fÍsica - colégio e curso olimpo goiânia...
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IME2004 FÍSICA
“A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo”Galileu Galilei
A figura abaixo mostra uma fenda iluminada por uma luz de comprimento de onda λ . Com as molas não deformadas, o ângulo correspondente ao primeiro mínimo de difração é θ .
Determine: 1. a largura d da fenda com as molas não deformadas; 2. o valor da força F que deverá ser aplicada para que o ângulo correspondente ao primeiro mínimo de difração passe a ser θ /2. Dado: constante elástica de cada mola: k. OBS: despreze todas as forças de atrito. Resolução: 1) Como trata-se de difração de fenda simples, temos:
( ) ( )sen
senλ λ
θ = ∴ =θ
dd
2)
( )sen 'sen sen2 ' 2θ λ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠d d
d
( )1 cos' 2 cos ' 2
2 2+ θθ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠d d d d
( ) ( )1 cos2 ' 2 2 1
2F k d d F kd
⎡ ⎤+ θ= − ⇒ = −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )1 cos2 2 1
sen 2kF
⎡ ⎤+ θλ∴ = −⎢ ⎥
θ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Q u e s t ã o 0 1
j
k
R0
i
Fm
v0
Uma partícula carregada está sujeita a um campo magnético B paralelo ao eixo k, porém com sentido contrário. Sabendo que
sua velocidade inicial é dada pelo vetor 0v , paralelo ao eixo i, desenhe a trajetória da imagem da partícula refletida no espelho, não deixando de indicar a posição inicial e o vetor velocidade inicial da imagem (módulo e direção). Justifique sua resposta. Dados: os eixos i, j e k são ortogonais entre si; distância focal da lente = f (f < x); massa da partícula = m; carga da partícula = q. OBS: o espelho e a lente estão paralelos ao plano i – j.
Resolução: 1) Para o objeto:
M cpF F= 20
00
mvBqvR
=
00
mvRqB
=
2) Para a imagem: 1 1 1 '
'xfp
f x p x f= + ⇒ =
−
Como ' 0x f p> ⇒ > ⇒ imagem real Considerando 'd p>
–f f
R
R0
x
d
(2)(3)
(1)
k
p’
v
v0
d-p’ d-p’
Q u e s t ã o 0 2
O objeto real ( )1 conjuga na lente uma imagem real ( )2 que por sua vez serve de objeto real para o espelho e conjuga a imagem ( )3 vide desenho
acima. 3) Utilizando do aumento linear transversal, temos:
( )0
0
0
' 'mv xfqB x fR p R pA R
R x x x
− ⋅−
= = − ⇒ = − =
( )0mv fR
qB x f∴ = −
−
Lembrando que podemos aplicar a fórmula do aumento linear transversal para as velocidades, assim:
( )0 0
0
' 'p v v p v xfA vx v x x x f
= − = ⇒ = − = − ⋅−
0v fvx f
∴ = −−
A figura 1 ilustra um sistema de aquecimento de água em um reservatório industrial. Duas bombas hidráulicas idênticas são utilizadas, sendo uma delas responsável pela captação de água da represa, enquanto a outra realiza o fornecimento da água aquecida para o processo industrial. As bombas são alimentadas por uma única fonte e suas características de vazão versus tensão encontram-se na figura 2. O circuito de aquecimento está inicialmente desligado, de maneira que a temperatura da água no tanque é igual a da represa. Supondo que a água proveniente da represa seja instantaneamente misturada pelo agitador no tanque, que não haja dissipação térmica no tanque e que o sistema de aquecimento tenha sido acionado, determine: 1. a vazão das bombas, caso a tensão das bombas seja ajustada para 50 V; 2. a energia em joules fornecida pela resistência de aquecimento em 1 minuto ao acionar a chave S; 3. a temperatura final da água aquecida, após a estabilização da temperatura da água no tanque. Dados: temperatura da água na represa: 20 ºC; calor específico da água: cágua = 1 cal/g ºC; densidade da água: dágua = 1 g/mL; R1 = 2 Ω W, R2 = 8 Ω e 1 cal = 4,18 J.
Q u e s t ã o 0 3
Z (L/min)
U (v)
5
Z
10 50 110
R1
R2
100V
i
Resolução: 1)
5 0
110 10ZUΔ −
=Δ −
25 10 L/VminZU
−Δ= ×
Δ
Para 2050V 5 10 2 L/min50 10
Z ZU ZU
−Δ −= ⇒ = = × ⇒ =
Δ −
2)
1 2
100 10 Ai iR R
= ⇒ =+
( )( )222 2 28 10 800 WP R i P= ⋅ = ⇒ =
( )( ) 42 800 W 60 s 4,8 10 JE P t E= ⋅ Δ = ∴ = ×
3)
E mE mc c Zct t
= Δθ⇒ = ⋅ ⋅ Δθ = ρ ΔθΔ Δ
( ) g 2 L J800 W 1000 4,186L 60 s g C
E Zct
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ρ Δθ⇒ = Δθ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ °⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
5,73 C 20 5,73 25,7 CΔθ = ° ⇒ θ − = ∴θ = °
A figura abaixo mostra duas placas metálicas retangulares e paralelas, com 4 m de altura e afastadas de 4 cm, constituindo um capacitor de 5 μ F. No ponto A, eqüidistante das bordas superiores das placas, encontra-se um corpo puntiforme com 2 g de massa e carregado com + 4 μ C. O corpo cai livremente e após 0,6 s de queda livre a chave K é fechada, ficando as placas ligadas ao circuito capacitivo em que a fonte E tem 60 V de tensão.
Determine: 1. com qual das placas o corpo irá se chocar (justifique sua resposta); 2. a que distância da borda inferior da placa se dará o choque.
Dado: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Q u e s t ã o 0 4
ΔSAB
A
B
Resolução: 1) Antes de fechar a chave S , o corpo percorre o segmento AB .
( )( )22 10 0,62 2AB
gtSΔ = =
1,8 mABSΔ =
2) Fechando a chave S , teremos o seguinte circuito equivalente:
--
--
++
+
+
C
D
E
C
D
E
20μF
20μF
40μF
20μF
15μF
60V 60V
Como os capacitores do nosso circuito equivalente estão em série, temos:
60 VCD DE
CD DE
U UQ Q
+ =⎧⎨ =⎩
40 20CD CD CDCD DE
DE DE DE
Q C UU U
Q C U=
==
Resolvendo o sistema, temos: 20VCDU =
40VDEU =
3) No ponto B
( ) 2
202 440
CDCD
UU E zd Ed −= ⇒ = =
Vm500E =
P1 P2
ΔSAC
A
BF
C
+–
–
–
–
+
+
+
d = 2cm Na horizontal, temos:
( )( )( )
6
3
440 500
290qEF qE ma am
−
−= = ⇒ = =
21m/sa =
( )22 2 2 102t 0,2s2 2
at dda
−⋅ ×= ⇒ = = =
Na vertical, temos:
( )( )22 10 0,6 0,22 2ACtS g
+Δ = =
3,2mACSΔ =
Logo, o corpo irá se chocar com a placa 1P a 0,8m de sua borda inferior.
Um tanque de guerra de massa M se desloca com velocidade constante v0. Um atirador dispara um foguete frontalmente contra o veículo quando a distância entre eles é D. O foguete de massa m e velocidade constante vf colide com o tanque, alojando-se em seu interior. Neste instante o motorista freia com uma aceleração de módulo a. Determine: 1. o tempo t transcorrido entre o instante em que o motorista pisa no freio e o instante em que o veículo pára; 2. a distância a que, ao parar, o veículo estará do local de onde o foguete foi disparado. Resolução:
D
D – x
m
vfv0
M
1) Por conservação de momento linear:
( ) O fO f
Mv mvMv mv m M v v
m M−
− = + ⇒ =+
2) Calculando tempo solicitado:
( )( )
o fMv mvo vv va t tt a a a m M
−−Δ Δ= − ⇒ Δ = − = − ∴ Δ =
Δ +
3) Do instante inicial até o choque:
o
o f o f
x D x v Dt xv v v v
−= = ⇒ =
+
4) Após o choque:
222 12
2 2o fMv mvvO v a S S
a a m M−⎛ ⎞
= − Δ ⇒ Δ = = ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Assim, a distância ( )d procurada será:
( )2
12
o fo
o f
Mv mvv Dd D x S d Dv v a m M
⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥= − + Δ ∴ = − + ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Um tanque contém 2 líquidos imiscíveis, L1 e L2, com massas específicas 1ρ e 2ρ , respectivamente, estando o líquido L2 em contato com o fundo do tanque. Um cubo totalmente imerso no líquido L1 é solto e, após 2 segundos, sua face inferior toca a interface dos líquidos. Sabendo que a distância percorrida pelo cubo desde o instante em que é solto até tocar o fundo do tanque é de 31 m, pede-se: 1. esboce o gráfico da velocidade v do cubo em função da distância percorrida pelo mesmo, para todo o percurso; 2. mostre, no gráfico, as coordenadas dos pontos correspondentes às seguintes situações: (a) a face inferior do cubo toca a interface dos líquidos; (b) a face superior do cubo toca a interface dos líquidos e (c) o cubo toca o fundo do tanque. Dados: 1ρ = 2000 kg/m3 e 2ρ =3.000 kg/m3; massa específica do cubo: ρ cubo=4.000 kg/m3; volume do cubo: Vcubo = 1 m3; aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Q u e s t ã o 0 5
Q u e s t ã o 0 6
E1
P
E1
P
E2
( )NFR2
x (m)
130.000
120.000
10 x 11
τ
E2
P
L1
L2
0
x1
31
x(m)
Resolução:
1) Abandonando o cubo em 1L até a interface de 1L com 2L
1 1RF P E= −
1 1Lma gv gv= −∫ ∫
( )( )( )1
4000 2000 10 14000
a−
=
21 5m/sa =
( )( )221
1 1
5 210m
2 2a tx x= = ⇒ =
210 2v a x= + , 0 10x≤ ≤
10v x= 2) Passando de 1L para 2L :
( ) ( )2 1 2 40.000 20000 1 30000RF P E E x x= − + = − ⎡ − + ⎤⎣ ⎦
( )2
10000 2RF x= − , 10 11x≤ ≤
mas cEπ = Δ , assim:
( ) ( ) ( ) ( )( )24 42
10 12 10 2 10 4000 4000 102 2 2
x xv
⎡ ⎤− ⋅ + −⎣ ⎦ = −
25 60 2502
v x x= − + − , 10 11x≤ ≤
3) Da interface até o fundo do recipiente:
3 2RF P E= −
23 Lma gv gv= −∫ ∫
( )( ) 23 3
4000 3000 102,5m/s
4000a a
−= ⇒ =
( )23107,5 2 11v a x= + −
52,5 5v x= + , 11 31x≤ ≤
14,4
10,37
10
10 11 31
v (m/s)
x(m)
A figura abaixo mostra o esquema de um gerador fotovoltaico alimentando um circuito elétrico com 18 V. Sabendo que a potência solicitada na entrada do gerador (potência luminosa) é de 100 W, determine o rendimento do gerador na situação em que a razão dos valores numéricos da tensão e da corrente medidos, respectivamente, pelo voltímetro V (em volts) e pelo amperímetro A (em ampères) seja igual a 2 (dois).
Resolução:
AI E
B C
D
18 V
10V R
2Ω12Ω
iCE
VA
iAB
212 8 12 A3AB AB AB ABU i i i= ⇒ = ⇒ =
42 V3
CDCD
AB
U Ui
= ⇒ =
208 V3CD DE DEU U V U+ = ⇒ =
102 A3DE CE CEU i i= ⇒ =
2 10 4A3 3AB CEI i i I= + = + ⇒ =
( )( )18 18V 4A 72WGeradorFotovoltaico
P I= ⋅ = =
min
72 72%100
GeradorFotovoltaico
Lu osa
P
Pη = = ∴η =
Uma certa usina termoelétrica tem por objetivo produzir eletricidade para consumo residencial a partir da queima de carvão. São consumidas 7,2 toneladas de carvão por hora e a combustão de cada quilo gera 72 10 J× de energia. A temperatura de queima é de 907ºC e existe uma rejeição de energia para um riacho cuja temperatura é de 22 ºC. Estimativas indicam que o rendimento da termoelétrica é 75% do máximo admissível teoricamente. No discurso de inauguração desta usina, o palestrante afirmou que ela poderia atender, no mínimo, à demanda de 100.000 residências. Admitindo que cada unidade habitacional consome mensalmente 400 kWh e que a termoelétrica opera durante 29,63 dias em cada mês, o que equivale a aproximadamente 62,56 10× segundos, determine a veracidade daquela afirmação e justifique sua conclusão através de uma análise termodinâmica do problema.
Q u e s t ã o 0 7
Q u e s t ã o 0 8
Resolução: 1) O rendimento máximo teórico é o rendimento do ciclo de carnot, assim:
22 2731 1 75%907 273
Cmáx máx
H
TT
+η = − = − ⇒ η =
+
logo, o rendimento da termo elétrica será: 0,75 56,25%termo máx termoη = η ⇒ η =
2) Calculando potência total da termoelétrica 1kg carvão – 72 10 J/h⋅
37,2 10 kg⋅ carvão – TP 10 7 714,4 10 J/h 4 10 J/s 4 10 WT TP P= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅
( )( )70,5625 4 10útiltermo útil termo T
T
P P PP
η = ⇒ = η ⋅ = ⋅
72,25 10 WútilP = ⋅
( )( )72,25 10 W 29,63 24hútil útilQ P t= ⋅ Δ = ⋅ × 71,6 10 kWhútilQ = ⋅
3) Calculando quantidade de energia consumida pelas casas 7100.000 400kWh 4 10 kWhcasas casasQ Q= ⋅ ⇒ = ⋅
útil casasQ Q∴ < . O palestrante é um demagogo.
Cinco cubos idênticos, de aresta L e massa específica μ , estão dispostos em um sistema em equilíbrio, como mostra a figura. Uma mola de constante elástica k é comprimida e ligada ao centro do cubo, que se encontra sobre o pistão do cilindro maior de diâmetro D de um dispositivo hidráulico. Os demais cilindros deste dispositivo são idênticos e possuem diâmetro d. Em uma das extremidades do dispositivo hidráulico existe um cubo suspenso por um braço de alavanca. Na outra extremidade existe outro cubo ligado a fios ideais e a um conjunto de roldanas. Este conjunto mantém suspenso um cubo totalmente imerso em um líquido de massa específica ρ .
Sendo g a aceleração da gravidade e desprezando as massas da alavanca, pistões, fios e roldanas, determine: 1. a relação La/Lb dos comprimentos do braço de alavanca no equilíbrio em função de ρ e μ ; 2. o comprimento Δ x de compressão da mola para o equilíbrio; Resolução:
P P P
P
P
La Lb
L
T’T T
T
2TE
NN’N” Fel
1 2
a) 1) Para a alavanca
0 0 aa b
b
L TTorques PL TL L pΣ = ⇒ − = ⇒ =
Q u e s t ã o 0 9
2) Para o corpo submerso 0 2 0força E T PΣ = ⇒ + − =
3 32 0gL T gLρ + −μ =
( ) 312
T gL= μ −ρ
como 'T T= , temos:
( ) ( )3
3
12
2a a
b b
gLL LTL p LgL
μ − ρ μ −ρ= = ∴ =
μ μ
b) Pelo princípio de Pascal:
2 2 2 2
'' ''
2 2
F N N N NA d Dd D= = ⇒ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Para o bloco 1: ''N P Fe= + Para o bloco 2: N P T= −
( )3 33
2 2 2 2
12
gL gLP T P kx gL kxd D d D
μ − μ − ρ− + μ += ⇒ =
( )23
22DgLx
K d⎡ ⎤μ − ρ
= − μ⎢ ⎥⎣ ⎦
Um pequeno corpo é lançado com velocidade inicial, tendo componentes
vx = -2 m/s; vy=3 m/s e vz=2 m/s em relação ao referencial XYZ representado na figura. A partícula sai do chão na posição (0,4; 0; 0) e atinge o plano YZ quando sua altura é máxima. Neste instante, é emitido deste ponto um raio de luz branca que incide no cubo de vidro encaixado no chão com uma única face aparente no plano XY e cujo centro se encontra no eixo Y. O cubo tem aresta L e sua face mais próxima ao plano XZ está à distância de 1 m. Determine: 1. a posição em que o corpo atinge o plano YZ; 2. qual das componentes da luz branca, devido à refração, atinge a posição mais próxima do centro da face que está oposta à aparente, considerando que o raio incidente no cubo é o que percorre a menor distância desde a emissão da luz branca até a incidência no cubo. Dados: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2;
índice de refração do ar: nar =1, 00. tabela com índices de refração do vidro para as diversas cores:
Q u e s t ã o 1 0
Resolução: a)
z
y
x
B y z(0; ; )
A(0,4;0;0)
1) Z OZv v gt= −
2 10O t= − 0,2st =
2) 2 2 2Z OZv v gZ= −
4 2O OZ= − 0,2mZ =
3) yyvt
=
3 0,6m0,2y y= ⇒ =
( )0; 0,6; 0,2B =
b) Por Snell - Descartes
θ
θ
βL
0,4
0,2
L2
B (0;0,6;0,2)
arn sen n sen⋅ θ = ⋅ β
0,4 0,510,2 1,25
n⋅ = ⋅
2n = ∴ violeta