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Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1
Trabalho de uma força
Introdução:
Considere um corpo que se desloca a uma
distância s ao longo de uma curva. Em cada instante
deste deslocamento há uma força F
atuando sobre o
corpo de massa m. Definimos o trabalho da força F
ao
longo da curva C pela integral de linha:
C
W F dl
Aqui dl
aponta no sentido da orientação da
curva, tem direção tangente à ela e representa um
deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.
É possível escrever a força F
como a soma de
uma componente paralela ao vetor dl
: F
e outra
componente perpendicular: F
:
F F F
Assim:
F dl F F dl F dl F dl
F dl F dl F dl
Para uma força constante atuando no corpo,
podemos escrever:
cosW F d
Aqui, θ é o ângulo entre a força F
e o vetor
deslocamento d
.
Unidade: Joule: 1J = 1N.1m
Outras unidades:
1 cal = 4.186J
1 erg = 10-7
J
1 ft.lb = 1.356 J
1 Btu = 1055 J
1eV = 1.6.10-19
J
1 kWh = 3.6.106J
Casos:
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
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Exemplos:
1. José deseja impressionar Elaine com seu
novo carro, porém o carro morre no meio de um
cruzamento e ele paga o maior mico. Enquanto Elaine
gira o volante, José empurra o carro 19 m para
desimpedir o cruzamento. Sabendo que ele empurra o
carro com uma força constante de 210 N na mesma
direção e sentido do deslocamento, qual o trabalho
realizado por esta força sobre o carro?
Solução:
f
i
x
x
W Fdx W F x
210 19W 34.0 10W J
2. Encontre o trabalho de cada força nos sistemas
mostrados:
(a) Um fazendeiro amarra seu trator a um trenó
carregado de madeira e o puxa até uma distância de 20
m na horizontal. O peso do trenó carregado é 14700N.
O trator exerce uma força constante de 5000N
formando um ângulo de 36.9° acima da horizontal.
Existe uma força de atrito de 3500 N que se opõe ao
movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza
sobre o trenó e o trabalho total por todas as forças.
Encontre a força resultante e determine o trabalho da
força resultante.
(b) Analisar o trabalho de cada força em cada
situação dada.
(a) Solução:
Trabalho da força:
cosTF TW F dl W F l
5000 20 cos36.9 80W kJ
Trabalho da força de atrito:
cos180aF a aW F dl W F l
3500 20 1aFW
70aFW kJ
Trabalho total:
a TF F P NW W W W W
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Gráfico (x, F(x)
Trabalho da força elástica:
f f
i i
x x
x x
W Fdx W kxdx
2 21 1
2 2f iW k x k x
Trabalho de força curvilínea:
Energia cinética 2
2c
m vK E
A energia cinética de uma partícula é igual ao
trabalho total realizado para acelerá-la a partir do
repouso até sua velocidade presente.
Teorema Trabalho-Energia: O trabalho realizado pela força resultante sobre
a partícula fornece a variação da energia cinética da
partícula. 2 2
2 2R R
f iF c F
m v m vW E W
Demonstração:dv dv dx dv
a vdt dx dt dx
O trabalho total realizado pela força resultante
é dado por:
f
R
i
x
F
x
W Fdx
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
4
f
R
i
x
F
x
W m adx
f
R
i
x
F
x
dvW m v dx
dx
f
R
i
v
F
v
W m vdv
2
2
f
R
i
v v
F
v v
vW m
2 2
2 2R
f iF
m v m vW
Energia potencial elástica: 2
2p
k xE
Energia potencial gravitacional:
pE U m g y
Potência: Potência Média:
med
WP
t
Potência Instantânea:
0lim
t
W dWP P
t dt
P F v
Unidade: Watt
1W = 1J/1s
Outras unidades:
1 hp = 745.6987 W = 550 ft.lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
1 cv = 735.49875 W
1 cv = 0.9863 hp
1 hp = 1.0139 cv
O cavalo-vapor, de símbolo cv, é uma unidade
de potência que equivale a 75 kgf·m·s-1
. Um kgf.m por
sua vez corresponde ao trabalho gasto para se elevar
uma massa de um quilograma a um metro de altura ao
nível do mar.[ Pouco utilizada no meio científico devido
à existência de uma unidade específica para isso no
Sistema Internacional de Unidades — o Watt. Porém, a
sua utilização persiste, nomeadamente no meio da
indústria automobilística, para classificar a potência
máxima dos motores de combustão interna.
Nos países anglo-saxónicos, utiliza-se o horse
power, de símbolo hp, que é uma unidade de mesma
escala de grandeza, mas com valores diferentes. O
horse power define-se como sendo a potência
necessária para elevar verticalmente a uma velocidade
de 1 pé/min uma massa de 33000 libras.
Exemplos: 3. Um cavaleiro de 0.1 kg de massa está ligado à
extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola
constante de 20 N/m. Inicialmente, a mola não está
esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a
1.5 m/s para a direita. Ache a máxima distância d que o
cavaleiro pode se mover para a direita:
(a) supondo que o ar esteja passando pelo trilho e
o atrito seja desprezível.
(b) supondo que o ar não esteja fluindo e o
coeficiente de atrito cinético seja µC = 0.47.
Solução: Usando o teorema do trabalho-energia:
(a)
2 2
2 2R R
f iF c F
m v m vW E W
2 2
0 02 2e
x dd
F
x
k x k dW kxdx
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5
22 20
2 2 2
im vk d m
0.11.5
20i
md v d
k
0.106 10.6d m cm
(b) Quando o ar não circula, devemos também
incluir o trabalho realizado pelo atrito cinético. A força
normal é igual ao peso. Assim:
N P m g
a C a CF N F m g
2 2
2 2R R
f iF c F
m v m vW E W
2 2
2 2a e
f iF F
m v m vW W
2 221
cos1802 2 2
f ia
m v m vf d k x
2 221
2 2 2
f iC
m v m vm g d k x
2 221 0.1 0 0.1 1.5
0.1 9.8 0.47 202 2 2
d d
2 221 0.1 0 0.1 1.5
0.1 9.8 0.47 202 2 2
d d
0.086d m 4. Em um piquenique familiar, você foi
designado a empurrar seu primo chato João em um
balanço. Seu peso é w; o comprimento da corrente é R e
você empurra o dunha até que as correntes façam um
ângulo θ0 que começa em 0 e cresce gradualmente até
atingir um valor suficiente para que João e o balanço se
movam lentamente e permaneçam aproximadamente
em equilíbrio. Qual o trabalho total realizado por todas
as forças sobre João? Qual o trabalho realizado pela
tensão T nas correntes. Qual o trabalho que você realiza
ao exercer a força variável F
? Despreze o peso das
correntes e do assento.
Solução:
1
0 0N
x
i
F F T sen
1
0 cos 0N
y
i
F T w
F w tg
cosW F dl W F ds
Como:
s R ds R d
0
0
cosW w tg R d
0
0
W w R sen d
0
0cosW w R
01 cosW w R
5. Cada um dos motores a jato de um Boeing 767
desenvolve uma propulsão de 197000N. Quando o
avião está voando a 900 km/h, qual a potência
instantânea que cada motor desenvolve?
Solução:
51.97 10 250P F v P
74.93 10P W
6. O papel do motor de um automóvel é
fornecer continuamente uma determinada potência para
superar a resistência ao seu movimento. Duas forças se
opõe ao movimento do automóvel: o atrito de rolamento
e a resistência do ar. Um valor comum para o
coeficiente de atrito de rolamento é µ = 0.015 para um
pneu rolando com pressão apropriada em um pavimento
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
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duro. Um Porshe Carrera 911 possui massa 1251 kg,
peso 12260N e a força de atrito de rolamento é dada
por:
0.015 12260rol rolF N F
180rolF N
Essa força é aproximadamente independente
da velocidade do automóvel.
A força de resistência do ar Far é
aproximadamente proporcional ao quadrado da
velocidade do automóvel e expressa por:
21
2arF C A v
Onde:
C: Constante adimensional denominada de
coeficiente de arraste. Valores comuns: 0.35 a 0.5.
: densidade do ar: 1.2 kg/m3.
A: área da seção reta do carro.
Para o Porshe Carrera:
210.38 1.77 1.2
2arF v
20.4arF v
A potência é dada por:
imp rol arP F v P F F v
v(m/s) Frol(N) Far(N) Fimp(N) P(kW)
10 180 40 220 2,2
15 180 90 270 4,1
30 180 360 540 17
40
A queima de 1L de gasolina libera uma energia
de aproximadamente 3.5.107J. Uma parte dessa energia
é convertida em trabalho útil. Em um motor de
automóvel típico, 65% do calor liberado pela queima de
combustível é dispersado no sistema de resfriamento e
exaustão e cerca de 20% dessa energia é convertida em
trabalho que não contribui para a propulsão do carro,
como o trabalho realizado pelo atrito no eixo do motor e
o trabalho necessário para mover acessórios como o
sistema de ar-condicionado e o sistema de direção do
volante até as rodas do carro. Sobram do total, 15% de
energia para superar o atrito de rolamento e resistência
do ar. Assim, a energia disponível por litro de gasolina
é: 7 60.15 3.5 10 5.3 10J L J L
Para examinar o consumo de gasolina em 15
m/s a potência necessária seria de 4.1 kW = 4.1.103J/s.
Em uma hora a energia necessária seria: 34.1 10 3600W P t W
71.5 10W J Durante essa hora, o carro percorreria a
distância de:
15 3600 54d v t d d km Assim, o consumo de gasolina em uma hora,
percorrendo uma distância de 54 km com velocidade de
15 m/s seria: 7
6
1.5 102.8
5.3 10
JL
J L
Essa quantidade de gasolina faz o carro mover
54 km. Assim:
5419
2.8
km km
L L
Obtenha a potência instantânea para a
velocidade de 40 m/s. Faça o cálculo do consumo
também.
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Trabalho realizado pela força gravitacional
Durante o deslocamento de y1 a y2:
1 2 2 1gravW U U U U U
Energia Mecânica
ME K U
Consevação da Energia Mecânica (Somente forças gravitacionais)
Teorema trabalho-energia cinética:
2 1totalW K K K
Se tivermos a gravidade atuando como uma
única força sobre o corpo:
2 1total gravW W U U
1 2 1 1 2 2M ME E K U K U
Efeito de outra força:
2 1 1 2 2 1F g FW W K K W U U K K
2 12 2 1 1F F m mW K U K U W E E
7. Você arremessa uma bola de beisebol de
0.145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-
lhe uma velocidade de módulo 20 m/s. Usando a
conservação da energia, calcule a máxima altura que ela
atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.
Solução: Adotando y1=0:
1 2 1 1 2 2M ME E K U K U
1 2K U
2 2
1 12 2 1 20.4
2 2
m v vm g y y y m
g
8. Suponha que sua mão desloque 0.5m para
cima quando você arremessa a bola deixando sua mão a
20 m/s de velocidade inicial. Despreze a resistência do
ar. (a) Supondo que sua mão exerce uma força
constante sobre a bola, ache o módulo desta força. (b)
Ache a velocidade da bola quando ela está a uma altura
de 15 m acima da altura do ponto inicial onde ela deixa
a sua mão.
Solução:
1 0K
1 1 0.145 9.81 0.5 0.71U m g h J
2 2
2 2 2
1 10.145 20 29
2 2K m v K J
2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U
29 0 0 0.71FW
29 0 0 0.71FW
29.71FW J
8. Um jogador bate duas bolas idênticas com a
mesma velocidade escalar, mas formando dois ângulos
iniciais diferentes. Prove que para uma dada altura h as
duas bolas possuem a mesma velocidade escalar
supondo que a resistência do ar seja desprezível.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
8
Solução:
9. A expressão para a altura máxima h atingida
por um projétil lançado com velocidade escalar v0 e
para um ângulo α0 é: 2 2
0 0
2
v senh
g
Deduza essa expressão considerando a
conservação da energia.
Solução: Adotando y1=0:
1 2 1 1 2 2M ME E K U K U
2 2 2 2
1 1 2 2
1 10
2 2x y x ym v v m v v mgh
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 22 0x y x y x x y
v v v v gh v v v
2
1 2y
v gh
2
0 0 2v sen gh
2 2
0 0
2
v senh
g
10. Um carinha pratica skate se deslocando
para baixo de uma rampa circular em um playground.
Considerando que ele é juntamente com sua prancha de
skate uma partícula, seu centro se move ao longo de um
quarto de círculo de raio R. A massa total vale 25 kg.
Ele parte do repouso e não existe atrito.
(a) Calcule sua velocidade na parte inferior da
rampa.
(b) Calcule a força normal que atua sobre ele
na parte inferior da curva.
Solução:
1 2 1 1 2 2M ME E K U K U
2
2
10 0
2m g R m v
2 2v g R
2
2 22cp cp cp
v g Ra a a g
R R
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
9
1
N
y cp
i
F N P m a
2cpN P m a N m g m g
3N m g
11. Suponha que a pista tenha atrito e que a
velocidade na base da pista seja 6 m/s. Qual o trabalho
realizado pela força de atrito sobre ele?
Solução:
2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U
2
2
10 0
2FW m v m g R
2125 6 25 9.81 3
2FW
285FW J
12. Uma caixa de 12 kg está em repouso sobre
o solo. Deseja-se levá-la até um caminhão, usando um
plano inclinado de 30° fazendo-a deslizar sobre uma
rampa de 2.5m. Um trabalhador, ignorando o atrito,
calculou que ele poderia fazer a caixa chegar ao topo da
rampa lançando-a com uma velocidade inicial de 5 m/s
na base da rampa. Porém o atrito não é desprezível e a
caixa desliza 1.6m subindo a rampa, pára e desliza
retornando para baixo.
(a) Supondo que a força de atrito seja
constante, calcule seu módulo.
(b) Qual a velocidade da caixa quando ela
atinge a base da rampa?
Solução:
1,2 2 1 1,2 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U
2 10 0FW U K
2112 9.81 0.80 12 5
2FW
94 150 94 150FW f s
94 15035
1.6f f N
1,3 3 1 1,3 3 3 1 1F M M FW E E W K U K U
1,3 3 0 150 0 2FW K f s
1,3 3 0 150 0 2 35 1.6FW K
3 150 112K
33 3
238
KK J v
m
3 3
2 382.5
12
mv v
s
13. Movimento com energia potencial
elástica. A figura mostra um cavaleiro de m = 0.2 kg
em repouso sobre um trilho de ar sem atrito ligado a
uma mola de k = 500 N/m. O cavaleiro é puxado
fazendo a mola se alongar 0.1 m e a seguir é liberado
sem velocidade inicial. O cavaleiro começa a se mover
retornando para sua posição inicial em x = 0m.
Qual é a sua velocidade em x = 0.8m?
Solução:
2 2
1 1 1 1
1 10.2 0 0
2 2K m v K K J
2 2
1 1 1 1
1 15 0.1 0.025
2 2U k x U U J
2
2 2
1
2K m v
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
10
2 2
2 2 2 2
1 15 0.08 0.016
2 2U k x U U J
1 1 2 2K U K U
20 0.025 0.016K
2 0.009K J
22
2 Kv
m
2 2
2 0.0090.3
0.2
mv v
s
14. No sistema anterior, suponha que o sistema
esteja em repouso na posição inicial x = 0 quando a
mola ainda não está deformada. Aplicamos então sobre
o cavaleiro uma força F
constante no sentido +x com
módulo igual a 0.61N. Qual é a velocidade do cavaleiro
no ponto x = 0.1m?
Solução:
1 0K J
1 0U J
2
2 2
1
2K m v
2 2
2 2 2 2
1 15 0.1 0.025
2 2U k x U U J
1 1 2 2K U K U
20 0.025 0.016K
2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U
0.61 0.1 0.061FW F d J
20.061 0.025 0 0K
2 0.036K J
22 2
2 2 0.036
0.2
Kv v
m
2 0.6m
vs
15. No exemplo anterior, suponha que a força
F
seja removida no momento que o cavaleiro atinja o
ponto x = 0.1 m. Calcule a distância percorrida pelo
cavaleiro até ele parar.
Solução:
3 0K J
2 0.025U J
2 0.036K J
3 2 2 3 3 0.036 0.025 0U K U K U
3 0.061U J
2 33
21 2 0.61
2 5m m m
UU k x x x
k
0.156mx m
16. Movimento com forças gravitacional,
elástica e atrito. Em um projeto com um cenário para
calcular o ―pior caso‖, um elevador de 2000 kg com o
cabo quebrado cai a 25 m/s sobre a mola de
amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada
para fazer o elevador parar quando ela sofre uma
compressão de 3.0 m. Durante o movimento, uma
braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma
força de atrito constante de 17000N. Como consultor do
projeto, calcule a constante elástica da mola.
Solução:
Ponto 1: Ponto onde o elevador toca a parte
superior da mola:
2 2
1 1 1 1
1 12000 25 625000
2 2K m v K K J
Ponto 2: Elevador para.
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11
2
2 2 2
1
2U k x m g y
2
2 2
12000 9.8 3
2U k x
2
2 2
158800
2U k x
2 0K J
2 1 2 2 2 1 1elF M M FW E E W K U U K U
51000FW J
2
2 2 1
10 0
2FW m g y k y K
1 2
2
2
2 FK W m g yk
y
2
2 625000 51000 58800
3k
51.41 10N
km
17. O trabalho realizado pela força de atrito
depende da trajetória. Você deseja mudar a arrumação
de seus móveis e desloca um sofá de 40.0 kg por uma
distância ed 2.50 m através da sala. Contudo, a
trajetória retilínea é bloqueada por uma mesa que você
não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá
ao longo de uma trajetória de dois trechos ortogonais,
um trecho com comprimento 2 m e outro com 1.5 m de
comprimento. Em comparação com o trabalho que seria
realizado em trajetória retilínea, qual é o trabalho
excedente que você deve realizar para deslocar o sofá
ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais?
O coeficiente de atrito cinético é 0.2.
Solução: O sofá está em repouso nos pontos (1) e (2):
2
1 1 1 2
10
2K m v K K
A energia potencial gravitacional não varia
pois o sofá se move horizontalmente.
2 2 1 1FW K U K U
0FW
c cf m g
Trabalho realizado pela força que você faz:
1Fatrito cW W W m g s
0.2 40 9.8 2.5W
196W J
(Trajetória retilínea)
0.2 40 9.8 2.0 1.5W
274W J
(Trajetória ortogonal)
18. Conservativa ou não conservativa? Em
uma certa região do espaço, a força que atua sobre um
elétron é:
ˆF C x j
C é uma constante positiva. O elétron percorre
uma trajetória quadrada no plano xy em um sentido
anti-horário.
Calcule o trabalho realizado pela força F
sobre o elétron no percurso fechado ao longo do
quadrado. Esta força é ou não conservativa?
Solução:
2
1
P
P
W F dl
1 2 3 4W W W W W
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12
,
,0
0 0 0
L L
L
W F dl
0
y L
y
W C Ldy
2W C L
O ponto inicial coincide com o ponto final da
trajetória, porém o trabalho de F
não é zero. Logo a
força F
não é conservativa.
19. Trabalho realizado pelo atrito. Considere
o skatista do exemplo 10. Ele começa com energia
cinética 0 e energia potencial 735J e na base ele possui
450 J de energia cinética e energia potencial 0. Logo:
450K J e 735U J . O trabalho de sua
força é dado por: atritoW W realizado pelas forças não
conservativas é -285J e a variação de energia interna é
dada por int 285ernaU J . As rodas, os manais e a
rampa tornam-se ligeiramente mais quentes quando
ocorre a descida na rampa. A soma dessas variações da
energia é igual a 0:
int 450 735 285 0ernaK U U J
20. Força elétrica e energia potencial. Uma
partícula com carga elétrica é mantida em repouso no
ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com
mesma carga pode-se mover livremente ao longo do
eixo positivo Ox. A energia potencial do sistema é:
C
U xx
onde C é uma constante positiva que depende do
módulo das cargas. Deduza uma função para a
componente x da força que atua sobre a carga que se
move.
Solução:
2x x
dU x CF x F x
dx x
21. Força e energia potencial em 2
dimensões. Um disco de hóquei desliza sobre uma
mesa de ar sem atrito. As coordenadas do disco são x e
y. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de
uma energia potencial dada por:
2 21,
2U x y k x y
Deduza a expressão da força que atua no disco.
Solução:
x
UF k x
x
y
UF k y
y
ˆ ˆx yF F i F j
ˆ ˆF k x i y j
F k r
ˆ ˆr x i y j
(Vetor posição)
2 2
x yF F F
2 2F k x y
F kr
Diagramas de energia
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
13
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
14
Exemplos – Tipler
Capítulo 6 – Trabalho e Energia
1. Um caminhão de 3000 kg está sendo puxado
para cima por um guindste que exerce uma força de 31
kN na direção do movimento de deslocamento 2m.
(a) Determine o trabalho realizado pela tração
no fio.
(b) Determine o trabalho feito pelo peso do
caminhão.
(c) Encontre a velocidade após 2 m de
percurso.
Solução (a) Trabalho da força aplicada:
cos0 31 2 1 62F apW F d W k W kJ
(b) Trabalho do peso:
cos180 3000 9.81 2 1P P
m g
W P d W
59PW kJ
(c) Teorema trabalho energia:
T F P CW W W E
2 2
0 02 2
f
T F P f
m v m vW W W K
362 59 10 fK
3
3
2 2 3 101.4
3 10
f
f f f
K mv v v
m s
2. Em um tubo de TV RTC, um elétron é
acelerado a partir do repouso até adquirir uma energia
cinética final de 2.5 keV sobre uma distância de 80 cm.
A força sobre o elétron é a força causada pelo campo
elétrico do tubo. Calcule a força sobre o elétron,
assumindo ser constante e na direção do movimento no
tubo.
Solução Trabalho da força aplicada:
F f iW F x K K K
f iFK KW
F Fx x
3 19 162.510 1.6 10 5 10
0.8F F N
3. Um professor puxa um trenó de 80 kg com
uma força de 180N fazendo um ângulo de 20° com a
direção de deslocamento horizontal de 5m. Encontre,
supondo ausência de atrito:
(a) o trabalho que ele faz;
(b) a velocidade final do trenó após ele mover
5 m.
Solução (a) Trabalho da força aplicada:
cos20 180 5 cos20F apW F d W
846W J
(b) O trabalho total será:
2 2
0
0 84602 2
f
T N P F
m v m vW W W W
2 2 8464.6
80
Ff f f
W mv v v
m s
4. Uma força varia conforme o deslocamento
de acordo com o gráfico abaixo:
Encontre o trabalho feito pela força quando a
partícula se move entre x = 0 e x = 6m.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
15
Solução Trabalho da força aplicada:
1 2W F dr W A A
25W J
5. Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa
horizontal sem atrito e preso a uma mola horizontal sem
atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma
força dada pela Lei de Hooke ˆF k x i
com k =
400N/m e x em metros medido a partir da posição de
equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está
comprimida com o corpo em x1 = -5 cm. Calcular:
(a) o trabalho feito pela mola sobre o corpo no
deslocamento de x1 = -5 cm até a posição de equilíbrio
x2 = 0 cm e
(b) a velocidade do corpo em x2 = 0 cm.
Solução:
(a)
2 2
1 1
x x
x
x x
W F dx W k xdx
2
1
2 22
2 1
2 2 2
x x
x x
x xxW k k k
2 22
1 10
2 2 2
x xW k k W k
2
0.05400 0.500
2W W J
(b) Aplicando o Teorema trabalho-energia
cinética: 2 2 2
2 1 2
2 2 2
v v vW m k W m
2 2 2
2 2 0.50.5
4
W mv v v
m s
6. (a) Calcular o ângulo entre os vetores
ˆ ˆ3 2A m i m j
e
ˆ ˆ4 3B m i j
(b) Achar a componente de A
na direção de B
.
Solução: (a)
cos x x y yA B A B A B A B A B
3 4 2 3 6A B A B
2 2 2 22 3 13x yA A A A A m
22 2 24 3 5x yB B B A B m
6cos cos cos 0.33
13 5
A B
A B
70.6
(b) 6
1.25
B
B A BA A m
B B
7. O deslocamento de uma partícula é dado
por: ˆ ˆ2 5s m i m j
sobre uma reta. Durante o
deslocamento, uma força constante
ˆ ˆ3 4F N i N j
atua sobre a partícula.
Calcular (a) o trabalho da força e (b) a componente da
força na direção do deslocamento.
Solução:
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
16
(a) Trabalho:
x y zW F s W F x F y F z
3 2 4 5 14W W J
(b) cos cosW
W F s Fs
22 2 2 2 22 5 0s x y z s
29s m
14cos cos
29
WF F N
s
cos 2.60F N
8. Um modelo novo de Cadillac, pode acelerar de 0
a 96 km/h em 6.5 s. Em que intervalo de tempo o carro
acelera de 80 km/h a 112 km/h?
Solução:
1. Intervalo de tempo no qual a energia cinética
varia:
11
1
KWP t
t P
2. Se t2 for o intervalo de tempo necessário para
a variação da energia cinética K2:
22
Kt
P
3. Fazendo a razão:
2 2
2 22 2 2
2 21 1 11 1
1 1
2 21 1
2 2
f i
f i
m v m vt K t
t K tm v m v
2 2 2 22 22 2
2 2 2 2
1 1 1 1
112 80
96 0
f i
f i
v vt t
t v v t
2
2 1 2
1 6.5
0.667 0.667 4.33t
t t t st
9. Um esquiador desce por uma rampa, com os
esquis parafinados, de modo que o atrito é praticamente
nulo. (a) Qual é o trabalho feito pelo esquisador ao
percorrer uma distância s sobre a encosta? (b) Qual é a
velocidade do esquiador ao chegar ao pé da encosta?
Admita que a distância percorrida seja s, que o ângulo
de inclinação seja e que a massa do esquiador seja m.
A altura de descida é, então, h = s.sen.
Solução: (a) O trabalho feito pela força da gravidade
quando o esquiador desce a encosta é:
cosW m g s W m g s
hsen W m g h
s
(b)
210 2
2W K m g h m v v g h
10. Um pequeno motor é usado para operar um
elevador de carga que movimenta um lote de tijolos, de
800 N, até uma altura de 10 m, em 20 s. Qual a potência
mínima do motor?
Solução:
P F v P F v m a v
Pa
m v
21
2
dv d dKP m a v m v m v
dt dt dt
P dt K
(Potência constante)
11. Um caminhão de massa m, em repouso no
instante t = 0, é acelerado, com potência P constante,
numa estrada horizontal. (a) Encontre a velocidade do
caminhão em função do tempo.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
17
(b) Mostrar que se x = 0, a função posição x(t)
é dada por:
3
28
9
Px t
m
Solução:
Pa
m v
dv P Pv dv dt
dt m v m
2
2
P v Pv dv dt t
m m
1
22P
v tm
1 1
2 22 2dx P P
t x t dtdt m m
3
28
9
Px t
m
12. Uma garrafa de 0.350 kg cai do repouso de
uma prateleira que está a 1.75 m do solo. Determinar a
energia potencial inicial do sistema garrafa-Terra em
relação ao solo e a energia cinética da garrafa ao colidir
com o solo.
Solução:
0.350 9.81 1.75 6.01U m g y U U J
O trabalho feito é igual a variação da energia
cinética, que é o trabalho feito pela Terra.
totalK W m g y
6.01K J
13. Achar a energia potencial total do jogador
de basquete pendurado no aro da cesta. Admitir que o
jogador seja descrito como uma partícula de 110 kg a 2
m do soloe que a constante de força do aro seja de 7.2
kN/m. O deslocamento do aro é de 15 cm.
Solução:
g eU U U
21
2U m g y k s
2
2158
81
1110 9.81 2 7200 0.15 2239
2U U J
14. A força entre dois átomos numa molécula
pode ser representada aproximadamente pela função
energia potencial: 12 6
0 2a a
U Ux x
Onde U0 e a são constantes. (a) Em que valor
de x a energia potencial é nula? (b) Determinar a força
Fx. (c) Em que valor de x a energia potencial é mínima?
Mostrar que Umin = U0.
Solução:
(a)
12 6
0 62 0
2
a a aU x
x x
(b) 13 6
012x x
UdU a aF F
dx a x x
(c) x = a
(d) Umin = U0
Exemplos – Tipler
Capítulo 7 – Conservação da Energia
1. Na beira de um terraço, a 12 m do solo, uma bola
é chutada sob ângulo de 60° com o plano horizontal e
adquire uma velocidade inicial vi = 16 m/s.
Desprezando os efeitos da resistência do ar, calcular:
(a) a altura que a bola atinge em relação ao terraço
e (b) a velocidade no instante que colide com o solo.
Solução: (a) Conservação da energia mecânica:
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
18
2 21 1
2 2topo i topo iE E m v m g h m v
2 2
cos2
i topo
topo i
v vh v v
g
16 cos60 8topo topo
mv v
s
2 216 89.79
2 9.81h h m
(b) Se vf for a velocidade com que a bola atinge
o solo, a conservação da energia dará:
2 21 1
2 2f i f iE E m v m g y m v
2 2f iv v g y
216 2 9.81 12 22.2f fv v m s
2. Um pêndulo é constituído por um corpo de
massa m pendurado por um cordel de comprimento L. O
corpo é desviado da vertical de modo que o cordel faz
um ângulo 0 com a verticale depois é solto, sem
velocidade inicial. Determinar as expressões (a) da
velocidade v no ponto mais baixo de oscilação e (b) da
tensão no cordel, neste mesmo ponto.
Solução: (a) Conservação da energia mecânica:
f i i i f fE E K U K U
210
2m v m g h
2v g h
0 0cos 1 cosh L L h L
02 1 cosv g L
(b) As forças que atuam no pêndulo são o peso
e a tensão. No ponto mais baixo, a resultante será a
força centrípeta: 2
R
vF T P m T m g
L
2
02 1 cosg Lm T m g
L
02 1 cosg Lm T m g
L
03 2 cosT mg
3. Um corpo de 2 kg está comprimindo de 20
cm uma mola cuja constante elástica é 500 N/m. O
corpo é libertado e a mola o projeta sobre uma
superfície horizontal sem atrito e sobre um plano
inclinado de 45°, também sem atrito, como está no
esquema. Até que altura do plano inclinado o corpo
sobe e fica momentaneamente em repouso, antes de
retornar plano abaixo ?
Solução:
21
2iE k x
fE m g h
21
2f iE E m g h k x
210.51
2
k xh h m
m g
0.721s h sen s m
4. A constante de força de mola elástica
pendurada na vertical é k. Um corpo de massa m é preso
à ponta da mola, na posição de equilíbrio, e cai
verticalmente. Determinar a expressão da distância
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
19
máxima da queda do corpo antes de o movimento ter o
sentido ascendente.
Solução:
2 2
2 2g e
m v k yE K U U E m g y
Aplicando a conservação da energia: 2 2
02 2
i
m v k yE E E m g y
2 200
2 2
m k ym g y
2mgy d
k
5. Dois corpos de massas m1 e m2 estão
pendurados por um fio muito leve a uma roldana com
massa e atrito desprezíveis. Os dois corpos estão
inicialmente em repouso. Calcular a velocidade do mais
pesado quando tiver caido a uma distância vertical h.
Solução:
2 2
1 2
1 1
2 2K m v m v
Energia potencial quando m1 tiver
subido altura h e m2 descido a
mesma altura:
1 2U m gh m gh
Com a conservação da energia:
0 0iE E K U
2 2
1 2 1 2
1 10
2 2m v m v m gh m gh
2 1
2 1
2m m
v g hm m
6. Uma bola plástica, com a massa m, cai do
repouso de uma altura h até o solo. Discutir a
conservação da energia (a) do sistema constituído pela
bola e (b) do sistema constituído pela Terra e pela bola.
Solução: (a) O teorema da conservação trabalho-energia é:
ext sist mec TerW E E E
extW mgh
As duas forças externas são a da gravidade e
aforça do solo sobre a bola . O solo não se movimenta e
não efetua trabalho.
Como a bola é o nosso sistema, a sua energia
mecânica é cinética apenas e né nula no início e no
final:
0mecE
extW mgh
(b) Agora não há forças externas atuando no
sistema ( a força da gravidade e a força do solo sobre a
bola são forças internas). Assim, não há trabalho
externo:
0extW
0ext ter mecW E E
0i fE mgh E
0mec f iE E E mgh mgh
ter mec terE E E mgh
7. Uma força horizontal de 25 N é aplicada a
um bloco de 4 kg que está inicialmente em repouso
sobre uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito
cinético µk entre o bloco e e o tampo da mesa é 0.35.
Calcular (a) o trabalho externo feito dobre o sistema
bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a
energia cinética do bloco depois de ser empurrado 3 m
sobre a mesa, (d) a velocidade do bloco depois de ser
empurrado 3 m sobre a mesa.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
20
Solução:
Trabalho da força externa:
25 3 75ext ext ext extW F x W W J
Energia dissipada pelo atrito:
th th kE f x E m g x
0.35 4 9.81 3 41.2th thE E J
Aplicano o teorema trabalho-energia:
res c ext f f iW E W W K K
cos180 0ext fW f x K
75 41.2 33.8f fK K J
221
4.112
f
f f f f
KK m v v v m s
m
8. A velocidade inicial de deslocamento de
um tobogã de 5 kg é 4 m/s. O coeficiente de atrito entre
o tobogã e o solo é 0.14. Que distância o tobogã
percorre até parar?
Solução:
res c ext f f iW E W W K K
2
0 cos180 0
1
2ext f f
f x
W W K m v
2 21 1
2 2kf x m v m g x m v
221
5.822 2 k
vx m v x x m
g
9. Uma criança de 40 kg desce por um
escorregador inclinado de 30°. O coeficiente de atrito
cinético é µk = 0.2. Se a criança principia a escorregar
do repouso, no topo do escorregador, a 4 m de altura,
qual a sua velocidade ao atingir o solo?
Solução:
res c ext f f iW E W W K K
cos180f f kW f s W N s
cos3030
f k
hW m g
sen
40.2 40 9.81 cos30
30fW
sen
543.73fW J
40 9.81 4 156.96ext P extW m g h W W J
210
2ext fW W m v
21cos30
30 2k
hm g h m g m v
sen
211 cotg30
2kg h v
2 1 cotg30kv g h
1.73
2 9.81 4 1 0.2 cotg30v
7.16m
vs
10. Um corpo de 4 kg está pendurado por um
cordel bastante leve que passa por uma polia de massa e
atrito desprezíveis. A outra ponta do cordel está preza a
um bloco de massa 6 kg pousado sobre uma superfície
áspera horizontal. O coeficiente de atrito cinético é µk =
0.2. O bloco de 6 kg comprime uma mola elástica à
qual não está preso. A constante de força da mola é 180
N/m e sua compressão é de 30 cm. Calcular a
velocidade depois de a mola se distender e de o corpo
de 4 kg cair a altura de 40 cm.
Solução:
res M ext f iW E W E E
f f fE K U
2
1 2 2
1
2fE m m v m g s
1cos180ext ext kW f s W m g s
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
21
21
2i i iE U E k x
ext f iW E E
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2k m g s m m v m g s k x
2
2 1
1 2
2 2 kk x m g s m g sv
m m
1.95m
vs
11. Uma pessoa de massa m sobe, com
velocidade constante, um lance de escada que tem a
altura h. Discutir a aplicação da conservação da energia
ao sistema constituído exclusivamente pela pessoa.
Solução:
O teorema da conservação trabalho-energia
nos dá: (Considerando as energias térmicas e químicas)
ext Sistema mec ter quiW E E E E
O único trabalho efetuado pela pessoa é o da
gravidade. O trabalho é negativo, pois a força tem
sentido oposto ao deslocamento:
extW mgh
Como a pessoa é o sistema, a sua energia
mecânica é a cinética, que é nula no início e no final da
subida:
0mecE
Assim:
ter quimgh E E
12. Um carro de 1200 kg trafega à velocidade
constante de 100 km/h = 28 m/s subindo uma rampa de
10 %. (Uma rampa de 10 % de inclinação é aquela que
se eleva de 1 m para cada 10 m de distância percorrida
na horizontal. Ou seja, o ângulo de inclinação da
rampa é dado por tg = 0.1). Qual a potência mínima
proporcionada pelo motor do carro? (Desprezar o atrito
de rolamento e a resistência do ar.)
Solução: A potência despendida pelo motor é igual a
taxa de diminuição da energia química:
quidEP
dt
A variação da energia química pode
ser calculada pelo teorema da conservação trabalho-
energia:
0ext mec ter quiW E E E
qui mec terE E E
qui mec terdE dE dE
Pdt dt dt
Como a velocidade é:
dsv
dt
é constante, a taxa de variação da energia
mecânica é a taxa da variação da energia potencial:
mecd mghdE dU dh
mgdt dt dt dt
0.1h s sen s tg
0.1 0.1mecdE dh dsmg mg mgv
dt dt dt
0.1 terdEP mgv
dt
27.5 terdEP kW
dt
min 27.5 0terdEP kW
dt
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
22