finansijska matematika u praksi - wordpress.com · 2017. 3. 4. · uvo d-t eme i ci evi predavaa...

Finansijska matematika u praksiDragan Azdejkovi�Ekonomski fakultet, BeogradDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost

Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.


Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.Uqeni i imaju epara , kupuju mobilne telefone i meseqnepakete za �ih, vide roditee koji uzimaju kredite, sve su tositua ije koje ih se tiqu ili treba da ih pripreme zabudu�nost.Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.Uqeni i imaju epara , kupuju mobilne telefone i meseqnepakete za �ih, vide roditee koji uzimaju kredite, sve su tositua ije koje ih se tiqu ili treba da ih pripreme zabudu�nost.Dobra vest: Uqeni i osnovnih xkola, taqnije petog razreda,od naredne xkolske godine u sklopu nastave u xkoli ima�e iqasove o finansijskoj pismenosti.Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.Uqeni i imaju epara , kupuju mobilne telefone i meseqnepakete za �ih, vide roditee koji uzimaju kredite, sve su tositua ije koje ih se tiqu ili treba da ih pripreme zabudu�nost.Dobra vest: Uqeni i osnovnih xkola, taqnije petog razreda,od naredne xkolske godine u sklopu nastave u xkoli ima�e iqasove o finansijskoj pismenosti.Wall Street Journal: Finance + Math = Job


Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.Uqeni i imaju epara , kupuju mobilne telefone i meseqnepakete za �ih, vide roditee koji uzimaju kredite, sve su tositua ije koje ih se tiqu ili treba da ih pripreme zabudu�nost.Dobra vest: Uqeni i osnovnih xkola, taqnije petog razreda,od naredne xkolske godine u sklopu nastave u xkoli ima�e iqasove o finansijskoj pismenosti.Wall Street Journal: Finance + Math = JobXta �emo raditi?Kako se to radi u svetu i xta se oqekuje?Vremenska dimenzija nov a. Kupovina i vremeDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Uvod - Teme i ievi predava�aFinansijska pismenost podrazumeva da znate kako efikasnoda koristite finansijske alate, npr. nova , kreditnekarti e, qekove, da pro enite xta je za vas kratkoroqno, axta dugoroqno povono.Uqeni i imaju epara , kupuju mobilne telefone i meseqnepakete za �ih, vide roditee koji uzimaju kredite, sve su tositua ije koje ih se tiqu ili treba da ih pripreme zabudu�nost.Dobra vest: Uqeni i osnovnih xkola, taqnije petog razreda,od naredne xkolske godine u sklopu nastave u xkoli ima�e iqasove o finansijskoj pismenosti.Wall Street Journal: Finance + Math = JobXta �emo raditi?Kako se to radi u svetu i xta se oqekuje?Vremenska dimenzija nov a. Kupovina i vremeKritiqan odnos prema raznim formulama.Donoxe�e odluka.Pomo� MS Excell-aDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

PISA (2005)Zadatak 1GospoÆi a Mei-Ling, iz Singapura, boravi�e tri mese a uJu�noj Afri i u okviru studen ke razmene. Treba da zamenisingapurske dolare (SGD) u ju�noafriqke rande (ZAR).


PISA (2005)Zadatak 1GospoÆi a Mei-Ling, iz Singapura, boravi�e tri mese a uJu�noj Afri i u okviru studen ke razmene. Treba da zamenisingapurske dolare (SGD) u ju�noafriqke rande (ZAR).Mei-Ling je saznala da je odnos izmeÆu singapurskog dolarai ju�noafriqkog randa slede�i: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Lingje zamenila 3 000 singapurskih dolara u ju�noafriqke randepo tom kursu. Koliko je ju�noafriqkih randa dobilaMei-Ling? (N1 - 406)Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

PISA (2005)Zadatak 1GospoÆi a Mei-Ling, iz Singapura, boravi�e tri mese a uJu�noj Afri i u okviru studen ke razmene. Treba da zamenisingapurske dolare (SGD) u ju�noafriqke rande (ZAR).Mei-Ling je saznala da je odnos izmeÆu singapurskog dolarai ju�noafriqkog randa slede�i: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Lingje zamenila 3 000 singapurskih dolara u ju�noafriqke randepo tom kursu. Koliko je ju�noafriqkih randa dobilaMei-Ling? (N1 - 406)Kada se Mei-Ling vratila u Singapur posle tri mese a,ostalo joj je 3 900 ZAR-a. Ona ih me�a u singapurske dolare,konstatuju�i da se kurs promenio i da je sada: 1 SGD = 4,0ZAR. Koliko je singapurskih dolara dobila Mei-Ling? (N1 -439)Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

PISA (2005)Zadatak 1GospoÆi a Mei-Ling, iz Singapura, boravi�e tri mese a uJu�noj Afri i u okviru studen ke razmene. Treba da zamenisingapurske dolare (SGD) u ju�noafriqke rande (ZAR).Mei-Ling je saznala da je odnos izmeÆu singapurskog dolarai ju�noafriqkog randa slede�i: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Lingje zamenila 3 000 singapurskih dolara u ju�noafriqke randepo tom kursu. Koliko je ju�noafriqkih randa dobilaMei-Ling? (N1 - 406)Kada se Mei-Ling vratila u Singapur posle tri mese a,ostalo joj je 3 900 ZAR-a. Ona ih me�a u singapurske dolare,konstatuju�i da se kurs promenio i da je sada: 1 SGD = 4,0ZAR. Koliko je singapurskih dolara dobila Mei-Ling? (N1 -439)Tokom ta tri mese a kurs se promenio i pao je sa 4,2 na 4,0ZAR za jedan SGD. Da li je za Mei-Ling povoniji kurs od4,0 ZAR umesto 4,2 ZAR kada me�a svoje ju�noafriqke randeu singapurske dolare? Obrazlo�i svoj odgovor. (N4 - 586)Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

PISA (2015)


GMAT (2015)Zadatak 2Neka bakalni a kupuje x kilograma kolaqa po eni od p dolarapo kilogramu. Ako se y kilograma kolaqa ba a zato xto sevremenom pokvari, a bakalni a proda ostatak po s dolara pokilogramu, koji od slede�ih izraza prikazuje profit bakalni e?a) (x− y)s− xp b) (x − y)p− ys v) (s− p)y − xpg) xp− ys d)(x − y)(s− p)Rexe�e: Prihod TroxkoviDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

GMAT (2015)Zadatak 2Neka bakalni a kupuje x kilograma kolaqa po eni od p dolarapo kilogramu. Ako se y kilograma kolaqa ba a zato xto sevremenom pokvari, a bakalni a proda ostatak po s dolara pokilogramu, koji od slede�ih izraza prikazuje profit bakalni e?a) (x− y)s− xp b) (x − y)p− ys v) (s− p)y − xpg) xp− ys d)(x − y)(s− p)Rexe�e: Prihod Troxkovi(x− y) · s


GMAT (2015)Zadatak 2Neka bakalni a kupuje x kilograma kolaqa po eni od p dolarapo kilogramu. Ako se y kilograma kolaqa ba a zato xto sevremenom pokvari, a bakalni a proda ostatak po s dolara pokilogramu, koji od slede�ih izraza prikazuje profit bakalni e?a) (x− y)s− xp b) (x − y)p− ys v) (s− p)y − xpg) xp− ys d)(x − y)(s− p)Rexe�e: Prihod Troxkovi(x− y) · s x · p


GMAT (2015)Zadatak 2Neka bakalni a kupuje x kilograma kolaqa po eni od p dolarapo kilogramu. Ako se y kilograma kolaqa ba a zato xto sevremenom pokvari, a bakalni a proda ostatak po s dolara pokilogramu, koji od slede�ih izraza prikazuje profit bakalni e?a) (x− y)s− xp b) (x − y)p− ys v) (s− p)y − xpg) xp− ys d)(x − y)(s− p)Rexe�e: Prihod Troxkovi(x− y) · s x · pTaqan odgovor: a).Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

GMAT (2017)Zadatak 3Ove godine Milan �e od svog prihoda uxtedeti neku sumu nov a,a ostatak �e potroxiti. Slede�e godine Milan ne�e imatiprihode, ali �e za svaki dolar koji je uxtedeo ove godine, imati1 + r dolara na raspolaga�u da potroxi. U terminima od r, kojideo svog prihoda ove godine Milan treba da uxtedi, kako bislede�e godine imao na raspolaga�u iznos jednak polovini nov akoji �e potroxiti ove godine?a) 1

r+2b) 1

2r+2v) 1

3r+2g) 1

r+3d) 1

2r+3Rexe�e:Neka Milanov prihod iznosi 100. Oznaqimo sa x koliqinu nov akoji �e on uxtedeti ove godine. Tada:Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi


r+2b) 1

2r+2v) 1

3r+2g) 1

r+3d) 1

2r+3Rexe�e:Neka Milanov prihod iznosi 100. Oznaqimo sa x koliqinu nov akoji �e on uxtedeti ove godine. Tada:2 · (1 + r)x = 1− xDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi


r+2b) 1

2r+2v) 1

3r+2g) 1

r+3d) 1

2r+3Rexe�e:Neka Milanov prihod iznosi 100. Oznaqimo sa x koliqinu nov akoji �e on uxtedeti ove godine. Tada:2 · (1 + r)x = 1− xOdakle, x =

1

2r + 3, pa je taqan odgovor pod d).Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Kupovina (Rusija)Zadatak 4Imamo nameru da kupimo u jednoj od tri firmi 50m2 laminatakako bi pokrili pod u stanu. Koliko minimalno dinara jeneophodno platiti za laminat sa dostavom? Cena, uslovi dostavei posebni popusti dati su u tabeli:Firma Cena (po m2) Dostava Posebni popustA 380 1600 NemaB 390 1400 Za kupovinu ve�uod 20000 dostava jebesplatnaV 410 1300 Za kupovinu ve�uod 20000 dostava jebesplatnaDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Vremenska vrednost nov aPV - Sadax�a vrednostFV - Budu�a vrednostp - diskontna stopa !


Vremenska vrednost nov aPV - Sadax�a vrednostFV - Budu�a vrednostp - diskontna stopa !Osnovna ("prirodna") veza:

FV = PV · (1 + p)


La�ne dileme - Analiza formulaKada se vrxi naplata kamate?


La�ne dileme - Analiza formulaKada se vrxi naplata kamate?Na kraju perioda - Dekurzivni interesNa poqetku perioda - Anti ipativni interes


La�ne dileme - Analiza formulaKada se vrxi naplata kamate?Na kraju perioda - Dekurzivni interesNa poqetku perioda - Anti ipativni interesData je diskontna stopa (p) za period od 1 godine, a tokovinov a imaju kra�i period (m - puta u toku godine). Kolikoiznosi diskontna stopa p′ koja odgovara kra�em periodu?

p′ =p

m(propor ionalni metod)

p′ = m

√

1 + p− 1 (komforni metod)AnalizaDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

KreditAnuitet (a), kredit K, otplate bk

a =Kp

1− (1 + p)−n, bk = a(1 + p)k−n−1, k = 1, 2, . . . ..., nAnuitetni planKredit


Realna stopa - diskontna stopa i infla ijaZadatak 5Ako je interesna stopa po kojoj je uzet kredit s = 12%, a stopainfla ije i = 5%, koliko iznosi realna interesna stopa po kojojuzet kredit?Oznaqimo tu stopu sa r. Tada:


Realna stopa - diskontna stopa i infla ijaZadatak 5Ako je interesna stopa po kojoj je uzet kredit s = 12%, a stopainfla ije i = 5%, koliko iznosi realna interesna stopa po kojojuzet kredit?Oznaqimo tu stopu sa r. Tada:(1 + r)(1 + i) = 1 + s


Realna stopa - diskontna stopa i infla ijaZadatak 5Ako je interesna stopa po kojoj je uzet kredit s = 12%, a stopainfla ije i = 5%, koliko iznosi realna interesna stopa po kojojuzet kredit?Oznaqimo tu stopu sa r. Tada:(1 + r)(1 + i) = 1 + sOdatle,

1 + r =1 + s

1 + i

r = 1−1 + s

1 + i, pa zamenom vrednosti imamo

r = 1−1 + 0, 12

1 + 0, 05= 0, 0666

r = 6, 67%Realna interesna stopaDragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Donoxe�e odluka - NaftaZadatak 6Pretpostavimo da ste vlasnik skoro presuxenog izvora nafte.Na �emu mo�ete zaraditi u toku prve godine 1 200 000$ i u tokudruge godine 720 000$, a onda �e izvor presuxiti. MeÆutim,mo�ete kupiti pumpu pomo�u koje �ete is rpsti izvor za godinudana i zaraditi 2 040 000$. Ako je godix�a diskontna stopajednaka 20%, koliko iznosi najvixa ena po kojoj ima smislakupiti pumpu.Rexe�e:Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Donoxe�e odluka - NaftaZadatak 6Pretpostavimo da ste vlasnik skoro presuxenog izvora nafte.Na �emu mo�ete zaraditi u toku prve godine 1 200 000$ i u tokudruge godine 720 000$, a onda �e izvor presuxiti. MeÆutim,mo�ete kupiti pumpu pomo�u koje �ete is rpsti izvor za godinudana i zaraditi 2 040 000$. Ako je godix�a diskontna stopajednaka 20%, koliko iznosi najvixa ena po kojoj ima smislakupiti pumpu.Rexe�e:Oznaqimo sa A strategiju u kojoj se ne kupuje pumpa, a sa Bstrategiju u kojoj se kupuje pumpa, tada:NPV (A) = 0 +

1200000

1, 21+

720000

1, 22= 1500000 (1)

NPV (B) = 0 +2040000

1, 21+

0

1, 22= 1700000 (2)Zakuqak: Najvixa ena iznosi NPV (A) −NPV (B) = 200000$[Nafta℄ Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Donoxe�e odluka - ProjekatZadatak 7Kapitalni izdatak u projekat "Aleksandar" iznosi 200000dinara. Od projekta se oqekuju slede�i godix�i neto novqanidobi i na krajevima vremenskih perioda: 1. godina 120000, 2.godina 114000, 3. godina i dae 2000 dinara. Pretpostavimo daproseqna ena kapitala iznosi 12%. Ako je period povra�ajanov a trenutak kad ukupna suma novqanih tokova postanepozitivna, onda je period povra�aja nov a za projekat"Aleksandar":Rexe�e: [Aleksandar℄


Donoxe�e odluka - O ena investi ijaZadatak 8Pretpostavimo da razmatrate slede�u finansijsku opera iju:Treba investirati odmah 1000$ ali �ete primiti ireinvestirati 700$ posle jedne godine i 800$ na kraju drugegodine. Pretpostavimo da je godix�a stopa infla ije 10%.MeÆutim s obzirom da nemamo nov a moramo da pozajmimo odbanke 400$ na jednu godinu po interesnoj stopi od 15%. Da li seisplati ula�e�e u datu opera iju ?Rexe�e: [O ena investi ija℄


Donoxe�e odluka - Stopa prinosaZadatak 9Kapitalni izdatak u projekat "Marija" iznosi 200000 dinara.Od projekta, koji traje 2 godine se oqekuju slede�i godix�i netodobi i na krajevima vremenskih perioda: 1. godina 168000dinara, 2. godina 125440 dinara. Pretpostavimo da proseqna ena kapitala iznosi 12%. Ako je stopa prinosa relativan odnosdobitka i ulo�enog kapitala u ovaj projekat u pro entima, ondaje stopa prinosa za projekat "Marija"?Rexe�e:Vreme 0 1 2Tok nov a -200 000 168 000 125 440Diskontni faktori 1 1

1,121

1,122Diskontovane vrednosti -200 000 150 000 100 000Ukupno 50 000Stopa prinosa 25%[Stopa prinosa℄ Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Donoxe�e odluka - Najvixa enaZadatak 10Vlasnik jednog restorana �eli da ulo�i nova u novi jukebox.On oqekuje da �e zbog jukebox-a imati dodatni godixni prihod od2000$ neto ukuquju�i i troxkove odr�ava�a. Deo plana je iprodaja jukebox-a posle 2 godine, za oko 500$. Ako je interesnastopa 6%, koliko vlasnik restorana mo�e najvixe da platijukebox, a da �egov prihod na kraju ele investi ije bude bar620$? (Iznose zaokru�iti na ele brojeve)Rexe�e: Vreme 0 1 2Tok nov a −x 2000 2500Diskontni faktori 1 1

1,061

1,062

−x+2000

1, 06+

2500

1, 062> 620 → x > 3492[Najvixa ena℄ Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Nominalna (NKS) i efektivna kamatna stopa(EKS) !?NKS ili nominalna kamatna stopa je neto kamatna stopa pokojoj se kredit odobrava i ona predstava enu nov a po kojojbanka plasira kredit. Ona se stava u ugovor i na osnovu �ese izraqunavaju otplatni anuiteti kredita.


Nominalna (NKS) i efektivna kamatna stopa(EKS) !?NKS ili nominalna kamatna stopa je neto kamatna stopa pokojoj se kredit odobrava i ona predstava enu nov a po kojojbanka plasira kredit. Ona se stava u ugovor i na osnovu �ese izraqunavaju otplatni anuiteti kredita.EKS (efektivna kamatna stopa) je nominalna kamatna stopauve�ana za sve troxkove koje klijent ima prilikomodobrava�a kredita (proviziju za obradu, razne naknade isliqno).Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

Nominalna (NKS) i efektivna kamatna stopa(EKS) !?NKS ili nominalna kamatna stopa je neto kamatna stopa pokojoj se kredit odobrava i ona predstava enu nov a po kojojbanka plasira kredit. Ona se stava u ugovor i na osnovu �ese izraqunavaju otplatni anuiteti kredita.EKS (efektivna kamatna stopa) je nominalna kamatna stopauve�ana za sve troxkove koje klijent ima prilikomodobrava�a kredita (proviziju za obradu, razne naknade isliqno).Zvuqi jednostavno? Ipak nije. "Ako je kredit uzet od 10.000$na 12 mese i, 10% nominalnom kamatnom stopom i naknadomza odobre�e od 1%, u tom sluqaju efektivna kamatna stopaiznosi 12,16%." ??Dragan Azdejkovi� Finansijska matematika u praksi

finansijska matematika u praksi - wordpress.com · 2017. 3. 4. · uvo d-t eme i ci evi predavaa...

Documents