Ejercicio 1Una masa m igual a 32 kg se suspende verticalmente de un resorte y, por esta razn, ste se alarga 39.2 cm. Determine la amplitud y el periodo de movimiento, si la masa se libera desde un punto situado 20 cm arriba de la posicin de equilibrio, con una velocidad ascendente de 1 m/s. Cuntos ciclos habr completado la masa al final de 40 s? Suponga g = 9.8 m/s .

Usamos primero la ley de Hooke para conocer la constante del resorte. Tenemos que

k=Fl=mgl=329.81.392=800 N/m.

Suponemos adems que el sentido positivo es hacia abajo, con esto las condiciones inciales son x0=-15m; x0=-1m/s.

De forma que la ecuacin diferencial para la posicin x(t) es 32x"(t)+800(t)=0.Esta ecuacin tiene como soluciones r1=-5i ; r2 = 5i . Obtenemos entonces la posicin de la masa: xt=c1cos5t+c2 sen 5t

Calculando la primera derivada de x(t), obtenemos la velocidad de la masa:xt=vt=-5c1sen5t+5c2cos5t

Usando las condiciones iniciales x(0)= -1/5, v(0)=1/5, en las ecuaciones previas, obtenemos:c1=-15, 5c2=-1c2=-15,para cambiar la solucion obtenida alaforma: xt=Asen5t+=Asen5t cos+Acos5t sen

Por identificacin, tenemos que, -15=Asen, -15=Acos

de aqu obtenemos primero: A2=A2(sen2+cos2)=125+125=250. Por lo cual, la amplitud esA=25. Adems tenemos que tan=1 y debido a que cos