finite difference ftcs laasonen crank-nicolson
DESCRIPTION
Makalah ini berisi mengenai teori komputasi perpindahan panas dengan finite difference metode FTCS, Laasonen, Crank-NicolsonTRANSCRIPT
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
KOMPUTASI PERPINDAHAN PANAS
Disusun Oleh :
Sidiq Adhi Darmawan
I0409049
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
I. Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari - hari banyak kita temui fenomena perpindahan panas dari
suatu material atau fluida yang mempunyai temperatur lebih tinggi ke material atau
fluida yang mempunyai temperatur yang lebih rendah
Perpindahan panas akan terjadi apabila ada perbedaan temperatur antara beberapa
benda, baik benda itu bersentuhan maupun tidak bersentuhan perpindahan panas akan
terjadi, dan perpindahan panas akan mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke
benda yang bertemperatur lebih rendah. Perpindahan panas ini dapat berlangsung
dalam tiga bentuk yang berbeda yaitu konduksi, konveksi dan radiasi.
Perpindahan panas konduksi, konveksi dan radiasi selalu terjadi di kehidupan
sehari – hari maupun di dunia kerja dalam berbagai cara yang berbeda – beda.
Meskipun perpindahan panas tersebut dalam betuk abstrak yang tidak terlihat namun
dapat selalu dirasakan oleh panca indera manusia.
Pada tinjauan komputasi, konsep – konsep yang bersifat abstrak seperti
perpindahan panas dapat di analisa kedalam bentuk nyata melalui pembuatan simulasi
atas kondisi tersebut. Komputasi merupakan solusi untuk memecahkan masalah –
masalah analitik yang kompleks menjadi perumusan numerik untuk penyelesaian secara
interaktif dengan bantuan komputer.
FORTRAN ( Formula Translation ) merupakan salah satu bahasa pemrograman
yang dapat digunakan untuk menggambarkan konsep – konsep abstrak perpindahan
panas agar dapat terlihat jelas mengenai fenomena yang terjadi pada perpindahan panas.
Fortran merupakan salah satu bahasa pemrograman tingkat tinggi (high level language)
yang berorientasi kepada suatu masalah tertentu, yang sangat cocok digunakan untuk
masalah yang berkaitan dengan bidang matematika dan teknik.
II. Landasan Teori
II. 1. Perpidahan Panas
Panas ( kalor ) merupakan salah satu bentuk energi. Energi dapat berpindah
dari suatu tempat ke tempat lain, dan dapat pula berubah bentuk, dari bentuk
energi satu ke energi lain.
Perpindahan panas merupakan berpindah energi kalor dari benda yang
bersuhu lebih tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah. Perpindahan panas
akan terjadi apabila ada perbedaan temperatur.
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Perpindahan panas masih akan terus berlangsung sampai diperoleh suhu
kesetimbangan dengan lingkungan. Kecepatan perpindaha panas tergantung pada
perbedaan suhu antara kedua bahan, semakin besar perbedaan suhu antara
kedua bahan, maka semakin besar kecepatan pindah panas antara kedua
bahan tersebut. Perbedaan suhu antara sumber panas dan penerima panas
merupakan gaya tarik dalam pindah panas. Peningkatan perbedan suhu akan
meningkatkan gaya tarik sehingga meningkatkan kecepatan pindah panas.
Distribusi temperatur merupakan hal yang penting untuk mengetahui aliran
kalor. Distribusi temperatur dan perpindahan kalor merupakan sesuatu yang
menarik pada banyak penelitian dan aplikasi teknik, seperti dalam merancang
penukar kalor inti reaktor nuklir, system pemanas dan sistem pendingin ruangan,
serta sistem energi solar.
Dalam pembagiannya perpindahan kalor dibagi menjadi tiga mekanisme
perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.
Gambar 1. Perpindahan panas konduksi, konveksi dan radiasi.
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
II. 1. 1. Perpindahan Panas Konduksi
Perpindahan kalor konduksi adalah hantaran kalor yang tidak disertai
dengan perpindahan partikel perantaranya. Pada hantaran kalor ini yang
berpindah hanyalah energi, tanpa melibatkan partikel perantaranya. Salah satu
contoh yang paling terkenal adalah apabila sebuah logam pada ujung yang
disatu dipanaskan dalam waktu tertentu maka ujung yang lainnya akan ikut
memanas.
Gambar 2. Perpindahan panas konduksi
Perpindahan kalor di dalam zat padat dapat dijelaskan dengan teori atom.
Atom – atom dalam zat padat yang dipanaskan akan bergetar dengan kuat.
Atom – atom yang bergetar akan memindahkan sebagian energinya kepada
atom lain terdekat yang ditumbuknya. Kemudian atom didekatnya yang
ditumbuk dan mendapatkan kalor ini akan ikut bergetar dan menumbuk atom
lain didekatnya lagi, demikian seterusnya sehingga terjadi perpindahan kalor
dalam zat padat tersebut.
Laju perpindahan panas konduksi dinyatakan dengan persamaan :
𝑄 𝑘𝑜𝑛𝑑 =𝑄
𝑡= −𝑘.𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Dimana :
𝑄 = 𝑄
𝑡 = Laju perpindahan panas (W)
A = Luas penampang dimana panas mengalir (m2)
𝑑𝑇
𝑑𝑥 = Gradien suhu pada penampang, atau laju perubahan suhu T terhadap
jarak dalam arah aliran panas x
K = Konduktivitas thermal bahan (W/m oC)
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
II. 1. 2. Perpindahan Panas Konveksi
Bila ada fluida yang bergerak terhadap suatu permukaan, dan kedua
suhunya tidak sama, maka akan terjadi mekanisme perpindahan panas secara
konveksi. Semakin cepat gerakan fluida tersebut, maka semakin besar laju
perpindahan panas konveksinya. Bila fluida tidak bergerak, maka mekanisme
perpindahan panas akan menjadi mekanisme perpindahan panas konduksi
kembali. Pada perpindahan konveksi, pergerakan fluida berperan dalam laju
perpindahan kalor.
Gambar 3. Mekanisme perpindahan panas konveksi
Karena konveksi terjadi akibat adanya gerakan fluida, maka perpindahan
panas konveksi ada dua macam, yaitu konveksi natural (alami), dan konveksi
paksa.
a. Konveksi natural (natural convection)
Apabila pergerakan fluida dikontrol sebagai hasil dari perbedaan massa
jenis (densitas) yang disebabkan oleh perbedaan temperatur diantara
fluida. Contohnya yaitu terjadinya angin laut dan angin darat.
b. Konveksi paksa (forced convection)
Apabila pergerakan fluida disebabkan oleh mekanisme dari luar secara
paksa seperti oleh blower, atau fan.
Besarnya laju perpindahan panas konveksi dapat dirumuskan :
𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 =𝑄
𝑡= ℎ.𝐴.∆𝑇
Dimana :
h = koefisien konveksi ( Watt/m2.K ) 𝛥T = Perbedaan suhu ( K )
A = Luas permukaan konveksi ( m2 )
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
II. 1. 3. Perpindahan Panas Radiasi
Perpindahan panas radiasi merupakan perpindahan panas yang tanpa
memerlukan media perantara, mekanisme perpindahan panas karena adanya
radiasi elektromagenetik. Jadi radiasi adalah energi yang dipancarkan oleh
bahan tertentu dalam bentuk gelombang elektromagnetik (photon) sebagai hasil
dari perubahan konfigurasi elektron dari atom atau molekul.
Gambar 4. Contoh perpindahan panas radiasi
Laju radiasi besarnya dapat dirumuskan :
𝑄 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑠𝑖 =𝑄
𝑡= ɛ.𝐴.𝜎. (𝑇𝑠
4 − 𝑇𝑠𝑢𝑟4 )
Dimana :
ɛ = Emisivitas
𝜎 = Stefan-Botzmann Constant = 5.67 x 10-8
W/m2.K
4
A = Luas permukaan ( m2 )
Ts = Absolute temperature of surface ( K )
Tsurr = Surrounding temperature ( K )
II. 2. Metode Beda Hingga
Metode beda hingga digunakan sebagai pendekatan dalam menghitung
turunan numerik untuk menyelesaikan suatu pemodelan yang memiliki
bentuk persamaan diferensial. Metode beda hingga dapat diturunkan
dengan dua cara, yaitu dengan ekspansi deret Taylor dan dengan hampiran
polinom interpolasi.
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Deret Taylor
Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama
Pendekatan beda maju (forward difference)
Pendekatan beda mundur (backward difference)
Pendekatan beda tengah (central difference)
Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua
Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah pendektan beda
tengah (central difference)
Adapun untuk penyelesaian persamaan konduksi 1D Unsteady pada kasus
perpindahan panas, metode yang dapat digunakan antara lain :
1. Metode FTCS (Forward in Time Central in Space)
2. Metode Laasonen
3. Metode Crank-Nicolson
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
1 !
)()()(
nn
nn
x
f
n
xxfxxf
)(1 xx
ff
x
f ii
)(1 xx
ff
x
f ii
211 )(2
xx
ff
x
f ii
2
2
x
f
2
2
11
2
2 2x
x
fff
x
f iii
x
f
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
II. 2. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space)
Solusi FTCS termasuk ke dalam solusi - solusi stabil bersyarat dengan
syarat kestabilan .
Skema metode FTCS
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Sehingga :
2
2
x
T
t
T
xt
TT
t
Tnn
ii
1
2
2
1
2
2 21
xx
TTT
x
Tn
i
nnii
211
12
x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
nnii
Dimana :
i = indeks ruang
n = indeks waktu
n
i
n
i
n
i
nn TTTx
tTT ii 112
1 2
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
II. 2. 2. Metode Laasonen
Skema metode Laasonen
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Sehingga :
Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks
Dimana :
2
2
x
T
t
T
xt
TT
t
Tnn
ii
1
2
2
1
1
11
2
2 21
xx
TTT
x
Tn
i
nnii
n1n
1i
1n1n
1i ii TTTT
222
11
1
11
12
1
1
11
12
1
2
1
1
11
1
1
21
2
2
2
x
t
x
t
x
t
TTTTTx
t
TTTx
tTT
x
TTT
t
TT
nnn
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
nn
n
i
n
i
n
i
nn
ii
ii
ii
n
iT
i
i
i
i
d
x
tc
x
tb
x
ta
2
2
2
21
Dimana :
i = indeks ruang
n = indeks waktu
iiii dcba
1n
1i
1n1n
1i TTT i
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
a2 b
2 c
2
a3 b
3 c
3
a4 b
4 c
4
anx-2
bnx-2
cnx-2
anx-1
bnx-1
cnx-1
T1
T2
T3
T4
Tnx-
2
Tnx-
1
Tnx
=
d2
d3
d4
dnx-
2
dnx-
1
Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
sebagai berikut :
T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition)
Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma
Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)
II. 2. 3. Metode Crank-Nicolson
Skema metode Crank - Nicolson
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
2
2
x
T
t
T
Dimana :
i = indeks ruang
n = indeks waktu
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :
Langkah waktu ( nn+1/2)
Diskretisasi turunan waktu
Diskretisasi turunan ruang
Langkah waktu ( n+1/2n+1)
Diskretisasi turunan waktu
Diskretisasi turunan ruang
Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :
_______________________________________ +
x
t
TT
t
Tnn
ii
2/
2/1
2
2
1
2
2 21
xx
TTT
x
Tn
i
nnii
211
2/12
2/ x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
nnii
x
t
TT
t
Tnn
ii
2/
2/11
2
2
1
1
11
2
2 21
xx
TTT
x
Tn
i
nnii
21
1
11
1
2/112
2/ x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
nnii
211
2/12
2/ x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
nnii
21
1
11
1
2/112
2/ x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
nnii
n
i
n
i
n
i TTTx
t
x
t
x
t
x
t
112
222
22
21
2
n
1n
1i
1n1n
1i
i
i
T
TTT
2
1
1
11
1
2
11
122
2/ x
TTT
x
TTT
t
TT n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
nnii
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Dimana :
Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma Thomas
III. Penyelesaian Soal Perpindahan Panas Konduksi 1D
Sebuah dinding besi 1 dimensi lebar 70 mm. Difusivitas thermal =0.000217 m2/s.
Mula-mula temperatur dinding besi (To) seragam 10ºC, kemudian dinding besi sebelah
kiri (T1) dipertahankan pada temperature 70ºC dan pada dinding besi kanan (T2)
dipertahankan pada temperatur 20ºC. Hitunglah distribusi temperatur pada dinding
setelah 0.1 dan 10 detik dengan menggunakan metode FTCS, Laasonen dan Crank -
Nicholson?
Penyelesaian
1. Langkah pertama membagi domain Nx = 36 grid
Nx = 36 grid
∆x = 7
36−1 = 0.002 m
∆t = 0.001
α = 0.000217 m2/s
Tmax = 0.1 sec dan 0.10 sec
2. Langkah kedua menentukan initial condition (IC)
Ti= 10oC
n
i
n
i
n
iii
ii
TTTx
td
x
tc
x
tb
x
ta
1122
22
222
12
n
iT
iiii dcba
1n
1i
1n1n
1i TTT i
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
3. Langkah ketiga menentukan kondisi batas (BC)
T1 = 70OC
TNX = 20OC
4. Langkah keempat menghitung Tin+1
dengan metode FTCS, Laasonen, Crank -
Nicholson menggunakan program fortran
III. A METODE FTCS ( Forward in Time Central in Space )
a. Progam Fortran
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
b. Hasil Eksekusi Metode FTCS
T = 0.1 detik T = 10 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
III.B METODE LAASONEN
a. Program Metode Lassonen
Progam Laasonen pada saat T = 0.1 Detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Progam Laasonen pada saat T = 10 Detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
b. Hasil Eksekusi Progam Metode Laasonen
Saat T = 0.1 Detik Saat T = 10 Detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
III.C Metode Crank-Nicolson
a. Progam Fortran Metode Crank-Nicolson
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
b. Hasil Eksekusi Metode Crank-Nicolson
Pada T = 0.1 Detik Pada T = 10 Detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
IV. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai perpindahan panas konduksi 1 dimensi
unsteady di atas, dapat diambil berbagai kesimpulan sebagai berikut :
a. Perpindahan panas akan terjadi bila ada perbedaan temperatur, dan perpindahan
panas mengalir dari bagian yang bertempatur lebih tinggi ke bagian yang
bertemperatur lebih rendah.
b. Dengan menggunakan metode numeric pendekatan beda hingga dapat dengan
mudah menyelesaikan mensimulasikan persoalan perpindahan panas konduksi satu
dimensi dengan bantuan komputer
c. Apa beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan konduksi
1D unsteady, antara lain yaitu metode FTCS, metode Laasonen dan Crank –
Nicolson.
d. Skema FTCS stabil dengan syarat .
e. Metode Crank-Nicolson merupakan metode beda hingga yang memiliki kestabilan
tanpa syarat dan nilai error nya paling kecil dibandingkan dengan metode FTCS dan
Laasonen.
f. Penyelesaian permasalahan perpindahan panas konduksi 1 dimensi menggukan
komputasi dapat mempersingkat waktu.
V. Daftar Pustaka
Cengel, Yunus A.2003.Heat Transfer A Practical Approach 2nd edition. Mc Graw-. Hill
Companies Inc: New York.
Hoffman, Klaus A & Chiang, Steve T. 2000. Computational Fluid Dynamics 4th Vol 1.
Vicita: Texas.
Incropera, Frank P. & DeWitt, David P. 1996. Fundamental of Heat and Mass Transfer
4th Edition. John Wiley & Sons : United States of America
Universitas Pendidikan Ganesha,”
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Sebuah plat besi mempunyai temperatur 27 oC dengan tebal plat 90 mm.
Kemudian plat tersebut di panaskan pada kedua sisinya masing – masing 100oC dan
45oC secara konstan. Apabila massa jenis besi = 7874 Kg/m
3, kalor jenis besi = 448
J/KgoC dan konduktifitas termal besi 78 W/m
oC. Hitunglah distribusi temperatur pada
besi tersebut selama a) 0,20 detik b) 20 detik. Gunakan metode FTCS, Metode
Laasonen dan Metode Crank-Nicolson.
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
III. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space )
Plat Besi
100oC 45oC
90 mm
27oC
ρ = 7874 Kg/m3
Cp = 448 J/KgoC
k = 78 W/m oC
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
a) Program FTCS untuk t = 0,2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program FTCS untuk t = 0.2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
b) Program FTCS untuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program FTCS untuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
III. 2. Metode Laasonen
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
a) Program Laasonen untuk t = 0,2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program Laasonen untuk t = 0,2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
b) Program Laasonen untuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program Laasonen untuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
III. 3. Metode Crank-Nicolson
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
a) Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret b) Program Crank – Nicolson unyuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 20 detik
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret
Sidiq Adhi Darmawan – Universitas Sebelas Maret