially for larger companies it is attractive to only insure themselves against the risk that the total amount required for these payments in a given year exceeds a certain threshold. ‘Nationale Nederlanden’ has a large share of this market, and therefore they are definitely interested in setting the stop-loss premiums involved as realistically as possible. A complication their actuaries come up with is the fact that for example contagious diseases introduce dependencies, and they are worried about the impact on the premiums.

Griep….

Illustratie laat ons eerdere voorbeeld eens ‘klonteren’:

we hebben nu groepjes van steeds 102 klanten:

‘allemaal schade òf geen van allen’ nu is dus n = 104 i.p.v. 106 ; nog wel p = 10-3

X = aantal groepjes met schade weer bin(n,p)

EX=np = 10, σX={np(1-p)}1/2 ≈3.2 Y = aantal schades = 102X EY=102EX =103, dus net als eerst maar…. σY=102σX=320 is 10 keer zo groot!!!

Use approximation result for binomial rather than Poisson probabilities:

nτ =λτ/p, λτ= αrτ(1 + ζrτ),

e.g. αrτ = v{rα/(v+rr)}1/r, v= 1+τ-1

αrτ, ζrτ, and thus nτ ,decrease in τ

O.K.: overdispersion -> widening1. works fine (again)2. considerable effect of positive τ

Effect nu is 1.1pr echt niet veilig meer!

in feite is nu die 2pr nodig als kale premie, om ook weer maar 0.1% risico te lopen

conclusie: afhankelijkheden zijn ramp op zich!

herverzekeren (‘stop-loss premie’) lastig(er)

‘in het echt’ sowieso veel ingewikkelder

Idee mengsel van ‘losse’ schades en groepjes

bij gewone totaalschades: weinig effect, maar bij extreme gevallen: véél effect

in feite: kleine fractie groepjes (bijv. 5%) grote impact op stop-loss premie (bijv. 5 x)

’het venijn zit in de staart….’

Uitwerking bekijk opnieuw het voorbeeld:

n = 106,p = 10-3; nu 10% in groepjes van 102

X1= # gewone schades: bin(9.105,10-3)

EX1= 9.102, σX1≈ {9.102}1/2 =30 X2 = # groepsschades: 102Y, Y bin(103,10-3)

EX2= 102, σX2≈102{1}1/2 =100 !

EX= E(X1+X2)=103, ook nu weer; MAAR:

vervolg bekijk Y nog wat beter: Y bin(103,10-3) ≈ Poisson(1) P(Y=0)=0.37,P(Y=k)=P(Y=k-1)/k: P(Y=1)=0.37,

P(Y=2)=0.18, P(Y=3)=0.06, P(Y=4)=0.015,…. dus zelfs P(X2=5.102)=P(Y=5) nog 0.3%

met EX1= 9.102 haalt de totale schade

X= X1+X2 dus ‘makkelijk’ 1400!

In 2008 onderzoek afgerond

promotie heeft plaatsgevonden

ex-student (nu ‘dr.ir’ ) werkt als risico-analist bij AEGON nog veel van dit soort problemen over:

pech voor verzekeraars,maar geluk voor ons!

Afronding

Utilisatierapport STW 2007  

“Pas op voor de staarten van de verdeling”Prof.dr. Wim Albers - project: 05422

 Wiskunde abstract en puur theoretisch? Wie de toepassingen ziet waaraan

prof.dr. Wim Albers van de Universiteit Twente heeft meegewerkt, zal zich niet zo snel meer aan dat vooroordeel bezondigen....