fisica ii - cap.ii elasticidad
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7/29/2019 Fisica II - Cap.ii Elasticidad
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ELASTICIDAD
2.1 Introduccin. Conceptos bsicos
Hasta ahora se han considerado los cuerpos como slidos (que no
se deforman al aplicarles fuerzas) pero esto es una idealizacin que
no ocurre en los cuerpos reales que si se deforman. Los
estiramientos, aplastamiento y torsiones de los cuerpos reales
cuando se les aplican fuerzas son demasiados importantes para
ser despreciados
Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas ste cambia deforma o de tamao.
La elasticidad estudia la relacin entre las fuerzas aplicadas alos cuerpos y las correspondientes deformaciones sobre todos en
los cuerpos elsticos.
OTRA DEFINICIN
Es la capacidad de un slido de recuperar su forma despus deque ha sido deformado por una fuerza externa es la elasticidad.
Al aplicarle una fuerza a un slido, se produce una tensin entre las
molculas que lo forman, de modo que las distancias entre estas
cambian y el slido se deforma. Si la fuerza con que estn unidas
las molculas es muy grande, la deformacin ser pequea; pero si
la fuerza que une a las molculas es dbil, una tensin pequea
producir una gran deformacin. Cuando se deja de aplicar la
fuerza, las molculas vuelven a su posicin original
El lmite de elasticidad es la mxima fuerza que se puede ejercer
sobre un material, de modo que este recupere su forma. Si la fuerza
es mayor a este lmite, el material quedara deformado, ya que la
separacin entre las molculas ser tan grande que no volvern a
su posicin original.
Cuerpo elstico: Aquel que cuando desaparecen las fuerzas o
momentos exteriores recuperan su forma o tamao original.
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Cuerpo inelstico:Aqul que cuando desaparecen las fuerzas omomentos no retorna perfectamente a su estado inicial.
Comportamiento Plstico: Cuando las fuerzas aplicadas son
grandes y al cesar estas fuerzas el cuerpo no retorna a su estadoinicial y tiene una deformacin permanente.
La deformacin est ntimamente ligada a las fuerzas existentes
entre los tomos o molculas pero aqu se ignorar la naturaleza
atmica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un
continuo y tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fuerzas
exteriores y deformaciones.
Para cada clase de alteracin de la forma, introducimos unacantidad .llamada esfuerzo que caracteriza la intensidad de las
fuerzas que causan el cambio de forma.
El esfuerzo (tensin) en un punto se define como el valor lmite de
la fuerza por unidad de rea, cuando ste tiende a cero:
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En las curvas esfuerzo- deformacin de un material hay un tramo decomportamiento perfectamente elastico en el que la ralacin esfuerzo
deformacin es lineal ( esta termina en el punto a). De ah hasta punto b
(de lmite elstico) el material sigue un comportamiento elstico ( sigue
habiendo una relacin entre esfuerzo y deformacin), auque no es lineal,
y si se retira el esfuerzo se recuperara la longitud inicial. Si se sigue
aumentando la carga ( por encima del punto b), el material se deforma
rpidamente y si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud inicial,
quedando una deformacin permanente y el cuerpo tiene un
comportamiento Plstico. Si se sigue aumentando la carga ( por encima de
b), El material llegara a un estado en el que se rompe ( punto c)
2.2 Esfuerzo normal.
El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de rea ( en la que se
aplica)que causa la deformacin.Si la fuerza aplicada no es normal ni
paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma
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vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralelela a
la superficie considerada.Los esfuerzos con direccin normal a la seccin,
se denotan normalmente como ( sigma) y se denominan como esfuerzo
de traccin o tension caundo apunta hacia afuera de la seccin, tratando
de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresin cuando
apunta hacia la seccin, tratando de aplastar al elemento analizado.
El esfuerzo con direccin paralela al area en la que se aplica se denota
como (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo tratade cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel.
Las unidades del esfuerzo en el SI es N/m2, que recibe el nombre de Pascal
(Pa) y as llamado en honor del cientifico y filosofo francs del siglo XVII
Blaise Pascal.
En el sistema britanico, la unidad lgica sera la libra por pie cuadrado,pero es ms comun usar la libra por pulgada cuadrada (lb/pulg
2) psi y los
factores de convesin son.
1psi =6895Pa y 1Pa = 1.450x10-4
psi
2.3 Deformacin unitaria longitudinal.
Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tensin F y la barra
sufre un alargamiento (l - lo) =l, se define la deformacin longitudinalcomo:
La deformacin longitudinal es la variacin relativa de longitud.
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Se consideran tres tipos de deformacin, y se define un mdulo de
elasticidad para cada uno:
Mdulo de Young: mide la resistencia de un slido aun cambio en su
longitud.
Mdulo de corte: mide la resistencia al movimiento de los planos dentro
de un slido paralelos unos con otros.
Mdulo de volumtrico: Mide la resistencia de los slidos o lquidos a un
cambio en su volumen
2.3 Modulo de Young.
La razn de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de rea)
y deformacin unitaria (deformacin por unidad de longitud) Esta dada
por la constante Y, Denominada Modulo de Young, que es caracterstico
de cada material.
Que en la literatura aparece en la forma
Las unidades del mdulo de Young son las del esfuerzo, ya que la
deformacin unitaria no tiene unidades
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2.4 Coeficiente de Poisson
Cuando estiramos un cuerpo en una direccin ste se contrae en las
dimensiones perpendiculares al estiramiento. Todo elemento solicitado a
carga axial experimenta una deformacin no solo en el sentido de la
solicitud (deformacin Primaria x) , sino tambin segn el eje
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perpendicular ( deformacin secundaria o inducida y, z ), o sea , todatraccin longitudinal con alargamiento implica una contraccin transversal
( disminucin de la seccin del elemento estirado)
El coeficiente de Poisson es la relacin de la deformacin perpendicular ala axial.
Y si el cuerpo es istropo:
Cuerpo istropo: Tiene las mismas caractersticas fsicas en todas las
direcciones-
Anistropo, cuando depende de la direccin.
Cuerpo homogneo: Tienen igual densidad. Inhomogneo: Diferente
densidad.
Los cuerpos homogneos e isotrpicos tienen definidas sus caractersticas
elsticas con el mdulo de Young y el coeficiente de Poisson
Problema. 1.-
Dos varillas redondas, una de acero y la otra de cobre, se unen por los
extremos. Cada una tiene 0.750m de longitud y 1.50 cm de dimetro. La
combinacin se somete a una tensin con magnitud de 4x103N. Para cada
varilla, determine: a) la deformacin; b) el alargamiento
Problema 2.-
Una cuerda de nailon de las utilizadas por los montaistas se alarga 1,5m
bajo la accin del peso de un escalador de 80kg. Si la cuerda tiene 50m de
longitud y 9mm de dimetro, Cul es el mdulo de Young para este
material? Si el coeficiente de Poisson para el nailon es 0.2, calclese el
cambio que experimenta el dimetro bajo la accin de este cambio.
Problema 3.
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Una varilla de laton de 1.40m de longitud y rea transversal de 2.00cm2
se
sujeta por un extremo al extremo de una variilla de niquel de longitud y
seccin de 1.00 cm2. La varilla compuesta se someta a fuerzas iguales y
opuestas de 4.00 x104
N en sus extrremos. a) Calcule la longitud L de la
varilla de niquel si el alargamiento de ambas varillas es el mismo. b)Qu
esfuerzo se aplica a cada varilla? C) Qu deformacin sufre cada varilla?
Problema 4.-
Una masa de 12.0kg sujeta al extremo de un alambre de alumnio con
longitud no estirada de 0.50m, se gira en un circulo vertical con una
rapidez angular constante de 120 rpm(rev/min). El rea transversal del
alambre es de 0.014 cm2
. Calcule el alargamiento del alambre cuando lamasa est : a) en el punto ms bajo del circulo ; b) en el punto ms alto de
la trayectoria.
Problema 5.-
Una varilla de 1.05 m de longitud con peso
despreciable est sostenida en sus extremos por
alambres A Y B de igual longitud (ver fig.) El
rea transversal de A es de 2.00mm2, y la de B,
4.00 mm2. El mdulo de Young del alambre A es
de1.80x1011
Pa; el de B, 1.20x1011
Pa. En qu
punto de la varilla deber colgarse un peso w a fin de producir:
a) Esfuerzos iguales en A y B?
b) Deformaciones iguales en A y B?
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2.4 MODULO DE DEFORMACIN VOLUMETRICO
Cuando un cuerpo se sumerge a
gran profundidad en el mar, el agua ejerce una presin casi uniforme en
toda su superficie y reduce un poco su volumen . Esta situcin es diferente
de los esfuerzos y deformaciones de tensin y compresin que hemos
visto. Este esfuerzo en ste caso es una presin uniforme por todos lados,
y la deformacin resultante es un cambio de volumen. Usamos los
terminos Esfuerzo de volumen y deformacin de valumen para describirestas cantidades .
Si un objeto se sumerge en un fluido ( liquido o gas) en reposo, el fluido
ejerce una fuerza sobre todas las partes de la superficie del objeto; esta
fuerza es perpendicular a la superficie. (Si tratramos de hacer que el
fluido ejerciera una fuerza paralela a la superficie, el fluido se deslizara a
un lado para contrarestar la accin) La fuerza F por unidad de area que el
fluido ejerce sobre la superficie de un objeto sumergido es la presin p enel fluido:
La presin tiene las mismas unidades que el esfuerza; las unidades de uso
comn incluyen 1Pa (=1N/m2) y 1 lb/ pulg
2(1psi) Tambin se usa
comnmente la Atmsfera, que se abrevia atm. Una atmosfera es la
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presin media aproximadamente de una atmosfera terrestre sobre el nivel
del mar.
1 atmosfera = 1 atm = 1.013x105
Pa = 14.7 lb/ pulg2
La presin desempea el papel del esfuerzo en un cambio de volumen. La
deformacin correspondiente es el cambio fraccionario en el volumen. Es
decir, el cambio de volumen original Vo:
Deformacin de volumen =
La deformacin de volumen es el cambio de volumen por unidad devolumen; al igual que la deformacin por tensin o compresin, es un
nmero puro sin dimensiones.
Modulo de volumen.
La razn del esfuerzo de compresin uniforme a la deformacin por
compresin uniforme recibe el nombre deMdulo Volumtrico:
Incluye un signo menos en esta ecuacin porque un aumento de presin
siempre causa una reduccin de volumen. Dicho de otro modo, si p es
positivo , V es negativo. El modulo de volumen es en si una cantidadpositiva.
Una cantidad ms usada es la compresibilidad y es el reciproco delmdulo de volumen y se denota por k:
La compresibilidad es la disminucin fraccionaria de volumen, -V/Vo por
unidad de aumento P de la presin. Las unidades de la compresibilidad
son las inversas ala presin, Pa
-1
o atm
-1
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Tabla de compresibilidad de Lquidos
Problema 1.-
Qu incremento de presin se requiere para disminuir el volumen de unmetro cbico de agua en un 0,005 por ciento?
Problema 2.-
Una prensa hidraulica contiene 0.25 m2 ( 250L) de aceite. Calcule la
disminucin del aceite cuando se somete a un aiumento de presin p =1.6 x10
7Pa ( = 160 atm o 2300 psi). El modulo de volumen del aceite es B
= 5.0 x 109
Pa ( = 5.0x104
atm)y su compresibilidad k =1/B = 20x10-6
atm-1
Problema 3.-
Calcule densidad del agua del ocano a una profundidad en que la presin
es de 3430 N/cm2.
La densidad en la superficie es 1024 kg/m3.
El mdulo de compresibilidad del agua es 45.8 x10 -11 Pa -1
Problema
Si con aluminio se fabrica un cubo de 10 cm de lado, se quiere saber las
deformaciones que experimentar en una compresin uniforme,perpendicular a cada una de sus caras, de una tonelada, y cundo esta
misma fuerza acta tangencialmente a la superficie de una de sus caras,
estando el cubo s1idamente sujeto por la cara opuesta.
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Modulo de corte, Cizalladura.
Hasta hora solo hemos tendo en cuenta fuerzas normales a las superficies
que dan lugar a esfuerzos normales y a deformaciones de volumen.
Suponga ahora que las fuerzas F que se aplican son tangenciales a una
supericie A, el cambio que se produce en el cuerpo es solo en cambio de
forma ya que el volumen permanece constante.
El esfuerzo cortante o tangencial o de cizalladura , es la fuerza de corte otangencial por unidad de rea
El esfuerzo cortante tiene las dimesiones que la presin pero tiene la
direccin de la fuerza tangencial
Las unidades del esfuerzo cortante son ls mismas de la presim N / m2
en
el S.I.
Cuando actan esfuerzos cortantes el material se deforma como si el
material(p.e libro) estubiera formado por laminas paralelas y se
deforman como lo hara el libro de la figura ; a esta deformacin se
supone un deslizamiento segn el esfuerzo cortante o de cizalladura se
denomina deformacin cortante o cizalladura y vale:
La figura muestra un cuerpo deformado por
esfuerzo de corte. En la figura , las fuerzas de igual magnitud pero de
direccin opuesta actan de forma tangente a las superficies de extremoopuestas del objeto.
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Definamos el esfuerzo de corte como la fuerza F, que acta tangente a la
superficie, dividida entre el rea A sobre la que actua :
El esfuerzo de corte, al igual que los otros tipos de esfuerzo, es una fuerza
por unidad de rea.
La figura muestra que una cara del objeto sometido a esfuerzo de corte se
desplaza una distnacia x relativa a la cara opuesta. Definamos la
deformacin de corte como el cociente del desplazamiento x entre la
dimensiones tranversal h:
El modulo de elasticidad correspondiente se denomina Modulo de corte o
de cizalladura y se denota por S
Problema 1.-
Un cubo de acero de 5 cm de arista se halla sometido a
4 fuerzas cortantes, de 1200 kg, cada una, aplicadas ensentidos opuestos sobre caras opuestas. Calcule la
deformacin por cizalladura.
Problema 2.-
Una estatua se encuentra soldada a un pedestal de latn, que se muestra enla figura. Al producirse un movimiento ssmico se observa un
desplazamiento lateral de la cara superior del pedestal de 0,25mm.Calcular:
a) El esfuerzo de corte.
b) La magnitud de la fuerza producida por el movimiento ssmico.
El pedestal de latn tiene una altura de 1m y una seccin cuadrada de 0,5mde lado.
El mdulo de Young del latn es 3,5x1010 Pa
Mdulo de corte, cizalladura o rigidez G del latn es 1,7 1010
N/m2
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