fisica

209

FRENTE 1 Mecnica

1. DEFINIO DE IMPULSO

Considere uma fora constan -

teF, atuando sobre um corpo, du -

ran te um intervalo de tempo t. Define-se IMPULSO da fora

F,

no referido intervalo de tempo, co mo

a grandeza vetorial I dada por:

q NotasNota 1: Se a fora

F for va rivel,

a definio de impulso feita com re -cur sos de Matemtica su perior (fun -o in te gral).

Nota 2: Impulso uma gran de zavetorial que tem a mesma dire o

e o mes mo sentido da fora F.

Assim, o impulso da fora peso sempre vertical e dirigido de cimapara baixo.

Nota 3: Impulso no gran dezainstantnea, isto , no de finido pa -ra um dado instante e sim para umcerto intervalo de tempo.

Nota 4: Quando a fora F va -

rivel, usamos o conceito de foramdia

Fm.

A fora mdia Fm uma fora

cons tante capaz de produzir o mes -mo impulso da fora varivel

F.

2. DEFINIO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Considere uma partcula de mas sam animada de uma velocidade ve-

torial V.

Define-se QUANTIDADE DEMO VIMENTO da partcula como

a grandeza vetorialQ dada por:

q NotasNota 1: Quantidade de movi -

men to tambm chamada de MO -MENTO LINEAR ou simplesmenteMO MEN TO.

Por vezes tambm usado, como mesmo significado, o termo latinoMO MENTUM (no plural, usa-se MO -MENTA).

Nota 2: Quantidade de movi -men to uma grandeza vetorial quetem a mesma direo e o mesmo sen - tido da velocidade vetorial, ou se ja, sempre tangente trajetria e tem osentido do movimento do corpo.

Nota 3: Quantidade de movi -men to uma grandeza instantnea,is to , definida para um dado ins -tante.

Nota 4: SendoFR a fora re -

sul tante que atua em uma partcula,te mos:

Newton formulou a sua 2.a lei(Prin cpio Fundamental da Dinmica)

apoiado na equaoFR = .

O enunciado original da 2.a Lei deNew ton o seguinte:

Nota 5: Para um sistema de v - rias partculas, a quantidade de mo vi -mento do sistema a soma vetorial dasquantidades de movimento daspartculas.

Nota 6: Para um corpo exten -so, a quantidade de movimento definida como o produto de sua mas -

sa M pela velocidade veto rial VCM de

seu centro de massa.

Nota 7: A quantidade de mo vi -mento de uma partcula constanteem dois casos:

a) partcula em repouso:

b) partcula em movimento retil -neo e uniforme:

Nota 8: No movimento cir cu lare uniforme, a quantidade de movi -men to tem intensidade constan te(por que o movimento uniforme), po - rm tem direo varivel (porque atrajetria curva) e, portanto, umagran deza vetorial varivel.

I = F . t

IF =

IFm

= Fm . t

Q = m

V

V

Q

FR = ma = m =

t t

Q

t

A fora resultante igual taxa de variao do

momento com o tempo.

Qsistema = m1

V1 + m2

V2 + + mi

Vi

Qcorpo extenso = M

VCM

Q = constante =

0

Q = constante =/

0

MDULO 49 Impulso e Quantidade de Movimento

C4_3a_Fis_Conv_Teo_Alelex 28/04/11 10:24 Pgina 209

3. RELAO ENTRE ENERGIACINTICA E MOMENTO

Considere uma partcula de mas -sa m e velocidade com intensidadeV.

A energia cintica EC e a in ten -sidade da quantidade de movimentoQ so dadas por:

Q = mV (1)

mV2EC = (2)2

QDe (1), temos: V =

m

Substituindo-se em (2), vem:

m QEC = ()2 2 m

Observe na expresso EC = f(Q)que, se duas partculas tiverem quan -ti da des de movimento com a mes main ten sidade, ento as ener gias cin -ticas sero inversa mente pro porcio -nais s res pectivas mas sas.

4. UNIDADES E DIMENSES

q Quantidade de movimento

Unidade

u(Q) = u(m) . u(V)

No SI:

Dimenses

[Q] = [m] [V]

q Impulso

Unidadeu(l) = u(F) . u(t)

No SI:

Dimenses

[I] = [F] [t] = MLT2 . T

Segue-se, portanto, que:

Q2EC = 2m

ECA mBQA = QB = ECB mA

u(Q) = kg . m/s

[Q] = MLT1

u(l) = N . s

[I] = MLT1

u(l) = u(Q)[I] = [Q]

N . s = kg . m/s

210

1. GRFICO FORA X TEMPO

Considere uma fora F com di re -

o constante atuando em umapar tcula.

Na figura apresentada:

[I]t10

N= A1 ; [I]t2t1

N= A2

A demonstrao dessa proprie -da de s imediata para o caso defora constante:

2. TEOREMA DO IMPULSO (TI)

Considere uma partcula de mas -sa m sujeita a uma fora resultanteF, du ran te um intervalo de tempo t.

A velocidade vetorial da partcula

va ria deVi (valor inicial) a

Vf (va lor fi -

nal).

Usando-se a 2.a Lei de Newton:

(Vf

Vi)F = m

a = m

tF . t = m

Vf m

Vi

A expresso anterior traduz o teo - re ma do impulso:

No grfico do valor da foraem funo do tempo, a reasob o grfico mede o valordo impulso da fora.

rea (F x t) N= Impulso

[I]t20

N= A1 A2

rea (F x t) N= F (t2 t1) = IF

IF =

Qf

Qi =

Q

O impulso da fora resul tan te,em uma partcula, mede a va -riao de sua quan tidade demo vimento, durante o in ter va -lo de tem po conside ra do.

TI

MDULO 50 Grfico Fora x Tempo e Teorema do Impulso


NotaNa aplicao do teorema do im -

pulso, importante observar que asgrandezas envolvidas so vetoriais:

Exemplificando: Considere uma partcula de mas -

sa m em movimento circular e uni for -me com velocidade de intensi da de V.

Para um quarto de volta, o im -pulso da fora resultante calculadocomo se segue:

| Qi | = mV

| Qf | = mV

Aplicando-se o Teorema de Pit -go ras:

|I |2 = |

Qi |

2 + |Qf|

2

|I |2 = (mV)2 + (mV)2 = 2(mV)2

|I | = 2 mV

211

MDULOS 51 e 52 Sistemas Isolados

SISTEMA ISOLADO

Considere um sistema de part cu las.O sistema chamado isolado quan do a resultante

de todas as foras externas ao sistema nula.Sendo nula a fora resultante ex terna, tambm ser

nulo o impulso so bre o sistema e, como conse qunciado teo rema do impulso, ser cons tan te aquantidade de movi men to do sistema.

A ttulo de exemplo, conside re mos um sistema detrs partculas, A, B e C.

As partculas A e B trocam foras entre si (forasinternas ao sistema, do tipo ao-reao) e a partcula Cest livre de foras.

Qsistema =

QA +

QB +

QC

QA varia em virtude da ao da for a

FBA.

QB varia em virtude da ao da fora

FAB.

QC permanece constante porque C est livre de

foras.

A variao de QA compensa a variao de

QB e

Qsistema perma nece constante:

Os sistemas isolados de maior im portncia emnossos estudos so:

q Coliso entre partculasQuando duas partculas, A e B, coli dem, elas

constituem um sistema iso lado, pois as foras ligadas coliso so foras internas.

As eventuais foras externas em uma coliso, taiscomo gravidade e atri to, tm intensidades desprezveis,quando comparadas com as das for as liga das coliso.

Sistema Isolado

Fexterna = 0

Qsistema = constante

FBA =

FAB

IA =

IB

QA =

QB

Qsistema =

QA +

QB +

QC = constante


q Exploso de um corpoQuando um corpo explode, as for as internas li ga -

das exploso so muito intensas e as foras externas(co mo, por exemplo, o peso do corpo) tornam-se des -prezveis, e o corpo con siderado um sistema iso -lado.

NOTAS

Nota 1: Em uma coliso no elstica, embora hajaconservao da quantidade de movimento total (sis te maisolado), a energia mec ni ca total diminui porque setransforma em ou tras formas de energia: tr mi ca, so no -ra e trabalho em defor ma es perma nentes.

Nota 2: Em uma exploso, em bora haja conser va -o da quan tida de de movimento total (sistema iso lado),a energia mecnica total au menta porque a energiapotencial qumica, armazenada nos explo sivos, parcial -mente transformada em energia cin tica dos fragmentos.

Portanto, nas colises inelsticas e exploses, temosexemplos de sis temas fsicos isolados, porm noconservativos.

Qfinal =

Qinicial

mAVA + mB

VB = mA

VA + mB

VB

Qimediatamente aps =

Qimediatamente antes

m1V1 + m2

V2 + + mn

Vn =

O

212

MDULO 53 Centro de Massa

1. CONCEITO DE CENTRO DEMASSA

Quando um corpo tomadocomo ponto material, consi de ra -mos to da sua massa concentrada emum pon to geomtrico, onde estariaaplica da a re sultante das forasexternas que atuam no corpo. Esteponto geo mtrico re cebe o nome deCENTRO DE MAS SA do corpo.

Nota: Se o corpo for homo gneoe apresentar uma forma geo m tricaregular e simtrica, ento o cen tro demas sa coincidir com o cen tro geo -m trico do corpo.

Exemplo 1: O centro de massade uma esfera homognea o seucentro geomtrico.

Exemplo 2: O centro de massade um anel homogneo o seu cen -tro geo mtrico (onde, no caso, noexis te massa).

Exemplo 3: O centro de massade um corpo homogneo, com for ma -to trian gular, o baricentro do trin -gulo.

2. CENTRO DE GRAVIDADE

O centro de gravidade de umcorpo o ponto de aplicao da forade gra vidade.

O centro de massa coin ci -dir com o centro de gravi dadese o vetor acelerao dagravidade (

g) for o mesmo em

todos os pontos do corpo.Como exemplo, imagine uma

mon tanha, suposta homognea, comformato retangular e de grandes di -menses.

A acelerao da gravidade na ba -se da montanha maior do que notopo da montanha, de modo que ocentro de gravidade ficar mais abai -xo do que o centro geomtrico (quecoin cide com o centro de massa).

3. POSIO DO CENTRO DEMASSA DE UM SISTEMADE PONTOS MATERIAIS

Consideremos um conjunto de npon tos materiais.

Representamos por mi a massado ponto material e xi, yi, zi as coor de -nadas cartesianas que definem suaposio.

A posio do centro de massa (CM)do sistema ser definida pelascoordenadas cartesianas xC, yC e zCobtidas por meio de uma mdia pon de - rada entre as coordenadas dos pon tosmateriais, tomando-se como pe sos, namdia pon derada, as res pec tivasmassas dos pontos mate riais.


4. VELOCIDADE DO CENTRODE MASSA DE UM SISTEMADE PONTOS MATERIAIS

A velocidade do centro de massaser dada por uma mdia ponderadaentre as velocidades dos pontos ma-te riais, tomando-se como pesos, nam dia ponderada, as respectivasmas sas dos pontos materiais.

Observando-se que o produto miVi

representa a quantidade de mo vi men -to do ponto material, resulta que:

QsistemaVCM = Msistema

Em particular, se o sistema for iso - lado de foras externas, teremos:

5. ACELERAO DO CENTRO DE MASSA DE UMSISTEMA DE PONTOSMATERIAIS

A acelerao do centro de mas saser dada por uma mdia pon de radaentre as aceleraes dos pon tos ma te -riais, tomando-se como pesos, na m - dia ponderada, as res pectivas mas sasdos pontos materiais.

Observando-se que o produtomiai

re presenta a fora resultante no

pont o material (2. Lei de Newton), re -sul ta que:

Rexterna

aCM = Msistema

6. TRAJETRIA DO CENTRODE MASSA

A trajetria do centro de massade pende da velocidade inicial e daace lerao do centro de massa.

Como a acelerao do centro demassa imposta pela resultante dasforas externas (Teorema do Centrode Massa), conclumos que as forasinternas ao sistema no podem al te -rar a trajetria do centro de massa.

EXEMPLOS:Exemplo 1: Considere um atle -

ta saltando do trampolim de umapiscina. Desprezando-se o efeito doar, aps se desligar do trampolim, oatleta fica sob ao exclusiva da forade gravi dade, que determina para oseu centro de massa uma trajetriaparablica. Se o atleta reali zar umas rie de pirue tas e acroba cias, estasno alteraro a traje tria do seu cen -tro de massa, pois es taro ligadas aforas internas mus cu la res.

Exemplo 2: Considere uma gra -nada lanada obliquamente da Ter ra.Des prezando-se o efeito do ar, a forare sultante externa na granada o seupe so, determinando para o seu centrode massa uma trajetria pa rablica.Se a gra nada explodir em seu trajeto,en quanto nenhum dos frag mentosatin gir o cho, o centro de massa dosfragmentos continuar descrevendo ames ma trajetria pa ra blica descritapelo centro de mas sa da granada an -tes da ex ploso. Isso se justifica lem -brando-se de que as foras ligadas explo so so foras inter nas que nopo dem modificar a trajetria do cen -tro de massa.

m1x1 + m2x2 + + mnxnxC = m1 + m2 + + mn

m1y1 + m2y2 + + mnynyC = m1 + m2 + + mn

m1z1 + m2z2 + + mnznzC = m1 + m2 + + mn

m1V1

+ m2V2

+ + mnVn

V

CM = m1 + m2 + + mn

Qsistema = Msistema

VCM

Qsistema = cte.

a) Qsistema =

0 CM em repouso

b) Qsistema

0 CM em MRU

m1a1 + m2a2 + +mnanaCM = m1 + m2 + + mn

Rexterna = Msistema

aCM

Teorema do Centro de Mas sa:Para obtermos a aceleraodo centro de massa de um sis -tema, devemos imaginar todaa massa do sistema con cen -trada no seu centro de mas sae a aplicada a resul tante dasforas externas que atuam nosistema.

213

1. FASES DE UMA COLISO

q Fase de deformaoA fase de deformao comea quando os corpos

entram em con ta to e termina quando suas velocida destornam-se iguais.

Na fase de deformao, a ener gia mecnica dosistema pode-se trans formar em outras formas de ener -gia:

(1) energia potencial els ti ca: li ga da sdeformaes els ticas.

(2) energia trmica: provo can do aquecimentonos corpos que co li dem.

(3) energia sonora: produ zin do barulhodurante a coliso.

(4) trabalho: usado para pro duzir deformaespermanentes.

q Fase de restituioA fase de restituio tem incio quando as

velocidades dos corpos se igualam e termina com asepa ra o dos corpos.

MDULOS 54 e 55 Colises


Durante a fase de restituio, de -sa pa recem as deformaes elsti cas,e a energia potencial elstica, arma ze -na da durante a deformao, re trans -for mada em energia cintica, po dendohaver, ainda, mais pro du o de ener -gia trmica e sonora.

2. COEFICIENTE DERESTITUIO

Considere uma coliso unidimen -

sional entre duas partculas, isto , an -tes e aps a coliso as partculas sse po dem mover ao longo de umames ma reta.

A velocidade relativa entre os cor -pos, antes da coliso, chamada ve -lo cidade de aproximao, e suainten sidade dada por:

A velocidade relativa entre os cor - pos, aps a coliso, chamada velo -cidade de afastamento, e suainten sidade dada por:

O coeficiente de restituio umnmero (E) que mede a magnitudeda fase de restituio e definido pe -la re lao:

NOTASNota 1: O coeficiente de res titui -

o adimensional, isto , no temuni dades.

Nota 2: Em nossos estudos, ocoeficiente de restituio varia nointer valo fechado de 0 a 1:

3. TIPOS DE COLISO

q Coliso elsticaQuando E = 1, teremos uma CO -

LISO PERFEITAMENTE ELS -TI CA ou simplesmente COLISOELS TICA.

Na coliso elstica, no h dissi -pa o de energia mecnica.

Na fase de deformao, a ener giacintica se transforma exclusiva menteem energia potencial elstica e, nafase de restituio, a energia po -tencial els tica se retransforma total -mente em ener gia cintica.

No fim da fase de deformao, aener gia cintica mnima (podendoser zero ou no) e a energia elstica mxi ma.

q Coliso inelsticaQuando 0 E < 1, a coliso di -

ta COLISO INELSTICA, e po de,ainda, ser subdividida em dois tipos:

a) 0 < E < 1: a coliso cha ma daPARCIALMENTE ELS TI CA ouPARCIALMENTE INELS TI CA.

Nesse caso, existem as duas fa -ses da coliso (deformao e restitui -o), os corpos se separam, pormh dissipao de energia mecnica.A porcen tagem de energia mecnicadis si pada depende do valor do coefi -ciente de res tituio.

b) E = 0: a coliso chamadaPERFEITAMENTE INELSTICA.

Nesse caso, no h fase de resti -tuio e os corpos permanecem uni -dos aps a coliso. Corresponde aocaso em que h maior dissipao deenergia mecnica.

O termo inelstica pode sersubs ti tudo por anelstica.

4. CONSERVAO DAQUANTIDADE DEMOVIMENTO

Em qualquer dos modelos cita dosde coliso, os corpos que co li dem cons - tituem um sistema iso lado, pois, noato da coliso, des pre zamos as forasexternas em comparao com as forasinternas ligadas coli so.

O fato de os corpos constiturem umsistema isolado implica a conserva oda quantidade de movimento total dosistema.

5. PROBLEMAS-MODELO

q Coliso unidimensional

Equaes:(1) Qf = Qi

(I)

Vaf(2) E = Vap

(II)

Vap = VA VB

Vaf = VB VA

VafE = Vap

0 E 1

E prximo de 1 pouca dissipaoE prximo de 0 muita dissipao

E = 1

0 E 10 < E < 1

E = 00 E < 1

NAS COLISES, H CON SER -VAO DA QUANTIDA DE DEMOVIMENTO TOTAL DO SIS -TEMA CONSTITU DO PELOSCORPOS QUE CO LIDEM.

mAVA + mBVB = mAVA + mBVB

FASE DEDEFORMAO

FIM DADEFORMAO

FASE DERESTITUIO

Ecin

Eelstica

Ecinmnimae

Eelsticamxima

Eelstica

Ecin

VB VA = E (VA VB)

214


As relaes (I) e (II) traduzem oequa cionamento do problema.

Um caso particular e importante aquele em que E = 1 e mA = mB.

Em (I):

mVA + mVB = mVA + mVB

VA + VB = VA + VB

Em (II):VB VA = VA VB

Resolvendo-se o sistema deequa es:

t1: incio da coliso

t2: fim da deformao

t3: fim da coliso

q Coliso com o cho

H = altura mxima inicial

h = altura mxima aps a coliso

VB = mdulo da velocidade dechegada ao cho

VB = mdulo da velocidade desada do cho

Durante a queda livre de A paraB, temos:

EcinB = EpotA

m V2B = m g H 2

Durante a subida de B para C, te -mos:

EcinB = EpotC

m (VB)

2 = m g h 2

O coeficiente de restituio na co -li so dado por:

Vaf VBE = = Vap VB

A altura atingida aps n colisessucessivas calculada como se se -gue.

h1 = E2H

h2 = E2h1 = E2.E2H = E4H

h3 = E2h2 = E2.E4H = E6H

Genericamente:

q Pndulo balstico usado para se obter a veloci da -

de de um projtil disparado contra umbloco suspenso, de modo a formarum pndulo.

No ato da coliso (perfeitamenteinels ti ca), temos:

mV0(M + m)V = mV0 V = (1)M + m

Durante a elevao do sistema,des prezando-se o efeito do ar, temos:

M + m (V)2 = (M + m) g h

2

V = 2 g h (2)

Comparando-se (1) e (2), vem:

mV0 = 2 g h M + m

EM UMA COLISO UNIDI MEN - SIONAL, ELSTICA, EN TREDOIS CORPOS DE MAS SASIGUAIS, H TROCA DE VELO -CIDADES ENTRE OS COR POS.

VB = 2 g H

VB = 2 g h

hE = H

h = H E = 1 coliso els -tica

0 < h < H 0 < E < 1 coli -so parcialmente elstica

h = 0 E = 0 colisoperfeitamente inelstica

hn = E2nH

M + mV0=()2 g hm

VA = VB

VB = VA

215


216

MDULO 56 Leis de Kepler

1. LEIS DE KEPLER (1571-1630)

As Leis de Kepler descrevem os mo vimentos dosplanetas em torno do Sol.

q 1.a Lei de Kepler ou Lei das rbitas

a)O que uma elipse?A elipse uma curva que cor res ponde ao lugar

geomtrico dos pontos de um plano, cujas distn cias, adois pontos fixos do plano, tm soma cons tante.

Os pontos fixos so chamados de focos da elipse.

Para qualquer ponto P da elipse, temos:

A distncia entre os pontos A e A (ver figura) amedida do eixo maior da elipse.

Sendo a a medida do semieixo maior e f a medidada semidistncia fo cal, define-se excentricidade daelip se como sendo o nmero E, dado por:

Quando E = 0, a elipse dege ne ra em umacircunferncia (os pontos F1 e F2 coincidem com 0).

Quanto maior o valor de E, mais alon gada a elipse.Quando E = 1, a elipse degene ra em um

segmento de reta.

b)Enunciado da 1.a Lei de Kepler

As rbitas descritas pelos planetas emtorno do Sol so elipses, com o Sol localizadoem um dos focos.

A tabela a seguir mostra que apenas Mercrio des -creve elip se alongada (maior excentrici da de); os demaisplanetas descre vem elip ses muito prximas de cir cun -fern cias (ex cen tricidade muito pe quena).

Cumpre ressaltar que, teorica mente, a rbita deum planeta em torno de uma estrela pode ser circular,mas a rbita elptica muito mais provvel.

q 2.a Lei de Kepler ou Lei das reasa) Raio vetor de um planeta

Para estudarmos o movimento de um planeta, emtorno do Sol, to ma mos um vetor com origem no cen trodo Sol e extremidade no cen tro do planeta. Tal vetor chamado de RAIO VE TOR ou VETOR PO SI O dopla ne ta.

A 2.a Lei de Kepler vai referir-se rea varrida peloraio vetor de um pla neta, durante um certo intervalo detempo.

Admitamos que quando o pla ne ta se deslocou de Apara B (ver fi gu ra) em um intervalo de tempo t1, o seuraio vetor varreu uma rea A1 e quando o planeta sedeslocou de C para D em um intervalo de tempo t2, oseu raio vetor varreu uma rea A2.

b)Enunciados da 2.a Lei de Kepler

1.o enunciadoO raio vetor que liga um pla neta ao Sol varre

reas iguais em intervalos de tempo iguais.

d1 + d2 = k (constante)

0 < E < 1f

E = a

Planeta Excentricidade

Mercrio 0,206

Vnus 0,007

Terra 0,017

Marte 0,093

Jpiter 0,048

Saturno 0,056

Urano 0,047

Netuno 0,009


Isso significa que:

2.o enunciadoA rea varrida pelo raio ve tor de um planeta

proporcio nal ao intervalo de tempo gas to.

Isso significa que:

k = constante de proporcionalida de, que denominada velocidade areo lar do planeta.

3.o enunciadoA velocidade areolar (razo entre a rea varrida

pelo raio vetor e o intervalo de tempo gasto) de cadapla ne ta cons tante.

Nota: a velocidade areolar varia de um planeta paraoutro, aumentan do com a distncia mdia do planeta aoSol, isto , mnima para Mer crio e mximapara Pluto.

c)Consequncias da 2.a Lei de Kepler

O fato de a velocidade areolar de um planeta serconstante implica que a velocidade de translao(ra zo en tre a distncia percorrida e o in ter valo de tempogasto) seja va ri vel.

De fato, a igualdade das reas A1 e A2 (ver figura

anterior) implica que a me dida do arco AB seja maior

que a do arco CD e, como o intervalo de tempo o

mesmo, conclumos que a velocidade de translao em

AB maior do que em CD.

A1 = A2 med(AB) > med(CD)

Isso significa que medida que o planeta vaiaproximando-se do Sol em sua rbita elptica, a sua velo -ci dade de translao vai aumentando. Isso se tor naevidente se obser var mos que com a aproximao do Sol,o raio vetor vai di mi nuindo, e para varrer a mesma rea,o pla neta deve mover-se mais ra pidamente.

A velocidade de translao ser mxima no pontomais prximo do Sol, chamado perilio, e ser mnimano ponto mais afastado do Sol, chamado aflio.

Verifica-se, portanto, que o movi mento de translaodo planeta no uniforme, sendo sucessiva mente ace -le rado (do aflio para o perilio) e re tardado (do periliopara o aflio).

d)Velocidade escalar mdia de translao

A velocidade escalar mdia de translao de umplaneta funo de crescente da distncia mdia dopla neta ao Sol.

O planeta mais veloz Mercrio (pa ra os gregos erao deus mensa geiro: o carteiro do Olimpo), com velo -cidade escalar mdia de valor 50km/s, e o mais lento o planeta-ano Pluto, com ve locidade escalar mdia devalor 5km/s. A ve lo cidade escalar mdia da Terra tem va -lor aproximado de 30km/s.

Assumindo-se as rbitas como cir cu lares, a velo -cidade escalar m dia tem valor in versamente pro por -cional raiz quadrada do raio de r bita:

Por exemplo, o raio de rbita de Pluto aproximadamente 100 vezes maior que o de Mercrio e,portanto, a velocidade escalar mdia de Mer c rio temvalor 10 vezes maior que a de Pluto.

q 3.a Lei de Kepler ou Lei dos Perodos

a)Raio mdio de uma rbi ta elptica

Seja dmx a distncia mxima do planeta ao Sol edmn a distncia mnima do planeta ao Sol.

Define-se raio mdio da rbita elp tica como sendo amdia aritm tica en tre as distncias do perilio e doaflio at o Sol:

Observe que como dmn + dmx a medida do eixomaior da elipse (AA), o raio mdio coincide com osemieixo maior da elipse.

Raio mdio (R) = semieixo maior (a)

O MOVIMENTO DE TRANS LAO SOMENTESERIA UNI FORME SE A RBITA DO PLA NETAFOSSE CIRCULAR.

kVm =

R

VMRp = 100RM Vp = 10VAB > VCD

A = k t

t1 = t2 A1 = A2

dmn + dmxR = 2

dmn + dmxR = a = 2

217


b)Perodo de translao ou ano de umplaneta

Define-se perodo de translao (ou perodo derevoluo ou ano) de um planeta como sendo o intervalode tempo (T) para dar uma volta completa em torno doSol.

c)Enunciado da 3.a Lei de Kepler

Para todos os planetas do Sistema Solar, constante a ra zo entre o cubo do raio m dioda rbita e o quadrado do perodo detranslao.

Para dois planetas A e B, temos:

ou

Demonstra-se que a constante de proporcionalidadeda 3.a Lei de Kepler dada por:

, em que:

G = constante de gravitao uni versal;M = massa do Sol.

NOTASNota 1: A rigor, a expresso da 3.a Lei de Kepler :

R3 G(M + m) = , em que m a massa do planeta.T2 42

Porm, como M >> m, desprezamos m em com -parao com M e chegamos equa o apre sen ta da.

Nota 2: A 3.a Lei de Kepler mostra que quanto maisprximo do Sol (me nor R), menor o perodo de trans -lao do planeta. medida que nos afastamos do Sol, avelocidade es ca lar mdia do planeta vai dimi nuin do e aextenso de sua rbita vai aumen tando, o que implicaum pero do de translao crescente.

Define-se unidade astron mi ca (ua) como sendoa distncia m dia da Terra ao Sol (1ua = 1,5 . 1011m).

A tabela a seguir representa a va riao do perodocom a distncia m dia ao Sol, medida em ua.

Nota 3: A velocidade areolar, a velo cidade escalarmdia de trans lao e o perodo de translao sofunes de rbita, isto , s depen dem da massa do Sole do raio mdio da r bi ta, e no dependem das ca rac te -rsticas do planeta ou corpo celeste que esteja gra -vitando.

Isso significa que, se um cometa gra vitar em tornodo Sol, na mesma r bi ta da Terra, ele vai ter a mesmavelo cidade areolar da Terra, a mes ma velo cidade escalarmdia de trans lao (30km/s) e o mesmo perodo detrans la o (1 ano).

Nota 4: As trs Leis de Kepler no valem apenaspara planetas do nosso sistema solar; elas valem paracorpos que gravitam em torno de uma grande massacentral: planetas em tor no de qualquer estrela, sat litesnaturais ou artificiais em torno de um planeta, corposcelestes em torno da Lua etc.

Nota 5: Em se tratando de sa t lites da Terra, importante salientar que:

a) a rbita pode ser circular ou elptica.b) o ponto mais prximo da Terra chamado de

perigeu e o mais afas tado chamado de apogeu.c) a velocidade areolar, a veloci dade escalar mdia

de translao e o perodo de translao s depen dem damassa da Terra e do raio mdio da rbita; no dependemda massa ou de ou tras ca ractersticas do satlite.

d) a velocidade escalar mdia de translao da Lua da ordem de 1,0km/s, do satlite estacionrio daordem de 3,0km/s e do satlite rasante 8,0km/s (semefeito do ar).

R3 = constanteT2

RA TA()3= ()2RB TBR3A RB

3

= TA

2 TB2

R3 G M = T2 4 2

PlanetaDistncia

mdia ao Solem ua

Perodo emanos terrestres

Mercrio 0,39 0,24

Vnus 0,72 0,61

Terra 1,0 1,0

Marte 1,5 1,9

Jpiter 5,2 12

Saturno 9,5 29

Urano 19 84

Netuno 30 165

218


219

1. ENUNCIADO DA LEI DE NEWTON

Apoiado nos estudos de Copr ni co (1473-1543),Galileu (1564-1642) e Ke pler (1571-1630), Isaac Newtonapre sen tou a Lei da Gravita o Uni ver sal.

Entre dois corpos quaisquer, pe lo simples fato deterem massa, existe uma fora de atrao, deno minadafor a gravitacional.

A medida da fora gravitacional traduzida naapresentao da lei:

A constante de proporciona lida de G denominadaconstante de gra vi tao universal ou constante deGauss, e seu valor, obtido por Caven dish, :

G uma constante universal que no depende doscorpos que se atraem, da distncia ou do meio in ter postoentre os corpos.

Observe que a fora gravita cio nal varia com adistncia, da mesma forma que a fora eletrosttica, po -rm exis tem diferenas marcantes:

(1) a fora eletrosttica pode ser de atrao ou derepulso, mas a fora gravitacional sempre de atra o;

(2) a fora eletrosttica depende do meio interpostoentre os corpos; a fora gravitacional no depende domeio.

2. VELOCIDADE ORBITAL

Consideremos um satlite em rbita circular de raior em torno do centro da Terra.

O satlite vai descrever movi men to circular uniformee a fora gra vita cional aplicada pela Terra faz o papel deresultante centrpeta:

=

Para um satlite rasante (junto su perfcie terrestre),desprezando-se o efei to do ar, temos:

m g0 =

g0 = mdulo da acelerao da gra vi da de nas

proximidades da Terra = 10m/s2.

R = raio da Terra = 6,4 . 106m

V0 = 10 . 6,4 . 106 m/s

A velocidade do satlite rasante cor res ponde velocidade de lana mento horizontal de um corpo paratrans for m-lo em um satlite da Terra e chamada deVELOCIDADE CS MI CA PRI MEIRA.

3. VARIAO DA ACELERAO DA GRAVIDADE COM A ALTITUDE

FG = Fcp

G M m

r2mV2

rGM

V =r

FG = Fcp

mV02

R V0 = g0 . R

m kmV0 = 8,0 . 10

3 = 8,0 s s

A fora gravitacional en tre dois pontosmateriais tem in ten sidade direta men te pro - por cional ao produto de suas massas e in -versa men te pro porcional ao quadra do dadis tncia que os separa.

G M mF =

d2

G = 6,7 . 1011unidades do S.I.

MDULO 57 Lei da Gravitao Universal


Para um ponto material de massa m colocado emum ponto A, a uma altitude h, temos:

mgA =

Para h = 0, temos

Portanto, a gravidade na super fcie de um planeta sdepende da massa do planeta (diretamente pro porcional massa) e do raio do pla neta (inver sa mente proporcionalao qua drado do raio). No considera mos os efeitosligados rotao do planeta.

G M m(R + h)2

GMgA = (R + h)2

GMg0 = R2

PA = FG

220

1. MATRIA E ANTIMATRIA

Toda partcula (matria) tem umacorrespondente antipartcula (an -timatria).

A partcula e a antipartcula tmmassas iguais e di fe rem em relao aalguma propriedade. Se a par t cula ea antipartcula tiverem cargas el -tricas, ento estas cargas tero m -dulos iguais e sinais contrrios.

Assim: o antieltron tem a mes -ma massa do eltron e carga positivae = 1,6 . 1019C; o antiprton tem amesma massa do prton e carganegativa e = 1,6 . 1019C.

Quando a partcula encontra suaantipartcula, ocorre um processocha mado aniquilamento e toda amas sa m (partcula + antipartcula) transformada em energia E na formade radiao eletromagntica, obede -cendo equao de Einstein:

c = 3,0 . 108 m/s o mdulo davelocidade com que a onda ele tro -magntica se propaga no vcuo.

2. BURACO NEGRO

Admitamos que a Terra no te nhaatmosfera e des prezemos os efeitosde sua rotao.

Se a partir da superfcie ter res trelanarmos ver ti cal mente para ci mauma pedra, com velocidade de m -dulo V0, esta pedra voltar a cair naTerra?

A resposta correta : depende dovalor de V0.

Se V0 11,2km/s (denominadavelocidade de escape ou velocidadecsmica segunda), a pedra con se -guir escapar do campo gravita cio nal

criado pela Terra e no mais re tornar sua superfcie.

Esta velocidade de escape, nocaso de um corpo celeste esfrico deraio R e massa M, ignorando-se apresena de atmosfera e os efeitos derotao, calculada pela expres so:

em que G = constante de gravitaouniver sal.

Se VE for maior que 3,0 . 108 m/s

(mdulo da velocidade da luz novcuo), nem mesmo a luz conseguirescapar do campo gravitacionalcriado pelo corpo celeste.

Buraco Negro um corpo ce -leste ou uma regio do espao onde aconcentrao de massa to gran de,o campo gravitacional to intenso,que nada, nem mesmo a luz,consegue escapar de seu cam pogravitacional.

Como o buraco negro noemite luz, ele no pode ser visto e suapresena s pode ser detectada peloefeito gra vitacional que ele provocaem suas redondezas, capaz mesmode desviar a trajetria da luz.

3. BIG BANG

A teoria do Big Bang (nomepejorativo dado por Fred Hoyle) pro -cura explicar a origem e a evo luodo Universo.

De acordo com esta teoria, h13,7 . 109 anos (13,7 bilhes de anos)toda energia e massa que hojeexistem no Universo estavam ar -mazenadas em uma pe quena esferade menos de 1cm de dimetro (que

se convencionou chamar de ovocsmico) a uma tem peratura incri -vel mente alta.

Num dado instante, esta energiacomeou a se ex pan dir rapidamentee a temperatura comeou a baixar.

A primeira consequncia destaexpanso foi a trans formao deener gia em massa (de acordo com aequao E = mc2), formando-se asprimeiras par t cu las e antipartculas:quarks e antiquarks.

Em seguida, quarks e antiquarkscomearam a se aniquilar, gerandoenergia na forma de radiaes ele tro -magnticas (ftons), sempre obe de -cendo equao de Einstein (E = mc2).

Porm, a quantidade de quarksera muito maior que a de antiquarks eaps o processo de aniquilamentosobra ram quarks.

Em seguida, os quarks comeama se juntar para for marem prtons enutrons. Trs tipos de quarks (up,up, down) formam os prtons e ou trostrs tipos de quarks (up, down, down)formam os nutrons e a fora respon -svel por estas fuses de quarks afora nuclear for te.

Quando o Universo tinha umaidade de 1s (106s), a fuso dequarks foi concluda e os quarksdesapareceram.

Nesse instante, o Universo for -mado por prtons, nutrons e radia -o eletromagntica na forma deftons.

Em seguida, por meio da foranuclear fraca, o nutron emite umeltron e um neutrino (ou antineu trino)e se transforma em um prton. Mas oprton tambm capaz de capturarum eltron e um neutrino (ou anti -neutrino) e se transforma em umnutron.

E = mc2

2 G MVE = R

MDULO 58 Origem e Evoluo do Universo


Quando o Universo tinha uma idade de 1s, a quedade temperatura fez com que o prton no consiguissemais capturar o eltron e o neutrino (ou anti neutrino) eno consiguisse mais se transformar em nutron. Porm,o nutron con tinuava transformando-se em pr ton. Essefato tem duas im plicaes: a presen a de eltrons eneutrinos (ou an tineutrinos) no Universo e um n meromuito maior de prtons do que de nutrons, naproporo de quatro prtons para cada nutron.

Quando o Universo tinha idade de 10s, os prtons enutrons comearam a se juntar, por meio da foranuclear forte, para formarem os ncleos atmicos: o prton sozinho o ncleo de hidrognio. o prton unido a um nutron o ncleo do

deutrio, que um istopo do hidrognio. o prton unido a dois nutrons o ncleo do trtio,

que outro istopo do hidrognio. dois prtons unidos a dois nu trons o ncleo do

hlio (tam bm chamado de partcula ), que omais estvel dos ncleos formados.

trs prtons unidos a trs nu trons o ncleo doltio.Quando o Universo tinha a idade de 3 minutos, as

fuses terminam e o Universo tinha aproximadamente75% de ncleos de hidrognio, quase 25% de ncleosde hlio e quanti dades n fimas dos demais ncleos.

Nessa poca, o Universo era con siderado opacoporque as radiaes eletromagnticas no conseguiamex pandir-se por estarem confinadas por uma espcie debarreira formada por eltrons, neutrinos e pelos n cleosatmicos.

Quando o Universo tinha uma idade aproximada de380 000 anos, a temperatura j era suficientemente baixa(6000K) para que, por meio da fora ele tro -magntica, os n cleos comeassem a capturar os el -trons para formarem os primeiros tomos. Com isto, abarreira que con finava a radia o eletromag nticadesapa receu e o Universo se tornou trans pa rente e aradiao comeou a se expandir e preencher o Universoat hoje, sendo chamada de ra dia o csmica defundo, com uma temperatura atual de 2,7K e compri -mento de onda da ordem de 1mm.

Quando o Universo tinha uma ida de aproximada de200 milhes de anos, pela ao da fora gravita -cional, comearam a se formar as ga lxias.

4. AS EVIDNCIAS DO BIG BANG

q Lei de HubbleEm 1929, o astrnomo Edwin Powell Hubble, anali -

san do a luz pro veniente das estrelas, conseguiu mos trarque o Universo estava em expanso, e que portanto, emum pas sado remoto, deveria estar con finado no ovocsmico.

A descoberta de Hubble se baseou no chamadoEfeito Doppler-Fizeau, que afirma que quando uma fontede ondas se aproxima ou se afasta do observador, huma va riao aparente na frequncia da on da, isto , afrequncia da onda emi tida diferente da frequncia

cap tada pelo observador.O Efeito Doppler torna-se evi dente para o som:

quando uma am bulncia com a sirene ligada se apro -xima de ns, o seu som torna-se mais agudo (frequnciamaior) e quando se afasta, o som torna-se mais grave(frequncia menor).

Da mesma forma, quando uma estrela se afasta daTerra, o espectro de sua radiao se desloca para o ladoda cor vermelha, que a de menor frequncia. Essedesvio para o vermelho verificado por Hubble (red shift)foi a evidncia de que as es trelas se afastavam da Terrae por tanto o Universo estava em expan so.

Usando a equao do Efeito Doppler, Hubble con -seguiu medir a velocidade de afastamento V das es trelase pelo brilho delas conseguiu ob ter a distncia d at ns,verifi can do que V e d eram proporcionais, o que traduza chamada Lei de Hubble:

H = constante de Hubble, cujo valor estimado entre19 . 1019Hz e 26 . 1019Hz.

q Radiao csmica de fundo

Em 1965, dois astrnomos norte-ame ricanos,Penzias e Wilson, des co briram acidentalmente a presen -a de uma radiao que parecia provir de todas asdirees e que man tinha sempre as mesmas carac -tersticas: comprimento de onda da or dem de 1mm etemperatura de 2,7K.

Esta radiao foi identificada co mo a radiao cs -mica de fundo pre vista pelo big bang e usualmentecitada como os ecos da criao do Universo. Cor -responde quele chu visco que observamos na tele visoquando o canal no est sintonizado.

Contudo, um problema foi levan tado: a radiao cs -mica de fundo no podia ser absolutamente unifor mecomo parecia de incio, pois ela deveria ser afetada pelapresena das galxias que preenchem o Universo. Seno se detectassem flu tuaes de com primento de ondae, portanto, de temperatura na ra diao csmica defundo, isto inviabilizaria a exis tncia de galxias e toda ateoria do big bang cairia por terra.

V = H d

A velocidade com que uma es trela se afastade nossa ga lxia pro porcional suadistncia at nos sa galxia.

221


Em 1992, um satlite de pes qui sas espaciais norte-ame -ri cano con se guiu detectar flutuaes na tempe ratura daradiao csmica de fundo da ordem de 30 milsimos deKelvin e com isto salvar a teoria do big bang.

Em 2003, outro satlite norte-ame ri ca no conseguiumedir flutua es ainda mais precisas, da ordem demilion simo de Kelvin, e permitiu estabelecer a idade doUniverso em 13,7 bilhes de anos com um desviomximo da ordem de 200 milhes de anos:

q Paradoxo de Olbers

O paradoxo de Olbers refere-se escurido da noite:como a noite escura se existem no Uni verso bi lhes ebilhes de estrelas enviando luz para ns?

Isto se explica pelo fato de que, como o Universo temuma idade fi nita (e da a comprovao do big bang), aluz da maior parte das es trelas no teve tempo suficientepara chegar at ns.

Se o Universo fosse eterno, isto , sempre tivesseexistido, a luz de todas as estrelas do Universo teriachegado at ns e a noite seria neces sariamente clara.

Idade do Universo = (13,7 0,2) . 109 anos

222

1. FTONS DE LUZ

Max Planck concluiu que a ener gia luminosa emi -tida de modo des contnuo, isto , agrupada em quan -ti dades bem definidas (pacotes de energia) que foramchamadas de ftons de energia.

Cada radiao eletromagntica definida por suafre quncia f, que, para a luz visvel, cresce do vermelhopara o violeta na sequncia em que as cores aparecemno arco-ris: vermelho alaranjado amarelo verde azul anil e violeta.

O quantum de energia, isto , a quantidade deenergia E, asso cia da a cada fton de luz, propor cional frequncia f da radiao:

h = constante de Planck = 6,62.1034J.s

Einstein comprovou que a ener gia luminosa tambmse propaga e absorvida de modo descontnuo, isto, atravs dos ftons de luz.

Assim, quando a luz se propaga no espao, aenergia luminosa no est presente em toda a regio var -rida pela luz, mas sim concen trada em pacotes deenergia, verda deiros gros de energia que so osftons de luz e correspondem aos quanta deenergia apresen tados por Planck.

2. EFEITO FOTOELTRICO

Quando determinado tipo de luz atinge asuperfcie de um metal, ob serva-se que ometal passa a emitir el trons. Esse fenmeno chamado de efeito fotoeltrico.

O efeito fotoeltrico foi explicado em 1905 porEinstein e lhe valeu o Prmio Nobel de Fsica.

Einstein props que, no efeito fo toeltrico, um fton inteiramente absorvido por um nico eltron em um ti -po de interao semelhante coliso entre duas part -culas.

Para que o eltron seja emitido, necessrio que aener gia transpor tada pelo fton de luz (E = h f) seja su -perior energia de ligao () entre o eltron e o ncleodo tomo.

A energia cintica com que o eltron abandona otomo a diferena entre a energia do fton e a energiade ligao a ser vencida.

Portanto, para que uma luz consi ga arrancar eltronsde um metal, ela deve ter uma frequncia adequadadada por:

h f >

Se fizermos um grfico da ener gia cintica do eltronemitido em funo da frequncia da luz inciden te, tere -mos:

Observe que, como cada eltron s pode absorverum nico fton, irrelevante para o valor da energiacintica a intensidade da luz inciden te, importandoapenas a frequncia (cor) dessa luz.

O aumento da intensidade da luz incidente faz comque aumente a quantidade de eltrons emitidos, mas noa energia cintica de cada um.

3. DUALIDADE ONDA-PARTCULA: LOUIS DE BROGLIE

O efeito fotoeltrico mostrou que a luz, embora tenhanatureza ondu latria, pode ter comportamento an logoao de uma partcula (partcula de energia, que o fton).

Ecin = h f

f >

h

E = h f

MDULO 59 Noes de Fsica Moderna


Este comportamento dual onda-partcula aplica-seno apenas para a luz, mas para todas as partculas.

Assim, para uma partcula em movimento,a intensidade da onda associada, num dadoponto, pro porcional proba bilidade de seencontrar a par t cula naquele ponto.

Um fton de luz monocromtica de frequncia f e

comprimento de onda = transporta energia E e

quantidade de movimento Q dados por:

Analogamente, a uma partcula em movimento, comquantidade de mo vimento Q e energia cintica E, asso -ciamos uma onda de frequncia f e comprimento de onda dados por:

Observe que se a partcula se move com velocidadecujo mdulo muito pequeno em comparao com c(3,0 . 108m/s), ento sua massa igual de repouso eQ = m0 V.

Porm, se o valor de V prximo de c, ento

em que re presenta a massa

da part cula quando est com velocidade de mdulo V.

4. PRINCPIO DA COMPLEMENTARIDADE DE BOHR

De acordo com o princpio da dua lidade onda-partcula, a luz ora se comporta como onda ora comopar tcula, dependendo do fenmeno es tudado, porm

nunca a luz tem si multaneamente os dois com -porta mentos. Esse fato chama do Prin c pio dacomplementa rida de de Bohr.

5. PRINCPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG

Consideremos uma partcula com velocidade V, cujaposio defi nida por uma coordenada x.

A Fsica Moderna ensina que no po demos especifi -car simultanea mente a posio e a velocidade (ou aquan tidade de movimento) da part cula de um modoexato. Es ta im possibilidade denominada Prin cpioda Incerte za.

Seja x a incerteza na medida da posio x dapartcula e Q a incerteza na medida da quantidade demo vimento Q da partcula.

Heisenberg mostrou que:

em que h a constante de Planck, cujo valor numrico muito pequeno (6,625 . 1034J . s).

O princpio da incer teza nada tem que ver comfalhas de nossos ins trumentos de medio ou com limi -taes de nossos mode los. A incer teza prevista irredutvel, mes mo usando-se perfeitos ins tru mentos demedio.

A restrio dada pelo Princpio da Incerteza no serefere preciso com que x ou Q podem ser medidos,mas sim ao produto das incertezas Q . x numa medidasimultnea de ambos. Quanto mais modificamos uma ex -perincia de modo a melho rar a preciso na medida deuma das duas grandezas (x ou Q), mais es taremosaumentando a incerteza com que medimos a outra.

O princpio da incerteza tambm pode ser formuladoem relao s incertezas na medida do instante (t) e daenergia (E) associados ao mo vimento de uma partculaelementar

As incertezas nas medidas esto ligadas sperturbaes introdu zi das pelos processos deobservao e medida como, por exemplo, a in te raoentre o fton de luz usado na observao e a partculaelementar em estudo. A interao entre o fton de luz ea partcula pode modificar a sua posio, a suaquantidade de movimento e a sua energia.

m0Q = . V

V 1 ()2cm0

V 1 ()2c

h(x) . (Q)

4

h(t) . (E)

4

c

f

E = h f

hQ =

Ef =

h

h =

Q

223


224

1. EQUAES DIMENSIONAIS

usual, na Mecnica, escolhermos como grandezasfundamentais: a mas sa (M), o comprimento (L) e o tempo (T).

Qualquer outra grandeza (G) da Me cnica pode serescrita em funo de M, L e T, elevados a expoentes ade -quados.

A expresso de G em funo de M, L e T chamada deequao dimen sional de G e os expoentes respectivos soas dimenses de G em relao a M, L e T.

[ G ] = MxLyTz

x = dimenso de G em relao massa M. y = dimenso de G em relao ao comprimento L. z = dimenso de G em relao ao tempo T.

Exemplos

a) Velocidade

s LV = [V] = = LT1 = M0LT1

t T

A velocidade tem dimenses 0, 1 e 1 em relao massa, com pri mento e tempo.

b) Acelerao

V LT1a = [a] = = LT2 = M0LT2

t T

A acelerao tem dimenses 0, 1 e 2 em relao massa, compri mento e tempo.

c)Fora

F = ma [ F ] = MLT2A fora tem dimenses 1, 1 e 2 em relao massa,

comprimento e tem po.

d)Energia

mV2E = E = M(LT1)2 = ML2T2

2

A energia tem dimenses 1, 2 e 2 em relao massa, comprimento e tempo.

2. HOMOGENEIDADE DAS EQUAES FSlCAS

Para que uma equao fsica pos sa ser verdadeira, necessrio que os dois membros da equao tenhamas mesmas dimenses. Em particular, se um dosmembros for constitudo por uma soma de par ce las,todas as par ce las devem ter as mesmas dimen ses.

Y = X [Y] = [X]

Y = X + Z + W [Y] = [X] = [Z] = [W]

3. PREVISO DE FRMULAS

A partir de experincias, um cien tis ta pode prever deque gran dezas fsi cas (A, B, C) deve depen der uma cer -ta grandeza G.

Por meio de uma anlise dimen sio nal, possvel aocientista deter minar os expoentes x, y e z com que asgran dezas A, B e C figuram na expresso de G.

G = kAxByCz

obtemos x, y e z

k uma constante numrica (adi mensional) que nopode ser obtida pe la anlise dimensional.

ExemploNo estudo da queda livre, o cien tis ta prev que o

tempo de queda de ve depender da massa do corpo (m),do mdulo da acelerao da gra vida de (g) e da alturade queda (H).

Isto posto, o cientista escreve a equa o:

tq = kmxgyHz

Impondo-se que os dois mem bros te nham a mesmaequao di mensio nal, podemos determinar os valoresde x, y e z:

[ tq ] = [ m ]x [ g ]y [ H ]z

M0L0T = Mx (LT2)y . Lz

M0L0T = Mx Ly + z T2y

Identificando-se as dimenses:

O fato de x = 0 indica que o tem po de queda nodepende da mas sa, cor ri gindo a hiptese inicial do cien tis -ta, que estava errada. (Veja a fora da an lise dimensional.)

A equao assume o aspecto:

tq = k g(1/2) H(1/2)

ou

Apenas o valor de k no pode ser obtido por anlisedimensional e sim por meio de um ensaio expe ri mentalou de alguma teoria fsica.

anlisedimensional

x = 0

y + z = 0 } 2y = 1

x = 0

1y =

2

1z =

2

Htq = k g

MDULO 60 Anlise Dimensional


225

FRENTE 2 ptica e Ondulatria

MDULO 25 Instrumentos de ptica

1. INTRODUO

Os instrumentos de ptica des tinam-se a melhoraras condies de viso dos objetos e podem ser classi f -i cados em duas categorias: de obser vao subjetiva ede projeo.

a) Instrumentos de obser va o subjetivaTais instrumentos fornecem, de um objeto real, uma

imagem final vir tual. Esses instrumentos podem ser dedois tipos:

1.o) Instrumentos de au men to: fornecem umaimagem am plia da em relao ao objeto.

Exemplos: lupa e microsc pio composto.2.o) Instrumentos de apro xi mao: permi tem a

viso dos ob je tos distantes sob ngulo visual maior, em -bora a imagem seja re du zi da em relao ao objeto.

Exemplos: lunetas e teles c pios.b) Instrumentos de proje oTais instrumentos fornecem, de um objeto real, uma

imagem final real que deve ser recebida em uma tela ou filme.Exemplos: projetor de "sli des" e mquina

foto grfica.

2. LUPA

constituda por uma nica lente convergente ou poruma associao de duas lentes justapostas. A dis tn ciafocal da ordem de centmetro.

De um objeto real colocado entre o focoobjeto e o centro p tico, a lupa conjuga umaima gem virtual, direita e am plia da.

3. MICROSCPIO COMPOSTO

constitudo por duas lentes (ou duas associaesde lentes justa pos tas) convergentes: a objetiva (dis -tncia focal da ordem de mil me tro) e a ocular (quefunciona co mo lupa).

O objeto real o colocado antes do foco objeto da objetiva(Fob). Esta conjuga uma imagem i1 real, am plia da e invertida.

A imagem i1 comporta-se como objeto real para aocular, a qual fun ciona como lupa.

A imagem final i2 virtual, in vertida e amplia -da.

Distncia entre a objetiva e a ocular:

i1Aumento da objetiva: Aob = o

i2Aumento da ocular: Aoc = i1

Aumento do microscpio: Ami2Am = o

i2 i1Am = . i1 o

4. LUNETA ASTRONMICA

constituda por duas lentes (ou duas associaesde lentes jus ta pos tas): a objetiva (distncia focal daordem de metro) e a ocular (que funciona como lupa).

De um objeto imprprio, a obje ti va conjuga umaimagem real i1, si tua da no plano focal imagem da obje ti -va. A imagem i1 comporta-se como obje to real para aocular, a qual fun cio na como lupa.

q Aumento angularSejam o ngulo visual do objeto imprprio, quan do

visto a olho nu, e o ngulo visual sob o qual vista aimagem final i2.

q Definio de aumento an gu lar, Ag

d = p'ob + poc

Am = Aoc . Aob

tg Ag =

tg


226

Sendo fob e foc as distncias fo cais da objetiva e daocular, quando a imagem final est focalizada no infinito,demonstra-se que:

ObservaoA diferena bsica entre as lu ne tas astronmicas e

os teles cpios que nestes ltimos utiliza-se comoobjetiva um espelho para blico cn ca vo, de grandedistncia focal.

fobAg =

foc

Luneta astronmica Distncia entre a objetiva e a ocular: d = fob + poc.

Microscpio composto


227

1. CONCEITO DE ONDA

Dizemos que um meio sofre umaperturbao quando qualquer umadas propriedades fsicas as socia dasa um de seus elementos de volume alterada.

Se a perturbao se estender aoutros elementos de volume do meio,originar-se- uma onda.

Dizemos, ento, que:

No exemplo acima, a pessoa dum solavanco na extremidade es quer -da da corda, produzindo uma on da quese propaga atravs da mes ma.

2. PROPRIEDADEFUNDAMENTAL DASONDAS

o caso, por exemplo, das on dasesquematizadas ao lado, que, ao atin -girem a rolha, fazem com que estaexecute um movimento de sobe-e-des -ce, sem que seja arras tada pa ra adireita.

3. NATUREZA DAS ONDAS

q Ondas mecnicasSo perturbaes mecnicas que

se propagam atravs das part culasde um meio material.

Exemplos Ondas numa corda, ondas na su -

perfcie da gua, ondas numa mo la, osom etc.

O som constitui-se de ondas me -cnicas que se podem propagar emmeios slidos, lquidos e gaso sos.

importante destacar que as on dasmecnicas no se propagam no vcuo.

Assim:

q Ondas eletromagnticasConstituem-se do conjunto de um

campo eltrico e um campo mag n ti -co, variveis e perpen diculares entresi, que se propagam no vcuo e tam -bm em alguns meios mate riais.

ExemplosOndas de rdio e TV, micro on das,

infravermelho, luz, ultravioleta, raios Xetc.

As radiaes eletromagnticaspro pagam-se no vcuo com a maiorvelocidade fisicamente concebvel:

Representao esquemtica de uma on -da eletromagntica.

Resumindo:

Os raios X tm grande utilizao na me -dicina como, por exemplo, no diag ns ticoe avaliao de fraturas s seas. Es sasradiaes se propagam atravs dosmsculos, mas so bloquea das pelosossos. Assim, utilizando-se cha pas sen -sveis aos raios X, possvel fazer umafoto de partes do corpo de uma pessoana qual ficam evi den cia dos os ossos comseus possveis problemas.

4. ONDAS QUANTO SDIREES DE VIBRAO EPROPAGAO

q Ondas longitudinaisA direo de vibrao coincide

com a de propagao.

Onda qualquer per tur ba -o que se propaga atra vsde um meio.

Uma onda transmite ener gia,sem propa ga o de ma t ria.

O som no se propaga nov cuo.

A luz onda eletro magn ti -ca que se propaga no v cuoe em al guns meios ma te - riais. Sua velocidade no v -cuo va le 3,0 . 108m/s.

c = 3,0 . 105km/s = 3,0 . 108m/s

MDULO 26Classificao das Ondas

e Velocidades do Som e da Luz


Na mola acima, a onda repre sen -ta da longitudinal, pois, enquanto apropagao ocorre da esquerda paraa direita, as partculas vibram ho ri zon -talmente, isto , na mesma dire o.

So tambm longitudinais as on -das sonoras nos meios fluidos (l qui -dos ou gasosos).

q Ondas transversaisA direo de vibrao per pen -

di cular de propagao.

Na corda acima, a onda repre sen -tada transversal, pois, enquan to apropagao ocorre da esquerda pa -ra a direita, as partculas vibram ver -ticalmente, isto , na direoper pen dicular.

So tambm transversais todasas radiaes eletromagnticas, in clu -sive a luz.

q Ondas mistasTm carter longitudinal e trans -

ver sal.

As ondas nas superfcies lqui dasso mistas.

5. ONDAS QUANTO FRENTE DE ONDA E DIMENSO

q A frente de onda umponto

ONDAS UNIDIMENSIONAIS

Uma onda se propagando ao lon -go de uma corda tem por frente deonda um ponto, o que significa queessa onda unidimensional.

q A frente de onda umalinha

ONDAS BIDIMENSIONAIS

Podemos observar na superfcieda gua ondas circulares ou retas. Emambos os casos, a frente de onda uma linha e, por isso, essas on dasso bidimensionais.

q A frente de onda uma superfcie

ONDAS TRIDIMENSIONAIS

As ondas luminosas emitidas, porexemplo, por um palito de fsforo ace - so propagam-se em todas as di re esem torno do palito. Isso mos tra que asfrentes de onda so su perfcies (nocaso, superfcies es f ricas) e, por is so,essas ondas so tridimensionais.

228


229

1. PERODO, FREQUNCIA, AMPLITUDE ECOMPRIMENTO DE ONDA

Suponhamos que um homem, se gurando uma dasextremidades de uma corda tensa, passe a movi men tarritmadamente sua mo para cima e para baixo.

Admitamos que o intervalo de tem po decorrido emum sobe e des ce da mo seja sempre constante e quea altura da posio mais alta da mo em relao posio mais baixa seja invarivel.

Esses movimentos cadenciados da mo do homemproduziro uma sucesso de ondas senoidais quepercorrero a corda com velocidade de intensidade V,conforme ilustra o esquema acima.

No caso do exemplo, o perodo da onda igual aointervalo de tempo gasto pela mo do homem para exe -cutar uma oscilao, isto , um sobe e desce completo.

Matematicamente:

Se n = 1 ciclo, teremos t = T. As sim:

Se a unidade de tempo for o segundo (s), decorrerque:

Recordemos que:

1kHz = 103Hz, 1MHz = 106Hz e 1GHz = 109Hz

Referindo-nos ao exemplo da cor da, podemos dizerque o com pri mento de onda a distncia entre duascristas ou entre dois vales consecutivos.

evidente que a distncia entre uma crista e um va leconsecutivos equi vale a meio comprimento de on da (/2).

2. RELAO FUNDAMENTAL DA ONDULATRIA

Geralmente, uma onda pro pa ga-se em movi mentouniforme, valendo a relao:

Recordando que durante um pe ro do (T) a per tur ba opercorre um comprimento de onda () e que a fre qun cia (f) o inverso do perodo, podemos escrever que:

Chama-se perodo (T) da on da o intervalo detempo necessrio para que um pontovibrante rea lize um ciclo completo.

Chama-se frequncia (f) da on da o nmero deciclos rea li za dos por um ponto vi brante numauni dade de tempo.

nf =

t

1 1f = ou T = T f

1unid (f) = = s1 = hertz (Hz)

s

Chama-se amplitude (A) da onda a distn -cia de uma crista ou um vale ao nvel deequilbrio.

Chama-se comprimento de onda () a dis -tncia per cor rida pela perturbao du ran -te um pe rodo.

sV =

t

V = = f

T

MDULO 27 Equao Fundamental da Ondulatria


230

1. REFLEXO

Na figura abaixo, est ilustrada a reflexo de um tremde ondas retas que incidem sobre uma superfcie pla na.

Alm das frentes de onda inci den te e refletida, des -ta cam-se:

Al = raio incidenteIB = raio refletidoN = reta normal i = ngulo de incidnciar = ngulo de reflexo

2. LEIS DA REFLEXO

1.a Lei: o raio incidente, a reta nor mal no ponto deincidncia e o raio re fle tido so coplanares (perten cen tesao mesmo plano).

2.a Lei: o ngulo de reflexo sem pre igual aongulo de inci dn cia.

3. PROPRIEDADES DA REFLEXO

P.1.

P.2.

q 1.o CASO: Reflexo com inver so de fase.Um pulso que se propaga ao lon go de uma corda

elstica reflete-se com inverso de fase depois de in cidirsobre uma parede de concreto.

Ocorre nas seguintes condies:Ondas mecnicas: a rigidez e a inrcia do meio

de destino so maiores que as do meio de origem.Ond as eletromagnticas: o meio de destino

mais refringente que o meio de origem.

q 2.o CASO: Reflexo sem inver so de fase.Um pulso que se propaga ao lon go de uma corda

elstica reflete-se sem inverso de fase depois de in cidirsobre uma argola de peso des prezvel que corre sematrito por uma haste vertical.

Ocorre nas seguintes condies:Ondas mecnicas: a rigidez e a inrcia do meio

de destino so me nores que as do meio de origem.Ondas eletromagnticas: o meio de destino

menos refrin gente que o meio de origem.

ObservaoEntenda-se por meio de des ti no aquele para on de

a on da iria se no hou ves se re fle xo.

4. REFLEXO DE UM PULSO CIRCULAR

Consideremos um pulso circular pro pagando-se nasuperfcie da gua de uma cuba de ondas.

Ao incidir sobre uma das bordas planas da cuba, opulso sofrer re fle xo, conforme ilustra a figura a se guir.

o fenmeno pelo qual uma on da retornaao meio de ori gem, aps incidncia em su -perfcie refletora.

r = i

Na reflexo, a fre qun cia, a velocidade depro pa ga o e o com pri men to de onda nose al te ram.

A fase da onda pode va riar ou no.

MDULO 28 Reflexo e Refrao de Ondas


Devemos observar que os pontos O e O, quecorrespondem respec tiva mente aos centros das frentesde onda incidente e refletida, so si m tri cos emrelao superfcie re fle to ra (borda da cuba).

5. REFRAO

Na figura seguinte, est ilustrada a refrao de um tremde ondas retas que passam de um meio (1) para outro (2).

i = ngulo de incidnciar = ngulo de refrao

6. PROPRIEDADES DA REFRAO

P.1.

Recordemos que as velocidades e os ndicesabsolutos de refrao so inversamente proporcionais:

P.2.

Meio (1): V1 = 1f

Meio (2): V2 = 2f

Portanto:

As velocidades de propagao e os comprimentosde onda so dire ta mente proporcionais.

Na figura seguinte, est repre sen tado o corte deuma cuba de on das, dotada de duas regies: regio1 profunda, e regio 2 rasa.

Ondas retas geradas na su per f cie da gua da cubarefratam-se da re gio 1 para a regio 2.

Ao passarem de (1) para (2), as on das tm suavelocidade de pro pagao e seu comprimento de ondare duzidos na mesma propor o, po rm a frequncia nasduas regies a mesma.

7. LEIS DA REFRAO

1.a LEI:

2.a LEI: Lei de Snell-Descartes

8. VELOCIDADE DE UM PULSO TRANSVERSALNUMA CORDA (OU MOLA) TENSA

Consideremos uma corda (ou mo la) de densidade linear subme ti da a uma fora de trao de inten si da de F.

Um pulso gerado na corda (ou mola) propaga-secom velocidade V, conforme ilustra o esquema.

Podemos relacionar V com F e , conforme aequao abaixo, conhe cida por frmula de Taylor.

Convm observar que a den si da de linear traduz amassa por uni da de de comprimento.

o fenmeno pelo qual uma onda passa deum meio pa ra outro diferente.

Na refrao, a veloci da de de propa -gao da onda sempre se al te ra.

V1 n2 = V2 n1

Na refrao, a fre qun cia da onda e afase no se alteram.

V1 1 = V2 2

O raio incidente, a re ta nor mal no ponto dein ci dncia e o raio re fra ta do so copla na res.

sen i n2 V1 1 = n2,1 = = = sen r n1 V2 2

FV =

m =

L

231


232

1. O FENMENO

Ocorre interferncia quando h su -per posio de ondas de mesma na tu -re za se propagando num mesmo meio.

2. INDEPENDNCIA DAPROPAGAOONDULATRIA

Pode ser verificado experi men tal -men te que, aps a interferncia (su - per po sio), cada onda segue suapro pagao como se nada tivesseocor rido; as ondas propa gam-se in -de pendentemente, apre sen tando asmes mas caractersticas depois deeventuais superposies.

3. TIPOS PARTICULARES DEINTERFERNCIA

q Interferncia construtiva(IC) ou reforoConsideremos uma corda els ti -

ca e no dispersiva, na qual se pro -pa gam dois pulsos de mesma lar gu raL, porm de amplitudes A1 e A2, res -pectivamente.

Supondo que os pulsos estejamem corcondncia de fase, po de -re mos observar as trs situa es ilus -tra das a seguir:

Observemos que no instante dasu perposio (interferncia), os pul -sos se reforam, gerando um pulsoresultante de amplitude A = A1 + A2.

Depois da superposio, en tre -tan to, cada pulso segue sua pro pa ga - o, mantendo suas carac te rs ti casiniciais.

q Interferncia destrutiva(ID) ou anulamento

Retomemos a corda e os pul sosreferidos anteriormente.

Supondo, agora, que os pul sosestejam em oposio de fase, po -deremos obser var as trs si tua esilustradas a seguir:

Observemos que, no instante dasuperposio (interferncia), os pul -sos se subtraem (anulamento), ge -ran do um pulso resultante deam pli tu de A = A2 A1 (A2 > A1).

Como no caso anterior, depois dasuperposio, cada pulso segue suapro pagao, mantendo suas carac te - rsticas iniciais.

4. CLCULO DA DEFASAGEM DE DUAS ONDAS NUM PONTO

Na situao esquematizada, F1 eF2 so fontes que emitem ondas de

frequncia f (perodo T = ) e com-primento de onda , que, depois de per correrem respectivamente as dis -tn cias x1 e x2, atingem o ponto P, on -de sofrem interferncia.

Ao atingirem o ponto P, as ondaspodem estar defasadas, sendo trsos principais fatores de defasagem:

(I) Defasagem inicial (0):uma fonte entra em opera o primei -ro que a outra.

(II) Defasagem por dife ren - a de percursos (1): as on dasde uma fonte per cor rem at o ponto Puma dis tn cia maior que a per cor ridapelas ondas da ou tra fonte.

(III)Defasagem por reflexescom inverso de fase (2):

n = nmero de reflexes cominverso de fase.

Clculo da defasagem totalem P:

ou

Para que no ponto P ocorra in ter -fe rncia construtiva (IC), a defasa -gem das ondas que l chegam deveser mltipla par de rad.

Para que no ponto P ocorra inter -fe rncia destrutiva (ID), a defasagemdas ondas que l chegam deve sermltipla mpar de rad.

1f

t0 = 2T

x1 = 2

2 = n

P = 0 + 1 + 2

t xP = 2 + 2 + n T

(IC) P = 2k

(ID) P = (2k + 1)

MDULO 29 Interferncia de Ondas


5. CONDIES PARTICULARES ESIMPLIFICADAS DE IC E ID NUM PONTO P

Consideremos duas fontes de on das coerentes (emconcordncia de fa se) enviando ondas de mesma na tu rezae mesma frequncia f a um pon to P situado no mesmo meiodas fontes.

Admitamos que essas ondas se propaguem at Psem sofrer refle xes com inverso de fase.

Sendo o comprimento de onda e x a diferena depercursos entre as ondas at o ponto P, so vlidas asseguintes condies:

Interferncia Construtiva (IC) em P:

(p = 0, 2, 4, )

Interferncia Destrutiva (ID) em P:

(i = 1, 3, 5, )

Notas(I) No caso de uma das ondas sofrer uma reflexo

com inverso de fase, as condies citadas acima inver -tem-se.

(II) Podemos dizer gene rica mente que a condio deIC ou ID pa ra duas ondas emitidas de fontes coerentes:

(N = 0, 1, 2, 3 )

x deve ser um mltiplo par de meio com -primento de on da.

x = p /2

x deve ser um mltiplo m par de meiocomprimen to de onda.

x = i /2

x = N

2

233

1. BATIMENTO

o fenmeno resultante da su per po sio de duasondas de me s ma direo, mesma amplitude e fre qun -cias prximas.

Consideremos os dois diapases es quematizadosabaixo; suas fre qun cias naturais de vibrao valem, res -pectivamente, f1 e f2, com f1 bem prxima de f2.

Percutindo-se os dois diapases si multaneamente ecom a mesma in ten sidade, as ondas sonoras emi ti daspor ambos interferiro, gerando um som resultante defrequncia cons tante, porm de in ten si da deoscilante entre mximos e m ni mos bem determinados.

Cada vez que a intensidade do som resultante passapor um m xi mo, dizemos que ocorreu um ba ti men to.

Na figura acima, est es que ma ti za da a onda resultanteda su per po si o dos sons dos diapases (1) e (2). Os ba -timentos esto indicados por (B).

q Clculo da frequncia dos batimentos (fb)

Para que os batimentos sejam per cebidos distinta -mente pelo ouvi do humano, fb no deve exceder 10Hz.

q Clculo da frequncia da onda resultante (fr)

2. RESSONNCIA

o fenmeno que ocorre quando um sistema recebeenergia perio di ca mente numa frequncia igual a uma desuas frequncias prprias de vibrao.

Na ilustrao abaixo, o garoto es t emitindo uma notamusical de fre qun cia igual a uma das fre qun cias pr priasde vibrao da lmina de cristal.

Neste caso, a lmina entra em res sonncia com oagente ex ci ta dor (onda sonora), passando a vibrar comamplitude crescente.

fb = | f2 f1 |

f1 + f2fr = 2

MDULO 30 Fenmenos Ondulatrios


Dependendo da durao da res so nncia e daintensidade do som emi tido pelo garoto, a lmina de cris -tal, cuja espessura relativamente pe quena, poderquebrar-se.

3. POLARIZAO

o fenmeno que consiste em to dos os pontosatingidos por uma onda vibrarem numa mesma di re -o e num mesmo plano.

Ondas eletromagnticas, como a luz, podem sofrerpolarizao. O som no ar, entretanto, por ser uma ondalon gitudinal, no pode ser polarizado.

4. DIFRAO

o fenmeno que consiste em uma onda contornarobstculos.

Isso ocorre quando a dimenso dos obstculos oufendas menor ou da ordem do comprimento de onda.

Na ilustrao anterior, a lar gura da fen da (d) menorque o com primen to de onda (). Nesse ca so, a onda di -fra ta-se inten sa men te, trans pon do a fen da e atingin do are gio direita do ante paro.

5. EXPLICAO DA DIFRAO: PRINCPIO DE HUYGENS

Cada ponto de uma frente de on da comporta-secomo uma nova fon te de ondas elementares, que se pro -pagam para alm da regio j atin gi da pela onda com amesma fre qun cia da onda original.

6. DIFRAO EM FENDA DUPLA:EXPERINCIA DE YOUNG

Thomas Young (1773-1829) fsico e mdicoingls props uma ex perincia que deu forte susten -tao Teoria Ondulatria da Luz. Por meio do seuexperimento, foi pos svel verificar que a luz, a exem plodo que ocorre com outros tipos de ondas, tambm exibeos fen menos de difrao e interferncia.

Na situao esquematizada abai xo, L uma fonte deluz mono cro m tica, A1, A2 e A3 so anteparos opacosparalelos entre si e F0, F1 e F2 so fendas estreitas delargura da or dem de milmetros. A figura repre senta oaparato experimental visto de cima.

A luz emitida por L difrata-se na fen da F0, equidis tantede F1e F2, e, em seguida, nas fendas F1 e F2. Es tas duasfendas comportam-se como fontes coerentes de luz ( queoperam em concordncia de fase). A luz proveniente de F1e F2 sofre ento in ter ferncia na regio entre A2 e A3, fa -zendo com que no anteparo A3 apa re am faixas clarasintercaladas com faixas escuras. Essas faixas, deno mi -nadas franjas de interfern cia, per mitem localizar em A3os lo cais onde ocor re interferncia cons trutiva (fran jasclaras) e os locais on de ocorre in ter ferncia destrutiva(fran jas escu ras). No ponto O, equi distante de F1 e F2,ocorre interfe rn cia construtiva e nes sa regio situa-se achamada fran ja central a mais brilhante de to das.

Apenas as ondas trans ver sais podem serpolarizadas.

234


Sendo o comprimento de onda da luz utilizada e xa diferena de percursos das luzes emitidas de F1 e F2 atatingirem o anteparo A3, tem-se:

(N = 0, 1, 2, 3, 4)

A figura abaixo mostra uma vista frontal do anteparoA3. Nesta figura, foram representadas algumas franjasde interferncia com os respectivos va lores assumidospor N.

Vista frontal do anteparo A3.

7. DETERMINAO DO COMPRIMENTO DEONDA DA LUZ POR MEIO DAEXPERINCIA DE YOUNG

No esquema a seguir, y a dis tn cia de umadeterminada franja (cla ra ou escura) franja central O, d a distncia entre as fendas F1 e F2 e D a distnciaentre os anteparos A2 e A3. Deve-se considerar D >> d.

No tringulo retngulo PQO:

tg = a

No tringulo aproxima da mente retngu loF1F2R:

sen =

Como o ngulo muito peque no, permitida aaproximao:

tg sen = b

Comparando-se a e b, vem:

= c

Sendo a diferena de percursos x dada por

x = N , de c, segue-se que

N =

Obtendo-se o comprimento de onda

(N = 1, 2, 3)

Os comprimentos y, d e D podem ser medidos comgrande preciso, o que possibilita excelentes valores para (e tambm para a frequncia f da luz, j que V = f, comV 3,0 . 108m/s).

yD

xd

xd

yD

xd

2

yD

2d

2 d y =

ND

x = N

2

235


236

FRENTE 3 Eletricidade, Mecnica e Ondulatria

1. INDUO TOTAL

Consideremos dois condutoreseltricos:

A = condutor eletrizado com car -ga +Q

B = condutor neutro

Ocorre induo total quando, aoapro ximarmos A de B, todas as li nhasde induo que "partem" do in du tor(A) atingem o induzido (B).

Um exemplo de induo quasetotal ocorre entre dois condutoresplanos, dispostos em paralelo:

Fig. 1

Na figura, a carga induzida no"plano superior" de B negativa (Q)e a carga induzida no "plano inferior"de B positiva (+Q).

2. CAPACITORES OU CONDENSADORESELTRICOS

Chamaremos de capacitores (oucon densadores eltricos) a todo parde condutores entre os quais h in du -o total.

Cada um dos elementos con du to -res chamado de armadura (capa demetal). Entre elas o meio deve ser iso -lante. Pode haver uma substncia iso -lante ou mesmo o vcuo.

H trs formatos bsicos: o es f -ri co, o plano e o cilndrico.

Qualquer que seja o formato, oca pacitor representado por dois tra - os paralelos e iguais, prefe ren cial -mente mais cheios do que os seuster minais.

Fig. 2

Fig. 3 Smbolo de um capacitor.

3. LIGAO DO CAPACITORA UMA BATERIA

A ligao pode ser direta ou atra -vs da terra. Nos automveis, liga-secomo na figura 4b, na qual a carcaado carro faz papel de terra.

Fig. 4a e 4b

4. CARGA ELTRICA ECAPACITNCIA

q Carga eltrica: QNo capacitor a induo total e,

portanto, ambas as armaduras tmcar gas de mdulos iguais e sinaiscontr rios.

Fig. 5A fim de facilitar a linguagem, bem

como a notao, usaremos sim ples -mente o valor Q, correspondente carga eltrica da armadura po si tiva.

q Diferena de potencial: UEntre as armaduras, h uma ddp.

Se o capacitor estiver ligado a umaba te ria, esta ddp ser igual ddp daba teria.

VA = potencial da armadurapositiva (A).

VB = potencial da armadura ne -ga tiva (B).

U = ddp entre as armaduras.

U = VA VB

MDULO 49 Capacitores


q Capacitncia: CPor definio:

ou, ento:

5. ENERGIA ELTRICA NO CAPACITOR

Como as cargas eltricas esto em repouso nasarmaduras do ca pa ci tor, a energia eltrica no capacitores t armazenada, isto , trata-se de uma energiapotencial.

Para calcul-la, usaremos o gr fi co da figura aseguir.

Q = C . U

Logo, o grfico linear.

Fig. 6

A energia potencial eltrica do capacitor nume -ricamente igual rea colorida:

b . hEpot

N= rea do tringulo =

2

Lembrando que:

Q = C . U

C U U Epot = 2

ou, ainda, que:

QU =

C

Q . Q/C Epot = 2

Observaes1.a) A energia mede-se em jou le no SI.

2.a) Um bom uso para o ca pa ci tor no flash de umam qui na fotogrfica. Sua ener gia bastantepara acender in tensamente uma lmpada porcurtssimo intervalo de tem po. um circuito RCpa ralelo.

6. CAPACITOR PLANO

O capacitor plano constitudo por duas placasplanas, paralelas. Por estarem eletrizadas com sinaiscon trrios, h formao de um cam po eltrico uniformeentre elas.

Fig. 7

Sendo U a ddp e d a distncia entre as armaduras,vale o teorema:

7. CAPACITNCIA

Para calcular a capacitncia de um condensadorplano, usamos a equa o:

1U = . Q

C

Q . UEpot = 2

C . U2Epot = 2

Q2Epot = 2C

QC =

UQ = C . U

E . d = U

237


em que:

A = rea de cada uma das pla cas.

d = distncia entre as placas.

= permitividade absoluta do isolante entre asplacas.

Na realidade, uma constante que varia de acordocom o isolante usado.

Observao: A relao entre as constantes K e :

Sendo 0 a permitividade abso lu ta do vcuo, define-se constante die ltica relativa r de um iso lan te(de permitividade absoluta ) como sen do o quociente:

1K =

4

r = 0

. AC =

d

238

1. ASSOCIAO EM PARALELO

Numa associao em paralelo, os capacitores ficamdispostos como na figura a seguir.

Se ligarmos os terminais A e B a uma bateria decorrente contnua constante, teremos:

Observe que as armaduras posi ti vas ficam ligadasentre si e ao polo (+) do gerador. Do mesmo modo ocor -re com as armaduras negativas.

q Propriedades

1.a) Todos os capacitores em para lelo ficam sob amesma ddp (U). Esta tambm a ddp da bateria.

2.a) Cada capacitor adquire a sua prpria carga eltrica.Q1 = C1 . UQ2 = C2 . UQ3 = C3 . U

Observao

Se C1 = C2 = C3 Q1 = Q2 = Q3

3.a) A carga eltrica total, acumulada na associao, asoma das car gas parciais.

QTOT = Q1 + Q2 + Q3

4.a) Capacitncia equivalente

Imaginemos um capacitor equi va lente associao:

mesma ddp (U) e com carga total (QTOT) dela.

Teremos, ento:

QTOT = Ceq . U Ceq . U = QTOT

Ceq . U = Q1 + Q2 + Q3

Ceq . U = C1 . U + C2 . U + C3 . U (U)

A equao acima vale para n ca pa citores emparalelo.

ObservaoA equao anterior semelhante da associao

em srie de resis to res.

Ceq = C1 + C2 + C3 (PARALELO)

MDULO 50 Associao de Capacitores


2. ASSOCIAO EM SRIE

Numa associao em srie, os ca pacitores estodispostos como na figura abaixo, na qual dois capaci -tores vizinhos tm em comum um nico terminal.

Vamos supor que os capacitores estejam todos"descarregados" ini cial mente. Agora, liguemos os ter mi -nais A e B aos polos de uma bateria de corrente contnuaconstante, cuja ten so seja U.

Observaesa) Durante a carga dos ca pa cit o res, ocorre induo

total em cada um deles.

b) A armadura negativa de ca da um deles estligada positiva de um "vizinho".

q Propriedades

1.a) Aps o trmino da eletrizao, to dos os capacitoresadquirem a mes ma carga eltrica (Q).Esta propriedade uma decor rn cia da induo totalem cada um deles.

2.a) Consideram-se como carga total da associaoapenas as cargas vistas pelos dois terminais A e B,ou seja:

carga da asso cia o: Q

Observao

No se somam cargas nas associaes em srie.

3.a) A ddp de cada capacitor :

U1 = U2 = U3 =

4.a) A soma das ddp(s) parciais a ddp total da asso -cia o e igual ddp da bateria.

U = U1 + U2 + U3

5.a) Capacitncia equivalenteImaginemos um capacitor equi va lente associa o:mesma ddp total (U) e mesma carga el tri ca (Q).

Teremos, ento:

Q QQ = Ceq . U U = = UCeq Ceq

mas:

U = U1 + U2 + U3

Q = U1 + U2 + U3Ceq

Q Q Q Q = + + ( Q)

Ceq C1 C2 C3

A frmula anterior vale para n ca pacitores em srie.

ObservaoA frmula anterior semelhante da associao de

resistores em para lelo.

1 1 1 1 = + + (SRIE)Ceq C1 C2 C3

}em A: +Qem B: Q

QC3

QC2

QC1

239


240

1. OBJETO DE ESTUDO

A Hidrosttica a parte da Fsica que estuda as

propriedades associa das aos lquidos em equilbrio. A

Hi drosttica fundamenta-se em trs leis bsicas:

a) Lei de Stevin

b) Lei de Pascal

c) Lei de Arquimedes

2. DENSIDADE ABSOLUTA

q Definio de densidade absoluta de umcorpoConsidere um corpo de massa m que ocupa um

volume V.Define-se densidade absolu ta do corpo () como

a razo entre sua massa (m) e o volume ocupado (V):

q Densidade ou massa especfica de um material ou substnciaNo se deve confundir a densi da de de um corpo

com a densidade do material (substncia) que o cons -titui.

Se o corpo for macio e homog neo, a densidadedo corpo coincidir com a densidade do material, pormquando o corpo apresentar partes ocas, a densidade docorpo ser me nor do que a densidade do material.

Como exemplo, consideremos uma esfera de raioexterno RE com uma parte oca de raio RI. Sendo m amassa da parte macia e despre zan do-se a massa de arcontida na parte oca, tem-se:

m mesfera = = VE 4 RE33

mmaterial = VE Voco

mmaterial = 4

(RE3 R I

3 )3

Verifica-se pelas expresses apre sen tadas que:

Assim, uma esfera oca de alu m nio pode flutuar emgua por ter den si da de menor que a da gua, ao pas soque uma esfera macia de alu m nio afunda por ser maisdensa do que a gua.

q Unidades de densidade

No sistema internacional, temos:

No sistema CGS, temos:

Relao entre as unidades

Sendo 1kg = 103g e

1m3 = 106cm3, vem:

kg 103g g 1 = = 103

m3 106cm3 cm3

Sendo 103kg = 1t (tonelada), te mos ainda:

esfera < material

uni(m) kguni () = = = kg . m3

uni (V) m3

uni(m) guni () = = = g . cm3

uni (V) cm3

g kg1 = 103

cm3 m3

m = V

g t1 = 1

cm3 m3

MDULO 51 Densidade e Presso


q Equao dimensionalTomando-se como grandezas fun da mentais a massa

(M), o com pri mento (L) e o tempo (T), tem-se:

q Densidade relativaConsideremos dois corpos, A e B, de densidades

absolutas A e B.

Define-se densidade relativa do corpo A emrelao ao corpo B como o nmero AB dado por:

A densidade relativa uma gran de za adimensional.

Se falarmos em densidade rela tiva de um dadocorpo, sem especifi car mos em relao a que outrocorpo, fica convencionado que este outro cor po agua.

Neste caso, a densidade rela tiva medequantas vezes o cor po mais denso que agua.q Densidade da gua

A densidade da gua dada por:

Se a densidade relativa de um cor po for igual a n(sem especificar em re lao a que), devemos enten derque:

3. PESO ESPECFICO

q DefinioConsidere um corpo de peso

P que ocupa um

volume V.Define-se peso especfico () do corpo como a

razo entre a inten sidade de seu peso (P) e o vo lu meocupado (V):

q Relao com a massa especfica

P m = = g

V V

g = intensidade da acelerao da gravidade

q Unidade no SI

q Equao dimensionalTomando-se como grandezas fun da mentais a massa

(M), o compri men to (L) e o tempo (T), tem-se:

4. PRESSO

q DefinioConsidere uma superfcie plana de rea A submetida

a uma fora F.

A foraF pode ser decom pos ta em uma

componente tange ncial Ft e uma componente normal

FN. Des sas componentes, apenasFN es t ligada ao

efei to de presso.

uni(P) Nuni() = = = N . m3

uni(V) m3

[P] MLT2[ ] = = = ML2T2

[V] L3

Define-se presso mdia so bre a superfciecomo a grandeza escalar dada pe la razo entrea in tensidade da componen te normal da for aatuan te e a rea da su perf cie.

g kg t kggua =1,0 = 1,0 . 103 = 1,0 = 1,0

cm3 m3 m3

gcorpo = n . gua = n cm3

P = V

= g

AAB = B

[ rel ] = M0 L0 T0

[m] M[] = =

[V] L3

[] = M L3 = M L3 T0

|FN|p = A

241


q Unidades de presso

Sistema internacional

A unidade de presso do SI re ce be o nome de

pascal, Pa:

Unidade prtica: atmA presso exercida pela at mos fera no nvel do mar

tomada como uni dade de presso e indicada por atm:

q Equao dimensional Tomando-se como grandezas fundamentais a

massa (M), o compri mento (L) e o tempo (T), tem-se:

Tomando-se como grandezas fundamentais a

fora (F), o compri mento (L) e o tempo (T), tem-se:

NPa =

m2

1 atm = 1,01 . 105 Pa

[F] MLT2[p] = = = ML1T2

[A] L2

[F] F[p] = = = FL2 = FL2T0

[A] L2

uni(F) Nuni(p) = = = N . m2

uni(A) m2

242

MDULO 52 Presso Hidrosttica e Lei de Stevin

1. PRESSO EXERCIDA POR UMA COLUNA LQUIDA EM EQUILBRIO

q Presso hidrosttica (pH)Considere um recipiente ciln dri co de rea de base

A, contendo um l quido homogneo, de densidade () eem equi lbrio.

Calculemos a presso exercida por esta coluna

lquida, de altura h, na base do recipiente.

A fora exercida pelo lquido sobre a base dorecipiente tem intensidade igual ao peso do lquido:

|P | mg

pH = = (1)A A

mSendo = e V = A . h, vem:

V

m = V = A h(2)

Substituindo-se (2) em (1), vem:

A h gpH = A

A presso exercida por uma co lu na lquida chamada presso hi dros ttica ou pressoefetiva e no depende da espessura da co luna lquidae sim de sua altura.

Surge ento a ideia de se medir presso por meio dealtura de coluna l quida.

q Presso em cm de HgCalculemos que altura de coluna de mercrio exerce

presso de uma atmosfera:

pH = M g hM

pH = 1,0 . 105 Pa; g = 9,8m/s2;

kgM = 13,5 . 103 m3

1,0 . 105 = 13,5 . 103 . 9,8 . hM

pH = g h

hM 0,76m

Uma coluna de mercrio de altura 76cmexerce uma pres so de 1,0 atm.


q Presso em metros de gua

Calculemos que altura de gua exer ce presso deuma atmosfera:

pH = aghapH = 1,0 . 105 Pa; g = 10m/s2;

a = 1,0 . 103kg/m3

1,0 . 105 = 1,0 . 103 . 10 ha

2. LEI DE STEVIN

A Lei de Stevin permite calcular a diferena depresso entre dois pontos de um fluido homogneo, emequilbrio e sob a ao da gravidade.

Consideremos um fluido homo gneo contido em umrecipiente qual quer e em equilbrio.

Desejamos obter a diferena de presso entre doispontos quaisquer, A e B, com desnvel h.

Admitamos um ponto C na mes ma horizontal de A ena mesma ver tical de B.

A diferena de presso entre os pontos B e C dadapela presso da coluna fluida de altura h:

pB pC = g h (1)

Por outro lado, como os pontos A e C esto mesmaprofundidade (mes ma altura h de coluna fluida acimados pontos), eles suportam a mesma pres so:

pA = pC (2)

Substituindo-se (2) em (1), vem:

A relao obtida traduz a Lei de Stevin:

NOTA: A Lei de Stevin vlida para lquidos egases, porm como a densidade de um gs relati va -mente pequena, a diferena de pres so s se tornarelevante para alturas muito grandes.

Assim, para um gs contido em um recipiente dedimenses normais, consideramos a presso como amesma em todos os pontos da mas sa gasosa.

3. APLICAES DA LEI DE STEVIN

q Presso total em um ponto de um lquido em equilbrio

Consideremos um lquido homo g neo, em equilbrioe sob ao da gra vidade, contido em um recipiente ex -posto atmosfera.

Para obtermos a presso total em um ponto A dolquido, basta apli car a Lei de Stevin entre o ponto A eum ponto O da superfcie do lquido.

Como o ponto O est em contato com a atmosfera,a presso p0 igual presso atmosfrica.

Assim:pA patm = g h

pA = presso total ou absoluta no ponto A.

patm = presso atmosfrica local.

g h = presso hidrosttica ou efetiva.pB pA = g h

A diferena de presso en tre dois pontosquaisquer de um fluido homogneo, em equi -lbrio e sob a ao da gra vi dade, dada pelopro duto do peso especfico do fluido (g) pelodesnvel (di ferena de profun dida de) en tre ospontos consi de ra dos.

pA pO = g h

pA = patm + g h

ha = 10m

Uma coluna de gua de al tura 10m exerceuma pres so de 1,0 atm.

243


q Grficos de pressoMostremos os grficos das pres ses hidrosttica e

total em funo da profundidade h.

As retas representativas so pa ra lelas e o ngulo tal que:

Quanto mais denso for o lquido (maior ), maior sero ngulo .

q Regies isobricasPara um lquido homogneo, em equilbrio e sob

ao da gravidade, de acordo com a Lei de Stevin,temos:

Se impusermos a igualdade de presses entre ospontos genricos B e A, teremos:

Isto significa que todos os pontos que su

fisica

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