física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 7 – s. s. mizrahi & d. galetti

Capítulo 7

Modelos do núcleo

7 Modelos do núcleo 2207.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.2 O modelo de gás de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.3 O modelo de camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.3.1 À procura de uma explicação para os “núcleos mágicos” . . . . . . 2277.3.2 Momento de dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.3.3 Momento de quadrupolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.3.4 Estados intrínsecos em campos esferoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.4 Modelos coletivos do núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.4.1 O modelo da gota líquida de Bohr e Wheeler . . . . . . . . . . . . . . . 2457.4.2 Dinâmica no modelo da gota de Bohr e Wheeler . . . . . . . . . . . . 2507.4.3 Vibrações coletivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.4.4 Deformação permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4.5 Vibrações e rotações nucleares: modelo híbrido de A.

Bohr e Mottelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.5 Apêndice A: Energias de superfície e coulombiana de um esferóide . . . 264

7.5.1 Energia de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.5.2 Energia coulombiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.6 Apêndice B: A energia cinética de uma gota líquida . . . . . . . . . . . . . . . 2687.7 Apêndice C: O teorema de Landé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.8 Apêndice D: Momento de quadrupolo elétrico de um próton de

valência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.1 IntroduçãoHistoricamente, a analogia entre algumas propriedades dos núcleos e de gotas líquidasclássicas forneceu suporte para o estabelecimento de um modelo para os núcleos que

220

S.S. Mizrahi & D. Mizrahi

7.1 Introdução 221

dá destaque àquelas propriedades. Numa primeira versão, quando o núcleo é con-siderado esférico, este modelo se apresenta como capaz de prever, de forma geral,propriedades nucleares através da fórmula semi-empírica de massa, como discutido nocapítulo 4. Assim, podem-se estimar, além das massas nucleares, as linhas limítrofesde estabilidade, tanto para o decaimento beta quanto para o alfa.Essa capacidade preditiva do modelo pode ser levada mais longe se considerarmos a

instabilidade da gota líquida quando esta tem carga elétrica. Este problema clássico [1]– quando então os graus de liberdade de sua forma são postos em evidência – nos leva auma nova discussão da estabilidade nuclear, uma vez que admitimos agora que o núcleopode se deformar de tal maneira que a competição entre as energias de superfície e decarga elétrica estabelece um novo limite para a estabilidade nuclear como função de suaforma.Não obstante essa ampla capacidade de descrição de propriedades nucleares, o mod-

elo da gota líquida tem que ser complementado por informações referentes à maneiracomo os núcleons se acomodam no núcleo, como antevisto na fórmula semi-empírica demassa. Os núcleons são regidos pelas interações que agem entre eles, e sendo férmions,portanto sujeitos ao princípio de Pauli, devem ser também levadas em conta as corre-lações específicas de sua estatística. Portanto, uma descrição microscópica a nível denúcleons e das forças que entre eles agem torna-se necessária.Assim, se os termos de correção de energia de assimetria e de emparelhamento

foram introduzidos de forma qualitativa naquela expressão semi-empírica, agora elespodem ser justificados de uma forma mais consistente através da apresentação de mod-elos nucleares microscópicos. Nessa linha, o modelo de gás de Fermi e o modelo decamadas – proposto por Maria G. Mayer e Johannes H. D. Jensen (PNF-1963, am-bos laureados) – são as duas primeiras maneiras de se estudar os sistemas nuclearesonde os núcleons são tratados individualmente, em contrapartida ao caráter global, co-letivo, usado no modelo da gota líquida. Este modelo permitiu explicar o porquê daexistência dos chamados “números mágicos” ou “núclídeos mágicos”, que constituemum conjunto de nuclídeos caracterizados pela sua grande estabilidade ou seja, por pos-suírem grande energia de separação para um núcleon, quando comparados como os seusvizinhos na tabela de nuclídeos.Com a caracterização definitiva da importância do grau de liberdade de deformação

nuclear, uma extensão do modelo de camadas com potencial esfericamente simétricofoi desenvolvida principalmente por Sven G. Nilsson, na qual a introdução de um po-tencial deformado permite, neste caso, a obtenção dos níveis de energia de núcleonsindependentes. Embora este tratamento não seja autoconsistente, ele já é uma primeiraabordagem mais realista para a descrição dos estados nucleares. Com esses modelostambém é possível justificar os valores de várias propriedades nucleares, em particularos momenta angulares dos estados fundamentais de núcleos. Os modelos de partículaindependente originalmente propostos, núcleons sujeitos apenas a uma força central,foram precedidos por outro, devido a Fermi – o chamado modelo de Fermi – que con-sidera os núcleons livres, sem interação mútua e sem campo central, estando apenasconfinados em um volume V de paredes impenetráveis. Este modelo permite explicar


222 Capítulo 7. Modelos do núcleo

corretamente o termo de energia de assimetria presente na fórmula de massa.Concomitantemente, a necessidade de se explicar valores experimentais de algumas

propriedades nucleares – estados excitados e momentos magnéticos – que não eram en-contrados com os modelos anteriormente propostos – levou à introdução dos chamadosmodelos coletivos, não obstante, o modelo da gota seja um modelo coletivo do núcleo.Estes incorporam, de forma explícita, o grau de liberdade de deformação estática na de-scrição dos núcleos ao conjugar tanto as idéias de comportamento coletivo – onde todosos núcleons são fortemente correlacionados – como as de partículas independentes –onde os núcleons se movem independentemente num poço de potencial deformado. Emparticular falaremos aqui do modelo introduzido por James Rainwater, Aage N. Bohr1e Benjamin R. Mottelson (PNF-1975, os três), que permitiu a obtenção de espectrosde energia de excitação dos núcleos, levando à identificação das bandas vibracionais,rotacionais ou híbridas.A ordem de apresentação dos modelos nucleares não segue a ordem cronológica

da sua invençao, escolhemos uma ordem que julgamos ser mais adequada do pontode vista pedagógico. Iniciamos com a apresentação dos modelos que tratam o núcleoconstituído de núcleons, modelo de Fermi e de camadas (forma estável esférica e depoisdeformada), a seguir apresentamos modelos coletivos e finalmente um modelo híbrido.

7.2 O modelo de gás de FermiO termo de energia de assimetria presente na fórmula semi-empírica da massa, Eq.(4.1), tem uma conexão com o chamado modelo de gás de Fermi, que iremos desen-volver agora. No modelo proposto por Fermi considera-se que Z prótons e N nêutronsestejam confinados em uma caixa de volume V (o volume nuclear) e que não intera-jam entre si. O núcleo é tratado como uma mistura de dois gases ideais quânticos e,como os núcleons têm spin 1/2, eles se comportam de forma a satisfazer a estatística deFermi-Dirac e o princípio de exclusão de Pauli. Cada núcleon será caracterizado pelovetor associado ao número de onda k, ou momentum linear p = ~k, e por um auto-valor da componente sz do spin,ms = ±1/2, ou seja, pelo conjunto de quatro números(k,ms). Os efeitos de superfície nuclear (que podem ser tomados como sendo a ten-são superficial) são ignorados aqui, visto que eles já foram considerados para escrevera fórmula de massa.No caso de um gás clássico de partículas pontuais confinadas em um volume V ,

quando a temperatura é diminuída e se quer manter a pressão constante deve-se re-duzir o volume ocupado pelo gás (lembrar da equação de estado de um gás ideal P =NRT/V ). Isto implica, porém, em uma diminuição no livre caminho médio (que éa distância média percorrida por uma partícula entre duas colisões), o que aumenta onúmero médio de colisões. No caso de um gás de Fermi a baixas temperaturas, todos osestados de energias mais baixas estão ocupados, portanto, se a partícula 1 colide com a

1Filho de Niels Bohr.


7.2 O modelo de gás de Fermi 223

2, a 1 pode transferir parte de seu momentum e energia à 2, que assim teria novo mo-mentum e nova energia. Mas, se existir uma partícula 3 com esses mesmos momentume energia, pelo princípio de exclusão de Pauli, a partícula 2 não poderá assumir essesnovos valores, e essas transferências de momentum e de energia ficam proibidas. Logo,o número de estados permitidos para serem ocupados por uma partícula após uma col-isão fica diminuído. Por conseguinte, o livre caminho médio de uma partícula em umgás de Fermi será grande quando comparado com aquele de um gás clássico à mesmatemperatura e pressão, podendo tornar-se, até mesmo, maior que as dimensões do vol-ume V da caixa que o contém. Portanto, em vista do grande livre caminho médio daspartículas, neste modelo pode-se desconsiderar a interação entre as partículas.Vamos supor que N partículas se movem livremente, porém confinadas a um re-

cipiente de formato cúbico (mais adiante esta condição será relaxada) com lados dedimensão L e de volume V = L3. A equação de Schrödinger em três dimensões parauma partícula independente é escrita em coordenadas cartesianas comoµ

d2

dx2+

d2

dy2+

d2

dz2+ k2

¶Ψ (x, y, z) = 0,

com k2 = 2mE/~2, cuja solução é

Ψkxkykz (x, y, z) = A sin kxx sin kyy sin kzz,

onde k2 = k2x + k2y + k2z e E é a energia. As condições de contorno são

Ψkxkykz (L, y, z) = Ψkxkykz (x,L, z) = Ψkxkykz (x, y, L) = 0,

que levam às igualdades¯¯ kxL = nxπkyL = nyπkzL = nzπ

⎫⎬⎭ =⇒ (kx, ky, kz) =π

L(nx, ny, nz) , nx, ny, nz = 1, 2, 3, ...,

que, por sua vez, estabelecem os possíveis valores que os números quânticos nx, ny, nzpodem assumir, os valores negativos fornecem as mesmas autofunções, a menos de umaconstante multiplicativa, −1. Vamos fixar o maior momentum linear possível para umnúcleon, pF = ~kF , compatível com a energia do sistema nuclear; logo

k2x + k2y + k2z ≤ k2F

ou

n2x + n2y + n2z ≤µkFL

π

¶2.

pF é chamado momentum de Fermi e kF é o número de onda de Fermi. Os núcleonscom p = pF formam a superfície de Fermi (no espaço de momenta).Passemos agora ao cálculo do número de prótons (ou de nêutrons) com momentum

entre p e p+dp para cada momentum p. Visto que o spin de um núcleon é ~/2, existem



dois possíveis estados (ms = ±1/2) e a fração de prótons com momentum linear entrep e p+ dp é calculada de

dNprot

³k´= 2

∙1

23dnxdnydnz

¸= 2

µL

π

¶31

23dkxdkydkz,

onde o fator 2 está presente exatamente para levar em conta os dois possíveis estados despin e o fator 1/23 foi introduzido porque apenas um octante do espaço tridimensionaldeve ser levado em conta (nx, ny, nz de valores positivos). Agora, passando para coor-denadas esféricas, dkxdkydkz = k2dkdΩk, com k = |k| e p = |p|, e integrando nosângulos obtém-se

dNprot (p) = 2V

(2π)34πk2dk = 2

V

(2π~)34πp2dp, (7.1)

e para a segunda igualdade usamos a relação p = ~k. Agora não é mais necessárioreconhecer V como o volume de um cubo, mas como o de um recipiente tridimensionalfechado e de formato arbitrário. Integrando a Eq. (7.1) obtemos o número de prótons,

Z = 2V

(2π~)34π

Z pF

0

p2dp =V p3F (prot)

3π2~3=

V k3F (prot)

3π2;

o momentum de Fermi pF é o maior momentum de um próton para um gás a T =0 K. O argumento (prot) serve de lembrete de que estamos considerando os prótons.Analogamente, no mesmo volume V , o número de nêutrons é

N =V k3F (neut)

3π2.

e (neut) especifica os nêutrons.Para um núcleo em seu estado fundamental, todos os estados com energia menor ou

igual à energia de Fermi deverão estar ocupados e os números de onda de maior valorserão

kF (prot) =

µ3π2Z

V

¶1/3e kF (neut) =

µ3π2N

V

¶1/3(7.2)

respectivamente. Considerando um núcleo com formato esférico, seu volume é escritocomo

V =4πR3

3=4πr303

A,

onde r0 é um parâmetro cujo valor é estabelecido a partir de dados experimentais, comojá descrito no capítulo 2, e A é o número de massa. Os números de onda (7.2) podementão ser reescritos como

kF (prot) =1

r0

µ9πZ

4A

¶1/3e kF (neut) =

1

r0

µ9πN

4A

¶1/3.


7.2 O modelo de gás de Fermi 225

A energia cinética dos prótons é então

T (prot) =

Z pF

0

p2

2mp

dNprot (p)

dpdp = 2

V

(2π~)34π

1

2mp

Z pF

0

p4dp

=3~2Z10mpr20

µ9πZ

4A

¶2/3=3

5ZtF (prot) ,

onde

tF (prot) =~2k2F (p)2mp

=~2

2mpr20

µ9πZ

4A

¶2/3é a maior energia cinética que um próton pode ter. Note que, em média, a energiacinética de um próton vale 3/5 do maior valor possível tF (p). O mesmo tratamentopode ser estendido para os nêutrons obtendo-se

T (neut) =3

5NtF (neut) =

3

5N

"~2

2mnr20

µ9πN

4A

¶2/3#.

A energia cinética total nesse modelo do núcleo é então dada pela soma das energiascinéticas dos prótons e nêutrons

T (Z,N) =3

5[ZtF (prot) +NtF (neut)] .

Para um núcleo atômico com Z = N = A/2 (simétrico) a energia cinética total é

T (A/2, A/2) =3

5

∙A

2tF (prot) +

A

2tF (neut)

¸=

=3

5A

⎡⎢⎢⎢⎣ ~2

2mr20

µ9π

8

¶2/3| z

tf (A/2)

⎤⎥⎥⎥⎦ ,com

1

m≡ 12

µ1

mp+

1

mn

¶e, admitindo r0 = 1, 2 fm, tem-se T (A/2, A/2) ≈ 20, 0 A MeV . Assim, a energiacinética média T é de cerca de 20MeV por núcleon, enquanto que a energia cinéticamáxima tF é de aproximadamente 33MeV . Supondo que a energia de ligação (energiade ligação do último núcleon), B = − hEi, tenha um valor máximo de cerca de 8MeV , então a energia potencial média hV i deve fornecer um valor aproximado para aprofundidade do poço de potencial, ou seja, hEi = hT i+ hV i, hV i ≈ − 41, 0MeV .Com base nesses resultados podemos agora verificar que um nuclídeo simétrico

(N = Z = A/2) é mais estável do que um outro com N 6= Z. De fato isto ocorre



porque há um incremento na energia cinética em um isóbaro com excesso de nêutronsou de prótons, a saber,

∆E(A,Z) = T (Z,N)− T

µA

2,A

2

¶=

3~2

10r20

µ9π

4

¶2/3 ∙1

mn

N5/3

A2/3+

1

mp

Z5/3

A2/3− 1

22/3mA

¸. (7.3)

Visto quemn ≈ mp, logo m ≈ mp, assim, a Eq. (7.3) é escrita aproximadamente como

∆E(A,Z) =3

5

~2

2mpr20

µ9π

4

¶2/31

A2/3

"N5/3 + Z5/3 − 2

µA

2

¶5/3#.

Definindo o desvio∆ = (N − Z) /2 e como A = N + Z temos

N =A

2+∆, e Z =

A

2−∆,

o que permite reescrever a Eq. (7.3) como

∆E(A,Z) =3~2

10mpr20(9π)2/3

1

24/3A

25/3

"µ1 +

2∆

A

¶5/3+

µ1− 2∆

A

¶5/3− 2#.

Para (2∆) /A < 1, faz-se a expansão em série de Taylorµ1± 2∆

A

¶5/3= 1± 5

3

µ2∆

A

¶+5

9

µ2∆

A

¶2+ · · ·,

o que leva a

∆E(A,Z) =3

5

~2

2mpr20(9π)

2/3 A

23

"25

9

µ2∆

A

¶2+O

Ãµ∆

A

¶4!#.

Portanto, o termo de energia de assimetria é, até ordem quadrática em (2∆) /A,

∆E(A,Z) =

"(9π)

2/3

12

~2

2mpr20

#(A− 2Z)2

A≥ 0, (7.4)

que corresponde ao excesso de energia de um núcleo AZX com Z 6= A/2 em relação

ao isóbaro AA/2X . Como ~

2/2mp ≈ 20, 7 MeV fm2, para r0 = 1, 2 fm temos~2/

¡2mpr

20

¢≈ 14, 41 MeV e, como também (9π)

2/3/12 ≈ 0, 77, o fator entre

colchetes na expressão (7.4) vale 11, 14 MeV , enquanto o valor empírico que melhorajusta a fórmula de massa é aassim = 23, 20MeV .Desta maneira, ainda que de forma simplificada, podemos entender a origem e obter

uma estimativa do valor do parâmetro aassim a partir do modelo simplificado do gás deFermi.


7.3 O modelo de camadas 227

7.3 O modelo de camadasO chamado modelo de camadas de energia foi desenvolvido para reproduzir os níveisde energia dos átomos, e é um modelo bastante bem sucedido por reproduzir com altaprecisão dados experimentais das propriedades atômicas. O fato essencial que o tornaexitoso é a interação bem definida e determinada que atua entre os elétrons e entre estese o núcleo atômico, que é a interação coulombiana mais a interação entre os spins eseus momenta angulares orbitais. Numa versão mais sofisticada, o método de campoautoconsistente, chamado método Hartree-Fock, vai além e possibilita a determinaçãodas funções de onda dos elétrons e, a partir delas, o cálculo das propriedades atômicas,onde entram então apenas constantes universais.Na Física Nuclear, as medidas sistemáticas das energias de separação de prótons e

nêutrons e de momentos de quadrupolo, mostram que núcleos com números (N,Z) ∈M = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 apresentam certas peculiaridades que os diferenciamdos demais. Estas são: (1) descontinuidades na curva de energia de separação, emfunção de N (ou Z), significando que os núcleos com N e Z com valores pertencentesao conjuntoM (núcleos par-par) têm seus núcleons mais fortemente ligados do queaqueles em núcleos “vizinhos” com N ± 1 ou Z ± 1 (núcleos ímpar-par, par-ímpare ímpar-ímpar); (2) também se verificou que os momentos de quadrupolo daquelesnúcleos ((N,Z) ∈M) são nulos, ou muito pequenos, o que sugere uma forma esférica.Como não havia uma explicação satisfatória para os fatos experimentais, os númerosdo conjunto M passaram a ser chamados números mágicos e os núcleos associadosficaram conhecidos como núcleos mágicos.Essas características desses núcleos mágicos remetiam ao modelo atômico de ca-

madas eletrônicas, embora no núcleo não existisse uma força central como ocorre nocaso do átomo (a carga coulombiana do núcleo). Apesar da ausência de campo centraldiversas tentativas foram feitas para construir um modelo de partícula independente emanalogia aos orbitais eletrônicos da física atômica, onde a interação entre os elétrons en-tra apenas como uma perturbação. No núcleo atômico só existem forças entre núcleons,V (ri, rj), que dependem da sua distância relativa e de outros graus de liberdade comospin e isospin. Para contornar esta limitação, de forma a permitir construir um modelode partícula independente, considerou-se que a partir de V (ri, rj) poder-se-ia extrairum potencial central médio, U(ri), responsável pelas propriedades experimentais ob-servadas. Mas ainda assim sobraria uma interação residual de dois corpos, v(ri, rj), quepoderia ser desconsiderada em cálculos menos refinados, porém importante em cálculosmais elaborados.

7.3.1 À procura de uma explicação para os “núcleos mágicos”

O hamiltoniano nuclear é escrito como

H =∞Xi=1

ti +AXi=1

AXj=i+1

V (ri, rj),



onde o primeiro termo é a energia cinética (operadores de um corpo) e o segundo rep-resenta a interação entre os núcleons. O hamiltoniano pode ser reescrito como

H =∞Xi=1

ti +AXi=1

U (ri) +AXi=1

AXj=i+1

v(ri, rj)

= H0 +AXi=1

AXj=i+1

v(ri, rj),

onde U (ri) é o potencial central que poderia ser introduzido de forma ad-hoc ou entãoseria um potencial obtido a partir da hipótese de campo médio, obtido da interação dedois corpos V (ri, rj) (como feito no método de Hartree-Fock). Em aproximação maisbaixa, considera-se o hamiltoniano de um corpo para os A núcleons como

H0 =∞Xi=1

hi =∞Xi=1

[ti + U (ri)] .

Para estudar as condições que permitem explicar as energias de separação dos núcleons,supõe-se que U (ri) seja aproximadamente constante no interior do núcleo, indo rapi-damente a zero na sua superfície, uma vez que as forças nucleares são de curto alcance.Iremos aqui considerar os potenciais listados na Figura 7.1, que foram escolhidos dev-ido à simplicidade em obter soluções da equação de Schrödinger, hiψ (ri) = iψ (ri).Para o caso do oscilador harmônico, Figura 7.1-c, os níveis de energia são dados pornl = ~ω (2n+ l + 3/2), com n = 0, 1, 2, 3, ... e l = 0, 1, 2, 3... . Chamando 2n+ l =Λ, o esquema de níveis e o número de degenerescências

DΛ =1

2(Λ+ 1) (Λ+ 2)

estão dados na Tabela 7.1.n l 2n+ l = Λ DΛ

0 0 0 10 1 1 31 0 2 60 21 1 3 100 30 4 4 151 22 0

Tabela 7.1. Números quânticos enúmero de degenerescências.

Levando-se em conta o grau de liberdade de spin, o número de prótons e de nêutronsem cada camada completa Λ é dado por

NΛZΛ

¾= (Λ+ 1) (Λ+ 2) ;



Figura 7.1: Três potenciais centrais: (a) potencial quadrado com paredes impenetráveis, U (r)= −U0 para r ≤ R0, e ∞ para r > R0; (b) poço de potencial quadrado, U (r) = −U0para r ≤ R0, e 0 para r > R0; (c) oscilador harmônico, U (r)= −U0 + kr2/2, comR0=√2U0k. Os três potenciais têm a mesma profundidade U(0) = −U0.

por exemplo, para os prótons temos

Z0 = 2; Z1 = 6; Z2 = 12; Z3 = 20; Z4 = 30; Z5 = 42; ...

ou na notação usada em espectroscopia: (nl)2(2l+1): l = 0 =⇒ s, l = 1 =⇒ p,l = 2 =⇒ d, l = 3 =⇒ f , l = 4 =⇒ g, l = 5 =⇒ h, · · · escrevemos

(0s)2 |2 (0p)6|8 (0d)10(1s)2|20 (0f)14(1p)6|40 (0g)18(1d)10(2s)2|70(0h)22(1f)14(2p)6|112 (0i)26(1g)18(2d)10(3s)2|168, (7.5)

onde as linhas verticais separam as camadas de energia e nesse caso os números mági-cos seriam 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, como denotados nos subíndices. Esta seqüênciamostra uma discrepância, a partir do quarto número, 40, quando comparada com o quese observa experimentalmente 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Portanto, este modelo é insu-ficiente para explicar a ocorrência de números mágicos.



Para o caso do poço de potencial “quadrado e infinito”2, Figura 7.1-a, a parte radialda solução da equação de Schrödinger é uma função de Bessel esférica jl(kr) (k =p2µ /~2) e os autovalores da energia são determinados a partir da equação jl(kR0) =

0 (condição da função de onda ser nula sobre as paredes da interface sólido-vazio) =⇒kR0 = Xnl, n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, 2, ... . Sendo Xnl a n-ésima raíz da equação,portanto os auto-valores são

nl =~2X2

nl

2µR20.

Da mesma forma, pode-se fazer uma separação em camadas de energia, obtendo-se amesma separação da seqüência (7.5), com n→ n+ 1. Daí

(1s)2 |2 (1p)6|8 (1d)10(2s)2|20 (1f)14(2p)6|40 (1g)18|58 (2d)10(1h)22(3s)2|82

(2f)14(1i)26(3p)6|138 (2g)18(3d)10(4s)2|168e o conjunto de números mágicos resultante 2, 8, 20, 40, 58, 82, 138 também não re-produz a observação experimental. Como nem o poço de potencial quadrado finito enem o mesmo potencial com bordas arredondadas conseguem reproduzir os níveis deenergia observados, conclui-se portanto que o formato do poço de potencial não é re-sponsável pela existência dos núcleos mais estáveis.Este impasse manteve-se até 1949 quando Maria Mayer3 e, de forma independente,

Haxel, Jensen e Suess, sugeriram adicionar ao potencial central, do modelo de partículaindependente na aproximação de um campo médio, um termo de interação spin-órbitado tipo

VSO(r) = −V (r)l · s, (7.6)para todos os núcleons; ademais supuseram que a função energia potencial V (r) fossepositiva para todo r. Com esta hipótese todo núcleon contribui com um termo de inter-ação entre seu momentum angular e o seu spin, o que permite suprimir a degenerescên-cia dos níveis de momentum angular j = l + s. Cada nível de energia com dado valorde l sofre um desdobramento (splitting) em dois subníveis: j = l + 1/2 e j = l − 1/2,exceto para l = 0, quando j = s = 1/2. Na Figura 7.2 vê-se que os níveis de energiaapresentam uma separação ∆ = hV (r)i (l + 1/2). Os níveis de energia para diver-sos potenciais, com suas respectivas notações espectroscópicas, são vistos na Figura7.3, e verifica-se que os números mágicos são reproduzidos com a introdução da inter-ação spin-órbita (7.6) no hamiltoniano de partícula independente. O desdobramento dosníveis de energia cresce com l e o nível j = l − 1/2 é deslocado para cima do nível lenquanto o nível j = l + 1/2 é deslocado para baixo, criando-se os hiatos caracterís-ticos dos núcleos mágicos. Assim, a interação spin-órbita permite agrupar os níveisde energia em camadas, cuja separação reproduz qualitativamente a observação exper-imental (números mágicos) e cada camada possui uma ou mais subcamadas (nlj) quepode acomodar 2j+1 = 2(2l+1) prótons ou nêutrons: (mj = −j,−j+1, ..., j−1, j,ouml = −l,−l + 1, ...l − 1, l em1/2 = −1/2, 1/2).

2Podemos imaginar uma cavidade em um meio sólido com paredes impenetráveis.3Sob a supervisão de Fermi.



Figura 7.2: Desdobramento do nível de energia de momentum angular l devido à interaçãospin-órbita.

Nota-se que os estados rotulados pelo conjunto de números quânticos (n, l, j,mj)têm auto-energias degeneradas emmj (subcamada j) e núcleons em uma mesma subca-mada tendem a se agrupar aos pares, ocupando os estados (mj ,−mj). Este fato implicaem um aumento da energia de ligação devido à contribuição da energia de emparel-hamento e, portanto, em uma maior estabilidade do núcleo.O momentum angular associado a cada subcamada permite calcular o momentum

angular total dos núcleos formados de camadas fechadas (núcleos par-par) e também denúcleos ímpar-par e par-ímpar. No primeiro caso, os núcleos ditos esféricos 168 O, 4020Ca,20882 Pb têm J = 0. No segundo caso, o momentum angular do núcleo é, com algumasexceções, igual ao momentum angular do núcleon excedente ou em falta (buraco), naúltima subcamada fechada.Os prótons, assim como os nêutrons, tendem a formar pares coesos com momentum

angular nulo – fenômeno que recebeu o nome de emparelhamento – não contribuindo,portanto, para o momentum angular total do núcleo. Estas considerações levam àsseguintes regras para o momentum angular e a paridade do estado fundamental do nú-cleo:(1) Núcleos par-par têm momentum angular e paridade Jπ = 0+. Não há exceção.(2) Um núcleo par-ímpar (ou ímpar-par) tem momentum angular Jπ = jπ e a pari-

dade do núcleo é π = (−)l, onde j e l são momenta angulares total e orbital do núcleon



Figura 7.3: Níveis de energia para quatro potenciais: (a) oscilador harmônico; (b) poço quadradocom paredes impenetráveis; (c) poço de potencial quadrado; (d) poço de potencial quadrado combordas arredondadas. Na quinta coluna é adicionada a interação spin-órbita ao potencial da quartacoluna. Os traços mais espessos indicam o local da separação em camadas de energia devido aoaparecimento de hiatos no modelo de partícula independente; linhas intermediárias caracterizamas chamadas subcamadas.



não emparelhado. Entretanto, são verificadas algumas exceções, veja a Tabela 7.2.

Núcleo Jπexp Jπteor Q199 F 1

2

+ 52

+ −1910Ne 1

2

+ 52

+ −2311Na 3

2

+ 52

+0, 11

5525Mn 5

2

− 72

−0, 4

4722T i

52

− 72

− −0, 797934Se

72

+ 92

+0, 8

Tabela 7.2. Exceções à regra de núcleos cujomomentum angular total não está de acordocom a previsão do modelo de camadas.Na quarta coluna encontra-se o momentoquadrupolo elétrico em unidades de barns.

(3) Um núcleo ímpar-ímpar terá momentum angular J , onde

|jp − jn| ≤ J ≤ jp + jn ;

jp e jn são os momenta angulares do próton e do nêutron não emparelhados com seuscongêneres, mas que se acoplam entre si para resultar em um momentum angular nu-clear. Para um momentum angular J , a paridade do núcleo é determinada pelo produtodas paridades das funções de onda desses núcleons, π = πpπn = (−)lp+ln , onde lp eln são os momenta angulares orbitais do próton e do nêutron. Na tabela dos nuclídeos,constata-se que os nuclídeos ímpar-ímpar são bem poucos.Para obter a ordem correta das subcamadas, que leva à seqüência acertada dos

números mágicos na determinação dos níveis de energia, deve-se levar em conta, alémda interação spin-órbita, as interações residuais (entre todos os núcleons), a interaçãocoulombiana (entre os prótons) e a de emparelhamento. Usando a notação espec-troscópica (nlj)2j+1a seqüência assim obtida é

Z¡1s1/2

¢2 |2 (1p3/2)4(1p1/2)2|8 (1d5/2)6(2s1/2)2(1d3/2)4|20 (1f7/2)8|28(2p3/2)

4(1f5/2)6 (2p1/2)

2(1g9/2)10|50 (1g7/2)8(2d5/2)6(1h11/2)12(2d3/2)4

(3s1/2)2|82 (1h9/2)10(2f7/2)8(3p3/2)4 · · ·

N¡1s1/2

¢2 |2 (1p3/2)4(1p1/2)2|8 (1d5/2)6(2s1/2)2(1d3/2)4|20 (1f7/2)8|28(2p3/2)

4(1f5/2)6 (2p1/2)

2(1g9/2)10|50 (2d5/2)6(1g7/2)8(3s1/2)2(2d3/2)4

(1h11/2)12|82 (2f7/2)8(1h9/2)10(3p3/2)4(2f5/2)6(3p1/2)2(1i3/2)14|126

(2g9/2)10(3d5/2)

6(1i11/2)12(2g7/2)

8 · · · .

É importante frisar que o presente modelo de camadas, em sua forma mais crua, queconsidera que os núcleons se movem em um potencial central simétrico, só consegueexplicar os níveis de energia dos chamados núcleos esféricos, mágicos, ou de camada



fechada (momento de quadrupolo nulo), e dos quase-esféricos, que são os esféricoscom um núcleon a mais ou a menos (momento de quadrupolo muito pequeno). Para osdemais nuclídeos, esse modelo de camadas geralmente falha, por exemplo, os valoresexperimentais do momentum angular total e paridade dos núcleos 19F , 19Ne e 23Nasão, (1/2)+, (1/2)+ e (3/2)+, quando o modelo de camadas prevê (5/2)+ para ostrês, veja a Tabela 7.2. Na seção seguinte, através da análise do momento de dipolomagnético, veremos que as discrepâncias entre teoria e medições são acentuadas paranúcleos não-esféricos.

7.3.2 Momento de dipolo magnético

Para explicar o efeito Zeeman “anômalo” de um átomo, em 1921, Alfred Landé4 de-duziu uma expressão para o momento de dipolo magnético (de um átomo) quando ele ésubmetido à ação de um campo magnético uniforme,

µJ = µBgJJ,

onde o parâmetro gJ ficou conhecido como fator-g de Landé5 [4].No formalismo da mecânica quântica o momento de dipolo magnético é calculado

pela expressão (um valor médio)

µJ ≡ZΨ∗JJ (r1...rZ)

ÃZXk=1

Mz (k)

!ΨJJ (r1...rZ)

ZYi=1

d3ri,

(veja a Eq. (2.16)) onde ΨJJ (r1...rA) é a função de onda atômica e

Mz (k) = µN

³gorb lz (k) + gspinsz (k)

´é o operador que representa o observável dipolo magnético do k-ésimo elétron. No casode uma função de onda de um átomo que, além do momentum angular total, tambémconserva o momentum angular orbital total L e o spin total S, de números quânticos Le S, o fator-g é escrito como

ge,J =1

J(J + 1)

hgorbe

DL · J

ESLJJ

+ gspine

DS · J

ESLJJ

i=

1

2J(J + 1)

©gorbe [J (J + 1) + L(L+ 1)− S(S + 1)]

+ gspine [J (J + 1) + S(S + 1)− L(L+ 1)]ª, (7.7)

4Apesar do sobrenome, tipicamente francês, Alfred Landé nasceu em 1888 na cidade de Elberfeld, naAlemanha. Fez seu doutorado sob a supervisão de Arnold Sommerfeld. Trabalhou com o matemático DavidHilbert e depois com Max Born a convite deste, quando servia no exército alemão durante a primeira GrandeGuerra, fazendo pesquisa sobre localização da artilharia inimiga pelo alcance do som. O trabalho mais impor-tante de Landé ocorreu entre dezembro de 1920 e abril de 1921, quando descobriu a expressão do fator-g, oque permitiu uma explicação para a observação do efeito Zeeman anômalo. Em 1931, ele recebeu um convitepara lecionar em Columbus, Ohio, EUA, onde fixou residência definitiva. Morreu em 1976.

5Born chama gJ de fator de decomposição de Landé.



ondeDL · J

ESLJJ

eDS · J

ESLJJ

são valores médios calculados com as funções deonda atômicas, e J (J + 1), L(L + 1) e S(S + 1) são os autovalores dos operadoresJ 2, L 2 e S 2, respectivamente6. Como para os elétrons gorbe = 1 e gspine ≈ 2, o fatorsimplifica-se para

ge,J =3

2+

S(S + 1)− L(L+ 1)

2J(J + 1).

Na Física Nuclear, de acordo com o modelo de camadas, nos núcleos com A ímparos momenta angulares dos A − 1 núcleons não contribuem e o momentum angular to-tal do núcleo se deve ao momentum angular j do núcleon não emparelhado. Portanto,o momento de dipolo magnético de um nuclídeo par-ímpar (ou ímpar-par) é devido aesse núcleon, logo, J = j, (também, S = s = 1/2, L = l) e no cálculo do mo-mento de dipolo magnético (veja seção 2.4) pode-se substituir a função de onda nuclearΨJJ (r1...rA) pela função de onda do A-ésimo núcleon (próton ou nêutron) desempar-elhado ψ(nljj)A (rA). O momento de dipolo magnético nuclear é, então, devido apenasao núcleon desemparelhado

µj ≡Z

ψ∗(nljj)A (rA) Mz (A)ψ(nljj)A (rA) d3rA

= µN

µgorbN

Zψ∗nljj (r) lzψnljj (r) d

3r + gspinN

Zψ∗nljj (r) szψnljj (r) d

3r

¶= jµNGj . (7.8)

Nota-se que: (1) na segunda linha o subíndice A foi retirado por ser irrelevante; (2)as funções ψnljj (r) não são autofunções dos operadores lz e sz e (3) Gj é o fator-gnuclear. A partir de constatações empíricas os coeficientes gorbN e gspinN tomam difer-entes valores para o nêutron e para o próton, gorbn = 0, gorbp = 1, gspinn = −3, 8270 egspinp = 5, 5855.De acordo com o teorema de Landé (veja o Apêndice B), a relação entre valores

médios de momenta angulares é dada como

DlE=

Dl · j

EDjE

Dj · j

E ,

o que permite escreverZψ∗nljj (r) lψnljj (r) d

3r = Gl(j)

Zψ∗nljj (r) jψnljj (r) d

3r,

6Landé apresentou, originalmente, uma expressão clássica,

ge,J = gorbeJ2 + L2 − S2

2J2+ gspine

J2 + S2 − L2

2J2

que tomou a forma (7.7) com o advento da mecânica quântica.



onde

Gl(j) =

Dl · jE

Dj · j

E = Rψ∗nljj (r)

³j · l

´ψnljj (r) d

3rRψ∗nljj (r)

³j · j

´ψnljj (r) d

3r

=1

j(j + 1)

Zψ∗nljj (r)

³j · l´ψnljj (r) d

3r. (7.9)

Analogamente, para o spin temos

Gs(j) =1

j(j + 1)

Zψ∗nljj (r)

³j · s

´ψnljj (r) d

3r, (7.10)

onde substituímos l por s em (7.9). Finalmente, o momento de dipolo magnético de umnúcleo par-ímpar é calculado como

µj = µN£gorbGl(j) + gspinGs(j)

¤ Zψ∗nljj (r) jzψnljj (r) d

3r

= jµNGj , (7.11)onde o fator-g é a soma de dois termos, um para o momentum angular orbital e outropara o spin,

Gj = gorbGl(j) + gspinGs(j).Um cálculo simples7 fornece

Gl(j) =j−1/2

j

Gs(j) =12j

⎫⎪⎬⎪⎭ para j = l + 1/2

eGl(j) =

j+3/2j+1

Gs(j) = − 12(j+1)

⎫⎪⎬⎪⎭ para j = l − 1/2.

Logo, visto que j = l ± 1/2 para l > 0, o momento de dipolo magnético é escritocomo

µj = µN

⎧⎪⎨⎪⎩£(j − 1/2) gorb + 1

2gspin

¤para j = l + 1/2 ou l = j − 1/2h

j(j+3/2)j+1 gorb − 1

2j

j+1gspin

ipara j = l − 1/2 ou l = j + 1/2.

(7.12)

7Visto que j = l+ s, as equações de autovalores são⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩j 2ψnljmj

(r) = 2j(j + 1)ψnljmj(r)

l 2ψnljmj(r) = 2l(l+ 1)ψnljmj

(r)

s 2ψnljmj(r) = 2s(s+ 1)ψnljmj

(r)

jzψnljmj(r) = mψnljmj

(r) .



Separadamente, o momento de dipolo magnético para os nuclídeos que têm A e Zímpares (um próton desemparelhado) e para aqueles com A e N ímpares (um nêutrondesemparelhado) são

µj(p) = µN

⎧⎨⎩(j − 1/2) + gspinp /2 para l = j − 1/2

j(2j+3)2(j+1) − gspinp

j2(j+1) para l = j + 1/2

(7.13)

µj(n) = µNgspinn

⎧⎨⎩1/2 para l = j − 1/2

− j2(j+1) para l = j + 1/2.

(7.14)

Fazendo o gráfico de µj × j das equações (7.13) e (7.14) e passando uma linhacontínua pelos pontos calculados obtém-se as chamadas linhas de Schmidt. Nota-se queos valores calculados não reproduzem os valores medidos, como pode ser visto, emparticular, na Tabela 7.3 e, em geral, nas Figuras 7.4 e 7.5. Os valores experimentaissão medidos quando o núcleo é submetido a um campo magnético externo.

(nlj)#nuc Jπ Qexp(b) µexp/µ

Nµteo/µ

N

157 N

¡1p1/2

¢1p(1/2)

− − −0, 28 −0, 26178 O

¡1d5/2

¢1n (5/2)+ −0, 026 −1, 89 −1, 913316S

¡1d3/2

¢1n (3/2)+ −0, 055 0, 63 1, 153717Cl

¡1d3/2

¢1p(3/2)

+ −0, 062 0, 68 0, 133919K

¡1d3/2

¢3p (3/2)+ −0, 090 0, 39 0, 1320782 Pb

¡3p1/2

¢1n(1/2)

− − 0, 59 0, 6420983 Bi

¡1h9/2

¢1p (9/2)− −0, 34 4, 08 2, 63

Tabela 7.3. Comparação entre o momento de dipolo magnético medido e o teórico (linhas deSchmidt) em magnetons nucleares.

Na Tabela 7.3 estão apresentadas propriedades de sete nuclídeos par-ímpar e ímpar-par; na segunda coluna são mostradas as correspondentes subcamadas com o número(como superscrito) de prótons ou nêutrons que elas contêm; na terceira coluna vemos omomentum angular total e a paridade dos nuclídeos, cujos valores teóricos coincidemcom os experimentais; na quarta coluna colocamos o valor do momento de quadrupoloelétrico medido, que nos informa sobre o desvio em relação à esfericidade. Considera-se que os nuclídeos 157 N e 20782 Pb tenham núcleos de formato esférico, os demais devemter um formato oblato. Nas duas últimas colunas são apresentados os momentos dedipolo magnético experimentais e aqueles obtidos usando as Eqs. (7.13) e (7.14) paraseu cálculo; por comparação verifica-se que os núcleos 157 N , 178 O, 20782 Pb têm os valoresde seus momentos de dipolo magnético calculados e experimentais próximos, enquantoque para os demais os valores são discrepantes. Podemos também notar que quanto



menores, em módulo, os momentos de quadrupolo melhor é a concordância entre osmomentos de dipolo magnético.O mesmo acontece de forma geral, como mostrado nas Figuras 7.4, para Z-ímpar

e 7.5, paraN -ímpar, onde para a maioria dos nuclídeos com subcamada fechada e mais

Figura 7.4: Momentos de dipolo magnético experimentais e as linhas de Schmidt para Z ímpar.As cruzes representam os momentos com j = l − 1/2 e os círculos j = l + 1/2.

ou menos um núcleon, os momentos de dipolo magnético não “caem” nas linhas deSchmidt. Assim, o modelo de camadas ingênuo não é suficientemente bom para explicaros momentos de dipolo magnéticos nucleares dos núcleos A-ímpar, pois raramente ospontos experimentais caem sobre as linhas de Schmidt.

Portanto, embora o modelo de camadas mais simples possa explicar a existência dosnúcleos mágicos, ele é incapaz de reproduzir detalhes sobre propriedades desses nú-cleos como os momentos de dipolo magnéticos. Não obstante, observa-se que todosos valores experimentais situam-se entre as duas linhas de Schmidt, o que poderia serconsiderado como um indicativo de que o modelo de camadas ingênuo pode ser ap-rimorado, com a introdução de hipóteses mais realistas para a interação internúcleon,o que foi feito por Nilsson [6], cujo modelo permite aos núcleos terem um formatoelipsoidal permanente, como será discutido nas próximas seções. Outra razão para anotada discrepância é o fato que o momento magnético de um núcleon no seio do nú-cleo (matéria nuclear) deve ser diferente de seu valor quando livre; isto foi constatadono caso do dêuteron, cujo momento de dipolo magnético é ligeiramente diferente da



Figura 7.5: Momentos de dipolo magnético experimentais e as linhas de Schmidt paraN ímpar.As cruzes são para j = l − 1/2 e os círculos para j = l + 1/2.

soma das contribuições do próton e do nêutron livres.No que concerne os núcleos ímpar-ímpar, eles são pouco numerosos e, no contexto

do modelo de camadas, o momentum angular total deles pode tomar diversos valores,J = |jp − jn| , |jp − jn| − 1, |jp − jn| − 2, · · · , jp + jn − 1, jp + jn. Neste caso,considera-se o produto das funções de onda do próton e do nêutron desemparellhados eescreve-se o dipolo magnético nuclear µJ = µNGJJ com um fator-g tal que a relação

GJ

DJE= gjp

Djp

E+ gjn

Djn

Eseja satisfeita, onde gjp e gjn são os fatores-g para o próton e para o nêutron em uma ca-mada com momenta angulares jp e jn, que precisam ser conhecidos. Usando o teoremade Landé (veja o Apêndice B) obtemos fator-g de um par próton-nêutron

GJ =gjp + gjn

2+

¡gjp − gjn

¢2

jp (jp + 1)− jn (jn + 1)

J (J + 1). (7.15)

Nos casos jn ¿ jp e jp ¿ jn tem-se, respectivamente, GJ ≈ gjp e GJ ≈ gjn .

7.3.3 Momento de quadrupolo elétrico

Da mesma forma como procedemos para o cálculo do momento de dipolo magnéticona subseção anterior, aqui vamos considerar um núcleo constituído de um caroço (ca-mada fechada) mais um próton de valência para calcular, e comparar com valoresexperimentais, o momento de quadrupolo elétrico que foi introduzido no capítulo 2,



seção 11. Visto que camadas fechadas têm momento de quadrupolo nulo (formato es-férico), qualquer contribuição não nula só poderá provir dos prótons de valência, as-sim vamos utilizar a expressão (2.44), e supondo um único próton de valência temos

ρnucc (r) =¯ψprot valnljj (r)

¯2, e ψprot valnljj (r) (mj = j) é a sua função de onda dada por

(7.47) (aqui omitimos o número quântico s = 1/2). Assim temos que o momento dequadrupolo (veja o Apêndice C) para j 6= 0 é

Q+p2 (j) = 2

Zρnucc (r) r2P2 (cos θ) d

3r = −r2®nl

2j − 12j + 2

(7.16)

devido à contribuição um próton de valência e que não é nulo apenas para j 6= 1/2. Osinal negativo está presente porque o momento de quadrupolo é calculado para o estadoψprot valnljj (r), onde a projeçãomj = j é máxima ao longo do eixo z; neste caso o prótonde valência fica “orbitando” o caroço no plano x − y, resultando para o núcleo umaforma oblata.No caso em que haja mais do que um próton de valência, digamosN , com 1 ≤ N ≤

2j, em uma subcamada, uma simples regra de interpolação permite escrever o momentode quadrupolo como

Q+Np2 (j) = Q+p2 (j)

∙1− 2N − 1

2j − 1

¸.

Logo para N = 1 o resultado (7.16) é reproduzido e N = 2j representa uma subca-mada quase fechada, contendo um “buraco” que é a falta de um próton, e neste caso omomento de quadrupolo é

Q−p2 (j) = −Q+p2 (j) , (7.17)

diferindo por um sinal da expressão (7.16), apontando assim que o núcleo tem formaprolata, veja a Figura 2.14. Admitindo uma distribuição de carga uniforme para o nú-cleo, substituímos

r2®nlpor

r2®= 3r20A

2/3/5, com isto vamos comparar momentosde quadrupolo – propostos pelo modelo de camadas extremo – de alguns núcleos com osvalores experimentais; isto está apresentado nas Tabela 7.4-a e 7.4-b. Na primeira col-una – nas duas tabelas – é dada, em notação espectroscópica, a camada de um núcleonde valência; na segunda coluna encontramos os momentos de quadrupolo para um pró-ton de valência calculados com (7.16) (com r0 = 1, 2 fm e as unidades dos momentos



de quadrupolo estão em barns).

nLj Q+pteor Q+pexp (b) Q+nexp1p3/2 −0, 013 −0, 037

¡73Li¢

1d5/2 −0, 036 −0, 12¡199 F

¢−0, 026

¡178 O

¢1d3/2 −0, 037 −0, 082

¡3517Cl

¢−0, 064

¡3316S

¢1f7/2 −0, 071 −0, 26

¡4321Sc

¢−0, 080

¡4120Ca

¢2p3/2 −0, 055 −0, 209

¡6329Cu

¢−0, 028

¡5324Cr

¢1f5/2 −0, 086 −0, 20

¡6128Ni

¢1g9/2 −0.13 −0, 32

¡9341Nb

¢−0, 17

¡7332Ge

¢1g7/2 −0, 14 −0, 49

¡12351 Sb

¢2d5/2 −0, 12 −0, 36

¡12151 Sb

¢−0, 236

¡9140Zr

¢Tabela 7.4-a. Momentos de quadrupolo elétrico para alguns núcleos

com subcamadas fechadas mais um próton ou um nêutron de valência,

as unidades são barns.

Na terceira coluna da Tabela 7.4-a estão dados os valores experimentais para váriosnúcleos; verifica-se que, embora os sinais coincidam, os momentos de quadrupolo ex-perimentais são de duas a quatros vezes maiores (em módulo) que os calculados, istoindica que o modelo de camadas extremo não é adequado para descrever o núcleo, eque ele precisa ser refinado ou então complementado com outro que leve em conta a de-formação de camadas e subcamadas fechadas. Ademais, a teoria diz que um nêutronde valência não deve contribuir para o momento de quadrupolo. Não obstante, olhandoa quarta coluna da Tabela 7.4-a nota-se a existência de momentos de quadrupolo neg-ativos, portanto de alguma forma o nêutron de valência contribui e isto também é umindicativo adicional de que o modelo de camadas, embora reproduza qualitativamentemuitas propriedades nucleares, não dá respaldo para muitas outras. A Tabela 7.4-b rep-resenta o momento de quadrupolo devido a um “buraco”, isto é, devido à falta de umpróton ou de um nêutron em uma camada ou subcamada, aqui também, embora o sinalseja correto, o valor em módulo é discrepante do valor predito por um fator que variaentre 2 e 5.Apesar de sua simplicidade este modelo de camadas extremo (apenas um núcleon

é responsável pelas propriedades nucleares) é capaz de dar conta do spin e da paridadedo estado fundamental de quase todos os núcleos com A-ímpar, mas com sucesso rel-ativo quanto ao momento de dipolo magnético e do momento de quadrupolo elétrico.O modelo de camadas foi refinado, quando então todos os núcleons de uma subca-mada não fechada podem participar para explicar as propriedades nucleares, porém asdescrições dos refinamentos estão fora do escopo deste texto, mas estão apresentadosdetalhadamente nos textos [9, 10, 11, 12]. Concomitantemente, foram desenvolvidosmodelos coletivos para explicar essas e outras propriedades nucleares como veremos aseguir.



nLj Q−pteor Q−pexp Q−nexp1p3/2 0, 013 0, 047

¡115 B

¢0, 053

¡94Be

¢1d5/2 0, 036 0, 140

¡2713Al

¢0, 201

¡2512Mg

¢1d3/2 0, 037 0, 056

¡3919K

¢0, 45

¡3516S

¢1f7/2 0, 071 0, 40

¡5927Co

¢0, 24

¡4922Ti

¢2p3/2 0, 055 0, 195

¡6731Ga

¢0, 20

¡5726Fe

¢1f5/2 0, 086 0, 274

¡8537Rb

¢0, 15

¡6730Zn

¢1g9/2 0.13 0, 86

¡11549 In

¢0, 45

¡8536Kr

¢1g7/2 0, 14 0, 20

¡13957 La

¢2d5/2 0, 12 0, 44

¡11148 Cd

¢

Tabela 7.4-b. Momentos de qua-drupolo elétrico para alguns núcleoscom subcamadas fechadas comple-tas, com um próton ou um nêutron amenos na última (“buraco”), asunidades são barns.

7.3.4 Estados intrínsecos em campos esferoidais

O modelo de camadas de Maria Mayer e Jensen tem como ponto de partida um poten-cial esfericamente simétrico a partir do qual são obtidos os níveis de energia de partículaindependente. Uma vez que para núcleos fora das camadas fechadas podem se estab-elecer deformações estáticas por efeito de polarização dos núcleons de valência, vê-seque aquele modelo não mais pode ser usado. De fato, nesta nova situação os núcleonsse movem em um potencial deformado e é necessário determinar os níveis de energialevando-se em conta explicitamente a deformação nuclear. Estendendo a construçãode Maria Mayer e Jensen, uma nova versão do modelo de camadas foi desenvolvidaprincipalmente por Nilsson [6] (que ficou conhecido como modelo de Nilsson) que, us-ando também potenciais do tipo oscilador harmônico – com deformação esferoidal –,calculou as seqüências de níveis de energia de partícula independente. Se na ausên-cia de deformação seus resultados recuperam aqueles do modelo de camada usual, paradeformações grandes a seqüência de níveis obtida pode ser acentuadamente alterada.Os cálculos deste modelo fazem uso do hamiltoniano proposto

H = H0 +Hδ + Cl · s+Dl 2, (7.18)

onde H0 é o hamiltoniano do oscilador harmônico tridimensional isotrópico (mesmafreqüência ω0 nas três direções cartesianas)

H0 = −~2∇22m

+mω202

r2;

o termo Hδ é responsável pela deformação geométrica do potencial onde os núcleonsse movem

Hδ = −4

3

rπ

5mω20r

2Y20 (θ, φ) δ,

sendo δ um parâmetro que expressa essa deformação (note-se que o harmônico esféricoY20 (θ, φ) introduz uma anisotropia com relação ao ângulo θ, porém a simetrial azimutal



está presente); o termo Cl · s é o conhecido acoplamento spin-órbita e o termo Dl 2

foi introduzido para modificar o potencial do oscilador harmônico de forma a torná-lomais raso, abaixando os níveis de energia – o parâmetro D efetua esse controle. Adiagonalização do hamiltoniano (7.18) dá os autovalores e autovetores dos núcleonsno potencial deformado e tem o momentum angular jz comuta com H , [H, jz] = 0 ,enquanto que j2 e l2 não comutam comH . Na Figura 7.6 estão desenhados os níveis deenergias de partícula independente para a camada que acomoda entre 82 e 126 nêutrons,em função do parâmetro δ. Observa-se que os níveis de energia dependem fortementedo parâmetro δ; atribuindo-lhe valores positivos modela-se núcleos de forma estávelprolata, enquanto que para valores negativos obtém-se uma descrição para os núcleosde forma estável oblata.Também nesse modelo os níveis de energia são caracterizados por um número quân-

tico associado ao momentum angular e pela paridade. Agora, em um potencial não-esférico o momentum angular total não é mais uma constante do movimento, porémpara um potencial axialmente simétrico a componente do momentum angular ao longodo eixo de simetria é conservada. Assim, neste caso, um núcleon i pode ocupar qual-quer um dos 2ji + 1 estados – associados às componentes do momentum angularmi = −ji,− (ji − 1) , · · · , (ji − 1) , ji ao longo do eixo de simetria z0. Caso o poten-cial fosse esférico, qualquer um desses 2ji + 1 estados poderia ser ocupado por um nú-cleon no estado com momentum angular orbital li (o nível é degenerado quando δ = 0).Entretanto, quando a deformação não é nula, os autovalores de energia no modelo deNilsson independem do sinal de mi e cada nível de energia do modelo de camadasesférico (Mayer-Jensen) se desdobra em (2ji + 1) /2 níveis. Estes são, desta forma,caracterizados pela componente mi do núcleon no potencial deformado, conservandoporém a simetria axial, e pela paridade.Para se descrever um núcleo usando este modelo segue-se o mesmo procedimento

usado no modelo de Mayer-Jensen: os níveis de energia são populados por prótonse nêutrons independentemente e dois núcleons de cada espéciede (com projeção demomenta angulares em sentidos opostos, ± |mi|) podem ser atribuídos a caracterizarum estado intrínseco. Desta forma, pode-se descrever qualquer núcleo de massa A.Agora a estabilidade do núcleo depende de sua deformação, podendo ser mais estáveldo que em uma eventual configuração esférica. Nesses casos, novos “números” mágicosse manifestam, diferentes daqueles obtidos no caso dos núcleos esféricos.A partir deste modelo microscópico de camadas com deformação torna-se possível

fazer previsões mais refinadas (sensivelmente melhores do que fazendo-se uso do mod-elo de Mayer e Jensen), por exemplo para o comportamento das barreiras de fissão nosnuclídeos chamados actinídeos. Ademais, de forma mais incisiva, verifica-se que osmomenta angular total dos núcleos leves e da maioria dos pesados são corretamentepreditos; os momentos de dipolos magnéticos, que eram mal reproduzidos no modelode Mayer e Jensen, aqui são muito mais próximos dos valores experimentais; final-mente, os momentos de quadrupolos elétricos para 150 < A < 180, são corretamentepreditos. (Colocar figuras)



Figura 7.6: Diagrama de níveis de energia em função da deformação δ, no modelo de Nilsson,para nêutrons na camada 82 < N < 126. Cada linha cheia está associada a um nível de energiaonde estão dados os valores de |mi| e entre colchetes estão os números quânticos associados aosautoestados de energia.


7.4 Modelos coletivos do núcleo 245

Outras abordagens que descrevem os estados de núcleons independentes, e que sãobaseados na concepção de um potencial médio auto-consistente, como na aproximaçãode Hartree-Fock, devem ser mencionadas, embora não sejam tratadas aqui.

7.4 Modelos coletivos do núcleoVisto que os modelos de camadas, que se fundamentam no tratamento das partículas in-dividualmente, não são suficientemente abrangentes para explicar toda a gama de pro-priedades nucleares medidas, foram feitas hipóteses acerca de modelos que pudessemexplicar de forma lógica as observações, sem, no entanto, abrir mão das qualidades dosmodelos de camadas e sem descartar as vantagens do modelo da gota sobre o qual estãoembasadas algumas características da fórmula semi-empírica de massa. Completar-mente a estes, os modelos coletivos têm como sua motivação principal a necessidade deintroduzir algum efeito cooperativo da matéria nuclear, resultando em uma deformaçãopermanente, para explicar os grandes momentos quadrupolares elétricos medidos emalguns nuclídeos – que aparecem entre camadas fechadas. Como ponto de partida,supõe-se que esta deformação – que se anula para núcleos com camadas fechadas – éproduzida por um efeito de polarização do movimento individual dos núcleons fora dascamadas fechadas.Nesses modelos é então essencial estabelecer qualitativamente uma distinção en-

tre o movimento individual dos núcleons fora das camadas fechadas e o movimentocoletivo do caroço nuclear. Do ponto de vista energético, o movimento das partícu-las independentes – associadas com o modelo de camadas – deve ter energia grandequando comparada com as energias dos possíveis movimentos coletivos do caroço nu-clear. Desta forma, permitindo alguma interação entre os dois tipos de movimento,torna-se possível obter uma descrição unificada do movimento nuclear na qual se man-ifestam tanto as características próprias do modelo de camadas quanto as do coletivo.Assim, há nesta abordagem uma combinação do modelo de partícula independente (emum potencial do tipo campo médio) com aquele baseado em interações fortes (coletivo,e.g., gota líquida). Este modelo não só permite explicar agora os grandes momentos dequadrupolo como também prediz a estrutura fina do espectro de níveis de energia, umavez que descreve as energias dos movimentos coletivos do caroço. Começaremos nossaexplanação com o modelo da gota líquida, em sua versão mais simples, e os modos vi-bracionais dos núcleos, caracterizados por espectros típicos de um oscilador harmônicoquantizado, cujos modos são chamados fônons.

7.4.1 O modelo da gota líquida de Bohr e Wheeler

O modelo da gota líquida expresso pela fórmula semi-empírica de massa, descrita nocapítulo 4, leva em conta o comportamento global do conjunto dos núcleons constitu-intes de um dado núcleo. Como tal, o modelo não tem capacidade de predizer alteraçõesno comportamento dos núcleos, como função de A, Z e N , advindas de particulari-



dades próprias de um sistema de A núcleons. Não obstante, ainda é possível estenderesse modelo de tal forma a levar em conta a instabilidade nuclear face a possíveis de-formações da gota, quando se leva em conta a sua carga elétrica.Do ponto de vista hidrodinâmico, N. Bohr e John Archibald Wheeler [2] fizeram

algumas hipóteses acerca do líquido nuclear1. Partindo da equação da continuidade, que descreve o escoamento de um fluido,

∂ρ (r, t)

∂t+∇ · (ρ (r, t) v (r, t)) = 0, (7.19)

eles consideraram que a densidade de massa é constante no tempo e também é espa-cialmente uniforme, ρ (r, t) = ρ0, portanto o líquido nuclear é incompressível, da Eq.(7.19) decorre então que a equação ∇ · v (r, t) = 0 (onde v (r, t) é a velocidade dolíquido), que é conhecida como condição de incompressibilidade de um fluido.2. Que o escoamento é irrotacional,∇× v (r, t) = 0, significando que para um ele-

mento de volume dV de um líquido, as orientações dos lados deste elemento não se al-teram durante o seu movimento8. Posteriormente, como discutido em [3], outros autoresrelaxaram as condições de escoamento irrotacional e de incompressibilidade. Porém, asduas condições ∇ × v (r, t) = 0 e ∇ · v (r, t) = 0 tornam possível obter soluçõesanalíticas simples, o que permite uma análise qualitativa da dinâmica envolvida, comoserá visto na subseção seguinte.3. Em seu estado fundamental o núcleo tem uma forma perfeitamente esférica,

mas estados excitados surgem devido à excitação de modos vibracionais, que seriamresponsáveis pela deformação nuclear.4. Na ausência total de cargas elétricas o núcleo deve ter uma forma esférica, por

conta das forças nucleares atrativas, mas a força de repulsão coulombiana presente devedeformá-lo de acordo com um certo padrão: supondo, por simplicidade, que a gotaconserva uma simetria axial cilíndrica, a distância do centro da gota a um ponto nasuperfície é expressa como

R(θ) =R0λ

"1 +

∞Xl=1

blYl0 (cos θ)

#, (7.20)

ondeR0 é o raio da gota esférica, bl são parâmetros de deformação, os diversos Yl0 (cos θ)são os harmônicos esféricos, e λ é um parâmetro introduzido para assegurar que o vol-ume nuclear se mantém constante. Diferentes conjuntos de valores para os parâmetros

8Isto pode ser melhor entendido considerando uma partícula pontual de massa m em movimento rota-cional, circular e uniforme; neste caso o seu momentum angular é uma constante do movimento, l = mr×v,com os vetores posição e velocidade restringindo-se ao plano x−y de um sistema de coordenadas cartesiano.O vetor momentum angular apontará na direção z. Também podemos escrever l = mr2 ω, e como

l = mr × v = mr2 ω =⇒ r × v = r2 ω

segue que v = ω × r, cujo rotacional é ∇ × v = 2ω; portanto, para toda componente de um movimentocircular, o rotacional da velocidade não é nulo. Foi usada a relação∇× A×B = B ·∇A+(∇ ·B)A−

∇ ·A B −A ·∇B



Figura 7.7: Relação do parâmetro b1 com a posição da esfera deslocada. Uma translação leva opontoA para o ponto A, ouR0→ R

0+R

00.

bl implicam diferentes deformações. No entanto, o parâmetro b1 deve ser descartadoda soma em (7.20) pois ele descreve o movimento de translação da gota e não sua de-formação9. Isto pode ser entendido olhando para a Figura 7.7. Seja A um ponto sobrea esfera (no lado esquerdo) de raio R0, cujo centro coincide com a origem do refer-encial. Movendo a esfera ao longo do eixo horizontal, o ponto A é deslocado para A0

localizado pelo vetor R. Escrevendo¯R¯= R0b1, o centro da esfera foi deslocado de 0

para R0b1 cos θ = R0b1P1 (cos θ) e10, como este termo está presente no somatório em(7.20), para excluí-lo torna-se necessário atribuir b1 = 0. Portanto o raio-vetor (7.20)reduz-se a

R(θ) =R0λ

"1 +

∞Xl=2

blYl0 (θ, φ)

#, (7.21)

que descreve apenas um ponto sobre a superfície da esfera. Assim, fica eliminado oefeito da translação da gota e os demais parâmetros b2, b3, ... irão descrever apenasa deformação da gota nuclear. O parâmetro λ é determinado a partir da condição deconservação do volume

4πR303

=

ZdΩ

Z R(θ)

0

r2dr =1

3

R30λ3

Z "1 +

∞Xl=2

blYl0 (θ, φ)

#3dΩ.

9O parâmetro b0 também é descartado pois ele leva em conta compressões nucleares, o que não seráconsiderado aqui pois supôs-se que o líquido nuclear é incompressível.

10Lembrando que Yl0 (θ, φ) = (2l+ 1) /4πPl (cos θ).



Então pode-se escrever

λ3 =1

4π

Z "1 +

∞Xl=2

blYl0 (θ, φ)

#3dΩ

= 1 +3

4π

∞Xl=2

b2l +1

4π

∞Xl1,l2,l3=2

bl1bl2bl3

ZYl10 (θ, φ)Yl20 (θ, φ)Yl30 (θ, φ) dΩ.

(7.22)que é uma série infinita. Levando em conta os primeiros termos das somas de potênciasmais baixas (considera-se que bl ¿ R0), temos

λ3 = 1+3

4π

¡b22 + b23 + b24 + · · ·

¢+1

4π

µ2

35b32 +

6

35b22b4 +

4

35b2b

23 + · · ·

¶(7.23)

Se chamamos por τ a energia por unidade de superfície, Bohr e Wheeler mostramque a energia devida à tensão superficial é dada pela diferença entre as configuraçõesesférica e a deformada da gota líquida,

∆Es = τ

µZR2(θ)dΩ−

ZR20dΩ

¶= Es0

∙2

5b22 −

4

105b32 −

38

175b42 + ...− 4

135b22b4 +

5

7b23 + ...

¸, (7.24)

λ3 =1

4π

∞Xl1,l2,l3=2

bl1bl2bl3

ZYl10 (θ, φ)Yl20 (θ, φ)Yl30 (θ, φ) dΩ

=2π

2× (4π)3/2p(2l1 + 1) (2l2 + 1) (2l3 + 1)

×∞X

l1,l2,l3=2

bl1bl2bl3

ZPl1 (cos θ)Pl2 (cos θ)Pl3 (cos θ) d (cos θ)

=1

2 (4π)1/2

∙51/2

7b32 +

9

7b22b4 +

2× 51/25

b2b23 + ...

¸onde Es0 = τ(4πR20) = asupA

2/3 é o termo de energia de superfície na fórmula semi-empírica de massa.Eles também calcularam o déficit de energia coulombiana de uma gota deformada

em relação à gota esférica, ambas com o mesmo volume e a mesma carga elétrica,obtendo

∆Ec = ρ20

"Z1

|r − r0|d3rd3r0

¯R(θ)

−Z

1

|r − r0|d3rd3r0

¯R0

#

= Ec0

∙−15b22 −

4

105b32 + ...

¸, (7.25)



Figura 7.8: Gota esférica e deformada sobrepostas para alguns valores de b.

onde também reconhecemos Ec0 = ac(Z2/A1/3) como o termo de energia coulom-

biana da fórmula semi-empírica de massa. Diversas deformações da gota ocorrem como aumento dos valores dos parâmetros bl, aqui reduzindo o modelo multimensional parao caso unidimensional, isto podem ser visto pictoricamente na Figura 7.8.O cálculo dos coeficientes numéricos nas Eqs. (7.24) e (7.25) é algo trabalhoso, en-

tretanto pode-se fazer uma expansão semelhante com argumentos mais simples, supondo,por exemplo, que o núcleo tem a forma de um esferóide (a área da secção reta transver-sal, perpendicular ao eixo maior do elipsóide, é um círculo) com semi-eixo maiora = R0(1 + ε) e semi-eixo menor b = R0(1 + ε)−1/2, de forma que o volume doesferóide seja conservado, V = 4πab2 = 4πR30. Se o parâmetro ε satisfizer a condiçãoε ¿ 1, verifica-se que o núcleo apresenta um pequeno desvio da esfericidade, ondeR0 é o raio da esfera. Os cálculos para as energias de superfície e coulombiana estãoapresentados no Apêndice A.Desta forma, mantendo, por simplicidade, somente o termo de ordem mais baixa, b22

(a deformação se manifesta pela presença de b2 6= 0 apenas), podemos observar que onúcleo, considerado como uma gota líquida, apresenta a diferença de energia

∆E =1

5(2Es0 −Ec0) b

22 =

1

2C2b

22 (7.26)

entre a configuração deformada e a esférica, que tem a forma de um potencial harmônico



na variável b2 com constante de restauração

C2 =4Es0

5

µ1− Ec0

2Es0

¶, (7.27)

que é positiva enquanto Ec0/2Es0 < 1. A condição ∆E > 0 é um indicativo dadeformação da gota (b2 6= 0), e devido à diferença de sinais das duas contribuições(tensão superficial e repulsão coulombiana), um limite de estabilidade da forma nuclearpode ser inferido. Usando os parâmetros da fórmula semi-empírica de massa – quedependem de A e Z – obtemos a condição de energia nula para b2 6= 0, quando oparâmetro de restauração se torna nuloµ

1− ac2asup

Z2

A

¶= 0,

(Es0 = asupA2/3 e Ec0 = acZ

2/A) ou

Z2

A=2asupac

.

Para asup = 18, 33MeV e ac = 0, 72MeV , isto dá

Z2

A≈ 51,

que é um limite para a estabilidade da gota; para este valor da razão Z2/A a energiade deformação (7.26) se anula, quando então ela se deforma para não mais voltar a suaforma original. Essa desigualdade é satisfeita, por exemplo, para Z = 117 e A = 270,o que significa que os núcleos com Z e A acima desses valores se deformam muito ese quebram tão logo se formam. A instabilidade que se observa nos sistemas nuclearesmais pesados pode ser entendida a partir dessas considerações e a fissão nuclear, emparticular, pode ser tratada, numa primeira abordagem, por esse modelo, como serávisto capítulo 12. Não obstante, como a fissão existe com valores abaixo desses limiares(Z = 117 e A = 270), admite-se que ela é devida à natureza quântica do caminhopara a fissão, quando o caráter ondulatório deste grau de liberdade se manifesta e abarreira para a fissão é atravessada por “efeito túnel”. Contudo, esta análise ficariaincompleta sem uma discussão da energia cinética associada aos modos vibracionais,pois as hipóteses de o líquido ser incompressível e irrotacional foram feitas porque elaspermitem calcular de forma simples o parâmetro de inércia assim como a freqüência domodo vibracional, como será feito a seguir.

7.4.2 Dinâmica no modelo da gota de Bohr e Wheeler

No caso do fluido irrotacional pode-se escrever o campo de velocidades em termos deum potencial escalar v (r, t) = ∇χ (r, t), e se ele também for incompressível obtém-se a equação de Laplace ∇2χ (r, t) = 0. Para uma gota líquida com simetria axial a



solução escreve-se em termos das funções de Legendre,

χ (r, t) =Xl

Cl (t) rlYl0 (θ, φ) . (7.28)

e os coeficientes Cl (t) são determinados a partir das condições de contorno impostasao problema. No caso, a componente normal r da velocidade do fluido deve ser igual àcomponente normal da velocidade de um ponto na superfície da gota

n · v (r, t) = n · ∂R(θ, t)∂t

.

Para pequenas amplitudes as duas direções são quase coincidentes n ' r, e, portanto, acondição de contorno escreve-seÃ

∂

∂r

Xl=2

Cl (t) rlYl0 (θ, φ)

!r=R0

= R0

∞Xl=2

µd

dt

bl (t)

λ (bl (t))

¶Yl0 (θ, φ) ,

e até potências lineares em bl (t) temosXl=2

hlCl (t)R

l−10 −R0bl (t)

iYl0 (θ, φ) = 0,

onde o parâmetro λ (bl (t)) contribui apenas com termos não lineares. Como não há umúnico ângulo θ que torne todas as funções Yl0 (θ, φ) nulas, segue então que os fatoresentre colchetes de cada termo deve ser nulo, assim obtemos a seguinte relação entre oscoeficientes Cl (t) e bl (t),

Cl (t) =bl (t)

lRl−20

, (7.29)

e bl (t) é a velocidade do modo. A energia cinética associada aos modos vibracionais édada por

T =1

2

Zρ (r) |∇χ (r, t)|2 dr3 =

1

2ρ0

Z|∇χ (r, t)|2 dr3,

e como

∇χ (r, t) = r∂χ (r, t)

∂r+ θ

1

r

∂χ (r, t)

∂θobtemos então dois termos

T =1

2ρ0

Zdr3

ÃXl

lCl (t) rl−1Yl0 (θ, φ)

!2| z

T1

+1

2ρ0

Zdr3

ÃXl

Cl (t) rl−1 ∂Yl0 (θ, φ)

∂θ

!2| z

T2

.

(7.30)



oara a energia cinética. O cálculo do primeiro termo é direto

T1 =1

2ρ0Xl

l2 |Cl (t)|2Z R0

0

r2ldr =1

2ρ0Xl

l2

(2l + 1)|Cl (t)|2R2l+10

=1

2ρ0Xl

l2

(2l + 1)

¯bl (t)

¯2 R2l+10

l2R2l−40

=1

2ρ0R

50

Xl

¯bl (t)

¯2(2l + 1)

,

onde o resultado da segunda igualdade vem da relação (7.29) entre os coeficientes, e ocálculo do segundo resulta em

T2 =1

2ρ0R

50

Xl

¯bl (t)

¯2 (l + 1)

l (2l + 1).

(veja o Apêndice B). Assim a energia cinética da gota pode ser escrita como

T = T1 + T2 =1

2ρ0R

50

Xl=2

¯bl (t)

¯2l

=1

2

Xl=2

Bl

¯bl (t)

¯2,

onde ρ0 = 3M/4πR30 é a densidade de massa nuclear,M = AmN é a massa do núcleo(mN ≈ 939MeV é a massa do núcleon), R0 = r0A

1/3 (r0 ' 1, 2 fm) é o seu raio e

Bl =ρ0R

50

l=3mNr

20A

5/3

4πl.

é o parâmetro de inércia, que diminui para grande valores de l e aumenta com o númerode massa A.Agora, considerando apenas o terno de quadrupolo, l = 2, a energia potencial da

gota, para pequenas oscilações, b2 < 1, é, até termos cúbicos, V (b2) = C2b22/2 +

F2b32/6, onde C2 é o parâmetro de restauração (7.27) e F2 é o parâmetro de anarmoni-

cidade. O segundo termo não será considerado aqui, mas voltaremos a ele no estudo dafissão, no capítulo 12. A energia potencial harmônico é então VH (b2) = C2b

22/2, com

C2 =1

π(1− x) asupA

2/3 ≈ 5, 8 (1− x)A2/3

com x = (ac/ (2asup))¡Z2/A

¢≈ 0, 02

¡Z2/A

¢. Nota-se que a restauração do for-

mato da gota é possível desde que C2 > 0, ou como já visto, que Z2/A < 51. Afrequência de vibração da gota é imediatamente calculada, sendo

ω2 (Z,A) =

rC2B2≈µ1

π

(1− x) asupA2/3

3mNr20A5/3/ (8π)

¶1/2≈ 5, 7

µ1− x

A

¶1/2× 1022 s−1; (7.31)



Figura 7.9: (a) Espectro vibracional com um, dois e três fônons acoplados; (b) espectro vibra-cional típico em núcleos, note-se que a degenerescência é removida devido a alguma interaçãoque não foi levada em conta no model teórico mais simples.

constata-se que ela diminui com o crescimento do valor de A1/2 e também na medidaem que o parâmetro x se aproxima do valor 1, este comportamento é devido ao aumentoda inércia relativa ao movimento vibracional. De acordo com este modelo clássico, parao núcleo de 23592 U , a frequência é ω2 (92, 235) ≈ 2× 1021 s−1, um valor bastante apre-ciável comparativamente à oscilação das ondas luminosas, que é da ordem de 1015 s−1,mas sendo da ordem das frequências dos raios γ.

7.4.3 Vibrações coletivas

Núcleos com poucos (ou nenhum) núcleons fora do caroço (camadas fechada) têm umaforma de equilíbrio esférica e o movimento coletivo de mais baixa energia é uma os-cilação no entorno da superfície. Nesses casos o movimento fica caracterizado pornúmeros quânticos associados a quanta de vibração, chamados fônons, de energia ~ωlem correspondência à visão quanto-mecânica de um oscilador harmônico. Basicamente,o espectro de níveis de energia de tais núcleos é aquele dos estados vibracionais, vejaa Figura 7.9-a para um espectro puramente vibracional. Note-se que na Figura 7.9-b adegenerescência é removida devido a alguma interação que não foi levada em conta nomodel teórico mais simples.



Os espectros vibracionais mais simples tem sua descrição formal beseado no modeloda gota como apresentado nas subseções anteriores. Lembrando que a forma de umnúcleo pode ser descrita através da expressão que caracteriza sua superfície, Eq. (7.20),as coordenadas bl estão associadas aos modos multipolares e servem como ponto departida para se escrever a energia – para vibrações de pequena amplitude – do modo l

El

³bl, bl

´=1

2

³Blb

2l + Clb

2l

´.

Como discutido anteriormente, os modos com l = 0 – modo monopolar11 – e l = 1 –modo dipolar – não serão considerados aqui (o modo vibracional de ordem mais baixaé o modo quadrupolar), veja as deformações na Figura ??.

Figura 7.10: Oscilações de forma de uma gota líquida: são exibidas as três primeiras multipo-laridades. Dipolo (l = 1) corresponde a um deslocamento da esfera apenas; não há deformação.As vibrações de quadrupolo (l = 2) e octupolo (l = 3) mostram deformações, não obstante ovolume é sempre conservado.

Como os estados vibracionais mais freqüentes a baixas energias podem ser bemdescritos por excitações quadrupolares, podemos particularizar a abordagem, por sim-plicidade, restringindo o tratamento para o caso com l = 2. Então a energia do modo éescrita como

E³b2, b2

´=1

2

³B2b

22 + C2b

22

´, (7.32)

e identifica-se prontamente nesta expressão um termo de energia potencial de defor-mação dinâmica – típica de um oscilador harmônico12 –, V (b2) = C2b

22/2. Intro-

11Vibrações monopolares de densidade foram descartadas no modelo da gota líqüida sob a hipótese deque o fluido é incompressível. Mas essas vibrações nucleares existem e são observadas experimentalmente aenergias mais altas. São as chamadas ressonâncias gigantes de monopolo.

12O variável b2 é adimensional e os parâmetros C2 e B2 têm dimensão de energia e e energia ×T 2,respectivamente.



duzindo o momentum canônico através da relação

p2 =∂

∂b2(T − V ) = B2b2,

obtemos a hamiltoniana de oscilador harmônico

H2 =1

2

p22B2

+1

2C2b

22.

Efetuando a quantização das vibrações harmônicas, teremos os operadores hermiteanosp2 e b2 que satisfazem à relação de comutaçãoh

b2, p2

i= ı~1

e o espectro de energia é dado pela expressão bem conhecida

En2 =

µn2 +

1

2

¶~ω2, n2 = 0, 1, 2, 3, ...,

onde a freqüência de vibrações de pequena amplitude é dada pela Eq. (7.31).Desta forma, o espectro de excitações quadrupolares fica bem definido: além do

estado fundamental teremos estados de um fônon, dois fônons, três fônons, etc. Nosnúcleos par-par o estado fundamental é 0+ e o primeiro estado excitado – um fônon– é 2, com poucas exceções. Sendo a paridade dos estados dada por (−1)l, temosa atribuição 2+ para tal estado. Já o segundo estado excitado é constituído de doisfônons acoplados, onde cada fônon se comporta como um bóson. O procedimento deacoplamento é o mesmo que o do momentum angular, dois fônons, com l = 2, noslevam a momenta angulares com valores L = 0, 1, 2, 3 e 4, com paridade positiva,já que (−1)2+2 = +1. Cada fônon com l = 2 tem cinco possíveis valores para aprojeção, m1,m2 = −2, −1, 0, 1, 2, que permitem 25 combinações possíveis. Agora,dado o caráter bosônico dos fônons, de todas as combinações possíveis (de m1 e m2

dando M , a projeção de L) são permitidas apenas as simétricas, o que restringe osvalores permitidos de L. Da contagem final das combinações permitidas das projeções,identificam-se os momenta angulares L = 0+, 2+ e 4+ (L = 4, M = −4, −3, ... 2, 3,4; L = 2, M = −2, −1, 0, 1, 2 e L = 0, M = 0). Portanto, o estado de dois fônonsquadrupolares se constitui, de fato, em um tripleto de níveis de energia que deve estarsituado a, aproximadamente, duas vezes a energia do estado de um fônon – o primeironível 2+, como pode ser visto nas Figuras 7.9 e 7.11. Nesta última vemos os níveis deenergia do nuclídeo 120Te.A constatação experimental de uma tal seqüência de níveis de energia, estado 2+

seguido de um tripleto 0+, 2+ e 4+, é um bom indicador da validade do modelo. Na re-alidade, o tripleto não é degenerado devido a efeitos que não são incluídos neste modelomais simples; sempre há uma interação residual que remove a degenerescência.Da mesma maneira, podemos acoplar três fônons seguindo a mesma prescrição us-

ada no caso de dois: retém-se os estados resultantes com L’s tais que sejam obtidos



de combinações simétricas das projeções (m1,m2,m3). Neste caso, o multipleto re-sultante tem estados com momentum angular e paridade 0+, 2+, 3+, 4+ e 6+; veja asFiguras 7.9 e 7.11.

Figura 7.11: Espectro de níveis do movimento vibracional. São mostrados os níveis mais baixospara o nuclídeo 120Te. O primeiro estado 2+ corresponde a um fônon (l = 2); em seguidaaparecem o tripleto de dois fônons acoplados e o quintupleto de três fônons. Acima de 2 MeV aestrutura de níveis fica confusa, não se reconhecendo padrões de movimento vibracional.

Um espectro vibracional que melhor descreve os níveis de energia observados deveincluir também estados de multipolaridades mais altas, como as excitações octupolares,l = 3 (de paridade negativa), etc. e suas combinações multifônons. Se pudemos falardo espectro vibracional com a regra de – aproximadamente – igual espaçamento entreos níveis de energia, isto se deveu ao caráter harmônico das vibrações.Agora, o valor do espaçamento ~ω2 [1, 11, 14] é dado pela equação (7.31), e com

base neste resultado pode-se prever a energia do primeiro estado 2+ em núcleos par-parcomo função do número de núcleons A e do número atômico Z, veja a Figura ??.Como esperado, somente a tendência geral do comportamento da curva E2+ × A é

obtida. Desvios acentuados dos dados experimentais são observados nas regiões onde osnúcleos são deformados, uma vez que eles apresentam bandas rotacionais, com estados2+ mais baixos em energia que os vibracionais, ocorrendo, mais acentuadamente, nas



Figura 7.12: Energias dos níveis 2+ ao longo de toda a tabela de nuclídeos. A linha sólidacorresponde ao valor da energia calculada pelo modelo da gota líquida.

regiões 150 < A < 190 e A > 220.

7.4.4 Deformação permanente

A primeira tentativa de explicação para os grandes momentos de quadrupolo medidosfoi proposta por Rainwater [5] e posteriormente ampliada por A. Bohr e Mottelson, quesugeriram que quando há uma deformação no núcleo, a mudança na energia de defor-mação, como prevista pelo modelo da gota líquida13, Eq. (7.26) só é verdadeira paranúcleos com camadas fechadas (ou próximos delas). Neste caso, somente ocorreriamoscilações no entorno de uma forma esférica. Eles propuseram então que, para núcleoscom núcleons fora da camada fechada, há uma contribuição adicional para a energia po-tencial de deformação (7.26), linear na deformação, de tal forma que a mudança totalseria dada por (por motivos históricos trocamos a notação, b2 −→ β)

V (β) =1

2C2β

2 − Pβ, (7.33)

onde P é um parâmetro efetivo associado à natureza de partícula independente dosnúcleons de valência, fora do caroço (camada fechada). O potencial (7.33) torna-senegativo no intervalo 0 < β < β, com β = 2P/C2, sendo nulo em β. A deformação

13Compare com a Eq. (7.26), b2 = β .



Figura 7.13: Esquema qualitativo da energia de deformação em função do parâmetro β, note-seque para certos valores de β, a energia torna-se negativa, ou seja, o núcleo deformado é energeti-camente mais estável que o esférico.

que torna mínima a energia é dada por

βmin =β

2≈ PA−2/3

5, 8 (1− 0, 02 Z2/A)

(note que este valor só faz sentido para 51 > Z2/A) e o mínimo da energia ocorre em

V (βmin) = −P 2

2C2≈ − P 2A−2/3

11, 6 (1− 0, 02 Z2/A) ,

e o que torna então evidente, em contrapartida ao que foi discutido na seção anterior,que no seu estado fundamental o núcleo tem deformação permanente.Podemos representar o efeito da presença do termo linear desenhando as curvas da

energia como função da variável β para diferentes valores do número de núcleons forada camada fechada, representados pelo parâmetro P , veja a Figura 7.13. Em síntese,para os núcleos perto de camadas fechadas as forças de emparelhamento favorecem aformação de grupos de núcleons de valência em pares com momento angular zero. Aforma de equilíbrio é então esférica e o movimento coletivo deste caroço é uma vi-bração no entorno desta forma. À medida que o número dos núcleons fora da camadafechada cresce, o efeito da contribuição de longo alcance da força nuclear é mais eficaz,a freqüência de vibração coletiva diminui e finalmente a forma esférica fica instável e



o núcleo adquire uma deformação permanente. Esta deformação se manifesta tanto nosnúcleons fora da camada fechada quanto no caroço nuclear com o qual aqueles núcleonsinteragem.Do ponto de vista experimental, a relação entre o número de núcleons fora de uma

camada fechada e a deformação pode ser estabelecida, por exemplo através de medidasdo momento de quadrupolo de núcleos com diferentes números de nêutrons. Os dadosexperimentais estão em total concordância com a argumentação exposta, como visto naFigura 7.14.

Figura 7.14: Parâmetro de deformação β em função do número de nêutrons. Enquanto a linhacheia é um ajuste aos pontos experimentais, a linha tracejada é apenas uma extensão hipotéticaque passa por poucos pontos.

7.4.5 Vibrações e rotações nucleares: modelo híbrido de A. Bohr eMottelson

Com o estabelecimento de uma deformação permanente, dois tipos de movimento co-letivo podem ser identificados: vibrações no em torno da forma de equilíbrio e/ou ro-tações da orientação nuclear.Como ocorre em moléculas, a descrição dos momenta angulares envolvidos e seus

acoplamentos nos núcleos são também estudados como se faz com as mesmas. Por



simplicidade, consideremos um núcleo deformado com simetria axial ao longo do eixoz0 de um referencial fixo no corpo – caroço par-par. Embora não possa haver rotaçãocoletiva no entorno do eixo de simetria do núcleo nos estados mais baixos de energia,o movimento intrínseco dos núcleons fora da camada fechada se dá também no entornodesse eixo com componente de momento angular

~Ω = ~Xi

mi,

ondemi é a componente do i-ésimo núcleon projetada ao longo do eixo de simetria.O momentum angular coletivo do rotor, R, é acoplado com a contribuição dos nú-

cleons de valência, que resulta no momento angular total J , veja a Figura 7.15. Assim,

Figura 7.15: A representação geométrica do núcleo deformado com momentum angular totalJ = j +R, R refere-se ao momentum angular do rotor (caroço com fechamento de camada) ej é aquele das partículas de valência (que não formam uma camada fechada).

a projeção de J sobre o eixo fixo no espaço éM e sobre o eixo fixo de simetria14 é K.Sendo dado o valor absoluto do momentum angular coletivo, o espectro de energia, emordem mais baixa, é dado por [7, 8, 11]

EJ,K,i = K,i +~2

2I0£J (J + 1)−K2

¤, (7.34)

14Wigner desenvolveu a teoria do movimento rotacional na mecânica quântica, quando há dois referenciais,um fixo no espaço e outro no corpo rígido. As funções DJ

M,K (a, β, γ) são chamadas funções de Wigner,elas dependem dos ângulos de Euler e as equações de autovalores associadas a ela são

J 2DJM,K = J (J + 1)DJ

M,K , JzDJM,K =MDJ

M,K , Jz0DJM,K = KDJ

M,K ,

(por simplicidade omitimos os ângulos como variáveis independentes) ondeM e K são as projeções sobreos eixos z e z0da Figura 7.15.



onde o primeiro termo corresponde à energia das partículas de valência e o segundorepresenta o espectro da banda K-rotacional. O número quântico K fixa a banda comvalores J = |K| , |K| + 1, |K| + 2, · · · para um núcleo com simetria axial, onde I0é o momento de inércia15. Algumas situações podem ser mais facilmente estudadas seadmitirmos que o movimento pode ser separado quando ocorrerrem

• movimento intrínseco do núcleon em um potencial não-esférico (como já vistono modelo de Nilsson),

• rotações coletivas,

• vibrações no entorno da forma de equilíbrio estático (esférico ou deformado).

Paradoxalmente, embora os núcleos sejam objetos femtométricos, em física de baixasenergias é costumeiro usar idéias e conceitos de física clássica, mesclados com um trata-mento quântico, para descrevê-los, como feito com o modelo da gota líquida. Assim,admite-se que núcleos deformados podem rodar. Classicamente, a energia associada àrotação é dada por

Trot =1

2

3Xk=1

Ikω2k,

onde Ik é o momento de inércia e ωk é a velocidade angular de rotação associada aoeixo k. No caso nuclear, se considerarmos que o núcleo é uma gota líquida, a rotaçãodeve ser associada a uma onda hidrodinâmica movendo-se em volta do núcleo e não auma rotação de um corpo rígido. Segundo o modelo de A. Bohr e Mottelson [11], ummovimento irrotacional do líquido nuclear tem sua energia escrita como

E = H¡Iirrk , β, γ

¢=1

2

3Xk=1

Iirrk ω2k +1

2B2

³β2+ β2γ2

´, (7.35)

possuindo o núcleo dois modos vibracionais16, β e γ, e H¡Iirrk , β, γ

¢é conhecida

como a hamiltoniana de Bohr. Rodando no entorno de um eixo perpendicular ao eixode simetria, o momento de inércia da gota contém uma dependência com o parâmetrode deformação β da forma

Iirrk = 4B2β2 sin2

µγ − 2π

3k

¶=3

2πmNr

20A

5/3

∙β2 sin2

µγ − 2π

3k

¶¸(7.36)

15De fato, a expressão (7.34) é aproximada, pois estão ausentes outros efeitos, como de recuo, e a interaçãoresidual.

16No modo β, o núcleo esferoidal vibra de modo que sua “cintura” se contrai e dilata, ou seja, a secçãoreta, que é um disco, diminui e aumenta seu raio - o semi-eixo menor - enquanto o semi-eixo maior tambémoscila, aumentando e diminuindo, permanecendo, não obstante, um esferóide. No modo γ, o semi-eixo maior(de simetria) mantém-se fixo mas a direção associada à secção reta oscila, passando de um círculo para umaelipse que se alonga, ora ao longo do eixo x, ora ao longo do eixo y, isto é, o esferóide transforma-se em umelipsóide que vibra nas direções x e y. Entretanto, nos dois modos o volume é conservado.



enquanto que

Irigk =2

5mNr

20A

5/3

"1−

r5

4πβ cos

µγ − 2π

3k

¶#(7.37)

é o momento de inércia para um núcleo deformado de massa mNA e raio r0A1/3.

O momento de inércia Iirrk mostra uma dependência essencial com o parâmetro dedeformação β, enquanto que no caso de Irigk a contribuição dominante é aquela daesfera rígida. Quantizando a Eq. (7.35) e resolvendo a equação de Schrödinger parapequenas vibrações β em torno do valor de menor energia, assim como para vibraçõesγ, obtêm-se os autovalores de energia associados aos modos vibracional e rotacional

EJ,K,nβ,nγ =

∙~ωβ

µnβ +

1

2

¶+ ~ωγ

µ2nγ + 1 +

|K|2

¶¸+~2

2I0£J (J + 1)−K2

¤.

(7.38)O primeiro termo, entre colchetes, corresponde à parte vibracional e o segundo à rota-cional e, paraK 6= 0, a vibração γ está acoplada ao movimento rotacional; ωβ e ωγ sãoas freqüências de vibração daqueles modos e seus números quânticos tomam valoresnβ, nγ = 0, 1, 2, 3, ...; I0 é o momento de inércia efetivo.Essa abordagem geral do núcleo é bastante intrincada uma vez que considera graus

de liberdade de diferentes naturezas que se acoplam. Olhando apenas a parte rotacionalda energia,

EJ,K =~2

2I0£J (J + 1)−K2

¤observa-se que ela representa uma banda de níveis de energias associada ao movimentorotacional (caracterizada pelos J’s) superimposta às energias do movimento intrínseco(caracterizadas porK). Para núcleos par-par deformados no seu estado fundamental, osnúcleons ocupam alternadamente estados demi com sinais opostos, logoK = 0 e nãohaverá contribuição do movimento intrínseco para o momentum angular total. Comohá, neste caso, uma simetria por um plano perpendicular ao eixo nuclear, a função deonda deve ser invariante por rotações de 180 e, desta forma, os valores permitidospara o momentum angular são J = 0, 2, 4, 6, ..., com paridade par, pois esta é dada por(−1)J . Assim, a banda rotacional prevista pelo modelo segue a seqüência de estados0+, 2+, 4+, ... e, de fato, esse tipo de banda é encontrada em muitos casos nas regiõesda tabela de nuclídeos onde a deformação nuclear é bem identificada, a saber, A ∼24, 150 < A < 190 e A > 200. Como exemplo, apresentamos na Figura 7.16 a bandarotacional mais baixa do nuclídeo 164Er.É imediato constatar que o estado fundamental de um núcleo par-par (início da banda

J = |K| , |K|+2, |K|+ 4, · · · ) sempre tem momentum angular e paridade Jπ = 0+ eo primeiro estado excitado no mais das vezes tem Jπ = 2+.Um teste deste modelo, usado para descrever as rotações nucleares, pode ser levado

a efeito comparando-se o momento de inércia obtido da banda experimental de energias

EexpJ =~2J (J + 1)2Iexp



Figura 7.16: Valores experimentais da banda rotacional do núcleo de 164Er. Rotação do núcleoem seu estado fundamental.



com o momento de inércia rígido e com o hidrodinâmico. O que se encontra é que arotação coletiva requer um momento de inércia menor que aquele do corpo rígido Eq.(7.37), porém maior que o valor hidrodinâmico (obtido a partir de valores experimentaisda deformação, Eq. (7.36)). De fato, a hipótese de que o valor do momento de inérciaé fixo – nem rígido nem hidrodinâmico – se revela uma aproximação crua. A compara-ção das razões E4/E2 = 10/3, E6/E4 = 21/10, E8/E6 = 12/7, obtidas com aquelahipótese, com as razões obtidas a partir dos dados experimentais mostra, em certos ca-sos, desvios apreciáveis. Isto é uma indicação de que o momento de inércia nuclear éuma quantidade que não reflete uma estrutura nuclear imutável; além de revelar umaestrutura mais complicada, ele também indica como ela se altera conforme o núcleoroda. Para baixos momenta angulares as mudanças são pequenas, mas elas podem sermuito acentuadas para altos momenta. Se, para J’s pequenos é possível atribuir as mu-danças do momento de inércia ao aumento da deformação nuclear [11], por outro lado,para J’s grandes (J & 12) isto não é suficiente já que outros efeitos, como forças deCoriolis – que tendem a mudar a contribuição de emparelhamento, enfraquecendo-a –,e efeitos sensíveis de camadas podem desempenhar papel essencial no comportamentodo momento de inércia. Um fenômeno exuberante que ocorre no momento de inér-cia de alguns núcleos em altos momenta angulares, mormente nas terras raras, é umadiminuição da velocidade angular ω enquanto Iexp cresce; este efeito que é resultadode uma conjunção de altos momenta angulares e efeitos de camadas em dada região demassa nuclear, é conhecido como backbending (inclinação para trás) e se manifesta poruma compressão acentuada na banda rotacional experimental em valores J ' 12~, vejaa Figura 7.17.Bandas rotacionais comK 6= 0 também podem ser descritas através de formalismos

mais elaborados e não serão tratadas aqui, assim remetemos o leitor, por exemplo, aolivro de D. Rowe [13].

7.5 Apêndice A: Energias de superfície e coulombiana deum esferóide

Neste apêndice vamos obter as expressões para as energias de superfície e coulombianapara o caso particular de deformações esferoidais da gota líquida. Para tanto, vamosconsiderar um esferóide de volume V = 4πab2/3, cujos semi-eixos são dados comoa = R0(1 + ε) para o semi-eixo maior e b = R0(1 + ε)−1/2 para o semi-eixo menor,de forma que o volume seja conservado, V = 4πR30, veja a Figura 7.18. Este esferóidesimula o núcleo deformado na concepção de uma gota líquida.

7.5.1 Energia de superfície

Inicialmente vamos calcular a superfície do esferóide. Sabendo que a equação do esfer-


7.5 Apêndice A: Energias de superfície e coulombiana de um esferóide 265

Figura 7.17: O momento de inércia I0 em função do quadrado da freqüência de rotação paraos nuclídeos 158Er e 174Hf. Observa-se o desvio da regra EJ = AJ (J + 1) em banda rota-cionais de núcleos rígidos. No caso do 158Er, a partir de J = 12 observa-se o fenômeno de"backbending", quando a curva se retorce, adquirindo a forma da letra S.



Figura 7.18: Esferóide com semi-eixos a e b, e ρ é o raio da secção reta, que é um círculo.

óide éz2

a2+

ρ2

b2= 1,

onde ρ é o raio do círculo da secção reta, conforme visto na Figura 7.18, podemos definira função

f (z) = ρ = b

µ1− z2

a2

¶1/2para ser inserida na expressão do cálculo da superfície de uma figura de revolução

S = 2π

Z a

−af (z)

h1 +

³f 0 (z)2

´i1/2dz.

Um cálculo direto leva à expressão

S = 2πab

∙b

a+arcsinα

α

¸,

ondeα2 = 1− b2

a2.

Como admitimos que ε¿ 1, expansões até terceira ordem em ε são

(1 + ε)−1

= 1− ε+ ε2 − ε3 +O¡ε4¢,

(1 + ε)1/2

= 1 +1

2ε− 1

8ε2 +

1

16ε3 +O

¡ε4¢

α2 = 3ε

µ1− 2ε+ 10

3ε2¶+O

¡ε4¢,


7.5 Apêndice A: Energias de superfície e coulombiana de um esferóide 267

e também

arcsinα

α= 1 +

1

6α2 +

3

40α4 +

5

112α6 +O

¡α8¢

= 1 +1

2ε− 13

40ε2 +

289

1680ε3 +O

¡ε4¢

o que permite finalmente obter o valor da área do esferóide (até terceira ordem em ε),

Sε = 4πR20

∙1 +

2

5ε2 +

52

105ε3 +O

¡ε4¢¸

.

Note que não há termo linear em ε, e até ordem em ε3 a energia de superfície é escritacomo

∆Es = τ (Sε − S0) = 4πR20τ

µ2

5ε2 +

52

105ε3¶

= Es0

µ2

5ε2 +

52

105ε3¶. (7.39)

Comparando o resultado (7.39) com a expressão (7.24), constata-se que apenas os re-spectivos primeiros termos coincidem, os termos subsequentes diferem porque supuse-mos diferentes modelos formais para representar a deformação nuclear.

7.5.2 Energia coulombiana

Para uma distribuição uniforme de carga, de densidade ρ0, a energia coulombiana écalculada pela integral

Ec =1

2(ρ0)

2Z

1

|r − r0| d3r d3r0. (7.40)

Seguindo a Ref. [15] vamos efetuar a mudança de variáveis⎧⎨⎩ r

r0

⎫⎬⎭ =⇒

⎧⎨⎩ s =¡x√1− ε, y

√1− ε, z/ (1− ε)

¢s0 =

¡x0√1− ε, y0

√1− ε, z0/ (1− ε)

¢⎫⎬⎭

verificando que r2 = s2 e r02 = s02, a integral (7.40) pode ser reescrita como

Ec (ε) =1

2(ρ0)

2Z 0

d3s d3s0∙(sx−s0x)21−ε +

(sy−s0y)2

1−ε + (sz − s0z)2 (1− ε)2

¸1/2 . (7.41)

A integração deve ser efetuada com a condição de vínculo s2 = s02 = R20 (a linha naintegral é um “lembrete” desse vínculo). Como consideramos ε ¿ 1, expandindo o



denominador em (7.41) até potências da ordem ε2, chega-se a

Ec (ε) =1

2(ρ0)

2Z 0

d3s d3s0

|s− s0|

(1− ε

2

"3 (sz − s0z)

2

|s− s0|2− 1#− ε2

2+3

8ε2

×"9 (sz − s0z)

4 − 6 (sz − s0z)2 |s− s0|2

|s− s0|4+ 1

#). (7.42)

As integrais podem ser calculadas usando-se resultados de geometria vetorial. Chamando

J0 =

Z 0d3s d3s0

|s− s0| =2

15(4π)

2R50

(veja o capítulo 2) tem-seZ 0(si − s0i)

¡sj − s0j

¢|s− s0|3

d3s d3s0 =J03δij (7.43)

(para i, j = x, y, z) eZ 0(si − s0i)

¡sj − s0j

¢(sk − s0k) (sl − s0l)

|s− s0|5d3s d3s0

=J03(δijδkl + δikδjl + δilδjk) . (7.44)

Usando os resultados (7.43) e (7.44) em (7.42) obtém-se

Ec (ε) = Ec0

µ1− ε2

5

¶.

7.6 Apêndice B: A energia cinética de uma gota líquidaO primeiro termo da energia cinética é bastante simples de calcular,

T1 =1

2ρ0Xl,l0

ll0Cl (t)Cl0 (t)

Z R0

0

rl+l0dr

ZYl0 (θ, φ)Yl00 (θ, φ) dΩ

=1

2ρ0Xl

l2

(2l + 1)|Cl (t)|2R2l+10 (7.45)

Para o segundo termo,

T2 =1

2ρ0Xl,l0

Cl (t)Cl0 (t)

Zrl+l

0dr

Z∂Yl0 (θ, φ)

∂θ

∂Yl00 (θ, φ)

∂θdΩ, (7.46)


7.7 Apêndice C: O teorema de Landé 269

devido à existência de derivadas é necessário fazer uso das relações de recorrência dasfunções de Legendre. Primeiro escrevemos

∂Yl0 (θ, φ)

∂θ= − sin θ∂Yl0 (θ, φ)

∂ cos θ

e a integral na Eq. (7.46) pode ser reescrita como

I =

Z π

0

∂Yl0 (θ, φ)

∂θ

∂Yl00 (θ, φ)

∂θd (cos θ) dφ

=2l + 1

2

Z 1

−1

µ¡1− x2

¢1/2 dPl (x)dx

¶µ¡1− x2

¢1/2 dPl0 (x)dx

¶dx

=2l + 1

2

ZPl,1 (x)Pl0,1 (x) dx =

2l + 1

2

2

2l + 1

(l + 1)!

(l − 1)!δll0 = l (l + 1) δll0 ,

onde Pl,1 (x) é o polinômio associado de Legendre. Logo,

T2 =1

2ρ0Xl

|Cl (t)|2R2l+10

2l + 1[l (l + 1)]

=1

2ρ0R

50

Xl

¯bl (t)

¯2 (l + 1)

l (2l + 1),

onde a segunda igualdade segue da Eq. (7.29).

7.7 Apêndice C: O teorema de LandéEmbora já fosse utilizado na física atômica usando o formalismo clássico de soma demomenta angulares, o teorema de Landé também foi verificado formalmente na versãoquântica. Isso pode ser melhor entendido fazendo uso de alguns resultados gerais. Ini-cialmente vamos admitir que a função de onda de uma partícula independente de spins = 1/2, sujeita a um campo de força central, seja escrita de forma genérica comoψnlsjmj

(r), e para j = l ± 1/2 as duas funções são escritas como⎧⎨⎩ψnlsj=l+1/2,mj

(r)

ψnlsj=l−1/2,mj(r)

⎫⎬⎭ = Rnl (r)×

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩q

l+mj+1/22l+1 Yl mj−1/2 (Ω)χ1/2 +

ql−mj+1/2

2l+1 Yl mj+1/2 (Ω)χ−1/2,

−q

l−mj+1/22l+1 Yl mj−1/2 (Ω)χ1/2 +

ql+mj+1/22l+1 Yl mj+1/2 (Ω)χ−1/2 .

(7.47)

Note-se que ψnlsj,mj(r) é autoestado de s 2, l 2, j 2 e jz, mas não é autoestado dos

operadores lz e sz.



No que diz respeito ao operador momentum angular j, diz-se que um vetor V é umoperador vetorial (ou tensor esférico de ordem 1) se ele obedece às regras de comu-tação h

ji, Vj

i= iεijkVk, |εijk| = 0 ou 1, (7.48)

onde εijk é o chamado símbolo de Levi-Civita: εijk = 0 para dois índices repetidosquaisquer, εkji = − εijk troca de sinal se o número de permutações dos índices (difer-entes entre si) for ímpar e εjki = εijk, se o número de permutações dos índices forpar. Também se verifica da relação de comutação (7.48) que j · V = V · j. Para umestado |αjmji, quando por α denotam-se os demais números quânticos, o teorema deLandé diz que os elementos de matriz diagonais de V são proporcionais aos elementosde matriz diagonais de j,

hαjmj |V |αjmji =hαjmj |V · j |αjmjihαjmj | j2 |αjmji

hαjmj | j |αjmji , (7.49)

ou em termos de componentes dos vetores

hαjmj | Vk |αjmji =hαjmj |V · j |αjmjihαjmj | j2 |αjmji

hαjmj | jk |αjmji , k = 1, 2, 3. (7.50)

Esta relação tem um significado físico intuitivo: como j define a direção de quantização,o valor médio de qualquer componente vetorial Vk é proporcional ao valor médio daprojeção de V sobre a direção de j.A demonstração faz uso de teoremas relacionados a tensores esféricos de ordem 1

cujos enunciados e demonstrações podem ser encontrados no livro deM. E. Rose [16].Porém, sem entrar em detalhes formais vamos esboçar como o resultado é alcançadofazendo uso de alguns teoremas. Inicialmente é usado o teorema da decomposição deprimeiro tipo, que é escrito como

αj0m0

j

¯V |αjmji =

αjm0

j

¯j³j · V

´|αjmji

j (j + 1)δj,j0 , (7.51)

a seguir faz-se uso do teorema da fatoração,αj0m0

j

¯j³V · j

´|αjmji =

αj0m0

j

¯j |αjmji hαjmj|V · j |αjmji δj,j0 . (7.52)

Ambos os teoremas, (7.51) e (7.52), podem ser combinados para construir o teorema dadecomposição de segundo tipo, expresso pela equação

αjm0

j

¯V |αjmji =

αjm0

j

¯j |αjmji

hαjmj | j · V |αjmjij (j + 1)

, (7.53)

tal que considerando os elementos diagonais apenas, resulta a Eq. (7.49).


7.8 Apêndice D: Momento de quadrupolo elétrico de um próton de valência 271

7.8 Apêndice D: Momento de quadrupolo elétrico de umpróton de valência

O momento de quadrupolo elétrico de um próton em uma subcamada j é dado por

Q2 (j = l ± 1/2) = 2

Zρnucc (r) r2P2 (cos θ) d

3r

= 2r2®nl

∙µl ± j + 1/2

2l + 1

¶ZdΩP2 (cos θ)

¯Yl j−1/2

¯2+

µl ∓ j + 1/2

2l + 1

¶ZdΩP2 (cos θ)

¯Yl j+1/2

¯2¸, (7.54)

onde usamos as funções (7.47) pois admitimos que ρnucc (r) =¯ψnlsj=l±1/2,mj

(r)¯2.

As integrais se reduzem a produtos de coeficientes de Clebsh-Gordan17 (veja a referên-cia [16])Z

dΩP2 (cos θ)¯Yl j∓1/2

¯2= (l (j ∓ 1/2) 2 0 | l (j ∓ 1/2)) (l 0 2 0 | l 0) (7.55)

onde

(l (j ∓ 1/2) 2 0 | l (j ∓ 1/2)) = 3 (j ∓ 1/2 )2 − l (l + 1)

[l (l + 1) (2l − 1) (2l + 3)]1/2e

(l 0 2 0 | l 0) = − l (l + 1)

[l (l + 1) (2l − 1) (2l + 3)]1/2,

donde portanto

(l (j ∓ 1/2) 2 0 | l (j ∓ 1/2)) (l 0 2 0 | l 0) = −

h3 (j ∓ 1/2 )2 − l (l + 1)

il (l + 1)

[l (l + 1) (2l − 1) (2l + 3)] .

(7.56)Substituindo o valor obtido na Eq. (7.56) na Eq. (7.55) e por sua vez esta na Eq. (7.54),ficamos com

Qj=l±1/22 = −2

r2®nl

l (l + 1)

[l (l + 1) (2l − 1) (2l + 3)]

½µl ± j + 1/2

2l + 1

¶h3 (j − 1/2 )2

−l (l + 1)] +µl ∓ j + 1/2

2l + 1

¶h3 (j + 1/2 )

2 − l (l + 1)i¾

.

17Que é definido como (j1 m1 j2 m2| j3 m3) e deve satisfazer as seguintes condições necessárias paraser diferente de zero:

1. m1 +m2 = m3,2. |j1 − j2| ≤ j3 ≤ j1 + j2.



Considerando j = l + 1/2 obtemos

Qj=l+1/22 = −2

r2®nl

1

[(2j − 2) (2j + 2)]h3 (j − 1/2 )2 − (j − 1/2) (j + 1/2)

i= −

r2®nl

2j − 12j + 2

e no caso j = l − 1/2

Qj=l−1/22 = −2

r2®nl

1

[(2l − 1) (2l + 3)]

½µ1

2j + 2

¶h3 (j − 1/2 )2 − (j + 1/2)

× (j + 3/2)] +µ2j + 1

2j + 2

¶h3 (j + 1/2 )

2 − (j + 1/2) (j + 3/2)i¾

= −r2®nl

2j − 12j + 2

.

Por conseguinte, para ambos os casos, j = l ± 1/2, resulta o mesmo momento dequadrupolo (7.16).

7.9 Problemas1. Obtenha o lado direito da Eq. (7.22) e os primeiros termos da Eq. (7.23).

λ3 = 1 +3

5b22 +

3

7b23 +

2

35b32 + ...+

4

35b2b

23...

supondo que sejam dominantes se b3 ¿ b2 ¿ 1.Note que, Z 1

−1Pl1 (x)Pl2 (x)Pl3 (x) dx =

2

2l3 + 1(l10l20|l30)2 ,

onde (l10l20|l30) é o coeficiente de Clebsh-Gordan,

(l10l20|l30) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(−1)g−l3

q(2l3 + 1)

g!(2g−2l1−1)!!(2g−2l2−1)!!(2g−2l3−1)!!(g−l1)!(g−l2)!(g−l3)!(2g+1)!! ,

para l1 + l2 + l3 = par

0 para l1 + l2 + l3 = ímpar

e onde 2g = l1 + l2 + l3, um inteiro par.

2. Mostre que a superfície uma esfera (raio R) é menor do que aquela de um cilin-dro (comprimento l e raio da base r) de mesmo volume V .

3. A partir do modelo de gás de Fermi, considere dois gases de partículas livres, Zprótons eN nêutrons. Mostre que paraA = N+Z fixo, a energia cinética paraN 6= Z


7.9 Problemas 273

é maior do que para N = Z. Explique a razão física deste resultado.

4. As quantidades

Gl(j) =1

j(j + 1)

Dnlsjj

¯j · l

¯nlsjj

Ee

Gs(j) =1

j(j + 1)

Dnlsjj

¯j · s

¯nlsjj

Esão os fatores-g de Landé. Mostre que

Gl(j) =j − 1/2

j, Gs(j) =

1

2jpara j = l +

1

2

eGl(j) =

j + 3/2

j + 1, Gs(j) = −

1/2

j + 1para j = l − 1

2.

5. O operador de dipolo magnético é dado por

Mz = µ0

³gorbN lz + gspinN sz

´.

Usando o teorema de Landé¿nlsjj

¯½lzsz

¾¯nlsjj

À=

½Gl(j)Gs(j)

¾hnlsjj |jz|nlsjji

calcule o momento de dipolo magnético

µ =Dnlsjj

¯Mz

¯nlsjj

Epara j = l + 1/2 e j = l − 1/2.

6. Considere o hamiltoniano H = H0 − ξl · s, onde

Hφnlsjm = Enljφnlsjm

e

H0φnlsjmj(r) = εnlφnlsjmj

(r)

= [−V0 + (2n+ l + 3/2) ~ω]φnlsjmj(r) , n, l = 0, 1, 2, ... .

(a) Quais os possíveis autovalores da energia Enlj para valores fixos de n e l? (obs:j = l + s)(b) Calcule os autovaloresEnlj para n = 1 e l = 2. Qual é o efeito do termo−ξl ·s ?(c) Qual é a diferença entre os níveis de energia calculados no ítem (b)?(d) Calcule esta diferença de energia para (i) n = 2 e l = 3, e (ii) n = 4 e l = 4. O

que você conclui?



(e) Considere V0 = 12MeV , ~ω = 2MeV e ξ = 0, 5MeV . Construa o esquemade níveis de energia de εnl eEnlj indicando a devida correspondência entre ambos. Useos seguintes valores n = 0, 1, 2 e l = 0, 1, 2, 3, 4 tal que Λ = 2n + l = 0, 1, 2, 3, 4.Especifique os números quânticos de cada nível e dê a sua respectiva paridade.(f) Com relação ao esquema de níveis Enlj do ítem (e), quantos prótons podem ser

acomodados até Λ = 4? Interprete o resultado em termos do modelo de camadas.

7. Calcule os valores dados na última coluna da Tabela 7.3.

8. Usando o teorema de Landé deduza o resultado (7.15).

9. Verifique as passagens e os cálculos omitidos do Apêndice A.

7.10 Bibliografia

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[8] Roy R. R. e Nigam B. P., 1967, Nuclear Physics: theory and experiment, JohnWi-ley & Sons Inc; e mesmos autores, 1996, Nuclear Physics, New Age International.

[9] Preston M., 1965, Physics of the Nucleus, Addison Wesley Publ. Co.

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7.10 Bibliografia 275

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física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 7 – s. s. mizrahi & d. galetti

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