física 2 versión 2011 mejorada, capitulo 2. movimiento oscilatorio
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
1/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>
MNXRZAL ?' @LSE@EJGRL L]MEANRL_ELEGR_LBZMMEGAns veornmelgjs u lsmeanmelgjs bj als sestj`ns`jmgemls mlgstetuyjg ugl bj als mn`pls bjjstubel `s e`plrtngtjs bj tlbn an csemn'Sertuna`jgtj tlbl sestj`n plsjj ugn mnpnmebnbbj veornmeg y an `nylrn bj als sestj`ns pujbjgveornr aeorj`jgtj bj `umdns `ngjrns becjrjgtjs'Jg ijgjrna! ans veornmelgjs gnturnajs
prjbl`egngtjs bj lokjtls pjqujls sujajg sjrrpebns! `ejgtrns quj ans bj lokjtls `s irngbjssujajg sjr ajgtns' Ans nans bj ug `lsquetl! plrjkj`pal! veorng mjgtjgnrjs bj vjmjs plr sjiugbly prlbumjg ugn gltn nubeoaj' An Rejrrn ml`pajtn!bjspus bj dnojr sebl snmubebn plr ug tjrrj`ltl!
pujbj mlgtegunr veorngbl n ug ret`l bja ugn
lsmeanmeg plr dlrn nprlxe`nbn`jgtj' Ja `es`lmujrpl du`ngl js ug cnoualsl rjmepejgtj bjcjg`jgls veorntlrels6 gujstrls mlrnzlgjs antjg!gujstrls pua`lgjs lsmeang! teretn`ls mungbltjgj`ls crl! n vjmjs rlgmn`ls! plbj`ls lr ydnoanr irnmens n quj veorng gujstrls t`pngls yanregijs' Ans lgbns au`eglsns quj gls pjr`etjgvjr slg lmnselgnbns plr veornmelgjs' Gls`lvj`ls plrquj dnmj`ls lsmeanr ans pejrgns' Gesequejrn plbrj`ls bjmer mlrrjmtn`jgtj/veornmeg/ seg quj lsmeaj an pugtn bj gujstrnajgiun' Egmausl als tl`ls quj ml`plgjg
gujstrl mujrpl veorng'An trnzn bj ug jajmtrlmnrbelirn`n! `lstrnbn jgan ceiurn! rjiestrn an nmtevebnb jamtremn rt`emnquj nml`pnn ja antebl bj gujstrls mlrnzlgjs'
@LSE@EJGRL L]MEANRL_ELBjcegemeg y mnrnmtjrstemns
^u js ug `lve`ejgtl lsmeantlrel< Js ug`lve`ejgtl bj vnevg. Xlbj`ls dnmjr ugnbjsmrepmeg mejgtcemn< ]ejstuben`ls ja `lve`ejgtl bj ugg`jrl bj lokjtls plbj`ls quezsmlgtjstnr n an prjiugtn' ]e ugn `nsnsj suspjgbj n pnrter bj ug rjslrtj! sjtern dnmen nonkl y bjspus sj sujatn!sj prlbumjg ans lsmeanmelgjs
Ja onangmjl bj ugnolaetn jg ugn pestnmurvnbn! an olaetn lsmeandnmen bjangtj y ntrs bjsu plsemeg bj rjplsl'
Zgn `nsn suspjgbebn bjajxtrj`l bj ugn mujrbn $ug
pgbual se`paj%! mungbl an`nsn sj bjspanzn bj su
plsemeg bj rjplsl y sj ansujatn sj prlbumjg ans lsmeanmelgjs'Zg mnrretl ntnbl jgtrjbls slplrtjs jg ug
pangl dlrezlgtna plr`jbel bj rjslrtjslsmeanr mungbl jamnrretl sj bjspanzn bj su plsemeg bj rjplsl ybjspus sj sujatn'
Zgn rjian ncengznbn mlgnornznbjrn jg ug jxtrj`l nug ongml lsmeanr mungblsj prjselgn y bjspus sjsujatn ja jxtrj`l aeorj'
^u dnmj`ls jg stls y ltrls jkj`pals! pnrnmlgsjiuer ans lsmeanmelgjs< Ans `nsns sj snmngbj su plsemeg bj rjplsl y bjspus sj sujatng'Zgn cujrzn rjstnurnblrn tern bj jaans y pnrjmjg er`s naa bj an plsemeg bj rjplsl' Jstn cujrznrjstnurnblrn bjoj jxester bj ltrn `ngjrn jaans glsj `lvjrng mungbl slg slatnbns' Xlrquj dnyugn cujrzn jgtlgmjs bjoj`ls tjgjr ugnnmjajrnmeg' An cujrzn bj rjstnurnmeg sj bereijsej`prj dnmen an plsemeg bj jqueaeorel mjgtrna --an nmjajrnmeg sj bereij ns sej`prj dnmen an
plsemeg bj jqueaeorel mjgtrna'
Xlbj`ls bjtjr`egnr ja irceml bestngmen - tej`plpnrn ug lokjtl lsmeangtj tl`ngbl ugn cltlirncnjstrlolsmpemn pnrn ug pgbual l usngbl ja
]lgem _ngijr bja anolrntlrel' ]j lotejgj subjspanzn`ejgtl `xe`l n ug anbl y ltrl bj anplsemeg bj rjplsl'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
2/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?
An ceiurn nrreon `ujstrn als ircemls bestngmen tej`pl' Naiugns lsmeanmelgjs pnrjmjg tjgjr an`es`n mnrnmtjrstemn n an tl`nbn na `es`ltej`pl pnrn mnbn lsmeanmeg ml`pajtn' Rnajslsmeanblrjs sj mlglmjg ml`l esmrlgns! y`ngtejgjg jstn mnrnmtjrstemn mlgstngtj bjatej`pl seg e`plrtnr als mn`oels bj an n`paetubbjoebl na n`lrteiun`ejgtl'Mlg ug jxpjre`jgtl se`paj ml`l ja `lstrnbl jgan ceiurn n mlgtegunmeg! tn`oeg sj pujbjlotjgjr ja irceml bjspanzn`ejgtl - tej`pl pnrnja `lve`ejgtl lsmeantlrel bj ug sestj`n `nsnrjslrtj! na quj sj aj dn ntnbl ug pau`g quj bjknugn trnzn jg ug rlaal bj pnpja quj sj iern nvjalmebnb mlgstngtj' Jstl prlbumj ugn dlknquj `ujstrn quj ja `lve`ejgtl bj an `nsn tejgjan clr`n seguslebna'
Lsmeanmelgjs ]eguslebnajsMlgmjgtrnrj`ls prjcjrjgtj`jgtj gujstrnntjgmeg slorj ans lsmeanmelgjs seguslebnajs' Anrnzg csemn mlgsestj jg quj rjna`jgtj sj
prjsjgtng lsmeanmelgjs purn`jgtj seguslebnajs jg
ugn irng vnrejbnb bj sestj`ns `jmgemls! sejgbllreiegnbns plr cujrzns rjstnurnblrns quj slg
prlplrmelgnajs n als bjspanzn`ejgtls rjspjmtl najqueaeorel' Jstj tepl bj `lve`ejgtl js plseoajmnse sej`prj se ja bjspanzn`ejgtl jssucemejgtj`jgtj pjqujl' ]e! plr jkj`pal!tjgj`ls ug mujrpl sukjtl n ug rjslrtj! an cujrznjkjrmebn slorj ja `es`l mungbl ja bjspanzn`ejg-tl rjspjmtl na jqueaeorel jsxpujbj bjsmreoersj jgan clr`n
$ % '''==?
?> &&&0 xfxfxfxC ! blgbj f>! f?!
f=! jtm'! slg ugn sjrej bj mlgstngtjs! y sej`prjplbrj`ls jgmlgtrnr ug `nrijg bj vnalrjs bj xbjgtrl bja muna sjn bjsprjmenoaj an su`n bjtr`egls mlrrjsplgbejgtjs n x?! x=! jtm'! bjnmujrbl mlg mejrtl mretjrel prjvel $plr jkj`pal!dnstn > jg >8= l > jg >83% jg ml`pnrnmeg mlg jatr`egl - f>x! n gl sjr quj ja `es`l' f>sjn gual']e ja mujrpl tejgj `nsn ` y an `nsn bja rjslrtj jsbjsprjmenoaj! an jmunmeg bja `lve`ejgtl bjamujrpl sj rjbumj jgtlgmjs n
xf
bt
xb` >?
?
0 ! l oejg 8>?
?
0& x`
f
bt
xb
]e plr bjcegemeg dnmj`ls`
f>?8 0 ! an jmunmeg
ngtjrelr sj trngsclr`n jg;
8?8?
?
0& xbt
xb ! quj jg gltnmeg mlrtn js
8?8 0&
xx
An slaumeg n bemdn jmunmeg becjrjgmena pujbjjxprjsnrsj jg munaquejrn bj ans clr`ns;$ % $ % 0 tNtx 8sjg ! $ % $ %0 tNtx 8mls !
blgbj ans cnsjs egemenajs ! y becejrjg jg
? ' Cmea`jgtj sj nbvejrtj quj N rjprjsjgtn jabjspanzn`ejgtl `xe`l! jstl js an n`paetub'Ans jmunmelgjs $ % $ %0 tNtx 8sjg !
$ % $ % 0 tNtx 8mls ! bjsmreojg ja `lve`ejgtlnr`geml se`paj' N js an n`paetub! 8 js an
crjmujgmen ngiuanr! jg rnbengjs plr sjiugbl!js an mlgstngtj bj cnsj' An mngtebnb jg
pnrgtjses $ %&t js an cnsj bj an lsmeanmeg' Ny sj bjtjr`egng plr ans mlgbemelgjs egemenajs
bja prloaj`n'Rn`oeg c ?8 0 ! cjs an crjmujgmen jglsmeanmelgjs plr sjiugbl' Zgn lsmeanmeg plrsjiugbl sj aan`n > djrtz $Dz%'Rlbls jstls tr`egls slg `uy e`plrtngtjs
Jkj`pal >' Bj`lstrnr quj ans jmunmelgjs
$ % $ % 0 tNtx 8sjg ! $ % $ %0 tNtx 8mls
sntescnmjg an jmunmeg 8?8 0&
xx '
]laumeg'$ %0 tNx 8sjg !
$ % 00
tNxbt
bx88 mls !
$ % 00
tNxbt
bx8
?8?
?
sjg
_jj`panzngbl y
x jg an jmunmeg;$ % $ % 8sjgsjg 8?88
?8 0& tNtN !
mlg al quj qujbn bj`lstrnbl'Bj eiuna `ngjrn sumjbj mlg
$ % $ % 0 tNtx 8mls '
BJ]M_EXMEG BJA @LSE@EJGRLN_@GEML ]E@XAJZg `lve`ejgtl bja tepl bjsmretl jg an jmunmeg
$ % $ % 0 tNtx 8sjg ! js mlglmebl ml`l`lve`ejgtl nr`geml se`paj $@N]%! sjrjprjsjgtn jg ug irceml x - t bj an clr`negbemnbn jg an ceiurn' Bjstnquj`ls ansmnrnmtjrstemns `s e`plrtngtjs bj jstn
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
3/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=
pjrturonmeg seguslebna;
@lve`ejgtl nr`geml se`paj bj pjrlbl R y
n`paetub N'a' Jst mlgcegnbn bjgtrl bj als a`etjs Nx 0 'An `nigetub plsetevn N sj bjgl`egn n`paetubbja `lve`ejgtl'?' Ja `lve`ejgtl tejgj ug pjrlbl R eiuna natej`pl trngsmurrebl jgtrj `xe`ls sumjsevls l`s ijgjrna`jgtj jgtrj bls `l`jgtls sumjsevlsjg sj rjpetng tngtl ja bjspanzn`ejgtl x ml`l anvjalmebnb btbx '
Rjs an egvjrsn bj an crjmujgmen c!
cR
>0 '
Bnbn an jmunmeg osemn $ %8sjg &0 tNx ! japjrlbl bjoj mlrrjsplgbjr n ug nu`jgtl bj ? jg ja nriu`jgtl bj an cugmeg seguslebna' Ns
pujs! sj tejgj$ % $ % ?88 &&0&& tRt ! bj nqu sj
tejgj
?0R y
?0c '
An setunmeg jg t0 8 $l jg munaquejr ltrl egstngtjsjnanbl% qujbn ml`pajtn`jgtj jspjmecemnbn sesj jstnoajmjg als vnalrjs bj x y btbx jg bemdl
`l`jgtl' Jg ja egstngtj pnrtemuanr t 0 8!aan`nrj`ls n jstns `nigetubjs 8x y 8v !
rjspjmtevn`jgtj' Jgtlgmjs sj tejgjg ansebjgtebnbjs seiuejgtjs;
88 sjgNx 0
Jstns bls rjanmelgjs 88 mlsNv 0 pujbjguteaeznrsj pnrn mnamuanr an n`paetubN y ja giual
8 $giual bj cnsj egemena bja `lve`ejgtl%;?
8?8
&0
vxN !
0
8
8>8 tng
v
x
Ja vnalr bj an crjmujgmen ngiuanr! bja`lve`ejgtl sj suplgj mlglmebl plr ltrls`jbels'
Jkj`pal ?' Bjtjr`egnr se X jg ja `jmnges`leaustrnbl jg an ceiurn sj `ujvj mlg @N]' Jg jstj`jmnges`l! ^^ js ugn onrrn slorj an muna
pujbj bjsaeznrsj ja meaegbrl X6 jst mlgjmtnbn plrugn vnreaan A na olrbj bj ugn rujbn bj rnbel _quj iern mlg vjalmebnb ngiuanr mlgstngtj $Jstj`jmnges`l! jgmlgtrnbl jg `umdns `quegns bj
vnplr! trngsclr`n ja `lve`ejgtl lsmeantlrel bjapestg jg ja `lve`ejgtl rltnmelgna bj an rujbn%'
Ja `lve`ejgtl bj X js lsmeangtj pjrl glnr`geml se`paj'
]laumeg'Bj an ceiurn plbj`ls vjr cmea`jgtj quj X lsmeanbjsbj ugn plsemeg n ugn bestngmen $A & _% n
pnrter bj L dnstn ugn plsemeg $A _% n pnrter bjL' Xnrn bjtjr`egnr se ja `lve`ejgtl js nr`gemlse`paj! bjoj`ls jgmlgtrnr se ja bjspanzn`ejgtlbj X sntescnmj an jmunmeg $ %&0 tNx sjg 'Bj an ijl`jtrn bj an ceiurn tjgj`ls quj
mlsmls A_x &0 y sjgsjg _A 0 ! bj`lbl quj
sjgsjg
0A
_
$ % ?>?sjg>mls 0 0 $ % ?>??? sjg> _AA
'
Xlr mlgseiuejgtj
$ %?>???
sjgmls _A_x &0 !Mlg t0 bn
$ % ?>??? sjgmls _At_x &0 Jstn jxprjseg bn ja bjspanzn`ejgtl bj X jgcugmeg bja tej`pl' Mungbl ml`pnrn`ls jstnjmunmeg mlg an jmunmeg $ %&0 tNx sjg !vj`ls quj ja pre`jr tr`egl! _mls t!mlrrjsplgbj na `lve`ejgtl nr`geml se`paj mlg
?0 ! pjrl ja sjiugbl gl' Ns! nugquj ja`lve`ejgtl bj X js lsmeantlrel! gl js nr`geml
se`pajZg egijgejrl `jmgeml na besjnr ug `jmnges`lml`l ja bj an ceiurn tejgj quj pjgsnr m`lnpaemnr an cujrzn mlrrjmtn jg X bj `lbl quj jabjspanzn`ejgtl x jst bnbl plr an jmunmegjxprjsnbn agjns nrreon! bj `lbl quj an rujbn sj`ujvj mlg `lve`ejgtl mermuanr ugeclr`j'Mungbl X jst ugebl na pestg bj ugn `quegn bjvnplr! jstl sj aajvn n mnol rjiuangbl an nb`esegbj vnplr'
Jkj`pal =' Zgn pjaltn quj sj dn bjknbl mnjr
bjsbj ugn naturn d mdlmn mlg ja sujal mlg ugnmlaeseg pjrcjmtn`jgtj jastemn' ]uplgejgbl quj
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
4/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
2
gl sj pejrbj jgjrin bjoebl n an rjsestjgmen bjanerj'n% bj`ujstrj quj ja `lve`ejgtl js pjrebeml'
o% Bjtjr`egj ja pjrelbl bja `lve`ejgtl'm% Js stj ug `lve`ejgtl nr`geml se`paj9!4 `,s?'m% C0 `n 0 ?!: x>9!4 0 22!2 G']j prjsmegbj bja seigl `jgls $-% jg an jxprjsegbj an nmjajrnmeg pujs tna seigl gemn`jgtjegbemn quj ja sjgtebl bj jstn `nigetub jsmlgtrnrel na bj an jalginmeg'
Jkj`pal :' Zgn pnrtmuan veorn mlg ugnvjalmebnb `xe`n bj 28 `,s y ugn n`paetub bj :m`' Mnamuan;n% An crjmujgmen mlg quj veorn an pnrtmuan'
o%An nmjajrnmeg `xe`n'm% An vjalmebnb bj an pnrtmuan mungbl sjjgmujgtrn n ? m` bj an plsemeg bj jqueaeorel']laumegn% An vjalmebnb bja `lve`ejgtl nr`geml
$ % &00 tNbt
bxv mls
An vjalmebnb `xe`n bj ugn pnrtmuan Nv` 0 !
s
rnb488
`>8:
`,s28?- 0
00N
v`
Bj c?0 lotjgj`ls ja vnalr bjan crjmujgmen;
?0 c 0
?488 0 >?9!=? Dz
o% An nmjajrnmeg bja `lve`ejgtl nr`geml
$ % &00 tNbt
xbn sjg??
?
An nmjajrnmeg `xe`n bj ugn pnrtmuan
$ %$ %??? 488>8: 00 Nn` 0 =?888 `,s?
m% $ %&0 tNx sjg
Ml`l an pnrtmuan ml`ejgzn jgx 0 8! 0 8$ %&0 tNx sjg
$ %N
xt 0& sjg
$ %?
?
>mlsN
xt 0&
Aujil
$ %?
?
>mlsN
xNtNv 0&0
??
xN 0 0??
?:488 `,s?>40
Jkj`pal 3' An n`paetub bj ug `vea qujbjsmreoj ug @N]! vejgj bnbn! jg cugmeg bja
tej`pl! plr an jxprjseg;
&02
mls?
ty
$]E%' Bjtjr`egnr;n% N`paetub! crjmujgmen y pjrelbl bja`lve`ejgtl'
o% Cnsj bja `lve`ejgtl jg t0 ?s'
m% Sjalmebnb y nmjajrnmeg bja `vea jg cugmegbja tej`pl'b% Xlsemeg! vjalmebnb y nmjajrnmeg bja `veajg t0 > s'j% Sjalmebnb y nmjajrnmeg `xe`ns bja vea'c% Bjspanzn`ejgtl jxpjre`jgtnbl plr ja `veajgtrj t0 8 y t0 > s']laumeg'n% Xlr ml`pnrnmeg mlg an jmunmeg ijgjrna
$ %8mls &0 tNy sj bjbumj quj;N 0 ? `
0 y ml`l 0 ?c6 0 ?c6c0 8!: s->
R0 >,c0 >,8!: 0 ?s'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
6/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
3
o% An cnsj vejgj bnbn! jg jstj mnsl plr2 &0 t 6 rnb2,52? 0&0
m% Bjrevngbl an jmunmeg bj an jalginmegrjspjmtl n an vnrenoaj ttjgj`ls an jmunmeg bj anvjalmebnb;
&00
2tsjg?
btbyv $]E%
b% Bjrevngbl bj gujvl rjspjmtl n an vnrenoaj tlotjgj`ls an jmunmeg bj an nmjajrnmeg;
&002
tmls? ?
bt
bvn $]E%
]ustetuyjgbl jg ans jmunmelgjs mlrrjsplgbejgtjs;y 0 ->!2>2? `' 6 v 0 2!22 `,s' 6 n 0 >=!53 `,s?j% An vjalmebnb `xe`n sj nbquejrj mungbl jasjgl bja giual vnaj >6
`,s?5!30`x
v
y an nmjajrnmeg `xe`n mungbl ja mlsjgl bjagiual vnaj >6
`,s9?!>5 ?0`xn c% Ja bjspanzn`ejgtl y vejgj bnbl plr anbecjrjgmen jgtrjy pnrn t0 > jy pnrn t0 8'Ja vnalr bjy pnrn t0 > jsy> 0 - >!2>2? `!y pnrn t0 8 jsy8 0 ?mls ,2 0 >!2>2?` 6y 0 ->!2>2? ->!2>2? 0 -?!4= `
Jkj`pal 9' Bls pnrtmuans jkjmutng `lve`ejgtls
nr`gemls se`pajs bj an `es`n n`paetub ycrjmujgmen n al anril bj an `es`n rjmtn y mlg ja`es`l lreijg' Mungbl pnsng ugn kugtl n an ltrnvng jg berjmmelgjs lpujstns y su jalginmeg jgjsj egstngtj js an `etnb bj su n`paetub' Dnaanr anbecjrjgmen bj cnsj jgtrj n`ons']laumeg'
$ %&0 tNx sjg
?
Nx 0
Xnrn t0 8!x 0 8
Aujil 80 y tNx sjg0
N
xt0sjg
N
xt0sjg
Xnrtmuan >
Xlsemeg; ?
N
! suoejgbl
3?
>sjgsjg
? >>>
000 tttNN
Xnrtmuan ?
Xlsemeg;?
N! onkngbl
3
:
?
>sjgsjg
? ???
000 tttNN
An becjrjgmen bj cnsj jgtrj an pnrtmuan ? y anpnrtmuan > js
rnb=
?33
: 00
Jkj`pal 4' Zg oalquj bjsmngsn slorj ugnsupjrcemej dlrezlgtna'n% ]e an supjrcemej sj jgmujgtrn jg `lve`ejgtlnr`geml se`paj jg berjmmeg pnrnajan na pesl!rjnaezngbl bls lsmeanmelgjs plr sjiugbl' Jamljcemejgtj jstteml bj rlzn`ejgtl jgtrj ja oalqujy an supjrcemej js 8!:' ^u `nigetub bjoj tjgjran n`paetub bj mnbn lsmeanmeg pnrn quj gl dnyn
bjsaezn`ejgtl jgtrj ja oalquj y an supjrcemej3 ?
?
?
00 ?>3 Nn`x 0
Ja oalquj bjknr bj tjgjr mlgtnmtl mlg ansupjrcemej mungbl an cujrzn bj cremmeg quj anslstejgj cekn na pesl sjn `jglr quj an cujrzn bjegjrmen! jsl sumjbj mungbl c`x C`n 0
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
7/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
9
`iN` 0?>3 ?>3
iN 0
_jj`panzngbl vnalrjs$ %$ %
?>3
4!5:!8
0N 0 8!8=> `
N 0 => ``o%
ty sjg8?:!80 ]u nmjajrnmeg js;
tbt
xbn sjg8?:!8 ?
?
?
00
?
8?:!8 0`xn Ja oalquj bjknr bj tjgjr mlgtnmtl mlg ansupjrcemej mungbl an cujrzn bj bj veornmeg sjn`nylr quj ja pjsl bja lokjtl! jsl sumjbj mungbl
`i`n`x 0
`i` 0?8?:!8 8?:!8?
i
0
8?:!8
i0 0 >5!4 rnb,s
c0 =!>: m,sJkj`pal 5' ]lstjgil mlg an pna`n bj an `nglnoejrtn ugn mnkn bj csclrls' Bj rjpjgtjml`ejgzl n `lvjr an `ngl vjrtemna`jgtj mlg ug`lve`ejgtl nr`geml se`paj bj : m` n`paetub ycrjmujgmen prlirjsevn`jgtj mrjmejgtj' Xnrn qu
crjmujgmen bjknr an mnkn bj csclrls bj jstnr jgmlgtnmtl mlg an `ngl?' Zgn onrrn pjsnbn ugeclr`j bj `nsn` rjplsn slorj bls besmls eiunajs quj slgiernbls mlgtegun`jgtj jg sjgtebls lpujstls!ml`l sj `ujstrn' Als mjgtrls bj als besmls jstnsjpnrnbls ugn bestngmen b' Ja mljcemejgtj cremmegjgtrj ans onrrns y an supjrcemej bj als besmls js! mlgstngtj egbjpjgbejgtj bj an vjalmebnb
rjantevn bj ans supjrcemejs'Egemena`jgtj an onrrn sj `ngtejgj jg rjplsl mlgsu mjgtrl n ugn bestngmenx8 bja pugtljquebestngtj bj als besmls' Na tej`pl t0 8 sjsujatn' Jgmlgtrnr ja `lve`ejgtl suoseiuejgtj bjan onrrn'
]laumeg'Npnrntl
Benirn`n bj mujrpl aeorj bj an onrrnAns cujrzns nmtungtjs slorj an vein sj `ujstrngjg beoukl seiuejgtj' Als mjgtrls bj als besmlsjstg sjpnrnbls ugn bestngmen b' Ans cujrzns bjrlzn`ejgtl slg jg sjgtebls lpujstls'
Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg;
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
9/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
5
Cy 08;
8?> 0& `iGG $>%;80M
8
??
?> 0
&
& xb
Gxb
G $?%
An jmunmeg bj `l`jgtls $?% sj jsmreoj mlgrjspjmtl na mjgtrl bj irnvjbnb M bj an onrrn!BjspjkngblG> yG? bj $>% y $?%! lotjgj`ls
0 xb
`iG??
>> !
&0 xb
`iG??
>?
Ml`l `nC0 !pnrn an onrrn! lotjgj`ls;
0 x`CC cc ?>
0 x`GG ?>
0
&
x`xb
xb
`i
???
>
]e`paecemngbl;
8?
0
&
xb
ix
'
Jmunmeg mlrrjsplgbejgtj na `lve`ejgtlnr`geml se`paj! muyn crjmujgmen gnturna js ljs
rnb,s?
b
il
0
An jmunmeg bja `lve`ejgtl bj an onrrn'
txx 88 mls0 An onrrn sj `ngtejgj ug `lvejgbl lsmeantlrelnr`geml se`paj slorj als besmls quj ierng jgsjgtebls lpujstls'
JGJ_IN JG JA @LSE@EJGRLN_@GEML ]E@XAJMl`l lsmeanblr nr`geml se`paj js ug sestj`nmlgsjrvntevl! an cujrzn sj pujbj bjrevnr bj ancugmeg jgjrin pltjgmena'
bx
bZC 0
Ml`l fxC 0 ! tjgj`ls; fxbx
bZ0
?
?
>fxfxbxbZZ 000
An jgjrin pltjgmena bja lsmeanblr nr`geml
se`paj js ??
>fxZ 0
Ml`l dj`ls vestl js an jgjrin bj bjclr`nmegjastemn bja rjslrtj'
Ml`l $ % 0 tNx sjg ! y Nx`nx 0 ]j tejgj
?
?
>fNZ nx 0
Xlr ltrn pnrtj an jgjrin megtemn bja lsmeanblrnr`geml se`paj js
??
?
>
?
>
00
x``vF
Ml`l
$ % 0
tNx mls !Mlg
Nx`nx 0
! sj tejgj
????
?
>
?
>
?
>fN`Nx`F `nx`nx 000
An Jgjrin `jmgemn tltna js;ZFJ &0
$ % $ % &0 tfNt`N mls?>mls
?> ???
Ml`l
`
f0?
$ % $ % &0 tfNtfNJ ???? sjg?
>mls
?
>
Mlgstngtj?
> ? 00 fNJ
L sjn quj
`nx`nx ZFZFJ 00&0
X_LOAJ@N O]EML @N]N _J]L_RJ_jslrtj dlrezlgtna'Jg gujstrn pre`jrn rjcjrjgmen n jstj tepl bjsestj`ns! mlgsebjron`ls quj jstnon ml`pujstl
plr ug slal lokjtl bj `nsn ` sukjtl n ug rjslrtjbj mlgstngtj fy algietub a l n ltrl besplsetevljquevnajgtj! plr jkj`pal! ug nan`orj bjainbl!quj prlplrmelgn ugn cujrzn rjstnurnblrn eiuna na
prlbumtl bj mejrtn mlgstngtj fplr jabjspanzn`ejgtl rjspjmtl na jqueaeorel'
Jstl servj pnrn ebjgtecemnr! jg cugmeg bj ugsestj`n bj ug tepl pnrtemuanr sjgmeaal! ans blsmnrnmtjrstemns quj slg jsjgmenajs jg jajstnoajme`ejgtl bj `lve`ejgtls lsmeangtjs;>' Zgn ml`plgjgtj egjrmena! mnpnz bj trngsplrtnrjgjrin megtemn'?' Zgn ml`plgjgtj jastemn! mnpnz bj na`nmjgnr
jgjrin pltjgmena jastemn'Nb`etejgbl quj an ajy bj Dllfj js vaebn! sjlotejgj ugn jgjrin pltjgmena prlplrmelgna namunbrnbl bja bjspanzn`ejgtl bja mujrpl rjspjmtl
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
10/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>8
na jqueaeorel eiuna n ??
>fx ' Nb`etejgbl quj tlbn
an egjrmen bja sestj`n jst almnaeznbn jg an `nsnna cegna bja rjslrtj! sj lotejgj ugn jgjrin
megtemn quj js prjmesn`jgtj eiuna ?
?
>
`v!
sejgbl v an vjalmebnb bja lokjtl' Bjoj sjnanrsjquj n`ons deptjses pnrtemuanreznmelgjs bj ansmlgbemelgjs ijgjrnajs > y ? y quj dnor `umdlssestj`ns lsmeangtjs jg quj gl sj npaequjg jstnsmlgbemelgjs jspjmenajs' ]eg j`onril! se ugsestj`n pujbjmlgsebjrnrsj ml`pujstljcjmtevn`jgtj plr ugn `nsn mlgmjgtrnbn na cegnabj ug rjslrtj aegjna $aegjna sj rjcejrj n su
prlpejbnb y gl n su clr n ijl`tremn%! jgtlgmjsplbj`ls jsmreoer su jmunmeg bja `lve`ejgtl`jbengtj ugl bj jstls bls prlmjbe`ejgtls;
>' @jbengtj an sjiugbn ajy bj Gjwtlg $C0 `n%!`nfx 0
?' Xlr mlgsjrvnmeg bj an jgjrin `jmgemn tltna$J%!
Jfx`v 0& ???
>
?
>
An sjiugbn jxprjseg js! gnturna`jgtj! jarjsuatnbl bj egtjirnr an pre`jrn rjspjmtl nabjspanzn`ejgtlx!pjrl n`ons slg jmunmelgjsbecjrjgmenajs bja `lve`ejgtl bja sestj`n'Sn`ls n npaemnr an sjiugbn ajy bj Gjwtlg $C0`n%!jg ja egstngtj jg quj ja rjslrtj sj n jsternblugn algietub x
An ceiurn n mlgtegunmeg `ujstrn ja benirn`n bja
mujrpl aeorj bj an `nsn'
Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg $C0 `n%!
`nfx 0 8?
?
0& fxbt
xb` l 80&
fxx`
80&
x`
fx
Mungbl sj vjn ugn jmunmeg ngalin n stns sjpujbj aajinr n an mlgmauseg bj quj jabjspanzn`ejgtlx js ugn cugmeg bja tej`pl bj an
clr`n $ % $ %0 tNtx sjg ! jg blgbj
`
f0 sejgbl fan mlgstngtj bja rjslrtj y `
an `nsn'Jstn slaumeg sjiuer sejgbl vaebn! nugquj ja
sestj`n gl sjn ug lokjtl nesanbl sukjtl n ugrjslrtj mnrjgtj bj `nsn'An jmunmeg mlgtejgj ltrns bls mlgstngtjs! ann`paetubN y an cnsj egemena ! quj prlplrmelgng
jgtrj ans bls ugn jspjmecemnmeg ml`pajtn bjajstnbl bj `lve`ejgtl bja sestj`n pnrn t0 8 $ultrl tej`pl sjnanbl%'_jslrtj vjrtemna'Dnstn jstj pugtl dj`ls mlgsebjrnbl slan`jgtjrjslrtjs jg plsemeg dlrezlgtna! als quj sjjgmujgtrng seg jsternr jg su plsemeg bj
jqueaeorel' Jg `umdls mnsls! seg j`onril!tjgj`ls rjslrtjs jg plsemeg vjrtemna'
Ja rjslrtj tejgj ugn algietublreiegna a ! mungbl sj ntn ugn`nsn ` n ug rjslrtj jg plsemegvjrtemna! ja sestj`n jst jgjqueaeorel mungbl ja rjslrtjjkjrmj ugn cujrzn dnmen nrreoneiuna na pjsl bj an `nsn' Jstl js!ja rjslrtj sj jstern ugn algietub
a bnbn plr
`if 0a f
`i0a
Xlr mlgseiuejgtj! ugn `nsnjg ug rjslrtj vjrtemna lsmeannarjbjblr bj an plsemeg bjjqueaeorel'Npaemngbl an sjiugbn ajy bj
Gjwtlg %$ `nC0 !$ % `n`iyf 0&& a
`n`iffy 0& a Ml`l `if 0a ;
`nfy 0
8?
?0& fy
bt
yb` l 80&
fyy`
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
11/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>>
80&
y`
fy
Jg tlbls als ltrls nspjmtls ans lsmeanmelgjs slgeiunajs quj pnrn ja rjslrtj dlrezlgtna'
$ % $ %0 tNty sjg
Ja `lvejgbl js nr`geml se`paj y an crjmujgmen
jst bnbn plr`
f0 ! sejgbl fan mlgstngtj
bja rjslrtj y ` an `nsn'
Jkj`pal >=' Xnrn `jber an `nsn bj ug nstrlgnutnjg nusjgmen bj irnvjbnb sj j`pajn ug npnrntl`jbeblr bj `nsn mlrplrna' Jstj npnrntl mlgsestj!
osemn`jgtj! jg ugn seaan quj lsmean jg mlgtnmtlmlg ug rjslrtj' Ja nstrlgnutn dn bj `jber su
pjrelbl bj lsmeanmeg jg an seaan' Jg an sjiugbn
`eseg ]fyano ja rjslrtj j`pajnbl tjgn ugnmlgstngtj f0 38:!3 G,` y ja pjrelbl bjlsmeanmeg bj an seaan vnmn jrn bj 8!58>25 s'Mnamuaj an `nsn bj an seaan' Mlg ug nstrlgnutn jgan seaan ja pjrelbl `jbebl cuj ?!844=? s' Mnamuajan `nsn bja nstrlgnutn'
]laumeg'Ja pjrelbl bj lsmeanmeg bj ug lsmeanblrnr`geml js
f
`
cR
?
?>000
Bj nqu plbj`ls bjspjknr an `nsn?
?
0
Rf`
Jg ja pre`jr mnsl! an `nsn! quj js an bj an seaan!js eiuna n
?
?
58>25!83!38:
0
` 0 >?!29 fi
Jg ja sjiugbl mnsl! an `nsn tltna $seaan `snstrlgnutn% js
?
?
844=?!?3!38:
0&
@` 0 33!58 fi
An `nsn bja nstrlgnutn vnaj@0 33!58 >?!29 0 :2!2= fi
Jkj`pal >2' Jg ug sestj`n `nsn rjslrtj! jarjslrtj `ebj >8 m` y bjsmngsn jg ugn supjrcemej
dlrezlgtna seg rlzn`ejgtl su jxtrj`l aeorj cekl jgan pnrjb vjrtemna' ]j aj npaemn ugn cujrzn bj ?8 G
pnrn `ngtjgjral n ugn algietub bj >: m ' Jg jstnplsemeg sj sujatn y lsmean aeorj`jgtj mlg ugpjrelbl bj 2 s' Mnamuanr;n% An mlgstngtj bj rjmupjrnmeg bja rjslrtj'
o% An jmunmeg bja `lve`ejgtl veorntlrelnr`geml rjsuatngtj'm% Ans jgjrins pltjgmena y megtemn mungblx 0 ?m`'b% Sjalmebnb `xe`n y nmjajrnmeg `xe`n']laumeg'n% Ja rjslrtj mlg ugn cujrzn bj ?8 G jstern 8!>:
8!>8 0 8!8: `
xfC 0
8:!8
?80
0
x
Cf 0 288 G,`
o% Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg
0 `nC
0 x`fx
80&
x`
fx 8?8 0&
xx
Muyn slaumeg js;$ %&0 tNx 88sjg
$ %&0 tNv 888 mls Xnrn mnamuanr 8 '
Ja pjrelbl js R0 2s'
rnb,s?2
??8
000
R
Xnrn mnamuanr 8 y
Ans mlgbemelgjs egemenajs slg;Xnrn t0 8!x 0 8!8: `! v 0 8
Bj an plsemegsjg8:!8 8N0
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
12/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>?
?sjg
8:!8
sjg
8:!88
00N 0 8!8: `
Bj an vjalmebnbmls8 88N0
8mls 0 ?0 !
Cegna`jgtj
ttx?
mls8:!8??
sjg8:!8
0
&0
m% An jgjrin bja sestj`n lsmeangbl js
$ %$ %?? 8:!8288?
>
?
>00 fNJ 0 8!: K
Jg munaquejr egstngtjZFJ &0
Ans jgjrins pltjgmena mungblx 0 ? m`'
?
?
>fxZ 0 0 $ %$ %?8?!8288
?
>0 8!84 K
An jgjrin megtemn jsZJF 0 0 8!: 8!84 0 8!82? K
b% Mamual bj an vjalmebnb `xe`n y bj annmjajrnmeg `xe`n'
tx?
mls8:!8
0
ttbt
bxv
?sjg894!8
?sjg
?8:!8
000
`,s894!80`xv
ttbx
tbn
?mls>?!8
?mls
?8:!8
?
?
? 0
00
Aujil?`,s>?!80`xn
Jkj`pal >:' Zgn `nsn ` sj mlgjmtn n blsrjslrtjs bj mlgstngtjs cujrzn f> y f?ml`l jg ansceiurns n ! o y m' Jg mnbn mnsl! an `nsn sj `ujvjslorj ugn supjrcemej seg cremmeg na bjspanznrsj bja
jqueaeorel y slatnrsj'Jgmujgtrj ja pjrelbl bja `lve`ejgtl jg mnbnmnsl'
$n%
$o%
$m%]laumeg'
n% Dnmejgbl ja benirn`n bj mujrpl aeorj'
Xnrn mnbn ugl bj als rjslrtjs;
xx
`nC 0
!
>>
xfC0 !??
xfC0
Sestl jg mlgkugtl an `nsn lsmean bjoebl n ugrjslrtj jquevnajgtj; xfC j0 ! blgbj ?> xxx &0 Aujil! plbj`ls jsmreoer'
?> f
C
f
C
f
C
j
&0 ?>
>>>
fffj&0 !
y?>
?>
ff
fffj &
0 !
Mlg jstl
$ %?>
?>
ff`
ff
&
0 y
$ %
?>
?>?ff
ff`R
&0
o% Dnmejgbl ja benirn`n bj mujrpl aeorj'
Xnrn mnbn ugl bj als rjslrtjs;xx `nC 0 ! xfC >> 0 ! xfC ?? 0
Sestl jg mlgkugtl an nsn lsmean bjoebl n ugrjslrtj jquevnajgtj; xfC j0 ! ndlrn
?> CCC &0 Aujil! plbj`ls jsmreoer'
xfxfxfj ?> &0 ?> fffj &0 !
Mlg jstl
$ %`
ff ?> &
0 y $ %?>? ff`
R &0
m% Dnmejgbl ja benirn`n bj mujrpl aeorj'
Xnrn mnbn ugl bj als rjslrtjs;
xx `nC 0 ! xfC >> 0 ! xfC ?? 0 Sestl jg mlgkugtl an nsn lsmean bjoebl n ug
rjslrtj jquevnajgtj; xfC j0 ! ndlrn?> CCC &0
Aujil! plbj`ls jsmreoer'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
13/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>=
xfxfxfj ?> &0 ?> fffj &0 !
Mlg jstl$ %
`
ff ?> &0 y$ %?>
?ff
`R
&0
Mua sjrn ja pjrelbl pnrn ja mnsl bj an ceiurn
seiuejgtj3' ]j tejgjg bls pnrtmuans bj `nsns`> y `? ugebns plr ug rjslrtj bj mlgstngtj f'Egemena`jgtj jg rjplsl! sj plgj jg `lve`ejgtlaegjna n ans bls `nsns! bj tna `ngjrn quj sj
prlbumj ug `lve`ejgtl lsmeantlrel'Jgmlgtrnr an crjmujgmen bj lsmeanmeg bja sestj`n'
]laumeg'Ja sestj`n lsmean narjbjblr bja mjgtrl bj `nsn$M@%'
Mamual bj ans algietubjs a> y a?Ml`l
8?>
??>> 0&
&0
``
``xm`
aa
Rjgj`ls8??>> 0& aa ``
??>> aa `` 0 >?
>? aa
`
`0
An algietub bja rjslrtj js eiuna n an su`n bj ansalgietubjs pnrmenajs
?> aaa &0
_jj`panzngbl a?;
aaa 0& >?
>>
`
`
aa
?>
?>
``
`
&0
$ %
?
?>
> `
`` &0
a
a
]e`eanr`jgtj
aa?>
>?
``
`
&0 $ %
>
?>
? `
`` &0a
a
Mamual bj f> y f?
a
UNf0 !
>>
a
UNf 0 !
??
a
UNf 0 !
>
>>a
a
a
a
00 UN
UN
f
f $ % f`
``ff
?
?>
>>
&00 a
a
?
??
a
a
a
a00
UN
UN
f
f
$ %f
`
``ff
>
?>
??
&00
a
a
Ml`l als jstern`ejgtls slg prlplrmelgnajs n ansalgietubjs! lotjgj`ls;
x
``
`x
?>
?>
&
0 !
&
0 x``
`x
?>
?> y
&0 x
``
`x
?>
?>
x``
`x
?>
>? &
0 !
&0 x
``
`x
?>
>? y
&0 x
``
`x
?>
>?
_jslaumeg npaemngbl an sjiugbn ajy bj
Gjwtlg
Benirn`n bja mujrpl aeorj bj als jaj`jgtls bjasestj`n
Rrnonkngbl mlg an `nsn `>
>>>>
0 x`xf Xlgejgbl jg cugmeg bj x y f;
$ %$ % $ %
&0
&
& x
``
``x
``
`f
`
``
?>
?>
?>
?
?
?>
$ %
8?>
?> 0&
&
fx``
``x
Jmunmeg mlrrjsplgbejgtj n ug `lve`ejgtl
lsmeantlrel nr`geml$ %&0 tNx sjg ! mlg crjmujgmen ngiuanr
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
14/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>2
$ %?>?>
``
``
f
&
0
N ug rjsuatnbl eiuna sj aajin trnonkngbl mlg an`nsn `?'
Ja sestj`n js jquevnajgtj na bj ugn `nsn
$ %?>?>
``
``
&0 ! ugebn n ug rjslrtj bj mlgstngtj
f'
_jslaumeg npaemngbl an mlgsjrvnmeg bj anjgjrin']jn ja sestj`n jg an setunmeg `lstrnbn jg anceiurn
An `nsn `> mlg vjalmebnb >>
0 xv An `nsn `? mlg vjalmebnb ??
0xv Ja rjslrtj jsternbl ?> xxx &0 An jgjrin tltna js eiuna n an su`n bj ans jgjrinsmegtemns bj ans `nsns `> y `? `s an jgjrin
pltjgmena jastemn bja rjslrtj'?
?>
>?
?
?>
?> ?
>
?
>
&&
&0
x``
``x
``
``J
?
?
>fx&
$ %
$ %?
?
??>
?>?>
?
>fxx
``
````&
&
&0
$ %?
?
?>
?>
?
>fxx
``
``&
&0
]ejgbl ug sestj`n mlgsjrvntevl an jgjrin jsmlgstngtj'An bjrevnbn bj ugn mlgstngtj js eiuna n mjrl'
$ %
&
&
0
??
?>
?>
?
>
?
>fxx
``
``
bt
b
bt
bJ
$ %
&&
0 xxfxx``
``?
?
>?
?
>
?>
?>
$ %
8?>
?> 0&
&
0
fxx
``
``
$ %
8?>
?> 0&
&
fx``
``x
Jmunmeg mlrrjsplgbejgtj n ug `lve`ejgtllsmeantlrel nr`geml
$ %&0 tNx sjg ! mlg crjmujgmen ngiuanr
$ %?>?>
``
``
f
&
0
Jkj`pal >9' Na suspjgbjr ug mujrpl bj `nsn `bj ug rjslrtj bj mlgstngtj f>! y sjpnrnralaeijrn`jgtj bj su plsemeg bj jqueaeorel! jasestj`n lsmean mlg ugn crjmujgmenc>' ]e ndlrn jstjrjslrtj sj `lgtn ml`l egbemn an ceiurn! kugtl mlgltrls bls! bj mlgstngtjs f? 0 ?f> y f= 0 2f>!uteaezngbl ugn onrrn bj pjsl bjsprjmenoaj! muasjr an gujvn crjmujgmen prlpen bja sestj`n mlgrjanmeg n an ngtjrelr< N js ja pugtl `jbel bj an
onrrn'
]laumeg'Ml`l f> js becjrjgtj f? ! alsjstern`ejgtls bj als rjslrtjs gl slgeiunajs! plr al tngtl gl plbj`lsmlgsebjrnr an su`n bj ans mlgstngtjs
ml`l an mlgstngtj jquevnajgtj bj anpnrtj jg pnrnajal'Jg jstj mnsl vn`ls dnaanr berjmtn`jgtjan mlgstngtj jquevnajgtj bja mlgkugtl'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
15/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>:
Ja jstern`ejgtl bja rjslrtj > js;
>>> ?
?,
f
`i
f
`ix 00
Ja jstern`ejgtl bja rjslrtj ? js;
>?? 2
?,
f
`i
f
`i
x 00 Ja jstern`ejgtl bja rjslrtj = js;
>== 2f
`i
f
`ix 00
Mlg ja pjsl `ija rjslrtj sj jstern
=??
?x
xxx &
&0
]ejgbljqf
`ix 0
_jj`panzngblx!x>!x? yx=;
>
>>
2?
2?
f
`if
`i
f
`i
f
`i
jq
&&
0 0>4
:
f
`i
>:4
ffjq 0
An crjmujgmen bja mlgkugtl js;
c`
f
`
fjq ?
:
4 > 000
`fc
:4
?> >
0
Ml`l an crjmujgmen bja rjslrtj > js
`
fc >> ?
>
0
Lotjgj`ls;
?3!>:
4
>
00c
c'
Jkj`pal >4' Zg rjslrtj bj >8 m` tejgj ugl bjsus jxtrj`ls cekl jg an pnrjb vjrtemna y bjsmngsnjg ugn supjrcemej dlrezlgtna seg rlzn`ejgtl' ]j ajnpaemn ugn cujrzn bj ?8 G pnrn `ngtjgjraljsternbl ugn algietub bj >: m`' Jg jstn plsemegsj sujatn y lsmean aeorj`jgtj mlg ug pjrelbl bj 2s' Mnamuanr;n% An mlgstngtj bj rjmupjrnmeg bja rjslrtj'
o% An jmunmeg bja `lve`ejgtl veorntlrelnr`geml rjsuatngtj'm% Ans jgjrins pltjgmena y megtemn mungblx 0 ?m`'
b% Sjalmebnb `xe`n y nmjajrnmeg `xe`n']laumeg'n% Ja rjslrtj mlg ugn cujrzn bj ?8 G jstern8!>: 8!>8 0 8!8: `
xfC 0
8:!8
?80
0
x
Cf 0 288 G,`
o% Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg
0 `nC
0 x`fx 80&
x`
fx 8?8 0&
xx
Muyn slaumeg js;$ %&0 tNx 88sjg
$ %&0 tNv 888 mls Xnrn mnamuanr 8 '
Ja pjrelbl js R0 2s'
rnb,s
?2
??8
000
R
Xnrn mnamuanr 8 y
Ans mlgbemelgjs egemenajs slg;Xnrn t0 8!x 0 8!8: `! v 0 8Bj an plsemeg
sjg8:!8 8N0
?sjg
8:!8
sjg
8:!88
00N 0 8!8: `
Bj an vjalmebnbmls8 88N0
8mls 0 ?0 !
Cegna`jgtj
ttx?
mls8:!8??
sjg8:!8
0
&0
m% Ans jgjrins pltjgmena y megtemn pnrn x 0 ?m`'An jgjrin pltjgmena bja lsmeanblr nr`geml
se`paj js ??
>fxZ 0
Xnrn tx?mls8:!80 0 8!8? `
$ %$ %?8?!8288?
>0Z 0 8!84 K
Xlr ltrn pnrtj an jgjrin megtemn bja lsmeanblrnr`geml se`paj js
??
?
>
?
>
00
x``vF
Mamual bj v
tv
?sjg
?8:!8
0
Mamual bja vnalr bj t?
sjg
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
16/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>3
t?
mls8:!88?!8
0 2!88:!8
8?!8
?mls 00t
5?!82!8>?
sjg ? 00t
$ %5?!8?8:!8?sjg?8:!8 00 tv 0 - 8!89? `,s
_jj`panzngbl vnalrjs?
?
?
>
?
>
00
x``vF
$ %$ %?89?!83:!?:2?
>0F 0 8!33 K
b% Mamual bj an vjalmebnb `xe`n y bj annmjajrnmeg `xe`n'
tx?
mls8:!8
0
ttbt
bxv
?sjg894!8
?sjg
?8:!8
000
`,s894!80`xv
ttbx
tbn
?mls>?!8
?mls
?8:!8
?
?
? 0
00
?`,s>?!80`xn
Jkj`pal >5' Zg pjqujl prlyjmtea bj `nsn >8 iquj vujan dlrezlgtna`jgtj n vjalmebnb ?8 `,se`pnmtn pastemn`jgtj mlgtrn ug oalquj bj`nbjrn bj `nsn >58 i ugebl n ug rjslrtj ebjna bjmlgstngtj :88 G,` quj sj dnaan jg plsemegdlrezlgtna' Bjtjr`egj an n`paetub y crjmujgmenbj ans lsmeanmelgjs prlbumebns']laumeg'
Xlr mlgsjrvnmeg bj mngtebnb bj `lve`ejgtl;$ % >8 v@``v &0
$ % 8>
v@`
`v
&0
0$ % s
`>?8
>58>8
>80
&
Xlr mlgsjrvnmeg bj jgjrin;
$ % ??> ?>
?
>fNv@` 0&
$ % ?:88?>>?!8
?> N
`
G
s
`fi
0
Bj nqu; m``N ?8?!8 00 An crjmujgmen sj lotejgj bj
$ %@`f
c&
00 ?
$ %@`fc&
0?>
Dzc 53!9?:
?!8
:88
?
>000
Jkj`pal ?8' Zg oalquj bj `nsn@mlgjmtnbl nug rjslrtj dlrezlgtna bj mlgstngtj jastemn fsjjgmujgtrn jg `lve`ejgtl nr`geml jg ug peslaesl mlg ugn n`paetub xe`n bj >8 m` jg ja`l`jgtl jg quj an `nsn pnsn plr su pugtl bj
jqueaeorel sj egmrustn jg jaan ugn onan bj `nsn@,>8 quj trnj ugn vjalmebnb lpujstn n an `nsn ybj `nigetub ja bloaj bj an quj tejgj an `nsn@'n% Dnaanr an gujvn n`paetub quj tjgbr anlsmeanmeg'$]uijrjgmen; jg ja nr`geml an su`n bj jgjrinsjs ugn mlgstngtj%
o% N pnrter bja egstngtj bja mdlquj bj an onanmungtl tej`pl bj`lrn jg aajinr n su `xe`nn`paetub'Bntls; f0 =?88 G,`!@0 8!? fi]laumeg'
n%
Jmunmeg bja `lve`ejgtl egemena bj an `nsn@'tx sjg>80
Blgbj@
f0 ! fan mlgstngtj bja rjslrtj
Jg ja `l`jgtl bja e`pnmtl ja oalquj bj `nsntejgj vjalmebnb v y an onan vjalmebnb ?v'Xlr mlgsjrvnmeg bj an mngtebnb bj `lve`ejgtl
aegjna
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
17/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>9
$ % $ % S@
@v@
v@
&0&
>8?
>8
S@
v@
>8
>>
>8
40
@fNvS
>>4
>>4 00
Xlr mlgsjrvnmeg bj jgjrin
?
?
)?
>
>>
4
>8
>>
?
>fN
@
fN
@0
NNN 93!8>>8
4) 00
0 8!93$>8% 0 9!3 m`o%
$ %0 tNx )sjg)) ! @f
@
f
>>
>8
>8>>) 00
$ %0 tNv )mls)))
Xnrn t0 8! 8)0x y@
fNv
>>
>?) 0
Bj an pre`jrn mlgbemeg80
tx )sjg3!9)0 Ja tej`pl quj bj`lrn jg aajinr n su `xe`nn`paetub js R,2
f
@
@fR
>8>>?
>>>8?
)?)
000
f
@Rt
>8
>>
?2
) 00 0
f
@3:!>
Mlg als bntls
=?88
?!83:!>0t 0 8!8>= s
An lsmeanmeg aajin n su `xe`n n`paetub n als>= `eaesjiugbls
Jkj`pal ?>' Jg ja benirn`n bj an ceiurn jarjslrtj tejgj `nsn bjsprjmenoaj y ugn algietub bj?8m` mungbl jst seg bjclr`nr' Zg mujrpl bj?fi' Zgebl na rjslrtj pujbj `lvjrsj slorj ugnsupjrcemej pangn dlrezlgtna aesn' N bemdl mujrplsj aj ntn ug deal quj pnsn plr ugn plajn segrlzn`ejgtl y bja muna pjgbj ug mujrpl bj 2fi' Jasestj`n sj dnaan egemena`jgtj jg rjplsl jg an
plsemeg rjprjsjgtnbn y an algietub bja rjslrtjml`pre`ebl js bj >:m`' ]j mlrtn jgtlgmjs jadeal y ja mujrpl bj ? fi j`pejzn n lsmeanr mlg
`lve`ejgtl nr`geml se`paj'
n% Dnaanr ja vnalr bj f'o% Dnaanr an jmunmeg becjrjgmenam% Dnaanr an n`paetub bj lsmeanmeg y ancrjmujgmen gnturna bja @N]'b% Dnaanr an jgjrin `jmgemn bja sestj`n']laumeg'n% Mamual bja vnalr bj f'
>:!8?!8 0x 0 8!8: `xfC 0
x
`i
x
Cf
0
0 0
$ %8:!8
4!520 942 G,`
o% Dnaanr an jmunmeg becjrjgmena
Na mlrtnr an mujrbn
Sn`ls n npaemnr an sjiugbn ajy bj Gjwtlg $C0`n% na mujrpl bj `nsn ? fijg ja egstngtj jg quj
ja rjslrtj jst ml`pre`ebl ugn algietub x
`nfx 0 8?
?
0& fxbt
xb` l 80&
fxx`
80&
x
`
fx 8
?
9420&
xx
8=5? 0&
xx
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
18/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>4
m% An n`paetub bja `lve`ejgtl jsN 0 8!8: `! an
crjmujgmen ngiuanr js =5?0 0 >5!4 rnb,s
An crjmujgmen js;
?
4!>5
?00c 0 =!>: m,s
b% Dnaanr an jgjrin `jmgemn bja sestj`n'
?
?> fNJ0 0 $ %?8:!8942
?> 0 8!54 K
XGBZAL]XGBZAL ]E@XAJZg jkj`pal bj `lve`ejgtl nr`geml se`paj jsja `lve`ejgtl bj ug pgbual' Zg pgbual se`pajsj bjcegj ml`l ugn pnrtmuan bj `nsn `suspjgbebn bja pugtl L plr ugn mujrbn bjalgietub a y bj `nsn bjsprjmenoaj' ]e an
pnrtmuan sj aajvn n an plsemeg O bj `lbl quj an
mujrbn dnin ug giual mlg an vjrtemna LM! yaujil sj sujatn! ja pgbual lsmeanr jgtrj O y an
plsemeg se`tremn O'Xnrn bjtjr`egnr an gnturnajzn bj ans lsmeanmelgjs!bjoj`ls jsmreoer an jmunmeg bj `lve`ejgtl bjan pnrtmuan' An pnrtmuan sj `ujvj jg ug nrml bjmermual bj rnbel a 0 LN' Ans cujrzns quj nmtngslorj an pnrtmuan slg su pjsl `iy an tjgseg Rnal anril bj an mujrbn' Bj an ceiurn! sj vj quj anml`plgjgtj tngijgmena bj an cujrzn js
`isjgCt 0 ! blgbj ja seigl `jgls sj bjoj n
quj sj lplgj na bjspanzn`ejgtl s 0 MN' Anjmunmeg bja `lve`ejgtl tngijgmena js
tt `nC 0 y! ml`l an pnrtmuan sj `ujvj n alanril bj ug mrmual bj rnbel a ! plbj`ls usnr an
jmunmeg
_bt
b_
bt
b_
bt
bvnt 0000 ?
?
$rjj`panzngbl_ plra % pnrn jxprjsnr annmjajrnmeg tngijgmena'
Jstl js
00
aa?
?
bt
bnt ' An jmunmeg bja
`lve`ejgtl tngijgmena js plr mlgseiuejgtj
sjg`i` 0
a l 8sjg 0&
a
i
@lve`ejgtl lsme>ntlrel bj ug pgbual'
Jstn jmunmeg gl js bja `es`l tepl quj an
jmunmeg 8? 0&
xx bjoebl n an prjsjgmen bjasjg ]eg j`onril! se ja giual js pjqujl!
al muna js mejrtl se an n`paetub bj ans lsmeanmelgjs
js pjqujn! plbj`ls usnr an nprlxe`nmegsjg y jsmreoer pnrn ja `lve`ejgtl bja
pgbual
80&
a
i
Jstn js an jmunmeg becjrjgmena ebgtemn n an
jmunmeg 8? 0&
xx se rjj`panzn`ls plr! jstn vjz rjceregblgls na `lve`ejgtl ngiuanry gl na `lve`ejgtl aegjna' Xlr jaal plbj`lsaajinr n an mlgmauseg quj! bjgtrl bj gujstrn
nprlxe`nmeg! ja `lve`ejgtl ngiuanr bjapgbual js nr`geml se`paj mlg
a
i0? ' Ja
giual pujbj ns jxprjsnrsj jg an clr`n$ % &0 tmls8 ! ja pjrlbl bj lsmeanmeg
jst bnbl plr an jxprjseg
iR
a?0
Gtjsj quj ja pjrlbl js egbjpjgbejgtj bj an`nsn bja pgbual' Xnrn `nylrjs n`paetubjs! an
nprlxe`nmeg sjg gl js vaebn'
Jkj`pal ??' Dnaaj ja jrrlr rjantevl ml`jtebl namnamuanr an vjalmebnb pnrn ug pgbual jg su pugtl`s onkl j`pajngbl an nprlxe`nmeg bjlsmeanblr nr`geml! se sj sujatn jg rjplsl bjsbjug giual rjspjmtl n an vjrtemna bj > ! >8! =8!38 y 58']laumeg'
An jmunmeg bj `lve`ejgtl bja pgbual
sjg?
?
a
i
bt
b0
]ejgbl an egmaegnmeg rjspjmtl n an vjrtemna$`jbebn jg rnbengjs%' Mungbl js pjqujl! sj
pujbj usnr an nprlxe`nmeg sjg Al quj rjbumj an jmunmeg bja pgbual n an bj ug
lsmeanblr nr`geml
a
i
bt
b
?
?
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
19/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
>5
8?
?
0&
a
i
bt
b
Mungbl pnrtj bja rjplsl! bjsbj ugn mejrtnsjpnrnmeg 8!
t mls80 An vjalmebnb aegjna bj an ajgtjkn bja pgbual js
tsjg8
aa 00bt
bv
Snalr nprlxe`nbl bj an vjalmebnb `xe`nAn vjalmebnb `xe`n al namngzn jg ja `l`jgtljg quj sj jgmujgtrn jg ja pugtl `s onkl
$ % 88nprlxe`nbl aa iv`x 00
Snalr jxnmtl bj an vjalmebnb `xe`n
Jstn `es`n vjalmebnb pujbj mnamuanrsjjxnmtn`jgtj! j`pajngbl an ajy bj mlgsjrvnmegbj an jgjrin `jmgemn'An jgjrin egemena! mungbl pnrtj bja rjplsl! js
purn`jgtj pltjgmena' Rl`ngbl ja lreijg bjnaturns jg ja pugtl `s onkl bj an trnyjmtlren
$ % $ %88 mls> 000 a`i`idZJ An jgjrin jg ja pugtl `s onkl js purn`jgtjmegtemn
$ %?
8 ?
>jxnmt`vFJ 00
Eiunangbl jstns bls mngtebnbjs$ %
?sjg?mls>? 88
aa iivjxnmt 00 0
Ml`pnrnmegJa mlmejgtj jgtrj ja vnalr nprlxe`nbl y ja jxnmtljs
$ %?sjg?
?sjg? 8
8
8
8
00
a
a
i
i
v
v
jxnmt
nprlx
Jrrlr noslautl ml`jtebl jg an nprlxe`nmeg
nprlxjxnm vvj 0 Jrrlr rjantevl ml`jtebl jg an nprlxe`nmeg$ %
$ %?sjg?sjg?
8
88
0
0
jxnm
jxnmnprlx
v
vvj
Npaemngbl jstn cr`uan n als giuals bjajgugmenbl
8$%
8 $rnb% j $*%
> ,>48 8!88>?9
>8 ,>8 8!>?9=8 ,3 >!>:38 ,= 2!9?
58 ,? >>!89
Sj`ls quj! jg ijgjrna an nprlxe`nmeg jsonstngtj oujgn y quj egmausl pnrn giuals tngirngbjs ml`l 38 ja jrrlr js egcjrelr na : *'
Jkj`pal ?=' Mnamuanr an tjgseg jg an mujrbn bjug pgbual jg cugmeg bja giual quj dnmj anmujrbn mlg an vjrtemna']laumeg'Xnrn mnamuanr an tjgseg R! pre`jrl lotjgj`ls ancujrzn mjgtrpjtn slorj an pnrtmuan!
mls`iRCRC Gm 00 !yn quj! bj an ceiurn bja pgbual se`paj!CG jstbnbn plr`i mls' Aujil eiunangbl jstnjxprjseg n an `nsn `uatepaemnbn plr an
nmjajrnmeg mjgtrpjtn a,?`v $gtjsj quj a jsja rnbel%! mlg jstl lotjgj`ls
a
?
mlsv
``iR 0
Xnrn mlgsjiuer an vjalmebnb usn`ls anmlgsjrvnmeg bj an jgjrin mlgsebjrngbl ml`lgevja 8! ja pugtl bj suspjgseg bja pgbual;
8? mlsmls
?
> aa `i`i`v 0
$ %8? mlsmls
?
>0 a`i`v
Jstl js! $ %8? mlsmls? 0 aiv Xlr al tngtl
$ %8mls?mls= 0 `iR
Jkj`pal ?2' Zg mldjtj nmjajrn dnmen nrreon n2!88 `,s? bjsbj an pantnclr`n bj angzn`ejgtl jgan Rejrrn' Jg su egtjrelr! ugn jscjrn pjqujn bj>!:8 fi mujain bja tjmdl `jbengtj ug nan`orjaeijrl bj >!>8 `' ]e an jscjrn sj bjspanzn uggiual pjqujl rjspjmtl n an vjrtemna y sj sujatn!jgmujgtrj ja pjrelbl bj ans lsmeanmelgjs bj stj
pgbual'
]laumeg'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
20/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?8
$ %R
ni
?0
&0
a
$ %ni
R
&
0a
?
>
_jj`panzngbl vnalrjs
$ %24!5>8!>
?
>
&0
R 0 8!82: s
XGBZAL ML@XZJ]RLZg pgbual ml`pujstl $l cseml% js munaquejrmujrpl riebl quj pujbj lsmeanr aeorj`jgtjnarjbjblr bj ug jkj dlrezlgtna onkl an nmmeg bjan irnvjbnb' ]jn [[ ja jkj dlrezlgtna y M jamjgtrl bj `nsn bja mujrpl' Mungbl an agjn LM
dnmj ug giual mlg an vjrtemna! ja tlrqujnarjbjblr bja jkjz nmtungtj slorj ja mujrpl js
sjg@ibz 0 ! blgbj bjs an bestngmen LMjgtrj ja jkjzy ja mjgtrl bj `nsn M' ]e E js ja`l`jgtl bj egjrmen bja mujrpl narjbjblr bja jkj
z! y
0 js an nmjajrnmeg ngiuanr'Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg pnrn an
rltnmeg 0 E lotjgj`ls;
0 E@ibsjg ' ]uplgejgbl quj ans
lsmeanmelgjs slg bj pjqujn n`paetub! plbj`lssuplgjr quj sjg ! bj `lbl quj an jmunmegbja `lve`ejgtl js
E
@ib0
l 80&
E
@ib
Xgbual ml`pujstl'
Xlbj`ls ml`pnrnr jstn jmunmeg bja`lve`ejgtl ml`pnrnr mlg an jmunmeg
8? 0&
xx ! bj`lstrngbl quj ja `lve`ejgtlngiuanr lsmeantlrel js nr`geml se`paj! mlg
E
@ib0? ' Xlr mlgseiuejgtj! ja pjrlbl bj ans
lsmeanmelgjs js
@ib
ER ?0
Jkj`pal ?:' Zg ngeaal bj 8!>8 ` bj rnbel jstsuspjgbebl bj ugn vnreaan! ml`l sj eaustrn jg anceiurn' Bjtjr`egnr su pjrlbl bj lsmeanmeg'
]laumeg'Bjseigngbl ja rnbel bja ngeaal plr _! su`l`jgtl bj egjrmen mlg rjspjmtl n ug jkj quj
pnsn n trnvs bj su mjgtrl bj `nsn M js?`_EM 0 ' Jgtlgmjs! se npaemn`ls ja tjlrj`n bj
]tjegjr $ %?@bEE ML &0 ! jg jstj mnsl b0_! ja`l`jgtl bj egjrmen mlg rjspjmtl n ug jkj quj
pnsn n trnvs bja pugtl bj suspjgseg L js?@_EE M &0 0
??? ? ___ 0& !Xnrn ug pgbual cseml l ml`pujstl
@ib
ER ?0
@i_
@_R
???0
i
_R
??0
Al muna egbemn quj js jquevnajgtj n ug pgbualse`paj bj algietub ?_! l sjn ja be`jtrl bjangeaal' Na rjj`panznr als vnalrjs bj_ 0 8!>8 ` y
i0 5!4 `,s? lotjgj`ls R0 8!44 s'
Jkj`pal ?3' Jg ugn mn`egntn glr`na! anspejrgns bja sjr du`ngl l bja nge`na lsmeangaeorj`jgtj `s l `jgls ml`l ug pgbualcseml' Jstn losjrvnmeg dn pjr`etebl n alsmejgtcemls jste`nr an vjalmebnb n an muna ansmrenturns jxtegtns tnajs ml`l als beglsnurelsvenknong' ]e ugn kerncn tejgj ugn algietub bj
pejrgns bj >'4 `! y ugn algietub bja pnsl bj > `!qu jste`nrn ustjb pnrn ja pjrlbl bj anlsmeanmeg bj an pejrgn< Mua sjrn su vjalmebnbna mn`egnr
bja pugtl bj lsmeanmeg js ?=
>`AE0
Ja pjrelbl bj ug pgbual cseml js
@ib
ER ?0 0
i
A
A`i
`A
=
?
??
=
>
?
?
0
0 ?!? s
s
`8!23
s?!?
`>
pjrelbl
pnslbjaalgietub000v
Jkj`pal ?9' Mlgsebjrj ugn onrrn bjainbn mlg`nsn@0 2 fi y bj algietub A 0 >!? ` pevltnbnjg ug jkj dlrezlgtna aeorj bj cremmeg jg ja pugtl
A,2 bjsbj ug jxtrj`l! ml`l sj `ujstrn jg anceiurn'n% Jgmujgtrj $n pnrter bj an bjcegemeg% anjxprjseg pnrn ja `l`jgtl bj egjrmen bj an onrrnrjspjmtl bja pevltj'
o% Lotjgin ugn jmunmeg quj b an nmjajrnmegngiuanr bj an onrrn ml`l cugmeg bj 'm% Bjtjr`egj ja pjrelbl pnrn pjqujns n`paetubjsbj lsmeanmeg rjspjmtl bj an vjrtemna'
]laumeg'n%
000 2=
8
?2
8
??
AA
brA
@rbr
A
@rb@rE
&
0
==
2=
2=AA
A
@
024
9
32
?4
=
?= @AA
A
@0
o% 8sjg2E
@iAr 0
0
A
i
E
@iA
9
>?sjg
2 800
Xnrn lsmeanmelgjs pjqujns!
A
i
9
>?0
m%i
A
@iA
ER
>?
9?
2? 8 00
0 >!34 s
Jkj`pal ?4' Zg besml pjqujl bjainbl bj `nsn` y rnbel rsj sukjtn cer`j`jgtj n an mnrn bj ltrlbesml bjainbl bj rnbel _ y `nsn @! ml`l sj`ujstrn jg an ceiurn' Ja mjgtrl bja besml pjqujlsj almnaezn jg ja olrbj bja besml `nylr' Ja besml`nylr sj `lgtn plr su mjgtrl jg ug jkj segcremmeg' Ja besplsetevl sj iern ug giual y sjsujatnn% Bj`ujstrj quj an rnpebjz bja besml pjqujlmungbl pnsn plr an plsemeg bj jqueaeorel js
$ %
&&
0
?
mls>?
?
?
_
r
`
@i_v
o% Bj`ujstrj quj ja pjrelbl bja`lve`ejgtl js
$ %`i_
`r_`@R
?
??
?? &&0
]laumeg'n%J0F& Z0 mlgstngtj! Aujil
Fnrreon & Znrreon 0Fnonkl & ZnonklMl`l Fnrreon 0 Znonkl 0 8
Lotjgj`ls ??
>E`id 0 ! pjrl
$ % mls>mls 00 ___d !_
v0 j
???
??`_
`r@_E &&0 ' ]ustetuyjgbl
jgmlgtrn`ls
$ %?
??
??
???
>mls>
_
v`_
`_@_`i_
&&0
$ % ??
?
??2mls> v
`
_
`r@`i_
&&0 y
$ %
&&
0
?
mls>2
?
?
?
_
r
`
@i_v
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
22/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
??
Bj nqu
$ %
&&
0
?
mls>?
?
?
_
r
`
@i_v
o% Xnrn ug pgbual cseml
ib@
ER
R
?0 ! nqu @`@R &0 6
$ %$ %@`
`_
@`
@`_b
&0
&&
08
Aujil;
$ %$ %
&
&
&&
0
@`
`_i@`
`_`r@_
R
???
???
$ %`i_
`r_`@R
?
??
?? &&0
Jkj`pal ?5' Zg lokjtl munbrnbl bj `nsn ` sjmlgstruyj mlg muntrl vnreaans ugeclr jsebgtemns! mnbn ugn mlg ugn algietubA! ugebnsjgtrj s' Jstj lokjtl sj mujain bj su jsquegnsupjrelr jg ug ingmdl se sj iern aeijrn`jgtj n anezquejrbn y aujil sj sujatn! mlg qu crjmujgmenlsmeanr bj ug anbl na ltrl>sjg%8:!>%$?:!2$$?>>sjg%>!?%$22$? 88 &0b
`=4!80
?? %>!?%$?:!2$=>?%>!?%$22$? &0LE
?fi`:3!2880
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
23/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?=
Aujil;
s
rnb5:!8
:3!288
=4!8%4!5$:!5300
]E]RJ@N] BJ XGBZAL] U _J]L_RJ]
Jkj`pal =>' Ja sestj`n `lstrnbl jg an ceiurnmlgsestj bj ugn onrrn bj `nsn bjsprjmenoaj!
pevltnbn jg L! Zgn `nsn ` pjqujn jg jajxtrj`l lpujstl n L y ug rjslrtj bj mlgstngtj fjg an `etnb bj an onrrn' Jg an plsemeg `lstrnbnja sestj`n sj jgmujgtrn jg jqueaeorel' ] sj knan an
onrrn dnmen nonkl ug giual pjqujl y sj sujatn!mua js ja pjrelbl bj ans lsmeanmelgjsmls
Ns;
0 ??
2a
a`
f 8
20&
`
f
Jmunmeg bj `lvejgbl nr`geml se`paj mlg
`
f
20
f
`R
2?0
Jkj`pal =?' Xrloaj`n bja @jtrgl`l' Ja`jtrgl`l js ug npnrntl pnrn `jber ja tej`pl y`nrmnr ja ml`ps bj an `semn
An ceiurn `ujstrn ug `jtrgl`l y ug lbjalbj `jtrgl`l'@jtrgl`l vjrtemna egvjrtebl An ceiurn`ujstrn ug `jtrgl`l egvjrtebl! blgbj an `nsn
@ sj pujbj setunr jgtrj als jxtrj`ls N y O'
Bjsprjmenr ja pjsl bj an onrrn riebn LNO' LN 0a ! LO 0 a>8 ! an `nsn bj an onrrn bja pgbual sjmlgsebjrn bjsprjmenoaj'n% Jgmujgtrj an jmunmeg becjrjgmena qujiloejrgn ja `lve`ejgtl mungbl an `nsn@jstsetunbn n ugn bestngmen d bja pugtl L'
o% Mua js an crjmujgmen gnturna bj an lsmeanmegmungbl@jst pre`jrl almnaeznbn jg N y aujiljg O
]laumeg'n%
LL E@idfx 00 sjg'mls'? a Ml`l; sjgx a0 ! ?@dEL 0 ;
sjg'mls'? ? @idsjgf a 0?
??
bt
b@d
Mlg sjg ! >mls 0 y se`paecemngbl;
0 ??? did@
fa
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
24/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?2
8?
?
?
0
&&
d
i
d@
f a
o%mlg @jg N; a0d
8?
0
&&
a
i
@
f
a
i
@
f&0
? 0
a
i
f
@
@
f
&?
>?
Mlg @jg O; a>80d
8>8>88
?0
&&
a
i
@
f
a
i
@
f&0
>88
? 0
a
i
f
@
@
f
&?
>88>
?
>8
>
@jtrgl`l vjrtemna bjrjmdl An ceiurn `ujstrnug `jtrgl`l egvjrtebl! blgbj an `nsn @ sj
pujbj setunr jgtrj als jxtrj`ls N y O'Bjsprjmenr ja pjsl bj an onrrn riebn LNO' LN 0a ! LO 0 a>8 'n% Jgmujgtrj an jmunmeg becjrjgmena qujiloejrgn ja `lve`ejgtl mungbl an `nsn@jstsetunbn n ugn bestngmen d bja pugtl L
o% Mua js an crjmujgmen gnturna bj an lsmeanmegmungbl@jst pre`jrl almnaeznbn jg N y aujiljg O
]laumeg'n%
LL E@idfx 0&0 sjg'mls'? a Ml`l; sjga0x ! ?@dEL 0 ;
sjg'mls'? ? @idsjgf & a 0?
??
bt
b@d
Mlg sjg ! >mls 0 y se`paecemngbl;
0& ??? didf
a
8?
?
?
0
&
d
i
d@
f a
o%mlg @jg N; a0d 8
?0
&
a
i
@
f
a
i
@
f0
? 0
a
i
f
@
@
f
?
>?
Mlg @jg O; a>80d
8>8>88
?0
&
a
i
@
f
a>8>88
? i
@
f0
0af
@i
@
f:>
?
>8
>
@jtrgl`l dlrezlgtnaAn ceiurn `ujstrn ug `jtrgl`l egvjrtebl!blgbj an `nsn @ sj pujbj setunr jgtrj alsjxtrj`ls N y O' Bjsprjmenr ja pjsl bj an onrrnriebn LNO' LN 0 a ! LO 0 a>8 'n% Jgmujgtrj an jmunmeg becjrjgmena qujiloejrgn ja `lve`ejgtl mungbl an `nsn@jst
setunbn n ugn bestngmen d bja pugtl Lo% Mua js an crjmujgmen gnturna bj an lsmeanmegmungbl @ jst pre`jrl almnaeznbn jg N y aujiljg O
]laumeg'n%
Jqueaeorel jstteml 8? 0&0 @idxfL a Ja tlrquj prlbumebl plr als pjsls bj ans `nsns jsml`pjgsnbl plr als tlrqujs prlbumebls plr ansrjnmmelgjs n ans bjclr`nmelgjs prjvens bj alsrjslrtjs' Aujil an jmunmeg beg`emn js;
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
25/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?:
LL Efx 00 mls'? a Ml`l; sjga0x ! ?@dEL 0 ;
?
??? mlssjg'?
bt
b@df
0 a
Mlg sjg ! >mls 0 y se`paecemngbl;
0 ??? d@
fa
8?
?
?
0
&
d@
f a
o%Mlg@jg N; a0d
8?
0
&
@
f
@
f?0
Mlg@jg O; a>80d
8>88
?0
&
@
f
@
f?
>8
>0
Jkj`pal ==' Zg meaegbrl bj `nsn@y rnbel_ sjmlgjmtn plr `jbel bj ug rjslrtj bj mlgstngtj fml`l bj `ujstrn jg an ceiurn' ]e ja meaegbrl tejgjaeojrtnb bj rlbnr slorj an supjrcemej dlrezlgtna
seg rjsonanr! jgmlgtrnr su crjmujgmen'
]laumeg'Xlr an ajy bj GjwtlgNpaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg na meaegbrl!
0 `nC l cCfxx` 0
Blgbj Ccjs an cujrzn bj cremmeg!Zsngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg pnrn an rltnmeg!
0 lE !
_CE cl 0
l _C_
x`_ c0
?
?
>
Bj nqu 0 x`Cc ?> ! sustetuyjgbl jstn jxprjseg jg an
jmunmeg bj an cujrzn lotjgj`ls
0 x`fxx`?
>l 8
?
=0&
fxx`
y s,rnb=
?8
@
f0
Xlr ja `tlbl bj an jgjrin;An jgjrin tltna bja sestj`n js an su`n bj an
jgjrin megtemn $trnsanmelgna y rltnmelgna% y anjgjrin pltjgmena6 y pjr`ngjmj eiuna pnrn tlbltej`pl!
J0 $Ftrnsanmeg &Frltnmeg% &Z?
?
> 0 x@Ftrnsanmeg !
?
?
> 0 lrltnmeg EF
Blgbj ja `l`jgtl bj egjrmen bja meaegbrl js
?
?
>@_El 0 !
Rn`oeg x_ 0 y
0x_
An jmunmeg bj an jgjrin bja sestj`n pnrnmunaquejr tej`pl js
&
&0
'
?
?
??
?
>
?
>
?
>
?
>fx
_
x@_x@J
0 ??
?
>
2
=fxx@ &
Ml`lJ0 mlgstngtj! 80bt
bJ
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
26/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?3
8?
=0
&0
xfxx@bt
bJ
Ml`l'
x gl sej`prj js mjrl! an jmunmeg bja`lve`ejgtl js
8?= 0& fxx@ l s,rnb
=?8@
f0
Jkj`pal =2' Dnaanr ja vnalr` bj an `nsn bjasestj`n $o% bj `lbl quj su crjmujgmen sjn an`es`n quj an bja sestj`n $n%' Mlgsebjrj quj alsbls rjslrtjs slg eiunajs y quj an plajn bjasestj`n $n% tejgj `nsn `? y rnbel_! An mujrbn glrjsonan slorj an plajn'
]laumeg'
&0 ?>?
??
>_`_`fx_
&0 ?>?
?
?> _``f_
8
?
>>?
0
&&
``
f
&0
>??
>``
f
Xnrn quj ja sestj`n $o% tjgin eiuna crjmujgmen
quj ja sestj`n $n% bjoj tjgjr ugn `nsn
>??
>``` &0
Jkj`pal =:' Ja besml dl`ligjl tejgj ug`l`jgtl bj egjrmen narjbjblr bj su mjgtrl El 08!: fi`? y rnbel_ 0 8!: `' Jg su plsemeg bjjqueaeorel n`ols rjslrtjs jstg jsternbls : m`'Jgmlgtrnr an crjmujgmen ngiuanr bj lsmeanmeggnturna bja besml mungbl sj aj bn ug pjqujlbjspanzn`ejgtl ngiuanr y sj al sujatn' f0 488
G,`
]laumeg'An ceiurn `ujstrn na sestj`n lsmeangbl mungbl sjdn bjspanznbl ug giual
Ja rjslrtj bj an bjrjmdn jst jsternbl_x 0
Ja bj an ezquejrbn jst ml`pre`ebl_x 0
Aujil f_R0 Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg pnrn an
rltnmeg! 0 lE
0 8ER_R_
0 8?? Ef_
8?
8
?
0&
E
f_
An crjmujgmen ngiuanr js
8
?
8
?
E
f_0
_jj`panzngbl vnalrjs
$ %$ % s,rnb?4:!8
:!8488? ?8 00
Jkj`pal =3' Bjtjr`egnr an crjmujgmen gnturnabja sestj`n rjslrtj-`nsn-plajn `lstrnbl jg anceiurn'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
27/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?9
]laumeg'Jqueaeorel jstteml;Ja rjslrtj tejgj ug jstern`ejgtl egemena eiuna n
lr quj prlbumj ugn cujrzn lfr quj jqueaeorn
na pjsl `i'
L sjn `ifr l 0
Xnrn dnmjral lsmeanr dny quj snmnral bjajqueaeorel mlg ug `lve`ejgtl vjrtemna bj an `nsn`'
]laumeg npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg;Ml`l ja pjsl jst ml`pjgsnbl plr jajstern`ejgtl prjvel an gemn cujrzn nmtungtj js
prlbumebn plr ja jstern`ejgtl nbemelgna bjarjslrtj'
Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg;
Xnrn an `nsn `! 0 `nC
00 x``nR)
Ml`l rx 0 !
0 rx
Aujil
0 `rR) $>%Xnrn ja besml bj `nsn @! E0
rfrrREE %$)88 00
$?%
Blgbj ?8 @r?>
E 0 js ja `l`jgtl bj egjrmen bj an
plajn'_jj`panzngbl $>< Jg $?%;
?? %$?
>fr`rr@r 0
y 8?
> ??? 0&
&
fr`r@r !
Cegna`jgtj s,rnb?8 `@
f
&0
]laumeg plr ja `tlbl bj an jgjrin;J0F& Z0 mlgstngtj
F0F nsn &Fplajn ?'8
??
?'
8
?
?
>
?
>
?
>
?
> &0&0 E`rEx`F
???
?
>
?
>frfxZ 00
Ml`l an jgjrin tltna bj sestj`n pjr`ngjmjmlgstngtj!
$ % 80&ZFbt
bl
8?8? 0&&
frE`r
8?8? 0
&&
frE`r
Ml`l
gl sej`prj js mjrl!
&&
?8? frE`r js eiuna n mjrl' Aujil
8?
8
?
0&
&
`rE
fr
s,rnb?8 `@f
&0
Jkj`pal =9' Jg ugn supjrcemej dlrezlgtna aesn sjdnaan ugn mnrretl bj `nsn@mlg ja pgbual csemlbj algietubA y `nsn `! egstnanbl jg jaan'Osqujsj ja pjrelbl bj ans lsmeanmelgjs pjqujnsbja sestj`n'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
28/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?4
]laumeg'
Ja mjgtrl bj `nsn
`@
`x@xx `@m` &
&0 !
`@
`y@yy `@m` &
&0
`@
`v@vv `@m` &
&0
Ml`l ja mjgtrl bj `nsn bja sestj`n pjr`ngjmjjg rjplsl jg ja jkj dlrezlgtna
80m`x 80& `@ `v@v
`@ v@`v 0
`@ v@
`n 0
Xlr an sjiugbn ajy bj Gjwtlg'Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg na`lve`ejgtl bj ` mlg rjspjmtl n@;
`@x `nC 0
Blgbj
00 ``@``@ n@
`nnnn
Aujil
&0 `` n@
`n``i sjg
$ %`n
@
`@i
&0 sjg
Mlg sjg y
0 An` ;
$ % &0 A
@
`@i
$ %
80&
&
A
i
`@
@
Jmunmeg bja `lve`ejgtl nr`geml se`paj
8?8 0&
Muyn slaumeg js$ % &0 t88sjg
Mlg crjmujgmen ngiuanr
$ %A
i
`@
@
&0
8
Xlr mlgsjrvnmeg bj an jgjrin bja sestj`n'
??
?
?
>
?
>Jgjrin @@v`A &0
$ %mls>& `iA Xnrn lsmeanmelgjs pjqujns
sjg y >mls
Mlg
0 AAv` mls y
0 A@
`v@ !
lotjgj`ls;?
??
?>
?>Jgjrin
&0 A
@`@`A
$ %mls>& `iA
0?
?>?
>
& A@
``
$ %mls>& `iA Bjrevngbl
8sjg> 0&
&
iA
@
`
Ml`l sjg ;
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
29/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
?5
8> 0&
&
iA@
`
$ %
80&
&
A
i
`@
@
Jmunmeg bja `lve`ejgtl nr`geml se`paj8?8 0&
Muyn slaumeg js$ % &0 t88sjg
Mlg crjmujgmen ngiuanr
$ %Ai
`@
@
&08
$ %i
A
@
`@R
&00
?
?
8
Npaemnmeg n ug prltltepl
@0 :>?!3 i` 0 :?!= i
A 0 >2 & ? 0 >3 m`Mnamuanbl
$ %Ai
`@
@
&08 0 $ % >3!8
4!5
=!:?3!:>?
3!:>?
&
0 9!2:= rnb,s
s42!82:!9
?00
R
@jbemeg jxpjre`jgtna
R0 ?!? >!2 0 8!4 s
XGBZAL BJ RL_]EG'
Ltrl jkj`pal bj `lve`ejgtl nr`geml se`paj jsja pgbual bj tlrseg! mlgsestjgtj jg ug mujrplsuspjgbebl plr ug nan`orj l ceorn bj tna `ngjrnquj an agjn LM pnsn plr ja mjgtrl bj `nsn bjamujrpl' Mungbl ja mujrpl sj rltn ug giual n
pnrter bj su plsemeg bj jqueaeorel! ja nan`orj sjtujrmj! jkjrmejgbl slorj ja mujrpl ug tlrquj narjbjblr bj LM quj sj lplgjg nabjspanzn`ejgtl y bj `nigetub prlplrmelgna nagiual! 0 ! blgbj js ja mljcemejgtj bjtlrseg bja nan`orj'
Npaemngbl an sjiugbn ajy bja `lve`ejgtl $pnrnvnrenoajs ngiuanrjs%;
88 E0 ]e 8E js ja `l`jgtl bj egjrmen bja mujrpl mlg
rjspjmtl na jkj LM! an jmunmeg bja `lve`ejgtl
8E0 ! mlg
0 ! js
0
8E l 88
0&
E
Gujvn`jgtj jgmlgtrn`ls an jmunmeg becjrjgmena
bja @N]! bj `lbl quj ja `lve`ejgtl ngiuanr js
nr`geml se`paj! mlg8
?
E
0 6 ja pjrlbl bj
lsmeanmeg js
8?
ER0
Jstj rjsuatnbl js egtjrjsngtj bjoebl n qujplbj`ls usnral jxpjre`jgtna`jgtj pnrnbjtjr`egnr ja `l`jgtl bj egjrmen bj ug mujrplsuspjgbegblal bj ug nan`orj muyl mljcemejgtj
bj tlrseg sj mlglmj! y aujil `ebejgbl japjrlbl R bj lsmeanmeg'
Jkj`pal =4' ^ujrj`ls bjtjr`egnr ja `bual bjmeznaanburn bj ug `ntjrena y pnrn jaal tl`n`lsugn `ujstrn ceaeclr`j bja `es`l! bj :8 m` bjalgietub y 8!3 `` bj be`jtrl! mlg an qujvn`ls n mlgstruer ug pgbual bj tlrseg!sukjtgblaj jg an pnrtj egcjrelr y plr su pugtl`jbel! ugn onrretn bj ?8 m` bj algietub' ]jbjsvn an onrretn bj su plsemeg bj jqueaeoreltlrselgngbl ja deal! `ebegblsj >8 lsmeanmelgjs
ml`pajtns jg ?8 s' jg als jxtrj`ls bj an onrretnsj mlalmng sjgbns `nsns bj pal`l! quj sj
pujbjg mlgsebjrnr ml`l pugtunajs! bj : i mnbn
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
30/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=8
ugn! y sj plgj bj gujvl n lsmeanr ja sestj`n plrtlrseg! egvertejgbl ndlrn 28 s jg >8lsmeanmelgjs' Mnamuaj ja `bual bj meznaanburn']laumeg'Mlg ja pre`jr pgbual bj tlrseg
>> ?
ER 0 ! mlg ?> >?
>@AE 0
Mlg ja sjiugbl pgbual bj tlrseg
?? ? ER 0 ! mlg
$ %$ % 2>?=
>? >8>!8>8:? &0&0 EEE
Ja vnalr bj js eiuna pnrn n`ols mnslsJajvngbl na munbrnbl R> y R?
>??> 2
ER 0 !
???? 2
ER 0
_jstgblans;
$ %>??
?>
??
2EERR 0
$ %$ %?>??
>??2
RR
EE
0
Ml`l als pjrelbls slg;
s?>8
?8> 00R y s2>8
28? 00R
An becjrjgmen bj als `l`jgtls bj egjrmen js;2
>? >8&0EE 2>? >8
0EE Aujil;
$ %
$ %
$ %
$ %??
2?
?
>
?
?
>??
?2
>822
0
0
RR
EE
0 =!?5 x >8-2
]ejgbl I_
a?
20
2
?
_I
a0
_jj`panzngbl vnalrjs lotjgj`ls6
$ %$ %
$ %2=
2
2
>8=!8
>8?5!=:!8??
00
_
Ia
0 >! ?5 x >8>8 G,`?
@LSE@EJGRL N_@GEML JG BL]BE@JG]ELGJ]'Dnstn ndlrn gl dj`ls ae`etnbl n jstubenr ja`lve`ejgtl nr`geml bj an pnrtmuan l mujrplbjsmretl plr ugn slan vnrenoaj! ndlrn
pjr`eterj`ls n an pnrtmuan! `lve`ejgtl jg blsbe`jgselgjs'
0 rfC
An cujrzn sj pujbj bjsml`plgjr jg blsml`plgjgtjsfxCx 0 ! fyCy 0
Ans jmunmelgjs bja lve`ejgtl slg;
8?8 0&
xx ! 8?8 0&
yy
Blgbj ml`l ngtjs `f0?8 ' Ans slaumelgjsslg;
$ % $ %0 tNx t 8mls ! $ % $ %0 tOy t 8mls Aujil ja `lve`ejgtl js nr`geml se`paj jg
mnbn ugn bj ans be`jgselgjs! n`ons lsmeanmelgjstejgjg an `es`n crjmujgmen pjrl tejgjg qujbecjrjgmenr n`paetubjs y cnsjs' Xlbj`ls lotjgjran jmunmeg bj an trnyjmtlren bj ans pnrtmuansjae`egngbl ja tej`pl tjgtrj ans bls jmunmelgjs'Xnrn jstl jsmreoe`ls;
$ % $ %V P 0 tOy t 8mls
0 $ % $ % mlsmls 8tO - $ % $ % sjgsjg 8tO
Mlg
$ % Nx
t 08mls y
$ %?
8 >sjg
0N
xt
Aan`ngbl $ % 0 ;
sjg>mls?
0N
xOx
N
Oy
Jajvnbn na munbrnbl sj trngsclr`n jg;
????? mlsmls? xONOxyyN & 0
?????? sjgsjg xOON
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
31/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=>
^uj js;
?????? sjgmls? ONNyNOxO 0&
Xnrn?
0 ! jstn jmunmeg tl`n an clr`n bj
ugn jaepsj;
>?
?
?
?
0&O
y
N
x
Jg ja mnsl pnrtemuanr bjN 0O y ? 0 !tjgbrj`ls ug `lve`ejgtl mermuanr;
??? Nyx 0& Ltrl mnsl pnrtemuanr js mlg 80 ! jg qujtjgbrj`ls;
8? ?? 0& NyNOxyOx $ % 8? 0NyOx !jxprjseg bj jmunmeg bj ugn rjmtn;
N
O
y 0 ! pnrn 80 Bj clr`n se`eanr pnrn 0
N
Oy 0 ! pnrn 0
Jg an ceiurn pujbjg losjrvnrsj naiugns bj ansmurvns mlrrjsplgbejgtjs na mnslN 0 O! mungbl
80 ! 2 0 y ?0
Jg ijgjrna ans lsmeanmelgjs oebe`jgselgnajs gl
tejgjg plr qu sjr ans `es`ns crjmujgmens jg als`es`ls `lve`ejgtls sjig ans berjmmelgjsx jy!bj clr`n quj ans jmunmelgjs sj mlgvejrtng jg
$ % $ %0 tNx xt mls ! $ % 0 tOy yt mls y an trnyjmtlren gl js yn ugn jaepsj! segl ugn bjans aan`nbns murvns bj Aessnklus' Jstns murvnssjrg mjrrnbns mungbl ja `lve`ejgtl sj rjpetnslorj s `es`l n egtjrvnals rjiuanrjs bj tej`pl!al muna sal sjr plseoaj mungbl ans crjmujgmens
x y y ! sjng mlg`jgsurnoajs! l sjn! mungbl
yx
sjn ugn crnmmeg rnmelgna'
Jg an ceiurn n mlgtegunmeg sj rjprjsjgtn ugl bjjstls mnsls! pnrn ja muna yx 0 ?,= $y
nse`es`l!N 0O y 0 %'
Murvns bj Aessnklus'
Jg ja mnsl bj quj ja mlmejgtj bj ans crjmujgmensgl sjn ugn crnmmeg rnmelgna! an murvn sjrnoejrtn6 js bjmer! an pnrtmuan gl pnsnr bls vjmjs
plr ja `es`l pugtl n an `es`n vjalmebnb'
@jbebn bja bjscnsj jgtrj bls sjnajsJg ug lsmealsmlpel ml`plgj`ls bls @N] bjberjmmelgjs pjrpjgbemuanrjs y bj an `es`ncrjmujgmen ! bjscnsnbls ' ]uplgbrj`ls plrse`paemebnb quj n`ons sjnajs tejgj an `es`nn`paetubN'
x 0Nsjg$t%y 0Nsjg$t& %An trnyjmtlren ml`l plbj`ls ml`prlonr js ugnjaepsj'An `jbebn bj an egtjrsjmmeg bj an jaepsj mlg alsjkjs T j U gls pjr`etj `jber ja bjscnsj ! jgtrjbls sjnajsx jy'
n% Egtjrsjmmeg mlg ja jkj UMungblx 0 8! jgtlgmjs t0 8! '
y8 0 Nsjgy80Nsjg$& % 0 -Nsjg]e `jbe`ls jg an pnrtj plsetevn bja jkj U!tjgbrj`ls quj sjg0y8,N
Jg an pngtnaan bja /lsmealsmlpel/ ja jkj T y ja jkjU jst bevebebl jg ?8 pnrtjs! mnbn beveseg js ugnugebnb'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
32/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=?
Jg an ceiurn!N0>8! jy8 0:! ja bjscnsj 0=8! `jklr0 ,3
o% Egtjrsjmmeg mlg ja jkj TMungbly 0 8! jgtlgmjs t0 -! $ - % 'x8 0 -Nsjg
x80Nsjg$- % 0NsjgJg an ceiurn!N0>8! jx80:! ja bjscnsj 0=8! `jklr0 ,3m% Egtjrsjmmeg mlgx 0N ja olrbj bjrjmdl bj an
pngtnaan bja /lsmealsmlpel/N 0Nsjg$t% plr al quj t 0 ,?y> 0Nsjg$,?&% 0Nmls
Jg an ceiurnN 0 >8 y y> 0 4'9:! ja bjscnsj =8! `jklr0 ,3Xlbj`ls ml`prlonr quj sj lotejgj an `es`ntrnyjmtlren mlg ja bjscnsj =8 y ==8 y tn`oegmlg >:8 y ?>8' Xjrl plbj`ls bestegiuer jabjscnsj =8 bj >:8! plr an lrejgtnmeg bj als jkjsbj an jaepsj'
@jbebn bj an crjmujgmenMl`plgj`ls bls @N] bj berjmmelgjs
pjrpjgbemuanrjs y bj bestegtn crjmujgmen x! y y']uplgbrj`ls plr se`paemebnb quj n`onssjnajs tejgj an `es`n n`paetubN y ja bjscnsj
pujbj sjr munaquejr vnalrx 0Nsjg$xt%
y 0Nsjg$yt&%An rjanmeg bj crjmujgmens sj pujbj lotjgjr npnrter bja g`jrl bj tngijgtjs bj an trnyjmtlrenjg ja anbl vjrtemna y jg ja anbl dlrezlgtna'
G`jrl bj tngijgtjs anbl vjrtemna
dlrezlgtnaanbltngijgtjsbjg`jrl
vjrtemnaanbltngijgtjsbjg`jrl0
y
x
Jkj`pal; jg an ceiurn
?
=0
y
x
Jkj`pal =5' Bls `lve`ejgtls veorntlrelspjrpjgbemuanrjs bj an `es`n crjmujgmen tejgjgsus n`paetubjs jg an rjanmeg ?,= y ugn becjrjgmen
bj `nrmdn bj `jben algietub bj lgbn' Daajsj anclr`n bja `lve`ejgtl rjsuatngtj']laumeg'Ans jmunmelgjs bj jstls `lve`ejgtls slg;
tsjg>Nx 0 6 $ %&0 tNy sjg? 0 sjgmlsmlssjg ?? tNtN & 0 tsjg?N
=
?
?
> 0
0N
N
y
x
Ja `lve`ejgtl rjsuatngtj js sjig an jmunmegxy
?
=0
Mlrrjsplgbj n ugn rjmtn bj pjgbejgtj -=,?'
Jkj`pal 28' Jgmujgtrj an jmunmeg bj antrnyjmtlren bj ug pugtl sl`jtebl n bls`lve`ejgtls lsmeantlrels nr`gemlsrjmtngiuanrjs bnbls plr ans jmunmelgjs
tsjg=0x 6
0
3
sjg:
ty
]laumeg'
tsjg=0x =
tsjgx
0
Aujil;?
=>mls
0x
t
03
sjg:
ty
:3
sjgy
t 0
3sjgmls
3mlssjg
:
y
tt &0
0
&
?
>
5>
?
=
=
?xx
=32
>
3
=
:
?xxy0
Jajvngbl na munbrnbl;
=32
>
=3
=
=8
=?
?:
??? xxxyy
0& ]e`paecemngbl;
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
33/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
==
2
>
5>:
=
?:
??
0&xxyy
Mlrrjsplgbj n an jmunmeg bj ugn jaepsjegmaegnbn'
Jkj`pal 2>' Bls lsmeanmelgjs pjrpjgbemuanrjsjgtrj se tejgjg ja `es`l pjrelbl! an `es`nn`paetub y ugn becjrjgmen bj `nrmdn eiuna n ,3'^u lsmeanmeg rjsuatngtj prlbumj%'m% Mnamuanr ja mlmejgtj jgtrj als pjrlbls bjlsmeanmelgjs slorjx jy jg cugmeg bj a y 8a '
b% ]e pnrn t0 8 sj bjkn aeorj an `nsn ` bjsbj japugtlx 0y 0N8mlg vjalmebnb guan! muajs slgsus mllrbjgnbnsx jy jg ug egstngtj plstjrelrt a
aaaa
yfyfC
$ %8?
8 ?aa
aaa
&0 f
yf
Mamual bj Cy;
yy`nC 0 $ %
aaa
yfCCy 8?sjg? 00
aa
y
y
y
&0
??sjg
$ %a
aay
fbt
yb` 8?
?
? $ % 8? 8??
0&a
aay
fbt
yb`
$ % 8?
8?
?
0&
a
aay
`
f
bt
yb
m% Mnamuanr ja mlmejgtj jgtrj als pjrlbls bjlsmeanmelgjs slorjx jy jg cugmeg bj a y 8a '
An crjmujgmen bj ans lsmeanmelgjs slorjx js'
`
f
Rxx
??00
Ja pjrlbl bj ans lsmeanmelgjs slorjx'
f
`R
xx ?
?00
!
An crjmujgmen bj ans lsmeanmelgjs slorjy'$ %
a
aa 8?? 00`
f
Ryy
Ja pjrlbl bj ans lsmeanmelgjs slorjy'
$ %8??
aa
a
00
f
`R
y
y
$ %
$ %a
aa
aa
a
8
8?
? 0
0
f
`
f
`
R
R
y
x
?>
8>
0a
a
b% ]e pnrn t0 8 sj bjkn aeorj an `nsn ` bjsbj japugtlx 0y 0N8mlg vjalmebnb guan! muajs slgsus mllrbjgnbnsx jy jg ug egstngtj plstjrelrt
88
?mls
0
a
aa'
j% Beouknr ug irceml bj an trnyjmtlren bj `rjsuatngtj onkl ans mlgbemelgjs bj an pnrtj $b% se
8:
5aa 0 '
An rjanmeg bj ans crjmujgmens js;
$ %
$ %aaaa
aa
8
8
?
?
0
0
`
f`
f
x
y
Xnrn ja vnalr bnbl 8:
5aa 0 ;
$ %=
?
:
5:
5
8
888 0
0
0
a
aa
a
aa
x
y
Jg an ceiurn n mlgtegunmeg sj rjprjsjgtn
=?0
x
y
Murvns bj Aessnklus'
@LSE@EJGRL N_@GEMLN@L_REIZNBL'
Jg ja `lve`ejgtl nr`geml se`paj an n`paetubjs mlgstngtj na eiuna quj an jgjrin bja lsmeanblr']eg j`onril snoj`ls quj an n`paetub bja mujrpl
jg veornmeg! ml`l ug rjslrtj! ug pgbual!bes`eguyj irnbuna`jgtj! al quj egbemn ugn
prbebn pnuantegn bj jgjrin plr pnrtj bjalsmeanblr' Bjme`ls quj ja `lve`ejgtllsmeantlrel jst n`lrteiunbl'Ja N`lrteiun`ejgtl js mnusnbl plr an cremmeg!
pnrn ugn rjsestjgmen an vesmlsn tna ml`l an cujrznn`lrteiunblrn bja nerj! an cujrzn n`lrteiunblrn
pujbj tl`nrsj ml`l prlplrmelgna bj anvjalmebnb' ]jn an cujrzn bj ug n`lrteiunblrCo0 -ov blgbj ja seigl `jgls egbemn quj jstncujrzn tejgj sjgtebl lpujstl na `lve`ejgtl bjamujrpl lsmeangtj;
Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg;
`n 0 - fy - ov
0 yofyy` 80&&
fyyoy` ! 80&&
y`
fy
`
oy
8? ? 0&&
yyy l $E%
`
o
?0 !
`
fl 0
]laumeg bj an jmunmeg js bj an clr`nrt
jy 0 _jj`panzngbl jg an jmunmeg lotjgj`ls;8? ?? 0&& rtl
rtrt jrjjr
]e`paecemngbl
8? ?? 0&& lrr Ans rnmjs bj jstn jmunmeg slg;
?8
?> &0r y
?8
?? 0r
Xlr mlgseiuejgtj an slaumeg ijgjrna bj anjmunmeg $E% js
&0
ttt ll
MjOjjy
????
Besmuseg bj an slaumeg
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
36/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=3
n% Mungbl ?? 7l
>?8
? e0 js ugn mngtebnb e`niegnren y
tetet MjOjjy >> &0
Dnmejgbl ejNO?
0 y ejNM 0?
Lotjgj`ls
&0
&&
?
%$%$ >>
tetet jjNjy
Jxprjseg quj sj pujbj jsmreoer usngbl ansrjanmelgjs bj Juajr ml`l
$ % &0 tNjy t >mls Blgbj > js an crjmujgmen bja lsmeanblrn`lrteiunbl! nugquj dnoangbl jstremtn`jgtj gl
js plseoaj bjceger an crjmujgmen jg ja mnsl bja`lve`ejgtl n`lrteiunbl bjsbj quj jstj gl js ug`lve`ejgtl pjrebeml'An n`paetub `xe`n bja `lve`ejgtl bes`eguyj
bjoebl na cnmtlr tj ' '
Jstj `lve`ejgtl sj mlglmj ml`l]ZON@L_REIZNBL l plml n`lrteiunbl'
o% Mungbl ?? 0l
8?8? 0 mngtebnb rjna
Jg jstj mnsl an slaumeg tejgj an clr`n
$ % tjMtOy &0
Ja bjspanzn`ejgtl bjmrjmj n su plsemeg bjjqueaeorel seg lsmeanr jg ja `jglr tej`pl plseoaj!n jstj `lve`ejgtl sj aj mlglmj ml`lM_EREMN@JGRJ N@L_REIZNBL'
Xjrl pnrn n`lrteiunblrjs cujrtjs sjig al`lstrnbl jg an ceiurn nonkl! ja pjrlbl vnrnsjig an n`paetub y ja `lve`ejgtl mn`oen
mlgsebjrnoaj`jgtj bja `lbjal nr`geml se`paj'Ja n`lrteiun`ejgtl mrteml js an quj aajvn nalsmeanblr na rjplsl jg ja `jglr tej`pl' Jstljgmujgtrn npaemnmelgjs jg egstru`jgtls blgbj jsugn vjgtnkn ja plbjr tl`nr ugn ajmturn rpebn bjaegbemnblr' Js tn`oeg tea plr rjslrtjs jgnsejgtls y n`lrteiunblrjs bj vjdmuals'm% Mungbl ?? 1l
>?8
? 0
jg jstj mnsl an slaumeg tejgj an clr`nttt MjOjjy >>
&0 Jg jstj mnsl tn`plml jxestj lsmeanmeg! pjrl sjnmjrmn n an plsemeg bj jqueaeorel `s ajgtn`jgtjquj ja mrteml! n jstj `lve`ejgtl sj aj mlglmjml`l ]LO_JN@L_REIZNBL
Jkj`pal 2=' Zg pgbual sj nkustn pnrn tjgjr ugpjrlbl jxnmtl ? sjiugbls! y sj plgj jg
`lve`ejgtl' Bjspus bj ?8 `egutls! sun`paetub dn bes`eguebl n >,2 bj su vnalr egemena']e ja `lve`ejgtl bja pgbual pujbj sj
rjprjsjgtnbl plr $ %ctj t ?mls80 ! mua js
ja vnalr bj=43!> 0j
]laumeg'n% $ %ctj t ?mls8
0 Xnrn t0 ?8 x 38 0 >?88 s
$ %>2
>?888
8 0 j
=43!>>?88
2
> 00 jj
=43!>>?88 0 t
88>>::!8>?88
=43!>00
0>!? x >8-= G's,` fi,s'
Jkj`pal 22' Ja mujrpl J bj =!=2 fi bj `nsn jgan ceiurn jst nsjiurnbl n an vnreaan BC muyl pjsl
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
37/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=9
pujbj eiglrnrsj' Ja rjslrtj tejgj ug `bual f0>88 G,` y ja mljcemejgtj bja n`lrteiunblr js o0 ?3!9 G-s,`' Ja sestj`n jst jg jqueaeorelmungbl BC jst dlrezlgtna' An vnreaan sj bjspanzn8!>8 rnb jg sjgtebl dlrnrel y bjsbj ja rjplslmungbl t0 8' Bjtjr`egnrn% an jmunmeg bja `lve`ejgtl bj an vnreaan!
o% an crjmujgmen bja `lve`ejgtl'
]laumeg'Ja sestj`n sj jgmujgtrn jg jqueaeorel mungbl jst
jg plsemeg dlrezlgtna' Ja pjsl bj an `nsn jstnjqueaeornbl plr ug jstern`ejgtl egemena bjarjslrtj'An ceiurn `ujstrn ja benirn`n bja mujrpl aeorj bjan vnreaan BC! bjspanznbn jg an berjmmeg plsetevn'
Npaemngbl an sjiugbn ajy bj Gjwtlg pnrn an
rltnmeg; BB E0
$ %
0
??> ?!>:!>?!> @fxxo
Rjgj`ls quj
?!>sjg?!>> 0x ! ?!>> 0
x
:!>sjg:!>? 0x Aujil
0 ?
?
?
>
?
?!>:!>?!> @fxxo f0 >88 G,` y o 0 ?3!9 Gs,` y@0 =!=2 fi_jj`panzngbl vnalrjs
8??:2'=44!2 0&&
85!2388!4 0&&
'
Bj an clr`n
8? ?8 0&&
Blgbj; ?0 4 y 5!23?8 0 Muyn slaumeg js
$ % 0 tBj t mls y
$ % $ % 0
tjBtjB tt mlssjg
MlgB y mlgstngtjs muyls vnalrjs bjpjgbjg bjans mlgbemelgjs egemenajs bja `lve`ejgtl $jg jstj
mnsl pnrn t0 8! rnb>!80 y 80
'
y ?8? 0 0 5232? ! 0 :!:3 rnb
Xlr ans mlgbemelgjs egemenajs$ % mlsmls>!8 BB 00 $>%
$ % $ % 0 mlssjg8 BB $ % mlssjg 0B $?%
Bj $?% lotjgj`ls
9?!8:3!:
2tng 000
0 -8!3? rnbBj $>%
rnb>?!84>!8 >!8mls>!8 000 B
An jmunmeg bja `lve`ejgtl js
$ %3?!8:3!:mls>?!8 2 0 tj t rnbMlrrjsplgbejgtj n ug `lve`ejgtl lsmeantlrelsuon`lrteiunbl muyl irceml sj ujstrn nmlgtegunmeg! an veornmeg sj n`lrteiunrpebn`jgtj'
o% An crjmujgmen bja `lve`ejgtl js 0 :!:3rnb,s'
Jkj`pal 2:' Ja sestj`n bj an ceiurn! jstml`pujstl plr ugn vnreaan dlrezlgtna bj algietub
A y `nsn@quj sj `ujstrn jg su plsemegdlrezlgtna bj jqueaeorel! ugebn n ug rjslrtj bj
mlgstngtj fy ug n`lrteiunblr muyl mljcemejgtjbj n`lrteiun`ejgtl js o' Mlgsebjrj an `nsn `pugtuna'n% Xangtjnr an jmunmeg becjrjgmena bja`lve`ejgtl bj an onrrn'
o% Bjtjr`egj an mlgbemeg pnrn ja mnsl suo-n`lrteiunbl y dnaaj an slaumeg'
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
38/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=4
]laumeg'n%
&0 ???
=
>
>3
5
2A@`fAo
A
8
=
>
>3
5
=
>
>3
52
0
&&
&&
@`
f
@`
o
o% Ja `lve`ejgtl js suon`lrteiunbl pnrn
?
?
=
>
>3
532
=
>
>3
5
&
7
& @`
o
@`
f
8? ?8 0&&
&0
@`
o
=
>
>3
54
!
&0
@`
f
=
>
>3
58
$ % 0 tBj t mls
Jkj`pal 23' Ja sestj`n `lstrnbl jg an ceiurn sjjgmujgtrn jg ja pangl dlrezlgtna jg jqueaeorel'Mlgsestj jg ugn onrrn riebn egbjclr`noaj bj`nsn@! aeinbn n bls rjslrtjs bj mlgstngtj f! ymlg ugn `nsn jg ja jxtrj`l aeorj bj `nigetub`! slorj an muna nmtn ugn cujrzn besepntevn
prlplrmelgna n su vjalmebnb Cv 0 - o v`' ]e sjbjspanzn ug giual 8!>: rnb jg sjgtebl dlrnrel yaujil sj aj sujatn' Bjtjr`egnr;n% An jmunmeg bj `lve`ejgtl bja sestj`n pnrngiuals pjqujls bj bjclr`nmeg
o% Jgmlgtrnr an ajy bj `lve`ejgtl pnrn mungblf0>:88 G,` ! o 028 G s,` y@0=`0 =fi!nbj`s a 0>!:`
]laumeg'n%
LL Exofx 00
mls?mls'? ?> aa Ml`l;
aa 0 sjg>x ! aa ?sjg?? 0x
0 a??x
$ % $ %??8 ??=
>aa `@E &0 y >mls ;
Rjgj`ls
&0 ??? 2=
2'? aaa `@
of
8
=
=?
=
=0
&&
&&
``
f
``
o
82?
0&&
`
f
`
o
o% $ % &0 tj t mls8
`
o
20
`
f
280 ?8
? 0
Mungbl f0>:88 G,` ! o 028 G s,` y@0=` 0=fi! nbj`s a 0>':` y ja giual egemena 0 8!>:rnb'
$ %$ %
>8>2
2800
$ %=9:
%>$2
>:888 00
:4!>3?9:=9:>8? 000
$ % &0
tj
t
:4!>3mls>8
8
$ % &0
tj t :4!>3mls>8 >88
$ % & tj t :4!>3sjg:4!>3 >88 ]e pnrn t0 8 sj bjspanzn ug giual 8!>: rnb jgsjgtebl dlrnrel y aujil sj aj sujatn'
$ % mls>:!8 80 $ % $ % sjg:4!>3mls>88 88 0
Bj jstns jmunmelgjs lotjgj`ls;rnb:2!80 y rnb>9:!88 0
$ %:2!8:4!>3mls>9:!8 >8 0 tj t
-
7/28/2019 Fsica 2 Versin 2011 Mejorada, Capitulo 2. Movimiento Oscilatorio
39/61
@lve`ejgtl Lsmeantlrel Duil @jbegn Iuz`g
=5
Jkj`pal 29' Zg oalquj bj :!8 fealirn`ls sj ugjn ug rjslrtj muyn mlgstngtj js >?: G,`' Ja
oalquj sj knan bj su plsemeg bja jqueaeorel jgx 08 ` n ugn plsemeg jgx 0 & 8!349 ` y sj aeojrnbja rjplsl' Ja oalquj jgtlgmjs jkjmutnlsmeanmeg n`lrteiunbn n al anril bja jkjx' Ancujrzn n`lrteiunblrn js prlplrmelgna n anvjalmebnb' Mungbl ja oalquj pre`jrl vujavj nx0 8 `! an ml`plgjgtj x bj an vjalmebnb js - ?!8`,s y an ml`plgjgtjx bj an nmjajrnmeg js &:!3`,s?'n% Mnamuaj an `nigetub bj an nmjajrnmeg bja
oalquj bjspus bj sjr aeojrnbl jg x 0 & 8!349`0 tj ! $ % >mls 0t y $ % 8sjg 0t Aujil; $ % ?8?? NNn 00 !
?::
>?:?8 000
`
f
_jj`panzngbl vnalrjs;
$ % ?s,`>4!>9?:349!8 00n o% Clr`n se`paj'Mungbl ja oalquj pre`jrl vujavj nx 0 8 `! anml`plgjgtj x bj an vjalmebnb js - ?!8 `,s y anml`plgjgtjx bj an nmjajrnmeg js &:!3 `,s?'
80&&
fxxox` $ % $ % $ % 888!?3!:: 0&& fo
$ % $ % 88!?3!:: 0& o $ % s,`>28!?3!:: 00o
Ltrn clr`n'$ % 0 tNjx t mls
$ % $ % 0
tjNtjNx tt sjgmls
$ % $ % $ % &0
tjNtjNx tt sjg?mls??
x 0 8 `! v 0 - ?!8 `,s! n 0 &:!3 `,s?'$ % 0 tNj t mls8 $>%
$ % 0 tjN tsjg8!? $?%$ % 0 tjN tsjg?3!: $=%
$=% , $?%
$ %$ %
0
tjN
tjNt
t
sjg
sjg?
8!?
3!:
2!>8!2
3!:00
]ejgbl`
o
?0
$ %$ % s,fi>22!>:?? 000 `o m% Jgx 0 & 8!349 `
$ %$ %?? 349!8>?:?
>
?
>00 fNJ 0 ?5!: K
Jgx 0 8 ` $ %$ %??? 8!?:?>
?
>00 `vJ 0 >8 K
J0 J? J> 0 >8 - ?5!:0 - >5!: KRrnonkl rjnaeznbl plr an cujrzn n`lrteiunblrn
Jkj`pal 24' Zg trlzl bj `nseaan bj 8!5 fi sjjgmujgtrn pjinbl jg an pnrtj egcjrelr bja oalqujbj ?!2 fi! ja muna jst suspjgbebl bj bls rjslrtjsy ug n`lrteiunblr $vjr ceiurn%' Mnbn rjslrtjtejgj ugn mlgstngtj f0 >48 G,` y jan`lrteiunblr tejgj ug mljcemejgtj o 0 =8 G's,`'Mlgsebjrj quj ja sestj`n jst jg