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DARE A. WELLS es profesor emérito de Física en la Universidad de Cincinnati (Ohio). Obtuvo su doctorado en esa universidad, y entre las obras que ha publicado figuran unos veinte ensayos sobre espectrosco-pia y oscilaciones pequeñas, así como la dinámica de Lagrange y el tratamiento de los sistemas electromecánicos con los métodos de Lagrange. Es el creador de una forma general de la "función P", que sirve para determinar las fuerzas generalizadas de disipación. El pro-fesor Wells es autor también de Lagrangian Dynamics, un título más de la serie Schaum.
HAROLD S. SLUSHER es profesor asistente de Física en la Univer-sidad de Texas (El Paso) y profesor de Ciencias Astronómicas en la Gradúate School del Institute for Creation Research, en San Diego (California). Slusher posee un doctorado en Ciencias de la Indiana Christian University y otro en Filosofía de la Columbia Pacific Uni-versity. Entre las investigaciones que ha publicado conviene mencionar las monografías dedicadas a la cosmogonía, cosmología y geocronología.
SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
TEORÍA Y PROBLEMAS
DE
FÍSICA
PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
Dare A. Wells, Ph.D.
Emeritus Professor of Physics Universtty of Cincinnati
Harold S. Slusher, D.Sc, Ph.D. Assistant Professor of Physics University of Texas at El Paso
TRADUCCIÓN Antonio Ortíz Herrera
Profesor de Física y Matemáticas
REVISIÓN TÉCNICA Miguel Irán Alcérreca Sánchez
Licenciado en Física y en Matemáticas Escueta Súpertor de Ftsica y Matemáticas, IPN
Investigador del Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares
McGRAW-HILL MÉXICO BOGOTÁ BUENOS AIRES GUATEMALA LISBOA MADRID
NUEVA YORK PANAMÁ SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO JOHANNESBURGO LONDRES MONTREAL
NUEVA DELHI PARÍS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO.
FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1984, respecto a la primera edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S. A. de C. V.
Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial Sn. Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 465
ISBN 968-451-605-3
Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM'S OUTLINE OF PHYSICS FOR ENGINEERING AND SCIENCE
Copyright © 1983, by McGraw-Hill Book Inc., U. S. A.
ISBN 0-07-069254-8
1234567890 I.P.-85 8012346795
Impreso en México Printed in México
Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1985 en Impresora Publi-Mex, S. A. Calzada San Lorenzo 279 Local 32 Col. Estrella Delegación Iztapalapa 09800 México, D.F.
Se tiraron 4 600 ejemplares
Prefacio
Los principios fundamentales de la Física, junto con algunas ramas de las Matemáticas, constituyen el pilar sobre el que descansan esa disciplina y todas las especialidades de la Ingeniería. Este libro se propone ante todo ayudar al estudiante de Ciencias e Ingeniería a conseguir, en poco tiempo y sin mucho esfuerzo, un buen conocimiento de los principios y métodos básicos.
Al preparar la obra nos hemos guiado por el siguiente criterio: un ejemplo específico y adecuado, resuelto en forma pormenorizada, constituye el mejor medio de ilustrar los principios de la Física y los procedimientos de las Mate-máticas. El problema resuelto es una manera muy didáctica de (por decirlo así) "explicar la explicación" de un libro de texto o de una lección. Es además un medio sumamente eficaz para despertar el interés de los alumnos por esa ciencia básica, no pocas veces sembrada de dificultades. Y esta opinión la comparten muchos de ellos.
Así pues, todos los capítulos (menos el primero en el cual se resumen las nociones esenciales) comienzan con una sucinta exposición de los principios de la Física y de sus nexos con las Matemáticas, como suele hacerse en esta clase de libros. Viene después un extenso conjunto de ejemplos, cuidadosa-mente seleccionados y graduados según su dificultad, que se resuelven paso a paso. Por últímo, para facilitar la autoevaluación se incluyen problemas espe-cíficos con su respuesta respectiva.
Un sincero testimonio de gratitud a nuestros ex alumnos cuyo interés y desinterés, deficiencias y aciertos nos estimularon mucho en la elaboración de esta obra y en la selección de los contenidos.
DARE A. WELLS HABOLD S. SLUSHER
Contenido
Capítulo 1 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS ......................................... 1 Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional 1.1 Escalares y vectores. 1.2 Representación gráfica de vectores. 1.3 Componentes de vectores. 1.4 Vectores unitarios. 1.5 Multiplicación vectorial. 1.6 Entidades físicas. 1.7 Análisis dimensional de unidades en ecuaciones físicas.
Capítulo 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE . ....................................................... 13 2.1 Definiciones de velocidad y aceleración. 2.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE ................................ 21
Capítulo 4 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO: INTRODUCCIÓN . 4.1 Leyes de Newtoh del movimiento. 4.2 Masa y peso. 4.3 Sis-temas de referencia. 4.4 Procedimiento para calcular las fuerzas y ace-leraciones.
31
Capítulo 5 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO, PROBLEMAS MAS AVANZADOS ........ .. 5.1 Centro de masa. 5.2 Sistemas de partículas que interactúan.
. Fuerzas de fricción. 5.4 Movimiento circular uniforme. 5.3
39
Capítulo6 CANTIDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO Y MOVIMIENTO RELATIVO .................................................. 51 6.1 Cantidad de movimiento lineal. 6.2 Impulso. 6.3 Conservación de la cantidad de movimiento lineal. 6.4 Movimiento relativo.
Capítulo 7 MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN UN PLANO ........................ ............... 61 7.1 (Rapidez) velocidad angular constante. 7.2 Movimiento angular con velocidad variable. 7.3 Movimiento a lo largo de una curva plana en general.
Capítulo 8 TRABAJO, ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIA ...................................... 73 8.1 Trabajo. 8.2 Energía. 8.3 Principio de equivalencia entre la energía y el trabajo. 8.4 Potencia.
Viii
Capítulo 9
Capítulo 10
Capítulo 11
Capítulo 12
Capítulo 13
Capítulo 14
Capítulo 15
Capítulo 16
Capítulo 17
Capítulo 18
CONTENIDO
ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA . . . 83 9.1 Fuerzas conservativas. 9.2 Energía potencial. 9.3 Conservación de la energía.
ESTÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ................................................ 91 10.1 Momento de torsión (torca). 10.2 Condiciones del equilibrio.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO .............................................. 105 11.1 Momento de inercia. 11.2 Teoremas relativos a los momentos de inercia. 11.3 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento. 11.4 Momentos de torsión y aceleración angular.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ............................................ 115 12.1 Cantidad de movimiento angular. 12.2 Principio del momento an-gular. 12.3 Conservación del momento angular.
GRAVITACIÓN ..................................................................................................... 123 13.1 Campo gravitacional. 13.2 Fuerza gravitacional. 13.3 Energía potencial gravitacional. 13.4 Leyes de Kepler. Órbitas. 13.5 Ley de Causs.
ELASTICIDAD Y MOVIMIENTO ARMÓNICO ......................................... 135 14.1 Elasticidad y la ley de Hooke. 14.2 Movimiento armónico simple. 14.3 Ecuaciones para el MAS. 14.4 Movimiento armónico amortiguado. 14.5 Energía potencial del movimiento armónico simple. 14.6 Movimiento de un péndulo simple.
ESTÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................... 145 15.1 Presión en un fluido. 15.2 Principio de Pascal. 15.3 Densidad. 15.4 Leyes de la estática de fluidos.
DINÁMICA DE FLUIDOS ............................................................................. 153 16.1 Algunas propiedades del flujo de un fluido. 16.2 La ecuación de continuidad. 16.3 Ecuación de Bernoulli.
GASES, MOVIMIENTO TÉRMICO Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................. 161 17.1 Ecuación de estado. 17.2 Movimiento térmico. 17.3 La primera ley de termodinámica.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ..................................... 171 18.1 Dilatación térmica. 18.2 Capacidad calórica. 18.3 Transferencia de calor.
CONTENIDO ix
C a p í t u l o 1 9 E N T R O P Í A Y L A S E G U N D A L E Y D E L A T E R M O D I N Á M I C A . . . . 1 7 9 19.1 Procesos reversibles. 19.2 Entropía. 19.3 Miqümas térmicas y refrigeradores. 19.4 Otros enunciados de la segunda ley de la termo-dinámica.
Capítulo 20 FENÓMENOS ONDULATORIOS ................................................................... 189 20.1 Función de onda. 20.2 Ondas sobre una cuerda extendida. 20.3 La onda sinusoidal. 20.4 Principio de la superposición dé ondas. 20.5 Ondas estacionarias.
Capítulo 21 ONDAS SONORAS ............ . 199 21.1 Velocidad del sonido. 21.2 Intensidad y volumen de las ondas sonó-ras. 21.3 El efecto Doppler.
Capítulo 22 CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB ........................................ 207 22.1 Carga eléctrica. 22.2 Fuerza entre cargad puntuales.
Capítulo 23 EL CAMPO ELÉCTRICO FORMADO POR CARGAS EN REPOSO .. 217 23.1 Definición general de E. 23.2 Principio de superposición para £.
Capítulo 24 FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS .......................... ... 225 24.1 Flujo eléctrico. 24.2 Ley de Gauss.
Capítulo 25 POTENCIAL ELÉCTRICO .................... .. 231 25.1 Energía potencial eléctrica. 25.2 Potencial eiéetrioo o voltaje. 25.3 Principio de superposición para ф. 25.4 Él electrón-volt.
Capítulo 26 CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA Y POTENCIA.................... 241 26.1 Corriente y densidad de corriente. 28.2 Ley de Ohm; resistencia. 26.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia. 20.4 Fuentes de ener-gía eléctrica. 26.5 Potencia eléctrica.
Capítulo 27 LEYES DE KIRCHHOFF DE CIRCUITOS RESISTIVOS ................. 251 27.1 Pasos preliminares. 27.2 Ley de Kirehhoff para corrientes. 27.3 Ley de Kirehhoff para circuitos cerrados, 27.4 Aplicación de las dos leyes.
Capítulo 28 FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................ 257 28.1 El campo magnético. 28.2 Fuerza sobre un alambre que transporta corriente. 28.3 Flujo magnético.
Ca pít u lo 29 FUE NTE S D E C AM PO MAG NÉ T ICO , , . . . . . . , . . . . . . . . , , . . . .............. 271 29.1 Campo magnético sobre una carga en movimiento. 29.2 Campo mag-nético sobre un filamento de corriente. 29.3 Ley circuital de Ampére.
x CONTENIDO
Capítulo 30 LEY DE FARADAY DE LA FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................. 281 30.1 FEM inducida. 30.2 Ley de Lenz.
Capítulo 31 INDUCTANCIA ................................................................................................... 291 31.1 Autoinductancia de una bobina. 31.2 Inductancia mutua de dos bobinas.
Capítulo 32 CAMPOS MAGNÉTICOS EN MEDIOS MATERIALES 299 32.1 Los tres vectores magnéticos. 32.2 Susceptibilidad magnética; per-meabilidad. 32.3 Circuitos magnéticos. 32.4 Densidad de energía.
Capítulo 33 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES ....................................................... 305 33.1 El circuito en serie R-L-C. 33.2 Analogías electromecánicas.
Capítulo 34 SOLUCIONES ESTACIONARIAS PARA CIRCUITOS SIMPLES CA .. 313 34.1 Circuito en serie. 34.2 Circuito en paralelo.
Capítulo 35 REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN DE LA LUZ ............ 323 35.1 Leyes de la reflexión y la refracción. 35.2 Polarización. 35.3 In-tensidad de la luz polarizada.
Capítulo 36 ÓPTICA GEOMÉTRICA .................................................................................. 331 36.1 Fórmula gaussiana de las lentes; fórmula de la amplificación. 36.2 Trazo de rayos.
Capítulo 37 INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE LA LUZ .................................. 339 37.1 Interferencia. 37.2 Difracción.
Capítulo 38 RELATIVIDAD ESPECIAL 349 38.1 Los dos postulados básicos. 38.2 Consecuencias de los postulados.
Capítulo 39 FOTONES .............................................................................................................. 357 39.1 Naturaleza dual de la luz. 39.2 Efecto fotoeléctrico. 39.3 Dis-persión de Compton. 39.4 Aniquilación de pares, producción de pares.
Capítulo 40 EL ÁTOMO DE BOHR ................................................................................. 363 40.1 Introducción. 40.2 Energía clásica del átomo. 40.3 Postulados del modelo de Bohr. 40.4 Niveles de energía. 40.5 Espectros ató-micos.
Capítulo 41 EL NÚCLEO ........................................................................................................ 371 41.1 Energía de amarre de los núcleos estables. 41.2 Desintegración radiactiva. 41.3 Reacciones nucleares.
ÍNDICE ................................................................................................................ 379
Capítulo 1
Repaso de conocimientos básicos
Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional
1.1. ESCALARES Y VECTORES
Las cantidades como tiempo, masa, densidad, trabajo y temperatura que tienen magnitud y carecen de dirección se denominan escalares. Se denotan con letras cursivas como A, B, m, t, ρ, Q, etcétera.
Otras como la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico que tienen magnitud y di-rección, se denominan vectores. Se indican con letras negritas como A, B, F, E, etcétera. Se re-quieren tres números para especificar un vector, y sólo se requiere uno para especificar un escalar.
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES
Cualquier vector, como la fuerza F en la figura 1-1(a) o la velocidad v en la figura l-l(b), se representa con una recta, La longitud de la recta, medida en las unidades convenientes(centíme- tros, pulgadas), representa la magnitud del vector ; y los ángulos que éste forma (con los ejes rectangulares X, Y, Z. por ejemplo), representan la dirección del vector.
EJEMPLO 1.1. La recta Oa de la figura 1-1 (a) representa una fuerza de 100 N que actúa sobre el punto O. Aquí la líneatrazada en el plano XY forma un ángulo de 57°con Ob.Observese que tanto la magnitud como la dirección F se representan con la recta Oa.
La recta Oa, trazada en el espacio tridimensional de la figura 1-1(b), representa la velocidad de un proyectil que se desplaza a 100 m/s. La longitud de Oa (100 unidades) indica la magnitud de v y θ1, θ2, θ3 proporcionan su dirección. Obsérvese que si los valores de cosθ1 y cosθ2 son dados, θ3 se obtinene a partir de
cos θ3 = ± 1-cos2 θ1-cos2 θ2
Fig. 1-1N
2 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1
Adición gráfica de vectores
En la figura 1-2, las fuerzas Ft y F2 actúan sobre el punto O. Las magnitudes y las direc-ciones se trazaron a la escala que se muestra. Ahora, para "sumar" estos vectores (esto es, para encontrar un único vector que sea completamente equivalente a los dos), se completa el parale-logramo (líneas punteadas) y se traza la diagonal, Esta línea, medida en las unidades de F1 y F2 representa la magnitud y la dirección del "vector suma" R que se escribe simbólicamente como
R = F1 + F2
EJEMPLO 1.2 Supóngase que un clavo está clavado en una tabla en el punto O de la figura 1-2. Al tirar de dos cuerdas atadas al clavo se ejercen fuerzas de 75 y 100 N en las direcciones de Oa y Ob. El clavo no "sentirá" la existencia de dos fuerzas, sino una sola fuerza R, cuya magnitud aproxi-mada es de R = 152 N y que forma el ángulo α≈ 35°. Por supuesto, dados F1, F2, y θ, se pueden calcular R y α, Pero únicamente nos interesan los métodos gráficos.
Flg. 1-2 Flg.1-3
EJEMPLO 1.3 Supóngase que el clavo del ejemplo 1.2 se reemplaza por un pequeño objeto que puede moverse libremente y que tiene una masa m = 0.2 kg. ¿Cuál es la aceleración a en el instante en que las fuerzas se aplican?
La fuerza neta y la aceleración se relacionan por R=ma. Por tanto, la magnitud de a es
α = 152 = 760 m/s2 0,2
y su dirección es la misma de R.
EJEMPLO 1.4 Si un aeroplano vuela con una velocidad de 152 m/s en la dirección Oc de la figura 1-2, equivale a que se desplazase simultáneamente en las direcciones Oa y Ob con velocidades de 75 y 100 m/s, respectivamente.
Sustracción gráfica
La sustracción de un vector significa que a éste se le invierte la dirección y se suma como anteriormente se indicó.
EJEMPLO 1.5 Dados R y F1 en la figura 1-2, encuéntrese F2. A partir de que R = F1 + F2, se encuentra que F2 = R F1. Como se indica en la figura 1-3, se
invierte la dirección de F1 y se suma a R completando el paralelogramo para encontrar F2.
EJEMPLO 1.6 Una lancha cruza un río a lo largo de la recta AB en la figura 1-4. Como se indica, la corriente del agua tiene una velocidad de 4 m/s. En aguas tranquilas la lancha viaja a una velocidad υ2 = 6 m/s. ¿Cuál es su rapidez υ3 a lo largo de AB? ¿En qué dirección será empujada la lancha (¿cuál es el valor de α?) y cuál es el tiempo entre A y B? (Observación: aquí se proporcionan la magnitud y la dirección de v1, la magnitud de v2, la dirección de v3. y la magnitud y la dirección del segmento AB; se deben encontrar α y la magnitud de v3,)
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 3
Fig. 1-4 Una solución gráfica se obtiene de la siguiente manera. Trácese: (1) el río y la línea AB a una
escala conveniente; (2) un círculo con radio de 6 unidades y cuyo centro se localice en un punto O de AB; (3) Oa de 4 unidades de longitud (esto es, − v1); ab, paralela a AB y que interseque el círculo en b; (4) bcparalela a Oa. Luego se determinan el ángulo α y v3 =Oc. A partir de medidas aproximadas, v3 = 3.0 m/s ya =s 35°. Puesto que
AB = (500)2+ (866)2= 1000 m
el tiempo entre A y B es 1000/3.0 = 333 s = 5.6 min.
1.3 COMPONENTES DE VECTORES
En la figura 1-5 las líneas punteadas perpendiculares que parten de P y que se dirigen hacia X y Y determinan la dirección y magnitud de las componentes vectoriales Fx y Fy de F. Las magnitudes de estas componentes, que son cantidades escalares, se escriben como Fx, Fy. Obsérvese que en la figura 1-2, F1 y F2 son las componentes Vectoriales de R tomadas a lo largo de las líneas oblicuas Oa y Ob, respectivamente. En la figura 1-6, Fx, Fy, Fz son las componentes vectoriales rectangulares de F; las componentes escalares se escriben como Fx, Fy, Fz.
Y
Fig. 1-5
Cálculo de las magnitudes de las componentes
En la figura 1-5 es claro que
Fx = F cos θ Fy = F sen θ
4 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1
En la figura 1-6, las componentes de F están dadas por
Fx = F cos θ1 Fy = F cos θ2 Fz = F cos θ3
O, por razones de comodidad, escribiendo cos θ1 = ℓ, cos θ2 = m, cos θ3 = n,
FX = F ℓ Fy = Fm Fz = Fn
A las letras ℓ, m y n se les denomina cosenos directores de F. Y se puede mostrar que
ℓ2 +m2+n2=1
Fig. 1-6
EJEMPLO 1.7 (a) Supóngase que F,en la figura 1-5 tiene una magnitud de 300 N y θ = 30°. Entonces
Fx = 300 cos30°= 259.8 N Fy = 300 sen30°= 150 N
(b) Supóngase que F = 300 N y θ = 145° (aquí F se encuentra en el segundo cuadrante).
Fx = 300 cos 145° = (300) (-0.8192) = -245.75 N (en la dirección negativa de X)
Fy = 300 sen 145° = (300) (+0.5736) = 172.07 N
EJEMPLO 1.8 En la figura 1-6 F representa una fuerza de 200 N. Sea θ1 = 60°, θ2 = 40°. Entonces,
ℓ = 0.5 m = 0.766 n = (1- ℓ2- m2)1/2 = 0.404 (tomando en cuenta que Fz es positiva; de otra manera, n = − 0.404), y las componentes rectangulares de F son:
Fx = (200) (0.5) = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N
Como una comprobación (1002 + 153.22 + 80.82)1/2 ≈ 200. Obsérvese que θ = 66.17°.
Adición de componentes
Para sumar A y B en la figura 1-7, se escribe A + B = R. A R se le denomina resultante o vector suma de A y B.
Las componentes de A y B son Ax = A cos α, Ay = A sen α, Bx = B cos ß, By = B sen β. Ahora bien, A y B se pueden reemplazar por estas componentes, y R es un vector que tiene las componentes rectangulares
Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 5
Dado que Rx y Ry forman un ángulo recto R = (R2
x + R2y)½ = [(Ax + Bx )2+ (Ay + By)2] ½
Los cosenos directores de R están dados por
ℓ = cos θ = Ax + Bx m = sen θ =
Ay + By n = 0
R
R
Encontremos ahora el vector suma de, por ejemplo, tres Vectores, F1; F2, F3, trazados a partir de O. Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, la magnitud de la resultante está dada por
R = (F1x + F2x+ F3x)2 + (F1y + F2y+ F3y)2+ (F1z + F2z+ F3z)2] ½
donde F1x es la componente X de F1, etcétera. Los cosenos directores de R están dados por
ℓ= m = n =
La magnitud y la dirección de la resultante de cualquier número de vectores trazados a par-tir de O se obtienen de la misma manera.
EJEMPLO 1.9 En la figura 1-7, sea A una fuerza de 50 N con α = 20° y B una fuerza de 80 N con β = 60°. Encuéntrese el vector suma.
Ax = 50 cos 20° = 46.98 N Ay = 50 sen 20°= 17.1 N Igualmente, Bx = 40 N, By = 69.28 N. Por tanto,
R = [(46.98 + 40)2 + (17.1 + 69.28)2]½ = 122.6 N
ℓ = = 0.709
m = 0.705 n = 0
Obsérvese que tan θ =
por lo cual θ ≈ 45°.
1.4 VECTORES UNITARIOS
Cualquier vector F se puede escribir así:
F = F e
donde F es la magnitud de F y e es un vector unitario (aquel cuya magnitud es 1) en la direc-ción de F. Esto es, la magnitud de F está indicada por F y su dirección es la de e. F tiene uni-dades (por ejemplo N, m/s), F tiene las mismas unidades; e es un vector adimensional.
Vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares
En la figura 1-6, se introducen los vectores unitarios i, j, k a lo largo: de X, Y, Z, respectiva-mente. Entonces, las componentes vectoriales de F se pueden escribir cómo Fxi, Fyj, Fzk. Dado que F es la resultante de sus componentes vectoriales, se obtiene una expresión muy importante
F = Fxi + Fyj + FzK En esta expresión, Fx = F cos θ1 = Fℓ, según se mostró anteriormente. También aquí la
magnitud y la dirección (esto es, los cosenos directores) se obtienen así:
F = (F2x + F2
y+ F2z)½
ℓ = m = n =
F1x + F2x + F3x R
F1y + F2y + F3y R
F1z + F2z + F3z R
46.98 + 40 122.6
17.1 + 69.28 46.98 + 40
≈ 1
Fx
F Fy
F Fz
F
6 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1
EJEMPLO 1.10 Refiriéndose al ejemplo 1.8 de la figura 1-6, donde
Fx = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N el vector F se puede escribir como
F=100i+153.2J + 80.8k
con magnitud F= (1002 + 153.22 + 812)1/2 = 200 N y dirección
ℓ = = 0.5 m =0.766 n = 0.404
Estrictamente se debería haber escrito
F = (100 N)i-(153.2 N)j +(80.8 N)k o F= 100i+153.2j + 80.8k N
pero por razones de simplicidad, se omiten las unidades cuando se expresa un vector en términos de sus componentes.
EJEMPLO 1.11. Las componentes rectangulares de un vector aceleración a son ax = 6, ay = 4, az = 9 m/s2. Por tanto, en notación vectorial
a = 6i + 4j + 9k
La magnitud de a es a = (θ2 + 42 + 92)1/2 = 11.53 m/s2, y los cosenos directores de a son
Expresión vectorial de un segmento de recta
La recta ab de la figura 1-8 está determinada por los puntos P1 y P2. Considerando el segmento de recta entre P1 y P2 como un vector s, se puede escribir
s = (x2 x1)i + (y2 - y,)j + (z2 z1)k con magnitud
y dirección ℓ =
s = [(x2 x1)2 + (y2 - y,)2 + (z2 z1)½]
Flg. 1-8
Un caso especial de esto es el llamado radio vector r, el segmento con origen en O y dirigi-do hasta el punto P(x, y, z).
r = xi + y j + zk con r - (x2 + y2 + z2)1/2 y
ℓ = x
m = y n =
z
r r r
m = n =ℓ =
100 200
6 11.53
11.53 4 9
11.53
x2 x1 s m = y2 y1
s n = z2 z1 s
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 7
1.5 MULTIPLICACIÓN VECTORIAL
Se deben considerar tres tipos de multiplicación. El método y la utilidad de cada uno se hará evidente a partir de los diversos ejemplos físicos y geométricos que se dan a continuación.
Multiplicación de un vector por un escalar
Un vector F se puede multiplicar por un escalar b. La cantidad bF es un vector que tiene una magnitud \b\ F (el valor absoluto de b multiplicado por la magnitud de F); la dirección de bF es la de F o − F, según que h sea positivo o negativo.
EJEMPLO 1.12. Considérese el vector velocidad
v=16i + 30j + 24k m/s con v = (162 + 302 + 242)1/2 = 41.62 m/s, cuya dirección está dada por ℓ = 16/41.62, etcétera.
Ahora multipliquemos v por 10: 10 v = 160i + 300j + 240k ≡ v1. Luego v1 = [(160)2 + (300)2 + (240)2]½ = (10)(41.62) = 10 υ
y los cosenos directores de v1, son
ℓ1 = 160 = 16 = ℓ (10)(41.62) 4L62
lo cual muestra que v1 tiene la dirección de v.
El producto escalar o producto punto
El producto punto de dos vectores cualesquiera, como F1 y F2 en la figura 1-2, se escribe F1 · F2 y se defne como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman. Esto es,
F1 F2 = F1F2 cos θ que es una cantidad escalar. En la figura 1-2, F1 = 75, F2 = 100, θ = 60°. Entonces,
F1 F2 = (75)(100)(0.5) = 3750
Producto punto de los vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z. Dado que i, j, k son mutua-mente perpendiculares y de magnitud unitaria, por definición de producto punto se obtiene que
i · i = j · j = k · k = l i · j = i · k = j · k = 0
Producto punto en términos de las componentes rectangulares. Escribiendo dos vectores cuales-quiera como
F1 = F1xi + F1y j + F2zk F2 = F2xi + F2y j + F3yk
Su producto punto está dado por
F1 F2 = (Flxi + F1yj + F1zk) (F2xi + F2yj + F2zk) El lado derecho se simplifica al aceptar la premisa de que se cumple la ley distributiva, y em-pleando los valores de i · i , etcétera, encontrados anteriormente.
F1 F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z Para mostrar que F1 F2 es justo la cantidad F1F2 cos θ, en donde θ es; el ángulo entre F1 y F2, al dividir y multiplicar el lado derecho por F1F2, se obtiene que
F 1 F 2 =F 1 F 2 = F 1 F 2 (ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 )
Ahora bien, la fórmula familiar para la adición en dos dimensiones
cos θ = cos (θ1 - θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2= ℓ1 ℓ2 + m1m2
se extiende para tres dimensiones como eos θ = ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 . Por eso lo anterior se transforma en F1F2 cos θ, y por consiguiente este método de multiplicación está de acuerdo con la de-finición de producto punto.
m1 = m n1 = n
F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z
F 1 F 2 + F 1 F 2 + F 1 F 2
8 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1
EJEMPLO 1.13. Sea F1 = 10i - 15j - 20k, F2 = 6i + 8j - 12k.
F1 F2 = (10)(6)+ (-15)(8)+ (-20)(-12) = 180
Obsérvese ahora que F1 = (102 + 152 + 202)1/2 = 26.93, F2 = 15.62. De aquí que el ángulo θ for-mado por F1 y F2 está dado por
θ = 64.66º
Desde luego, el mismo valor se puede obtener partiendo de cos θ = ℓ1 ℓ2+ m 1 m 2 + n 1 n 2 .
Proyección de cualquier vector a lo largo de una recta. La proyección del vector A = (Ax, Ay, Az) a lo largo de la línea determinada por el radiovector r = (x, y, z) es Ar = A cos θ, en donde θ es el ángulo formado por r y A, De la definición de producto punto,
A r = (Ar cos θ) = Arr
Por tanto,
= Axℓ + Aym + Azn
donde ℓ, m, n son los cosenos directores de la línea considerada. La expresión de Ar es válida aun cuando la línea no pase por el origen.
EJEMPLO 1.14. Encuéntrese la proyección de A = 10i + 8j - 6k a lo largo de r = 5i + 6j + 9k. Aquí r = (52 + 62 + 92)1/2 = 11.92 y
Producto vectorial o producto cruz
El producto cruz de dos vectores, como F1 y F2 en la figura 1-9, se escribe F = F1 x F2, se define como el vector F que tiene una magnitud
F = F1F2 sen θ
y una dirección igual a la dirección de avance de un tornillo de cuerda derecha cuando se atorni-lla de F1 a F2 un ángulo θ; aquí se supone que el eje del tornillo es normal al plano determinado por F1 y F2 (la regla del tornillo de cuerda derecha). O, si la punta de los dedos de la mano derecha giran de F1 a F2, el pulgar extendido apuntará en la dirección de F (regla de la mano derecha).
Obsérvese que de acuerdo con la regla de tornillo de cuerda derecha, F1 x F2 = (F2 x F1) Y
Producto Vectorial = A x B
Flg. 1-10 Flg. 1-9
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 9
Producto cruz de los vectores unitarios. Dado que i, j, k son mutuamente perpendiculares y de magnitud unitaria, se deduce de la definición de producto cruz que
i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j
j x i = - k k x j = - l i x k = - j
Producto cruz en términos de las componentes rectangulares. Dados dos vectores, como los de la figura 1-10,
A = Axi + Ayj+Azk B=Bxi+Byj+Bzk
su producto cruz es C = A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byi + Bzk)
Aplicando la ley distributiva al lado derecho y utilizando los valores de i x i, etc., encontrados anteriormente, se obtiene
C = A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k De manera equivalente, A x B se puede expresar como un determinante,
lo cual se puede verificar al desarrollar el determinante con respecto al primer renglón. Obsér-vese que las componentes X, Y, Z de C son
Cx = AyBz - AzBy Cy = (AzBx - AxBz) Cz = AxBy - AyBx
Por lo tanto, la magnitud de C es C = C2 + C2 + C2)1/2 y sus cosenos directores son x y z
El vector C es, por supuesto, normal al plano de los vectores A y B.
EJEMPLO 1.15. Suponiendo que los vectores A y B.en la figura 1-11 están en el plano XY deter-mínese la magnitud y dirección de C = A x B.
C = (200)(100) sen (55° - 15°) = 20 000 sen 40° = 12 855.75
y por la regla de la mano derecha la dirección de C es la de +Z. Vectorialmente se puede escribir C = 12 855.75k.
Fig. 1-11
10 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1
EJEMPLO 1.16. En la figura 1-10, sea A = 20i 10j + 30k y B = -6i + 15j - 25k. (a) Calcúlese la magnitud de A y B. (b) Encuéntrense los cosenos directores de A. (c) Obténgase el producto vecto-rial C = A x B. (d) Determínese la magnitud y dirección de C. (e) Calcúlese el ángulo θ formado por A y B. (f) Obténganse los valores de los cosenos directores ℓ2, m2, n2 de B, así como de los ángulos α21, α22, α23 formados por B y los ejes X, Y, y Z, respectivamente.
(a) A = (202 + 102 + 302)1/2 = 37.42 B = 29.77
(b)
(c) Aplicando la fórmula de determinantes,
C = i[(-10)(-25) - (15)(30)] - j[(20)(-25) - (30)(-6)] + k[(20)(15) - (-10)(-6)]
= -200i + 320j + 240k = 200(-i + 1.6 j + 1.2k) (d) La magnitud de C es
C = 200 (12 + 1.62 + 1.22)1/2 = 447.21
Los cosenos directores son
Obsérvese que C = C(ℓ3i + m3j + n3k).
(e) C=AB sen θ
447.21 = (37.42)(29.77) sen θ sen θ = 0.40145 θ= 23.67° B = -6i + 15j 25k = B(ℓ2i + m2j + n2k)
Entonces Bℓ2 = -6 Bm2 = 15 Bn2 = -25
B = (62 + 152 + 252)1/2 = 29.766 ℓ2 = -0.2016 m2 = 0.5039 n2 = -0.8399
Los ángulos correspondientes son α21=101.63° α22 = 59.74° α23 =147.13°
1.6 ENTIDADES FÍSICAS
He aquí las entidades o cantidades físicas que tienen importancia en el tratamiento de los campos generales de la mecánica, la electricidad y el magnetismo: masa, longitud, tiempo, velo-cidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, carga eléctrica, voltaje, y muchas más.
De todas éstas, cuatro y sólo cuatro, masa, longitud, tiempo, y corriente eléctrica (o carga, como se verá más adelante), se consideran entidades básicas e independientes. Todas las otras se definen por medio de relaciones sencillas de las básicas y se denominan cantidades derivadas.
Entidades básicas
De acuerdo con la práctica moderna, el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza en todo el texto, excepto donde se indique lo contrario. En este sistema, los nombres, símbolos y definiciones de las unidades correspondientes son:
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 1 1
Longitud: metro (m) = la longitud de 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de cierta línea espectral del kriptón-86.
Masa: kilogramo (kg) = la masa de un cilindro específico de platino-iridio que se conserva en Sévres, Francia.
Tiempo: segundo (s) = la duración de 9 192 631 770 periodos de oscilación de cierta línea espectral del cesio-133.
Corriente eléctrica: ampere (A). Considérense dos alambres paralelos, finos y muy largos, situados a 1 metro de distancia entre sí en el vacío, conectados en serie y que portan una corriente eléctrica estacionaria I. Supóngase que I se ajusta hasta que la fuerza magnética por metro de longitud sobre cada alambre sea exactamente 2 x 10-7 newtons. Este valor de I se define como un ampere.
Carga eléctrica: coulomb (C) se define como la cantidad de carga por segundo que pasa a través de la sección transversal de un alambre en el cuál existe una corriente estacionaria de un ampere. Éste es aproximadamente igual al valor de la carga total de 6.2419 x 1018 electrones.
Dado que coulombs = amperes x segundos, resulta claro que los amperes y los coulombs no son independientes, por lo que aquí hay que hacer una elección; cada uno de ellos se puede tratar como independiente. El otro debe entonces considerarse como cantidad derivada.
Longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica (o carga) a menudo se denominan dimensiones físicas. Para el tratamiento de temas relacionados con la temperatura, la luz y la intensidad luminosa y
la entidad molecular, la mole, las correspondientes unidades independientes se definen en los capítulos siguientes.
Entidades derivadas
Una entidad derivada es la que se define en términos de dos o más entidades básicas. Ejemplos: velocidad lineal = longitud/tiempo; aceleración = longitud/tiempo2; fuerza = (masa x longi-tud)/tiempo2. Estas relaciones son válidas sin importar las unidades que se empleen.
Cuando se introducen unidades específicas, pueden obtenerse las correspondientes relaciones dimensionales. Por ejemplo, utilizando unidades del SI,
De igual manera, comenzando con la definición fundamental de cualquier cantidad derivada, se puede conocer la correspondiente expresión dimensional.
1.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES EN ECUACIONES FÍSICAS
Una ecuación física expresa matemáticamente las relaciones que existen entre las cantidades físicas. La importancia del análisis dimensional se deriva del hecho de que cada término por separado en una ecuación física debe representar la misma entidad física; ambos deben ser di-mensionalmente iguales. Si esto no sucede, la ecuación será errónea. Y para la correcta solución de un problema, a lo largo del proceso de solución todos los términos se deben de expresar en las mismas unidades básicas.
Velocidad: u = ds ; u d relación, u = m dt s
Aceleración: a = du ; u d relación, a = m dt S2
Fuerza: a = F =Ma; u d relación, F = Kg m
= N
S2
Trabajo: W = ∫ F ds; u d relación, W =N m= Kg m = J.
S2
12 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1
Para hacer una comprobación dimensional se reemplaza por m cada símbolo que representa la longitud en metros; la masa en kilogramos, por kg; el tiempo en segundos, por s; la velocidad en metros sobre segundo, por m/s; la aceleración en metros sobre segundos, por m/s2; la fuerza en newtons, por (kg m)/s2, etcétera. Después de reducir los términos, una ojeada basta para saber si la ecuación es dimensionalmente correcta. Si existen constantes en la ecuación sus dimen-siones deben conocerse a partir de consideraciones previas y ser tomadas en cuenta. Debe no-tarse el hecho de que si una ecuación es dimensionalmente correcta esto no garantiza que la ecuación sea intrínsecamente correcta. Diversos ejemplos relacionados con el análisis dimensio-nal sé encuentran en los capítulos siguientes.
Capítulo 2
Movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante
2.1 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
La velocidad promedio, υprom, es una cantidad escalar. Una partícula que recorre una distan- cia s (por decir algo, de a a b en la figura 2-1) en un tiempo t, lo hace con una velocidad pro-medio dada por
υprom = O s = υpromt (2.1)
Fig.2-1
La velocidad lineal instantánea, υ (una cantidad vectorial), se define como (Fig. 2-1)
v = lím
∆t→0 ∆r = dr ∆t dt
O dado que r = xi + yj + zk , donde x, y, z, son las coordenadas rectangulares de la partícula en P1 en la figura 2-1; i, j, k son vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z; y para mayor comodidad dx/dt se escribe como x etcétera. Obsérvese que v es tangente a la trayectoria en P1. Las unidades para v (asi como las de υprom) son m/s.
Aceleración lineal instantánea, a (un vector) es el cambio instantáneo del vector velocidad v con respecto al tiempo. Refiriéndose a la figura 2-2, la partícula en P1 tiene velocidad v1. En un tiempo corto, ∆t, su velocidad en P2 es v2. El cambio en la velocidad es ∆v = v2 v1, y la acele- ración instantánea en P1 es
v = lím ∆t→0
∆v = dv∆t dt
s t
14 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2
Fig.2-2
O bien, a partir de (2.3) se puede escribir
(25) Las unidades de a son m/s2.
Desde la ecuación (2.2) hasta la (2.5), todas son expresiones generales de la velocidad lineal y la aceleración lineal en un movimiento tridimensional. Y son, por supuesto, aplicables a ca-sos especiales, como lo serían el movimiento a lo largo de una recta, el movimiento en un plano, el movimiento sobre la superficie de una esfera, y otros de ese tipo.
2.2 MOVIMIENTO BECTIL1NEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Cuando a es constante en magnitud y dirección, y cuando el movimiento es a lo largo de la línea de acción de a, se puede asignar una dirección positiva a lo largo de esta línea (ya sea en la dirección de a o en la dirección de a) y trabajar únicamente con números en lugar de vec-tores. Se tienen así las siguientes relaciones:
(2.6)
donde υprom es la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a t, y donde υ0 y s0 son la velocidad y la distancia en t = 0.
En la mayor parte de los problemas se eligen los ejes de coordenadas de tal manera que s0 = 0. Por lo tanto, para el movimento a lo largo de X, con la partícula inicialmente en el origen, (2.6) se transforma en
Aceleración gravitacional. Todo cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración decreciente aproximadamente constante de g = 9.8 m/s2.
CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 15
Problemas resueltos
2.1. La partícula que se muestra en la figura 2-3 se desplaza a lo largo de X con una aceleración constante de 4 m/s2. Al pasar por el origen, en la dirección + de X, su velocidad es 20 m/s. En este problema el tiempo t se mide a partir del momento en el que la partícula se encuentra por vez primera en el origen, (a) ¿En qué distancia x' y tiempo t', υ = 0? (b) ¿En qué momento la partícula se encuentra en x = 15 m, y cuál es su velocidad en ese punto? (c) ¿Cuál es su velocidad en x= +25? ¿Én x = 25 m? Trátese de encontrar la velocidad de la partícula en x = 55 m.
(a) Aplicando
0 = 20+(4)t′ o t' = 5s
Entonces
O a partir de que 0 = (20)2 + 2(4)x′ o x'=50m
(b)
Resolviendo esta ecuación cuadrática,
Por lo tanto t1 = 0.8167 s, t2 = 9.1833 s, donde t1 es el tiempo entre el origen y x = 15 m, y t2 es el tiempo para ir desde O hasta más allá de x = 15 m y regresar a este punto. En x = 15 m,
y (t) = at3/2 bt + c
Obsérvese que la rapidez es igual en ambos casos.
(c) En x = +25 m, υ2 = (20)2 + 2(-4)(25) o υ = ±14.1421 m/s
y en x = 25m, υ2 = 202 + 2(-4)(-25) o υ = 24.4949 m/s
(¿Por qué se debe descartar la raíz υ = +24.4949?) Suponiendo que x = 55 m, υ2 =202 + 2(-4) (55), de donde υ = +√40. Es de espe-
rarse el valor imaginario de υ dado que x nunca es mayor que 50 m.
16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2
2.2. Un automóvil de retropropulsión parte del reposo en x = 0 y se mueve en la dirección + de X con una aceleración constante de x = 5 m/s2 durante 8 s hasta que se termina su com-bustible. Y luego continúa con velocidad constante. ¿Qué distancia recorre el automóvil en 12 s?
La distancia a partir de O cuando el combustible se agota es de
2.3.
y en este punto v = (2ax1)1/2 = 50.5964 m/s. Por lo que la distancia recorrida en 12 s es x2 = x1 + υ (12 - 8) = 160 + (50.5964)(4) = 362.38 m
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, desde la azotea de una torre que tiene una altura de 50 m (véase la figura 2-4). A su regreso no pega contra la torre y cae hasta el suelo, (a) ¿Cuánto tiempo t1 transcurre desde el instante en que la bola es lanzada hasta que pasa a la altura de la azotea de la torre? ¿Qué velocidad tiene en ese momento? (b) ¿Qué tiempo total t2 tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad υ2 llega? (a) En el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 2-4, y = vot + 1/2 at2. Pero
en la azotea y = 0, y entonces
por lo cual t1 = 0, lo que indica el instante en el cual la pelota es lanzada, e igualmente t1 = 4.0816 s, tiempo en que se eleva y regresa a la altura de la azotea. Entonces, dado que υ = υ 0 + at,
υ 1 = 20 + (-9.8)(4.0816) = -20 m/s
que es el negativo de la velocidad inicial.
(b) o t2 = 5.8315 s
υ2 = 20 + (-9.8)(5.8315) = 37.15 m/s
Fig. 2-4
2.4. Refiriéndose al problema 2.3 y la figura 2-4, (a) ¿cuál es la altura máxima, desde el suelo, a la que llega la pelota? (b) Los puntos P1y P2 se encuentran a 15 y 30 m por debajo de la azotea de la torre. ¿En qué intervalo la pelota viaja de P1 a P2? (c) Se necesita que,
CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 17
después de pasar por la azotea, la pelota llegué al suelo en 3 s. ¿Con qué velocidad debe ser lanzada hacia arriba desde la azotea?
(a) Máxima altura desde el piso: h = ymáx + 50. Si se sabe que υ 20 + 2a ymáx= 0,
Por tanto, h = 70.4082 m.
(b) Si t1 y t2 son los tiempos para arribar a P1 y P2 respectivamente,
-15 = 20 t1 - 4.9t 21 y -30 = 20 t2 - 4.9 t 22
Resolviendo, t1 = 4.723 s, t2 = 5.248 s, y el tiempo de Pt a P2 es t2 t1 = 0.519 s.
(c) Si υi es la velocidad inicial deseada, entonces υ1, es la velocidad que alcanza después de pasar a la altura de la azotea (¿por qué?). Entonces, aplicando
para la caída de la azotea al suelo, se incluye que
-50= (-υi)(3)-4.9(3)2 o υi = 1.967 m/s
2.5. Una pelota que parte del reposo cae bajo la influencia de la gravedad durante 6 s, mo-mento en el que atraviesa un vidrio plano horizontal rompiéndolo y perdiendo 2/3 de su velocidad. Si luego llega al suelo en 2 s, encuéntrese la altura del vidrio por encima del suelo.
Partiendo de v = vot +1/2 at2, la velocidad justo antes de golpear el vidrio es
v1 = 0- 4.9(6)2 = -176.4 m/s
y, por tanto, la velocidad después de pasar a través del vidrio es (l/3) υ1 = 58.8 m/s. Entonces
-h = (-58.8)(2) -4.9(2)2 h = 137.2 m
2.6. Un plano inclinado, como el de la figura 2-5, forma un ángulo θ con la horizontal. Un sur-co OA hecho sobre el plano forma un ángulo α con OX. Un cilindro pequeño y liso se des-liza libremente hacia abajo por el surco bajo la influencia de la gravedad, habiendo partido del reposo en el punto (x0, y0). Obténgase: (o) su aceleración a lo largo del surco, (b) el tiempo que le toma llegar a O, (c) su velocidad en O. Sea. θ = 30°, x0 = 3 m, y0 = 4 m.
Flg.2-5
18 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2
(a) La componente de g paralela a OY es g sen θ; de aquí que la componente a lo largo del surco sea a = g sen θ sen α. De donde
a = (9 .8 ) (0 .5 ) (0 .8) = 3 .92 m/ s 2 .
(b)
donde Entonces
y sen θ = 0.5
o t = 1.597 s
(c) v = 0 + (3.92)(1.597) = 6.26 m/s
2.7. Una cuenta (véase la figura 2-6) se desliza libremente hacia abajo por un alambre l iso que une a los puntos P1 y P2 que se encuentran en un círculo vertical de radio R. Si la cuenta parte del reposo en P1 el punto más alto del círculo, calcúlese (a) su velocidad υ al llegar a P2; (b) el tiempo que tarda en llegar a P2 y muéstrese que este tiempo es el mismo para cualquier cuerda trazada desde P1.
(a) La aceleración de la cuenta al descender por el alambre es g cos θ y la longitud del alambre es 2R cos θ. Por tanto,
(b)
que es la misma sin importar en qué lugar del círculo se encuentre P2.
Flg.2-6 Flg.2-7
2.8. El cuerpo 1 de la figura 2-7 parte del reposo desde la cima de un plano inclinado liso y en el mismo instante el cuerpo 2 es lanzado hacia arriba desde el pie del plano con una velocidad tal que ambos cuerpos se encuentran a mitad de camino en el plano. Determínense (a) la velocidad de lanzamiento y (b) la velocidad que tienen los cuerpos al encontrarse.
(b)
CAPITULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 19
(a) En un tiempo común t, el cuerpo 1, recorre una distancia
y el cuerpo 2 recorre una distancia.
sumando estas dos ecuaciones obtenemos ℓ = v02 t o t = ℓ/ v02. Sustituyendo este valor de en la primera ecuación y despejando v02, se obtiene
Problemas complementarios
2.9. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s desde la cornisa de un acantilado que tiene una altura de 110 m. Despreciando la resistencia del aire, calcúlese el tiempo que la piedra tarda en llegar a la base del acantilado. ¿Con qué velocidad llega? Respuesta: 11.93 s; -76.89 m/s
2.10. Un protón en un campo eléctrico, uniforme se mueve en línea recta con aceleración constante. A partir del reposo alcanza una velocidad de 1000 km/s en una distancia de 1 cm. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Qué tiempo requiere para alcanzar dicha velocidad? Respuesta: (a) 5 X 1013 m/s; (b) 2 x 10-8 s
2.11. Se hace que un objeto se desplace a lo largo del eje X de tal manera que su desplazamiento está dado por
x = 30 + 20t 15t2
donde x se expresa en m y t en s. (a) Encuéntrenle tas expresiones para la velocidad x y la ace-leración x . ¿La aceleración es constante? (b) ¿Cuáles son ía posición; inicial y la velocidad inicial del objeto? (c) ¿En qué tiempo y a qué distancia del origen su velocidad es cero?(d) ¿En qué momento y en qué lugar su velocidad es -50 m/s? Respuestas: (a) x = 20 30t; x = -30 m/s2 = constante (c) t = 0.66667 s, x = 36.6667 m
(b) xo = 30 m, x o = 20 m/s (d) t = 2.3333 s, x = -5 m
2.12. Un hombre corre con una velocidad de 4 m/s para alcanzar y abordar un autobús que se en cuentra estacionado. Cuando el hombre se halla a 6 m de la puerta (en t = 0, el autobús avanza y continúa con una aceleración constante de 1.2 m/s2. (a) ¿Cuánto tardará el hombre en alcanzarla puerta? (b) ¿Si al comienzo se encuentra a 10 m de la puerta podrá darle alcance corriendo con la misma velocidad? Respuestas: (a) 4.387 s; (b) no
2.13. Una camioneta avanza con una velocidad constante de 21 m/s. El conductor ve un automóvil detenido justo adelante a una distancia de 110 m. Después de un "tiempo de reacción" de ∆t, acciona los frenos, los cuales dan a la camioneta una aceleración de 3 m/s2. (a) ¿Cuál es el máximo ∆t permisible para evitar el choque y qué distancia se moverá la camioneta antes de que se accionen los frenos? (b) Suponiendo un tiempo de reacción de 1.4 s, ¿qué tan lejosdel automóvil se detendrá la camioneta y en cuántos segundos a partir del momento en el que el conductor ve por primera vez el automóvil? Respuestas: (a) 1.7381 s, 36.5 m; (b) 7.1 m, 8.4 s
ℓ (0) t + 1 (g senθ)t2 2 2
ℓ v02 t + 1 (- g senθ)t2 2 2
20 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 2
2.14. Una pelota parte del reposo desde la orilla de una hondonada profunda. Supóngase que la resisten- cia del aire le proporciona una aceleración de byú , donde y se mide positivamente hacia abajo. (Esta aceleración negativa es proporcional a su rapidez, yú; la constante positiva b se encuentra experimentalmente.) La pelota tiene una aceleración total de byú + g, y por tanto
yú = byú + g (1)
que es la ecuación diferencial del movimiento, (a) Muéstrese por diferenciación y sustitución que
y = k (ebt - l) + (g/b)t (2)
es una solución de ( 1 ) para un valor arbitrario de la constante k y que (2) da y = 0 para t = 0. (b) Muéstrese a partir de (2) que
yú = kbebt + g/b (3) Dado que en t = 0, yú = 0, pruébese que k = g/b2. Muéstrese a partir de (3) que si i → ∞, yú → g/b; esto es, la velocidad llega a un valor tal que la aceleración debida a la resistencia del aire neutraliza la aceleración positiva de la gravedad, y entonces yú = 0. (c) Supóngase que b = 0.1 s-1, para encontrar la distancia a la que cae y la rapidez con la que llega después de 10 s. (d) Muéstrese que después de 1 minuto la pelota habrá llegado esencialmente a su velo-cidad terminal de 98 m/s. Respuesta: (c) 360.522 m, 61.95 m/s
2.15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el origen de los ejes (se considera a Y + hacia arriba), con una velocidad inicial yú 0. Suponiéndose, como en el problema 2.14, una aceleración bÿ debida a la resistencia del aire, se tiene que
ÿ = - b yú g (1) Obsérvese que cuando yú cambia de signo, también lo hace b yú ; de aquí que ( 1 ) sea válida para el movimiento hacia abajo, al igual que para el movimiento hacia arriba, (a) Muéstrese que
y = k (ebt - l) (g/b)t (2)
es una solución de (1) para cualquier valor de k. (b) Muéstrese que yú = kbebt g/b y, dado que yú = yú 0 en t = 0, demuestra que (c) Suponiendo que b = 0.1 s-1 y que yú 0 = 50 m/s, encuéntrense la altura y la rapidez para t = 3 s. (d) ¿Qué tiempo tardará la pelota en llegar a su máxima altura y cuál es ésta? (Indicación: ln 1.51 = 0.41211.) (e) Muéstrese que sin la resistencia del aire la pelota llegaría a una altura máxima de 127.55 m en 5.10 s. (f) Sustituyendo en (2), compruébese que el tiempo para subir y tocar tierra es de aproximadamente 8.9 s. Respuesta: (c) 89.59 m, 11.64 m/s; (d) 4.121 s, 96 m
Capítulo 3
Movimiento en un plano de una partícula con aceleración constante
Las relaciones (2.1) a (2.5) son aplicables a los tipos más generales de movimiento de una partícula (o de un punto), ya sea a lo largo de una línea, en un plano o en el espacio, y para el cual la aceleración a puede ser constante. En el caso especial del movimiento en un plano con aceleración constante, las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración se reducen a:
en las cuales x y Ø son constantes cada una. Las magnitudes y direcciones de estos vectores es-tán dadas por
donde β y α son los ángulos que forman v y X, y a y X.
Las expresiones de la velocidad v y el desplazamiento r (el vector de posición de la partícu-la), en términos del tiempo t, se encuentran por integración y son:
en las cuales v0 y r0 son los valores de v y r en t = 0. Las componentes escalares de (3.5) y (3.6) proporcionan un conjunto de relaciones de la forma de (2.6) para cada coordenada:
El hecho de que a tenga magnitud y dirección constantes no implica que el movimiento se
realice a lo largo de una recta. En general, la partícula se desplaza a lo largo de una parábola. Esto es fácil de apreciarse al encontrar los ejes coordenados tales que uno de ellos, X por ejemplo, sea paralelo a a y tal que la partícula se encuentre en el origen cuando t = 0. Entonces, las primeras dos ecuaciones (3.7) se transforman en
Cuando se elimina t de éstas, el resultado es
22 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3
que es la ecuación de una parábola (véase la figura 3-1). En el caso especial de que yú 0 = 0, la trayectoria es una recta: el eje X.
Problemas resueltos
3.1. Un proyectil (véase la figura 3-2) es disparado hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 200 m/s a un ángulo θ = 60°. (a) Encuéntrese la posición y velocidad del proyectil 10 s des-pués del disparo, (b) Calcúlese la altura máxima h y el tiempo en el que llega a esta posición, (c) Obténgase el tiempo total de vuelo y el alcance R. Dedúzcase una expresión general para R. (d) Escríbase una ecuación de la trayectoria, (e) ¿Cuál es la velocidad del proyectil cuando se encuentra a una altura y = 1000 m?
Primero obsérvese que La aceleración de la gravedad es g = 9.8 m/s2 en la dirección negativa del eje Y. Enton-
ces x = 0, Ø = 9.8 m/s2. (a) Aplicando (3.7),
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 23
La magnitud de la velocidad es v = [(100)2 + (75.2)2]1/2 = 125.12 m/s; la dirección está dada por
(b) Cuando y = h, yú = 0 = yú 0 gt. Entonces t = yo/g = 17.67 s, y
(c) AI pegar en el suelo, y = 0. Entonces
Luego R = xú ot =. (100) (35.35) = 3535 m. Como antes, el tiempo de vuelo es Entonces
(d) Eliminando t de porque x = xú ot se obtiene que
como ecuación de la trayectoria. Alternativamente, la trayectoria está dada por (3.8), con x y y reemplazadas por y y x, respectivamente.
(e) Por (3.7), xú 2 = xú 20 y yú
2 = yú 20 - 2gyú . Por lo que v2 = xú 2 + yú
2 = v 20 - 2gy = (200)2 - 2 (9.8)
(1000) = 2.04 X 104/s2 ó v = 143 m/s. La dirección de la velocidad está dada por
o β = 45.6°. (¿Por qué existen dos valores para el ángulo?)
3 . 2 . Una pelota es arrojada hacia arriba desde la azotea de una torre de 35 m, véase figura 3-3, con velocidad inicial v 0 = 80 m/s a un ángulo θ = 25° . ( a ) Encuéntrense el tiempo que tarda en llegar al piso y la distancia R desde P al punto de impacto, ( b) Calcúlense la magnitud y la dirección de la velocidad en el momento del impacto.
(a) En el punto de impacto, y = 35 m y x = R. A partir de
24 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3
t = 7.814 s. Entonces x = R = (80 cos 25°) (7.814) = 566.55 m. (b) En el momento del impacto, y = 80 sen 25° - (9.8) (7.814) = - 42.77 m/s y xú - xú 0 =
80 cos 25° = 72.5 m/s. Entonces v = (42.772 + 72.52)1/2 = 84.18 m/s y
3.3. Un proyectil (véase la figura 3-4) es disparado hacia arriba con velocidad u0 a un ángulo θ. (a) ¿En qué punto P(x, y) choca contra la azotea del edificio y en cuánto tiempo? (b) En-cuéntrese la magnitud y la dirección de v en P. Sea θ = 35°, v0 = 40 m/s, α = 30°, y h = 15m.
Primero obsérvese que y, de la ecuación para la azotea,
(a) Eliminando t de y = yú ot 4.9t2 mediante x = xú ot, se tiene que
para la trayectoria del proyectil. Igualando y en (1) a y en (2) y sustituyendo los valores numéricos,
0.004564 x2- 1.277558x + 15 = 0
por lo cual x = 12.28 m. Entonces y = h - (12.28) tan α = 7.90 m. El tiempo para chocar contra la azotea está dado por
12.28 = 32.7661t o t= 0.375 s
(b) En P, Entonces v = (xú 2 + yú 2)1/2 = 38.0 m/s y tan β = yú / xú = 0.588, o β = 30.46°, donde β es el ángulo que forma v con X en P.
3.4. En el problema 3.3 se puede ajustar el ángulo θ. Encuéntrese el valor de θ cuando el pro-
yectil choca con la azotea en un tiempo mínimo. De nuevo
CAPÍTULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DÉ UÑA PARTÍCULA 25
Igualando estas dos expresiones para y y eliminando x al utilizar x = xú ot = (v0 cos θ)t, se ob-tiene la siguiente ecuación para el tiempo en el que el proyectil choca con la azotea:
o utilizando la fórmula de la adición, sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α, para un t mínimo, se debe tener dt/dθ=0. Derivando (1) con respecto a θ y estableciendo dt/dθ=0, se obtiene
lo cual implica que (dado que tmín ≠ 0)
cos(θ + α) = 0 o θ = 90°¬ α Este resultado significa que el proyectil debe ser apuntado en la dirección de la distancia
mínima, como si no existiera la aceleración de la gravedad. Sin embargo, la gravedad no puede ignorarse en este problema. Si se trate de determinar el valor de tmín al sustituir θ + α = 90° en (1) y resolver, se obtiene
que es complejo si v0 < √2gh cos α. En otras palabras, si v0 < √2gh cos α, el proyectil nunca llegará a la azotea, por lo que tanto el valor de 8 como el concepto de tiempo mínimo dejan de tener sentido.
3.5. Haciendo referencia a la f igura 3-5, el proyecti l se dispara con una, velocidad inicial v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 23°. La camioneta se mueve a lo largo de X con una velocidad constante de 15 m/s. En el instante en que él proyectil, se dispara, la parte tra-sera de la camioneta se encuentra en x = 45 m. (a) Encuéntrese el tiempo necesario para que el proyectil pegue contra la parte trasera de la camioneta si ésta es muy alta, (b) ¿Qué pasaría si la camioneta tuviera únicamente 2 m de alto?
(a) En este caso, el proyectil golpea la parte trasera de la camioneta en el momento de alcan-zarla, o sea cuando la distancia respecto a la parte trasera de la camioneta es,
x1 = 45+15t y es igual a la distancia horizontal cubierta por el proyectil,
26 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 3
(b) En t = 2.61 s, cuando el proyectil alcanza la parte trasera de la camioneta, su altura es
o sea 27 cm por encima del techo de la camioneta. Dado que el proyectil se mueve más rápido horizontalmente que la camioneta, es claro que después de esto aquél permanece por delante de la parte posterior de la camioneta, y nunca la golpeará en esta parte.
El proyectil alcanzará (en el segundo intento) una altura de 2 m en un tiempo total t2 dado por
esto es, 2.635 2.614 = 0.021 s después de alcanzar la parte trasera de la camioneta, por lo que el proyectil pega contra el techo de la camioneta a una distancia de
(32.22 15)(0.021) = 0.36 m = 36 cm desde la orilla posterior.
3.6. Con base en el problema 3.5(a) encuéntrese el valor de u0 cuando el proyectil golpea a la camioneta en y = 3 m, si todas las demás condiciones permanecen iguales.
El tiempo necesario para alcanzar la parte trasera de la camioneta está dado por
Sustituyendo los valores numéricos de sen θ y cos θ, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática para v0:
Resolviendo, V0 = 25.27775 m/s.
3.7. Una partícula que se mueve en el plano YX tiene componentes X y Y de velocidad dadas por
xú = b1 + c1t yú = b2+c2t (1) donde x y y se miden en metros y f en segundos, (a) ¿Cuáles son las unidades y dimensio-nes de las constantes b1 y b2? ¿De c1 y c2? (b) Intégrense las relaciones anteriores para ob-tener x y y como funciones del tiempo, (c) Denotando la aceleración total como a y la velo-cidad total como v, encuéntrense las expresiones de la magnitud y la dirección de a y v. (d) Escríbase v en términos de los vectores unitarios.
(a) Una ojeada a ( 1 ) muestra que b1 y b2 deben representar velocidades en metros por segundo (m/s); dimensionalmente c1 y c2 deben ser |m/s2| y, por tanto, aceleraciones.
(b) donde x0, y0 son los valores de x y y en t = 0.
(c) Al diferenciar ( 1 ) con respecto a t, x = c1, y = c2. Entonces
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 27
donde a es el ángulo que forma a con X. Obsérvese que a es constante en magnitud y di-rección. Para la velocidad, donde β es el ángulo que forma v con X.
(d) v = (b1 + C1t)i + (b2+C2t)j
3.8. Refiérase a la figura 3-6. Un proyectil es disparado desde el origen con una velocidad inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 30°. Otro proyectil se dispara en el mismo instante desde un punto sobre X que se encuentra a una distancia x0 = 60 m desde el origen, con una velocidad inicial v2 = 80 m/s a un ángulo θ2. Se desea que los dos proyectiles choquen entre sí en algún punto P(x, y), (a) Determínese el valor necesario de θ2. (b) ¿En cuánto tiempo y en qué punto chocarán? (c) Encuéntrense las componentes de la velocidad de cada uno en el momento del impacto.
(a) Sean (x1, y1) (x2, y2) las coordenadas del primero y segundo proyectiles, respectivamente,
en cualquier tiempo t. Entonces
Para que choquen y1= y2 (e igualmente x1 = x2). Entonces
28 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3
(c)
En realidad, yú 1 = yú 2 (¿por qué?); la diferencia aparente es un error de redondeo.
3.9. Una pelota, B1; es disparada hacia arriba desde el origen de X, Y con velocidad inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 40°. Después de t = 10 s, como se puede fácilmente mos- trar, la pelota se encuentra en el punto P(x1, y1), donde x1 = 766.0444 m, y1 = 152.7876 m. Cierto tiempo después, otra pelota, B2, se dispara hacia arriba, también desde el origen, con velocidad v2 a un ángulo θ2 = 35°. (a) Encuéntrese un valor de v2 tal que B2 pase por el punto P(x1, y1). (b) Calcúlese cuándo debe ser disparada B2 para que las dos pelotas cho- quen entre sí P(x1, y1).
(a) Sean P(x1, y1, t1) las coordenadas y el tiempo de B1 y (x2, y2, t2) las de B2. Dado que B2 debe pasar por el punto P(x1, y1).
por lo que v2 = 105.69313 m/s.
(b) Sustituyendo el valor de v2 en x2 = (v2 cos 35°)t2 = 766.0444, se encuentra que t2 = 8.84795 s. Por tanto, con v2 = 105.69313 m/s y θ2 = 35°, B2 pasa por P(x1, y1)8.84795 s después de que se dispara. Pero B1 llega a este punto 10 s después de ser disparada. Por tanto, si las dos tienen que chocar, el disparo de B2 debe retrasarse 10 8.84795 = 1.152 s.
Problemas complementarios
3.10. Una pelota es lanzada verticalmente desde un punto situado en un lado de una colina que tiene pendiente uniforme hacia arriba con un ángulo de 28°. Velocidad inicial de la pelota: v0 = 33 m/s, a un ángulo θ = 65° (con respecto a la horizontal). ¿A qué distancia hacia arriba de la pendiente caerá la pelota y en cuánto tiempo? Respuesta: 72.5 m; 4.59 s.
3.11. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial v0 = 95 m/s a un ángulo θ = 50°. Después de 5 s pega contra la cima de una colima. ¿Cuál es la elevación de la colima por encima del punto de disparo? ¿A qué distancia horizontal del arma aterriza el proyectil? Respuesta: 241.37 m; 305.32 m.
3.12. Rehágase el problema 3.4 en un sistema de coordenadas con ejes perpendiculares y paralelos a la azotea. Muéstrese que la condición v2
0 ≥ 2gh cos2 a tiene una interpretación simple en este sistema.
3.13. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por
x = 25 + 6t2 y = -50-20t + 8t2 (a) Encuéntrense los siguientes valores iniciales: (b) Calcúlense la magnitud y dirección de a, la aceleración de la partícula. (c) Obténgase una ecuación para la trayectoria de la partícula (encuéntrese y en función de x).
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UÑA PARTÍCULA 29
3.14. En la figura 3-7 las partículas a de un pequeño trozo de material radiactivo pasan a través de la rendija S hacia el espacio existente entre dos placas metálicas paralelas y muy grandes, A y B, conectadas a una fuente de voltaje. En virtud del campo eléctrico uniforme entre las placas, cada partícula tiene una aceleración constante s = 4 X 1013 m/s2 normal y hacia B. Si v0 = 6 X 106 m/s y θ= 45°, determínense h y R. Respuesta: 22.5 cm; 90 cm
3.15. El arreglo en la figura 3-8 es el mismo de la figura 3-7, excepto porque las partículas α entran en la rendija S desde dos fuentes, A1 y A2 a ángulos θ1 y θ2, respectivamente. v0 y a son las mismas para ambos grupos. Sabiéndose que v0 = 6 X 106 m/s, a = 4 X 1013 m/s2, θ1 = 45° + 1°, θ2 = 45° - 1o, muéstrese que todas las partículas están "enfocadas" en un sólo punto P. Encuéntrense los valores de R, h1, y h2 h1 Respuesta: R = 89.945 cm; h1 = 23.285 cm; h2 h1 = 2.114 cm
3.16. Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 15 m/s a un ángulo de 30° con
la horizontal. El lanzador se encuentra cerca de la cima de una colina que tiene una pendiente hacia abajo con un ángulo de 20°. (a) ¿Cuándo chocará la pelota contra la pendiente? (b) ¿Qué tan lejos cae hacia abajo de la pendiente? (c) ¿Con qué velocidad pega? (Especifíquense las com-ponentes, horizontal y vertical.)
Respuestas: (a) 2.495 s después del lanzamiento (b) 34.50 m, medidos hacia abajo (c) xú = 13.824 m/s, yú = 16.96 m/s
30 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3
3.17. Un bombardero (figura 3-9) vuela rasante a una velocidad v1 = 72 m/s a una altura de h = 100 m. Cuando se encuentra justo encima del origen deja caer la bomba B que choca contra la camio- neta T, que se mueve a lo largo de un camino plano (el eje X) con velocidad constante v2. En el momento en el que la bomba es liberada la camioneta está a una distancia x0 = 125 m de O. Encuéntrense el valor de v2 y el tiempo de vuelo de B. Respuesta: 44.33 m/s (casi 100 mph); 4.51754 s.
3.18. Una partícula se mueve en el plano XY y a lo largo de la trayectoria dada por y = 10 + 3x + 5x2. La componente X de la velocidad, xú = 4 m/s, es constante, y en t = 0, x = x0 = 6 m. (a) Expré- sense y y x como funciones de t. (b) Encuéntrense y0 y yú 0. (c) Encuéntrense Ø y x , las compo-nentes de la aceleración de la partícula. Respuestas: (a) y = 208 + 252t + 80t2, x = 4t + 6; (b) 208 m, 252 m/s; (c) ÿ = 160 m/s2, x = 0.
3.19. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por
x=10+12t-20t2 y = 25 + 15t + 30t2
(a) Encuéntrense los valores de x0, xú o; y0, yú o. (b) Calcúlense la magnitud y dirección de v0. (c) Encuéntrense x , Ø, y a. (d) ¿El movimiento es a lo largo de una recta?
3.20. Considérese que el movimiento de una partícula está dado por
x = 5+10t +17t2 + 4t3 y= 8+9t + 20t2-6t3
(a) Encuéntrense las expresiones de x , Ø. (b) ¿Es éste un caso de movimiento con aceleración constante, como en todos los problemas anteriores? Respuestas: (a) x = 34 + 24t, y = 40 36t;
(b) a no es constante porque sus componentes tampoco lo son.
Capítulo 4
Leyes de Newton del movimiento: introducción
4.1 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
1a. Ley: Cualquier cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uni-forme a menos que sea afectado por fuerzas externas y desequilibradas que cambien dicho estado.
A partir de esta ley la fuerza se define como cualquier cosa que cambie o tienda a cambiar el estado de movimiento de un objeto. Igualmente, la primera ley de Newton implícitamente define los sistemas inerciales de coordenadas (véase la sección 4.3).
2a. Ley. Si sobre un cuerpo de masa m actúan varias fuerzas y a es su aceleración observada en un sistema inercial de coordenadas, entonces
ΣF=ma
donde Σ F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En el caso especial de que la fuerza resultante sea cero, la segunda ley de Newton nos dice que
a = 0, lo cual implica que la velocidad del cuerpo es constante en magnitud y dirección. 3a. Ley: Si el cuerpo 1 ejerce una fuerza F2 sobre el cuerpo 2 y éste ejerce una fuerza F1 sobre
aquél, entonces estas fuerzas son iguales y opuestas sin importar que otras actúen sobre los dos cuerpos:
F1 = -F2 De acuerdo con la tercera ley de Newton, ninguna fuerza ocurre por sí misma. Las fuerzas de
acción y reacción nunca están desequilibradas, debido a que son ejercidas sobre cuerpos diferentes.
4.2 MASA Y PESO
La propiedad que un cuerpo tiene de resistir cualquier cambio en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme recibe el nombre de inercia. La inercia de un cuerpo está rela-cionada con lo que se podría llamar en términos poco estrictos, "cantidad de materia" que con-tiene. Una medida cuantitativa de la inercia es la masa.
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre ese cuerpo, Un cuerpo de masa m tiene un peso w = mg en un lugar donde la aceleración gravitacional es g.
4.3 SISTEMAS (MARCOS) DE REFERENCIA
Existen ciertos marcos de referencia, llamados sistemas inerciales, en relación con los cuales cualquier partícula tiene un vector velocidad constante cuando está libre de fuerzas externas.
EJEMPLO 4.1. El sistema de referencia atribuido a las "estrellas fijas" generalmente se toma como un sistema inercial. Cualquier otro es inercial si y sólo si su velocidad con respecto a este sistema específico es constante.
32
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1.6 m.
obre los piesa dirección p
el sistema de
[CAPITULO
sin fricción,una masa m
ancia horizonl. Dos hombrespecto al
ón en la cuerd
o,
de un hombositiva se tom
referencia es
O 4
, se muy ntal bres
de
da
bre ma
el
CAPÍTULO
4.7. Un pátierravista
Emiento
Por lofue so
4.8. Refiédesde
4]
ájaro que vue X, Y (Fig. 4por el pájaro
En el sistema do del gusano e
o que la aceleroltado desde e
rase al probl el suelo, (b)
LEYES DE
ela con una a-6), deja caeo?
de coordenadaes
ración del gusel reposo). La
ema 4.7 y laVerifíquese q
NEWTON D
aceleración cr un gusano
as no inercial
ano es constaa pendiente de
figura 4-6(aque las dos d
DEL MOVIM
constante a0,de su pico. ¿
X', Y' del páj
ante y su trayee la recta con
a). Determíneescripciones
MIENTO
, en relación¿Cuál es la tr
aro (Fig. 4-6)
ectoria es una n respecto a la
ese la trayectde la trayecto
con el sisteayectoria del
), la ecuación
recta (supona horizontal e
toria del gusaoria sean equi
35
ma de la l gusano,
de movi-
niendo que es
ano vista ivalentes.
36
4.9. Udes
4.10. Ldft
(a) En el sisteinicial xú tiempo s
y la traye
(b) Supóngaseavanzado(x, y) y (x
La trayec que es un
Un pequeño desechado paempuje que asupóngase qu
En la fig
La suma redo. Por tanto,
Los objetos Adible. Deben figura 4-8. Ltrese la tensi
LEYE
ema X, Y del s= v0, donde v0e le denota t
ectoria es una
e que en t = 0o una distancix', y') del gusa
ctoria en el sis
na recta con p
dirigible desara que el diractúe hacia aue la fuerza
ura 4-7 las ec
sulta ser ,
A y B, cada umoverse en u
Los objetos sión en la cuer
S DE NEWT
suelo el gusan0 es la rapidez= 0). De aqu
parábola.
0 los dos sisteia vot + 1/2aot2
ano en los dos
stema X', Y' s
pendiente g/a
sciende con urigible se elevarriba sobre ade empuje es
cuaciones de m
descendie
ascendie
uno con masa un anillo sin e sueltan delrda justo des
TON DEL MO
no tiene una ac del pájaro en
uí que
emas de coord2 a lo largo des sistemas está
se obtiene sus
a0, como se en
una aceleracive con la misaquél y que ss la misma en
movimiento s
endo
ndo
m, están confricción en u
l reposo en lspués de que
OVIMIENTO
celeración con el momento e
denadas coinciel eje X, de taán relacionada
stituyendo las
ncontró en el
ión a. ¿Qué csma aceleracsea igual al pn ambos caso
on
nectados por uun plano vertas posicionese sueltan.
O
nstante Ø = -gen que suelta e
iden. En el tiel manera que
as por
expresiones
l problema 4.
cantidad de lión o? Existepeso del aireos.
la masa de
una cuerda ligical, como se
es que se mue
[CAPITULO
y una velocidel gusano (a e
empo t, O' halas coordenad
(2) en ( I ) :
7.
lastre debe se una fuerza que desplaz
l lastre desech
gera e inextene muestra en estran. Encué
O 4
dad ste
(1)
abrá das
(2)
er de
za;
ha-
n- la én-
CAPITULO
Emanermismfuerza
4.11. Un cuposic
dondfuerz
4.12. En la
F1 = 4
4.13. Poco de 22Respu
4.14. Para muna fumasa
O 4]
En el momentra que, como a magnitud aa horizontal d
uerpo con mión es
e α, β, γ son za que actúa
a figura 4-9 s4i N y F2 = 2
después de sa5 N ejercida puesta: 674.64
medir la masauerza neta hode la caja? Re
LEYES DE
o en que se sse observa, la dado que de
de A y la fuer
masa m se mu
constantes, (sobre él?
se muestra un2j N. Calcúle
Problealtar desde un por el aire. EnN, hacia abaj
a de una caja, orizontal de 1espuesta: 50 k
E NEWTON D
sueltan, A debas dos aceleraotra manera l
rza vertical de
ueve a lo lar
(a) Calcúlese
n bloque conese la aceler
emas comaeroplano, un
ncuéntrese la fo.
ésta es empuj50 N. Se obsekg
DEL MOVIM
be moverse hociones inicialela cuerda se ee B, en las po
rgo de X de t
e la acelera
n masa de 4 kación del blo
mplementn hombre de 9fuerza resultan
jada a lo largoerva que la ac
MIENTO
orizontalmentees son tangencencogería. Poosiciones que
tal manera q
ación del cu
kg sobre el coque.
tarios
91.8 kg sientente sobre el ho
o de una superceleración es
e y B verticalmciales. Más aúr tanto, la ecu se indican, s
que en el tiem
uerpo, (b) ¿C
cual actúan d
una fuerza haombre.
rficie lisa, ejede 3 m/s2. ¿C
37
mente de tal ún, tienen la uación de la son
mpo t su
Cuál es la
dos fuerzas,
acia arriba
rciéndose Cuál es la
38
4.15. Ufa
4.16. Uyf
4.17. Lec(
418.
dq
4.19. SecR
4.20. Tst(
4.21. ¿
N
Un baúl de 40fuerza que actal vector velo
Una fuerza rey a un cuerpofuerza si las d
La cabeza deen un leño; la contacto) es(b) la distanci
Un cuerpo c
v
donde a, b, c sque actúa sobr
Supóngase quen contacto socalcúlese: (a) Respuestas: (
Tres bloques se muestra entienen una ace(b) Calcúlese
¿Qué fuerza, acelere, y (b) N. Respuesta
LEYE
0 kg se desliztúa sobre el bcidad del baú
sultante de 20o con masa mdos masas mar
4 kg de un mduración del i de 0.0020 s. ia que la estac
con masa m se
v1 = 20 - 4(0.816
son constantere él? Respues
ue los bloqueobre una supela aceleración
(a) 0.75 m/s2;
idénticos, ca la figura 4-10eleración de 4la tensión en
además de F1tenga una ace
as: (a) -4i -2
S DE NEWT
a por el suelobaúl sea constúl. Respuesta:
0 N proporcio' una aceleracrchan juntas?
martillo se muimpacto (o el Encuéntrense
ca penetra en
mueve a lo la
67) = +16.7332 m
s, (a) Calcstas: (a) 3/4at
es A y B tieneerficie horizonn del sistema, ; (b) 4.5 N o -
da uno con m0. Supóngase 4 m/s2 bajo la cada una de
1 y F2, se debeleración de 42j N; (b) -
TON DEL MO
o y se frena detante, encuént 20 N, opuest
ona a un cuerpción de 24 m/Respuesta: 6
ueve a 6 m/s tiempo en el qe (a) el tieel leño. Resp
argo de Y de ta
m/s v2
cúlese la acelet -1/2; (b) 3/4m
n masas de 2ntal y lisa. S(b) la fuerza q
-1.5 N.
masa de 0.6 kgque yacen sob acción de unlas cuerdas. R
e aplicar al c4 m/s2 a lo larg16i -2j N
OVIMIENTO
e 5 m/s a 2 mtrense la magnta a la velocid
po con masa m/s2. ¿Qué acel m/s2.
cuando golpque se detienempo promediuestas: (a) 1
al manera que
= 20 - 4(9.1833
eración del cumat -1/2
kg y 6 kg, reSi los empuja que el bloque
g, están unidobre una super
na fuerza F. (aRespuestas:
cuerpo en la fgo de -X? Sup
O
m/s en 6 s. Supnitud y la dir
dad
m una aceleraleración prop
ea una estacae el martillo deio de la fuerza12 kN; (b) 6
en el tiempo
3) = -16.7332 m
uerpo, (b) ¿C
espectivamenuna fuerza hode 2 kg ejerc
os por cuerdarficie lisa y hoa) Encuéntrese(a) 7.2 N; (b
figura 4-9 parpóngase que F
[CAPITULO
poniendo que ección relativ
ción de 8 m/sorcionará est
a para clavarlespués de hacea de impacto, mm
t su posición e
m/s
uál es la fuerz
nte, y que estáorizontal de 6 e sobre el otro
s ligeras, comorizontal, y que el valor de Fb) 2.4 N, 4.8 N
ra que: (a) noF1 = 4 N y F2 =
O 4
la va
2, a
la er
es
za
án N,
o.
mo ue F. N
o se = 2
s
5
p
dc
cccta
5
dae
5
ceoa
Le
En este c
se estudia pa
5.1 CENTR
El centro posición rcm d
donde M = mconsiderar qu
El centro cuerpo se ha centro de gracoinciden en todos los proactúa sobre s
5.2 SISTEMEn un sist
donde ΣFext eacm es la aceespecificado
5.3 FUERZCuando d
componente Nen contacto. opone a la teaproximadas
donde µk y µs
eyes de
apítulo, la s
ara varios sist
RO DÉ MASA
de masa dedado por
m1 +m2 + . . .ue toda la made gravedadconcentrado.
avedad sin teun campo gr
oblemas. El psu centro de g
MAS DE PARtema de part
s únicamenteeleración del
qué partícul
ZAS DE FRICdos objetos eN normal a laA esta última
endencia de urelacionan f
s son los coef
Newtonm
egunda ley d
temas físicos
A
e un sistema
+ mn. Él ceasa está concd de un cuerp. Un cuerpo render a girarravitacional
peso de un cugravedad.
RTÍCULAS Qtículas que in
e la suma vectcentro de m
las "están inc
CCIÓN están en conas superficiea se le denomuna superficicon N:
ficientes de f
n del momás avan
de Newton d
s, cada uno c
de partícula
ntro de masacentrada, de apo es el puntorígido se puer. El centro duniforme y a
uerpo se pued
QUE INTERnteractúan,
torial de las fumasa. Al aplicluidas en el
ntacto, la fues en contacto
mina fuerza de a deslizars
fricción cinét
ovimiennzados
del movimien
con su propia
as con masas
a dé un cueracuerdo con o en el cual sde suspender
de gravedad ambos se puede considerar
RACTÚAN
fuerzas externicar (5.2) a usistema y cu
erza ejercidao y una compde fricción y e sobre la ot
tica y estática
C
nto: pro
nto de una p
a función de f
m1; m2,..., m
po es el pun(5.2).
se considera r en cualquiey el centro deden tratar cor como una f
nas, M es la mun sistema cuáles están ex
por uno sobponente f, par
está dirigidatra. Las sigui
a, respectivam
Capítu
oblemas
partícula,
fuerza F.
mn tiene un v
nto en el que
que el peso dr orientación
de masa de uomo idéntico
fuerza hacia a
masa total del omplejo debxcluidas.
bre el otro tralela a las sua de tal maneientes leyes e
mente.
ulo 5
s
vector de
se puede
de todo el n desde su un cuerpo os en casi abajo que
sistema y be quedar
tiene una uperficies era que se empíricas
40
Laentre estáticlímiteesto úun poc
Nosuperfsimilaun poctanto eque edeformfricció
5.4
Alley de
dondepartícudirigidcircula
5.1.
a fricción estsí. Cuando u
ca inicialmene que la fricciltimo ocurre,co más peque
o debería exisficies en conar se aplana uco. Una fuerzella como la existe cierto mación. Los cón por desliz
MOVIMIEN
l aplicarse a ue Newton se
e Σ F es la fueula, ω es la dda hacia adear, se denom
Localíces
LEYE
tática se preuna fuerza crnte se incremión estática n, la fuerza de feño que el vastir una friccintacto de un un poco cuandza de resistencsuperficie so movimientocoeficientes dzamiento.
NTO CIRCUL
una partícula qtransforma e
erza radial rede rotación deentro (radial)
mina fuerza ce
se el centro d
ES DE NEW
senta entre dreciente se a
menta para evno puede excfricción cinéalor máximo ón de rodamiobjeto que r
do descansa scia, fricción dobre la cual so relativo ede la fricción
LAR UNIFO
que se mueveen
esultante dirige la partícula ), que debe sentrípeta. Vé
Proble
de masa del si
WTON DEL M
dos superficiaplica a un ovitar el moviceder, y el obtica permanede la fricció
iento, dado qrueda sobre osobre una supde rodamientoe mueve se d
entre las sup de rodamien
RME
e en un círcul
gida hacia el y se mide en
ser aplicada péase la figura
emas resu
istema de tres
MOVIMIENT
ies que se enobjeto en repmiento. Finabjeto comenzece casi constn estática.
que no existe motro. En realiperficie, con lo, surge cuan
deben deformperficies de
nto son mucho
lo con una vel
centro del círn radianes porpara mantene5-1.
ueltos
s partículas (p
TO
ncuentran enoso, la fuerz
almente alcanzará a movertante en un va
movimiento ridad, una ruelo cual ella m
ndo la rueda gmar continuam
contacto mo más pequeñ
locidad const
rculo y v es lar segundo (raer un cuerpo
pe se muestra
[CAPITUL
n reposo relatza de la friccnza cierta fuerse. Una vez alor que suele
relativo entreeda o un cue
misma se defogira, debido a mente y debidmotivado porños que los d
tante, la segu
(
a velocidad dad/s). Esta fueo en movimie
a en la figura
O 5
tivo ción erza que
e ser
e las erpo rma que
do a r la
de la
unda
(5.4)
de la erza ento
5-2.
CAPITULO
5.2. Un blode unade 120velociel blobloque(a) E
(b) La
Po
5.3. Dos cuuna pola distdistan
(a) La
5]
oque de 10 ka cuerda. Lue0 N. (a) Encidad del cenque de 20 ke de 10 kg?scójase la dir
a diferenciaci
or tanto, desp
uerpos con molea fija y listancia a que ncias recorrid
as ecuacione
LEYES DE
kg y otro de ego se empujcuéntrese la ntro de masag tiene una v
rección +X co
ión de (5.1)
pués de 2 s,
masas de 10 ysa, figura 5-se mueven edas por los c
es de las fuer
NEWTON D
20 kg se couja el bloque
aceleración a después de velocidad de
omo este. Ent
con respecto
y 12 kg se co3(a). Encuénn 3 s. (c) Si d
cuerpos en lo
rzas sobre c
DEL MOVIM
locan sobre de 20 kg hacdel centro d2 s es de 8
e 6 m/s hacia
tonces
o al tiempo re
onectan por mntrense (a) ldespués de 3os siguientes
ada cuerpo s
MIENTO
una mesa liscia el este code masa de lm/s hacia ela el este. ¿C
esulta ser
medio de unaas velocidad
3 s se corta las 6 s. Véase
son
sa y se unenon una fuerzaos dos bloqul este. En es
Cuál es la ve
a cuerda quedes después da cuerda, calla figura 5-
41
n por medio a horizontal ues. (b) La e momento locidad del
(5.5)
pasa sobre de 3 s y (b) cúlense las 3(6).
42
5.4. Useqc
t
Las dos aciones deecuacione
Dado que
El cuerpo
(b) La distan
(c) Si se corty v20 = 2.Para el c
El cuerpo
antes de dde detene
. Luego, e
La distan
Un cuerpo cose ata una cextremo de laque se muevecuerpos 1, 2 y
Dado quetanto, Para cada cupositiva:
LEYE
aceleraciones e fuerzas la des sé obtiene
e la aceleraci
o 1 se mueve
ncia que reco
ta la cuerda, l67 m/s; en cauerpo 1, la di
o 2 recorre hac
detenerse y lueerse es
el cuerpo 2 rec
ncia total que
on masa m3 seuerda delga
a mesa. Los oen verticalmy 3, y las ten
e las longitude
erpo se escrib
ES DE NEWT
son de igual dirección del
ón es constanv = v0
hacia abajo y
orre cada cuer
os cuerpos cada caso se tomistancia en 6
cia arriba una
ego cae. El tiem
corre durante
recorre el cu
d = d'+
e mueve sobrda e inelást
otros extremoente. Véase siones de las
es de las cuerd
be la segunda
TON DEL M
magnitud permovimiento s
nte, la rapidez
0+at = 0 + (0.89y el cuerpo 2
rpo en 3 s e
aen librementema la direcciós es, entonce
distancia
mpo que el cu
5.73 s hacia
uerpo 2 es, ent
+d" = 0.4 + 159
e una mesa liica que pasa
os de las cuerla figura 5-4
s cuerdas.
das son fijas, x
a ley de Newt
MOVIMIENTO
ro tienen direcse toma como
z común desp9)(3) = 2.67 m/k
se mueve hac
es
e con velocidaón inicial del mes
erpo 2 tarda en
abajo una dis
tonces
9.2 = 159.6 m
isa y horizona sobre una rdas se atan a4. Encuéntren
x + y2 = const
on y arbitrari
O
cciones opueso positiva. Su
pués de 3 s esk cia arriba.
ades iniciales movimiento c
n desplazarse h
stancia de
ntal. A cada upolea lisa c
a cuerpos connse las acele
tante y y1 + y2
iamente se esc
[CAPÍTULO
tas. En las ecumando esas d
v10 = 2.67 m/somo positiva.
hacia arriba an
uno de sus ladcolocada enn masas m1 y meraciones de
2 = constante;
coge una dire
O 5
cua-dos
s .
ntes
dos un
m2, los
por
ección
CAPITUL
Ahor
figurtamb
5.5. En eluna mbles.
aB, a
encu
Calcu
E
Al suse ob
5.6. Un cverticcuerpunifo¿Cuá
EEl jal
LO 5]
ra se tienen ci A partir de lara 5-4 se debbién a3 debe se
l sistema de pmasa de 1 kg EncuéntreseDenótense yA
ac son. las acelSiguiendo la c
uentra en el ce
ulando la segu
Existe sólo un
Tustituir m = 1btiene
uerpo con mcal y se compo se encuenormemente mál es la velocEn el tiempo lón en la cade
LEYES D
nco ecuacione
a ecuación de le invertir; en
er invertida.
poleas que se cada una. De la tensión e
A, yB, yc, las peraciones en e
cuerda desde eentro de B, se
unda derivada
na cuerda y, p
T+mg-2T= ma kg y resolve
masa de 400 kienza a jalar
ntra en reposomás pequeño cidad del cue
t, sea y la alena es, entonc
DE NEV^TON
es de las cinco
las aceleracion tanto que si
e muestra en y E son poleen la cuerda osiciones de el tiempo t: el extremo queobtiene
a con respecto
aA + a
por tanto, una
aA T+er las cuatro e
kg se suspendhada arriba
o y el jalón da razón de 3
erpo cuando ltura (en metrces
T= (6
N DEL MOV
o incógnitas a1
nes se observi m2 > m1, a1
la figura 5-5eas fijas. Lasy la aceleraclos centros de
e se encuentra e
o al tiempo de
aB + 2ac = 0
tensión T. La
mg-2T=maB
cuaciones par
de, del extremverticalment
de la cadena "360 g (N) por
ha sido alzaros) del cuerp
6000-360y)g
VIMIENTO
1, a2, a3, T1, T
a que si m1 > se ¿debe inv
5 las poleas m cuerdas son
ción de las poe las poleas A
en el centro de
e, esta ecuació
as ecuaciones
B mg-2ra las cuatro i
mo inferior dte (véase la f"es de 6000 gr cada metroado a 10 m?po por encim
T2. Resolviend
m2, la direccivertir; en este
móviles A, B verticales e oleas.
A, B, C en el t
e A hasta el ex
ón, se obtiene
de fuerza son
2T= maC incógnitas aA,
de una cadenfigura 5 6). Ag (N). El jaló que se alza
ma de su posic
43
do,
ión de a2 en lae último caso
B, C tienen inextensi-
tiempo t; aA,
tremo que se
e
n
, aB, ac, T,
na ligera y Al inicio el ón se hace al cuerpo.
ción inicial.
a o
44
y
Esig
Se
0 Luinne
5.7. EnB
Pe
D
la segunda le
sta ecuación sgualdad 2ÿ =
ea V la veloc
La elecció≤ y ≤ 10, lauego, dado qu
ntervalo de integativa.
n la figura 5-. El coeficien
Si el bloquero el movimi
Dado que el va
LEYES
ey de Newton
T-40se puede transd(v2)/dy. Ento
idad a la altur
ón del signo a fuerza neta ue el cuerpo ptegración, la d
7 encuéntresnte de fricció
ue no cae, la fuiento horizont
alor máximo
S DE NEWT
n da
0g = 400ÿsformar en unonces
ra de 10 m. E
+ para V(5600 - 360
parte del repodirección del
se la aceleracón estática en
uerza de friccital del bloque
de f/N es µs,
ON DEL MO
o (5na para y = v
Entonces, inte
V (movimieny)g, es positi
oso, V será pomovimiento s
ción que requntre el bloqu
ión f se debe ee está dado po
se debe tener
OVIMIENTO
5600 - 360y)g = (la velocida
grando
nto hacia arriiva y, por tanositiva. Comose debe invert
uiere el carroe y el carro e
equilibrar conor N = ma. Po
r que a ≥ g/µ
O
= 400ÿ ad del cuerpo
iba) debe ser
nto, la acelerao la fuerza catir y la veloci
para evitar qes µs.
n el peso del br tanto,
s si el bloque
[CAPITULO
o) al utiliza
r comprobadaación tambiénmbia de signodad final deb
que caiga el b
loque: f = mg
e no cae.
5
arse la
a. Para n lo es. o en el bió ser
bloque
.
C
5
CAPITULO 5
5.8. Un plaSi de 9.2 m/µk = 0la mesque el
(o) E El
(b) Ena
5.9. Si al s
las fuE
Por ta
5]
ato de comidrepente se t/s2 [Fig. 5-8.75. Encuéntsa al plato, cmantel cubr
En la figura 5
l plato se desln el momentola misma dist
istema que seerzas sobre l
En la figura 5-9anto, las fuerz
LEYES DE N
da está sobreira del mant(a)]. El coefrense (a) la a
cuando el exte exactamen
5-8(b), la ecu
iza, dado que o en que el botancia del bor
e muestra en a esfera, sup9(b), ΣFver ==as que actúan
NEWTON D
e un mantel,tel en sentidficiente de faceleración; (tremo del ma
nte la cubierta
uación dé fue
x p es menor qrde del mante
rde de la mesa
la figura 5-9oniendo que
= R1 cos 30° -n son
DEL MOVIM
con su centdo vertical cfricción ciné(b) la velocidantel pasa baa de la mesa.
rza para el p
que 9.2 m/s2.el se encuentra:
9(a) se le prono hay friccw = maver= 0
MIENTO
tro a 0.3 m don una aceltica entre el
dad; (c) la disajo el centro .
lato es
a en el centro
porciona unaión. y Σ Fhor = R2
del borde deeración conl mantel y elstancia del exdel plato. Su
,
o del plato, am
a aceleración
R1 sen 30°
45
la mesa stante de l plato es xtremo de upóngase
mbos están
n, obténgase
= ma.
46
5.10. EplDce
n la figura 5-parte de este úa cual se des
Después de qcuando únicael bloque 3 ti
En la fig
Resolviendo segunda ecuax = 1/2at2, est
En el in+ (ℓ/16), do
LEYE
-10(a) el bloúltimo. Supóplaza y que e
que el sistemaamente la cuaienen masas
gura 5-10(b)
simultáneameación, a2 = (gto es,
stante en el quonde ℓ es la lo
ES DE NEWT
que 1 tiene uóngase que noel coeficientea es liberado,arta parte del iguales.
las ecuacione
ente la primer/4)µk. Luego,
ue la cuarta pongitud del bl
TON DEL M
un cuarto de lo existe fricce de fricción , encuéntrese bloque 1 per
es de movimi
ra y la tercera e los desplazam
arte del bloquloque 2. Por t
MOVIMIENT
la longitud deión entre el bcinética entre
e la distancia rmanece sobr
ento son
ecuaciones semientos de lo
ue 1 permanecanto,
TO
el bloque 2 ybloque 2 y la e los dos bloqque ha recor
re el bloque
obtiene a1 = (s bloques 1 y
ce sobre el blo
[CAPITULO
y pesa una cu
superficie soques es µk = rrido el bloqu2. El bloque
(g/2)(l µk); d2 están dados
oque 2, x2 + ℓ
O 5
uarta obre 0.2. ue 2 1 y
de la s por
= x1
CAPITULO
5.11. Dos 5-ll(ala m
dondsuelo
A
Enton
y, fin
5.12. El pl
Mué
dond
partiy
O 5]
cuerpos, cona). Si la masaesa. SupóngaEn la figura 5
de N y f son o sobre la mesA partir de es
nces,
nalmente,
lano inclinadoéstrese que el
de µs = tan θ
Si el bloque n
ir de éstas,
LEYES DE
n masas m1 y a de la mesa case que la me5-11 (b) las e
las componensa. stas dos ecuac
o que se muebloque se de
es el coefici
no se desliza d
E NEWTON
m2, se liberacon cubierta lesa no se muecuaciones de
ntes vertical y
ciones,
stra en la figueslizará sobre
a> g ente de fricc
debe tener la
N DEL MOVI
an desde la polisa es m3, enceve.
e las fuerzas pa
y horizontal (d
ura 5-12 tienee el plano si
tan (θ α) ción estática d
misma aceler
IMIENTO
osición que scuéntrese la r
ara los cuerpo
de fricción) de
e una acelerac
de las superf
ración que el p
se muestra enreacción del s
os son:
e la fuerza eje
ción hacia la
ficies en cont
plano. Por tan
47
n la figura suelo sobre
ercida por el
derecha a.
tacto.
nto A
48
Aa
Sli
5.13. Emdtolap
frlifudfi
P Cta o
5.14. UlavM(l
te
Ahora bien, elceleración a d
Si a > g tan(θ izamiento se t
En el arreglomasa de 0.9 kdel eje de rotornamesa, ea figura 5-13ara que los b
En este prricción entre Aigero: B tendeuerza de fricc
dialmente haciigura 5-13(c).
Las ecuac
Por sustracción
Con esto se veanto
o
Un tubo liso ya figura 5-14elocidad ℓω,
Muéstrese qul/ω)(ln 2) y
Dado queanto, la aceler
el sistema no i
Cuando l
LEYES
valor máximdebe satisfacer α), el bloqutraduce en α ≤
o de la tornakg, el bloquación. El coe
es µs = 0.1. 3(a). Encuénbloques comiroblema todoA y B. Dado qerá a moverse ción f entre la adentro sob.
iones de las fu
n,
e que ω puede
y horizontal d(a). Una parten tanto que
ue la partículque nunca l le el tubo es lración, es purainercial que gi
a partícula se
S DE NEWTO
mo de f/N en ar
ue se deslizará≤ 0, lo cual d
mesa que see B t iene uneficiente de fConsidérese
ntrese la rapiiencen a desl depende de que B es más radialmente hlas dos superfre B y del mi
uerzas cuando
e incrementars
de longitud /'tícula se colo el tubo gira
la recorrerá llegará a O eniso, no existe
amente en direira junto con e
e encuentra a
ON DEL MO
usencia de de
á. (Obsérveseefine propiam
e muestra enna masa de 1fricción estát que se om
dez angular lizarse. la conecta prmasivo que A
hacia afuera, eficies se oponsmo modo ha
o no hay despl
se hasta que f
gira alrededooca en el extralrededor dela mitad de ln un tiempo e una fuerza rección circularel tubo, con lo
una distancia
OVIMIENTO
eslizamiento e
e que ante a =mente al ángul
la figura 5-1.7 kg y ambtica entre los
miten la friccde rotación
redicción de A, se extrapolaempujando A rndrá a su movacia afuera sob
lazamiento son
f y f′ alcancen
or de un eje vremo del tubl eje con velola longitud dfinito. radial sobre r. Esto lo sugieque "nos desh
a r de O en el
[
es µs = tan θ
= 0, la condicilo θ.)
-13, el bloqubos se encues bloques y eión y la masade la tornam
la dirección da al caso en eradialmente havimiento relatbre A, como s
n, entonces
n sus valores m
vertical, comoo y se proyecocidad anguladel tubo dura
la partícula; ere observar ehacemos" de l
l sistema no i
[CAPITULO
θ. Por tanto, la
ión del no des
ue A tiene uentran a 13 centre éstos y a de la polea
mesa, necesar
de la fuerza del que A es muacia adentro. Ltivo; actuará rse muestra en
máximos. Por
o se muestra cta hacia O car constante ante un tiemp
la fuerza, y pl movimiento a fuerza circul
nercial [figur
5
a
s-
na cm
la en ria
de uy La ra-la
lo
en on ω . po
por en
lar.
ra
5
5
CAPITULO
5-14(b)señalad
Multipl el signo
Cuando Cuandofinito.
5.15. Muéstrel lastre
5.16. Tres blcuerdasdel plan
5]
)], la única fueda. La ecuació
licando por rú
o menos se to
o r = ℓ, t = 0,
o r = ℓ/2, t =
rese que la acee. Úsese este loques con ms sobre un plano sobre el blo
LEYES DE
erza sobre ellaón (4.1) se t
dt = dr e inte
oma debido a q
, de donde c'
= (ln 2)/ω. C
Probleeleración del checho para v
masas 2, 4, y 6ano inclinadooque que se e
NEWTON D
a es la inercia]transforma en
egrando,
que r decrece
= In ℓ y
Cuando r → 0,
mas comcentro de mag
verificar el val6 kg, ordenad
o sin fricción ncuentra más
DEL MOVIM
] ("fuerza cenn
. Finalmente,
, t ∞ , y la par
mplementaga en el problelor de m que dos de menorde 60°. Se apalto, provoca
MIENTO
ntrífuga") mrω
rtícula no lleg
arios
ema 4.9 no case encontró er a mayor se plica una fuerando un movim
ω2 que tiene la
gará a O en un
ambia cuando n el problemaconectan porrza de 120 N miento hacia a
49
a dirección
n tiempo
se desecha a 4.9. r medio de
a lo largo arriba de
50
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22..
los bloques. más arriba y de los bloque
Un esquiadorel coeficienteesquiador es a
La tensión decable, ¿cuál ekg que descacinética es 0.
Suponiendo qtrayectoria cia cabo este m
Un pequeño de fricción esgular máxima
Un pequeño m y se muevCalcúlese (a(b) 0.752 m/s
Considérese uforma de círca moverse cocualquier tiemescrita para donde Rθ esRespuesta:
LEYE
Las cuerdas sel de en medi
es? Respuestas
r desciende poe de fricción cia = g(sen θ µ
e rompimientoes la aceleracióansa sobre un15? Respues
que la Tierra ircular de rad
movimiento. Re
bloque se encstática entre ea de la tornam
objeto con mve con velocia) la tensións
una cuenta de culo con un r
on una rapidezmpo subsecuelas direccione
s la longitud
ES DE NEWT
son muy ligeraio y (b) el bloqs: (a) 60 N;
or una colina inética entre loµk cos θ) .
o de un cable ón horizontal m
na superficie asta: 1.03 m/s2
(m = 6 X 102
dio R = 1.5 Xespuesta: 3.6 X
cuentra a unal bloque y la s
mesa si el bloq
masa de 0.1 kdad uniforme
n en la cuerda y
masa m que sadio R. Si ini
z v0, y si µk esente t. Despréces radial y tan
del arco des
TON DEL M
as. ¿Cuál es laque más bajo y(b) 20 N;
que forma un os esquíes y la
de acero es 2 máxima que saproximadam2
24 kg) gira con108 km, calcúX 1022 N
a distancia r dsuperficie de lque no se desl
kg se suspen en una órbity (b) la vel
e mueve libreicialmente se el coeficiente
ciese la gravedngencial, se t
scrito en el t
MOVIMIENT
a tensión en ly el de en med (c) 1.513
ángulo 0 respa pendiente, mu
X 104 N. Si see 1e puede proente horizont
n rapidez unifúlese la fuerza
del centro de la tornamesa eiza? Respuest
de de una deta circular y hocidad del obj
emente sobre uda a la cuenta
e de fricción cdad. (Sugerenctransforma en
tiempo t.)
TO
a cuerda entredio? (c) ¿Cuálm/s2
pecto a la horiuéstrese que la
e jala horizonoporcionar a utal si el coefic
forme alrededa necesaria pa
una tornameses µs. ¿Cuál eta: (µsg/r)1/2
elgada cuerdahorizontal conjeto. Respuest
un delgado alaa un impulso cinética calcúlcia: la segund
n
[CAPITULO
e (a) el bloquel es la acelerac
izontal. Si µka aceleración d
talmente conun cuerpo de 8ciente de fricc
dor del sol en ara que se lle
sa. El coeficies la velocidad
a de longitud n radio de 0.1tas: (a) 1.132
ambre dobladotal que comie
lese su rapidezda ley de New
O 5
e de ción
es del
este 8000 ción
una eve
ente d an-
0.2 1 m. 2 N;
o en enza z en ton,
Cantid
6.1 CANTI
La cantid
Las unidademiento de u
La segununa partícula
El momemomentum
donde la seg
donde Σ Fext
6.2 IMPUL
El impuls
donde F es momentum igual al cam
El lado izqucantidad de
6.3 CONSE
La ley de
dad de m
IDAD DE MO
dad de movim
es de la cantiuna partículanda ley de Nea con respect
entum total Pde las partícu
gunda igualda
t es el vector
LSO
so de una fue
el valor promestablece qu
mbio en la ca
uierdo es el imovimiento
ERVACIÓN
e la conserva
movimie
OVIMIENTO
miento de un
idad de movia es igual a laewton se puedto al tiempo e
P de un sisteulas individu
ad se sigue de
suma de las
erza F en un
medio de F ue el impulsoantidad de m
impulso de la lineal. Las U
DE LA CAN
ación de la c
ento, im
O (MOMENT
na partícula c
p= m
imiento son ka dirección ede reformulares igual a la fu
ema de partícuales:
e,(5.5). Enton
fuerzas exter
intervalo de
durante el ino de la fuerz
movimiento d
a fuerza F y Unidades del
NTIDAD DE
antidad de m
sí Σ F
pulso y
TUM) LINEA
con masa m
mv
kg m/s.; Laen la cual ser así: el camb
fuerza resultan
culas es la su
nces (5.2) se t
rnas que actú
e tiempo ∆t =
ntervalo de tza resultante
de la partícul
el lado derel impulso son
MOVIMIEN
movimiento l
Fext = 0,entonc
C
movimi
AL
que se muev
a dirección d mueve dich
bio en la cantnte que actúa
uma vectoria
transforma en
úan sobre las
= t t0 es el
tiempo ∆t. Ee que actúa sa:
cho es el camn N s (1 N
NTO LINEAL
ineal estable
ces; p = vecto
Capítu
iento rel
ve con veloci
e la cantidadha partícula. tidad de movia sobre la par
al de los vec
n
partículas de
vector defini
El teorema desobre una pa
mbio que res s = 1 kg m
L
ece que:
or constante
ulo 6
lativo
idad v es
d de movi-
imiento de rtícula,
tores del
el sistema.
ido por
el impulso artícula es
sulta en la m/s).
52
Esto im
6.4 M
Si usistema
donde VSi S
partícu
6.1. Ucu
c o Tm
6.2. Suhre
vo
p
mplica que en
MOVIMIENT
una partícula a S',
Vs′ es la veloS es un sistemula tiene la m
Un carro lancon masa de una altura de
Dado que con la cual co
o
Todas las fuermovimiento ho
Supóngase quna vía de trhacia el otroregreso la loexiste fricció
Todas las vagón más la obtiene
para todo tiem
CANT
n cualquier pr
TO RELATIV
tiene velocid
ocidad del mama inercial y
misma acelera
zador de mis110 kg y ret
e 4 m (véase la gravedad f
omenzó a asc
rzas que intervorizontal: P
que un niño sren. Sea M l extremo co
ongitud (L) dón en las ruedfuerzas son idel niño y la
mpo.
TIDAD DE M
roceso que o
VO
dad v relativ
varco S' relatiy si Vs′ es coación relativa
Problemsiles, con matrocede haciala figura 6-1
fue la única fuender por el p
vienen en el linicial = Pfina
se encuentrala masa del nn una veloci
del vagón, pdas del vagóinternas (figu pelota, a par
MOVIMIENTO
curra en el in
a, el sistema
v = Vs′ + v' iva al sistemaonstante, S' ea a ambos m
mas resueasa de 4400a arriba de un1). Encuéntreuerza que se oplano inclinad
lanzamiento al. Escogiend
a de pie en eniño y el vaidad v0 dondega en el lad
ón, descríbasura 6-2). Por lrtir de la cons
O, IMPULSO
nterior del sis
(marco) S y
a S. es también uarcos (comp
eltos
kg, dispara n plano incliese la velociopuso al movdo se puede e
son internas.do la dirección
el extremo dgón. Él lanz
de rebota condo opuesto ye el movimilo tanto, si Vervación de l
O
stema, Pinicia
y la velocidad
un sistema inárese con el
horizontalmnado liso, el
idad inicial dvimiento del cencontrar a pa
Para la cadel cohete com
e un vagón qza una pelotantra la paredy queda en rento del vag
V y v son las a cantidad de
[CAPITULO
al = Pfinal.
d v' relativa a
nercial y unaejemplo 4.1)
mente un coheevándose ha
del cohete. carro, la rapidartir de
antidad de mo positiva,
que corre poa con masa m
d y recorre deposo. Si nón. velocidades d
e movimiento
O 6
al
a ).
ete sta
dez
or m
de no
del o se
CAPITULO
An dondevagón
con Su
versió
Fimún.
Pu
y luegarranqposicio no. masa
6.3. Supóngse muse muson ig
Lase con
O 6]
ntes de la prim
e se tiene deln, desplazándo
respecto al puponiendo queón de ambos v
inalmente, desPor eso V =
uede observar
go recorre unque. Éste resuión inicial en Más aún, debdebe perman
gase que dosuestra en la fueve hacia laguales, encué
as dos pelotas cnserva la canti
CANTIDA
mera colisión
l lado derechoose a una velo
piso del vagóne la primera cvectores de ve
spués de la se (m/M)V, o
rse que el vag
na distancia iultado (no exiel interior del
bido á que la ecer en repos
pelotas de mfigura 6-3. A izquierda a éntrese su ve
constituyen el idad de movim
D DE MOVI
n = vo, y po
o el tiempo,, ocidad
n. colisión sea peelocidad. Ento
egunda colisió
gón se mueve
igual hacia laiste un desplal vagón) se cucantidad de m
so (P=MVcm)
mastique se mmbas quedan15 m/s y la p
elocidad com
sistema. Al nomiento horizon
IMIENTO, IM
or tanto
necesario pa
erfectamente onces,
ón, la pelota y
e primero hac
a derecha, haazamiento netumple sin impmovimiento t
mueven a lo ln pegadas deelota B hacia
mún después d
o actuar fuerzantal: Pinicial =
MPULSO
ra que la pelo
elástica, su ef
y el vagón ten
cia la izquierd
sta quedar ento del vagón
portar si la primtotal del siste
largo de un pspués de la ca la derecha ade la colisión
as horizontales Pfinal.
ota alcance la
fecto será tan
ndrán una velo
da una distan
n reposo en esi la pelota remera colisiónma es cero, é
piso sin fricccolisión. Si la 25 m/s, y sin.
externas sobre
53
a pared del
sólo la in-
ocidad co-
cia
el punto de egresa a su
n es elástica él centro de
ción, como a pelota A i sus masas
e el sistema,
54
6.4. Sssu
q
6.5. S
nycv
curacce
Supóngase que muestra enu velocidad d
La conservaque mA = mB y
Si un cohete sno existirán fuy del combus
ohete y V esvelocidad v d
Primero coomo positiva
un pequeño intapidez V vambio en la caambio debe cas,
CANTI
ue las dos peln la figura 6-4después del i
ación vectoriay vA = vB, se ti
se mueve en fuerzas externstible sin utis la velocidaddel cohete en
onsidérese el la dirección dtervalo de tiem
v (en relaciónantidad de moancelar exactam
IDAD DE M
lotas de mast4(a) y que qumpacto. Tom
al de la cantidaiene que
el espacio innas que actúeil izar, m es ld del gas desn todo t iemp
sistema (nubdel cohete. El mmpo dt, una m con el sistem
ovimiento de lmente el camb
OVIMIENTO
tique del prouedan pegada
me vA=vB = 45
ad de movimie
terestelar, lejen sobre él. Sla masa del scargado en rpo.
e de gas + comomentum tomasa m dt de gma de referenla nube será, pbio en la cantid
O, IMPULSO
blema 6.3 chas después de5 m/s y θ = 4
ento, se advier
jos de cualquSi M es la magas descargarelación con
ohete) en un tal del sistema
gas se moverácia considera
por tanto m(v dad de movimi
O
hocan oblicuae la colisión.
45°.
rte en la figur
uier cuerpo qasa instantánado cada segel cohete, en
sistema inerca es constanteá en la direcciado), y se unir V)dt. Por coiento del cohe
[CAPITULO
amente, com. Encuéntrese
a 6-4( b ) . Da
que lo atraiganea del cohetgundo por elncuéntrese la
cia], escogien. Ahora bien, ón negativa crá a la nube. onservación, ésete, d(Mv); es
6
o e
do
a, e l a
do en on El ste sto
CAPITULO
la cuaMo la
6.6. Una csoporcomo que unde un
Lainstanyace sla canm(v d
y ésta la cuesuperf
o el p
6.7. Un mirompiqueñomiento
6]
al es una relacvelocidad y
cuerda uniforte, de tal mase muestra
na longitud ya longitud 3y parte descen
nte en el que tsobre la mesantidad de modt)v. Entonces
es la fuerza qerda y, de peficie de esta ú
eso de una lo
isil con masiéndose en do sale despedo y con una v
CANTIDAD
ción diferencila masa en t
rme, con maanera que suen la figura y de la cuerdy de la cuerdndente de la todos sus pun durante un in
ovimiento ims, la razón a l
que surge de eso (my)g, yaúltima es
ongitud 3y d
a M, que se os partes [Fi
dido a un ángvelocidad de
D DE MOVIM
ial entre la vet = 0, y supo
asa m por un extremo inf6-5(a). Si se
da ha caído, lda. cuerda está entos han bajantervalo dt qupartido a la la cual él mo
la detención ace sobre la
(2my)* + (e la cuerda.
mueve con vig. 6-6(a)] cogulo de 60° c400 m/s, enc
MIENTO, IM
elocidad y la mniendo que V
idad de longferior apenase la suelta, ma fuerza sob
en caída libreado una distanue sigue a dicmesa por es
omentum tran
de la caída desuperficie d
(my)g = (3my)g
velocidad v(on masas M/con respectocuéntrese la v
MPULSO
masa del coheV es constan
gitud, cuelgas toca la supmuéstrese qure la mesa es
e; tiene una rncia y. La lonho instante esta longitud a
nsfiere a la m
e la cuerda. Dde la mesa, la
g
v =: 200 m/s/4 y 3M/4. S a la direccióvelocidad ini
ete. Denotandte, se tiene
a verticalmenperficie de unue en el tiems equivalente
rapidez v = √ngitud de la cs v dt. El incral quedar en
mesa es
Dado que la loa fuerza tota
s), explota ei el pedazo món original dicial del otro
55
do con v0 y
nte de un na mesa,
mpo en el e al peso
√2gy en el cuerda que remento en
reposo es
ongitud de al sobre la
n el aire má& pe- del movi-
pedazo.
56
6.8.
En un pegravedad (unconserva la c
El diagraSe tiene que
Se puede
Una pelota m/s. Despuéla direccióndurante 0.02pelota.
CAN
equeño intervana fuerza extecantidad de mama vectoriale:
e también enc
de béisbol dés de que la pn que se mu25 s, encuént
NTIDAD DE M
alo de tiempoerna) se puede
movimiento. l para la cons
contrar v2 y θ
de 0.11 kg espelota es golpestra en la ftrese la magn
MOVIMIENT
o que incluya e despreciar. E
ervación del
al aplicar la
s lanzada hacpeada con el
figura 6-7(a)nitud de la fu
TO, IMPULS
el momento dEntonces, tod
momentum s
ley de los cos
cia un bateadbat, adquier
). Si la pelotuerza promed
SO
de la explosiódas las fuerzas
se muestra en
senos y la ley
dor con una e una velocidta y el bat esio ejercida p
[CAPITUL
ón, el efecto ds son internas
n la figura 6-6
y de los senos
velocidad dedad de 34 m/stán en contaor el bat sobr
LO 6
de la y se
6(b).
s.
e 17 /s en acto re la
CAPITULO
Elmues
6.9. Una cla figderralos p
Ldel flde ag Ahorrrespo
6.10 Un hsur atripulveloc
6.11. Llue
tanteque l
O 6]
l impulso es stra en la figu
cubeta llenagura 6-8. Un cama hacia unlatos están b
La balanza sopujo de agua. E
gua, que cae c
ra bien, una mondiente a una
helicóptero ina 17 m/s. Exlación del sucidad (a) rela
eve y las gote de 10 m/s, Ula lluvia form
CANTIDA
I = F ∆f. ura 6-7(b). A
a de agua se chorro constan lado de la bbalanceados,
porta el peso En un tiempo con una veloc
masa de 1 kg a masa aproxi
ntenta aterriziste una corr
ubmarino el hativa al agua
tas forman uUna mujer cma un ángulo
AD DE MOVI
La relación A partir de la
coloca sobrente de agua c
balanza; sé v¿cuánto más
de la cubeta l∆t la cantidad
cidad v = √2g
pesa 9.8 N, pimadamente d
zar sobre la criente de airehelicóptero d y (b) relativ
n ángulo a corre en conto β con la ve
IMIENTO, IM
entre la cantley de los co
e el plato decae desde unaierte a 0.5 kgs "pesará" la
llena y propord de movimie
gh, se hace cer
por lo que lade 0.7 kg más
cubierta de ue de 12 m/s
desciende verva al aire. Vé
con la verticara de la lluv
ertical. Encué
MPULSÓ
tidad de moviosenos:
e una balanza altura de 10 g/s. Si cuandcubeta al flu
rciona el impuento vertical dro,
a cubeta parede la que en r
un submarinohacia el oes
rticalmente aéase la figura
al, al caer coia con una véntrese la re
imiento y el
a, como se om en ella y el
do no hay fluuir el agua?
ulso para detende una masa (0
ecería tener urealidad posee
o que se dirigste. Si a los a 5 m/s, encua 6-9.
on una velocelocidad de lación entre
57
impulso se
observa en l líquido se
ujo de agua
ner la caída 0-5 kg/s) ∆t
un peso co-e.
ge hacia el ojos de la
uéntrese su
idad cons-8 m/s y ve α y β.
58
A partir d
CANT
del diagrama v
TIDAD DE M
vectorial, figu
MOVIMIENT
ura 6-10,
O, IMPULSOO [CAPITULOO 6
CAPITULO
6.12. Un elen el(4/9.8se ende vis
C
O
6.13. Un auuna bbala ecindietarda
Srelativdirecc Al eli
6.14. Un auque semovié
6.15. Un hohorizoEncuéRespu
6.16. Un nitante
O 6]
levador ascie techo del e8) s y luego
ncuentra en resta de un obsConsiderando p
O también, en
utomóvil blibala le pega eentra por unendo de cualen atravesarl
Sea V la velocva al automóvición del anch
iminar V se en
utomóvil de 12e mueve a 20 méndose junto
ombre de 60 kontal de velocéntrese la maguesta: 2 m/s s
iño con masa Vi sobre la su
CANTIDA
ende con unaelevador. Uncae durante eposo. Calcú
servador que positivo el sen
n el sistema in
indado de 2 en una direcca esquina y quier interaclo. cidad de la bail en la direccio del automó
ncuentra
Proble200 kg se dirim/s en una dirs. Encuéntr
kg se zambullcidad de 3 m/sgnitud y la direur
m está de pieuperficie de u
AD DE MOVI
a velocidad cn hombre en(4/9.8) s; en
úlese la velousa el elevad
ntido hacia arr
nercial del ele
m de longitución que formlo atraviesa
cción entre el
la. Debido al ón de la longitvil es V sen θ
emas comige hacia el esrección 60° noese su velo
le desde la pos y hacia el Nección de la v
e sobre un trinun lago conge
IMIENTO, IM
constante den el edificion t = (4/9.8) cidad del foc
dor. riba,
evador,
ud y 3 m dema un ángulodiagonalmen
l automóvil y
movimiento tud del automóθ. Luego, a pa
mplementste a 30 m/s yoreste. Los
ocidad común.
opa de una lanNorte. Inicialmvelocidad que
neo con masa lado. El niño
MPULSO
4 m/s. Un f ve que el fos le parece a
co en t = (4/
ancho se mo arctan (3/4)nte hasta la
y la bala, encu
del automóvióvil es V cos θartir de s = vt
tarios
y choca con unvehículos sRespuesta: 19
ncha de 90 kgmente el bote s
adquiere la la
∆t que se mucorre a lo lar
foco cae de sfoco se elevaal hombre qu/9.8) s desde
mueve a 13 m) con él (Figesquina opuuéntrese el ti
l, la velocida 13, y la velo
t,
na camioneta se enganchan y9.84 m/s a 40.
g, con una cose encuentra e
ancha.
ueve con velorgo del trineo
59
u soporte a durante ue el foco el punto
m/s cuando . 6-11). La esta. Pres-iempo que
d de la bala ocidad en la
de 3600 kg y continúan .9° noreste
mponente en reposo.
cidad cons- en la di-
60
r¿R
6.17. UBddR
6.18. Eanmp
6.19. U2R
6.20. Uyd
6.21. Uacq
6.22. U¿pR
6.23. UhmccsR
rección opues¿Cuál es la vRespuesta:
Un objeto, A, B, de 3 kg. origde 50° y su vede B después dRespuestas: (
El núcleo del ua. Ésta se emnúcleo de tomomento de laporción de 234
Un objeto en 20 m/s y otro Respuesta: 46
Una pelota de y luego se elevde la pelota al
Una niña, de pal tren, cuandocuando atrape que está de pie
Una granizada¿En qué direccparezca que elRespuesta: 34
Un bloque de hacia la izquimentáneamentcomprimido. Fcon el resorte sorte sobre el Respuestas:
CANT
sta a Vi y adquvelocidad fin
de 1 kg y con ginalmente enlocidad despu
de la colisión y(a) 29.4°;
uranio-238 es ite con una vorio-234, supa desintegració4 a 4. Respues
reposo explohacia el sure
6 m/s a 27° h
acero de 1 kgva a una altural suelo durant
pie sobre un to éste pasa pola pelota de n
e? Respuestas
a cae a un ángción y con quél granizo cae .6 m/s "contra
3 kg se deslierda a 50 m/ste llega al repFinalmente, sedurante 0.02 bloque? (b) ¿(a) 270 N · s
IDAD DE M
uiere una velonal del trineo
velocidad de n reposo. En laués del choquey la dirección o(b) 1.04 m/s
inestable y sevelocidad de poniendo queón? Las masassta: 2.393 X 10
ta en tres pedste a 30 m/s. acia el noroe
g se deja caera máxima de 2te la colisión.
tren que va a or un cruce, (anuevo? (b) ¿Cs: (a) 81.63 m
gulo de 60° cé rapidez debede manera toa" la granizad
iza sobre una s. Al hacer esoso. De nueve mueve hacias. (a) ¿Cuál
¿Cuál fue la fuhacia la dere
MOVIMIENTO
ocidad relativrelativa al hi
4 m/s hacia laa colisión, A se es 2 m/s. Enoriginal de A, s
e desintegra en1.4 X 106 m/
e el átomo des del torio-23404 m/s
dazos de mas¿Cuál es la v
este
r desde una al2.5 m. Encuént Respuesta:
40 m/s, lanzaa) ¿A qué distuál es la traye
m; (b) una pará
con respecto ae desplazarse talmente vert
da
superficie hosto último cho es aceleradoa la derecha aes fueron la m
fuerza promedecha; (b) 13,
O, IMPULSO
va al trineo aielo?
a derecha, chose desvía de suncuéntrense (a
y (b) la rapide
n un núcleo ds. ¿Cuál es la
e uranio-238 s4 y la partícul
as iguales. Uvelocidad del
ltura de 4 m; trese la cantid 15.9 kg m/s h
a una pelota htancia del cruectoria de la pábola
a la vertical yun observado
tical?
orizontal sin hoca con un ro hacia la dera 40 m/s. El bmagnitud y la dio del resorte5 kN hacia la
O
l saltar por su
oca contra un u dirección oria) el ángulo enez de B despué
e torio-234 y a velocidad dse encuentra la a se encuen
no se mueve tercer pedazo
al caer chocadad de movimihacia abajo
hacia arriba a ce se encontra
pelota vista po
y con una rapor que está par
fricción y se esorte, lo coecha por la fuloque permandirección del
e sobre el bloa derecha
[CAPÍTULO
u parte trasera
segundo objeiginal un ánguntre la velocidés de la colisió
en una partícude retroceso den reposo en
ntran en una pr
hacia el este o?
a contra el sueiento transferi
10 m/s relatiará la muchacor un observad
pidez de 40 mrado para que
mueve primeomprime y muerza del resonece en contac impulso del rque?
O 6
a.
to. ulo dad ón.
ula del
el ro-
a
elo ida
iva cha dor
m/s. le
ero mo-
rte cto re-
7
g
d
d
u
7
7.1 RAPIDEUna partí
gura 7-1) tien
donde f es la f
donde θ0 repr
El periodunidad SI de
7.2 MOVIM
El movim
Mo
EZ (VELOCIícula que se mne periodo
frecuencia; s
resenta la pos
do se mide ene ω es el radi
MIENTO AN
miento angul
ovimien
IDAD) ANGUmueve con v
sus coordenad
sición angula
n segundos (sián por segun
NGULAR C
lar se describ
nto curv
ULAR CONSvelocidad ang
das son
ar inicial; "su
s) y la frecuendo (rad/s).
CON VELO
be por
vilíneo e
STANTE
gular constan
u aceleración
encia en revo
CIDAD VAR
C
en un pla
nte ω en un c
es a = ω2r,
oluciones por
RIABLE
Capítu
ano
círculo de rad
, con compon
r segundo (re
ulo 7
dio r (fi-
nentes
ev/s). La
62
En un medio angula
Aceler
Lasción d
donde
Relaci
Par donde supone
7.3 M
En partícu
donde de rotaCon la
donde compode curv
movimiento de estas canti
ar en rad/s2.
ración angula
s fórmulas qude un cuerpo
θ0 y ω0 son l
iones entre la
ra una partícu
as es la acee que el valo
MOVIMIEN
un movimienula que recor
ρ es el radioación de la pa segunda ley
la fuerza reonente tangenvatura.
MOVIM
paralelo al pidades angula
ar constante
ue relacionan que gira en
la posición an
as cantidade
ula que se m
leración liner inicial de la
NTO A LO LA
nto general (Frre una traye
o de curvaturpartícula en ty de Newton
sultante que ncial Fs. Obsé
MIENTO CUR
plano XY, la ares. El despl
n el desplazan el caso de α
ngular inicial
s lineales y a
mueve a una d
eal tangente a longitud s d
ARGO DE U
Fig. 7-2), desectoria curva
ra de la trayetorno de un e
actúa sobre érvese que un
RVILÍNEO E
rotación de azamiento an
amiento anguα = constant
l y la rapidez
angulares en
distancia con
a la trayectodel arco es c
UNA CURVA
scrito en térma, la partícula
ctoria y ω = eje que pasa
la partícula na Fn positiva
EN UN PLAN
todo un cuerngular se mide
ular, la velocte son:
z angular inic
n el movimie
nstante r de u
oria circular.ero [véase la
A PLANA EN
minos de la dia tiene
v/ρ se definepor un centr
tiene una coa produce una
NO
rpo rígido see en radianes
cidad angula
cial.
nto circular
un eje fijo de
En la primea Fig. 7-l(a)]
N GENERAL
istancia s = s
e como la velro instantáne
omponente na aceleración
[CAPITULO
caracteriza py la acelerac
ar y la aceler
e rotación,
era ecuación.
L
(t) de una pa
locidad angueo de curvatu
normal Fn y un hacia el cen
O 7
por ión
a-
n se
ar-
ular ura.
una ntro
CAPITULO
7.1. La mde resegun(a)
7.2. Un a
tantetud yde laen el(a) E(b) L
Lp
O 7]
manecilla del evolución de ndero relativSi T es el pe
automóvil se e de 60 m/s [Fy dirección) ca aceleraciónl arco de 60°En la figura 7La aceleración
La aceleraciónpromedio con
se tiene que:
MOVIMIEN
Psegundero dla manecilla
va al reloj?
eriodo en segu
mueve alredFig. 7-3(a)]. cuando el aut
n instantánea °. 7-3(b), ∆v = 6n instantánea
n promedio conn respecto a la
NTO CURVIL
Problemasde un reloj tiea? (b) ¿Cuál
undos,
dedor de una (a) Calcúlestomóvil recodel automóv
60 m/s y ∆v fotiene magnitu
n respecto al tia longitud de
LÍNEO EN U
s resueltoene 2 cm de les la velocid
curva de radse el cambio orre un arco dvil con la ma
orma un ánguud
iempo (el cualarco) es a = ∆
UN PLANO
os
longitud, (a) dad de la pun
dio 300 m y de velocidad
de 60°. (b) Cagnitud de la
ulo de 120° co
l, a rapidez con∆v/∆t. Dado
¿Cuál es la nta de la man
a una velocidd resultante (
Compárese la aceleración
on vA.
nstante, es la mo que
63
frecuencia necilla del
dad cons- (en magni- magnitud promedio
misma que el
64
7.3. LeEs (
La aceleracióes el ángulo eEncuéntrense uperior del a
(b) A partir d
MOVIMI
n angular deentre el eje de
(a) la aceleasta en térmi
de dω/dt = α,
IENTO CUR
l asta que cael asta y la veeración tanginos de k, θ y
RVILÍNEO E
ae en la figurertical, y k es
gencial y (b)y ℓ (la longitu
EN UN PLAN
a 7-4 está das una constan la aceleracud del asta).
NO [
ada por α = knte. El asta pión centrípet
[CAPITULO
k sen θ, dondearte del repota del extrem
7
e θ so. mo
CAPITULO
7.4. Encuémovim
(a) Cmté
P y
Pfl
enaccocael
a diri
7.5. Una cCon bextremlociday (c) s
Ús A
q
7] M
éntrense (a) lmiento curvil
onsidérese emuestra en la férminos de los
Luego la v
ero
por tanto
Puede observarleo.
La compo
n la direcciónceleración cenomponente anambio en la vel ángulo. A es
Obsérvese
Es importala trayectoria
iferentes de laiamente las m
cuenta se desbase en la figmo de la barrad angular cosu trayectoriasense los resu
Al eliminar t se
que es una esp
MOVIMIENT
a velocidad ylíneo en un p
l .movimientfigura 7-5. Ens vectores unit
velocidad est
rse que la velo
onente radial dn del incrementrípeta debid
ngular de la acelocidad anguste término see que la comp
ante darse cuea. De aquí quas de la secciismas).
sliza sobre ugura 7-6, v0 ra a la cuenta
onstante ω0. Ea. ultados del p
e obtiene la ec
piral.
TO CURVILÍ
y (b) la acelelano.
to de una parn un punto de tarios i, j por
tá dada por
ocidad tiene u
de la aceleraciento de R de
da al cambio eeleración conlar, y 2 R· ω, une le denominaponente angul
enta de que, eue las componión 7.3 (por s
na barra larg= r, donde ra. Al mismo
Encuéntrense
roblema 7.4
cuación de la
ÍNEO EN UN
eración en co
rtícula a lo lla curva, los v
una componen
ión consta de ebido al camben la direcciónsta de dos par
na aceleración a aceleración lar se puede e
en general, r^ nentes de la asupuesto, las
ga con rapider es la distan
tiempo, la b (a) la veloci
(R = α = 0).
trayectoria:
N PLANO
ordenadas po
argo de una vectores unita
nte radial R· y
dos partes: Rbio de la rapn del vector vertes: Rα, la acedebida al camde coriolis.
escribir como
y θ^ no son naceleración daaceleraciones
ez constantencia del eje qbarra gira alridad de la cue
olares de un o
curva R = Rarios r^ , θ^ está
una compone
R , la aceleracipidez radial, yelocidad. Iguaeleración linea
mbio conjunto
o un solo térm
ormales ni tanadas anteriormresultantes s
v0 relativa aque se encueededor del ejenta; (b) su ac
65
objeto con
R(t) que se án dados en
nte angular
ón lineal y Rω2, la almente, la al debida al del radio y
mino
ngenciales mente sean on necesa-
a la barra. entra en el je con ve-celeración
66
7.6
7.7.
A un guardaque una embde la patrullpone en marapidez, percomienza unvelocidad endespués de r
En la figura
Con la primet = 1 h. Susti
La trayectoriamomento t =misma distaembarcación
Un paraguasgirar en tornparaguas es m, encuéntr
La veloci
MOVIM
acostas que sebarcación ilegla. También archa inmediro no la diren movimientn dirección orecibido el m
7-7,
era ecuación, ituyendo r en
a espiral del g τ, durante la p
ancia de P, p. Dado que θ
s abierto y mno al mango a
un círculo drese el lugar idad angular d
MIENTO CU
e encuentra egal se halla enla tripulació
iatamente a cción que si
to espiral alrpuesta a P =
mensaje, para
r = 12.5t, dola segunda ec
guardacostas dprimera revolpor lo que e≤ 2π para t =
mojado está soa una razón u
de 1 m de diáen el que las
del paraguas es
URVILÍNEO
en una zona dn una posicióón de la emb12,5 km/h.
igue la embarededor de P12.5 km/h. ¿a capturar a
onde se ha uticuación e inte
debe cruzar la tución. En ese
el guardacostτ,
ostenido comuniforme de 2ámetro, y la as gotas de ags
EN UN PLA
de niebla en eón P, 12.5 kmbarcación ilegEl capitán d
arcación persP a 48.5 km¿Cuál es el tiela embarcaci
ilizado la congrando.
trayectoria rad momento, amtas necesaria
mo se muestra21 revolucioaltura de éstegua caen al s
ANO
el mar se le nom hacia el oest
gal escucha del guardacoseguida. Esp
m/h, con una empo máximión ilegal?
ndición inicial:
dial de la embmbos barcos seamente habrá
a en la figura ones en 44 s. e por encima uelo.
[CAPÍTULO
otifica por rate de la posicel mensaje ysta conoce eera 1 h y lucomponente
mo que requer
r = 12.5 km
arcación en ale encontrarán á capturado a
7-8(a) y se hSi la sombradel suelo es
O 7
adio ción y se esta
uego e de rirá,
m en
lgún a la
a la
hace a del 1.5
CAPITULO
Entonces v0 =
Par
El alcalas got
7.8. Una ruaceleraceler (a) La
7.9. Un tor
velocison (adurant
(a) Lp
7] M
ces la velocid= rω =. (0.5) (
ra calcular el
ance horizontatas es un círc
ueda que da vación constaación angula
a aceleración
rno de hilar dad angular ) la magnitudte 20 s y (c)
La dirección deor lo que
MOVIMIENT
dad tangencial(3) = 1.5 m/s
tiempo en el q
al de la gota eulo de radio
vueltas con rnte. Complet
ar? (b) ¿Qué
angular se pu
tiene una vees 50 rad/s hd y la direccila velocidad
e la aceleració
TO CURVIL
l de las gotas .
que una gota
s, entonces x =
rapidez anguta 60 revoluctiempo tarda
uede encontrar
elocidad anguacia el oesteión de la ace angular a lo
ón angular es
ÍNEO EN UN
de agua que a
llega al suelo
= vot = (1.5) (
ular de 30 revciones más a
a en detenerse
r a partir de
ular de 50 ra. Si la acelerleración angu
os 30 s?
hacia el oeste
N PLANO
abandonan la
o se utiliza h =
(0.55) = 0.83 m
v/s y comienzantes de detee?
ad/s hacia elación angulaular, (b) el d
, como se mue
sombrilla del
=1/2gt2:
m; y el lugar d
za a detenersnerse, (a) ¿C
este; 20 s dar es constantesplazamient
estra en la fig
67
paraguas
donde caen
se con una Cuál es su
después su te, ¿cuáles to angular
ura 7-9(a),
68
7.10. E
y ambos es
(b) El despla
Este resu (ωi + ωvertir el
(c) En la fig
Una vde rotaci
En la figura 7su cuerda y, angular y en
1 2
MOVIM
vectores de la
azamiento ang
ultado tambiéωf), es ceroeje de rotació
gura 7-9(b), la
vez que α y ω ón.
7-10, conforentonces, asc
ntre la veloci
MIENTO CU
a derecha tien
gular, a partir
én se sigue a po. El efecto den.
a velocidad a
ω = ω0
son paralelas
rme desciendciende. Encudad lineal y
URVILÍNEO
nen dirección o
de
partir del heche la aceleració
angular despu
0 + αt = 50 + 5(3, cambia la ve
de el bloque, éntrense las rla angular.
EN UN PLA
oeste. La magn
ho de que la vón angular dur
és de 30 s es
0 - 20) = 100 radelocidad angul
el rotor rígirelaciones en
ANO
nitud de la ace
velocidad angrante el interva
d/s lar, mas no la
do se enredantre las aceler
[CAPITULO
eleración angu
gular promedialo de 20 s es
dirección del
a hacia arribaraciones linea
O 7
ular
io, in-
l eje
a en al y
CAPITULO
Si θ e
por lode la d e
7.11. La fi
cruzaincreω y l
Seobten
7.12. Una extrecuént
(a) A
O 7] M
es el ángulo q
o que la longcuerda que se
igura 7-11 mar la superficementa a una la aceleración
e toman la prner ω = ψ· y α =
barra se apoemo derecho trense (a) la v
A partir de la g
MOVIMIENT
que gira el rot
itud de la cuedesenreda del
muestra un rie del agua, drazón constan angular a d
imera y segun= ψ ; recuérde
oya ¿obre unse desliza ha
velocidad ang
geometría del
TO CURVIL
tor a partir de
erda que se en cilindro grand
rayo de luz de acuerdo coante de 10 raddel rayo refr
nda derivadasese que θ = 0.
cuerpo cilínacia ese lado gular ω y (b)
l problema, x
LÍNEO EN U
e su posición
nreda en el pde es Rθ. Tom
que pasa deon la ley de Sd/s, y n = 1.3
ractado si θ =
s con respecto.
ndrico, comosobre el sue
la aceleración
x = R/sen θ. T
UN PLANO
n inicial,
equeño cilindmando la prime
l aire al aguSnell (sen θ=3. Encuéntren= 30o
o al tiempo de
o se advierte elo, con una rn angular α en
También, ω =
dro es Rθ y lara y segunda d
ua. El rayo s n sen ψ). El nse la velocid
e sen θ = n se
en la figurarapidez constn términos de
θ· . Por lo ta
69
a longitud deriv a d a s
se dobla al ángulo θ se dad angular
en ψ para
a 7-12, y su tante v. En-e v, x y R.
anto
70
7.13. U
c
7.14. Ucc7a
7.15. U
bt
b
Una partículcúbica, y2 = asobre la partí
El radio
En este movimla partícula m7-2). Entonce Una partículcurva. La fucurva es de 37-13. En diaceleración ta
Un insecto sbicicleta, de tante V. Encse encuentrbicicleta.
Escójaseciones en estedebido a que del problema
MOVIM
a con masa max3, con veloícula. local de curva
miento de la pmomentáneames,
la cuya masauerza resultan30 N a 60° cocho punto, angencial de
se arrastra coradio a, en t
cuéntrense laa de pie a u
e un sistema de sistema de clos dos sistem
a 7.4, con ω =
MIENTO CUR
m se mueve socidad consta
atura de la cur
partícula, la cumente se mue
a es de 2 kg rnte que actú
on respecto a encuéntrensla partícula.
on velocidadtanto que la bas aceleracionun lado del
de coordenadcoordenadas smas tienen un= V/a, R = v,
RVILÍNEO E
sin fricción aante v. Encuén
rva es
urva ejerce uneva en un arc
recorre con uúa sobre la p
la tangente de (a) el rad
d constante vbicicleta bajanes del inseccamino, a l
as que se muson las mismana velocidad rse encuentra
EN UN PLA
a lo largo de untrese la fuer
na fuerza normco de un círcu
una velocidaartícula en ude la curva, cdio de curva
v a lo largo da por un camcto, al ser obo largo y pe
ueva con el ceas que existenrelativa consta que
NO
una curva parza de reacció
mal o centrípeulo de radio ρ
ad de 44 m/s un determinacomo se mueatura de la
del rayo de lino con una
bservado por erpendicula
entro de la run en el sistemante. Aplican
[CAPITULO
arabólica semón de la curv
eta haciendo qρ (véase la F
una trayectoado punto destra en la figcurva y (b)
la rueda de uvelocidad coun hombre qr al rayo de
ueda; las acelema fijo al cam
do los resulta
O 7
mi- a
que Fig.
oria e la
gura ) la
una ons-que e la
era-ino,
ados
CAPITULO
7.16. Encude radconsta
7.17. El árbduraninterv
7.18. Una rmienthasta
7.19. La órbConsicomo
7.20. Un auEl camdel auautom
7.21. Una pfuerzaExprér, K, y
7.22. Debidse m
la tierde la
7.23. Refiértotal Respu
O 7] M
uéntrese el tiedio r si (a) la rante y el cuer
bol de una mánte un intervavalo? (b) ¿Cuá
rueda gira conto angular de antes de que
bita de la tieidérese a la tisu velocidad
uto se mueve mino tiene unutomóvil par
móvil. Respues
partícula con ma resultante quésese el tiempy m. Respues
do a la rotaciómueve sobre larra. Encuéntrestierra, P. Resp
rase al problemde la cuenta.
uesta:
MOVIMIENT
Problempo que requ
rapidez es conrpo parte del r
áquina, que glo de 10 s. (a
ál será la veloc
n una acelera140 rad en uncomenzara el
rra alrededor erra como unorbital alrede
a lo largo de peralte de una la cual no sta: v = √rg ta
masa m, iniciaue actúa sobreo que requierta: (12πrm/K
ón de la tierra circunferencise la aceleracipuesta: (4π2R
ma 5.22. Calcú
TO CURVIL
emas comuiere un cuerpstante en v0; (reposo. Respu
gira a 40 rev/sa) ¿Cuál serácidad angular
ación angular tiempo de 5 s intervalo de
del sol es apa partícula y
edor de él. R
e la curva de n ángulo 6 con
existe una fan θ
almente en repe la partícula re la partícula/K)1/3
en torno de suia de un círcuón centrípeta
R cos λ)/P2
úlese como un
LÍNEO EN U
mplementpo para viajar(b) la componeuestas:
s, proporcioná el desplazamr final? Respue
constante des. Si la rueda p5 s? Respuest
proximadamencalcúlese tanespuestas: 2 x
un camino qn respecto a lafuerza de fric
poso, recorre tiene una com
a para retornar
u eje, un objetulo de radio R del objeto en t
na función del
UN PLANO
arios
r alrededor deente tangencia
a una aceleramiento angulaestas: (a) 256
e 8 rad/s2 y llpartió del repota: 1 s
nte circular, to su rapidez x 10-7 rad/s; 3
que tiene un aa horizontal. Ección que eje
una trayectormponente tangr a su punto d
to ubicado sobcos λ, donde términos de λ
tiempo la ma
una trayectoral As de la ace
ación angular ar del árbol d63.3 rad; (b) 2
eva a cabo unoso, ¿cuánto t
de radio 1.5angular en to0 km/s
arco circular Encuéntrese laerza el camin
ria circular de gencial dada pde partida en t
bre ella a una~ 6400 km esy del periodo
gnitud de la a
71
ria circular eleración es
de 1 rad/s2
durante este 61.3 rad/s
n desplaza-tiempo giró
5 X 108 km orno del sol
de radio r. a velocidad no sobre el
radio r. La por Fs = Kt. términos de
a latitud λ el radio de de rotación
celeración
d
8.1 TRABAJ
El trabajouna trayecto
donde Fs= Fds = dx i + d
La unidad
8.2 ENERG
Energía ecuerpo en viviaja a rapid
La unidad
8.3 PRINCIEl princip
trabajo WAB la energía ci
TrabJO
o realizado pria específic
F cos θ es la dy j + dz k, ta
d de trabajo
GÍA
es la propiedrtud de su m
dez v tiene u
d de energía
IPIO DE EQpio de equivrealizado po
inética de la
bajo, ene
or una fuerzaa es
componenteambién se pu
d W = es el joule (
dad que permmovimiento se
na energía c
es la misma
QUIVALENCvalencia entreor la fuerza repartícula:
ergía ci
a F sobre una
e de F en la uede escribir
F ds = Fx dxJ), donde 1 J
mite a un obje denomina einética dada
que la del tr
CIA ENTRE Le el trabajo yesultante que
nética y
a partícula qu
dirección de
x + Fy dy + F2
J = 1 kg m2
jeto realizarenergía cinéta por
abajo, el jou
LA ENERGÍy la energía e actúa sobre
C
y potenc
ue se desplaza
l movimient
dz 2/s2 = 1 N m
r trabajo. Ltica. Una par
le.
ÍA Y EL TRAde una partí
e la partícula
Capítu
cia
a de A a B a lo
o (Fig. 8-1).
m.
a energía qurtícula con m
ABAJO
ícula establea es igual al c
ulo 8
o largo de
Dado que
ue tiene un masa m que
ece que el cambio de
74
EJEMconstan
8.4 P
Pot
donde por F y
Lasmina w
8.1.
8.2.
PLO 8.1. nte) a lo largo
POTENCIA
tencia es la r
F y v son lay v. Si la pos unidades dewatt y se abr
Una caja es horizontal. Ltrabajo se rea
Únicametanto,
Una pistola pistola tiene (b) ¿Qué fuede igual mag(a) La energ
(b) El trabaj
donde F tanto, dado que
(c) No, ya qu
TRABAJ
En el caso deo de una recta
razón de tiem
fuerza y veltencia no va
e potencia sonevia W. Por
arrastrada soLa tensión en aliza?
ente realiza tra
dispara una13 cm de lo
erza promediognitud a la fugía cinética de
o realizado so
es la fuerza p
e la bala estab
ue existen fuer
JO, ENERGÍ
e una partículaa, AB,
mpo en que s
locidad instaaría con el tien joules por slo tanto,
1 w = 1
Problemobre el suelola cuerda es
abajo la comp
a bala de 3 gongitud, (a) ¿o actúa sobreuerza de los ge la bala al sa
obre la bala e
promedio (co
a en reposo in
rzas de fricción
ÍA CINÉTICA
a que se mueve
e realiza un
antáneas, respempo, P = W
segundo. A es
J/s = 1 kg m
mas resuo por una cuede 100 N mi
ponente horizo
gramos con u¿Qué cantidade la bala miengases que se
alir del cañón
s igual al cam
n respecto a l
nicialmente.
n sobre la bala
A Y POTENC
e con acelerac
trabajo:
pectivamenteW/t. sta combinac
m2/s3
eltos
erda que formientras se arra
ontal de la ten
una rapidez d de energía ntras se muevexpanden soes
mbio de su ene
a distancia x)
a mientras se m
CIA
ción constante
e, y θ es el án
ión de unidad
ma un ángulastra a la caja
nsión, Tx = 10
de 400 m/s. se le propor
ve dentro delobre la bala?
ergía cinética,
ejercida so
mueve en el int
[CAPITULO
e (bajo una fue
ngulo forma
des se le deno
o de 60° cona 15 m. ¿Cuá
0 cos 60°. Po
El cañón derciona á la bal cañón? (c) ¿
?
,
bre la bala.
terior del cañó
O 8
erza
do
o-
n la ánto
or lo
e la ala? ¿Es
Por
ón.
CAPITULO
8.3 Un rifcinétirifle rhacia (a) L
(b) Pso
L
lo
8.4. Una bde patamañsegunindep
Enuye e
8] T
fle de 4 kg dca adquierenecorre hacia adelante. Véa energía cin
or conservacobre el sistem
a energía ciné
o cual expresa
bala que tiensar a través
ño, pero que da bala despendiente de
El tablón realizen forma igua
RABAJO, EN
ispara una bn (a) la bala y
atrás mientraéase la figuraética de la ba
ción de la canma (la bala y
ética del rifle
a que el centr
e una rapidedel tablón suva a 92 m/s
pués de traspla velocidad
za la misma cal sus energía
NERGÍA CIN
ala de 6 gram (b) el rifle? (
as la balar se a 8-2. ala es
ntidad de moel rifle),
es, entonces
o de masa de
ez de 153 m/u velocidad e, se dispara
pasar el tablód de la bala.
cantidad de tras cinéticas.
NÉTICA Y P
mos con una(c) Encuéntreencuentra en
ovimiento, da
l sistema perm
/s choca contes de 130 mcontra el tab
ón? Supóngas
rabajo sobre l
POTENCIA
rapidez de 5ese la razón en el cañón y l
ado que no a
manece en rep
tra un tablónm/s. Otra balablón. ¿Cuál sse que la res
las dos balas
500 m/s. ¿Quentre la distanla distancia q
actúan fuerza
poso. Resolvi
n de madera.a, de la mismserá la rapidesistencia del
y, por lo tant
75
ué energía ncia que el
que recorre
as externas
iendo
. Después
ma masa y ez de esta tablón es
o, dismi-
76
8.5. Se deja caeestaca de masuelo, suponimpacto; (b)que se pierd
(a) La rapidmovimi
donde vLa f
(M + mequivale
(b) Ahor
dado qla esta
TRABA
er un pesadoasa m, y penniendo que es el tiempo en
de en el impa
dez del marroento se conse
' es la rapidezfuerza resultam)g, donde f eencia entre el
ra, ΣF = ∆ρ/∆tque se conservaca junto con
AJO, ENERG
marro de metra en el su
s constante y n que la estacacto. Véase l
o en el momeerva en el inst
Mz del marro juante (hacia ares la fuerza dtrabajo y la e
t, donde ∆t esva la cantidadel marro. Ent
ÍA CINÉTIC
masa M desdelo una distaque la estacaa se encuentrla figura 8-3
ento de golpetante de la col
Mv = (M+m)v'unto con la esrriba) sobre
de resistencia energía, resu
s el intervalo dd de movimientonces
CA Y POTEN
e una alturaancia d. Encua y el marro pra en movimi.
ear la estaca lisión; por lo
' staca justo desla estaca jundel suelo. En
ulta
de tiempo entrnto) del impac
NCIA
a y sobre el euéntrese (a) lpermanecen jiento y (c) la
es v = √3gyque
spués del impnto con el mantonces, según
re justo despucto y el cese de
[CAPITULO
extremo de ua resistencia untos durantenergía cinét
. La cantidad
pacto. arro es Σ F =n el principio
ués (o justo anel movimiento
O 8
una del
te el tica
d de
= f o de
ntes, o de
CCAPITULO
(c) Exél
Po
o
8.6. Dos cupasa srepentpierde
El úsistemaactúa u
(a) Pa
La
ella
(b) La
8] TR
actamente ant
or lo que la c
la fracción p
uerpos, con msobre una poe al cuerpo qu
e el cuerpo q
único efecto da se puede anauna sola fuerza
ara t < 4 s, mA
a rapidez poc
Se supone qu sistema y un c
a cantidad de
a pérdida de e
RABAJO, EN
tes del impact
cantidad perd
perdida fue m
masas m y 2mlea lisa (Figue asciende. E
que desciend
de la polea esalizar conveniea wA wB [Fig
A = 2mB = 2m
co antes de t =
ue la adición dcuerpo con mamovimiento l
energía cinéti
NERGÍA CIN
to, la energía
dida por el m
m/(M + m).
m, se unen por. 8-4.) DespuEncuéntrensee cuando se
s cambiar la dentemente comg. 8-4(c)].
m, y la ecuació
= 4 s es, ento
de la masa en tasa m que se ela nueva rapid
ica de A es
NÉTICA Y PO
cinética del si
marro fue
r medio de unués de 4 s un
e (a) la velociañade el cue
dirección de lamo un solo cue
ón de movimi
onces
t = 4 s es equivncuentra en redez está dada
OTENCIA
istema era 1/2M
na cuerda inen cuerpo condad y (b) qué
erpo con mas
a tensión de lerpo con masa
ento es
valente a una eposo. Entonca por
Mv2, y justo d
extensible y ln masa m es é tanta energíasa m.
a cuerda, pormA + mB y sob
colisión ineláes, por conser
77
después de
igera que unido de
a cinética
r lo cual el bre el cual
stica entre rvación de
78
8.7.
8.8.
8.9 U
En la figuratícula con mde: (a) A a B(a) En la tray
Entonces
(b)
(c) (d) La comp
(cos ф).
Encuéntrese cuando act
Un cuerpo coa elevar un inextensibleel cuerpo deenergía ciné8-6.)
Este probla masa del s
(a) La rapidmovimieque la cupor cons
TRABA
a 8-5 evalúesmasa m, confo
B; (b) B a Ayectoria AB, ms, WAB = mgy
ponente de la
el trabajo reúa sobre un
on masa m, decuerpo con que pasa sob
e masa M parética cuando
lema es básicsistema se inc
dez del cuerpento, que es la uerda se tensaservación de la
AJO, ENERGÍ
se el trabajorme la partíc; (c) A a B a
mg se encuentgy.
fuerza en la
alizado por una partícula
espués de caemasa M (M bre una poleara retornar a el cuerpo de
amente el miscrementa, por
po B, poco ancantidad de m
a, la rapidez da cantidad de
ÍA CINÉTIC
realizado pcula se muevea C, (d) A a C
ra en la direcc
dirección del
una fuerza daa que se mu
er desde el rep> m), unido
a fija y lisa. Esu posición
e masa M es
smo que el 8.6lo que la can
tes que la cuemovimiento dedel sistema (lamovimiento,
CA Y POTEN
or el peso me (debido a laC directamención opuesta a
movimiento
ada en unidadeve de x =
poso a través o a él por mEncuéntrenseoriginal; (b)puesto en m
6: sólo se ejentidad de mov
erda se tense,el sistema, es ma rapidez com
NCIA
mg que actúaa aplicación dnte; (e) A a Ba la dirección
es -mg cos ф
des del SI porl m a x=3m
de una distanedio de una e (a) el tiemp la fracción d
movimiento. (
ercen fuerzas vimiento se co
, es v = √2gy mv. Inmediatammún de los dos
[CAPITULO
a sobre una pde otras fuerzB a C a A.
del movimien
ф y AC = ∆s =
r Fx = 5 x 4m.
ncia y, comiecuerda liger
po que requerde cambio en(Véase la fig
internas cuanonserva.
y su cantidadmente despuéss cuerpos) es
O 8
par-zas)
nto.
= y/
,
nza ra e rirá n la gura
ndo
d de s de s v';
CAPITULO
M
dm
s
(b)
8.10. Un ca(véasfuerzN; lasiempestá
E A
P
fuerala setraye
E
O 8] T
Más aún, la a
donde la direcmiento.
Aplicandosistema retorn
La fracción
amino liso ense la figura 8zas F1, F2, y fuerza F2 siepre actúa tanen m. Si la p
l trabajo reali
A partir de la
uede observara la trayectoriección 9.1). Pectorias que uEl trabajo reali
TRABAJO, E
celeración de
cción positiva
o la fórmula dna a su posició
de cambio en
n forma de u8-7). Una parF3. La fuerza
empre actúa hngencialmentpartícula tien
izado por F, e
figura 8-7, d
rse que W1 = (2a de integraci
Para una fuerunan dos puizado por F3 e
ENERGÍA CI
l sistema está
a es la .que se
e la aceleración original cua
n la energía c
un cuarto de tícula que pea F1 siempre
horizontalmente al camino
ne velocidad
es:
ds = (6 m) d(
20 N) (6√2~ mión. La razón rza como éstauntos dados.es:
INÉTICA Y P
á dada por
e utilizó ante
ón constante sando
inética es
círculo de resa 4 N se mu
es hacia P2 ynte y siempre
y tiene una 4 m/s en P1,
(-2θ) = -12dθ
m), justo comode esto es qua, el trabajo
POTENCIA
riormente par
s = vot + 1/2at
radio 6 m yaueve de P1 a y siempre tietiene 30 N demagnitud de ¿cuál será su
θ , y F1 = 20.
si la cuerda Pe F1 es una fues el mismo
ra la cantidad
t2, se descubre
ace en el planP2 bajo la ac
ene una magne magnitud; l (15 10 s) Nu velocidad
Por lo cual
P1P2, y, no el aruerza conserva
a lo largo d
79
d de movi-
e que el
no vertical ción de las nitud de 20 a fuerza F3
N cuando s en P2?
rco circular, ativa (véase de todas las
80
t
y
E
8.11. Uq
dl
ee
8.12. E¿m
Para calcutrayectoria en
y
El trabajo
Entonces, segú
Una máquinaque el agua pde longitud dla cual se im
Durante uenergía cinétientonces
El martillo de¿Qué potencimartillo mien
TRABAJO
ular el trabajo la dirección
total realizado
ún el principi
a bombea conpasa por la e
del agua expumparte energí
un pequeño ica de esta agu
e cuatro tonea suministra ntras éste se
O, ENERGÍA
realizado porde la fuerza, e
o es
W1+io de equivale
ntinuamenteembocadura ulsada conforía cinética al
intervalo de tua es 1/2(kv ∆t
ladas métricala máquina alevanta
A CINÉTICA
r F2 y por w, en lugar de ha
W3+W2+W =encia entre el
e agua a travéde la mangu
rme abandonl agua.
tiempo, ∆t, lat)v2. La razón
as (4000 kg) al martillo? S
A Y POTENC
es convenienacerlo a la inv
23J trabajo y la en
és de una mauera es v, y sa la embocad
a masa de agn a la cual se im
de un martinSupóngase qu
CIA [
nte tomar la pversa. Por tan
nergía.
anguera. Si lsi k es la madura, encuént
gua expulsadamparte la ene
nete es elevadue no existe a
[CAPÍTULO
royección de to,
a rapidez cosa por unidatrese la razón
a es k(v ∆t). Lrgía cinética e
do 1 m en 2 saceleración de
8
la
n ad n a
La es,
s. el
CAPITULO
8.13. Una es de
8.14. A 8
2 h?
8.15. Una rizonfuerz
8.16. La fuel tra
Resp
8.17. Un v(a) ¿Qde 1 canza
8.18. La enp = m
(F =
8.19. Un blel trabloqu(a) 0
SM. Una a un un de
SJ1. ¿Quétante
8J2. En eExplpone
mien
O 8] T
lancha es ree 6 kN. ¿Cu
centavos po(1 hp = 746
niña ejerce untal de una meza? Respuesta:
uerza que actúabajo realizado
puesta:
vagón de ferroQué trabajo rekN y la direcca esta energía
nergía cinéticmv. Utilizando
fuerza, t = ti
loque se deslizabajo realizadue; (b) la fuer0; (b) -f∆s
fuerza horizoángulo de 60°esplazamiento
é potencia debe de 1 m/s? R
el problema 8.íquese esto. Re
ente centrípeta
ntras que F! co
TRABAJO, E
molcada a unál es la pote
or kilowatt-h W.)
Probluna fuerza hoesa una distan: 36 J
úa sobre una po por esta fuer
carril se aceleealiza la fuerzción del movi
a cinética. Resp
ca de una parto el cálculo di
empo.)
za sobre un plado por (a) la rza de la fricci
ntal constante con respecto o de 3 m de la
be suministrarRespuesta: 68
.10, ¿la partícuespuesta: No;
a necesaria. Po
os 45° w =
ENERGÍA CI
na velocidadencia sumini
hora, ¿cuál e
lemas comrizontal de 20ncia de 1.80 m
partícula susperza al moverse
era desde el rea ejercida sobimiento, encuépuesta: (a) 0.
tícula está dadiferencial mué
ano áspero a locomponente nión cinética f
e de 900 N ema la horizontala caja a lo larg
r un motor pa6 W
ula sólo se mudeben operar
or ejemplo, en
10.14 N.
INÉTICA Y
d de 20 m/s ystrada por e
es el costo de
mplement0 N al empujm. ¿Cuánto tr
endida está dae la partícula
eposo hasta qubre el vagón? (éntrese la dist.5 MJ; (b) 50
da por K = 1/2éstrese que:
o largo de una normal N de que ejerce el
mpuja una cajal. ¿Cuál es el tgo del plano i
ara elevar a un
ueve bajo la afuerzas radialeP1 la fuerza c
POTENCIA
y la tensión el cable de re
e operar un
tarios
ar un caja a trabajo se reali
ada por Fy = de y1 a y2.
ue tiene una en(b) Si la fuerzancia que reco00 m.
2mv2, y la cant
trayectoria dela fuerza queplano sobre e
a conforme subtrabajo realizainclinado? Re
n hombre de 7
acción de las ces adicionales
centrípeta nece
en el cable deemolque al b
motor de 5
través de la ciza sobre la c
ky + mg. En
nergía cinéticaza tiene un valorre el vagón
tidad de movi
e longitud As. e ejerce el plael bloque. Resp
be por un plando por esta fuespuesta: 1.35
70 kg a una ra
cuatro fuerzas para proporcio
esaria es
81
e remolque bote?
hp durante
cubierta ho-aja con esta
ncuéntrese
a de 0.5 MJ. lor constante mientras al-
imiento por
Encuéntrese ano sobre el puestas:
no inclinado erza durante
5 kj
apidez cons-
que se dan? onar la com-
En
9.1 FUER
Una fuermedio de
se le denompequeño des
El trabajU:
Este trabajotrayectoria cfuerza de fr
9.2. ENER
Un cuerpenergía denconservativa
EJEMPLO 9Hooke cuandvativa es un gravitaciona
9.3. CONS
La ley delesquiera A
no realicen Cuando
partícula se
nergía p
RZAS CONSE
rza F que se
ina fuerza cosplazamiento
o realizado p
o es independcerrada, este tricción cinét
RGÍA POTEN
po que está sunominada enea.
9.1. La ley de do se comprim
campo gravial de una partí
SERVACIÓN
e la conservaA y B de la tr
trabajo algununa fuerza dmueve de A
potencia
ERVATIVAS
puede obten
nservativa. Ao arbitrario de
or una fuerza
diente de la trabajo es ceroica) depende
NCIAL
ujeto a una fuergía potenci
Hooke, Fx = me una distanitacional unifoícula con mas
N DE LA ENE
ación de la eayectoria de
KA+UA = KB
na sobre la pde fricción ca B, se tiene
al y cons
ner a partir de
Aquí, Fs es la el punto de o
a conservativa
trayectoria qo. El trabajo re de la trayec
uerza conservial, se mide
kx, es consecia x tiene unorme g dirigisa m a una a
ERGÍA
energía en ele la partícula
B+UB
artícula las fcinética ejecu
KA+UA = KB
servaci
e una función
componente observación.
a es el negativ
que una a lorealizado por ctoria que se
vativa tiene enpor medio d
ervativa. Entonna energía potido verticalmealtura y es
l caso de unaa,
o ∆K
fuerzas no couta un trabaj
B+UB + |WF|
C
ón de la
n U dependie
de la fuerza eEn forma vec
vo del cambio
s puntos A yuna fuerza no
e elija entre l
nergía en virte la función
nces, un resortetencial U = 1/2ente hacia abaU = mgy.
a partícula es
K + ∆U = 0
onservativas.o de magnit
Capítu
a energ
ente de la po
en la direccióctorial,
o de la funció
y B; en el cao conservativlos dos punto
tud de su posU asociada
e que obedece/2kx2. Otra fueajo; la energí
s: para dos pu
tud |Wf | con
ulo 9
ía
osición por
(9.1)
ón de ds un
(9.2) ón asociada
(9.3)
aso de una va (como la os.
ición. Esta a la fuerza
e a la ley de erza conser-ía potencial
untos cua-
(9.4)
nforme una
84
y se direalizaentonce
9.1. Umte
9.2. UAp
ice que la enn sobre una es
Una caja quem de altura. trabajo se reenergía cinét(a) El trabajo
(b) El cambi
(c) Debido atrabajo torealizado Pero com
Una piedra qA partir de cpiedra y el su
ENERG
nergía se disipartícula de
KA+UA = K
e pesa 200 N La fuerza pr
ealiza? (b) ¿Ctica? (c) ¿Cuo realizado po
io de la energ
a que la caja potal realizado o por la fricció
mo W = fs
que pesa 20 consideracionuelo conform
GÍA POTENC
ipa por friccA a B fuerz
KB+UB- W'
Problem se iza sobreromedio (parCuál es el cauál es la fueror la fuerza d
gía potencial
parte del repospor las fuerzaón sobre la ca
(la fuerza de
N cae desdenes sobre la
me la piedra p
CIAL Y CON
ión. De manzas que no h
o
mas resue un plano incralela al planambio de la erza de friccióde izamiento e
es
so y termina sas no conservaaja. Entonce
fricción f se o
e una altura energía, encpenetra. Véa
NSERVACIÓN
nera más genan sido toma
∆K + ∆U
eltos
clinado que tno) es de 120energía potenón que actúa es
su movimientativas es Wi →fes
opone al movi
de 16 m y pcuéntrese la fase la figura
N
neral, si el tradas en cuen
U=W'
tiene 10 m de0 N. (a) ¿Quncial de la csobre la caj
to en el reposof + W, donde
imiento de la
penetra 0.6 mfuerza prome9-1.
[CAPITULO
abajo total qnta en U es W
(9.
e longitud y é cantidad daja? ¿Y en sa?
o, ∆K = 0. e W es el traba
caja), entonc
m en el sueloedio f entre l
O 9
que W',
.5)
3 e
su
El ajo
es
o. la
CAPITULO 9] ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN 85
Entre A y C, se efectúa sobre la roca un trabajo no conservativo W' = -fh'. 9.3. Una carga W se suspende de un carro por medio de un cable de longitud d [véase Fig.
9-2(a)]. El carro y la carga se desplazan a una velocidad constante v0. Un tope detiene al carro y la carga sujeta al cable comienza a oscilar, como se muestra en la figura 9-2(fo). (a) ¿Cuál es el ángulo a través del cual oscila la carga? (b) Si el ángulo es de 60° y d = 5 m, ¿cuál será la velocidad inicial del carro?
(a) El cable no realiza un trabajo sobre la carga, por lo que se conserva la energía de la carga.
9.4. Una fuerza F = x2y2i + x2y2j (N) actúa sobre una partícula que se desplaza en el plano XY. (a) Determínese si F es conservativa y (b) encuéntrese el trabajo realizado por F conforme mueve la partícula de A a C (Fig. 9-3) a lo largo de cada una de las trayectorias ABC, ADC y AC.
(a) Si F es conservativa, entonces
86
9.5.
De aquí El trabajo r
A l Entonces
A l
Entonces
A l
Una partícucircular liso relaciona θ1
Como En P2 desaparadial del pesegunda ley
ENER
que la fuerzaealizado por
o largo de AB
s
o largo de AD
s
o largo de AC
ula se muevede radio R (
y θ2. la fuerza nor
arece la fuerzaso de la partícde Newton,
RGÍA POTEN
dada sea no c F está dado
B, y = 0 y po
D, x = 0 y po
C, x = y y dx
a partir del(Fig. 9-4). En
rmal no realiz
a normal que cula, mg sen θ
NCIAL Y CON
conservativa. o por
or tanto WAB
or tanto WAD
= dy. Enton
l reposo desdn P2 abandon
a trabajo algun
ejerce la supeθ2, como la fue
NSERVACIÓ
(b)
= 0. A lo lar
= 0. A lo lar
ces,
de P1 sobre na el cilindro.
no sobre la pa
erficie, quedanerza centrípet
ÓN
rgo de BC, d
rgo de DC, dy
la superficie Encuéntrese
artícula, su ene
ndo únicamenta instantánea
[CAPITULO
dx = 0 y
y = 0 y
e de un cilin la ecuación
ergía se conse
nte la compon. Entonces, po
O 9
ndro que
rva.
nente or la
CAPÍTULO
9.6. Un cay rueque erapide(a) C
3
Ala
(b) A
9.7. Un aulo largtrabajresult(a) L
exso
dru(nE
(b) SS
9]
arro de jugueda sin fricció
el automóvil ez del carro e
Cuando h tien3. Entonces, e
Además, la enea posición 3:
Aplicando la c
utomóvil, qugo de un camjo realizado ptado obtenid
Las fuerzas exxterna neta esobre las llanta
onde acm es lauedas que estáno patinan), l
Entonces, Wext
i no se realizaSe podría habl
ENERGÍA P
ete parte del ón a lo largopuede come
en la posicióne el valor crít
en 3,
ergía potencia
conservación
e parte del remino horizontpor las fuerzo en (a) con
xternas que acs f1 + f2 (laas). Esta fuer
a aceleración dán instantánealas fuerzas f1 = 0.
a trabajo exterlar de un "tra
POTENCIAL
reposo desdeo del rizo 12enzar su movn 4?
tico, el carro
al del carro en
de la energía
eposo, alcanztal, (a) No co
zas externas qla conservac
ctúan sobre ela suma de las za acelera al
del centro de amente en cont
y f2 que actú
rno sobre el siabajo interno"
AK
L Y CONSER
e la posición 324. (a) Enc
vimiento sin
deberá perde
la posición 1
a entre las pos
za una energonsiderando que aceleranción de la en automóvil sefuerzas de friautomóvil, es
masa del autotacto con el caúan sobre esta
istema, ¿de dó" W', de tal m
K=K0=W
RVACIÓN
1 que se mucuéntrese la aque caiga de
r contacto con
es la misma q
siciones I y 4
ía cinética Kla resistenci
n al automóvinergía?
e indican en laicción estáticasto es,
omóvil. Dado amino se hallaas partes no r
ónde proviene manera que W'
uestra en la faltura h más el carril, (b)
n el carril en
que su energía
4,
K al acelerar sa del aire, enil, (b) ¿Es co
a figura 9-6. La ejercidas po
que las porcioan en reposo rerealizan traba
su energía cin
87
figura 9-5(a)pequeña en¿Cuál es la
n la posición
cinética en
sin patinar a ncuéntrese el ompatible el
La fuerza or el camino
ones de las elativo a él ajo alguno.
nética K?
88
9.8. Uc
r
9.9. C
n 9.10. ¿
d
9.11. Cvpey
Más aún,contenida
Una pieza decociente de l
El sistemreposo, por lo
Calcúlense lanales: (a) U
¿Qué cantidade 2 m a otra
El trabajo
A diferenéste no esgravitacio
Considérese,vertical por dpor un ánguloen el instante y tiene un de
ENERG
, se podría idea en la gasolin
e artillería delas energías
ma constituidoo que debido
as fuerzas F(y=-ωy, (b) U
ad de trabajo a de 20 m: (a
o es negativo
ncia del trabajstá sujeto a unonal:
en la figuradebajo de un po β0 y luego sque se muest
esplazamiento
GÍA POTENC
entificar W cona) y escribir
e masa m1, dcinéticas de
por la pieza da la conserva
(y) asociadas U = ay3- by2
realizan al ma) ¿el campo
o debido a que
o gravitacionana aceleración
a 9-7, un pénpequeño clavse libera a partra en la figuro angular θ c
CIAL Y CON
on el decremela conservació
ispara un prola pieza de
de artillería yación de la ca
con las sigu(c) U = U0 s
mover un cue gravitaciona
e la fuerza se
al, el trabajo en (∆K = 0), en
ndulo de longo C. Supóngartir del reposoa, cuando se rcon respecto
NSERVACIÓ
ento de una "eón de la energ
oyectil, conartillería y d
y el proyectil santidad de mo
ientes energísen βy .
erpo con masal de la tierra
opone al mo
externo depenntonces W' = 1
gitud ℓ suspease que la leno. Encuéntresrecorre una tra la vertical.
ÓN
energía interngía como
n masa m2. del proyectil.
se encuentra iovimiento
ías potenciale
sa de 1 kg dea? (b) ¿un ag
vimiento.
de de la rapid176.4 J, el neg
endido a una teja inicialmese la velocidaayectoria circ.
[CAPITULO
na" ф (la energ
Encuéntrese.
inicialmente e
es unidimens
sde una alturgente externo
ez del cuerpogativo del trab
distancia ℓente se desplaad v de la lentcular de radio
O 9
gía
e el
en
sio-
ra o?
. Si bajo
ℓ1
aza teja o ℓ1
CAPITULO
todo puntoLa endel rde la
9.12. Se dbloqen elmesa
poco
la fue
9.13. Consmasade la
9.14. Una
cuanelástuna m
9.15. En elautomResp
O 9]
La tensión qusu movimien
o más bajo de nergía potencreposo y su ena energía es
dispara horizque de 7 kg ql bloque (B).a es de 0.4, ePor conservac
o después de la
erza de fricció
sidérese una coa ml y otra parta energía cinét
pelota con mado la cuerda eica (se consmesa lisa. Enc
l problema 9.móvil ejerza puesta: h = r/
ENERGÍA
ue la cuerda ejnto. El peso dla trayectoriaial de la lentejnergía potenc
zontalmente que se encue Si el coefic
encuéntrese lción de la cana interacción e
ón realiza un tr
Problolisión elástictícula inicialmtica de la prim
asa m, se amaestá horizontaerva la energícuéntrese la r
6, ¿cuál debercontra la part2
POTENCIAL
jerce sobre la de esta últimaa como punto dja en el instanial inicial es
una bala de entra sobre lciente de fricla distancia qntidad de moves p = mbvob; p
rabajo Wf = f
lemas coma (se conserv
mente en reposmera partícula
arra a una cueal. Cuando la ía) con un bloapidez de la p
ría ser la alturte más alta de
L Y CONSER
lenteja no reaa es la única de referencia pnte que se muemgℓ (1 cos
20 g con una cubierta d
cción cinéticaque el bloquevimiento el mor lo que la en
fs = µk(mB +
mplementva la energía) so con masa m?
erda de longitucuerda está v
oque de masa pelota y la del
ra del comienel carril una f
RVACIÓN
aliza trabajo afuerza que repara la energíestra es mgℓ(1β0), la expres
na velocidade una mesa; a entre el bloe se deslizará
momentum del nergía cinética
mb)gs para de
tarios
unidimensionm2. ¿Cuál es la
ud L (véase lavertical, la pel
m2, que se enl bloque justo
nzo del movimfuerza igual a
alguno sobre lealiza trabajoa potencial gr
1 cos θ). Dadsión para la c
d de 600 m/sla bala (b)
oque y la cubá. sistema bloq
a del sistema e
etener el bloqu
nal entre una pfracción del d
a figura 9-8) yota realiza un
ncuentra en reo después de l
miento si se de su peso?
89
la lenteja en . Tómese el
ravitacional. do que parte onservación
s contra un se incrusta bierta de la
que-mas-bala s
ue. Por tanto,
artícula con decremento
y se suelta na colisión poso sobre a colisión.
esea que el
90
9.16. U
m
9.17. U
9.18.
9.19. U
9.20. Uh
R
9.21.
Un pequeño bcírculo de radencuentra inicque ambos blomovimiento ecuando aband
Un bloque se(Fig. 9-10). ¿la esfera? Res
Obténgase la inaplicable la
Un péndulo cgirar sobre unlibera, como scuentra a un án
Un bloque cohorizontal. Enque comienzaRespuesta: v =
Un resorte qmente contra el resorte se sel centro de mRespuestas:
ENERG
bloque con mdio R cortada
cialmente en reoques se encuen la cima de dona al bloque
e desliza a pa¿A qué distancspuesta: x = R
respuesta dea diferencia en
consiste en unn punto fijo yse muestra en ngulo θ? Respu
on masa m sencuéntrese la a su movimien= [2gh(1 µ cot
que obedece ael suelo hasta
suelta, ¿qué cmasa del resor
(a) cero; (b)
GÍA POTENC
masa m se desa sobre un greposo sobre unentran inicialmla trayectoria
e grande. Resp
artir del reposcia por debajoR/3
l problema 9ntre un cilindr
na barra rígidy otro extremola figura 9-11
uesta: v - [2gℓ(
e desliza hacirapidez del b
nto a partir deθ)]1/2
a la ley de Hoa alcanzar unacantidad de trarte por encim h = kL2/8Mg
CIAL Y CON
sliza hacia aban bloque co
na mesa, y ambmente inmóvila. Si m = M, puesta: v = √g
so desde la co de la cima d
.17 a partir dro y una esfer
da ligera de loo que porta u1. ¿Cuál es la (cos θ - cos θ0)
ia abajo sobrloque después
el reposo y qu
ooke, con maa longitud L/2,abajo realiza e
ma de su posicig
NSERVACIÓ
bajo sobre unn masa M (F
bos objetos se mes y que el blencuéntrese lgR
ima de una ede la esfera e
el resultado dra en este caso
ongitud ℓ, queuna masa m. E
rapidez de la )]1/2
re un plano qs de que desci
ue el coeficien
sa M y const, donde L es sel suelo sobreión original?
ÓN
a trayectoria ig. 9-9). El bmueven sin frioque con masla rapidez del
esfera sin fricl bloque perd
del problema o?
e tiene un extEn un ángulo masa m cuand
que forma un iende una altunte de fricción
ante k, se comu longitud nat
e él? (b) ¿A qu
[CAPITULO
de un cuartobloque grandeicción. Supóngsa m comienza bloque pequ
cción de radioderá contacto
9.5. ¿Por qué
tremo que puθ0 el péndulo
do la barra se
ángulo θ conura h suponienn es µ.
mprime vertictural, (a) Cuanué altura se el
O 9
o de e se gase a su eño
o R con
é es
ede o se en-
n la ndo
cal- ndo eva
Un cuerpconstante. Elrespecto a és
En los cáxcm, ycm, zcm Para un cuer
10.1 MOM
Considértravés del pual eje se denose define com
Una torca, ela torca es untorno a un ej
La torca ptinguir entrecontrario al manecillas d
Es
po rígido es l centro de mste (esto es ciálculos reales m del rcm
rpo continuo
MENTO DE T
rese una fuerunto O del plomina brazo mo el produc
en cualquier na medida dee dado. La upuede tener
e los dos sentgiro de las m
del reloj es ne
stática d
aquel en el masa, como sierto sin impdel centro de
o, las sumas
TORSIÓN (T
rza F que yalano (Fig. 10de palanca, D
cto de la mag
punto de une la eficacia
unidad de la tun sentido ctidos de rota
manecillas deegativa.
de los c
que cada pae definió en ortar que el ce masa, a me
se reemplaz
TORCA)
ce en un plan0-1). La distaD. La magnignitud de la f
τ = F
n cuerpo rígicon que una orca es él neomo el de la
ación se adopel reloj es pos
cuerpos
ar de puntos (5.1), en el ccentro de ma
enudo es más
zan por integ
no y un eje pancia perpentud τ de la tofuerza y el br
FD
ido, la experfuerza dada wton-metro (
as manecillaspta la convensitiva y que l
Ca
rígidos
siempre mancaso del cuerasa sea un pun
simple encon
grales:
perpendiculandicular de lrca (momentrazo de pala
rimenta el cuproduce la r
(N m). s del reloj o nción de que la torca en el
apítulo
s
ntiene una srpo rígido estnto o no del ntrar las com
ar al plano qa línea de acto) de F en tonca; esto es,
uerpo en su crotación del c
al contrario.la torca en
l sentido de g
o 10
eparación tá fijo con cuerpo).
mponentes
ue pasa a cción de F omo al eje ,
conjunto; cuerpo en
Para dis-el sentido giro de las
92
Una
donde direcci
EJEMPmenta e
Un dm g, dcuerpo,
Por tancuerpo
10.2
Un con veleje cuaen que
La segu
En aplicarsobre lfuerza.
MuXY, la que tod
10.1. C
a expresión m
la magnitudión de τ) es p
PLO 10.1. en un campo elemento dm
donde r es el r,
nto, la torca go Mg, que act
CONDICIO
cuerpo rígidlocidad const
alquiera. ParaΣFext = 0, o
la sumala sumala suma
unda condici
la sumala sumala suma
el problema r al calcular lla línea de ac
uchos problemprimera cond
das las torca
Cuatro partícun rectángumasa.
Constrúyen la partícupecto a sus
ESTÁ
más compact
de la torca eerpendicular
Calcúlese lagravitacional del cuerpo ti
radio, vector q
gravitacional túa en el cent
ONES DEL E
o se encuentrtante (vcm = c
a que haya eq
a algebraica da algebraica da algebraica d
ión del equili
a algebraica da algebraica da algebraica d
10.6 se muelas torcas en cción de una
mas incluyendición se reduas son parale
culas con maulo de lados
yase un sistemula de 1 kg. Lmasas, (0,0),
ÁTICA DE LO
ta de la torca
τ
es τ = rF senal plano dete
a torca en tornuniforme g.
iene un peso que parte de O
también se ptro de masa.
EQUILIBRIO
ra en equilibrconstante, acm
quilibrio se de
de las compode las compode las compo
ibrio es que Σ
de las compode las compode las compo
estra que si stomo a cualqfuerza desco
fuerzas exteuce a dos eculas al eje Z.
Problemasas de 1 kga y b (Fig. 1
ma de coordenLas coordenad, (a,0), (a,b),
M = m
OS CUERPO
a o momento
τ = r x F
n θ = FD y derminado por
no a un punto
dm g; por lo O y llega hast
puede obtener
O
rio si su centm = 0) y si noeben satisface
onentes en Xonentes en Yonentes en Z
Στext = 0, o
onentes en Xonentes en Yonentes en Z
se cumple la quier punto qonocida, con
ernas coplanaaciones y la s
mas resue, 2 kg, 3 kg 10-2). Si a=l
nadas cartesiandas de las cua y (0, b). La
m1+m2+m3+m
OS RÍGIDOS
de torsión e
donde el eje dr r y F.
o fijo O que u
que una difera el elemento
r tomando en
tro de masa eo existe rotacer dos condic
X de las fuerzY de las fuerz
de las fuerza
de las torca de las torcade las torcas
primera conque se elija. Ulo que se elim
ares. Si se tomsegunda cond
eltos
y 4 kg se enl m y b = 2 m
no en el planoatro partículasmasa total M
m4= 10kg
S [
es
de la rotación
un cuerpo con
rencial de la to dm. Integran
n cuenta el pe
está en reposoción del cuerpciones. La pri
zas externas =zas externas =as externas =
s externas = s externas = s externas = 0
ndición, la seUsualmente smina la torca
ma ese planodición a una so
cuentran en m, encuéntre
o del rectángus son, en orde
M es
CAPITULO
n inducida (l
n masa M exp
torca es dτ = ndo sobre todo
eso completo
o o moviéndopo en torno aimera condic
= 0 = 0 = 0
0 0
0
gunda se puese elige el pua debida a dic
o como el plaola ecuación,
los vértices ese el centro
ulo, con el origen creciente r
10
la
eri-
r X o el
del
ose un ión
ede unto cha
ano , ya
de de
gen es-
CAPITULO
Susti
10.2. La fimate
Entoda equiv+ (30
Pero
A
a su m10.3. Encu
hech El
y por
10]
ituyendo las e
igura 10-3 esrial homogén
n el cálculo desu masa estuvvalente a una0/2) = 51 cm.
dado que el m
Al escribir ycm =masa, el centruéntrese él cea de un mate
l cuadrante es
r los ejes de c
ESTÁTICA
ecuaciones pa
s la vista lateneo. Encuéntr
el centro de mviese concent
a masa puntua Entonces,
material es ho
= 0 se utilizó eo de masa necentro de maserial con ma
stá limitado p
coordenadas;
A DE LOS CU
ara el centro
eral de un perese su centro
masa de un cuetrada en su pral mA en xA =
omogéneo,
el hecho de qucesariamente esa dé un cuadsa σ por uni
or la elipse
su área es A
UERPOS RÍ
de masa, se e
equeño compo de masa.
erpo, cualquierropio centro d36/2 = 18 cm
ue si un cuerpoestará sobre ddrante de unadad de área.
= πab/4.
GIDOS
encuentra que
ponente de un
r parte de éstede masa. Por
m y una masa
o posee un eje icho eje. a sección elí Véase la fig
e
na máquina h
e se puede trattanto, la piez
a puntual mB e
de simetría co
íptica y muy gura 10-4.
93
hecha de
tar como si za dada es en xB = 36
on respecto
delgada
94
10.4.
10.5.
LocalíceseLas coo
donde a es
Encuéntresidad const
En la fide Z. Las
ESTÁ
e el centro derdenadas del c
la masa por u
se el centrotante p.
gura 10-6 las coordenadas
ÁTICA DE L
masa de un centro de mas
unidad de área
o de masa d
a base del cons del centro d
LOS CUERP
cascarón hema son xcm = yc
a del cascarón
de un cono
no se encuene masa son xc
POS RÍGIDO
misférico de r
cm = 0 y
n. Dado que
circular rec
tra en el plancm = ycm = 0 y
OS
radio R (Fig.
to de altura
no XY y el ejey
[CAPITULO
. 10-5).
a h, radio R
e de simetría
O 10
, y den-
a lo largo
CAPITULO
Por
10.6. Muéresu
Eespapor dad
O 10]
r triángulos sim
éstrese que, ultante tieneEn la figura 1acio pero que
o que, por hip
ESTÁTIC
milares,
si la fuerza un valor fij
10-7 se muestno necesariam
pótesis, ∫ dF
CA DE LOS C
externa resuo, independitran dos puntomente pertene
= 0.
CUERPOS R
ultante sobreiente del punos arbitrarios
ecen al cuerpo
RÍGIDOS
e un cuerpo rnto en torno s, P y Q, que rígido. La tor
rígido es ceral cual se lase encuentranrca en torno a
95
ro, la torca a calcule. n fijos en el P está dada
96
10.7.
10.8.
A una barracuelga una ccontacto conla cuerda CDde ℓ si la ma(a) El sistem
figura 10tenían fr
Igualmegiro de l
A partir
(b) Con F2 =
Dos ruedas,ciable y puefigura 10-9(sistema se e
Supóngasindican en la largo de los muestra en la
ESTÁ
a muy ligera carga de 311n unas paredeD y las fuerayor fuerza
ma se encuent0-8(b) se encuricción. La co
ente, después dlas manecillas
de la condici
= F1 = 2224 N
, con pesos Wden rodar lib
(a). Encuéntrncuentra en
se que los plafigura 10-9(aplanos inclin
a figura. Los
ÁTICA DE LO
(Fig.10-8(a14 N en el pues verticales rzas de reacde reacción tra en equilibuentran en la
ondición de la
de sumar las ts del reloj), se
ión para la fu
ΣF1 = F2
N, a partir de
W y 3W, se bremente sobrese el ángulequilibrio es
anos inclinadoa), son normanados. Calcúlbrazos de pal
OS CUERPO
), que se encunto B. Los y lisas, (a) Scción en A yen E es de 2
brio estático. dirección X d
a fuerza en la
torcas en torne obtiene que
erza en la dir
-F,=0
e la condició
conectan pobre los planoslo ф que formstático.
os son lisos, qales y que las rese la suma lanca respect
OS RÍGIDOS
cuentra suspextremos de
Si ℓ = 0.25 my E. (b) Dete2224 N. Las fuerzas ddebido a que dirección Y d
no a E (es po
rección X se o
o F2 = 8
n de la torca
or medio de s inclinados ama la barra c
que las fuerzasruedas no rodde las torcas ivos de las fu
[C
pendida por ue la barra se
m, encuéntresermínese el
de reacción qse supuso queda
ositivo el senti
obtiene que
865N
a se tiene que
una barra dea 45° que se con la horizo
s de reacción darán sino que
en torno al puerzas W y 3
CAPITULO 1
una cuerda,encuentrane la tensión evalor máxim
que se ven en e las paredes
ido contrario
e
e peso desprmuestran en
ontal cuando
F1 y F2, que e resbalarán a punto P que W son
10
se en en
mo
la no
al
re- la el
se lo se
CAPITULO
Por t
Uque lintuipoten
A papotenes inción energ
10]
tanto (son po
Un valor negatla rueda más ción física, sncial gravitaci
artir de la gráncial es un má
nestable. Con ф = 26.6
gía potencial
ESTÁTICA
ositivas las tor
ivo de ф signiligera. Este rse debe analional del siste
áfica de esa áximo. Esto sla más leve a° y llegará es un mínimo
A DE LOS C
rcas en el sen
ifica que en elresultado, conlizar más proma con respec
función (Fig.ignifica que e
aplicación de a la posici
o). Obsérvese
CUERPOS RÍ
tido contrario
l equilibrio la ntrario al dibuofundamente. cto" al punto C
. 10-10) se oel sistema se euna torca negón de equilique cuando la
ÍGIDOS
o al giro de las
rueda más pesujo de la figu
Calcúlese prC de la figura
bserva que aencuentra en gativa, el sisteibrio establea rueda más p
s manecillas d
sada permanecra 10-9, y conrimeramente 10-9(b)
a ф = 26.6° equilibrio, peema abandonae, ф = 45° pesada se encu
97
del reloj):
ce más alto ntrario a la la energía
la energía ro que éste ará la posi- (donde la
uentra en el
98
10.9.
punto C estásobre ella ttorca, que in
Para comф = -45°.
Un conjuntofigura 10-llinferior y lala izquierdhorizontal
Para mo(1) La fuerz
la mesa
ESTÁ
á en contactoiene una direncluye el puntmpletar la solu
o muy grandl(a). Los coea cubierta de da la pila deF. Encuéntrever la pila de
za F debe supea. Véase la fig
ÁTICA DE L
o con ambos pección desconto P, no propución de este p
de de platos ficientes de la mesa, son
e platos sin ese la mayore platos comoerar apenas la
gura 10-11 (b)
LOS CUERPO
planos inclinanocida. A ellorciona el vaproblema, el
se coloca sofricción entre
n 0.25 y 0.15,que éstos
r altura h a lo un cuerpo ra fuerza de fric).
OS RÍGIDOS
ados, por lo qlo se debe qulor ф = 45°. lector debe ex
obre una mee dos platos , respectivamse desacomoa. cual se pu
rígido se debección entre el
S [
que la fuerza nue la ecuació
xaminar la po
esa, como seadyacentes,
mente. Se quieoden aplicanuede aplicar e cumplir lo l plato inferior
[CAPITULO
neta de reaccón anterior de
osibilidad de q
e muestra eny entre el plere mover hando una fueF. siguiente: r y la cubierta
10
ión e la
que
n la lato acia rza
a de
CAPITULO
(2) d
(3) TEl
10.10. Una verticientderecargbarra
Lque sde giparedderecextrees el
y la Al el
Pe
10]
Se debe limitde girar en to
Se caerá si h
También se dEl plato al qulibre [Fig. 10
Si la fuerza dque se encuen
Por lo ta
barra rígidaicales, como tes de friccicha, son de 0a vertical de a se encontra
La solución desucede cuandoiro de las mand izquierda y cha. Por lo taemo tocando l mínimo deseCon N3 = f3
condición de
liminar F y N1
ero el mayor v
ESTÁTICA
tar h para quorno a P [Fig
> 0.33 m.
debe limitar hue se le aplica -11 (d)], con
de 0.15 W se antran sobre él
anto, para q
a en forma dse muestra enón estática e0.35 y 0.5, re1 N. ¿Cuál e
ará en equili
e este problemo F es muy penecillas del reel suelo, inme
anto, si se encla pared dereceado. = 0, las con
la torca (en to
1 de estas tres
valor posible d
A DE LOS C
ue la pila de p. 10-11 (c)],
h para que no F y los platopeso
aplica a h > 0.l se deslizarán
que todos lo
e T, cuyos bn la figura 10entre la barrespectivamen
es el valor máibrio estático
ma se simplificqueña. La fue
eloj que, debidediatamente h
cuentra un valcha (esto es, N
diciones de la
N 2
N
orno al punto
ecuaciones se
f2 = 0
de f2 es µ2 N2
CUERPOS R
platos no se c
se deslicen los encimados e
.164 m, tanto n y los que se
os platos se m
brazos miden0-12. La parea y el suelo,nte. Como seás pequeño deo en la posic
ca muchísimoerza de 1 N prodo a la baja rehace que la balor de F que cN3 = f3 0), s
a fuerza son
l - F = 0
1 - f2 = 0
de contacto c
e obtiene que
0.5-0.125N2
2 = 0.35 N2. D
RÍGIDOS
caiga. Cuand
os platos unoen él se deben
el plato en ele encuentran d
muevan juntos,
n 10 cm, reped de la izqu, y entre la be aprecia, la be la fuerza veión que se m
por una consovoca entonceesistencia porarra pierda concoloque la base puede presu
con el suelo)
De aquí que
o la pila está
s con respectn considerar u
l que se aplicadebajo no se m
hmáx = 0.16 m
posa entre doierda es lisa;barra y la pabarra está suertical F para
muestra?
ideración intues una torca enr fricción que ntacto con la prra en equilibumir que este
es
99
á a punto
to a otros. un cuerpo
a como los moverán.
m.
os paredes los coefi-ared de la
ujeta a una a el cual la
uitiva de lo n el sentido
ofrecen la pared de la
brio con su valor de F
(1)
(2)
100
10.11.
La fuerz
La fuerza sede F = 3 N, soluciones t
. Una viga uninferior porviga y el mla figura 1component
Constrúderecha y q
Reemplácomponentepor lo tanto
Considétravés de la
ESTÁ
za mínima es
e puede incrempunto en el q
tales que la p
iforme, que pr medio de un
muro una cuer10-13(b)] ques vertical y
úyase un sisteque el eje Y seácese la fuerzae vertical Fy. Eo ejerce una frense las torc
a bisagra. Los
ÁTICA DE L
entonces (1
mentar por encque N1 y f2 deared de la der
pesa 400 N y na bisagra sirda horizontaue la cuerda horizontal q
ema de referee dirija vertica que ejerce la El peso actúa fuerza T sobrecas en torno as brazos de pa
LOS CUERPO
1/19) N, corr
cima de este vsaparecen. Porecha podría
tiene 5 m de ln fricción. Sal de 3 m de a ejerce sobque la bisagr
encia tal que almente haciabisagra sobreen el centro de la viga que a un eje horizalanca de Fx
OS RÍGIDOS
respondiendo
alor, conservá
or lo tanto, aqno existir.
longitud, se ue amarra entlongitud. Enre la viga, a ejerce sobr
el eje X se da arriba. la viga por su
de masa de la vactúa hacia l
zontal perpendy Fy son cero
S [
a esto
ándose N3 = f3quí existe todo
une a un murotre el extremoncuéntrese la
y también re la viga.
dirija horizont
u componente hviga. La cuerdla izquierda. dicular a la vo y estas fuerz
[CAPITULO
3 = 0, por encio un conjunto
o por su extreo superior de fuerza T [véobténganse
talmente hacia
horizontal Fx yda jala a la vig
viga y que paszas tienen un
10
ima de
emo e la ase las
a la
y su ga y
sa a na
CAPITULO
torca palan
La co
y las
10.12. La pu112√perilcomptal m
D
Esto p ResofigurLa co
10.13. Tres pde 0.5en térse locResp
10]
cero en tornonca de la fuerz
ondición de la
condiciones p
uerta de un a√2N [Fig. 10-la y a lo la
ponentes de lmanera que θ
Dado que la p
proporciona la
olviéndolas, Fa, Cx se dibujondición de la
partículas, con5 m de lado. Erminos de un calice a lo largpuesta: xcm = 0
ESTÁTICA
o a este eje. Eza T es la dist
a torca es, ento
para la fuerza
almacén, que-14(a)]. La p
argo de una las fuerzas de= 90°. Supó
puerta se encu
as tres ecuacio
F = 128 N, Cyó en la direcca fuerza es
Problen masas de 2 kEncuéntrese esistema que tego del eje X p.29 m, ycm = 0.
A DE LOS CU
El peso de 400tancia a lo lar
onces
a dan
e pesa 244 Npuerta se ma
normal a le reacción enóngase que n
uentra en equi
ones escalares
Cy = 44.8 N, yción incorrect
emas comkg, 4 kg, y 6 kl centro de maenga su origenpositivo. .22 m
UERPOS RÍ
0 N tiene un brgo del muro
>
, se cierra poantiene abierta puerta. En
n las bisagras no existe un e
librio estático
y Cx = -83.2 a).
mplementakg, se localizanasa de este con en la partícu
ÍGIDOS
brazo de palanentre la bisag
.
or sí misma, ta por una funcuéntrense C y D cuandempuje axia
o: 0
N (el signo
arios
n en los vérticeonjunto, propoula de 2 kg y e
nca de 1.5 m. gra y la cuerd
al agregárseuerza F que s
la magnituddo la puerta el en la bisagr
menos signif
es de un triángorcionando suen el que la pa
101
El brazo de da,
le un peso dese aplica a lad de F y lastá abierta dera C.
.
fica que, en l
gulo equiláterous coordenadaartícula de 4 kg
e a
as e
a
o as g
i
CAPITULO
10.14. Una lineasu mde m Resp
10.15. EncuResp
10.16. Una inclisobreResp
10.17. Una altury la fmuro
10.18. Una al muse ende laResp
10.19. Dos las ltresede la
10]
barra delgadalmente con l
masa por unidadmasa medida a
puesta:
uéntrese el cenpuesta: xcm = yc
esfera de radnado de 30° ye la esfera. puesta: 56.58
escalera unifra de 12 m pofuerza normalo sobre la esc
escalera unifouro a una altu
ncuentra a puna escalera y elpuesta: µh
fuerzas tieneíneas de accióe que la torcaas fuerzas tie
ESTÁTICA
a de longituda distancia md de longitud partir del extr
ntro de masa dcm = 0, zcm = 3/8
dio 0.1 m y my una pared ve
N perpendicu
forme que mior encima dell que el sueloalera. Respue
orme descansaura h por encinto de comenzl piso es µ, ¿cu
en iguales magón de las fuerza que ejerce une magnitud
A DE LOS C
d L tiene una medida a parti
en el extremo remo más liger
de un hemisfe8R
masa de 10 kertical lisa. Ca
ular a la pared
ide 13 m y qu suelo. Éste e ejerce sobre
estas: (a) 6
a sobre un suema del suelo.
zar a deslizarsuál es la dista
gnitudes, F, dzas. A un sisten par de fuerzFD y, por tan
CUERPOS RÍ
masa por unir de uno de smás ligero esro.
erio sólido y u
g descansa enalcúlense las f
d; 113.16 N
ue pesa 300 Nes rugoso. Enla escalera; 2.5 N, 300 N
elo rugoso y s. Un hombre sse. Si el coeficancia horizont
direcciones opema como éstezas en torno anto, es indepe
ÍGIDOS
dad de longitsus extremos. λo, encuéntre
uniforme de ra
n la esquinafuerzas que la
perpendicular
N descansa cocuéntrense (a (b) la fue
; (b) 62.5 N
se apoya contsube por ella hciente de fricctal que recorri
puestas, y exise se le denomia cualquier ejendiente de la
tud λ, que se Si su masa tse la distancia
adio R y masa
a formada poas dos superfic
r al plano incl
ontra un muroa) la fuerza erza normal quN
tra un muro lihasta que la b
ción estática eió el hombre?
ste una distanina par de fuere perpendicul
a posición del
103
incrementa otal es M y a del centro,
a M.
or un plano cies ejercen
linado
o liso a una de fricción ue ejerce el
so, tocando base de ésta ntre la base
ncia D entre rzas. Mués-lar al plano l eje.
11.1 MOM
El equivamayor sea elangular. El m
donde las par1, r2,..., rn d
En algun
en términos
Esto implicade inercia ig
Las unida
11.2 TEOR
TeoremaI1 e I2, el
Teoremapasa a trrelaciona
donde M
TeoremaIox, IOY e I
MoMENTO DE IN
alente rotaciol momento demomento de
artículas del sidel eje. El mo
nas ocasiones de una long
a que una solagual al del cuades para el m
REMAS REL
a de la descom momento de
a de los ejes avés de su ceados por
M es la masa t
a de los ejes Ioz en torno a
ovimienNERCIA
onal de la mae inercia de un inercia de u
istema tienenomento de in
es conveniengitud k, denom
a partícula couerpo en cuemomento de
LATIVOS A
mposición. Sie inercia del
paralelos. Eentro de mas
total y D es l
perpendicua los ejes mu
nto de u
asa es una can cuerpo, ma
un sistema de
n masas m1, mercia de un c
nte expresar eminada radio
I = Mk
on masa M sitstión. inercia son k
LOS MOME
i un sistema sesistema com
I = I
El momento da y su mome
la distancia e
lares. Si un dutuamente pe
Ioz = Io
un cuerp
antidad denoayor será su ree partículas e
m2,..., mn y se lcuerpo con un
el momento do de giro, la
k2
tuada a una d
kg m2.
ENTOS DE I
e compone dempleto es
I1+ I2
de inercia ICmento de inerc
entre los dos
disco en el prpendiculare
ox + IOY
C
po rígid
ominada momesistencia al cen torno a un
localizan a lana distribució
de inercia I decual se encu
distancia k de
INERCIA
e dos partes, co
de un sistemia I en torno
ejes paralel
lano XY tienes OX, OY, y
Capítul
o
mento de inercambio en su n eje dado es
as distancias rón continua d
e un cuerpo couentra definid
l eje tiene un
on momentos
ma en torno a ua un eje para
os.
ne momentos OZ, entonce
lo 11
rcia. Entre velocidad
s
respectivas de masa es
on masa M da por
n momento
s de inercia
un eje que alelo están
de inercia s
106
11.3 E
La
donde cuerpo
En cinéticcuerpo
donde parale
11.4 M
Cuapasa a
donde αtorcas dequival
EJEMPno inerhorizonalguna
Obα como
La por
tomanal eje
EJEMPfricciónpuntos
11.1.
ENERGÍA C
energía ciné
I es el momo, también cacualquier mo
ca asociada coo en torno al
Icm y ω se clamente al ej
MOMENTOS
ando un cuerpa través del c
α es la acelerade las fuerzaslente rotacion
PLO 11.1. Corcial. Considéntal conforme a (α = 0), aun
sérvese, sin eo τext son cero,
razón a la cua
ndo en cuentade rotación.
PLO 11.2. Enn, ejercidas po fijos de aplic
Encuéntrese eje OZ perpetravés del ce(a) El mom
MOV
CINÉTICA D
ética de un c
ento de inercalculada en toovimiento de on la traslaciócentro de m
calculan en tje Z.
S DE TOR
po rígido rotacentro de ma
ación angular d externas, estaal de la segun
mo en la seguérese un lápizcae. Por lo tacuando existe
mbargo, que s, y por tanto τe
al se realiza c
a que las fuer
n el problemaor el camino scación relativo
el momento dendicular al plentro de masa mento de inerc
VIMIENTO D
DE UN CUER
uerpo rígido
cia del cuerpoorno al eje fijun cuerpo ríg
ón del centro dasa. En parti
torno al eje
RSIÓN (TO
a en torno a usa y que tien
τdel cuerpo, I eas tres cantidada ley de New
unda ley de Nz que se mannto, en relacióe la actuación
si se escoge eext = Iαcm.
cierto trabajo
potencia
rzas externas
a 9.7 se vio qusobre el automos a los ejes d
Problede inercia del slano de la figuy es paralelo
cia en torno al
DE UN CUER
RPO RÍGID
o que gira en
o en torno aljo. gido, la energde masa y la eicular, si el m
que pasa a t
ORCA) Y AC
un eje fijo en une una direcc
τext = Iα s su momento
ades se calculawton.
ewton, τext = Itiene horizonón con algunon de una torca
l eje que pasa
sobre un cue
a instantánea =
en realidad s
ue las fuerzasmóvil, no realizdel automóvil.
mas resusistema que se
ura y que pasa al eje OZ. l eje OZ es
RPO RÍGIDO
DO EN MOV
n torno a un
l eje fijo y ω
gía cinética tenergía cinétimovimiento e
través del cen
CELERACIÓ
un sistema ineción fija,
de inercia, y τan en torno a u
Iα generalmental y luego s de los extrem
a gravitaciona
a a través del c
erpo rígido po
τext ω
se mueven a
s de fricción,zan un trabajo
ueltos e muestra en la través del or
O
IMIENTO
eje fijo es
ω es la veloci
otal es la sumica asociada aes paralelo a
ntro de masa
ÓN ANGULA
ercial o en to
τext es la sumaun eje dado. E
nte no es válie suelta. El l
mos del lápiz nal (τext ≠ 0)
centro de mas
or una torca e
través de un
, y que por tao sobre éste. L
a figura 11-1, rigen; (b) un e
[CAPÍTULO
idad angular
ma de la enera la rotación al plano XY,
a que se mue
AR
rno a un eje q
a algebraica deEsta relación e
da en un sisteápiz se conse
no existe rotac.
sa del lápiz, ta
xterna está d
ángulo en to
nto las torcasLas fuerzas tie
en torno a (a)eje CZ' que pa
11
del
gía del
eve
que
e las s el
ema erva ción
anto
ada
rno
s de nen
) un sa a
CAPITULO
(b) E
11.2. Cua
un cuneneje psus d
cada
11.3. Enca unlong
Eelemdel ePara El m
La s
11]
El centro de mEl momento
atro partículascuadrado quen se puede igperpendiculadiagonales.
Dado que cada una de las c
uéntrese el mn eje a lo larggitud L. El punto impomento típico, deje. Dado quea el elemento q
momento de i
suma de las co
MOVIMIE
masa C se encude inercia de
s, con masas e tiene s= 1 mgnorar, encuér al plano del
da diagonal deuatro partícu
momento de go de la orill
ortante del cádm. Todas lase la placa es uque se muestr
inercia de est
ontribuciones
ENTO DE UN
uentra entre lal sistema en t
de 2 kg, 4 kgm de lado. S
éntrese el mol cuadrado y
el cuadrado tielas al eje es d
inercia de una de ancho a
álculo de un ms partes de dmuniforme, la mra en la figura
te elemento e
s de todos los
N CUERPO
as dos partícutomo al eje CZ
g, 6 kg, y 8 kSuponiendo qmento de ineque pasa a tr
ene una longitde 1/2(1)√2 m.
na placa recta (Fig. 11-2).
momento de im deben estar masa de cualq11-2,
en torno al ej
elementos qu
RÍGIDO
ulas y a 2 m deZ' es
kg, se encuentque la masa dercia dé la esravés del pun
tud s√2 la dist. Por lo tanto
angular unif La placa tie
inercia consisesencialmentquier parte es
je a una dist
ue conforman
e la partícula
tran en los véde las cuerdatructura en to
nto donde se i
tancia perpend
forme y planane una masa
ste en.-la electe a la misma s proporciona
ancia r es
n la placa es
107
de 2.5 kg.
értices de as que las orno a un intersecan
dicular de
a en torno M y una
cción de un distancia r
al a su área.
108
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
Encuéntreseque pasa a
Como se corre a lo laD = L/2, se
Calcúlese emasa m, en
Dado quperpendicula
Calcúlese elR, en torno
Constrúyfigura 11-3).cilíndrica y
y el moment
Un cilindrocomenzandoEncuéntresevalor de la f(a) Debido
bre el ci
MOV
e el momentotravés de suvio en el pro
argo de su ortiene que
el momento d
torno al eje e todos los ear R del eje,
l momento dal eje de sim
yase un sistem. Debido a qudelgada de ra
to de inercia d
homogéneoo su movimiene la rapidez fuerza de frio a que no exiilindro. Ento
VIMIENTO D
o de inercia I centro de m
oblema 11.3, erilla es I = 3/
de inercia de de simetría lementos de m
e inercia de umetría del cilma de coordenue el cilindro adio r y groso
del cilindro c
y sólido ruento con veloclineal v despcción que aciste deslizamionces, por con
DE UN CUER
Icm de la placmasa y es parel momento d/8ML2. Utiliza
e una cubiertdel cilindro
masa de la cu
I = mR2
un cilindro sólindro. nadas con el e
es homogéneor dr es
ompleto es
eda sin resbacidad angular pués de que ctúa sobre el iento, la fuerznservación de
RPO RÍGIDO
ca del probleralelo al ladode inercia de lando el teorem
ta cilíndrica. ubierta se enc
ólido y homo
eje Z a lo largeo, el momen
lar hacia abaω0 y velocidarueda una dicilindro?
za de fricción e la energía,
O CA
ema 11.3 en to de ancho ala placa en toma de los eje
muy delgad
cuentran a la
ogéneo con m
o del eje de sinto de inercia
ajo por un plad lineal v0 (Fistancia x. (b
no realiza tra
APITULO 11]
torno a un eja. orno a un eje qes paralelos c
da de radio R
misma distan
masa M y rad
imetría (véasede una cubie
ano inclinadFig. 11-4). (a)b) ¿Cuál es e
abajo alguno
e
que con
R y
ncia
dio
e la erta
o, ) el
so-
[CAPITU
(b)
11.8. Un 4.4 0.011.8 m
E
Miem. D
y el
E
La e
ULO 11
dado que ω =eje central (p
Una comparv2 = v2
0 + 2ax icon una aceler
Pero la fuerz
hilo muy ligN (Fig. 11-5 m. La friccióm.
El ángulo que
ntras el centroDado que la f
trabajo realiz
El momento d
energía cinéti
MOVIMIE
= v/r (no hay roblema 11.6
ración entre indicará que elración constan
za neta es (
gero se desen5). El carreteón le impide r
e el carrete h
o del carrete sfuerza de 4.4
zado por la fu
de inercia del
ica final del c
ENTO DE UN
deslizamient6). Entonces
el resultado centro de mas
nte
(mg sen θ) - f
nreda en un e pesa 1.1 Nesbalar. Encu
a girado tras
se mueve 1.8 m4 N actúa en u
d= 1.8+uerza es
W = Fd = (4
carrete es
arrete es
N CUERPO R
to) I = mr2/2
de (a) y la fsa del cilindro s
f. Por lo tant
carrete por y su radio d
uéntrese la rap
recorrer 1.8
m, se desenreuna distancia
1.08= 2.88 m
4.4)(2.88) = 12.6
RÍGIDO
para un cilin
fórmula de lase mueve hacia
to,
medio de undía giro con pidez de su ce
m es
da el hilo unaa de
67 J
ndro sólido en
a aceleracióna abajo del plan
na fuerza conrespecto a suntro después
a longitud (0.0
109
n torno a su
n constante no inclinado
nstante de u eje es de de recorrer
03) θ = 1.08
110
11.9.
dado que ω =4.4 N al cam
Considéresell-6(a), inicies la mitad dmuestra en luna altura
(sea a = b =
(razonando del cuerpo eL haga cont Primero se
se muestra q
donde M = MA continu
reposo; en el
MOVI
= v/r, y r = 0.mbio de la en
el cuerpo noialmente en rde un cilindrla figura ll-6(
2R en el pro
a partir del pen torno a un acto con el s
e necesita enque
MA + MB es lauación se aplicl momento del
IMIENTO D
.05 m en estenergía cinétic
12.67 = 0.0
o simétrico y eposo. La pa
ro de radio R(b). En la po
oblema 10.3)
problema 10.eje perpendicuelo.
contrar el mo
a masa total.ca la conserval choque gira
DE UN CUER
e caso¿ Igualaa: 58 v2 o
compuesto darte A es un cR. El cuerpo g
sición inicial
y el centro d
.3, con a = b cular que pas
omento de ine
ación de la eneen torno a un
RPO RÍGIDO
ando el trabaj
v = 14.8 m
de dos partes cuarto de cilingira, golpeanl, el centro d
de masa de B
= R). Encuésa a través del
ercia en torno
ergía. Inicialm eje instantán
O CAP
jo realizado p
m/s
que se muesndro de radiondo contra el de masa de A
B se encuentra
éntrese la vell punto L, po
o a L. En el p
mente el cuerpeo que pasa a
PITULO 11]
por la fuerza
stra en la figuo 2R; la parte
suelo como se encuentra
a a una altura
ocidad angulco antes de q
problema 11.
o se encuentra través de L.
de
ura e B
se a a
a
lar que
15
a en
[CAPITUL
11.10. Una esy comcuand
dondeIcm =
Enmovimmueve
La rorecorr
(N fodesliz
Lueg
Ah
LO 11
sfera sólida ymienza a descdo la línea de
e µ = tan γ es2MR2/5.)
n la figura 11miento ha cone en un círcul
tación de la erido el diámet
orma un ánguzamiento,
o, la ecuació
hora se pued
MOVIMIEN
y homogénea cender rodane los centros
s el coeficien
-7 se muestransistido en purlo de radio a
esfera que ruetro AoC0B0 en
ulo θ con la ve
n de la torca
en reso lve r (
NTO DE UN
descansa en ndo por la es forme un án
nte dé fricción
a la situación ro rodamiento+ b en torno
da en torno a un tiempo t. E
rtical y CB fo
a en torno a C
( 1 ) , ( 2 ) y (3
N CUERPO R
la cima de otsfera fija. Mungulo con la
n estática ent
en el momeno. El centro da C; sus ecua
su centro de En la geometrí
orma un ángul
C se puede es
) pa ra f y N c
RÍGIDO
tra- esfera fijuéstrese que vertical dado
tre las dos es
nto t, antes dee masa, C, deaciones de mo
masa se mideía de la figura
lo ф con N). M
scribir como
como func ion
a; se desplazcomenzará a
o por
feras. (Para u
l cual se supo la esfera queovimiento son
e por el ánguloa se observa qu
Más aún, dado
nes de θ . En
111
a un poco a resbalar
una esfera,
one que el e rueda, se n
o ψ que ha ue
que no existe
(2) y (3 ) ,
¡
¡
112
11.11.
11.12.
Para integra
Sustituyend
La esfertan γ), esto
Un disco paEl coeficienconstante ωencuéntrese
La fuerz donde F/
La difer
y por tanto Para consertorca opues
Un rotor pe43 N m paque se requmismo sent
(a) (b) La ace
MOV
ar esto se postu
do los valores
ra que rueda co es, cuando
ara pulir el sunte de friccióω. Suponiene la potencia
za de fricción
/A es la presió
encial de la to
o
rvar el disco gsta por el moto
esa 430 N, yara conservauiere para esttido que el a
eleración ang
VIMIENTO D
ula que
s para θ2 y θ
comenzará a r
uelo, de diámón entre el di
ndo que la ppara hacer gi
sobre el elem
ón que ejerce e
orca que se op
girando a una or de la pulido
y su radio dear la rotaciónto, (b) Si se aanterior, encu
gular se puede
DE UN CUER
en (1) y (3)
resbalar cuan
metro D, es eisco y el suepresión que irar el disco p
mento de área
el disco sobre
pone al movim
velocidad anora, el cual en
e giro es k =n de esta piezaplican un pauéntrese la a
e obtener a p
RPO RÍGIDO
, se encuentr
ndo la fricción
mpujado conlo es µ. El dise ejerce s
pulidor de pi
a dA es
el suelo. Dado
miento del di
gular constanntonces realiz
1.2 m. Se nza a 32 rad/s.ar de fuerzas
aceleración a
artir de τext =
O
ra que
n llegue a su
ntra el piso cisco rota conobre el suelsos (véase la
o que dA = r d
sco es
nte (α = 0) se dza trabajo a un
ecesita un pa (a) Encuént
s de 86 N mangular del ro
= Iα:
[CAPITULO
límite (f = N
on una fuerzn rapidez angulo es unifor
a figura 11-2.
dθ dr y A = π2/
debe ejercer una razón
ar de fuerzastrese la poten
m a la pieza eotor.
O 11
N
za P. ular rme, )
/D4.
una
s de ncia n el
CAPITULO 1
11.13. Si el tieneT1 T
L
11.14. Repít
Respu
11.15. Refiédescoresultpara cRespu
11]
cinturón qu 0.41 m de diT2, entre el l
a potencia qu
tase el problem
uesta:
rase al problemomposición, ctado del problcalcular el muestas:
MOVIMIEN
ue se muestraiámetro y qulado apretad
ue se transmit
Problema 11.7 con e
ma 11.9. (alcúlese el m
lema 11.6, el tomento de in
NTO DE UN
a en la figurue rota a 7.5 ro y el lado f
te al rotor de
emas comel caso de una
(a) Utilizanmomento de in
teorema de loercia de la pa
N CUERPO R
ra 11-9 transrev/s encuéntflojo de la ci
la polea es P
mplementaesfera uniform
ndo el resultadnercia de la pas ejes paraleloarte B en torn
RÍGIDO
smite 33.557trese la difereinta.
P = τω = R(T1
arios
me y sólida.
do del problemarte A en tornos y el teorem
no a L.
7 kW a una pencia de las t
1 T2)ω. Por
ma 11.6 y el teono a L. (b) Ut
ma de la' desco
113
polea que tensiones,
tanto
orema de la tilícense el omposición
114 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO [CAPITULO 11
11.16. Un halterio consta de una partícula de 2.4 kg y otra de 1.6 kg unidas por una barra de 0.8 m de longitud. Calcúlese el momento de inercia de este halterio en torno a un eje perpendicular a la barra y que pasa a través de un punto en la barra que se encuentra a 0.2 m de la partícula de 1.6 kg. Respuesta: 0.9296 kg m2
11.17. Una esfera con masa M y radio R tiene un momento de inercia en torno a un diámetro dado por I = 2/5MR2. Encuéntrese el momento de inercia de la esfera en torno a un eje que sea tangente a ella. Respuesta: 7/5 MR2
11.18. Una fuerza circunferencial de 1.2 N actúa sobre la superficie de un cilindro que puede dar vueltas sobre su eje. La masa del cilindro es de 2.5 kg y su radio de 0.1 m. Encuéntrense (a) la torca que actúa sobre el cilindro, y (b) la aceleración angular del cilindro. Respuestas: (a) 0.12 N·m; (b) 9.6 rad/s2
11.19. Una rueda cilíndrica y homogénea de radio 0.8 m y masa 2.5 kg gira libremente en torno a su eje sobre unos baleros sin fricción. Supóngase que repentinamente se aplica una fuerza de 5 N y que se mantiene tangente al borde de la rueda, (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda? (b) ¿Cuál es la rapidez angular y la energía cinética de la rueda en el tiempo t = 3 s? (c) ¿Qué cantidad de trabajo realiza la fuerza sobre la rueda durante este intervalo de 3 s? Respuestas: (a) 5 rad/s2; (b) 15 rad/s, 90 J; (c) 90 J
11.20. Una esfera homogénea de 10 kg y de radio 0.2 m se encuentra en un cierto instante rotando en torno a una flecha que pasa por su centro a 10 rev/s. Encuéntrese la magnitud de la torca suponiendo que una torca de fricción constante actúa de tal manera que la esfera se detiene en 10 s. Respuesta: 0.2 N m
11.21. Un carrete de hilo de radio r y masa m tiene la forma de un cilindro uniforme. Supóngase que un extremo del hilo se anuda al techo y que se permite al carrete girar bajo la acción de la gravedad. Calcúlese la aceleración angular del carrete y la tensión en el hilo. Despréciese la masa y el grosor del hilo. Respuestas: 2g/3r; mg/3
11.22. El motor de un automóvil proporciona 1 MW de potencia, mientras que el cigüeñal tiene una velocidad angular de 800 rad/s. Encuéntrese la torca ejercida sobre el cigüeñal. Respuesta: 1250 N m
11.23. Un volante tiene 2 m de diámetro y pesa 4003 N; se puede considerar a toda su masa concentrada en su borde. ¿Qué torca se debe aplicar al perno para incrementar la velocidad angular uniformemente de 5.2 rad/s a 6.3 rad/s en una revolución? Despréciese la fricción. Respuesta: 411.19 N m
12.1 CANT
Si r es laI relativo a
donde m es tribución co
Las unid
12.2 PRINC
El principL es
donde τext es respecto al mun punto fijocual vale únrígido, por l
12.3 CONS
La ley demomento an
12.1. Lr =
Ca
TIDAD DE M
a posición de este origen s
la masa de lontinua de ma
ades del mom
CIPIO DEL
pio del mome
la torca extemismo origeno en un sistemnicamente culo que L = Iω
SERVACIÓN
e conservacingular total L
La velocidad 2i + 4j + 6k
ntidad d
MOVIMIENT
una partículase define así:
la partícula, asa,
mento angul
MOMENTO
ento angular
rna resultanten. El principio
ma de referenciuando se hacω.
N DEL MO
ión del momL es constant
Prde una partíc
k. Encuéntres
de mov
TO ANGULA
a relativa a un:
v es su velo
ar son kg m2
O ANGULAR
r para un siste
e (sección 10o es válido cuia inercial. Ese que L yaga
OMENTO AN
mento angulate.
roblemas cula con masse el mement
vimiento
AR
n cierto orige
ocidad y p es
2/s o, equival
R
ema de partíc
.1). La torca uando el origste principio ga a lo largo d
NGULAR
ar establece q
resueltossa m es v = 5to angular de
Ca
o angula
en O, entonce
s su momento
lentemente, J
culas con un m
y el momentogen para L y τgeneraliza τextdel eje fijo d
que si τext =
s
i + 4j + 6k ce la partícula
apítul
ar
es su moment
o lineal. Para
J · s .
momento ang
o angular se mτ es el centro t = Iα. (seccióde rotación d
0, el sistema
uando se enca en torno al
o 12
to angular
a una dis-
gular total
miden con de masa o
ón 11.4) lo del cuerpo
a tiene un
cuentra en origen.
116
12.2 Un
12.3.
n eje ligero yél una barramasa m, unfigura 12-1.
El mome
donde éstas sel plano XY,
que cuan
Un cohete, Si su altitudkm, ¿cuál e
CANT
y rígido de loa ligera y ríginidas a ella. Encuéntrese
ento angular d
se consideran
do θ = 90°, da
con masa ded (y) es de 10es su moment
TIDAD DE M
ongitud D, girida de longitLa barra fore la torca que
de las esferas e
como partícul
ado un sistem
e 106 kg, tien0 km y su distto angular co
MOVIMIENTO
ra con una ratud 2d que tirma un ángue ejercen los
es
las. Ahora bien
ma simétrico, τ
ne una rapidetancia horizoon respecto a
O ANGULAR
apidez angulaene dos pequlo θ con el ebaleros.
n, suponiendo
τ0 se anula.
z de 500 m/sontal (x) desda este origen?
R [
ar constante ωueñas esferaseje, como se
o que en t = 0 l
s en la direccde un origen e?
[CAPITULO
ω, tiene unidos, cada una ce muestra en
la barra estaba
ción horizontelegido es de
12
o a con n la
a en
tal. 10
C
1
1
CAPITULO 1
12.4. Muéspartespartir
Re
ya qu
El esto sees justangula
12.5. Un arlas orcoordmesaaro c(Fig.
2]
strese que el ms: una que sur del movimielativo a O, u
ue, por definicprimer térmi
e le denominatamente el momar de giro del
ro con radio rillas, con undenadas recta. En un tiempon la mesa 12-3). ¿Cuál
CANTIDAD
momento anurge a partiriento del cueun punto fijo e
ción de centroino, rcm X P, ea momento angmento angularcuerpo. En re
de 0.1 m y mna velocidad angulares cuypo t, una línetiene una lo
l es el momen
DE MOVIM
gular de un cr del movimierpo con respen un sistema
o de masa, ∫ r'es el momentogular orbital dr del cuerpo ensumen,
masa 0.5 kg rde 0.5 m/s.
yo origen se ea dibujada dongitud de 1nto angular d
MIENTO ANG
cuerpo se pueiento del cenpecto a su cea inercial, el m
dm = 0. o angular del del cuerpo (co
n torno a su cen
rueda sobre Relaciónese encuentre endesde el orig
1 m y formadel con respe
GULAR
ede expresarntro de masaentro de masmomento ang
centro de maon respecto a Ontro de masa, y
una mesa pasu movimien
n la esquina igen hasta el pa un ángulo ecto al origen
r como la suma del cuerpo sa. gular es (Fig.
asa con respecO). E1 segundy se denomina
aralelamentento con un siizquierda traspunto de conde 30° con
n en este tiem
117
ma de dos y otra, a
12-2)
cto a O; a do término a momento
e a una de istema de sera de la ntacto del
el eje X mpo t?
118
12.6.
Utilícesemasa en el
y el momen
Para enc
encuentra atorno al cen
El péndulosin peso y una bisagr
La torca
El mom
y por tanto
Para esty L = Iω =
se pudo util
CAN
e la descompotiempo t es
nto total del a
contrar el moma la misma dintro de masa
o rígido que que portan ma sin fricción
a de los peso
mento angular
en la ecuación
te sistema, tan Iα. De aquí q
lizar como ecu
TIDAD DE M
osición que se
ro es
mento angularistancia del ccon una velo
se muestra emasas igualen O. Encuént
s en torno a l
del péndulo e
n de movimien
nto L como wque,
uación del mo
MOVIMIENT
hizo en el pro
r de espín, obsentro de mas
ocidad v', de
en la figura s m. El péndtrese la ecua
la bisagra es
en torno a la b
nto, τext = L, es
w se encuentra
τext = Iovimiento.
TO ANGULA
oblema 12.4, E
érvese que toda, r' = 0.1 m,
e magnitud 0.
12-4 está conulo oscila en
ación de mov
bisagra es
s
an a lo largo d
Iα
AR CA
El vector posic
do elemento d, y que todo e.5 m/s, perp
nstruido conn el plano veimiento del p
del eje de rota
APITULO 12
ción del centro
de masa del arelemento rota
pendicular a r
n dos barras crtical en tornpéndulo.
ación, con L =
2]
o de
o se a en '.
casi no a
= Iω
CAPITULO
12.7. Refiéejerc
AEl mo
dondnorm
Dadofuerz
Eción d
12.8. Supóha else ende bapora origi
Lapendla niñangumasa
12]
érase al problce el tubo sob
Aplíquese el priomento angul
e r es la distamal que ejerce
o que r decrecza se opone a
Este problema de coriolis, 2ω
óngase que elevado hasta ncuentra a 3.7alanceo. El code repente, nal). Calcúle
a torca debidade el columpioña se pone de lar orbital se
a.
CANTIDAD
lema 5.14 y abre la partícuincipio del molar de la partíc
ancia del eje e el tubo sobr
ce con el tiempla rotación dmuestra cómoωr [véase el p
l centro de m1.2 m (véase
7 m del puntoolumpio partpor lo que sese la altura
a a la gravedao. Esta torca epie. Por lo tanconserva, da
D DE MOVIM
a la figura 5-1ula. omento angulacula en torno
a O. La torcare la partícula
po (la partícue la partículao las consideraproblema 7.4(
masa de una e la figura 12o donde se sue del reposo,e eleva su cede su centro
ad es la únicaes cero en B ynto, el momendo que la niñ
MIENTO AN
14(a). Encuén
ar a la partículaa O es
a sobre la parta. Por lo tant
la se mueve h. (¿Es este el aciones de mo(&)].
niña que se b2-5). La niñujeta el colum y en la parteentro de mas de masa en
a torca externay conserva estnto angular se ña se pone de
GULAR
ntrese la direc
a, en un sistem
tícula es rFфto,
hacia O), Fф, eresultado que
omento angula
balancea en ña pesa 400 N
mpio cuando e más baja desa 0.6 m (retla parte más
a que actúa ente valor duranconserva en Bpie sin rotar
cción de la fu
ma inercial con
, donde Fф e
es negativa; ee usted predijoar conducen a
un columpioN y su centroella está en l
el arco la niñaornando a su alta del arco
n torno al punnte el instanteB; de hecho, el
en tomo a su
119
uerza que
n origen O.
s la fuerza
esto es, la o?) la acelera-
o ligero se o de masa a posición a se incor-u posición o.
nto del que e en el cual l momento u centro de
*
120
12.9.
12.10.
donde vB yque la niña
Según la
Entonces v'B
Una cuentatrayectoria cLa velocidaEl tirón T qcuenta es Rangular inic
(a) En estal = cons
(b) Ahora b
Un hombreinercia del peso de 22 los pesos ael hombre velocidad a
CANT
y v'B representse levante.
conservación
B = 1.2v = 4
a con masa mcircular de raad angular deque se ejerceR/4. Encuéntcial y (b) la r
a situación (ustante, o bien
bien, T = mr 2
se sienta sobhombre y elN en cada m una distanclevanta los p
angular final
TIDAD DE M
an la rapidez
de la energía,
.1 m/s. De nu
m está constreadio R sobre ue la sección de sobre la cuetrense (a) la razón de la t
una fuerza ce
2, dado que T
bre un taburel taburete en
mano. Con losia de 0.9 delpesos hasta del hombre y
MOVIMIENT
del columpio
,
uevo se utiliza
eñida por unaun plano horizde la cuerda erda se increrazón de la vensión final
entral) no exis
T suministra la
ete que gira etorno al eje
s brazos priml eje del tabuque se encuey el taburete
O ANGULA
en la parte m
a el principio
a cuerda inexzontal sin fricde O a la cue
ementa hastavelocidad anen la cuerda
ste torca algu
a fuerza centrí
en torno a un es de 8 kg
mero estiradourete, el homentra en el e?
R
más baja, ant
de conservaci
xtensible a mcción (véase lenta es iniciaa que la distangular final aa a la tensión
una en torno a
ípeta. Entonce
eje vertical. m2. El homs hacia los la
mbre gira a 4 eje de rotaci
[CAPITULO
es y después
ión para escrib
moverse en unla figura 12-6almente de ωancia de O a a la velocida inicial.
a O. Por lo tan
es,
El momentombre sostieneados, colocanrad/s. Entonón. ¿Cuál es
12
de
bir
na 6). 0- la
ad
nto,
o de un
ndo nces s la
CCAPITULO 1
Deexisteintern
donde
Se tie
Ob
en un
12.11. Una ccon ualgun
R
actúaimpli
para elz (y,
12.12. Demuencuede minstan
En
12]
ebido a que el e torca gravitanas,
e I1 = mom 12 = mom
lados 13 = mome
ene que
bsérvese que ena sola mano.
cuenta es pueuna velocidadna vez por la
elativo a O, u
sobre la cuenica que τz = d
el movimientode hecho, I)
uéstrese que entra en cieromento angu
nte.
n el instante
CANTIDAD
sistema es simacional alguna
L = c
ento de inerciento de inerc
ento de inerci
el momento an.
esta en movimd horizontal va cima de la c
una torca exte
nta, pero esta dlz/dt; por lo t
o de la cuentase anularían.
si r, el vectoto momento ular I en el
dado, r y la f
D DE MOVIM
métrico, su cena en torno a es
onstante
ia de los pesoia del taburet
a del taburete
ngular no se c
miento a lo lav0. Si la cuentcopa? (véase
erna
torca no tienetanto,
lz =a. En t = 0, lz =.
or posición dparalelo a sut iempo con
fuerza, mr , so
MIENTO ANG
ntro de masa sste eje. Por tan
o
os extendidoste y el hombr
e y el hombre
onservará si, p
argo del bordta se desliza
e la figura 12
e componente
= constante= mv0R > 0; en
e la partículau aceleraciónrespecto a u
on paralelos,
GULAR
se encuentra ennto, como toda
e con los braz
con los brazo
por ejemplo, e
de interior desin fricción,
2-7).
e Z. Ahora bie
ntonces la cue
a con respectn, r, entoncesun origen da
por lo que τ
n el eje de rotaas las demás f
zos estirados
os levantados
el hombre sost
e una copa he¿su trayector
en, la relación
enta no llega a
to a cierto ors la razón de
ado es cero e
= 0. Entonce
121
ación, y no fuerzas son
hacia los
s
tiene 44 N
emisférica ria pasará
n τ = dI/dt
a O, donde
rigen, se cambio
en dicho
s, i = 0.
122 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR [CAPITULO 12
Problemas complementarios
12.13. Una pelota de 0.2 kg se mueve con una rapidez de 5 m/s y en una dirección perpendicular a una puerta vertical; golpea contra un clavo en la puerta que se encuentra en un punto a 0.4 m del eje de las bisagras de la puerta. La pelota rebota con una velocidad de 3 m/s a un ángulo de 30° con respecto al plano de la puerta. Encuéntrese el momento angular de la pelota en torno al eje de las bisagras antes y después del golpe. Respuestas: 0.4 kg · m2/s; 0.12 kg · m2/s
12.14. Utilícese el principio del momento angular para encontrar la aceleración del centro de masa de una esfera que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado rugoso que forma un ángulo θ con la horizontal. (Compárese con el problema 11.14.) Respuesta: acm = 5/7 g sen θ
12.15. Pruébese que el momento angular de un sistema de partículas tiene el mismo valor para dife-rentes puntos de referencia O y O' que se encuentran fijos en el sistema del centro de masa. (Sugerencia: sea O el centro de masa mismo.)
12.16. (a) Calcúlese el momento angular orbital de la Tierra con respecto a un origen en el centro del Sol. Tómese la órbita de la Tierra como un círculo de radio 1.5 X 108 km y supóngase que la Tierra viaja uniformemente a una rapidez de 30 km/s en la órbita. La masa de la Tierra es de 6 X 1024 kg. (b) Exprésese el momento angular de espín de la Tierra como una fracción de su momento angular orbital. Considéresela como una esfera uniforme de radio 6400 km. Respuestas: (a) 2.7 X 1034 J s; (b) 2.7 x 10-7
12.17. Un pequeño cuerpo con masa m parte del reposo desde la parte más alta de un plano inclinado liso que tiene un ángulo θ. Sea N la fuerza normal que actúa sobre el cuerpo y v su velocidad cuando ha recorrido una distancia x hacia abajo del plano, (a) Encuéntrese la torca, con respecto al origen que se encuentra en la parte más alta del plano inclinado y que es producida por todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, (b) Calcúlele el momento angular I y su derivada con respecto al tiempo, relativa al mismo origen, (c) ¿Cuál es la magnitud de N? Respuestas: ± (N - mg cos θ) x; (b) 0, 0; (c) mg cos θ
12.18. ¿Qué cantidad de trabajo realiza (a) la niña del problema 12.8; (b) el hombre del problema 12.10? Respuestas: (a) 240 J; (b) 42J
M
y
s
p
13.1. CAM
Una partíM, tiene una
y en direcciómasa m en e
se denominaEl campo
punto fuera d
13.2 FUERZ
La ley deM y separad
La fuerza se
13.3 ENERG
Una partía la presenci Obsérvese qse utilizó en
Para escacero), la par
La energacción gravit
donde m1 y m
MPO GRAVIT
ícula con maa intensidad
ón hacia M. Eel punto dad
constante gr gravitaciona
de esta distrib
ZA GRAVITA
Newton de ldas por una d
e ejerce a lo
GÍA POTENC
ícula, con maia de una mas
ue el nivel dlos primeros
apar de un crtícula m deb
ía potencial tacional es
m2 son las m
TACIONAL
asa M es la fude campo g
El campo gravdo.
ravitacional.al producido pbución, el mis
ACIONAL
la gravitaciódistancia r,
largo de la
CIAL GRAV
asa m en un casa M), tiene u
e referencia s capítulos, U
campo gravitbe tener la v
gravitaciona
masas de las p
Gravita
fuente de un g de magnitu
vitacional eje
. Las unidadepor una distrismo que si to
n establece qejercen fuer
línea que un
VITACIONAL
ampo gravitauna energía p
para la energU ≈ mgh, el nacional (esto
velocidad de
al de cualqui
partículas y r1
ación
campo graviud
erce una fuer
es de g son Nibución siméda la materia
que dos partírzas de atrac
ne las partíc
L
acional externpotencial gra
gía potencialnivel de refero es, para alc escape, ve,
ier par de pa
12 es su separ
Ca
itacional que
rza F = mg so
N/kg (1 N/kgtrica y esféri
a estuviese co
ículas cualesqcción entre s
ulas.
no de intensidavitacional
l es r =∞ pararencia se esccanzar r = ∞dada por
artículas deb
ración.
apítulo
e, a una dista
obre una part
= 1 m/s2). ca de materia
oncentrada en
quiera, con msí de magnit
dad g = MG/r
a la aproximogió arbitrar∞ con energía
bida a su pro
o 13
ancia r de
tícula con
a es, en un n el centro.
masas m y tud
/r2 (debido
mación que riamente. a cinética
opia inter-
124
13.4
Leyen uno3) La para to
El dos coen tor
Ensobre origen
Si su ecu Los inexcen
La óruna hcaso d
El
está d
Obsérunida
13.5
Elmasa vector
LEYES DE
yes de Keplero de los focorazón del cuodos los planmovimiento
onstantes: E,rno al centro n particular (cla que actúa u
n de un sistemla línea θ = 0
uación se pue
nvariantes futricidad) a tr
bita es una eipérbola parde una órbita
periodo en
dado por (véa
rvese que el ad de masa, E
LEY DE G
l flujo gravitde la materi
rial como
KEPLER. Ó
r: 1) Los plans. 2) El radio
uadrado del pnetas. de un objeto la energía tode la fuerza
como se mueuna fuerza dema inercial, 0 se elige comede escribir a
undamentales ravés de
elipse para Era E > 0. En a elíptica.
una órbita e
ase problema
semieje mayE/m.
GAUSS
acional que a que se enc
GR
ÓRBITAS
netas giran ao vector del Speriodo orbit
con masa m otal del obje
a. estra en el proe atracción Ges una secció
mo el eje de sasí
E y L determ
E < 0 (un círla figura 13-
elíptica de se
a 13.6)
yor o el peri
pasa a travésuentra en el
RAVITACIÓN
alrededor del Sol al planetaal y del cubo
bajo una fuerto, y L, la m
oblema 13.5)GMm/r2 dirigid
ón cónica cosimetría de la
minan los pa
culo para E -1 se indica e
emieje mayo
iodo es una m
s de una supeinterior de la
N
Sol en órbita recorre áreao del semieje
rza central demagnitud del m
) la órbita deda hacia la pa
on uno de susa sección cón
arámetros R
< 0 y e = 0),el significad
or
medida de la
erficie cerraa superficie.
as que son elis iguales en te mayor de la
e atracción semomento an
e una partículartícula con ms focos en el nica, en coor
(el semilatus
, una parábodo geométric
a energía de
da es 4πGMi Esta ley se e
[CAPITULO
ipses, con el tiempos iguaa elipse es ig
e caracteriza gular del obj
la, con masa masa M fija e
origen. denadas pola
s rectum) y e
ola para E = 0o de R y e en
la partícula
i, donde Mi eescribe en fo
O 13
Sol ales. gual
por jeto
m y n el
ares
e (la
0, y n el
por
es la orma
CAPITULO
Aquí, dS = nunitaria dirig
13.1. ¿Cuágr, am
13.2. Encusuper0.11
E
13.3. Consen elcuéncentr
(o) P
(b) D
13]
n dS es el elemgida hacia af
ál es la fuerzmbas separa
uéntrese la intrficie de Maveces la de n la Tierra, la
sidérese la sitl punto y = atrese (a) la dro del planet
Por conservac
De nuevo, po
donde el sign
mento de árefuera de la su
Prza gravitaciodas 20 cm?
tensidad del carte, sabiendo
la Tierra. Elaceleración g
tuación que sa (a > 2R) y distancia máxa; (h) su velo
ción de la ene
r conservació
no menos sig
GRAVITA
ea dirigido deuperficie.
roblemas onal que ejer
campo gravito que el radil radio de la gravitacional e
se muestra enque se aleja
xima h que ocidad cuand
ergía,
ón de la energ
gnifica que la
ACIÓN
e la superfici
resueltosrce una roca
tacional (o aco de ese planTierra es de
en la superfici
n la figura 13a del planeta
puede alcado se encuen
gía,
partícula se m
ie encerrada;
s
a de 10 kg so
eleración graneta es de 34
e 6400 km. e (despreciand
3-2, con la pade masa M a
anzar la partíntra a una dis
mueve hacia
n es la unida
obre una pie
avitacional) g400 km y su
do la rotación
artícula origina una rapideícula con resstancia a/2 de
el planeta.
125
ad normal
dra de 40
g sobre la masa es
n) es
nalmente z v0. En- pecto al el centro.
126
13.4.
13.5.
Una nave ela velocidadTómese la m
Por conse
Derívese (1fuerza gravit
A partir
Ahora bien,
Utilizando e
Sustituyendpara u = 1/r
donde R = LEs fácil
general de l
donde A y B
spacial se end con que llmasa de la Tervación de la
3.1) para la tacional.
del problema
en una fuerz
esta relación p
o esto en el mr:
L2/GMm2. observar que
la ecuación ho
son constante
GRA
ncuentra en egará a la suTierra comoa energía,
trayectoria d
a 7.4(b), la ec
a central el m
para eliminar t
miembro derec
e una solucióomogénea es
es arbitrarias.
AVITACIÓN
reposo a 108
uperficie de M = 6x 102
de un cuerpo
uación radial
momento angu
t de ( 1 ) .
cho de (1), s
ón particular
. Por lo tanto,
8 m del centrla Tierra, si
24 kg y su ra
o que se mue
l del movimie
ular se conser
e obtiene la s
de (2) es
,
[
ro de la Tieri ésta no tien
adio como R
ve bajo la in
ento es
rva:
siguiente ecua
up = 1/R, y
[CAPITULO
rra. Calcúlesne atmósfera = 6400 km.
nfluencia de
ación diferenc
que la soluc
13
se a. .
la
cial
(2)
ión
(3)
CAPITULO 1
Nadacentr
La
esto m(Re-1 perm
13.6. Dedúfluen
U13-1
La ra
de acestá Ahor
de do
13.7. ¿Es p
centr
Ede laposib
13.8. Se quuna ódeseasobreTierr
(a) E
13]
a sucede si se ho de fuerzas.
a ecuación (4
muestra que lr cos θ) tienanece en (4),
úzcase (13.3)ncia de la fue
Un elemento tr, es
azón a que cu
cuerdo con ladado por
ra bien, a par
onde
posible que uro de fuerza?
El momento ana partícula debble únicament
uiere hacer reórbita circulaa que la cápsue la Tierra. ¿Cra, (b) relativ
Elíjase un sisteen θ = al indeseadas se cmayor 2a = r
hace B = 0; esEntonces, es
4) es la ecuac
a distancia denen una razóne, se determi
) para el perirza gravitaci
riangular de á
ubre esta áre
segunda ley
rtir de la figu
una partícula?
ngular se consbe ser siemprte si la trayect
etornar una car a una alti tula abandoneCon qué rapiva al satélite?
ema inercial conicio del despcumplirán si lr0 + RE. Pero,
GRAVITA
sto únicamentcribiendo A =
ión general d
e un punto sobn constante (e)na por conser
iodo de un cuonal.
área de la elip
a es, entonce
de Kepler. Es
ura 13-1 y d
a se mueva b
serva en tornoe cero si la patoria de la par
ápsula espacud de 12600
e al satélite tadez deberá d?
on origen en eegue. En la fla trayectoria, a partir de la
ACIÓN
te hace girar e= e/R, se tien
de una sección
bre la curva a). Véase la figrvación de la e
uerpo que rec
pse, como el
es
sta área de la
e (13.2),
bajo una fuer
al centro de fartícula pasa rtícula es una
cial a la Tierr km por enci
angencialmendespegarse la
l centro de la Tfigura 13-4 sea BB' de la cápa figura 13-1,
el sistema de ce a partir de (
n cónica: ree
l foco (r) y sugura 13-3. La energía. Véas
corre una órb
que aparece
elipse es πaB
rza central q
fuerza, por lo a través del clínea recta qu
ra desde un sama de la sup
nte y realice ucápsula, (a)
Tierra y tal que puede observpsula es la mi,
coordenadas e(3) que:
scrita como
u distancia a lconstante arb
se el problema
bita elíptica b
sombreado en
B; por lo que
que pasa a tr
que el momencentro de fuerue pasa por el
atélite que seerficie de la
un aterrizaje relativa al ce
ue la cápsula sevar que las citad de una el
127
en torno al
la directriz itraria que a 13.16.
bajo la in-
n la figura
el periodo
avés del
nto angular za. Esto es centro.
e mueve en Tierra. Se tangencial entro de la
e encuentre ondiciones lipse de eje
128
la energ
Ahora brespecti
(b) Dado qupuede e
Entonc
y la rap
gía de la cáps
bien en B, las eivamente. Por
ue el satélite sescribir
es
pidez inicial d
GRA
sula por unida
energías poten lo tanto.
se encuentra en
e la cápsula re
vo
AVITACIÓN
ad de masa se
ncial y cinética
n una órbita c
elativa al saté
- v = 3.30 - 4.6
e determina p
a por unidad de
circular de rad
lite es
68 = -1.38 km/
[
por medio de
e masa son v20 /
dio r0, en el sis
/s
[CAPITULO
/2 y GME/r0,
stema inercial
13
se
CAPITULO
13.9. Una Confcercaelíptcentmasaform
(a)
(b)
(c)
13.10. Dos al gTiery alcon
13]
sonda espaciforme alcanza posible de tica que la coro del planeta es 0.815 ve
me se aproxim
En la órbita p
Utilizando el
(Por coincideproblema 13.8
Por conservac
cohetes, S1 giro de las mrra. Un cohelcanza S2 condiciones de v
ial se aproximza la posiciónVenus, se en
onducirá a unta a la sondaeces la masa
ma a B, (b) des
parabólica, E
l resultado de
encia, esta vel8.)
ción" del mom
y S2, se muemanecillas del
te de repuestn una velocidvuelo libre de
GRAVITA
ma al planetan B que se mncienden retron aterrizaje taa es de 16 09
de la Tierra.spués de que s
= 0. Entonce
el problema 13
locidad es mu
mento angular
even en órbitl reloj de radto es lanzadodad tangente espués del lan
ACIÓN
a Venus recomuestra en la ocohetes; parangencial en l90 km. El rad. Encuéntresese disparan lo
es
3.8,
uy cercana a l
r,
tas coplanaredio r1 y r2 = o desde S1 ena la órbita d
nzamiento, (a
orriendo una figura 13-5,
ra frenarla y la posición Adio del planee la velocidados retrocohete
a velocidad v
es, circulares6r1, respecti
n una direccide S2; el cohea) Encuéntres
trayectoria py donde esta
colocarla en A. En B la diseta es de 599d del vehícules, (c) al aterr
v0 que se encon
, y en sentidivamente, enión tangente ete de repuesse la rapidez
129
parabólica. ará lo más una órbita stancia del 0 km y su lo (a) con-rizar en A.
ntró en el
do contrario n torno a la
a su órbita sto viaja en del lanza-
130
miento del crepuesto llegmomento demuestra un
(a) Elíjase u13.8. El
La veloc
Por tant
(b) La rapid
en tanto
Por tantcrementa
cohete de repgue a S2? (c) el lanzamienboceto de la
un sistema ine eje mayor de
cidad de S1 en
to, la velocida
dez del cohete
que la veloci
to, al arribar ar su velocidad
GRA
puesto relativEncuéntrese
nto del coheta situación.
ercial fijo en ee la órbita elíp
n su órbita cir
ad relativa de
e de repuesto
idad orbital de
a B, los motod hasta la de S
AVITACIÓN
va Si. (b) ¿Qel ángulo β qte de repues
el centro de laptica del cohe
rcular es
l lanzamiento
en B es, por c
e S2 es
ores del cohetS2.
Qué debe sucue da la posicto. Véase la
a Tierra y preete de repuest
o es
conservación
e de repuesto
[
ceder para qución de S2 rel
a figura 13-6
ecédase como to es r1 + r2 =
del momento
o se deben enc
[CAPITULO
ue el cohete lativa a S1 en6, en donde
en el problem 7r1, y esto da
o angular,
cender para in
13
de n el
se
ma a
n-
CAPITULO
(c) E
13.11. Enrico
Adel cde m
Pcascamagn
El sicamp
13]
El tiempo nec
en tanto que e
Igualando est
ncuéntrese lay en un pun
Aplíquese el teascarón esfér
magnitud const
ara un punto arón esférico ynitud constant
igno negativopo real está di
cesario para q
el tiempo para
tos dos tiempo
a intensidad gnto fuera del
eorema de Gaico [Fig. 13-7tante sobre S.
en el exterioy que pase pote sobre S.
o indica que girigido radialm
GRAVITA
que el cohete
a que S2 recor
os,
gravitacionalcascarón. Se
auss dibujando7(a)] y que pas.
or, dibújese unor el punto baj
fue trazada emente hacia a
ACIÓN
e de repuesto
rra el ángulo β
l en un puntoea la masa de
o una esfera cse por el punto
na esfera cono consideraci
en la direccióadentro.
pase de A a B
β es
o en el interioel cascarón M
concéntrica S o P. Por simet
ncéntrica S [Fión. De nuevo
n equivocada
B es, por (13.
or de un cascM y su radio
de radio r entría, g debe se
ig. 13-7(b)] eo, g debe ser n
a en la figura
131
.3),
carón esfé- R.
n el interior er normal y
en torno al normal y de
13-7(b); el
132
13.12.
13.13.
Encuéntreseforme de m
Colóquesque pase a tr
esto es +GM
Para un pla esfera sóli
esto es +GM
Encuéntresede cilindro cascarón. Sutremos del cunidad de lo
Para un pObsérvese q
e la intensidamasa M y de r
e una esfera cravés de P. Se
Mr/a3, está diri
unto exterior,ida y que pase
M/r2, es radialm
e la intensidadcircular unifupóngase quecilindro, de tongitud. punto interior Pque g · dS = 0
GRA
ad gravitacionradio a, y en
concéntrica S degún el teorem
igido radialme
, dibújese unae por el punto
mente hacia ad
d gravitacionforme y muye los puntos tal manera q
P, elíjase la su0 en los extr
AVITACIÓN
nal en un punn un punto ede radio r en ema de Gauss:
ente hacia ade
a esfera concéo bajo conside
dentro.
nal en un puny largo de rase encuentra
que g se pued
uperficie gausremos planos
nto interior dxterior a la eel interior de l:
entro.
éntrica S [Fig.eración. Por e
nto en el interadio a, y en an lo suficiende considera
ssiana que se ms de S, y por
[
de una esferaesfera. la esfera sólida
13-7(b)] de rel teorema de
rior de un casun punto en
ntemente lejoar radial. Sea
muestra en la lo tanto
[CAPITULO
a sólida y uni
a [Fig. 13-7(a
radio r en tomGauss:
scarón en forn el exterior os de ambos a X la masa p
figura 13-8(a
13
i-
a)] y
mo a
rma del ex-por
a).
CAPÍTULO
y par
13.14. Encuradiose en
Simasatodosúnica
dond
13.15. Calcúm, enResp
13]
ra un punto ex
uéntrese la ino a, si la densncuentra haci
i el disco se a unitaria en Ps los anillos qamente compo
de dm = σ(2πr
úlese la intensn (a) la supuesta: (a) 27
xtrerior P [Fi
ntensidad grasidad de supeia arriba del
divide en un P (esto es, g) que constituyeonente Z, dFz
dr) = 2πλr2 d
Problesidad gravitaciperficie del So70 N/kg; (b) 5
GRAVITA
ig. 13-8(6)],
avitacional enrficial a cualeje a una dis
conjunto de se puede enc
en el disco. En, dada por-
dr es la masa d
emas comional debida aol y (b) la 5.9 x 10-3 N/
ACIÓN
n un punto soquier distancstancia z del
anillos concécontrar como n un anillo, la
del anillo. Ent
mplementaal Sol, con maposición de lkg
obre el eje deia r del centrcentro (Fig.
éntricos, la atr
la suma de la atracción en
tonces
arios
asa 1.99 x 1030
a Tierra (d
e un disco cirro es σ = λr. E 13-9).
racción total a atracción qu
n P tendrá, por
0 kg y radio 6.d = 1.5 x 1011
133
rcular de El punto
sobre una ue ejercen r simetría,
.97 x 108 m).
134
13.16.
13.17.
13.18.
13.19.
13.20.
13.21.
13.22.
Suponiendo Sol en la poscomprobar e
Dedúzcase y de
Exprésese eangular.
Respuesta:
Un cañón esTierra comode salida detorno a la T
Pruébese qu
donde el propuede utiliz
Un resultadopromedio tem13.20 para v
Encuéntrese de un cilindrc por encimdensidad esRespuesta:
que la Tierrasición de la Tiel problema 13
la expresión
l semieje men
s disparado hoo un sistema iel proyectil deierra. Respues
e para la órbit
omedio es un par la integral
o importante mporal de la everificar este r
la atracción gro circular una de la tapa d ρ.
GRA
tiene una órbierra en términ3.15 (b). Resp
(13.2) para e
nor de la órbi
orizontalmenteinercial, encue la boca del cstas: (a) 7.9 k
ta elíptica de u
promedio tempdefinida)
en los sistemnergía potencresultado en e
gravitacional soiforme delgad
del cilindro; la
AVITACIÓN
bita circular, dnos del periodpuesta: 4π2d/T
e a partir de
ita de un plan
e. Desprecianduéntrese (a) elcañón como pkm/s; (b) 11.2
un planeta que
poral sobre un
mas ligados es ial (ambas enel caso de un
obre una partícdo. Supóngasea altura del ci
determínese lao de la Tierra.
T2
eta en términ
do la resistencl mínimo y (b
para que sea p2 km/s (la vel
e gira en torno
n periodo del
que la energí
nergías son neplaneta que g
cula de masa ue que ese puntilindro es ℓ; e
a intensidad gr. Utilícese este
os de su ener
cia atmosféricab) el máximo puesto en órbilocidad de esc
o al Sol, de se
movimiento.
ía total es iguegativas). Utilgira en torno a
unitaria en un pto se encuentrel radio del ci
[CAPITULO
ravitacional de resultado pa
gía y moment
a y tratando a de la velocid
ita periódica ecape)
emieje mayor a
(Sugerencia
ual a la mitad ícese el proble
al Sol.
punto sobre elra a una distanilindro es a; y
O 13
del ara
to
la dad en
a,
: se
del ema
l eje ncia y su
1
d
acvpLa
e
E
1
poe
dm(
1
s d
e
df
14.1 ELAST
Se dice qudeja de actua
Esfuerzo eaplica la fuerzcuerpo deformvolumen del cpor tan θ ≈ θ,Las unidades adimensional
La ley de elásticos, el e
En las pequeñ
14.2 MOVIMUn cuerpo
partícula conoscilar. La fuelongación se
donde k es la movimiento oMAS).
14.3 ECUACLa ecuació
simple al est
donde ω2 = k/El desplaz
ecuación
donde x0 es lafase; y f = ω/2
ElastTICIDAD Y L
ue un cuerpo ear sobre él unes el cocienteza. Deformac
mado, (∆L)/L.cuerpo, (∆V)/ donde θ es edel esfuerzo . Hooke estab
esfuerzo en e
esfuer
ñas deformac
MIENTO ARMo que se des
n masa m uniuerza en el ree relaciona co
constante deoscilatorio qu
CIONES PARón de movimar unida a un
/m. zamiento de
a amplitud, o2π es la frecu
ticidad LA LEY DE
es elástico si na fuerza que de la fuerzación unitaria Deformación/V. Existe tamel cambio anson el N/m2
blece que pael cuerpo es
rzo = (módulo
ciones, los mó
RMÓNICO SIMsplaza muy pida a un resoesorte que lo on la elongaci
l resorte (la fue ocurre bajo
RA EL MAS
iento de una n resorte sin
la partícula
desplazamieuencia del mo
y movim HOOKE
regresa a su fue lo deformaa que sé ejerclineal es el c
n unitaria volmbién una defgular de la foo pascal (1
ara un cuerpoproporciona
o de elasticida
ódulos de ela
MPLE
poco a partiorte. Cuando
hace tomar ión (x) como
Fres = -
fuerza que pro la acción de
partícula conmasa de con
varía sinuso
ento máximo ovimiento osc
miento a
forma y dimea.
ce sobre un cuambio en lon
lumétrica es eeformación unorma de un cPa = 1 N/m2
o elástico deal a la deform
ad) (deforma
asticidad son
r del equilibo la partícula
su forma ori
- kx
oducirá una ee Fres se deno
n masa m qunstante k es
oidalmente c
de la partícucilatorio.
Ca
armónic
ensiones orig
uerpo entre engitud por uniel cambio en vnitaria por esfcuerpo a part2); la deforma
eformado, sinmación en él:
ción unitaria)
constantes.
brio puede sea se suelta, eiginal cuando
elongación unomina movimi
e realiza un m
con el tiemp
ula que oscila
apítulo
co
ginales despué
el área sobre lidad de longivolumen por usfuerzo cortair de su formación es una
n rebasar su:
)
er modeladol sistema com
o éste sufre u
nitaria del reiento armóni
movimiento
o, de acuerd
a; θ0 es la con
o 14
és de que
la cual se itud de un unidad de nte, dada a normal. cantidad
s límites
por una mienza a
una cierta
sorte). El co simple
armónico
do con la
nstante de
136
El
La fre
14.4
Elvimieviscoecuac
dondeamortindicavimie el momient
14.5
La
14.6
La
Para
14.1.
l periodo se r
ecuencia y el
MOVIMIEN
l movimientoento se vuelvsa actúa sobr
ción del movi
e ω es la fretiguamiento a que la fuer
ento). Para
ovimiento es to se transfor
ENERGÍA P
a función de
MOVIMIEN
a ecuación d
ángulos pequ
Un alambrse suspende 196 GN
Sea AL
donde Y es
ELAST
relaciona con
l periodo tien
NTO ARMÓN
o armónico sive gradualmenre un cuerpoimiento se es
ecuencia angupositivo. El rza viscosa s
una oscilaciórma en uno n
POTENCIAL
la energía p
NTO DE UN
de movimien
ueños (θ ≤
re de acero tde de él un c
N/m2.
L la elongación
s elmódulo de
TICIDAD Y M
n la frecuenc
nen las unida
NICO AMOR
imple es unante más pequ que unido ascribe así
ular del corresigno meno
siempre se o
ón amortiguao oscilatorio,
L DEL MOV
potencial aso
N PÉNDULO
to de un pén
≤ 5°) el movi
Probletiene 4 m de cuerpo con m
n. Luego, segú
e Young. La e
MOVIMIENT
ia del movim
ades de hertz
RTIGUADO
a idealizaciónueña debido a un resorte l
espondiente os que se encpone en sign
ada. En b = 2, decayendo e
VIMIENTO A
ociada con la
SIMPLE
ndulo simple
imiento es ar
emas resulongitud y 2
masa de 20 k
ún la ley de H
elongación es
TO ARMÓNI
miento de acu
z (1 Hz = 1 ci
n, ya que en a los efectoslleva a cabo
oscilador amocuentra a la ino a x (esto
2√ mk (amorexponencialm
ARMÓNICO
a ley de Hoo
de longitud
rmónico simp
ueltos
2 mm de diámkg? El módul
Hooke,
ICO
uerdo con la
iclo/s) y s, re
realidad la a de la friccióun movimien
ortiguado y bizquierda dees, siempre
rtiguamiento mente a cero.
O SIMPLE
ke Fres = -kx
d ℓ es
ple, con perio
metro. ¿Cuánlo de Young
[CAPITULO
ecuación
espectivamen
amplitud del ón. Si una funto vibratorio
b es un factol último térmse opone al
crítico), el m
x es
odo
nto se alargar para el acer
O 14
nte,
mo-uerza o, la
or de mino mo-
movi-
rá si ro es
C
14
14
14
14
APITULO 14
4.2. Un alatensión
4.3. Un alaalambrdel ant (a) El
(b) El
4.4. Un bloesfuerzrior, prEncuénfuerzo
4.5. La prevolumélumétr
El mañade d
4] EL
ambre de cobn se necesita
ambre se estire del mismoterior? (b) ¿C
alargamiento
trabajo que s
oque de gelazo alguno. Srovocándole untrense (a) elcortante.
sión en una cétrico de unaico del cobremódulo de eladebido a que
LASTICIDAD
bre de 2 m da? El módulo
ira 1 mm poro material y lCuánto trabaj
es inversame
se realiza para
tina tiene 60e aplica unaun desplazaml esfuerzo cor
cámara de expa pieza de ce es de 138 Gasticidad volum∆V es negativ
D Y MOVIMI
de longitud de Young p
r medio de una misma longjo se realiza
ente proporcio
a estirar el ala
0 mm por 60 fuerza de 0.
miento de 5 mrtante, (b) la
plosión es de obre sujeta a
GPa. métrica se defivo cuando ∆ρ
IENTO ARM
y 2 mm de dpara el cobre
na fuerza de gitud pero qual estirar cad
onal al área tr
ambre en amb
mm por 20 .245 N tange
mm relativo a deformación
345 MPa. ¿Ca esta presió
fine como B = ρ es positivo.
MÓNICO
diámetro se es de 117.6
1 kN. (a) ¿Cue tenga cuatda alambre?
ansversal, y p
bos casos es W
mm cuando
encialmente la superficie
n cortante, y (
Cuál será el pn? El módul
∆ρ/(∆V/V), do
estira 1 mmGN/m2.
Cuánto se esttro veces el d
por tanto
W = F x.
no está soma la superficinferior (Fig
(c) el módulo
porcentaje dello de elastici
onde él signo m
137
m. ¿Qué
tirará un diámetro
metido a ie supe-
g. 14-1). o de es
l cambio idad vo-
menos se
138
14.6.
14.7.
Un libro scon una amEncuéntredeslizarse.
En ausde acuerdo
donde x0 =es, pues,
Cuando mzarse. Aho
La energíresorte. Alanzacohemiento crtrese la codel movim
Para enK + Uelastic =
ELAS
se encuentra mplitud de 1 ese la frecue
encia de deslio con la ecuac
= 1 m. La fuer
mx exceda a la ora bien, mxmax
a de retrocesAl final del retetes retorna aítico). El lan
onstante del rmiento de recuncontrar la co= constante
STICIDAD Y
sobre una tab m. El coefic
encia del mo
izamiento, el lción
rza horizontal
mayor fuerza
x = 4r2f2mx0 , y
so de un lanztroceso un ama su posiciónzacohetes retresorte (k) y eulamiento. nstante del re
Y MOVIMIEN
bla horizontaciente de friccvimiento de
libro también
l sobre el libro
de fricción poy por tanto
zacohetes, comortiguador dn de disparotrocede 3 m cel coeficiente
sorte se puede
NTO ARMÓN
al y tiene un mción entre el la tabla en l
participa en e
o, que únicam
osible, µN = µ
on masa m = de impacto s
o sin sufrir ocon una rapide de amortigu
e hacer uso de
NICO
movimiento libro y la tabla cual el lib
l movimiento
mente puede de
µmg, el libro co
4536 kg, es e engrana de
oscilación algdez inicial deuamiento crít
e la conservac
[CAPITUL
armónico simbla es de µ = 0bro comenzar
armónico sim
eberse a la fri
omenzará a de
absorbida potal manera q
guna (amortie 10 m/s. Enctico (b = 2 √
ción de la ener
LO 14
mple 0.5. rá a
mple,
cción
esli-
or un que el igua-cuén- mk)
rgía:
C
14
14
CAPITULO 14
4.8. En la fverticacuerpozamienque la para él
La
(¿Por
La
corresp(ωt + φ
4.9. A partitema qsuponi
Elíjenergía
con re
sistema
donde es el m
Dadtencialcero y tendrá energí
4] EL
figura 14-2(aales del terreo de masa Mnto relativo eoscilación del movimiento
segunda ley d
qué no se incl
solución de pondiente al oφ), que está de
ir de considerque se muestriendo que no
jase el ángulo a potencial elá
specto a su lo
a es
momento de indo que las oscl gravitaciona
la energía poun máximo ya se tiene que
LASTICIDAD
a) se muestra eno. Cuando
M se desplazaentre el miemel terreno estéo relativo del
de Newton par
luye al peso M
esta ecuación oscilador quieeterminada po
raciones sobrra en la figuraexisten efect
θ (pequeño) pástica del reso
ongitud de equ
nercia total decilaciones son l. Cuando el rotencial tendráy la energía poe
D Y MOVIM
un sismógrafel soporte de
a una distancmbro inercialé dada por y =miembro ine
ra el miembro
Mg entre las f
diferencial eeto (y0 = 0), yor el movimie
re la energía, a 14-3. Encuétos de fricción
para representaorte es
uilibrio (no es
el disco y del muy pequeñasresorte se estiá un máximo;
otencial será c
MIENTO ARM
fo que se utilel instrumentcia x de la p (masa M) y
= y0 sen ωt. Ercial.
inercial del s
fuerzas que ac
stará constituiy una componento dado del
estúdiense loéntrese la frn.
ar la configura
s su longitud s
peso en tornos, aquí se despira a su máxim; en la posicióero. Por lo tan
MÓNICO
liza para regito se desplazosición de eel soporte es
Encuéntrese la
ismógrafo es,
ctúan? Con s =
ida por una cente estacionaterreno.
os pequeños mrecuencia n
ación del sistem
sin estirar). L
o al eje. precian los camma longitud, lón de equilibrnto, a partir de
istrar las osciza una distanequilibrio. El s = x y. Su
a ecuación di
en la figura 1
= x y,
componente traria de la form
movimientos datural del sis
ma. Dado que y
La energía ciné
mbios en la ena energía cinério, la energíae la conservac
139
ilaciones ncia y, el l despla-upóngase ferencial
14-2(b),
ransitoria, ma A sen
del sis-stema,
y = rθ, la
ética del
nergía po-ética será a cinética ción de la
140
14.10
14.11
14.12
Para en
Este result
0. Un cuerpoadicional es su peri
La con
y por tanto
. Una partícde la partcuencia d
2. Una lentejreposo a um. Encuéuna oscila
ELAS
ncontrar la fre
tado, cuando
o con peso dde 9 N lo alaodo?
stante del reso
o
cula que estáícula es de 1el movimien
ja se encuentun ángulo θAntrese el tiemción.
STICIDAD Y
ecuencia natu
se compara c
de 27 N cuelarga 0.05 m.
orte es
á unida a un r18 m/s2 y la vnto de la partí
tra unida a unA = 3o, como mpo necesar
MOVIMIEN
ral ω del siste
on ω2 = k/m,
ga de un resSi se tira de
resorte expervelocidad máícula y (b) su
na cuerda dese muestra eio para que l
NTO ARMÓN
ema, supónga
muestra que l
orte largo deél hacia abaj
rimenta un Máxima es 3 mu amplitud.
1.8 m de lonen la figura la lenteja reg
NICO
ase una soluci
la masa efecti
e tal rigidez ajo y luego se
MAS. La acelm/s. Encuént
ngitud y se la14-4. Supó
grese a A des
[CAPITULO
ión de la form
iva del sistem
que una fuee lo suelta, ¿c
leración máxrense (a) la
a suelta a paróngase que dspués de com
O 14
ma
ma es
rza cuál
xima fre-
rtir del d = 0.9 mpletar
C
1
1
CAPITULO 14
Por lo
4.13. Escríb14-5. C
En elimin
(a) U
(b) U
(c) Um
Laun
Por lo
4.14. Determ14-6(a
El cde la pobserv
Si les peq
4] EL
tanto, el tiem
banse las ecuCada masa de
cada caso elíjado el peso m
Un desplazami
Un desplazamie
Un desplazamieanera que
a fuerza restaunión de los res
tanto,
mínese si es pa). Si es así,
criterio del MAosición de equa en la figura
la masa m se dueño compara
LASTICIDAD
mpo que se ta
aciones de mebe moverse v
íjase la posicimg de la ecuac
ento ∆x de la
ento ∆x de la m
ento ∆x de la
uradora sobre sortes:
posible o no encuéntrese l
AS es que la fuilibrio. Debida 14-6(fe), con
desplaza a unaado con h y d',
D Y MOVIM
arda en regres
movimiento pverticalmente
ón de equilibión de movim
masa m hace
masa m hace su
masa m provo
m es k2 (∆ℓ
un MAS verla frecuencia
fuerza restaurado al peso mg,n los resortes
a distancia ∆x la fuerza en c
MIENTO ARM
sar a A partie
para los sisteme
rio de la masmiento, la cual
surgir una fue
urgir una fuerz
oca elongacion
2). Pero la fue
tical en el sia natural ω.
adora sea prop, la configuracestirados una
por debajo de
cada resorte es
MÓNICO
ndo de A es
mas que se m
a m como x = será de la for
erza restaurado
za restauradora
nes ∆ℓ1, ∆ℓ2 de
erza debe ser c
stema que se
porcional al deción del equilia distancia
e la posición ds
muestran en l
= 0, con lo qurma
ora 2k(∆x); k
a 4x(∆x); kef
e los dos resort
continua en el
muestra en
esplazamientoibrio es como
de equilibrio, d
141
a figura
ue queda
kef = 2k.
= 4k.
tes, de tal
punto de
la figura
o a partir la que se
donde ∆x
142
14.15
y por tanto
donde, en l
y luego se cEntonce
5. El aparato oscilacioneguador son
ELAST
o la fuerza res
la tercera líne
consideraron úes, puede ocur
de transmisies. Encuéntren de masa de
TICIDAD Y M
tauradora sob
ea, se utilizó l
únicamente lorir un MAS, si
ión que se mse la ecuació
espreciable.
MOVIMIENT
bre la masa m
la expansión b
os términos deiendo la const
muestra en la n del movimi
TO ARMÓNI
m es
binomial
e primer ordenante efectiva d
figura 14-7
iento del sist
ICO
n en pequeñas del resorte ket =
se mueve coema, si las ba
[CAPITULO
cantidades. = 2k sen2 φ, y
on muy pequarras y el am
O 14
y
ueñas morti-
CAPITULO
El
gul
14.16. Unaquemedla t
Res
14.17. UnaL qvertla p
Res
14.18. La suje
dondes
par
14.19. En men
14.20. Unala pderRe
O 14]
Las torcas de
momento de i
Debido al térlar amortiguad
a cuerda de ae se encuentradio de la cuerensión en la spuestas: (a)
a partícula coque se encuenticalmente hacposición de la
spuesta :
energía de uneto a un MAS
nde k es la consplazamiento a
ra mostrar dir
el oscilador arnte con el tiem
a partícula llepartícula se enecha con una spuesta; 7.2 m
ELASTICID
e las tres fuer
nercia en torn
rmino del amodo.
Problacero de pianan apartados rda es tirado lcuerda? (b) ¿2462 N; (fe)
on masa M se ntra suspendicia abajo y con
partícula en c
n cuerpo conS es
nstante del rea partir de la p
rectamente qu
rmónico amormpo. Muéstres
eva a cabo unncuentra a 6 m
velocidad demm a la derec
DAD Y MOV
rzas en torno
no a la bisagra
ortiguador, est
lemas comno (Y = 196 G
1 m, provocaateralmente u
¿Cuál es la fu392 N
une repentinaido, y se suen el origen en ecualquier tiem
n masa m que
sorte, x0 es la posición de eq
ue x = x0 cos (
rtiguado, la ense que
n MAS con unmm a la dereche 0.032 m/s. ¿cha de la posic
VIMIENTO A
a la bisagra s
a es I = mℓ 22 . P
ta ecuación re
mplemenGN/m2), de raando una tensuna distancia uerza lateral q
amente al extlta de inmed
el punto del cuampo t.
e se encuentra
amplitud del quilibrio. Hága
(wt + θ0).
nergía no se co
na frecuenciaha de su posicDónde se encción de equili
ARMÓNICO
son, para θ,
Por tanto, la e
epresenta un m
ntarios
adio 1 mm, ssión en la cude 0.04 m. (
que se aplica
tremó de un rediato-. Considal está suspend
a en el extrem
movimiento,
ase uso de la i
onserva sino q
a angular (ω) ción de equilicontrará la parbrio.
ecuación de m
movimiento ar
se estira entreerda de 39.3
(a) ¿Cuánto sea la cuerda?
esorte de longderando el ejdido el resorte,
mo de un reso
v es la velociintegral
que decrece pe
de 4.0 rad/sibrio y se muertícula despué
143
movimiento es
rmónico an-
e dos puntosN. El punto
e incrementa
gitud natural e Y dirigido, determínese
orte y está
idad y x es el
ermanente
s. Al inicioeve hacia laés de 0.4 s?
144
14.21. LdleeR
14.22. ((qR
14.23. U(cpR
14.24. Ucc
R
La constante kde 20 N se apllos extremos del cuerpo unael cuerpo se suRespuesta: x
(a) ¿En qué p(b) Encuéntrqueñas oscilacRespuestas:
Un cuerpo con(a) Si su despconstante del plazamiento, ¿Respuestas:
Una barra en fcortante µ. Se gcomo se indic
Respuesta:
ELASTIC
k de cierto reslica en uno de
del resorte, en a distancia deuelta. Descríb= 0.200 cos (2
osición alcanrese la tensiónciones de ampl (a) la posi
n masa de 0.4 plazamiento m
resorte? (b) S¿cuál es su áng (a) 4.95 N/m;
forma de cilingira un extremca en la figura
CIDAD Y MO
sorte se mide e sus extremostanto que el o
e 0.400 m hacbase el movim0.0 t+π) (m)
nzará su máxin máxima en litud a. ción vertical;
kg vibra en emáximo a partSi el movimiegulo de fase? (; (b) 0; (c)
ndro circular tmo de la barra ua 14-8. Encué
OVIMIENTO
al observar qs. Se coloca u
otro extremo ecia la izquierd
miento resultan= 0.200 cos (2
mo valor la teun péndulo s
(b) Mg[1 +
el extremo de tir de la posicento comienza(c) Encuéntres) x = 0.20 cos (
iene una longun ángulo pequéntrese la torc
ARMÓNICO
que éste se estun cuerpo con stá fijo. El resda de su posinte del cuerpo0.0 t) (m)
ensión de un imple con ma
(a/ℓ)2]
un resorte conión de equilib
a cuando se ense la ecuación (3.52t) (m)
itud ℓ, radio ueño dα resca restaurado
O [C
ira 0.2 m cuanmasa de 0.25
sorte se comprición de equi
o.
péndulo simpasa M y longi
n una frecuencbrio es de 0.2ncuentra en supara su posic
R, y módulspecto al ora en la barra
CAPÍTULO 14
ndo una fuerz0 kg en uno drime al recorrelibrio; despué
ple que oscilaitud ℓ, para pe
cia de 0.56 Hz2 m, ¿cuál es lu máximo desión al tiempo
o de esfuerzotro extremoa.
4
za de er és
a? e-
z. la s-t.
zo o,
15.1 PRE
El térmy tomar lafluidos en
La presnormal qupunto en c
La fuerza
Si p es conLa unid
15.2 PRIN
La presfluido y a
15.3 DEN
La dens
Para un cude densida
donde ρ es
15.4 LEY
Si p2
a condicióde un fluid
SIÓN EN U
ino fluido se a forma del rreposo. sión en un l
ue ejerce el fuestión:
normal que
nstante en todad del SI de
NCIPIO DE P
sión que se aplas paredes d
NSIDAD
sidad de un c
uerpo no homad son kg/m3
s la densidad
YES DE LA E
p1 es la difer
ón de que los do de densid
EsN FLUIDO
aplica a una recipiente: u
lugar dado dfluido y el ár
se ejerce sob
da la superfie presión es
PASCAL
plica a un fludel recipient
cuerpo homo
mogéneo, la d. La graveda
d del cuerpo y
ESTÁTICA D
rencia de pre
dos puntos sad constante
stática d
sustancia queun líquido o
de un fluido rea dA de la
bre una supe
icie plana, F el pascal (P
ido encerradte.
ogéneo se de
densidad se dad específica
y pagua = 100
DE FLUIDOS
sión entre do
e puedan uni p y que exis
de fluid
e no tiene unaun gas. La
es la razón pequeña sup
rficie plana
= pA.
Pa); de la sec
do se transmit
efine como su
define punto aa de un cuerp
00 kg/m3.
S
os puntos con
ir por medio dsta una aceler
C
os
a forma fija sestática de f
entre la maperficie plan
es, entonces
cción 14.1, 1
te sin disminu
u masa por u
a punto por ppo homogéne
n una diferen
de una trayecración gravit
Capítu
ino que es cafluidos es el
gnitud dF dna que pasa a
1 Pa= 1 N/m
uir a todas la
unidad de vo
p = dm/dV. Leo es
ncia en altura
ctoria localiztacional cons
ulo 15
apaz de fluir estudio de
de la fuerza a través del
m2.
as partes del
olumen:
as unidades
y2 y1,
ada dentro stante g di-
146
rígida veriables, e
El pr
él con unque desp
15.1. CTk
15.2. ¿
15.3. Dvuhq
erticalmentees
rincipio de Arna fuerza netplaza. A esta
Calcúlese la pTómese la prekg/m3.
¿Cuánto pesan
Detrás de unvertical resuluna torca quehorizontal; (bque actuar pa
(o) La figuraa la profu
Se puede[El esquela presión La fuerz
hacia abajo
rquímedes esta dirigida vea fuerza se la
presión a unaesión atmosfé
n 3 m3 de cobr
na represa el ltante sobre le tiende a hac(b) la torca enara producir l
a 15-1(6) es uundidad y es
e despreciar laema que se mun atmosférica
a total es
ESTÁTICA
. La forma d
stablece que uerticalmente a denomina f
Problema profundidadérica como 10
re, cuya graved
agua tiene ula represa, qucer girar la prn torno a O yla misma torc
una vista fron
a presión atmouestra en la figua.] La fuerza c
A DE FLUID
diferencial, q
un fluido acthacia arriba fuerza de emp
mas resued de 100 m po00 kPa y la de
dad específica
una profundidue tiende a dresa en torno y (c) la alturaca.
ntal de la cara
p = pg
osférica dado ura 15-1 (c) se
contra la regió
DOS
que es aplicab
úa sobre un cy de magnitu
mpuje.
ltos
or debajo de nsidad del ag
a es de 8.8?
dad h, Fig. 1eslizaría a loal punto O. Ea a la cual la
a de la represa
gy
que actúa sobe puede utilizaón marcada es
[C
ble cuando p
cuerpo extrañud igual al pe
la superficiegua del mar co
5-l(a). Ejerco largo de losEncuéntrense fuerza resul
a que da al ag
bre el otro ladar para justifica
CAPITULO 1
p o g son va-
ño inmerso eneso del fluido
del océano.omo p = 1030
ce una fuerzas cimientos y(a) la fuerza
ltante tendría
gua. La presió
o de la represar la omisión d
5
-
n o'
0
a y a a
ón
sa. de
CAPITULO
(b)
(c)
15.4. Un vsupun
de coninfi
Int
Otr
su
dontamcel
O 15]
La torca de
La torca tot
Si H es la alesta torca,
vaso cónico, perficie planalíquido de d
Imagínese quanillo infinite
ntribuye a la finitesimal de l
tegrando para
ro método La fuerza tot
fluido (¿por q
nde Fb es la fmiento sobre elan), y ω es el
E
la fuerza dF
tal en torno a
ltura, por enci
r = (b z) ta, como se muensidad ρ. ¿C
ue la superficieesimal (Fig. 15fuerza de lev
levantamiento
obtener la fue
al de presión qqué?). De aqu
fuerza dirigidel vaso (por sl peso del líqu
ESTÁTICA D
en torno a un
a O es
ima de O, en q
tan α, descanuestra en la fiCuál será la f
e interior del va5-2). La presi
vantamiento, des igual a la f
erza total de le
que ejerce un uí que, en este
da hacia abajosimetría, las fuido. Ahora b
DE FLUIDOS
n eje que pasa
que la fuerza t
nsa con su exgura 15-2. Sefuerza de lev
aso consta de uón p(z) actúa dado que actúfuerza de presi
evantamiento,
fluido estáticoe problema,
o sobre la supfuerzas horizobien,
S
a a través de
total F tendría
xtremo abierte quiere llenarvantamiento s
un infinito númsobre la cara v
úa horizontalmión sobre la ca
,
o sobre su con
erficie plana;ntales de pres
O tiene una m
a que actuar p
to hacia abajrlo hasta una sobre el vaso
mero de escalovertical de un
mente. Entoncara horizontal d
ntenedor es igu
Fz es la fuersión sobre el
147
magnitud
para producir
o sobre una altura h con
o?
ones en forma escalón y no es, la fuerza del escalón:
ual al peso de
rza de levan-vaso se can-
148
E
15.5. Eea
15.6. U3s
Pp
15.7. Ups
15.8. USc
A
15.9. Ucc
En consecuenc
Encuéntrese les la correspoagua y del me
Un barómetro33 cm3 cuandou superficie.
En término
Para la burbujpermanece fija
Un pequeño bprofundidad de lo suelta y
(a) Según el
donde V
Una boya cilíSi su gravedacoloque en su
Según el p
Al ponerle un
Un hombre ccon su cabezacuentra totalm
cia,
a presión a uondiente a unercurio son 10
o de mercurio se encuentr ¿Cuál es su
os de la densid
ja, la ley de Ba. Entonces,
bloque de madde 2.9 m. Enc (b) el tiemp
l principio de
es el volumen
índrica de maad específica u superficie su
principio de A
a carga, la altu
cuyo peso es a por encimamente inmers
ESTÁTICA
una profundidna columna de03 kg/m3 y 13
o se eleva a ra en el fondovolumen en
dad de peso, ρ
Boyle establec
dera, de densiuéntrense (a)
po en que el b
Arquímedes,
n del bloque. E
adera, de altures 0.8, ¿cuánuperior?
Arquímedes, la
ura que se sum
de 667 N y ca de la superfiso. Suponiend
A DE FLUIDO
dad de 10 m ee mercurio d.6 x 103 kg/m
762 mm. Uno de un lago dla superficie
ρg, del agua,
ce que pV = c
idad 0.4 X 10) la aceleracióbloque alcan
la fuerza neta
Entonces
ra 3 m y masanto se sumerg
a altura sumerg
merge es direct
cuya densidadficie con ayuddo que el vol
OS
en el agua cuae 760 mm de
m3, respectivam
na burbuja dede 45.7 m de p
del lago?
constante, sup
03 kg/m3, se suón del bloqueza la superfi
a hacia arriba
a 80 kg, flotagirá cuando un
gida, h, de la b
tamente propo
d es 980 kg/mda de un challumen de su c
[C
ando la presióe altura. Las mente.
e gas, cuyo vprofundidad,
poniendo que
umerge en el e hacia la supcie.
sobre el bloqu
a verticalmentn cuerpo de m
boya sin carga
orcional al pes
m3 logra flotaeco salvavidacabeza es 1/1
CAPITULO 15
ón atmosféricdensidades d
volumen es d se eleva hac
la temperatu
agua hasta unerficie cuand
ue es
te en el agua.masa 10 kg se
a está dada po
so o masa total
ar en el aguaas que se en-5 de su volu-
5
ca del
de ia
ura
na do
e
r
l
-
CCAPITULO 1
menlume
El
Igua
15.10. El pairebo c
L
15.11. Unasop15-que
con
15]
n total y que len del chalecol volumen del
alando la fuer
peso de un gloe y el peso decomienza a elLa ecuación d
a barra homoortada por un3. Si la grav
e emerge del
Dado que la fndición del equ
E
la gravedad eo salvavidas. l hombre es
rza de empuje
obo y el gas qe 1 m3 de airlevarse.
de movimiento
génea y delgna cuerda am
vedad específagua.
fuerza de empuilibrio rotaci
STÁTICA D
específica de
con el peso d
que contiene re es de 12.3
o del globo es
gada de longimarrada a unofica de la bar
puje actúa en ional es (A = á
DE FLUIDOS
l chaleco sal
del hombre m
es de 11.12 k3 N, encuéntr
tud 2ℓ flota po de sus extrerra es 0.75, e
el centro de gárea de secció
vavidas es 0.
más el peso del
kN. Si el globrese la aceler
parcialmenteemos, como sencuéntrese
gravedad del aón transversal)
.25, encuéntr
l chaleco salv
bo desplaza 1ración con qu
e sobre el aguse observa enla longitud d
agua que se d)
149
rese el vo-
vavidas,
132 m3 de ue el glo-
ua, estandon la figura de la barra
desplaza, la
150
15.12.
15.13.
De lo anterior Descartando
En rigor, perpendicula
Si una vasijmuéstrese qurotación de
Como se mgenerada porigual presión,presión en cusuperficie en existiría una fsobre el elem
El elemenmovimiento e
Combinando
La subnorya que una c
Un tubo pequCon volúmenmitad del cítravés de la
r,
la raíz negatila solución an
armente. Sin e
a y el líquidoue la superficuna parábol
muestra en la r la rotación d, dado que se eualquier parte P ejerce el refuerza tangenc
mento es su pe
nto se mueve een las direccio
estas ecuacion
rmal de la curonstante subn
ueño y unifornes iguales drculo (véasesuperficie co
ESTÁTIC
iva, se observnterior es sólo embargo, el er
o que contiencie libre del la en torno a
figura 15-4, sde la curva APencuentra en ce de la superfiesto el resto decial a lo largo deso, mg.
en un círculo ones vertical y
nes se obtiene:
rva AP es NG ynormal es una
rme se dobla e dos fluidos la figura 15
omún forma c
CA DE FLUID
a que la mitadaproximada p
rror puede ser
ne giran uniflíquido es un su eje).
supóngase quePK en tomo alcontacto con elicie. Por lo tael líquido es nde la superficie
de radio NP cy horizontal so
:
y es constante propiedad qu
en forma de , cuyas densi-5). Encuént
con la vertica
DOS
d de la barra spues la superfir mínimo si A
formemente eparaboloide
e la superficie l eje de rotacil aire, el cual e
anto, la fuerzanormal a la supe.) Además de
con velocidad on, entonces
e. Por lo tantoue define a la
círculo de raidades son p ytrese el ángual.
[
sobresale del icie del agua n
A es pequeña.
en torno a un(superficie f
del líquido adión OA. Esta ejerce esenciala F que sobre perficie en P. ésta, la única f
angular ω. La
, la curva AP parábola.
adio r cuyo ply σ (p > σ) selo que el rad
CAPITULO
agua. no corta la bar
n eje verticalformada por l
dquiere la formsuperficie es lmente la mismun elemento (De lo contrar
fuerza que act
as ecuaciones
es una parábo
lano es vertice llena la dio que pasa
15
rra
l, a
ma de
ma de rio túa
de
ola,
cal.
a
CAPITULO
pesopura
15.14. Conse eenc
15.15. Un 0.3 lado10.
15.16. EnchacRes
15.17. Un unaes l
15.18. Un ladoestákg/
15.19. Un dencuefun
Resp
15.20. Resigu
O 15]
De las fuerzaos, pgV y σgamente radial
nsidérese un gejerce una fuecuéntrese la pr
cuadrado de m por debajo
o cuando el c1 kN/m3. Resp
cuéntrese el áce que el sistemspuesta: Tan θ
bloque de ma cuerda hacia la tensión en l
tanque contieo, se coloca vá en cada líqum3, respectiv
cuerpo de densidad p, donderpo justo antedidad máxima
spuestas:
suélvase de nuales en la inte
E
as externas quV, tienen torces. Entonces,
Problgas confinadoerza perpendiresión del gas
madera tiene o de la superficuadrado se inpuesta: 77 N
ngulo θ que lma entero se mθ = a/g
adera que pesel fondo de u
la cuerda? Res
ene agua encimverticalmente ido. Las dens
vamente. Resp
ensidad ρ' se de p> p'. Omítes de penetrara a la cual se
uevo el probleerfaz.
ESTÁTICA D
ue actúan sobas en torno alpara el equilib
lemas como en un conteicular de 20 Ns. Respuesta:
0.15 m de laicie del océannclina 30° con
la superficie dmueva en dire
sa 71.2 N y qun tanque de aspuesta: 23.6
ma de mercury en equilibriidades del ace
puesta: 32 mm
deja caer partanse todos losr en el lago, (bhunde antes d
hacia a
ema 15.13; só
DE FLUIDOS
bre los dos segl centro O; labrio,
mplemenenedor por meN sobre el pis5 kPa
do; su orilla sno. Encuéntresn respecto a l
de agua en unección horizon
que tiene gravagua con el pro
N
io. Un cubo dio entre amboero y del mercm en el mercu
tiendo del reps efectos disipb) su aceleracde regresar a l
arriba
lo que esta ve
S
gmentos de flas fuerzas que
tarios
edio de un pistón para evita
superior es hose la fuerza qula horizontal.
na cubeta formntal con una a
vedad específopósito de sum
de acero, de 60s líquidos. Encurio son 7.7 Xurio, 28 mm e
poso desde unpativos y calcúción al penetrala superficie y
ez las presione
fluido únicamee ejerce el con
stón de área 4ar que el gas
orizontal y seue el agua eje El agua del
ma con la horiaceleración a.
fica de 0.75 emergirlo totalm
0 mm de longncuéntrese quX 103 kg/m3 y
en el agua
na altura h enúlense (a) la var en el lago, y flotar.
es de los fluid
151
ente los dos ntenedor son
40 can2. Si se expanda,
encuentra a erce sobre un océano pesa
izontal, si se
es tirado con mente. ¿Cuál
gitud de cada é parte de él y 13.6 X 103
n un lago de velocidad del y (c) la pro-
dos deben ser
1
tde
(d
rr
1
sec
dv
1
lm
dde
16.1 ALGUN
Una líneatiempo, de talde flujo es aqexiste transpo
En el flujo(Sin embargode corriente s
Un flujo eremolinos (sirección fija).
16.2 LA EC
La conservsuperficie cerexisten fuentcorriente en u
donde ρ es lavelocidad pro
Si, ademá
16.3 ECUAC
Para el flulaciona la prmisma línea d
Obsérvesede volumen. de presión a lello por unida
NAS PROPI
a de corrientl manera que quel cuya suorte de fluidoo estacionario, la velocidadon fijos en el
es incompresii el segmento
UACIÓN DE
vación de masrrada sea iguates ni sumideun flujo estac
a densidad, suomedio en la s de ser estac
CIÓN DE BE
ujo estacionarresión p, la vde corriente,
e que cada térDe hecho, la
lo largo de la ad de volume
DináIEDADES DE
e es una líneel vector velo
uperficie estáo. o la velocidad en general l flujo estacioible si la deno de línea qu
E CONTINU
sa requiere qual al incremeneros de matecionario, se o
uponiendo qusección trans
cionario, el flu
ERNOULLI
rio de un fluivelocidad de de la siguien
rmino de la eca ecuación simlínea de corr
en).
ámica dEL FLUJO D
ea imaginariaocidad en cad
á formada po
ad del fluido varía de un p
onario. nsidad del fluie define dos
UIDAD
ue la cantidadnto de masa eeria dentro dobtiene la ecu
ue es uniformsversal (y norujo es incomp
ido incompreel fluido v, ynte manera:
cuación de Bemplemente esiente es igual
e fluidoDE UN FLUI
a en un fluidda punto de laor líneas de c
en un lugar punto a otro.)
ido p es conspartículas ve
d neta de flujoen el interior dde la superficuación de con
me en la secciórmal a ésta).presible, la ec
sible y no viy la altura y
ernoulli tienestablece que l al cambio en
Ca
os
IDO
do, que se toa línea es tangcorriente a tr
dado es inde Las líneas d
stante; es irroecinas del flu
o de masa hacide la superficcie. Aplicandntinuidad:
ón transversa
cuación de co
scoso, la ecuen dos punto
e dimensionesel trabajo rea
n energías po
apítulo
oma en un ingencial a éstaravés de las c
ependiente dee corriente y
otacional si nuido mantien
ia adentro de cie, suponienddo esto a un
al de área A,
ontinuidad se
uación de Beros cualesqui
s de energía palizado por latencial y ciné
o 16
nstante de a. Un tubo cuales no
el tiempo. los tubos
no existen ne una di-
cualquier do que no n tubo de
y v es la
reduce a
rnoulli re- era de la
por unidad as fuerzas ética (todo
154
16.1.
16.2.
16.3.
Un tanque a una razónde volumenEncuéntres
Sea p la
Por consertanque:
Integrando, o
Obviam
Encuéntresgas se esca305 m/s. L
La ecua
donde V, AEntonces,
Una chimediámetro enparte inferiuna rapidealtura hastatura h. Véa
La ecuaparte super
de 10 m3 de n de 1 m3/s. En pero a la dese una expres
a densidad en
vación de la
mente, este pro
se la razón deapa a través da densidad en
ación de conse
A, v son el vol
enea cónica dn su parte supior y se condz de 12.2 m/a llegar a un
ase la figura 1
ación de continrior de la chim
DINÁMI
Problevolumen tienEl gas escapaensidad del tsión para la d
el tanque. La
(l)(
masa, esto de
ceso no puede
e cambio de de un orificion el tanque a
ervación de la
umen del tanq
de 97.6 m de perior. Un ga
densa conform/s. Suponiendvalor final d
16-1.
nuidad, aplicamenea, da
ICA DE FLU
emas resune una válvula a través de tanque, que edensidad en e
razón neta de
(3ρ)-(l)(ρ) = 2
ebe ser igual
e continuar po
densidad en o de salida deal comenzar e
a masa es
que, el área de
alto tiene 30as de densidame se mueve do que la dende 1.28 kg/m
ada entre las s
UIDOS
ueltos a de admisióun orificio d
es un tercio del interior de
el flujo de ma
2ρ(kg/s)
a la razón de
or mucho tiemp
un tanque dee 0.13 m de del flujo era de
el orificio de
0.5 m de diámd 0.64 kg/m3
hacia arriba;nsidad se inc3, encuéntres
ecciones trans
n por la cual de salida a lade la densidael tanque.
asa hacia el tan
incremento d
po.
e 0.28 m3 de diámetro a une 16.1 kg/m3.
salida y la ve
metro en su b3 entra a la ch; abandona lacrementa linese la rapidez
sversales a un
[CAPÍTULO
se bombea ga misma razód de admisió
nque es
de la masa en
volumen si una velocidad d.
locidad de esc
base y 6.1 m himenea por sa chimenea coealmente cona cualquier a
a altura h y en
O 16
gas n
ón.
n el
un de
cape.
de su on
n la al
n la
C
1
1
CAPITULO 1
Ahora
y, por
16.4. En el ecuac
La
dondecorrienpuede
y la di
16.5. El deránguldel fl
Un
Suponmismo
16]
a bien, el diám
r suposición, t
caso de un fión hidrostáti
a ecuación de
e C es constannte a otra. Sin
e mostrar que
iferenciación
rrame de unao 6, como seujo de masa
n elemento de
niendo un flujoo valor en tod
DIN
metro de una
también varía
fluido estáticica,
Bernoulli se p
te a lo largo dembargo, si elC es constan
de esta ecuac
a represa ocue muestra ena través del
e masa de la r
o irrotacional, dos los puntos
NÁMICA DE
sección trans
a la densidad:
co, muéstrese
puede escribir
de una línea del flujo es irrotante en todo el
ción con respe
urre a través n la figura 16paso en térm
razón de flujo
la ecuación des en la cara de
E FLUIDOS
versal varía l
e que la ecua
r como
e corriente peracional (y este
fluido. Lueg
ecto a y propor
de un paso e6-2. Encuént
minos de 0 y
o Q está dado
e Bernoulli estel paso, de do
inealmente co
ación de Bern
ro generalmenincluye el casoo, con v = 0,
rciona la ecua
en forma de ttrese una expy0.
o por
tablece que patnde
on la altura:
noulli se red
nte varía de uno del fluido est
ación hidrostá
triángulo isópresión para
tm + 1/2ρv2 + ρg
155
uce a la
na línea de tático), se
ática.
ósceles de a la razón
gy tiene el
156
16.6.
donde C es
Se pued(θ y t/0) sinoaltura espec
Un fluido curvas de perpendicucomo se men el punt
(a) La macambi
y por t
Simila
Toman
(b) Si R e
una constante
de observar qo también de lacífica. Por ejem
incompresibl90°, como s
ulares. Para euestra, que po O,
agnitud del fluja de dirección
tanto la fuerz
armente, la fue
ndo las torcas
s la fuerza de
DINÁMI
e. Sustituyend
ue el flujo dea constante C. mplo, si v = 0
le de densidase muestra eel equilibrio erevenga que
jo del momenn, de -k a j; la
a sobre el tub
erza sobre el t
en torno a Z,
reacción en O
ICA DE FLU
do e integrando
e masa no dePara evaluar Cen y = y0, ent
ad p fluye a n la figura 1estático del tel tubo gire e
tum a través da fuerza sobre
bo en O es
tubo en P es
O, entonces la
UIDOS
o:
pende únicamC se debe conoonces
través de un
16-3. Las cuubo, encuént
en torno al eje
del tubo es pv2
e el fluido es,
a condición de
mente de la gocer la rapidez
n tubo uniforurvas están strense (a) la fe Z, y (b) la f
2A. En O, el flentonces
e fuerzas para
[CAPÍTULO
geometría del z del flujo en a
rme que tieneituadas en pfuerza F, aplifuerza de reac
lujo del mome
el equilibrio
O 16
paso
alguna
e dos lanos icada cción
entum
es
CAPITULÓ
16.7. Un comunase einiccae
(a)
(b)
Ó 16]
lo cual da
tanque cilíndmo se muestra
profundidadencuentra enialmente el agen el piso? (
En la superfiencuentra fueBernoulli,
Los valores v
De aquí se stérmino 1/2ρvción de Bern
El hecho
Después de donde el choque:
D
drico de 0.9 a en la figura d de h0 = 3 m el fondo degua al salir de(c) ¿Cuánto s
icie del líquidera del orifici
v1 y v2 de la rap
igue que el tév2
2 . Por lo tantonoulli, la cual
de que v2 sea i
asignar valororro cae sobre
DINÁMICA D
m de radio d16-4. Inicial. Un tapón cue uno de lose este orificiose requerirá p
do, p, v, y y tiio tienen los v
pidez se relaci
érmino 1/2ρv21 s
, se puede conda entonces
igual a la rapid
res a p, v, y ye el suelo, de
DE FLUIDOS
descansa sobrmente se llenuya área es ds lados del to? (b) ¿Cuál epara que el ta
enen los valovalores p2, v2 y
ionan por med
será (4039)2 ≈nsiderar a 1/2ρv
dez de caída lib
y justo fuera dacuerdo con l
S
re una platafna con agua (ρe 6.3 cm2 se anque, (a) ¿s la rapidez d
anque quede t
ores ρ1, v1 y y1y y2. De acuer
dio de la ecuac
≈ 1.6 X .107 vv2
1 efectivame
bre se conoce
del orificio dla ecuación d
forma de 6 mρ = 1 X 103 kgquita de un oCon qué rap
del chorro inictotalmente va
1, y en el chorrdo con la ecu
ción de contin
veces más peqente como cero
como ley de T
del tanque y ee Bernoulli se
157
m de altura, g/m3) hasta orificio que pidez fluirá cial cuando acío?
rro que se uación de
nuidad:
queño que el o en la ecua-
Torricelli.
en el lugar e encuentra
158
16.8.
16.9.
16.10. Hp
16.11.
16.12. y
pR
como si e
Por conserva
Comosuperficie
Un accesoriose mueva haversal . ¿Cuá
En el probde abandonarapropiada de
Un medidor den un conducρ1 ρ2 entrede esto, infié
Respuesta:
Haciendo usopasa a través
Respuesta:
Considérese e¿Cuál será la flujo se confi
Supóngase quy a una presióa en uno de lopecto al coheRespuestas:
el líquido hubi
ación de la ma
o en (a) se ence. Entonces,
o se une al orcia arriba co
ál es la máxi
blema 16.7 se r el orificio, aceleración c
Prode flujo de Vecto de sección dos presionesrase la rapide
del problemade cualquier s
el flujo de un fvelocidad de na a una aper
ue el gas en lón p1, y que sos extremos dte, en término
DINÁMIC
iese caído a pa
asa
cuentra que v2
rificio del tann un ángulo ma altura h'
vio que el chodonde su vel
constante en l
oblemas centuri introdu
n transversal cs ordinarias deez del fluido e
a 16.9, encuénsección transv
fluido con veleste fluido en
rtura cilíndric
a cámara de esale de la cámdel cohete. Enos de p1 y p1;
CA DE FLUID
artir del repos
2 = √2gh, desp
nque del probθ, sin afecta
' que alcanza
orro lleva a caocidad es v2a dirección Y
complemuce un estrechcon área a1. Ee fluido, p1 y len el conduct
ntrese el volumversal del con
locidad v0 a tran un punto dona de radio r/4
explosión de mara al espacincuéntrese (a)(b) el empuje
DOS
o desde la par
preciando de n
blema 16.7 pr su velocida
ará el chorro
abo el movim= √2gh0. Ent
Y
mentariosamiento con ál medidor regla presión en eo no estrecha
men de un fluiducto.
avés de un connde, debido al? Respuesta:
un cohete se io vacío a trav) la rapidez re
e producido so
[
rte más alta de
nuevo el movi
ara provocarad o área de s?
iento de un prtonces, aplica
área de secciógistra la difereel estrechamie
ado.
do por unidad
nducto cilíndrl estrechamien16v0
conserva a unvés de una abelativa de saliobre el cohete
CAPÍTULO 1
l tanque, (c)
miento de la
r que el chorrsección trans
royectil despuando la fórmu
ón transversalencia en presióento, p2. A par
d de tiempo qu
rico de radio rnto del tubo, e
na densidad pbertura de áreida del gas ree.
16
ro s-
ués ula
l a2 ón, rtir
ue
r. el
p1 a s
CAPÍTULO 16] DINÁMICA DE FLUIDOS 159
16.13. ¿Cuál es el empuje inicial sobre el tanque en el problema 16.7? Respuesta: 2pgh0a2 = 37 N
16.14. Un barril de agua se encuentra sobre una mesa de altura h. Si se le hace un pequeño hoyo en uno de los lados de la base, se observa que el chorro llega al suelo a una distancia horizontal R del barril. ¿Cuál es la profundidad del agua en el barril? Respuesta: R2/4h
16.15. Una placa plana se mueve normalmente hacia un chorro de descarga de agua a la razón de 3 m/s. El chorro descarga agua a una razón de 0.1 m3/s y a una rapidez de 18 m/s. (a) En-cuéntrese la fuerza sobre la placa debida al chorro y (b) compárese este resultado con el que se obtiene si la placa se encuentra estacionaria. Respuestas: (a) 2450 N; (b) 1800 N
Gas
17.1 ECUA
La ecuacrelaciona la bajas, todos donde N es en grados K
Los valores
El cociente
que es el nú
17.2 MOV
Desde ealeatorio, cvelocidad técinética deconjunto de
Para un gas
Por tanto, lenergía cinobjeto. (Vé
La enersu energía
ses, mo
ACIÓN DE E
ción de estadopresión, el vlos gases tien
el número deKelvin del gas
s de k, consta
e de estas dos
úmero de mo
VIMIENTO T
l sistema de rcon una amplérmica) vrms se traslación e moléculas d
s diluido, qu
la temperaturnética de trasléase el problergía total E dcinética total
ovimientt
ESTADO
o de un gas envolumen y la tnen la misma
e moléculas ens, la cual se r
ante de Boltz
s constantes e
oléculas en u
TÉRMICO
referencia delia distribucise puede defines igual a l
del gas:
e obedece a
ra absoluta dlación de susema 17.11.) e un gas ideal. Por tanto, s
to térmtermodi
n equilibrio ttemperatura decuación de e
n el gas; n es relaciona con
zmann, y R l
es el número
un mol.
el centro de mión de energínir como la vla energía c
la ley de los
de un objeto m moléculas, d
al (medida ensegún (17.2)
1
ico y la námica
térmico (tempdel gas. Tratáestado, denom
el número den la temperatu
la constante
o de Avogadr
masa, las molías cinéticas
velocidad dé ucinética de t
gases ideale
macroscópicdeterminada
n el sistema dy (17.3),
61
Ca
primera
peratura unifoándose de denminada ley de
e moles del gaura en grados
universal de
ro,
léculas de un. La velocidauna molécula traslación pr
es,
co es una meden el sistema
del centro de
apítulo
ra ley de
orme en todo nsidades suficlos gases idea
as; y T es la tes Celsius por
e los gases
n gas tienen mad cuadrátichipotética cu
romedio sob
dida del proma del centro d
e masa) es la
o 17
e la
el sistema) cientemente ales:
emperatura medio de
son
movimiento a media (o
uya energía bre todo el
medio de la de masa del
misma que
162
Una molacionaldenada
La exprde traslestán cucional a
La dcaminodiámetr
N/V es
17.3
En uvalor f
donde Wcalor qy el calla termreferenpotenc
El tel mismdado. P
La barproduc
Si eun gassistema
En un Un
volum
donde monoa
olécula diatóml. De acuerdoindependien
resión (17.5)ladarse y rotuantizadas. Ca T, distancia prom trayectoriaro d,
el número d
LA PRIMER
un proceso efinal E + ∆E
W es el trabaue penetra allor que sale dodinámica en
ncia si E se deial macroscó
trabajo W y emo para todoPor esta razón
ra es un aviscir funciones el sistema es (ideal o no)a de un volum
diagrama p-proceso adiaen se represe
γ > 1 cocieatómico, γ =
GASES, MO
mica posee to con el teorente) tiene la m
) es únicamear como un
Con la contri
medio que recl libre medio
e moléculas
RA LEY DE
en el cual la eE,
ajo realizado l sistema prode él se cuentn el sistema define como laópica que posel calor Q deps los proceson, (17.7) se e
so de que dQbásicas únicun gas ideal,
) y si el únicomen V1 a un v
V este trabajabático es aquenta por
nte de sus c5/3 (véase el
OVIMIENTO
tanto energíaema de la eqmisma cantid
nte aproximacuerpo rígidbución vibra
corre una moo, ℓ. Para un
por unidad d
LA TERMO
energía inter
∆ E
por el sistemveniente de ltan como neg
de referencia da energía totasea el sistempenden en genos que llevan escribe para u
Q y dW no socas Q y W. la energía ino trabajo reavolumen V2,
o es igual al uel para el cu
apacidades cl problema 1
TÉRMICO Y
a cinética de quipartición, cad de energía
ada, debido do, puede tenacional inclui
lécula de gasn gas ideal
de volumen.
ODINÁMICA
rna de un sis
E = Q - W
ma sobre sus los alrededorgativos.) La edel centro de al (la energía
ma). neral de los pal sistema de
un proceso in
on diferencia
nterna E está alizado en el
entonces
área bajo la ual Q= 0. Para
caloríficas (v7.3).
Y PRIMERA
origen rotaccada grado da 1/2kT, asoc
a que una mner vibracionida, E cesa d
s entre colisiocompuesto p
A
stema cambia
alrededores dres. (El trabajecuación (17.masa; se pueinterna más
procesos parte un estado innfinitesimal,
ales exactas;
dada por (17proceso es e
curva que d
a un gas ideal
véase el capí
LEY [
ional como dde libertad miada. Por lo t
molécula diatóes internas,
de ser simple
ones aleatoriapor molécula
a de un valor
durante el prjo realizado s7) expresa lade aplicar en cualquier ene
ticulares, en tnicial dado a
no se puede
7.4) o (17.5). el debido a la
escribe la exl, un cambio
ítulo 18). Pa
[CAPÍTULO
de origen traolecular (cootanto,
ómica, ademcuyas energí
emente propo
as se denominas esféricas
(17
r inicial E a u
(17.
oceso y Q essobre el sistema primera ley otro sistema
ergía cinética
tanto que ∆E un estado fin
(17
en integrar pa
Si el sistemaa expansión
xpansión. adiabático en
ara un gas id
17
as- or-
más ías or-
na de
7.6)
un
.7)
s el ma de de
a o
es nal
7.8)
ara
a es del
n el
deal
CAPITULO
17.1. Un (25 ¿Cude m (b)
(c) La d
17.2 Un mllevinicgas?lumdesd¿cuá
(a) (b)
(c)
O 17] G
gas ideal eje°C) y su volu
uál es la densimasa si el ga
) La masa atómcontiene 2.0
La masa atómdensidad del o
mol de gas dea a cabo un ial, (a) ¿Cuá? (c) Luego e
men; ¿qué trade el estado iál es el traba
Refiérase a lPor la ley de
El proceso a
GASES, MOV
Prerce una preumen es de 1idad de masa s es oxígeno
mica del hidr16 g, o 2.016
mica del oxígeoxígeno es ento
e helio, iniciaproceso isov
ál es el trabajel gas de helioabajo realiza nicial en (a) ajo realizado
la figura 17-1. e los gases idea
presión const
VIMIENTO T
roblemassión de 1.520-2 m3 (10 litsi el gas es h
o, O2?
rógeno es 1.00X 10-3 kg. La
eno es 16, por onces
almente a STPvolumétrico ejo realizado po se expandeel gas? (d) al estado finao por el gas?
WAB = 0, dadales, a volume
tante hace reto
TÉRMICO Y
s resuelto2 MPa cuandtros), (a) ¿Cuidrógeno mo
08, de tal mana densidad del
lo que un mol
P (p1 = 1 atmen el cual lapor el gas? (
e isobáricameSupóngase qal en (c) por m?
do que dW = pen constante,
ornar el gas a l
Y PRIMERA
os
do su temperuántos moleslecular, H2? (
nera que un ml hidrógeno e
l de O2 contien
m = 101.3 kPaa presión cae(b) ¿Cuál es lnte hasta alcaque el gas llmedio de una
pdV = 0.
la temperatura
LEY
ratura es de s de gas exist(c) ¿Cuál es l
mol de hidrógs, entonces
ne 32 g, o 32 x
, T1 = 0 °C = a la mitad dla temperaturanzar el doblleva a cabo ua expansión i
a original T1 =
163
298.15 °K ten ahí? (b) a densidad
geno (H2)
x 10-3 kg.
273.15 K), de su valor ra final del e de su vo-un proceso isotérmica;
= 273.16 K.
164
17.3.
17.4.
17.5.
G
Obsérvese qu
Determíneseadiabático ta
La prime
para el proce(17.4), de do
Más aún, uti Finalmente,
Encuéntreseun estado (p1
Para la e
Calcúlese la(100 °C).
La mas
GASES, MO
ue WAC ≠ WAB
e la relación al que únicam
era ley de la te
eso adiabáticoonde
lizando la ley
a partir de la
el trabajo re1, V1) a un es
expansión adi
a velocidad c
a de una molé
VIMIENTO
+ WBC; el tra
ρ-V en un gamente se real
ermodinámica
o. La energía d
y de los gases
ley de los ga
ealizado por stado (p2, V2)
abática,
cuadrática m
écula de H2 se
TÉRMICO Y
abajo entre lo
as ideal monliza trabajo d
a, (17.8), estab
de un gas id
ideales,
ses ideales, su
un gas ideal.
edia de las m
e puede calcu
Y PRIMERA
s estados A y
oatómico qude expansión
blece que
deal monoatóm
ustituyendo p
l al expander
moléculas de
lar a partir de
LEY [
C depende de
e lleva a cabn.
mico está d
ara T,
rse adiabática
hidrógeno (H
el peso molecu
[CAPITULO
e la trayectoria
bo un proceso
dada por
amente desde
H2) a 373.15
ular
17
a.
o
e
K
C
1
1
CAPITULO 1
17.6. Dedúz
Cvolumcompopartir
Ahoradel ga
Pero N
donde
17.7. De acute conpartir
Ela cap
o (la ec
donde
E
7] G
zcase la ley d
Considérese unen V. La velo
onente, dado de (17.1) y
a bien, si la meas 2, cada una
Nimi/V = pi
pi es la presió
uerdo con la ln la altitud, sude la ley de l
En la figura 17pa,
uación hidros
e m es la masa
En la integraci
GASES, MOV
de Dalton de l
na mezcla de gocidad cuadrátque depende y (17.3),
ezcla consta dcon masa m2,
la densidad d
ón del i-ésimo
ley de las atmuponiendo qulos gases idea
7-2 se muestra
tática; véase l
a molecular p
ión, se supuso
VIMIENTO T
las presiones
gases en equiltica media moúnicamente d
e N1 molécula, entonces la d
del í-ésimo si
gas si únicame
mósferas, la prue la temperaales.
a una delgada
la sección 15.4
promedio del
o que g, así co
TÉRMICO Y P
s parciales.
librio térmicoolecular de lade la temperat
as del gas 1, cadensidad ρ de
únicamente é
ente éste ocupa
resión atmosféatura es unifo
a capa de aire
4). A partir de
aire. Entonce
omo T, es inde
PRIMERA L
y en el interia mezcla es latura. La presi
ada una con me la mezcla es
él ocupa el rec
a la vasija. Est
férica disminuorme. Obtén
I
a una altitud z
e la ley de los
s
ependiente de
EY
ior de un recia misma para ión de la mez
masa m1; N2 mtá dada por
cipiente. Ento
ta es la ley de
uye exponencingase este res
z. Para el equ
gases ideales
z.
165
piente de cada gas
zcla es, a
moléculas
nces
Dalton.
ialmen- sultado a
uilibrio de
,
166
17.8.
17.9.
Las magnimuestra ena través demiento angde 600 rev
Una msegundo diotro. Enton
El sistema y un espejvertical. Lproducen posición aejemplo dcuadráticofina de cu
GASES, M
tudes de las vn la figura 17-el selector degular de 180°
v/s. ¿Cuáles smolécula que pisco gira un v
nces
móvil de un go que se susp
Las colisionetorcas que n
angular fluctúde movimiento medio del suarzo es K=l
MOVIMIENT
velocidades m-3. En un expe velocidades°, entre las doson los valorepasa a través
valor π, 3π, 5π
galvanómetropende de unaes aleatorias no son igualeúa continuamto brownianosistema es θ
X 10-13 N m
TO TÉRMIC
moleculares sperimento cons con los disos rendijas, ces posibles dde la primeraπ, sucesivame
o de D'Arsonva fibra muy fi
de las molées y opuestasmente y el siso). Véase la
rms = 2 X 10-
m/rad, encué
O Y PRIMER
se pueden men él se encuencos separado
cuando los die la rapidez da rendija pasaente, mientra
val está formana y que es c
éculas de airs en todo momtema exhibe figura 17-4. -4 y la torc
éntrese la tem
RA LEY
edir con el dintra que las mos 0.5 m y coiscos dan vuede las molécuará a través ds la molécula
ado por una bcapaz de girarre con el sistmento. El reun "cero" noSi el desplaza constante
mperatura de
[CAPITUL
ispositivo quemoléculas pasaon un desplazelta a una razulas?
de la segunda a va de un dis
bobina de alamr en torno a stema suspensultado es qu
o estacionariozamiento ang para una f
l aire.
O 17
e se arán za zón
si el sco a
mbre u eje
ndido ue la o (un gular fibra
CCAPITULO 1
Epotencinétivalor
Esta
17.10. Un ssistemyectocomo
(que
17.11. ImagEl teres la
Cvelocdada
Pero la dirPor lo
E
ideale
E
las mléculverda
17.12. Un rconfcuán
17] GA
El teorema dencial. En sus oca, 1/2Iω2, y la medio eje cad
es la tempera
atélite enviama solar y o
oria libre medo 2.4 x 10-10 m
es aproximad
gínese un termrmómetro se "temperatur
Con respecto acidad vx, vy vpor
v y = 0, dado qrección + Y o tanto,
El termómetroes 1/2mv2
rms =
El termómetromoléculas del la, en adición adera.
resorte que tfiguración sento se increm
Al ser compri
ASES, MOVI
la equiparticoscilaciones al
energía potencda energía es
atura del siste
ado al espacobtiene un vadia de los átomm.
damente 10 ve
mómetro colomueve a trava" que dará e
al termómetro v0, vz. La rapid
que para cada mexistirá otra
o convertirá v3/2kT. Entonce
o en movimiengas poseerán a la energía c
tiene una cone sumerge en
menta la energ
imido el resor
IMIENTO TÉ
ción se aplica leatorias, el sicial elástica de1/2kT. Por lo ta
ema, la cual
cio muestreaalor de 2.5 ámos de hidróg
eces la distan
ocado en el ivés del gas coel termómetr
en movimiendez cuadrática
molécula de gmolécula que
v'rms a una tees,
nto proporcionuna energía c
cinética desor
nstante de ren una vasija dgía interna de
rte, éste adqui
ÉRMICO Y P
a ambos tipostema espejo-
ebida al giro deanto,
es también la
a la densidadátomos de higeno? Tómese
ncia del Sol a
nterior de unon una velocio?
nto, una moléca media, v'rms, r
gas que tenga ue tenga la mi
mperatura, T'
nará la lecturacinética ordendenada que d
esorte 5 N/mde ácido en lel sistema res
iere una energ
PRIMERA L
os de energía -alambre tieneel alambre, 1/2K
a temperatura
d de la mateidrógeno pore el diámetro
la Tierra).
n gas ideal cuidad v0 en la
cula de gas tenrelativa al term
una cierta comisma velocida
', al utilizar l
a falsa T' debnada, en un mdetermina por
m se comprima cual se dis
sorte-vasija?
gía potencial e
LEY
en desorden, e una energía dKθ2. Según el t
a del aire.
eria en el inr cm3. ¿Cuáldel átomo de
uya temperatdirección + Y
ndrá las compmómetro estar
mponente de vead en la direc
la relación de
bido a que, resmonto de 1/2mv
sí misma la te
me 0.04 m, ysuelve el reso
elástica en una
167
cinética y de rotación teorema, el
nterior del es la tra-hidrógeno
tura es T. Y. ¿Cuál
ponentes de rá entonces
elocidad en cción Y.
e los gases
specto a él, v2
0 por mo-emperatura
con esta orte. ¿En
a cantidad
168
17.13.
17.14.
17.15.
17.16.
17.17.
Cuando el rey cinética de
Un tanque cmolinillo esderando al tdel sistema
aproximadam
Considéresecubeta que cencima del agua. Encuéjusto despuétransferido temperatura
Se apliccinética y po
(a) Se tien
esto es,
(b) Justo d
y despr
(c) Despuétempera
Si 2.1212 gperatura es
Un gas ideaLa cuarta pamedida si laRespuesta: 8
Un globo esy presión noapenas flotaRespuestas:
GASES, M
esorte se disusordenadas de
contiene un s de 2.24 kWtanque y al fpor hora
mente 6 MJ/h
e un sistema contiene ma =agua, y tanto
éntrese ∆Eint
és de que la rel suficiente que tuvieron
ca la primera lotencial macro
ne que Q = W
la conservaci
espués de qu
reciando la pro
és de que se hatura original,
Prramos de ude 0 °C y la p
al se coloca earte del gas sea temperatura 897.7 kPa.
sférico de 2 mormales y despa en el aire? ¿C: (o) 5.45 k
OVIMIENTO
uelve, esta eneel sistema.
fluido que eW. Del tanqufluido como e
h.
que consiste= 14.6 kg deo ella como , ∆K, ∆U, y
roca llega al re calor comon inicialmente
ley en el sistemoscópicas, K y
W = ∆Eint = 0,
ión de la energ
e la roca lleg
ofundidad de
ha perdido suf ∆Ei nt = 0. Igu
roblemas un gas monopresión es 81
n un tanque a saca del tanqes de 315 °C?
m de diámetro préciese la maCuáles son (b)
kg; (b) 1.3 k
O TÉRMICO
ergía potencia
es agitado poe se transfieel sistema, de
e en una roce agua. Inicel agua tiene
y W (a) cuandreposo en el fo para que lae.
ma de referency U, del sistem
por lo que ∆K + ∆U
gía mecánica.
a al reposo en
Q = W = ∆
la cubeta ∆U
∆Eint = - ∆Uficiente comualmente, ∆K
Q = ∆U = -
complemoatómico ocu0.6 kPa, ¿cuá
a 40 °C. La mque y se establ? Tómese la pr
se llena con hasa del globo,) la densidad, kg/m3; (c) 7
O Y PRIMER
al ordenada se
or un molinilre calor a unetermínese e
a que tiene uialmente la ren la misma do la roca cofondo de la cua roca y el a
cia del suelo, pma, así como su
U= 0 Entonces,
n el fondo de
K = 0
= 3391 J. En
= 3391 J mo para que la
= 0, W = 0, y
-3391 J
mentariospan un volum
ál es el gas? R
medida de la pece el equilibrresión atmosfé
helio. Supónga (a) ¿Cuánto d(c) la presión
738 kPa
RA LEY
e convierte en
llo. La potenna razón de l cambio de
una masa mr
roca se encuetempertura. mienza a entubeta, (c) desagua se encu
por lo que E inu energía inter
la cubeta,
ntonces,
a roca y el ag ∆U = -3391 J
s
men de 1.49 litRespuesta: He
presión es inicrio térmico. ¿C
férica como 10
anse condiciode helio conti
n del gas de he
[CAPITUL
n energías pot
ncia de entra0.586 kW. Cla energía in
r = 14.6 kg yentra a 23.7 mLa roca cae
trar en el aguspués de que entren a la m
ncluye las enerna, Eint.
gua recuperenJ. Por lo tanto
tros cuando lae
cialmente 608Cuál será la pr01 kPa.
ones de tempeene el globo s
elio?
LO 17
encial
ada al Consi-nterna
y una m por en el
ua, (b) se ha
misma
ergías
su ,
a tem-
8 kPa. resión
eratura si éste
CAPITULO
17.18. La dibucióentre
Encu
Respu
17.19. Muésvolum
17.20. ¿A quTierrahidróResp
17.21. Una rtienenrequiRespu
17.22. Dos gpresiLos dgasestante?
17.23. Las vEncu(c) mResp
17.24. Un mexpadel genergResp
17.25. Un El émen eqcilind
17] G
istribución esón de Maxwell E y E + dE p
uéntrese la ene
uesta: E = 1/2
strese que la fmen constante
ué temperaturaa (ve = √2
ógeno de la suuestas: (a) 10
reacción de fun una energíaiere para que uesta: 5.57 x
gases ocupanón de 1.38 M
dos contenedo entremezclars? Respuesta: 0
velocidades deéntrense (a)
muéstrese que ppuesta: (a) 29
mol de gas hidnde isobáricam
gas? (b) ¿Cuágía interna deluestas: (a)
cilindro equipmbolo se empuquilibrio térmidro si el volum
GASES, MOV
stadística de el-Boltzmann. Épor medio de
ergía cinética
kT
frecuencia de e varía confor
a la vrms de mo2gr)? (b) uperficie de la0100 K; (b) 44
usión nucleara cinética promocurra la fusi109 K
dos contenedMPa. El gas enores están unise. ¿Cuál es la0.965 MPa
e cinco moléc la rapidez p
para cualquier9.6 m/s; (b) 3
drógeno, inicimente hasta dl es el trabajo gas? (d) ¿La e546.30 K; (
pado con un éuja tan despacico con los alrmen final es la
VIMIENTO T
energía que suÉsta proporci
e
promedio sob
colisiones morme a la raíz c
oléculas de H2¿Cuál es la
a Luna (gM = 149 K
r ocurre en unmedio de al mión nuclear en
dores, A y B.n B, de 0.16 dos por un tua presión final
culas tienen lapromedio y (br distribución 2.6 m/s; (c
ialmente a coos veces su voo realizado poenergía térmic
(b) 2.27 kJ:
émbolo contieio que el aire rededores. Enca mitad del vol
TÉRMICO Y
ubyace en la ona el número
bre el conjunto
oleculares de cuadrada de la
es igual a la rtemperatura
1.6 m/s2, RM =
n gas de núclemenos 0.72 Mn el deuterio?
El gas en Am3 de volum
ubo de voluml en el contene
as siguientes (b) la rapidezde rapidez,
c)
ndiciones de olumen inicialor el gas al exca, entra o sale(c) 3.41 kJ;
ene 0.1 ml de aen el interior cuéntrese el trlumen inicial.
Y PRIMERA L
ley de los gao de molécula
o de N molécu
un tipo de gaa temperatura
rapidez de esccorrespondien
= 1750 km)?
eos de deuterMeV. ¿Cuál es
? (1 eV = 1.
, de 0.11 m3
en, ejerce unmen despreciaedor si la temp
magnitudes: 1z cuadrática m
presión y teml, (a) ¿Cuáxpanderse? (ce del gas, y si e(d) entran 5.6
aire a temperadel cilindro perabajo realizadRespuesta:
LEY
ases ideales eas con energía
ulas.
as dado en unabsoluta.
ape de la supente para el e
io cuando losla temperatur6 X 10-19 J.)
de volumen, a presión de
able, y se peperatura perma
12, 16, 32, 40media de estas
mperatura conál es la temperc) ¿En cuántoes así, en qué
68 kJ
atura ambientermanece esendo por el aire 169 J
169
s la distri-as cinéticas
a vasija de
erficie de la scape del
s núcleos ra que se
ejerce una 0.69 MPa. rmite a los anece cons-
0 y 48 m/s. moléculas,
stante, se ratura final
o cambia la cantidad?
e (20 °C). ncialmente dentro del
18.1 DILAT
El cambiun poco ∆T, donde α es eestán dados
El cambi
donde β es e
La unidaen las escala
18.2 CAPA
La capacla sección 19
donde Q es sistema. Para= C/n y la cade C, c' y c s
Las capa
Procesos a v
Para estocapacidad ca
Para un gla cual depe
Prop
TACIÓN TÉ
o de longitudes
el coeficiente por
io de volume
el coeficientead de α y β esas Celsius y K
ACIDAD CAL
cidad calórica9.1) se define
el calor hacia n moles o u
apacidad calóson J/K, J/mocidades calór
volumen cons
os procesos la alorífica se p
gas ideal (véaende únicame
piedade
RMICA
d, ∆L, en la lo
de expansión
en de un líqu
e de dilataciós ºC-1 (o K-1,Kelvin).
LÓRICA
a C de un sise así
ia el sistema una masa m deórica específiol K y J/kgricas suelen d
tante
primera ley dpuede obtene
ase el capítulente de la tem
es térmi
ongitud Lo de
n lineal del só
uido es
ón volumétric puesto que u
tema para el
durante el pe una sustancca (o simplem
g K, respectdefinirse únic
dé la termodiner a partir de
o 17), E es lamperatura. E
(g
icas de
e un sólido, cu
ólido. Los ca
ca. un intervalo
mismo proce
proceso y ∆Tcia homogénemente calor etivamente. camente para
námica (17.7la energía in
a energía cinéEn moléculas
gas ideal monoa
C
la mate
uando su tem
ambios de áre
de unidad d
eso (que se su
es el cambiea, la capacidespecífico) es
a dos tipos de
) establece qunterna del sist
ética desorde puntuales, (
atómico)
apítul
eria
mperatura es m
ea y volumen
de temperatur
upone reversi
o de temperadad calórica m
c = C/m. Las
e procesos.
ue Q =∆E, potema:
enada de las m(17.4) da
o 18
modificada
del sólido
ra es igual
ible; véase
atura en el molar es c' s unidades
or lo que la
moléculas,
172
o c'v =temper
En atómicmetale (la ley
Proces
Es
Al iguEn un
por (1
En
o c'p =
En
18.3
La secció
dondesigno temper
Igutromagradiacley de
2/3R = 12.4ratura; cuantlíquidos y só
ca contribuyees a altas tem
y empírica de
sos a presión
conveniente
ual que E, H eproceso a pr
7.7), de tal m
un gas ideal
= c'v + R. En
sólidos y líq
TRANSFER
razón dQ/dtón transversal
e dT/dx es elmenos reflejratura. Las un
ualmente, la egnética. El pión de un cueStefan-Boltz
PROPIE
7 J/mol K. Pto más grandólidos, las viben con E. Ún
mperaturas,
e Dulong y P
constante
e introducir la
es una funcióresión consta
manera que la
l, H = E + nR
particular, pa
quidos, la di
RENCIA DE
a la que se cl con área A y
l gradiente da el hecho denidades de k energía térmiproceso de aberpo negro (uzman,
EDADES TÉ
Para gases rede sea la molbraciones aleanicamente se
etit).
a entalpia de
H
n de estado cnte,
a capacidad c
RT es únicam
ara un gas id
ferencia entr
CALOR
conduce el cay grosor dx e
de temperatue que la condson W/m K
ica se puede bsorción es i
un radiador o
RMICAS DE
ales, Cv no sécula, más gatorias interme pueden dar
e un sistema,
H = E + pV
cuyo cambio
calorífica se
mente función
eal monoatóm
re Cp y Cv es
alor (en estades
ura en la pladucción se reK.
transferir poindependientabsorbedor p
E LA MATER
será una consgrande será lamoleculares yr aproximacio
, que se defin
no depende d
puede escrib
n de T; por l
mico,
s pequeña y a
do estacionar
aca y k es suealiza en la di
or emisión o te de la tempperfecto) de s
RIA
stante y pueda variación. y las oscilacioones para Cv
ne así
de la trayecto
bir como
lo tanto,
a menudo de
rio) a través
u conductividirección en l
absorción deperatura; peruperficie A e
[CAPITULO
de variar con
ones de la rejv. En el caso
oria del proce
espreciable.
de una placa
dad térmica.a que decrec
e radiación ero la emisiónestá regida po
O 18
n la
illa de
eso.
a de
. El e la
lec-n de or la
C
CAPITULO 1
18.1. ¿Cuálaumen
18.2. Un re°C. ¿C40 °C
El
donde
El rel
18.3. Si se cuandmodif
Ellongit
18.4. Un ho50 °Cderramβmercur
(a) El
(b) Pa E
18.5. Conside exapartacircul
Suencuetempe
18] PR
l es el cambnta de 0 °C a
eloj con un pCuántos segu
C? α = 16 x 10l periodo de u
e Po es el perio
oj pierde 27.6
evita que undo cambia sufique en 50 °l esfuerzo quetud ∆L provoc
orneador de vC? (b) Si el mará cuandrio = 1.82 x l0
l volumen del
ara la expansi
El derrame se
dérense dos bxpansión linadas una distlares que inteupóngase queentran rectas. Seratura T serán
ROPIEDADE
Prbio en la "loa 40 °C? αacer
éndulo de mundos ganará0-6 ºC-1. un péndulo sim
odo correcto.
65 s por día.
na barra de mu temperaturaK?
e se produce cado por el ca
vidrio contiehorneador s
do la tempe0-4K-1.
l horneador de
ión del mercu
rá entonces d
barras paraleleal a', a" ytancia fija d. erceptan un áne en el punto cSi su longitudn
ES TÉRMICA
oblemas ongitud de 2ro = 12 x 10-6
metal marca cá (o perderá)
mple es (secc
Por lo tanto,
metal (Y = 8a, ¿qué esfue
en la barra eambio de tem
ne exactamee llena con eratura se
espués de mo
urio,
de 1.009 - 1.0
las [Fig. 18-l( que se sujeUn cambio d
ngulo θ [Fig.cero de la esc
d común a esta
AS DE LA M
resueltos2 km de alam °C-1
orrectamente por día cuan
ión 14.6)
88.2 kPa, α =erzo se produ
es el que se dmperatura de 5
nte 1 litro (1mercurio a 0eleve a 50
odificar la tem
001 = 0.008 L
(a)] de diferenetan juntas de temperatu 18-l(b)]. En
cala se sitúa laa temperatura
MATERIA
s
mbre de ace
e el tiempo cndo la tempe
= 18.8 x 10-6
ucirá en ella c
ebería ejercer0 K:
L) a 0 °C. (a0 °C, ¿qué v0 °C? αvidri
mperatura es
L, u 8 mL.
ntes metales, con el prop
ura hará que sncuéntrese su a temperaturaes Lo, sus lon
ro cuando l
cuando la temeratura es de
6K-1) cambiecuando su tem
r para evitar
a) ¿Cuál es svolumen de io = 6.9 X
que tienen copósito de mase doblen enradio de curv
a a la cual lasngitudes a cual
173
a temperatur
mperatura es
e de longitudmperatura se
el cambio en
su volumen amercurio se
X 10-6K-1 y
oeficientes antenerlas
n dos arcos vatura, R. s barras se lquier otra
ra
de 0
d e
n
a e y
174
18.6.
donde R' y Rcurvatura po
Sustraye
Y al sumar
El radio me
Considéres
compensar al centro suspensióndos.
PROPIE
R" son los rador las barras u
endo la segun
estas dos ecu
edio de curvat
se el péndulolas fluctuaciode oscilació. Encuéntren
EDADES TÉ
dios de curvatuunidas. Tambi
nda ecuación d
aciones se ob
tura es
o sólido del reones de tempeón del pénduse las dimen
ÉRMICAS DE
ura de las barién, R' R" =
de la primera
tiene
eloj de pared eratura, utilizulo a una dsiones de est
E LA MATER
rras y θ es el á= d.
se obtiene qu
que se muesza una expansdistancia fijate péndulo si
RIA
ángulo subten
ue
tra en la figusión diferencia por debajse quiere qu
[CAPÍTULO
ndido en el cen
ura 18-2. A final para manteo del punto
ue marque seg
O 18
ntro de
n de ener o de gun-
CAPITULO
Lal cecentr
la cu Igual
dondh0 y
S
Para
18.7. Pruécuan
E
Corr
y el
18.8. Si unmutupara
Cde u
y el
18] P
La barra ligerantro de la lenro de suspens
ual será indepe
lmente
de ℓ0 es la longr0:
Si el reloj tien
las dimension
ébese que el cndo la temper
El momento d
respondiendo
resultado se o
n sólido anisouamente perp el sólido?
Considérese uun cambio de t
volumen del p
PROPIEDAD
a OS soporta lanteja C como ión O), la lon
endiente de la
gitud que se
ne que marcar
nes del péndul
cambio en el mratura cambia
de inercia es
a un cambio
obtiene en seg
trópico tiene cpendiculares e
un cubo, con sutemperatura ∆
paralelepíped
DES TÉRMIC
a lenteja pesadel centro de
ngitud efectiv
a temperatura
debe manten
segundos, el
lo se tiene:
momento de ia en ∆T.
de temperatur
guida.
coeficientes den el sólido,
us orillas para∆T, las dimen
o es
CAS DE LA M
da 'por medio oscilación ap
va del péndulo
si
er. Resolviend
periodo (2 s)
inercia de un
ra ∆T,
de expansión l¿cuál es el co
alelas a X, Y, Zsiones cambia
MATERIA
del tornillo deproximado delo es
do estas dos ú
) del péndulo
sólido está d
lineal αx, αy , yoeficiente de
Z, y de dimensan a
e ajuste S. Conl péndulo (co
últimas ecuaci
es
ado por ∆I =
y αz para tres d expansión v
sión Lo en T =
175
nsiderando njugado al
iones para
= 2αI0∆T
direcciones olumétrica
0. Después
176
18.9.
18.10.
18.11.
donde Vo = L
Un recipienteencuentran icalienta a 1final del sistdel agua es 4
Si 5 kg de asumergen encantidad de cambio de ekj/kg K. Elespecífico es
calor (o. en
Para resolverequilibrio deacero solidif
La conjetgrande que 3
Muéstrese c
A altas tese debe a lascristalina. Siátomo tendrádiculares, sei= 3kT, lo qu y una capacid
PROPIE
L30 . Por lo tant
e de cobre con inicialmente00 °C y luegtema es 40 °4.2 kj/kg K
cero a 1812.1n 3 kg de aguagua se evap
entalpia) del l calor de vaps 4.2 kj/kg K
ntalpia) perdido
r este problemel sistema. Suficado y cierta
tura que se hi3 kg.
ómo el teore
mperaturas ses vibraciones di se imagina cá energías cinis modos en toe proporciona
dad calorífica
EDADES TÉR
to, el coeficie
una masa de 0 a temperatugo se colocaC. Encuéntre
K, y el del cob
6 K, o sea liua a 273.16 Kporará si no e
acero es 272porización (elK.
o por los cuerpo
ma se requiereupóngase que a masa, x, de
izo fue correc
ema de la equ
e puede suponde los átomoscada átomo unnética y potenotal. Según el a una energía
a molar de
RMICAS DE
ente de expan
0.3 kg contieneura ambiente,a en el agua dese el calor ebre es de 0.3
geramente porK (justo por eexiste pérdida2 kj/kg y el l cambio de en
os calientes = ca
e una conjeturla mezcla teragua en form
ta; si no hubi
uiparticición
ner que esencias en torno a sunido a los con
ncial a lo largteorema de la molar de
LA MATER
sión volumétr
e 0.45 kg de ag, 20 °C. Un bdentro del caespecífico de9 kj/kg K.
r encima del ncima del pua de calor? Ecalor específntalpia) del a
alor (o entalpia
ra adecuada crmina en 373.ma de vapor.
iera sido así, x
conduce a la
almente toda lus posiciones ntiguos por m
go de tres direequipartición
RIA [
rica está dado
gua. El recipiebloque de malorímetro. Ll metal. El c
punto de fusiunto de congel valor de fusfico del aceragua es 2260 k
a) ganado por lo
como lo es el.16 K (= 100
x habría sido
a ley de Dulo
la energía intede equilibrio
medio de resorecciones mutu
n, su energía to
[CAPITULO
o por
ente y el agua etal de 1 kg La temperatualor específi
ón del acero,elamiento), ¿qsión (esto es,o sólido es 0kj/kg y su cal
os cuerpos fríos
estado final C), con todo
negativo o m
ong y Petit.
erna de un meen la estructu
rtes, entoncesuamente perpeotal será 6(1/2k
18
se se
ura ico
se qué el
0.5 lor
s
de el
más
tal ura el en-kT)
CAPITULO
18.12. Un recorchparedextercuenciona
Caproxcalor
Para hace
18.13. Un hcomo¿cuán
18.14. Encuse m
Eesfér
Desd
18] P
efrigerador orho de 90 mmd interior se crior. Si el mo
ntra cerrada, ¿ando? La con
Considérese unximación, tómr en el interio
extraer este cr que el calor
hoyo muy peqo un cuerpo nnta potencia
uéntrese la razuestra en la f
El flujo estacirico de radio
de la superfici
PROPIEDAD
rdinario es térm de grueso y
conserva, en otor del refrig¿a qué razón nductividad tén intervalo de
mese la conducor de la caja e
calor el motorr salga a una
queño en un hnegro. Si tiensale a través
zón de flujo dfigura 18-3.
onario de calr y grosor dr
ie interior de l
DES TÉRMIC
rmicamente e5.6 m2 de supromedio, 22
gerador funcidebe tomarsérmica del co tiempo ∆t du
cción calorífices
debe, dado qrazón de
horno eléctricne un área de del hoyo?
de calor a tra
lor (que es inr es
la esfera huec
CAS DE LA M
equivalente a uperficie inter2.2 °C por deiona 15% dele calor del inorcho es k = 0urante el cuala como estaci
ue únicament
co, que se uti 100 mm2 y s
avés de la esfe
ndependiente
ca intégrese es
MATERIA
una caja consrior. Cuando ebajo de la tel tiempo en enterior mient0.05 W'm Kl la puerta estonaria durante
e funciona alg
iliza para tratsi se desea m
era hueca cuy
del radio r) a
sto a la superf
stituida por lála puerta se c
emperatura deel que la puerras el motor
K. tá cerrada. A e ∆t. Entonces
gún tiempo (
tar metales, amantenerlo a 1
ya sección tra
a través de un
ficie exterior:
177
áminas de cierra, la e la pared rta se en-está fun-
manera de s, la tasa de
(0.15) ∆t,
actúa casi 1100 °C,
ansversal
n cascarón
178
18.15.
18.16.
18.17.
18.18.
18.19.
18.20.
18.21.
Un calentadm por 5 m. eleve de 0 °C
En el intela elevación
donde n es e
dado que en
Una barra dedel metal es Respuesta: 0
Una barra deperatura a 31eficiente de e
El mercurio edel conductorespectivamegrados sobre
¿Cuántos kgcobre de 0.1específicos dhielo es 335
Si se utilizarpresión y tecalentar 4.54373.15 K? ReEncuéntrese figura 18-4.
Respuesta:
PROPIE
dor de 200 W¿Cuánto tar
C a 10 ºC? c'ai
ervalo de tiemn de la temper
el número de
n las condicion
Pre metal tiene de 18.8 X 10.7002 m
e acero y níqu1 °C produce expansión line
en un termómo es de 0.2 mente 1.82 x 10e el termómetr
g de hielo a 0 1 kg, con el de ambas susta5 kj/kg. Respu
ra todo el calomperatura nor
4 kg de agua eespuesta: 0.039el flujo estaci
EDADES TÉ
W se encienddará el calen
ire = 20.93 J/m
mpo ∆t el calorratura por me
moles de aire
nes iniciales
roblemas una longitud
0-6 ºC-1, encu
uel tiene una lun alargamieneal. Respuesta
etro tiene un vmm. Si los c
0-4 ºC-1 y 2.4 xro? Respuesta
°C se deben apropósito de ancias son 4.2uesta: 0.39 kg
or producido, rmales (el ca
en un recipien9 m3 ionario de calo
RMICAS DE
de en el interntador para l
mol K.
r dentro de la edio de
e en la cocher
1 mol ocupa 0
complemd de 0.7 m a 4uéntrese la lon
longitud de 0.nto de 121.6 µa: 0.623 805 m
volumen de 21coeficientes vx 10-5 ºC-1, ¿a qa: 1.06 mm.
añadir a 0.6 kenfriar la va
2 y 0.39 kj/kgg
¿cuántos metrlor de combute de cobre de
or a través del
E LA MATER
rior de una clograr que la
cochera es (20
ra. Tratando a
0.0224 m3. En
mentarios40 °C. Si el congitud de esta
.62406 m a 21µm. Encuéntrm; 19.5 x 10-6
10 mm3 a 0 °Columétricos dqué distancia
g de agua a 1asija y su con K, respectiv
ros cúbicos deustión es 37.3e 0.45 kg (c =
l cilindro circu
RIA
ochera aislaa temperatur
00W) ∆t. Esto
al aire como u
ntonces,
oeficiente de a barra a 50 °C
1 °C. Una elevese su longituºC-1
, a esta temperdel mercurio están entre sí
00 °C en una ntenido a 30 vamente; el ca
e gas natural e MJ/m3) se 0.39 kj/kg K
ular hueco que
[CAPÍTULO
da de 8 m poa del aire se
o se relaciona
un gas ideal
expansión linC.
vación de la tud a 0 °C y el
ratura el diámy del vidrio las marcas de
vasija aislada°C? Los calo
alor de fusión
en condicionenecesitarían p
K) de 297.59 °
e se muestra e
O 18
or 6
con
neal
tem- co-
metro son
e los
a de ores
n del
s de para °K a
en la
i
tpdi
cl
sn
Spr
ern
ds
D
lmud
Ent
19.1 PROCE
En el proctravés de unaproceso, el side un procesointroducir un
La reverscópicos. Un plento) y si en
19.2 ENTRO
Cualquierse puede defnitesimal en
donde T es laLa ecuaci
Sin embargoproceso irrevreversible y
La importen todo procereversible) peno interactúa
La ecuacidefinición desistema y el v
Definición esLa segund
lidad. Ahora moleculares un estado orgde equilibrio
tropía y
ESOS REVER
ceso reversiba sucesión coistema se encuo como éste sn cambio infinibilidad es unproceso real sn él no intervi
OPÍA
r sistema terfinir de la sigel cual absor
a temperaturión de Clausio, dado que Sversible se puarbitrario qutancia de la feso la entropermanece cona con sus alreón de Clausiu
e la temperatuvolumen V:
stadística de da ley de la bien, a nivel tienden, conganizado, unaque correspo
y la seg
RSIBLES
ble un sistemontinua de esuentra en equse puede invenitesimal en na idealizaci
se aproxima aienen los efec
modinámicoguiente manerbe calor dQ,
a en grados Kius, dS = dQ/S es una funcuede calcularue una los estfunción de la pía total del snstante. La seededores. us, junto con ura en grados
la entropíatermodinámimolecular ésforme pasa ea vez abandoonda a Ω esta
unda le
ma pasa de untados de equ
uilibrio térmicertir (de aquí las condicionón que nunc
a la reversibilictos disipativ
o tiene una fuera. Si el sist entonces el
Kelvin. La en/T, únicamención de estadr al integrar dtados inicial entropía se a
sistema y de segunda ley se
la primera leKelvin de un
ica indica qusta se relacionel tiempo, a honado, se recuados microscó
S = k l
ey de la
n estado iniciuilibrio. Esto co y mecánicel adjetivo "rnes externas.a se ha realiidad si es cuavos (como po
unción de esttema lleva a cambio de en
ntropía tiene
nte es válida edo, el cambidQ/T a lo lary final.
aprecia en la sus alrededore aplica al sist
ey de la termn sistema, en t
ue la entropína con el incrhacerse más cupere algunaópicos distintln Ω
Ca
termod
al a un estadsignifica que
co con sus alrreversible") e. zado en los
asiestático (esodría serlo la
tado S, denocabo un procntropía del si
unidades J/Ken el caso deo de entropígo de la tray
segunda ley res se incremtema sólo si e
modinámica, ptérminos de l
a es una medremento del dcaóticos; y esa vez. Para untos, la entrop
apítulo
dinámica
do final de eqe, en cada inededores. La
en cualquier in
experimentossto es, extremfricción).
minada entroceso reversibistema está d
K. procesos rev
ía que acompyectoria de un
de la termodmenta o (en unestá aislado; e
ermiten dar ula energía inte
dida de la irdesorden. Loss muy impron estado mac
pía se puede d
o 19
a
quilibrio a stante del dirección
nstante al
s macros-madamente
opía, que ble e infi-dado por
versibles. paña a un n proceso
dinámica: n proceso esto es, si
una nueva erna E del
reversibi- s sistemas bable que roscópico
definir así
180
dondecuerda19.14)
19.3
Unquinasporciocíclicadondeciclo tempeque ofuncio
EJEMretornazado p
donde temperlos depincrempara re
Unde un más altrabajo
La igu
E
e k es la cona con las pred).
MAQUINA
na máquina ts funcionan aonando calora ese Qcaliente, Qfriodel depósito
eratura y el tropera entre dona en un cic
MPLO 19.1. a a su estado por la máquina
Wº es el traraturas, y ∆Stpósitos calien
mento ∆Stotal > ealizar trabajo refrigeradordepósito de blta temperatuo que se real
ualdad únicam
ENTROPÍA Y
nstante de Bodicciones que
AS TÉRMICA
térmica es unabsorbiendo cr a un depósi
o y W (véase de más alta
rabajo realizados depósitoclo reversible
Para una máoriginal. La pa en un ciclo
abajo que reatotal es el cambnte y frío) dur0 en la entrop
o, donde T es lar (o bomba debaja temperaura. Cuando uiza sobre el r
mente es váli
Y SEGUNDA
oltzmann. Ese están contem
AS Y REFRI
n sistema o dcalor a un deito de baja te
Fig. 19-1) retemperatura,
ado por ciclos de calor ce entre dos te
áquina térmicaprimera ley de
alizaría una mbio de la entroprante un ciclopía del universa temperatura e calor) es unatura, se le prun refrigeradrefrigerador
ida para una
A LEY DE LA
sta definiciónmpladas en la
IGERADORE
dispositivo quepósito de alemperatura.
epresentan, re, el calor pro. La mayor e
corresponde emperaturas
a, a lo largo dee la termodiná
máquina de Cpía del univer. En general,
so, una cantidadisponible má
na máquina téroporciona trdor en un cicWi satisface
bomba de ca
A TERMODI
n de entropíaa ecuación de
ES
ue transformalta temperaturLa eficiencia
espectivamentoporcionado pficiencia térma la de la mfijas. Esta e
e un ciclo, ∆Sámica, nos da
Carnot funciorso (en este cacuando un pr
ad de energía ás baja a la quérmica que oprabajo y sumilo toma calo
alor de Carno
INÁMICA
a, debida a Be Clausius (v
a calor en trara, realizandoa y de una m
te, el calor abpor ciclo al dmica posible máquina de ficiencia má
= ∆E = 0 dad
a entonces par
onando entreaso, el cambioroceso irreverT ∆StotaI no pu
ue se proporciopera inversaministra calor r Qfrio de un
ot
[CAPITUL
Boltzmann, céase el proble
abajo. Estas mo trabajo, y pmáquina térm
bsorbido en cdepósito de bde una máquCarnot, la c
áxima es
do que la máqura el trabajo re
e las mismas o de la entropírsible produceuede aprovechona calor.mente; toma c
a un depósitodepósito frío
LO 19
con-ema
má-pro-
mica
cada baja uina cual
quina eali-
dos ía de e un
harse
calor o de o, el
CCAPÍTULO 1
19.4 OTRO
Kelvin-Plotro efecttrabajo.
Clausius: efecto máLa equiva
19.1. Calcú¿Cuáde vaes 2.2
L
Cpía de
19.2. Un mpreciperatumentel cam(a) P
(b) AE
19.3. La figde árparedtacto cialmdio dse reencuedepósentro
19] ENTR
OS ENUNCI
lanck: es imto que la extr
es imposiblás que la tranalencia de est
úlese el cambl es el cambio
apor a 100 °C26 J/kg. La temperatur
Cuando el vape 10 kg de va
mol de agua aable y que coura final de le fría? (c) ¿Cmbio total dePor simetría, l
Ahora bien, dEntonces
gura 19-2 muea A y longit
des son diatértérmico con
mente constane una gran fustablece el eentran a la msito de calor
opía del depó
ROPÍA Y SEG
IADOS DE L
mposible consracción de ca
e construir unsferencia dtas dos formu
Prbio de la entroo de entropíaC en agua a l
a del agua per
por se condenapor al conden
a 290 K se viontiene 1 mola mezcla, (b)Cuál es el came la entropía la temperatura
dQ = c'v dT, do
uestra un gas tud ℓ, con un rmicas (no co
n un depósitonte a To confouerza el gas sequilibrio térmisma temper; (b) el camósito de calor
GUNDA LEY
LA SEGUND
truir una máqalor de un dep
una máquinade calor de uulaciones se
roblemas opía asociadoa asociado conla misma tem
rmanece const
sa es necesarinsarse en agu
ierte dentro ol de agua or) ¿Cuál es el
mbio de la entdel sistema?a final T de la
nde n es el nú
diluido y copistón móvi
onductoras d de calor, tan
orme proporcie comprime, rmico (es deeratura), encu
mbio de entror y del gas.
Y DE LA TER
DA LEY DE
quina que oppósito y la re
a que, operanun cuerpo frí
demuestra en
resueltos con la evapon el proceso i
mperatura)? E
tante mientras
io extraer 2.26ua a 100 °C es
de un recipieriginalmente
cambio de latropía, ∆S2, d
? Para el aguaa mezcla debe
úmero de mol
nfinado en unl en uno de s
de calor) y qun grande queiona o absorbde un volumcir, todas lauéntrese (a) opía, ∆S2, d
RMODINÁM
LA TERMO
pere en un cicealización de
ndo en un cico a uno calien el problema
s
oración de 10 inverso (la coEl calor de va
s hierve. El ca
6 J/kg de calos ∆S = 60.6
ente de capaca 310 K. (a)
a entropía, ∆Sdel otro mol da, c'v = 75.4 e ser la media
les y c'v es el
n cilindro cosus extremos.ue el sistema su temperatu
be calor. Repemen Aℓa un vo
s partes y elel cambio del gas; y (c)
ICA
ODINÁMICA
clo y que no una cantidad
clo, no produente. a 19.7.
kg de agua aondensación aporización
ambio de la en
or. El cambio dJ/K.
cidad calorífEncuéntrese
S1, del agua ode agua? (d) J/mol K. aritmética de
calor específ
n sección tra. Suponiendose encuentraura permaneentinamente, olumen Aℓ/2.l medio ambde entropía, ∆) el cambio
181
A
produzca d igual de
uzca otro
a 100 °C. de 10 kg del agua
ntropía es
de entro-
fica des-e la tem-original-¿Cuáles
e las dos:
fico molar.
ansversal o que las a en con-ce esen-por me- Cuando
biente se ∆S1, del total de
182
19.4.
E
(a) La temde un ginternarealizaQ para
donde Es
térmico
(b) El cambde la dide entrVo = Aℓ
y enton
Dado q
(c)
Esto se
lo cualla presi
Una piedr285 K. Conde entropía
ENTROPÍA Y
mperatura fingas ideal dep es ∆E = 0 en
ado sobre el el gas es
el signo negate calor es reco. La tempera
bio de entropiferencia de enropía AS2 se ℓ a otro Vo/2.
nces el trabajo
que ∆E = 0 p
e puede reescri
, en vista de lión que se apl
a caliente senforme la pi
a del estanque
Y SEGUNDA
nal del gas epende únicamn este procesogas: W= -Fℓ
ativo indica qucibido por el atura del depó
ía de un sistemntropía entre lacompaña po Para este pro
realizado po
ara el gas, Q
ibir como
la segunda leylica.
e lanza al inedra se enfríe.
A LEY DE L
es igual a su mente de su teo. El trabajo eℓ/2. Entonces
ue se extrae cdepósito de cósito de calor
ma que lleva os estados finor una comproceso,
Q = W y
y, proporciona
nterior de unía, proporcio
LA TERMOD
temperatura emperatura, pejecutado pors, por la prim
alor del gas.alor, en tanto
r no cambia, p
a cabo divers
nal e inicial. Suresión isotérm
a el límite infe
n estanque qna 295 kj de
DINÁMICA
inicial, To.
por lo que el el gas es el n
mera ley de
que el gas alpor lo que
os procesos dupóngase entomica del gas
ferior p0 2 ln 2
que tiene une calor. Encu
[CAPITUL
La energía incambio de en
negativo del trla termodiná
lcanza el equi
depende únicaonces que el cdesde un vo
2 = 1.39 p0 par
na temperatuuéntrese el ca
LO 19
nterna nergía rabajo ámica,
ilibrio
amente ambio lumen
ra
ura de ambio
CAPITULO
p
19.5. Encuproce
Ste cer
19.6. Diez de codedorentro
(a) Ec
d
(b) E
r
19.7. Muésla ter
Linvers
EPlancmáquT1 < Tcantidtanto,
19] ENTR
El estanqpermanecerá f
éntrese la exeso isocórico
Si dos estadosrcanos, dQ =
kilogramos dobre (cv = 0.3res, ¿cuál se
opía del siste
En el procesocobre son
donde T es la t
El cambio de resultado del p
strese que lormodinámica
Los enunciadosamente. En la figura 1ck al extraer cauina se podría T2 y T2. Comodad neta de cal, esto viola el
ROPÍA Y SE
ue se puede cofija en 285 K.
xpresión para(aquel en qu
termodinámic T dS, por lo
de aluminio (c39 J/kg K) aerá la temperema cuando l
a volumen c
temperatura fi
entropía de cproblema 19.5
s enunciadosson equivale
os A y B son e
9-3 (a) se mualor Q2 de un d
utilizar para o se advierte elor Q1 de T1 a enunciado de
GUNDA LEY
onsiderar comEl incremento
a el cambio due el volumen
cos que se encque
cv = 0.91 J/kga 375 K. (o) ratura final dlos dos bloqu
onstante los c
inal del sistem
ada metal en :
s de Clausiuentes.
equivalentes s
uestra una mádepósito con thacer funcion
en la figura 19T2 sin necesidClausius.
Y DE LA TE
mo un depósitoo de entropía d
de entropía dn permanece
cuentran dentr
g K) a 250 Si no existe de los metalues de metal
cambios de la
ma. Dado que n
el proceso a v
s y de Kelvin
i una violació
quina que podemperatura T2nar un refrige9-3(b), la máqdad de que se s
RMODINÁM
o de calor, pordel estanque es
de un sistemaconstante).
ro del proceso
K se colocantransferenciaes? (b) Calcl se ponen en
a energía inte
no existe trans
volumen cons
n-Planck sob
ón de A implic
dría violar la 2 y que realizaerador ordinarquina compuessuministrara u
MICA
r lo que su tems
a que lleva a
están infinite
n en contacto a de energía aúlese el camn contacto.
rna del alumi
sferencia de e
stante está da
bre la segund
ca una violaci
formulación da un trabajo W io entre los dsta podría tran
un trabajo exte
183
mperatura
cabo un
esimalmen-
con 30 kg a los alre-
mbio de la
inio y del
energía,
ado por el
da ley de
ión de B, e
de Kelvin- W = Q2. Esta
depósitos a nsferir una rno. Por lo
184
19.8.
E
El enunCon este refconvertir code Kelvin-Pl
Determque se mue
ENTROPÍA Y
nciado de Claufrigerador y unompletamentelanck.
mínese la eficestra en la fi
Y SEGUNDA
usius lo podríana máquina tée una cantidad
iencia térmicgura 19-5, u
A LEY DE LA
a violar el refrérmica ordinard de calor Q2
ca de una máqun ciclo de O
A TERMODIN
rigerador que sia, como en la Q1 en traba
quina de gasoOtto de aire.
NÁMICA
se muestra en a figura 19-4(ajo. Esto viola
olina que llev
[CAPITULO
la figura 19-4( b ) , sería posaría el enunci
va a cabo el c
O 19
4(a). sible ado
ciclo
CA
19
APITULO 19
Sutrabajo
Sim
Po
Ahdescrib
(véase
Entonce
El (véase
9.9. Una hatanto qde comde la cdeberáque oc
(a) Laun y
Qfrio (b) Ex
a b
(2
9] ENTRO
upóngase que o (aire). Enton
milarmente, p
or lo tanto, la e
hora bien, supbir por medio
la sección 17
es,
ciclo de Ottola figura 19-6
abitación se que la tempermpresión que ocasa que opeá realizar para
urren en el i
a unidad operanidad opera de
las dos expres= 552 j.
xisten dos trasbaja temperatu
2) entre el dep
OPÍA Y SEGU
el ciclo es revnces, a lo larg
para el proces
eficiencia térm
oniendo que sde las ecuaci
7.3). Esto res
constituye un6).
conserva a-2atura del exteoperan a 57 °Ceran a 17 °Ca transferir funterior y en
a entre los depe manera rever
siones dan Qc
sferencias irrevura;
pósito a alta t
UNDA LEY D
versible y quego de la línea
o d → a, el ca
mica es
se trata de un iones
ulta, después
n ejemplo de u
27 °C por meerior es de 42C (en el exter. (a) Si la u
uera de la casael exterior de
pósitos a 273 rsible, su efici
caliente = 4552
versibles de c
emperatura y
DE LA TERM
e Cv es constaa B →a, el ca
alor que sale
gas ideal, los
de la sustrac
un ciclo revers
edio de un si2 °C. La unidarior) y unos renidad opera a 4 kj? (b) ¿Ce la casa con
+ 17 = 290 Kiencia térmica
J. Entonces, e
alor: (1) entre
el exterior,
MODINÁMIC
ante para la sualor que entra
del sistema es
dos procesos
cción,
sible que es di
stema de airad de refrigeresortes de expreversibleme
Cuáles son losn esta cantida
K y 273 + 57 =a es máxima:
el trabajo que
e el interior de
CA
ustancia que ra al sistema e
s
adiabáticos se
iferente del de
re acondicionración tiene cpansión en el ente ¿cuánto
s cambios en ead de refriger
= 330 K. Dad
e entra es Wi =
e la casa y el d
185
realiza el s
e pueden
e Carnot
nado, en cilindros interior
o trabajo entropía ración?
o que la
= Qcaliente
depósito
186
19.10
19.11
19.12
0. Una máqpor ciclo,por ciclotrabajo re
1. Muéstrese
Supóngas
Duraterna no cse realiza
Igualmen
A lo
Después d
Entonces,
2. El númervolumen que es
ENTROPÍA
uina térmica, es proporci, es proporc
ealiza durante
e que, en un c
se que la sus
ante la etapa acambia, y el csobre éste. P
nte, en la etapa
largo de las tr
de dividir estas
ro Ω de estaV, cuando la
A Y SEGUND
a, que operaonada al depcionada al de cada ciclo?
ciclo de Carn
stancia que r
a → b, en tancalor Q1 que
Procediendo c
a c → d, el cal
rayectorias b →
s ecuaciones,
dos accesibla energía del
DA LEY DE L
a con una efipósito de altadepósito de ?
not (Fig. 19-6
realiza el trab
nto que el gas absorbe a paromo en el pro
lor liberado, Q
→ c y d → a lo
les a N átoml gas se encu
LA TERMOD
iciencia de 1a temperaturbaja temper
6),
bajo es 1 mo
se expande isrtir del depósoblema 19.3 (
Q2, es
os procesos so
mos de un gasentra entre E
DINÁMICA
17%, absorbra, (a) ¿Qué cratura? (b) ¿
ol de un gas i
sotérmicamensito a T1 es ig(b), se encuen
on adiabáticos
s ideal monoE y E + dE, s
[CAPITUL
e 100 kj de cantidad de c¿Qué cantida
ideal.
nte, su energíual al trabajo
ntra que:
s, y por lo tanto
oatómico cone puede mos
LO 19
calor calor, ad de
ía in-o que
o
n un strar
C
19
19
APITULO 19
donde de V y muéstr (b) La
(b) La
de
9.13. ¿Es pNo
sea may
9.14. Un recpared. ratura iguales
Sutiene q
donde
(a) Deesp
(b) La
[B
da
Po
P
9] ENTRO
el factor A(NE. (b) Utiliz
rese que
entropía está
temperatura K
e donde
osible diseñao; se debe proyor que comp
cipiente aislaSupóngase qTo. Si se qui
s, (b) son dife
ustituyendo E que
(para un gas
espués que la ppecie a tempe
a entropía tota
B(N) depende
ado que cada g
or lo tanto,
En el prob
Por lo tanto, e
OPÍA Y SEGU
N) depende úzando esta fun
á dada por
Kelvin está dad
ar una máquioporcionar calpense con crec
ado tiene dosque inicialmeita la pared, cerentes.
= 3/2NkT en l
dado) B(N)
pared se quitaeratura To, igu
al inicial es
paramétricam
gas ocupa un v
lema 19.3(b)
l concepto est
UNDA LEY D
únicamente dnción de entr
da por
ina térmica qor a un depósces el de crem
s secciones, ente en cada calcúlese el
la expresión p
) depende ún
, cada secciónual que antes
mente de la m
volumen final
se vio que el
tadístico de en
DE LA TERM
de N (a) Encuropía y la def
que no provoqito frío y alca
mento de entro
cada una desección existcambio de la
ara S que se e
nicamente de
n de volumen Vs de quitar la
masa atómica]
2 Vo y la temp
cambio de la
ntropía concu
MODINÁMIC
uéntrese la enfinición de la
que contaminanzar un incremopía del depós
volumen Vo
ten N átomosa entropía si
encontró en el
N.
Vo contiene N pared. Enton
, y la entropía
peratura perma
entropía de c
uerda ton el te
CA
ntropía S en a temperatura
nación térmicmento de entrsito caliente.
o, separadas s de un gas a(a) ambos ga
l problema 19
átomos de la mces, ∆S = 0.
a total final e
anece igual.
ualquier gas,
ermodinámico
187
función Kelvin,
ca? ropía que
por una a tempe-ases son
.12(a) se
misma
es
al dupli-
.
188
19.15
19.16
19.17
19.18
19.19
19.20
19.21
19.22.
19.23
19.24
5. Dedúzcase
6. ¿Cuál es esión constaRespuesta:
7. Una cubet2 kg de ag°C. Calcúl
8. ¿Cuál es laa 0 °C en hRespuesta:
9. Pruébese qdepósito fr1 (Tfrio/Tca
0. En un día departamenRespuesta:Qf r io + W,
. Compáresde 180 °C gasolina q°C. Respue
. Un sistemmicroscópocurrir de muéstrese
3. Encuéntreconstante
4. A partir devolumen d
ENTROPÍA
Pe la ecuación q
el cambio de ante de 1 atm : 6092 J/K
ta contiene 2 gua fría a 0 °Clese el cambio
a mínima potehielo a 0 °C e: 40.7 W
que cualquier río tiene una ealiente).
caluroso un esnto. ¿Funciona No. Aunquedonde W es l
e la ef icienciy una tempera
que tiene una esta:
ma que está inpicas diferenteΩ2 maneras mque
ese una exprees, Cp y Cv.
el problema 1de un gas idea
A Y SEGUND
Problemaque se dio en
la entropía den vapor a 10
kg de agua caC. Después deo de la entrop
encia que deben un tiempo d
máquina térmeficiencia térm
studiante deja ará esto?e el refrigerada energía que
a de Carnot datura de condetemperatura d
nicialmente enes, realiza un
microscópicas
esión para la Respuesta:
9.23 infiérasel están relacio
DA LEY DE L
as compleel ejemplo 19
de 2 kg de m00 °C, a partir
aliente a 40 °e mezclarse, eía en el proce
be suministrarde 10 min? La
mica que opmica menor o i
abierta la pue
dor absorbe u se suministra
de una máquinensación de 50de combustión
n un estado mn proceso quediferentes. S
entropía de uS = Cv ln pV
e que, duranteonados por me
LA TERMOD
mentario9.1.
moléculas de H de agua a la m
C. Ésta se vieel agua tiene ueso. Respuesta
rse a un refriga temperatura
ere cíclicameigual que la ef
erta del refrige
un valor Qfrioa para hacer fu
na de vapor qu0 °C a la eficin de 1510 °C y
macroscópico, lo lleva a ui la entropía in
un gas ideal Vγ + constan
un proceso adedio de pVγ =
DINÁMICA
os
H2O cuando smisma temper
erte en otra cuna temperatua: 20 J/K
erador que coa del cuarto es
nte entre un dficiencia de C
erador en un e
o, proporcionafuncionar al re
ue t iene una teencia de Carny una tempera
que puede ocun estado macnicial es S1 y
que tiene capnte, donde γ
diabático reveconstante.
[CAPITU
se transformanratura?
ubeta que conura uniforme
ongela 1 kg des de 20 °C.
depósito calienCarnot,
esfuerzo por en
a un calor Qefrigerador.
emperatura deot de una máqatura de escap
currir de ΩLcroscópico qula entropía fin
pacidades calγ = Cp/Cv
ersible, la pres
ULO 19
n a pre-
ntiene de 20
e agua
nte y un
nfriar su
Qcaliente =
e caldera quina de e de 410
maneras
ue puede nal es S2,
loríficas
sión y el
2
d
dp
2
p
d
2
t
P
Pg
20.1 FUNCI
Una onda dada por
donde los sigpositiva y neg
Estas func
20.2 ONDAS
La velocidpequeños desp
donde F es lapotencia i
20.3 LA OND
La onda v
iene una vel
Para una x p
Para una t pagitud de ond
F
IÓN DE OND
y(x, t) que v
gnos positivogativa de X, rciones satisfa
S SOBRE UN
dad de una oplazamientos
a tensión en nstantánea t
DA SINUSO
iajera sinuso
ocidad de
articular, y
articular, y esda, dado por
Fenóme
DA
viaja a lo lar
o y negativo respectivameacen la ecuac
NA CUERD
nda que viajs transversale
la cuerda y transmitida p
OIDAL
oidal
es una func
s una función
enos on
rgo de X sin
se refieren aente. ión de onda
A EXTEND
a sobre una es y(x, t), est
ρ es la denspor la onda e
ión periódic
n periódica d
ndulator
cambiar de
a la propagac
en una dimen
IDA
cuerda estiraá dada por
idad lineal d
es
ca de t, con
de x, con per
Ca
rios
forma y a u
ción de la on
nsión
ada y uniform
de la cuerda.
periodo
riodo espacia
apítulo
una velocidad
da en las dir
me, la cual p
. La
al, denomina
o 20
d v está
(20.1) recciones
(20.2)
provoca
(20.3)
(20.4)
(20.5)
(20.6)
(20.7)
ado lon-
(20.8)
190
La
Esto qrante
20.4 Cu
cualqusi sólo
20.5
Latud deonda eencue
Lolas onsegmemento
20.1.
20.2.
20.3.
potencia pro
quiere decir cada periodo
PRINCIPIOuando dos onuier instanteo estuviera p
ONDAS EST
a superposicióe onda λ, perestacionaria ntran a una d
os modos norndas estacionaento internodos adyacentes
Una onda densidad li
A partir
Un alambrmente bajomedio del (a) En el p
Dos alamb(a) Si la fralambre #2¿cuál es su(a) 125 Hz(b) La lon
el alam
omedio transm
que una canto temporal.
O DE LA SUPndas se encue es la suma apresente una
TACIONARIA
ón de dos onro que se procon nodos (lu
distancia λ/2 rmales de vibarias con nodal de la cuerd
s están desfas
viaja a 5 m/ineal de la cur de (20.3),
re uniforme yo su propio alambre y (
punto medio d
res, con densrecuencia de 2? (b) Si unau longitud dz. ngitud de ondmbre #2, λ2 = v
FENÓMENO
mitida por un
tidad de ene
PERPOSICIÓuentran presealgebraica deonda individ
AS
ndas sinusoidopagan en diugares en queentre sí.
bración de undos en cada exda oscila con sados medio p
Proble/s en una cuuerda?
y flexible depeso. ¿Cuál
(b) un punto del alambre, l
sidades linealla onda es 1a onda tiene
de onda en e
da es λ = v/f. v2/f. Entonces
OS ONDULA
na onda sinus
rgía PpromT p
ÓN DE ONDentes simultáe los desplazdual.
ales que tienrecciones ope el desplazam
na cuerda de xtremo de la frecuencia n
periodo, l/2fn
emas resuuerda someti
e 20 m de lones la rapidemuy cercan
la tensión es
les p1, y p2, s25 Hz en el una longitul alambre #2
En el alambrs,
ATORIOS
soidal se pued
pasa a través
DASáneamente, e
zamientos y1(
en la misma puestas a lo lmiento es per
longitud L, fcuerda. En elatural fn = nf.
ueltos
da a una ten
ngitud y que ez del pulso o al extremoF = w/2. La d
se unen y expalambre #1,
ud de onda d2?
re #1 la longi
de calcular a
de una loca
el desplazam(x, t) y y2(x,
amplitud y lalargo de una rmanentemen
fija en ambol modo normaf1 donde f1 =
nsión de 20 N
pesa 50 N ctransversal
o superior?
densidad line
perimentan la¿cuál es su fe 0.03 m en
itud de onda
[CAPITULO
partir de (20
(20
alidad x fija d
miento y(x, t)t) que ocurri
a misma longcuerda, es u
nte cero) que
s extremos, sal n-ésimo, c= v/2L. Los se
N. ¿Cuál es
cuelga verticaen (a) el pun
eal del alambr
a misma tensifrecuencia enel alambre #
es λ1 = v1/f y
O 20
0.4):
0.9)
du-
t) en irían
gi- una
se
son ada eg-
la
al- nto
re es
ión, n el #1,
y en
CAPITULO
20.4. En l¿Cucuen
(a)
(b)
20.5. Una
Encamp(a) Aes, e
20]
la figura 20-áles son (a) ncia? (e) ¿En
Cualquiera d
Al observar lla perturbaci
a onda transv
uéntrense (a)plitud, y (e) lA partir de laentonces
FENÓ
1 una onda vla longitud dn qué direcci
de las tres grá
las tres gráficón se repite p
versal viajeray
) la velocidala velocidad a expresión se
ÓMENOS ON
viajera sinusde onda, (b) lión viaja la o
áficas muestra
as se advierteprimeramente
a está dada poy = 0.004 sen (
ad de onda, (btransversal de puede escri
NDULATORI
soidal se mula rapidez de onda? (f) Esc
a que el perio
e que en cualq
después de (π
or
(25x + 250t)
b) la longitude la partículibir ω = 250s-
IOS
estra en tresonda, (c) la
críbase la fun
odo espacial, o
quier lugar fijoπ/20)s. De aqu
(m)
d, de onda, (a del punto m-1 y k = 25m-
instantes diamplitud, y nción de ond
o longitud de
o (por ejempuí que,
(c) la frecuenmedio en x =1. La velocid
191
iferentes. (d) la fre-
da.
onda, es
plo, x = 0)
ncia, (d) la = x0, t = t0. ad de onda
192
20.6.
20.7.
20.8.
(c)(d) Por simp
(e) La veloc
Un osciladorgenera una o15 X 10-3 kgpromedio tra
La densidad tante cambiamite sin sufrforme ésta seviaja lo sufic¿Cuál es la n
Apliquemdonde la ampla onda es A2 del problema
y la razón a l
La razón neta
Dos fuentes
Envían ondaque se encu
Consúltes
F
ple observació
cidad transver
r armónico sonda sinusoig/m y que se ansmitida por
lineal de un a gradualmentrir reflexión ae propaga. Suciente para qunueva amplitu
os la conservaplitud de la on
y la densidada 20.6,
la cual la ener
a de creación
a una distan
as con rapideentra a 12 m
se la figura 20
FENÓMENOS
ón, A = 0.004
rsal de la part
imple, con udal a lo largencuentra ba
r la onda?
alambre no ute con la longalguna. La veupóngase queue la densidaud en términ
ación de energnda es A1 y la d lineal es ρ1/2
rgía sale del p
de energía en
cia de 20 m
ez de 3 m/s. ¿m de la prime0-3. Supóngas
S ONDULAT
m.
tícula en x0, t0
una amplitud o de una cueajo una tensi
uniforme y qgitud, de tal melocidad y la e una onda siad lineal se reos de la amp
ía a la parte dedensidad line. La razón a la
punto 2 es
n la sección d
entre sí vibra
¿Cuál es la eera fuente y ae que la fuent
TORIOS
0 es
de 4 mm y uerda que tienión de 225 N
que se encuenmanera que uforma de la
inusoidal, inieduzca a la mlitud inicial?
el alambre queeal es ρ1; y el pa cual la energ
debe ser cero.
an de acuerd
ecuación de ma 8 m de la ste 1 envía ond
[
una frecuencine una densidN. ¿Cuál es
ntra bajo una na onda incidonda puedenicialmente de
mitad de su va?
e se encuentra punto 2, dondgía entra al pun
Por lo tanto,
o con las ecu
movimiento psegunda? das en la direc
CAPITULO 2
ia de 450 Hz,dad lineal dela potencia
tensión consdente se trans
n cambiar cone amplitud Aalor original.
entre el punto e la amplitud nto 1 es, a par
uaciones
para una part
cción +X, por
20
, e
s-s-n-1,
1, de
rtir
tícula
CAPITULO
y su
De
La p
20.9. Cuanpertentr
Sescr
donPor Paraen v
O 20]
upóngase que
aquí que v =
perturbación r
ndo se superturbación resure un valor m
Sin que se pieribir las comp
de ω2 es un poc
a hacer que lovalor absoluto
FEN
e la fuente 2
3 m/s, e igu
resultante en
rponen dos oultante exhibeáximo y un v
erda la generaponentes de las
co mayor que ω
os multiplicando, se multiplic
ÓMENOS ON
emite ondas
alando y1, en
el punto x1 =
ndas sinusoie pulsaciones;alor mínimo.
lidad, se pueds ondas como
ω1 y ф es una co
dos de cos α yca y divide en
NDULATOR
en la direcció
n x1 = 0 a y'1
12 m, x2 = -8
dales que tie la amplitud eEncuéntrese
de elegir x = 0
onstante de fase
y sen α en la úntre
RIOS
ón X, de tal
e y2 en x2 =
8m es, entonc
enen frecuencen un lugar dad
la frecuencia
0 como el pun
e. La onda resu
ltima línea se
manera que
0 a y'2 se ob
es
cias muy semdo oscila peria de las pulsa
nto fijo de obs
ultante estará en
an menores qu
193
btiene que
mejantes, la ódicamente ciones.
servación y
ntonces dada
ue la unidad
194
20.10.
20.11.
20.12.
Finalmente, d esto es, El desplazam
Ésta es unvariando com
Por lo tanto, lB son A1 + Aentre las dos o
Se quiere ajucomparándol¿Cuál es la m
Cuando se lodensidad linemás alta a la
Primero s
Entonces, 42por ambos ext
Dos alambreUna onda inc
se dirige hac
F
definiendo al á
miento y ahora
na perturbaciómo
a frecuencia dA2 y |A1 A2|, ondas compon
ustar la frecuelo con un oscmáxima frecu
o fija por ambeal de 10-2 kga cual resuense debe encon
0 Hz es el sextremos,
es que tienencidente,
cia la derecha
FENÓMENOS
ángulo σ como
a se puede esc
ón sinusoidal c
de las pulsaciorepresentan re
nentes.
encia de un ocilador estánduencia permis
bos extremosg/m resuena na es de 490 ntrar qué múlt
xto armónico.
n densidades
a en el alamb
S ONDULAT
o
cribir como
cuya amplitud
nes es (ω2 ωespectivamente
oscilador a 10dar que tiene usible de las pu
s, un alambrea una frecuenHz. ¿Cuál e
tiplo entero es
. Como para u
diferentes se
bre x ≤ 0, se r
TORIOS
d, B, es una fu
ω1)/2π. Los vale la interferenc
03 Hz, con ununa frecuenculsaciones en
e que tiene unncia de 420 Hes la longituds 420 Hz con
una onda estac
e unen en x =
refleja y se t
[
unción periódi
lores máximoscia constructiv
n margen de eia exactamenntre los dos o
na tensión deHz. La siguied del alambrfrecuencia fu
cionaria en un
= 0 (véase la
ransmite par
CAPITULO 2
ica del tiempo
s y mínimos deva y destructiva
error del 1%,nte de 103 Hzosciladores?
e 900 N y unaente frecuencre? undamental:
n alambre fijo
a figura 20-4)
rcialmente en
20
o,
e a
.
a cia
o
).
n
CAPITULO
x =am
donxión∂y/∂
el a
20.13. Lafici
la fde
O 20]
= 0. Encuéntrplitud de la o
Las ondas ref
nde Ar puede sn). Las condi∂x sean contin
Se puede obsalambre 2 es m
as ondas transie de una mem
Supóngase qfigura 20-5. Dla membrana
FEN
rense las amonda inciden
flejada y trans
ser negativa (ciciones de la nuos. Por lo ta
ervar que Ar emás denso qu
sversales se dmbrana flexi
que la fronteraDetermínese la
vibrando con
NÓMENOS ON
mplitudes de lnte.
smitida tienen
correspondienfrontera en x
anto:
es necesariamue el 1.
desplazan en ble sujeta a t
a de la membra ecuación den simetría circ
NDULATOR
la onda reflej
las formas
ndo a un cambx = 0 son qu
mente negativa
un espacio btensión. Encu
rana es un círc movimiento
cular; el despla
RIOS
jada y transm
bio de fase deue el desplaza
a cuando k2 > k
bidimensionaluéntrese la ve
culo muy grande un elemenazamiento ver
mitida en térm
e 180° despuésamiento y y l
k1, lo cual pue
l a lo largo delocidad de o
nde, como se mnto de área dSrtical de dS es
195
minos de la
s de la refle-la pendiente
ede ocurrir si
e la super-onda.
muestra en S = r dr dθ, s y(r, t). Se
196
smdo
Lrd
y
I
y
o
nsghc
A
C
supone que lamembrana y distribuye uniopuestos de u
La fuerza
La componentradial tangentedesplazamiento
y
Igualmente, la
y por eso la fu
La masa dobtiene
La ecuaciónada polar r dse puede hacergolpeado impuhubiese pasadcuadrado de l
Así pues, por
debería servir
Cuando r es g(20.2) que la
A diferencia dmedio uniform
FE
membrana essea F la tensiformemente an segmento d
radial que ac
te vertical de ee a la superficios,
a componente v
uerza vertical
del elemento d
ón (1) es, de hdesempeña un r utilizando la ulsivamente. Pdo a través dla amplitud de
conservación
para simplific
grande, se pueperturbación
de la onda lineme,
ENÓMENOS
s delgada, unisión a la cuala través de to
de línea de lon
ctúa a través d
esta fuerza es ie en dS y el pl
vertical de la f
neta que actú
dS es σr dr dθ
hecho, la ecupapel análogoenergía. Imag
Poco después el frente de oe la onda [véa
de la energía
car ( 1 ) . Sin em
ede despreciaru actúa como
eal, la onda cir
S ONDULATO
forme y perfel se estira la oda la memb
ngitud ds tend
de la frontera
dFy = (dFr) sano de la mem
fuerza que actú
úa sobre dS es
θ; por lo tanto
uación de ondo al de la coorgine que en t =se esperaría qonda circular ase (20.9)].
a, A α 1/√r. En
mbargo, cuand
r el término uo una onda lin
rcular complet
ORIOS
ectamente elásorilla de la mrana; por tan
derá a apartars
a interior de d
sen ф, donde θmbrana sin defo
úa a través de
s
, utilizando la
a para ondas rdenada cartes 0 el centro de
que la mayor pde radio r, aEntonces
ntonces, el cam
do se hace la s
/4r2 y se pue
neal que viaja
ta, u/√r, camb
[C
stica. Sea a lamembrana. E
nto, el materiase con una fue
dS es, entonce
θ es el ángulo ormar. En el ca
la frontera ext
a segunda ley
circulares, dosiana x en (20e la membranaparte de la enea una razón p
mbio de varia
sustitución, el
ede observar aa una velocid
bia de forma a
CAPITULO 2
densidad de lEsta tensión sal en los ladoerza F ds.
es
entre una líneaso de pequeño
terior de dS es
de Newton s
onde la coord.2). La analog
a sin deformar ergía de la ondproporcional
able
resultado es
al comparar codad
l propagarse e
20
la se os
ea os
s
e
de- gía es da al
(2)
on
en el
2
2
2
2
2
2
2
2
2
CAPITULO 2
20.14. Una o
La on(a) ¿Cde la Respu
20.15. Un ho20 vesu lantiemp
20.16. Una o(a) lRespu
20.17. Dedú
20.18. Una ose enc(b) ¿0.2 m
20.19. Para umecán
dondrenci
20.20. Se estmentadel al Respu
20.21. En el Respu
20.22. Para qgrandpara u
20]
onda transver
nda viaja en laCuál es la funpartícula que
uesta:
ombre tiene aneces s y que lncha. Encuénto. Respuesta:
onda sobre unaa velocidad d
uestas: (a) 2
zcase (20.9)
onda sinusoidacuentra sujeta ¿Cuánta poten
m? Respuestas:
una onda sobnica de las pa
e Pprom es el a: supóngase
tira un alamba a Lo + ∆L. Elambre, en tér
uesta:
problema 20uesta: -0.333
que sea válidode en comparauna onda sinu
FENÓ
Problersal sobre una
dirección posnción y(x, t) qe se localiza e
nclada su lancla cresta de utrese el númer5
a cuerda está de onda, (b) l.0 m/s; (b) 1
) a partir de
al se mueve a la una tensión d
ncia transmite: (a) 4.5 m/s
re una cuerdaartículas que c
promedio de que la onda i
bre de densidaEncuéntrese larminos de ∆L,
.8 ¿cuál es la3 rad = -19.1°
o el principioación con la vsoidal, esto im
ÓMENOS OND
emas coma cuerda es un
sitiva X con unque describe aen x = 8 m?
cha en un laguna onda requro de ondas a
descrita por y la longitud de 1.05 m; (c) 0
(20.4).
lo largo de unde 10 N.
e ésta última ss; (b) 1.00 W
a, muéstrese qcomponen un
la potencia trncide sobre u
ad ρ(kg/m3) a rapidez con , Lo, ρ, y Y (m
diferencia de°
o de superposielocidad trans
mplica que la a
DULATORIO
mplementan pulso que en
na rapidez cona esta onda?
o. Observauiere 5 s paralo largo de la
= 0.04 cos onda, (c)
0.52 s
a cuerda horiz(a) ¿Cuál es
si su longitud W
que la energíana longitud un
ransmitida poruna sección no
de tal manerala que una on
módulo de You
e fase entre la
ición es necessversal de unaamplitud debe
OS
arios
n t = 0 está d
nstante de 6 m(b) En t = 2 s
que el flotada recorrer losa longitud de
(12.0x + 24.0el periodo.
zontal de denss la velocidad de onda es de
a por unidad nitaria de la cu
r la onda y v o deformada d
a que su longinda transversaung).
a perturbación
sario que la va partícula dele ser menor qu
descrito por
m/s y mantienes, ¿cuál es la
dor de su anzus 15 m de lonsu lancha en c
0t) (m). Enc
idad lineal 0.5de la onda?
e 6 m y su am
de longitud (uerda) está da
es su velocidde la cuerda.)
itud inicial Lal se movería
n y y cada fue
elocidad de lal medio. Muésue la longitud
197
su forma, velocidad
uelo oscila ngitud de cualquier
cuéntrense
5 kg/m que
mplitud es
(la energía ada por
ad. (Suge-
o se incre-a lo largo
ente?
a onda sea strese que, de onda.
la LoPosuf
21.
dontis
do21
donperqutem
21.
trapo
y t
pupo
El sonido esmisma direc
os resultados dr lo tanto, laficientemente
.1 VELOCI
El desplazam
nde B es el mfacen la ecu
nde ρ0 es la.1(b)]. En pa
nde p0 es la prturbar del gae, si γ es co
mperatura ab
.2 INTENSI
La intensidaansferencia dor la forma b
tienen las unEn un medi
untual decrecor parte del m
s una onda locción en la cudel capítulo 2
as ondas obede pequeñas) e
IDAD DEL S
miento longitu
módulo de elación de ond
a densidad darticular, si e
presión del gaas, K es la cononstante, la vsoluta.
IDAD Y VO
ad I de una ode energía poidimensiona
idades W/m2
io tridimensie inversamen
medio.
Onongitudinal eual la onda t20 se aplicandecen el prinexhiben pulsa
SONIDO
udinal x del m
asticidad voluda (20.2). La
del medio cuel medio es u
as sin perturbnstante de Bolvelocidad de
LUMEN DE
onda sinusoidr unidad de ál de (20.9):
2. ional, la intente como el c
ndas sonn un medio e
transmite la en tanto a las oncipio de supaciones, onda
medio y el exc
umétrico del a velocidad d
uando éste seun gas,
bar, y es la raltzmann y m eel sonido en
E LAS ONDA
dal de sonidoárea transver
ensidad de lacuadrado de l
noras
en el cual lasenergía y la
ondas transveperposición (sas estacionaría
ceso de presió
medio (prob
de onda está
e encuentra
azón de calor es la masa de
un gas varí
AS SONORA
o es la razón prsal a la direc
as ondas de la distancia a
Ca
s partículas ocantidad de rsales como
siempre que as, etcétera.
ón p. se relaci
lema 14.5). Tdada por
en equilibri
específico, ρuna molécula
ía como la r
AS
promedio (socción de prop
sonido radia la fuente, si
pítulo
oscilan a lo lamovimientoa las longitudlas amplitude
ionan por me
Tanto pe com
o [véase pro
ρ0 es la densia del gas. Obsraíz cuadrada
obre un periopagación. Est
adas por unano existe abs
o 21
argo de o lineal. dinales. es sean
dio de
mo x sa-
oblema
dad sin sérvese a de la
odo) de tá dada
fuente sorción
200
E
en lamen
21.3
Slo la
dondes lafuenexte
Lluz eexist
21.1
El nivel de in
a cual I se ensional, como
EL EFEC
Supóngase quargo de la mi
de v0 y vs sona velocidad dente; vs es positnsión al mov
Las ondas trael efecto deptir un medio
1. En la figu4.5 m/s hrapidez imeste puls
(a) Cpulso
en paLa ra
ntensidad o s
ncuentra en Wo el radián.
CTO DOPPL
ue una fuente eisma recta. É
n las velocidael sonido en etiva si la fuenvimiento no cansversales (cpende únicam
transmisor.
ura 21-1 se mhacia la deremparte el puo? (c) ¿En q
Considérese lo tarda
asar por esta papidez promed
ON
onoridad se
W/m2. La un
LER
emite ondas dÉste escucha
ades del obseese medio. Lnte se muevecolineal de lcomo la luz)
mente de la v
Problmuestra una echa en una ulso a la partíué fracción c
la partícula e
partícula; en edio de la partí
NDAS SONOR
define por
nidad de sono
de sonido de fará un sonido
ervador y de a velocidad v hacia el obsa fuente y detambién tien
elocidad rela
lemas resvista instantlarga barra dícula? (b) ¿Ccambia la de
en el borde de
ese lapso la paícula sobre es
RAS
oridad (o volu
frecuencia fs yo de frecuenc
la fuente rela
vo es positiva ervador. Véael observadonen un efectoativa entre la
ueltos
tánea de un pdelgada de d
Cuál es el camensidad del s
el pulso que
artícula se desste intervalo d
umen), el de
y que un obsecia
ativas al medsi el observa
ase el problemr.
o Dopler, pera fuente y el
pulso longitudensidad 104
mbio de presólido debido
se muestra e
splaza longitude tiempo es,
[CAPITUL
ecibel (dB) es
rvador se mu
dio transmisoador se acercama 21.10 para
ro en el caso observador,
udinal que vi4 kg/m3. (a) sión asociadoo al pulso?
en la figura 2
udinalmente 2entonces,
LO 21
s adi-
eve a
or y v a a la a una
de la al no
iaja a ¿Qué o con
1-. El
2 mm.
CCAPÍTULO 21
Sici
(b) Copudisla paesEn
quca
po
co
[v
La c
pr
(c) Cusaen
y invo
do
1]
in embargo, ddad up en cad
onsidérense laulso en la figstancia v ∆t hasección transv
artículas es apte conjunto den consecuenci
ue ejerce hacialmente en la
or encima y abLa relación
on
véase parte (a
comparación d
roporciona la
uando el pulsoles de la barra
nviadas a x +
las partículas ntermedios. Entolumen S[∆x +
onde se utiliz
ebido a que eda instante del
as partículas qugura 21-1. Enacia la derechaversal de la barproximadamee partículas adia, debe actuar
a la derecha ebarra una
bajo de cualqn pe = ρovvp, q
a)] da
de esta última
fórmula para
o pasa a travésa en x y x + ∆xx, aquellas q
que se encuentonces, una ma+ (∂x/∂x) ∆x]
zó vp/v = ∂x
ONDAS SON
l perfil del pu intervalo de t
ue forman la p un pequeño
a, por lo que torra) se ponen eente ρ0(Sv ∆t)dquiere una canr sobre estas u
el material qu
quier presión pque es válida p
a ecuación con
la rapidez de
s del pequeño x, las partícul
que componen
ntran entre estasa Am que inic].
/∂x a partir d
NORAS
ulso es lineal, tiempo.
parte de la barrintervalo de
odas las partícuen movimiento), ρ0 es la dentidad de movuna fuerza
ue yace hacia
presente en elpara todas las
n
e la onda:
volumen deli
as que compon la sección tr
tas dos secciocialmente ocup
e (b). Sustituy
la partícula se
ra que yace a ltiempo ∆t, e
ulas en un voluo a una velocidensidad sin d
vimiento ρo(Sv
la izquierda. E
l equilibrio. ondas de soni
imitado por lanen la secciónransversal en
nes transversa
paba un volume
yendo valores
e mueve con u
a derecha del bel pulso penetumen Sv ∆t (S dad vp. La masaeformar. Por
v ∆t)vp en un ti
En resumen, e
do, cuando se
s secciones trn transversal ex + ∆x a
ales se envíanen S ∆x ahora
s numéricos,
201
una velo-
borde del trará una = área de
a de estas lo tanto,
iempo ∆t.
existe lo-
e combina
ansver-en x son
a lugares ocupa un
202
21.2.
21.3.
21.4.
21.5.
21.6.
donde
tuvo q
Las ondas módulo de
o 2100 MP
¿Cuál es lapondienteskHz? La pcondicione
Para utiene la form
de modo qu
Se quiere qde 1 kHz cfragma? A cidad del s
Se qui
Entonces, a
o 0.38 mm
¿Cuál es el(b) ¿El um
Un conducde oscilaci
se utilizó la d
que ser usado.
longitudinale elasticidad v
Pa.
a amplitud d a una onda dresión estánd
es normales d
una onda de dema
ue la amplitu
que una bocicon una pote
la temperatusonido es 344iere que la int
a partir de
.
l nivel de ruidmbral del dolo
cto que se ención de 210 H
OND
definición de
es viajan a trvolumétrico d
de la onda dede desplazamidar es p0 = 10de presión y t
esplazamiento
d es
ina con un dncia de 40 W
ura bajo cons4 m/s. tensidad del so
do, en dB, de or (I = 1 W/m
cuentra iniciaz. Cuando am
DAS SONORA
l módulo de e
ravés del agudel agua? La
e presión en iento sinusoid01 kPa, γaire =temperatura e
o de la forma
iafragma de W. ¿Cuál es lideración, la
onido sea
(a) una m2)?
almente cerrambos extremo
AS
elasticidad vo
a a una rapida densidad de
el aire bajo dal de amplitu= 1.4 y la rapes v = 331 m
a x = x0 cos
0.1 m de radla mínima amdensidad del
conversación
ado por un exos se abren, e
olumétrico y d
dez de 1450 ml agua es de
condiciones ud x0 = 1 µm pidez del son
m/s.
(kx + ωt), la
dio genere ramplitud de osl aire es 1.29
n ordinaria
xtremo tiene el conducto o
[CAPÍTULO
de la relación
m/s. ¿Cuál es103 kg/m3.
estándar cory frecuencia
nido en el air
a onda de pres
adiación acússcilación del
kg/m3 y la v
(I = 10-6 W
una frecuencoscila a 840 H
O 21
s el
rres-de 2
re en
sión
stica dia-
velo-
W/m2)?
cia Hz
C
2
2
CAPITULO 21
(no es satisfa
Lade pres
donde
Las má
1.7. ¿Cuál produca 10 k
La
y esta tanto,
0.13 µW
1.8. Un objes la raθ de la
donde
1]
la frecuenciaará estas cond
a figura 21-2 insión que surge
j = 1 , 2, 3,
ás pequeñas i
es la mínimacirá un nivel
km de la fuena intensidad I
intensidad de
W.
jeto que viajapidez del soa onda de ch
n = V/v es e
a fundamentadiciones? La
ndica el tipo de en ambos ca
... Dado que
y j que satisfa
a potencia dede intensidadnte?
I está dada po
ebe manteners
aja en línea ronido en el mhoque está d
el número de
ONDAS SON
l). ¿Cuál es la velocidad d
de condicionesasos. En (a),
v es la mism
acen esta ecua
e salida de und de 40 dB
or
se sobre la sup
recta con rapmedio, crea udado por
e Mach.
NORAS
a longitud mádel sonido es
s a la frontera o
ma en ambos
ación son i =
na fuente pun en el oído d
perficie de un
pidez V > vuna onda de c
ás pequeña dde 330 m/s.
obedecidas po
casos,
0, j = 2; y cua
ntual e isotróde una person
na esfera de ra
a través de uchoque. Mué
del conducto (
or la onda estac
alquiera de es
ópica de sonina que se encu
adio de 10 km
un medio, doéstrese que el
203
(L) que
cionaria
stas da
do que uentra
m. Por lo
onde v l ángulo
204
21.9.
21.10
La figura frentes dede la geomcircular re
Esta envo
. Dos trenlocomotoescucharavelocidad
Empl
0. Un tren aEl últimoel silbatosonido essobre las
(c) Tantolos un
(d) La eccompEn es
21-3 muestrae onda esféricmetría del proecto que tiene
ltura cónica c
nes, cada unoras emite soa un hombrd del sonidoleando la conv
acaba de sal vagón empie
o, que tiene us v = 344 m/svías y más a
o el movimienne. Por tanto, cuación Doppponentes, a loste caso se tie
ON
a, en un corte os emitidos poblema, que te un ángulo en
onstituye la on
no a una velonidos con ue que viaja es v = 330 mvención de sig
lir de una laeza a entrar e
una frecuencis. ¿Cuál es laadelante del t
nto de la fuen vs = vo= 0 en
pler es válida o largo de la lene que [véase
NDAS SONOR
longitudinal, por el objeto..todos los frenn el ápice de 2
nda de choque
locidad de 1una frecuenc
en el últimm/s.gnos que se di
arga curva een la curva, qia fs = 200 Ha frecuencia qren? (b) y el
nte como el dn la ecuación D
para el movilínea que une e figura 21-4(
RAS
el objeto en u., τ1, τ2, . . . se
ntes de onda s2θ, donde
e.
17 m/s, se acia fs = 200 mo vagón de
io en la secció
n U, como ue es un sem
Hz. La velocidque escucharmaquinista,
el observadorDoppler, y f0 =imiento no cola fuente y e
(b)]
[C
un instante degundos antesson tangentes
alejan uno dHz. ¿Cuál
el otro tren?
ón 21.3,
se muestra emicírculo. El m
dad del tren rá (a) un homsituado delan
r son perpend= fs = 200 Hz.olineal si vs yl observador,
CAPITULO 21
e tiempo, junt. Resulta clar internamente
de otro. Unes la frecuen? Supóngase
en la figura maquinista haes de 29 m/s
mbre que se ente del tren?
diculares a la . y vo se toman, respectivam
1 1
to con los o, a partir e al cono
a de las ncia que e que la
21-4(a). ace sonar s y la del encuentre
línea que
n como la ente
C
2
2
2
2
2
2
CAPITULO 2
21.11. La distrecepcmétricopara co
1.12. La velonificatiobtieneRespue
1.13. La inte
A partiexpresRespue
1.14. La frectrense con la Respue
1.15. Un trensilbato es de 3tren? ((c) ¿CurelacióRespue
1.16. Una mvelocidLa velopecular
1]
tancia a que seión de un pulo del agua es onvertir en dis
ocidad del sonivas a esa tempe únicamente esta: Sí.
ensidad (prom
ir de ésta y desión para la inesta:
cuencia funda (a) la velocfrecuencia fu
esta: (a) 720 m
n se aproxima con una frecu
330 m/s. (a) ¿(b) ¿Cuál es lauál es la frecun con la carret
esta: (a) 1.55 m
muchacha llevdad de 3 m/s. ¿ocidad del sonr del diapasón
Probleme halla un sublso de sonidode 21000 MP
stancia el tiem
nido en un gaperatura las via partir de tra
medio) de un
e la relación entensidad de l
amental de cieidad de las on
undamental, m/s; (b) 1.6 m
a la plataformuencia de 200 H¿Cuál es la lona frecuencia quencia que metera y que se apm; (b) 213 H
a un diapasón¿Qué frecuencnido es de 330n.) Respuesta:
ONDAS SON
mas compbmarino se calo en un generPa y su densid
mpo medido? R
as de moléculibraciones inteanslaciones y r
na onda de so
ntre el excesola onda X = f(
erta cuerda de ndas a lo larg(c) la longit
m; (c) 0.533 m
ma de una estacHz, medida pongitud de ondue medirá un edirá el conduproxima a la e
Hz; (c) 239 H
n que oscila acia de pulsacio0 m/s. (Sugere 8.1 Hz
NORAS
plementarlcula midiendrador sumergidad es de 103
Respuesta: dkm
as de hidrógeermoleculares?rotaciones mo
onido es [véas
o de presión y(x vt) en un
violín de lono de la cuerdatud de onda dem
ción a una veloor el maquinistda en el aire tr
hombre que suctor de un auestación desde Hz
a 440 Hz y elones escucharáencia: reempl
rios
o el tiempo endo. El módul kg/m3. ¿Cuál
m = 0.725 ts
eno a 0 °C es ? (Sugerencia:
oleculares, ent
e (20.4)]
y el desplazammedio de den
gitud 0.8 m esa, (b) la longiel tercer armó
ocidad de 20 ma. La velocidaranquilo que sse encuentra eutomóvil que s
una dirección
lla corre haciá entre las ondalácese la pared
ntre la transmlo de elasticidl es el factor
de 1.3 km/s. ¿: si la energía tonces γ es igu
miento, obténgnsidad en rep
s de 450 Hz. Etud de onda a
ónico.
m/s, haciendo ad del sonido ese encuentra fen la plataformse mueve a 40opuesta a la d
a una pared cas directa y red por una ima
205
misión y la dad volu-de escala
¿Son sig-del gas se
ual a 7/5.)
ase una oso p0.
Encuén-asociada
sonar su en el aire frente al ma? 0 m/s en del tren?
con una flejada?
agen es-
22.1 CARG
Con el prfundamental mecánicas. Eeléctrica (eneléctrica queunidad derivser una camicrocoulom
Cualquierentero de
donde e es
EJEMPLO billones de ccoulomb es u(número atómcualquier secA es
Ca
GA ELÉCTR
ropósito de exy su corresp
En el SI se elin un alambree pasa a travévada para la carga eléctricmb (µC) y el nr carga observ
la carga en u
22.1. (a) Uncargas de eleuna definiciómico 29) es (ción transvers
arga eléc
RICA
xpresar cantidpondiente unige la corriene, por ejempés de una seccarga eléctricca demasiadnanocoulombvada q (grand
un electrón.
n coulomb coectrones (el nn de la cantid(29) (1.6022 sal de un alam
ctrica y
dades electronidad básica nte eléctrica,plo) correspocción transveca es el A s
do grande; b (nC). de o pequeña,
ontiene (1.602número exactdad de carga)x 1019-) = 4.
mbre en dos m
y ley de
omagnéticas, (sección 1.1 medida en aonde al tranersal fija en ds o coulomb (de aquí qu
, positiva o ne
22 x 10-19)-1,to no necesar), (b) La carg.646 X lO-18 C
minutos durante
C
Coulom
se debe añad) a las utiliz
amperes (A). sporte de ciedeterminado (1 C = 1 A ue se utilic
egativa) es, en
o aproximadriamente deb
ga en el núcleC. (c) La care los cuales ex
Capítu
mb
dir una nuevazadas en las Dado que unerta cantidadintervalo de s). Un couloen frecuent
n magnitud, u
damente, 6 mbe ser entero,o de un átom
rga que pasa xiste una corr
lo 22
a dimensión cantidades
na corriente d de carga tiempo, la mb resulta
temente el
un múltiplo
millones de , ya que el
mo de cobre a través de iente de 15
208
22.2 F
La fde un sfuerza
donde es una de Newcargas
Exp
Por raztividad
(véase
minos d
Cuadebe remedio.
Sobre Tod
especiacionada
La ces neceaun cua
Igualos sub
Sin ximadamagnituanteriornéticas
FuerzaLas
q3,... secalculatotal so
FUERZA EN
figura 22-1 msistema inerceléctrica dad
r =re = r(ℓi+constante po
wton (sección simétricamen
perimentalme
zones matemád del espacio
el problema
de ε0, la ley d
ando q1 y q2 eeemplazarse p
la validez dedas las leyes al (capítulo 38as brevementcarga q1 debeesario que seando se aproalmente, si seíndices intercembargo, si
amente válidaud y de direcrmente, son ú que se produ
a total ejercids fuerzas entree encuentran fa por medio dobre q es just
CARGA
NTRE CARG
muestra dos cacial X, Y, Z. da por
+ mj + nk) (vositiva. Obsér13.2). La primnte esféricas ente se encue
áticas, es convacío y que
25.10 donde
de Coulomb s
están inmersapor Kε0, don
e la ley de Code la "electr8). De acuerdte, son: e estar en repe encuentre eoxime a la vee desea calcucambiados, q2u y v son ta
a para ambas cción opuestaúnicamente fucen cuando a
da por diverse cargas puntfijas en un sisde la ley de Ctamente la su
A ELÉCTRIC
GAS PUNTUA
argas puntualDe acuerdo
véase secciórvese la analmera conservay no traslapa
entra que
nveniente reese define así
se define el
se escribe
as en un medinde K (una ca
oulomb
rodinámica cldo con ésta, l
poso relativo en el origen),elocidad de laular F1, la fuer
2 debe estar ean pequeñas fuerzas, de t
a. (Debe recofuerzas electrambas cargas
sas cargas putuales actúan stema inercialCoulomb comuma vectorial
CA Y LEY D
ALES
es, una de lascon la ley de
ón 1.6) es el vlogía entre laa su validez sadas, donde r
emplazar b poí
farad, F, la u
io dieléctricoantidad adim
lásica" debenlas condicion
a un sistema, en tanto qua luz, c. rza sobre q1 d
en reposo y q1que u2/c2 «
tal manera quordarse que Frostáticas en s están en mo
untuales
independienl. Entonces, lamo si no existl de las fuerz
DE COULOM
s cuales, q1, se Coulomb, la
vector de desa ley de Couli q1 y q2 repre
r es la distanc
or otra consta
unidad de cap
o e isotrópico mensional) es
n cumplir losnes de la valid
a inercial de rue q2 puede te
debida a q2, a1 puede tener 1, v2/c2 « 1, ue F2 y F1 seF1 y F2, al calas que no s
ovimiento.)
temente. Supa fuerza F(1) sotieran q2, q3,.
zas individua
MB [
se encuentra fa carga q2 ex
splazamientoomb y la ley
esentan dos dicia entre los d
ante, ε0, deno
pacitancia elé
como el acela constante
requisitos ddez de (22.1)
referencia (poener cualquie
al aplicar (22.cualquier vella ley de Co
e pueden conalcularse come incluyen la
póngase que lobre la carga .. . etc. Por úles:
[CAPITULO
fija en el origxperimenta u
(22
o de q1 a q2 yy de gravitaciistribuciones dos centros.
ominada perm
éctrica). En té
(22
ite, ε0 en (22dieléctrica d
de la relativid o (22.2), me
or supuesto, er velocidad
.1) o (22.2) clocidad v.
oulomb es aprsiderar de igu
mo se mencioas fuerzas ma
as cargas q1, q debida a q1
último, la fuer
(22
22
en na
2.1) y b ión de
mi-
ér-
2.2)
.2) del
dad en-
no u,
con
ro-ual
onó ag-
q2, 1 se rza
2.3)
C
CAPITULO 2
22.1. En lacuéntconst
y
L
L
22.2. En laℓ, m, beran
L
dondsegun
L
22.3. Dos eportasitivoEl coy el n
E
La ca
la cuatrac
¡o se
22]
a figura 22-1trense la magtante dieléctri
y la magnitud
Los cosenos d
La dirección d
a figura 22-1, n, tienen los
n a partir del a fuerza sobr
e e= ℓi+ mjnda ley de Ne
La fuerza sobre
esferas de ma como cargaos, de un centobre tiene 63.número de AvEl número de á
arga total neg
al, por supuesción es
ea unos 16 mi
CARGA ELÉ
Pr, sean q1 = 2gnitud y la dica 2.5.
d de F2 es
directores de F
de F2 es la mi
q1 es una pas valores quereposo, encue el electrón
j+ nk. La mewton la acele
e la partícula
metal se encue de superficitímetro cúbic.54 de peso avogadro es 6átomos en un
gativa de los e
sto, es también
llones de tone
ÉCTRICA Y
roblemas 00 µC, q2 =
dirección de
F2 son
isma que en (a
artícula α (care se encontraruéntrese la aces
masa de un eleceración del ele
α es F2 y su
entran separie todos los eco de cobre. ¿atómico, núm6.022 x 1022 án centímetro c
electrones es,
n la carga total
eladas!
LEY DE CO
resueltos30 µC, x = 2Fs (a) en el e
a).
rga + 2e), q2ron en el proceleración in
ctrón es me = 9ectrón es
u masa es 6.65
adas 100 kmelectrones, y ¿Cuál es la fu
mero atómicoátomos/mol.cúbico es
entonces,
l positiva de lo
OULOMB
s
20 cm, y = 2espacio libre
es un electróoblema 22.1. nicial de cada
9.11 X 10-31 k
5 X 10-27 kg; p
m en el espacla otra lleva
uerza de atraco 29, densida
os núcleos. Po
25 cm, z = 30e, (b) en un m
ón, y r = 1 Å=Si las partíc
a una de ellas
g, por lo que d
por tanto,
cio. Una de la todos los núcción entre lad de 8.96 X 1
or lo tanto, la f
209
0 cm. En-medio de
= 10-10 m; ulas se li-s.
debido a la
as esferas úcleos po-as esferas? 103 kg/m3;
fuerza de
210
22.4.
22.5.
En la figurala magnituddistribuidas
La fuerz
A partir de
En la figurZ, y q en unx1 = 0.8 mtotal sobre
y r1 = 0.87
Igualmente,
y la fuerza
La fuer
CARG
a 22-2, q1 = 3d y dirección sobre esfera
za sobre q3 deb
esto, F3 = [(1
ra 22-3, q1 se n punto P(x,
m, z2 = 0.75 e q.
775 m. De aq
,
a sobre q debi
rza total es, en
A ELÉCTRIC
00 µC, q2 = 4n de F3, la fus que se local
bida a q1 es
5.775)2 + (4.8
localiza sobry, z) en el espm, x = 0.4
quí que la fue
ida a q2 es
ntonces,
CA Y LEY D
400 µC, q3 = uerza total slizan en el es
8)2]1/2 = 16.49
re el eje X a pacio. Sabienm, y = 0.5
erza sobre q
DE COULOM
500 µC, r12 =obre q3. Las pacio vacío.
9 N, y la direc
una distanciando que q1 = m, z = 0.6 m
debida a q1 e
MB
= 9 m, r13 = 1cargas están
cción de F3 es
a x1 del orige40 µC, q2 = m, encuéntre
es
[CAPITULO
12 m. Calcúlen uniformeme
stá dada por
en, q2 en z2 so50 µC, q = 8 ese F, la fue
22
ense ente
obre µC,
erza
C
22
22
CAPITULO 22
2.6. Una ca22-4. LF sobrvecind (a) Po
Di
de
(b) Pabacaqumfu
2.7. En la fde carconducel eje q2 = 40el cualplano
El
2] C
arga q1 se enLa carga q sere q tiene u
dad del origen
or simetría, F
iferenciando
e donde x = ±ara x = 0, F =argo, el equiliaso especial deuier distribucióas 22.7 y 22.
uerzas eléctric
figura 22-5 srga +q1 y quctora de longiX a una dis
0 µC, L = 1.5l el péndulo pvertical XY.)vector del or
CARGA ELÉC
ncuentra fija e puede mov
una magnitudn.
se dirige a lo
F con respec
±y/√2. Obviam= 0, lo cual sigibrio es inestel siguiente reón de cargas f10 se muestraas actúan otra
e muestra unue se encuenitud L. Otra estancia h> L m, h = 1.8 m
permanezca e) igen a q1 es
CTRICA Y L
en y y otra cver a lo largod máxima?
o largo de X;
cto a x e igual
mente estos pugnifica que q able dado qusultado generafijas, nunca sea que el equilas fuerzas, com
na esfera con ntra suspendesfera, que tie
verticalmenm, M = 0.8 kgen reposo. (El
LEY DE COU
carga igual en de X. (a) ¿P(b) Estudie
su magnitud
lando el resul
untos son máxse encuentra
ue para x ≠ 0, al: una carga me encuentra enibrio estable mo lo sería la
masa Ai, quedida a manerene una carga nte hacia abajg, y g = 9.8 ml movimiento
ULOMB
n y, como sPara qué valo
la variación
es
ltado a cero,
ximos y no men equilibrio F se aleja d
móvil, sometin equilibrio esse puede alcatensión en un
e porta una dra de pénduluniforme +q
ajo del origenm/s2, encuéntro del péndulo
se indica en lor de x la fuern de la fuerz
se obtiene
mínimos. en el origen.del origen. Ésda a la acciónstable. (En loanzar si ademna cuerda.)
distribución ulo de una cu2, se encuentrn. Para q1 =rese el valor d está confina
211
la figura rza total za en la
. Sin em-ste es un
n de cual-s proble-
más de las
uniforme uerda no ra fija en 60 µC,
de θ para do en el
212
22.8.
Por lo ta
La torca re Para el equ
Esta ecposición depodrían serLa otra solu
Sustituyend
Una carga puniformemω en tornofuerzas cua
La fuer
CARG
anto, la fuerza
sultante sobre
uilibrio,
cuación tiene e equilibrio envir para ciertaución es
do los valores n
puntual q1 smente distribuo del origen ealesquiera, enrza de atracció
GA ELÉCTR
total sobre q1,
el péndulo alr
dos solucionn 8 =, 0 o en
as escalas de lo
numéricos
se encuentrauida sobre unaen una órbitancuéntrese unaón sobre q2,
RICA Y LEY
excluyendo la
rededor de O e
nes. La prime8 = 180°. Est
os parámetros
fija en el ora esfera con ma circular de ra expresión de
DE COULOM
a tensión en la c
es (véase la se
ra de ellas, stas posibilidadfísicos (véanse
igen de X, Ymasa m que giradio r. Despe r.
MB
cuerda, está da
ección 10.1)
sen 8 = 0, codes se descarte los problema
Y. La carga +ira con una ve
preciando la g
[CAPITULO
ada por
rresponde a utan; sin embaras 22.10 y 22.1
+q2 se encuenelocidad angugravedad y ot
O 22
una rgo, 14).
ntra ular tras
CAPITULO
se enobtien
22.9. La cu22-6la mindic
Auna c
22.10. Con µC, ydel pun pesigue
(a) Cn
(b) Pp
22]
ncuentra claramne
uerda extrem6, está cubiert
magnitud y laca.
A partir de la scomponente Y
referencia aly que los datopéndulo? (b)equeño ángue?
Con ambas cano se aplica m
Ahora la fuerzθ = 0.
Para |θ| ≤ |θ0|,pectivamente.
CARGA EL
mente dirigida
madamente lata uniformem
a dirección d
simetría del pY, por lo que
l problema 22os restantes p Si la lenteja
ulo 0O y despu
argas reducidamás; clarament
za gravitacion
, se pueden ap. Esto da
ÉCTRICA Y
a hacia el orig
arga ab no comente con unde la fuerza s
problema es clse tiene que
2.7 y a la figpermanecen ia del pénduloués se suelta
as por un factte,
nal predomina
proximar sen
Y LEY DE CO
gen. Igualando
onductora quea carga de +σsobre q1, que
laro que la fu
gura 22-5, supiguales, (a) ¿Co se desplaza partir del r
tor de 100, la
a sobre la fuerz
θ y cos α en
OULOMB
o ésta a la fue
e se muestra σ coulombs pe está coloca
uerza resultant
póngase que Cuál es ahoraa a partir de reposo, ¿cuál
solución (2
za eléctrica, y
(1) del proble
erza centrípeta
en el eje X dpor metro. Enada en el lug
te, F, tiene ún
q1 = 0.6 µC
a la posición la posición
l es el movim
2) del problem
la posición de
ema 22.7 a θ y
213
a, mrw2, se
de la figura ncuéntrese gar que se
nicamente
y q2 = 0.4 de reposo de reposo
miento que
ma 22.7 ya
e reposo es
y 1, res-
214
22.11.
22.12.
22.13.
22.14.
22.15.
22.16.
Así puestorca linMAS an
dado qumovimi en comp en ausen
Suponiendo circular de raRespuesta: 9.2
Muéstrese qumolecular =1
Resuélvase dmergido en aRespuesta: θ
Refiérase al θ = 180° seaRespuestas:
En el probleesfera que tien la figuraprincipio de
Respuesta:
En la figurabuida + q)Otra carga, Qr = 0.8 m, Men el plano vµC. Respues
CARGA
s, se puede obneal de restaungular, y obede
ue el momentoento es entonc
paración con
ncia de fuerza
Prque el electró
adio 0.5 Å (0.24 x 10-8 N; 2.2
ue el número de18) es de 16.7
de nuevo el paceite (consθ = 43.5°
problema 22. un punto de
ema 22.9, q1 eiene masa m. Sa 22-6, ¿cuán
energía-traba
22-7, dos esf) se encuentQ, está fija a
M = 0.5 kg, h vertical XY. Enstas: (a) ≈58°
A ELÉCTRIC
bservar que, pración; por loecerá a la ecua
o de inercia eces
as eléctricas
roblemas ón de un átom.05 nm), encu5 x 106 m/s
e electrones as73 X 1023 y que
problema 22.7stante dieléctr
7. ¿Qué cond (a) equilibrio
es negativa y Si la esfera seto tardará enajo y la integr
feras (cada utran suspendiduna distancia= 1.5 m, y g =ncuéntrese el á°; (b) 31°
CA Y LEY D
para los valoreo tanto (capítuación
en torno de O
(débiles).
complemmo de hidrógeéntrese la fue
ociados con loe la carga neg
7, suponiendorica = 2.5).
iciones debeno, (b) equil
se halla distre libera a partn alcanzar la ral definida
una con masadas del punto a h > r directa= 9.8 m/s2. Lángulo de equi
DE COULOM
es dados de loulo 14), el mo
O es I = ML2 =
mentarioseno gire en torrza de atracci
s átomos contegativa correspo
o que el sistem
n satisfacer loslibrio estable?
ribuida uniforir del reposo línea de carg
a M y con unaP por medio d
amente por deos péndulos eilibrio cuando
MB [
os parámetros ovimiento del
= 1.8 kg m2
rno del protónión y la veloci
enidos en 5 cmondiente es 2.
ma completo
s parámetros f
rmemente soben la posición
ga? Sugerenc
a carga uniforde hilos de sedebajo de P. Seestán confina (a) Q = 0, (b)
[CAPITULO
físicos, hay upéndulo será
2. El periodo d
n en una órbiidad del electr
m3 de agua (pes68 X 105 C.
se encuentra
físicos para qu
bre una pequen que se muesia: aplíquese
rmemente distda de longitudean q = 40 µCdos a movers) Q = 43.13
22
una un
del
ta rón.
o
su-
ue
eña stra e el
tri-d r. C, se
CAPITULO 2
22.17. Ve
22]
erifíquese que
CARGA ELÉ
e r = |m| en el
ÉCTRICA Y
problema 22
LEY DE CO
.8 y que t = |S
OULOMB
S| en el proble
ema 22.15.
215
2
fipuelF ca
Ssounar
(2
El cam
3.1 DEFIN
Considéresgura 23-1, dountuales. Unl punto P(x, ysobre la carg
argas se defi
e puede obseobre una cargna carga punrreglo de car
Cuando el 23.1) se trans
mpo elé
NICIÓN GEN
e un conjuntoonde + q1 y a carga de p
y, z), y un obsga de prueba. ne por medio
ervar que E ga unitaria (1 ntual, q localrgas pudo ha
conjunto desforman en
éctrico f
NERAL DE E
o de cargas e q2 están distrueba +q' , cervador (tamEntonces, el
o de
es un vector C) en el puntizada en un p
aber formado
e cargas estac
formado
E
en reposo relatribuidas sobrcarga puntual
mbién en reposl campo eléct
en la direccto bajo considpunto en el qo E) está dad
cionarías se
o por ca
ativo a un sisre los cuerposl positiva de so con respectrico E en P(x
ción de F y rderación. En que el campoda por
reduce a un
Ca
argas e
stema inercials B1 y B2, y pequeña mag
cto a X, Y, Z)x, y, z) formad
epresenta la forma equiva
o eléctrico es
a sola carga
apítulo
n repos
l X, Y, Z, com q3 y + q4 sognitud, se loc mide una fuedo por el conj
fuerza (en nalente, la fuers E (sin impo
puntual q1,
o 23
so
mo en la on cargas caliza en erza neta
njunto de
(23.1)
newtons) rza sobre ortar qué
(22.2) y
218
en laecuacsecció
23.2
A
esto cargaese p
23.1.
23.2
a que ε0 es reción (23.3) eón 22.2.
PRINCIPI
A partir de (22
es, el campoas) q1, q2, q3,.punto por las
. En el sistde E en e
A part
y los cose
2. RefiérSe enc
CAMPO
eemplazada pes válida aun
IO DE SUPE
2.3) y (23.1),
eléctrico en ... se encuentcargas indivi
tema inerciall punto x = 5
tir de (23.3), l
enos directores
rase al problecontró que la
O ELÉCTRIC
por Kε0 cuann cuando la c
ERPOSICIÓN
cualquier putra al sumar (iduales.
Probl de la figura
50 cm, y = 60
la magnitud d
s de E son
ema 22.5 y efuerza total s
CO DE CARG
ndo se trabajacarga de prue
N PARA E
unto, debido o integrar) lo
emas res23-2, q = 60
0 cm, z = 80 c
de E es
encuéntrese Esobre q = 8 X
GAS EN REP
a en un medieba se encue
a la distribuc
os campos for
ueltos
µC. Encuéntcm. Supónga
E en el puntoX 10- 6 C era
POSO
io dieléctricontre en mov
ción de cargarmados indep
trese la magnase un espaci
o ocupado po
[CAPITUL
o e isotrópicoimiento; véa
as (o elementpendientemen
nitud y direccio vacío.
or q.
LO 23
o. La se la
os de nte en
ción
C
2
2
2
2
CAPITULO 2
23.3. En el
están (a) laq = 5
(a) A
E
y
23.4. Un cauna cade exatablec
Da
23.5. En refforma
Darecció
23.6. Dos cse mu
23] CA
punto P(x, y,
formados pa magnitud y X 10 9. colo
A partir de la
En magnitud,
la dirección d
ampo eléctricarga de 1 C sactamente 1
cer como V/mado que 1 V
ferencia al pado por la cuado que, en geón (Y) y está
cuerdas muy uestra en la fi
AMPO ELÉC
, z) (Fig. 23-3
or cargas indy la direccióocada en P.
figura,
de Etotal está d
co E estático se mueve a trJ de energía
m. = 1 J/C y qu
roblema 22.9uerda cargadaeneral, E = Fdado por
largas y no cigura 23-4. S
CTRICO DE C
3), los campo
dividuales quón de Etotal e
Fig
dada por
da lugar a unravés de una cinética. Mu
ue 1 J = 1 N
9 y a la figura, en el lugarF/q, el campo
conductoras e encuentran
CARGAS EN
os eléctricos
ue no se muen P; (b) la
g.23-3
na fuerza condiferencia d
uéstrese que
m,
ra 22-6, encr de q1.
o eléctrico tam
se estiran a l
n uniformeme
N REPOSO
estran en la fuerza sobre
nservativa (sde potencial d
las unidades
cuéntrese u
mbién es pura
lo largo de loente cargadas
figura. Encue una carga
sección 9.1): de +1 volt (Vs de E se pue
una expresió
amente radial
os ejes X y Ys, con densid
219
uéntrense puntual,
cuando V), pier- eden es-
ón para E
en la di-
Y, como dades de
220
23.7.
carga σx y σen P; sean
Aplican
Dos pequeñnectadas poEn la figurejes se el igel plano Xmomento d
El camp
El vector q
La torca es,
Se puede obE.
CAMPO
σv, respectivaσx = 5 µC/m
do el resultad
ñas esferas qor medio de
ra 23-5 se mugen de tal mY. Sabiendo
dipolar P y lapo ejerce sobr
qI se define co
entonces,
bservar que la
O ELÉCTRIC
mente. Encuém, σy = 8 µC/
do del problem
que portan cauna delgada
uestra un dipoanera que E que q = 4 µ
a torca τ que re el dipolo el
omo el mome
a torca tiende
CO DE CARG
éntrense la mm, x = 3 m, y
ma 23.5,
argas uniformbarra de lon
olo de este tipse encuentreC, E = 5 x 1tiende a cam
léctrico una t
ento dipolar P
a disminuir a
GAS EN REP
magnitud y la dy = 4 m.
memente distrgitud l y conpo en un came a lo largo d05 N/C y qu
mbiar el ánguorca dada por
P:
a 6, esto es, a a
POSO
dirección del
ribuidas + qnstituyen un mpo eléctricode X y que ee l = 20 cm,
ulo θ. r
alinear P con
[CAPITULO
campo eléctr
y q están dipolo eléctr E uniforme;l dipolo yagencuéntrens
el campo exte
O 23
rico
co-rico. los a en e el
erno
2
2
CAPITULO 2
23.8. Encuéobser
Eorient
Si la poten
Ose pu
Este r
23.9. Las dy port+q seq2 =
23] CA
éntrese la eneva en la figu
l trabajo realitación θ0 = θ a
posición de encial es justam
bsérvese que uede hacer igu
resultado es ge
os pequeñas tan cargas un encuentra fi50 µC, q = 60
AMPO ELÉC
ergía potencira 23-5.
izado por un a la orientació
quilibrio se tomente igual al
en este caso ual a cero cam
eneralmente v
esferas de laniformementeija en el orig
0 µC, x1 = 2 m
CTRICO DE
al del dipolo
campo externón θ0 = 0 (la p
oma como el trabajo:
P ·E = -0.4 combiando el niv
válido.
a figura 23-6 e distribuidasgen. Encuént
m, y1 = 2.5 m,
CARGAS EN
del problem
no al rotar el dposición de eq
nivel cero de
os θ. Entoncesvel de referenc
están unidass q1 y +q2. Utrese la fuerzx2 = 3.5 m, y2
N REPOSO
ma 27.7 cuand
dipolo (siempquilibrio) es
energía poten
, junto con uncia),
a una barra dUna tercera esza neta sobre2 = 4 m.
do está orient
pre en el plan
ncial, entonce
na constante ad
delgada y nosfera que pore el halterio, s
221
ado como se
no XY) de una
es la energía
ditiva (la cual
conductora, rta una carga si q1 = 40 µC,
222
23.10
Únicam(x1, y1) Y (x
por lo que l
y la fuerza
. En la figurencuentra fcon masa muna expres(b) Suponimovimiento
(b) Suponieexpres
Por lo
CAMPO
mente el campox2, y2) son
las fuerzas so
neta es
ra 23-7 la cfija sobre X m1 y que tiensión exacta endo que m1o subsecuente
endo que |x| psión para F, la
tanto (sección
O ELÉCTRIC
o eléctrico, de
obre el halteri
arga q está en x = a. Un
ne una carga de la fuerza
1 se libera a e.
permanece mua cual se trans
n 14.2), el mov
CO DE CARG
ebido a +q, se
io son
uniformemena carga igualq1, se puede
a total sobrepartir del re
uy pequeño cosforma en una
vimiento es ar
GAS EN REP
e toma en cue
nte distribuil está fija en deslizar a lo
e m1 en la peposo en un
omparado cona fuerza restau
rmónico simp
POSO
enta (¿por qué
ida sobre unx = a. Una
o largo de X. posición en qpunto x0 « a
n a, se puede duradora linea
ple, x = x0 cos
[CAPÍTULO
é?) Sus valore
na esfera que pequeña esf(a) Encuéntr
que se muesa, encuéntres
despreciar x2 el
ωt, de frecuen
O 23
es en
e se fera, rese stra, e el
en la
ncia
CAPITULO 2
23.11. Refiédos cde osRespu
23.12. Hága
23.13. EncuRespu
23.14. En launifo
y las
UtilizenergRespu
23] CA
érase al problecargas fijas, (scilación de m1
uestas: (a) E =
ase un análisis
uéntrese la fueuesta: F = 5.55
a figura 23-9 urme. Los cosen
componentes
zando las relagía potencial duestas: (a) τ =
AMPO ELÉC
Probleema 23.10. (a
(b) Si q = 30 µ1. = qax/ττεo(a
s dimensional
erza sobre la c5i +4.444j + 7.
un dipolo elécnos directores
ℓ = 0rectangulares d
Ex = 40kVaciones vectordel dipolo rela-0.710i + 0.04
CTRICO DE
emas coma) EncuéntreseµC, q1 = 5 µC
a2-x2)2; (b)
para verificar
carga de 6 µC.333 k N
ctrico, de momde P son
0.462 m =de E son
V/m Eriales apropiadativo a la orie45j + 0.528k
CARGAS EN
mplementae el campo el
C, a = 0.8 m, y
1.835 s
r que (1) del p
C en la figura 2
mento dipolar
= -0.580
Ey = 45kV/mdas encuéntrenentación perpe N m; (b)
N REPOSO
arios
éctrico en cuay m1 = 0.9 kg
problema 23.1
23-8.
P, aparece en
n = 0.671
Ez = nse (a) la torcendicular a E. U = -0.311 J
alquier punto g, encuéntrese
10 da ω en s-1.
n un campo elé
50kV/m ca sobre el dip
223
x entre las e el periodo
.
éctrico E.
polo, (b) la
224
23.15.
23.16.
Dos anillos vierte en la mínese el ca(c) encuéntd = 1.5 m, mcampo eléc
Refiérase altrón? Respu
CAMPO
circulares unfigura 23-10.
ampo eléctricrese el campomuéstrese quetrico resultan
l problema 22esta: 0.577 TV
O ELÉCTRIC
iformemente . En un punto co debido a C1o resultante, e el campo re
nte es cero en
.11. ¿Cuál es V/m
CO DE CARG
cargados, C1arbitrario P e
1; (b) por a (d) Si q1 =
esultante es ce cualquier otr
la magnitud d
GAS EN REP
y C2, son paraentre los anillanalogía, encu8 µC, r1 = 0.ero sobre el ero lugar sobre
del campo eléc
POSO
alelos y coaxios y sobre el
uéntrese el cam5 m, q2 = 4
eje X en x = 0e el eje X?
ctrico donde se
[CAPITULO
iales, como seeje X, (a) dempo debido a µC, r2 = 0.3 m0.85 m. (e) ¿
e mueve el ele
O 23
e ad-eter-C2;
m, y ¿El
ec-
yvd
2
budE
Eqc
E
En la secciy se demostróválido para el de la distancia
24.1 FLUJO
En la figurbuidas en toduna superficiedebido a Q eEl flujo eléctr
En términos dque E es tangeondición de
El flujo total
Flu
ión 13.5 se deó que es propcampo eléctra).
O ELÉCTRIC
ra 24-1 Q reda la región d S de forma a
en algún punrico a través
de "líneas deente en cada pque las línea
l hacia afuer
ujo eléc
efinió el flujo porcional a larico E (el cual
CO
epresenta la sdel espacio liarbitraria y qunto P de S, y del element
e fuerza" (indpunto, dψ se ps estén supue
ra de S está d
ctrico y
del campo gra masa encerrl como g, es u
suma algebraibre que se m
ue encierra comy dS = n dSto de área dS
dicadas por lpuedes interpestamente .di
dado por la i
ley de G
ravitacional grada por la suun campo que
aica de las camuestra en lampletamente S es el vectoS se define as
las flechas cupretar como eibujadas con
integral de (
Cap
Gauss
g a través de uuperficie. Un e depende del
argas (positiva figura. La l
la carga Q. Eor de un elemsí
urveadas en lel número de
densidad no
(24.1)
pítulo
una superficieresultado an
inverso del c
va y negativaínea de trazo
E es el campo mento de áre
la figura 24-líneas que cormal E.
24
e cerrada nálogo es cuadrado
a) distri-os índica eléctrico ea en P.
(24.1)
-1), a las orta dS, a
(24.2)
226
24.2
En
Esto propopropoestén
24.1
LEY DE G
n términos d
es, el flujo orcional a orcionalidadn en movimien
. Dedúz
Por suparbitrario campo deb
El flujo a
donde dΩ ángulo sól
o sea la leyInversa
FL
GAUSS
de las cantid
eléctrico quela carga el
d es 1/ε0 = 4nto.
zcase la ley d
perposición esdel interior dbido a q está
través de dS
es el ángulo sido total subte
y de Gauss. amente, la le
LUJO ELÉCT
dades definid
e sale de unaéctrica netaπb. La ley d
Problede Gauss a p
s suficiente coe una superficdado por la
es, entonces
sólido infiniteendido por tod
y de Coulom
TRICO Y LEY
das anteriorm
a superficie
a en el intede Gauss es
emas resupartir de la le
onsiderar el ccie cerrada S.ley de Coulo
esimal subtendda la superfici
mb se puede o
Y DE GAUS
mente, la ley
cerrada y arb
erior de la válida aun c
ueltosey de Coulom
aso de una so. En un punto mb y es
dido por dS enie cerrada S es
obtener a part
S
y de Gauss se
bitraria en esuperficie;
cuando las c
mb.
ola carga puntP de S (véase
n el lugar de qs 4π estereorra
tir de la ley d
[CAPITUL
e escribe:
l espacio libla constant
cargas encerr
tual, q, en un e la figura 24-
q. En este lugaadianes. Enton
de Gauss (p
O 24
(24.3)
bre es te de radas
lugar -2), el
ar, el nces,
roble-
CAPITULO 2
24.2. Utilíbre lel ce
Econcégauss
que e
24.3. ComCadaE = 3placa
Enorm
24]
cese la ley da superficie
entro de la e
En la figura 24éntrica, de radsiana y es nor
es el mismo ca
mo se muestra placa tiene 300 kV/m (vas (esto es, n
Empleando la mal a la super
FLUJO EL
e Gauss parade una esfersfera.
-3 la esfera, ddio r> a. Por rmal a la supe
ampo que pro
a en la figurun área A = 6
véase el probno se curva).
superficie gauficie interior
LÉCTRICO Y
a verificar qura, es equiva
de radio a, estásimetría, E ti
erficie en tod
oduce una car
ra 24-4, plac600 cm2. Ent
blema 23-4), . Evalúese Q
ussiana que sede la placa, s
Y LEY DE G
ue una carga Qlente externa
á rodeada por iene una magn
das partes. Por
ga puntual Q
cas de un catre las placasy se supone
Q.
e muestra en lse tiene que
GAUSS
Q, uniformemamente a una
una "superficnitud E constr lo tanto,
localizada en
apacitor tiens, el campo el
que el camp
la figura 24-4
mente distriba carga puntu
cie gaussiana"ante sobre la
n el centro de
nen cargas +léctrico es co
po es cero fu
4 y suponiend
227
buida so- ual Q en
esférica y superficie
la esfera.
+Q y Q. onstante a era de las
do que E es
228
24.4.
24.5.
En la figurde una cavila ley de Gpared de laP3 en el ext
En la superfSobre la supPara una su
De la mism
En realicampos meE2 = 0 en centonces, un Q sobre la
Un sólido cde carga σ =y que R =
Considé
FLU
ra 24-5 una pidad esférica
Gauss, el cama cavidad, enterior de la e
ficie interior dperficie exter
uperficie gaus
ma manera,
dad, debería sediante la ley cualquier lugana carga neta a pared de la
cilíndrico, m= 5 µC/m3. Ca200 mm. érese una supe
(carga en el
UJO ELÉCTR
pequeña esfea, dentro de u
mpo E en los n los puntos sfera grande.
de la cavidad rior de la esfessiana esférica
seguirse el prde Gauss. D
ar sobre la supcero en el intcavidad (esto
muy largo y nalcúlense E1 e
erficie gaussian
interior del cil
RICO Y LEY
era que portauna gran esferpuntos P1 enP2 en el met.
existe una disera grande exia de radio r1 q
rocedimiento ie esta maneraperficie de unerior de la sup no puede ser
no conductor en Pt y E2 en P
na cilíndrica d
lindro) = E1 x (
Y DE GAUSS
a una carga +ra de metal. E
n el espacio eal de la esfe
stribución' uniiste una cargaque encierre
inverso e infea, para un me
na esfera gaussperficie gaussr en cualquier
(Fig. 24-6) tP2, sabiendo q
de radio r1 y lo
(área del cilindr
S
+Q se localiEncuéntrenseentre la pequra grande, y
iforme de carga inducida +Q
+Q,
erir las cargas etal perfectamsiana de radioiana, lo cual iotra parte).
tiene una denque r1 = 150 m
ongitud ℓ,
ro)
[CAPITULO
za en el cente, por medio
ueña esfera y en los punto
ga inducida
Q.
inducidas demente conduco r2. Debe exiimplica una ca
nsidad uniformm, r2 = 300 m
O 24
tro de la
os
Q.
los ctor, istir, arga
rme mm
CA
24
24
APITULO 24
4.6. HágaseA p
o |V/m
4.7. Una lamente trico tide este
Aplgaussianen dos (las caraPor lo t
4]
e un análisis dartir de la secc
|, como se req
ata de metal, distribuida).
iene un valore punto.
líquese la ley dna una pequeñ(Fig. 24-7). Das de la pequtanto,
FLUJO ELÉ
dimensional dción 22.2, ε0 =
quería.
suspendida dEn cierto pu
r de E = 600
de Gauss comñísima cápsula
Dado que E debueña cápsula
ÉCTRICO Y
de la expresió= |F/m| = |C2/N
de un hilo deunto muy cerc kV/m. Evalú
mo en el problea, colocada de be ser perpendes E ∆A, y e
LEY DE GA
ón de E2 que sN m2|, y por
seda, porta ucano a la supúese la densi
ma 24-4, perotal manera qudicular a la suel flujo a trav
AUSS
se encontró elo tanto
una carga poperficie de la idad superfic
o esta vez eligiue la superficieuperficie, el fluvés de las otra
en el problem
ositiva (no unlata, el camp
cial de carga
iendo como sue' conductora lujo a través deas dos caras
229
a 24.5.
niforme-po eléc-a cerca
uperficie a divida e una de es cero.
230
24.8
24.9
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
8. Aplíques
9. CalcúleseRespuesta
10. Un cubo interior dseda. DetRespuesta
11. La dimenmado de Respuesta
12. La carga ntrazos. Re
13. El flujo t¿Qué carg
14. En la figuesfera quRespuesta
15. Muéstres
F
Pe la ley de Ga
e el flujo total a: 5.25 X 10-7
pequeño, cone un recipientetermínese la ca: + 30 µC
nsión más granE a una dista
a: 10.8 kV/m
neta Q en la fiespuesta: 7.11
total hacia el ga porta la pa
ura 24-5 la esue tiene carga:
e que el flujo
FLUJO ELÉC
Problemaauss a una sup
ψ del núcleo 7 N m2/C
n una carga ne de metal de farga total sob
nde del sistemancia de 5 m
figura 24-1 es 5 x 106 N m2
interior de laapa, medida en
fera grande ti +Q1. Determ
eléctrico
CTRICO Y LE
as compleperficie aprop
de un átomo d
neta de +30 µforma elipsoid
bre la superfic
ma del problemdel cubo?
63 µC. Encué2/C
a superficie dn unidades de
iene una cargamínese la ma
EY DE GAU
ementariopiada para obt
de cobre (núm
µC, se suspendal, el cual tamie exterior de
ma 24.10 es 0
ntrese el flujo
de una papa ce carga electró
a inicial Q2.gnitud del cam
SS
os
tener la ley d
mero atómico
nde de unos hmbién está suspl recipiente.
0.04 m. ¿Cuál
o total a través
argada es de ónica? Respue
. Luego se intmpo eléctrico
[CAPITUL
e Coulomb.
o = 29).
hilos de seda pendido de hil
es el valor ap
s de la superfic
4 x 103 N mesta: -2.21 X 1
troduce la peqo en P3.
LO 24
en el los de
proxi-
cie de
m2/C. 1011e
queña
25
prel(9
Etrcu
fu
E
p
la
d
25
o la
Oc
5.1 ENERG
La fuerza rueba q' es unléctrica U co9.3) da lugar a
Esto es, la enrabajo que reaualquier tray
Inversamenuerza eléctric
En particular,
or lo que, en
Si la únicaa energía ado
onde, como
5.2 POTENCLa energía
voltaje, V. (Aa segunda.) D
Obsérvese qucomo ya se m
GÍA POTENC
eléctrica F qna fuerza conmo la dada pa la energía p
nergía potencalizaría el cam
yectoria. nte, si esa enca a lo largo d
, las compon
n forma vecto
a fuerza que aopta la form
siempre, K e
CIAL ELÉCpotencial elé
Aquí se utilizDado que ф =
ue la unidad mencionó, 1 V
PoteCIAL ELÉCT
que ejerce unnservativa. Ppor (9.2) o (9potencial abso
cial eléctrica mpo externo
nergía se conode una direcc
nentes de F a
orial,
actúa sobre lama
es la energía
TRICO O VOéctrica por unzará la primer= U/q' y E = F
del potencialV/m = 1 N/C
encial eTRICA
na distribucióPor lo tanto, la
.3). Cuando oluta de la car
absoluta de para moverla
oce como unción arbitrari
a lo largo de
a carga puntu
cinética de l
OLTAJE
nidad de cargara denominacF/q', ф y E tie
l eléctrico esC.
eléctrico
ón estacionara carga de prel punto de rrga de prueba
una carga da desde dicho
na función de ia ds se pued
los ejes X, Y
ual es la fuerz
la carga punt
a de prueba sción; en las apenen la mism
s el volt (V),
Ca
o
ria de cargasrueba posee ueferencia A sa en el punto
e prueba en o punto hasta
la posición, e calcular po
Y y Z están da
za eléctrica F
tual.
e denomina pplicaciones d
ma relación qu
donde 1 V =
apítulo
s sobre una cuna energía pse toma en elB(x, y, z):
un punto dael infinito a t
la componenor medio de (
adas por
F, la conserva
potencial elécde circuitos seue U y F:
= 1 J/C. Igua
o 25
carga de potencial infinito,
ado es el través de
nte de la (9.1) así
ación de
(25.3)
ctrico, ф e emplea
almente,
232
EJEMq que
Se esllega
En co
A
Ez =
EJEMpotencarte
con uф y Eperpe
y, po
MPLO 25.1 e se localiza e
scoge como trhasta q. A lo
onsecuencia,
A manera de pr
(q/4πε0r3)z
MPLO 25.2 (Encial es constsianas las sup
una superficie E se puede expendiculares en
or lo tanto, E
(El potenciaen el origen (F
rayectoria palargo de esta
rueba, verifíqu
z. Por otro la
Equipotencialtante se denoerficies equip
para cada valpresar geométrntre sí. Y en e
debe ser perp
POTEN
al cerca de unFig. 25-1), se
ra la integractrayectoria,
uese que Ez =
ado,
les). Una supomina superfiotenciales está
lor de la constricamente comofecto, para un
pendicular a
NCIAL ELÉC
a carga puntuegún (23.3) el
ción de (25.4)
∂ ф/∂z. Dado
erficie (o, enficie (curva) eán dadas por l
tante c. En téro sigue: las lín
na dirección ds
ds.
CTRICO
ual). Si la fuenl campo en P
) la línea de
o que
n dos dimensiequipotencial.la ecuación
rminos de los eneas de campo s que yaga en u
nte del campo e'(x', y', z') est
∞ a P(x, y, z)
iones, una cu. Por lo tanto
equipotencialey las equipoteuna superficie
[CAPÍTUL
es una carga putá dado por
) que, prolon
urva) en la cuo, en coorden
es, la relaciónenciales son siee equipotencial
LO 25
untual
gada,
ual el nadas
n entre empre l,
CAPITULO
25.3 PRINC
De (23.4
Usualmenteadición vectde una regiócarga dq =
en el punto f
Debe obdistribución
25.4 EL EL
Cuando cuando se m
de energía púltima se lepuede conve
O 25]
CIPIO DE SU
4) se sigue qu
e es más simptorial en (23.4ón del espaciτ dv da luga
fijo P, de acu
bservarse quen de carga se
LECTRÓN-V
un electrón mueve desde
potencial eléce denomina eertir en electr
PO
UPERPOSIC
ue
ple realizar la 4). (Véase el io con densidar al potencia
uerdo con (25
e (25.8), en lextiende has
VOLT
(carga e) "un lugar hast
ctrica y ganaelectrón-volt rón-volts divi
OTENCIAL E
IÓN PARA ф
adición escaproblema 25
dad τ (C/m3) al
5.6). El poten
la forma en sta el infinito
cae" a travésta un punto d
a [véase (25.3t (eV). En geidiendo entre
ELÉCTRICO
ф
lar en (25.7) .6.) En particcomo se indi
ncial total en P
que está esco.
s de una difedonde el pote
3)] la misma eneral, cualqu 1.602 x 10-1
O
y luego difercular, si la carica en la figu
P está entonc
crita, no se p
erencia de poencial eléctric
cantidad de uier energía 9 J/eV.
renciar фtotal qrga se distribuura 25-2, el el
ces dado por (
puede aplicar
otencial de 1 co es 1 V ma
energía cinétexpresada e
233
que hacer la uye a través lemento de
(25.7) como
r cuando la
V, esto es, ayor pierde
tica. A esta n joules se
!
!
"!
"
!
""""""!
!#$"
!%&'&" ()*+
!%&!&" ,-*+
!%&#&" ,-./0*1/(20*
!%&$&" 3425
)"*-"+6".)7+"12-8/"9:;2<"!
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-"+6".)72/=@*@*-*5)0/"6"/=86"2-6"21A-76B*"9'"6"9!
"
"""""""",+"1/8?6=76"@*-/B86@5)
6"0).*=*-4/+8<@*8=/2-6"?6=765=*":"C"B*
72=6"!%D9&"E"FG&%!"H
5+*@6"!%
2=6"!%D#"-8*"0)B8=)5"#$IJ2K?6=76"%$B*";2*"+6"!L"I?2K+"*
8*-?)6+"*-2-)86=)6"B"*+"1/8*-)>-"B*"+*"0
"
-?)6"0*"/"*B"0*"M6"%$&$H%*"+*"1*=@
!'"%$E"$G"
H"G&N!"H"G
%&'L"2-6"?
B*"+/?6+)52)06O"!'+"*B"*+"1E"N"PJ"B*B.*=6"1*B"*+"?6@
-"('$?/-"=0*" 1=2*5-?)6+"65B/0*-/@)-6
1/8*-?)6MGGG"Q&"RGG"PJL"B@)8*"@/4
9ST,UJ
!"#$%&PJL")$E"G
G&M!V'W!"E"
?6=76"%'
)X6"*-"*+"&$G&%"*/8*-?)6+"B*"?/+/?61*;2*Y6"@5)/"0*"B
=*B1*?8/"656" 0*" 9'/+28/"*-"96"+,-.!./0
6+"123$*-R-6"*B.*B*"+)5*=6"*="Z6?)6"
J[:3",3
&'()*"G&%"@L"4$
'&''N"@
E"\"PJ"
"
/=)7*-"2$4$!5$&$'*-"9'"?/6"*-"('6$IB*"@2*4B2"*-*=7
6"9!"*B"*+"6"(56$]B89!&":"*B8*0,7$+.$89
-8=*" +/B"*=6"1*;2*6"16=8)="*+"6+6@5
3]JT^[J
"&)+&%,E"G&N"@L
@&"9/="+/"8
B*"?/+/?
2-6"*B.*=&!"@&"F7V/-"=*B1*IJ2K+"*B"*"+)5=*@<6"?)->8)
8=656_/"=*8*" " *B" " **"1/8*-?)69:./0,7;$.
6+6@5=**Y6";2*"80*+"=*1/5=*"`&"<7=
JS"
,#)"L">$&$G&M"
86-8/L"6"1
?6"*-"9&"J
=6";2*"1/V",-?2>-8?8/"6"9!aB2"*-*=7
@*-8*"0*B?6a"
*6+)X60/"*-8/-?*B"6+"=*+68)4/./:!.$('$4
*B":"C"38)*-*"2-6/B/"*-"2-=$Ib*1*-
@L"*-?2>
16=8)="0*"
J6+?c+*B*
/=86"2-6"8=*B*"*+"1a"<?=$R-7<6"1/8*-0*"('$Z6
1/="*+"?6@*+" 1/8*-/"B*" +/"0*4$9!" " F/5
3$ Fd)7&"!6"@6B6"0-"12-8/"@-0*"Q:`"0
eJ:
>-8=*B*"*
" F!%&MVL
*"B2"*-*=
?6=76""$1/8*-?)6+-6"*B.*=6"-?)6+"F=*+6B86"9!&",
@1/"16=6-?)6+" " 65B*-/86"?/@B>=4*B*"*
!%D$VL"@0*"G&'%"f@2C"?*=?0*"@L"+6"0
:9[TR3
+"1/8*-?)
=7<6"1/8*
E"$G"AB+"*-"9'"C"1*;2*Y6+68)46"6"g,-"*+"8=6C
6"0*B1+6X6B/+28/" " *@/"ф'5$/"Q*+"/=0*-V&
*0)06"1/f7"C";2*"?6-/"6+"60)B86-?)6"
3S"!%"
)6+"*-"
*-?)6+"
B$2-)D*-"9!"6";2*"gV"F?V"C*?8/"
6="2-6"-" " 9'"Q'!L"C"&"
"
/="2-"1/=86"6+6@D " "*-D"
!
!
" " " " " " " "
CAPITULO 2
tre lollega
25.5. Los elcalienmedisupocampllegacuántel án(Despcalor
25]
os alambres?ará a B? (d) ¿
lectrones (raznte f (Fig. 25da por un volniendo que ppo eléctrico n a P con untos electrón-v
nodo despuéspréciese una r.)
PO
? (b) ¿Qué tr¿Cuál es el c
zón de carga 5-5) son atraltímetro, es Vparten del reppromedio en
na rapidez devolts de eners de que 6 xpequeña can
OTENCIAL E
abajo W puecampo prome
entre masa, eídos por el á
V = 600 V. (a)poso en f? (bn el cual se
e 4 X 107 m/sgía llega cadx 1023 electrntidad de rad
ELÉCTRICO
ede realizar ledio E9tam en
e/me = 1.759 xánodo P. La d) ¿Con qué ve
b) Si la distanmueven los
s, ¿cuál es elda electrón a Prones (aproxiación de ray
la esfera? (c)ntre A y B?
x 1011 C/kg) qdiferencia deelocidad u losncia de f a P es electrones?l nuevo voltaP? (e) ¿Cuántximadamenteyos X; esta en
) ¿Con qué r
que salen del e potencial ens electrones les de 3 cm, ¿? (c) Si los eaje aplicado? ta energía se un mol) hanergía aparec
235
apidez u
filamento ntre f y P, legan a P,
¿cuál es el electrones (d) ¿Con pierde en
an salido? cerá como
236
25.6.
25.7.
(d) 600 eV
Refiérase aen general
(a) Muéstrey0, z0) satisf
(b) Genera
V (cada elec
a la figura 25P(x, y) en el
ese que el potface la ecuació
alícese el resu
POTENC
ctrón cae a tr
5-6, (a) escríbl plano XY.
tencial ф (x, yón de Laplace
ultado de (a).
CIAL ELÉCTR
ravés de 600
base una exp(b) Encuéntr
y, z) debido ae,
.
RICO
V).
presión del porense expres
a una carga pu
otencial ф(x,iones de Ex y
untual q loca
[CAPITULO
y) en un puny Ey en P.
alizada en (x0,
O 25
nto
,
C
2
CAPITULO 2
Su
Lde
(b) D(2ec(2
25.8. En el siguieinteriola ley
Porinteriopequeñen todo
donde definic
5]
umando las tre
La última expree Laplace.
Debido a que 25.7) se deducecuación. En ot25.8).
problema 22ente manera: or de una regde Gauss.
r el contrarioor P0. Entonceño, a, que (i)os los puntos
En es la comción de potenc
POT
es segundas de
esión se vuelv
la ecuación de que el potenctras palabras, s
2.6(b), se citel potencial
gión libre de c
, supóngase qes (Fig. 25-7) ) la esfera yade la superfic
mponente normcial eléctrico,
TENCIAL EL
erivadas,
ve cero en toda
de Laplace escial que se derise la obtiene d
tó un resultaeléctrico no p
carga. Hágase
que el potencse podría enc
aga completamcie esférica. Ap
mal (radial) de
LÉCTRICO
as partes meno
s lineal, a paiva de cualquidespués de dif
do importantpuede tener e una demostr
cial toma un verrar a P0 en u
mente en la rplicando la le
el campo en l
os en r = 0, ob
rtir del princer distribuciónferenciar bajo
te que se puun valor mínración inform
valor mínimouna esfera gauregión libre dy de Gauss a e
la superficie d
bteniéndose la
ipio de supern de cargas satel signo de in
uede mencionimo (o máxim
mal de esto, ut
local, ф0 en ussiana de un de carga y (iiesta esfera se
de la esfera. P
237
ecuación
rposición tisface esa ntegral en
nar de la mo) en el tilizando
el punto radio tan ) ф ≥ ф0 obtiene
(1)
Pero, por
(2)
238
25.9.
25.10
esto es, la dse pueden cse aproximrequiera. E
Pero
integral so
Encuéntre2a.
Tómeseproblema, (y, z), el p Por lo tant
El pote
anterior.
. Considére1 porta unse define
derivada del pconservar las
me, por medioEntonces,
(4) es impobre S debe se
ese el potenci
e la barra a lobasta con detotencial debi
to,
encial en el pu
se un sistemana carga +Q ycomo
POTENC
potencial en lacondiciones (
o de una difere
osible: ф ф0r positiva. Est
ial debido a u
o largo del ejterminar el podo al element
unto (x, y, z)
a de dos cuerpy el cuerpo 2
CIAL ELÉCT
a dirección ra(i) y (ii) y al mencia de coci
0 no puede serta contradicci
una barra del
e Z, como enotencial en unto de carga dq
) se obtiene re
pos conductoruna carga Q
TRICO
dial. Ahora bimismo tiempoentes, a cualq
r negativa en ción proporcion
gada y unifor
n la figura 25-n punto arbitrq = λ ds es
eemplazando
res (equipotenQ. Entonces,
ien, si es nece permitir que
quier grado de
ada punto de Sna el resultado
rmemente ca
-8. Por simetrrario del plano
y2 por x2 + y2
nciales) y sepla capacitan
[CAPITULO
esario disminula derivada ene precisión qu
S y, por lo tano deseado.
rgada de long
ría de rotacióno YZ. En el p
2 en la expres
arados; el cuecia del sistem
O 25
uir a, n (2) ue se
to, su
gitud
n del punto
sión
erpo ma
CAPÍTULO
esto entrecapacdos c
Seprodu
Alas ununa e
25.11. Una bpies/smism
25.12. (a) UpartícgramcasosResp
25.13. Refiénectaexter
25.14. Se pu
dondelectrque T
25.15. El canente
dond Respu
25.16. Un di
eje depuntoRespu
25]
es, la razón d los cuerpos.citancia depecascarones es
e sabe que (vucido por una
A partir de estenidades oficialeesfera aislada:
bala pesada (seg. ¿A travé
ma rapidez, su
Una carga de 3 cula α (+2e deos de masa) t
s anteriores en uestas: (a) 9
érase a la figua entre A y B yrno que el mo
uede mostrar q
de me es la marones por unidT = |s|.
ampo eléctricoes X
e A y ℓ son co
uesta:
isco circular tel disco el cao por el discouesta:
PO
de la magnitu En el SI la unde únicamenféricos y con
véase el probla carga puntua
e resultado sees del SI para l:
Proble(2 gramos de s de qué difeponiendo que
microcoulome carga) cae a tiene una rapelectrón-volts
936 TeV; (b)
ura 25-4. Un my se permite qtor realiza si
que el período
asa del electródad de volume
o E formado p
onstantes. Det
tiene una cargampo eléctrico.
OTENCIAL E
ud de la cargaunidad de capnte de la geo
ncéntricos que
lema 24.4) el al +Q localiz
observa que la permitividad
emas commasa) se disrencia de pot
e tiene una ca
bs cae a travétravés de unaidez de 0.304s. 2 MeV; (c)
motor eléctricoque de una bat
VAB = 50 V?
o T de oscilac
ón; e es la maen. Por medio
por cierta dist
termínese Ey.
ga superficialo depende ún
ELÉCTRICO
a entre la magpacitancia es emetría del sie se muestran
campo eléctrzada en el cen
ε0 se puede exd. Por ser r2 →
mplementapara con un rtencial tendríarga de 1 µC?
s de una diferea diferencia de48 km/s. Expr
1.16 x 1021 e
o (supóngase tería fluya unRespuesta: 5
ción de los ele
agnitud de la de un análisis
tribución de c
l σ(C/m2). Muicamente de σ
gnitud de la del farad (F), stema. Calcú
n en la figura
rico entre losntro del sistem
xpresar en F/m∞, se obtiene
arios
rifle de aire aa que caer esRespuesta: 2
encia de potene potencial derésese la ener
eV
que tiene 100na carga de 10500 kJ.
ectrones en un
carga eléctric dimensional
cargas es bidi
uéstrese que eσ y del ángul
diferencia dedonde 1 F = lese la capac25-9.
cascarones ema. Entonces,
m; y en efectocomo la capac
a una velocidta bala para a
2.09 MV
ncial de 50 vol 1 MV; (c) urgía de cada
0% de eficien04 C. ¿Cuál es
n plasma está
ca; y n es el nde unidades v
mensional, co
en cualquier po α subtendid
239
potencial 1 C/V. La itancia de
es igual al ,
o éstas son citancia de
dad de 150 adquirir la
lts; (b) una una bala (4 uno de los
cia) se co-s el trabajo
dado por
número de erifíquese
on compo-
punto del do en ese
240
25.17.
En el problepotencial deb Respuesta: U
donde r =
ema 25.9 supóbido a una caUtilizando la
= (y2 + z2)1/2.
POTENCI
óngase que λ =rga puntual qregla de L'Ho
IAL ELÉCTR
= q/2a y mués localizada en
ospital,
RICO
trese que por n el origen.
[
ser a → 0 se p
[CAPÍTULO
puede obtener
25
r el
26
se
Vdulatadi
doto
Eta
C6.1 CORR
La razón de define com
Véase la secciuctor) es un va corriente a tanto, la corrieirección del
onde dA = dSotal a través d
EJEMPLO 26.ante, (26.3)
CorrienteRIENTE Y D
del flujo de camo la corrien
ión 22.1. La dvector cuya dtravés de un áente a través flujo, está da
S cos θ es la de una superfi
.1 Si la carga da
e eléctrDENSIDAD D
arga eléctricate eléctrica I
densidad de cdirección es área unitariade un elemenada por (véas
proyección picie S (por eje
fluye uniform
rica, resDE CORRIE
a a través de uI a través de
corriente elécla del flujo d
a perpendiculnto de área dse la figura 2
dI = J · dS =
perpendiculaemplo la secci
memente en un
istenciaENTE
un área dada dicha área.
ctrica J en un
de la carga enlar a la direc
dS, orientado 26-1)
= J dA
ar de dS en laión transversa
n alambre de
Ca
a y pote
a (en el interioEntonces,
n punto (en e
n dicho puntoción del flujoarbitrariamen
a dirección dal de un cond
área A de sec
pítulo
encia
or de un cond
el interior de o y cuya mago en ese puntonte con respe
el flujo. La cductor) es, ent
cción transver
o 26
ductor)
(26.1)
un con-gnitud es o. Por lo ecto a la
(26.2)
corriente onces
sal cons-
242
comoJ. A pdensiárea,
26.2
Emductodel re
dondohm definel SI;
Ladada
en dosecció
La unE
Susti
comovecto
es vá
26.3
Enmada
En (2la temvalor
26.4 La
una belectcircu
o la relación epartir de estoidad de corrieo J de joules
LEY DE OH
mpíricamenteora, etcétera)esistor. Esta
e el factor de(Ω), se defi
nición de vol; véase la seca resistencia por
onde ρ, la resón 26.3). Las
nidad SI de lal campo eléctuyendo esto
o la expresiónorial
álida en cada
COEFICIEN
n muchos caamente por m
26.9), θ es la tmperatura de res típicos de
FUENTES Da diferencia dbatería o un gromotriz" de
uito abierto d
CORRIENT
entre la corri (o directameente son A/ms con / de den
HM; RESIST
e se ha obser es casi propo proporciona
e proporcionne por medi
lt que se utilicción 26.5.) de un condu
sistividad, es unidades de
a conductividctrico promedo, junto con (
n de la ley de
a punto del c
NTE DE LA
sos, la variacmedio de la sig
temperatura ela resistencia
e a y de p a t
DE ENERGÍAde potencial enerador mec la fuente, la
de una batería
TE ELÉCTRI
iente constanente a partir d
m2. (Se debe tensidad de co
TENCIA
rvado que la orcional a la alidad se exp
nalidad, R, seio de (26.5) izó en el cap
uctor de long
s una propiedρ son Ω m.
dad es el siemdio en el con(26.4) y (26.6
Ohm en térm
E = p J
onductor.
TEMPERAT
ción térmica guiente relaci
ρ
en °C (véase sa, tiene unidatemperatura
A ELÉCTRIentre las term
cánico) cuand cual se indica o generador
CA, RESIST
nte I en el alamde la definiciener cuidado rriente.)
corriente I ediferencia, v
presa por mev = IR
e denomina rcomo 1 Ω =
pítulo 25, 1 V
gitud L y áre
dad del mater
A menudo en
mens por metnductor que 6), en (26.5),
E = ρJminos de cant
o
TURA DE LA
de la resistenión lineal (aq
ρ = ρ0(l + αθ)
sección 17.1 pades de °C-1 o ambiente.
CAminales de cudo no proporcca como ve. Ar.
TENCIA Y PO
mbre y la denión de J) se opara no conf
en un "resistov, de potenciaedio de la ley
esistencia. L= l V/A. (Se
V = 1 J/C, no
ea A de secci
rial y dependn lugar de ρ s
tro (S/m). se ha menciose obtiene qu
tidades de "ca
J = σE
A RESISTEN
ncia o de la rquí escrita par
para la escalaK-1. En la tab
ualquier fuenciona corrienA ésta a menu
OTENCIA
nsidad de corbserva que lafundir A de a
or" (alambre al eléctrico eny de Ohm:
La unidad de e debe obser
o es la definic
ión transvers
de de su tempe especifica l
onado es E =ue
ampo". En ge
NCIA
resistividad sra la resistivid
a Celsius) y αbla 28-1 se me
nte de energíate, es una meudo se le den
[CAPITUL
rriente constas unidades d
amperes con A
largo, barra ntre los extre
(2la resistencirvar aquí qución primari
sal uniforme
(2
peratura (véasa conductivid
(26
= v/L, o v =
(2eneral, la rela
se obtiene aprdad):
(2
α, el coeficienencionan algu
a eléctrica (cedida de la "funomina voltaj
LO 26
ante de la A de
con-mos
26.5) a, el
ue la a en
está
26.6) se la
dad
6.7)
EL.
(26.8) ación
roxi-
26.9)
te de unos
como uerza je de
CA
reco
Ecu
26
reca
Eca
A
un
y el
E
APITULO 26
A una fuenesistencia entorriente I pas
l signo negatuando I tiene
6.5 POTEN
Como la poealizar un trabambio de la e
n particular,ambio de ene
partir de (26La potencia
na corriente I
la potencia alla es vab está
Esta última p
6] CORRI
te real de enetre las placassa a través d
tivo se utilizae la dirección
NCIA ELÉCT
otencia mecábajo (por camenergía eléct
si una cantidergía eléctric
6.12) (1 A)(la de salida deI está dada p
absorbida poá dada por (2
potencia se d
IENTE ELÉC
ergía eléctrics de una celdde la fuente,
a en (26.10) cn opuesta (ca
TRICA
ánica (secciónmpos eléctricos
tricaE con re
dad de cargaca es dE = (d
l V) = 1W oe una fuente dor (26.11) y
or una resiste26.11) y (26.5
isipa en form
CTRICA, RE
ca se le atribuda o la resiste
su voltaje te
vt = ve ± I
cuando la fuearga de una c
n 8.4), la pots sobre cuerpespecto al tie
a dq se muevedq)v, y por lo
1 l V = W/de energía que(26.10) como
P = Ivt = I(
ncia pura R c5) como
ma de calor.
ESISTENCIA
uye una resisencia de la arerminal, vt, e
Ir
ente proporciocelda de alma
tencia eléctricos cargados)
empo:
e a través deo tanto.
/A. Así se dee tiene un volo
(ve - Ir)
cuando la dif
A Y POTENC
tencia internrmadura de uestá dado por
ona corrienteacenamiento
ca se define co, de manera
una diferenc
efine realmenltaje terminal
ferencia de p
CIA
na, r; por ejemun generadorr
e y el signo p).
como el tiemequivalente,
cia de potenc
nte el volt enl vt y que prop
potencial a tra
243
mplo, la . Si una
(26.10)
ositivo
mpo para como el
cial v, el
(26.11)
n el SI. porciona
(26.12)
avés de
(26.13)
244
26.1
26.2.
26.3
. (a) Una cmedio, pbulbo de segundo el circuit
. Un alambque se enalambre?
(b) La pélorías
. Como se concéntrila barra resistividDespreci(a) la corpunto P e (a) Sup
CORRIEN
corriente estapasan a travé
radio de dos el filamento
to de la placa
bre largo de ancuentra cone? (b) ¿Cuántas
érdida de potes por minuto,
muestra en lica en el inter
y el cilinddad ρ. Una batiando las resirriente total Ientre la barra
poniendo un f
NTE ELÉCTR
Problacionaria de és de una sec
elementos (vy llegan a la
a?
acero conducectado a sus ts calorías se g
encia es P = (6
a figura 26-2rior de un casdro se encuetería que tienistencias de I; (b) la densia y el cilindro
flujo radial de
RICA, RESIS
lemas res5 A fluye en
cción transvevéase la figura placa. ¿Cuá
ce una corrienerminales indgeneran por m
6.32) (48.24)
2, una barra dscarón cilíndrentra relleno
ne un voltaje tla barra y deidad de corrio; (c) la resis
e carga entre
STENCIA Y P
sueltos
n un alambre.ersal del alara 25-5), 6 x l es la lectura
nte de. 6.32 Adica 48.25 V.minuto en él?
= 304.94 W =
e metal con rrico de radio ro de un materminal vt se el cilindro, obente J y el catencia R entr
la barra y el
POTENCIA
. ¿Cuántos elmbre por mi1014 electrona de un micro
A. Un voltím. (a) ¿Cuál es? (1 cal = 4.18
= 304.94 J/s. C
radio r1 está cr2 y longitud
aterial de alconecta com
bténganse laampo eléctricre la barra y e
cilindro, se ti
[CAPITU
lectrones, en inuto? (b) En
nes abandonanoamperímetr
metro muy pres la resistenci84 J.)
Convertida en
colocada de mL. El espaciolta resistenc
mo se muestras expresione
co E en cualqel cilindro.
iene que, en P
ULO 26
pro- n un n por o en
eciso a del
n ca-
manera o entre ia, de .
es de quier
P:
CAPITULO
(b) (c)
26.4. Un
1.64Iden
ResoA
Enton
La ta
26.5. En cla te
A(26. Ento
26.6. Contengalam
L
Por
ResoPero
26.7. Un ase codel a
26] COR
con J y E en
y por lo tanto
Resolviendo
A partir de (A partir de l
alambre de 424 Ω a 20 °Cntifíquese el m
olviendo estasA partir de Ro
nces,
abla 26-1 indi
cierto punto Pemperatura d
A partir de la .9),
onces
n una barra dga una resistembre. La densidad d
otro lado, en l
olviendo las do A = πd2/4, a
alambre de aonectan en palambre de c
RRIENTE EL
la dirección
o, observando
I,
(a), a ley de Ohm
metal de diC, y 2.415 Ωmetal.
s relaciones si= ρ0L/A,
ica que el me
P de una placde la placa e
tabla 26-1, ρ
de cobre que encia de 250
del cobre es 8
la tabla 26-1 se
dos ecuacionesa partir de lo c
acero, de longaralelo a una
cobre es de 1
LÉCTRICA, R
de r. Entonce
o la polaridad
m,
ámetro 2 mmΩ a 150 °C. E
imultáneamen
tal es cobre.
ca de cobre as de 50 °C. C
ρ20 ºc = 1.72 x
tiene una m0 Ω a 20 °C.
.9 X 103 kg/m(8.9 X
e menciona qu
s anteriores sicual d = 0.37
gitud 2000 ma fuente que t
mm; la temp
RESISTENC
es, por defini
de vt,
m y longi tuEncuéntrense
nte, α = 3.9 x
a través de laCalcúlese la
x 10-8 Ω · m y
masa de 1.5 kDetermínese
m3 y, por lo tanX 103)LA=1.5ue para R20 ºc:
multáneamenmm.
m, y un alambtiene un voltaperatura de lo
IA Y POTEN
ción de poten
d 300 m t iee los valores
10-3 ºC-1 y R
cual fluye cmagnitud de
y α = 3.9 X 10
kg se quiere he la longitud
nto, 5
nte, L = 1.565 k
bre de cobreaje terminal dos alambres
NCIA
ncial,
ne una resisde α , R0, ρ0
0 = 1.5236 Ω
orriente, J =e E en P.
0-3 ºC-1. A
hacer un alam L y el diám
km y A = 0.10
, de longitudde 200 V. Eles de 100 °C
245
stencia de y ρ20ºc
.
5 MA/m2;
plicando
mbre que etro d del
077 mm2.
d 3000 m, diámetro
C. Si con-
246
26.8.
26.9.
C
ducen la miintensidad d
Como se10-8 Q m p Entonces
Como se su
a partir de lo
Estos valore
Una barra dde cobre qubarra de camente con
La resis
Ésta será in
En la figurainterna r = (a) I; (b) va
(d) la pote
CORRIENTE
isma corrientdel campo el
e vio en el probpara el acero.
upone que la c
o cual el diám
es también se
de carbón, deue tiene una
arbón a 0 °C pla temperatu
tencia total, e
dependiente d
a 26-3, la bat0.5 Ω; para e
ab, la "caída dncia absorbi
E ELÉCTRIC
te, encuéntreéctrico en ca
blema 26.4, ρ0 Por lo tanto,
corriente es la
metro del alamb
obtienen a pa
e longitud 5 resistencia Rpara que la rura?
en función de
de θ si
tería tiene unel resistor, R de voltaje" a ida por R; (e
CA, RESISTE
nse la corrienada uno.
= 1.596 X 10-8
a 100 °C,
a misma en ca
bre de acero e
artir de E = ρI
m, se encuenR1 = 10 Ω a 0resistencia de
e la temperatu
na fuerza elec= 19.5 Ω. Cotravés de R;
e) el calor ge
ENCIA Y PO
nte, el diáme
Ω m para el
ada alambre,
s d = 2.034 m
I/A.
ntra conectad0 °C. ¿Cuál se la combinac
ura θ, está dad
ctromotriz ve
on el interrup (c) la "pérdienerado en R
OTENCIA
etro del alamb
cobre. Igualm
mm. Los campo
da en serie cserá la resistción no camb
da por
e = 100 V y uptor S cerradoida de voltajeR y en la bat
[CAPITUL
bre de acero
mente, ρ0 = 9
os eléctricos s
on un alambencia R2 de lbie apreciabl
una resistencio, encuéntrene" en la batertería.
O 26
y la
9.06 X
on
re la le-
ia nse ría;
C
26
26
CAPITULO 2
Obm
6.10. En el cde la bR2 = 1potenc
(a) La
y an
(b) Co
y
6.11. En el cde la b8 Ω, R(b) la p
(a) Da
o
(b) Co
6] CORR
bsérvese que mente la resisten
circuito en pbatería es ve =0 Ω, R3 = 20
cia suministra
a resistencia e
Rtot = 2.8571 ntiguo "mho".
omo en el pro
por lo tanto
circuito en sebatería es ve =
R2 = 15 Ω, R3 potencia sum
ado que I1 = I
omo en el pro
RIENTE ELÉC
el calor total ncia interna r.
aralelo simpl= 80 V; la res0 Ω. Encuéntrada por la ba
equivalente de
Ω. La unidad
oblema 26.9(a
erie simple qu= 200 V; la r= 20 Ω. Enc
ministrada al
I2 = I3 = Itot, l
oblema 26.10(
CTRICA, RE
es PR + Pr =
le representasistencia interrense (a) Rtot,atería al circu
be tomar en c
SI de la resist
a),
ue se represeresistencia inuéntrense (a)circuito en s
la pérdida de
(b),
ESISTENCIA
I[I(R + r) ] =
ado en la figurna es r = 0.4 la resistencia
uito en parale
uenta la pérdi
tencia recípro
nta en la figunterna es r = ) Rtot, la resisserie por la b
potencia está
A Y POTENC
= Ive; esta rela
ura 26-4, la f4 Ω; las resista equivalente
elo.
ida de potenci
oca es el sieme
ura 26-5, la fu0.6 Ω; las re
stencia equivaatería.
á dada por
CIA
ación define e
fuerza electrotencias son R a R1, R2, y R
ia real; por lo
ens (S), y reem
fuerza electroesistencias soalente a R1, R
247
fectiva-
omotriz R1 = 5 Ω; R3; (b) la
tanto,
mplaza al
omotriz on R1 = R2 y R3;
248
26.12.
26.13.
2644,
En la figuR2 = 30 Ωvtot = 250 Vparalelo; (bsuministra
(a) A part
(b) A part
¡
Cierto alama 40 °C y d
, En el circuEncuéntres
Respuestas
CORRIENT
ura 26-6 se mΩ, R3 = 20 Ω
V. Encuéntreb) la resistencada por la fue
tir del resulta
tir del resultad
Pmbre, de diámde 83.6 Ω a 10
uito de la figuse la potencias: (a) 864 W;
TE ELÉCTRI
muestra un c, R4 = 25 Ω,
ense: (a) R23 ycia total Rtot mente.
ado del proble
do del proble
roblemasmetro uniform
0 °C. ¿De qué
ura 26-7, vt = suministrada (b) 740 W
ICA, RESIST
ircuito en pa R5 = 35 Ω, y R456, las re
medida entre A
ema 26.10(a)
ma 26.11 (a),
s compleme 2 mm y loné metal es el a
216 V y, a 0 °a por la batería
TENCIA Y PO
aralelo y en Re = 40 Ω;
esistencias eqA y B; (c) la c
,
,
mentariosgitud 2.5 km,alambre? Resp
°C, Rc = 30 Ωa (a) a 0 °C,
OTENCIA
serie para e; el voltaje uivalentes deorriente total
s
, tiene una respuesta: hierro
Ω, RCu = 40 Ω, , (b) a 100 °
[CAPITUL
l cual R1 = total aplica
e los dos grupItot; (d) la pot
sistencia de 9o
y RFe = 60 ΩC.
LO 26
10 Ω,
ado es pos en tencia
96 Ω
.
CCAPITULO
26.15. Muésde un
26.16. Hága
26.17. RefiécorrieRespu
26.18. En la(a) Respu
26.19. Con rDeterpotenMuésRespu
26.20. Mués
26] CORR
strese que en conductor en
se un análisis
rase a la figurente I, (b) uestas: (a) 15
a figura 26-4, la fuerza elecuestas: (a) 13
referencia a la rmínense (a) ncia suministrastrese que las uestas: (a) 6 A
(h) 240
trese que
RIENTE ELÉ
el calor genern el cual fluye
s dimensional
ra 26-3 y sean la fuerza ele
5 A; (b) 172.5sean I1 = 10 Actromotriz de32.5 V; (b)
Fig. 26-8, ve1 =I, (b) vab, (c)ada por la primrespuestas a
A; (b) 150.4 V0 W
ÉCTRICA, R
rado por segune corriente es
de unidades,
R = 10 Ω, vabctromotriz de5 V; (c) 22.5 A, R2 = 12.5 Ωe la batería, (b9.6 A; (c) 5
= 160 V, ve2 =) vbc, (d) vdg, mera batería, (f), (g) y (h)
V; (c) 48.4 V
RESISTENCI
ndo y por mestá dado por ρ
sobre los resu
= 150 V, y re la batería, (
V Ω, r = 0.5 Ω, b) I2, (c) I3, (5.4 A; (d) 2
= 40 V; R1 = 9(e) vbf, (f) la(h) la potencison consisten
V; (d) 102 V
IA Y POTEN
tro cubico enρJ2 (W/m3).
ultados del pr
r = 1.5 Ω. (c) la caída de
v1 = 120 V, I(d) R3, (e) R2.222 Ω; (e)
9 Ω, R2 = 8 Ω;a potencia coia absorbida pntes.
V; (e) 96.4 V;
Véase Pro
NCIA
cualquier pu
roblema 26.3.
Determínensee voltaje en la
Itot = 25 A. DeRtot, (f) R1.
e) 4.8 Ω; (f)
; r1 = 1.6 Ω, nvertida a ca
por la segunda
(f) 720 W;
oblema 26.3.
249
nto dentro
e (a) la a batería.
etermínese
12 Ω
r2 = 1.4 Ω. alor, (g) la a batería.
(g) 960 W;
ConsidéreDados los vavalores de la
27.1 PASOS
Sobre un dirección dedesconocida por medio d
Se indicaque apunte dportadores dexisten fuerzindican con
Se marcaa éstas como
Como undados de vo
27.2 LEY D
La suma en la Fig. 27
En (27.1) un
27.3 LEY D
La suma (lazo) es igu
donde IR dentravés de unrecorre contiflecha de vopositiva si la
Leyes d
ese una red calores de un cias cantidades
S PRELIMIN
diagrama dee las corrienty se indica co
de una flechaa la direcciónde la terminade la carga pzas electromouna flecha dn las resisten
o r1, r2... (vn punto de imltaje, corrien
DE KIRCHH
algebraica d7-5) es cero. E
na corriente q
DE KIRCHH
algebraica deual a la suma
nota la corriena fuente (batnuamente en
oltaje apunta a flecha de la
de kirch
compuesta deierto número s restantes se
NARES
e la red cuidates dadas. Aon una flecha.
n de cada fueal a la +. (Epositiva se motrices desco
de voltaje. ncias R1, R2,..véase la Fig. mportancia pnte y resisten
OFF PARA C
de todas las cEsto es, en c
que sale del
HOFF PARA
e todas las fualgebraica d
nte en la resitería o generauna y otra diren la direcci
a corriente de
hhoff de
e resistenciasde fuerzas el pueden enco
adosamente dArbitrariamena. Toda corrie
erza electromEsto indica lamoverán bajoonocidas, se a
., y si las fue27-2).
práctica, se dncia en los di
CORRIENTE
corrientes en ualquier nod
nodo se con
A CIRCUIT
uerzas electrode las caídas
istencia R coador) que tierección. Una fón del recorr
e IR o Ir apunt
e circuit
s y fuentes (bectromotricesontrar aplican
dibujado, se ite se escoge
ente, conocida
motriz conocida dirección eo la influencasigna una d
entes tienen u
debe decir quiagramas.
ES
cualquier nodo,
sidera negati
TOS CERRAD
omotrices en de voltaje (l
rrespondientene una resistfuerza electrorido; una caídta en la direc
C
tos resis
baterías) coms ve, corrientendo las leyes
ndica con fle una direccia o desconoci
da con una flen el circuitocia de la fueirección arbi
una resistenci
ue es útil esc
odo (como, p
iva.
DOS (LAZO
torno de cuaa RI y la rI)
e, e Ir denotatencia internaomotriz ve se tda de voltajeción del reco
Capítu
stivos
mo la de la fies I, y resistens de Kirchhoff
echas de líneaón para cadaida, se debe r
lecha delgadao externo en lerza electromitraria a cad
ia interna, se
cribir todos l
por ejemplo,
OS)
alquier circuien torno del
a la corriente a r. En (27.2)toma como poe RIR o rIr se torrido.
lo 27
igura 27-5. ncias R, los ff.
a gruesa la a corriente representar
a o abierta la cual los
motriz.) Si a una y se
representa
os valores
a, b, c, g,
(27.1)
to cerrado lazo:
que pasa a
) el lazo se ositiva si su toma como
252
UnP1 y P
dondela red.anterioP2.
27.4
Si se nec(27.1) el conjsí y dedos raúnicam
Enmándocontenel diagfinitasindepe
27.1.
na extensión m2 cualesquie
las sumatori Se aplican laormente. Si v
APLICACI
la red contienesita seleccioy ecuacionesjunto de todoe cualquier eamas se encumente aquell cuanto a laolos uno pornido en ningugrama de la rs, dentro de endientes; se
Refiéracorrientes
Ecuacio
[Se puede
LEYE
muy útil de (2ra en la red e
ias se toman as mismas reg12 es positiva
IÓN DE LAS
ne n cantidadonar n ecuacios de los lazos os los nodos,ecuación de uentran, es dos puntos do
as ecuaciones uno, de tal m
una de las ecured se dibujalas que el escriben tant
se a la Fig. 2que se obser
ones de los no
escribir otra
ES DE KIRCH
27.2) es la sigestá dada po
a lo largo de glas para los
a, esto signific
S DOS LEYE
des desconocones independ(27.2). Obsér da lugar a eclos lazos. Co
de esperar quonde se encues de los lazomanera que cuaciones preva en un planodiagrama ditas como sea
Proble27-1 y encuénrvan en la fig
odos. En el n
a ecuación en
HHOFF PAR
guiente: la difor
cualquier trasignos algebrca que P1 se e
ES
idas (resistendientes entre rvese que cuacuaciones deomo (27.1) eue el escribientran tres o os, se puede cada nueva ecvias. Se puedeo (el caso usuivide el plana necesario.
emas resuntrense las cgura son arb
nodo a, I1 I2 I
n d, pero ésta
RA CIRCUITO
ferencia de po
ayectoria conraicos de ve, Rencuentra en
ncias, corrientodas las pos
alquier conjun los nodos, qes evidente pir las ecuaciomás ramas.observar un
cuación conte seguir un prual). Entoncno, dan luga
ueltos
corrientes I1,itrarias.
I3 = 0
a es la negativ
OS
otencial, v12, e
ntinua y dirigiRIR, y rIr que un potencial
ntes, fuerzas eibles ecuacionto distinto deque son indeppara un nodoones se cons
n conjunto intenga un térmrocedimiento ces, las frontar a las ecua
I2, I3. Las di
va de (1)].
[CAPITULO
entre dos pun
ida de P1 a P2se mencionapositivo relat
electromotricones de los noe nodos, exce
pendientes eno en el cual ssideren "nod
ndependiente mino que no e
sencillo cuaneras de las áraciones de l
irecciones de
O 27
ntos
2 en
aron tivo
es), odos epto ntre sólo dos"
to-esté ndo reas lazo
e las
(1)
C
2
2
CAPITULO 2
Ecuac
y reco
(Se supropo
Ahindep
Obsérescog
27.2. RefiéΩ, R3
SeProce
AqFiA
esto etienea
27.3. En lalos pu
27]
ciones de los
orriendo afecta
upone que lasorciona una ehora se pued
pendientes (1)
rvese que cadgieron arbitra
érase de nuev3 = 4 Ω, R4 =
e pueden dejaediendo como
quí el signo nig. 27-1.
Aplicando la r
es, el punto eal recorrer la
a figura 27-2 untos p1 y p2
LEYES DE K
lazos. Recor
a,
s baterías no ecuación indeen resolver s), (2), (3), par
I1 = 6.053
da valor de I riamente, y q
vo a la Fig. 2= 6 Ω. Encuén
ar las flechas o en el proble
negativo indi
elación (27.
e se encuentratrayectoria e
encuéntrens2.
KIRCHHOFF
rriendo el lazo
100 = 4
60= 12
tienen resisteependiente, siimultáneamenra I1, I2, I3,
3 A I2 =
es positivo,que se indican
27-1, y ahorantrense R1, I3
que indican lma 27.1, se o
ica que la dir
.3) a lo largo
vef = (-6)(1
a a 8 volts poedcbaf o edaf.
e todas las co
F PARA CIR
o adcba de la
I3 + 6 I1 +10 I
2 I2 + 4(-I3)
encia interna.ino la suma dnte (aplicandde lo cual se
= 5.263 A I por lo, que s
n en la Fig. 27
a sean v1 = 13, v2, y el vol
las direccionobtiene la ecu
ección de I3 e
de la rama d
12)-(-80) = 8
or encima delf.
orrientes y la
RCUITOS
red plana, se
I1
.) Obsérvese de (2) y (3do métodos uobtiene
I3 = 0.7895 A
son correctas7-1.
00 V, I1 = 4 ltaje vef entre
nes de las coruación para el
es opuesta a
dirigida de e a
V
l punto f. El m
a diferencia d
e obtiene
que el lazo af). suales) las e
las direccion
A, I2 = 6 A, e los puntos e
rrientes que sl nodo
la que se señ
a f,
mismo resulta
de potencial,
253
(2)
(3)
afedcba no
ecuaciones
nes que se
R2 = 12 e y f.
se indican.
ñala en la
ado se ob-
v12, entre
254
27.4.
27.5.
Las fuerde las corri
La ecuació
y para el la
Al resolver
Aplicando
Entonces, p
Encuéntres27.3 y com
La pote
La potencia
Y por conse
La red queexcepto poen la red, ron en el pC1 = 10 µF
LEYE
rzas electromientes indican
n para el lazo
azo adefa, v2
r ( 1 ) , (2),
(27.3) a lo la
p1 es un poten
se la potencimpárese con l
ncia total sum
a absorbida po
ervación de la
e se muestraor los dos capno les llega
problema 27.F y C2 = 15 µ
ES DE KIRCH
motrices tienenn las direccion
o abcda es
120 - 80
2 + v3 =
(3), se obtie
I1 = 4.590 A
rgo de la tray
vl2 = (0.5)(4.59
ncial negativo
a total suminla potencia t
ministrada es
or las resisten
a energía, Pl =
a en la f igurapacitores C1 y
corriente. E1, y C1 y C2
F, encuéntre
HHOFF PAR
n las direccionnes supuestas
0 = 20I1 + 0.5 I
ne
I2 = 3.513
yectoria p1cdp
90)+ (15)(-3.51
relativo a p2.
nistrada por lotal transfor
ncias es
= P2.
a 27-3 es exy C2. Poco dentonces, I1, Itienen carga
ense q1 y q2.
RA CIRCUIT
nes que se mus de las I. La
I1 - 15 I2 - 0.4 I2
A I3 = 8
p2,
3)- 120 = -170.
.
las fuentes (lrmada en calo
actamente igespués de queI2, I3 tienen ls constantes
OS
uestran en la fiecuación del
2
8.103 A
.4 V
las baterías) or en todas l
gual a la de e los capacitoos valores qq1 y q2, resp
[CAPITULO
igura y las flenodo o es
en el problemas resistenci
la f igura 27ores se conectue se encontectivamente.
O 27
echas
(2)
(3)
ma as.
7-1, tan tra- Si
CCAPITULO 2
A
(El sq1 = (
27.6. En la
niendlas co
Splo,
Al el
Sust
27]
partir de (2
signo negativo(10) (39.47) =
red de la figdo que las diorrientes, vol
Se necesitan sea, e, y g) se
legir las tres
tituyendo los d
LEYES DE K
5.9), problem
o sólo significa394.7 µC. Igu
gura 27-4, larecciones deltajes y resist
eis ecuacionese obtiene
trayectorias
datos y resolvi
KIRCHHOFF
ma 25.10, q1 =
a que el puntoualmente,
as baterías tie los voltajes tencias que n
s independien
elementales a
iendo las ecua
F PARA CIR
= C1|vca|, q2 =
o c es negativo
enen resisteny corrientes
no se especifi
ntes. Eligiendo
aedeba, aehgfa
aciones (1)
CUITOS
= C2 |vck|. Aho
o en relación c
ncias internasson las que
ican.
o tres de los cu
a, y jcbafgif,
a (6), se ob
ora bien, por
on (a). Por lo
s despreciablse indican, c
uatro nodos
se tiene
btiene:
255
(27.3),
tanto,
es. Supo-calcúlense
(por ejem-
256
27.7.
27.8.
27.9.
27.10.
Refiérase a entre los pucapacitor deRespuestas:
¿Cuál es el Kirchhoff p
En la FiR4 = 8 Ω, Calcúlense lRespuesta:
En la Fig. 2V, v7 = -35 DetermínenRespuesta:
LEYE
Prla Fig. 27-4. untos b y h?e 25 µF conec
número máxpara la red de
g. 27-5, seaR6 = 4 Ω, las cantidades
27-5, sean v1V; R1 = 10 Ω
nse las corrien
ES DE KIRCH
roblemas (a) ¿Qué le (b) ¿Cuántctado entre lo
ximo de ecuacla Fig. 27-5?
an I1 = 5 A, R7 = 3 Ω; restantes.
= 100 V, vΩ, R2 = 8 Ω, Rntes y la difer
HHOFF PAR
complemectura realizarta energía se s puntos b y h
ciones indepe Respuesta: 3
I4 = 8 A, v1 = 100 V, v
v2 = 60 V, v3R3 = 6 Ω, R4
rencia de pote
RA CIRCUITO
mentariosrá un voltímetalmacenará e
h? (Sugeren
endientes deri3 de nodos y 3
I5 = -7 A; Rv2 = 20 V, v3 =
3 = 40 V, v4= 9 Ω, R5 =
encial entre lo
OS
s
tro de alta resien (el campo
ncia: dE = q
ivables a part3 de lazos
R1 = 10 Ω, R2= 40 V, v5= -3
= 80 V, v5 =4 Ω, R6 = 5 Ω
os puntos e y
[CAPITULO
istencia coneco eléctrico de dv = Cv dv).
tir de las leye
2 = 6 Ω, R3 = 30 V, v7 = 70
= -70 V, v6 =Ω, R7 = 2 Ω.a.
O 27
ctado e) un
es de
7 Ω , 0 V.
120
r
Fuer
28.1 EL CA
Se dice qprueba, que un sistema ininducción mavelocidad de
o F = quB smiden en el mde tesla con
A partir d
fuerza eléctridecir, la direca la velocidaexista una fucentral. A peeléctrico. Uncampo eléctrrelatividad eselectromagn
Cuando efuerza sobre
Esta relación
28.2 FUERZ
Considérecomente I endeduce direc
Aquí el vectpositiva (corrlongitud ds. como un tod
rzas ma
AMPO MAGN
que una regióse mueve en
nercial. Esta fuagnética o dee la carga, la
sen θ, donde mismo sistemel símbolo d
de (28.1) se pica qE: (i) encción de B), enad de la cargaunción escalaesar de tales n campo magrico que camstablece que ético, la "carn una región una carga de
n se conoce c
ZA SOBRE U
ese un alambn un campo mctamente que
tor ds tiene mriente convenSin embargo
do (una fuerz
agnética
NÉTICO
ón del espacella, experim
fuerza se puedensidad de flufuerza está d
θ es el ánguma inercial. Lel SI para la
puede observ cada punto dn que la fuerz
a en movimiear de potencidiferencias e
gnético surge mbia), como s
los campos era" que el obse encuentrane prueba es l
como ecuació
UN ALAMBR
bre de formamagnético Be un element
magnitud ds yncional). En ro, por colisionza que, más a
as sobre
io .está ocupmenta una fuede describir enujo magnéticdada por
ulo pequeño La unidad demultiplicació
var que la fudel campo maza magnética ento y, por lo al para la fue
existe una proa partir del m
se estudia en eléctricos y mservador ve n presentes ula suma vecto
ón de Lorentz
RE QUE TRA
a arbitraria, cB que puede v
o de longitud
y se encuentrrealidad, (28.4nes esta fuerzaún, es capaz
e cargas
pada por un erza en virtun términos deco; o simplem
entre los vee B o B es el ón por 1021.)
uerza magnétiagnético exises cero, (ii) Latanto, no reaerza, y la fueofunda conexmovimiento el capítulo 2
magnéticos sodepende de sn campo magorial de las fu
z.
ANSPORTA
como ab en variar de un pd ds experim
ra en la direc4) da la fuerzaza se transforz de realizar
Ca
s en mo
campo magnd de su movi un vector de
mente, campo
ctores u y Btesla (T). (NPor (28.1),
ica difiere sigte una direcca fuerza magn
aliza trabajo aerza no es coxión entre losde las cargas
29. Además, on dos aspecsu sistema degnético B y unfuerzas eléctr
CORRIENT
la figura 28-punto a otro
menta una fue
cción del mova sobre los porma en una futrabajo sobre
apítulo
ovimien
nético si unamiento con rcampo B, den
o magnético.
. Los tres veo se debe con
gnificativameción de movimnética es perpalguno; de aqonservativa ys campos mas (o sea, a pala teoría espe
ctos de un soe coordenadasn campo elécricas y magné
TE
-1, que trans. A partir de
erza dF dada
vimiento de ortadores de cuerza sobre ee el alambre)
o 28
nto
a carga de respecto a nominado Si u es la
(28.1) ectores se nfundir T
(28.2)
ente de la miento (es endicular
quí que no y tampoco agnético y artir de un ecial de la
olo campo s. trico E, la éticas:
(28.3)
porta una (28.1) se
a por
(28.4) una carga
carga en la el alambre ).
258
Lade un
o F =
EJEMconsteB unifplano
a fuerza netan alambre de
= ILB sen θ; e
MPLO 28.1 (Toe de n vueltas, forme que (en como el plan
FUE
a sobre el alaelgado de lon
en forma de
orca sobre unportando cada
n ese momentono XY (Fig. 2
ERZAS MAGN
mbre ab se ongitud L en u
componentes
a bobina plana una de ellas uo) forma un á
28-2).
NÉTICAS SO
obtiene integun campo un
F = I(L x B)
s,
na). Considéreuna corriente I.ngulo θ con la
OBRE CARGA
grando (28.4)niforme B, la
)
ese una bobina. La bobina se a normal al pl
AS
) de a a b. Ena integración
a plana de forlocaliza en un lano de la bob
[CAPITULO
n el caso espen da
(2
ma arbitraría,campo magné
bina. Se elige
O 28
ecial
(28.5)
, que ético este
C
p
Csuec
U
Cd
P
P
llpi
o
2
fe
y
O
N
CAPITULO 28
Se calcularproducto cruz
Cuando esto seus valores ori
una fuerza netel problema 10calcular la torc
Utilizando la e
Cuando se intdy = d(y2/2) se
Pero se sabe q
Por lo tanto, fi
Obsérvese a bobina lo haa dirección da
pulgar extendindependiente
o τ = nIAB se
28.3 FLUJ
Del mismoflujo magnéticelemento de
y a través de
Obsérvese qu
No es raro qu
8]
rá la fuerza netz (véase la sec
e integra en toiginales (recuéta. Experimen0.6 se puede eca. Se tiene
expresión ante
tegra esto en e convierten e
que el área de
inalmente,
que la torca nace perpendicada por la regido apuntará ede cualquier
en θ, donde θ
O MAGNÉT
o modo que seco ф se asociárea dS se d
una superfic
ue la unidad
ue B (la "den
FUERZAS M
ta sobre la bobcción 1.5), se
orno del perímérdese que Bx,
nta, sin embargelegir cualquie
erior para dF,
torno al períen cero, dado
la bobina est
o tiene compocular a B. Si sgla de la manoen la direcciósistema partic
es el ángulo
ICO
e asocia un fluia al campo m
define así
cie S cerrada
d SI del flujo
nsidad de flu
MAGNÉTICA
bina en esta ore tiene que a p
metro de la bob, By, Bz son cogo, un par de er punto que c
esto se transf
ímetro de la b que x2/2 y y2
tá dada por
onente Z, por le representa p
o derecha (conn de A); ento
cular de coord
formado por
ujo eléctrico ψmagnético B.
a o abierta,
o magnético
ujo magnético
S SOBRE CA
rientación. Utipartir de (28.4
bina, el resultaonstantes). Pofuerzas y, porconvenga (el o
forma en
bobina, todos2/2 vuelven a
lo que tiende apor A a un vecn los dedos cu
onces (28.6) sedenadas:
A y B.
ψ al campo eléPor lo tanto,
es el weber
o") sea dado
ARGAS
lizando la form4):
ado es cero, dar lo tanto, la br lo tanto, unaorigen, por eje
s los términotomar sus val
a hacer girar actor de área qurvados en la e puede poner
éctrico E (véa, el flujo mag
(W), donde
en Wb/m2.
ma de determi
ado que x y y rbobina no exp
a torca resultanemplo) en torn
os en xdx = d(lores original
la bobina y alue tenga magdirección de Ir en una form
ase la sección gnético a trav
259
inante del
retornan a perimenta nte τ. Por no al cual
(x2/2) o y es.
(28.6)
l plano de nitud A y I, el dedo
ma que sea
(28.7)
24.1), un vés de un
(28.8)
(28.9)
(28.10)
260
EJEM
dondeahora'
que e
Secomode Ga
lo cuamagn
28.1.
MPLO 28.2.
e ф0 es el fluj''escribir como
s la ecuación
e pueden inteo en el caso eauss se trans
al significa qnéticas", sino
En la figuresfera quemagnético(b) Dados B(c) En lo am/s. (La caB = 0.1 T,
FUE
El flujo a t
o en θ = 0, lao
básica para l
erpretar (28.8léctrico. Sin forma en
que las líneas que se cierra
ra 28-3 la ca tiene una m uniforme, (B = 0.5 T, q =nterior reemp
arga y la masaencuéntrens
RZAS MAGN
través de la bo
a posición de
a maquinaria
8) o (28.9) eembargo, se
s de fuerza man sobre sí m
Problearga q se encasa de 5 gram(a) Dados q = 40 µC, y u =plácese la esa del electróne F y la acele
NÉTICAS SO
obina de la fig
equilibrio de
eléctrica.
en términos d puede mostr
magnéticas nomismas.
emas resucuentra unifomos. La esfer= 3 µC, u =
= 60 km/s, encfera por un e
n son e = 1eración.
OBRE CARGA
gura 28-2 es
la bobina. La
de "líneas derar que para l
o terminan en
ueltos
ormemente dira se mueve n= 4 km/s, y cuéntrese F y lectrón que t.602 x 10-19 C
AS
a ecuación de
e fuerza" o "los campos m
n alguna espe
istribuida sonormalmenteF = 2.4 mNla aceleracióiene una veloC y m = 9.11
[CAPITULO
la torca se pu
líneas de flumagnéticos la
(28ecie de "carg
bre una peque hacia un ca, encuéntresn, a, de la esf
ocidad u =5 X1 X 1031 kg.) P
O 28
uede
ujo", a ley
8.11) gas
ueña mpo e B. fera, X 106 Para
CAPITULO
28.2. En lapor sα1 = F; (b
28.3. En laplaca
28]
a figura 28-4sus cosenos d0.3, α2 = 0.4,
b) la magnitu
a figura 28-5a P1 por medi
FUERZAS M
4, sean q = 4directores β1 , α3 = 0.866. Eud y la direcc
5, los electronio de un volta
MAGNÉTICA
40 µC, u = 5= 0.5, β2 = 0Encuéntrenseción de F; (c
nes que salenaje v1. Alguno
AS SOBRE C
km/s y B =0.6, β3 = 0.62e (a) Fx, Fy, Fc) el ángulo
n del filamenos de, ellos pa
CARGAS
2 T. La dir245; los cosenFz, las componθ.
nto caliente fasan a través
ección de B nos directorenentes rectan
f se aceleran de una peque
261
está dada es de u son ngulares de
hacia la eña ren-
262
28.4.
dija S1 y sepasan a travpor v1 − v2radio R.
Los electrdebido al cv1 − v2 y Bv1 = 600 V, mT, qué va
(a) Dado qutenía en
El valo Por lo separado
(b) A partiiguales)
(a) Un protópotencial deB = 0.6 T. C
FUER
desaceleran vés de la rendij. Una serie d
rones que emecual se desv
B éstos pasarv2 = 200 V, R
alor tiene R?
ue la fuerza mn S2, que por c
or de B debe s
tanto, B =o.
ir de (28.13),); esto da R =
ón (q = +e,e 200 kV desCalcúlese R. (
RZAS MAGN
de P1 a la plaja S2 al espaci
de rendijas de
ergen de S2 enían en una trán a través R = 100 mm,?
magnética no rconservación
ser tal que la f
= 0.6744 mT
R = mu/eB y168 mm.
m= 1.673 =scribe una tra(b) Un átomo
NÉTICAS SOB
ca P2 por medio por encima eflectoras me
ntran a un camrayectoria cde todas la
, encuéntrese
realiza trabajon de la energía
fuerza magné
. Obsérvese
y para B = 4
= 10-17 kg) ayectoria cir
o de He doble
BRE CARGA
dio del voltajede P2, con unaetálicas b1, b
mpo magnéticoircular. Cons rendijas y el valor nece
o, un electra, está dada po
ética constituy
e que B depe
4x 10- 4 T (la
que cae a trcular en un cmente ioniza
AS
e v2. Algunosa energía cinét2 etc., define
o uniforme B n los valores
llegarán a Pesario de B. (b
rón conserva or
ya la fuerza c
ende de e/m,
as otras canti
ravés de unacampo magn
ado (una partí
[CAPITULO
s de estos últimtica determin
en un círculo
normal al pap apropiados P3. (a) Cuanb) ¿Con B =
la velocidad q
centrípeta nec
y no de e y
idades perma
a diferencia ético uniformcula α: q = 2
O 28
mos nada o de
pel, de
ndo 0.4
que
cesaria:
m por
anecen
de me, e,
2
2
CAPITULO 2
m = 6similCalcú
(a) A
(b) L
28.5. Un cafiguraformecuentrdad in
Si d =E
que es
28.6. Una cde los Encué
28]
6.65 X 10-27 klar al de la figúlese B.
A partir de (28
La velocidad d
apacitor se coa 28-6. En el e y también uran en la direnstantánea
= 40 mm, v =En este caso,
s una fuerza e
carga q = 40 s campos uni
éntrense la m
FUERZAS M
kg), que cae a gura 28-5, des
8.12), la Rapid
del núcleo de h
oloca entre lespacio entr
un campo magección de Z.
= 2000 V, y B
en el plano X
µC se mueveformes
agnitud y la
MAGNÉTICA
través de unascribe una tray
dez del protón
helio es u = 3
los polos de e las placas dgnético B unUna pequeña
B = 1.5 kT, ¿
XZ.
e con veloci
dirección de
AS SOBRE C
a diferencia dyectoria circu
n es 6.189 x 10
.104 x 106 m/s
un imán muydel capacitoriforme; los d
a esfera, de c
¿cuál es la fu
idad instantá
la fuerza ins
CARGAS
de potencial dular con radio
06 m/s. Entonc
s, y aplicando
y grande, comr existe un cados campos sarga q = 3 µ
erza instantá
ánea u = (5 X
stantánea sob
de 100 kV en de 250 mm.
ces, a partir de
(28.13), B = 0
mo se muestampo eléctricon paralelos C, tiene una
ánea sobre la
X 104)j m/s
bre q.
263
un aparato
e (28.13),
0.258 T.
tra en la o E uni- y se en- veloci-
esfera?
a través
264
28.7.
28.8.
A partir de
Medido en 0.3 T paraldirectores
porta una cneta sobre
Escríbas
Por lo tanto
En la figurCerca de sude las orillse localizaun ángulo θI . Para el rθa = 30°, θb
La long
FUER
esto, Ftot = (2
un sistema dlelo al eje Z.
corriente consel alambre.
e B = 0.3k
F = 50[(
, F = (2.12 + 1
ra 28-7, el cu superficie elas se suponen cerca de laθb θa. Comradio de la cab = 65°, encu
gitud orientada
RZAS MAGN
2.612 + 1.34 +
de coordenad. Un alambre
stante de 50 A
k y L= (0
(0.250)(0.45i + 0
1.6882)1/2 = 2.6
írculo represel campo B ese que el cam
a cara del polo se indica, aara del polo
uéntrese la fu
a del alambre
NÉTICAS SOB
+ 0.812)1/2 = 3
das inercial, ee delgado, de
A. Encuéntren
0.250)(0.45i + 0
0.56j + 0.6956k
694 N; los cos
senta la caras uniforme y n
mpo es cero. Dlo en el planoa y b están c R = 150 m
erza total sob
a, en la direc
BRE CARGA
.04 N. Los co
existe un came longitud 25
nse la magnit
0.56j + 0.6956k
k) x (0.3k)] = 2.1
senos directore
a del polo nonormal haciaDos alambreo XY; están ronectados enmm, I = 40bre los alamb
ción de la cor
AS
osenos directo
mpo magnétic50 mm y que
tud y la direc
k). Entonces
10i - 1.688 j N
es de F son
orte de un ima afuera de las estirados y
rígidamente un serie y port A, B = 0.4
bres.
rriente, es
[CAPITULO
ores de Ftot son
co uniforme e tiene cosen
ción de la fu
s, aplicando (28
N
mán muy gran página; más
y aislados, a unidos formatan una corri4 T,
O 28
n
de os
erza
8.5),
nde. allá y b,
ando ente
CAPITULO 2
y por
Igualm
Por loEl
y que
28.9. Una suna cel ejeel pun
La
Por lo
del ala
28]
lo tanto, la fu
mente,
o tanto, la fuel problema tam
e el ángulo de
sección parabcorriente I = e X, se halla ento x1 = 0.25
a ecuación par
o tanto, a lo la
ambre es
FUERZAS M
uerza sobre el
rza total es F=mbién se podrí
e F debe ser 1
bólica de un a12 A. Un camen el plano. C5 m, y1 = 1 m
ra el alambre e
argo del alam
MAGNÉTICA
l alambre a es
=Fa + Fb = 1.9ía haber resue
Fa = Fb = I(
/2(θa + 0b) =
alambre (Figmpo uniformCalcúlese la fm.
es
mbre, dy = 32x
ds = i dx + j dy
AS SOBRE C
s
95i + 2.13J lto observand
(2R)B = 4.8 N
47.5°.
. 28-8) se encme, B = 0.4 T
fuerza total s
x dx. Por (28.
= i dx + j32x dx
ARGAS
N, or F = 28.9o que
cuentra en el T, que forma sobre el alam
4), la fuerza
dx
9N.
plano XY y trun ángulo de
mbre, entre el
sobre un elem
265
ransporta e 60° con origen y
mento
266
28.10.
28.11.
28.12.
y
(Para u
Con referey que tranEl ángulo fla fuerza to
En lugarhecho (ejemnético unifoY, de b2 a b
La fuerza re
Una bobinaporta una cotiene cosenoβ1= 0.49, β2sobre la bob
Se tiene un área dirig
Por analogídipolar mpotencial d
FUER
n método que
ncia a la figusporta una cformado por otal sobre el
r de integrar amplo 28.1) de orme. De aquíbl, completand
eal sobre el se
a rectangular dorriente I en cos directores β2 = 0.56, β3 =bina.
que B = (gida A= (ab
a con el caso agnético de
de la bobina a
RZAS MAGN
e evite la inte
ura 28-9, el acorriente I, sel plano YZ alambre.
a lo largo del que es cero laí que si se imado el lazo, la f
F' =emicírculo de
de n vueltas, fiada vuelta. Siβ1, β2, β3. Sab
= 0.668, y B =
(0.4)(0.49i +b)i = 0.015i m
de un dipolo una bobina
asociada con
NÉTICAS SO
gración véase
alambre semse encuentray el plano de
alambre, coma fuerza neta sagina que unafuerza sobre e
= I(2Rj x B2 k) =ebe ser tal que
figura 28-10, si en ese lugar eiéndose que a
= 0.4 T, encuén
+ 0.56j + 0.66m2. Entonces
eléctrico (proplana que
su orientació
BRE CARGA
e el problema
micircular de r en un campel semicírcul
mo en el problobre un circu
a corriente I taeste segmento
= 2IRBzie cancele F";
se encuentra eexiste un cama = 100 mm, bntrese la magn
68k) T, y en la
oblemas 23.7 porta corrienón en un cam
AS
a 28-10.)
radio R, apoypo magnéticolo es arbitrari
lema 28.9, pueito cenado en
ambién fluye ao recto será
esto es
n el plano YZmpo magnéticob = 150 mm, nnitud y la dire
a posición dad
y 23.8), defínnte y exprés
mpo magnétic
[CAPITULO
yado en b1 yo paralelo a io. Encuéntre
ede aplicarse un campo ma
a lo largo del
Z; su área es abo B uniforme qn = 20, I = 12 ección de la to
da, la bobina ti
nase el momensese la energo uniforme B
O 28
b2 Z.
ese
el ag- eje
b y que A,
orca
iene
nto gía
B.
2
CAPITULO 2
Cocorrie
Entonpoten
2S.13. Una bcamp
de tamomel áng(de "
(d) Ld
28]
omparando τ ente, el momen
nces, razonandncial
bobina planapo magnético
al manera quemento dipolar d
gulo formadoeslabonamie
La energía pode ф es el fluj
FUERZAS M
= P x E paranto dipolar ma
do como en el
a de 12 vueluniforme
e su área diride la bobina, o por la normaento") que pa
tencial se puejo total a trav
MAGNÉTICA
a el dipolo eléagnético como
problema 23.
ltas transport
B = 0.2i +igida es A = (b) la energíaal positiva a lasa a través d
ede escribir cvés de N vuelt
AS SOBRE C
éctrico y τ = no
8, se puede m
ta 15 A. La
+0.3 j-0.4k 0.04i = 0.05
a potencial de la bobina y elde la bobina.
omo tas, cada una
CARGAS
nI (A x B) p
ostrar que la b
bobina se or
T 5j + 0.07k mla bobina en campo, (d) e
de área A. Po
para la bobina
bobina tiene un
rienta con re
m2. Encuéntrenla orientación
el flujo total m
or lo tanto,
267
a que porta
(28.14)
na energía
(28.15)
especto al
nse (a) el n dada, (c) magnético
don-
268
28.14.
28.15.
28.16.
28.17.
28.18.
28.19.
28.20.
28.21.
28.22.
El valor negparte de la c
En la figur¿Cuál es el
Utilizandoformado por
Una carga qB; el ánguloencuéntrese
En un solenmagnético usección tran
Con referenBx = -0.8 TRespuesta: ℓ
Refiérase al40° en tomocantidades Respuesta:
Un solenoide electroncomponentese indica, loy e/m = 1.7 Respuesta: Un alambreun campo mla fuerza tot
Refiérase alfuerza sobre
Una bobinacuentra en u
Los vértices(a) Determíyección delpolar de la b
Respuesta:
FUER
gativo de ф cocara positiva
a 28-9, sea βflujo a travé
o la regla de lar el campo un
Prq = 300 µC o formado poel valor local
noide de núcluniforme, parsversal del so
ncia a la figur, By = 0.4 T, ℓ= 0.1340, m =
l problema 28o de una línea permanecen 0.2343i + 0.114
ide muy largones colocado es u1 = u coos electrones s6 X 1011 C/kg
delgado, de 2magnético unifo
tal sobre el al
l problema 28e la sección P
triangular (un campo mag
s del triánguloínese el vectol área del triábobina y (c) l
(a) 0.01875
RZAS MAGN
orresponde al de la bobina
β el ángulo fs del área lim
a mano derechniforme y el ár
roblemas se mueve conr u y B es 32l de B. Respue
eo de aire y lralelo a su ejlenoide? Resp
ra 28-4, sean Bz = -0.7 T.
= -0.3887, n =
.5 y a la figurparalela a Y, sin cambio 49k N
o (Fig. 28-11en su interi
os β y u2 siguen una trayg para los ele
250 mm de lonorme B que folambre es de 4
.9 y a la figurPQ del alambr
(Fig. 28-12) gnético unifor
B =
o se encuentrar de área del
ángulo sobre ea energía pote
i+ 0.025j + 0.0
NÉTICAS SOB
ángulo obtusohacia su cara
formado por mitada por el
ha para definir rea dada es en
complemn velocidad µ°. Si la fuerzaesta: 0.89 T
largo que tiene, de 0.06 T.
puesta: 0.3927
q = 500 µC;Calcúlense lo0.9115
ra 28-6. Supquedando la palguno. ¿Cuá
) forma un cior dispara u= u sen β, noyectoria helicectrones, calc
ngitud y que prma un ángulo4.5 N. Encuén
a 28-8. Sin hare. Respuesta:
tiene cuatro vrme.
0.5i + 0.45j +
an sobre los ejtriángulo. (Su
el plano XZ; eencial de la bo
015k m2; (
BRE CARGA
o θ que se enca negativa.
el plano YZalambre sem
la normal posn todas partes
mentariosµ = 6 km/s a tra instantánea
ne un radio d ¿Cuál es el f
7 mWb
ux = 5 km/sos cosenos di
óngase que elplaca negativaál es ahora
campo uniformun haz cuya ormal y paraleoidal. Dados B
cúlese el radio
parta una corro de 48° con lantrese B. Resp
acer uso de cál: +1.36kN
vueltas, porta
0.74k T
ejes en x1 = 0.ugerencia: la etcétera.) Encobina.
(b) 0.45i + 0.6j
AS
contró en ( c )
Z y el plano dmicircular y el
sitiva e, el ángigual a β + (π
ravés de un casobre la carg
de 50 mm, eflujo a través
, uy = -6 km/irectores de F
l capacitor se a fuera de la pla fuerza sob
me B paralelo avelocidad d
ela a B. respecB = 1 mT, β =o y el paso de
riente I = 50 Aa dirección de Ipuesta: 0.484
lculos adicion
una corriente
2 m, y1 = 0.15componente X
cuéntrese (b)
+ 0.36k A·m
[CAPÍTULO
; esto es, el f
del semicírcul eje Y?
gulo (en radianπ/2). De aquí q
ampo magnétga es de 0.85
existe un cams del área de
/s, uz = 8 kmF.
rota un ángulpágina. Las debre la esfera
a su eje. Un cae salida u tictivamente. Co= 30°, va = 600e la hélice.
A, se encuentraI. La magnitudT
nales obténgas
e de 6 A, y se
5 m, z1 = 0.25X de A es la p el momento
m2; (c) -0.76
O 28
flujo
ulo.
nes) que
tico N,
mpo la
m/s;
o de emás a?
añón iene omo 0 V,
a en d de
se la
en-
5 m. pro-
o di-
614 J
C
2
CAPITULO 2
28.23. (a) análisi
8]
Verifíquenss dimensiona
FUERZAS M
se las equivalal de (28.13)
MAGNÉTICA
lencias dadas ).
AS SOBRE CA
en (28.2)
ARGAS
y (28.10).. (b) Hága
269
ase un
29.1 CAM
En la figlos ejes inerobservación en P existe u La constanteno una canti Aquí, el hense sigue que
En magn
donde θ es elos círculos largo de dic
F
MPO MAGNÉ
ura 29-1 se mrciales X, Y, P se especific
un campo ma
e µ0, denominidad que se o
nry (H) es la e
nitud,
el ángulo entcentrados y p
cha línea.
Fuentes
ÉTICO SOBR
muestra una Z. El lugar qca por medio
agnético, cuyo
nada permeabobtiene expe
unidad de in
tre v y r (véaperpendicula
de cam
RE UNA CAR
carga puntuque ocupa indel vector de
o valor instan
bilidad del esrimentalmen
nductancia (v
ase la Fig. 29res a la línea
mpo mag
RGA EN MO
ual q en movinstantáneamee desplazamientáneo, deter
spacio vacíonte (véase el
véase el capí
9-1). Obsérveinstantánea d
C
gnético
OVIMIENTO
imiento y deente q con reento r (o por mminado en el
, en el SI es uproblema 29
tulo 31). A p
ese que B es de movimien
Capítu
o
e velocidad vespecto al pumedio de r)l sistema iner
una cantidad 9.6):
partir de (29.
constante a lnto de q y que
lo 29
v relativa a unto fijo de . Entonces,
rcial, es
definida y
1) y (28.2)
lo largo de e B = 0 a lo
272
29.2
Cuacampo
donde hasta P
El c(por ejaquí qusi la int
CAMPO MA
ando (29.1) so producido e
r es el desplP. La relación
campo total,emplo, sobre
ue una corrietegración se e
FU
AGNÉTICO
se aplica a uen un punto
azamiento den (29.4) es la
B, en P se oe la longitud nte real fluyeefectuara únic
UENTES DE
SOBRE UN
un elemento Iexterno P se
esde b, el luga ley de Biot-
obtiene al intotal de un a
e en una trayecamente sobr
CAMPO MA
FILAMENT
I dl de un file obtiene ,
gar en el que-Savart.
ntegrar (29.4)alambre que pectoria cerrare una parte d
AGNÉTICO
TO DE CORR
lamento de c
se encuentra
) sobre el filporta corrien
ada, y se obtende la trayector
RIENTE
corriente (Fig
a el elemento
amento entente). Es impondría un resu
ria. (Véase el
CAPITULO
g. 29-2) para
(29
o de corriente
ro de corrienortante recordultado engañoproblema 29.
29]
el
9.4)
e,
nte dar oso .4.)
C
EEs
L
E
2
l
Lla
Ccd
CAPITULO 2
EJEMPLO 29Elegimos los eser a lo largo
La integración
En particular
29.3 LEY C
Por ser lala fórmula (2
La integral dela figura 29-4abierta S y
Cuando E escurvan en dirededo pulgar ex
9]
9.1. Calculemejes como en l
o de Z; a part
n desde φ = 0
r, en el centro
CIRCUITAL
a ley de Coul29.4) puede e
e línea de la iz4). En la derecy bordeada po
plana, se apección de la ixtendido.
FUENTE
mos el campo la figura 29-3ir de (29.4)
0 hasta ф = 2π
o (z = 0),
L DE AMPÉR
lomb (23.3) eescribirse com
zquierda es alcha, I represer E; en el
plica la siguiintegración a
ES DE CAMP
sobre el eje d, y observamo) obtendremo
π da, entonces
RE
expresable enmo la ley circ
lrededor de cuenta la comen
caso de una
ente regla dilo largo de E
PO MAGNÉT
de una trayectoos que, por simos que
s
n forma intecuital de Amp
ualquier trayete total que p corriente dis
ireccional: siE, la dirección
TICO
oria circular dmetría, el camp
gral como lapére:
ectoria cerradpasa a través d
tribuida,
i los dedos dn positiva de I
de corriente dpo resultante e
a ley de Gaus
da E (línea punde cualquier s
de la mano deI queda indica
273
e radio a. en P debe
(29.5)
(29.6)
ss (24.3),
(29.7)
nteada de superficie
(29.8)
erecha se ada por el
274
29.1.
29.2.
29.3.
29.4.
Con refereEncuéntre
Aplican
De nuevo,hasta P(x, y
Sean q = 4ángulo θ.
La magn
Hágase un
Se tien
Un alambrcampo en PBiot-Savar(a) A par
1 di tie
FU
ncia a la figuse la magnit
do (29.3),
con refereny, z) es
00 µC y v =
nitud de r es
n análisis dim
e que
re recto, a lo P debido a lart, (b) utilizartir de (29.4)ene la direcció
UENTES DE
Probleura 29-1, seatud de B en
ncia a la figu
r =(3i - 6j + 9k)
s r = (502 + 8
mensional de
largo de Z ea sección ab úando la ley ci) es evidenón i. Por lo
CAMPO MA
emas resuan q = 35 µCel punto P.
ura 29-1, sup
= 50i + 80j + 7) X 106 m/s. E
802 + 702)1/2(1
unidades de
n la figura 2únicamente (rcuital de Amte que dB en P tanto,
AGNÉTICO
ueltos
C, r = 50 mm
póngase que
70k mm Encuéntrense
10-3) = 0.1175
(29.6).
9-5, porta un(longitud, ℓ1 +mpére, (c) exP debido a c
m, v - 2 x 106
e el desplaza
e Bx, By, Bz en
5 m. Aplican
na corriente I+ ℓ2): (a) uti
xplíquese la dcualquier elem
[CAPITULO
6 m/s, y θ =
amiento desd
n P y también
ndo (29.1),
I. Encuéntreslizando la ley
discrepancia.mento de corri
O 29
60°.
de q
n el
se el y de iente
C
2
CAPITULO 2
Dd
(h) Ad
E
(c) Eaarscℓ y
Eú
29.5. Dos transplongi
29]
Debido a ladel círculo x2
Al aplicar (29.de (a), se
En particular,
n realidad, laaparecer de laa. Si la integraesultado difer
simétrico y seconcordarían. Pℓ1→∞ ℓ2 →∞
y, por lo tanto
Este resultadoúltimo es corr
alambres recportan corrieitud entre los
FUENTE
a simetría c+ y2 = R2, B
7) al círculo xobtiene
, en el punto
a corriente el misma maneación en (a) srente para B. De obtendría uPor ejemplo, en (a) y ma
o,
o concuerda corecto tal como
ctos, paraleloentes iguales Is alambres. ¿
ES DE CAMP
ilíndrica deB es tangencia
x2 + y2 = R2,
P,
éctrica no puera en el puntose extendiera Del mismo moun resultado d
supóngase quanteniendo a R
on el obtenidoo está.
s y muy largI en la misma¿Esta fuerza
PO MAGNÉT
l problema eal y de magnit
y atendiendo
uede aparecer o b; debe exissobre toda la
odo el problemdiferente en (ue la trayectorR fija,
o en ( b ) ; p
gos (Fig. 29.6a dirección. Ees de atracc
TICO
s evidente qutud constante.
a las conside
abruptamentstir una trayec trayectoria c
ma no seguiría( b ) ; y estos ria se cierra e
para un alamb
6), tienen entEncuéntrese lión o es de r
ue en todos l
eraciones de la
e en el puntoctoria de regrecerrada, se oba siendo cilínd
dos nuevos en el infinito.
bre recto e inf
tre sí una disa fuerza por urepulsión?
275
los puntos
a simetría
o a y des-eso de b a tendría un
dricamente resultados Haciendo
finito este
stancia d; unidad de
276
29.6.
29.7.
Considé1 produce u
dirigido hacfuerza sobre
Según la teanterior. E
Explíquese (en unidade
La ecuaccuando d es1=1 A, exac
Un solenoin' = n/L vuel campo msobre el eje
(a) Tómesedase el uno unacontribu
al camp
donde θ(b) Sea L →
valor d
FU
rese la seccióun campo mag
cia el interior e la sección es
rcera ley de NEntonces, los
por qué la pees del SI).
ción ( 1 ) del ps igual a 1 mctamente. Est
ide de núcleoueltas por unmagnético en e cuando L s
e una secciónsolenoide en
a corriente n'1uye con
po en P. Integ
θ1 y θ2 son los→ ∞, de tal mde n/L = n' pe
UENTES DE
n 0 ≤ y ≤ 1 m gnético
de la hoja [vs
Newton, la fudos alambres
ermeabilidad
problema 29.5m y se mide qu
o fuerza el va
o de aire, connidad de long
el punto axiase hace muy
n longitudinal n una sucesión1 dx. Entonce
grando de x =
s medios ángumanera que ℓ1rmanezca fijo
CAMPO MA
del alambre 2
véase el probl
uerza por metrs se atraen ent
del espacio v
5 se utiliza paue F es 2 X 1alor µ0 = 4π x
n longitud L gitud y transpal y arbitrarigrande comp
del solenoiden de anillos ins, por (29.5),
-ℓ2 a x = ℓ1, d
ulos subtendid1→ ∞ y ℓ2→∞o. Entonces,
B→µ0n'I
AGNÉTICO
2. En cada pun
lema 29.4c)].
ro sobre el altre sí con una
vacío resulta
ra definir el a0-7 N/m (un v10-7.
y radio r (Fiporta una coo P. (b) ¿Quéparada con r
e en el plano Xnfinitesimales un anillo loca
donde ℓ1 + ℓ2
dos en P por lo∞. Más aún, scos θ1 → 1, c
Ii
nto de esta sec
Entonces, util
lambre 1 es ela fuerza µ0I2/2
ser exactame
ampere de la svalor conven
ig. 29-7) estárriente I. (a)é se puede der?
XY, con P en de ancho dx
alizado a una
= L, se obtien
os dos extremosea n → ∞, decos θ2→l y
[CAPITULO
cción, el alam
lizando (28.5)
(
l negativo de 2πd (N/m).
ente 4π x 10-7
siguiente maneniente), enton
á formado po) Determínesecir del camp
el origen. Divx, portando cadistancia x de
ne que
os del solenoide manera que
O 29
mbre
) la
( 1)
la
7
era: nces
or se po
ví- ada e P
de. el
C
2
CAPITULO 2
es2co
29.8. En la R = 30B en perme
Lacírculárea π y la l
9]
sto es, el camp9.15) el campoonstante.
figura 29-8 0 mm. La barr
el punto Peabilidad del
a densidad delos concéntricπr2, es
ey circuital d
FUENTE
po se hace unio en cualquier
se muestra lara porta una c (r = 20 m
l metal es apr
e corriente escos a la super
de Ampere da
S DE CAMP
forme a lo largr punto del inte
a sección tranorriente I = 5
mm) y en laroximadamen
uniforme sobficie de la bar
a
PO MAGNÉT
go del eje del serior de un sol
nsversal de ukA dirigida h superficie nte µ0.
bre la secciónrra. La corrien
TICO
solenoide. De enoide infinito
una larga barhacia afuera d
de la barra
n transversal,nte a través de
hecho (véase o tiene este mi
rra de metal ce la hoja. Enc, suponiend
, las líneas deel círculo pun
277
problema ismo valor
con radio cuéntrese o que la
e B serán nteado, de
278
29.9.
29.10.
29.11.
29.12.
Sustituyend
En el átomórbita en torevolucion
El elect
Las cargasv2 = 4 X 10el que q1 y campo mag0.35). Resp
El solenoidcuéntrese B
Cinco alambLas corrienI5 = 18 A una distanc
FU
do los valores n
mo de hidrógeorno del núclees por segund
trón que órbit
Ps puntuales q06 m/s a lo larq2 están en lo
gnético formadpuestas: (a)
de de la figuraB en el centro
bres rectos, lantes que transp
(las corrientecia de 10 cm d
UENTES DE
numéricos,
eno de Bohr (eo en un círcudo. Estímese
ta es equivale
roblemas1 = +800 µCrgo del eje Yos puntos y1 =do por las car 0 + 0; (b)
a 29-7 tiene del solenoide
rgos y aisladoportan los alams negativas se
del cable. Re
E CAMPO M
(véase el capulo de radio ael campo ma
ente a una tray
s complem y q2 = -500
Y, como se mu= 0.3 m, y2 =rgas (a) en el (3.55 - 0.7
n = 300 vuele. Respuest
os, se hallan mmbres son I1e oponen en es-puesta: 74
AGNÉTICO
pítulo 40), el a ≈5.3 X 10-11
agnético en el
yectoria circu
mentariosµC tienen v
uestra en la f 0.45 m, resorigen O, (
7146)i mT
tas; L = 300 mta: 14.31 mT
muy juntos = 20 A, I2 =dirección a µT
único electróm, haciendo fnúcleo.
ular de corrien
s
elocidades v1figura 29-9. Espectivamente(b) en el punto
mm; r = 50 m
y forman u= 6 A, I3 =las positivas)
[CAPITULO
ón describe uf ≈ 6.6 X 1015
nte I, donde
1=7 X 106 m/En el instantee, encuéntreseo P (0, 0
I
mm; I = 12 A.
un pequeño = 12 A, I4 = . Encuéntrese
O 29
una 5
/s y e en e el .15,
En-
cable. 7 A, B a
CAPÍTULO 29] FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO 279
29.13. Una cuerda no conductora, recta y muy larga, está cubierta con una densidad de carga de 40 µC/m, y se jala con una velocidad de 300 m/s a lo largo de su longitud. ¿Cuál es el campo magnético a una distancia normal de 5 mm respecto de la cuerda en movimiento? Respuesta: B = 0.48 µT
29.14. Un disco circular no conductor gira en torno de su eje con una velocidad v en su orilla. Si el disco tiene una carga superficial uniforme σ (C/m2), encuéntrese el campo magnético en el centro. (Sugerencia: utilícese [(29.6) e intégrese).] Respuesta: Bcentro = µ0σv/2
29.15. Aplicando la ley circuital de Ampere a un contorno apropiado, muéstrese que B es uniforme en el interior de un solenoide extremadamente largo y de sección transversal arbitraria. Res- puesta: B = µon'Ie, donde e es el vector unitario a lo largo del eje.
30
cocaun
exese
Encuenha
Obgrtro
Ley de
01. FEM IN
En la figuraonductora conambia de formn punto a otro
Como resultperimentaráe instante ten
n la ecuaciónuando, por ejen la espira se acer que una
bsérvese quearse, por lo ostático que e
e Farad
NDUCIDA
a 30-1 se mun referencia ama a través deo e igualmen
tado conjunton una fuerza
nga velocidad
n de Lorentz,emplo, B camdefine comocarga unitar
e cualquier fuque no cont
estuviese pre
ay de la
uestra una coa los ejes inee un campo mnte puede cam
o del movimia. Específicamd u experime
(30.1), E, rmbia con el tio el trabajo qria positiva r
uerza conserribuiría a vi.
esente.
a fuerza
onfiguración rciales X, Y,
magnético B. mbiar con el
iento y del camente, una centará una fu
epresenta unempo. La fue
que la fuerza ecorra una v
rvativa que e De aquí qu
a electro
en un instanZ; la espira cÉste puede vtiempo.
ampo magnétcarga q en unuerza
n campo elécerza electrom
de Lorentz (vez el circuit
estuviera inclue en (30.1)
Ca
omotriz
nte dado de ucontinuamenvariar en mag
tico, todas lasn elemento de
trico inducidmotriz inducid(no conservao cerrado, E
luida en F sese omita cua
pítulo
z induci
una espira flente se trasladagnitud y direc
s cargas del ae longitud ds
do que está pda (fem) insta
ativa) realizarsto es,
e haría cero alquier camp
o 30
ida
exible y a, gira y cción de
alambre s que en
(30.1)
presente antánea ría para
(30.2)
al inte-po elec-
282
Endemomagnconst
La ecfacto
30.2 En
positsignofem egeominfierenergun caconduinduc
30.1.
n los experimostró que el lanético Φ que te de N vuelt
cuación (30.res que prov
LEY DE Ln el caso de iva en torno do en la ley deen la direcció
metrías más core la direcciógía. La ley deampo magnétiuctor en movcida debe ser
. Una espiraentre los ppolos y quen la espi
mentos realizado derecho datraviesa a latas,
3) es la ley dvocan el cam
LENZ
una espira pde la espira ese Faraday sigón negativa eomplicadas, sóón de vi a pae Lenz estableico cuyo flujovimiento, la r tal que se o
a rectangular polos de un imue (por razonra.
LEY DE FA
ados por Farde (30.2) es iga espira. De a
de Faraday;bio del flujo
plana, supóngstán determin
gnifica que unen torno de laólo se utiliza artir de la leyece: (1) la coro se opone al fuerza que e
oponga al mo
Problede N vueltas
mán permanees de comodi
ARADAY DE
aday (y esto gual a dΦ/dtaquí que se e
es válida sin magnético.
gase que la dnadas por la rn incrementoa espira. Frec(30.3) para eny de Lenz, unrriente que flcambio del flejerce el cam
ovimiento del
emas resus (Fig. 30-2), nte. Suponienidad) es cero
E LA FEM
se sigue de lat, el cambio coescriba vi =
n importar la
dirección delegla usual deo del flujo a tcuentemente,ncontrar la mana consecuenluye en respulujo que induc
mpo magnéticl conductor.
ueltos
se mueve hando que B es más allá de e
as ecuacioneon respecto a dΦ/dt, o par
a naturaleza
l flujo positiv la mano deretravés de la e y sobre todoagnitud de vi, ncia de la coesta a la fem ce la fem; o (2co externo so
acia la derechuniforme ent
ellos, calcúles
[CAPITULO
es de Maxwelal tiempo del fra una espira
(
del factor o
vo y la dirececha. Entonceespira induceo en el caso dy por separad
onservación dinducida pro
2) en el caso dobre la corri
ha con velocidtre las caras dse la fem indu
O 30
ll) se flujo
a que
(30.3) los
cción es, el e una de las do se de la duce de un iente
dad u de los ucida
C
3
3
3
CAPITULO 3
El fem in
tiene etorno da las mtanto, imán.
30.2. Supónde corcircun
Ah
Si la e
30.3. En el constaωt = π
(a)
30.4. Una elargo El áreembarm-1, I
en t =
A
en el i
EntonLa diincrem
0]
flujo total quenstantánea que
el mismo tamade la espira. Esmanecillas delaumenta el flu
ngase que el rriente alternnstancias obté
hora el flujo to
espira se muev
problema 30ante, x0 = 30π/4, (c) ωt
) -18 V (en el s
espira plana solenoide qu
ea A delimitrgo, su plano= 12 sen 15
= 0.005 s, cal
partir del pro
interior del so
nces, la fem inrección concumentan y, por
LEY D
e atraviesa la ee
año que x > 0.sto se confirma reloj da lugarujo a través de
imán permana, la cual esténgase la exp
otal es NΦ = N
ve con veloci
0.2, sean B0 =0 mm. Evalú= π/2, (d) ωt =
sentido de las m
de N = 10 vuue tiene n' vutada por la eo siempre per0t (A), y sup
lcúlese la fem
oblema 29.7(
olenoide, por
nducida es deuerda con la r lo tanto, Φ
E FARADAY
espira es NΦ =
El signo mása por medio der a un campo me la espira. Est
nente del proablece un cam
presión del vo
N(B0 sen ωt)lx
dad constante
= 0.1 T, ω = úese v i en los= 3π/4.
manecillas del r
ueltas de alaueltas por m
espira se puermanece normponiendo que
m inducida e
(b),
lo que el fluj
e 8.064 V y tiley de Lenz,hace lo mism
Y DE LA FE
= NBℓx. Obser
s de vi indica qe la ley de Lenzmagnético dirte incremento
oblema 30.1 smpo magnéti
oltaje inducid
x, de manera q
e, entonces en
400 rad/s, ls instantes co
reloj); (b) - 11.7
ambre flexiblmetro y que p
ede cambiar mal al eje e
en la espira e
jo que atravie
iene la direcc, ya que en e
mo.
EM
rvando que x d
que la fem tienz: una corrienterigido hacia ar se opone al d
se reemplazaco B = B0 sen
do.
que la fem ins
n la expresión
= 150 mm, Norrespondient
77 V; (c) +0.75
le se coloca orta una coral estirarla, del solenoi
en este instan
esa a la espira
ión que .se inel instante da
decrece, se tie
ne dirección pe en el sentidorriba en la esp
decremento de
a por un electn ωt. En igua
stantánea es
anterior x = x
N = 10, u = 5tes a (a) ωt =
5 V; (d) + 12.0
en el interioriente I = I0 por decir al
ide. Para n'
nte.
a es
ndica en la figado tanto B c
283
ene para la
ositiva en contrario
pira y, por l flujo del
troimán aldad de
x0 + ut.
5 m/s = = 0, (b)
01 V.
or de un sen ωt.
lgo, sin = 3000
gura 30-3. omo A se
284
30.5.
30.6.
30.7.
Supóngasecircular ríotras condel campo (a) Establ
en ( 1 )
(b) Dado
dado q
Pa
plemereloj e
Hágase unRecuérd
N, es única
El cuadradforma un supóngaseciones de no se incluciendo condonde 0 <
e que en el pgida, de radiiciones permeléctrico ind
leciendo que
) del problem
que la espira
que, por sime
ra ciertos valoente que, en esen torno a la e
n análisis dimdese que ω = |amente un nú
do sombreadcampo magn
e que B = 0 muna espira r
uye en la figuntacto con loℓ0< ℓ1. Al m
LEY DE FA
problema 30o r, cuyo cenanecen iguale
ducido Ei en
ma 30.4, se obt
a es estaciona
etría, Ei es con
ores de t, Ei asos momentosespira (véase l
mensional de s-1|, siendo el
úmero. Por lo
do en la figurnético, B = Bmás allá de lrectangular ura. La barraos alambres a
mismo tiempo
ARADAY DE
.4 la espira dntro se encuees. Encuéntrecualquier pu
tiene
aria, u = 0 en
nstante en ma
así como está , Ei (al igual qla figura 30-3)
unidades de radián una unitanto (sección
ra 30-4 repreB0 sen ωt, uni
as orillas. Loy están unid
a de metal adab y dc, y se, el marco se
E LA FEM
deformable sntra sobre el
ense (a) la femunto de la es
cada punto d
agnitud y tang
dada por ( 1 )que u¡) tiene la).
(2) del probidad adimension 29.1),
esenta una caiforme y noros alambres
dos a un mard puede deslize mueve de te mueve con
se reemplaza eje del solen
m vi inducida spira.
de ella, y (30
gente al círcul
es negativo. a dirección de
lema 30.5. onal. Entonces
ara de un grarmal a las caab, bc, y cd
rco rígido nozarse (paralelal manera quvelocidad co
[CAPITULO
a por una espnoide. Todasen la espira;
0.2) se hace
lo. Entonces
Ello significa las manecilla
s, cos ωt, junto
an imán. El iaras de los po
representan o conductor,lamente a bcue ℓ2 = ℓ1 senonstante u, co
O 30
pira las (b)
(1)
sim-as del
o con
imán olos; por- que ) ha-n αt, omo
CA
30
APITULO 30
se indiabcda.por la
(a) El
en
(b) Cu
DapocomaSi
fu
0.8. Un alade un entre l
Métod
En los punsentidotodas p
donde en tantode voltsiguien
0]
ca, (a) Derív (b) ¿En qué orilla del po
flujo instantá
n donde B0, ω,
uando x = 0, e
ado que u y ℓ or su fase ωτ.onforme el maanecillas del r B(τ) < 0, la
Las mismaserza sobre el a
mbre recto dcampo magnos extremos
o 1.
un intervalo dntos fijos c y do contrario a lpartes, se tien
la segunda igo que u = U a ltaje entre a ynte manera:
LEY DE
ese una expredirección flu
olo?
áneo que atrav
ℓ1, ℓ0, α, x0 y
esto es, cuand
son positivos. Entonces, siarco abandonareloj en torno dcorriente fluy
s conclusionalambre de ab
de longitud Lnético unifordel alambre.
de tiempo el ad son las posiclas manecillasne que:
ualdad se dero largo de ab.
y b. Dado que
E FARADAY
esión para la uye la corrien
viesa la espira
u son constan
do t = τ = x0\u
s, el signo de i B(τ) > 0 (esa el campo), lde la espira, pye de a a d.
nes se sacan ab.
L se mueve corme B (Fig.
alambre recorciones iniciales del reloj alre
riva del hechoEntonces, la fee U, y B, son
Y DE LA FEM
fem instantánte en la barra
a es
ntes. Por lo tan
u, se tiene qu
vi (τ) será tal sto es, si B sla fem tiene dproporcionand
a partir de la
on velocidad30-5). Encu
rre el interior es de los extreededor del co
o de que u = 0 em inducida con constantes,
M
nea, vi, que sa en el momen
nto,
ue, a partir de
que B(τ), el cale de la pág
dirección contrdo una corrient
ley de Lenz,
d constante Uuéntrese la d
de un paralelemos b y a. Si
ontorno y si se
a lo largo de
ompleta aparecse puede eva
se induce en lnto en el que
(a):
cual está detegina en la figuraria al sentidte de d a a en
cuando se ca
U (sin girar) diferencia de
ogramo abcdai se aplica (30e asume que E
los lados bc, ce como una dialuar la integr
285
la espira ab pasa
rminado ura 30-4
do de las la barra.
alcula la
a través voltaje
a, donde 0.2) en el Ei = 0 en
cd, y da, iferencia ral de la
286
30.9
Aquí, L ePara las dique el extalambre fbajo a unvoltaje ba
Método
En la
Entonces,instantáne
La ley
La fór
Obsérvese
9. En la figlargo y duna corri
La línea dla fem indalambre, todos los
(a) Fuerala secEnton
L
s la longitud irecciones de Utremo a se encfluye de b a a voltaje alto.
ajo. Entonces,
2.
figura 30-5 s
, el área dirigeo a través del y de Faraday a
rmula (2) es e que este mé
ura 30-6 los e núcleo de aente alterna
de trazos indiducida v, en e(c) Si se quit
s puntos del
a del selenoidección transversnces
LEY DE FAR
vectorial del U, B y L que scuentra a un va (compruébes En el circuit el alambre en
ea W el vect
gida del paralparalelogramoahora da (recu
equivalente atodo no requi
anillos circuaire, con radi
ica un alambrel alambre, y tara el alambcírculo punt
e B = 0, por lo sal del solenoi
RADAY DE
alambre: dse indican en lvoltaje mayor se por medio to externo flun movimiento
or de d a a, d
lelogramo se o es Φ = B Auérdese que B
a la fórmula ere hacer sup
ulares indicaio R = 0.1 m
re circular co(b) el campo re circular ¿Eeado?
que el flujo qude: Φs = BA =
LA FUERZA
desde a hasta la figura 30-5,que el extremde la ley Len
uiría, como eso equivale a u
de tal manera
puede escribi
A = B (W x L)B y L son con
( 1 ) anterioosiciones acer
an una secció. Tiene n' = 2
ncéntrica de eléctrico ind
Ei podría perm
ue atraviesa el = (µ0n'I) (πR2)
A
b. , vba es negativ
mo b. La corrienz); esto es, fs usual, de unna batería con
a que
ir como A = ).
nstantes)
or (véase el rca de Ei.
ón transversa2000 vueltas
radio r = 0.12ducido Ei en cumanecer sin
alambre es el = πR2µ0n'I0 se
[CAPITUL
vo, lo cual signente inducida fluye de un von voltaje alton fem vba.
W x L, y el
problema 30-
al de un solenpor metro y
2 m. Calcúlesualquier puntcambio algun
flujo que atraven ωt.
LO 30
nifica en el
oltaje o a un
flujo
(2)
-16).
noide lleva
se (a) to del no en
viesa
CAPITULO
3
( b ) C
Ad
(c) S
30.10. FueramuesB, paejemu =
Atrayecmovi
donde
El Por lB = B Simil
30]
Este result30.5(a).
Como en el pr
Aquí el signo dirección opu
Sí.
a del solenoidstra en la figuaralelo a X. Lplo) tiene un
u2k. Obténg
plíquese la lectoria es el qmiento no tien
e Φs es el fluj
segmento reco tanto, se p
Bxi , y L = x1 i
armente,
LEY D
tado también
roblema 30.5
menos implicuesta a la que
de del problemura 30-7. A trLa fuente extena velocidad gase una exp
ey de Faradayque atraviesa ne component
jo del solenoi
to OP se muevpuede calcula+ y1 j .
DE FARADA
se podría ob
(b)
ca que cuandose indica en l
ma 30.9 exisravés de todaerna que formuniforme u eresión para l
a la trayectorla región so
te Z). Por lo t
de que se calc
ve, en efecto, aar vP O a part
AY DE LA FE
tener haciend
o I es positiva a figura 30-6
te un alambra la región exma este campen la direccióla fem en el
ria OPQO. Elmbreada y es
tanto,
culó en el pr
a través del catir de ( 1 ) de
EM
do que N= 1
y se incremen
.
re PQ fijo enxiste un campo (un electro
ón negativa dalambre.
l único flujo qs debido al s
roblema 30.9(
ampo uniformeel problema
y r = R en e
nta, Ei se encu
n el plano XYpo magnéticooimán muy grde Z. Esto es,
que pasa a travsolenoide (el
(a), y
e B con veloci30.8 , con U
287
l problema
uentra en la
Y, como se uniforme
rande, por B = Bxi y
vés de esta campo en
(1)
idad + u2k. = + u2k ,
288
30.11.
30.12.
30.13.
Entonces, a
donde dΦ2/
Un solenoidresistencia ttorno del soR2. Poco tieestacionarioen C2 y la caC2 y hágasrelaciónese Respuesta:
Refiérase alinducido enversal, (b)resultado de
Respuesta:
Una espira constante θ forma por mel tiempo detiempo, sabrev/min y ωRespuesta:
a partir de ( 1
/dt se evaluó
Pde largo y detotal R1 y un rlenoide, se coempo despuéso I1 = v/R1. Sinarga fluye a trse un análisi la magnitud
l problema 30n cualquier pu Para los date (a).
rectangular (Fen un campo
medio de un elee acuerdo con Bbiéndose que θω = 300 rad/s,
LEY DE FA
) , (2) y
en el problem
roblemas núcleo de airadio r. Otra bonecta a un ress de que se cin embargo, mravés de ese cis dimensionade Q con el v
0.9 y a la figuunto de un círtos del proble
Fig. 30.9) tieno magnético coectroimán queBz = B0 sen ωtθ = 0 en t = 0 evalúese vi e
ARADAY DE
( 3 ) ,
ma 30.9(a).
s complemire, C1 en la fbobina, C2, desistor; supóngierra el interr
mientras que lacircuito. Encual del resvalor final de
ura 30.6. (a) Erculo de radio
ema 30.9, junt
ne N vueltas, omo el que see no se muestrt. (a) Obténg0. (b) Para Nn t = (π/600)
E LA FEM
mentariosfigura 30-8, te N vueltas de ase que la resi
ruptor S, la coa corriente se féntrese la carsultado que Φ)
Encuéntrese lao r (r<R), coo con r = 0.08
área ℓ1ℓ2, y re advierte en ra) es uniformgase el voltaje= 100, B0 = 0s.
s
tiene n' vuelta alambre aislaistencia total dorriente en Cforma en C1, sga total Q quese obtenga.
a magnitud dencéntrico a u
8 m y 300í = 0
rota con una vla figura. Estme en el espac
e inducido com0.2 T, ℓ1ℓ2 = 0
[CAPITULO
as por metro,ado y enredaddel circuito C1 alcanza el vse induce unae fluye a travé. (Sugeren
el campo eléctuna sección tr0.8π, evalúese
velocidad ange campo (qucio, pero varía
mo una función0.04 m2, θ = 1
O 30
una do en
2 sea valor fem és de ncia:
trico rans-e el
gular ue se a con n del 1800
C
3
3
3
CAPÍTULO 3
30.14. EL proun Mque B
Respu
30.15. En la largo alterny2)1/2 uyj, co
30.16. Realiz
para l
30]
oblema 30.13 AS angular, θ
Bz = 0.2 T ℓ1ℓ2
uesta:
figura 30-10 y de cubierta
na I = I0 sen ω< R del centroomo se indica
zando los cálc
los vectores a
LEY D
se cambia de θ = θ0 sen βt.2 = 0.04 m2, N
se indica cona de aire que tití. (a) Encuéno. (b) Una ca en la figura 3
culos en términ
arbitrarios B, L
DE FARADA
la siguiente m (a) Determín
N = 100, θ0 =
n el anillo graiene n' vueltantrese Ei, el cacarga puntual 30-10. Encuén
nos de compon(UxB) · L
L, U.
Y DE LA FE
manera: Bz es cnese vi y (b) e
= (π/4) rad y q
ande una seccs por unidad d
ampo eléctricoq se mueve en
ntrese la fuerz
nentes rectangL = B · (LxU)
EM
constante y elevalúese en t
que β = 200 ra
ción transversde longitud y o inducido, an el plano XY za sobre la car
gulares, demué)
l rectángulo lle= (π/600) S s
ad/s.
al de un solenque porta una
a una distancicon velocidad
rga.
éstrese que
289
eva a cabo sabiéndose
noide muy a corriente a r = (x2 + d u = uxi +
3
snΦ
ac
L
31.1 AUTO
En la figucomo se indiflujo total es vuelta.
Si Φ camb
se induce en negativo, o sΦ (increment
Suponiendalrededores, cional a Z:
El factor La unidad de
Diferenci
OINDUCTAN
ura 31-1 la cica en la figuNΦ, donde N
bia (como su
la bobina. Pea, en la direto de R), vi edo que C se eel flujo form
de proporcioel SI para la iando (31.1)
NCIA DE UN
corriente I foura. Cada líneN es el númer
ucedería al de
Para un increección opueses positiva, esencuentra en
mado y, por lo
onalidad L seinductancia, con respecto
InductaNA BOBINA
orma un camea de flujo atro total de vu
eslizar el con
emento de Φsta a la de I (vsto es, en la el espacio v
o tanto, el flu
e denomina ael henry, se
o al tiempo, s
ancia
A
mpo magnéticta (o "eslabo
ueltas y Φ es e
ntacto sobre R
(decrementovéase la seccdirección de
vacío y que nujo de eslabo
autoinductandefinió en (
se obtiene pa
Ca
co dentro y na") alguna oel flujo prom
R), una fuerz
o de R), dΦ/ción 30.2). PI.
no existe mateonamiento es
ncia o (simpl(29.2). ara la fem (in
apítulo
fuera de la bo todas las vuedio que esla
a electromotr
/dt es positivara un decrem
erial magnéti directament
lemente indu
nversa) en el
o 31
bobina C, ueltas. El
abona una
riz
vo y vi es mento de
ico en los e propor-
uctancia).
inductor
292
Supdesde uducir l
Esta cductor
31.2
En bobinaque padirecta
donde encuen
Entoncia, se
póngase que, un valor inicla carga a tra
antidad de enr; es decir, en
INDUCTAN
la figura 31-a C2. El flujo tarten de C1 y amente propo
el factor dntran fijas. Ig
nces, las dos be mide en he
al cerrarse elial cero a un
avés de C, co
nergía en rean el espacio e
NCIA MUTU
-2 parte del ftotal que eslabque eslabonaorcional a I1,
de proporciongualmente, in
bobinas tieneenries.
IND
l interruptor Svalor final I.
ontra la fem i
alidad se almencerrado por
UA DE DOS B
flujo formadobona C1 con Can cada una d,
nalidad, M12ntercambian
en una sola i
DUCTANCIA
S en la figura. Entonces el inducida es
macena en el r las vueltas
BOBINAS
o por I1 en la C2 es N2Φ12, dde las N2 vue
2, es constando los papel
nductancia m
A
a 31-1, la cortrabajo realiz
campo magnde C (véase e
bobina C1 esdonde Φ12 es eeltas. Dado q
nte, suponiénes de C1 y C
mutua, M; al
rriente en el czado (por la b
nético final eel problema 3
slabona algunel número pro
que el flujo fo
ndose que l2,
igual que la
[CAPITULO
circuito se elebatería), al co
en torno del i31.3).
nas vueltas deomedio de línormado en C1
las bobinas
autoinductan
O 31
eva on-
in-
e la neas
1 es
se
n-
C
ucE
Ed
Ecapdpnp
Afin
d
3
CAPITULO 3
Si las dos cuna parte debiambio de la c
Explícitamente
En la primerade las corrient
EJEMPLO 31onvención deuto-inductancositiva o neg
dirección de lroducir un inc
negativa v12 enpositiva en la r
Ahora supóngaigura 31-3. Elegativa.
Para la enede (31.7) se o
31.1. (a) Ena una decrecdireccbobina
1]
corrientes I1 ido al cambiocorriente en le,
ecuación (31tes varía, exis
1.1. Al aplicae que la direcia L siempre egativa. Considas corrientes cremento del n C2 (esto es, relación
ase que el circl voltaje v12 es
ergía almaceobtiene que:
n cierta bobincorriente de
cer I a una rción? (c) Para?
e I2 cambian o de su propia otra bobina
1.7), M reempstirá únicame
ar (31.7), se dección de I pes positiva. Pedérese, por ej
positivas. Uflujo (de izquv12 se opondr
cuito C2 se gistará ahora en
nada en la un
Prona se forma ue 10 A. Deterazón de 100ra una corrien
INDUCTA
con el tiempa corriente, c
a, como está d
plaza a M21; ente un términ
debe tener cuipositiva es laero conforme emplo, el esqn incremento
uierda a derechrá en direcció
ira un ángulo n la misma dir
nión de los c
oblemas run flujo de esermínese la i0 A/s. ¿Cuálnte de 15 A,
ANCIA
po, la fem indcomo está daddado por la le
en la segundno en la dere
idado con el a dirección de
a la geometríquema de la fo de I1 podríaha) a través d
ón a I2). Por lo
de 180° en toección de I2 y
ampos magn
resueltosslabonamieninductancia dl es el voltaj, ¿qué cantid
ducida en caddo por (31.2)ey de Faraday
da, a M12. Por cha de cada e
signo de las ie la fem posa, la inductanfigura 31-3, ea por la reglae C2 y, por lo o tanto, M12 =
orno de un ejey, por lo tanto
néticos de las
nto de 3.5 "wde la bobinaje de autoinddad de energ
da bobina sur), y por otra dy y por (31.4)
supuesto, si ecuación (31.
inductancias. sitiva autoindncia mutua M pen el cual se a de la mano tanto, inducir
= M debe con
e normal al pla, M se debe c
dos bobinas
eber-vueltasa, (b) En (a),ducción y cu
gía se almace
293
girá, por debido al o (31.5).
sólo una
.7.)
Según la ducida, la puede ser indica la derecha,
r una fem nsiderarse
ano de la onsiderar
, a partir
" debido , se hace uál es su ena en la
294
31.2.
31.3.
31.4.
(a) Como d
(b)
(c) (a) En cieincrementa¿cuál es el
(a) Por (
(b)
Un solenoalambre qusolenoide formar la cV, en el cu
Utilícese enúcleo del(a) El fluj
existen
y, a pa (b) Al apl
La bobina transversalaislado. Summ. Calcú
Las líneun círculo
Entonces, Bcon respec
en la secció
dato del prob
vi
rta bobina ea a una razónl valor de vi?
(31.2), 30 = L
ide extremadue porta una y a partir de
corriente I (b)ual existe un
esta integral pl solenoide ejo por vuelta n n' vueltas en
artir de (31.
icarse (31.9
toroidal de nl circular y u radio promeúlese de man
eas de flujo sonde radio r se
B varía como cto a ρ (com
ón transversal
IN
blema se sabe
= -(0.35)(-1
l flujo cambn de 60 A/s; c?
L (60), o L =
vi = LI = -(0
damente largcorriente I. (
e esto determ) Según la teo
n campo mag
para mostrar es exactamenes Φ = BA =n 1 m de long
.3),
9) a 1 m del
núcleo de aireestá uniformedio es R = 1era aproxima
n círculos conobtiene
1/r en la seccmo lo es por lo
l, por lo que B = µ0n'I
DUCTANCIA
e NΦ = 3.5 W
00)= +35 V,
bia a una razcalcúlese L y
0.5 H, y vi =
0.5)(-100) = 50
go y de núcle(a) Calcúles
mínese E ', eloría de Maxwnético, está d
que la energnte E '.
= µon'IA, dondgitud. Por lo t
núcleo, se tie
e y que se mumemente enre100 mm y el ada la autoin
ncéntricos. Al a
ción transversos valores dad
I = constante
A
Wb en (31.
, en la direc
ón de NΦ = v i . (b) Si en
-NΦ = -30 V
0 V, en la dire
eo de aire tiese la autoindl trabajo por
well, la energíadada por
ía magnética
de A es el áretatito, utilizan
ene que por s
uestra en la fiedada con Nradio de la s
nductancia de
aplicarse la ley
al de la bobindos), se pued
(n' = N/2
1). Por lo tan
cción de la c
30 Wb/s, enlugar de esto
V y en direcci
ección de I
ene n' vueltaductancia por
metro que sa almacenada
a almacenada
ea de la seccindo (31.1),
er B constant
gura 31-4, ti
N = 500 vuelección transve la bobina.
y circuital de A
na. Sin embargde escribir
2πR)
[CAPITULO
nto,
corriente
n tanto que Io, 1 = 100 A
ión opuesta a
as por metro metro, L',
se requiere pa en un volum
(31
a por metro en
ión transversa
te,
ene una seccltas de alamversal es ρ =
Ampere en tor
go, si R es gra
O 31
I se A/s,
a I.
de del ara
men
1.9)
n el
al y
ión bre 20
rno a
ande
C
31
31
31
APITULO 31
Para es
Por
1.5. Supóngtiene uexactam
Al amente,
1.6. (a) Con(véase de 10 A200 A/
(a) A
(b) A ptos
(c)
1.7. Supóng120 mHenergía
Uti
1]
ta aproximaci
los datos num
gase que el tuna permeabimente). Calc
aumentar la pela inductanci
n una corrienel problema
A en C2 ¿cuá/s, ¿cuál es la
partir de (31
partir de (31.s son iguales.
gase que las bH, y una indua total de la i
ilizando (31.8)
ión, el flujo to
méricos, L = 0
toroide del plidad µ= 100úlese L y la e
ermeabilidad pia por el mism
nte de 10 A ea 31.1) en C2ál es el eslaboa fuerza elect
.4),
5), N1Φ21 = (
bobinas C1 y Cuctancia mutnductancia.
8),
INDUCTAN
otal de eslabo
0.6283 mH,
roblema, 310µ0 (la cual senergía alma
por un factor dmo factor. Ent
en C1 (Fig. 32. ¿Cuál es laonamiento entromotriz v2 q
0.05) (10) = 0
C2 (Fig. 31-2tua M = 50 m
NCIA
onamiento es
.4 tiene un nse supone co
acenada para
de 100, se inctonces, L = 62
31-2) existe ua inductancian C1? (c) Si Ique' se induc
0.5 Wb. Esto
) tienen autoimH. Para I t =
núcleo de hieonstante, cosa
I = 15 A.
crementa el ca2.83 mH y
un flujo de 0a mutua? (b)I1 se incremece en C2?
es, para I1 =
inductancias L= 20 A e I2 =
erro y que ela que nunca
ampo y, consec
.5 "weber-vu Con una cor
enta a una raz
I2, los eslabo
L1 = 200 mH 15 A, calcúl
295
hierro sucede
cuente-
ueltas" rriente zón de
namien-
yL2 = lese la
296
31.8
31.9.
31.10
31.11
31.12
31.13
31.14
31.15
. En la figuconstante40 mH, constante120 A/s yA/s e I2 s
Utilíce
. En el circfem induinductanc
0. La bobinflujo promalmacena
1. En la figu
Para L =
2. En el probRespuestade la bobi
3. Refiéraseenergía mmanera qunada? Res
4. Dos bobintancia muautoinduc
5. En la figudad de lon(a) ExpréN2 = 500,
ura 31-3 se pes en forma iM = +15 m
e. Calcúlese y se deja consse decrement
ese (31.7),
Pcuito de la figcida de +8
cia? Respuesta
a de la figuramedio-de eslab. Respuestas:
ura 31-1 la ba
60 mH, deter
blema 31.11 ea: va = I0(R2 + ina. (Pruébes
e al problema magnética total
ue la magnituspuestas: (a) 2
nas, como las utua M. Si se cctancia de dich
ura 31-5 la bobngitud. La bo
ésese la induc, r = 20 mm. R
IN
puede observndependient
mH. (a) Se inel voltaje indstante a I2. Cata a una razó
Problemagura 31-1 se aV. (a) Encas: (a) 125 m
a 31-1 tiene 1bonamiento en(a) 12.5 mW
atería se reem
rmínese el vo
encuéntrese unL2ω2)1/2 sen (
se que R y ωL
31.8 y a la fil almacenada,
ud de M perma25.75 J; (b) 1
que aparecen conectan en seha bobina? Re
bina C1 es un bina C2 consitancia mutua Respuestas:
INDUCTANC
var que I1 e I2e al variar lasncrementa Iducido en cadalcúlense v1 y
ón de 200 A/s
as compleaminora I a ucuéntrese L. mH; (b) 9 J
100 vueltas Ln cada vuelta, Wb; (fe) 14.0
mplaza por un
ltaje inducido
na expresión pωt + б), donde
L son dimensio
igura 31-3. (a (b) Si se inv
anece igual, ¿4.5 J
en la figura 3erie, se hacen espuesta: L1 +
largo solenoiiste de N2 vuede las dos bo(a) M = µo n'
CIA
2 pueden aums resistencias
I1 a una razóda bobina, (by v2. (c) Se ins. Calcúlense
ementariona tasa de 64 (b) Si I =
= 125 mH. ( (b) Para I = 1
06 J
n alternador q
o. Respuesta:
para el voltajee tan б = wL/Ronalmente igu
a) Para I1 = 25vierte la direcc¿cuál es el nue
31-2, tienen auequivalentes a
+ 2M + L2.
ide, de radio reltas, aproximobinas, (b) E'1 N2πr2; (b) 2
mentar, dismis R1 y R2. Seaón de 120 Ab) Se aminorncrementa I1 ae v1 y v2.
os
A/s, con lo c12 A, ¿cuál
(a) Para I = 115 A, encuéntr
que suministr
vi = -600 cos
e terminal delR y donde R incuales.)
5 A e I2 = 15 ción de C2 perevo valor de l
utoinductanciaa una sola bob
r y que tiene nmadamente la mEvalúese M, d2.369 mH
[CAPITUL
inuir o permaa L1 = 50 mH
A/s e I2 perma I1 a una raza una razón d
cual se produes la energía
0 A, encuéntrese la energía
a una corrien
s 400t (V)
alternador.cluye a la resis
A, encuéntrero se la sitúa dla energía alm
as L1 y L2 e inbina. ¿Cuál se
n'1 vueltas pormitad de las ddados n'1 = 3 m
LO 31
anecer H, L2 = manece zón de de 120
ce una a de la
rese el a que se
nte
stencia
ese la de tal
mace-
nduc- ría la
r uni- de C1 mm-1
CA
31
APITULO 31]
.16. Se estabde 10 mHde inducinconsis
]
blece que dos bH. ¿Son congr
cción es siemprtentes.
bobinas tenganruentes entre sre positiva.] Re
INDUCTAN
n autoinductaní estos valores
espuesta: Nece
CIA
ncias de 5 mHs? [Sugerenciasariamente, L1L
H y 18 mH, y ua: (31.9) impliL2 > M2; los va
una inductanciaica que la eneralores estableci
297
a mutua rgía total idos son
32.
cansiepor
Am dodelind AundipmoM meob
32.
pu Laµ0,un
pr
Ca1 LOS TR
Los fenómentidad vectorendo el vector la definición
H, denominampére en la f
nde I denota l medio. En dependiente dA M se le deidad de volum
polares magnéovimientos or= 0. Por lo ta
edio. Los valservan las sig
2 SUSCEPT
Para un meuede escribirs
a cantidad adi tiene unidad
n número, se
A los mater
Materiales
Materiales proporcional a
ampos mRES VECTO
enos magnéticrial, la induccr de campo qn (28.1). Sin
ado intensidaforma
la corriente vel vacío, H ede las propieenomina magmen, y es justaéticos (problerbitales de loanto, M (o µ0Mlores de M sguientes equi
TIBILIDAD
dio isotrópicse así
imensional χdes H/m y es le denomina
riales se los c
diamagnétic
paramagnética la temperat
magnétORES MAG
cos en el espción magnétique se tiene eembargo, aqu
ad magnética
verdadera enes simplemendades microsgnetización, pamente lo quma 28.12), de
os electrones M) es la porcse pueden daivalencias:
MAGNÉTIC
co en el cual
χm se denomila permeabili
a permeabilid
clasifica de a
os, en los cu
cos, en los ctura absoluta
icos enGNÉTICOS
pacio vacío pica B (capítuen cuenta paruí se introduc
a, se define p
n el medio; esnte B/µ0. Entscópicas del polarización e su tercera debidos al espínpor unidad dión de B que
ar en A/m o
i
CA; PERME
l B, H y M s
ina susceptibidad del matedad relativa.
acuerdo con s
uales χm es
cuales χm esa.
medios
pueden ser deulos 28 a 31)ra la fuerza .cen dos nuev
por medio de
sto es, el flujotonces, H (o medio. La unmagnética o
denominaciónn (giro) del eldé volumen ddepende de l(véase el pr
EABILIDAD
se encuentran
bilidad magnerial. A la raz
susceptibilid
una constan
muy pequeñ
Cap
s mater
escritos en té. En un medsobre una ca
vos vectores, H
la ley de Bio
o macroscópµ0H) es la p
nidad SI de Hmomento dip
n significa: sulectrón, el espdel material. las propiedaderoblema 32.5
D
n en la mism
ética del medzón µrel ≡ µ/µ0
dades de la si
nte negativa m
ña y positiva
pítulo
riales
érminos de udio material, Barga en moviH y M tales q
ot-Savart o la
ico de carga porción de B,H es el A/m. polar magnétuma dé los mopín del núcleo
En el espacies microscóp) en J/T m
ma dirección
dio; y µ, al ig0, que únicam
guiente man
muy pequeña
a, y es inver
32
una sola B sigue miento, que
(32.1) a ley de
a través , que es tico por omentos
o, y a los o vacío, icas del
m3. Y se
, (32.1)
gual que mente es
era:
a.
samente
300
Maún,
323
Cpueddondflujo dondsole
donddel nmismCom
se pbargmuyanteecua
32.4
L
Para
[com
32.1
Materiales ferχm depende
CIRCUIT
Considérese udan considerde ℓ es la lono en el núcle
de A es el árnoide y el fl
de se denominúcleo. Se acmo que A; la
mo (32.4) tien
uede considego, en el casoy importante: emano, R =ación no line
4 DENSID
La expresión
a un medio e
mpárese con (
1. Una bobiun área dflujo tota
Ya se versal, y d
CAMPOS
rromagnético de manera co
OS MAGNÉ
un solenoide ar uniformes
ngitud mediaeo está dado
rea de la secujo en el núc
ina a NI fuerzostumbra esp
a reluctancia ne la forma d
erar el núcleoo de las sust en tanto qu
= ℓ/µA depenal en H y se
AD DE ENE
n general par
en el cual B
(31.9)].
ina toroidal tde sección traal Φ y ε. Supvio (problemde magnitud
MAGNÉTIC
os, en los queomplicada de
ÉTICOS
toroidal de s en una secca de circunfer
por
cción transvecleo es
rza magnetompecificar a la se mide en r
de la ley Ohm
o como el eqtancias ferroue R = ℓ/σAnde, debido adebe resolve
ERGÍA
a la energía
y H son para
Probliene N = 120ansversal, A óngase un nú
ma 31.4) que
COS EN MED
e χm es posie H; por ello M
núcleo de hición transverrencia del nú
ersal. Por lo
motriz (fmm)fmm en "ampecíprocos de
m, con
quivalente de magnéticas, (sección 26.2a µ, de la fmer por iteració
por unidad d
alelos, lo ant
lemas res00 vueltas; un= 60 cm2; y uúcleo vacío.B es aproxim
DIOS MATER
tiva y puede M no es propo
ierro y de dimrsal. La ley dúcleo, y N es
tanto, la rel
) y se define pere-vueltas"
el henry (H-1)
un circuito ela analogía
2) es indepenmm. En conón o gráficam
de volumen e
terior se tran
sueltos
na longitud puna corriente
madamente uni
RIALES
ser mucho morcional a H e
mensiones tade Ampére pel número to
lación entre
a ℓµ/A como", las cuales s).
eléctrico de rno se cumpl
ndiente de la fsecuencia, (3mente.
en un campo
nsforma en
promedio de e I = 1.5 A. C
iforme en cual
[CAPITUL
mayor que 1.en estos mater
ales que B y para H da Hℓotal de vuelta
la corriente
o la reluctancson por supue
resistores. Sile, por un aspfem y se cono32.4) se hac
o magnético
núcleo, ℓ= 8Calcúlense B
lquier sección
LO 32
. Más riales.
H se ℓ= NI as. El
en el
(32.4)
cia R esto lo
in em-pecto: oce de ce una
es
(32.5)
(32.6)
80 cm , H el
trans-
CA
32
32
32
APITULO 32
Entonce
2.2. Repítas
H, qA/m. La
compara
Se pvalores típico, ppoco de
2.3. La densbobina ddensidad
(b) y qu (a) (b) Pa
en
2.4. El anilNI = 1H, M (slos dipo Por el pes
lo cual enúcleo d
ampere-
2] CAM
es,
se el problem
que depende úa permeabilida
ada con µ0 = 1
puede observarde B, Φ y ε m
por ejemplo, ele los valores en
sidad de flujo de la misma lod de flujo es B
ue la presencia
ra N2I2 = N1Iel núcleo d
lo en el prob2000 ampere
suponiendo qolos magnéti
problema 32.3(
es más de 100 de aire se requ
-vueltas.
MPOS MAGN
ma 32.1 para u
únicamente dad del Bi es
.256637 x 10-
r que la presenmenor que la del alumbre de an el espacio lib
en una bobinaongitud y enre
B2 para una fmm
a del material
I1 la parte (ade aire corre
blema 32.3 ses-vueltas y
que es constanicos del hierr
(b), el número
veces la fmm uieren
1
NÉTICOS EN
un núcleo de b
e I es igual q
6 H/m para el e
ncia de materie los valores e
amonio de hierbre.
a toroidal de núdada sobre unm de N2I2 Mué
magnético in
) da B2 = (1 esponde a un
se construyeun radio me
nte), χm, y la cro.
de ampere-vu
de la corriente
2000+ 1.338 x
N MEDIOS M
bismuto (χm =
que en el núc
espacio vacío.
iales diamagnéen el espacio lirro (χm = 7 X 10
úcleo de aire e anillo toroida
éstrese que (a)
ncrementa la f
+ χm)B1 = Bna fmm extr
en gran meedio de R = contribución
ueltas que los d
e de la bobina.
106 = 1.35.x 106
MATERIALE
= 2 X 10-6).
cleo vacío; po
Por lo tanto,
éticos conllevabre. Para un m0-4), los valore
es B1 para unaal de sus ceptib
fmm de la bob
B1 + χm B1. Era de
dida con hie150 mm, B =equivalente d
dipolos magné
Esto es, para f
6
ES
or lo tanto, H
a una reducciómaterial para-mes pueden exce
a fmm de N1I1bilidad constan
bina en χm N1I
El campo χm B
erro, en el cu= 1.8 T. Calde ampere-vu
éticos del hierr
formar B = 1.8
301
H = 2250
ón de los magnético ederse un
1. En una nte χm, la
I1.
B1 extra
ual, con cúlense
ueltas de
o aportan
8 T en un
302
32.5.
32.6.
32.7.
32.8.
C
(a) Muéstrdelo de Boestá cuantPlanck. Cmico (a es(a) La ec
J y B esu con
(b) El momen su
Entonces,
El númeroniendo qupara NI = dipolos est
Toman
Muéstresecomo
A part
De otro m
ObsérvNo existe
Los datos de sección
CAMPOS MA
rese que los mohr el átomo tizado en unialcúlese, en
sta cantidad scuación (28.1es en T. A escntribución a lmento dipolaru órbita circu
el magnetón d
o de átomos e cada uno t3000 ampere
tán alineados ndo el valor d
e que la energ
ir de (31.1)
odo, suponien
vese que (32.una pérdida d
con respectotransversal A
AGNÉTICOS
momentos dipde hidrógeno
idades de h/2J/T, la magn
se la conoce c15), Uθ = Π-cala atómica oa energía del
r, Π, es directaular; en efe
de Bohr está d
por metro cúiene un mome-vueltas en con H, calcúlel magnetón d
gía almacena
y (32.4),
ndo una densi
7) no es el ande energía aso
o al circuito A1 = 1200 mm
S EN MEDIO
polares magno (capítulo 402π, donde hnitud más peqcomo magnet-B, proporcioo subatómica,
átomo. amente proporecto,
dado por
úbico de hiermento dipolarel anillo del lense M, χm, µde Bohr que s
ada en un cir
idad constante
nálogo de P =ociada con la
magnético qm2, A2 = 800
OS MATERIA
néticos se pue0), el momenh = 6.626 x 1queña permittón de Bohr).
ona la unidad los momentos
rcional al mom
rro es aproxir magnético problema 32µ, B. se obtuvo en
rcuito magné
e de energía co
= PR para unreluctancia e
que se muestmm2; longitu
ALES
eden dar en Jnto angular or10-34 J s etida del mom
J/T para Π, ds dipolares se
mento angular
imadamente de un magne.4 y que la c
el problema 3
ético lineal se
omo la dada p
n circuito elécen un circuito
tra en la figuudes ℓ1 = 210
[CAPITUL
J/T. (b) En elrbital del ele
es la constanmento dipolar
dado que Uθ eaprecian deb
r, mvr, del elec
8.5 x 1028. Setón de Bohrcuarta parte d
32.5, se tiene
e puede escr
(32
por (32.6),
ctrico de resimagnético lin
ura 32-1 son:0 mm, ℓ2= 43
LO 32
l mo-ctrón te de r ató-
es en ido a
ctrón
Supo-, que
de los
que:
ibir
2.7)
stores. neal.
: áreas 0 mm,
CCAPITULO 3
y lonhierroI = 2atrav
(a)
(b) Le
dOc
32] C
ngitud de la co (µrel)1 = 20
2.5 A. Calcúleviesa al circu
Las reluctancen serie o en p
donde se supuObsérvese quecompleta de hi
AMPOS MA
capa.de aire 00, para el reense (a) la fm
uito, (d) la de
ias en serie oparalelo. Por
uso que la cape la reluctancierro.
AGNÉTICOS
ℓa= 2 mm; esto del hiermm, (b) la reensidad de fl
fmm = NI
en paralelo slo tanto,
pa de aire tieia de la capa
EN MEDIOS
permeabilidrro (µrel)2 = 3eluctancia totaujo en cada
I= 2500 ampere
se combinan i
ene un área efde aire es ap
S MATERIAL
dad relativa d300; el total al del circuitoparte.
e-vueltas
igual que las r
fectiva de A2proximadamen
LES
de la parte inde vueltas N
o, (c) el flujo
resistencias e
(sin zonas m
nte igual a la
303
nferior de N = 1000; o total que
léctricas
marginales). trayectoria
304
32.9.
32.10.
32.11.
32.12.
C
Verifíquese l
que se realiz
Verifíquense
Un anillo depromedio R mWb. Suponsucede a metensidad del constante); unidad de vorequiere paraanillo; (i) almacenada.
Con respectola capa de aiRespuesta:
CAMPOS MA
Prla conversión
zó en el proble
e las siguientes
e hierro tiene = 16 cm. Ex
niendo que M enudo), determcampo magné(d) la suscept
olumen; (f) laa producir la m
la energía po
o al problema ire?
AGNÉTICOS
roblemas de unidades
ema 32.5 (b).
s equivalencia
1200 vueltasxperimentalmes directamenmínense (a) lético en el hietibilidad magn permeabilida
misma densidaor unidad de
32.8, ¿qué po
S EN MEDIO
complem
as para las uni
s, un área de ente se tiene
nte proporcionla densidad derro; (c) la penética del hierad relativa dead de flujo en uvolumen en e
orcentaje de l
OS MATERIA
mentarios
idades de la re
sección transque, para I =
nal a H (o sea qde flujo magnermeabilidad drro; (e) el mol hierro; (g)un núcleo de ael campo mag
a energía mag
ALES [
eluctancia:
sversal de 24= 4 A, el flujque n sea cons
nético en el hdel hierro (supomento dipola la corriente
aire; (h) la autgnético, y (j)
gnética total s
[CAPITULO
cm2 y un rado es de Φ = stante, lo cualhierro; (b) la poniendo quear magnético padicional queoinductancia la energía to
se almacena e
32
dio 1.4 no in-
e es por
e se del
otal
n
Res
33.1 EL C
El tipo d
Cuando slo que se estque es consanálisis másalmacenadatiempo.
Aplicand
donde los tr(25.9). Escr
Una soluciónciales apropLa solución
en la cual qcombinaciónc2 se determtransitoria tinario, Q(t) =
puesta
CIRCUITO E
de circuito qu
se cierra el inttablece una ctante), tienen
s completo taas en L y C,
do al circuito
res términos ribiendo q en
n de la ecuacipiadas, da q e de (33.1) ten
q1(t) y q2(t) son c1q1(t) + c2
minan a partiiende a cero (= Cv, la cual
en el tie
EN SERIE R
ue se estudia
terruptor S laorriente I en n que encontambién incluy
y la potenc
o la relación d
de la derechn lugar de I, e
ión diferenciaen función dendrá la form
on solucionesq2(t) se le denr de las cond(excepto en el representa la
empo desimp
R-L-C
ará en este c
a fuente (una bel circuito. D
trarse expresye la determiia proporcio
de Kirchhoff
ha se obtieneesta ecuación
al lineal de see t; a partir dea
s de (33.1) innomina solucdiciones inic
el caso de R =a última carg
e los cirples
capítulo se m
batería) comiDados los valoiones para quinación de lo
onada por la
f para voltaje
en, respectivan adquiere la
egundo orden e esto se pue
ndependienteción transitoriales. Confor= 0), abandon
ga del capacit
Ca
rcuitos
muestra en la
enza a proporores de R, L, ue q e I en fos voltajes vafuente, toda
es se tiene qu
amente, a para forma
(33.1), sujetaden obtener l
s con v reemria; los valorerme el tiempnando la solutor.
apítul
eléctric
figura 33-1
rcionar una caC y fem v (su
función del tiab, vbc, vcd, laas ellas en fu
ue
rtir de (26.5)
a a las condicilos demás re
mplazada por es de las conso aumenta, l
ución de estad
o 33
cos
.
arga q, por uponiendo iempo. Un s energías unción del
), (31.2) y
(33.1)
iones ini-sultados.
(33.2)
cero. A la stantes c1 y la solución do estacio-
306
La eel térmicircuitoestado
33.2 A
Un ecuaciomite quotro.
Diveblemas
33.1.
33.2.
RESPUE
ecuación diferino o los térmo R-L (no hayestacionario
ANALOGÍAS
circuito elécones diferencue el comport
ersos sistemaresueltos.
Hágase un angase que v e
Para la ec
la función tra
Por lo tanto,
Cuando t
razón que daproximación
El parámetro (a) Esa cons(2) sea sólo
ESTA DE LO
rencial para uminos correspy capacitancQ = v/R, o s
S ELECTROM
ctrico y un sciales que lostamiento de u
as mecánicos
nálisis compls constante,
cuación difere
ansitoria es q1
q(t) = c1e-t/CR
→ ∞ , las divedepende del tn. Se tiene que
RC en (2) delstante debe tun número. V
OS CIRCUITO
un circuito depondientes alia), Q(t) = (v
sea, la ley de
MECÁNICAS
istema mecá rigen tienen
uno de ellos e
s análogos a
Problemleto del circuy q = 0 y t =
encial de prim
1(t) = e-t/CR, lo
R + Cv. Las co
ersas cantidadtamaño de Re:
l problema 33.ener dimensVerifíquese e
OS ELÉCTR
e 1 ó 2 elemen elemento o ev/R)t en (33.2e Omh.
S
ánico puedenn exactamenteen el tiempo s
los circuitos
mas resueito simple R-= 0 (el instan
er orden
o cual se pued
ondiciones inic
es se aproximaRC; cuanto m
.1 se denominiones de tiem
esto por medi
RICOS SIMPL
ntos se obtienelementos au2). Esto corr
ser idénticoe la misma foe infiera a pa
s simples R-L
eltos
C (figura 33-nte en el cual
de verificar ha
ciales dan
an a sus valoremás pequeño
na constante dempo, para haio de un análi
LES [
ne a partir de usentes. En paesponde a un
os en el sentorma matemáartir del comp
L-C se estudi
-1, con L ausel se cierra el
aciendo la sus
es de estado essea RC, más
e tiempo del ccer que el exisis dimensio
[CAPÍTULO 33
(33.1) al omiarticular, en una corriente d
ido de que lática. Esto peportamiento d
ian en los pr
ente). Supón-interruptor).
(
stitución en
stacionario a us rápida será
ircuito R-C. xponente onal de unida
3
tir un de
las er-del
ro-
-
(1)
una la
-
CAPITULO
des.dism
(b)
Esto
33.3. Hágpónrrup
A Asícueprob
A
L
33.4. Hággascirc
mendife
Hac
dontiemento
O 33] R
. (b) ¿Cuál dminuye 50%
A partir de I=
o se puede log
gase un análingase que v eptor). A partir de (3
como esta enta las condblema 33.1 c
A partir de e
La constan te
gase un análie que v es cocuito), e I =Cuando el cirnte de la dismierencial que lo
ciendo v = 0 en
nde ω≡ (LC)-1/mpo; en lugar onces, de la fo
RESPUESTA
debe ser el taen el primer
= I0e-t/RC se obt
grar, por ejem
isis completoes constante y
33.1),
ecuación es fdiciones iniccomo
esto y de la c
de t iempo de
isis completoonstante y q
= 0 en t =0. rcuito tiene resinución expono rige (33.1)
n (1), se encue
/2. Estas funcide esto, repreorma
DE LOS CIR
amaño de la cmilisegundo?
tiene, con el t
mplo, con R.=
o del circuitoy que I = 0 e
formalmente ciales corres
ondición de
el c i rcui to R-L
o del circuitoque q = q0 en
sistencia cero nencial que se es ahora
entra que las fu
ones, y sus deesentan oscilac
RCUITOS EL
constante de ?
tiempo medido
= 144 Ω, C = 1
o simple R-L en t = 0 (el in
idéntica a (1pondientes,
que q = 0 en
L es L/R [véa
simple L-C n t = 0 (C se
(un caso ideae observó en lo
unciones "trans
erivadas, no seciones sin amo
LÉCTRICOS
tiempo si la
o en ms,
10 µF.
(figura 33-1nstante en el
1) del problela solución
n t = 0,
ase el problem
(Fig. 33-1, ce carga antes
al), su comporos problemas
sitorias" son
e hacen cero cortiguar (MAS
S SIMPLES
corriente en
1, con C auseque se cierra
ema 33.1 y toestá dada p
ma 33.8(a )] .
con R ausentes de conecta
rtamiento difie33.1 y 33.3. L
onforme se inS). La solució
307
el circuito
ente). Su- a el inte-
omando en por (2) del
e). Supón- rse en el
ere esencial-La ecuación
(1)
ncrementa el ón de (1) es,
308
33.5.
RESPU
Obsérvesque produce
Analícese brcondicionesR2 < 4L/C.
DependieR-L-C puedetiguar. Se vercaso subamo
La ecuac
tendrá soluc
Sustituyend
Entonces q(iniciales ésta
A partir
donde vL(0) terruptor. L
ESTA DE LO
se que I es unae un generador
revemente els iniciales de
endo de los ve oscilar entrerá que la relaciórtiguado).
ción para el ci
iones transito
o en ( 1 )
(t) = c1q1(t) + a se transform
de (2), se enc
es el voltajLa corriente es
OS CIRCUIT
a corriente altr ac con una v
l circuito R-Lel problema 3
valores relati los extremos ón que antes se
rcuito
orias de la form
(con v = 0), s
c2q2(t) + Cv, ma en
cuentra que l
e a través dels un sinusoide
TOS ELÉCTR
terna, como sivelocidad ang
L-C de la fig33.4 y que lo
vos de R, L, del decremen
e supuso condu
ma
se evalúan las
y después de
a corriente es
l inductor en e amortiguado
RICOS SIMPL
i fuera la corrgular ω.
gura 33-1 (v os parámetro
y C, la respunto exponenciauce a las oscilac
s constantes p
e evaluar c1 y
s
el instante desexponencialm
LES [
iente (de esta
constante). Ss del circuito
uesta transitoal y de la osciciones amortigu
positivas reale
c2 a partir de
spués de que mente (véase
[CAPITULO
do estacionar
Supónganse lo son tales q
oria del circuilación sin amuadas (el llama
(
es y α y ω com
las condicion
se cierra el ine la figura 33-
33
(2)
io)
las que
uito mor-
ado
(1)
mo
nes
(2)
(3)
n--2).
CAPITULO
33.6. Mué
Ebloqconsfluidcoef
L
las ccondq, v,
Igua
Dcond
33.7. Encuque
Evedadel rlo ta
Ela m
33] RE
éstrese que lo
El sistema (a)que, con masastante, F, y bdo viscoso debficientes a1 y aLas ecuaciones
cuales tienen ldiciones iniciaR, L, respecti
lmente, la ene
De la misma diciones inicia
uéntrense losse muestran
En el sistema ad, mg; la furesorte, y fri
anto,
En el sistemamanivela com
ESPUESTA D
os sistemas (a
) es justo el a m, se muevajo una fricc
bido a la fuerza2 son positivos diferenciales
la misma formales x = xú = 0vamente, en la
ergía cinética
manera, sustiales y = yú = 0
s criterios paren la figura
(a), la esferauerza hacia acción por vis
(b), tres torcmo se ve en la
DE LOS CIR
a), (b), (c) de
circuito R-L, ve a lo largo ión por visco
za de gravedados, y la fuerzas en los tres si
ma matemática0 en t = 0 se pa expresión pa
del bloque al
ituyendo y, m0 en t = 0:
ra el movimi33-4.
a, con masa mrriba del resoscosidad a2
cas actúan so figura;
RCUITOS EL
e la figura 33
del que se hde una línea
osidad a1xú . d, mg, y bajo de empuje sostemas son
a. Por lo tantopuede encontrara la carga qu
l tiempo t es
mg, a2, m por
iento subamo
m, experimentorte k (x-ℓ0)2xú . (a1>0). E
bre el disco:
ÉCTRICOS
3-3 son equiv
habló en el prhorizontal al
En (c) una esla fricción po
obre la esfera s
o, la soluciónar por la susti
ue se obtuvo e
r q, v, R, L, s
ortiguado de l
ta hacia aba),, donde ℓ0sta ecuación
τ1 = jr, dond
SIMPLES
valentes
roblema 33.3l aplicársele sfera cae a tr
or viscosidad se desprecia.)
n de (b) que situción de x, Fn el problema
se resuelve (b
los sistemas
ajo la fuerza 0 es la longit
de movimien
de la fuerza f
309
. En (b) el una fuerza avés de un a2yú .. (Los
satisface las F, a1, m por a 33.3:
b) bajo las
mecánicos
de la gra-tud natural nto es, por
se aplica a
310
33.8.
33.9.
33.10.
33.11.
33.12.
RESPU
debido a la tanto, su ecu
Se puedecuación di
Así puevimiento sub
(a) En el pω= |s -1|.
Considéresedensador en
Un circuitodensador esdel tiempo.
Muéstrese q
Respuesta:
En la figurresorte; éstesistema. Re
UESTA DE L
fuerza viscosuación de mo
de observar quiferencial es
s, por medio bamortiguado
Prproblema 33.3
e un circuito n cualquier mo
o L-C sin fuens 4 mC. Encué. Respuestas:
que la energía
ra 33-5 aparee tiene constaespuesta: véas
OS CIRCUIT
a de frenado; vimiento es
ue tanto (a)
de una comp son
roblemas 3 verifíquese
R-C al que nomento si la c
ntes tiene paréntrense (a)
(a) f = 65 Hz
a se conserva e
ce un sistemante k y longitse figura 33-6
TOS ELÉCTR
y τ3 = kθ, l
como (b
paración con e
complemque L/R = |s|
o se le apliccarga inicial e
rámetros L = la frecuencia
z; (b) I =
en el circuito
a mecánico qtud natural ℓ0.6, en la cual s
RICOS SIMP
a torca de res
b) son análog
el problema 3
mentarios. (b) En el p
ca una fem. s de q0. Resp
1.5 H, C = a de oscilación-1.633 sen 40
del pro
que consta Encuéntrese e supone que
PLES
stauración en
gos al circuito
33.5 los criter
s
problema 33.5
Encuéntrese puesta: q = qo
4 µF. La cargn, (b) la c08.25t (A)
de dos masun equivalenla inductanci
[CAPITULO
el resorte. Po
o R-L-C, cuy
rios para el m
5 verifíquese
la carga del coe-t/RC
ga inicial delorriente en fu
sas unidas pnte eléctrico dia mutua es ce
O 33
r lo
ya
mo-
que
con-
l con-unción
or un e este ero
C
3
CAPITULO 3
33.13. (a) Aeléctr
(b) Apsistem
dondedel re
Coson idxú 1 a q induca1 y ala enecapac
Obsér
3] RE
Aplicando las ico de la figu
plicando las lema mecánico d
e F1 y F2 sonesorte sin estiromparando (1dénticos: las qú1, x 1 a q 1 etctancias L1 y L
a2, a las resisteergía E 2 almaccitor C (figura
rvese la corresp
ESPUESTA D
leyes de Kirchura 33-6 (
eyes simples dde la figura 33
las fuerzas arar, a1 y a2 so1) y (2), se ob
coordenadas cétera; las fu
L2; la constantencias R1 y R2cenada en L1ya 33-6) están
pondencia entr
DE LOS CIRC
hhoff muéstre(supóngase qu
de la mecánica3-5 son
aplicadas, k n los coeficieserva que desx1 y x2 corre
erzas F1 y F2e del resorte k
2. (c) Muéstrey L2, la energían dadas por
re E 1 y E 2, ig
CUITOS ELÉ
se que las eue no existe i
a, muestre que
es la constanentes de friccisde el punto desponden a la2 a los voltajek a 1/C; los cose que la enera E 3 del resor
gual que la exis
ÉCTRICOS S
ecuaciones difinductancia m
e las ecuacion
nte del resoión viscosa sode vista matemas cargas q1 yes v1 y v2; la
oeficientes de rgía cinética Erte y la energí
stente entre E
SIMPLES
ferenciales dutua) son
nes de movimi
orte, ℓ0 es laobre los bloqumático los dosy q2, respects masas m1 yfricción por v
E1 de las masaa E 4 almacen
E 3 y E 4.
311
del sistema
(1)
iento del
(2) a longitud ues. s sistemas ivamente;
y m2 a las viscosidad as m1 y m2, nada en el
S
34
ωtinf =
se
Es
es
Al
doR
Solucio4.1 CIRCU
Con referent, se mantien
nstantáneo de= frecuencia
Los valorese expresan en
sto debe sum
Al igual qutudiaremos
l sustituir (34
onde se defin(Ω) la reacta
nes estUITO EN SER
ncia al circuie entre los puel voltaje, vaa en Hz.
s instantáneon términos de
mar ua, lo cua
ue (33.1), (34la segunda,
4.2) en (34.1)
tan
nió a la impedancia inductiv
tacionarRIE
ito de la figuuntos P1 y P2
a = valor má
os del voltajee la corriente
al da como ec
4.1) tiene unque se supo
) se determin
n
dancia Z (Ω)va XL ≡ ωL (Ω
rías para
ura 34-1, supó debido a un áximo o amp
e a través dele instantánea
cuación difer
a solución trone es de la f
an las consta
y el ángulo Ω), y de la re
a circuit
óngase que ugenerador acplitud de la
l resistor R, a i y de la car
rencial del c
ransitoria y oforma
antes descono
de fase ф (raeactancia cap
Ca
tos sim
un voltaje sinc ("alternadoronda de vol
del inductor rga instantán
ircuito
otra de estado
ocidas Z y ф c
ad) en términpacitiva Xc ≡
apítulo
ples CA
nusoidal, ua =r"), donde ua ltaje y ω =
L y del capanea q por me
o estacionario
como
nos de la resis(ωC)-1 (Ω). L
o 34
A
= va sen = valor 2πf con
acitor C dio de
o. Aquí
)
stencia Los
314
valocribi
dond(V),
LaLas dson rfijosque anguinsta90°;o netravé
SOLUCIO
ores de estadirse así
de las amplity vc ≡ IXC (V)as relaciones diversas ondarespectivamens 0o, 90°, 270gira en el se
ular constanteantáneo de la vc "se retardgativo. Obséés de la igua
ONES ESTAC
do estacionar
tudes de las c). (34.4) se ind
as se represennte I, vR, vL,
0°, ф con el ventido contrae ω, se puedeonda corresp
da" de I por érvese tambiéaldad vectori
CIONARIAS
io de la corr
cuatro ondas
dican convenientan por vectovc, va. Los ve
vector I. Si loario al giro de observar qupondiente. Ob90°; y va "seén que la ecial
S PARA CIRC
riente y de la
s se indican c
entemente enores que parteectores vR, vLos cinco vectde las manecue la componbsérvese quee adelanta" ouación del c
CUITOS SIM
as tres caídas
como I ≡ va/
n el diagrama en del origen,L, vc, va formatores se cons
cillas del relonente Y de c
e I y vR están o "se retardaircuito (34.1
MPLES CA
s de voltaje p
/Z (A), vR ≡
de vectores r I, vR, vL, vc; van, respectivasideran comooj en torno d
cada vector pen fase; vL "s" de I, según
1) se refleja
[CAPITU
pueden ahora
IR (V), vL ≡
rotantes (Fig.va, cuyas longamente, los áo una unidadde O con velroporciona ese adelanta" n que ф sea pa en el diagr
ULO 34
a es-
≡ IXL
. 34-2). gitudes
ángulos d rígida
ocidad el valor a I por ositivo rama a
C
epv
n
3
Pc
L
dt
CAPITULO 3
La potencestado estacipromedio se voltaje aplic
[compárese nombre de fa
34.2 CIRC
En el circuP1 y P2. Comcorriente son
Las solucione
donde las retotal, se tien
34] SOLU
cia suministraonario, es dtoma sobre uado. En el pr
con (17.2)].actor de pote
UITO EN PA
uito de la figmo éste es el
es del estado
actancias XLe que
UCIONES ES
ada por el ale más interé
un largo perioroblema 34.
Debido a laencia. En térm
ARALELO
gura 34-3 se avoltaje a tra
estacionario
L y Xc son se
STACIONAR
lternador tienés la potenciodo de tiemp1 se muestra
a manera en lminos del di
aplica un volavés de cada
de (34.8) son
egún se las d
RIAS PARA C
ne un valor iia promedio po o, de manea que
la que está enagrama vect
ltaje alterno u elemento de
n
definió en la
CIRCUITOS S
instantáneo isuministrada
era equivalen
n (34.6), a coorial, he aqu
ua = va sen ωel circuito, la
a sección 34
SIMPLES CA
iu. En condica, Pprom, en lnte, sobre un
os ф = R/Z suí otra expres
ωt entre las teas tres ecuac
4.1. Para la c
A 315
ciones de la que el ciclo del
e le da el sión
(34.7)
erminales ciones de
corriente
316
dond
Eva, IRe I qinsta
es un
L
dond
SOLUCIO
de I ≡ va/Z, y
En el diagramR, II, IC, I, don
queda atrás o antáneos. La
n reflejo de
Las fórmulas
de ahora cos ф
ONES ESTAC
y la impedan
ma vectorial dnde IR está ense adelanta aigualdad vec
la conservac
de la potenc
ф = Z/R. Com
CIONARIAS
ncia y el áng
e este circuitn fase con va
a va por |ф|. Cctorial
I
ción de la ca
cia promedio
mo antes,
PARA CIRC
gulo de fase
o en paralelo, Ic se adelan
Como antes, l
I = IR + IL + Ic
arga en el cir
o del alternad
CUITOS SIMP
están definid
o (Fig. 34-4), nta a va por 90las componen
rcuito
dor, análoga
PLES CA
dos por
los cinco vec0°, IL queda antes Y proporc
as a (34.6) y
[CAPITUL
ctores rotanteatrás de va pocionan los va
(34
(34.7), son
(34.13)
(34.14)
LO 34
es son or 90°, alores
4.12)
C
3
3
CAPITULO 3
34.1. Expré34-1.
Dula eneo se d
Pero, dos té
Da
a part
34.2. Un voR-L, las amque
en t =
34.3. En elmedi
34] SO
ésese la poten
urante un perioergía requiere disipe en el re
en estado estaérminos del la
ado que i es s
tir de la cual
oltaje sinusoidonde R = 2
mplitudes I, v
= T/6. (d) Cal
l problema 34o del circuito
LUCIONES E
Proncia promed
odo del voltajque la energía
esistor. Por lo
acionario, i y ado derecho s
sinusoidal, fá
l la parte rest
dal de frecue0 Ω y L = 4OR, vt y encuén
lcúlense Irms,
4.2, la frecueo?
ESTACIONA
oblemas rdio de estado
e aplicado (poa en el circuito tanto,
q son periódise hacen cero
ácilmente se p
tante de (34.
encia f = 60 HO mH. (a) Cantrense los va
va , rms y la po
encia se camb
ARIAS PARA
resueltosestacionario
or ejemplo) deo, PpromT, se a
cas y tienen p, con lo cual
puede mostra
6) se sigue a
Hz y valor picoalcúlense el palores instantá
otencia prome
bia a 1200 H
A CIRCUITO
o de entrada a
e t = 0 a t = 2πalmacene en el
periodo T; en c
queda
ar que
la vez.
o 150 V se apperiodo T, ωáneos i, uR, uL
edio del circu
z; ¿cuál es ah
S SIMPLES C
al circuito de
π/ω ≡ T, la conl inductor y en
consecuencia,
plica a un circ, XL, Z, ф. (b
L en t = T/6.
uito.
hora la poten
CA 317
e la Fig.
nservación den el capacitor
, los primeros
cuito en serieb) Calcúlense(c) Pruébese
ncia pro-
7
s
e e e
318
34.4.
34.5.
SOLUCIO
Al incre Entonces, d
En el circuu = 250 se (c) Obtén
Calcúles
(c) Utili
Para ciertade potenci
el circuitoResuélvas
Se tien
NES ESTAC
ementarse la f
dado que Pprom
uito de la figun 400t (V). (a
nganse exprese Pprom.
zando la ident
a frecuencia ia unitaria (co
o consume unse de nuevo e
ne que cos ф =
CIONARIAS
frecuencia po
varía inversam
ura 34-1, seana) Calcúlese X
siones de i, u
tidad trigonom
angular, ω0, ondición llam
na potencia mel problema 1 únicamente
PARA CIRC
or un factor de
mente a Z2,
n R = 20 Ω, LXL, XC, Z, ф,
uR, uL, uc y d
métrica
del voltaje apmada voltaje d
máxima para34.4(a) a un e si
CUITOS SIMP
e 20,
L = 0.16 H, CI, vR, vL, vc. (b
demuéstrese
plicado el cirde resonanci
a un va dado,voltaje de re
PLES CA
C = 30 µF, y (b) Verifíques
que ua = uR +
rcuito R-L-C ia). Debido a
en el voltajeesonancia.
[CAPITUL
el voltaje aplse que
+ uL + uc. (
tendrá un fa que
e de resonan
LO 34
licado
(d)
ctor
cia.
C
3
3
3
3
3
CAPITULO 3
Obsér912.8
34.6. SupónL = 0
Lo El áng
A parcircui
34.7. Un voC = 8Respu
34.8. Muést
34.9. Un cirvoltaje
34.10. Los dsen 40
34] SOLUC
rvese que el 87/250 = 3.65
ngase que en0.06 H, C = 1
os valores inst
gulo fase está
rtir de (34.10to es
oltaje alterno 8 µF. Encuénestas: (a) 1000
trese que (a) X
rcuito simple e aplicado es
atos del circu00t (V); R
CIONES EST
máximo voltveces el m
n la figura 3418 µF. Hágas
tantáneos de la
á dado por
0), i = 9.109 s
Probleua = 150 sen
ntrense (a) f, 0 Hz; (b) 19.894
XL y Xc tienen
en serie conti
uito en serie qR1 = 15 Ω; R2
TACIONARIA
taje entre las máximo voltaje
4-3 el voltajee un análisis
a corriente son
en (400t - 0.
mas com6283.2t (V) s(b) X, (c) Z,
4 Ω; (c) 28.21 Ω
n dimensiones
iene una resist
que se muestra2 = 10 Ω; L = 0
AS PARA CI
terminales de aplicado.
e aplicado es s completo d
n:
.6035) (A).
plementase aplica al ci (d) el factorΩ; (d) 0.709; (e
de resistencia
tencia R = 20
a en la figura 0.16 H; C = 60
IRCUITOS SI
del inductor (
va = 150 senel circuito.
La potencia p
arios
rcuito en serir de potenciae) 5.317 A; (f)
a; (b) (1/
Ω y una induc
34-5 son: vol0 µF. Calcúlen
IMPLES CA
(o del capacit
n 400t (V), R
promedio tom
e R-C, con Ra, (e) I, (f) v106.34 V; (g) 1
/LC)1/2 = |s-1|.
ctancia L = 0.
ltaje aplicadonse (a) XL,
319
tor) es de
R = 20 Ω,
mada por el
R = 20 Ω y vR, (g) vc. 105.78 V
.06 H. El
, ua = 300 (b) Xc,
320
34.11.
34.12.
34.13
SOLUCIO
. En el probdientes de Respuestas
.
. Considéresentre los pcircuitos sa partir de Respuestas
ONES ESTAC
lema 34.10 en Z, I, vL, y vc.: ω = 322.75 r
se la red en sepuntos P1 y P2eparados R-Lél obténganse
s: (b) véase fi
CIONARIAS P
ncuéntrese la f ad/s; Z = 25 Ω
erie y en para. (a) Muéstre
L-C. (b) Dibúje las expresionigura 34-7. A
PARA CIRCU
frecuencia ang
Ω; I = 12 A; vL =
alelo de la figuse que la ramese el diagramnes de la corripartir de I = I
UITOS SIMP
gular de reson
= vc = 619.68 V
ura 34-6. Se aa a1d1 y la ram
ma de vectoreiente total máxI1 + I2,
PLES CA
nancia y los va
V
aplica un voltama a2d2 se pus rotantes de lxima I y la im
[CAPITULO
alores correspo
aje ua = va senueden tratar cola red comple
mpedancia tota
O 34
on-
n ωt omo eta y al Z.
Re35.1 LEYES
Un rayo dun medio isov = c/n, donden el vacío, cvacío) de la
Supóngasángulo 0i conen el medio
(i) Los t(ii) El án(iii) Las d
ley d
Si n1 > n2 y θ
entonces no vista del med
35.2 POLARUna onda
la perturbacitorno de la d
eflexiónS DE LA REde luz es una
otrópico, los rde n es el índic ≈ 3 X 108 mluz.
se que un ran la normal a1 y un rayo
tres rayos y lngulo de incidirecciones d
de Snell:
θ1 exceden el
existirá el radio 1, reflexi
RIZACIÓN
a electromagnión carezca ddirección del
n, refracEFLEXIÓN línea cuya d
rayos son rectce de refracc
m/s. El índice
ayo en el mea la interfase (refractado e
la normal se idencia es ig
del rayo incid
l ángulo críti
yo refractadoón total inter
nética o cualqde simetría cl rayo).
cción y Y LA REFRirección nos tas, a lo largo
ción del medioe de refracció
edio 1 incide(Fig. 35-1). En el medio 2encuentran s
gual al ánguldente y del ray
ico θC, donde
o, fenómeno rna.
quiera otra onilíndrica en t
polarizaRACCIÓN
da la direccióo de las cualeso. Debido a qón es una fun
e en la interfEntonces, exi2, de tal mansobre un plano de reflexióyo refractado
e
denominado
nda transversatorno de la d
Ca
ación de
ón del flujo ds la energía v
que n > 1, la vnción de la lo
faz con un mistirá en ese l
nera que no común, el ón: θ1 = r. o están relacio
reflexión tot
al está polarizdirección de p
apítul
e la luz
de energía radviaja con una velocidad es mongitud de on
medio 2, formugar un rayo
plano de inc
onadas por m
tal o, desde e
zada siemprepropagación
o 35
diante. En velocidad
menor que nda (en el
mando un reflejado
cidencia.
medio de la
l punto de
e y cuando (o sea, en
324
Si ase dicerayo, Ey form
En diculartiene ces elíp
En lares dtorias considde la m
Poldices del otro sobre refractpara uncristal se den
Poltiene uestá da
35.3 Un
transvIo (W/intens
Cuatransm
35.1.
a lo largo de ue que la onda E oscila a lo la
man un plano.el caso de la
res de igual acomponentes pticamente po
el caso de lade igual ampldurante el ti
derar como la misma ampli
larizacin pode refracción:
para las oscila superficie
tados, linealmno de los hace birrefringenomina placa
larizacin pouna polarizacado por la ley
INTENSIDAn polarizadorersal y que ab/m2) y está lidad transmi
ando la luz nmitida es 1/2Io.
¿En qué diragua es n2
Los rayoθ1 = 90°,
Obsérvese qsol a 90° =
REFLEX
un rayo de unes plana o lin
argo de una re a luz circularamplitud conperpendicula
olarizada. luz no polaritud pero conempo que sesuperposicióntud.
r birrefringe: uno para laslaciones perp
e de un medimente polarizaes refractadosnte de un gros
de media on
or reflexin.ión lineal coy de Brewste
AD DE LAr perfecto es bsorbe toda lalinealmente pitida está dad
no polarizada
rección ve la = 4/3 y el d
os del ocaso ll
que θ2 es el ánθ2 = 41.4° po
XIÓN, REFRA
na onda electnealmente poecta fija; las lí
rmente polarn una diferencares de difere
rizada o naturn una diference la observa. n de dos onda
encia. Ciertos oscilaciones
pendiculares aio birrefringados y formas (el rayo ordisor tal que lada; si difiere
. La luz que mpleta y nor
er:
A LUZ POLuna placa qua luz polarizapolarizada a da por la ley
I = Iocode intensidad
Problempuesta del So
del aire es n1
egan casi tang
ngulo crítico por encima de l
ACCIÓN Y P
tromagnéticaolarizada. De íneas corresp
rizada, el camcia de fase deentes amplitu
ral, el campocia de fase quEn otras pal
as planas pola
materiales an del campo pa la direcciónente como é
ando ángulos inario), pero ns dos ondas q
en en 90°, pla
se refleja dermal al plano
ARIZADA
ue transmite tada normal alun ángulo θde Malus co
os2θ (W/md I0 incide so
mas resuol el pez de la ≈ 1.
gentes a la sup
para el rayo ila horizontal.
POLARIZACI
a el campo elémanera equivondientes a to
mpo eléctricoe 90°. Sin emudes y cierta d
o eléctrico tienue experimenlabras, una oarizadas, perp
nisotrópicos (caralelas a cie
n. Un rayo de éste, usualme
rectos entre no para el otroque emergen aca de cuarto
una superfico de incidenci
toda la luz pol eje. Si la onθ con respectomo
m2) obre un polari
ueltos
a figura 35-2
perficie del ag
nverso (del
IÓN
éctrico yace evalente, en unodos los punt
o tiene compombargo, si el c
diferencia de
ne componennta varias fluconda no polarendiculares e
como la calcitrta dirección luz no polari
ente se dividsí. La ley de
o: el rayo extrdifieran en u
o de onda.
cie lisa y dieia si el ángul
olarizada a loda incidente to al eje de
izador perfec
? El índice d
gua. Según la l
pez al sol). E
[CAPITULO
en un plano fin punto dado os son parale
onentes perpecampo eléctri fase fija, la l
ntes perpendicctuaciones alrizada se pue
e incoherentes
ta) tienen dos (el eje óptico
izada que incide en dos raye Snell es válraordinario. Uuna fase de 18
léctrica (vidrlo de inciden
o largo de un tiene intensidtransmisión,
to, la intensid
e refracción
ley de Snell, c
El pez percibe
35
fijo, del
elas
en-ico luz
cu-ea-ede s, y
ín-o) y ide yos ida Un 80°
rio) ncia
eje dad , la
dad
del
con
al
CA
35
35
APÍTULO 35]
5.2. Supóngque se inmers
5.3. Dos rec(n = 1 cocient
En
servadde un ra parti
] REF
gase que el ínoriginan en a en (a) aire
cipientes idén47), se obserte de las prof
la figura 35-dor que mire erayo vertical 1r de la ley de
FLEXIÓN, RE
ndice de refrel interior d(n2 = 1), (b)
nticos, uno llrvan desde ar
fundidades ap
-3 se índica een la dilecció1 y el rayo apre Snell se tien
EFRACCIÓN
racción de unde la esfera, e
agua (n2 = 1
leno con aguarriba. ¿Cuál p
parentes?
el fondo de unón -Y, la imagroximadamentne que
N Y POLARIZ
na esfera de vencuéntrese .33).
a (n = 1.361)parecerá tene
n recipiente pgen de P, marte vertical 3 (
ZACIÓN
vidrio es n1 =el ángulo crí
) y el otro llener mayor pro
por medio delrcada P', se dó 2) Dado que
= 1.76. Para lítico si la esf
no con aceitefundidad y c
l punto P Pareterminará poe θ1 y θ2 son p
325
los rayos fera está
e mineral cuál es el
ra un ob- or medio equeños,
326
35.4.
35.5.
En consecagua parec
Un rayo drefracciónpágina, y θ1 en que
La luz ince índice dangular mδ ≈ (n l)
(a) Comoobservy apli
lo cua
REFLE
cuencia, para ycerá más prof
de luz inciden n2 = 1.6, coel cubo está ocurre la refl
cide con un áde refracción
mínima, δmin, )α, es indepen
o el prisma esvar fácilmenteicando la ley d
al implica que
EXIÓN, REFR
y y n2 dadas, yfundo, por un
sobre la caromo se muestrodeado de a
flexión total i
ngulo Bi sobn > 1 (Fig. por el prism
ndiente de θ1
s simétrico y e que la desviade Snell a las
sen K = n senθ
e θ2 = α/2. En
RACCIÓN Y
y' es inversamfactor de
ra vertical iztra en la figu
agua (n = 1.3nterna en la
bre un prisma35-5). (a) O
ma, (b) Muést.
como las trayación δ será un dos interface
θ2 y
ntonces,
POLARIZAC
mente proporc
quierda de u
ura 35-4. El p3). ¿Cuál es superficie de
a triangular isObténgase unatrese que si a
yectorias de l mínimo cuand
es se tiene que
n sen(α θ2
CIÓN
cional a n1. El
un cubo de viplano de inciel ángulo ma
e arriba?
sósceles de áa expresión pa es suficien
la luz son revdo θ1 = θ3 = k. e:
2) = sen K
[CAPITULO
recipiente lle
idrio de índicidencia es el ayor de incid
pice con ángpara la desvi
ntemente pequ
versibles, se pCon esta cond
O 35
eno de
ce de de la encia
gulo α
ación ueña,
puede dición
CCAPITULO 3
E
(
Ad
35.6. Un rase mude refse qu
P
35] RE
Esta ecuación i
(b) Cuando α
Además, cuandde tal manera
ayo de luz chuestra en la ffracción 1.5 c
uiere que la d
or el problem
EFLEXIÓN,
implícitamente
α es muy pequ
do α es suficieque δ = (n l
hoca contra ufigura 35-6. Dcuyo ápice tiedesviación to
ma 35.5(b), el
REFRACCIÓ
e determina δm
ueño, entonce
entemente peql)α.
un espejo plaDespués de laene un ángulo
otal del rayo
prisma en pri
δ = (1.50
ÓN Y POLAR
mín.
es así lo es δm
queño, todas la
ano con un áa reflexión, po de 4°. ¿A qusea de 90°?
imer lugar pro
0- 1)(4¡) = 2o
RIZACIÓN
mín; y el resulta
as desviacione
ngulo de incasa a través dué ángulo se
ovocará una d
ado de (a) se
es δ son cerca
cidencia de 4de un prisma debe girar el
desviación fij
327
transforma en
anas a δmín,
45°, como de índice espejo si
a,
n
i
328
35.7.
35.8.
35.9.
sin importardesviación dtanto, se debreloj en la f
Cuatro placgirando 30placa procedel haz de
La primresolución v= 3/4 de la transmitida
¿A qué ángsus rayos rede la horizo
Para quede Brewster
Pruébese qfrecuencia,
Supóngafase α; esto
Ésta es la eejes X y Y.
REFLEX
r la orientacióde 90°, por lobe girar un án
figura 35-6.
cas perfectam° en el sentid
edente; la últluz incident
era placa tranvectorial a un áintensidad, qupor la pila es
gulo β por eneflejados en eontal? (Véase
e los rayos reflr.
que una partí a ángulos re
ase que las vib es
cuación de un Véase el pro
XIÓN, REFR
ón del espejo. o que se debe ngulo de 1/2(2
mente polarizdo contrario ima placa forte y no polar
nsmite 1/2 deángulo de 30°,ue abandona as, entonces
cima del horel agua (n2 = la figura 35-
lejados estén l
ícula que recectos y fuera braciones tien
na elipse cuyoblema 35.15.
RACCIÓN Y P
En la orientacrotar de mane°) = 1o, en el
zadoras estánal giro de larma un ángulrizado se tra
e la intensidad transmitiendoa la placa pre
rizonte se enc1.33), los en
-7.)
linealmente po
ciba dos vibrde fase, desc
nen lugar a lo l
os ejes mayor
POLARIZAC
ción dada, el eera tal que cansentido inver
n apiladas deas manecillaslo recto con l
ansmite por l
d incidente. Co la fracción cocedente. La fr
cuentra el So
ncuentra linea
olarizados, el
raciones armcribirá una trlargo de los ej
r y menor está
CIÓN
espejo por sí mncela los 2o aso al giro de l
e tal manera s del reloj cola primera. ¿la pila?
Cada placa suos 30° de la am
fracción de la
ol cuando algalmente polar
ángulo de inci
mónicas simprayectoria elíes X y Y, con
án inclinados
[CAPITULO
mismo producdicionales. Polas manecillas
que su eje eson respecto a
Qué intensid
ucesiva formamplitud, o cos2
intensidad in
guien al obserizados a lo la
idencia debe s
ples de la miíptica. n una diferenci
con respecto
O 35
ce la or lo s del
stá la
dad
a una 2 30°
nicial
rvar argo
ser el
isma
ia de
a los
C
3
3
3
3
CAPÍTULO 3
35.10. Una ppara ¿Cuá
Laplaca los dodeben
35.11. Dedú
La on respepropo
55.12. Un ra40 mmEncuéRespu
35.13. Una lcentrotamenevitarRespu
35.14. Un pra un een el desví
35] RE
placa de un cla luz de lonl es el groso
a longitud delde grosor ℓ es
os rayos debenn diferir por
úzcase la ley
nda incidente p
ectivamente aorcional al cu
ayo de luz incim de grosor yéntrese el despuesta:
lata cilíndricao de su superfnte llena de agría ver la manuesta: 0.46 m
risma cuyo ápespejo verticalprisma, (a) ¿a el rayo? Res
EFLEXIÓN,
uarto de ondngitud de ondr mínimo de
l camino óptis nℓ y la longn emerger de (k + 1/4) λo,
de Malus, I
plana polarizad
lo largo y peuadrado de la
Probleide con un ángy un índice deplazamiento tr
a y delgada, aficie inferior sgua (n = 1.33)ncha, si el disc
ice tiene un ánl plano, como¿Cuál es el ánspuestas: (a)
REFRACCIÓ
a se construyda en el vací la placa par
co (c veces egitud del camila placa con u k = 0, 1, 2,.
= Io cos2 θ .
da E = Eo sen
erpendicular aamplitud y d
emas comgulo de 60° soe refracción dransversal entr
abierta por suse encuentra u). Calcúlese elco estuviera f
ngulo de 4o y o se muestra enngulo de incid2°; (b) -1
ÓN Y POLAR
ye con un mato λo = 589 n
ra esta longit
el tiempo de rno óptico del una diferencia. . Entonces,
ωt, es equival
al eje de transado que única
mplementaobre la superfie 1.5. El medre los rayos in
u tapa superiouna pequeña ml radio del má
flotando en el
un índice de rn la figura 35-dencia en el e178°
RIZACIÓN
terial cuyos ínm son n = tud de onda?
recorrido) de rayo extraord
a de fase de 90el grosor mín
lente a dos ond
smisión. Dadoamente se tra
arios
icie de una pladio en cada ladncidente y eme
or, tiene una amancha negra ás pequeño discentro de la s
refracción de -8. Un rayo hoespejo? (b) ¿A
índices de ref1.732 y n | | =
?
la onda ordindinario es n | |ℓ. 0°, los caminonimo satisfac
das planas pol
o que la intenansmite E||,
aca de vidrio qdo de la placa
ergente.
altura de 0.4 y la lata está
sco circular opsuperficie de
1.5 está situadorizontal de luA qué ángulo
329
fracción = 1.456.
naria en la Dado que
os ópticos e
larizadas.
nsidad es
que tiene a es aire.
m. En el comple-paco que agua.
do frente uz incide o total se
330
35.15.
35.16.
35.17.
35.18.
35.19.
Encuéntrese
Respuesta:
En (1 ) del
proporcion
Una luz no misión formRespuesta: I
Encuéntreseincide sobr
Una luz linmedio. ¿Qularizado? (adencia? Respuestas:
REFLEX
e la dirección d
Ex =
Linealmente p
problema 35.
na la elipse qu
polarizada deman un ánguloI = 1/2I' cos2θ
e la intensidae un polarizad
nealmente polué se puede da) ¿son parale
: (a) Al ángutanto, no se parte se reperpendicula
XIÓN, REFR
de polarizació
= 20 cos ωt (V
polarizada a6
.9, muéstrese
ue se gráfica e
e intensidad Io θ. Exprésese
ad transmitiddor perfecto.
larizada inciddecir de los helos al plano d
lo de Brewsterefleja luz alg
efracta. Tantoarmente al plan
RACCIÓN Y P
ón cuando, en c
V/m) Ey =
6.4° con respe
que un camb
en la figura 35
' incide sobre e la intensida
da cuando laRespuesta: I'/
de a un ángulhaces reflejadde incidencia
er la componeguna, (b) Uo el haz reno de incidenc
POLARIZAC
cierto punto, e
= 40 cos (ωt + π
ecto a +X.
bio de variable
5-9.
una pila de dd 1 del haz em
a luz circularm/2
lo de Brewstedos y refracta? (b) ¿son
ente paralela sUna parte de lfractado com
cia.
CIÓN
el campo eléctr
π) (V/m)
es apropiado
dos filtros cuymergente.
mente polariza
er sobre la suados si el hazperpendicular
se refracta comla luz inciden
mo el refleja
[CAPITULO
rico está dado
yos ejes de tra
ada de intensid
uperficie de z incidente esres al plano d
mpletamente; nte se refleja yado se polar
O 35
por
ans-
dad
cierto stá po-de inci-
por lo y otra rizarán
La ópticates (convergtodas las lentrayos son pa
36.1 FîRM
Las dos r
donde
f ≡ lond0 ≡ disdi ≡ disℓ0 ≡ tamℓi = tam
Las cinco cabraico, comoobjeto real yimagen real una imagen
a geométrica gentes, divergtes son delga
araxiales, o se
MULA GAU
relaciones bá
ngitud focal, cstancia del obstancia de la maño lineal dmaño lineal dantidades poro se especific
y convergen h(la cual se pvirtual (la cu
Ópestudia los
gentes) tieneadas: que su gea, que forma
USSIANA DE
ásicas de los
cm bjeto, cm imagen, cm
del objeto, cme la imagen, r convenciónca en la tabla
hacia un objetpuede proyecual no puede
ptica geoefectos que ln sobre los rgrosor es máan pequeños
LAS LENTE
espejos y las
m cm
n se dan en ca 36-1. Recuto virtual. Invctar directame ser proyecta
ométriclos espejos (prayos de luz. s pequeño quángulos con
ES; FîRMU
s lentes sen
entímetros. Cuérdese que lversamente, lomente sobre uada directam
Ca
ca
planos, cóncaEn el presen
ue su radio deel eje del sis
ULA DE LA A
Cada cantidalos rayos de os rayos de luuna pantalla)
mente sobre u
apítulo
avos, convexnte capítulo se curvatura y stema óptico.
AMPLIFICA
ad tiene un siluz divergen
uz convergen ), pero diverguna pantalla)
o 36
os) y las lene supone queque todos los
ACIîN
igno alge-n desde un
hacia una gen desde .
n- e s
332
36.2
La ficame(36.1)
36.1.
36.2.
TRAZO DE
posición, tamente con sóloy (36.2) en l
Descríbase iluminado).
En la figdel espejo M
Dibújese rrespondenciencuentran asecan en P[ cualquier puen P'1P'2. Po
La imageobjeto, ℓo) esUn ojo, que
Para un (d0 y ℓ0 son
Descríbase del centro d
En la figura Por convenipartir de la gF, b' es para
E RAYOS
maño y claseo dibujar la os problemas
la imagen qu
gura 36-1, P1PM.
cualquier númia con los raya', b', c'. Proy[ con lo cual sunto del objetoor lo tanto, se en es erecta. Cs igual a P'1P'se localice comespejo plano positivas seg
la imagen fode curvatura
36-2, los rayoiencia, a se dgeometría del
alelo al eje ópt
ÓPTICA
e de la imagtrayectoria d
s resueltos.
Probleue forma un
P2 representa u
mero de "rayoyos reflejadosyectados haciase localiza un
o real se tratanpuede localiz
Como se puede'2. (longitud demo se ve en lao, f = ∞. Porgún la tabla 36
ormada por un, C.
os reales a, b,dibuja paralel espejo y de l
tico, y c' retorn
A GEOMÉTR
gen que se fode ciertos ray
mas resuespejo plano
un objeto real
Flg.36-1
os reales", com (que se cons
a atrás como lín punto de la n de la misma mzar la imagen e mostrar a pae la imagen, ℓi
a figura, obserlo tanto, (36
6.1).
n espejo cónc
c se dibujan lo al eje óptica ley de la refna a través de
RICA
orma siempreyos. Este mé
ueltos
o con un obje
a una distanci
mo a, b, c, a struyen al aplíneas de trazoimagen virtuamanera, se loccompleta.
artir de geomei). Igualmentervará una flech6.1) da di = -d
cavo cuando
a partir de unco, b a travésflexión, el ray C a lo largo d
e se pueden étodo se emp
eto real (un c
ia d0 de la sup
partir de P1 aicar la ley de
os, los rayos val P'1P'2. Cuancaliza el punto
etría simple, P, do y di son de
ha P'1P'2 por do < 0 y (36.
se sitúa un ob
n punto P1 del s de F, y c a
yo reflejado ade la trayector
[CAPÍTULO
determinar gpleará junto c
uerpo materi
perficie reflect
al espejo. En e la reflexión)virtuales se intndo los rayos
o correspondie
P1P2 (longitude igual magnitdetrás del esp.2) da ℓi = ℓ0
bjeto real fue
objeto real P1a través de C' pasa a travésria de c. La int
O 36
grá-con
ial
tora
co-) se ter-
s de ente
d del tud.
pejo. 0 >0
era
1P2. . A s de ter-
C
3
CAPITULO 3
seccióservar P1, deObsérv
Se
(una i
(una i
36.3. Deséste y
Véimage
Es
6]
n de los rayos que los rayos spués de la revese que la im
ea f = +20 cm,
imagen real)
imagen invert
scríbase la imy su punto focéase la figura en es erecta, vstableciendo
ÓP
s reales a' b' ca, b, c son mu
eflexión, pasa magen está inv
, do = +45 cm
y a partir de
tida y reducid
magen formadcal, F. 36-3. AI con
virtual (por deque f= +20 c
PTICA GEOM
c' en P'1 localizuy especiales. S
a través de Pvertida.
m, ℓo= +5 cm.
(36.2) se obt
da).
da por un espe
struir los rayoetrás del espejm, do = +15
MÉTRICA
za un punto dSin embargo, c'1 , como se pru
Entonces, a p
tiene
ejo cóncavo c
os como en eljo), y amplificm, ℓo = +5 cm
e la imagen recualquier rayoueba al aplica
partir de (36.
cuando un obj
l problema 36cada. m, a partir de
eal P'1P'2. Se po (paraxial) quar la ley de la
1), se obtiene
jeto real se si
6.2, se adviert
e (36.1) y
333
puede ob-ue parta de reflexión.
e que
itúa entre
te que la
(36.2):
334
36.4.
36.5.
Descríbase objeto real
En la figobjeto real PEl rayo refrc' es la conttersección dotros puntos
Suponiene que:
Por los valor
RepítasEn la fig
y amplificadSuponie
la imagen fse sitúa más
gura 36-4, porP1P2 se dibujaractado a' pastinuación de cde los rayos rs de P'1P'2 se lndo que f = +
d
res supuestos,
e el problemgura 36-5 se mda. endo que f =
di = -
ÓPTICA
formada por s allá de su pr razones de c
an paralelos alsa a través dec. Estos rayosreales a', b', localizan de la+20 cm, do =
di = +60cm (
la imagen es
a 36.4 para emuestra la cons
+15 cm, d0 =
-30 cm (virtu
A GEOMÉTR
una lente depunto focal fcomodidad lol eje óptico a tel punto focas, por supuestc' se localizaa misma mane+30 cm, ℓo =
(real) ℓ
amplificada.
el caso de un strucción d
= +10 cm, ℓ0 =
ual) ℓi = +
RICA
elgada convefrontal, F.
os rayos realetravés de F y l trasero F', bo, siguen la l
a el punto P' era. La imagen= +6 cm, a pa
ℓi = -12cm (
objeto real se los rayos
= 2 cm en (36
+6 cm (erect
ergente (posi
s a, b, c que a través del cb' es paraleloey de la refrade la imagenn está invertidartir de (36.1)
invertida)
situado entre s; la imagen
6.1) y (36.2)
ta, amplificada)
[CAPITULO
itiva) cuando
parten de P1centro de la leno al eje ópticoacción Con la n real P'1P'2. Lda. ) y (36.2) se t
la lente y F.es virtual, er
se obtiene qu
)
O 36
o un
del nte. o, y in-Los
tie-
recta
ue
C
3
3
CAPITULO 3
36.6. Descrgativa
Endo y f.
36.7. Descr
El Por lo de objrayos mismo
6]
ríbase la ima).
n la figura 36-6 La imagen e
ríbase la ima
objeto virtual tanto, en la f
eto virtual al reflejados a'
o tamaño y a
Ó
agen de un o
6 aparece la coes virtual, ere
agen que form
es una imagenfigura 36-7 laespejo plano , b', c' convela misma dis
ÓPTICA GEO
objeto real fo
onstrucción deecta y reducid
ma un espejo
n real intercepa lente converM. La construergen hacia estancia del es
MÉTRICA
ormada por u
e rayos, la cuada.
o plano de un
ptada (producirgente auxiliaucción de rayoella), erecta (pejo en que s
una lente del
al es independi
n objeto virt
ida por algún ar L forma la ios muestra qu(la misma orise encuentra
lgada, diverg
iente de la rela
tual.
sistema ópticoimagen real I
ue la imagen eientación de I1.
335
gente (ne-
ación entre
o auxiliar). I1 que sirve es real (los I1) y del
336
36.8.
36.9.
Se puede+15 cm parseparación
Esto es, I1 e(objeto virt
Se puede de
Descríbase
En la fig(no se muesf > 0, se ob
lo cual muela lente. Má
por lo tanto
Descríbaseentre ella y
En la figL1 (no se mu
e comprobar era la lente, ude 18 cm ent
está a 22.5 tual), ℓ0 > 0,
di = +4.5 c
ecir que el efe
la imagen f
gura 36-8, la lstra); I1 es el otiene
estra que la imás aún, (36.2)
, la imagen es
e la imagen qsu punto foc
gura 36-9 la leuestra). I1 es
ÓPTICA
el resultado utun objeto reatre la lente y e
18 = 4.5 cm py f = ∞ en (3
cm (real, dist
ecto neto de M
formada por
ente positiva,objeto virtual
magen es real ) da, para ℓo
s erecta y redu
que forma unal posterior.
ente negativael objeto virtu
A GEOMÉTR
ilizando (36.1l situado a uel espejo, se e
por detrás de M36.1) y (36.2)
tancia igual)
M ha sido mo
una lente po
, L2, interceptpara L2. Al ap
y que se sitúa> 0,
ucida. Estas c
na lente nega
a, L2, intercepual para L2. A
RICA
1) y (36.2). Supuna distancia encuentra a p
M. Por lo tant), se obtiene q
ℓi = ℓo
ver I1 9 cm h
ositiva de un
a la imagen replicarse (36.1)
a entre la lent
onclusiones s
ativa cuando
ta la imagen Al aplicar (36.
poniendo unade 45 cm de
partir de (36.1
to, utilizando que
(erecta, tamaño
acia la lente.
objeto virtu
eal I1 que prod), con d0 < 0 (
te y el punto f
e describen en
o un objeto v
real I1, que pr1), con f < do
[CAPITULO
longitud focae la lente, y 1) que:
d0 = 4.5 cm
o igual)
ual.
duce una lente(objeto virtua
focal posterio
n la figura 36
virtual se sit
roduce una leo<0, se obtien
O 36
al de una
m
e L1 al) y
r de
-8.
túa
ente ne
C
3
CAPITULO 36
6.10. En la Un obla distahace e
(a) Pri
E
Sene
(
6]
figura 36-10bjeto real se pancia al objetequivalente a
imero se loca
sta imagen sir
egún los tamaegativa (imag
Obsérvese 1) es válida
ÓP
0 se muestra upresenta a L1.to d0 y los paráa una sola le
aliza la image
rve como la im
años relativos gen virtual).
que no se hica para cualqui
PTÍCA GEOM
una combinac (a) Encuéntámetros del s
ente delgada
n proveniente
magen (real o
de d0 y de los
cieron suposicier par de len
MÉTRICA
ción de dos ltrese la distanistema, (b) Mde longitud
e de L1:
o virtual) del o
parámetros, d
ciones acerca ntes delgadas.
entes delgadncia a la imag
Muéstrese que focal f, don
objeto para L2
d1 puede ser p
de los signos
as (lente comgen di en térmsi s → 0 el sisde
2 únicamente:
positiva (image
de f1 y f2; por
337
mpuesta). minos de stema se
en real) o
r lo tanto,
338
36.11
36.12
36.13
36.14
36.15
36.16
(b) Si s→
la últi
. Refiérase la relaciónreal en la
2. En la figudetrás del Respuestaespejo.
. Un espejo frente a él Respuesta
4. Un objeto Localícese
5. El radio def, do, ℓo. Respuesta:
6. En la figula lente neRespuesta
→0, (1) se ha
ima de las cu
Pa la figura 36
n (36.1) que, siposición de P
ura 36-3, sea fespejo a una : Una imagen
convexo (na d0 = 30 cm: Una imagen
virtual se locae la imagen. Re
e curvatura de
: f =+20cm; d
ra 36-6 se locgativa. Descrí: La imagen e
ÓPTIC
ace
uales es la fórm
Problema6-2 y muéstrei un objeto reaP1P2.
f = 35 cm. Udistancia de 7
n real y erecta
negativo) tien. Localícese l
n virtual y ere
aliza por detráespuesta: Una
e un espejo po
do = 33.333 cm
caliza un objeíbase la imagees real, erecta
CA GEOMÉT
mula gaussia
as compleese por medioal se coloca en
Un objeto 70 cm. Descra, de 2 cm de
ne una longitla imagen. ¿Ecta a 13.64 cm
ás del espejo da imagen virtu
sitivo es de 40
m; ℓo = 6.67cm
eto virtual enen.a y se encuent
TRICA
na para una l
ementarioo de la construn la posición d
virtual, de 6 íbase la imag tamaño, se f
ud focal de -2s erecta? m por detrás d
del problema 3al a 87.5 cm p
0 cm, di = 50
m
tre F' y la len
tra en el lado
ente delgada
os
ucción de rayde P'1P'2, se fo
cm de tamañgen que se forforma a 23.33
25 cm. Un obj
del espejo.
6.13, a una dipor detrás del e
cm, ℓi = 10 cm
nte sobre el la
emergente.
[CAPITUL
de longitud f
yos y tambiénormará una im
ño, se localizama. cm al frente
jeto real se co
istancia de 35 espejo.
m. Encuéntren
ado emergente
LO 36
focal
por magen
a por
del
oloca
cm.
nse
e de
3
sudinpso
fulace
Eof
E
m
Pc
pLe
37.1 INTER
A menos quuperposición
dirección de lntensidades; e
procedentes deon incoherent
Supóngase fuentes coherenas ondas proveálculo similarstá dada en té
El término I12,ondas en P, lo fase
En el caso espe
La interferemáxima si
Por lo tanto, encomo fuentes e
para θ pequeñLa interferencencuentra don
Inter
RFERENCIA
ue las amplitu(sección 20.4la propagacióeste fenómenoe fuentes cohetes, simplemenque un puntontes de luz cuyenientes de lar al que se realérminos de las
, que es una mcual a su vez de las
ecial de que I
encia es const
n la configuraen fase (∆ф' =
∆r =
o; (37.3) propcia es destructnde
rferenci
A
udes sean muy4). Sin embargón) de la sumo es conocidoerentes, fuentente se suman l
o de observaciya longitud des dos fuentes elizó en el probintensidades,
medida de la iz se determinas dos fuentes:
I1 = I2 = Io, (
tructiva en los
ación de la dob= 0) de igual in
= mλ
porciona el valtiva en los pu
a y difra
y grandes, las ogo, la intensidma de dos ono como interfes que tienen las dos intensión P se localie onda es λ. Poestán polariza
blema 20.9 se , I1 e I2, en P d
interferencia, a por la diferen
(37.1) se tran
s puntos P don
ble rendija de Yntensidad, la i
lor de la intenuntos P donde
acción
ondas de luz sdad (o sea el fndas puede nfefencia. Ésta una diferenciidades. za a las distanor razones de
adas en el mismpuede mostra
desde las dos f
depende de lancia de trayec
nsforma en
nde I12 > 0. E
Young, Fig. 3intensidad má
nsidad máximae I12 < 0. En
Ca
de la lu
inusoidales obflujo de potenno ser igual a
ocurre únicaa de fase fija
ncias r1 y r2, resimplicidad, smo plano. Asíar que la intensfuentes por
a diferencia dectorias ∆r ≡ r1
En particular,
37-l(a), donde xima se locali
a como 4I0. particular, la
aptulo
z
bedecen el princia en el tiema la suma de
amente entre lentre sí. Si la
espectivamentsupóngase tamí pues, por mesidad resultant
e fase, ф, entr1 r2 y la dife
existirá una in
las dos rendijiza por medio
a intensidad m
o 37
ncipio de mpo en la e las dos las ondas as fuentes
te, de dos mbién que dio de un te, I, en P
(37.1)
re las dos erencia de
(37.2)
(37.3)
ntensidad
as actúan de
mínima se
340
En la
o seamáxide la
L
dondproceinten
Cfase interfes tra
37.2
Eincidde radistrifuentde aqpor dformen la
a figura 37-l(
a se hallan a mos y los mí configuració
a generalizac
de Io es la intedentes de r
nsidad máxim
omo se mostde 180° cuanferencia son ansmitida po
DIFRACC
n el caso deden sobre unaadiación en eibuidas unifotes secundariquí el nombredetrás de la b
ma de una larga difracción d
INTERF
(a), estos mín
mitad de camínimos se muón de la dob
ción de (37.3
tensidad en Pendijas adya
ma igual, de m
tró en el probndo son refleposibles cuan
or ellas.
IîN
e las ondas pa superficie opel lado opuesrmemente soias pueden ilue de difraccióbarrera, dondga y delgada rde Fraunhofe
FERENCIA
nimos se loca
mino entre louestran en la fle rendija.
3) a una conf
P debida a unacentes y qumagnitud N2
blema 20.12ejadas por unndo la luz se
planas de luzpaca con un osto del orificobre el área deuminar regionn ("romper" o
de se le denorendija, de aner está dada
Y DIFRACC
alizan por me
os máximos; figura 37-l(b)
figuración de
na rendija, y ue arriban a
Io, cuyas pos
, las ondas en medio óptic refleja a par
z (esto es, cuorificio, el prio es el mismel orificio y qnes en el inteo "doblar"). Eomina difraccnchura w [Fipor
CIÓN DE LA
edio de
el valor de l), la cual es la
e N rendijas e
ф es la dife
P. Como en siciones angu
electromagnétcamente densrtir de dos int
uando los frerincipio de Hmo que se pque oscilaranerior de la somEl fenómeno ción de Fraug. 37-2(a)], l
A LUZ
a intensidad a gráfica de (
es
rencia de fasel caso de N
ulares satisfa
ticas sufren uso. Por lo tanterfases muy
entes de ondaHuygens estabproduciría porn coherentemembra geométes simple en unhofer. Si ela distribució
[CAPÍTULO
mínima es 0
(37.3) para el
(
se entre las oN = 2, existeacen
un corrimiennto, los efectpoco separa
a son planosblece que el cr fuentes idénente en fase. trica de la badistancias gra
el orificio tieón de intensid
O 37
0. Los l caso
(37.4)
ondas e una
nto de tos de das o
s) que campo nticas Estas
arrera; andes
ene la dades
342
dondde la
UEn uinterf(37.5caliz
(la eccomoθ ≥ 0patróespac
37.1.
37.2.
37.3.
de ф ≡ (2π/λ)Wa rendija. En lUna rejilla de una incidencferencia de la5). Por lo tanzan por medio
cuación de lao se muestra0) correspondón de la renciamiento d d
Dos radiade las ondπ/4. Encuéción del observaci
Dado q
Un experilongitud dresoluciónentre sí la
Refiéra
la separacfranjas ady
En un expsí y se ilumqué distanlas rendijque coinc
INTER
W sen θ es la dla figura (37-difracción cia normal, sas N rendijasnto, existen po de
a rejilla), per en la figura
diente a un pindija, lo cuade las rendija
adores idénticdas emitidaséntrese la disángulo θ y
ión P [véase que ∆r = (λ/8
imento de dode onda 500 nn angular de
as dos rendijaase a la figura
ión angular dyacentes es qu
perimento deminan con unncia mínimaas se encontr
cida con una
RFERENCIA
diferencia de -2(fo) se mueonsta de un gse puede mos (37.4), modpicos de inte
ro las alturas37-3. El val
ico dado se dal dependeráas.
Problecos tienen uns por ambas stribución de que especila figura 37-
8) sen θ, la di
oble rendija nm y se colocl ojo del obs
as si el observa 37-1 (a). Da
de franjas adyaue
e doble rendijna mezcla de de la franja rará una franfranja brilan
Y DIFRACC
fase, en el ánestra la gráficgran número,ostrar que sudulado por elerferencia fue
d sen θ = mλ
de estos piclor de m (0, 1denomina ordá de la relac
emas resuna separaciónfuentes. La intensidades
ifique la dir-l(a)].iferencia de f
de Young secan las rendijservador es 1vador apenas ado que las fra
acentes es λd.
ja de Young,dos longitudbrillante cen
nja brillante dnte del otro?
CIÓN DE LA
ngulo de obseca de (37.5)., N, de rendiju patrón de l patrón de dertes, e igual
cos conforman1, 2,...; únicaden. Ciertos óción entre el
ueltos
n d = λ/8, dodiferencia d
s en el camporección de l
fase en P es
e realiza utiljas a 2 m de u1' (0.000291 distingue las
anjas brillante
Por lo tanto,
, las rendijasdes de onda, λntral común de uno de lo
A LUZ
ervación θ, en
as paralelas, Fraunhofer
difracción de lmente espac
n lo envolvenamente se neórdenes puedl ancho de l
nde λ es la lode fase ∆ф' do de radiaciónlos radiador
lizando una funa pantalla.
rad), ¿a qués franjas de ines se localizan
la condición
s se encuentrλ = 750 nm y sobre una pas patrones de
[CAPITUL
ntre las dos or
surcos o ranes el patrónuna sola ren
ciados, que s
nte de difraccesita consid
den no estar ela rendija w
ongitud de ode las fuentesn como una fres al punto
fuente de luzSabiendo qu
é distancia esnterferencia?n por medio d
para distingu
an a 2 mm enλ' = 900 nm,
antalla a 2 me interferenc
LO 37
rillas
uras. n de
ndija, e lo-
ción, derar en el y el
nda s es fun- de
z de ue la stán ?
de
uir
ntre , ¿A
m de ia
C
3
3
CAPITULO 3
Rebrillan
Iguala
Por lo
37.4. ConsiUn hadio 2)reflejparale
Sedistande ond180°
La co
en ta
37.5. Por mde gropulidoluz bl
37] IN
efiérase a la Fnte del patrón
ando estas dis
o tanto, la prim
idérese una az de luz, a () se divide ea (parcialme
elo a b. Encu
e calcula la dincia adicional da es λ2 = (n1/ en la reflexi
ndición del m
anto que la c
medio de un posor t = 250 no. ¿Cuál es el lanca? Supón
TERFERENC
Fig. 37-1 (a). λ' se localiza
tancias se tien
mera posición
plancha muy(medio 1) incn un rayo reente) en el fuéntrense las
iferencia de fde 2t (suponie/n2)λ1. Más aúión. En conse
máximo de la i
condición de
roceso de annm e índice de
color de los ungase una in
CIA Y DIFR
La franja brian en
ne que
n en que ocur
y delgada decide casi norflejado, b, y
fondo de la is condicione
fase, ф, entre endo una incidún, uno de loscuencia,
interferencia c
el máximo de
nodizado, unae refracción nutensilios concidencia nor
RACCIÓN DE
illante m-ésim
rre el traslape
e grosor t , comalmente en un rayo refrinterfaz y rees de interfer
los dos rayodencia casi nors rayos (b, si n
constructiva e
la interferenc
a película tran2 = 1.8, se denstruidos conrmal de la luz
E LA LUZ
ma del patrón
e es
omo se muesn la interfaz cractado, d. Egresa al medrencia para l
s en P. El rayrmal) en un mn2>n1) sufre u
es, entonces
cia destructiva
ansparente deposita sobre esta hoja cuaz.
λ y la m'-ési
stra en la Ficon la planch
El rayo refracdio I como uos rayos b y
yo d ha recormedio donde la
un cambio de
a es
e óxido de aluna hoja de a
ando se obser
343
ma franja
g . 37-4. ha (me ctado se un rayo y d.
rrido una longitud
e fase de
luminio, aluminio van con
344
37.6.
Se debefluctúen enharán de minterferenci
Únicamentregión del v
El máxi
y de estos De lo a
fuertementque la ilum
Una antenOpera a unpor la antregistra curisco.
La antenlago (Fig. perturbacioreflejado y
y existe unfase en E e
INTERF
e encontrar quntre 400 nm
modo construcia constructiva
te el valor covisible. imo de la inte
valores, sóloanterior se infe, en tanto qu
mina.
a de radar sena longitud dtena. El primuando éste se
na de radar rec37-5). Venu
ones en B y D el rayo direct
n corrimiento es
FERENCIA Y
ué colores de l(violeta) a 70
ctivo. A partira ocurre en
orrespondient
erferencia des
λ1 = 450 nmfiere que el exe el extremo v
e localiza ende onda de 40mer mínimo e halla a 35°
cibe señales dus se puede tienen siemprto es
de fase de TC
Y DIFRACC
la región del v00 nm (rojo)r del problem
e a m = 1, es
tructiva ocurr
m (violeta) se xtremo rojo-anvioleta-azul te
la cima de u00 m. El planen la señal
° por encima
irectamente dconsiderar in
re la misma fa
C debido a la r
CIÓN DE LA
visible, cuyas , interferirán
ma 37.4, con n
sto es, λ1 = 6
re en
encuentra en naranjado-amaendrá una inte
un risco muyeta Venus sareflejada po
a del horizon
e Venus y pornfinitamente ase. La diferen
reflexión en B
LUZ
longitudes de destructivamn1= 1 (aire),
600 nm (na
la región delarillo del especensidad menor
y alto, a la oale del horizoor la superficnte. Encuéntr
r la reflexión dlejos, de tal ncia de trayec
B. Por lo tanto
[CAPÍTULO
e onda en el vmente y cuále
el máximo d
aranja), cae e
l visible. ctro será refler que la luz bla
rilla de un laonte y es segucie de Venurese la altura
de la superficiemanera que
toria entre el
o, la diferenci
O 37
acío es lo de la
en la
ejado anca
ago. uido s se
a del
e del e las rayo
ia de
C
37
37
3
37
CAPITULO 37
y para implica
7.7. Una renormalmáximsituadorendija
Unaque todla lentatravieuna dis
A pdel má
donde
7.8. En la FFraunhrifiqúe
PorSuponidos val
El erro
37.9. Una fuerejilla se tras
De orden coincid
de don
7.10. Cuanddente dcada m
7] INT
un mínimo dearía y = 0, se
ndija se locallmente con lu
mo central delos a 4 mm de a?
a propiedad fudos los rayos e no altera esan el centro dstancia f fren
partir de (37.5áximo central
w es el anch
Fig. 37-2(bhofer de unaese este valor
r (37.5) los priendo que el vlores, ф = 3π,
or que resultó
ente de luz emde difracció
slapan apena
acuerdo con lm-ésimo y el
dirán exactame
nde m = 3. Po
do una rejillade una fuentemáximo prin
TERFERENC
e intensidad etiene que ф =
liza "en el inuz de longitud patrón de didistancia entr
undamental derecorren la ml patrón de dde la lente no
nte a la pantal5), o de la Fig está dado po
ho de la rendi
b) se indica sola rendija
r.
rimeros dos mvalor de $ parse tiene que
de la suposic
mite una men se ilumina s a un ángul
la ecuación del límite de loente si
or lo tanto, da
a de difraccióe muy delgad
ncipal en el p
CIA Y DIFRA
sto debe ser i= 3π, por lo qu
finito" frented de onda de ifracción quere sí. ¿Cuál e
e cualquier sistmisma longituddifracción de son desviadoslla de observg. 37-2(b), elor
ija. Pero
el primer pia, cuya brilla
mínimos de intra el primer p
ión hecha es
zcla de longcon esta fue
o de 30°. ¿C
e la rejilla, el ongitud de on
ado que θ = 3
ón se iluminada y muy largpatrón de Fra
ACCIÓN DE
gual a π, 3π, ue
a una lente d600 nm. Los se observa es la anchura d
tema de enfoqd de camino ó
la rendija. Ds, el efecto netación. l ángulo del p
co secundariantez es 0.04
tensidad (cerospico secundar
de 4% aproxi
itudes de onente, se obserCuántas línea
límite de lonnda corta del
30°,
a normalmenga (por ejempaunhofer es
E LA LUZ
5rc. Excluye
de longitud foprimeros mín
en el plano fode la
ue, como lo esóptico a travésDe hecho, dadto de la lente
primer mínim
io en el patr47 veces la d
s) se localizanrio se encuent
madamente.
da de 450 a 6rva que dos es por metro
gitud de onda espectro de
nte con luz mplo, una renduna imagen
endo ф = π, lo
ocal 1 m y senimos a cada ocal de la len
s una lente, cos de ella. Por do que los raes colocar la r
mo en el lado
rón de difracdel pico cent
n a ф = 2π y tra a la mitad
600 nm. Cuaespectros adytiene Ja rejil
a larga del esporden (m +
monocromáticdija en una pa
brillante de
345
o cual
e ilumina lado del
nte están
nsiste en lo tanto,
ayos que rendija a
positivo
cción de tral. Ve-
ф = 4π. de estos
ndo una yacentes la?
pectro de l)-ésimo
ca proce-antalla),
e la
346
37.11
37.12.
37.13.
37.14.
fuente. Expincidente
Dejandque el m
A partir deN ф/2 = + Pero
La ecuacióción de la De aquí qu
. Reconsidéde onda. ER ≡ λ/δ , dresolubles en el orden
De acueangular es problema 3
La diferen
Y compara
Obsérv
. Una rejillalongitudes observan eRespuesta: d
. En un expde orden cobservaciórefracción franja brill
. En un expenormalmenfranjas adEncuéntres
INTER
présese la ancy de la anch
do a un lado lomáximo prince (37.4) se puπ; o sea ∆θ = 4
ón ( i ) se aplicrejilla. Obsér
ue, cuanto má
rese el probleEl poder de rdonde δ es la
las líneas espn m-ésimo.
erdo con el crila mitad del an
37.10 como
nciación de la
ando las dos e
vese que el p
P plana de difrade onda, 559 n
en el espectro dθ = 2.05 x 10-
erimento de dcero del patróón. Cuando u
es 1.5, se collante de quint
erimento de donte dos rendijayacentes es se la longitud
RFERENCIA
chura angular hura de la rejos máximos y mipal se encuen
uede inferir qu4π/N. Esta mism
ca al pico de orvese que ∆θs ancha sea la
ema 37.10 curesolución dea diferencia mpectrales λ 1
iterio de Raylencho angular d
ecuación de l
xpresiones pa
poder de reso
Problemasacción con 20nm y 559.5 nde segundo o
-4 rad
doble rendijaón de interfereuna película oca sobre unato orden. ¿Cuá
oble rendija, las paralelas qde 9.4 mm c de onda de la
Y DIFRACC
de esta línea ejilla.mínimos secuntra a un ánguue el máximoma diferencia d
orden m-ésimes inversame
a rejilla, más n
uando la fuente la rejilla, a más pequeña/2δ y X + 1/2
eigh, dos picosde cada pico. E
las rejillas, d s
ara d cos θ (∆θ
olución es el
s complem0 000 líneas pnm. ¿Cuál esorden?
a de Young seencia se encudelgada y de
a de las rendijaál es el grosor
a luz provenieue están a 2 mcuando se coa luz amarilla
CIÓN DE LA
espectral en té
undarios (véasulo ∆θ entre do central se exde fase caracter
mo cuando cos nte proporcionítidas serán l
te emita una muna longitud
a de longitud2δ . Encuéntre
s son apenas reEsta separación
sen θ = mλ, da
θ)min se obtien
l mismo en t
mentariospor metro se ilus la separación
e emplea luz dentra en la pae un materialas, en este casr de la películ
ente de una lámmm de distancoloca la panta. Respuesta: 5
A LUZ
érminos de la
se la Fig. 37-3os mínimos co
xtiende desdriza los otros m
θ se evalúa aonal al ancho,las líneas espe
mezcla contind de onda λ, es de onda p
ese Rm, el pod
esolubles cuann mínima está
a
ne que Rm = mN
todas las lon
sumina con luz
n angular de la
de 600 nm y arte central sol transparenteso la posición a? Respuesta:
mpara de vapoia entre sí. Laalla a 3.2 m590 nm
[CAPITUL
longitud de
), se puede suonsecutivos.e N ф/2 =-π
máximos princi
a partir de la e Nd, de la rej
ectrales.
nua de longituse define com
para la cual sder de resoluc
ndo su separacidada por (1 ) d
N.
ngitudes de o
z consistente das dos líneas q
la franja brillobre la pantale, cuyo índiccentral la ocu
: 6 µm
or de sodio ilua distancia ent
m de las ren
LO 37
onda
poner
a ipales.
ecua- illa.
udes mo son ción
ión del
onda.
de dos que se
lante lla de ce de upa la
umina tre las ndijas.
C
3
CAPITULO 3
37.15. Muésserva r2m + s
curvatum-ésim
37.16. Una r1000 de dif
37.17. Una rintensonda
37.18. ¿Cuán(589.5
7] INT
strese que enel patrón de
r2m = Rsλ d
ura "de la caramo del patrón.
rendija larga nm. ¿Cuál es
fracción de Fr
rejilla de difrasidad se observde la luz, si é
ntas líneas deb592 nm y 588
TERFERENC
n un experimefranjas con lu
donde λ es la a inferior "de l
y delgada, ds el ángulo θ raunhofer? Re
acción que tieva a un ánguloésta es un má
be tener una r8.995 nm) en
CIA Y DIFR
ento de los auz reflejada alongitud de
la lente y rm +
e 2 µm de anque correspo
espuesta: 30°
ene 100 000 lo de 20° con reximo de prim
rejilla de difrael espectro de
RACCIÓN DE
nillos de Newa partir de la onda de la ls y r m son
ncho, se ilumnde al primer
líneas/m se ilspecto a la
mer orden? Re
acción si con ee segundo ord
E LA LUZ
wton (Fig. 37superficie plauz que se utilos radios de l
ina con luz dr mínimo de i
umina normanormal. ¿Cu
espuesta: 384
ella se resuelvden? Respuest
7-6), en el cuana, casi normiliza, R es ellos anillos (m +
de longitud dintensidad en
almente. Un muál es la lo nm
ve el doblete dta: 494
347
ual se ob-malmente radio de + s)-ésimo
e onda de n el patrón
máximo de ongitud de
del sodio
3
r
lmfe
mf
3L
dir
dt
38.1 LOS D
Recuérdesrespecto del
Postuladolongitud, masmismas constfísica (la mecequivalentes.
Postuladom/s cuando sfuente de luz
38.2 CONSELas transform
Sean dos sdel eje comúninercial y qurazones de co
Supóngasedenada tempotemporal t'. E
OS POSTUL
se que en la scual es válid
o I. Todas lassa, tiempo y tantes numércánica, al igu
o II. La veloce mide en cu
z.
ECUENCIASmaciones de L
sistemas inercn X,X' (Fig. 38ue todos los omodidad su
e que un evenoral t, y el miEntonces, los
RelaLADOS BçSI
ección 4.3 seda la primera leyes de la fíotras tienen icas en todosal que la elec
cidad de la luzualquier sistem
S DE LOS POLorentz
ciales, L y L 8-1). Supóngarelojes de un
upóngase que
nto se especiismo evento es dos conjunt
atividadICOS
e definió el sisa ley de Newísica, expresaexactamente
s los sistemasctricidad y el
z en el espacima inercial. E
OSTULADOS
L ', en movimiease que un reln sistema ene, cuando los
fique en L pen L ' por las tos de coorde
d especia
stema inerciawton del movadas en algún
las mismas fs inerciales. Emagnetismo
io vacío tieneEsto es cierto
S
ento a una veloloj se encuentrn particular es orígenes O
por las coordcoordenadas
enadas se rel
Ca
al
al como un sivimiento.
sistema consformas matemEs decir, en c), todos los s
e un valor únio sin importa
ocidad relativra fijo a cada
están sincronO y O' coincid
denadas espacs espaciales xacionan por
apítulo
stema de coo
sistente de unmáticas e incuanto a las le
sistemas inerc
ico c = 2.9979ar el movimie
va constante v a punto de cadizados. Tambden, t = t' = 0
ciales x, y, z yx' y', z' y la co
o 38
ordenadas
nidades de cluyen las eyes de la ciales son
925 X 108 ento de la
a lo largo da sistema bién, por 0.
y la coor-
oordenada
350
o por
Obsérinterc
Lau' = (uen L
Contr
Un orepo
su lon
Dado Si la bproyecproye
DilataSu
por unpuntoL ' sedos einterv
Dadoel obsPrecasistemsi se q
RelacSu
inerciu rela
rvese que, de ambiar las cos transformau'x, u'y, u'z), l :
raccin de la Imagine un
observador enso. Sin embangitud como
que ℓ < ℓ', barra tiene uncciones X y cciones Y y
acin del tiemupóngase qun reloj unido
o P en el tieme le conoce coeventos ocurrvalo de tiemp
que ∆t > ∆tservador en Laución: (38.6)mas de referequiere obten
ciones entre lupóngase queial L , y resuativa a L , su
acuerdo conoordenadas pciones de coola velocidad
longitud na barra rígidn L ', en repoargo, un obse
la barra se cna orientació
X' de la baY' y para las
mpo
e un evento o al punto P d
mpo t'2, medidomo el intervren en diferepo ∆t ≡ t2
, el intervaloL ; a él le pare) no es válidaencia. Se deber la relación
la masa y la e la masa de uulta ser m0, masa (medid
RELATIV
n el postuladoprimadas y nordenadas dede una partí
da que se enoso con respervador en L ,
contrae (relan arbitraria f
arra; ambos os proyeccione
E1 ocurre ende L '. Supón
do por el mismvalo de tiempentes lugares t1 entre E1 y
o de tiempo secerá que el ra para dos evebe recurrir din entre las se
velocidad, launa partículala masa en
da en L ) es
VIDAD ESPE
o I, se obtieneno primadas ye Lorentz imícula medida
ncuentra fijacto a la barra, para el cual
ativa a su lonfija en L ', enobservadores es Z y Z'.
n el punto Pngase que unmo reloj. Al ipo propio ents, por lo quey E2. Se tien
se dilata (relareloj en movimentos que ocuirectamente eparaciones d
a masa y la ea se mide miereposo. Si lu
ECIAL
e (38.2) a pary cambiar el mplican la siga en L ' y u =
a a lo largo da, mide su lon
la barra se m
ngitud en reptonces (38.5)medirán las
P(x', y', z') enn segundo evntervalo de ttre E1 y E2. P
e requiere doe que:
ativo al intermiento en L
urran en lugara las transfode tiempo de
energaentras se encuuego la partí
rtir de (38.1),signo de v. guiente trans
= (ux, uy, uz),
del eje X' enngitud como
mueve con ve
poso) para e) únicamentes mismas lon
n L ' en el tivento, E2, ocuiempo ∆t ' ≡ Para un obseros relojes pa
rvalo de tiem' funciona máres diferentesormaciones de dichos even
uentra en repícula se mue
[CAPÍTULO
o viceversa,
formación ensu velocidad
n la figura 3ℓ', la longitud
elocidad v, m
l observadore se aplicará angitudes para
empo t'1 , medurre en el mit'2 t'1 medidrvador en Lra determina
(3
mpo propio) pás despacio. en ambos
de Lorentz (3ntos.
poso en un siseve con velo
O 38
, al
ntre d
8-1. d en
mide
r L . a las a las
dido ismo o en los
ar el
38.6)
para
38.2)
stema
ocidad
CAPÍTULO
y su energía
donde Eo ≡ mreposo, inclutérmica, y otdefine como
La energíen reposo Eo38.11).
En todos la Fig. 38-1.
38.1. En el10 mcorre(c) v
A
38]
a total (medi
m0c2 es la eneruyen las contritras), que po energía ciné
ía total E de uo, y por tanto
los problemaLa velocidad
l tiempo t ' =m, y' = 4 m, z' espondientesv = 2 x 108
Aplicando (3
RE
da en L ) es
rgía en reposibuciones de see la partícética, K, de l
un sistema aila masa en re
Pras, L y L ' sod de la luz se
= 4 x 10-4 s, = 6 m (obsér
s de x, y, z, tm/s.
38.1).
ELATIVIDAD
so de la partíctodas las formula cuando ela partícula;
islado se coneposo E0/c2, n
roblemas on sistemas intoma como c
medido en Lrvese que estt, medidos en
D ESPECIAL
cula. La masamas de energíestá en reposesto es,
nserva en la reno se conserv
resueltosnerciales cuy
c =. 2.997925
L ', una partíto constituyen L , para (a)
L
a en reposo, y ía (gravitacio
so en L . A la
elatividad esvan por separa
s
yo movimient5 x 108 m/s.
ícula se encue un evento). ) v = +500 m
por tanto la eonal, electroma diferencia
pecial, pero lado (véase el
to relativo se
uentra en el Calcúlense l
m/s, (b) v =
351
energía en magnética,
E E0 se
la energía l problema
e indica en
punto x' = los valores -500 m/s,
352
38.2.
38.3.
38.4.
38.5.
Supóngase1100 m, y =Calcúlensev = 2 X 108
Aplicand
En t = 10- 3
ocurre este A partir
Entonces, a
Supóngase bombilla deL , se expaque, aun cuobservan u
La ecuac
La transform
la cual se re
La ecuaciónvelocidad c.
En realidver exactamlas relaciontransformac
Una nave esTierra. ¿Cuá
El obser
que en t = 6= 100 m, z = los valores m/s.
do (38.2):
3 s (en L , oc evento para
de la primera
a partir de la
que, en el ine destello exnde un frentuando L ' se n frente de o
ción del frente
mación de Lor
educe
n (2) represen dad, el razona
mente el mismones entre las cciones de Lore
pacial (en repál es su velocid
rvador mide l
RELATIV
6 x 10-4 s, la300 m, todoscorrespondie
curre una expel observado
a relación en
cuarta relaci
nstante en quplota en ese
te de ondas emueve relat
ondas exacta
e de ondas en
rentz de ( 1 )
nta un frente d
amiento siguió tipo de ondasoordenadas enentz. Véase el
oso) de longitdad relativa a
a longitud de
VIDAD ESPE
s coordenads los valores entes medido
plosión en xor en L ', si p
(38.2),
ón en (38.2),
ue el origen origen comú
esférico a partivo a L co
amente simila
L es
es
de ondas esfé
ó el camino má, debido a los pn los dos sistl problema 38
tud 100 m requla Tierra?
e la nave espa
ECIAL
as espacialemedidos en e
os en el siste
x = 5 km. ¿Cpara él ocurr
,
O' coincide ún. De acuerdrtir de O a un velocidad ar expandién
érico que se ex
ás largo. Los opostulados I y emas tengan u.19.
uiere 4 µs para
acial y descub
s de una parel sistema "esma "en movi
uál es el t ieme en x' = 35.
con O (en t =do con los obna velocidadv, los obser
ndose a parti
xpande a part
observadores eII. Esto (casi suna forma par
a pasar ante un
bre que es
[CAPÍTULO
tícula son x stacionario" Limiento" L ',
mpo en el qu354 km?
= t' = 0), unbservadores ed c. Muéstresvadores en Lr de O'.
tir de O' con u
en L y L 'desiempre) hace rticular, la de
n observador e
38
= L . si
ue
na en se L '
(1)
una
eben que
e las
en la
CAPITULO
dondes ℓ/v de loDe o
en pa
38.6. Un remarcalugarsistem
Endica q
38.7. En uneste p
38.8. Un hP, may locaocurrsi v =
A
Los elos recon a
38.9. Un el
38]
de v es la velov. Entonces,
o cual v = 0.0tro modo, de
asar ante el ob
eloj se encuena exactamentr en L '). Encma "estacion
n (a) los inque el reloj e
n cierto lugarproceso de a
hombre insertarca t = 15 µsalizado en P2(en simultánea= 2 x 108 m/plicando la cu
eventos no ocelojes en L ' naquéllos.
lectrón tiene
RE
cidad de la na
083 c. esde el punto
servador terre
ntra en el marte 200 segundcuéntrese el inario" L , si (
ntervalos de tien L ' funcion
r en L ' se reacuerdo con l
ta un clavo es. En el mism(3000 m, 500amente en L ).s. uarta relación
urren simultáno están sincro
e velocidad u
ELATIVIDAD
ave relativa a
de vista de la
estre. Igualand
rco L en ciedos. Después,intervalo de t(a) v = 2, X 1
iempo son pana más lentam
quieren 45 mlas medidas
en el punto Pmo momento, 0 m, 150 m), s. Calcúlese el
n de (38.2),
áneamente en onizados, aun
u' relativo a L
D ESPECIAL
él. Entonces,
a nave espaci
do esto a 100/v
erto punto (x', marca 300 stiempo entre
105 m/s, (b) v
articularmentemente que un
minutos para realizadas en
P1(4000 m, como lo mar
su hermano intiempo de cad
L '. Por lo tancuando los re
L ', y las com
, él encuentra
ial, ésta tarda
v (s) se obtie
, y', z'). En deegundos (dos
e estos dos evv = 2 x 108 m
e iguales, perono en L .
cocinar una n L ? Sea v =
100 m, 200rca otro relojnserta otro clada evento que
nto, a partir delojes en L ' ha
mponentes de
que el tiempo
a
ene el mismo v
eterminado ms eventos en eventos, medi
m/s.
o en (b) el res
patata. ¿Cuá= 2 X 108 m/s
m) de L ; e sincronizad
avo en P2. (Dose determina
del punto de vayan sido sinc
e ésta son
353
o de vuelo
valor de v.
momento el mismo ido en el
sultado in-
ánto tarda s.
el reloj en o con éste os eventos
aría en L ',
vista de L , cronizados
354
38.10.
38.11.
n 38.12.
EncuéntrenA partir
Igualmente,
La conservacespecial; si(a) Obténgcantidad de
(a) Elevanobtiene
Pero mvector
DebidMeV/cma 38.
(b) La enetica, 1
Muéstrese mente inelá
Supóngel uno acantidaM0c2. L
Se puede obEn la "colis
nuye (véase
Las masas e
El deuterónenergía se un neutrón
se las compode (38.3)
, uz = 1.97159
ción de la cantn embargo, ease la relacióe movimiento
ndo al cuadrae
mc2 = E, la en
de la cantida
do a la formac, a nivel ató.20.) ergía total de
MeV. Enton
que la masa ástica.
gase que dos al otro con igd de movimi
La energía ini
servar que laión" de partíe el problem
en reposo del
n (el núcleo debe liberar
n libre, que in
RELATIVID
onentes de la v
x 107 m/s. Po
tidad de movimeste principioón entre la cao de un elect
ado (38.7)
nergía total; mad de movim
a de (38.9), lamico, donde
l electrón es nces, a partir
en reposo no
cuerpos idéngual rapideziento el cuericial del siste
a masa final ículas elemen
ma 38.12).
protón, del ne
del hidrógenr en la formanicialmente
DAD ESPEC
velocidad me
or lo tanto,
miento lineal do es el que coantidad de motrón de 1 me
y luego mul
m0c2 = E0, lamiento. Por lo
as cantidadese las energías
su energía ede (38.9)
o se conserva
nticos, cada u u', chocan y
rpo conglomeema era
en reposo, Mntales para fo
eutrón y del d
no pesado) coación de un dse encuentra
CIAL
edidas en L , a
de un sistema onduce a la novimiento y lV.
ltiplicando am
a energía en ro tanto, la rel
s de movimies están dadas
en reposo, 0. se obtiene
a en una con
uno con masy quedan pegerado debe q
Mo, excede a formar el núc
deuterón son:
onsta de un pdeuterón a pan en reposo
así como la m
aislado es válno constanciala energía tot
mbos lados p
reposo; mu =lación busca
ento a menuds en eV o Me
511 MeV, mque
ndición simét
a en reposo gados. Por coquedar en rep
Por lo tan
la masa inic
cleo, la masa
protón y un nartir de un p"en el infini
[CAPIT
magnitud de u
ido en la relata de la masa tal, (b) Calcú
por c4[l - (u2/c
= p, la magnitada es
do se especifieV. (Véase el
más su energí
trica y perfec
m0, se aproxonservación poso, con ennto,
ial en reposoen reposo d
neutrón. ¿Cuáprotón libre yito"?
ULO 38
u.
tividad (38.7).
úlese la
c2)], se
tud del
(38.9)
ican en l proble-
a cine-
cta-
ximan de la
nergía
o, 2m0. ismi-
ánta y de
CAPITULO
L
(lo c
Así penergdeute
38.13. Una masala Ti
C
por l
38.14. La mdesp108 m
(a) L
(b) L
38.15. Encutemp
38.16. En eles el
38.17. Un evt'1 = X 10-4
que v
38]
La masa en rep
cual es equiva
pues, por consegía. Esta mismerón para sep
nave espaciaa determinaderra?
Considerando
o cual u = 4.2
masa en reposoués de que h
m/s. (a) Evalú
La energía cin
La energía en
uéntrese el inperatura se in
l momento t dtiempo del go
vento sucede e3 X 10 -4 s. D4 s. ¿Cuál es ev = 2 x 108 m
RE
poso que se p
alente a una p
ervación de la ma cantidad deparar hasta el
al en reposo sa desde la T
el sistema de
2082 X 107 m/
o de un protóna caído a travúese ∆V. (b)
nética del pro
n reposo del p
ncremento dencrementa en
Probledeterminado eolpe medido p
en x' = 1000 mDespués, cuandel intervalo ent/s. Respuesta
ELATIVIDAD
pierde al form
pérdida de ene
energía, los al energía, la eninfinito al pr
sobre la Tierierra es m =
la Tierra com
/s.
n es m = 1.67vés de una diEncuéntrese
tón es
rotón es moc2
E = 938.3 +
e la masa de100 °C.
emas comen L , el origepor un reloj en
m en el eje X';do otro eventtre los evento
as: (a) 5 x 10
D ESPECIAL
marse un deut
ergía en repo
lrededores debnergía de amarotón y al neu
rra tiene una 10100 kg. ¿
mo inercial y a
2614 X 10 -27
iferencia de e la energía to
= 938.3 MeV
+ 321 = 1259.3
100 kg de c
mplementan O' de L 'es
n L ' situado e
; en ese momeo ocurre en es (a) medido e-4 s; (b) 6.712
L
terón es
so)
ben absorber erre del deuteró
utrón.
masa mo= 10¿Cuál es su v
aplicando (3
kg. Su velocipotencial eleotal del protó
V; por lo tanto
MeV
cobre (C = 0
arios
golpeado poren O'? Respue
ento, el reloj ul mismo punten L '; (b) m2 x 10-4 s
exactamente 2.ón, debe sumin
0000 kg. Al vvelocidad u r
38.7),
idad en el labevada, ∆V, eón.
o, la energía t
.389 kj/kg
r un meteoritoesta:
unido a ese puto, el reloj ma
medido en L .
355
.22 MeV de nistrarse al
volar, su relativa a
boratorio, s u = 2 X
total es
K) si su
o. ¿Cuál
nto marca arca t'2 = 8 Supóngase
356
38.18.
38.19.
38.20.
38.21.
38.22.
38.23.
Un electrón
Si v = 2 X 10Respuestas:
Verifíquese q
se transform
Calcúlese el MeV/c. Respuesta: 1 M
La masa en rrelativa al la
Un tanque reel tanque se en L ?
Respuesta:
Refiérase al inciden al ca
sale de un cañ
05 km/s, ¿cuá (a) 17 000 km
que, según la t
ma en la ecuac
factor de conv
Me V/c = 0.534
reposo de un áaboratorio) d
ectangular sellena con un
problema 38.alcular la razó
RELATIV
ñón de electro
l es la velocidm/s; (b) 206 6
transformació
ción de onda
versión entre l
4 x 10-21 kg m/
átomo de litiodoblará esta m
fija en L ', clíquido de de
22. Compruébón a la cual en
VIDAD ESPE
ones en O' con
dad del electr670 km/s
ón de Lorentz,
en L ',
las unidades c
/s
o es m0 = 1.15masa su valor?
con sus orillasensidad ρ, me
bese que el obn el tanque se
CIAL
n componente
ón, (a) en L
la ecuación d
conocidas de l
5224 X 10 -26 k? Respuesta: 2
s paralelas a ledida en L ', ¿
bservador en Le pierde la ma
[C
es de velocida
L ', (b) en L
de onda en L
la cantidad de
kg. ¿A qué r2.59628 X 108
los ejes de co¿cuál es la de
L ' y el observasa debido a l
CAPITULO 38
ad
L ?
movimiento y
rapidez (con m/s
oordenadas. ensidad medid
vador en L , ca evaporación
8
y
n
Si da
co-n.
L
d
c
d
rrNt
e
Ap
39.1 NATU
La radiaco su longitud
La misma radenergía E o lde carga cersistema inercconstituye ti
donde h es laes, a partir d
En la des
rectamente presulta ser cε0N es el númtiempo y E e
donde Eo es
39.2 EFECT
La liberacefecto fotoel
Aquí, K m á xperficie de untrabajo del m
El potencdetener al mcuencia de lasin importar entonces rees
URALEZA DU
ión electromd de onda λ,
diación, consla cantidad dro, de masa cial). Si en suene una ener
a constante dde (35.9) y co
scripción ondproporcional a
0/2 ≈ 1.33 X 1mero de fotones la energía
la amplitud d
TO FOTOEL
ción de electéctrico. La e
x es la energín metal, hv esmetal, es la ecial de frenaás energético
a onda electrola intensida
scribir como
UAL DE LA
magnética, conlas cuales se
iderada comode movimienen reposo cu aspecto onrgía
de Planck [pron Eo = 0,
dulatoria, la al cuadrado d0-3 S. En la denes que cruz
a de cada fotó
del campo el
LÉCTRICO
trones de un ecuación foto
ía cinética más la energía deenergía de enado, Vs, es eo fotoelectrónomagnética ind incidente;
Foton LUZ
nsiderada come relacionan
λv =
o un flujo de to p de los foero y que vi
ndulatorio la
E = hoblema 32.5
intensidad dde la amplituescripción cozan un área ón. Por lo ta
léctrico.
material, deoeléctrica de
K m á x = háxima (no ree los fotones qnlace del últil valor de la
n; esto es, eVncidente por d
es decir, hvc
eVs = h(
nes
mo una ondapor
ccuantos (llamotones indiviiajan únicamradiación tien
hv(b)]. La cant
e un haz de ud [véase (20orpuscular, la
unitaria peranto,
ebido a la acEinstein es
h v - W m í n
lativista) de que golpean limo electróna diferencia dVs = K m á x . Ldebajo de la cuc = W m í n .
(v-vc)
Ca
, se caracteri
mados fotonesiduales. Los
mente con rane frecuencia
idad de mov
radiación el0.9)]; el factointensidad es rpendicular a
ción de la ra
los electronela superficie,
n del átomo dde potencialLa frecuenciaual no existe La ecuación
apítulo
iza por su frec
s), se caracterfotones son pidez c (en a v, cada fot
imiento de c
lectromagnétior de proporcjustamente N
al haz por u
adiación, se d
es expulsadosy W m í n la f
del metal. de retardo qa umbral, vc,corriente fotode Einstein
o 39
cuencia v
(39.1)
riza por la idénticos cualquier
tón que la
(39.2) ada fotón
(39.3)
ica es di-cionalidad NE, donde unidad de
(39.4)
denomina
(39.5) s de la su-función de
que logra es la fre-oeléctrica,
se puede
(39.6)
358
39.3 Cu
electrlo tan
dondenominComponda
39.4
El cargascomo fotone
Si de moopues
Si positrópartícude moenergíes
39.1.
DISPERSIÓNuando un fotóón retrocedeto, una long
e θ es el ángnado longitudpton sea signCompton (en
Fig. 39
ANIQUILAC
electrón y el s son opuestaspara interactu
es, por lo que
las dos antipaovimiento, lotas y serán dun fotón tienón. La ley deula, ordinaria
ovimiento. Laía del fotón.
¿Cuál eUtilizan
N DE COMPón de longitue y el fotón ditud de onda
gulo de disped de onda Coificativo, la n la región d
9-1 Conserva
CIÓN DE PA
positrón cons, y se puedenuar de manere la conserva
artículas se anos dos fotonede igual magnne suficiente e conservacióamente el núa energía cinLa ley de co
s la energía edo la convers
F
PTON
ud de onda λdispersado tiea más larga,
ersión, como ompton, tienelongitud de
de los rayos
ación de la canti
ARES, PROD
nstituyen un pn aniquilar enra significanteación de la e
niquilan en es tendrán sus
nitud (lo cualenergía, puen de la cantid
úcleo de un átnética obtenidonservación d
Probleen un cuantoión hc = 19.8
FOTONES
choca con unene una enerλ'. La ecuac
se muestra e un valor de onda incidenX o de los r
tidad de movim
DUCCIÓN D
par de antiparntre sí cuandoe. Por lo regunergía en est
l reposo, debs vectores del significa enede producir udad de movimtomo masivoda por este nde la energía
emas resuo de radiación65 x 10-26 J m
n electrón librgía menor a ción de Comp
en la figura 0.0243 Ǻ =
nte debe ser rayos γ).
miento en la disp
DE PARES
rtículas. Tien se encuentra
ular después dte proceso se
ido a la ley de cantidad deergías fotóniun par de an
miento requieo, que aporte núcleo es desa en este proc
ueltos
n cuya longim = 1241 eV
bre de masa ela del fotón ipton es
39-1. El térm2430 fm. Pa
comparable
persión de Com
nen masas iguan lo suficientde la aniquilace expresa así
e conservacióe movimientoicas iguales).ntipartículas, uere la presenccierta porció
spreciable coceso de prod
tud de onda nm, se tiene
[CAPITULO
en reposo meincidente, y
(3
mino h/mec, ara que el efea la longitud
mpton
uales me perotemente cercación quedan
ón de la cantio en direccio un electrón yia de una terc
ón de la cantiomparada conducción de pa
mide 700 nme que
O 39
e, el por
39.7) de-
ecto d de
sus anos dos
idad ones
y un cera dad n la ares
m?
C
3
3
3
3
3
CAPÍTULO 3
39.2. Un seEl senlongitemitid
La
La lám
Dasegunradio
y el nú
39.3. Una láde ondEncuédad de
A
39.4. Con ltrabajcinéti
39.5. ¿En q
cuandde raymás p
Daaceleraun sol
39.6. Sobresión d
39]
nsor se exponsor tiene untud de onda da en forma
a energía de u
mpara utiliza 2
ado que la radndo es n multi10 m:
úmero de foto
ámpara de mda es 412 nméntrese el núme área, suponpartir de E =
luz de longito fotoeléctrica del fotoel
qué cantidad,do se bombardyos X tiene upequeña en eado que la funación, se puedo fotón de en
e una superficde fotoelectro
one durante 0na apertura des de 600 nmde luz.
un fotón de lu
200 W de pote
diación tiene siplicado por e
ones que entra
mesa ilumina lm. La amplitumero N de fotniendo que la= hc/λ y (39
tud de onda ico de 2 eV.lectrón más e
, en el efectodea un blanco
un potencial dsta radiación
nción de trabade suponer quenergía máxima
cie incide luzones cuyo po
FOTON
0.1 s a una bode 20 mm de m? Supóngas
uz es
encia. El núme
simetría esfériel cociente de
an al sensor e
la superficie ud de esta ontones que choa iluminació9.4),
600 nm se . Encuéntreenergético, y
o fotoeléctrico de tungstende aceleración?
ajo del tungstee la energía cina:
z de longitudotencial de fr
NES
ombilla de 20diámetro. ¿C
se que toda l
ero de fotones
ica, el númeroel área de la a
s 0.1 s es
de un escritonda electromocan contra en es normal.
ilumina un mense (a) la ey (c) el poten
co inverso, sno con electroón de 60 000
eno es muchonética complet
d de onda λ1 =renado es de
00 W situadaCuántos fotola energía de
que, emite por
o de fotones qapertura entre
(0.1) (1.53 x
orio con luz vmagnética eel escritorio p
metal que tinergía del fo
ncial de frena
se producen ones acelerad
0 V, ¿cuál es
o más pequeñta de un electr
= 550 nm, prVs1 = 0.19 V
a a 10 m de dones entran ee la lámpara
r segundo es, e
que entran al se el área de la
1014) = 1.53 x
violeta cuya s de 63.2
por segundo y
ene una funotón; (b) la ado.
fotones de rdos? Si una mla longitud d
ña que el poterón se pierde a
rovocando laV. Supóngase
359
distancia. en él si la
es
entonces
sensor por esfera de
x 1013.
longitud V/m.
y por uni-
ción de energía
rayos X máquina de onda
encial de al crearse
a expul- e que la
360
39.7.
39.8.
39.9.
radiación dde frenado
Verifíquese(θ = 180°).
Véase lde la conse
y a partir d
Sustituyenen la relaci
de donde
Supóngas0.2 MeV. longitud dfotones diincidencia?
Muéstreseaniquilan
de longitud de Vs2; (b) la fun
e la ecuación
la figura 39-1.ervación de la
de la conservac
do estas expreión de la canti
λ' λ = 2hc/E
e que los el(a) ¿Cuál e
de onda de losispersados q?
e que, cuandcreándose do
onda λ2 = 190nción de trabaj
n de Compto
. Suponiendocantidad de m
ción de la ener
esiones en la cidad de movim
E0 = 2h/mec, qu
ectrones en es la longitus fotones disp
que emergen
do un positróos fotones, ca
FOTONES
0 nm incidiera o de la superfi
on (39.7) cua
o que el electrómovimiento se
rgía relativista
cantidad de mmiento y energ
ue es la ecuac
un blanco dud de onda apersados un á
a un ángulo
ón y un electrada fotón tien
sobre la supericie, y (c) la fre
ando el fotó
ón se encuentrtiene que,
a,
movimiento fingía, (38.9), se
ción de Compt
de carbón disasociada a esángulo de 90o
o de 60° co
rón (ambos ene la longitud
rficie. Calcúlenecuencia umbr
ón se disp
ra inicialment
nal del electróne obtiene
ton con cos θ =
spersan un hstos fotones?o? (c) ¿Cuál eon respecto a
esencialmend de onda de
[CAPITUL
nse (a) el poteral de la super
persa retroce
e en reposo, a
n y la energía
= 1.
haz de fotone? (b) ¿Cuál s la energía da la direcció
nte en reposoCompton.
O 39
encial rficie.
ediendo
a partir
final
es de es la
de los ón de
o) se
C
3
3
5
3
3
3
3
CAPITULO 3
Lacantidconse
39.10. Demutrón e
Elcinétilo tan
39.11. EncuéRespu
59.11. En la trón e13.6 e
39.11. Con lSe exotro etrabaj
39.12. Se maEncuéRespu
39.13. La fucuenc¿cuál Respu
39.16. DespuSi el eRespu
39]
a energía totadad de movimervación de la
uéstrese que les la mitad d
l fotón incidenica sea igual anto,
éntrese la eneruesta: 2.36 eV
fotoionizacióexpulsado cuaeV. Respuesta
uz ultravioletxpulsan electrelectrodo para jo Wmín de es
antiene una caéntrese la longuesta: 0.0125 n
nción de trabcia umbral de
es la máximauestas: (a) 72
ués de la aniquelectrón y el puesta: 0.49 Me
l antes de la amiento requiere
energía,
la longitud de la longitud
nte debe tener cero (aquí se
Problergía de los fot
V
ón del átomo ando el átomoa: 7 eV
ta cuya longitrones del tung
evitar que losta superficie?
aída de voltajgitud de onda nm
bajo fotoeléctla muestra? (
a energía cinét20 THz; (b) 1
uilación de papositrón teníaeV
FOTON
aniquilación ee que las ene
de onda umbrd de onda Com
r al menos la prescindirá d
mas comptones en un ha
de hidrógeno absorbe un f
tud de onda egsteno, y un ps electrones lle? Respuesta:
e de 100 kV emás corta en
rico de una h(b) Si incide stica de los ele1.06 eV
ares, dos fotonan la misma en
NES
es 2mec2; y deergías de los
al para la prompton.
suficiente enee la energía ci
plementaaz cuya longit
o, ¿cuál será lfotón de 60 nm
s 250 nm se ipotencial de 2eguen al segun2.62 eV
entre el ánodoel espectro de
hoja de cobre sobre la hoja ctrones expul
nes de 1 MeVnergía cinétic
espués, 2hc/λfotones sean
oducción de u
ergía para creainética del núc
arios
tud de onda es
la máxima enm? La energía
ilumina una s2.4 V se aplicndo electrodo
o y el cátodo e los rayos X
es de 3 eV. luz de longitu
lsados?
V se mueven ena, encuéntres
λ (la conservaiguales). Ento
un par positr
ar un par que cleo que retro
s 526 nm.
ergía cinéticaa de ionizació
uperficie de tca entre el tu
o. ¿Cuál es la f
de un tubo deque se emiten
(a) ¿Cuálud de onda de
n direccionese el valor de e
361
ación de la onces, por
rón-elec
la energía cede). Por
a del elec- ón de H es
tungsteno. ngsteno y
función de
e rayos X. n.
es la fre-e 310 nm,
opuestas. ella.
40.1 INTROUn átomo
es el símbolnúmero de eneutrones).
EJEMPLO 4en el núcleo. exactamente
donde No es eEl protón
cuencia, la m
El modelen general, aque se le hancual están pincorrecta. Scon un elect
40.2 ENER
Supóngasestacionariodada por
(Véase el pr
40.3 POSTU
(1) El elmento angu
ODUCCIÓN
o se especificlo químico delectrones en
40.1. La especLa unidad dede 12 u. Dado
el número de n y el neutrón masa del átomo
lo de Bohr sea cualquier átn quitado todrohibidas ór
Sin embargo, rón.
RGÍA CLASI
se que un ele, de carga Ze
roblema 40.1)
ULADOS D
ectrón no pular, mvr, sea
El
ca al dar la codel elemento,n el átomo n
cie más abune masa atómio que, por def
Avogadro (stienen masas
o neutro AX se
e aplica al áttomo semejandos sus electrbitas precisaesta última p
CA DEL ÁT
ectrón se mue. Entonces, l
). Recuérden
EL MODEL
uede ocupar a un múltiplo
átomo
omposición d, Z es el númneutro) y A
dante de carbica (u) se eligfinición, 12 g
ección 17.1).s iguales, y tieerá muy cerca
omo de hidrónte al hidrógtrones exceptas, circularespredice las en
TOMO
eve en una óa energía tota
nse los valore
O DE BOHR
una órbita do entero de h
de Boh
de su núcleo, mero de prot
es el númer
bón es el C, ge de tal manegramos de C
enen mucho mana a A u.
ógeno, H; ageno (átomo cto uno. A la s o elípticas nergías de ion
órbita circularal del electró
es aproximad
R
de radio arbith/2π:
126
126
1 1
Ca
hr
utilizando laones en el nro total de n
el cual tiene era que la masC constituyen
más masa que
al helio ionizcon un electrluz de la medel electrón)
nización y el
r de radio r ón, que es la e
dos
trario, sino s
apítulo
a forma X. Enúcleo (que enucleones (p
6 protones 6 sa del átomo d1 mol, se tien
e el electrón.
zado, He+ oón), o sea, un
ecánica cuánt), la teoría despectro de l
en torno de energía del át
sólo aquella
Z A
3 2
o 40
En ésta, X es igual al protones y
neutrones de C sea ne que
En conse-
o He+ y, n átomo al tica (en la
de Bohr es os átomos
un núcleo tomo, está
(40.1)
cuyo mo-
(40.2)
12 6
4 2
364
Recuérla mas
(2) esto di
(3) Eh, a uenergía
(4) cuantoelectro
40.4 N
Estcentríp
Ahora
A los electróencuenradio ycuerda
40.5 E
Cuaonda d
donde
Estpor tanconsis
rdense los valoa (en reposo)El electrón n
ifiera de las lEl electrón p
una órbita inta
El electrón po de energía ones o con en
NIVELES D
tableciendo qpeta, se obtie
a bien, resolv
valores cuanón. Cuando nntran en el niy la energía an con los va
ESPECTROS
ando se sustdel fotón emi
la constante
te valor para nto, estacionaste en reempl
ores h = 6.626) del electrónno irradia enleyes clásicaspuede "caer" terna (de baja
puede "subir"como el da
nergía radian
DE ENERGÍA
que la fuerzaene que
viendo (40.1)
ntizados de n = 1, el átoivel base o esde ionizació
alores experim
S ATÓMICOS
ituyen las enitido o absor
de Rydberg
la constanteario. La correlazar la masa
EL ÁTO
62 x 10-34 J sn. Al entero nnergía mientrs de la electrdesde una ór
a energía) de
" desde una ódo por (40.3
nte.
A
a de Coulom
, (40.2), (40.
energía En somo tiene sustado base. O
ón del H (enmentales en g
S
nergías permrbido se obtie
está dada por
de Rydberg ección necesaa del electrón
1 1
OMO DE BO
s y m = 9.109 xn se le denomas se mueve icidad y el mrbita exteriorenergía Eℓ, y
órbita interna3), Ésta se p
mb entre el e
.4) para r, v,
se les denomu mínima enObsérvese qun el estado bgran medida
mitidas (40.7)ene que
r
refleja la suparia del moden m en (40.5
OHR
x 10-31 kg paramina número c
en una de lamagnetismo. r (de alta eney esto lo hace
a hasta una órpuede sumini
electrón y el
y E como fu
mina niveles dergía; es ent
ue r°1 y E°1 rebase); los val.
, y v = c/λ e
posición de uelo de Bohr p), (40.7), y (
a la constantecuántico de las órbitas per
rgía), en la ce irradiando u
rbita externaistrar con un
núcleo es ig
unciones de n
de energía dtonces cuandepresentan relores 0.529 Ǻ
en (40.3), pa
un núcleo co
para una masa40.9) por
[CAPITULO
e de Planck y pa órbita. rmitidas, aun
ual la energíun fotón de
(4
a absorbiendon bombardeo
gual a la fue
n, se obtiene
del átomo codo se dice quespectivamenǺ y 13.6 eV
ara la longitu
on masa infina nuclear fini
O 40
para
nque
a es
40.3)
o un o de
erza
(40.4)
on un ue se nte el con-
ud de
(40.8)
(40.9)
nita y, ta M,
C
le
(
d
cfnp
CAPITULO 4
la masa reduentonces
(El valor cor
Ahora biedescrito por 10-3 Ǻ-1! Lascomún de nℓ figura 40-1, nh =∞. Las trpara el H e1
1
40]
ucida del átom
rrecto de E°1
en, el espectuna expresió 'líneas" espeen (40.8). Ldonde las li
ransiciones cen la figura 4
EL
mo. El valor
es 13.598 eV
tro de emisióón del mismoectrales (probas tres seriesneas de trazo
causantes de e40-2.
L ÁTOMO D
teórico corre
V.)
ón que se obo tipo de (40blema 37.10)s más prominos representaestas series s
DE BOHR
ecto de la con
bserva en el .8) ¡con una ) se agrupan nentes para ean los límitesse indican en
nstante de Ry
átomo de hiconstante emen series que
el H se indics de las seri el diagrama
1 1
ydberg para e
idrógeno es mpírica de 1.e responden acan (no a escies correspon de niveles d
365
el H es,
de hecho .096776 X a un valor cala) en la ndientes a de energía
1 1
366
40.1.
40.2.
40.3.
Obténgase (
Según
Por lo tanto
Utilizando Bohr y (b)
Calcúlenseblema 40-2
(a) El mom
Pero a
(40.1).
(25.6), la en
o, a partir del
la masa redula quinta órb
e la velocidad.
mento angular
partir de la F
EL ÁTO
Proble
ergía potenci
problema 13.
ucida del Hbita de Bohr
d del electró
r total, Ln, dep
Fig. 40-3 y de
1 1
OMO DE BO
emas resu
ial del electró
.21, la energía
H, calcúlese er.
ón y su mome
pende únicam
la definición
OHR
ueltos
ón en el camp
a total del ele
el radio de (a
ento angular
mente del núm
n del centro de
po del núcleo
ectrón es
a) la órbita m
r en las dos ó
mero cuántico,
e masa,
[CAPITULO
es
más pequeña
órbitas del pr
n. Por lo tant
O 40
de
ro-
to
CAPITULO
40.4. Veridel
H
40.5. Calcserie
U
40.6. La c
se ll1/13
40.7. ¿Cudel
En1 =Lym
40.8. Un gacellínea
Sniveexci
O 40]
ifíquense los H.
Haciendo la
cúlense las loe de Lyman, Utilícese la fó
combinación
lama constan37.
ál es la máxi H en estado
El fotón con e= 1 a nh= ∞. Pman, que en e
gas de hidróglerados a paras espectraleSi un átomo ael (n = 4); véaitar las tres pri
1 1
1 1
E
valores asign
corrección d
ongitudes de (b) la serie d
órmula de Ryd
de las cantid
nte de estruc
ima longitudo base?
el que se bomPor lo tanto, sel problema 4
geno monoatrtir del reposs se emitiránabsorbe 12.7ase la Fig. 40imeras líneas d
EL ÁTOMO
nados en la fig
de la masa red
onda de las de Balmer. Tadberg,
dades fundam
ctura fina. M
d de onda de
mbardea debe u longitud de
40.5(a) fue de
tómico se boo a través de
n?
5 eV de ener0-2. Por lo tande Lyman, las
DE BOHR
gura 40-2 a lo
ducida en (4
tres primerasambién encu
mentales [véas
Muéstrese que
la luz que pu
tener suficiee onda no debe 911.76 Ǻ.
ombardea cone una diferen
rgía, será llevnto, para caers dos primeras
os primeros c
40.7), se tiene
s líneas espeéntrense los
se (40.6)]
e α es sólo un
uede llevar a
ente energía pbe exceder la
n un haz de encia de poten
vado del niver al nivel base
de Balmer y l
uatro niveles
e que
ctrales del Hlímites de la
n número, de
a cabo la foto
para llevar al edel límite de
electrones quncial de 12.7
el base (n = 1e existe la posla primera de
1 1
367
s de energía
H en (a) la s series.
e magnitud
oionización
electrón de la serie de
ue han sido 75 V. ¿Qué
1) al cuarto sibilidad de Paschen.
368
40.9.
40.10.
40.11.
40.12.
40.13.
(a) Calcúlenspotencial de iserie K (nℓ= (a) Con Z =
Por tanto
(b) De acuerd1/9 de las londel problema (Los valorestante empíric
Supóngase qumetal, (a) Cacuéntrense lanh = 2, 3, 4.
(a) Aquí Z =energías corre
(b) Dividien Estas longitudel voltaje corr
esto es, un po
La primera línpor debajo dinfiérase la fóRydberg por m
Un electrón yminado positroRespuesta: 6.8
Calcúlense, enfrarrojo) paraRespuestas: 1.
se los primeroionización? (b1; nh = 2, 3, 43 y m' ≈ m,
o, E1 = -122.4
do con (40.8)gitudes de ond
a 40.5(a),
s anteriores soca de Rydberg
ue se disponealcúlense losas longitudes¿Cuál es el p
= 29 y m' = ≈espondientes a
ndo las longitu
des de onda serespondiente a
otencial de io
Pronea de Balme
de la línea coórmula H demedio de la m
su antipartícuonio. ¿Cuál ser8 V (RP - R∞/2
n µm, las long el H. .87563 µm; 1.2
2 1
1 1
EL ÁTO
os tres niveleb) Encuéntren
4). (40.7) se tra
4 eV (el poten
, las longitudda correspondi
on un poco mag para el H
e de medios ps tres primeros de onda de potencial de i
m y, por tana 1H:
udes de onda q
e encuentran ea λ∞.
onización de 1
oblemas cr del isótopo rrespondiente
el deuterio. (Smasa reducida.)
ula (sección 39rá el potencial d2)
gitudes de ond
28217 µm; 1.09
1 1
MO DE BOH
s de energía dnse las longit
ansforma en
ncial de ioniz
des de onda deientes al hidró
ayores, dado qen lugar de R
ara quitar 28 os niveles delas líneas espionización de
to, las energí
que se obtuvie
en la región de
11.5 kV.
complemdel hidrógeno
e al hidrógenugerencia: l)
9.3), el positróde ionización d
da de las tres p
9412 µm
HR
del litio dobletudes de onda
zación es de
el litio doblemgeno. Por lo ta
que en el probRx.)
electrones dee energía del pectrales de lel último elec
as permitidas
eron en el prob
e los rayos X.
mentarios
o, deuterio, seo ordinario ala masa del nú
ón, pueden fordel positronio?
primeras línea
[C
emente ionizaa de las tres pr
122.4 V) y
mente ionizadanto, utilizand
blema 40.5 se
el 29Cu en un electrón rest
la serie para ctrón?
s serán 292 =
blema 40.5 (a)
El potencial d
encuentra a 6a 6562.8 Ǻ. Aúcleo entra en
rmar un sistem
as en la serie d
CAPITULO 4
ado. ¿Cuál esriras líneas de
do (Z = 3) serádo los resultado
utilizó la con
vapor de estetante, (b) En-la cual n1 =1
= 841 veces la
) entre 841,
de ionización
6561.01 Ǻ, juA partir de en la constante
ma ligado deno
de Paschen (in
40
su e la
án os
ns-
e -;
as
es
sto sto de
o-
n-
CAPITULO
40.14. (a) Bohr
(b) vida elect
40.15. (a) EEncucalcusultaRespu
40.16. Una mentse ex
Resp
40]
Muéstrese qur en un átomo
Verifíquensemedia del Hrón en ese tie
El electrón deuéntrese la freular la frecuenados de (a) y (uestas: (a) v
frecuepredichcargad
banda continute 1000 Ǻ hasxamina con un
uesta: Las lín1215 ǺPaschen
1 1
E
ue la frecuenco con un elect
las unidadesH en su primeempo? Respue
H cae desdcuencia de la
ncia de revolu(b) a la luz de= 52.6 MHz. ncia del fotónha por las ecu
do en su movim
ua de radiacióta 10 000 Ǻ p
n espectrógrafo
neas que emitǺ y 1025.7 Ǻ en, con excepc
1 1
EL ÁTOMO D
cia de revoluctrón está dada
s s-1 o Hz parer estado excitesta: (c) 8.3 X
de una órbita pradiación que
ución del elecel principio de
(b) f = 52.6 n correspondeuaciones clásicmiento circula
ón que contienasa a través do. ¿Qué result
te el hidrógenen la serie de
ción de sus cua
DE BOHR
ción del electa por
ra el lado dertado es de 10
X 106
para la cual ne se emite, (btrón en la órbe correspondeMHz. (c) A n
e a la frecuencas de Maxwear con acelera
ne todas las lode un gas de htados se encue
no excitado en Lyman, la seatro primeras
trón en la órb
echo de la ec ns. ¿Cuántas
n = 501 en otr) Utilícese el
bita n = 500. encia de Bohrnúmeros cuánncia de la radell; a saber: la
ación centrípet
ongitudes de oidrógeno monentran?
ntre los 1000 erie completa líneas.
bita circular n
cuación anteris revoluciones
ra para la cuaproblema 40.(c) Compáre
r. ticos altos (n
diación electroa frecuencia dta.
onda desde apnoatómico. La
Ǻ y los 10 0de Balmer y
369
n-ésima de
ior, (c) La s realiza el
al n = 500. .14(a) para nse los re-
= 500), la omagnética del electrón
proximada-a radiación
000 Ǻ son: la serie de
41.1 ENER
La energgeneral, la edada por
donde mp, mque se trate.las comparaexpresión en
A menudo smasa, como
y la equival
41.2 DESIN
Cualquieexcepto si lalos nucleoneradiactiva, etiempo t es
donde No esdesintegracitadística y suposicioneprobabilidaddel núcleo.
La vida suficientempartir de (41
RGÍA DE AM
gía de amarreenergía de am
mn, y M son re Al sumar o s
ativamente pn términos de
se quita de (4o u (ejemplo 4
lencia entre m
NTEGRACIÓ
er núcleo ineas leyes fundaes y la carga eel número de
s el número iión) es espees independs (i) de que ld de que un núVéase el probmedia, T1/2,
mente grande d1.3),
MARRE DE
e del deuterómarre del nucl
espectivamenustraer Z masequeñas ener
e las masas en
41.1) o (41.2)40.1). Obsérv
MH = 1.masa y energía
ÓN RADIACT
estable puedeamentales de celéctrica impoe núcleos no
nicial (muy gcífica de cad
diente del melos núcleos súcleo dado deblema 41.5.
de un núclede núcleos no
El núNÚCLEOS E
ón, H, se caeótido X co
te las masas esas electrónicrgías de aman reposo de át
) el factor c2, vese que los v
.007825 ua 1 u 931.
TIVA
e desintegrarconservaciónosibilitan ese desintegrado
N = N0
grande) de núda núclido recanismo exae desintegran
ecaiga en los s
o inestable edesintegrado
2 1
A Z
úcleo
ESTABLES
alculó en el pompuesto de Z
en reposo de ucas en reposo arre de estos tomos neutro
el cual en efvalores
mn = 1.008.5 MeV (prob
rse y convertn de la masa y
proceso. De aos (N) que es
N0e-λt
úcleos inestabradiactivo. Laacto del procn independiensiguientes ∆ti
es el tiempo os habrá decre
C
problema 38.Z protones y N
un protón, una la derecha delectrones,
s:
fecto hace qu
8665 u
blema 41.1).
tirse en otrasla energía, la
acuerdo con lstarán present
bles en la mua relación (4ceso. Su valntemente unoi segundos es
después del ecido hasta 1/
apítul
.12. De una mN = A Z neu
n neutrón y dede (41.1), y. dse puede ree
e BEX tenga
s partículas a cantidad de ma ley de la detes en una m
uestra; λ, (la c41.3) es únicidez descans
os de otros; (iλ ∆t, sin impo
cual cualquie/2 de su núme
o 41
manera más utrones, está
el núcleo del despreciando escribir esta
unidades de
(o fotones), movimiento, sintegración
muestra en el
(41.3)
constante de camente es-sa sobre las ii) de que la ortar la edad
er población ero inicial. A
372
De otroacti
La uniantiguo
41.3 R
Unade una
x se denEl v
reposo
= (Dado q
Q =Según masas
41.1.
41.2.
41.3.
o modo, la pvidad, A, de
dad SI de aco curie (1 Ci
REACCIONE
a reacción nu partícula y
nomina el proalor Q de undel proyecti
Q≡[
(energía en repoque la energí
= (energía cinéla reacción, Qen reposo, e
Si una masa
Con base
Estímese la 1015)A1/3 (mneutrón y de
(Las densida
Calcúlense masa del O16
8
probabilidad e una muestra
ctividad es e= 3.7 x 1010
ES NUCLEA
clear en la cuy la formaci
x
oyectil; a X ea reacción nuil más el blan(Mx + Mx) - (M
oso de las partía total E = E
ética de las partQ puede ser pl valor Q de
1 u se convir
e en el ejemplo
densidad de m), donde A el protón son
ades ordinarias
(a) la energíO neutro es M
EL
de que un na es su razón
l becquerel (s-l).
ARES
ual una partíción de un nú+ X→Y + y
el blanco; y euclear es la ennco y de la pMy+MY)]c2
culas participanE0 + K se con
tículas resultanpositiva, neguna reacción
Problemrtiera complet
o 40.1,
materia en eles el número
n iguales a 1
s son del orden
ía de amarre Mo = 15.9949
NÚCLEO
núcleo no se n de desinteg
(1 Bq = 1 s-1
cula x choca cúcleo residua
o
s la partículanergía disponpartícula pro
ntes) (energíanserva, tamb
ntes) (energía gativa o cero.n es el mismo
mas resuetamente en en
l núcleo. Tómo de masa de.67 X 1027 k
n de 103 kg/m
del O y (b)15 u.
16 8
desintegre dgración:
1), pero aún
contra un núcal Y se indic
X(x,y)Y
a producto; ynible a partirducto más e
a en reposo de lién se tiene
cinética de las Debido a suo en todos lo
eltos
nergía, ¿de cu
mese el radio l núcleo, y su
kg.
m3.)
) la energía d
[
durante T1/2
se utiliza am
leo X, resultaca como
y Y es el núclr de la diferenl núcleo que
las partículas reque
partículas partu dependenciaos sistemas in
uánta energía
del núcleo coupóngase qu
de amarre po
[CAPITULO 4
es de 1/2. L
(41
mpliamente e
ando la emisi
eo que reculancia de masa recula:
(41.
esultantes)
ticipantes) (41.a única de lanerciales.
se dispondría
omo R = (1.2e las masas d
or nucleón. L
41
La
.5)
el
ón
a. en
6)
7) s
a?
2 X del
La
CAP
41.4
41.5
41.6
PITULO 41]
4. La energnucleón nucleón m15.99491
Después d
La ES es
o 12.13 MSi el n
que la ES como un grande seSe removnúcleos spara los n
. Obténgas
Comeprevisto dnúmero prque sucedN(t) tienees N(t) x 1000 ( )"
Cuandecaer se
6. MuéstresA par
decaen e
1 6
gía de separamás débilm
menos ligado15 u.
de quitar un p
por lo tanto,
MeV. núcleo se inter es mayor que "efecto de vol
ea el número toverá gran cane quiten, el ef
nucleones que
se (41.3), o s
nzando con ude núcleos quromedio de nú
dería en un intee una probab(λ ∆t). [Comp.] En consecu
ndo No es muye puede ident
se que la vidrtir del probleentre el tiemp
ación, ES, es ente ligado
o es un protón
protón, H, d
en términos
rpreta de acuela EA [calcula
lumen", ya queotal de nucleonntidad de enefecto del volu quedan. Ento
sea la ley esta
un gran númeue no se han úcleos observadervalo infinitebilidad de depárese: "si se uencia, se tien
y grande (comtificar con el n
a media de uema 41.5, la po t y t + dt)
1 1
EL NÚCLE
la energía mdel núcleo. n. La masa at
del núcleo O
de las masas
erdo con el moada como 7.98e el núcleo pones A, más dif
ergía para qumen y otros e
onces, la EA. p
adística de la
ero, No, de tipdesintegrado dos si el experisimal de tiemp
esintegración lanzan 1000
ne que
mo casi siemprnúmero obser
un núcleo inefracción de nestá dada por
16 8
O
ínima que seCalcúlese la
tómica del N
O, queda un n
atómicas neu
delo de la got8 MeV en el prsee una energfícil será quitaitar el primerfectos decrecpara el O es
a desintegrac
pos de núcleodespués de unimento se repitpo (t, t + ∆t). Dλ ∆t, el númdados, el núm
re lo es), el núrvado en real
estable es pornúcleos que tir
15 7
16 8
e debe suminia energía ESN es 15.00010
núcleo de N:
utras,
ta líquida, la problema 41.3(bía de amarre Ear el protón indr protón. Peren y la EA conmás pequeña
ión radiactiv
os inestables, n tiempo t. [Etiera muchas vDado que cualmero esperad
mero de los qu
úmero esperadidad.
r término meienen vida m
15 7
istrar para quS para el O,08 u y del O
:
paradoja apareb)] se puede exEv = aA. Cuantdividual del nro entre más ntinúa reduciéque su ES.
va.
sea N(t) el nEsto es, N(t)
veces.] Considéquiera de los n
do de que deue mostrarán u
do, N de núcle
edio Tprom = 1edia t (esto e
16 8 16 8
373
uitar el , si el
O es de
ente de xpresar to más
núcleo. y más éndose
número será el
érese lo núcleos ecaigan un 5 es
eos sin
1/λ
es, que
374
41.7.
41.8.
41.9.
Si un núclidal bombardeque existan dde estos núc
(a) La poblaminuye
Separand
(b) A partirmenta onúmero
En loley de decierto m
Una sustancque las canti
X decae
Por cada núcλxNx núcleosλyNy núcleos
Para inte La vida medeste element
(a) El núm
do radiactivo ar un blanco
después de t sleos radiactiv
ación N simula una razón λ
do las variabl
r del resultado incrementa amáximo de núo anterior se sesintegración
momento.
ia X se desinidades inicial
a una razón
cleo X que se d por segundo.por segundo.
egrar esto, tra
dia del 215At to, ¿cuál es s
mero de átomos
EL
se produce acon neutroneegundos de q
vos.
ltáneamente sλN. Por lo tan
es e integrand
o de (a) se asintóticamenúcleos es esupuso que n/radiactiva, y p
ntegra en unales de X y Y
de
desintegra se f. Pero al mism El increment
aspóngase λyN
es de 100 µsu actividad (
s radiactivos p
NÚCLEO
a una razón ces), encuéntreque el número
e incrementa nto, la razón n
do, se tiene qu
puede observnte hacia n/λ, entonces el m/λ, al igual qupor lo tanto, e
a sustancia rason Nx0 y Ny0
forma uno de mo tiempo queto neto de núc
Ny y multiplíq
s. Si inicialm(a) inicialmen
presentes al in
onstante de nense (a) el nú sea N0, (b) e
a una razón nneta de increm
ue
var que N(t) de acuerdo c
más grande de ue N0, es muyel resultado de
adiactiva Y. E0, respectivam
Y. Por lo tante Y se forma, cleos Y por se
quense ambos
mente una munte? (b) ¿Des
nicio es
[
n por segundúmero (esperal número máx
n y por la desmento, es
comienza en
con N0 > n/λN0 y n/λ.
y grande; de oe (a), deja de te
Encuéntrese Nmente.
o, Y se formase desintegragundo será pu
s lados por eλy
uestra contiespués de 200
[CAPITULO 4
o (por ejempado) de núcleximo(esperad
integración di
n No y se decλ o n/λ > No.
otra manera, lener validez e
Ny, si se sabe
a una razón da a una razón dues
yt dt:
ene 6 mg de µs?
41
plo os
do)
is-
cre- El
la en
e
de de
C
4
4
4
CAPITULO 4
y
P
41.10. La tabradiacla con
De o In CRuna recpasa a Entonc
o λ = 0Ob
41.11. A mencon unformauna pactividtranscuna acactividla actipor ki
(a) A
(b) Si
41.12. Calcú
41]
la constante d
or lo tanto, la
bla siguiente ctivo. Suponinstante de dec
enotando el fa
R = ln β ∆t, Acta cuya pendtravés de los
ces
0.3049 h-1 = 8bsérvese que el
nudo se supona vida mediaa de CO2 a paieza de maddad de 14C dcurrido desdectividad especdad actual de ividad especíilogramo, ¿cu
Aplicando (41.
i en lugar de e
lese el valor
de desintegraci
actividad inic
muestra la raiendo que la rcaimiento del
actor de propo
Así, pues, si loiente sea λ. Sdatos comien
8.469 x 105 sl valor calcula
ne que la proa de 5568 añoartir del aire cdera con masde 2.5 desintee que la madcífica de 14C dlas plantas vi
ífica cuando uál será la ve
5) a 1 kg de m
esto, A0 = 170
Q de la reac
EL NÚCL
ión del 215At es
cial es
azón de contrazón de connúclido.
orcionalidad c
os datos se graSupóngase, ponza exactamen
l.ado de λ es ind
oducción de 1
s. En consecucontendrán unsa de 20 graegraciones podera ha sido de 250 desintivientes no escortaron e1 á
erdadera edad
madera, con A0
0 Bq/kg,
cción
LEO
s
eo observadanteo es propor
como α, se tie
afican en papelor motivo de snte pasando po
dependiente de
14C en el aireuencia, las plana cantidad enamos, tomadaor segundo, cortada, si lategraciones ps representativárbol fue de d de la pieza
0 = 250 Bq/kg
a en una muercional a la a
ene
l semilogarítmimplicidad, quor los dos prim
e las unidades
e se balancea antas vivas qun equilibrio da de una cab(a) Encuéntras plantas deor segundo pva de su activ170 desintegcortada?
g,
estra de ciertoactividad, enc
mico, la curva due la "mejor" meros puntos
que se elijan p
por su desintue absorben cade 14C. Supónbaña india, trese cuánto tie la actualidaor kilogramo
vidad en el pagraciones por
375
o núclido cuéntrese
deberá ser recta que de datos.
para CR.
tegración arbono en ngase que tiene una iempo ha ad tienen , (b) Si la
asado, y si r segundo
1
376
41.13.
41.14.
41.15.
41.16.
Si la masa y 4.002603
Súmensemasas atóm
Esta reac
17.6 MeV.
Encuéntres
Las masas ey 16.999133
Despuésmasas atóm
A diferepierden 1.19menos que een el sistem
El siguienteposible de e
El resultadouna partículEncuéntres
La reacc
en la cual s(problema 4a cero, se ti
Calcúlese la
Encuéntrese
en reposo deu, respectiva
e 2 masas elemicas. La masa
cción es exoté
se el valor Q
en reposo de 3 u, respectiv
de sumar 9 micas junto con
Q
encia de la re9 MeV de eneel proyectil (la
ma del centro d
e ciclo protónenergía estel
o neto de estala a ( He), e el valor Q
ción en su con
se entienden á40.12), con maiene
Pra energía nucl
la energía de
4 2
EL
e los átomos amente.
ectrónicas a ca en reposo de
érmica (Q>0)
Q de la reacci
los átomos namente.
masas electrón la masa del
Q = (4.002603 + = -0.001281
eacción del prrgía en ella. E
a partícula α, de masa).
n-protón de rlar:
s reacciones e dos positrondel ciclo. La
njunto es
átomos neutroasa 2me. Por lo
roblemas ear de amarre
separación de
42
L NÚCLEO
neutros H,
ada lado de lel neutrón es
); se proporci
ión nuclear
neutros He,
ónicas a cada H, 1.007825
14.003074) - (1u = -1.19 MeVroblema 41.12
Es obvio, puesHe) tenga al m
reacciones nu
es que cuatrones ( e), dosa masa en rep
os, a condicióo tanto, record
complem
e del deuterón
e un neutrón d
2 1
4 2
1 1
42
0 1
H, y He s
la reacción pa1.008665 u y
iona en la rea
N, y O so
lado de la re5 u.
16.999133 + 1.00V 2, esta reaccis, que la reaccimenos 1.19 M
ucleares se h
protones (
s fotones de poso del átom
ón de que e dando que γ y
mentariosn, H. Respue
del He. Respu
3 1
4 2
14 7
17 8
11
0 1
42
2 1
son 2.014102
ara que se puy, por tanto,
acción una ene
on 4.002603
acción, se pu
07825)
ión es endotéión no puede eV de energía
a sugerido co
H) se combinrayos γ y domo de helio
se interprete y v tienen mas
esta: 2.22 MeV
uesta: 20.58 M
[CAPITULO
2 u, 3.016049
uedan utilizar
ergía cinética
u, 14.003074
ueden utilizar
rmica (Q<0);llevarse a cab
a cinética (med
omo una fuen
nan para produos neutrinos es 4.002603
como positroa en reposo ig
V
MeV
41
9 u
las
a de
4 u,
las
; se o, a
dida
nte
ucir (v). u.
onio gual
C
4
4
4
CAPITULO 4
41.17. La vidgramo
41.18. Calcúde 19.
41.19. Calcú
41]
da media del o de radio? Resp
úlese la masa .7 minutos. Re
úlense: los val
radio, Ra, puesta: 3.6 x 1
de una fuentespuesta: 0.02
ores Q de las
226 88
EL NÚC
es de 1620 a010 s1 ≈ 1 Ci
te de Bi qu24 µg
reacciones
21483
CLEO
años. ¿Cuál es
ue tiene una a
s la actividad
actividad de 1
d de una mues
1 Ci y una vi
377
stra de un
ida media
Índice
A (ampere), 11, 207 Absorción, proceso de, 172 Aceleración:
angular, 61-62 constante, 62 momento de torsión (torca) y, 106
cálculo de la, 32 componente normal de la, 62 componente tangencial de la, 62 de coriolis, 65 expresión vectorial para la, 21 gravitacional, 14 lineal instantánea, 13-14 relación dimensional de la, 11
Actividad de una muestra, 371 Adición:
por componentes, 4-5 gráfica, 2
Alambre portador de corriente, fuerza sobre un, 257-259
Alternador, potencia de un, 316 Amortiguamiento,
crítico, 136 factor de, 136
Ampere, ley, circuital de, 273 espira de, 300
Ampliación, fórmula de, Amplitud, en el movimiento armónico simple, 135 Análisis
dimensional, 11 de ecuaciones físicas dimensional, 11
Analogías electromecánicas, 306 Ángulo crítico, 323 Aniquilación de pares, 356 Antipartículas, 356 Arquímedes, principio de, 146 Atmósferas, ley de las, 165 Átomo:
de Bohr, 363-369 energía clásica del, 363
Autoinductancia, de una bobina, 291 (véase también Inductancia)
Avogadro, número de, 161
Becquerel (Bq), 372 Bernoulli, ecuación de, 153 Biot-Savart, ley de, 272 Birrefringencia, polarización por, 324 Bobina (s):
autoinductancia de una, 291 Inductancia mutua de dos, 292-293 plana, momento de una fuerza sobre una, 258
Bohr, átomo de, 339-369 Boltzmann, constante (K) de, 161 Bomba de calor, 180 Bq (Becquerel), 372 Brewster, ley de, 324
C (coulomb), 11, 207 Calor específico, 171 Campo: eléctrico (E), definido, 217 establecido por cargas, 217 principio de superposición para el, 218 elecromagnético, 257 gravitacional, 123 intensidad de, 123 magnético (véase Campo magnético) Campo magnético:
de una carga en movimiento, 271 de un filamento de corriente, 272 fuentes de, 271-279 intensidad del, 299
en un medio material, 299-304 densidad de flujo del, 257, 259 flujo en, 259
Cantidad de movimiento, 51 angular, 115-122
conservación de la, 115 definición de la, 115 espín de la, 117
momento de torsión (torca) y, 106 orbital, 117 principio de la, 115 lineal, 51
conservación de la, 51 Capacidad, calórica, 171 específica, 171 molar, 171 Capacitancia, 238 Carga (s):
conservación de la, 316 eléctrica, 11, 207 en movimiento, campos magnéticos sobre, 271 fuerzas magnéticas sobre, 257-269 de prueba, 217 puntuales, 217 fuerza entre, 208 fuerza total ejercida por, 208 potencial eléctrico cerca de, 232 en reposo, campo eléctrico establecido por,
217-224 Carnot, máquina de, 180
379
380 ÍNDICE
Centro, de gravedad, 39 de masa, 31, 91
Ci (curie), 372 Ciclo protón-protón, 376 Circuitos:
ca de estado estacionario, 313-321 eléctricos
simples, respuesta en el tiempo de, 305-31] magnéticos, 299 en paralelo, 315-316 resistivos, leyes de Kirchhoff para, 251-256 R-L-C en serie, 305 en serie, 313-315
Clausius, ecuación de, 179 segunda ley de la Termodinámica, postulado
de, 181 Coeficiente:
de expansión lineal, 171 de expansión volumétrica, 171 por temperatura de la resistencia, 242
Componente (s): normal de la aceleración, 62 suma por, 4-5 vectoriales, 3-5
Compton, dispersión de, 358 ecuación de, 358 longitud de onda de, 358
Condiciones para el equilibrio, 92 Conductividad, 242
térmica, 172 Conservación:
de la cantidad de movimiento angular, 115 de la cantidad de movimiento lineal, 51 de la carga, 316 de la energía, 83
Constante: de Boltzmann, 161 de desintegración, 371 dieléctrica, 208 de estructura fina, 367 de fase, 135 gravitacional, 123 de Planck, 357
.de un resorte, 135 de Rydberg, 364 universal de los gases (R), 161
Continuidad, ecuación de, 153 Coordenadas angulares, 61 Coriolis, aceleración de, 65 Corriente (s),
eléctrica, 11, 207, 241 densidad de, 241
ley de las, de Kirchhoff, 251 Cosenos directores, 4 Coulomb (c), 11, 207
ley de, 208 validez de la, 208
Cruz, producto, 8-10 Cuarto de onda, placa de un, 324 Cuerpos rígidos, 91
energía cinética del movimiento de, 105-106 estática de los, 91-92 movimiento de, 106-114
Curie (Ci), 346 Curva plana, movimiento a lo largo de una, 62-63
Dalton, ley de las presiones parciales de, 165-166 dB (decibel), 200 Decibel (dB), 200 Deformación unitaria,
de esfuerzo cortante, 135 lineal, 135 volumétrica, 135
Densidad, 145 de corriente eléctrica, 241 de energía, 300 de flujo magnético, 257, 259
Desintegración constante de, 371 radiactiva, 371
Desplazamiento, 21 angular, 61-62 longitudinal, 200 en el movimiento armónico simple, 135
Diagrama de vectores rotantes, 314 Dieléctrica, constante, 208 Difracción, 340-342
rejilla de, 342 Dilatación de tiempo, 350 Dinámica de los fluidos, 153-159 Dipolo eléctrico, 220 Dispersión de Compton, 358 Dulong y Petit, ley de, 172
E (véase Campo eléctrico) Ecuación (es):
de estado de un gas, 161 físicas, análisis dimensional de las, 11
Efecto, dopler, 200 fotoeléctrico, 357
Eficiencia de una máquina térmica, 180 Einstein, ecuación fotoeléctrica de, 357 Eje(s),
óptico, 324 paralelos, teorema de los, sobre los momentos
de inercia, 105 perpendiculares, teorema de los, 105
Elasticidad, 135 movimiento armónico y, 135, 144
Electrón-volt (eV), 233 Emisión de radiación, 172 Empuje, fuerza de, 146 Energía, 73
de amarre del núcleo, 371 cinética, 73
de un cuerpo rígido en movimiento, 106-107 en la relatividad especial, 351
clásica del átomo, 363 conservación de la, 83 densidad de la, 300 eléctrica, fuentes de, 242 niveles de, 364
ÍNDICE 381
potencial, 83 gravitacional, 123 del movimiento armónico simple, 135
potencial eléctrico y, 231 en reposo, 351 separación de la, 373
Entalpia, 172 Entidades:
básicas, 10-11 derivadas, 11 físicas, 10-11
Entropía, 179 definición estadística de la, 179
Equilibrio, condiciones del, 92 Equipartición, teorema de la, 162 Equipotenciales, 232 Escalar (es), 1
multiplicación de, por vectores, 7 producto, 8
Escape, rapidez de, 123 Esfuerzo, 135
cortante, de formación unitaria por, 135 Espacio vacío:
permeabilidad del, 271 permitividad del, 208 velocidad de la luz en el, 349
Espín, cantidad de movimiento angular de, 117 Espectros atómicos, 364-365 Espejos, relaciones básicas de los, 331 Estado:
base o nivel base, 364 estacionario, solución de, 305
Estática: del cuerpo rígido, 91-92 de un fluido (ver Fluidos estáticos)
Estructura fina, constante de, 364 eV (electrón-volt), 233 Evento, 349 Excentricidad, 124 Expansión (dilatación):
lineal, coeficiente de, 171 térmica, 171 volumétrica, coeficiente de, 171
Expansión vectorial: para un segmento de recta, 6 para la velocidad y la aceleración, 21
Farad (F), 205 Faraday, ley de la fuerza electromotriz inducida
de, 281-289 Fase,
ángulo de, 313 constante de, 135 diferencia de, 339
fem. (véase Fuerza electromotriz) Fenómenos ondulatorios, 189-197 Filamento de corriente, campo magnético de un, 272 Fluido,
dinámica de un, 153-159 estática de un, 145-151
leyes de la, 145-146 movimiento de un, 153 presión en un, 145
Flujo, 225 eléctrico, 225 estacionario, 153 gravitacional, 123 incompresible, 153 irrotacional, 153 magnético, 244
densidad de, 257, 259 promedio, 291
Fotones, 357-361 Fraunhofer, difracción de, 340 Frecuencia, 61
en el movimiento armónico simple, 135 natural, 190 umbral, 357
Fricción: cinética,
coeficiente de, 39 estática, coeficiente de, 39 fuerzas de, 39-40 de rodamiento, 40
Fuentes coherentes, 339 Fuentes incoherentes, 339 Fuerza, 31
cálculo de una, 32 centrípeta, 40 conservativa, 79, 83 electromotriz, 281-283 inducida, 281-283 de empuje, 146 entre dos cargas puntuales, 208 de fricción, 39-40 gravitacional, 123 de Hooke, ley de la, 83 impulso de una, 51 de inercia, 32 magnética sobre cargas en movimiento, 257-269 magnetomotriz (mmf), 300 .no conservativa, 83 radial, 40 relación dimensional de una, 11 sobre un alambre portador de corriente, 257-259 total ejercida por varias cargas puntuales, 208-269 trabajo realizado por una, 73
Gas (es), constante universal de los, 161 diatómico, 162-163 ecuación de estado de un, 161 ideal, ley del, 161 monoatómico, 153
Gauss, ley de, 124 Giro, radio de, 105 Gota líquida, modelo de la, 373 Grados de libertad, 162 Gravedad:
centro de, 39 específica, 145
Gravitación, 123-134 ley de la, de Newton, 123
Henry (H), 271 Hertz (Hz), 136
382 ÍNDICE
Hooke, 135 ley de, 135 ley de la fuerza de, 83
Huygens, principio de, 340 Hz (Hertz), 136 Imágenes
y objetos reales, 331 reales y virtuales, 331
Impedancia (Z), 313 Impulso,
cantidad de movimiento, teorema del, 51 de una fuerza, 51
Incidencia, plano de, 323 Inducción magnética, 257 Inductancia, 291-297
mutua de dos bobinas, 292-293 (véase también Autoinductancia)
Inercia, 31 momento de, 105
Intensidad, del campo magnético, 299 magnética, 299 máxima y mínima, 339-340 de las ondas de sonido, 199
Interacción de partículas, sistemas de, 39 Interferencia, 399
Joule (J), 73
k (constante de Boltzmann), 161 Kelvin,
Planck, postulado de la segunda ley de la Termodinámica de, 181
temperatura de, 179 Kilogramo (kg), 11 Kirchhoff,
ley de las corrientes de, 251 ley de los voltajes de, 251-252 leyes de, para circuitos de resistencias, 251-256
Laplace, ecuación de, 236 Lentes,
compuestas, 337 gaussianas, fórmula de las, 331 relaciones básicas de las, 331
Lenz, ley de, 282 Ley(es),
circuital de ampere, 273 de Kepler, 124 de Newton de la gravitación, 123
de Newton del movimiento, 31 introducción, 31-38 problemas más avanzados, 39-50 Libertad, grados de, 162 Línea de corriente, 153 Longitud, 11
contracción de la, 350 de onda, 189
de Compton, 358 en reposo, 350
Lorentz, ecuación de, 257, 281
transformaciones de, 349-350 Luz:
circulante polarizada, 324 elípticamente polarizada, 324 interferencia y difracción de la, 339-347 linealmente polarizada, 324 natural, 324 naturaleza dual de la, 357 no polarizada, 324 polarizada, intensidad de la, 324 rayo de, 323 reflexión, refracción y polarización de la, 323-330 velocidad de la, en el espacio vacío, 349
m (metro), 11 Mach, número de, 203 Magnetización, 299 Malus, ley de, 324 Máquina térmica, 180 MAS (véase Movimiento armónico simple) Masa, 10, 31
atómica, unidad de (u), 363 centro de, 39, 91 y energía, equivalencia entre, 371 y rapidez, y relaciones de masa y energía, 350-351 reducida, 364 en reposo, 350 unidad (u) atómica de, 363
Materia, propiedades térmicas de la, 171-178 Materiales diamagnéticos, 299 Materiales ferromagnéticos, 299 Materiales paramagnéticos, 299 Medios materiales, campos magnéticos en, 299-304 Metro (m), 11 Microcoulomb (C), 207 mmf (fuerza magnetomotriz), 300 Modos normales de vibración, 190 Módulo,
de elasticidad volumétrica, 137 elástico, 135
Momento: brazo del, 91 dipolar, 220 de una fuerza, 91-92
aceleración angular y, 106 sobre una bobina plana, 258
de una fuerza en sentido contrario a las manecillas del reloj, 91
de una fuerza en el sentido de las manecillas del reloj, 91
de inercia, 105 teoremas del, 105
Movimiento: angular con rapidez variable, 61-62 armónico amortiguado, 136 armónico simple (MAS), 135
ecuaciones del, 135 energía potencial del, 136
circular: relaciones entre las cantidades lineales y an-
guiares en el, 62 uniforme, 40
de un cuerpo rígido, 105-114
ÍNDICE 383
curvilíneo en un piano, 61-71 a lo largo de una curva plana en general, 62-63 de una partícula en un plano, 21-30 de un péndulo simple, 136 rectilíneo de una partícula, 13-20 rectilíneo uniformemente acelerado, 14 relativo, 52 térmico, 161-162
Multiplicación: de un vector por un escalar, 7-8 vectorial, 7-11
Nanocoulomb (nC), 207 Núcleo, 371-377
retroceso de un, 372 Número cuántico, 363
Objetos reales y virtuales, 331 Ohm, 242
ley de, 242 Onda(s):
ecuación de, 189 estacionarías, 190 función de, 189 incoherentes, 324 principio de superposición para las, 190 sobre una cuerda, rapidez de las, 189 sonido, 190 viajeras sinusoidales, 189-190
Óptica geométrica, 331-338 Órbita elíptica, 124
Pa (pascal), 135-145 Parábola, ecuación de una, 21-22 Pares, aniquilación y producción de, 358 Pascal (Pa), 135, 145
principio de, 145 Péndulo simple, movimiento de un, 136 Periodo, 61
en el movimiento armónico simple, 135 Permeabilidad, 299
en el espacio vacío, 271 relativa, 299
Permitividad del espacio vacío, 208 Peso, 31 Placa de media onda, 324 Planck, constante de, 357 Plano:
de incidencia, 323 movimiento en un, a lo largo de tina trayectoria
curva, 61-71 movimiento de una partícula en un, 21-30
Polarización, 323-324 por birrefringencia, 324 magnética, 299 por reflexión, 324
Polarizador perfecto, 324 Potencia, 74
de un alternador, 316 eléctrica, 243 instantánea, 106 transmitida instantánea, 189
Potencial: de frenado, 357 diferencia de, 219 eléctrico, 231-240
cercano a una carga puntual, 232 principio de superposición para el, 233 Presión (es),
en un fluido, 145 parciales, ley de Dalton de las. 165-166
Proceso(s), adiabático, 162 a presión constante, 172 reversibles, 179 a volumen constante, 171-172
Producción de pares, 358 Producto,
punto, 7-8 vectorial, 8-10
Propiedades térmicas de la materia, 171-178 Pulsaciones, 193
R (constante universal de los gases), 161 Radiación:
electromagnética, 357 emisión de, 172
Radianes por segundo, 61 Radio de giro, 105 Rapidez (velocidad):
angular, 61-62 constante, 61
cuadrática media, 161 de escape, 123 de la luz en el espacio vacío, 349 promedio, 13 del sonido, 199 térmica, 161 variable, movimiento angular con, 61-62
Rayleigh, criterio de, 346 Rayo(s):
de luz, 323 paraxiales, 331 trazo de, 331
Reacciones nucleares, 372 Reacción endotérmica, 376 Reacción exotérmica, 376 Reactancia:
capacitiva, 313 inductiva, 313
Recta: movimiento de una partícula a lo largo de una,
13-21 movimiento uniformemente acelerado a lo largo
de una, 14 Reflexión:
ley de la, 323 polarización por, 324 total, 323 total interna, 323
Refracción, índice de, 323 ley de la, 323
Refrigerador, 180 Regla del tomillo de cuerda derecha, 8
384 ÍNDICE
Rejilla, ecuación de una, 342 poder de resolución de una, 346
Relaciones dimensionales, 11 Relatividad especial, 349-356 Reluctancia, 300 Resistencia, 242
coeficiente por temperatura de la, 242 interna, 243
Resistividad, 242 Resolución, poder de, de una rejilla, 346 Resonancia, voltaje de, 318 Resorte, constante de un, 135 Resultante, 4-5 Retroceso de un núcleo, 372 R-L-C, circuito en serie, 305 Rodamiento, fricción de, 40 Rydberg, constante de, 364
s (segundo), 11 Segmento de, recta, expresión vectorial para un, 6 Segundo (s), 11 Semilatus rectum, 124 Separación de energía, 373 Serie,
circuito en, 313-315 circuito R-L-C en, 305
Siemens por metro (S/m), 242 Sistemas,
de referencia, 31-32 de referencia inerciales, 31, 349 de referencia no inerciales, 31-32
S/m (siemens por metro), 242 Snell, ley de, 69 Solución transitoria, 305 Sonido, 199
ondas de, 199-205 intensidad y volumen de las, 199
velocidad del, 199 Sonoridad de las ondas de sonido, 199 Stefan-Boltzman, ley de, 171 Suma,
gráfica, 2 vectorial, 2, 4-5
Superposición, principio de, 190 para el campo eléctrico, 217 de ondas, 190 para el potencial eléctrico, 233
Susceptibilidad magnética, 299 Sustracción gráfica, 2-3
T (tesla), 257 Temperatura en grados Kelvin, 179
Teorema sobre la descomposición de los momentos de inercia, 105
Termodinámica: primera ley de la, 162 segunda ley de la, 179
postulados alternativos de la, 181-182 Tesla (T), 257 Tiempo, 11
constante de, 306 dilatación del, 350 resnuesta de, de circuitos eléctricos simples, 305-
311 Trabajo:
energía, principio de equivalencia, 73-74 función de, 357 realizado por una fuerza, 73 relación dimensional de unidades del, 11
Transmisión de calor, 172 Trayectoria (camino)
curva, movimiento en un plano a lo largo de una, 61-71
diferencia de, 339 ley de la, de Kirchhoff, 251-252 libre media, 162 óptica, longitud de la, 329
Tubo de flujo, 153
u (unidad atómica de masa), 363 u-d, relaciones, 11
V (volt), 219, 231 electrón (eV), 233
Valor Q, Vectores, 1
componentes de, 3-5 multiplicación de, por
escalares, 7-8 representación gráfica de, 1-3 unitarios, 5-6
Velocidad: cuadrática media, 161 expresión vectorial para la, 21 lineal instantánea, 13 relación dimensional de la, 11
Vida media, 371 Volt (V), 219, 231
electrón (eV), 233 Voltaje, 231
en circuito abierto, 242 de resonancia, 318 terminal, 242
Watt (W), 74
Z (impedancia), 313