fÍsica | mÓdulo 3 | volume...
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ReitorProf. Antonio Joaquim Bastos
Vice-reitoraProfª. Adélia Maria C. M. Pinheiro
Pró-reitora de graduação - PROGRADProfª. Flávia Azevedo de Mattos Moura Costa
Diretor do Departamento de Ciências ExatasProf. Evandro Sena Freire
Universidade Estadualde Santa Cruz
Ministério daEducação
Coordenação UAB – UESCProfª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna
Elaboração de ConteúdoProfª. Msc. Fernanda Gonçalves de Paula
Instrucional DesignProfª. Msc. Marileide dos Santos de OliveraProfª. Msc. Cibele Barbosa
RevisãoProfª. Msc. Sylvia Maria Campos Teixeira
Coordenação de DesignProfª. Msc. Julianna Nascimento Torezani
DiagramaçãoJamile A. de Mattos Chagouri OckéJoão Luiz Cardeal Craveiro
Capa Sheylla Tomás Silva
FÍSI
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ESC
Ao longo do texto você encontrará alguns boxes com orientações de estudo. A seguir descrevo o que cada uma significa e como você deve proceder diante das orientações.
PARA REFLETIR
As pausas para reflexão são pequenas provocações feitas ao longo do texto para que você interrompa por alguns minutos a leitura e pense sobre o que está sendo estudado. Não é necessário escrever nem debater com seus colegas, mas é importante que você pare para refletir sobre o que está sendo proposto antes de dar continuidade à leitura.
ATENÇÃO
Nos boxes em que há o pedido de atenção são apresentadas questões ou conceitos importantes para a elaboração de sua aprendizagem e continuidade dos estudos.
SAIBA MAIS
Aqui são apresentados trechos de textos que complementam e enriquecem o estudo que está sendo realizado.
EXERCÍCIO
Momento de debates sobre questões específicas. Cada exercício possui uma orientação específica sobre como deve ser realizado.
LEITURA RECOMENDADA/
NECESSÁRIA
São indicações de leituras que contribuem para a complementação e aprofun-damento dos estudos realizados.
ATIVIDADE
As atividades devem ser realizadas de acordo com as orientações específicas de cada uma.
VOCÊ SABIA?
Esses são boxes que trazem curiosidades a respeito da temática abordada.
UM CONSELHO
Um conselho, uma orientação feita pelo professor a respeito de algo que foi dito, auxiliando assim, na construção do conhecimento.
PARA CONHECER
Indicação e referências de autores, fontes de pesquisa, livros, websites, filmes (curtas-metragens e/ou longas-metragens) etc.
Os desafios auxiliarão na assimilação e aplicação dos conhecimetnos adquiridos. Cada um deles deve ser realizado de acordo com as orientações específicas.
PARA ORIENTAR SEUS ESTUDOS
DESAFIOS
Sumário
UNIDADE 1 - Introdução e apresentação do curso
1 AS PRIMEIRAS UNIDADES ......................................................................................19
ATIVIDADES ..............................................................................................................20
2 AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .................................................................................21
2.1 PARA ENTENDER O ELETROMAGNETISMO ...................................................... 21
2.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS ............................................................................22
2.3 MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................................23
RESUMINDO ..............................................................................................................25
1
2UNIDADE 2 - Sequências de números reais
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................29
2 DEFINIÇÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS ..................................................... 30
3 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA ...................................................................................33
4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES .............................................................. 35
ATIVIDADE 2.1 ...........................................................................................................39
5 SEQUÊNCIAS DIVERGENTES ...................................................................................39
6 SEQUÊNCIAS MONÓTONAS .....................................................................................40
ATIVIDADE 2.2 ...........................................................................................................43
3UNIDADE 3 - Séries numéricas
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................49
2 DEFINIÇÃO DE SÉRIES INFINITAS ...........................................................................52
3 SÉRIES GEOMÉTRICAS ...........................................................................................53
ATIVIDADE 3.1 ...........................................................................................................56
4 PROPRIEDADES DE SÉRIES CONVERGENTES ............................................................ 57
5 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS ......................... 60
ATIVIDADE 3.2 ...........................................................................................................69
6 SÉRIES ALTERNADAS .............................................................................................70
7 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA ....................................................................................75
ATIVIDADE 3.3 ...........................................................................................................79
56
7
UNIDADE 5 - Equações diferenciais - Primeiras definições
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 101
2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..................................................... 102
ATIVIDADE 5.1 ......................................................................................................... 103
3 SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................. 104
ATIVIDADE 5.2 ......................................................................................................... 106
4 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO DE UMA EDO DE 1ª ORDEM ......................... 106
ATIVIDADE 5.3 ......................................................................................................... 108
4UNIDADE 4 - Séries de Fourier
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................87
2 FUNÇÕES PERIÓDICAS ..........................................................................................88
ATIVIDADE 4.1 ...........................................................................................................89
3 DEFINIÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER .......................................................................89
4 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ...................................................................................91
ATIVIDADE 4.2 ...........................................................................................................94
UNIDADE 6 - Métodos de resolução de EDOS de 1ª ordem
1 EQUAÇÕES COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................... 113
ATIVIDADE 6.1 ......................................................................................................... 116
2 EQUAÇÕES EXATAS ............................................................................................. 117
3 FATOR INTEGRANTE ............................................................................................ 122
ATIVIDADE 6.2 ......................................................................................................... 125
4 EQUAÇÕES LINEARES .......................................................................................... 126
ATIVIDADE 6.3 ......................................................................................................... 129
5 EQUAÇÕES DE BERNOULLI E DE RICATTI ............................................................... 129
ATIVIDADE 6.4 ......................................................................................................... 131
UNIDADE 7 - Aplicações de equações diferenciais de 1ª ordem
1 DECAIMENTO RADIOATIVO ................................................................................... 138
2 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON ...................................................................... 139
3 MISTURAS .......................................................................................................... 141
4 DINÂMICA .......................................................................................................... 142
5 CIRCUITOS ELÉTRICOS ........................................................................................ 144
ATIVIDADE 7.1 ......................................................................................................... 145
Ao final desta aula, esperamos que você:
• Conheça um pouco da história do cálculo;
• sinta-se motivado a estudar o conteúdo da
disciplina;
• leia algum livro indicado na bibliografia;
• assista algum vídeo ou filme aqui indicado.
1unidade
Objetivos
INTRODUÇÃO E APRESENTAÇÃODO CURSO
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UNIDADE 1INTRODUÇÃO E APRESENTAÇÃO DO CURSO
“A Matemática - a idéia do infinito,
das tarefas infinitas - é como uma
torre babilônica, que apesar de
seu inacabamento, permanece
uma tarefa cheia de sentido,
aberta ao infinito; este infinito
tem por correlato o homem novo,
de metas infinitas.”
FONTE: Husserl, Edmund. A crise
da humanidade européia e a
filosofia. Porto Alegre: Edipucrs,
c1996
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CARO ALUNO,
Reservamos esta primeira unidade para fazer uma breve
introdução aos tópicos que serão discutidos ao longo de todo o curso.
Os temas aqui tratados são uma continuação natural dos tópicos vistos
em Cálculo Diferencial e Integral I, e têm uma enorme aplicabilidade
em nossas vidas cotidianas, como será mostrado na próxima seção.
Inicialmente gostaríamos de lhes dar algumas dicas, sugestões
e conselhos que acreditamos que podem contribuir de forma decisiva
para o seu sucesso e bom desempenho durante esta jornada.
E começamos com a dica mais importante de todas: NINGUÉM
APRENDE CÁLCULO APENAS LENDO! Por mais completo e didático
que seja o livro, não basta apenas ler. Você deve estudar. E o estudo
é feito sentado à mesa, com lápis e papel à mão. Sim, pois você
deve reescrever cada definição lida, verificar cada exemplo ilustrado,
demonstrar cada afirmação. A todo instante você deve interromper
sua leitura para assimilar conceitos, verificar e testar idéias, fazer uma
figura ou rascunhar um gráfico. E resolver exercícios... ah! Resolver
MUITOS exercícios. Esta tarefa diária de verificação simultânea do
que está sendo aprendido irá lhe proporcionar o desenvolvimento de
sua criatividade, suas habilidades irão se aguçar e, acima de tudo,
você será levado a participar do maravilhoso mundo da construção de
conhecimentos. Se você tiver dúvidas na resolução de algum exercício,
não desanime nem se desespere. Releia o conteúdo, consulte a
bibliografia recomendada, em algum momento você vislumbrará algo
que havia deixado passar. Com certeza você saberá apreciar estes
momentos. Caso a dúvida persista, não se esqueça de que você pode
ainda contar com seu professor, com seus tutores e também com
seus colegas. Não deixe de partilhar suas dificuldades.
Por estes motivos lhe propomos agora um desafio. Desafiamos
você, caro estudante, a mergulhar fundo conosco neste oceano imenso
dos domínios da matemática. Possivelmente, em alguns momentos,
você se sentirá perdido, no escuro, mas não perca as esperanças. Se
estiver escuro significa que você mergulhou fundo e está prestes a
desvendar os mais belos mistérios deste oceano matemático. Assuma
conosco este compromisso de aprendizagem. Faremos o possível para
que você entenda e aproveite todos os conceitos que serão discutidos.
Faça o possível você também.
LEITURA RECOMENDADA
Selecionamos dois sites sobre Educação à Distância
com dicas para você realizar um bom estudo. Não deixe de dar uma
olhadinha.
www.midiaindependente.org/
pt/blue/2008/03/415120.shtml
www.universia.com.br/ead/
materia.jsp?materia=17709
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1 AS PRIMEIRAS UNIDADES
Apresentaremos agora um pouco da história que permeia o
assunto da primeira e segunda unidades.
Inicialmente, gostaríamos de já lhe adiantar o que é uma
sequência de números reais. Intuitivamente, quando você lê a
palavra sequência, já imagina vários termos enfileirados. Pois uma
sequência de números reais é exatamente isso: uma lista de números
numa ordem específica. Entretanto, as sequências pelas quais nos
interessaremos são as infinitas, ou seja, uma infinidade de números
reais enfileirados. E iremos trabalhar propriedades bem interessantes
de determinadas sequências de números reais, como monotonicidade,
convergência, mas tudo a seu tempo.
O que cabe neste momento é lhe contar um pouco sobre uma
sequência para lá de especial: a sequência de Fibonacci. Você já deve
ter se deparado com esta sequência, mesmo que não tenha se dado
conta disso ainda.
A sequência de Fibonacci é dada por:
Esta sequência, descoberta por Leonardo Pisano ou Leonardo
Fibonacci, como era mais conhecido, tem a seguinte lei de formação:
o primeiro termo é 1, o segundo é 1 e cada termo seguinte, na
sequência, é obtido somando seus dois antecessores. Observe:
11
1+1=22+1=33+2=55+3=88+5=1313+8=21
e assim sucessivamente.
Embora de definição simples, a sequência de Fibonacci é cheia
de propriedades e aplicações interessantíssimas. Conceitos como o
Número de Ouro, o Retângulo Áureo e a Divisão Áurea têm
Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são quando combinados.Galileu Galilei (1564-1642)
1 1 2 3 5 8 13 21, , , , , , , ,…
SAIBA MAIS
PARA REFLETIR
Leonardo Fibonacci (1170-1240), nasci-do em Pisa (Itália), foi um dos primeiros matemáticos a difun-dir o sistema numé-rico hindu-arábico na Europa. Suas teorias matemáticas contribu-íram para o desenvol-vimento da Geometria Euclidiana e também para novos campos na Teoria dos Números.
CÁLCULO II
20 Módulo 3 I Volume 3 EAD
Introdução e apresentação do curso
relação intrínseca com a sequência que também pode ser encontrada
na natureza, na arte, na música, na arquitetura, entre outros.
Caso você não esteja fa-miliarizado com os con-ceitos de Número de Ouro, Retângulo Áureo e Divisão Áurea, pode descobrir um pouco mais sobre eles no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_aurea
UM CONSELHO
ATIVIDADE
A seguinte atividade é uma apreciação de obras artístico-culturais. Seu objetivo é
despertar no aluno o fascínio pelas aplicações matemáticas no cotidiano, e motivá-lo a
continuar seus estudos. Simplesmente aprecie e se divirta com elas.
1. Caso ainda não tenha assistido o filme “O Código da Vinci”, o faça.
2. Leia o artigo http://www.confortin.com.br/arquivos/aula_02.pdf
3. Leia o livro O Universo e a Xícara de Chá, da autora K. C. Cole.
4. Aprecie as obras de Botticelli (O Nascimento de Vênus), em que Afrodite
está na proporção áurea, e de Leonardo Da Vinci (Mona Lisa), onde a mesma
proporção é usada.
5. Ouça as famosas Sinfonia nº5 e Sinfonia nº9, de Ludwig van Beethoven, onde
também estão presentes o número de ouro.
Algumas curiosidades...
• A sequência de Fibonacci foi usada no romance “O Código Da Vinci”, do escritor norte-americano Dan Brown, como código secreto.
• Na Bolsa de Valores, alguns corretores usam um software intitulado “Fibonacci” ou “Fibo” para tentar prever os preços das ações.
• Um grupo de rock da década de 80 adotou o nome “The Fibonaccis”.
Passemos agora para a próxima unidade: o estudo das séries
infinitas, que nada mais são, caros alunos, que a soma infinita dos
termos de uma sequência. Zenão de Eléa (490-425 a.C.) em seu
livro, 40 Paradoxos sobre Infinito e Contínuo, abordou problemas
envolvendo a soma de um número infinito de termos positivos que
resultavam num número finito, que é a essência da convergência de
uma série infinita de números.
Faça uma breve pausa para apreciar bem este fato. Como
somas infinitas podem ter resultados finitos? Arquimedes (287-212
a. C.) construiu vários exemplos para tentar explicar esta afirmação.
Na verdade, muitos foram os matemáticos que desenvolveram
e analisaram séries infinitas de números reais, mas foi Cauchy (1789-
1857) quem definiu de maneira mais completa e rigorosa a idéia de
convergência de séries infinitas (você verá que convergência de uma
série infinita significa que uma soma infinita tem um resultado finito).
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Já vimos como uma sequência infinita pode estar presente em
nossas vidas cotidianas mas, e séries infinitas? Onde são usadas e
como associá-las ao nosso cotidiano? Na verdade, nesta seção, você
terá de ter um pouco de paciência. Embora a motivação para estudá-
la seja intrigante (soma de infinitos números dando um resultado
finito), sua aplicabilidade não é tão imediata. Entretanto, as séries
infinitas constituem pré-requisito fundamental para o estudo de
Equações Diferenciais e estas, meu caro, estão presentes em todo o
nosso redor. Vejamos a seguir.
2 AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Equações diferenciais são a linguagem matemática que
descreve o comportamento de fenômenos naturais. Temos, por
exemplo, equações diferenciais que representam modelos de
natureza física, biológica e até mesmo econômica. Claro que você,
caro estudante, está interessado nos modelos físicos descritos por
equações diferenciais e, por este motivo, listaremos uma série de
situações de natureza física onde o domínio das equações diferenciais
é fundamental. Queremos que você perceba que o domínio das
equações diferenciais é o que lhe permitirá analisar, de modo científico,
todos os fenômenos ao seu redor.
2.1 PARA ENTENDER O ELETROMAGNETISMO
A Figura 1 foi retirada da web
page do European Laboratory for Particle
Physics (CERN) e trata-se do acelerador de
partículas mais poderoso do mundo: o LHC
(Large Hadron Collider), o grande colisor
de hádrons ; você já deve ter ouvido falar
do LHC, já que seus objetivos foram tão
divulgados (e por alguns até temidos) na
mídia de todo o mundo.
O objetivo do LHC é explicar a
origem das partículas elementares, através
de um experimento que consiste em aumentar progressivamente a
potência da circulação dos prótons, até chegar num momento crucial:
as primeiras colisões de partículas a velocidade próxima à da luz,
quando devem ser recriados os instantes posteriores ao Big Bang, o
que dará informações importantíssimas sobre a formação do universo.
Figura 1 - Fonte: http://lhc-machine-outreach.web.cern.ch/lhc-machine-outreach/lhc_in_pictures.htm
CÁLCULO II
22 Módulo 3 I Volume 3 EAD
Introdução e apresentação do curso
Mas o que tudo isso tem a ver com equações diferenciais
mesmo? Acontece que a tecnologia segundo a qual funciona o LHC
se baseia no Eletromagnetismo. O Eletromagnetismo figura dentre os
mais importantes ramos da Física e as suas leis estão profundamente
presentes no nosso cotidiano: nos celulares, televisores, computadores,
nos radares, entre outros. Mais fundamentalmente até, as reações
moleculares e atômicas, responsáveis pela formação de sólidos e
líquidos, são de natureza elétrica. Agora a questão que você deveria
estar esperando: todo tipo de fenômeno eletromagnético pode ser
formulado a partir das leis fundamentais do Eletromagnetismo,
que são as Leis de Maxwell, também conhecidas como Equações
de Maxwell? Sim, as leis fundamentais do Eletromagnetismo são
equações diferenciais! A saber:
Equações de Maxwell:
SAIBA MAIS
Leia um pouco mais sobre o
LHC na web Page do CERN:
http://public.web.cern.ch/
public/
James Clerk Maxwell (1831 — 1879) físico e matemático que ficou conhecido por formular a teoria moderna do ele-tromagnetismo, que une eletricidade, o magnetis-mo e a óptica.
SAIBA MAIS
Div E q( ) =
Div B( ) = 0
Rot E Bt
( ) + ∂∂
= 0
Rot B Et
j( ) + ∂∂
=
E:=campo elétrico, B:=campo magnético,
q:=densidade de carga elétrica e, j:=densidade de corrente elétrica.
Mas não é apenas no eletromagnetismo que as equações
diferenciais exercem papel fundamental.
2.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS
A Figura 2 foi retirada da web Page da NASA (National
Aeronautics and Space Administration), um órgão do governo norte-
americano que, como você deve saber, tem por objetivo, além de
ser pioneira na exploração espacial, fazer descobertas científicas e
conduzir pesquisas aeronáuticas. Um dos centros de pesquisa da
NASA, o LaRC (Centro de Pesquisas Langley), conduz as pesquisas
sobre aviação, onde os cientistas desenvolvem fuselagens e estudam
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Figura 2 - Fonte:http://www.nasa.gov/centers/dryden/images/
content/314080main_ED08-0053-07_full.jpg
como as camadas das aeronaves/espaçonaves
se comportam quando atravessam a atmosfera
da Terra e de outros planetas. O LaRC também
se concentra em segurança aeronáutica,
tecnologias de veículos aeroespaciais e
tecnologia de aeronaves silenciosas. Pois bem,
acontece que o estudo da aerodinâmica de uma
aeronave é uma das aplicações tecnológicas
mais evidentes da Mecânica dos Fluidos. E
você não vai ficar surpreso de saber que uma
das equações fundamentais da Mecânica dos
Fluidos, que descrevem o escoamento dos
fluidos, são as Equações de Navier-Stokes,
novamente, equações diferenciais.
Entretanto, as aplicações de Mecânica dos Fluidos não se
restringem apenas ao desenvolvimento de aeronaves. As Equações
de Navier-Stokes também são usadas para prever o clima, correntes
marítimas, propagação de fumaça em incêndios, fluxo sanguíneo,
dentre outras coisas. E você gostará de saber que, em conjunto com
as Equações de Maxwell, elas são usadas na modelagem de problemas
de magnetodinâmica.
As aplicações são inúmeras.
2.3 MECÂNICA QUÂNTICA
Figura 3 - Fonte: http://www.nasa.gov/centers/goddard/news/
topstory/2008/smallest_blackhole.html
SAIBA MAIS
Saiba mais sobre as pes-
quisas aeronáuticas da
NASA no endereço
http://www.aeronautics.
nasa.gov/
“Quanto mais se estuda a física quântica, mais misteriosa e fantástica ela se torna. A física quântica, falando de uma maneira bem simples, é uma física de possibilidades. São questões pertinentes de como o mundo se sente com relação a nós. Se existe uma diferença entre o modo do mundo nos sentir e como ele realmente é. Já parou para pensar do que os pensa-mentos são feitos?” A frase acima foi tirada do filme “Quem somos nós?”. Assista-o.
A Figura 3, retirada da web Page
da NASA, trata do menor buraco negro já
encontrado no universo. Você, com certeza,
já ouviu falar dos buracos negros, seja num
programa de televisão ou mesmo numa
reportagem de alguma revista. Assim como
também já deve ter ouvido falar do brilhante
físico inglês Stephen Hawking.
Embora possamos ter a idéia
equivocada de que buracos negros são
CÁLCULO II
24 Módulo 3 I Volume 3 EAD
Introdução e apresentação do curso
“grandes aspiradores de matéria”, em 2004
Hawking descobriu, levando em consideração
os princípios da Mecânica Quântica, que a
superfície do buraco negro poderia apresentar
flutuações quânticas que permitiriam que as
informações contidas no interior do buraco
“escapassem”. Hawking usou princípios da
Mecânica Quântica para reconhecer tal fato.
Embora na maioria das vezes a Mecânica
Quântica seja eficiente para descrever
fenômenos microscópicos (por exemplo, as
reações químicas e a estrutura periódica dos elementos, são regidas
pelas leis da Mecânica Quântica), seus efeitos específicos também
são de vital importância para percepções em escalas macroscópicas,
como é o caso do estudo de buracos negros.
A formalização desta teoria é creditada,
dentre outros, ao físico ganhador do prêmio
Nobel Erwin Schrödinger, que propôs a
Equação de Schrödinger, equação diferencial
que representa, para a Mecânica Quântica,
o que a Segunda Lei de Newton representa
para a Mecânica Clássica. A Equação de
Schrödinger é mais um belo exemplo da
importante aplicabilidade das equações
diferenciais em todo universo ao nosso redor.
SAIBA MAIS
Stephen William Hawking (Oxford, 8
de janeiro de 1942) é um físico
teórico inglês.
Doutor em cosmologia, é um dos
mais consagrados físicos teóricos
da atualidade. Hawking foi pro-
fessor lucasiano de matemáti-
ca na Universidade de Cambrid-
ge (posto que foi ocupado por Isaac
Newton). Depois de atingir a idade
limite para o cargo, tornou-se pro-
fessor lucasiano emérito daquela
universidade.
Fonte (Figura): http://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Stephen_Hawking.StarChild.jpg
SAIBA MAIS
Erwin Rudolf Josef Alexander
Schrödinger (1887 —1961) foi
um físico teórico austríaco famoso
por suas contribuições à Mecânica
Quântica, especialmente a Equação
de Schrödinger, pela qual recebeu
o Nobel de Física em 1933. Propôs
o experimento mental conhecido
como o Gato de Schrödinger.
Fonte (Figura): http://pt.wikipedia.
org/wiki/Ficheiro:Erwin_
Schr%C3%B6dinger.jpg
SAIBA MAIS
Saiba mais sobre buracos negros no site HowStuffWorks (Como Tudo Funciona)http://ciencia.hsw.uol.com.br/buracos-negros1.htm
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RESUMINDO
Listamos aqui apenas alguns eventos modelados por equações
diferenciais; na verdade a sua aplicabilidade é enorme. Você modelará, fazendo
uso de equações diferenciais, problemas de dinâmica populacional, datação por
carbono 14 (usado por exemplo para descobrir a hora da morte), problemas em
economia, concentração de misturas (por exemplo, sal e água), resfriamento de
corpos, estudo de circuitos elétricos, dentre muitos outros.
Esperamos que, com essa aula introdutória, tenhamos conseguido
motivá-lo a desenvolver um bom curso de Cálculo II, de maneira séria e
consciente do importante papel que esses conceitos farão na sua vida. Em alguns
momentos, por se tratarem de objetos matemáticos um pouco complexos, você
poderá se sentir desmotivado ou mesmo desanimado, mas tente sempre se
lembrar para onde o seu esforço em entender estes conceitos o levarão, o que
você será capaz de fazer (e entender) a partir do momento que compreender
os objetos estudados. Você terá aprendido a mais bela linguagem que existe,
a linguagem que descreve os fenômenos da natureza ao seu redor. E essa
satisfação não tem preço.
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Suas anotações