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FISICA I

“Unidad N°: 3 - Cinemática”

Profesor: Cazzaniga, Alejandro J. – Física I – E.T.N°: 28 - “República Francesa” Pág. 1 de 26

“La clave para la inmortalidad es principalmente vivir una vida que valga la pena recordar” (Bruce Lee)

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Cinemática La cinemática es la rama de de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

En cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición un cuerpo. La aceleración es el ritmo con que cambia su velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo. Un poco de historia

Los primeros conceptos sobre Cinemática se remontan al siglo XIV, particularmente aquellos que forman parte de la doctrina de la intensidad de las formas o teoría de los cálculos. Estos desarrollos se deben a científicos como William Heytesbury y Richard Swineshead, en Inglaterra, y a otros, como Nicolás Oresme, de la escuela francesa.

Hacia el 1604, Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón. Posteriormente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli (1608-47), va configurando lo que se conocería como Geometría del Movimiento.

El nacimiento de la cinemática moderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la “Academia Real de las Ciencias de París”. En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial.

En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler y André-Marie Ampère, continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782).

El vocablo Cinemática fue creado por André-Marie Ampère (1775-1836), quien delimitó el contenido de la cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

Con la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz. El reposo y el movimiento Decimos que un cuerpo esta en reposo, cuando mantiene una posición invariable en el espacio respecto de un punto de referencia, a través de un cierto tiempo. Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición o de lugar en el espacio respecto de un punto de referencia, a través de cierto tiempo. Diálogo en un tren: Dos amigos viajan en el rápido de Buenos Aires a Rosario. Uno de ellos dice: - ¿En que estará pensando ese señor, que desde que salimos de Buenos Aires mira por la ventanilla y no se ha movido para nada? El otro es un físico y siente gusto por la discusión, por las definiciones precisas, y un poco también por las bromas. Le responde:

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-¿Cómo que no se ha movido? ¡Lleva recorrido unos 30Km a razón de 100 kilómetros por hora…! -¡Vamos…! Quiero decir que él no se ha movido, que desde que empezó el viaje, ha estado clavado en su asiento, mirando por la ventanilla, sin moverse una sola vez para nada. ¿Está claro? - No te enojes. Más bien deberías avergonzarte de emplear las palabras tan a la ligera. - No entiendo…

- Esto de hablar de moverse o no moverse en cosa peligrosa; las palabras deben emplearse con sumo cuidado. En primer lugar, fíjate que la discusión empezó porque olvidaste decir algo muy, pero muy importante.

- ¿De qué me olvidé? - Te olvidaste de aclarar con respecto a qué, oye bien, con respecto

a qué ese señor no se había movido. Reflexiona, que ese detalle es de importancia decisiva. En efecto: el señor no se ha movido respecto del vagón, con relación al vagón, a su asiento, a la ventanilla, si quieres. Pero en cambio se ha movido, ¡y de qué manera! , con relación a la ciudad de Buenos Aires. Se ha movido por lo menos 30 kilómetros, o ya 34, porque esta discusión debe de llevar ya unos 4 kilómetros, si mi reloj y mi ojo no me engañan.

- ¡Bah! todo eso son sutilezas y afán de discutir porque sí. No me vas a decir que toda esa palabrería tiene importancia.

- ¡cuidado! Muchos grandes descubrimientos de la física fueron hechos gracias a análisis como esté, que tú calificas de palabrería. ¡Si

supieras lo que Galileo y Newton y Einstein aprovecharon de discusiones así...! - Bien, señor profesor, gracias por la lección. ¿Quiere decirme, entonces, de que manera hay que

expresarse para no suscitar las iras de físicos o ingenieros o astrónomos? - No tengo ningún inconveniente. Más, todavía: estoy dispuesto a confesar que experimentaré un

gran placer, pero con la condición de que respondas cada vez que te haga una pregunta. Te quiero probar que tú mismo eres capaz de sacar consecuencias interesantes.

- A ver... - Primero, supongamos que estás en un andén de una estación,

adonde has ido para despedir a tu familia. ¿Cómo sabes que el tren se pone en movimiento?

- Pues, porque veo que las ruedas empiezan a moverse. - No hay necesidad de ver las ruedas. Eso no es lo importante.

Además, las ruedas podrían girar y patinar en el mismo lugar, de modo que el tren quedaría en reposo.

- Pues... simplemente, porque se aleja. - Estamos de acuerdo, pero si agregas un detalle. ¿Se aleja de

quien? ¿Respecto a qué? ¿Con relación a qué? - Pues, porque se aleja de mí, con respecto a mí, con relación a

mí. - Muy bien; progresas. Veamos si eres capaz, ahora, de decirme

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cuándo un cuerpo cualquiera está en movimiento. - Muy sencillo. Un cuerpo está en movimiento cuando aumenta su distancia respecto a un hombre

que está en un lugar. - Bastante bien, pero con dos defectos. - ¿Cuáles son? - Primer defecto: según tu definición, el tren se movería cuando se va, pero no cuando viene. - Me olvidé, claro. Habría que decir “cuando aumenta o disminuye su distancia”. - Sí. Pero, ahora viene el segundo defecto. Según tu definición, el tren sólo se mueve si hay un

hombre parado en la estación. ¿Y si no hubiera nadie, el tren no se movería lo mismo? - Bueno, claro que no es necesario que haya ningún hombre allí. - Entonces, ¿cómo te parece que sería correcto decir? - Un cuerpo está en movimiento, cuando aumenta o disminuye su distancia respecto a un punto fijo. - Muy bien, bastante bien para un aficionado. Fíjate, sin embargo, que el problema no queda todavía

resuelto. Hay mucho que hablar. - ¡Cómo! ¿Todavía? - Ya lo creo. Queda algo muy importante, de enorme importancia, ¿Quién se mueve, el tren o la

estación? - ¡Estás bromeando...! - Hablo en serio. - No sé adonde quieres ir a parar con esa pregunta de locos, pero te responderá como si fuera una

pregunta cuerda. Es el tren el que se mueve. - Así que la estación está en reposo, ¿no? - Por supuesto. - ¿Y no se te ha ocurrido pensar que la estación está instalada en un

planeta que se mueve vertiginosamente por los espacios siderales? Aquí el amigo del físico se llevó la mano derecha al mentón, frunció el

entrecejo, reflexionó, y finalmente dijo, casi con pavor: - ¡Caramba! Me parece que lo mejor en la vida sería no pronunciar una

sola palabra. Creo que todo es terriblemente difícil. Me acabas de hacer ver algo increíble... En efecto... claro... Entonces, si la estación está sobre la Tierra, y si la Tierra gira y se traslada vertiginosamente en el espacio... diablos... Es la misma cosa de hoy, con el señor ése y la ventanilla y la estación... Estamos como al comienzo... ¡Por el amor de Dios! ¿Me puedes decir qué es lo verdadero y qué es lo falso? ¿Quién se mueve? ¿Quién está en reposo? Ya no entiendo nada.

- Ahora tienes un verdadero interés; ahora no estás fastidiado por la palabrería, ¿no es así?

- Lo confieso. Me muero de curiosidad. - Muy bien. Como decía un filósofo griego, el asombro es la madre de

la sabiduría. Hay que empezar por asombrarse y preguntar, como los chicos, ¿por qué?, ¿por qué?

- Bueno; responde de una buena vez. - Pues, en cierto modo, la respuesta es muy simple. Todos los

movimientos son relativos, es decir, con relación a algo, a un punto. Por ejemplo, para empezar con nuestro señor, el que originó la discusión, ese señor está en reposo con relación al vagón, pero también podemos invertir la frase diciendo que el vagón está en reposo con relación al señor. Pero ese señor está en movimiento con respecto a la estación...

- ¿De modo que alguien puede estar a la vez en reposo y en movimiento?

- Exacto. Todo depende del punto de referencia que se elija como fijo. Como decía ese señor se mueve respecto a la estación, considerada como fija, pero

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también es lícito decir lo inverso: que la estación se mueve respecto a ese señor, considerándolo a él como fijo. No hay más derecho a decir lo primero que lo segundo, pues la estación no es ningún ente privilegiado, ya que pierde inmediatamente su jerarquía o su importancia en cuanto pensamos en el Sol o las estrellas. ¿Acaso la estación está en reposo respecto al Sol? De ningún modo.

- ¿Entonces? - Entonces, si queremos ser verídicos y no decir más que lo que

debemos decir, habrá que definir el movimiento de esta manera... - Un momento, intentaré hacerlo yo. - Veamos... - Yo diría que “un cuerpo está en movimiento con relación a un punto

elegido como fijo, cuando aumenta o disminuye su distancia respecto a ese punto.

- ¡Magnífico! Se puede todavía hacer una simplificación. En física hay que emplear siempre el mínimo de palabras, y acá sobran dos.

- A ver... ¡Ya sé!: “Un cuerpo está en movimiento con relación a un punto fijo, cuando varía se distancia a ese punto”.

- Muy bien. Ahora tú mismo puedes extraer algunas conclusiones bastante curiosas sobre fenómenos que son bien conocidos. ¿Qué me podrías decir sobre dos trenes expresos que corren el uno al lado del otro, en la misma dirección, en el mismo sentido, y con la misma velocidad?

- Que un tren está en reposo con respecto al otro. - Perfecto. ¿Qué me podrías decir si uno de esos trenes se mueve a 100 kilómetros por hora y el otro

a 90? - Que el primero se mueve 10 kilómetros por hora con relación al segundo. - ¡Magnífico! Creo que la lección ha sido provechosa. Puede sentarse, joven. Le pondré diez puntos. - ¡Un momento señor profesor! Me parece que la definición que usted acepta tiene un defecto. - ¡Esto sí esta bueno! Así es, tiene un defecto. Si has dado en el clavo, resultarás mejor alumno de lo

que yo esperaba. ¿Cuál es el defecto? - ¿Qué pasa si revoleo una piedra y elijo como punto fijo mi

hombro? La piedra recorre una circunferencia cuyo centro es mi hombro. La distancia de la piedra a mi hombro no varía, y sin embargo, la piedra se mueve...

- Ése es el defecto. Para definir el movimiento con toda precisión, debes elegir, no un punto de referencia, sino un sistema de coordenadas. Pero, ¿recuerdas lo que es un sistema de coordenadas?

- Sí... tres rectas que se cortan en un mismo punto. - Y cada una perpendicular a las otras dos. Como las aristas de las

paredes de una habitación que concurren a un mismo rincón. Y ahora, en lugar de decir: “Un cuerpo está en movimiento con relación a un punto cuando varía su distancia respecto a ese punto.

- Déjamelo decir a mí: “Un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de coordenadas, elegido como fijo, cuando varían... ¡sus coordenadas!”

- Bueno, hombre, ahora tendría que ponerte diez y felicitarte... Definición de movimiento: Un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de coordenadas elegido como fijo, cuando sus coordenadas varían a medida que transcurre el tiempo. Trayectoria Las distintas posiciones que un cuerpo va ocupando a través del tiempo, se denomina trayectoria seguida por un cuerpo. Se puede definir también como la figura formada por los distintos puntos que va ocupando el cuerpo a medida que transcurre el tiempo. Los cuerpos (o móviles), pueden realizar diversas clases de trayectorias, por ejemplo:

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- Rectilínea. - Parabólica. - Circular. - Elíptica. - Irregular.

Movimiento de traslación Un cuerpo tiene un movimiento de traslación, cuando un segmento de él se mantiene paralelo a si mismo durante todo el movimiento. Movimiento de rotación

Un cuerpo tiene un movimiento de rotación cuando:

a) Sus puntos describen circunferencias. b) Las circunferencias tienen sus centros sobre una misma recta. c) Esta recta, llamada eje de rotación, es perpendicular a los planos de

la circunferencia.

Si se trata de una figura plana que gira en su propio plano, las circunferencias son concéntricas.

Y

X

A

B

B

A

Z

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Rapidez Es el módulo del vector velocidad, es una cantidad escalar. No posee dirección ni sentido.

• Rapidez instantánea: Un auto no se desplaza siempre con la misma rapidez. El auto puede recorrer cierta calle a 40 Km/h, reducir su velocidad hasta 0Km/h en un semáforo y luego aumentarla a sólo 30Km/h a causa del tráfico. Se puede saber la rapidez de un vehículo en cualquier momento mirando el velocímetro del mismo. La rapidez en cualquier instante se conoce como rapidez instantánea.

• Rapidez promedio: Cuando alguien planea realizar un viaje en auto, a menudo le interesa saber cuanto tiempo le tomará recorrer cierta distancia. Desde luego, el auto no viajará con la misma rapidez durante todo el recorrido. Al conductor le interesa sólo la rapidez promedio para la totalidad de trayecto. La rapidez promedio se define de la siguiente manera:

empleadotiempodeIntervalo

recorridatotalciaDisomedioRapidez

...

..tanPr. =

Por ejemplo si recorremos 250Km en 5 horas veremos que:

Rapidez promedio = h

Km

5

250= 50Km/h

La rapidez promedio suele ser muy diferente a la rapidez instantánea. Velocidad En el lenguaje diario empleamos las palabras rapidez y velocidad en forma indistinta. En física hacemos una distinción entre ellas. Cuando decimos que un auto viaja a 60Km/h estamos indicando su rapidez. Pero si decimos que un vehículo se desplaza a 60Km/h hacia el norte sobre la ruta 8, estamos especificando su velocidad.

La rapidez qué tan a prisa se desplaza un objeto; la velocidad nos indica qué tan a prisa lo hace y en qué dirección y sentido.

La velocidad es numéricamente igual al cociente entre la distancia recorrida por el móvil (o espacio) y el tiempo empleado en recorrerla. Es una magnitud vectorial cuyo módulo es la velocidad numérica, su dirección es tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento en el punto considerado y se representa con la letra v.

t

ev =

Dependiendo de las características de la velocidad y la trayectoria que sigue un cuerpo se pueden

presentar distintos tipos de movimientos. Por ejemplo para movimientos rectilíneos, es decir, para movimientos cuya trayectoria sigue líneas

rectas, podemos distinguir en principio dos tipos en función de las características de su velocidad:

- Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Se denomina rectilíneo porque su trayectoria se corresponde con una línea recta y uniforme porque su velocidad no varía respecto al tiempo. Se dice que un movimiento es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

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Como se indicó en la fórmula anterior la velocidad es directamente proporcional a la distancia recorrida e inversamente proporcional al tiempo empleado en recorrerla y que esa relación es siempre constante. La única forma en este tipo de movimiento es:

t

ev =

Unidades de la velocidad: s

cm

s

m

h

kmv ;;=

Equivalencia entre unidades y pasaje de unidades Una de las formas para pasar entre unidades, es aplicando la regla que muestra la siguiente gráfica:

Donde:

Si nos piden pasar de s

cma

s

m, debemos multiplicar por

100

1y si de

s

mnos piden pasar a

h

kmdebemos multiplicar por 3,6, como muestra la gráfica.

Ejemplo de aplicación 1:

Pasar s

cm10 a

s

my a

h

km.

1) Siguiendo lo que nos indica el gráfico, debemos multiplicar a los s

cm10 por

100

1:

=100

1.10

s

cm

s

m1,0

2) El segundo punto nos pide pasar los s

cm10 a

h

km, entonces aprovechando el pasaje anterior hacemos:

=6,3.1,0s

m

h

km36,0

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Existe otra manera que nos permite realizar los diferentes pasajes de unidades, sin tener que recurrir a la memoria o a la gráfica. Esta otra forma se realiza siguiendo estos pasos:


Pasar h

km100 a

s

m.

Como nos pide pasar de h

kma

s

m, vamos a dividir por 1 Kilómetro y multiplicar por su equivalente

en metros (1km = 1000m); de esta manera se simplifican los km y obtenemos m. Pero aún seguimos teniendo en el denominador las horas (h); para simplificarla deberemos multiplicar por 1 hora y dividir por el equivalente de 1 hora en segundos (1h = 3600s), ahora sí la unidad final es la que nos pide el enunciado del

ejercicio s

m.

=s

h

km

m

h

km

3600

1.

1

1000.100

s

m78,27

Se puede verificar con la gráfica la cual nos indica multiplicar los h

km100 por

6,3

1, lo que nos dará

como resultado s

m78,27 .

En sí el procedimiento del método se puede resumir de la siguiente manera:

- Para el numerador: Multiplico por la unidad que quiero obtener y divido por la que tengo, siempre respetando las equivalencias (1km = 1000m; 1m = 100cm).

- Para el denominador: Divido por la unidad que quiero obtener y multiplico por la unidad que tengo, siempre respetando las equivalencias (1h = 60min; 1min=60s; 1h=3600s).

Velocidad instantánea Es la velocidad que posee un cuerpo en un intervalo de tiempo muy pequeño, cuando 0→∆t ( t∆ es variación de tiempo)

titft −=∆ donde: tf= tiempo final. ti= tiempo inicial. Leyes del movimiento uniforme

1) La velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. 2) El espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo.

Gráficos característicos del movimiento Todos los tipos de movimientos se pueden graficar en los ejes cartesianos. Los gráficos correspondientes a este movimiento (MRU) son:

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- v(t) Velocidad en función del tiempo. - e(t) Espacio en función del tiempo. (en algunas bibliografías aparece como d(t); distancia en función

del tiempo, por comodidad nosotros utilizaremos e(t)).

En el eje de las abscisas o de las “x” se coloca el tiempo, ya que “t” es la variable independiente en Física, pues es la única magnitud que nosotros no podemos modificar.

Ejemplo: Haremos las gráficas correspondiente a un móvil que se desplaza con una s

mv 10= durante un

minuto.

Observaciones:

- El área encerrada entre la recta de la gráfica (de velocidad en función del tiempo) y el eje de las abscisas en el intervalo comprendido entre 0 y 60s, representa el espacio recorrido por el móvil en el mencionado intervalo de tiempo.

- La inclinación (α ) de la recta en la gráfica de espacio (o distancia) en función del tiempo, medida

por el cociente t

e , caracteriza a la velocidad. Cuanto mayor sea el ánguloα , mayor será la velocidad

y viceversa. Tabla de velocidades promedio:

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Problemas de encuentro Son problemas en donde intervienen dos o más cuerpos y poseen la dificultad de tener que calcular los tiempos y distancias recorridas por más de un cuerpo simultáneamente, por lo general en estos problemas se dan una determinada cantidad de datos y se suele pedir que se calcule el momento en que se encuentran los cuerpos o bien el lugar de encuentro. Se podrían hacer varias distinciones entre los diferentes tipos de problemas de encuentro, por ahora, solo en MRU, vamos a ver dos tipos de problemas de encuentro:

• Cuando los cuerpos van en la misma dirección y sentido. (Persecución). • Cuando los cuerpos tienen velocidades con sentido contrario. (Tipo choque)

Para resolver este tipo de problemas debemos plantear lo que se conoce como las “ecuaciones

horarias” del movimiento.

Estas ecuaciones parten de la fórmula ya vista tvet

ev .=⇒=

Lo que cambia, es que al espacio “e” lo expresaremos como: eoef − ; o sea posición final (ef) menos

posición inicial (eo). Y al tiempo transcurrido “t” lo expresaremos como: totf − ; o sea tiempo final (tf) menos tiempo

inicial (to). Por lo que la ecuación horaria en MRU será: ).( totfveoef −=−

Si despejamos ef queda: ).( totfveoef −+= Por último, cabe aclarar que en los problemas de encuentro, las posiciones finales de los móviles deben coincidir, ya que suponemos que en ese mismo instante están en el mismo lugar. Por lo tanto los procedimientos matemáticos para resolver estos problemas se basarán mayoritariamente en igualar “ef” y “tf”. Veamos entonces como se resuelve un problema típico de encuentro.

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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Se denomina rectilíneo porque su trayectoria es una línea recta y se denomina uniformemente variado porque su velocidad varía en forma constante. Podemos modificar el estado de movimiento de un objeto cambiando su rapidez, su dirección de movimiento, o ambas cosas. Cualquiera de estos cambios constituye un cambio de velocidad. En ocasiones nos interesa saber que tan a prisa cambia la velocidad. Velocidad media Se la define como el valor del cociente entre el espacio recorrido en un intervalo cualquiera y el tiempo empleado en recorrerlo.

0

0

ttf

eefVm

−

−=

La velocidad media de un movimiento variado es la velocidad del móvil que, con movimiento uniforme, recorrería el mismo espacio total en el mismo intervalo de tiempo.

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Aceleración Se la define como la rapidez con que cambia la velocidad de un móvil, y se calcula de la siguiente manera:

t

Va

ttf

VVfa

∆

∆=⇒

−

−=

0

0

Donde: a: aceleración. Vf: velocidad final. Vo: velocidad inicial. tf: tiempo final. to: tiempo inicial.

Las unidades de la aceleración surgen de efectuar el cociente entre las unidades de velocidad y las

unidades de tiempo: 2

s

m;

2s

cm;

2h

km.

Con la expresión que nos permite calcular la aceleración podemos realizar el siguiente razonamiento: - Si Vf > Vo entonces a + (movimiento acelerado). - Si Vf < Vo entonces a – (movimiento retardado o desacelerado). Es muy común utilizar la fórmula de velocidad final, sabiendo la aceleración, la velocidad inicial y el tiempo transcurrido.

Vf = Vo+a.t Por otro lado partiendo de la expresión para el cálculo de la aceleración podemos decir que:

- Si Vi = 0 y ti = 0 => t

Va = , despejando V nos queda: taV .=

Para calcular espacio o distancia en este movimiento se utiliza la expresión:

2.

2

1. tatVoe +=

Si el problema indica que se parte del reposo, se considera que la velocidad inicial Vo es nula o sea: Vo = 0 y en ese caso se anula el primer término de la ecuación de espacio.

222.

2

1.

2

10.

2

1. taetaetatVoe =⇒+=⇒+=

Gráficas del MRUV En este movimiento se pueden representar tres gráficas diferentes:

• a(t) aceleración en función del tiempo.

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• v(t) velocidad en función del tiempo. • e(t) espacio en función del tiempo.

Gráfica de la aceleración

Gráfica de la velocidad

Gráfica del espacio

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Ejemplo de aplicación 5: Un conductor se encuentra parado con su vehículo en un semáforo en rojo, al ver la luz verde aprieta

el acelerador y produce durante 4 segundos una aceleración constante de 2

5s

m.

Se pide: a) ¿Qué espacio recorrió en esos 4 segundos? b) ¿Qué velocidad alcanzó al cabo de esos 4 segundos? c) Si luego de esos 4 segundos, mantuvo la velocidad alcanzada durante 10 segundos. ¿Cuánto espacio recorrió en los 14 segundos totales? d) Graficar el espacio y la velocidad en función del tiempo del punto “c”.

Como primer paso debemos entender de qué tipo de movimiento estamos hablando, según el enunciado es claro que se trata de MRUV, ya que es rectilíneo y la velocidad aumenta en forma constante.

El punto “a”, nos pide hallar el espacio recorrido en 4 segundos, entonces debemos aplicar la fórmula para el cálculo del espacio en MRUV, que como ya vimos es:

2

0.

2

1. tatve +=

Reemplazando en la misma los valores de “a”, de “t” y de “Vo” (es 0 porque parte del reposo) que son datos:

⇒=⇒+=⇒+=2

2

2

2

2

016..

2

5)4.(5.

2

14.0.

2

1. s

s

mes

s

msetatve me 40=

Para el punto “b”, nos pide calcular la velocidad adquirida por el vehículo al cabo de esos 4 segundos. Para ello utilizaremos la fórmula de velocidad para MRUV.

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⇒+= tavvf o . reemplazando los valores de “a” de “Vo” y de “t” dados nos queda: ⇒+= ss

mvf 4.50

2

s

mvf 20=

Por último vamos a calcular lo que nos pide en el punto “c”, sabemos que durante los primeros 4 segundos el vehículo se desplazó con MRUV, luego los próximos 10 segundos se desplazó con velocidad constante o sea con MRU, por lo que la velocidad del MRU será la velocidad final alcanzada en el MRUV, que

como se calculó en el punto anterior es de s

m20 .

Calculemos entonces el espacio recorrido en este último tramo, utilizando la fórmula de espacio para MRU:

⇒=⇒= ss

metve 10.20. me 200=

Lo que nos pide el ejercicio es calcular el espacio recorrido total durante los 14 segundos, es decir, el recorrido en el MRUV y en el MRU, para ello debemos sumar ambos espacios.

⇒+=⇒+= mmeeee tmrumruvt 20040 met 240=

Por último para verlo mejor, graficaremos el espacio y la velocidad en función del tiempo como nos pide el punto “d”.

Leyes del movimiento uniformemente variado

1) La aceleración es única y no varía a lo largo del tiempo.

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2) La velocidad es directamente proporcional al tiempo. 3) El espacio es directamente proporcional al cuadrado del tiempo.

Caída libre de los cuerpos Una manzana cae de un árbol ¿Se acelera durante la caída? Sabemos que parte del reposo y adquiere rapidez conforme cae. Lo intuimos porque podríamos atraparla sin hacernos daño después de una caída de uno o dos metros, pero no si cae desde un helicóptero que vuela a gran altura. Así pues, la manzana adquiere más rapidez durante el tiempo en que cae desde una gran altura que durante el tiempo más breve que le toma caer desde un metro. Este aumento de rapidez indica que la manzana se acelera al caer. La caída libre de los cuerpos es un ejemplo concreto de movimiento uniformemente acelerado, donde la velocidad inicial siempre es cero. Todos los cuerpos son atraídos por la Tierra con una cierta fuerza que se denomina fuerza de gravedad. Esta fuerza constante, origina sobre los cuerpos al caer, una aceleración también constante denominada aceleración del campo gravitatorio terrestre o simplemente aceleración de la gravedad, simbolizándola con la letra “g”. En la vida real la resistencia del aire afecta la aceleración de un objeto que cae. Imaginemos que el aire no opone resistencia y que la fuerza de gravedad es el único factor que afecta la caída de un cuerpo, decimos entonces que el cuerpo esta en caída libre. Generalizando, podríamos decir que el valor de la aceleración de la gravedad depende de la latitud del lugar donde nos encontremos.

En el Ecuador el valor es: 2

78,9s

mg ≅

En los polos es valor es: 2

83,9s

mg ≅

En Buenos Aires puede tomarse con bastante aproximación el valor de 2

80,9s

mg ≅ . Por otro lado se

ha convenido en tomar como valor normalizado al que correspondería a 45° de latitud a nivel del mar, siendo

este valor 2

81,9s

mg ≅ .

También podemos decir que la aceleración de la gravedad varía con la altura a la cual se realiza la experiencia. Pensemos que la aceleración de la gravedad es una consecuencia de la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos, cuanto más nos alejamos de la superficie terrestre menor será el valor de dicha fuerza y por lo tanto también será menor la aceleración de la gravedad. Como la aceleración es la de la gravedad y la velocidad inicial es cero, las fórmulas para la caída libre son:

t

vfg = y 2

.2

1tgh = donde h: es la altura en lugar de espacio.

Otra fórmula útil en caída libre es la que nos posibilita calcular el tiempo: g

ht

.2=

Experiencia de Galileo Desde la cima de la torre de Pisa Gaileo, deja caer dos cuerpos con idéntica forma pero de diferente peso, uno de ellos pesaba 1 libra y el otro pesaba 10 libras. Los asistentes de Galileo que se encontraban en la base de la torre, vieron con asombro como los dos cuerpos tocaban tierra en el mismo instante. Algunos adversarios de Galileo formularon la siguiente pregunta: ¿Por qué una pluma de ave cae más lentamente que una piedra?

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A lo que Galileo respondió, que la causa de la desigualdad de velocidades es la presencia de aire, que opone resistencia a la caída de todos los cuerpos. Por esta razón los dos cuerpos que él arrojó desde la torre de Pisa tenían idéntica forma y tamaño, pues eran dos esferas de igual radio. Más adelante se pudo realizar la experiencia en la bomba de vacío y se pudo comprobar que galileo tenía razón. “En el vacío, una pluma y una piedra caen con la misma velocidad” En resumen podemos decir: “Dos cuerpos cualesquiera, que se dejen caer simultáneamente en el vacío, van cayendo siempre juntos, con velocidades iguales” Ejemplo de aplicación 6: Calcular el tiempo que tarda en llegar al piso un cuerpo que se deja caer desde la terraza de una casa a una altura de 12m. Calcular también la velocidad con la que cae al piso. Como primer paso para calcula el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al piso utilizamos la fórmula:

⇒=⇒=⇒=

22 81,9

24

81,9

12.2.2

sm

mt

sm

mt

g

ht st 56,1=

Luego para calcular la velocidad final con la que llega al piso aplicamos:

⇒=⇒= ss

mvftgvf 56,1.81,9. 2s

mvf 3,15=

Tiro vertical Se denomina así al movimiento que describe un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba. Para que un objeto suba es necesario imprimirle una velocidad, denominada velocidad inicial (vo), la misma va disminuyendo hasta llegar a ser cero o nula (vf= 0), cuando el cuerpo alcanza lo que se denomina altura máxima. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado, ya que su dirección es contraria a la de la fuerza de la gravedad. Sus fórmulas son:

t

vvfg

)( 0−=− , donde “g” es negativa porque la gravedad va en contra del movimiento.

2

0 .2

1. tgtvh −= , existe una fórmula derivada de estas dos que nos permite calcular el tiempo que tarda el

cuerpo en alcanzar la altura máxima (hmáx).

g

vthmáx

0= , por último si no conocemos el tiempo y se quiere averiguar la altura máxima alcanzada por el

objeto, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

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g

vhmáx

.2

2

0= ⇒ 0..2 vhg máx =


¿Con qué velocidad debemos lanzar verticalmente una piedra hacia arriba para que alcance una altura de 20m? En este ejemplo podemos aplicar directamente la fórmula de vo en función de la altura máxima:

⇒=⇒= ms

mvhgv máx 20.81,9.2..2 200s

mv 8,190 =


¿Qué altura alcanza una piedra lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 Km/h?

Lo primero que hago es pasar el dato velocidad a m/s:

Movimiento circular uniforme (MCU) Un cuerpo describe un movimiento circular uniforme (MCU), cuando su trayectoria es una circunferencia y recorre arcos iguales en tiempo iguales (rapidez constante). Cabe recordar que arcos iguales corresponden a ángulos centrales iguales. Este movimiento también recibe el nombre de movimiento de rotación o movimiento angular. Ejemplos:

• La rotación de la tierra alrededor de su eje. • Una piedra atada al extremo de una soga y que se hace girar con velocidad constante. • El tambor de un lavarropa centrífugo.

Para poder desarrollar las fórmulas de este movimiento repasaremos los sistemas de medición de

ángulos más utilizados; el sistema sexagesimal donde los ángulos se miden en grados y el sistema de radianes, donde los ángulos se miden en radián.

FISICA I



El sistema que utilizamos usualmente es el sistema sexagesimal donde una vuelta completa o giro equivale a 360°, en física habitualmente se utiliza el radián, que es la unidad angular en el Sistema Internacional. Matemáticamente el ángulo radián se calcula como:

r

l=α

Donde “l” es la longitud del arco de circunferencia, “r” es el radio de la circunferencia y α es el ángulo central. Un radián es el ángulo cuyo radio es igual a la longitud de arco y corresponde a un ángulo de aproximadamente 57°17´44”. El radián no posee unidades ya que es el cociente entre dos longitudes que deben estar expresadas en las mismas unidades. En algunos casos se simboliza al radián como rad. En una circunferencia completa rl .2π= y si lo sustituimos en la fórmula anterior nos queda:

⇒=°r

r..2360

πrad..2360 π=°

Período Se denomina período al tiempo que emplea un objeto con MCU en describir una circunferencia completa. Se lo determina con la letra “T”. T es una magnitud que se mide con las mismas unidades del tiempo, para la ejercitación la más utilizada es el segundo. Ejemplo de aplicación 9: La tierra emplea 24h en realizar una rotación completa sobre su propio eje. Calcular el período de un punto sobre la superficie de la tierra en segundos.

⇒=h

shT

3600.24 sT 86400=

Frecuencia Se denomina frecuencia a la cantidad de vueltas (también llamadas revoluciones) que recorre un objeto dotado con MCU en cada unidad de tiempo (segundo) y se la designa con la letra “f”.

Su unidad es: s

f1

=

La fórmula que relaciona estas dos magnitudes es: f

T1

= ó T

f1

= .

Ejemplo de aplicación 10: Un motor gira a razón de 2400 rpm (revoluciones por minuto), ¿cómo se debe expresar en segundos?

⇒=⇒°

=s

vueltasf

segundo

vueltasdenf

60

.2400..

sf

140=

FISICA I



⇒=⇒=

s

Tf

T140

11sT 025,0=

Tarda en dar una vuelta completa 0,025s. Velocidad Este tipo de movimiento tiene en cuenta dos tipos de velocidad diferentes: velocidad angular y velocidad tangencial o lineal. Como sabemos la velocidad es la variación del espacio en la unidad de tiempo, entonces podemos definir de la siguiente manera los diferentes tipos de velocidad: a) Velocidad angular: se obtiene efectuando el cociente entre el ángulo descripto y el tiempo empleado en describirlo.

t

αω = , sus unidades son:

°

ss

rad

s

1,, .

También puede emplearse en lugar de grados, vueltas o revoluciones por unidad de tiempo:

RPMóuto

esrevolucion

s

vueltas..

min; == ωω


Calcular la velocidad angular de la Tierra.

1/s Representación vectorial de la velocidad angular Esta velocidad en MCU, se puede representar por medio de un vector coincidente o paralelo al eje de rotación (W) y cuyo sentido es el que tendrá un tirabuzón que avanza cuando se lo hace girar en el sentido de la velocidad angular, este vector posee las siguientes características:

- Dirección: Perpendicular al plano de la trayectoria. - Sentido: Igual al del avance de un tirabuzón que gira en el sentido en que

gira el móvil. - Intensidad: un valor que representa la velocidad angular del movimiento.

b) Velocidad tangencial: es la que representa la velocidad del móvil en cada instante, mediante un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria, cuyo módulo es igual a la velocidad numérica y su sentido es coincidente con el del movimiento.

FISICA I



tiempo

arcov =

Podemos calcular la velocidad tangencial o lineal y angular en función del período y la frecuencia.

Sabiendo que: tiempo

arcov = y teniendo en cuenta que el arco de circunferencia es r..2 π y que el tiempo

empleado en recorrerlo es el período, podemos escribir:

T

rv

..2 π= ó frv ...2 π= (1)

Cuando un móvil realiza un giro completo, el ángulo barrido por el radio es de 360° ó π2 radianes y por lo tanto también podemos expresar la velocidad angular en función del período y la frecuencia.

tiempo

ángulo=ω , teniendo en cuenta que el ángulo barrido por el radio en una circunferencia es igual a π2 y

que el tiempo empleado en recorrerlo es el período, podemos escribir:

T

πω

2= ó f..2 πω = (2)

Reemplazando la expresión (2) en (1) podemos escribir:

rv .ω= en

s

m. “Relación entre las dos velocidades del movimiento”

Es interesante destacar que en este movimiento se describen arcos iguales en tiempos iguales, por lo que la velocidad numérica permanece constante y en consecuencia la aceleración numérica o tangencial es nula. Pero el vector velocidad no es constante, pues si bien el módulo no varía, si se modifica permanentemente su dirección. Ejemplo de aplicación 12: Calcular la velocidad tangencial o lineal de un cuerpo que gira con un período de 0,8s siendo su radio 24cm.

Representación vectorial de la velocidad tangencial La velocidad lineal (v) es una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección.

- Dirección: perpendicular al radio en cada punto.

FISICA I



- Intensidad: un valor que representa la velocidad lineal o tangencial del movimiento.

- Sentido: igual al del avance de un tirabuzón que gira en el mismo sentido en que gira el móvil.

Aceleración Si bien la rapidez de un objeto con MCU es constante, por lo expuesto anteriormente, su velocidad lineal no lo es, no varía el módulo pero sí su dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración. Para que se modifique la dirección de la velocidad tangencial en cada punto de la trayectoria debe haber actuado otra velocidad con dirección y sentido hacia el centro, que representamos con el vector v∆ , este nos indica que hay una variación de velocidad, y que si se toman arcos lo suficientemente pequeños veremos que es perpendicular a la trayectoria, es decir dirigido hacia el centro de la curvatura. Por lo tanto existe una aceleración normal o centrípeta (hacia el centro), esta aceleración se calcula como:

rac .2

ω=

Otras expresiones de la aceleración centrípeta se pueden hallar reemplazando las otras fórmulas del

movimiento, obteniéndose:

r

vac

2

= ó vac .ω=

Es importante remarcar que esta aceleración no modifica el módulo, sino la dirección del vector velocidad. Representación gráfica del movimiento circular

Fuerza centrípeta Si existe una aceleración centrípeta es porque existe una fuerza constante hacia el centro de rotación denominada fuerza centrípeta actuando sobre el móvil.

FISICA I



A esta fuerza centrípeta se le opone otra de igual intensidad y de sentido contrario llamada fuerza centrífuga. En el caso de un automóvil que toma una curva, la acción simultánea de ambas fuerzas, centrípeta y centrífuga, le permiten recorrerla sin inconvenientes. En el caso de la piedra que gira atada al extremo de una soga, si esta se rompe, la piedra no sigue la dirección del radio, sino que sale despedida tangencialmente a la circunferencia. Esto ocurre ya que al cortarse la soga, cesa la fuerza centrípeta y, por lo tanto, también la centrífuga, provocando que el cuerpo por inercia salga despedido tangencialmente a su trayectoria. Webs de interés y consulta:

- http://www.educaplus.org/movi/4_2caidalibre.html - http://www.walter-fendt.de/ph14s/circmotion_s.htm - http://www.lawebdefisica.com/nivel/secundaria.php

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano” (Isaac Newton)

fisica i “unidad n°: 3 - cinemática” · - no sé adonde quieres ir a parar con esa pregunta...

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