física do ambiente agrícola

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Unidade Acadêmica de Serra Talhada

Curso: Agronomia

Disciplina: Física do Ambiente Agrícola

Professor: Mário Oliveira

Data: 15 /08/2011

1

Notas

• Aprovação Qualificada: .

• Aprovação Simples: se , pode-se fazer a final:

• A primeira e a segunda verificação serão divididas em duas partes. A primeira parte com 4,0 pontos e a segunda parte com 6,0 pontos.

• Primeira V.A. : 09/05/2011 e 12/05/2011• Segunda V.A.: 16/06/2011 e 20/06/2011• Terceira V.A.: 07/07/2011• V.A. Final: 18/07/2011• Aulas extras: 24/03/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00), 14/04/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-

10:00), 19/05/2011 (Sala 02 Bloco 03 08:00-10:00), 26/05/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00), 02/06/2011(Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00)

0,7..3..2..12

1

5/35/25/35/2

AVAVAV aaa

0,3..3..2..12

1 AVAVAV aaa

0,5....3..2..12

1

2

1

FinalAVAVAVAV aaa

2

Faltas

• 25% é o limite máximo.• O número máximo de faltas é 19.

Listas de Exercícios

https://sites.google.com/site/ensinodefisicanauast/home/listas-de-exercicios

Gabaritos

https://sites.google.com/site/ensinodefisicanauast/home/gabaritos

3

Bibliografia

• Fundamentos de Física I,II, IV Halliday e Resnick. Editora L.T.C., 2009, 8a ed..

• Física I, Sears e Zemansky, Addison Wesley, 2006, 10a ed.

• Física, Volume 1, Paul A. Tipler, Gene Mosca, Editora L.T.C., 2006, 5a ed.

4

Física do Ambiente Agrícola

Turma: SA3Código da Disciplina: FISC5002

5

Movimento Retilíneo

Unidade I

6

Movimento

• Quando um objeto ocupa lugares diferentes em tempos diferentes, dizemos que ele está em movimento.

• O movimento mais simples é aquele que acontece sobre uma linha reta. Para simplificar ainda mais, vamos considerar o objeto como um ponto: ponto material (ponto dotado de massa).

• O movimento retilíneo (sobre uma linha reta) é o que vamos tratar no início.

7

Posição e Deslocamento

• Posição é uma coordenada do referencial do observador, representada por um vetor que aponta da origem (onde está o observador) até o objeto que estamos estudando (partícula).

• É a trilha deixada pela partícula quando se move de uma posição para outra.

• Sua unidade no S.I. é o metro.

12 xxx Deslocamento 1-D

12 rrr Deslocamento 2-D ou 3-D

8

Exemplo 4-1

9

Solução

10

Exemplo 4-2

11

Solução

12

13

(b) Podemos obter as seguintes coordenadas para x e y nos seguintes tempos:

Tempo (s) Coordenada x (m) Coordenada y (m)

0 28 30

5 56,25 -10

10 69 -39

15 66,25 -57

20 48 -64

25 14,25 -60

x

y

Velocidade Média

• Velocidade média é a medida da rapidez de uma partícula em um intervalo de tempo. É obtida através da inclinação da secante que une dois pontos no gráfico da posição em função do tempo. Unidade do S.I.: m/s.

passadofuturo

passadofuturomédia tt

xx

t

xv

Velocidade média 1-D

passadofuturo

passadofuturomédia tt

rr

t

rv

Velocidade média 2-D ou 3-D14

x

tt1 t2

x1

x2

médiavtan

A velocidade média faz parte da secante à trajetória da partícula.

15

Velocidade Escalar Média

• A velocidade escalar média mede a rapidez, mas sem considerar o sentido ou a direção do deslocamento.

• É definida com a razão entre a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto no percurso:

t

percorridaDistânciasmédia

16

Exemplo 2-1• Você dirige uma picape ao longo de uma estrada retilínea por 8,4 km a 70

km/h, quando ela para por falta de gasolina. Nos próximos 30 minutos, você caminha ao longo da estrada na direção de um posto de gasolina.

• (a) Qual o deslocamento desde do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina?

• (b) Qual é o intervalo de tempo desde do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina?

• (c) Qual é a velocidade média do começo da viagem até a chegada ao posto de gasolina? Encontre-a numericamente e graficamente.

• (d) Suponha que para pegar a gasolina, pagar e voltar até o carro; você gaste 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média desde do começo da viagem até a volta até o carro

17

Solução

18

19

8,4

10,4

Velocidade instantânea

• Quando desejamos analisar a rapidez em um instante de tempo, usamos a velocidade instantânea. Ela é dada pela derivada da posição em relação ao tempo ou pela inclinação da tangente no gráfico da posição em função do tempo. Unidade do S.I.: m/s.

t

x

dt

dxv

t

0lim

Velocidade instantânea 1-D

jdt

dyi

dt

dx

t

r

dt

rdv

tˆˆlim

0

Velocidade instantânea 2-D

20

x

tt1t2

x2

x1

α

Tan(α)=v

A velocidade instantânea faz parte da tangente à trajetória da partícula.

21

Velocidade Escalar

• A velocidade escalar instantânea é o módulo da velocidade instantânea:

vs

22

Exemplo 2-3

• A posição de uma partícula se movendo em um eixo x é dada por:

• x=7,8+9,2t-2,1t3

• Com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade em t= 3,5 s? A velocidade é constante ou está variando continuamente?

23

Solução

24

Exemplo 4-3

• Para o coelho do Exemplo 4-2, encontre a velocidade no tempo t=15 s.

25

Solução

26

Aceleração• A aceleração média mede o avanço ou recuo da velocidade em um intervalo de tempo. É dada pela inclinação da secante em um gráfico de velocidade contra tempo. Unidade do S.I.: m/s2

12

12

tt

vv

t

va

Aceleração média 1-D

jt

vi

t

v

tt

vv

t

va yx ˆˆ

12

12

Aceleração média 2-D

27

t1 t2

v2

v1

α

Tan (α) = amédia

28

Aceleração Instantânea• A aceleração instantânea é a medida do avanço ou do recuo da velocidade em certo instante de tempo. Unidade do S.I.: m/s2

t

v

dt

dva

t

0lim

Aceleração instantânea 1-D

jdt

dvi

dt

dv

t

v

dt

vda yx

tˆˆlim

0

Aceleração instantânea 2-D

29

v

tt1 t2

v2

v1

α

30

Exemplo 2-4

31

Solução

32

Exemplo 4-4

• Para o coelho do Exemplo 4-2 e 4-3, encontre a aceleração do coelho para t=15s.

33

Solução

34

Θ=145o

Aceleração Constante

Posição inicial.Velocidade inicial.

Velocidade inicial.

35

Equação de Torricelli

Velocidade inicialPosição inicial

36

Exemplo 2-5

• A cabeça de um pica-pau está se movendo para frente com uma velocidade de 7,49 m/s até o bico encontrar o tronco da árvore. O bico para depois de penetrar o tronco em 1,87 mm. Assuma que a aceleração é constante, encontre o módulo da aceleração em unidades de g.

37

Solução

38

Exemplo 2-6

• A Figura abaixo mostra o gráfico da velocidade v da partícula contra a posição, quando a partícula se move ao longo do eixo x com aceleração constante. Qual é a velocidade da partícula em x=0?

39

8

20

70 x(m)

v (m/s)

Solução

4050

Exemplo 4-5

42

Solução

43

Queda livre

• Queda livre é quando a partícula, que está sendo estudada, se move somente pela influência da gravidade da Terra.

• Supondo o ar rarefeito, podemos considerar o movimento nas proximidades da superfície da Terra com uma queda livre.

• Próximo ao nível do mar e para regiões planas (planícies e planaltos), podemos dizer que a gravidade da Terra impõe que os objetos se movam com aceleração constante para baixo e de módulo constante igual a g=9,8 m/s2.

44

Exemplo 2-7• Em 26 de setembro de 1993, Dave Munday foi para o lado canadense das

Cataratas do Niágara equipado com uma bola de aço com um furo de ar para entrada de ar e caiu 48m na direção da água (e das rochas). Assuma que a velocidade inicial foi zero, e despreze a resistência do ar.

• (a) Quanto durou a queda de Munday até atingir a superfície da água?• (b) Munday conseguia contar três segundos até a queda, mas não podia

ver o quanto ele tinha caído a cada segundo. Determine a sua posição no final de cada segundo.

• (c) Qual era a velocidade de Munday quando ele atingiu a superfície da água?

• (d) Qual era a velocidade de Munday no final de cada segundo? Ele podia perceber o aumento da velocidade?

46

Solução

47

48

Tempo(segundo) Posição(metro)

0s 48m

1s 43,1m

2s 28,4m

3s 3,9m

50

Tempo (segundo)

Velocidade (m/s)

0 0

1 -9,8

2 -19,6

3 -29,4

proporcionais e é difícil distinguir um do outro.

Exemplo 2-8• Na figura abaixo, um jogador joga uma bola de beisebol para cima com um velocidade de 12 m/s ao longo do eixo y.

• (a) Quanto tempo a bola leva para chegar na sua altura máxima?

51

y

52

(b) Qual é a altura máxima da bola em relação ao seu ponto de partida?

(c) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura de 5m em relação ao seu ponto de partida?

Solução

• (a) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade da bola for nula, pois ela deve parar de subir. Substituindo essa condição na equação para a velocidade em função do tempo:

• (b) Podemos obter a altura máxima usando a equação da posição em função do tempo:

53

gtvv 0 tsmsm 2/8,9/120 sst 224,18,9

12

54

200 2

tg

tvyy

mssm

ssmy 348,7224,12

/8,9224,1/120 2

2

(c) A equação da posição em função do tempo pode fornecer o tempo necessário para que a bola atinja 5m de altura:

200 2

tg

tvyy 22

2

/8,9/1205 t

smstmm

55

05.

12.

9,42

seg

t

seg

t

segtousegt

segsegt

916,1532,0

.8,9

782,6

8,9

12.

)9,4(2

59,4414412

Movimento em Duas e Três Dimensões

Unidade II

56

Movimento de Projéteis

• Quando lançamos objetos e os deixamos somente sobre a influência da gravidade da Terra, temos um movimento balístico. A partícula estudada é tida como um projétil.

• Considere a componente horizontal da posição como x e a componente vertical como y.

• O ângulo da velocidade inicial com o eixo x é o ângulo de lançamento do projétil.

57

x

y

θ0

O movimento horizontal é independente do movimento vertical. O movimento horizontal tem velocidade constante, enquanto oMovimento vertical possui aceleração constante.

58

Equação de Torricelli:

02,0

2 2 yygvv yy

Eliminando o tempo através do uso da equação para a componente horizontal da posição, podemos obter a equação que determina a forma geométrica da trajetória:

2

00

0000 cos2

tan

v

xxgxxyy

Percebemos que sem a presença da gravidade da Terra (g=0), o projétil seguiria uma linha reta. Entretanto, a trajetória é parabólica. A parábola possui concavidade para baixo e cresce sua concavidade com o aumento da velocidade inicial e da aceleração da gravidade.

(*)

60

Exemplo 4-6

• Na Figura abaixo, um avião de resgate voa à 198 km/h (=55 m/s) e uma altura constante de 500 m dirigindo-se a um ponto diretamente sobre a vítima, onde uma balsa deve ser lançada.

h

61

62

(a)Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto até a vítima, onde a balsa deve chegar?

(b)Quando a cápsula atinge a água, qual deve ser sua velocidade em termos de vetores unitários e na notação módulo e ângulo ?

Solução

• (a) O ângulo da linha de visada é oposto ao deslocamento horizontal do avião e adjacente à altura do avião, sua tangente é dada pela razão do deslocamento horizontal pela altura do avião. O deslocamento horizontal pode ser calculado através do uso da equação da componente vertical da posição (para encontrar o tempo) e da componente horizontal (para encontrar o deslocamento):

63

64

2000 2

tg

tsenvyy

22

2

/8,90/555000 t

smsensmm o

sst 101,108,9

000.1

tvxx 000 cos

mssmx o 555,555101,100cos/55

111,1500

555,555tan

m

m

h

x

o48

65

(b) A equação para a velocidade em função do tempo possui duas componentes. A componente horizontal é constante e a componente vertical varia linearmente com o tempo:

smsmvv ox /550cos/55cos 00

tgsenvvy 00

smssmsensmv oy /990,98101,10/8,90/55 2

jsmismv ˆ/990,98ˆ/55

oesmv 943,60/243,113

Exemplo 4-7

66

67

(b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão ?

Solução

• (a) Podemos obter o alcance das balas de canhão com o uso combinado das equações para a componente horizontal em função do tempo e da componente vertical em função do tempo. A componente vertical em função do tempo permite obter o tempo de voo da bala de canhão:

68

Movimento Circular Uniforme

• Quando uma partícula possui um trajetória em forma de círculo dizemos que seu movimento é circular.

• Se o movimento é realizado percorrendo deslocamentos angulares proporcionais aos tempos gastos para realizá-los, temos um movimento circular uniforme.

• O movimento circular é periódico, devido à forma do fechada do círculo.

• O movimento circular sendo não-reto possui aceleração. Apesar disso o M.C.U. (movimento circular uniforme) possui velocidade de módulo constante (e direção, sentido variáveis)

71

x

y

θ

R

Partícula se movendo em movimento circular uniforme.

v

r

72

Para um observador no centro do círculo, temos para um movimento circular uniforme com raio R e período T:

i)Componente x da posição:

ii) Componente y da posição:

T

tRx

2cos

T

tsenRy

2

Esse resultado vem da decomposição do vetor posição em coordenadas cartesianas e da proporção existente entre o ângulo percorrido e o tempogasto para atingir esse ângulo.

73

Para obter a velocidade, basta efetuar a derivada da posição em relação ao tempo.

Componente x da velocidade:

Componente y da velocidade:

Fazendo o produto escalar com o vetor posição, observamos que o mesmo é nulo. Portanto, o vetor posição e a velocidade são perpendiculares. Um resultado esperado, pois a velocidade faz parte da tangente ao círculo. O módulo da velocidade é dado por:

Comprimento do círculo dividido pelo período.

T

tsen

T

Rvx

22

T

t

T

Rvy

2cos

2

,2

T

Rv

74

A aceleração pode ser obtida como derivada da velocidade em relação ao tempo:

Componente x da aceleração:

Componente y da aceleração:

A aceleração é centrípeta (aponta para o centro do círculo):

O módulo é dado por:

T

t

R

vax

2cos

2

T

tsen

R

vay

22

R

r

R

va

2

R

va

2

75

A frequência do movimento circular uniforme é dada por (unidade do S.I. é o hertz):

Tf

1

A velocidade angular do movimento circular uniforme é dada por (unidade do S.I. é rad/s) :

R

vf 2

76

Exemplo 4-10

• Pilotos de caça sempre se preocuparam em fazer uma volta muito fechada. Quando o piloto sofre os efeitos da aceleração centrípeta, com a cabeça ao longo do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro decresce, levando à perda das funções cerebrais. Há vários sinais de aviso. Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g, o piloto se sente pesado.

77

Solução

• Como a velocidade muda de sentido durante o loop, temos que o loop corresponde a um semicírculo. Sendo assim, o tempo do loop corresponde a um meio período e o período do M.C.U. é portanto T=48s. Com o período podemos obter o raio da trajetória, mas antes devemos calcular a velocidade escalar:

79

Movimento Relativo

• As medidas feitas por um observador são, em princípio, diferentes das realizadas por outro observador.

• Considere a relatividade de Galileu, onde temos observadores que se separam um do outro através de uma velocidade constante.

• Temos o observador A (Alex) em repouso sobre o solo e o referencial B(Bárbara) em movimento com velocidade constante, em linha reta horizontal, em relação à Alex (ou ao solo).

81

Dois Referenciais de Galileu

Alex Bárbara

Objeto

VBA

xOBxOA

82

Transformações de Galileu

OAOB

OABAOAOB

tt

tvxx

Dicionário das posições e tempos

BAOAOB vvv Dicionário de velocidades

83

Invariantes

• Tempo (tempo absoluto).• Aceleração.• Força.• Qualquer lei física, e em especial,as fórmulas que representam a lei física.

Um referencial de Galileu é conhecido como referencial inercial, pois deixa as leis de Newton invariantes.

84

Exemplo 4-11

85

Solução

87

Relatividade 2-D

OBr

OAr

BAv

Objeto

Alex

Bárbara

89

Transformações de Galileu

OAOB

OABAOAOB

tt

tvrr

Dicionário das posições e tempos.

BAOAOB vvv

Dicionário de velocidades.

Um referencial que não obedece à relatividade de Galileu é conhecido como referencial não-inercial. (Por exemplo, um observador girando em torno de um eixo fixo no espaço).

90

Exemplo 4-12

91

92

N

L

20o

Solução

93

Força e Movimento

Unidade III

95

Primeira Lei de Newton

96

• A primeira Lei de Newton supõe que o observador é inercial (obedece à relatividade de Galileu), e portanto, admite que um observador que se move com velocidade constante em relação à ele é equivalente a esse observador em questão.

• Um observador inercial sempre garante que na ausência de forças temos que a partícula observada se move em linha reta com velocidade constante (M.R.U.) ou permanece em repouso.

• Dessa forma, na ausência de forças a partícula está em equilíbrio. Este equilíbrio pode ser estático, se tivermos repouso (ausência de movimento); ou dinâmico, se tivermos um movimento retilíneo uniforme.

• Um corpo em M.R.U. ou repouso está inerte do ponto de vista da dinâmica.• Quanto mais massa (quantidade de matéria) um corpo tiver, maior será a sua

inércia (tendência a permanecer em equilíbrio).• As outras leis de Newton também exigem que o observador seja inercial.• Força é a causa unidimensional do movimento (puxar, empurrar, etc.)• Força resultante é a soma vetorial de todas as forças.• O efeito combinado de um conjunto de forças é dado pela força resultante.

97

Segunda Lei de Newton

A força resultante que age sobre um corpo é dada pelo produto da massa do corpo por sua aceleração.Unidade de Força no S.I.: Newton (N).Unidade de massa no S.I.: quilograma (kg)

98

• Devemos fazer um diagrama de corpo livre isolando as forças que atuam sobre o corpo observado.

• Em seguida, devemos somar as forças que atuam sobre o corpo; obtendo a força resultante.

• Resta obter massa ou aceleração do corpo, em questão, dependendo das medidas feitas ou dos dados fornecidos.

• A segunda lei de Newton propõe que o fator entre força (causa do movimento) e aceleração (efeito do movimento) é a massa. Por isso a massa é conhecida como a inércia do corpo (em coordenadas cartesianas).

• Quanto maior a massa, menor será a aceleração adquirida pelo corpo.• Quanto maior a força, maior será a aceleração adquirida pelo corpo.

99

Exemplo 5-3

100

101

(A) (B) (C)

Solução

102

Exemplo 5-2

• Na vista superior da Figura, uma lata de biscoitos de 2kg é acelerada a 3m/s2 na orientação definida por , em uma superfície horizontal sem atrito. A aceleração é causada por três forças horizontais, das quais apenas duas são mostradas; , de módulo 10N e , de módulo 20N. Qual é a terceira força, , em termos dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo?

104

a

1F

2F

3F

105

50o

a

2F

1F30o x

y

Solução

• A segunda lei de Newton para o problema diz que a soma das três forças é igual ao produto da massa pela aceleração. Esta equação vetorial corresponde a duas equações escalares:

106

yyyy

xxxx

maFFF

maFFF

,3,2,1

,3,2,1

oy

ox

masenFFsenF

maFF

5030

50cos030cos

,320

1

,30

1

oy

o

ox

o

sens

mkgFNNsen

s

mkgFN

5032203010

50cos3230cos10

2,3

2,3

NF

NF

y

x

4,10

5,12

,3

,3

107

jNiNF ˆ4,10ˆ5,123

Em coordenadas cartesianas, a terceira força vale:

Para obter a força em coordenadas polares, devemos calcular o módulo da força e o ângulo que ela faz com o eixo x:

2,3

2,33 yx FFF NF 163

x

y

F

F

,3

,3tan o40

Força Gravitacional

Terra

108

Força Normal• Esta é a força que aparece devido

ao contanto entre duas superfícies.

• É perpendicular a superfície onde o corpo observado foi posto.

• Surge para impedir que o corpo, ao permanecer sobre a superfície, acabe deformando a superfície em questão.

• Sua ausência indica que o corpo não está mais sobre a superfície.

109

Força Elástica

A força elástica é sempre oposta ao deslocamento, de maneira a garantir o retorno da mola à sua posição de equilíbrio.

110

Tensão (Tração)

• Quando prendemos uma corda a um objeto, a corda realiza uma força conhecida como tensão da corda; fazendo o objeto se mover.

• Essa força aponta do objeto para a corda.

111

Resistência do Ar

112

Terceira Lei de Newton

Quando dois corpos interagem, as forças que um corpo realiza sobre outro são iguais em módulo e têm sentidos opostos.

A B

114

A terceira lei de Newton nos diz como um sistema mecânico se forma. O sistema se forma aos pares como um corpo agindo (ação) e outro reagindo (reação), com forças opostas.Existem duas versões da terceira lei:

Fraca: o par de forças (ação e reação) são opostos, mas não estão nalinha que une os corpos.Forte: o par de força (ação e reação) são opostos e estão na linha que une os corpos.

A terceira lei de Newton é uma expressão da conservação do momento. Um dos princípios mais queridos da Física.

115

Exemplo 5-4

• A Figura mostra um bloco D (o bloco deslizante) de massa M=3,3 kg. O bloco está livre para se mover ao longo de uma superfície horizontal sem atrito e está ligado, por uma corda que passa por uma polia sem atrito, a um segundo bloco P (o bloco pendente), de massa m=2,1 kg. As massas da corda e da polia podem ser desprezadas em comparação com a massa dos blocos.

116

117

Enquanto o bloco pendente P desce, o bloco deslizante D acelera para a direita. Determine (a) a aceleração do bloco D, (b) a aceleração do bloco P e (c) a tensão na corda.

M

m

Bloco deslizante D

Bloco pendente P

Superfície sem atrito

Solução

• Diagrama de corpo livre para o bloco D:

• Diagrama de corpo livre para o bloco P:

118

T

gF

NF

gF

NF

119

A segunda lei de Newton para o bloco D é dada por (esquecendo o movimento na direção vertical):

A segunda lei de Newton para o bloco P é dada por:

Subtraindo a equação (II) da equação (I), podemos obter o módulo da aceleração dos dois blocos (eles têm o mesmo módulo de aceleração, pois estão unidos por uma corda e perfazem o mesmo deslocamento em um dado intervalo de tempo):

Substituindo na equação (I) obtemos a tensão na corda:

)(IMaT

)(IIammgT

28,3s

mg

mM

ma

gmM

MmT

Exemplo 5-5

• Na Figura, uma corda puxa para cima uma caixa de biscoitos ao longo de um plano inclinado sem atrito cujo ângulo é

A massa da caixa é m=5kg, e o módulo da força exercida pela corda é T=25N. Qual é a componente a da aceleração da caixa ao longo do plano inclinado?

120

o30

121

Corda

θ

Solução

• Diagrama de corpo livre para o bloco:

122

90º-θ

T

gF

x

y

NF

123

O movimento se dá ao longo do eixo x (paralelo ao plano inclinado) a componente da força gravitacional é negativa e tem módulo dado pelo produto do peso pelo seno da inclinação do plano inclinado. Portanto a segunda lei de Newton para este caso é:

mamgsenT gsenm

Ta

Se a tensão da corda estivesse ausente, a inclinação do plano iria reduzir a aceleração do bloco (comparando com uma queda livre) com um fator dado pelo seno da inclinação do plano inclinado. O valor da aceleração é dado por:

21,0s

ma

Portanto o bloco acelera para cima com uma aceleração de módulo baixo. Na ausência da corda cairia com uma aceleração menor em módulo que a aceleração da gravidade.

Exemplo 5-7

• A Figura mostra um arranjo no qual duas forças são aplicadas a um bloco de 4kg em um piso sem atrito, mas apenas a força está indicada. Essa força tem módulo fixo, mas o ângulo θ entre ela e o semi-eixo x positivo pode variar. A força é horizontal e seu módulo é constante. A Figura mostra a aceleração horizontal ax do bloco em função de θ no intervalo . Qual é o valor de ax para θ=180º ?

124

1F

2F

o900

125

θ

1F

0o90o

1

2

3

θ

ax (m/s2)

Solução

• A segunda lei de Newton para o bloco pode ser aplicada apenas para a direção onde ocorre o movimento (eixo x):

• Podemos usar o primeiro ponto do gráfico para obter:

• O segundo ponto do gráfico fornece uma segunda equação:

• Substituindo a segunda equação na primeira equação, obtemos:

126

maFF 21 cos

)(1221 INFF

)(22 IINF

NF 101

127

Portanto a aceleração para um ângulo de 180º será:

A aceleração para esse ângulo vale:

m

F

m

Fax

201 180cos

22s

max

Exemplo 5-9

128

129

AB

Solução

• Diagrama de corpo livre para o bloco A:

130

• Diagrama de corpo livre para o bloco B:

131

Exemplo 6-5

134

Solução

135

Atrito

• Atrito é a resistência que uma superfície impõe a um corpo se movendo sobre ela.

• O atrito é tangencial à superfície envolvida.• O atrito é uma força oposta a força (resultante) que atua sobre um corpo, fazendo

com que ele se mova (ou tenha tendência a se mover) sobre uma superfície.• O atrito passa por três etapas. Primeiro, o atrito equilibra a força resultante que

age sobre corpo sobre a superfície. Segundo, o atrito atinge um valor máximo, na iminência do movimento, de módulo proporcional à força normal que age sobre o corpo. Terceiro, quando o corpo se move o atrito reduz seu valor, mas ainda é proporcional à força normal que a superfície impõe sobre o corpo.

• Juntos, atrito e força normal, representam as forças que uma superfície realiza sobre um corpo em contato com ela. A força normal empurra o corpo para fora da superfície e o atrito impede o movimento do corpo sobre a superfície.

137

Propriedades do Atrito

138

Exemplo 6-1

Se a roda de um carro estiver travada (impedida de girar) durante uma frenagem de emergência, o carro desliza pela pista. Pedaços queimados de pneus e pequenos trechos derretidos da pista formam as marcas de derrapagem. O recorde de marcas de derrapagem que ocorreu em uma via pública aconteceu em 1960 em um Jaguar na rodovia M1 na Inglaterra – as marcas tinha 290m de comprimento!

139

140

v=0

290m

Solução

• Diagrama de corpo livre para o carro:

141

Exemplo 6-3

143

144

O bloco desliza sobre uma rampa e está preso por várias cordas (apenas uma é mostrada). A rampa é lubrificada com água para diminuir o coeficiente de atrito estático para 0,4. Assuma atrito desprezível no ponto (lubrificado) onde as cordas passam pelo canto superior da rampa. Se cada homem homem no topo da pirâmide puxa com uma força (razoável) de 686 N , quantos homens são necessários para colocar o bloco na iminência do movimento?

y xθ

Solução

• Diagrama de corpo livre para o bloco:

145

θ

Força Centrípeta

147

Exemplo 6-7

• Em um apresentação circense de 1901, Allo “Dare Devil” Diavolo apresentou o desafio de fazer uma bicicleta atravessar um loop (Figura). Assumindo que o loop é um círculo de raio R=2,7m, qual é a menor velocidade que Diavolo deve ter no topo do loop para permanecer em contato com a pista?

148

149

R

Solução

• Diagrama de corpo livre no topo do loop:

150

Direção centrípeta

Exemplo 6-8

• Até mesmo os aficionados por montanha-russa se amedrontam quando pensam no Rotor, que é essencialmente um grande cilindro oco que está rodando em torno do seu eixo central. Antes de uma volta começar, o participante entra por uma porta lateral e se apoia em uma parede coberta com uma lona. A porta é fechada e quando o cilindro começa a girar, o participante e a parede giram juntos.

152

Solução

• Diagrama de corpo livre para o participante

154

Direção centrípeta

y

sf

gF

NF

155

(a) A segunda lei de Newton possui duas componentes: a centrípeta e a vertical

A força de atrito estática é sempre menor que o produto do coeficiente de atrito estático pelo módulo da força normal:

Portanto a velocidade mínima será dada por:

R

vmF

Ff

N

gs2

0

sss

sN

Rgv

Rgf

m

RF

m

Rv

,2

smsmmRg

vs

/17,74,0

/8,91,2 2

min

156

(b) O módulo da força centrípeta é dado pela componente centrípeta da segunda lei de Newton:

N

m

smkg

R

vmFN 200.1

1,2

/17,749

22

Energia Cinética e Trabalho

Unidade IV

157

6.4 Energia Cinética

158

Exemplo 7-1

• Em 1896 em Waco, Texas, William Crush estacionou duas locomotivas em lados opostos de um ferrovia de 6,4km de comprimento, e as permitiu colidir na velocidade máxima na frente de 30.000 espectadores. Assumindo que cada locomotiva pesava 1,2x106N e que a aceleração foi constante e igual à 0,26 m/s2, qual era a energia cinética total das duas locomotivas imediatamente antes da colisão?

159

Solução

• Podemos usar a Equação de Toriccelli para obter a velocidade das duas locomotivas no instante da colisão:

• A massa de cada locomotiva é dada por:

• A energia cinética total das duas locomotivas é dada por:

160

smvmsmxavv /8,40,102,3/26,0202 32220

2

kgsm

N

g

Pm 5

2

6

1022,1/8,9

102,1

JsmkgmvK 8252 102/8,401022,12

12

Trabalho de uma força constante e de uma força variável

yFxFW yx

161

cosFdW

Trabalho (conceito)

• O trabalho é a quantidade de energia necessária para fazer a partícula romper com seu estado de equilíbrio.

• Somente as componentes da força paralelas ao deslocamento contribuem para o trabalho.

• Energia é a capacidade de um sistema físico de mudar ao longo do tempo.

162

Exemplo 7-2• Dois espiões industriais estão deslizando um cofre de massa 225kg,

inicialmente estacionário, de um deslocamento de módulo 8,5m ao longo da horizontal, indo na direção do caminhão deles. O empurrão do espião 001 faz um ângulo de 30o com a horizontal e aponta para baixo e tem módulo 12N; o empurrão do espião 002 tem módulo 10N e faz um ângulo de 40o com a horizontal e aponta para cima. O módulo e a direção das forças não mudam quando o cofre é deslocado horizontalmente, e o atrito entre o cofre e o piso é desprezível.

• (a) Qual o trabalho total feito pelos dois espiões durante o deslocamento do cofre?

• (b) Durante o deslocamento, qual é o trabalho da força gravitacional sobre o cofre e qual o trabalho da força normal do piso sobre o cofre?

• (c) O cofre está inicialmente em repouso, qual é a velocidade final do cofre após do deslocamento?

164

Solução

• (a) O trabalho realizado pelo espião 001 é dado por:

• O trabalho realizado pelo espião 002 é dado por:

• O trabalho total é a soma do trabalho dos dois espiões:

165

JmNdFdFW 33,8830cos5,812cos 0111

JmNdFW o 11,6540cos5,81022

JWWW 4,15321

166

(b) O trabalho da força gravitacional é dado por:

O trabalho da força normal é dado por:

Ambos trabalhos são nulos, pois as forças gravitacional e normal são perpendiculares ao deslocamento!

(c) O trabalho total é portanto dado pela soma do trabalho dos dois espiões e é igual a variação da energia cinética (teorema do trabalho e energia cinética):

A velocidade final é dada por:

090cos 0 dFW gg

090cos 0 dFW N

m

WvmmvKW ff

2,0

2

1

2

1 222

sm

kg

J

m

Wv f /17,1

225

4,15322

Trabalho realizado pela força gravitacional

• Como a força gravitacional aponta na direção vertical e é constante, temos:

• A massa da partícula é m, o módulo da aceleração da gravidade é g e y é a altura do objeto.

finalinicialg yygmW

167

Exemplo 7-6

• Um elevador de massa m=500kg está descendo com velocidade ,quando o cabo de sustentação começa a deslizar fazendo com que o elevador caia com aceleração

• (a) Durante a queda de 12m, qual é o trabalho da força gravitacional sobre o elevador?

• (b) Durante a queda de 12m, qual é o trabalho sobre o elevador realizado pela tensão no cabo de sustentação?

• (c) Qual é o trabalho resultante sobre o elevador durante a queda?

• (d)Qual é a energia cinética do elevador no fim da queda de 12m?

168

smvi /4

5

ga

Solução

• (a) O trabalho da força gravitacional é dado por:

• (b) Para obter o trabalho da tensão no cabo, considere a segunda lei de Newton:

• O trabalho da tensão na corda será dado por:

169

JmsmkgygmWg42 1088,512/8,9500

gmTg

mmgTamFT g

5

4,

5,

JmsmkgmgdTdWT420 107,412/8,9500

5

4

5

4180cos

170

(c) O trabalho total é a soma dos trabalhos da força gravitacional e da tensão no cabo:

(d) A energia cinética final pode ser obtida através do teorema do trabalho e energia cinética, utilizando o trabalho total e a velocidade inicial:

JWWW gT41018,1

if KKKW

JJsmkgWmvK if4422 1058,11018,1/4500

2

1

2

1

Trabalho da força elástica

• A força elástica é diretamente oposta ao sentido do deslocamento da mola, portanto é uma força variável. Seu trabalho é dado por:

• A constante de mola é k e x é o deslocamento da mola.

22

2

1

2

1finaliniciale xkxkW

171

Exemplo 7-8

• Na Figura, um pote de cominho de massa m=0,4kg desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma velocidade v=0,5m/s. Então atinge uma mola de constante elástica k=750N/m e a comprime. Quando o pote é parado momentaneamente pela mola, de que distância d a mola é comprimida?

172

173

Sem atrito

mvk

Solução

• O trabalho da força elástica é dado por:

• A variação da energia cinética é dada por:

• O teorema do trabalho e energia cinética diz que:

174

22222

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1kddkkkxkxW fi

22222

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1mvmvmmvmvK if

cmmsmmN

kgv

k

mdmvkd 2,1102,1/5,0

/750

4,0,

2

1

2

1 222

Potência

• A potência média de uma força, atuando durante um intervalo de tempo Δt, é dada pelo razão do trabalho realizado pela força pelo intervalo de tempo:

• A potência instantânea é dada pela derivada do trabalho realizado pela força em relação ao tempo:

• A unidade de potência no S.I. é o Watt (W).

t

WPmédia

dt

dWP

175

Podemos relacionar a potência média com a força média atuando sobre a partícula e a velocidade média:

Também podemos relacionar a potência instantânea diretamente com a força aplicada sobre a partícula, e a sua velocidade instantânea:

Durante o movimento de uma máquina mecânica (por exemplo, um carro), somente a energia dissipada para o ambiente não é utilizada pela máquina. Podemos definir o rendimento da máquina, η, como a razão entre a potência utilizada, Pu , e a potência total fornecida à máquina, que é soma da potência utilizada com a potência dissipada, Pt = Pu + Pd . Sendo assim,

médiamédiamédiamédiamédia vFvFP

cosFvvFP

t

u

P

P

176

Exemplo 7-11

• Duas forças constantes agindo sobre uma caixa quando a caixa se desloca para a direita sobre um piso sem atrito. A primeira força é horizontal e aponta no sentido oposto ao da velocidade, com módulo 12N; a segunda força faz um ângulo de 60o com o piso e tem módulo 4N. A velocidade da caixa em certo instante é 3 m/s. Qual é a potência devida à cada força naquele instante e qual a potência resultante? O trabalho total está variando naquele instante?

177

Solução

• A potência da primeira força é dada por:

• A potência da segunda força é dada por:

• A potência resultante é dada pela soma das duas potências:

• Como a potência é a derivada do trabalho em relação ao tempo, temos que o trabalho não está variando naquele instante.

178

WsmNvFvFP 65,0/3460cos 0222

WsmNvFvFP o 61/32180cos111

0P

Energia Potencial e Conservação de Energia

Unidade IV

179

Energia Potencial

180

•O valor numérico da energia potencial depende de um valor de referência escolhido pelo observador. Geralmente o valor da energia potencial na origem (onde está o observador), ou no infinito (muito distante do observador).•Este valor de referência é, geralmente, o número zero.•A energia potencial, assim, se torna uma função da posição atribuindo valores em energia para a possibilidade da partícula passar por a posição observada.•O trabalho é realizado através da extração da energia potencial do sistema; transformando potencial em energia cinética, fazendo a partícula sair de uma posição para outra.

181

A força aplicada sobre a partícula pode ser obtida a partir da energia potencial:

Um mínimo na energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio estável (onde a força sobre a partícula é nula, sem causas para se mover naquele ponto).

Um máximo na energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio instável (onde a força sobre a partícula é nula, sem causas para se mover naquele ponto).

dx

dUF

U

x

U

x182

Exemplo 8-2

• Uma preguiça repousa sobre um galho colocado a 5m acima do solo.

• (a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema Terra-preguiça se o ponto de referência y=0 é escolhido como sendo (1) o solo, (2) um balcão três metros acima do solo, (3) no galho, (4) 1 m acima do galho? Considere a energia potencial gravitacional como sendo nula em y=0.

• (b) A preguiça desce até o chão. Em cada situação qual á a variação da energia potencial gravitacional do sistema Terra-preguiça durante a descida?

183

Solução

• (a) (1) Tomando o solo como ponto de referência, temos para a energia potencial gravitacional:

• (2) Considerando o balcão como ponto de referência, a altura da preguiça vale 2m, portanto:

• (3) Tomando o galho como ponto de referência, a altura da preguiça vale 0, portanto:

184

JmsmkgmgyU 985/8,92 2

JmsmkgmgyU 2,392/8,92 2

JsmkgmgyU 00/8,92 2

185

(4) Escolhendo o ponto de referência como estando a um 1m acima do galho, a altura da preguiça vale -1m, portanto:

(b) Para todos os pontos de referência observa-se que a variação na altura da preguiça foi -5m, portanto a variação na energia potencial será a mesma nas quatro situações:

JmsmkgmgyU 6,191/8,92 2

JmsmkgymgU 985/8,92 2

Força conservativa e força dissipativa

• Força conservativa é aquela em que o trabalho em uma trajetória fechada é nulo. Com isso o trabalho da força conservativa independe do caminho. Exemplo: força gravitacional e força elástica.

• Força dissipativa é aquela em que o trabalho em uma trajetória fechada é diferente de zero. Exemplo: força de atrito.

186

Energia Mecânica

• A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial:

• Para partículas submetidas à uma força conservativa, temos um dos princípios mais queridos da Física: a conservação da energia (mecânica)! A energia mecânica não muda com o passar do tempo.

UKEmecânica

finalinicial EE

187

•No caso de forças dissipativas, a energia mecânica não é conservada. Neste caso, ela se transforma em outras formas de energia: calor, som, etc. Sendo assim, a energia mecânica acaba diminuindo, enquanto a energia do ambiente (onde a partícula se encontra) acaba aumentando; através da injeção de energia devida ao trabalho das forças dissipativas.• O trabalho das forças dissipativas é igual a variação da energia mecânica do sistema:

•Apesar da energia mecânica não ser conservada, a energia do sistema : ambiente mais partícula é conservada. Sendo assim, podemos garantir que a energia (total) ainda é conservada.

mecânicaasdissipativ EW

188

Exemplo 8-3

• Uma criança de massa m desce até o solo através de um toboágua à uma altura de 8,5m acima do solo. Assumindo que o toboágua é uma superfície sem atrito devido à água contida nele, obtenha a velocidade da criança quando ela chega ao solo.

189

Solução

• Como não existe atrito no toboágua, a energia mecânica é conservada durante o deslocamento da criança. No alto do toboágua a sua energia mecânica é devida à energia potencial:

• Quando chega no solo, a energia mecânica da criança é devida somente a energia cinética:

190

mghEtopo

2

2

1mvEsolo

191

Como a energia mecânica se conserva, temos a seguinte equação:

solotopo EE

2

2

1mvmgh

smmsmghv /135,8/8,922 2

Exemplo 8-7

• Na Figura, um pacote de pamonha desliza sobre um piso com velocidade . Ele atinge, então, uma mola; comprimindo-a até parar momentaneamente. O caminho até a mola, inicialmente relaxada, é sem atrito, mas a partir do instante em que o pacote começa a comprimir a mola, uma força de atrito de módulo 15N atua sobre o pacote. Se k=10.000 N/m, de que distância d a mola é comprimida pelo pacote?

192

smvi /4

193

Pacote de Pamonha

iv

k

Solução

• Como existe atrito durante a compressão da mola, não podemos assumir que a energia mecânica se conserva. Neste caso o trabalho da força de atrito será igual a variação na energia mecânica. A energia mecânica inicial era devida à energia cinética do pacote:

• A energia mecânica final é devida à energia potencial elástica da mola:

194

2

2

1ii mvE

22

1dkE f

195

O trabalho da força de atrito será dado por:

Este trabalho será igual a variação na energia mecânica:

A equação anterior pode ser escrita na seguinte forma:

Cuja solução será:

A solução negativa foi esquecida pois seria uma solução inválida, pois apontaria uma distensão da mola e não uma compressão. Substituindo os valores:

dfdfW kk

if EEEW

02

1

2

1 22 ik mvdfkd

k

kmvffd ikk

22

cmm

mN

smkgmNNNd 5,5055,0

/000.10

/42)/000.10()15(15 22

Exemplo 8-8

• A figura mostra uma encosta montanhosa e um vale aonde um deslizamento acontece. As rochas tem uma massa total m, caem de uma altura y=H, movem-se de uma distância d1 ao longo de uma encosta de inclinação θ=450 , e depois movem de uma distância d2 ao longo de um vale plano. Qual é a razão , se o coeficiente de atrito cinético tem um valor razoável de 0,6?

196

H

d2

197

y=0

y=HRochas

Vale

d1

d2θ

Solução

• A energia mecânica no início deslizamento é devida apenas a energia potencial gravitacional das rochas:

• A energia mecânica final é nula:

• Para obter a força de atrito na encosta considere o diagrama de corpo livre:

198

mgHEi

0fE

199

NF

gF

kf

θθ

x

y

A segunda Lei de Newton para a componente y é dada por:

De maneira que a força de atrito cinética será dada por:0cos mgFN

cos1, mgf kk

200

Para obter a força de atrito cinético no vale, vamos utilizar o seguinte diagrama de corpo livre:

NF

gF

kfx

y

A segunda Lei de Newton para a componente y é dada por:

Portanto a força de atrito cinético no vale será:

O trabalho da força de atrito será dado por:

0 mgFN

mgf kk 2,

2122,11, cos mgdmgddfdfW kkkk

201

A distância d1 pode ser obtida em termos da altura da encosta, H, através do uso da trigonometria:

De maneira que o trabalho da força de atrito é dado por:

O trabalho da força de atrito é igual a variação na energia mecânica:

Resolvendo a equação anterior para d2/H, nós obtemos:

sen

Hd

d

Hsen 1

1

,

2tan

dH

mgW k

mgHdH

mgEW k

2tan

,

67,045tan

1

6,0

1

tan

110

2 kH

d

Centro de Massa e Momento Linear

Unidade V

202

Centro de Massa

• O centro de massa é a partícula equivalente que substitui todas as partículas de um sistema, possuindo a massa total do sistema de partículas.

• O centro de massa é a média ponderada das posições das partículas, com a massa de cada partícula sendo o peso associado à cada posição da partícula:

n

ii

n

iii

CMn

ii

n

iii

CMn

ii

n

iii

CM

m

zmz

m

ymy

m

xmx

1

1

1

1

1

1 ,,

203

Exemplo 9-1

• Três partículas de massa m1=1,2kg, m2=2,5kg e m3=3,4kg formam um triângulo equilátero de lado a=140 cm. Qual é o centro de massa do sistema?

204

y

x

aa

a

m1 m2

m3

Solução

• As posições das partículas são dadas por:

• Componente x do centro de massa:

205

Partícula Componente x da posição

Componente y da posição

1 0 0

2 a=140cm 0

3 a/2=70cm cma 1202

3

cmkgkgkg

cmkgcmkgkg

mmm

xmxmxmxCM 83

4,35,22,1

704,31405,202,1

321

332211

206

Componente y do centro de massa:

cmkgkgkg

cmkgkgkg

mmm

ymymymyCM 58

4,35,22,1

1204,305,202,1

321

332211

Para o caso de um corpo contínuo, devemos trocar a soma por um integral e as massas pela densidade (“derivada” da massa em relação ao comprimento, área e volume do corpo).

Unidimensional:

Bidimensional:

Tridimensional:

M

dlzz

M

dlyy

M

dlxx CMCMCM

,,

M

dAzz

M

dAyy

M

dAxx CMCMCM

,,

M

dVzz

M

dVyy

M

dVxx CMCMCM

,,

207

Exemplo 9-2

• A Figura mostra um disco de densidade superficial de massa uniforme de raio 2R em que um buraco de raio R foi feito em uma linha de montagem. Utilizando o sistema de coordenadas xy mostrado, encontre a posição do centro de massa do disco.

208

209

x

y

Solução

• Primeiro devemos encontrar o centro de massa de um disco homogêneo. Como a densidade superficial de massa é constante, apenas devemos buscar o centróide (centro geométrico) do disco:

• Portanto o centróide se localiza no centro do disco!

210

0,0

cos

20

2

02

0

2

0

R

drrdrsen

yR

drrdr

x

R

CM

R

CM

211

O centro de massa da placa poderá ser obtido através do centro de massa do disco completo, para isso considere o disco sendo composta pelo disco com o buraco, S, e o buraco, B, D=S+B. Sendo o disco composto por essas duas partículas, nós obtemos a seguinte equação:

Resolvendo as duas equações, nós encontramos a posição do disco com o buraco:

02

)0(2

02

)(2

2

222

2

222

R

RyRRy

R

RRxRRx

SD

SD

03

s

s

y

Rx

A força que atua sobre a partícula equivalente, o centro de massa é a força resultante que atua no sistema de partículas (ou corpo contínuo). A massa do centro de massa é a massa total do sistema de partículas, M; sua aceleração é a derivada segunda da posição do centro de massa em relação ao tempo.

A segunda lei de Newton para o centro de massa é dada por:

onde

,,, ,,,,,, zCMzresyCMyresxCMxres aMFaMFaMF

2

2

,2

2

,2

2

,

1

,,

,

dt

zda

dt

yda

dt

xda

mM

CMzCM

CMyCM

CMxCM

n

ii

212

Exemplo 9-3

• As três partículas na Figura estão inicialmente em repouso. Cada uma experimenta forças devidas às partículas fora do sistema. As direções estão indicadas, e os módulos são F1 = 6N, F2=12N e F3=14N. Qual a aceleração do centro de massa do sistema, e em que direção ele se move?

213

214

θ=45o

8kg4kg

4kg

x

y

Solução

215

Momento linear

• O momento é relacionado com a capacidade de um ente físico mudar de um lugar para outro (no espaço).

• Para uma partícula pontual (ponto dotado de massa), o momento linear (em um sistema coordenadas cartesiano, referencial de Galileu) é dado por:

vmp

217

Momento linear do C.M.

• Para um sistema de partículas, o momento do sistema de partículas é o momento do centro de massa (momento da partícula equivalente)

• O momento do centro de massa é a soma dos momentos de cada partícula:

• Para o caso contínuo, o momento do centro de massa (momento do corpo) é dado em termos da densidade de massa:

dt

rdMPvmP CM

CM

n

iiiCM

,1

dVvP

218

Impulso• O impulso, J, de uma força mede o quanto a força (efetivamente) contribuiu para produzir movimento sobre a partícula em um intervalo de tempo:

• Através da segunda lei de Newton, podemos obter o teorema do impulso momento-linear:

tFdtFJ média

iCMfCMresifres PPJpppJ ,,,

219

Exemplo 9-5

• Colisão contra o muro de carros de corrida. A Figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida quando entra em rota de colisão com um muro de proteção. Imediatamente antes da colisão, ele está trafegando com uma velocidade vi=70m/s ao longo de uma linha reta fazendo um ângulo de 30º com o muro. Imediatamente depois da colisão a velocidade era vf=50m/s e fazia um ângulo de 10º

com o muro. A massa do piloto é m=80kg.• (a) Qual é o impulso sobre o piloto devido à colisão?• (b) A colisão dura 14ms. Qual é o módulo da força média que

age sobre o piloto durante a colisão?

220

Solução

221

O impulso faz com que a conservação do momento seja quebrada. Sendo assim, somente a presença da força durante aquele intervalo de tempo impede a conservação do momento.

Tipo de Choque Conservação Condição do sistema de partículas

Elástico. Energia Cinética.Momento Linear.

Isolado.Sem forças internas.

Inelástico. Momento Linear. Isolado.Com forças internas.

Choques Mecânicos

223

Conservação do momento linear

• Se as forças externas que atuam sobre um sistema possuem uma resultante nula, o momento linear é conservado.

• Isto se deve à forma geral da segunda lei de Newton (que admite a mudança da massa com o decorrer do tempo):

finalinicial PP

dt

PdF

dt

pdF CM

resres

,

224

Exemplo 9-6

• Explosão unidimensional. Uma urna de votação de massa m=6kg desliza com velocidade v=4 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1=2kg, se move no sentido positivo do eixo x com velocidade v1=8 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?

225

Solução

226

Exemplo 9-8

228

229

50o

80o

x

y

A

B

C

Solução

230

Exemplo 9-9

• O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade de projéteis antes que os dispositivos eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na Figura era composta por um grande bloco de madeira de massa M=5,4kg, pendurado por duas cordas compridas. Uma bala de massa m=9,5g é disparada contra o bloco e sua velocidade se anula rapidamente. O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro de massa subindo a uma distância h=6,3 cm antes de o pêndulo parar momentaneamente no final da trajetória em arco de circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da colisão?

232

233

h

M

m

Solução

• Como a velocidade da bala se anula rapidamente, forças internas agem dentro do sistema. Entretanto, as forças externas durante o impacto são nulas (a força gravitacional e a tensão na corda se anulam). Dessa forma, o momento linear é conservado e a energia cinética não é conservada, ou seja, a colisão é inelástica.

234

Exemplo 9-11

• Duas esferas metálicas, inicialmente suspensas por cordas verticais, apenas se tocam, como mostra a Figura. A esfera 1, de massa m1=30g, é puxada para a esquerda até a altura h1=8cm e liberada a partir do repouso. Na parte mais baixa da trajetória ela sofre uma colisão elástica com a esfera 2, cuja massa é m2=75g. Qual é a velocidade v1f da esfera 1 imediatamente após a colisão?

237

238

1

m1

2

m2

h1

Solução

239

Rotação

Unidade VI

242

Cinemática da rotação• Uma rotação é um movimento que efetua arcos de círculo em torno de um eixo (fixo) no espaço. Para estudar uma rotação devemos utilizar as coordenadas cilíndricas (raio, ângulo e coordenada cartesiana ao longo do eixo). Se durante a trajetória, a partícula mantém seu raio fixo e o plano de rotação também, podemos determinar a posição da partícula através de um ângulo (unidade do S.I. é radiano).

243

x

y

z

θ

r

Coordenadas cartesianas: (x,y,z)

Coordenadas cilíndricas: (r,θ,z)

Eixo de rotação

244

Deslocamento angular

• Quando a partícula muda de um ângulo para outro, ela deixa um pequeno rastro em forma de arco de círculo; o deslocamento angular:

Unidade do S.I.: radiano (rad)12

245

Velocidade Angular

• A velocidade angular média é a razão entre o deslocamento angular realizado e o intervalo de tempo gasta para efetuá-lo:

• A velocidade angular instantânea é a derivada do ângulo em relação ao tempo:

t

dt

d

246

Aceleração Angular

247

Exemplo 10-1

248

Solução

• (a) Para fazer o gráfico considere a seguinte tabela para a posição angular

249

t(segundos) Θ(radianos)

-3 3,05

0 -1

5,4 3,05

251

Considere a seguinte tabela para a dependência da velocidade angular em relação ao tempo

t(segundos) ω(radianos/segundo)

-3 -2,1

6 2,4

252

(d) O movimento se inicia no segundo quadrante com sentido do movimento dado pelo sentido horário. Segue indo para o quarto quadrante e a partir de 1,2 segundos o sentido do movimento muda para o sentido anti-horário atingindo o primeiro quadrante em 2,8 segundos e depois retornando para o segundo quadrante completando uma volta.

Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.)

253

Exemplo 10-3

254

Solução

255

Decomposição em coordenadas polares

257

Exemplo 10-5

260

261

(a) Que ângulo θP o arco deve subtender para que a seja 4g no ponto P?

(b) Qual é o módulo a da aceleração experimentada pelo passageiro no ponto P e depois de passar pelo ponto P?

P

θP

Ponto de embarque

Solução

262

Momento de Inércia

• Assim como modificamos a causa para uma rotação, devemos modificar a inércia para a rotação.

• A inércia da rotação é dada pela distribuição das massas em torno do eixo de rotação (momento de segunda ordem):

• Partícula pontual:

• Sistema de partículas:

• Corpo contínuo:

2rmI

n

iii rmI

1

2

dVrIdArIdlrI 222 ,,

264

Teorema dos Eixos Paralelos

265

Exemplo 10-6

• A Figura mostra um corpo rígido formado por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível.

• (a) Qual é o momento de inércia ICM em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra?

• (b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo?

266

267

L/2L/2

m mCM

Solução

268

Exemplo 10-7

• Considere uma barra fina, uniforme, de massa M e comprimento L, sobre um eixo x cuja origem está no centro da barra.

• (a) Qual é o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo seu centro?

• (b) Qual é o momento de inércia I da barra em relação a um novo eixo perpendicular à barra passando pela extremidade esquerda?

269

Solução

270

Energia Cinética da Rotação

• Uma partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo girando em torno de um eixo fixo no espaço possui energia cinética dada por:

• I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

2

2

1 IK

272

Torque

• Diante de uma rotação, temos que modificar a causa do movimento de uma força (linear, cartesiana) para o torque :

• O torque, definido pelo produto vetorial, aponta na direção do eixo de rotação.

• Somente forças perpendiculares à direção radial são capazes de modificar uma rotação.

• As coordenadas cilíndricas (r,θ e z), possuem uma coordenada reta. Em razão disso, o torque (causa de uma rotação) é um vetor; como a causa de uma translação (força).

Fr

273

r

F

Eixo de rotação.

zyx FFF

zyx

kji ˆˆˆ

FrFrsenFr

θ é o ângulo entre o vetor posição e a força.

é o braço de alavanca.

é a componente tangencial da força.

r

F

274

Segunda Lei de Newton para Rotações

• Com as modificações na inércia e na massa, podemos obter a segunda lei de Newton para rotações:

• Como se vê basta modificar a causa (torque), efeito (aceleração angular) e inércia (momento de inércia).

I

275

Exemplo 11-3

276

277

x

y

z

θ

Solução

278

279

O torque associado à terceira força é dado por:

kmNimN

N

mm

kjiˆ2,5ˆ3

020

5,106,2

ˆˆˆ

3

Exemplo 10-9

• A Figura mostra um disco uniforme com massa M=2,5kg e raio R=20cm, montado em uma eixo fixo horizontal. Um bloco de massa m=1,2kg está pendurado em uma corda sem massa que está enrolada na circunferência do disco. Encontre a aceleração do bloco que cai, a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não desliza e não há atrito no eixo de rotação.

280

281

M

m

Solução

• Diagrama de corpo livre para o disco

282

R

T

283

A segunda lei de Newton para rotações diz que o torque deve ser igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular. O momento de inércia de um disco (em relação a um eixo passando pelo centro de massa) é dado por:

A segunda lei de Newton é dada por:

Diagrama de corpo livre para o bloco:

22

0 02

2

2

1MRrdrd

R

MrI

R

MaTR

aMRRTIRT

2

1

2

1 2

T

gF

284

Segunda lei de Newton para o bloco:

Reunindo a segunda lei de Newton para o disco e a segunda lei de Newton para o bloco, obtemos:

Portanto, a aceleração do bloco vale

A aceleração angular do disco vale

agmTammgT

gM

m

maagmMa

22

1

228,48,9

25,2

2,1

2,1

s

m

s

mkg

kg

kga

2

2

242,0

8,4

s

rad

msm

R

a

285

A tensão na corda é dada pela segunda lei de Newton para rotações aplicada ao bloco:

Ns

mkgMaT 68,45,2

2

1

2

12

Trabalho e energia cinética da rotação• O trabalho realizado por um torque sobre uma partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo é dado por:

• Este trabalho também obedece ao teorema do trabalho e energia cinética:

• A potência de um dado torque é dada por:

2

1

dW

22

2

1

2

1inicialfinal IIKW

PP médiamédiomédia ,

286

Exemplo 10-2

• Uma chaminé cilíndrica começa a tombar quando sua base é danificada. Trate a chaminé como uma barra fina de comprimento L=55m (Figura). Qual é a sua velocidade angular ω no instante em que faz um ângulo θ=35º com a vertical?

287

288

CML

L/2

y

θ

Solução

289

Rolamento, Torque e Momento Angular

Unidade VII

291

Rolamento como uma combinação de translação e rotação

292

A Energia Cinética do Rolamento

• Sendo o rolamento a composição de uma translação com uma rotação, a energia cinética do rolamento é composta de duas parcelas (uma para translação e outra para rotação):

22

2

1

2

1CMCM MvIK

293

Forças do Rolamento• Como a força normal e a força gravitacional atuam no centro de massa do corpo, é preciso a presença da força de atrito dinâmica para garantir o corpo movimento.

• Se o corpo está rolando em um plano horizontal:

• Caso o corpo esteja rolando em um plano inclinado:

RaCM

21MRI

gsena

CMCM

294

Exemplo 11-2

• Uma bola uniforme, de massa M=6kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo θ=30º.

• (a) A bola desce uma distância vertical h=1,2m para chegar à base da rampa. Qual é a sua velocidade ao chegar à base da rampa?

• (b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ele desce a rampa rolando?

295

Solução

296

Momento Angular

• Devemos modificar a definição do momento para o caso da rotação:

• O momento angular aponta na direção do eixo de rotação e seu sentido é dado pela regra da mão direita aplicada ao vetor posição e momento linear.

• O momento angular é máximo na situação em que vetor posição e momento linear são perpendiculares (movimento circular).

prL

299

r

p

Eixo de rotação.

L

zyx ppp

zyx

kji ˆˆˆ

prprsenpr

θ é o ângulo entre o vetor posição e o momento.

é a componente do vetor posição perpendicular ao momento.

é a componente tangencial do momento

r

p

300

Exemplo 11-4

301

302

e passará a 4m do ponto O. Quais são o módulo e a orientação do momento angular total em relação ao ponto O do sistema formado pelas duas partículas?L

2p

1p

2r

1r2r

1r

Solução

• Como foram dadas as componentes do vetor posição perpendiculares às direções do momentos das partículas podemos calcular o módulo do momento angular de cada partículas como:

• O momento angular da primeira partícula aponta para fora do plano da figura e o segundo aponta para dentro do plano da figura (regra da mão direita). 303

s

mkg

s

mkgmprl

mkg

s

mkgmprl

2

222

2

111

824

21052

304

Como o momento angular da primeira partícula é maior que o da segunda partícula, o momento angular total aponta para fora do plano da figura. O seu módulo é dado por:

s

mkg

s

mkgL

22

2810

Se o corpo, partícula ou corpo contínuo estiver girando em torno de um eixo fixo com velocidade angular constante, podemos relacionar o momento angular diretamente com o momento de inércia:

IL

305

Segunda Lei de Newton para rotações

• O torque resultante que age sobre a partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo é igual à derivada em relação ao tempo do momento angular da partícula, corpo contínuo ou sistema de partículas.

dt

Ldres

306

Exemplo 11-5

• Na Figura um pinguim de massa m cai, sem velocidade inicial, do ponto A, a uma distância horizontal D da origem O de um sistema de coordenadas x,y,z. (O sentido positivo do eixo z é para fora do papel.)

• (a) Qual é o momento angular do pinguim em relação ao ponto O?

• (b) Qual é o torque em torno da origem devido à força gravitacional?

307

l

308

O

D

Solução

309

Exemplo 11-6• George Washington Gale Ferris, Jr, um engenheiro civil formado no

Instituto Politécnico Rensselaer, construiu a roda gigante original para a Exposição Mundial de 1893 em Chicago. A roda, uma impressionante construção para a época, tinha 36 carros de madeira, cada um com a capacidade de 60 passageiros, em um círculo de raio 38m. A massa de cada carro ficava em torno de 1,1x104kg. A massa da estrutura da roda vale 6x105kg estava concentrada no aro de metal que sustentava os carros. A roda completava uma volta em 2 minutos.

• (a) Estime o módulo do momento angular da roda, cabines e passageiros quando a roda realizava uma volta completa.

• (b) Se a roda acelerava do repouso até a velocidade desejada em um intervalo de tempo de 5 segundos, estime o módulo do torque resultante que age sobre a roda.

311

Solução

312

Conservação do momento angular

• Na ausência de torques externos, o momento angular de uma partícula, corpo contínuo ou sistema de partículas é conservado ao longo do tempo.

finalinicial LL

314

Exemplo 11-8

• Na Figura, uma barata de massa m caminha sobre um disco de massa 6m e raio R. O disco inicialmente gira com velocidade angular ω=1,5 rad/s no sentido anti-horário. A barata está inicialmente no raio r=0,8R, mas depois caminha até a borda do disco. Trate a barata como uma partícula. Qual é a sua velocidade angular final?

315

316

rR

ωi

Solução

317

Fluidos

Unidade VIII

319

Propriedades Básicas dos Fluidos• Um fluido é um objeto sem rigidez, suas partes podem se mover

umas em relação às outras.• Dessa forma, para entender um fluido é preciso estudar

quantidades que mostram a variabilidade das diversas partes de um fluido.

• Uma linha de corrente é a trajetória descrita por um ponto do fluido.

• A seção transversal do fluido é o corte feito por um plano atravessando o fluido.

Linha de corrente.

Seção transversal.

320

Densidade• Para medir a inércia de um fluido devemos utilizar a densidade (e

não a massa) do fluido. A densidade é dada pela derivada da massa (m) em relação ao volume do fluido (V):

• Em geral, a densidade depende de cada parte do fluido. Entretanto, temos o caso de um fluido uniforme com a densidade não apresentando mudança de uma parte para outra do fluido. Neste caso temos a densidade (uniforme) dada pela razão da massa do fluido pelo seu volume:

• Unidade no S.I.: kg/m3

V

mV

0lim

V

m

321

Pressão• Para analisar a causa do movimento devemos utilizar o

conceito de pressão, que é a causa que faz um pequeno elemento da seção transversal do fluido se mover (ΔA). A pressão é a derivada da força (F) em relação à área (A) da seção transversal do fluido:

• A força (F) utilizada para definir a pressão aponta na direção oposta à normal do fluido!

• Para o caso da pressão ser uniforme (não variar ao longo da seção transversal do fluido), a definição de pressão é dada por:

• Unidade do S.I.: Pascal (Pa).

A

Fp

A

0lim

A

Fp

322

Exemplo 14-1

• Uma sala de estar tem as dimensões do piso de 3,5m de largura e 4,2m de espessura e uma altura de 2,4m.

• (a) Quanto o ar dentro da sala pesa se a pressão do ar no sala é 1 atm?

• (b) Qual o módulo da força que o ar exerce no topo da sua cabeça, se você considere que a área correspondente vale 0,04 m2?

323

Solução

324

Hidrostática

• Para um fluido em repouso, sobre a influência da gravidade da Terra; a pressão depende apenas da componente perpendicular à seção transversal do fluido (altura, y, ou profundidade, h) e independe das componentes paralelas à seção transversal do fluido:

• Em termos da profundidade do fluido, temos (p0 é a pressão no topo do fluido):

Princípio de Stevin

2112 yygpp

hgpp 0

325

Exemplo 14-2

• Um mergulhador novato praticando em uma piscina inala ar suficiente do seu tanque até encher os pulmões até mergulhar até uma profundidade L e retornar à superfície. Ele ignora as instruções e não exala o ar durante a subida. Quando ele atinge a superfície, a diferença entre a pressão do ar nos seus pulmões e a pressão atmosférica é 9,3kPa. De que profundidade partiu?

326

Solução

327

Exemplo 14-3

328

329

l

d

Água

óleo

Interface

Solução

330

Princípio de Pascal

• Qualquer variação na pressão nas extremidades do fluido é transmitida a todas as partes do fluido de maneira igual:

• O princípio de Pascal é utilizado no elevador hidráulico, onde aplicamos uma força pequena em uma extremidade para obter uma força grande na outra extremidade:

extpp

11

22 F

A

AF

331

Princípio de Arquimedes

• Quando um objeto está imerso em fluido, aparece uma força que tenta expelir o objeto do fluido. Esta força é o empuxo, que segundo o princípio de Arquimedes é igual ao peso do líquido deslocado (pelo objeto):

deslocadolíquidolíquidodeslocadolíquido VgmgE

E

332

Exemplo 14-4

333

334

y

θ

x

Solução

335

336

O módulo do empuxo é dado pelo peso da água deslocada pela prancha:

As componentes da força de arrasto são dadas por:

O módulo da força de arrasto é dado por:

A direção da força de arrasto é dada pelo seguinte ângulo:

NsmmmkgVgE água22323 10509,28,9105,2024.1

NNsmkgEmgF

NsensmkgmgsenF

ya

xa

5,4539,25030cos8,983cos

7,406308,98302

,

02,

NFFF yaxaa 6092,

2,

11,17,406

5,453tan

,

, N

N

F

F

xa

ya

o48

Flutuação

• Para que um objeto flutue é preciso que a força gravitacional equilibre o empuxo exercido pelo fluido:

• Se a força gravitacional é maior que o empuxo, o objeto afunda dentro do fluido. Caso contrário, o objeto é expelido do fluido!

gFE

E

gF

337

Exemplo 14-5

338

Solução

339

Dinâmica dos fluidos

• Supondo que o fluido é incompressível (sua densidade é uniforme e não muda ao longo do tempo) e não possui vazamentos; temos a seguinte equação para a velocidade (da linha de corrente) e área (da seção transversal do fluido):

Equação da Continuidade

2211 vAvA

341

Exemplo 14-6

• A água cai de uma torneira afinando sua seção transversal quando cai. A área da seção transversal na boca da torneira é A0=1,2cm2 e a área da seção transversal na parte de baixo é A=0,35cm2. A boca da torneira e o nível inferior estão separados por uma distância h=45mm. Qual é a vazão volumétrica na boca da torneira?

342

Solução

343

Equação de Bernoulli

• Com o fluido se movendo, devemos substituir o princípio de Stevin pela equação de Bernoulli (expressão da conservação de energia):

2222

2111 2

1

2

1vygpvygp

345

Exemplo 14-7

346

Solução

347

Exemplo 14-8

• No Velho Oeste, um bandido acerta um tiro em um tanque de água com a tampa aberta, criando um buraco a uma profundidade h abaixo da superfície da água. Qual é a velocidade v da água que está saindo do tanque?

349

Solução

350

Temperatura, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica

Unidade IX

351

Introdução

• A termodinâmica trata da dinâmica que um sistema possui ao modificar o arranjo dos seus graus de liberdade internos.

• Para medir a agitação dos graus de liberdade internos, usamos a temperatura. Quente significa que o sistema está muito agitado e frio é a situação oposta.

• O calor é a energia transferida para o sistema que modifica os graus de liberdade internos, sem modificar os graus de liberdades externos; fazendo a temperatura do sistema variar.

• Trabalho é a energia transferida para o sistema capaz de modificar seus graus de liberdade externos.

352

Lei Zero da Termodinâmica

• Se um corpo está em equilíbrio termodinâmico com um certo corpo e também em equilíbrio termodinâmico com um terceiro corpo. Então o segundo e o terceiro corpos mencionados estarão em equilíbrio entre si.

• A temperatura é portanto uma função do estado do sistema!

353

Temperatura

• Existem várias escalas de temperatura, mas três são mais usadas no dia-a-dia.

• A escala Kelvin é a mais utilizada em artigos científicos. Seu zero é a menor temperatura que um sistema pode atingir.

• A escala Celsius é muito utilizada na medicina. Seu zero é o ponto de congelamento da água. O valor de 100 é atribuído para o ponto de ebulição da água.

• A escala Fahrenheit modifica os valores do ponto de congelamento da água para 32 e o ponto de ebulição para 212. Muito utilizada nos Estados Unidos.

354

Escalas de Temperatura

• A relação entre a escala Celsius, Tc, e Kelvin, T; é dada por:

• A relação entre a escala Celsius e Fahrenheit, TF, é dada por:

15,273TTC

CF TT5

932

355

Exemplo 18-1

• Suponha que você encontre velhos notas científicas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z em que o ponto de ebulição da água vale é 650Z e o ponto de congelamento é -14oZ. A qual temperatura da escala Fahrenheit uma temperatura de -98oZ irá corresponder? Assuma que a escala Z é linear, ou seja, o valor de um grau na escala Z é o mesmo em todo o intervalo da escala.

356

Solução

357

Dilatação Térmica• Quando um corpo sofre um aumento de temperatura, seu comprimento cresce proporcional ao incremento na temperatura:

• O coeficiente de dilatação linear é α.• O volume do corpo também cresce com o aumento de temperatura:

• O coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:

TLL

TVV

3

358

Exemplo 18-2

Em um dia quente em Las Vegas, um caminhão carregou 37.000L de óleo diesel. Ele encontrou tempo frio no caminho até Payson, Utah, onde a temperatura era 23K abaixo da temperatura em Las Vegas, onde ele entregou sua carga completa. Quantos litros ele entregou? O coeficiente de dilatação volumétrica do óleo diesel é 9,5x10-4oC-1, e o coeficiente de dilatação linear do aço do caminhão é 11x10-6oC-1?

359

Solução

360

Capacidade Calorífica

• Quando calor é injetado em um sistema, sua temperatura aumenta. A capacidade calorífica, C, é o fator entre o calor injetado, Q, e a variação de temperatura, ΔT:

• A capacidade calorífica é constante para a maioria dos materiais sólidos e líquidos.

if TTCTCQ

361

Calor Específico

• Para considerar somente a substância, introduzimos o calor específico; que é a razão entre a capacidade calorífica e a massa do material, m:

• O calor específico é constante para os materiais sólidos ou líquidos.

• O calor específico molar é dado em termos da quantidade de moles (número de moléculas dividido pelo número de Avogrado):

• Unidade do S.I.: J/kg K ou J/mol K.

if TTcmTcmQ

TcnQ molar

362

Calor Latente

• Durante uma transição de fases, a temperatura do material não muda até uma fase (sólida, líquida, gasosa, etc.) ter se convertido na outra.

• O calor absorvido,Q, durante a transição é dado por:

• A massa do material é m, enquanto L é o calor latente da substância para a transição considerada (calor de transformação).

• Unidade do S.I.: J/kg.

LmQ

363

Exemplo 18-3

(a) Quanto de calor deve ser absorvido por gelo de massa m=720g à -10oC para se transformar em água líquida a 15oC?

(b) Se você fornecer ao gelo somente 210kJ de energia (em forma de calor), qual é o estado final do gelo e sua temperatura?

364

Solução

365

Trabalho

• O trabalho mecânico realizado por um gás é dado pela integral da pressão contra o volume do gás:

• Esta é a energia necessária para modificar o volume de um gás (variável externa).

f

i

V

V

dVpW

368

Primeira Lei da Termodinâmica• A diferença entre o calor introduzido em um sistema e o trabalho

realizado pelo sistema independe do processo pelo qual o sistema passou e é igual a variação da energia interna do sistema (energia devida à agitação dos graus de liberdade internos):

• Para variações diferenciais, temos:

• A energia interna é função do estado do sistema! Mas o calor e o trabalho não são funções do estado do sistema (dependem do processo que o sistema passou)!

if EEWQE int,int,int

dWdQdE int

369

Processos Termodinâmicos

• Processo adiabático: É aquele (tão rápido) em que não há trocas de calor, Q=0.

• Processo isovolumétrico: É aquele em que o volume do sistema é mantido constante. O trabalho realizado pelo sistema é nulo, W=0.

• Processo isobárico: É aquele em que a pressão sobre o sistema é mantida constante. Neste caso

• Processo isotérmico: É aquele em que a temperatura é mantida constante.

VpW

370

Exemplo 18-5

Considere que 1kg de água líquida à 100oC pode ser convertida em vapor à 100oC por evaporação na pressão atmosférica padrão. O volume da água varia de 1x10-3m3 como água líquida para 1,671m3 como gás.(a)Quanto trabalho o sistema faz durante esse processo?(b) Quanto energia é transferida para o sistema em forma de calor durante o processo?(c) Qual é a mudança na energia interna do sistema durante o processo?

371

Solução

372

Imagens

Unidade X

374

Dois tipos de imagens

• Imagem Real: É a imagem formada do lado oposto ao que está o objeto, considerando o espelho como origem.

• Imagem Virtual: É a imagem formado do mesmo lado em que está o objeto, considerando o espelho como origem.

375

Leis da reflexão

• Quando a luz incide em um meio, podemos distinguir o ângulo de incidência (com a normal à interface, θi) e o ângulo de reflexão (com a normal à interface, θr).

θi θr

376

• O ângulo de incidência e de reflexão são iguais!

• A imagem pode ser formada pelos raios ou por seus prolongamentos.

• A imagem é real, se é formada do mesmo lado do objeto (com a interface na origem).

• A imagem é virtual, se formada do lado oposto ao objeto (com a interface na origem).

• A imagem pode ser ampliada ou reduzida.• Para obter a imagem fazemos os encontros dos raios que vêm das extremidades do objeto. 377

Espelhos Planos

• Os espelhos são superfícies que refletem a maioria da luz que incidem sobre elas!

• Um espelho plano é um espelho com uma superfície plana.

ObjetoImagem

378

• Em um espelho plano a imagem não apresenta ampliação!

• Em um espelho plano a imagem é virtual!• Em um espelho plano, a distância da imagem até o espelho é a mesma distância do objeto até o espelho!

379

Espelhos Esféricos

• É o espelho cuja superfície é uma porção de uma esfera.

• Pode ser côncavo, quando a superfície refletora é formada pela parte de dentro da esfera.

• Pode ser convexo, quando a superfície refletora é formada pela parte de fora da esfera.

380

• Os espelhos esféricos têm a propriedade de convergir/divergir os raios que vêm do infinito (paralelos entre si) para o foco do espelho.

• No caso do espelho côncavo, o espelho converge os raios para o foco. A distância focal é positiva (foco na frente do espelho).

• No caso do espelho convexo, o espelho diverge os raios do foco. A distância focal é negativa (foco atrás do espelho).

Espelho convexo Espelho côncavo

381

• Considerando a distância do objeto ao espelho como p, a distância da imagem ao objeto como i e a distância focal como f. Temos a seguinte equação para os espelhos esféricos:

• O módulo da distância focal é o metade do raio do espelho:

• A altura da imagem, , e altura do objeto h; estão relacionadas por:

•

fip

111

2

rf

´h

p

i

h

h

´

382

• Em um espelho esférico a imagem pode ser virtual ou real.

• Em um espelho esférico a imagem pode ser reduzida ou ampliada.

• Podemos prever esses comportamentos, localizando a posição da imagem em relação ao foco do espelho e seu centro através do encontro dos raios de luz (ou dos seus prolongamentos).

383

Exemplo 34-1

384

Solução

385

Leis da Refração

• A refração acontece quando os raios de luz atravessam de um meio para outro!

• Podemos distinguir o ângulo de incidência, θ1, e o ângulo de refração, θ2.

θ1

θ2

387

Lei de Snell

• O índice de refração é a razão da velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio:

• Os ângulos de incidência e refração são relacionados com os índices de refração do meio 1, n1, e meio 2, n2:

v

cn

2211 sennsenn

388

Exemplo 33-3

(a)Na Figura, um feixe de luz monocromático reflete e refrata no ponto A de uma interface de um material 1 com índice de refração n1=1,33 com um material 2 de índice de refração n2=1,77. O feixe incidente faz um ângulo de 50º com a interface. Qual é o ângulo de reflexão no ponto A? Qual é o ângulo de refração nesse ponto?

389

390

(b) A luz que penetra no material 2 no ponto A atinge o ponto B da interface do material 2 com o material 3, que é o ar, como mostrado na Figura. A interface onde está o ponto B é a paralela à interface onde está o ponto A. Em B, parte da luz reflete e outra parte entra no ar. Qual é o ângulo de reflexão? Qual é o ângulo de refração no ar?

Meio 1

Meio 2

Meio 3

A

B

Solução

391

Reflexão Interna Total

• Para ângulos maiores que o ângulo crítico, θc, a luz é totalmente refletida pela interface entre os dois meios. Neste caso a refração não existe, apenas a reflexão! O ângulo crítico é dado por:

1

21

n

nsenC

393

Exemplo 33-5

A proposta de um anel de diamantes, claro, é brilhar. Parte da arte de cortar um diamante é garantir que toda luz incidente sobre essas superfícies é refletida, garantido o brilho do diamante. A figura mostra um corte transversal de um diamante brilhante, com um raio de luz entrando no ponto A da superfície de cima. Neste tipo de corte, as superfícies de cima e de baixo tem normais que fazem um ângulo de 48,84º. No ponto B, pelo menos parte da luz é refletida e retorna para a superfície de cima, mas parte refrata e pode deixar o diamante. Considere um raio de luz incidente com um ângulo θ1=40o em A. A luz escapa se existe ar (n4 =1) sob a superfície de baixo? A luz escapa se uma superfície gordurosa (n4 =1,63) cobre a superfície? O índice de refração do diamante é ndia =2,419.

394

395

θ1

θ2

θ3

θ4

48,84o

Solução

396

Superfícies Refratoras Esféricas

• Se a interface entre os dois meios é uma porção de esfera, temos uma superfície refratora esférica.

• Se a superfície é côncava, o raio de curvatura é negativo. Se a superfície é convexa, o raio de curvatura é positivo.

• A superfície refratora esférica pode formar uma imagem de um objeto. A imagem pode ser real, se fica do lado oposto ao objeto (em relação à interface); ou virtual, se fica do mesmo lado do objeto (em relação à interface).

398

• Sendo p, a distância do objeto até a interface, e i, a distância da imagem até a interface; temos:

OI

C

r

nn

i

n

p

n 1221

399

Exemplo 34-2

Um mosquito jurássico foi descoberto dentro de uma pedra de âmbar, que tem índice de refração 1,6. Uma superfície do âmbar é côncava e tem raio de curvatura 3mm. A cabeça do mosquito está no eixo central da pedra de âmbar e, quando vista ao longo do eixo, aparenta estar enterrada a uma distância de 5mm dentro do âmbar. Qual é a verdadeira distância em que o mosquito está enterrado?

400

Solução

Como temos uma superfície refratora côncava, o raio de curvatura é negativo e vale r=-3mm. Foi dada a distância da imagem, que é negativa; já que o mosquito está do mesmo lado que a sua imagem (dentro do âmbar): i=-5mm. Dessa forma, a distância do mosquito até o vértice da superfície refratora esférica é dada através da equação:

401

Lentes Delgadas

• Se unirmos duas superfícies refratoras esféricas separadas de uma distância muito pequena, temos uma lente delgada.

• As lentes delgadas podem formar imagens através da convergência dos raios (lente convergente) ou do prolongamento dos raios, ou seja, da divergência dos raios (lente divergente).

403

• Temos a seguinte equação para as imagens das lentes delgadas:

Lente convergente Lente divergente

fip

111

404

Equação do Fabricante de Lentes

• A distância focal da lente é dada por (o meio que envolve a lente é o ar):

• Se a distância focal é positiva, a lente é convergente.; caso contrário, a lente é divergente.

• A ampliação da lente é dada por:

21

111

1

rrn

f

p

i

h

hm

´

405

Exemplo 34-4

Um louva-a-deus está em um eixo central de uma lente delgada simétrica, a 20cm da lente. A ampliação do louva-a-deus vale m=-0,25, e o índice de refração do material da lente é 1,65.(a)Determine o tipo de imagem produzida pela lente, o tipo de lente, se o louva-a-deus está do mesmo lado ou do lado oposto ao ponto focal, de que lado da lente a imagem aparece, e se a imagem é invertida.(b)Quais são os dois raios de curvatura da lente?

406

Solução

407

Instrumentos Óticos

O olho• O sistema córnea-cristalino dos olhos focaliza a luz sobre a retina, onde

ela é sentida pelos bastonetes e cones que enviam a informação ao longo do nervo ótico para o cérebro.

• Quando o olho está relaxado, o comprimento focal do sistema córnea-cristalino está em torno de 2,5 cm, que é a distância até a retina.

• Quando os objetos são colocados próximos aos olhos o cristalino varia de forma a diminuir o comprimento focal total, de tal modo que a imagem permaneça focalizada pela retina.

• A menor distância para a qual a imagem pode ser focalizada na retina é chamada de ponto próximo, tipicamente em torno de 25 cm.

410

• O tamanho aparente de um objeto depende do tamanho da imagem na retina e, portanto, maior o tamanho aparente do objeto.•Quanto mais próximo o objeto, maior sua imagem na retina e, portanto, maior o tamanho aparente do objeto.

411

Lupa

• Uma lupa simples cria uma imagem virtual cujo tamanho angular é maior do que o tamanho angular θ produzido pelo próprio objeto a uma distância igual a 25 cm , a distância mais próxima do olho para que se tenha um visão confortável.

• A ampliação angular produzida por uma lupa simples é dada pela razão entre o tamanho angular da imagem virtual e o tamanho angular do mesmo objeto nessa distância:

• Para uma lupa simples com distância focal f, obtemos M=(25 cm/f).

M

412

Microscópio Ótico

• No microscópio ótico a lente da objetiva forma uma primeira imagem no tubo do instrumento e a ocular forma uma imagem virtual final, geralmente no infinito, da primeira imagem.

• A ampliação angular é dada em termos das distâncias focais da objetiva, f1 e da ocular f2 e da distância da primeira imagem até a objetiva:

2

1

1

25

f

s

f

cmM

413

física do ambiente agrícola

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