fir- ltre · fir lavpass filter avhengig av symmetrien og om orden på lteret m er et partall eller...

FIR-�ltre

Jan Egil Kirkebø

Universitetet i Oslo

janki@i�.uio.no

4. november 2019

Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 4. november 2019 1 / 29

Filtre

LTI-system: Lineart og tidsinvariantsystem.

Filter: LTI-system som forandrer etinputsignal på en bestemt måte.

Frekvensselektivt �lter:Frekvensspekteret til et inputsignalformes slik at noenfrekvenskomponenter passerer mensandre undertrykkes.

FIR: Finite impulse response (endeligimpulsrespons).

IIR: In�nite impulse response (uendeligimpulsrespons).


Filterdesign (fra boken)

1 Speci�cation: Specify the desired frequency response function

characteristics to address the needs of a speci�c application.

2 Approximation: Approximate the desired frequency response function by

the frequency response of a �lter with a polynomial or a rational system

function. The goal is to meet the speci�cations with minimum complexity,

that is, by using the �lter with the lowest number of coe�cients.

3 Quantization: Quantize the �lter coe�cients at the required �xed-point arith-

metic representation. Quantization of �lter coe�cients and its implications for

performance are discussed in Chapter 15.

4 Veri�cation: Check whether the �lter satis�es the performance

requirements by simulation or testing with real data. If the �lter does not

satisfy the requirements, return to Stage 2, or reduce the performance

requirements and repeat Stage 4.

5 Implementation: Implement the system obtained in hardware, software, or

both. Structures for the realization of discrete-time systems have been discus-

sed in Chapter 9.


Filterspesi�kasjon


Approksimeringsfeil

Vil �nne en H(z) slik at��H �e j!�� eller \H �e j!� tilnærmer en ideell

�lterrespons Hd

�e j!�(f.eks. over et frekvensintervall av interesse B,

vanligvis unionen av passbånd og stoppbånd).

Minste kvadraters tilnærming: Energien i feilen:

E2 =

�1

2�

ZB

��Hd

�e j!�� H

�e j!��2 d!

�1=2

:

Minimax (Chebyshev) tilnærming: Maksimal feil:

E1 = max!2B

��Hd

�e j!�� H

�e j!�� :

Taylorrekke tilnærming: Maksimal �at respons. Ønsker at

funksjonen A(!) =��H �e j!��2 skal være veldig lik funksjonen

Ad(!) =��Hd

�e j!��2 ved frekvensen ! = !0. Setter A(!0) = Ad(!0)

og approksimerer ved å la de m � 1 deriverte være like.


Ideelt lineær-fase �lter

Fra kapittel 5.3 har vi at et LTI-system bevarer �formen� på et signaldersom

y [n] = Gx [n � k]; G > 0;

hvor G og k er konstanter. Fouriertransformen (se Tabell 4.4, tidsskift gir

x [n � k]DTFT ��! e�j!kX (e j!)) gir at

Y�e j!�= Ge�j!kX

�e j!�:

Frekvensresponsen blir

H�e j!�=

Y�e j!�

X (e j!)= Ge�j!k :

Dermed må ��H �e j!�� = G og \H�e j!�= �!k:


Ideelt Lavpass�lter

Et ideelt lavpass�lter med lineær fase har frekvensresponsen

Hlp

�e j!�=

�e�j�!; j!j < !c

0; !c < j!j � �

Impulsresponsen blir

hlp[n] =sin(!c(n � �))

�(n � �):

Vi får impulsresponsen hlp[n] ved å sample impulsresponsen til etkontinuerlig-tid ideelt lavpass�lter med kuttfrekvens c = !c=T ogsampling t = nT .

Dersom vi skal aproksimere et ideelt lavpass�lter hlp[n] med et �lter avlengde M, minimeres minste kvadraters feils dersom vi simpelthentrunkerer hlp[n].


FIR Lavpass Filter

Avhengig av symmetrien og om orden på �lteret M er et partall elleroddetall, �nnes det �re typer FIR �ltre med lineær fase:

h[n] = �h[M � n]; M er partall eller oddetall.

Vi ser på et kontinuerlig-tid lavpass�lter med !c = 0:4� medforsinkelser på � = 6, 6:5 og 6:25, og dets trunkerte ideelle FIRlavpass�lter med M = 12, M = 13 og M = 13.

Dersom 2� ikke er et heltall ser vi at faseresponsen er ikke-lineær og

at gruppeforsinkelsen �gd = �d(e j!)

d! ikke er konstant.


Fire typer FIR-�ltre

Type I: Symmetrisk impulsrespons (h[n] = h[M � n]) og orden M eret partall:

H�e j!�=

0@M=2X

k=0

a[k] cos(!k)

1A e�j!M=2

= A�e j!�e�j!M=2:

Type II: Symmetrisk impulsrespons og orden M er et oddetall:

H�e j!�=

0@(M+1)=2X

k=1

b[k] cos

�!

�k �

1

2

��1A e�j!M=2

= A�e j!�e�j!M=2:


Fire typer FIR-�ltre (forts.)

Type III: Antisymmetrisk impulsrespons (h[n] = �h[M � n]) og ordenM er et partall:

H�e j!�=

0@M=2X

k=1

c[k] sin(!k)

1A e�j!M=2

= jA�e j!�e�j!M=2:

Type IV: Antisymmetrisk impulsrespons og orden M er et oddetall:

H�e j!�=

0@(M+1)=2X

k=1

d [k] sin

�!

�k �

1

2

��1A e�j!M=2

= jA�e j!�e�j!M=2:


Amplituderespons til FIR-�ltre med Lineær Fase

Frekvenseresponsen til type I-IV FIR-�ltre med lineær fase kan skrives påformen:

H�e j!�= A

�e j!�e(e

j!):


Valg av type FIR-�lter med Lineær Fase

Amplitudefunksjonen til et FIR-�lter med lineær fase kan skrives på formen:

A�e j!�= Q

�e j!�P�e j!�:


Trunkering i Frekvensdomenet

Trunkering av et ideelt lavpass�lter medlineær fase kan uttrykkes ved

h[n] = hlp[n]w [n];

hvor

w [n] =

�1; 0 � n � M0; ellers.

Vindusteoremet for DTFT gir at

H�e j!�=

1

2�

Z �

��Hlp

�e j��W�e j(!��)

�;

hvor

W�e j!�=

sin(!(M + 1)=2)

sin(!=2)e j!M=2:


Rektangulært vindu

Gitt ved

w [n] =

�1; 0 � n � M0; ellers.


Vindustyper

Bartlett (triangulært): Matlab-funksjon bartlett:

w [n] =

8<:

2n=M; 0 � n � M=22� 2n=M; M=2 < n � M0; ellers

Hann: Matlab-funksjon hann:

w [n] =

�0:5� 0:5 cos(2�n=M); 0 � n � M0; ellers

Hamming: Matlab-funksjon hamming:

w [n] =

�0:54� 0:46 cos(2�n=M); 0 � n � M0; ellers

Blackman: Matlab-funksjon blackman:

w [n] =

�0:42� 0:5 cos(2�n=M) + 0:08 cos(4�n=M); 0 � n � M0; ellers


Vindustyper (forts.)



Ikke-rektangulære vinduer gir en glattere trunkering avimpulsresponsen.

Svingninger i pass- og stoppbåndet reduseres på bekostning avbredden av transisjonsbåndet.


FIR-�lter Design med Vinduer

1 Beregn �p og �s og sett � = minf�p; �sg.

2 Bestem !c = (!p + !s)=2.

3 Regn ut A = �20 log10 � og �! = !s � !p.

4 Velg vindusfunksjonen i tabellen for vindustyper som har minstestoppbånd undertrykking større enn A. Finn M = L� 1 for dennevindusfunksjonen ved å velge �eksakt� �!. Hvis M er et oddetall kanverdien økes med én for å kunne velge et type I �lter.

5 Bestem

hlp[n] =sin(!c(n �M=2))

�(n �M=2):

6 Beregn h[n] = hlp[n]w [n] for valgte vindusfunksjon.

7 Sjekk om designet �lter tilfredsstiller spesi�kasjonene, hvis ikke økesM og prosessen gjentas fra Steg 5.


Eksempel 10.2

wp = 0.25 � p i ; ws = 0.35 � p i ; Ap = 0 . 1 ; As = 50 ;d e l t a p = (10^(Ap / 20) � 1) / (10^(Ap / 20) + 1) ;d e l t a s = (1 + de l t a p ) / (10^(As / 20) ) ;d e l t a = min ( de l t ap , d e l t a s ) ; A = �20 � l og10 ( d e l t a ) ;Deltaw = ws � wp ; wc = (ws + wp) / 2 ;L = c e i l ( 6 . 6 � p i / Deltaw ) + 1 ; % Vindus l engdeM = L � 1 ; % F i l t e r o r d e nn = 0 : M; hd = i d e a l l p (wc , M) ; % L a v p a s s f i l t e rh = hd .� hamming (M) ' ; % Hamming�v induw = l i n s p a c e (�pi , p i , 1024) ; % Rad i an f r e k v en sH = f f t s h i f t ( f f t ( h , l e n g t h (w) ) ) ; % F r ek v en s r e s pon sp l o t (w, 20 � l og10 ( abs (H) ) , ' L ineWidth ' , 2) ;x t i c k s ( [ 0 , p i / 4 , p i / 2 , 3 � p i / 4 , p i ] ) ;x t i c k l a b e l s ({ ' 0 ' , ' \ p i / 4 ' , ' \ p i / 2 ' , ' 3 \ p i / 4 ' , ' \ p i ' }) ;a x i s ( [ 0 , p i , �90, 5 ] ) ;g r i d on ;x l a b e l ( ' Rad i a n f r e k v en s ' ) ;y l a b e l ( ' Ampl i tude [ dB ] ' ) ;


Eksempel 10.2 (forts.)


Matlab � Filter Designer (fdatool)


Kaiser-vindu

For tidligere vinduer er transisjonsbåndet �! omvendt proporsjonaltmed M. For et gitt vindu er pass- og stoppbåndet er konstant.

Kaiser-vinduet har en parameter � som påvirker transisjonsbåndetsamt pass- og stoppbåndet (Matlab-funksjoner kaiser ogkaiserord).


Kaiser-vindu (forts.)

Det er hovedsaklig � som avgjør sidelobeundertrykkelsen.

Ved � = 0 får vi et rektangulært vindu.

Vi har �p � �s , og setter � = maxf�p; �sg.

For å designe et �lter med et gitt sidelobenivå kan vi bruke følgendeempiriske sammenheng:

� =

8<:

0; A < 210:5842(A� 21)0:4 + 0:07886(A� 21); 21 � A � 500:1102(A� 8:7); A > 50;

hvor A = �20 log10 �.

Orden M for å oppnå spesi�kasjonene A og �! er gitt ved uttrykket

M =A� 8

2:285�!:


Eksempel 10.3

wp = 0.25 � p i ; ws = 0.35 � p i ; A = 50 ;Deltaw = ws � wp ; wc = (ws + wp) / 2 ;beta = 0.5842 � (A � 21) ^(0 . 4 ) . . .

+ 0.07886 � (A � 21) ; % Ka i s e r betaM = c e i l ( (A � 8) / (2 . 285 � Deltaw ) ) + 1 ; % Window l e ng t hn = 0 : M; hd = i d e a l l p (wc , M) ; % L a v p a s s f i l t e rh = hd .� k a i s e r (M, beta ) ' ; % Hamming�v induw = l i n s p a c e (�pi , p i , 1024) ; % Rad i an f r e k v en sH = f f t s h i f t ( f f t ( h , l e n g t h (w) ) ) ; % F r e k v en s r e s pon sp l o t (w, 20 � l og10 ( abs (H) ) , ' L ineWidth ' , 2) ;x t i c k s ( [ 0 , p i / 4 , p i / 2 , 3 � p i / 4 , p i ] ) ;x t i c k l a b e l s ({ ' 0 ' , ' \ p i / 4 ' , ' \ p i / 2 ' , ' 3 \ p i / 4 ' , ' \ p i ' }) ;a x i s ( [ 0 , p i , �90, 5 ] ) ;g r i d on ;x l a b e l ( ' Rad i a n f r e k v en s ' ) ;y l a b e l ( ' Ampl i tude [ dB ] ' ) ;


Diskret-tid Derivasjon

Ideell kontinuerlig-tid derivasjon er gitt ved

yc(t) =dxc(t)

dt; hvor Hc(j) =

�j; jj < �=T0; j!j � �=T :

Diskret-tid derivasjon med lineær fase kan de�neres ved

H�e j!�= (j!)e j!�; j!j < �;

som har impulsresponsen

h[n] =cos(�(n � �))

n � ��

sin(�(n � �))

�(n � �)2:

For diskret-tid derivasjon kan vi bruke type III eller IV lineær-fasesystem.


fir- ltre · fir lavpass filter avhengig av symmetrien og om orden på lteret m er et partall eller...

Documents