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8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Fisica Generale A
http://campus.cib.unibo.it/2462/
May 29, 2015
Esercizio 1
• Un punto materiale di massa m = 0.1 kg è appoggiato su di un cuneo liscio, di massa M1 = ξm/100 e angolo α = 10º.
• Il cuneo, a sua volta, è vincolato a scorrere senza attrito su di un piano orizzontale liscio.
• Supponendo che inizialmente tutto sia in quiete e che il punto materiale si trovi a un’altezza h0 = 50 cm rispetto al piano orizzontale, calcolare: – La velocità di traslazione del cuneo quando il punto materiale è sceso sul
piano orizzontale; – Supponendo poi che il punto, una volta raggiunto il piano orizzontale,
incontri un secondo cuneo liscio, di massa M2 = 4m e angolo β = 20º, anch’esso libero di scorrere senza attrito sul piano orizzontale, calcolare la massima altezza h raggiunta dal punto materiale sul secondo cuneo.
• ξ = 300.
α β h0 M1 M2
m
2Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 1 (II)
• Le forze che agiscono sul punto e sul cuneo sono la forza peso e le reazioni vincolari (con vincoli ideali).
• Di conseguenza, durante la discesa del punto si conserva l’energia meccanica del sistema punto + cuneo.
• La quantità di moto del sistema punto + cuneo non si conserva in quanto la forza di gravità è esterna al sistema.
• Tuttavia, per la I equazione cardinale della dinamica si ha, per il sistema punto + cuneo: per cui si conservano le componenti orizzontali della quantità di moto del sistema punto + cuneo.
Q =
R e( ) ⇒
Qx =
Rx
e( ) = 0Qy =
Ry
e( ) = 0Qz =
Rz
e( ) = mg +Rt→c
⎧
⎨⎪
⎩⎪
3Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
p = mg
Rt→c
Rc→ p
Rp→c
Rc→t
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 1 (III)
• Sia v la velocità del punto quando esso ha raggiunto il piano orizzontale e v1 la velocità del cuneo quando il punto ha raggiunto il piano orizzontale;
• Scelto 0 il potenziale alla quota del piano orizzontale; • La conservazione dell’energia meccanica e della componente x della
quantità di moto tra l’istante iniziale e l’istante in cui il punto materiale raggiunge il piano orizzontale si scrive: – Infatti nell’istante iniziale tutto è in quiete per cui non si ha né energia cinetica
né quantità di moto, ma si il punto materiale possiede energia potenziale, trovandosi a una quota di h0 più alta rispetto al piano orizzontale;
– Nello stato finale non si ha energia potenziale, ma punto e cuneo possiedono quantità di moto ed energia cinetica.
EQx
mgh0 =12 M1v1
2 + 12 mv 2
0 = mv + M1v1
⎧⎨⎪
⎩⎪
4Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 1 (IV)
• Si ha dunque: mgh0 =
12 M1v1
2 + 12 mv
2
0 = mv + M1v1
⎧⎨⎪
⎩⎪
v1 = −mM1
v = −100ξv = −
100300v = −
13v
mgh0 =12ξ m100
−13v
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
+12mv 2
gh0 =123v 2
9+12v 2 =
23v 2 ⇒ v =
32gh0
v1 = −13v = −
1332gh0 = −
16gh0 =
= −169.81× 0.5 = −0.8175m s
5Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 1 (V)
• Raggiunto il piano orizzontale, il punto materiale procede con velocità v finché incontra il secondo cuneo e inizia a salire su di esso.
• La forza che il punto materiale esercita sul secondo cuneo ha una componente diretta come il verso positivo dell’asse x.
• Il secondo cuneo inizia quindi a muoversi, con velocità diretta come il verso positivo dell’asse x.
• Il punto materiale sale sul secondo cuneo finché ha componente x della velocità superiore a quella del secondo cuneo, acquistando energia potenziale e dunque perdendo energia cinetica.
• Quando il punto materiale ha componente x della velocità uguale a quella del secondo cuneo, si trova in quiete rispetto a esso e inizia a discendere.
6Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
p = mg
Rc→ p
Rp→c
Rt→cRc→t
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 1 (VI)
• La quota massima del punto materiale sul secondo cuneo si raggiunge quando il punto materiale è in quiete rispetto al secondo cuneo.
• Scriviamo la conservazione dell’energia meccanica e della componente x della quantità di moto:
– Prendendo come istante iniziale quello in cui il punto materiale si trova ancora sul piano orizzontale;
– E come istante finale quello in cui il punto materiale è in quiete rispetto al cuneo, e dunque ha la stessa velocità del secondo cuneo:
EQx
12 mv 2 = 1
2 m + M2( )v22 + mgh
mv = m + M2( )v2
⎧⎨⎪
⎩⎪
7Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 1 (VII)
• Avremo allora:
12 mv
2 = 12 m + M2( )v22 + mgh
mv = m + M2( )v2⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
v2 =m
m + M2
v =m
m + 4mv =
15v
12mv 2 = 1
2m + 4m( )v
2
25+ mgh
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
12mv 2 = 1
10mv 2 + mgh ⇒ gh = 2
5v 2
h = 25v 2
g=251g32gh0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=35h0 =
3550cm = 30cm
8Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
α β h0 M1 M2
m
⊗ x
z
y
Esercizio 2
• Un punto materiale di massa m = 2 kg si muove con velocità , di modulo pari a v = 10 m/s, avente direzione orizzontale e giacente su di un piano verticale.
• Il punto materiale urta elasticamente e istantaneamente nel punto A (vedi figura) una sbarra rigida omogenea di massa pari a M = 1 kg e lunghezza pari ad a = 1 m, incernierata allo stesso piano verticale nel punto O, con e .
• Determinare la velocità del punto materiale (indicandola positiva se concorde alla velocità prima dell’urto e negativa in caso contrario) e la velocità angolare della sbarra subito dopo l’urto.
• ξ = 27.
d = ξ2000 a
b = 1− ξ
1000( )a
9Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 2 (II)
• Nell’urto si conserva l’energia meccanica del sistema punto + asta, in quanto l’urto è perfettamente elastico.
• La quantità di moto invece non si conserva, in quanto l’asta è vincolata, e durante l’urto il vincolo esercita una forza esterna impulsiva (e dunque non trascurabile) sull’asta (altrimenti l’asta si metterebbe a ruotare attorno al proprio centro di massa).
• Tuttavia, tale forza esterna impulsiva è applicata nel punto O in cui è collocata la cerniera.
• Dunque tale forza esterna impulsiva ha momento nullo rispetto al punto O.
• Di conseguenza si conserva il momento angolare del sistema punto + asta rispetto al centro di riduzione O.
• N.B.: rispetto a ogni altro punto il momento angolare del sistema punto + asta non si conserva.
10Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b
R
F
v
Esercizio 2 (III)
• Dette v e v′ le velocità del punto materiale prima e dopo l’urto, il momento angolare del punto materiale prima e dopo l’urto si scrive rispettivamente mvb e mv′b.
• Il momento di inerzia della sbarra rispetto al centro di massa G è:
• Il momento di inerzia della sbarra rispetto al punto O è, per il teorema di Huygens-Steiner:
IG =
112
Ma2 =1
121kg×1m2 = 0.0833kgm2
IO = IG + Ma2− d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Ma2
12+
a2
4+ d 2 − ad
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= M
13
a2 + d 2 − ad⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
= 1kg13+
272
4 ×106 −27
2000⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1m2 = 0.320kgm2
11Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 2 (IV)
• La conservazione dell’energia meccanica e del momento angolare rispetto a O si scrive:
• Da cui:
K O( )
E
mvb = m ′v b + IOω12 mv 2 = 1
2 m ′v 2 + 12 IOω
2
⎧⎨⎪
⎩⎪
v − ′v =IOωmb
v 2 − ′v 2 =IOω
2
m
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒v − ′v( ) v − ′v( ) = IO
2ω 2
m2b2
v − ′v( ) v + ′v( ) = IOω2
m
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒v − ′vv + ′v
=IOmb2
v − ′v =IOmb2
v + ′v( ) ⇒ v −IOmb2v = ′v +
IOmb2
′v ⇒ ′v =1−
IOmb2
1+IOmb2
v
12Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 2 (V)
• Sostituendo i valori numerici:
• Ricaviamo ora la velocità angolare:
• Sostituendo i valori numerici:
′v =1−
IOmb2
1+IOmb2
v =1− 0.3202 × 0.9732
1+ 0.3202 × 0.9732
10m s =1− 0.1691+ 0.169
10m s = 7.11m s
ω =mbIOv − ′v( ) = mbIO
1+IOmb2
−1+IOmb2
1+IOmb2
v =
2b
1+IOmb2
v =2v
b 1+IOmb2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ω =2v
b 1+IOmb2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=2 ×10 m s
0.973m 1+ 0.169( ) = 17.6s−1
13Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 3
• Un punto materiale di massa m = 3 kg si muove con velocità , di modulo pari a v = 10 m/s, avente direzione orizzontale e giacente su di un piano verticale.
• Il punto materiale urta elasticamente e istantaneamente nel punto A (vedi figura) un disco rigido omogeneo di massa pari a M = 1 kg e raggio pari a r = 1 m, incernierato allo stesso piano verticale nel punto O, con .
• Determinare la velocità del punto materiale (indicandola positiva se concorde alla velocità prima dell’urto e negativa in caso contrario) e la velocità angolare del disco subito dopo l’urto.
• ξ = 500.
b = ξ1000 r
14Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 3 (II)
• Valgono per questo esercizio le stesse considerazioni fatte per l’esercizio precedente.
• Il momento di inerzia del disco rispetto al punto O è, per il teorema di Huygens-Steiner:
• La conservazione dell’energia meccanica e del momento angolare rispetto a O si scrive come nell’esercizio precedente:
IO = IG + Mb2 =12
Mr 2 + Mb2 =12
Mr 2 + Mr2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
=34
Mr 2 =34
1kg×1m2 =
= 0.75kgm2
K O( )
E
mvb = m ′v b + IOω12 mv 2 = 1
2 m ′v 2 + 12 IOω
2
⎧⎨⎪
⎩⎪
15Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 3 (III)
• Come nell’esercizio precedente troviamo:
• Sostituendo i valori numerici:
′v =1−
IO
mb2
1+IO
mb2
v
ω =2v
b 1+IO
mb2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
′v =1−
IOmb2
1+IOmb2
v =1− 0.753× 0.52
1+ 0.753× 0.52
v =1−11+1v = 0
16Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 3 (IV)
• Per quanto riguarda la velocità angolare:
ω =2v
b 1+IOmb2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=2 ×10 m s0.5m 1+1( ) = 20s
−1
17Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 4
• Un punto materiale di massa m = 10 g si muove, con velocità di modulo pari a w = 100 cm/s, senza attrito su di un piano orizzontale.
• Il punto urta elasticamente in un’asta sottile omogenea, avente massa e lunghezza 2l = 20 cm, appoggiata senza altri vincoli e senza attrito sullo stesso piano orizzontale e inizialmente in quiete.
• La velocità del punto materiale è perpendicolare all’asta e il punto di impatto dista dall’estremità dell’asta.
• Trovare la velocità vG del centro di massa dell’asta dopo l’urto, la velocità v del punto materiale dopo l’urto e la velocità angolare ω dell’asta dopo l’urto.
• ξ = 200.
M = m 1+ ξ
1000( )
1000d lξ=
18Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
w v
v
v
vG
vG
vG
ω ω ωG
P P P P
G G G
G 2l
d
P
Esercizio 4 (II)
• Il problema ha 3 incognite. Sono dunque necessarie 3 equazioni indipendenti per trovarne la soluzione. Otterremo queste 3 equazioni da 3 diversi principi di conservazione.
• I due corpi sono soggetti soltanto alla forza peso e al vincolo rappresentato dal piano orizzontale: tali due forze si equilibrano esattamente.
• Il moto dei 2 corpi avviene sul piano orizzontale. Non ci sono vincoli che agiscano sul piano orizzontale e che contrastino le forze d’urto.
• Essendo nulla la risultante delle forze esterne durante l’urto, per la I equazione cardinale della dinamica nell’urto si conserva perciò la quantità di moto:
R e( ) =0 ⇒
Qi =
Qf
19Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (III)
• Prima dell’urto l’asta è in quiete e dunque la quantità di moto totale del sistema formato dai 2 corpi è pari alla quantità di moto del punto materiale:
• Dopo l’urto la quantità di moto totale del sistema formato dai 2 corpi è pari alla somma della quantità di moto dell’asta (la quale, in generale, ruota e trasla) e della quantità di moto del punto.
• La quantità di moto finale del punto si può scrivere come:
• La quantità di moto finale dell’asta si può scrivere come il prodotto della sua massa per la velocità del centro di massa G dell’asta:
Qi =
Qip = m
w
Qfp = mv
Qfa = M vG
20Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (IV)
• La quantità di moto totale del sistema formato dai 2 corpi dopo l’urto si può scrivere perciò:
• La conservazione della quantità di moto implica che:
• Osserviamo che, poiché il punto urta l’asta con direzione perpendicolare all’asta, le forze d’urto avranno la stessa direzione della velocità del punto prima dell’urto, dunque anche e avranno la stessa direzione della velocità del punto prima dell’urto.
Qf =
Qfp +
Qfa = mv + M vG
Qi =
Qf ⇒ m w = mv + M vG
vG
v
21Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (V)
• Il momento angolare si conserva rispetto a un centro di riduzione fisso (perché il momento risultante delle forze esterne è nullo) per la II equazione cardinale della dinamica:
• Tuttavia, se prendiamo un centro di riduzione fisso, risulta complicato esprimere il momento angolare del sistema (in particolare il momento angolare dell’asta) dopo l’urto rispetto a tale centro di riduzione.
K = − vO ∧Q +
M e( )
M e( ) =
0
vO =
0
⎫⎬⎭
⇒K =0 ⇒
K ≡ cost
22Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (VI)
• Il momento angolare si conserva pure rispetto a un centro di riduzione in moto con velocità parallela alla quantità di moto, in quanto, per la II equazione cardinale della dinamica:
• Dopo l’urto, l’asta trasla e ruota attorno al proprio centro di massa G.
• Dopo l’urto, il centro di massa G dell’asta si muove di moto rettilineo uniforme con velocità parallela a Q, per quanto abbiamo visto.
• Dunque si conserva il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa G (in movimento) dell’asta.
K O( ) = − vO ∧Q +
M e( )
O( )
M e( )
O( ) =0
vO
Q ⇒
vO ∧Q =0
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒
K O( ) =0 ⇒
K O( ) ≡ cost ⇒
Ki
O( ) =K f
O( )
23Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (VII)
• Prima dell’urto l’asta è in quiete e dunque il momento angolare totale del sistema formato dai 2 corpi rispetto a G è pari al momento angolare del punto materiale rispetto a G.
• Il momento angolare del punto materiale rispetto a G ha direzione perpendicolare al piano orizzontale e ha come modulo il prodotto della sua massa per la sua velocità per la distanza della sua traiettoria rettilinea da G:
• Dopo l’urto il momento angolare totale del sistema formato dai 2 corpi rispetto a G è pari alla somma del momento angolare dell’asta rispetto a G (la quale, in generale, ruota e trasla) e del momento angolare del punto rispetto a G.
KiG( ) = Kip
G( ) = mw l − d( )
24Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (VIII)
• Il momento angolare finale del punto si può scrivere come:
• Il momento angolare finale dell’asta può invece essere scritto come il prodotto della velocità angolare dell’asta per il suo momento di inerzia rispetto al suo centro di massa (che è anche il suo centro di rotazione):
• Il momento angolare finale totale del sistema formato dai 2 corpi dopo l’urto si può scrivere perciò:
• La conservazione del momento angolare implica che:
K faG( ) = IGω
K fG( ) = K fp
G( ) + K faG( ) = mv l − d( ) + IGω
KiG( ) = K f
G( ) ⇒ mw l − d( ) = mv l − d( ) + IGω
K fpG( ) = mv l − d( )
25Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (IX)
• Poiché l’urto tra il punto materiale e l’asta è perfettamente elastico, si conserva anche l’energia meccanica del sistema che è tutta energia cinetica.
• Prima dell’urto l’asta è in quiete e dunque l’energia meccanica totale del sistema formato dai 2 corpi è pari all’energia meccanica del punto materiale:
• Dopo l’urto l’energia meccanica totale del sistema formato dai 2 corpi è pari alla somma dell’energia meccanica dell’asta (la quale, in generale, ruota e trasla) e dell’energia meccanica del punto.
Ti = Tf
Ti = Tip =
12
mw2
26Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (X)
• L’energia meccanica finale del punto si può scrivere come:
• L’energia meccanica finale dell’asta si può scrivere, invece, utilizzando il teorema di König, come:
• L’energia meccanica finale totale del sistema formato dai 2 corpi dopo l’urto si può scrivere perciò:
• La conservazione dell’energia meccanica implica che:
Tfa =
12
MvG2 +
12
IGω2
Tf = Tfp + Tfa =
12
mv 2 +12
MvG2 +
12
IGω2
Ti = Tf ⇒12mw2 = 1
2mv 2 + 1
2MvG
2 +12IGω
2
27Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Tfp =
12
mv 2
G 2l
d
P
Esercizio 4 (XI)
• Abbiamo quindi un sistema di 3 equazioni algebriche nelle 3 incognite v, vG e ω:
• Sostituendo i dati del problema, abbiamo:
mw = mv + MvG
mw l − d( ) = mv l − d( ) + IGω
mw2 = mv 2 + MvG2 + IGω
2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
ξ = 200
m = 10g, M = 1+ξ1000
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟m = 12g
IG =112M 2l( )2 = 13Ml
2 = 400gcm2
l = 10cm, d = lξ1000
= 2cm, l − d = 8cmw = 100cm s
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⇒
vG =56w − v( )
ω =15w − v( )
w2 − v 2 = 65vG2 + 40ω 2
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
28Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G 2l
d
P
Esercizio 4 (XII)
• Sostituendo le prime due nella terza:
vG =56w − v( )
ω =15w − v( )
w − v( ) w + v( ) = 65vG2 + 40ω 2
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
w − v( ) w + v( ) = 6556
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
w − v( )2 + 40 152w − v( )2
w + v =56w − v( ) + 85 w − v( ) = 7330 w − v( )
v 1+7330
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= w 73
30−1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒ v =43103
w =43103100cm s
v = 41.75cm s29Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
vG =56w − v( )
ω =15w − v( )
w2 − v 2 = 65vG2 + 40ω 2
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
G 2l
d
P
Esercizio 4 (XIII)
• Otteniamo quindi i risultati:
v = 41.7cm s
vG =56w − v( ) = 56 100 − 41.7( ) = 48.5cm s
ω =15w − v( ) = 15 100 − 41.7( ) = 11.7 rad s
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
30Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
w v
v
v
vG
vG
vG
ω ω ωG
P P P P
G G G
G 2l
d
P
Esercizio 5
• Un punto materiale di massa m = 10 g si muove, con velocità di modulo pari a w = 100 cm/s, senza attrito su di un piano orizzontale.
• Il punto si conficca in un’asta sottile omogenea, avente massa e lunghezza 2l = 20 cm, appoggiata senza altri vincoli e senza attrito sullo stesso piano orizzontale e inizialmente in quiete, rimanendovi attaccato.
• La velocità del punto materiale è perpendicolare all’asta e il punto di impatto dista dall’estremità dell’asta.
• Trovare la velocità vG′ del centro di massa del sistema asta + punto dopo l’urto e la velocità angolare ω del sistema asta + punto dopo l’urto.
• ξ = 200.
M = m 1+ ξ
1000( )
1000d lξ=
31Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
w
v ′G
ω ω ωG
P
G
P′G
v ′G
GP′G G
P′Gv ′G
G′G2l
d
P
Esercizio 5 (II)
• I due corpi sono soggetti soltanto alla forza peso e al vincolo rappresentato dal piano orizzontale: tali due forze si equilibrano esattamente.
• Il moto dei 2 corpi avviene sul piano orizzontale. Non ci sono vincoli che agiscano sul piano orizzontale e che contrastino le forze d’urto.
• Essendo nulla la risultante delle forze esterne durante l’urto, per la I equazione cardinale della dinamica nell’urto si conserva perciò la quantità di moto:
• Prima dell’urto l’asta è in quiete e dunque la quantità di moto totale del sistema formato dai 2 corpi è pari alla quantità di moto del punto materiale:
Qi = m w
Qi =
Qf
32Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G′G2l
d
P
Esercizio 5 (III)
• Dopo l’urto la quantità di moto totale del sistema formato dai 2 corpi è pari alla quantità di moto dell’asta con il punto conficcato, la quale, in generale, ruota e trasla.
• La quantità di moto dell’asta con il punto conficcato si può scrivere come il prodotto della sua massa totale (la somma della massa dell’asta e della massa del punto materiale conficcato) per la velocità del centro di massa G′ del sistema asta + punto:
• La conservazione della quantità di moto implica che:
Qf = M + m( ) v ′G
Qi =
Qf ⇒ m w = M + m( ) v ′G ⇒
v ′G =m
m + Mw
M = m 1+ ξ1000( ) = 1+ 200
1000( )10g = 12gv ′G = v ′G =
mm + M
w =10
10 +12100cm s = 45.45cm s
33Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G′G2l
d
P
Esercizio 5 (IV)
• Per trovare la velocità angolare dell’asta con in punto conficcato dopo l’urto, occorre ricorrere a un altro principio di conservazione.
• Poiché l’urto è anelastico l’energia non si conserva.
• Il momento angolare si conserva rispetto a un centro di riduzione fisso (perché il momento risultante delle forze esterne è nullo) per la II equazione cardinale della dinamica:
• Tuttavia, se prendiamo un centro di riduzione fisso, risulta difficile esprimere il momento angolare del sistema dopo l’urto rispetto a tale centro di riduzione.
K O( ) = − vO ∧Q +
M e( )
O( )
M e( )
O( ) =0
vO =
0
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒
K O( ) =0 ⇒
K O( ) ≡ cost
34Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G′G2l
d
P
Esercizio 5 (V)
• Il momento angolare si conserva pure rispetto a un centro di riduzione in moto con velocità parallela alla quantità di moto, in quanto, per la II equazione cardinale della dinamica:
• Dopo l’urto, l’asta con il punto conficcato trasla e ruota attorno al centro di massa G′ del sistema asta + punto.
• Dopo l’urto, il centro di massa G′ del sistema asta + punto si muove di moto rettilineo uniforme con velocità parallela a Q, in quanto:
• Il centro di massa G dell’asta non si muove invece parallelamente a Q, ma descrive una circonferenza attorno a G′.
K O( ) = − vO ∧Q +
M e( )
O( )
M e( )
O( ) =0
vO
Q ⇒
vO ∧Q =0
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒
K O( ) =0 ⇒
K O( ) ≡ cost
Q ≡
Qf = M + m( ) v ′G ⇒
v ′G Q ⇒
v ′G ∧Q =0
35Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
G′G2l
d
P
Esercizio 5 (VI)
• Perciò il momento angolare del sistema rispetto al centro di riduzione mobile O ≡ G (centro di massa dell’asta) non si conserva, mentre il momento angolare del sistema rispetto al centro di riduzione mobile O ≡ G′ (centro di massa del sistema asta + punto) si conserva.
• Nell’istante in cui avviene l’urto e dopo l’urto il centro di massa del sistema asta + punto, G′, si trova sull’asta.
• La distanza del punto G′ dall’estremità dell’asta si ottiene calcolando il centro di massa tra il punto materiale e il centro di massa dell’asta:
d =lξ
1000=
2001000
l = 15
10cm = 2cm
h =Ml + mdM + m
=12g×10cm+10g× 2cm
12g+10g=
140 gcm22 g
= 6.36cm
36Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
2l
dh
bP
G′GP
Esercizio 5 (VII)
• La distanza del punto di impatto P da G′ è perciò:
• Scegliamo quindi, come centro di riduzione O ≡ G′ e scriviamo la conservazione del modulo del momento angolare:
• Per determinare ω occorre infine il momento di inerzia del sistema asta + punto rispetto a G′:
b = h − d = 6.36cm− 2cm = 4.36cm
Ki′G( ) = K f
′G( )
Ki′G( ) = mwb
K f′G( ) = I ′Gω
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒ mwb = I ′Gω ⇒ ω = mwbI ′G
I ′G =1
12M 2l( )2
+ M l − h( )2+ mb2 =
=1
1212g 20cm( )2
+12g 10cm− 6.36cm( )2+10g 4.36cm( )2
=
= 400 +159 +190( )gcm2 = 749gcm2
37Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
2l
dh
bP
G′GP
Esercizio 5 (VIII)
• Troviamo infine:
ω = mwbI ′G
=10 g×100 cm s × 4.36 cm
749 g cm2= 5.82s−1
38Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
w
v ′G
ω ω ωG
P
G
P′G
v ′G
GP′G G
P′Gv ′G
2l
dh
bP
G′GP
Esercizio 6
• Una sfera rigida, omogenea, di centro A, raggio R e massa M, inizialmente in quiete, è urtata da un’altra sfera rigida, omogenea, di centro B, raggio r e massa m, che un attimo prima dell’urto trasla con una velocità nota .
• L’urto è perfettamente elastico e non c’è attrito tra le superfici delle due sfere.
• Sia p il rapporto tra il parametro d’urto (la distanza d di A dalla retta passante per B e parallela a subito prima dell’urto, vedi figura) e la somma dei due raggi:
• Determinare in funzione di p (0 ≤ p ≤ 1) i moduli V e v delle velocità dei due centri A e B subito dopo l’urto e gli angoli α e β che tali velocità formano con quella iniziale .
w
w
p =
dR + r
wBr
ARd
m
M
w
w
v
V
αβ
39Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 6 (II)
• Durante l’urto la forza è diretta lungo la congiungente AB (non c’è attrito): ⇒ Dopo l’urto, A si muove lungo la congiungente AB.
⇒ Il momento delle forze rispetto ad A è nullo ⇒ il moto di A dopo l’urto è traslatorio.
⇒ Il momento delle forze rispetto a B è nullo ⇒ il moto di B dopo l’urto è traslatorio.
• Le due sfere possono dunque essere trattate come punti materiali. • Poiché le sfere non sono vincolate (forze esterne
assenti) e l’urto è elastico, nell’urto si conserva energia cinetica e quantità di moto.
α = arcsin dR + r
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= arcsin p
40Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
wBr
ARd
m
Mw
v
V
αβ
Esercizio 6 (III)
• Abbiamo dunque:
• In altre parole abbiamo 3 equazioni nelle 3 incognite V, v e β. Risolvendo:
12
mw2 = 12
mv 2 + 12
MV 2
m w = mv + M
V ⇒ w
⊥ wmw = mv cosβ + MV cosα0 = mv sinβ − MV sinα⎧⎨⎩
⇒v cosβ = w −
Mm
V cosα
v sinβ =Mm
V sinα
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
v 2 cos2 β + v 2 sin2 β = w2 +M 2
m2V 2 cos2α − 2w M
mV cosα +
M 2
m2V 2 sin2α
v 2 = w2 +M 2
m2V 2 − 2w M
mV 1− p2
12
mw2 =12
mw2 +12
m M 2
m 2V 2 −
1
2m 2 w M
mV 1− p2 +
12
MV 2
0 =12
M 2
mV 2 − w M V 1− p2 +
12
M V 2
0 =Mm
V − 2w 1− p2 +V
E
Q
41Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
wBr
ARd
m
Mw
v
V
αβ
Esercizio 6 (IV)
0 = MmV − 2w 1− p2 +V
V = 2mwm+ M
1− p2
12mw2 = 1
2mv 2 + 1
2M 4m 2w2
m+ M( )21− p2( )
v 2 = w2 − 4 mMw2
m+ M( )21− p2( ) = w2 m+ M( )2 − 4mM 1− p2( )
m+ M( )2
v = wm+ M
m+ M( )2 − 4mM 1− p2( )v = w
m+ Mm− M( )2 + 4mMp2
42Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
wBr
ARd
m
Mw
v
V
αβ
Esercizio 6 (V)
• Infine:
v cosβ = w− MmV cosα
v sinβ = MmV sinα
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⇒ tanβ =
MmV sinα
w− MmV cosα
= sinαmwMV
− cosα
tanβ = pmwM
M + m2mw 1− p2
− 1− p2=
2Mp 1− p2
M + m− 2M 1− p2( ) =2Mp 1− p2
m− M + 2Mp2
β = arctan2Mp 1− p2
m− M + 2Mp2
43Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
wBr
ARd
m
Mw
v
V
αβ
Esercizio 7
• Un punto materiale di massa m = 2 kg si muove con velocità, di modulo pari a v = 10 m/s, avente direzione orizzontale e giacente su di un piano verticale.
• Il punto materiale si conficca istantaneamente, rimanendovi attaccato, nel punto A (vedi figura) di una sbarra rigida omogenea di massa pari a M = 1 kg e lunghezza pari ad a = 1 m, incernierata allo stesso piano verticale nel punto O, con e .
• Determinare la velocità angolare della sbarra (con il punto conficcato) subito dopo l’urto.
d = ξ2000 a
b = 1− ξ
1000( )a
44Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 7 (II)
• Si conserva soltanto il momento angolare rispetto a O:
• Dove I′O è il momento di inerzia dell’asta con il punto attaccato rispetto a O, che si ottiene utilizzando il teorema di Huygens-Steiner e l’additività del momento di inerzia:
KiO( ) = mvb
K fO( ) = ′IOω
⎧⎨⎪
⎩⎪
KiO( ) = K f
O( ) ⇒ mvb = ′IOω ⇒ ω = mvb′IO
′IO = IG + Ma2− d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
asta
+ mb2punto = 1
12Ma2 + M a
2− d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
+ mb2
45Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m M
A
a
d
b v
Esercizio 8
• Un punto materiale di massa m = 3 kg si muove con velocità, di modulo pari a v = 10 m/s, avente direzione orizzontale e giacente su di un piano verticale.
• Il punto materiale si conficca istantaneamente, rimanendovi attaccato, nel punto A (vedi figura) di un disco rigido omogeneo di massa pari a M = 1 kg e raggio pari a r = 1 m, incernierato allo stesso piano verticale nel punto O, con .
• Determinare velocità angolare del disco subito dopo l’urto.
b = ξ1000 r
46Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 8 (II)
• Si conserva soltanto il momento angolare rispetto a O:
• Dove I′O è il momento di inerzia del disco con il punto attaccato rispetto a O, che si ottiene utilizzando il teorema di Huygens-Steiner e l’additività del momento di inerzia:
KiO( ) = mvb
K fO( ) = ′IOω
⎧⎨⎪
⎩⎪
KiO( ) = K f
O( ) ⇒ mvb = ′IOω ⇒ ω = mvb′IO
′IO = IG + Mb2
disco
+ m b2 + r 2( )punto
= 12Mr 2 + Mb2 + mb2 + mr 2
47Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
m
M
A r
b C
v
Esercizio 9
• Un punto materiale P , di massa m = 10 g, si muove in un piano verticale, saldato a un’asticella rigida, di massa trascurabile e lunghezza l = 20 cm , vincolata in un punto fisso O .
• Quando l’asticella è disposta in posizione verticale e il punto P si trova ad altezza minima z0 = 0, mediante una forza impulsiva si imprime al punto una velocità iniziale.
• Determinare la quota massima zM raggiunta dal punto P e la norma vM della velocità del punto P nel momento in cui esso raggiunge la quota massima.
48Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 9 (II)
• Il vincolo (asticella) è bilaterale. La reazione vincolare è normale, ma può essere centrifuga o centripeta.
• Il vincolo è ideale e la forza peso è conservativa: si conserva l’energia meccanica.
• Scegliamo lo zero dell’energia potenziale in corrispondenza di z = z0.
• Stato iniziale: V0 = 0, T0 = ½mv2:
• Quota massima raggiunta: – Quando il punto P si ferma per invertire il
moto (se non ha energia sufficiente per raggiungere H);
– Quando il punto P raggiunge il punto H.
49Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 9 (III)
• Il punto P riesce a raggiungere il punto H se:
50Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 9 (IV)
• Se , si ha . Per quanto riguarda l’altezza:
51Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 9 (V)
• Se invece , si ha . Per quanto riguarda la velocità:
52Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 10
• Un punto materiale P , di massa m = 10 g, si muove in un piano verticale, appeso a un filo, inestensibile ma flessibile, di massa trascurabile e lunghezza l = 20 cm , vincolata in un punto fisso O .
• Quando l’asticella è disposta in posizione verticale e il punto P si trova ad altezza minima z0 = 0, mediante una forza impulsiva si imprime al punto una velocità iniziale.
• Determinare la quota massima zM raggiunta dal punto P e la norma vM della velocità del punto P nel momento in cui esso raggiunge la quota massima.
53Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
O
l
Esercizio 10 (II)
• Il vincolo (asticella) è unilaterale. La reazione vincolare è normale, e può essere soltanto centripeta (mai centrifuga).
• Il vincolo è ideale e la forza peso è conservativa: si conserva l’energia meccanica.
• Il punto P può discostarsi dalla traiettoria circolare per muoversi come un punto materiale libero (traiettoria parabolica), se il filo non è teso.
• Nel punto di massima quota, la velocità del punto materiale P non è necessariamente nulla .
• Più precisamente, nel punto di massima quota, la componente verticale della velocità deve essere necessariamente nulla, ma la componente orizzontale della velocità può non essere nulla.
54Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Ol
l
Esercizio 10 (III)
• Determiniamo la posizione del punto D in cui il punto materiale si distacca dalla traiettoria circolare.
• Il secondo principio della dinamica si scrive:
• Nella terna intrinseca:
55Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (IV)
• Il secondo principio della dinamica diviene:
• Dalla prima si ricava la tensione del filo (reazione vincolare):
• Poiché il vincolo è unilaterale, Tn può essere soltanto positiva.
56Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (V)
• La reazione vincolare agisce soltanto se: mentre è inerte (Tn = 0) se:
• Avremo pertanto (a causa del vincolo unilaterale):
57Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (VI)
• Il distacco (punto D) si ha quando:
• Poiché il II termine è sempre positivo, si può avere il distacco soltanto quando il I termine è negativo, ovvero quando:
• In questo caso avremo:
• Si ottiene così una relazione tra αD e vD.
58Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (VII)
• D’altro canto, per la conservazione dell’energia meccanica, si ha:
• Si ottiene così una seconda relazione tra αD e vD.
59Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (VIII)
• Mettendo a sistema le due relazioni tra αD e vD:
60Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (IX)
• Si ha quindi:
• Si può avere il distacco soltanto se il coseno è negativo:
61Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (X)
• Infine, l’angoloαD è reale soltanto se:
• Si può quindi avere il distacco soltanto se:
62Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XI)
• Occorre quindi considerare separatamente i 3 casi:
• Nel primo c’è oscillazione senza distacco dalla traiettoria circolare.
• Nel secondo c’è distacco dalla traiettoria circolare prima del raggiungimento della quota massima.
• Nel terzo non c’è distacco e il moto è rotatorio.
63Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XII)
• Nel primo caso il punto arriva alla quota massima con velocità nulla, per cui:
64Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XIII)
• Nel secondo caso il punto arriva alla quota massima con velocità non nulla. Nel punto D si ha: da cui si ottiene la componente orizzontale della velocità:
65Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XIV)
• Dopo il distacco la componente orizzontale della velocità non cambia, mentre quella verticale diminuisce fino ad annullarsi:
• L’energia cinetica nel punto M vale:
66Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Ol
l
Esercizio 10 (XV)
• Per la conservazione dell’energia:
67Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Ol
l
Esercizio 10 (XVI)
• Nel terzo caso il punto non si distacca dalla traiettoria circolare e si muove di moto rotatorio non uniforme. Si ha: e, per la conservazione dell’energia meccanica:
68Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XVII)
• Avremo quindi:
69Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Esercizio 10 (XVIII)
• Riassumendo:
70Domenico Galli – Fisica Generale A – E 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Ol
l
http://campus.cib.unibo.it/2462/
Domenico Galli Dipartimento di Fisica
[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica