f´ısica cl´asica en la f ´ısica cuantica´ · cu´antica ptolomeo, newton, fourier, madelung...

Fısicaclasica enla Fısicacuantica

Ptolomeo,Newton,Fourier,Madelung

Bohr,Sommer-feld,Einstein

Huygens,Schrodinger,Feynman

Cuantica aescalamacroscopi-ca

Identidadesdecorrespon-dencia

Conclusiones

Fısica clasica en la Fısica cuantica100 anos de saltos cuanticos

Universidad Nacional de Colombia

Jorge Mahecha Gomez

Universidad de Antioquia, Medellın

Bogota, 15 de abril 2013

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Conclusiones

1 Ptolomeo, Newton, Fourier, Madelung

2 Bohr, Sommerfeld, Einstein

3 Huygens, Schrodinger, Feynman

4 Cuantica a escala macroscopica

5 Identidades de correspondencia

6 Conclusiones

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Conclusiones

Resumen

Con frecuencia se dice que la mecanica cuantica es la unica teorıavalida para describir los atomos, las moleculas y los sistemassubatomicos. Pero existen muchas evidencias de que una afirmaciontan categorica no es apropiada. En la charla se describiran algunassituaciones del ambito atomico en las cuales los conceptos y metodosde la mecanica clasica son aplicables, e incluso insuperables por lamecanica cuantica. Ademas se exploraran varios elementos de lamecanica cuantica que se incorporaron directamente de la mecanicaclasica. El objetivo central consiste en identificar las mayoresdiferencias entre los modelos clasicos y cuanticos.

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Conclusiones

Ptolomeo

Ptolomeo describio el movimiento planetario con base ensuperposicion de movimientos circulares. La grandeza de suaporte consistio en ser capaz de hacer predicciones validasdesde el punto de vista geocentrico. El sistema de Ptolomeo nopretendio ser una teorıa de los planetas, sino solo un metodo decalculo. Le tenıan sin cuidado las “imperfecciones” implicadasen su modelo.

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Conclusiones

Tomado de:5 / 48







Conclusiones

Tomado de:

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Conclusiones

Tomado de:7 / 48







Conclusiones

Tomado de:8 / 48







Conclusiones

Tomado de:9 / 48







Conclusiones

Ley de gravitacion universal

El problema gravitacional de dos cuerpos se describe a partir dela ley de gravitacion universal de Newton,

V (r) = −GMSMP

1

r,

la cual da lugar a una dinamica analoga a la que resulta de lainteraccion dos cargas electricas Q1 y Q2 de signos opuestos,

V (r) = −Q1Q2

4πǫ0

1

r,

Ambas interacciones son de la forma

V (r) = −k1

r.

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Conclusiones

Otras formulas

F (r) = −k

r; k =

q1q2

4πǫ0, o k = GMsmp.

rmax + rmin = 2a

ǫ =rmax − rmin

2a=

[

1−(

b

a

)2]1/2

0 ≤ L ≤ k

(

m

−2E

)1/2

Area = πab = πa2L

Lmax

E =k

2a= − mk2

2L2max11 / 48







Conclusiones

Orbita kepleriana

La energıa y otros parametros de la orbita se pueden expresaren terminos de ciertas constantes, llamadas acciones,

E = −mk2

2I 2

a =I 2

mk; b =

(Iθ + Iϕ)I

mk; ǫ =

√

1− b2

a2.

ωr = ωθ = ωφ =mk2

I 3

τ =2π

ωr

= 2π

√

m

ka3/2

Las acciones son cuantizadas por Bohr-Sommerfeld.

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Conclusiones

R. Fitzpatrick. A Modern Almagest an Updated Version of

Ptolemys Model of the Solar System. 2010.

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Conclusiones

Movimiento de la distancia radial entre

el planeta y el sol (Madelung)

La dependencia temporal de r esta dada por una serie de

Fourier, r(t) =∞∑

n=0rn cos(nωt + δ):

r

a= 1 +

ǫ2

2+ ǫ

∞∑

n=1

1

n[Jn+1(ǫn)− Jn−1(ǫn)] cos(nϕr )

La parte constante de r ,

a

(

1 +ǫ2

2

)

,

define la deferente. Los otros terminos son los epiciclos.Bohr considero orbitas circulares, ǫ = 0, o sea

r = a =I 2

mk= n2

~2

mk.

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Conclusiones

y

z x

x′

-

-

θ0

θ

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Conclusiones

Movimiento en el plano de la orbita

La dependencia temporal de las coordenadas esta dada por:

x

a= −3

2ǫ+

∞∑

n=1

1

n[Jn−1(ǫn)− Jn+1(ǫn)] cos(nϕr )

y

a=

2

ǫ

√

1− ǫ2∞∑

n=1

1

nJn(ǫn) sen (nϕr )

x y y son las coordenadas de la partıcula en el plano de laorbita.

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Conclusiones

Radiacion del dipolo hertziano

El sistema ligado formado por dos partıculas cargadas emiteradiacion electromagnetica. El momento de dipolo del sistema,d = Z1er1 + Z2er2, se puede escribir como:

d = µe

(

Z1

m1− Z2

m2

)

r

µ es la masa reducida. En el atomo de hidrogeno puedeescribirse como,

d = −er.

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Conclusiones

Radiacion del dipolo hertziano

El momento de dipolo se puede expandir en serie de Fourier yla intensidad radiada de frecuencia nω0, donde ω0 = ϕr

esta dada por la formula:

In =ω40n

4

3c3|dn|2

dn es un vector en el plano de la orbita que depende de x y y .La intensidad de la radiacion de frecuencia nω0 es:

In =64n2e4

3c3Z 21Z

22

(

Z1

m1− Z2

m2

)2 [

J ′2n (ǫn) +1− ǫ2

ǫ2J2n (ǫn)

]

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Conclusiones

Elementos de Delaunay

φ0, θ0, φr , Iφ, Iθ + Iφ, I = It + Iθ + Iφ se conocen como loselementos de Delaunay de la orbita en astronomıa. Determinantodos los elementos orbitales. Estos son las cantidades queespecifican una orbita kepleriana:radio mayor, excentricidad, frecuencia del movimiento de lalongitud media, frecuencia de movimiento de la anomalıamedia, longitud media en la epoca, anomalıa media en laepoca, inclinacion, frecuencia de movimiento en el argumentomedio de la latitud, el argumento medio de la latitud en laepoca.

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Conclusiones

z z

y ′

y

x ′

θmin

θ′

θ0

α

ψ′

ϕ′

x

y

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Conclusiones

O. Montenbruck, T. Pfleger. Astronomy on the personal

computer , 1994

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Conclusiones

Movimiento en d=3

En el espacio tridimensional se tiene la siguiente solucion:

z = a cos θm

{

−3

4ǫ−iϕr +

∞∑

n=1

e−iϕr

n

[

J ′n(nǫ) cos(nϕr )

−i

√1− ǫ2

ǫJn(nǫ) sen (nϕr )

]

}

e iϕθ

+a cos θm

{

−3

4ǫe iϕr +

∞∑

n=1

e iϕr

n

[

J ′n(nǫ) cos(nϕr )

+i

√1− ǫ2

ǫJn(nǫ) sen (nϕr )

]

}

e−iϕθ

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Conclusiones

x + iy =

{

i (−1 + sin θm)

[

−3ǫ

4e−iϕr +

∞∑

n=1

e−iϕr

nJ ′n(nǫ) cos(nϕr )

]

− (−1− i sin θm)

√1− ǫ2

ǫ

∞∑

n=1

e−iϕr

nJn(nǫ) sen (nϕr )

}

e iϕϕ

+

{

i (1 + sin θm)

[

−3ǫ

4e−iϕr +

∞∑

n=1

e−iϕr

nJ ′n(nǫ) cos(nϕr )

]

−(

1 + i sin θm

√1− ǫ2

ǫ

)

∞∑

n=1

e−iϕr

nJn(nǫ) sen (nϕr )

}

e i(ϕϕ−2ϕθ)

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Conclusiones

Reglas de seleccion clasicas

La serie de Fourier del dipolo es tridimensional porque dependede las variables angulares φr , φθ, φϕ. Los coeficientes deFourier dependen de n, nθ, nϕ.Vemos que se anulan todos los coeficientes para los cuales nϕ ynθ son diferentes de:

nϕ = 0, 1, −1 ; nθ = 0, ±2

En cuanto a n no hay ninguna restriccion.

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Conclusiones

Radiacion del dipolo hertziano en d=3

En este caso la intensidad esta dada por:

In, nθ , nϕ =ω40

3c3τ4n, nθ , nϕ

[

∣

∣An, nθ , nϕ

∣

∣

2+∣

∣Bn, nθ , nϕ

∣

∣

2]

τn, nθ , nϕ es un numero que describe el orden del armonico de ω0

radiado, y A y B son los coeficientes de Fourier de z y dex + iy respectivamente. Vemos que solamente es posible laradiacion asociada a los nθ y nϕ que cumplen las citadas reglasde seleccion.M. Born. The Mechanics of the Atom. Noviembre 1924. En elprefacio escribe: “El Dr. W. Heisenberg constantemente meayudo con consejos y contribuyo con algunas secciones del libro(por ejemplo, la ultima acerca del atomo de helio).”

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Conclusiones

Bohr, Sommerfeld, Einstein

Como Bohr considero solo orbitas circulares, la unica condicionde cuantizacion es,

I = n ~

Pero Sommerfeld extendio la idea de Bohr al caso completo end = 3, donde se sigue cumpliendo la cuantizacion de Bohr.Posteriormente Brillouin y otros modificaron esas reglas decuantizacion:

Ir =

(

nr +1

2

)

~, Iθ =

(

l −m +1

2

)

~, Iφ = m~.

I = Ir + Iθ + Iφ = (nr + l + 1)~ = n ~.

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Conclusiones

Las frecuencias radiadas coinciden con los armonicos de lafrecuencia kepleriana, lo cual contradice la teorıa de Bohrmisma, ya que segun Bohr,

ω =Ei − Ef

~. = −mk2

2

(

1

I 2i− 1

I 2f

)

= −mk2

2~2

(

1

n2i− 1

n2f

)

El dipolo depende solo de las acciones correspondientes a unaorbita kepleriana. Por lo tanto las frecuencias radiadasdependerıan solamente de acciones de dicha orbita.El salto cuantico de Bohr hace depender las frecuencias de lasacciones de las dos orbitas inicial y final.Conciliar esta discrepancia era un reto para los fısicos en losanos anteriores a 1925.

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Conclusiones

Contribucion de Heisenberg

Heisenberg fue alumno de Sommerfeld en Munich en 1922,tenıa 20 anos y cursaba el cuarto semestre con miras aldoctorado. En los anos 1922-1923 estuvo trabajando con MaxBorn en Gotinga, quien era de la misma escuela de Bohr ySommerfeld. Conocıan que las frecuencias radiadas coincidencon los armonicos de la frecuencia kepleriana solo para numeroscuanticos grandes (principio de correspondencia).Heisenberg logro resolver el problema aplicando el siguienteprincipio:La teorıa cuantica solo debe usar cantidades que dependan a suvez de cantidades observables. En particular, las variablesangulares φ0, φr no son observables. Por lo tanto no puedenaparecer en los dipolos.La implementacion de esta idea conduce a un cambio en lacinematica, pero no en la mecanica.

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Conclusiones

W. Heisenberg. 1925. Reinterpretacion cuantico-teorica de

relaciones cinematicas y mecanicas. Zs. Phys. 33 (1925) 879.“El presente artıculo busca fundamentar la mecanica cuanticateorica exclusivamente en relaciones entre cantidades que enprincipio sean observables”.“Las reglas de Bohr-Sommerfeld son exitosas para describir elatomo de hidrogeno y su efecto Stark. Pero fallan en elproblema del atomo de hidrogeno en campos electrico ymagnetico no paralelos, en el problema del atomo de hidrogenoen una onda electromagnetica, y en el atomo de dos electrones,por ejemplo.”

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Conclusiones

En teorıa cuantica la frecuencia de la radiacion depende de doscantidades,

ωn,n−α =En − En−α

~

y en teorıa clasica de la forma,

ωn,α = αωn = α1

~

dE

dn,

luego de usar I = n~.

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Conclusiones

Heisenberg examina las reglas de combinacion de dosfrecuencias.Teorıa clasica:

ωn,α + ωn,β = ωn,α+β

Teorıa cuantica:

ωn,n−α + ωn−α,n−α−β = ωn,n−α−β

El cuadrado de una componente de Fourier de x ,∞∑

α=−∞

xα(n)xβ−α(n)eiωn(α+β−α)t

El punto crucial, es que tanto xα como xβ−α estan evaluadosen el mismo n. Heisenberg propone

∞∑

α=−∞

xn,n−αxn−α,n−βeiωn,n−βt

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Conclusiones

- Es decir, una serie de Fourier de la forma

x(t) =∑

α

xαeiαωt

debe sustituirse por

x(t) =∑

α

xn,n−αeiωn,n−αt

- La nueva teorıa debe ser compatible con el principio decorrespondencia de Bohr.- Se debe aplicar una regla matematica de la forma

α1

~

dE

dn= ωn,n−α =

En − En−α

~

- La segunda ley de Newton en la forma x + f (x) = 0 debemantenerse pero la x pierde el significado de una posicion.

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Conclusiones

Metodo dialectico en accion

TESIS: El dipolo del atomo de hidrogeno esta formado por unaserie de Fourier construida con la frecuencia del movimientokepleriano y sus armonicos. Esta depende de accionescuantizadas mediante las prescripciones de Bohr y Sommerfeld.El dipolo depende de los parametros de Delaunay de la orbita.ANTITESIS: Las variables angulares no son observables. Eldipolo no puede depender de estas. Por el contrario, dependede las acciones cuantizadas correspondientes a los estadosinicial y final involucrados en el salto cuantico.SINTESIS: La teorıa cuantica de Heisenberg. Conduce no soloa los dipolos que determinan las intensidades observadas sino alas energıas de los estados cuanticos y a las frecuencias delespectro.Es revolucion en la cinematica, las leyes de Newton sobreviven.

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Conclusiones

La relatividad es una revolucion en la cinematica y la mecanica.TESIS: La relacion energıa momento es la que se deriva de lamecanica de Newton:

E =p2

2m

ANTITESIS: La anterior relacion es valida solo a bajasvelocidades. No es consistente con la relacion para fotones,E = pc .SINTESIS: La mecanica relativıstica en la cual

E 2 = p2c2 +m2c4,

Esta formula no solo predice los lımites de altas y bajasvelocidades sino la energıa de reposo E = mc2. Y la idea departıculas y antipartıculas.

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Conclusiones

Sistema de un grado de libertad

El espacio de fases se forma por (x , v). Si el sistema esacotado, las trayectorias de fase son isomorficas a un cırculo.

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Conclusiones

Toroides invariantes

Toro

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

1.5-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Las trayectorias en el espacio de fases de un sistema integrablecon n grados de libertad son isomorficas a helices en un toro dedimension n.

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Conclusiones

Toroide invariante

Ir , Iθ, Iφ determinan los elementos de Delaunay θ0, Iφ, Iθ + Iφ,I = Ir + Iθ + Iφ. Con ello definen un toroide en el cual lascoordenadas curvilıneas sobre la superficie son φ0, φr .

ϕ2

ϕ1

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Conclusiones

Heisenberg y Schrodinger

En los cursos convencionales de mecanica cuantica se estudia laconexion entre la mecanica cuantica de Schrodinger y la deHeisenberg. Schrodinger se basa en la funcion de onda yHeisenberg en las matrices. Con notacion de Dirac, loselementos de la matriz del dipolo electrico, por ejemplo, estandados por,

da,b = 〈a|d|b〉El principio de incertidumbre de Heisenberg se expresa demanera igualmente clara en los dos formalismos. Pero elprincipio de superposicion se expresa mejor en el deSchrodinger:

|ψ〉 = A|a〉+ B |b〉

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Conclusiones

Huyghens y Feynman

N

T

S

S ′

S ″

r

α

α′

α′′

Σ

Σ′r ′

r ″

Segun el principio de Huygens, cada punto del frente de ondasS genera ondas secundarias Σ, la envolvente de las ondassecundarias en el tiempo t es el frente de ondas S ′ que se hapropagado en el espacio.

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Conclusiones

Percepcion de la fısica cuantica

“Al final y al cabo, la fısica teorica y la cuantica (nunca supecual era el lımite que las separa) no tienen mucha aplicacion ennuestra sociedad y mucho menos en nuestras necesidades.”

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Conclusiones

Cuantica a escala macroscopica

El tamano de los atomos es de 0.0000000001 m = 10−10 m, elde las moleculas unas 10 veces el de los atomos, el de losprotones y neutrones (nucleones) es de 10−15 m, el de losnucleos atomicos es unas 10 veces mayor que el de losnucleones, el de los quarks que componen los nucleones es milveces menor que el de estos, el de los electrones es de3× 10−15 m. Es atrevido asignarles un tamano a los electronesy a los quarks dado su “caracter cuantico”.Con frecuencia se define la fısica cuantica como el conjunto defenomenos que exhibe la materia en las escalas atomicas,moleculares, y en las sub-atomicas (por debajo de 10−15 m).Pero, ¿es verdad que la fenomenologıa cuantica solo semanifiesta a esas escalas? o, por el contrario, ¿la fenomenologıacuantica aparece en la escala macroscopica?

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Conclusiones

Basta acudir a los imanes y a la electricidad del ambar paradarse cuenta de que los espines de los atomos y los electronesestan muy cerca de nosotros.La galena, esa piedra que el hombre primitivo conocıa, es unmaterial semiconductor, sus propiedades solo se puedenentender a partir de las bandas de energıa de los electrones enel cristal.La sustancia mas comun de nuestro mundo, el agua, es unamolecula formada por dos atomos de hidrogeno unidos a unode oxıgeno formando una estructura con la forma de la letra“V”, donde el angulo es de 105◦.

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Conclusiones

Edmund Stoner y Wolfgang Pauli en 1924-1925, cuandoacababa de inventarse la mecanica cuantica, explicaron lascapas de electrones en los atomos por medio del llamadoprincipio de exclusion. Las partıculas que lo obedecen tienenespın 1/2 y se les llama fermiones.La diversidad de elementos catalogados en la tabla periodicasolo puede ser entendida a partir del caracter fermionico de loselectrones, un efecto netamente cuantico.Es verdad que hay inventos modernos que no se pudieron haberlogrado sin la particion de la teorıa cuantica. Por lo tanto lacomprension de los fenomenos cuanticos tiene importanciacultural y su estudio deberıa posibilitarsele a toda la poblacionen la educacion basica primaria y secundaria.

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Conclusiones

Identidades de correspondencia

Los discıpulos de Bohr y luego de Heisenberg y Schrodinger seencargaron de echar los resultados de Ernest Rutherford de1911 al baul de los recuerdos. Rutherford con un calculo clasicosimple hallo la seccion eficaz diferencial para la deflexion de laspartıculas α. Muchos anos mas tarde un calculo puramentecuantico darıa lugar a una formula identica.Hubo que esperar hasta 1953 a que alguien se atreviera a usarla mecanica clasica para describir una propiedad atomica.Gregory Wannier dedujo una ley para describir la ionizacion deun atomo en cercanıas del umbral cuando es golpeado por unelectron.Phys. Today 65(5) (2012) 40. P. Grujic, N. Simonovic. Insightsfrom the classical atom.

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Conclusiones

En el atomo de hidrogeno se cumple el principio decorrespondencia cuando las distancias son asintoticamentegrandes,

r ≫ ~2

8mk

Notese que el radio de la primera obita de Bohr esaB = ~

2/(mk).Pero hay dos casos en los cuales los resultados cuanticoscoinciden con los semiclasicos para todos los valores de losnumeros cuanticos: para el atomo de hidrogeno y el osciladorarmonico.

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Conclusiones

Wannier calculo la seccion eficaz de ionizacion cerca al umbral,

σ = C Eκ,

si E → +0. Para un sistema coulombiano de 3 cuerposWannier hallo,

κ =3

4

√

1 +16

9

1 + 2m

1 + q/4− 1

4, q =

q2,3

q1, m =

m2,3

m1

Para q = −1 y m1 ≫ m2, la ionizacion del hidrogeno por unelectron, κ = 1,1269.Son solo algunos ejemplos de la aplicabilidad directa de losmetodos clasicos en el dominio atomico.

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Conclusiones

Conclusiones

La primera evidencia documentada del concepto de atomose atribuye a Leucipo, predecesor del filosofo Democrito,en el siglo quinto AC.

El Almagesto en el siglo primero DC recopila el saberastronomico. Fue usado durante 1500 anos hasta finalesde la Edad Media, dio lugar a la mecanica clasica.

La teorıa de Bohr y Sommerfeld se basa en ladescomposicion de Fourier del movimiento kepleriano,presente en la descripcion del movimiento planetario dePtolomeo con deferente y epiciclos.

Bohr unio el concepto de foton al modelo planetario delatomo mediante su idea de los saltos cuanticos.

Fue Heisenberg quien le dio un soporte mecanico rigurosoa la propuesta de Bohr. De allı surgio la modernamecanica cuantica.

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Conclusiones

Perspectivas

La mecanica cuantica dio lugar a conceptos extranos,como la superposicion y el entrelazamiento, y losfermiones.

Un desarrollo fructıfero de la mecanica cuantica fue lateorıa cuantica de campos, soporte de la teorıa actual delas partıculas elementales. Los experimentos con partıculaselementales podrıan clarificar dichos conceptos de lamecanica cuantica.

Las modernas observaciones astronomicas condujeron a laevidencia de partıculas desconocidas, la materia oscura yla energıa oscura.

Se espera que la incorporacion de la gravedad en lamecanica cuantica sera clave para entender la materiaoscura y la energıa oscura y muy posiblemente dara lugara una teorıa mas general que la mecanica cuantica.

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