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MATEMTICAS YREPRESENTACIONES DELSISTEMA

NATURAL

El tular de los derechos de esta obra es

la Secretara de Educacin Pblica.

Queda prohibida su reproduccin o difusin por cualquier

medio sin el permiso escrito de esta Secretara.

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MATEMTICAS YREPRESENTACIONES DELSISTEMA

NATURAL

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Secretara de Educacin Pblica

Jos ngel Crdova Villalobos

Subsecretara de Educacin Media Superior

Miguel ngel Martnez Espinosa

Direccin General del Bachillerato

Carlos Santos Ancira

Autor

Csar Augusto Vzquez Peredo

Apoyo tcnico pedaggico

Liliana del Carmen Snchez PachecoAraceli Hernndez Cervantes

Revisin tcnico pedaggicaPatricia Gonzlez Flores

Coordinacin y servicios editoriales

Edere S. A. de C. V.Jos ngel Quintanilla DAcostaMnica Lobatn Daz

Diseo y diagramacin

Visin Tipogrfica Editores, S.A. de C.V.

Material fotogrfico e iconografa

Shutterstock Images, LLCMartn Crdova SalinasIsabel Gmez CaravantesCsar Augusto Vzquez Peredo

Primera edicin, 2012D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2012Argentina 28, Centro,06020, Mxico, D. F.

ISBN 9786078229383

Impreso en Mxico

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Tabla de contenido

Presentacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Cmo utilizar este material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Tu plan de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Con qu saberes cuento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

UNIDAD 1 DINMICA DE FLUIDOS

Qu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

S 1 Qu es un fluido?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Caractersticas de los fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 El Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Calculando volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27S 2 Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica . . . . . . . . . . . 30 Relaciones y funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Propiedades de los fluidos y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 El enorme potencial del agua: las presas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Calculando propiedades de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Por qu flota una lancha? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Experimentando con fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51S 3 Fluidos en movimiento: Hidrodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Anlisis del consumo de agua de riego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Conservacin de la energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ecuaciones cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Conversin de energa mecnica en elctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Autoevaluacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

UNIDAD 2 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Qu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75S 1 Con los pelos de punta: electricidad esttica . . . . . . . . . . . . . 80 Qu es la electricidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Propiedades elctricas de la materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 El electroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90S 2 Los circuitos elctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 La electrodinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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Tabla de contenido

Circuitos elctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ley de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99S 3 De dnde viene la electricidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Electricidad y desarrollo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Magnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Electricidad + Magnetismo = Electromagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 La energa elctrica en Mxico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 La luz y otras ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Autoevaluacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

UNIDAD 3 LEYES DE LOS GASESQu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117S 1 Lo que el viento se llev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Parques elicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 El aire y las propiedades de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Leyes de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 La mquina de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140S 2 Una imagen dice ms que mil palabras . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Analizando montones de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 El plano cartesiano y la elaboracin de grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Hacia donde soplen los vientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

S 3 Realmente puede hacer calor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Calentamiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Diferencia entre temperatura y calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Ni fro, ni caliente: cero grados! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 El efecto invernadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Autoevaluacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Ya estoy preparado(a)?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Apndices Apndice 1. Clave de respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Apndice 2. La consulta en fuentes de informacin por Internet . . . . . . . . . 207 Apndice 3. Mi ruta de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Apndice 4. Tabla de equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

Fuentes consultadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


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Presentacin general

Este libro fue elaborado para ayudarte a estudiar el mduloMatemticas y repre-sentaciones del sistema natural del plan de estudios de la Preparatoria Abierta queha establecido la Secretara de Educacin Pblica (SEP), pero tambin est disea-do para utilizarse en otras modalidades no escolarizadas y mixtas. Sabiendo quetrabajars de manera independiente la mayor parte del tiempo este libro te brindaorientaciones muy precisas sobre lo que tienes que hacer y te proporciona la infor-macin que requieres para aprender.

Los estudios que iniciars tienen como sustento un enfoque de educacin porcompetencias por lo que se busca que trabajes en adquirir nuevos conocimientos,habilidades, actitudes y valores, as como en recuperar otros para transformarlosen capacidad para desempearte de forma eficaz y eficiente en diferentes mbitosde tu vida personal, profesional y laboral.

Para facilitar tu estudio es importante que tengas muy claro qu implica apren-der por competencias, cmo se recomienda estudiar en una modalidad no escola-rizada y cmo utilizar este libro.

Qu es una competencia?En el contexto educativo, hablar de competencias no es hacer referencia a unacontienda o a una justa deportiva. En el contexto educativo una competenciaes lacapacidad que una persona desarrolla para actuar integrando conocimientos, habi-lidades, actitudes y valores.

La meta de la formacin como bachiller es que desarrolles las competenciasque han sido definidas por la SEP como perfil de egreso para la Educacin MediaSuperior1. No se pretende que te dediques a memorizar informacin o que de-muestres habilidades aisladas. El objetivo es que logres aplicar de manera efectivatus conocimientos, habilidades, actitudes y valores en situaciones o problemasconcretos.

La cantidad de informacin disponible en la poca actual provoca que busque-mos formas diferentes de aprender pues memorizar contenidos resulta insuficien-te. Ahora se requiere que aprendas a analizar la informacin y te apropies de losconocimientos hacindolos tiles para ti y tu entorno.

Por eso cuando estudies, orienta tus esfuerzos a identificar los conceptos msimportantes, a analizarlos con detenimiento para comprenderlos y reflexionarcmo se relacionan con otros trminos. Busca informacin adicional. Pero no tequedes all, aprende cmo aplicar los saberes en situaciones y contextos propuestos

en las actividades. Haz lo mismo con las habilidades, las actitudes y los valores. Demanera concreta, es recomendable que para aprender sigas estos pasos:

1De acuerdo con el Marco Curricular Comn, el estudiante de bachillerato deber desarrollar tres tipos decompetencias: genricas, disciplinares y profesionales.


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Presentacin general

En este libro, adems de leer y estudiar textos y procedimientos, encontrars pro-blemas a resolver, casos para analizar y proyectos a ejecutar. Estos te ofrecernevidencias sobre las capacidades que desarrollars y podrs valorar tus avances.

Para acreditar el mduloMatemticas y representaciones del sistema naturales necesario que demuestres que eres capaz de analizar y resolver situaciones, pro-blemas y casos que te exigen la unin de conocimientos, habilidades, actitudes y

valores.

Estudiar en una modalidad no escolarizadaUna modalidad educativa no escolarizada como la que ests cursando tiene como

ventaja una gran flexibilidad. T decides a qu hora y dnde estudias, y qu tanrpido avanzas. Puedes adecuar tus horarios a otras responsabilidades cotidianasque tienes que cubrir como el trabajo, la familia o cualquier proyecto personal.

Pero, en esta modalidad educativa, tambin se requiere que t:

Seas capaz de dirigir tu proceso de aprendizaje. Es decir que:

Definas tus metas personales de aprendizaje, considerando el propsitoformativo de los mdulos.

Asignes tiempo para el estudio y procures contar con el espacio adecuadoy los recursos necesarios.

Regules tu ritmo de avance. Aproveches los materiales que la SEP ha preparado para apoyarte. Utilices otros recursos que puedan ayudarte a profundizar tu aprendizaje. Identifiques tus dificultades para aprender y busques ayuda para superarlas. Te involucres de manera activa en tu aprendizaje. Es decir que:

Leas para comprender las ideas presentes y construyas significados. Recurras a tu experiencia como punto de partida para aprender.

Reconoce lo que

ya sabes

Identifica la informacin

relevante

Analiza y comprende

Aplica lo aprendido

en tareas especficas

Complementa

Sigue aprendiendo!

Mejora el proceso

Mide tu desempeo

Reflexiona y busca

relaciones


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Presentacin general

Realices las actividades propuestas y revises los productos que generes. Reconozcas tus fortalezas y debilidades como estudiante. Selecciones las tcnicas de estudio que mejor funcionen para ti. Emprendas acciones para enriquecer tus capacidades para aprender y po-

tenciar tus habilidades.

Asumas una postura crtica y propositiva. Es decir que:

Analices de manera crtica los conceptos presentados. Indagues sobre los temas que estudies y explores distintos planteamientos

en torno a ellos. Plantees alternativas de solucin a los problemas. Explores formas diversas de enfrentar las situaciones. Adoptes una postura personal en los distintos debates.

Seas honesto(a) y te comprometas contigo mismo(a). Es decir que:

Realices t mismo(a) las actividades. Consultes las respuestas despus de haberlas llevado a cabo. Busques asesora en los Centros de Servicios de Preparatoria Abierta. Destines el tiempo de estudio necesario para lograr los resultados de apren-

dizaje.

Evales tus logros de manera constante. Es decir que:

Analices tu ejecucin de las actividades y los productos que generes utili-zando la retroalimentacin que se ofrece en el libro. Identifiques los aprendizajes que alcances utilizando los referentes que te

ofrece el material. Reconozcas las limitaciones en tu aprendizaje y emprendas acciones para

superarlas. Aproveches tus errores como una oportunidad para aprender.

Reflexiones sobre tu propio proceso de aprendizaje. Es decir que:

Te preguntes de manera constante: Qu estoy haciendo bien?, qu es loque no me ha funcionado?

Realices ajustes en tus estrategias para mejorar tus resultados de aprendi-zaje.

Como puedes ver, el estudio independiente es una tarea que implica el desarrollode muchas habilidades que adquirirs y mejorars a medida que avances en tusestudios. El componente principal es que ests comprometido con tu aprendizaje.


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Cmo utilizar este material

Este libro te brinda los elementos fundamentalespara apoyar en tu aprendizaje. Lo constituyen diver-sas secciones en las que se te proponen los pasos quees recomendable que sigas para estudiar.

1. En la seccin Tu plan de trabajo encontrars elpropsito general del mdulo, las competenciasque debers desarrollar y una explicacin gene-ral de las unidades. Es importante que sea lo pri-mero que leas de tu libro para hacer tu propioplan de trabajo.

2. En la seccin Con qu saberes cuento? hay unaprimera actividad de evaluacin con la que pue-des valorar si posees los saberes requeridos paraestudiar con xito el mdulo. Es oportuno queidentifiques desde el inicio si necesitas aprendero fortalecer algn conocimiento o habilidad an-tes de comenzar.

3. Despus de la seccin anterior, se presentan lasunidades en el orden sugerido para su estudio.Cada una de ellas contiene actividades de apren-dizaje e informacin necesaria para realizarlas;

Matemticas y representaciones del sistema n atural

43

Para que puedas conocer los esfuerzos que realizan lasinstituciones pblicas encargadas del manejo y distribucindel agua potable,visita el portal de Internet de la Comisin

Nacional del Agua (Conagua) .

Tambin puedes consultar el sitio del organismo especializadoen tu localidad.

Ms informacin en...

acumulndola primero en el tinaco y llevndola a tra-vs de la tubera a todas las llaves de la instalacin. Eltinaco se debe ubicar en el punto ms alto para que laenerga potencial sea mxima, de forma que la presinhidrosttica sea lo suficientemente grande para empu-jar el agua y que as, salga por una llave abierta.

El mismo principio que se emplea para el funcio-namiento de una presa o de un tinaco, se utiliza tam-bin el inodoro, uno de los avances tecnolgicos msbenficos para nuestra salud.

Inodoro:se diceespecialmente del

aparatoque se coloca en

losescusadosde las

casas y en los evacuato-

rios pblicos para

impedir el paso de los

malos olores.

Tambinquiere decirsin

olores,o que nodespide

olores.

glosario

UN MOMENTO DE REFLEXIN

A partir de la explicacin del funcionamiento de una presa,aunado a lo quehasaprendido hastaahora, intentaexplicar cmofuncionael inodoro.

Al jalar la palanca,que es como se conoce al proceso por el cual uninodoro se pone en marcha,se levanta una pequea tapa dentro del tanque(conocida como sapo) y deja pasar el agua a la taza.El agua se acumula

en la taza, hasta que alcanza el nivel necesario para que su presinhidrosttica rompa el equilibrio que la mantiene ah,por lo que comienza a

salir por la tubera.El proceso contina hasta que de nuevo se alcanza unequilibrio entre la presin a ambos lados de la tubera de salida de la taza.

Cuantitativo:que denotacantidad.

glosario

Calculando propiedades de los fluidos

Ahora bien, adems de dar descripciones cualitativas adecuadas, el mundo de lafsica y la ingeniera requiere de un trabajo cuantitativopreciso. Por esta razn, esnecesario aprender a manipular expresiones matemticas complejas para evaluarla informacin que en un momento dado sea requerida.

6 Completa el siguiente cuadro, para conocer, qu magnitudes fsicas intervie-nen en el clculo de la energa potencial y la presin hidrosttica?, y cul es la

expresin matemtica que permite calcularlas?

Concepto Variables Expresin matemtica

Energa potencial

Presinhidrosttica

Podrs corroborar tus respuestas en el cuadro que se presenta en el Apndice 1.

Ests trabajandopara comprender

las expresionesmatemticas (=m/V,P=

F/A,PH = gh,E= LVLg) querepresentan conceptos y

principios que describen elcomportamiento de los

fluidos,para aplicarlosenproblemas prcticos o

experimentos relacionadoscon estos fenmenos fsicos,

presentes en tu ciudad,pas oen el mundo.

Indicador de desempeo Enuncia la tarea que debes aprendera realizar como resultado del estudio. Utilzalos como referente

conforme realizas las actividades y valora de manera continua la

medida en la cual vas dominando esos desempeos.

Actividad Encontrars una gran diversidad de actividades

que te ayudarn a desarrollar competencias. Lasactividades de aprendizaje, las cuales podrs identificar

cada vez que aparezca una libreta en color azul y las

experimentales, que ubicars mediante una libreta en color

verde. Lee las instrucciones con atencin en cada actividad

y ejectalas para aprender.

Alto Te sugiere dnde detenerte sin dejar un proceso de aprendizajeincompleto.

Matemticas y representaciones del sistema natural

67

En el caso en el que una tubera cambie de rea, la e cuacin de continuidad sepuede escribir como:A1v1=A2v2. Al multiplicar el rea transversal de la tubera porla rapidez del fluido, estamos calculando una especie de rapidez con la que se des-plaza el volumen, que es equivalente al flujo de la tubera. Esta interpretacin sepuede hacer de forma ms simple si se analizan las unidades que resultan de mul-tiplicar el rea transversal de la tubera (A) por la rapidez del fluido ( v), cuyas uni-dades son m2y m/srespectivamente, resulta en m3/s, que es la unidad que se utilizapara medir el flujo.

As, podemos ver que al modificar el rea transversal de una tubera, se modi-fica tambin la rapidez del fluido; un fluido se mover con mayor rpidez si pasa auna tubera cuya rea transversal sea menor, y se mover ms lentamente si lo hacea una con rea mayor. En dnde has visto este fenmeno?

Al tapar parte de la boquilla de una manguera con tu dedo pulgar, reduces alrea transversal de la manguera, haciendo que el agua salga con mayor rapidez. Siretiras tu dedo, el rea aumenta y el agua sale con menor rapidez.

Una de las ecuaciones bsicas para describir el comportamiento de fluidos enmovimiento es la ecuacin de Bernoulli.

La ecuacin de Bernoulli relaciona distintas variables de un fluido en movi-miento:

P: la presin del fluido (Pa)

D: la densidad del fluido (kg/m3

)v: la rapidez del fluido (m/s)

g: la aceleracin de la gravedad (9.8 m/s2)

h: la altura del fluido (m)

Todas estas variables se agrupan dentro de una ecuacin que establece que laenerga que posee el fluido en movimiento, sin friccin ni viscosidad, permanececonstante a lo largo de su recorrido. La ecuacin se escribe como sigue:

P2+Dv2 +Dgh= constante

2 ,

Podemos separar los trminos de la ecuacin para analizarlos con mayor dete-nimiento:

Pse refiere a la presin del fluido.

Dv2

2es un trmino que se asemeja a la energa cintica del fluido pero entre

el volumen, as que podemos interpretarlo como la energa cintica que tendra1 m3de fluido.

Daniel Bernoullifueunfsicoymatemticoho-landsquenacien 1700ymurien1782.Fuemiem-brode unaclebrefamiliadecientficos, quienescon-tribuyeroncon un sinn-mero de aportacionesalreadelas matemticas.Suobra principal,Hidrodin-mica,se publicen 1738yenlacualdesarrollalaideadeloquemstardeseco-noci como teorema deBernoulli, as como losfundamentosdelamoder-na teoracinticade losgases.

Para saber ms Brinda informacininteresante, curiosa o novedosa sobre el tema

que se est trabajando y que no es esencial,

sino complementaria.

Concepto clave Resalta los conceptos esencialespara la situacin que ests analizando. Identifcalos

y presta especial atencin para comprenderlos y

problematizarlos. Se indican con letra azul.


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sin embargo se sugiere continuamente que con-sultes fuentes adicionales a este libro.

4. Para que puedas corrobar las respuestas de las ac-tividades est el primer Apndice del libro. No de-

jes de consultarlo despus de haberlas realizado. 5. Tambin encontrars una seccin de evaluacin

final del mdulo. Su resolucin te permitir va-lorar si ya lograste los aprendizajes propuestos ysi ests en condiciones de presentar tu examenpara acreditar el mdulo ante la SEP. Es muy im-portante que califiques honestamente tus res-

puestas y una vez que tengas los resultadospienses sobre lo que s te funcion y lo que no alo largo del estudio para que adoptes mejoras entu proceso de aprendizaje..

Con frecuencia se te recomienda buscar infor-macin por medio de Internet, o acceder a algunaspginas electrnicas pero no te limites a dichas reco-mendaciones, busca otras; en ocasiones, dada la ve-locidad con que se actualiza la informacinencontrars que algunas direcciones ya no estn dis-


U3LEYES DE LOS GASES

128

Esta sencilla actividad pretende que te familiarices con los procesos que se dan anivel molecular para que puedas entender ms fcilmente los conceptos que estudiare-mos a continuacin. Conserva tu laboratorio de gas, pues recurriremos de nuevo a lms adelante. Puedes consultar las respuestas en el Apndice 1 para verificar la validez

de tus ideas.

En la unidad 1 conociste algunos conceptos que vamos a retomar en esta unidad,as que a modo de repaso, tendrs que elaborar un mapa conceptual en el que elconcepto central sea gases y se incluyan como subordinados la masa, volumen,densidad y presin, adems de las definiciones y las unidades de medida.

Gestin del aprendizaje

Los mapasconceptualesson esquemas que pre-sentan la informacin demanerajerrquica;sirvenparaorganizary estructu-rarla informacin y paradeterminarel niveldere-lacinque existeentreunconceptoy otro.

Sobrelos mapasconceptuales,revisa tus

notasy ellibrodelmduloDelainformacinal

conocimiento.

Ms informacin en...

Compara tu mapa conceptual con el que se muestra en el Apndice 1 para identifi-car posibles errores. Despus de este repaso de los conceptos bsicos, casi estamoslistos para el estudio de las leyes que rigen el comportamiento de los gases.

Gestin del aprendizaje Incluyen algunos comentarios delautor que se relacionan con el tema estudiado y te permiten

profundizar el aprendizaje.

Ms informacin en Recomienda otros recursos para ampli-

ar informacin sobre un tema.


129

Figura Esquema Permetro rea

Crculo P p r A =p r

P a b A= ax b

Tringulo P= L1 + L + b Aab

Polgonoregular P= L (nmero de lados) APa

Otro concepto que es importante analizar e s la temperatura. Aunque ms adelanteencontraremos una seccin dedicada al estudio de la temperatura y fenmenostrmicos, por el momento nos centraremos en decir que la temperatura es unamedida que indica que tan rpido se mue-ven las molculas de un gas: para una tem-peratura grande, las molculas se muevenms rpidamente que si la temperaturafuera menor. La temperatura tiene clarosefectos sobre la materia, recuerdas queno fue lo mismo agitar tu caja lento o rpi-do en la actividad del laboratorio de ga-ses? Su unidad de medida en el SistemaInternacional es el Kelvin (K).

Asesora

-

-

En algunos de los problemas en los que intervenga la presin, ser necesario calcular el reasobre la cual dicha presin se aplica. A continuacin se incluye un cuadro que te permitir tenerreferentes para calcular el rea de algunas figuras geomtricas, as como su permetro.

Materia:

glosario

r

a

b

a

b

L

a

L1

Glosario Destaca aquellos trminos que pueden serdifciles de comprender. En el margen encontrars la

definicin correspondiente. No avances si no entiendes

algn trmino! Es uno de los atributos de un buen lector.

Asesora Son sugerencias para que el estudianterecurra a otras personas de su entorno para intercam-

biar o enriquecer puntos de vista sobre un tema.


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ponibles, por lo que saber buscar (navegar) te sermuy til. Si tienes alguna duda sobre cmo hacerlo,consulta el Apndice 2 La consulta en fuentes deinformacin en Internet.

Conforme avances identificars cules de estosrecursos te resultan ms tiles segn tus capacida-des para aprender y tu estilo de aprendizaje. Apro-

vchalos para sacar el mayor beneficio de este libro!


U2ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

104

Actualmente, con el desarrollo de la tecnologa satelital es fcil orientarse; bas-ta comprarse un aparato conocido como GPS (Sistema de GeoposicionamientoGlobal, por sus siglas en ingls) para poder trazar una ruta, incluso aunque no secuente con alguna referencia visual. Sin embargo, desde hace siglos, los seres hu-manos han realizado largusimos viajes sin tener satlites, ayudados nicamente deun invento muy ingenioso: la brjula.

Y t, sabes cmo funciona una brjula? Explcalo en las siguientes lneas.

A lo largo de esta unidad hemos revisado la teora bsica de la electricidad, asque ahora nos dedicaremos al estudio de los fenmenos magnticos. El descubri-miento del magnetismo data de hace miles de aos y se document por primeravez en una regin de Asia conocida como Magnesia. Los habitantes de esa reginobservaron que haba rocas que se atraan unas a otras; actualmente sabemos queestas rocas estn formadas de xidos de hierro y se conocen comnmente comoimanes (o magnetos, haciendo honor a su lugar de origen). El magnetismo fue es-tudiado por algunas civilizaciones antiguas, como los griegos, pero solo como unacuriosidad; fueron los chinos, sin embargo, quienes encontraron que es posibleorientarse geogrficamente haciendo uso de un imn y desarrollaron un inventoque se conoce como la brjula.

Como veremos ms adelante, el magnetismo est ntimamente relacionadocon nuestra vida diaria, as que procederemos a estudiar la teora bsica.

Eststrabajandoparadescribir el

concepto:campomagntico, ylas leyesde

AmpereyFaradayqueexplicanel comportamientode

laelectricidady elmagnetismo,para

representarlossistemticamentemediantela

aplicacinde relacionesyfuncionesal observar

yanalizarlapresenciadeestosenla vidacotidiana.

Brjula:

glosario

Lmites del conocimiento

En el ao 2007losfsicosPeter Grnbergy AlbertFertganaron el

Premio Nobelde Fsica por descubrir un efecto magntico que

permiti a las compaas de computadoras desarrollar discos du-

roscon mayorcapacidad dealmacenamiento.El fenmeno se

conoce como magnetorresistencia gigantey esun tema deestu-

dio actualen elmundo dela fsica yla ingeniera.


Seguramente tienesalgunasnocionesrespectoalo que sucede cuandodos

imanesinteractan, as que escrbelo.

U3LEYES DE LOS GASES

162

La teora molecular establece que la materia est formada por molculas que estnen constante movimiento; esa es la razn por la que el agua se mezcl con el colo-

rante en la actividad anterior. Puedes visualizarlo de la si-

guiente forma: imagina que tienes un frasco lleno de arroz(molculas de agua) y pones algunos frijoles hasta arriba(molculas de colorante); el arroz y los frijoles no puedenmoverse por s mismos, por lo que debemos imaginar unasmanos invisibles que agiten el frasco Qu observas des-pus de unos segundos? Esperaras que los frijoles siganestando exactamente donde los colocaste? Claro que no. Alcabo de unos segundos de agitar el frasco encontrars unfrijol por aqu, otro por all, uno ms al fondo del recipiente,es decir, arroz y frijoles, agua y colorante se habrn mezcla-do. Ahora, es evidente que no obtendremos el mismo resul-tado si las manos invisibles agitan el frasco lentamente o lohacen rpido. Recuerdas cmo se llama la variable fsicaque nos dice que tan rpido se mueven las molculas? Latemperatura.

La temperaturade un objeto se define como el promedio de la energa cinti-ca (el concepto de energa cintica se abord en la unidad 1) de las molculas quecomponen el objeto. Debido a que la energa cintica de una molcula est relacio-nada con su rapidez, podemos interpretar a la temperatura como una medida quenos indica qu tan rpido se mueven las molculas en promedio. Esto no quieredecir que las molculas se mueven todas con la misma rapidez, habr las que semuevan ms lentamente o rpidamente, el promedio solo da un valor representa-tivo de la rapidez de todo el conjunto de molculas.

Por otro lado, el concepto de calorinvolucrapor fuerza la interaccin de dosobjetos con temperatura distinta, y se refiere a un intercambio de energa.

glosario


Imaginaqueestsa puntodecomer,porloquete sirvesla sopacalientequerecientementeestabaen laestufayunvasodeaguafraqueacabasde sacardel refrigeradorsobrelamesa.Justoenesemomento,tienesla malasuertederecibirunallamadatelefnicaimportantequeduracercade 15minutos.Quhabrsucedidocontucomidadespus

deesetiempo?Tusopaestarya frayel aguaestaral tiempo.Si lovemosdesdeel puntodevistadelas molculas,lasdela sopaqueen

unprincipiosemovanrpidamentehabrnperdidoalgodesu energacintica,mientrasque,porotrolado,lasdel agua,quesemovan

lentamente,ganaronalgodeenergacinticapuesahorase muevenmsrpido.Sabemosquelaenerganoapareceni desapareceporarte

demagia,as quedebideir aalgnlado,al aireparaserprecisos.Estaenergaquese transfirientrelosalimentosyel airees

justamentelo quese denominacalor.

Reflexin Ofrece una serie de cuestionamientos que buscansacar a flote la experiencia previa del estudiante para aplicarla a

ms situaciones cotidianas, de tal forma que genere el cimiento

sobre el cual se consoliden conocimientos posteriores.

Lmites del conocimiento Brinda una visin de queel conocimiento est en constante construccin ycambio.


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El propsito del mdulo Matemticas y representaciones del sistema natural esque analices situaciones de la vida cotidiana en las cuales se presentan fenmenosrelacionados con el comportamiento de los fluidos, la electricidad, el magnetismo,el calor y las leyes de los gases mediante el uso de herramientas matemticas, comolas relaciones y funciones, que permiten comprenderlos y resolver problemas rela-cionados con los mismos, desde diferentes enfoques.

Matemticas y representaciones del sistema naturalse ubica en el tercer niveldel plan de estudios de bachillerato de las modalidades no escolarizada y mixta,denominado Mtodos y contextos, en el cual se consolida el aprendizaje del m-todo cientfico en su aplicabilidad para las Humanidades y Ciencias sociales ascomo para para las Ciencias experimentales.

En este sentido es que este libro busca orientarte para que interpretes, analicesy comprendas tu entorno a partir del planteamiento de situaciones problemticas,que resolvers utilizando conceptos y leyes de la fsica, as como herramientas ma-temticas. Este material se desarrolla entorno a la problemtica que plantea la ge-neracin de energa elctrica en nuestro pas mediante procesos no contaminantes.Para su trabajo, el mdulo se conforma en tres unidades:

En la primera unidad estudiars el comportamiento de los fluidos (en reposo yen movimiento) mediante los conceptos y las leyes respectivas, utilizando lasherramientas matemticas que permitan su anlisis con rigor cientfico. Apli-cars estos conocimientos para estudiar el funcionamiento de una central hi-droelctrica, en particular, la planta hidroelctrica conocida como La Yesca,ubicada en el estado de Nayarit. En la segunda unidad enfocars tu atencin en los conceptos vinculados conelectricidad, magnetismo y electromagnetismo, as como el uso adecuado delos modelos matemticos que los describen. Aplicars estos conocimientospara entender , entre otras cosas, cmo convierte un generador para convertirelectricidad mecnica en energa elctrica. Por ltimo, en la tercera unidad analizars los principios fundamentales de lasleyes de los gases para vincularlos a situaciones cotidianas mediante la aplica-cin de herramientas y modelos matemticos. De forma paralela, analizars elfuncionamiento de una central capaz de convertir la energa del viento en ener-ga elctrica, estudiando el caso de la central Eoloelctrica La Venta.

Conforme avances en el estudio de este mdulo desarrollars las competencias

que se requieren para acreditarlo. Encontrars una serie de apoyos o recursos paracompletar tu aprendizaje de forma independiente, pon atencin en ellos y aprov-chalos al mximo.

Algunos de estos apoyos son las diversas cpsulas que te dan la posibilidad deconsultar informacin adicional, enterarte de un dato curioso o ampliar la explica-

Tu plan de trabajo


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cin sobre un tema o concepto, no las pases por alto y considralas como parteimportante en tu estudio.

Este mdulo tiene una duracin de 70 horas, con un tiempo de estudio estima-do para cada unidad como se muestra a continuacin:

Unidad Tiempo de estudioDinmica de fluidos 25 horasElectricidad y Magnetismo 25 horasLeyes de los Gases 20 horas

Si estudias 10 horas por semana, podrs completar el mdulo en 12 semanas,aproximadamente. Si tu ritmo de trabajo es diferente a ste, elabora tu propio cro-nograma y estima el tiempo de estudio por unidad.

Entonces, es momento de comenzar!

Tu plan de trabajo


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Con qu saberes cuento?

En este mdulo estudiars algunos conceptos bsicos de f sica y aprenders la for-ma de relacionarlos con diversas herramientas matemticas, sin embargo, es nece-sario que domines una serie de conceptos y procedimientos fundamentales dearitmtica, lgebra y geometra, como los nmeros reales y sus operaciones, enten-der el lenguaje algebraico, notacin cientfica, resolver ecuaciones sencillas y cono-cer elementos geomtricos bsicos como el punto, la recta y el plano.

Para que valores tus fortalezas y debilidades, responde la siguiente evaluacindiagnstica.

Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas. Escribe la respuesta en este libro, pero

utiliza hojas para registrar el procedimiento que sigues en cada caso. Con-

serva tus anotaciones para que puedas analizar los pasos que seguiste alrevisar tus respuestas.

I. Aritmtica:

Resuelve las siguientes operaciones con nmero reales.

1. 3 7 ( 9) =

2. 3 (35 9) ( 28 ) + 4 =4 3. ( 4 ) ( 3 ) =5 8

4. 5 7 =9 12

II. lgebra:

5. Una persona gasta 10 pesos en transporte para ir al mercado a comprarnaranjas. Adems, cada kilogramo de naranjas se vende en 4 pesos. Si lla-mamos x a los kilogramos de naranja que compra la persona, escribe laecuacin que permite conocer el costo total del viaje al mercado, y.

Encuentra el valor de x que satisface las siguientes igualdades:

6. 4x 20 = 0

7. 6x + 4 = 5x 7

8. 4x 3 = 25

9.4 x 1 = 05 2


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Con qu saberes cuento?

Escribe las siguientes cantidades en notacin cientfica:

10. 7040000

11. 0.00000000549

III. Geometra:

12. Cuntos puntos se necesitan como mnimo para trazar una recta que pasepor ellos en un plano?

Traza los elementos que se solicitan a continuacin:

13. Dos rectas que formen un ngulo de 45

14. Dos planos que formen un ngulo de 90

Cuando termines, consulta el Apndice 1 para revisar tus respuestas. Tus erro-res te mostrarn aquellas competencias matemticas bsicas que necesitas reforzarantes de iniciar este mdulo. Identifica en qu te equivocaste y repasa estos temasantes de iniciar. Para ello, consulta tu libro y apuntes del mdulo:Representaciones

simblicas y algoritmos, o bien, revisa la siguiente bibliografa y sitios de Internet:

Fuenlabrada de la Vega, S. (1994).Matemticas I: aritmtica y lgebra. Mxico:McGraw-Hill.

Baldor, A. (1974).Aritmtica terico prctica; con 7008 ejercicios y problemas,Bogot: Cultural colombiana.

Quijano, J. (1964). Aritmtica y nociones de lgebra y geometra. Mxico:Porra.

http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecua-ciones_primer_grado_resolucion_problemas/index.htm

http://www.geoka.net/

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/notacion-cientifica.htmlRecuerda que puedes buscar el apoyo de alguien cercano a ti que cuente con

conocimientos de matemticas y ciencias experimentales, o bien acudir a algn Cen-tro de Servicios de Preparatoria Abierta y solicitar el servicio de Asesora Acadmica.


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Qu voy a aprender y cmo?

Diariamente tilizas regaderas, lavabos, coladerasy drenajes, etctera; adems, ves objetos quepueden flotar en el agua o en el aire tales comolanchas, aviones, helicpteros. Te has pregunta-do cmo y por qu funcionan?

En esta unidad denominada Dinmica defluidos podrs dar una respuesta al respecto;pero requieres dominar algunos conceptos y he-rramientas matemticas, tales como las funciones

y ecuaciones de primero y segundo grado. Asi-mismo, estudiars que el aire es una mezcla degases y el agua, un lquido; dado que gases y lqui-

dos se comportan de forma similar, estos se agru-pan dentro de un mismo concepto: fluidos.

1

Dinmica de uidos

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U1DINMICA DE FLUIDOS

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Entorno: ambiente, loque rodea.

glosario

Con qu propsito?El propsito de esta unidad es que comprendas el comportamiento de los fluidos (en reposo y enmovimiento) con el estudio de los conceptos y las leyes respectivas, para que puedas relacionarlos consituaciones de tu entorno y/o vida cotidiana. Para analizarlos utilizars herramientas matemticas comolas ecuaciones de primer y segundo grado, los despejes y las proporciones directas e inversas.

Qu saberes trabajar?En esta unidad abordars saberes de fsica y matemticas de manera articulada para comprender, losfenmenos cotidianos ms comunes de tu entornorelacionados con el comportamiento de los f luidos.Los conocimientos se contextualizan a travs del estudio del proceso mediante el cual la energapotencial del agua en una presa se aprovecha para generar energa elctrica. Adicionalmente, se

pretende que obtengas elementos para realizar reparaciones sencillas en el hogar, o por lo menos,entender las causas de las fallas. Como puedes ver, la idea central es que puedas constatar laimportancia y aplicacin de los conceptos bsicos de esta unidad.

Los saberes estarn relacionados con situaciones que vives en el entorno cotidiano, puesdiariamente convives con fluidos como el agua y el aire. Podrs conocer el beneficio que se obtiene decomprender las propiedades de los fluidos en el desarrollo tecnolgico, conociendo el funcionamientode una planta hidroelctrica. Adems, favorece el desarrollo de habilidades en el manejo de herramientasmatemticas que se utilizan frecuentemente en el mbito cientfico.

Cmo organizar mi estudio?La unidad comprende tres secciones, a travs de las cuales irs construyendo t propio aprendizajetomando como base los contenidos y herramientas metodolgicas que se te proporcionarn. Vers que

podrs adquirir aprendizajes que te permitirn entender los fenmenos o situaciones que observasdiariamente.

Caractersticas

de los fluidos.

El Sistema

Internacionalde Medidas.

Calculando

volmenes.

Relaciones

y funciones.

Propiedades de los fluidos y sus

funciones. El enorme potencial del agua: las presas.

Calculando propiedades de los fluidos.

Por qu flota una lancha?

Experimentando con fluidos.

Anlisis del consumo de

agua de riego.

Conservacin de la energa.

Ecuaciones cuadrticas. Conversin de energa

mecnica en elctrica.

Dinmica de fluidos

Fluidos en movimiento: HidrodinmicaPropiedades de fluidos en reposo: HidrostticaQu es un fluido?

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La unidad est diseada para cubrirse en un total de 25 horas. Te proponemos que distribuyas estetiempo de la manera siguiente:

SeccinTiempo sugerido

(horas)

1. Qu es un fluido? 7

2. Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica 10

3.Fluidos en movimiento: Hidrodinmica 8

Se sugiere que sigas el orden dispuesto debido a que te permitir ir construyendo saberes cada vez mscomplejos, pero que se basan en lo que has ido aprendiendo con anterioridad.

Para la resolucin de la unidad necesitars tu libro, hojas sueltas, lpiz, bolgrafo, borrador,sacapuntas, calculadora, material para los experimentos y muchas ganas para realizar las actividadesde la unidad.

Durante las tres secciones es indispensable utilizar una computadora conectada a Internet. Si notienes una, busca dnde podrs tener acceso a ella.

Cules sern los resultados de mi trabajo?Los resultados que obtendrs son los siguientes:

En la Seccin 1, denominada Qu es un fluido?, aprenders a:

fluidos en los Sistema Ingls e Internacional, para realizar conversiones de un sistema a otro.

En la Seccin 2, denominada Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica, comprenders:

-te la aplicacin de relaciones y funciones.

mediante la aplicacin de relaciones y funciones al observar y analizar la presencia de stos en tuvida cotidiana.

m/V, P F/A, PHgh, ELVLg) que representan conceptos yprincipios que describen el comportamiento de los fluidos, para aplicarlos en problemas prcticos oexperimentos relacionados con estos fenmenos fsicos, presentes en tu ciudad, pas o en el mundo.

-ra analtica y sistemtica en la solucin de problemas de tu entorno.

-presentarlos sistemticamente mediante la aplicacin de relaciones y funciones al observar y analizarla presencia de stos en tu vida cotidiana.

Asimismo:

estudiado en esta unidad para determinar los valores numricos en situaciones especficas.

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-cipios: Arqumedes y Pascal de manera analtica y sistemtica en la solucin de problemas de tuentorno.

En la Seccin 3, denominada Fluidos en movimiento: Hidrodinmica, aprenders a:

de los fluidos que se abordan en esta unidad, para apoyar su comprensin

comportamiento de los fluidos, para representarlos sistemticamente mediante la aplicacin de re-laciones y funciones al observar y analizar la presencia de stos en la vida cotidiana.

Comprender las expresiones matemticas Ecmv 2

2,

f1a1

,f2a2

, v 22gh que representan conceptos

y principios que describen el comportamiento de los fluidos, para aplicarlos en problemas prcticoso experimentos relacionados con estos fenmenos fsicos, presentes en tu ciudad, pas o el mundo.

presin, presin hidrosttica, presin atmosfrica, flujo volumtrico) y principios (Arqumedes, Pas-

en la explicacin de situaciones de la vida cotidiana, para proponer lneas de accin que ayuden amejorar tu comunidad, estado, regin, pas o el mundo.

matemticas. Abrocha tus cinturones porque arrancamos. Adelante!

INICIO

Observa la imagen. Describe brevemente lo que vesen ella.

Es probable que cerca de tu comunidad encuentresuna instalacin como sta. Sabes que es? la PresaLeonardo Rodrguez Alcaine, mejor conocida comoEl Cajn, ubicada en el municipio de Santa Mara delOro, Nayarit. Segn el diccionario, presa es unmuro grueso de piedra u otro material que se cons-

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Sobre la Presa ElCajn y las otrashidroelctricas del pas visitael portal electrnicoEnergas renovables < portalelectrnico renovables.gob.mx: http://www.renovables.gob.mx/Default.aspx?id=1653&lang=1>

[Consulta: 12/02/2012].

truye a travs de un ro, arroyo o canal, para almacenar agua a fin de derivarla oregular su curso fuera del cauce. Ahora bien, vamos a concentrar nuestra aten-cin en un tipo particular de presas, aquellas construdas con la intensin degenerar energa elctrica.

Distingues en la fotografa las instalaciones en la parte baja del muro de con-creto que forma la presa? Estn ah para generar energa elctrica a partir del apro-

vechamiento del agua, por lo que al complejo se denomina planta hidroelctrica.De acuerdo con la Secretara de Energa del gobierno federal, en agosto de

2010, la generacin de electricidad por medio de las hidroelctricas represent el18% de la generacin total en el pas, ocupando el segundo lugar, detrs de la pro-duccin termoelctrica.

Actualmente, la Comisin Federal de Electricidad (CFE) trabaja en el proyectode La Yesca, una central hidroelctrica que entrar en operacin a finales de 2012

y tendr una capacidad instalada de 750 MW. Se lo-caliza sobre el ro Santiago, dentro de la Sierra Ma-dre Occidental, entre los lmites de los estados deJalisco y Nayarit. Este proyecto forma parte del Siste-ma Hidroelctrico del ro Santiago, constituido porun grupo de once plantas hidroelctricas, las cualesaprovechan el caudal del ro Santiago, que tiene unpotencial hidroenergtico de 4,300 MW (millonesde vatios, es una unidad de medida de potencia queindica cunta energa se podra producir a cada se-gundo).

Es probable que hayas ledo que: La energa nose crea, ni se destruye, slo se transforma, as quevaldra la pena preguntarse: Qu tipo de energa esla que se transforma en energa elctrica en una

planta hidroelctrica? El mismo nombre, hi-droelctrica, nos da una muy buena pista de la res-puesta; el secreto parece residir en el agua, cierto?En esta unidad estudiaremos algunas propiedades del agua as como los mecanis-mos responsables del aprovechamiento del vital lquido para la generacin de ener-ga elctrica. Todo con el fin de responder tres preguntas:

Cules son las caractersticas bsicas de los lquidos? Por qu se construyen presas para generar energa elctrica?

Cmo se aprovecha el agua almacenada en una presa para generar electrici-dad?Podras responder alguna de estas preguntas? Construye las respuestas a par-

tir de lo que estudies.Adelante!

Si deseas conocer msacerca del proyecto

hidroelctrico de La Yescao del Sistema Hidroelctri-

co Santiago, visita el sitiode Internet de la Comisin

Federal de Electricidad:. [Consulta:17/02/2012].

Ms informacin en...

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SECCIN1 Qu es un fluido?El agua y el gas son elementos que usamos de forma cotidiana, por lo que en la ma-yor parte de las construcciones se incluyen instalaciones especiales para su distribu-cin. Te has preguntado, qu propiedades fsicas comparten el agua y el gas?

En f sica, se le denomina fluidoa toda la materia en estado lquido o gaseoso.Pero, qu peculiaridadcaracteriza a los fluidos?, en qu se parecen lquidos ygases? Ambos son fludos. Piensa en algn tipo de lquido que conozcas, porejemplo, agua, alcohol o aceite; ahora, piensa en algn gas , como el aire o el humo

que sale de algo que se quema. Si agitars la mano en la superficiedel lquido ogas (fluidos) podras mover no slo la superficie, sino todo el material. Esto es loque se conoce como fluir.

Es sencillo observar que los f luidos no tienen una forma propia; la leche que escontenida en un envase tiene forma de paraleleppedo, cuando se sirve en un vasosu forma es cilndrica y si cae al suelo, toma una forma plana irregular. Algo similarsucede con el aire; imagina un globo alargado que, en manos de un payaso experi-mentado, puede tomar la forma que se quiera: un perrito, un elefante, una jirafa,etctera. Los fluidos son sustancias cuya interaccin molecular (la forma en la quesus molculas se atraen unas a otras) es tan dbil que no pueden mantener unaforma definida, sino que adoptan la forma del recipiente que los contiene. En elcaso particular de los gases, la interaccines tan dbil que no son capaces siquierade mantener un volumen constante; el espacio que ocupan cambia por s solo y

llenan el espacio de todo el recipiente que los contienen. As el humo que sale de lacocina cuando algo se quema puede esparcirse por toda la casa.

Estadode la materia

Forma Volumen

Slido Constante Constante

Fluidos

Lquido Adopta la forma del recipiente que lo contiene Constante

Gaseoso Adopta la forma del recipiente que lo contieneLlena todo el espacio delrecipiente que lo contiene

DESARROLLO

Peculiar:propio oprivativo de cada

persona o cosa.

Superficie:magnitudque expresa la extensin

de un cuerpo en dos

dimensiones, largo y

ancho.

Paraleleppedo:slidolimitado por seis

paralelogramos, cuyas

caras opuestas son

iguales y paralelas.

Interaccin: accin quese ejerce recprocamente

entre dos o msobjetos,

agentes, fuerzas,funciones, etctera.

glosario

El hecho de que un gas no posea volumen propio, afecta enormemente a las personas que vivenen ciudades, o cerca de centros industriales, debido a que la emisin de gases contaminantes se dis-persa por el aire, sin restringirse nicamente a la zona de produccin de dicha contaminacin.

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Caractersticas de los fluidos

Pensemos por unos instantes, cmo se puede describir a una persona? Segura-mente te ha sucedido que despus de platicarle a un amigo que tienes una primamuy alta, cuando por fin la conoce te dice: no es tan alta, me la imaginaba dife-rente. Si quieres evitar este tipo de confusiones, resultara ms conveniente de-cir, tengo una prima que mide 1.72 m de estatura, es decir, tendras que asociarla estatura de tu prima con un nmero que permita formarse una imagen precisa.Lo mismo ocurre en el contextode la ciencia: vale ms hablar de sistemasentrminos de nmeros para obtener una descripcin exacta. Los fluidos tienentres atributos: compresibilidad, viscosidad y densidad.

Se dice que un fluido es compresiblesi

disminuye su volumen al aplicarle una fuer-za, es decir, si se hace ms pequeo al apre-tarlo; los gases son ejemplos de fluidos muycompresibles. Para poder observar la com-presibilidad, toma una jeringa sin aguja, le-

vanta el mbolo para que el interior quedelleno con aire, cubre la salida fuertementecon un dedo (procurando que el contenidode la jeringa no pueda salir) y aprieta el m-bolo lo ms que puedas, tratando de bajar-lo; como pudiste experimentar, el aire en elinterior de la jeringa se comprime (reduce

su volumen) al aplicarle una fuerza, lo quedemuestra que el aire es un fluido compre-sible. Ahora repite el procedimiento llenan-do la jeringa con agua; al hacerlo, podrs observar que es imposible mover elmbolo por ms fuerza que le apliques, indicativo de que el agua es un fluido nocompresible, es decir, incompresible. Ms adelante estudiaremos que esta propie-dad del agua hace posible que se pueda generar electricidad con ella.

La viscosidadse refiere a la dificultad que tiene un fluido de moverse libre-mente. Imagina que eres una pequea porcin de fluido, podras moverte con lamisma facilidad a travs de una alberca llena de agua que una llena de miel?, qutal si la alberca en lugar de miel tuviese de chapopote (asfalto)? la viscosidad de lamiel es mayor que la del agua y el chapopote es un lquido mucho ms viscoso to-dava. Sorprendido(a)? El material que recubre las calles y carreteras es en reali-

dad una mezcla de un fluido muy viscoso combinado con grava; el chapopote estan viscoso, que incluso parece un material slido.

La densidad de un objeto se define como la relacin que existe entre sumasa y el volumen que ocupa. Dicho de otra manera, la densidad nos dice qutan compacta o extendida se encuentra la materia de cierto cuerpo; una densi-

Contexto:entorno fsicoo de situacin, ya sea

poltico, histrico, cultural

o de cualquier otra

ndole, en el cual se

considera un hecho.

Sistema: conjunto dereglas o principios sobre

una materia racionalmen-

te enlazados entre s.

glosario

El chapopote o asfaltoconstituye la fraccin ms

pesada del petrleo. EnMxico, la explotacin y

produccin de petrleo ysus derivados es desarro-

llada por PetrleosMexicanos (Pemex),

empresa pblica creada en1938. Visita el sitio de Inter-

net de la empresa paraconocer su estructura,actividades y productos:

"http://www.pemex.com."[Consulta: 17/02/2012].

Ms informacin en...

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dad mayor indica que a nivel atmico las partculas se encuentran muy amonto-nadas, como un racimo de uvas, pero si la densidad es pequea, las partculasestn ms separadas entre s. Puedes pensarlo as: para celebrar un evento im-portante, como terminar de estudiar la preparatoria, puedes planear una granfiesta en tu casa, con familiares, amigos y vecinos; si imaginamos que las perso-nas son tomos, observamos que tenemos muchos de ellos dentro de cierto es-pacio, por lo que el material formado por esas personas tendr una densidadmayor. Por el contrario, si organizas una pequea reunin un fin de semana, contres o cuatro amigas y amigos, habr un nmero menor de tomos distribuidosen el mismo espacio, por lo que eliminar la densidad ser menor que en unafiesta concurrida.

Ms adelante profundizaremos en el estudio de la densidad. Por el momentonos concretaremos a definir las dos variables fsicas que posee todo objeto ennuestro universo (no slo los fluidos): masa y volumen. La masase refiera a la can-tidad de materia que tiene un cuerpo, lo que quiere decir que nos da una medidaaproximada de la cantidad de partculas subatmicas (protones, neutrones y elec-trones) que tiene un objeto. Las unidades de medida que se utilizan comnmentepara la masa son los kilogramos, kg. Por otro lado, el volumencorresponde a lamedida del espacio en tres dimensiones que ocupa un cuerpo. Las dimensiones serefieren a lo largo, lo ancho y lo alto, por lo que la unidad de medida del volumenes metro elevado al cubo, m3.


Es importante tener en cuenta que aunque en el uso cotidiano llamemos peso a la masa, en el lenguaje dela fsica son conceptos distintos. Masa se refiere a la materia contenida en un cuerpo, mientras que el pesolo hace a la fuerza con la que los objetos son atrados a la Tierra (la razn por la cual estamos pegados alpiso). Hoy se habla de la masa corporal del paciente y no de su peso.

Tanto en la vida cotidiana, como en la fsica, medir es muy importante paraanalizar fenmenos y procesos. Piensa cuntas veces utilizaste unidades demedida el da de hoy, viste la hora en tu reloj, fuiste al mercado a comprar ali-mentos?

Detengmonos un instante a repasar algunas ideas importantes sobre la me-dicin.

El Sistema Internacional de Medidas

La comunidad cientfica internacional se ha puesto de acuerdo para definir un sis-tema de unidades que se use en todo el mundo, llamado Sistema Internacional de

Fenmeno: todamanifestacin que se

hace presente a la

consciencia de un sujeto

y aparece como objeto

de su percepcin.

glosario

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Unidades, tambin denominado Sistema Internacional de Medidas. Este sistemaincluye las siguientes unidades fundamentales de medida.

Magnitud fsica Unidad fundamental Smbolo de la unidad

Longitud metro m

Tiempo segundo s

Masa kilogramo kg

Intensidad de corriente elctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

1 Consulta la pgina de Internet del Centro Nacional de Metrologa, http://www.cenam.mx, organizacin mexicana encargada de la administracin de los pa-

trones de medida. Dentro del sitio del CENAM encontrars una pestaa que dice Infor-macin sobre metrologa y en el men que se despliegaal colocar el puntero sobre ella -nido de la pgina y completa el siguiente cuadro con las definiciones de cada una de lasunidades fundamentales del Sistema Internacional de Medidas; en caso de que no pue-das consultar el sitio electrnico del CENAM, puedes utilizar cualquier buscador de In-ternet con las palabras Sistema Internacional de Medidas y buscar informacinreferente a la definicin de las unidades de medida. Tambin puedes recurrir a algnlibro de texto de fsica, qumica o biologa. Es probable que no comprendas del todo la

definicin, sin embargo, lo importante es que tengas un primer acercamiento con laimportancia de tener unidades de medida bien definidas.

definicin formal de cada unidad de medida.

Unidad fundamental Definicin

Metro

Segundo

Kilogramo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela

Consulta el Apndice 1 para cotejar tus respuestas.

Desplegar: desdoblar,extender lo que est

plegado.

glosario

Ests trabajandopara reconocer de

manera autnoma lasunidades de medicin de losconceptos relacionados con

los fluidos en los sistemasingls e internacional para

realizar conversiones de unsistema a otro.

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Anteriormente se ha mencionado que las unidades de medicin utilizadas en Mxicoforman parte del Sistema Internacional de Medidas, sistema adoptado por casi latotalidad del mundo, excepto, los pases angloparlantes, como Inglaterra y EstadosUnidos de Amrica (EUA). Dado que muchos de los avances tecnolgicos procedende estos pases, es necesario conocer un mecanismoque nos permita hacer la con-

versin entre unidades de medicin de los distintos sistemas.El mecanismo ms simple de conversin de unidades es el siguiente:

Paso 1:Identifica la equivalencia que existe entre las unidades que quieres cam-biar, por ejemplo, si quieres convertir una masa de 150 libras (lb) a kilogramos (kg),debers ubicar la equivalencia entre libras y kilogramos. En este caso particular,

1lb0.4536 kg

Paso 2:Divide las unidades que son equivalentes, dividiendo la unidad que quie-res obtener (en este caso 0.4536kg) entre la unidad que tenas originalmente (1lb).Para el ejemplo que estamos trabajando, debemos realizar la siguiente operacin:

0.4536 kg0.4536 kg/lb

1lb

Paso 3:Multiplica la cantidad que acabas de calcular por la medida que quieresconvertir. En nuestro caso, 150 lb (0.4536 kg/lb) 68.04 kg.

De esta forma puedes convertir cualquier tipo de unidades, lo nico que debesconocer es la equivalencia entre ellas. Es muy importante cuidar que las unidadesque se van a convertir se refieran a la misma variable f sica, es decir, una unidad delongitud en el Sistema Ingls slo puede convertirse en una unidad de longitud del

Sistema Internacional.

2 -mente nos encontramos que las unidades de medida se expresan en el Sistema

Ingls, por lo que es necesario saber convertir unidades. Pon a prueba tus conocimientosy habilidades! Completa el siguiente cuadro convirtiendo unidades al Sistema Internacionaly al Sistema Ingls, segn corresponda. Si requieres algn apoyo sobre las equivalenciasconsulta el Apndice 4, Tabla de conversiones. Comprueba tus resultados en el Apndice 1.

Medida Convertir a:

30 yardas metros

58 kilogramos libras

0.7 pulgadas milmetros5.4 galones litros

0.8 kilmetros pies

450 gramos onzas


Vale la pena reflexionar porqu son necesarias unidades

de medicin precisas. Imaginaque se toma la decisin demedir distancias tomando

como unidad de medida lalongitud del brazo de cada

persona. Compara el tamaode tu brazo con el de alguien

que tengas cerca, soniguales o diferentes?, cmopodran ponerse de acuerdoen el tamao de un objeto si

cada quin mide algodiferente? Esta es la razn

por la que la definicin de lasunidades de medida es tan

minuciosa.

Mecanismo:proceso,conjunto de las fases

sucesivas de un

fenmeno natural o de

una operacin artificial.

glosario

Asesora

Puedes practicar el proceso de

conversin de unidades

echando mano de sitios en

Internet que tienen programas

que hacen la conversin de

manera automtica. Prueba a

visitar el sitio: http://www.convertworld.com/es/ para que

practiques las habilidades que

has adquirido en los clculos

necesarios.

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Puedes comprobar tus resultados comparndolos con los del cuadro que se incluyeen el Apndice 1.

-nes sin la ayuda de herramientas informticas! Prctica las operaciones con calculadorao en su caso realzalas sin apoyo de herramienta alguna.

Calculando volmenes

Dado que un fluido tiende a ocupar la totalidad del recipiente que lo contiene esnecesario calcular el volumen de diversos cuerpos geomtricos simples, para po-der resolver problemticas relacionadas con fluidos contenidos en envases. Estu-diaremos volmenes como cubos, ortoedros, esferas, cilindros, conosy prismas.

En la siguiente tabla descriptiva encontrars informacin necesaria para iden-tificar algunos cuerpos geomtricos regulares y la manera de calcular el volumende ellos.

Cuerpo Esquema Descripcin Volumen

Esfera Slido delimitado por una superficiecurva, cuyos puntos equidistan todosde otro interior, llamado centro.

V = 4 r33

CuboSlido regular limitado por seiscuadrados iguales. V = lado3

Ortoedro

Slido limitado por seis caras

opuestas que son rectangulares yforman ngulos rectos entre s.

V = largo ancho alto

Cilindro

Cuerpo limitado por una superficiecilndrica cerrada y dos planos quela cortan.

V = radio2 altura

Cono

Cuerpo generado por el giro de untringulo rectngulo alrededor deuno de sus catetos.

V radio2 altura

3

Prisma Slido determinado por dospolgonos paralelos llamados bases

y por tantos paralelogramos comolados tengan las bases.

V = rea de la base altura

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Una tabla descriptiva es un tipo de modelado de informacin. En ella, los contenidos se organizan en filasy columnas. Los elementos que se ubican sobre la misma fila comparten un atributo comn, lo mismo su-cede con las columnas. Esta configuracin te puede ayudar para identificar las relaciones que hay entredistintos conceptos de manera ms fcil.

Ejemplo:

MaterialCalor especfico

(cal/gC)Calor latente de fusin

(cal/g)Calor latente de evaporacin

(cal/g)

Agua 1.00 80 540

Mercurio 0.033 2.8 65

Vamos a detallar paso a paso el proceso de resolucin de problemas relativos alclculo de volmenes analizando un ejemplo:

Es probable que en tu casa, o en casa de alguien conocido encuentres un tan-que de gas LP.

Este tipo de tanques cilndricos (aunque no es un cilindro exactamente, se pue-de aproximar a uno) se utilizan para almacenar el combustible que permite encen-

der la estufa o calentar el agua con ayuda delcalentador. Podras calcular el volumen degas que puede almacenar un tanque de gas LPsi tiene un radio aproximado de 0.15 m y unaaltura aproximada de 1.4 m?

Solucin:

Paso 1: Relaciona el objeto cuyo volumenquieres calcular con uno de los cuerpos delgeomtrico. En este caso, la tarea es muy sim-ple pues el tanque tiene forma cilndrica, almenos aproximadamente.

Paso 2: Identifica las variables necesariaspara calcular el volumen del cuerpo, por ejem-plo, su altura, su radio, su longitud, etctera;es posible que para obtener esa informacindebas realizar algunos clculos adicionales.

En nuestro problema, para calcular el volumen de un cilindro, es necesario conocersu radio y su altura, informacin que se da de manera explcita en el problema. El

radio tiene un valor r = 0.15 m y una altura de h = 1.4 m.Paso 3: Sustituyelos valores de las variables conocidas en la ecuacin correspon-diente y realizar los clculos necesarios para obtener el valor de la variable desconocida:

V= r2 h= 3.14 (0.15 m)21.4 m = 0.099 m3

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Paso 4: Expresa el resultado en las unidades de medida segn el tipo de variableque se calcula; El tanque de almacenamiento de gas tiene una capacidad de 0.099m3, o lo que es lo mismo, despus de poner en prctica nuestras habilidades paraconvertir unidades, 99 litros.

Siguiendo estos pasos encontrars que resolver este tipo de problemas resultauna tarea bastante fcil.

Pon a prueba tus conocimientos y habilidades!

3 volmenes.

1) Calcula el volumen de una habitacin que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2.5 m de

alto.

2) Un tanque de almacenamiento de agua tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de pro-

fundidad. Cuntos litros de agua sern necesarios para llenarlo?

3) En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos

guardar cajas con las dimensiones 100 cm de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto.

Cuntas cajas podremos almacenar?

4) Calcula la altura de un prisma que tiene como rea de la base 12 dm2y 48 l de capacidad.

Para este problema, te resultar til saber que 1 dm3es equivalente a un litro (l).

Sustituir:poner a alguieno algo en lugar de otra

persona o cosa.

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5) A qu altura deber llegar el agua que se vierte en una probeta de 3 cm de radio para

que su volumen sea igual al volumen de cuatro cubitos de hielo de 4 cm de lado?

Para evaluar tu capacidad de calcular volmenes, revisa tus respuestas consultandoel Apndice 1.

Al decidir el lugar de instalacin de una presa, los ingenieros deben determinar elvolumen de almacenamiento que podra alcanzar. Por ejemplo, de acuerdo condatos proporcionados por la Comisin Nacional del Agua, la presa El Cajn tieneuna capacidad de almacenamiento de 2069 millones de metros cbicos de agua.

Hasta el momento, hemos estudiado algunas de las caractersticas bsicas delos fluidos. Recuerda que los f luidos abarcan tanto a lquidos, como a gases, as queevidentemente el agua en una presa es un fluido. La densidad del agua dulce (sinsales) a nivel del mar y a una temperatura de 4C es de 1000 kg/m3, lo que quieredecir que un metro cbico de agua tendr una masa de 1000 kg. Un metro cbicoequivale al volumen de un cubo cuyos lados miden un metro, as que, te puedesimaginar la masa del agua que se almacena en una presa como El Cajn? Si esaenorme cantidad de agua se soltara de golpe podra destruir poblaciones enteras asu paso, sin embargo, aprovechndola racionalmente puede servir para la genera-

cin de electricidad. Continuemos.

SECCIN2. Propiedades de fluidos en reposo:HidrostticaEl trabajo de generacin elctrica que se realiza en una instalacin como la plantahidroelctrica de El Cajn requiere calcular la cantidad de agua almacenada, lacantidad de agua que pasa a travs de la presa, la energa generada, etctera. Paraque los ingenieros puedan conocer con precisin los datos necesarios para un p-timo funcionamiento de la planta, es evidente que tienen que relacionar algunas

variables f sicas: el volumen de agua almacenada, el volumen de lquido que pasa

por la presa, la potencia de los generadores, etctera. En fsica existen una infini-dad de relaciones entre variables, por lo que vale la pena profundizar en el tema,comenzando por definir qu es una relacin.

La Comisin Nacional delAgua, CONAGUA, es un

organismo pblico cuyoobjetivo es administrar y

preservar las aguasnacionales, con la

participacin de lasociedad, para lograr el uso

sustentable del recurso. Sirequieres informacinreferente a cuerpos de

agua en el pas (ros, lagos,presas, aguas subterrneas,

etctera), visita el sitio:

Ms informacin en...


los conceptosdensidad, presin y flujo

volumtrico pararepresentarlos

sistemticamente mediante laaplicacin de relaciones y

funciones.

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Relaciones y funciones

Probablemente al elegir la ropa que vas a usar tienes ya ciertas combinacioneshechas previamente; por ejemplo, si vas a usar un pantaln negro, de antemanosabes que debers usar tal o cual camisa. Al tomar este tipo de decisiones, esta-mos formando parejas de elementos que estn relacionados. Susana, una estu-diante de preparatoria como t, tiene formadas las siguientes parejas de ropa:

La blusa blanca con el pantaln de mezclilla

La blusa gris, tambin con el pantaln de mezclilla

La blusa lila con el pantaln azul.

Susana est tomando una blusa, a la que le asocia un pantaln, es decir, rela-ciona las blusas con los pantalones.

En el lenguaje de las matemticas, se define el trmino conjuntocomo unaagrupacin de elementos que tienen una propiedad comn. Usualmente, los con-

juntos se representan con letras maysculas y los elementos se agrupan dentro dellaves, se separan con comas. Por ejemplo:

M = {perro, gato, canario} se refiere al conjunto llamado M que incluye a loselementos perro, gato y canario.

Por otro lado, una relacinentre el conjunto A (llamado dominio) y el con-junto B (llamado contradominio) se define como el conjunto de pares ordenados(a, b) que se forman con los elementos de A puestos en primer lugar y los de B ensegundo.

En el caso de la ropa de Susana podemos decir que se establece una relacinentre el conjunto de blusas (el dominio), al que llamaremos B = {blusa blanca, blusagris, blusa lila} y el conjunto de pantalones (el contradominio), P = {pantaln demezclilla, pantaln azul}. Los elementos de estos conjuntos tienen una propiedaden comn: en el caso del conjunto B, todos los elementos son blusas de Susana,mientras que en el conjunto P, todos los elementos son pantalones de Susana. Larelacin que mencionamos entre ellos se escribe como el conjunto R = {(blusa blan-ca, pantaln de mezclilla), (blusa gris, pantaln de mezclilla), (blusa lila, pantalnazul)} y corresponde a las posibles combinaciones. En ocasiones, es ms fcil visua-lizar las relaciones utilizando diagramas sagitales.


Es necesario tener encuenta que aunque defini-mos el concepto de rela-cin entre el conjunto A yel conjunto B, en realidad,A y B son letras que repre-sentan cualquier conjun-to. Podemos hablar de larelacin entre el conjuntoR y S, o el conjunto J y A; lanica restriccin es que al

formar los pares ordena-dos, el primer elementopertenezca al primer con-junto que se menciona enla relacin y el segundo alotro.Recuerda lo que aprendis-te acerca del lenguaje al-gebraico en el mduloRepresentaciones simbli-cas y algoritmos.

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Un diagrama sagital es: Una representacin grfica que facilita el anlisis de las relaciones.

Las partes que lo conforman son:

Dominio: se escriben los elementos del dominio dentro de un crculo que sirvepara representar el conjunto.

Contradominio: se escriben los elementos del contradominio dentro de uncrculo que se coloca al lado derecho del dominio.

Flechas: se utilizan flechas para representar cada una de las parejas de la rela-cin; la flecha sale de los elementos del dominio y terminan en los elementosque les corresponden en el contradominio.

Para elaborarlo necesitamos:Trazar el dominio y contradominio, para despus dibujar la flecha correspon-

diente para cada elemento de la relacin.El diagrama sagital de la relacin R que definimos entre las blusas y los panta-

lones de Susana, se presenta de la siguiente manera:

Blusa blanca

Blusa gris

Blusa lila

Pantaln de mezclilla

Pantaln azul

B PR

Sabemos que los elementos de un conjunto tienen una propiedad comn; en elcaso de la relacin esa propiedad es la regla que se sigue para definirla. Por ejemplo,en el caso de la relacin R, cuyo diagrama acabamos de construir, las parejas serelacionan debido a que son prendas de vestir que combinan entre ellas. Cada unade las flechas que se dibujaron en el diagrama se podran interpretar como uncombina con, es decir, podemos interpretar que:

la blusa blanca combina con el pantaln de mezclilla

la blusa gris combina con el pantaln de mezclilla

la blusa lila combina con el pantaln azul

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En cambio, como la pareja de blusa lila y pantaln de mezclilla no existe, sepuede decir que la blusa lila NO combina con el pantaln de mezclilla.

Es muy importante darle siempre una interpretacin real a todos los elementosque manejes en matemticas, de lo contrario, podr parecer una disciplina abstrac-ta, ajena a ti, cuando en realidad es una herramienta til para entender el mundoque te rodea.

Veamos un ejemplo de cmo construir una relacin y su respectivo diagramasagital. Se tiene la siguiente informacin: Dominio: A = {1,2,4}. Contradominio:B = {3,5}. La relacin R se forma con los elementos del dominio que son menoresque los elementos del contradominio.

Veamos el proceso que debemos seguir paso a paso:En este ejemplo vamos a definir que la relacin R est formada por todas las pa-

rejas de nmeros que se pueden lograr entre los conjuntos A y B siempre que el ele-mento de A sea menor que el elemento de B, recuerda que pueden existir otras reglaspara poder definir una relacin. Un primer ejemplo se tiene con los nmeros 1 y 3, yaque 1

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4 Identifica los elementos de las siguientes relaciones y elabora un diagramasagital que represente a cada una de ellas:

1) Dominio: C = 1,2,3. Contradominio: D = 4,5,6. La relacin se forma con los elementos

del dominio que son la mitad de algunos de los elementos del contradominio.

2) Dominio: E = 5,9. Contradominio: F = 6,7,10. La relacin se forma con los elementos

del dominio que son mayores que los elementos del contradominio.

3) Dominio: G = 1,2,4. Contradominio: H = 1,4,9. La relacin se forma con los elementos

del dominio elevados al cuadrado que se encuentran en el contradominio.

4) Dominio: J = a,b. Contradominio: K = 6,9,100. Todos los elementos del dominio se

relacionan con todos los elementos del contradominio.

Ssi los resultados cum-plen, y en la columna No, segn corresponda:

Aspectos relevantes S No

El primer elemento de las parejas en la relacin pertenece al dominio

El segundo elemento de las parejas en la relacin pertenece al contradominio

Todas las parejas satisfacen la regla de relacin

En el diagrama sagital aparecen todos los elementos del dominio y contradominio

Todas las parejas de la relacin estn representados en el diagrama

Puedes expresar claramente la relacin que existe entre cualesquiera par de elementos (x,y)?

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En caso de haber marcado Stodos los elementos de la lista, puedes seguir adelantecon la confianza de haber comprendido plenamente las generalidades de las relacio-nes. De lo contrario, revisa tu proceder hasta encontrar el origen de la equivocacin;vuelve al ejemplo que hemos desarrollado y consulta las respuestas que se incluyenen el Apndice 1. Si todava tienes dudas busca el apoyo de una persona cercana a tique cuente con conocimientos de matemticas y fsica, o bien acude a los Centros deServicios de Preparatoria Abierta, en los que podrs solicitar el servicio de asesoraacadmica.

Ahora bien, existe un tipo especial de relacin llamada funcin, la cual satisface unpar de requisitos adicionales:

1) Todos los elementos del dominio estn relacionados.

2) Los elementos del dominio se relacionan solamente con un elemento delcontradominio.

En una relacin: En una funcin:

Se forman parejas ordenadas (a,b), en las que a esun elemento del dominio y b del contradominio.

Se forman parejas ordenadas (a,b), de tal formaque todos los elementos del dominio estnrelacionados solamente con un elemento delcontradominio.

Es importante conocer el lenguaje especial que se emplea para denotar las funcio-nes. Usualmente, las funciones se representan con las letras f, g, h; para decir que

existe una funcin (f) entre los elementos de un conjunto A y los de un conjunto B,escribimos:Tambin es frecuente encontrar una expresin algebraica explcita para las

funciones, por ejemplo, una funcin f, definida entre dos conjuntos de nmerosreales, puede escribirse como f(x) = 2x + 1. Esta expresin quiere decir que para

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

3

a

b

c

a

b

c

1

2

3

1

2

3

Es una funcin.

Todos los elementosdel dominio estnrelacionados con sloun elemento del con-tradominio.

No es una funcin.

Aunque todos los ele-mentos del dominio estnrelacionados, uno de elloslo hace con dos elemen-tos del contradominio.

No es una funcin.No todos los elementosdel dominio estnrelacionados.

Es una funcin.En los requisitos no seexcluye el caso de quetodos los elementos deldominio se relacionencon el mismo del con-tradominio..

A B A B

A B A B

A manera de ejemplo se muestran en la siguiente imagen los diagramas sagitalesde algunas relaciones que pueden considerarse como funciones y otras que no.

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encontrar a los elementos de la funcin f, es necesario multiplicar por 2 a los ele-mentos del dominio y sumarle 1 al producto.

Seguramente ya te diste cuenta que existen muchas relaciones y funciones quese pueden encontrar al analizar el funcionamiento de una presa, por ejemplo, hayuna relacin entre la altura de la cortina de concreto que la forma y el volumen deagua que puede almacenar: en el mismo lecho de captacin de agua, una cortina depoca altura almacenar poca agua, pero mientras ms alta sea la cortina, mayorcapacidad tendr. Por otro lado, hay una funcin entre la cantidad de energa pro-ducida por la presa y el tiempo transcurrido en que se produce la energa bajo lasmismas condiciones, pues para cada intervalo hay un solo valor de energa produ-cida, incluso si no hay produccin (en ese caso el valor sera cero). Aunque en estemomento solamente hemos hablado de relaciones y funciones en general, confor-me vayamos avanzando en el estudio de la unidad iremos familiarizndonos con elconcepto y estudiaremos la forma ms adecuada de trabajar con ellas.


En ocasiones diversas encontrars conceptos fsicos que se definen como una funcin, aunque no se cum-pla con todo el formalismo del que acabamos de hablar. Esto se debe a que es ms prctico no hacerlo, sinembargo, debes estar al tanto de todo lo que hay detrs. Por ejemplo, al definir la densidad, el concepto seasocia con la ecuacin: M = D V, en donde M se refiere a la masa, D a la densidad y V al volumen. Formal-mente, se debera escribir como una funcin M definida del conjunto de todos los valores posibles de volu-men hacia el conjunto de todos los valores posibles de masa, M (V) = D V, aunque por ser ms sencillo,escribimos solo M = D V.

Propiedades de los fluidos y sus funciones

Las funciones resultan herramientas indispensables para en el estudio de los siste-mas naturales pues permiten establecer la dependenciaentre diversas variables.Veamos algunos ejemplos de funciones entre variables que hacen referencia a losfluidos.

Existen dos variables bsicas en el estudio de sistemas fsicos: la densidad y lapresin.

En primer lugar, estudiemos la densidad. La densidad relaciona la masa con elvolumen de un objeto, sin embargo, vamos a darle un enfoque distinto al concepto.La densidad de un mismo material es siempre la misma, sin importar la forma o ta-

mao del objeto, por ejemplo, la densidad de un pequeo tornillo de cobre es exac-tamente la misma que la de un enorme tubo del mismo material. Si consideramosentonces que la densidad es un parmetroconstante que relaciona la masa y el volu-men, encontramos nuestro primer ejemplo de una funcin. Por un lado, tenemos elconjunto de valores de masa que puede tener un cuerpo y, por el otro, el conjunto de

Dependencia:relacinde origen o conexin.

Parmetro:variable que,incluida en una ecuacin,

modifica el resultado de

sta.

glosario


los conceptos:densidad, presin y flujo

volumtrico para representarlossistemticamente mediante la

aplicacin de relaciones yfunciones.

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valores de volumen; para todo valor de masa, corresponde un volumen, puesto quetodo cuerpo material ocupa un espacio en el universo. Adems, cada valor de masa,est relacionado con solo un valor de volumen, por lo que podemos concluir quepara cualquier objeto, la masa es una funcin del volumen.

Comprueba lo anterior con el siguiente experimento. Levanta una pequeabotella con medio litro de agua, despus, levanta un envase con cinco litros de agua

y por ltimo un garrafn con 18 litros de agua. Qu diferencia encontraste? Aho-ra, qu pensaras si alguien tratara de venderte un garrafn de agua y al levantarlopareciera que ests levantando una pequea botella de medio litro? Seguramenteconcluiras que esa persona intenta engaarte, puesto que un volumen grande deagua se corresponde con una masa grande.

Las funciones se representan generalmente en forma de ecuaciones como es elcaso de la densidad. Si M representa la masa, V el volumen y D la densidad, pode-mos escribir entonces la funcin:

M=DV

Uno de los mate-riales ms densos queencontramos en el pla-neta es el Iridio, tenien-do una densidad de22,500 kg/m3. Por elcontrario, uno de losmateriales ms ligeroses llamado aerogel, sus-tancia compuesta casien su totalidad por aire,con una densidad de 3kg/m3.

En el lenguaje mate-mtico existe una nota-cin especial para escribirlas funciones. Es probableque hayas visto este tipode notacin: y = f(x), quesignifica que existe unafuncin entre los elemen-tos del dominio, repre-sentados por x, con loselementos del contrado-minio, representados por

y. La funcin se represen-ta con la letra f. Si quere-mos aplicar esta notacin

al ejemplo del texto, elque la masa es una fun-cin del volumen, escribi-ramos: M = f(V).

Esta ecuacin se comprende si tomamos en cuenta que la densidad se refiere a larelacin de la masa de un objeto entre su volumen, as que si queremos conocer lamasa del objeto, deberemos multiplicar la densidad por el volumen.

Ms adelante aprenderemos a manipular este tipo de expresiones para utilizar-las en la solucin de problemas. Por lo pronto, vale la pena conocer las distintasposibilidades que se derivan de la ecuacin anterior, por ejemplo, si lo que se buscaes conocer la densidad de un material se utiliza:

DMV

Pero, si se quiere conocer el volumen del objeto, entonces se utiliza:

V MD


Un agujero negro es, en teora, la materia ms densa que existe en el universo. Se refiere a una regin delespacio caracterizada por una gran concentracin de masa dentro de un volumen muy pequeo. La canti-dad de masa es tan grande, que genera un campo gravitatorio tal que ninguna partcula material, ni siquie-ra los fotones de luz, pueden escapar de l.

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Ahora, continuemos con la revisin del concepto presin. Las mujeres estnmuy familiarizadas con un fenmeno curioso: cuando caminan con zapatillas porel pasto, los tacones se clavan en la tierra. Por qu no sucede lo mismo si se usacalzado de suela plana a pesar de ser la misma persona quien camina por el pasto?Las variables que entran en juego en la presin son la fuerza que se ejerce sobrecierto objeto y la superficie sobre la que se distribuye dicha fuerza. Existe tambinuna funcin que relaciona la fuerza aplicada y la superficie sobre la que se distribu-

ye dicha fuerza, la cual se escribe como:

F=PA

en dondeFrepresenta a la fuerza,Pa la presin yAel rea. En este caso, el conjun-

to de valores de fuerza se encuentra en funcin de los valores del conjunto de rea,adems de que para cada valor de fuerza existe uno de presin si mantenemos lapresin constante.

Las funciones son herramientas de gran utilidad, pues implcitament

fisica

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