1. Fsica,conceptos yaplicacionesSptima edicin revisada

2. SEPTIMA EDICION REVISADAFsica,conceptos yaplicacionesSptima edicin revisadaPaul E. TippensProfesor EmritoSouthern Polytechnic State UniversityTraduccinAngel Carlos Gonzlez RuizUniversidad Nacional Autnoma de MxicoRevisin tcnicaAna Elizabeth Garca HernndezCinvestav-Instituto Politcnico Nacional M e G ra w H ill MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRIDNUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILNMONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 3. Publisher: Javier Neyra BravoDirector editorial: Ricardo Martn del Campo MoraEditor sponsor: Luis Amador Valdez VzquezFsica, Conceptos y aplicacionesSptima edicin revisadaProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. EducacinDERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la sptima edicin revisada en espaol por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary o fT h e McGraw-Hill Companies, Inc.Corporativo Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015 Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin Alvaro ObregnC .P 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN : 978-607-15-0471-5(ISBN: 970-10-6260-4 edicin anterior)Translated from the 7th edition ofPHYSICS. Copyright MMVII by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.Previous editions 2001, 1991. 1985, 1978, and 1973.ISBN-13: 978-0-07-301267-X2345678901 209876543201Impreso en Per.Printed in PerImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Printed by Empresa Editora El Comercio S.A. The McGrQW-Hill Companies 4. Acerca del autor Paul E. T ippens ha escrito dos libros de texto de gran xito para McGraw-Hill Companies, as como el material complementario correspondiente. Su libro ms reconocido, Fsica, con ceptos y aplicaciones, gan el Premio McGuffey, prestigioso y antiguo galardn otorgado a los libros de texto cuya excelencia se ha demostrado a lo largo de los aos. Por aadidura, es autor de Fsica tcnica bsica, segunda edicin. Esos libros se han traducido al espaol, francs, chino y japons. Entre otros trabajos del autor se cuentan cuatro volmenes de tutoriales com- putarizados y numerosos documentos publicados en ediciones destacadas. El doctor Tippens es miembro activo de la Text and Academic Authors Association ( t a a ) y un firme defensor de la tarea de brindar informacin, asesora y trabajo en red para los creadores de propiedad intelectual. Fungi durante un par de aos como VP/presidente electo de la t a a , asociacin que se considera como una institucin muy importante para dar voz a los autores con objeto de ase gurar sus derechos de propiedad intelectual. Tiene un doctorado en administracin educativa por la Universidad de Aubum y una maestra en fsica por la Universidad de Georgia. Adems, ha terminado varios cursos breves en al menos otras cuatro universidades reconocidas. En la actualidad, es profesor emrito de la Universidad Politcnica Estatal del Sur en Marieta, Geor gia, donde ha dado clases de fsica para bachillerato durante 30 aos. Agradecimientos Un texto clsico como el que ahora tiene el lector en sus manos es una obra en mejora permanente. La lectura crtica y la revisin del autor, de los editores y de profesores y estudiantes contribuyen a mejorarlo, a enriquecerlo. As, el libro se convierte en una suerte de medio por el que los lectores mantienen un dilogo constante con el autor, lo que irremediablemente desemboca en nuevas ediciones o en ediciones revisadas, como la presente.En este sentido, el profesor Vctor Manuel Jimnez Romero, del Colegio Rossland, merece un reconocimiento especial por la meticulosa y paciente revisin que hizo de esta obra. Sus ideas, observaciones y sugerencias resultaron muy valiosas en el momento de editar esta sptima edicin revisada.Asimismo, se extiende un agradecimiento a los profesores siguientes, quienes con sus ideas y comentarios han contribuido a enriquecer el libro. Alfonso Alfaro Pea CECyT 7 1PNJos Luis Noriega Corella CECyT 7 IPN Alfonso Espinosa Navarro Colegio MicheletLeonel Infante Colegio Hebreo Monte Sina ngel Pea Chaparro CECyT 7 IPN y Hebreo Tarbut Avelardo Cruz Colegio WestminsterLeonel Ramrez Ramrez La Salle Benjamn Fernando Varela CECyT 3 IPN Franklin Francisco J. Surez Alvarado CECyT 15 IPNLyzzette Tiburcio Colegio Washington Gabriel de Anda Lpez CECyT 7 IPNManuel Cruz Nava CECyT 7 IPN Gabriel Ramrez Guzmn Colegio deMarco Antonio Crdenas Ayala UVM TlalpanBachilleres de Quintana Roo, plantel 2Marcos Angulo Tamayo CECyT 7 IPN Gamaliel Teja Gutirrez CECyT 7 IPNMarcos F. Amaro Merino CECyT 7 IPN Homero Garca Martnez ITESM campusMariana Crdenas Ramos Universidad deSanta Fe Guadalajara Hugo Ramos ngeles CECyT 3 IPN Miguel ngel Marcial ENP 7 UNAM Isaac Hernndez Ardieta UVM Coacalco Miguel ngel Vzquez Ibarra UVM Lomas Ismael Muoz ITESM campus Hidalgo Verdes Israel vila Garca UVM Coacalco Moiss Gustavo Martnez CECyT 7 IPN Javier Rangel Pez Universidad deRafael Morales Contreras CECyT 7 IPNGuadalajara Raquel Nez Mora CECyT 7 IPN Jess Homero Cruz Reyes CECyT 7 IPNRodolfo Vega Garca CECyT 7 IPN Jess Manuel Heras Martnez CECyT 7 IPNSilvia Maffey Garca CECyT 2 IPNv 5. Para Jared A ndrew Tippens y Elizabeth Marie TippensY para to d o el elenco de apoyo: Sarah, Travis y Ryan TippensSer bisnieto es estupendo: plenitud de alegra y sin responsabilidades 6. Resumen de contenido J J jjjjlMecnicaElectricidad, m agnetism oC aptulo 1Introduccin 1 y pticaC aptulo 2M atem ticas tcnicas6 C aptulo 23 La fuerza elctrica463C aptulo 3M ediciones tcnicasC aptulo 24 El cam po elctrico478y vectores 34C aptulo 25 Potencial elctrico496C aptulo 4E quilibrio traslacionalC aptulo 26 Capacitancia512y friccin 68 C aptulo 27 C orriente y resistencia 532C aptulo 5 M om e n to de torsin y equ ilib rio C aptulo 28 Circuitos de corrienterotacional 93continua 548C aptulo 6Aceleracin uniform e 111 C aptulo 29 M agnetism o y cam poC aptulo 7Segunda ley de New ton137m agntico 567C aptulo 8Trabajo, energa y potencia 157 C aptulo 30 Fuerzas y m om entos de torsinC aptulo 9Impulso y cantidad deen un cam po m agntico 589m o vim iento 179C aptulo 31 Induccin electrom agnticaC aptulo 10 M o vim ie nto circular uniform e601196C aptulo 32 Circuitos de corriente alternaC aptulo 11 Rotacin de cuerpos rgidos622220C aptulo 33 Luz e ilum inacin642C aptulo 12 Mquinas sim ples 245 C aptulo 34 Reflexin y espejos661C aptulo 13 Elasticidad 265 C aptulo 35 Refraccin 678C aptulo 14 M o vim ie nto arm nico sim pleC aptulo 36 Lentes e instrum entos279 pticos 696C aptulo 15 Fluidos 301 C aptulo 37 Interferencia, difracciny polarizacin 714Term odinm ica,ondas mecnicas y Fsica m odernasonido C aptulo 38 La fsica m odernaC aptulo 16 Tem peratura y dilatacin 329y el tom o 731C aptulo 17 C antidad de calor350 C aptulo 39 La fsica nucleary el ncleo 757C aptulo 18 Transferencia de calor369C aptulo 19 Propiedades trm icas dela materia 383C aptulo 20 Term odinm ica 403C aptulo 21 M o vim iento o n d u la to rio 426C aptulo 22 Sonido441 vii 7. PrefacioxiiiC aptulo 5M o m en to de to rsi n ye q u ilib rio rotacional93 5.1 Condiciones de equilibrio 94 C aptulo 1Introduccin15.2 El brazo de palanca95 1.1Qu es la fsica? 2 5.3 Momento de torsin 96 1.2 Qu importancia tienen las matemticas?3 5.4 Momento de torsin resultante 99 5.5 Equilibrio 100 1.3Cmo estudiar fsica? 3 5.6 Centro de gravedad 72 C aptulo 2M atem ticas tcnicas6 2.1Nmeros con signo 7C aptulo 6 Aceleracin uniform e111 2.2Repaso de lgebra 10 6.1 Rapidez y velocidad 112 2.3Exponentes y radicales (optativo) 12 6.2 Aceleracin 113 2.4Solucin a ecuaciones cuadrticas 15 6.3 Movimiento uniformemente 2.5Notacin cientfica 16acelerado 114 2.6Grficas 186.4 Otras relaciones tiles 116 2.7Geometra 19 6.5 Resolucin de problemas de 2.8Trigonometra del tringuloaceleracin 117 rectngulo 22 6.6 Convencin de signos en problemas de aceleracin 119 C aptulo 3 M ediciones tcnicas y6.7 Gravedad y cuerpos en cada libre 121 vectores 34 6.8 Movimiento de proyectiles 126 3.1Cantidades fsicas 356.9 Proyeccin horizontal 126 3.2El Sistema Internacional 366.10El problema general de las 3.3Medicin de longitud y tiempo 12 trayectorias 129 3.4Cifras significativas 39 3.5Instrumentos de medicin 41C aptulo 7 Segunda ley de N ew ton137 3.6Conversin de unidades 427.1 Segunda ley de Newton sobre el 3.7Cantidades vectoriales y escalares 45movimiento 138 3.8Suma o adicin de vectores por mtodos 7.2 Relacin entre peso y masa 140 grficos 47 7.3 Aplicacin de la segunda ley de Newton 3.9Fuerza y vectores 49 a problemas de un solo cuerpo143 3.10 La fuerza resultante 517.4 Tcnicas para resolver problemas 145 3.11 Trigonometra y vectores 527.5 Resolucin de problemas de 3.12 El mtodo de las componentes para la aceleracin 117 suma o adicin de vectores 55 7.6 Convencin de signos en problemas de 3.13 Notacin de vectores unitarios aceleracin 119 (opcional) 16 7.7 Gravedad y cuerpos en cada libre121 3.14 Resta o sustraccin de vectores 61 7.8 Movimiento de proyectiles 126 7.9 Proyeccin horizontal 126 C aptulo 4Equilibrio traslacional y7.10El problema general de lasfriccin 68trayectorias 129 4.1Primera ley de Newton 69 4.2Segunda ley de Newton 69 C aptulo 8 Trabajo, energa y 4.3Tercera ley de Newton 70 potencia 157 4.4Equilibrio 718.1 Trabajo 158 4.5Diagramas de cuerpo libre 72 8.2 Trabajo resultante 159 4.6Solucin de problemas de equilibrio 75 8.3 Energa 161 4.7Friccin 798.4 Trabajo y energa cintica 162viii 8. Contenidoix8.5 Energa potencial 165C aptulo 13Elasticidad 2658.6 Conservacin de energa 16613.1 Propiedades elsticas de la materia8.7 Energa y fuerzas de friccin 168 2668.8 Potencia 171 13.2 Mdulo de Young 268 13.3 Mdulo de corte 271C aptulo 9Im pulso y cantidad de13.4 Elasticidad de volumen; mdulo m ovim iento 179 volumtrico 2729.1 Impulso y cantidad de movimiento 180 13.5 Otras propiedades fsicas de los9.2 Ley de la conservacin de la cantidad demetales 273 movimiento 1829.3 Choques elsticos e inelsticos 185C aptulo 14M o vim iento arm nico sim ple 279C aptulo 10 M o vim ie n to circular14.1 Movimiento peridico 280 uniform e 196 14.2 La segunda ley de Newton y laley de Hooke 28310.1Movimiento en una trayectoria circular 197 14.3 Trabajo y energa en el movimiento10.2Aceleracin centrpeta 197armnico simple 28410.3Fuerza centrpeta 200 14.4 El crculo de referencia y el movimiento10.4Peralte de curvas 201armnico simple 28610.5El pndulo cnico 204 14.5 Velocidad en el movimiento armnico10.6Movimiento en un crculo vertical 205 simple 28710.7Gravitacin 20714.6 Aceleracin en el movimiento armnico10.8El campo gravitacional y el peso 209simple 28910.9Satlites en rbitas circulares 21014.7 El periodo y la frecuencia 29110.10 Leyes de Kepler 21314.8 El pndulo simple 293 14.9 El pndulo de torsin 294C aptulo 11 Rotacin de cuerpos rgidos 220 C aptulo 15Fluidos 30111.1Desplazamiento angular 221 15.1 Densidad 30211.2Velocidad angular 22315.2 Presin 30411.3Aceleracin angular 22415.3 Presin del fluido 30511.4Relacin entre los movimientos rotacional15.4 Medicin de la presin 308 y rectilneo 22615.5 La prensa hidrulica 31011.5Energa cintica rotacional: momento de15.6 Principio de Arqumedes 311 inercia 227 15.7 Flujo de fluidos 31511.6La segunda ley del movimiento en la15.8 Presin y velocidad 317rotacin 229 15.9 Ecuacin de Bemoulli 31811.7Trabajo y potencia rotacionales 23215.10Aplicaciones de la ecuacin de11.8Rotacin y traslacin combinadas 233Bernoulli 32011.9Cantidad de movimiento angular 23511.10 Conservacin de la cantidad demovimiento angular 236 E S S B " Term odinm ica,ondas mecnicas yC aptulo 12 Mquinas simples 245sonido12.1Mquinas simples y eficiencia 24612.2Ventaja mecnica 247C aptulo 16 Tem peratura y12.3La palanca 249 dilatacin 32912.4Aplicaciones del principio de la palanca 16.1 Temperatura y energa trmica 33025016.2 La medicin de la temperatura 33112.5La transmisin del momento de torsin 25316.3 El termmetro de gas 33512.6El plano inclinado 255 16.4 La escala de temperatura absoluta 33612.7Aplicaciones del plano inclinado 258 16.5 Dilatacin lineal 338 9. Contenido16.6Dilatacin superficial 34120.10 Ciclo de Carnot 41416.7Dilatacin volumtrica 34220.11 La eficiencia de una mquina ideal 41516.8La dilatacin anmala del agua344 20.12 Mquinas de combustin interna 41620.13 Refrigeracin 418C aptulo 17 C antidad de calor 35017.1El significado del calor 351C aptulo 21 M o vim iento17.2La cantidad de calor 351 o n du la to rio 42617.3Capacidad de calor especfico35321.1Ondas mecnicas 42717.4La medicin del calor 355 21.2Tipos de ondas 42717.5Cambio de fase 35821.3Clculo de la rapidez de onda 42817.6Calor de combustin 364 21.4Movimiento ondulatorioperidico 42921.5Energa de una onda partcula 431C aptulo 18 Transferencia21.6Principio de superposicin 433 de calor 369 21.7Ondas estacionarias 43418.1Mtodos de transferencia21.8Frecuencias caractersticas 435de calor 37018.2Conduccin 371C aptulo 22 Sonido44118.3Aislamiento: el valor R 31422.1Produccin de una onda sonora 44218.4Conveccin 37522.2La velocidad del sonido 44318.5Radiacin 37622.3Vibracin de columnas de aire 44522.4Vibracin forzada y resonancia 448C aptulo 19 Propiedades trm icas de 22.5Ondas sonoras audibles 448 la m ateria 38322.6Tono y timbre 45219.1Gases ideales, ley de Boyle y 22.7Interferencia y pulsaciones 453ley de Charles 38422.8El efecto Doppler 45419.2Ley de Gay-Lussac 38619.3Leyes generales de los gases 387 E lectricidad,19.4M asa molecular y mol 38919.5La ley del gas ideal 391 m agnetism o19.6Licuefaccin de un gas 392 y ptica19.7Vaporizacin 39319.8Presin de vapor 394C aptulo 23 La fuerza elctrica46319.9Punto triple 39623.1La carga elctrica 46419.10 Humedad 397 23.2El electrn 46623.3Aislantes y conductores 467C aptulo 20 Term odinm ica 40323.4El electroscopio de hoja de oro 46720.1Calor y trabajo 404 23.5Redistribucin de la carga 46920.2Funcin de la energa interna 405 23.6Carga por induccin 46920.3Primera ley de la termodinmica 406 23.7Ley de Coulomb 47020.4Procesos isobricosy el diagrama P-V 407 C aptulo 24 El cam po20.5Caso general para la elctrico 478primera ley 409 24.1El concepto de campo 47920.6Procesos adiabticos 41024.2Clculo de la intensidad de campo20.7Procesos isocricos 411 elctrico 48220.8Proceso isotrmico 41224.3Lneas de campo elctrico 48520.9Segunda ley de la 24.4La ley de Gauss 386termodinmica 412 24.5Aplicaciones de la ley de Gauss 38 10. ContenidoC aptulo 25 Potencial elctrico 496 29.7Fuerza sobre un conductor por el que25.1Energa potencial elctrica 497circula una corriente 57725.2Clculo de la energa potencial 49929.8Campo magntico de un conductor largo25.3Potencial 501y recto 57825.4Diferencia de potencial 50429.9Otros campos magnticos 58025.5Experimento de Millikan de la gota de29.10 Histresis 581aceite 50625.6El electrn volt 507 C aptulo 30 Fuerzas y m om entosde to rsi n en un cam poC aptulo 26 Capacitancia 512 m agntico 58926.1Limitaciones al cargar un conductor 51330.1Fuerza y momento de torsin en una26.2El capacitor 515 espira 59026.3Clculo de la capacitancia 517 30.2Momento de torsin magntico sobre26.4Constante dielctrica; permitividad 519un solenoide 59226.5Capacitores en paralelo y en serie 523 30.3El galvanmetro 59226.6Energa de un capacitor cargado 52630.4El voltmetro de cc 593 30.5El ampermetro de cc 594C aptulo 27 C orriente y resistencia532 30.6El motor de cc 59527.1El movimiento de la carga elctrica 53327.2La direccin de la corriente elctrica 535 C aptulo 31 Induccin27.3Fuerza electromotriz 535electrom agntica60127.4Ley de Ohm; resistencia 53731.1Ley de Faraday 60227.5Potencia elctrica y 31.2Fem inducida por un conductor enprdida de calor 539 movimiento 60527.6Resistividad 540 31.3Ley de Lenz 60627.7Coeficiente de temperatura de31.4El generador de ca 607la resistencia 541 31.5El generador de cc 61127.8Superconductividad 542 31.6Fuerza electromotriz en un motor 611 31.7Tipos de motores 612C aptulo 28 C ircuitos de corriente 31.8El transformador 614 continua 54828.1Circuitos simples; C aptulo 32 C ircuitos de co rrienteresistores en serie 549 alterna 62228.2Resistores en paralelo 551 32.1El capacitor 62328.3Fem inducida y diferencia de potencial 32.2El inductor 626terminal 554 32.3Corrientes alternas 62828.4Medicin de la resistencia interna 555 32.4Relacin de fase en circuitos de ca 62928.5Inversin de la corriente a travs de una32.5Reactancia 631fuente Fem 556 32.6Circuitos en serie de ca 63228.6Leyes de Kirchhoff 557 32.7Resonancia 634 32.8El factor de potencia 635C aptulo 29 M agnetism o y cam po m agntico 567C aptulo 33 Luz e ilum inacin64229.1Magnetismo 568 33.1Qu es la luz? 64329.2Campos magnticos 57033.2Propagacin de la luz 64529.3La teora moderna del magnetismo57033.3Espectro electromagntico 64729.4Densidad de flujo y permeabilidad 57133.4La teora cuntica 64829.5Campo magntico y33.5Rayos de luz y sombras 649corriente elctrica 57433.6Flujo luminoso 65129.6Fuerza sobre una carga en33.7Intensidad luminosa 653movimiento 574 33.8Iluminacin 654 11. xiiContenidoC aptulo 34 Reflexin y espejos 66134.1 l/a a H K Fsica m oderna Las leyes de la reflexin 66234.2 Espejos planos 664C aptulo 38 La fsica m oderna y34.3 Espejos esfricos 665 el tom o 73134.4 Imgenes formadas por espejos38.1 Relatividad 732 esfricos 66738.2 Eventos simultneos: la relatividad del34.5 La ecuacin del espejo 669 tiempo 73334.6 Amplificacin 67138.3 Longitud, masa y tiempo34.7 Aberracin esfrica 673 relativistas 73438.4 Masa y energa 737C aptulo 35 Refraccin67838.5 Teora cuntica y el efecto fotoelctri35.1 ndice de refraccin 679co 73935.2 Leyes de refraccin 68038.6 Ondas y partculas 74035.3 Longitud de onda y refraccin 68338.7 El tomo de Rutherford 74235.4 Dispersin 685 38.8 Orbitas electrnicas 74235.5 Refraccin interna total 685 38.9 Espectro atmico 74335.6 Fibras pticas y aplicaciones 68738.10El tomo de Bohr 74535.7 Es lo mismo ver que creer? 68938.11Niveles de energa 74735.8 Profundidad aparente 690 38.12Lser y luz lser 75038.13Teora atmica moderna 751C aptulo 36 Lentes e instrum entos pticos 696C aptulo 39 La fsica nuclear y36.1 Lentes simples 69736.2 Longitud focal y la ecuacin delel ncleo 757 fabricante de lentes 698 39.1 El ncleo atmico 75836.3 Formacin de imgenes mediante 39.2 Los elementos 759 lentes delgadas 70139.3 La Unidad de Masa Atmica 76136.4 La ecuacin de las lentes y39.4 Istopos 764 el aumento 703 39.5 Defecto de masa y energa36.5 Combinaciones de lentes 705 de enlace 76636.6 El microscopio compuesto 706 39.6 Radiactividad 76936.7 Telescopio 708 39.7 Decaimiento radiactivo 77036.8 Aberraciones de las lentes 708 39.8 Vida media 77139.9 Reacciones nucleares 773C aptulo 37 Interferencia, difraccin y39.10Fisin nuclear 774 polarizacin 714 39.11Reactores nucleares 77537.1 Difraccin 715 39.12Fusin nuclear 77737.2 Experimento de Young: interferencia 715ndice1-137.3 La red de difraccin 71937.4 Poder de resolucin de instrumentos 721Manual de uso de HP 50GM-137.5 Polarizacin 724 12. PrefacioLa sptima edicin de Fsica, conceptos y aplicaciones estHay ciertas reas donde las explicaciones difieren de lasescrita para un curso propedutico de un ao de introduccinque se ofrecen en la mayor paite de los libros de texto. Unaa la fsica. El nfasis en las aplicaciones y la amplia gama de diferencia relevante es el reconocimiento de que muchostemas cubiertos lo hace adecuado para estudiantes que se esestudiantes ingresan en su primer curso de fsica sin poderpecializan en ciencia y tecnologa, lo mismo que en biologa, aplicar las habilidades bsicas del lgebra y la trigonometra.las disciplinas de la salud y las ciencias del ambiente. TambinHan cursado los cursos anteriores, pero por diversas razopuede emplearse en cursos introductorios en una variedad de nes parecen incapaces de aplicar los conceptos para resolverinstituciones comerciales e industriales, donde las necesidades problemas. El dilema radica en cmo lograr el xito sin sade un curso de aplicaciones no limiten las futuras opciones educrificar la calidad. En esta obra dedicamos todo un captulo acativas de sus estudiantes. En cuanto a las matemticas, que se repasar las matemticas y el lgebra necesarias para resolverhan revisado ampliamente, se suponen ciertos conocimientosproblemas de fsica. Cuando otros libros de texto realizande lgebra, geometra y trigonometra, pero no de clculo.un repaso semejante, lo hacen en un apndice o en material Esta obra comenz en ediciones anteriores como un pro complementario. Nuestro mtodo permite a los estudiantesyecto amplio para encarar la necesidad de un libro de texto reconocer la importancia de las matemticas y ponderar muyque presente los conceptos fundamentales de la fsica de for pronto sus necesidades y sus deficiencias. Puede obviarse sinma comprensible y aplicable por estudiantes con antecedenproblema, segn la preparacin de los estudiantes o a discretes y preparacin diversos. El objetivo fue escribir un libro decin de cada maestro; sin embargo, no puede ignorarse comotexto legible y fcil de seguir, pero tambin que ofreciera una un requisito fundamental en la resolucin de problemas.preparacin slida y rigurosa. Los generosos comentarios deEn seguida, abordamos la necesidad de satisfacer losmuchos atentos lectores en tomo a las primeras seis ediciones estndares de calidad mediante la exposicin de la estticahan contiibuido a conservar el objetivo, y el trabajo ha recibido antes que la dinmica. La primera, segunda y tercera leyesreconocimiento nacional que ha cobrado forma en el prestide Newton se explican al principio para ofrecer conocimiengioso Premio McGuffey presentado por la Text and Academic tos cualitativos de la fuerza, mas la exposicin integral deAuthors Association ( t a a ) por su excelencia y larga duracin. la segunda ley se difiere hasta que se han comprendido los En la fsica que se ensea en el bachillerato hay tres conceptos de diagrama de cuerpo libre y equilibrio esttico.tendencias que influyen hoy da en la instruccin; las basesLo anterior permite a los estudiantes forjar sus conocimientospara el estudio avanzado en casi cualquier rea:sobre una base lgica y continua; de manera simultnea, lashabilidades matemticas se refuerzan de manera paulatina. En 1. La ciencia y la tecnologa crecen exponencialmente.otros libros el tratamiento de la esttica en captulos ulteriores 2. Los empleos disponibles y las opciones de carreras presuele precisar un repaso de fuerzas y vectores. Con el mtodocisan mayores conocimientos de las bases de la fsica.de esta obra, es posible ofrecer ejemplos ms detallados de3. En el nivel medio bsico, la preparacin en matemtiaplicaciones significativas de la segunda ley de Newton.cas y ciencias (por diversas razones) no est mejoran Tambin incluimos un captulo sobre mquinas simdo con la rapidez suficiente. ples a fin de ofrecer a los maestros la posibilidad de hacerLa meta de esta sptima edicin de Fsica, conceptos ynfasis en muchos ejemplos del mundo real que implicanaplicaciones radica en atacar los dos frentes de los probleconceptos de fuerza, fuerza de torsin, trabajo, energa ymas ocasionados por tales tendencias. Si bien brindamos eficiencia. Este captulo puede omitirse sin dificultad si ellos conocimientos necesarios de matemticas, no nos comtiempo es escaso, pero ha gozado de gran aceptacin enprometemos con los resultados educativos. algunos colegios donde las aplicaciones son primordiales. La fsica moderna se aborda como un curso generalOrganizacinsobre los principios de la relatividad, fsica atmica ynuclear. En este caso, la exposicin es tradicional y losEl texto consta de 39 captulos que abarcan todo el espectrotemas han sido elegidos de forma que los estudiantes puede la fsica: mecnica, fsica trmica, movimiento ondulatodan comprender y aplicar las teoras subyacentes a muchasrio, sonido, electricidad, luz y ptica y fsica atmica y nuaplicaciones modernas de la fsica atmica y la nuclear.clear. Esta sucesin normal se adeca a las necesidades deun plan de estudios de bimestral, aunque puede usarse en unode tres semestres con un ligero cambio de orden en la expo Novedades en la sptima edicinsicin de los temas. Tambin es posible utilizarlo en cursosCam bios en el contenidoms breves con una seleccin sensata de los temas. Dondees posible, la exposicin fue diseada de forma que sea posi Exposicin sobre vectores. Se hace nfasis en el mtoble cambiar el orden de stos.do tradicional de las componentes en la suma de vecto-xiii 13. xivPrefaciores, pero se ha aadido una opcinD eterm ine la masa de un cuerpo cuyo peso en la Tierra es de 100 N. Si esta m asa se llevaraque permite usar vectores unitarios.a un planeta distante donde g = 2.0 m / s 2, cul sera su peso en ese planeta? Segunda ley de Newton. Desde P lan : Prim ero hallam os la masa en la Tierra, donde g = 9.8 m /s 2. Com o la m asa es cons el principio se presenta la relacin tante, podem os usar el m ism o valor para determ inar el peso en el planeta distante dondeg = 2.0 m /s 2. entre la aceleracin y la fuerza aSo lu ci n : fin de ofrecer conocimientos cualiW _ 100N tativos de fuerza, aunque despus= 10.2 kg8 9.8 m /s2 que se ha tenido prctica consideEl peso del planeta es rable con los diagramas de cuerpo W = m g (10.2 kg)(2 m /s2); W = 20.4 N libre se hace una exposicin ms detallada. Energa cintica de rotacin. Una adicin significa Prrafos de pianeacin tiva ampla la explicacin de la rotacin en los proble Los estudiantes de primer curso suelen decir: es que no s mas de conservacin de la energa, ya que se abarca el por dnde empezar. Para encarar esta queja hemos incluido problema de los objetos que tienen a la vez movimienun paso adicional para muchos de los ejemplos del libro. Los tos de traslacin y de rotacin. prrafos del plan tienden un puente entre la lectura de un Ondas electromagnticas. Antes de la exposicin de problema y la aplicacin de una estrategia de aprendizaje. la luz y la ptica se presenta ms ampliamente el tema Tem as de fsica cotidiana de las ondas electromagnticas.Se han incluido apostillas a lo lar Ejemplos. Se han agregado ejemplos nuevos y todosgo del texto para fomentar el inte Sabe cunto tiempopasan los satlites los presentados se han vuelto a trabajar para simplifirs y motivar el estudio ulterior.expuestos a la luz car la explicacin y esclarecer el proceso de resolucin w w w .mhhe.com/solar para recargar sus de los problemas.bateras? Para la rbitabachillerato/tippensfis7e terrestre baja, toman Se han eliminado las secciones sobre electroqumica yMcGraw-Hill ofrece abundantes 60 min de luz solar y 35 el captulo sobre electrnica con base en comentariosmin de oscuridad. Losartculos en lnea y apoyos para essatlites en la rbita vertidos por lectores y revisores. tudiar que mejoran de forma congeosncrona (GEO) desiderable la experiencia de ensear la Tierra, que se hallanmucho ms distantes,Programa de imgenes mejoradasy aprender fsica (en ingls).pasan menos tiempo enla sombra de nuestro Fotografas de entrada de captulo. Se ha hecho Digital C onten Manager/planeta. Se exponen un esfuerzo por lograr que la fsica luzca ms visual Adm inistrador de contenido22.8 h a la luz del Sol mediante la inclusin de fotografas introductorias endigitaly 1.2 a la oscuridad.Durante el periodo cada captulo acompaadas por un breve comentario.Es un disco compacto de slo lecoscuro, la potencia para Esas imgenes se eligieron con sumo cuidado para quetura (CD-ROM) que contiene to hacer caminar a los demostraran los conceptos y las aplicaciones expuesdas las ilustraciones del libro. Los satlites debe procedercompletamente de las tas en los captulos. profesores pueden usarlas para bateras. Figuras. Todas las figuras fueron revisadas o redibuja- elaborar presentaciones a la me das. En muchos casos, se insertaron fragmentos de foto dida de su clase u otras herramientas similares (en ingls). grafas en los dibujos para mejorarlos, adems de que seProgramas interactivos usaron ms recuadros de color para destacar conceptos.Hay un total de 16 programas interactivos disponibles en el CD-ROM y en lnea en el Online Learning Center. Es tos programas ofrecen un mtodo fresco y dinmico para ensear y aprender los fundamentos de la fsica mediante applets completamente precisos que funcionan con datos reales (en ingls).Caractersticas que se conservan Se han conservado varias caractersticas de las ediciones anteriores, las cuales captan y mantienen la atencin de los estudiantes. Entre ellas se cuentan las siguientes: Preparacin en matemticas El captulo 2 se dedica ntegramente a repasar las matemFigura 3.3 Se usan calibradores para medir ticas y la trigonometra indispensables para resolver proun dimetro interno. blemas de fsica. 14. Prefacio xvObjetivos del captulo el libro. El alumno aprende a formarse un cuadro generalA fin de encarar los problemas de los resultados educatide la situacin y luego pone en prctica lo aprendido paravos, cada captulo empieza con una definicin clara de los resolver el problema.objetivos. El estudiante sabe desde el principio qu temasson relevantes y qu resultados cabe esperar.Material al final de cada captulo Al terminar cada captulo se incluye un juego de auxiliaresEstrategias de resolucin de problemas para el aprendizaje que ayudan al estudiante a repasar elA lo largo del texto se han incluido secciones destacadas en contenido recin expuesto, a evaluar lo captado de los concolor con procedimientos detallados, paso por paso, para re ceptos ms relevantes y a utilizar lo aprendido.solver problemas difciles de fsica. Los estudiantes puedenemplear estas secciones como gua hasta familiarizarse con 9 Resmenes. Se ofrece un resumen detallado de toel proceso de razonamiento necesario para aplicar los con dos los conceptos esenciales. Asimismo, en el texto seceptos fundamentales expuestos en el libro. Gracias a los nudestacan las ecuaciones importantes, adems de que semerosos ejemplos incluidos se refuerzan estas estrategias. resumen al terminar cada captulo. e Palabras clave. Al final de cada captulo se enumeRedaccin informativa ran las palabras clave, las cuales se destacan tambinUn sello de las ediciones previas que continua destacando en negritas la primera vez que aparecen en el texto.en esta edicin es la presentacin de la fsica con un estilo Entre estas palabras se cuentan los trminos centralesamigable e informativo. explicados en el captulo, de forma que el estudianteUso de color pueda comprobar cunto comprende de los conceptosSe ha utilizado el color para destacar en el texto las ca que les subyacen.ractersticas pedaggicas. Los ejemplos, las estrategias de9 Preguntas de repaso. Se han incluido ms de 500aprendizaje y las ecuaciones ms importantes se han desta preguntas cuyo propsito es fomentar la reflexin ycado con color, adems de que se han usado tonos diversosestimular las ideas, as como mejorar el pensamientopara hacer nfasis en algunas partes de las figuras. conceptual.Ejemplos textuales Problemas y problemas adicionales. Se ofrecenA lo largo de todos los captulos hay una profusin de ms de 1750 problemas elaborados especialmente yejemplos resueltos, que sirven como modelos para que elque van de lo simple a lo complejo, pasando por loestudiante mire cmo aplicar los conceptos expuestos enmoderado. En la presente edicin se ha hecho un gran esumen y repasoR esm enes P roblem asC onceptos clave Problemas adicionales ^P roblem asadicionalesP reguntasde repasoP reguntas depensam ientocrtico 15. xvi Prefacio esfuerzo por comprobar la exactitud de los problemasgramas interactivos permiten a los estudiantes manipu y de las respuestas dadas a los de nmero impar. Nota:lar parmetros y mejorar as su comprensin de 16 de No se ha puesto asterisco al lado de los problemas sen los temas ms difciles de la fsica, ya que observan los cillos; los moderados tienen uno y los complejos, dos.efectos producidos por tal manipulacin. En cada pro Preguntas de pensamiento crtico. Para la resolucin grama interactivo se incluye una herramienta de anlisisde 250 problemas, aproximadamente, se precisa una re(modelo interactivo), un tutorial que describe su funcioflexin moderada o mayor que los dems. Con ellos se namiento y un texto que describe sus temas centrales.brindan ejemplos de aprendizaje que guan al estudianteLos usuarios pueden ir de un ejercicio a otro y de unay construyen habilidades de resolucin de problemas. herramienta a otra con slo hacer clic con el ratn.Nota: Segn la naturaleza de la pregunta, se dan algunasPor aadidura, los recursos en lnea tambin incluyen:respuestas a ciertas preguntas pares y a ciertas impares. Manual del profesor, con las soluciones a todos losComplementos en Inglsproblemas del final de cada captulo, as como notasacerca de los experimentos de laboratorio.Online Learning Center/ El Online Learning Center puede cargarse sin proCentro de aprendizaje en lneablema en sistemas de administracin del curso comow w w .m hhe.com /bachillerato/tippensfis7eBlackboard, WebCT, eCollege y PageOut.Entre los recursos en lnea para el estudiante se cuentan:Digital Content Manager/ Preguntas para estudiar. Hay preguntas de verdade-Adm inistrador de contenido digitalro-faso, seleccin mltiple y de completar partes.En este disco compacto (CD-ROM) se incluyen todas las Tutoriales. El autor ha preparado un completo juego ilustraciones, fotografas y tablas presentadas en el texto,de mdulos de enseanza en PowerPoint, basados en junto con los 16 programas interactivos. Con el softwarela Web, para cada captulo del libro. Estos tutorialespuede elaborar fcilmente una presentacin multimedia ason estupendos para hacer un repaso antes y despus la medida. Puede organizar las figuras como desee; aadirde clase, antes de los exmenes parciales y tambin etiquetas, lneas y sus propias ilustraciones; integrar matede los finales. Asimismo, son de suma utilidad para rial de otras fuentes; editar y escribir notas de la clase; y lelos estudiantes que faltan a clase o que quieren mayorofrece la posibilidad de colocar su clase multimedia en unaprctica y explicacin acerca de los conceptos fsicos. presentacin hecha con otro programa, como PowerPoint. Programas interactivos. McGraw-Hill se enorgulleceCD-ROM de pruebas y recursos del maestrode brindarle una coleccin de applets interactivos excep El programa de pruebas electrnicas complementario escionales, sin par. Estos programas interactivos ofrecen flexible y fcil de utilizar. Permite a los maestros crearun mtodo fresco y dinmico para ensear los funda pruebas con base en temas especficos del libro. Permimentos de la fsica al dar a los estudiantes programaste emplear diversos tipos de preguntas, adems de que elmuy precisos y que funcionan con datos reales. Los pro profesor puede aadir las propias. Puede crear varias ver siones de una prueba, y sta puede exportarse para usarla con algn sistema de administra cin de cursos, como WebCT, BlackBoard o PageOut. El programa est disponible para- a 5-, i s Windows y Macintosh.v Q Sedi -PooLpsom Oiedt N Sfcow-beoklnfo - y Oottons Manual del maestropl f -fip p c n s Phvsics* * * * In fo r m a tio n C e n t e r 1 El manual del maestro est incluido en el Ti-9 Bfrfti n8 BsSHi H 8BHSSHpHSffisBS1 ppens Online Learning Center y en el disco Paul E. Tippens, Southern Polytechnic State Universityem *^ . compacto de pruebas y recursos del maestro. Slo pueden acceder a l los maestros.! /. Q ,;- . Leam lngCentet .Physics, Sevsrtk Eeijcn is d e sig n ad for th e ncn-cakuiLis pfry -s taken by studentswho are pursung caresrs in Science or engneering technoiogy. Content is built through: extensiva use of exampies with detailed solutions designad to deveop students probiem-; solving skis. Publicacin a la medida t Saba que puede disear su propio texto o manual de laboratorio usando cualquier texto de McGraw-Hill y su propia material a fin de crear un producto a la medida que se ajuste >iigjw.M.-CTtion sespecficamente a su programa de estudios y objetivos del curso? Comuniqese con su re presentante de ventas de McGraw-Hill para conocer ms acerca de esta posibilidad. 16. Prefacio xviiReconocimientosRevisores de ediciones previasRevisores de la presente edicin Las personas siguientes revisaron ediciones previas del li bro. Sus comentarios y sus consejos mejoraron mucho laDeseamos reconocer y dar las gracias a los revisores de esta legibilidad, precisin y actualidad del texto.edicin. Su contribucin, aunada a sus sugerencias constructivas, ideas novedosas e invaluables consejos fueron Shaikh Ali City College o f Fort Lauderdalesignificativos en el desarrollo tanto de esta edicin como Fred Einstein County College o f Morrisdel material complementario. Entre los revisores se hallan:Miles Kirkhuff Lincoln Technical Institute Henry Merril Fox Valley Technical CollegeAbraham C. Falsafi National Institute o f Technology Sam Nalley Chcittanooga State Technical CommunityBaher Hanna Owens Community CollegeCollegeKevin Hulke Chippewa Valley Technical College Ajay Raychaudhuri Seneca College o fA rts and TechnoBenjamin C. Markham Ivy Tech State CollegelogyJames L. Meeks West Kentucky Community & Technical Charles A. Schuler California State University o f Pen- College nsylvaniaJohn S. Nedel Columbus State Community CollegeRusell Patrick Southern Polytechnic State University Scott J. Tippens Southern Polytechnic State UniversitySulakshana Plumley Community College o f Allegheny Bob Tyndall Forsyth Technical Community College CountyRon Uhey ITT Tech InstituteAugust Ruggiero Essex County College Cliff Wurst Motlow State Community CollegeErwin Selleck SU N Y College o f Technology en CantnRich Vento Columbus State Community CollegeEl equipo de! libro de McGraw-HillCarey Witkov Broward Community CollegeTodd Zimmerman Madison Area Technical CollegeEl autor desea expresar su enorme respeto y gratitud por el esfuerzo del gran equipo de profesionales de McGraw-HillA g rad ecim ien tos especialesque ha dado incontables horas de su tiempo y conocimienEl autor y McGraw-Hill agradecen a Rich Vento, profesorto para desarrollar y producir esta edicin de Fsica. Agrade la Columbus State Community College, por revisar pordezco de manera particular a mi editor de desarrollo, Lizcompleto la exactitud del manuscrito de esta edicin. LosRecker, por mucho el mejor editor con que he trabajado encomentarios de Rich fueron invaluables para esta edicin.muchos aos. Gloria Schiesl, la gerente snior de proyec Tambin damos un agradecimiento especial a Rusell to, trabaj larga y arduamente a fin de que la produccinPatrick, profesor en la Southern Polytechnic State Univer no tuviera ningn obstculo. Daryl Brufiodt (Sponsoringsity, por actualizar el banco de pruebas que complementa Editor), Todd Turner (Marketing Manager), Jeffry Schmittesta obra. (Media Producer), Judi David (Media Project Manager), Carrie Burger (Lead Photo Research Coordinator), Laura Fuller (Production Supervisin) y Shirley Oberbroeckling (Managing Developmental Editor) tambin realizaron ta reas de suma importancia en esta revisin. 17. PARTE I Meca nica IntroduccinCentro espacial Kennedy,en Florida. En lasinstalaciones de serviciode cargas peligrosas lostrabajadores observan elMars Exploration Rover-2(MER-2) subir por la rampapara probar su movilidad yfacilidad de maniobra. Loscientficos y los ingenierosaplican el mtodo cientficopara verificar que elvehculo puede realizartareas semejantes a lasrequeridas en la exploracinde Marte. (Foto de laNASA.) El conocimiento de la fsica es esencial para comprender el mundo. Ninguna otra ciencia ha intervenido de forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales. Basta mirar al pasado para advertir que la experimentacin y el descubrimiento forman un continuum que corre desde las primeras mediciones de la gravedad hasta los ms recientes logros en la conquista del espacio. Al estudiar los objetos en reposo y en movimiento, los cientficos han podido deducir las leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones en ingeniera mecnica. La investigacin de los principios que rigen la produccin de calor, luz y sonido ha dado paso a incontables aplicaciones que han hecho nuestra vida ms cmoda y nos han permitido convivir mejor con nuestro entorno. La investigacin y el desarrollo en las reas de la electricidad, el magnetismo y la fsica atmica y nuclear han desembocado en un mundo moderno que habra sido inconcebible hace tan slo 50 aos (vase figura 1.1).Es difcil imaginar siquiera un producto de los que disponemos hoy da que no suponga la aplicacin de un principio fsico. Ello significa que, independientemente de la carrera que se haya elegido, es indispensable entender la fsica, al menos hasta cierto punto. Es verdad que algunas ocupaciones y profesiones no requieren una comprensin tan profunda de ella como la que exigen las ingenieras, pero la realidad es que en todos los campos de trabajo se usan y aplican sus conceptos. Dotado de slidos conocimientos de mecnica, calor, sonido y electricidad, el lector contar con los elementos necesarios para cimentar casi cualquier profesin. Adems, si antes o despus de graduarse le fuera necesario cambiar de carrera, sabr que cuenta con un conocimiento bsico de ciencias y matemticas en general. Si toma con seriedad este curso y dedica a su estudio una dosis especial de tiempo y energa, tendr menos problemas en el futuro. As, en los cursos posteriores y en el trabajo podr viajar sobre la cresta de la ola en lugar de mantenerse simplemente a flote en un mar tormentoso.1 18. 2 Captulo 1 Introduccin F ig u ra 1.1En muchas ocupaciones se hallan aplicaciones de los principios de la fsica. {Fotos cortesa de Hemera, Inc.) Q u es la fsica? Aun cuando haya estudiado la materia en secundaria, es probable que slo tenga una vaga idea de lo que realmente significa la fsica y en qu se diferencia, por ejemplo, de la ciencia. Para nuestros propsitos, las ciencias pueden dividirse en biolgicas y fsicas. Las ciencias biolgicas se ocupan de los seres vivos, en tanto que las fsicas tienen como objeto de estudio la parte no viva de la naturaleza.La fsica puede definirse como la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de la materia, la energa y el espacio, as como las relaciones entreellos.De acuerdo con esta amplia definicin, no hay fronteras claras entre las ciencias fsicas, lo cual resulta evidente en reas de estudio como la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica, la geofsica, la electroqumica y muchas otras especialidades.El objetivo de esta obra es brindar una introduccin al mundo de la fsica, con un nfasis en las aplicaciones. Con ello, el vasto campo de esta disciplina se simplifica a los conceptos esenciales subyacentes en todo conocimiento tcnico. Estudiar usted mecnica, calor, luz, sonido, electricidad y estructura atmica. El tema fundamental de todos ellos, y probablemen te el ms importante para el alumno principiante es la mecnica.La mecnica se refiere a la posicin (esttica) y al movimiento (dinmica) de la materia en el espacio. La esttica es el estudio de la fsica aplicado a los cuerpos en reposo. La din mica se ocupa de la descripcin del movimiento y sus causas. En ambos casos, el ingeniero o tcnico se encarga de medir y describir las cantidades fsicas en trminos de causa y efecto.Un ingeniero, por ejemplo, aplica los principios de la fsica para determinar qu tipo de estructura ser ms eficaz en la construccin de un puente. Su inters se centra en el efecto de las fuerzas. Si un puente terminado llegara a fallar, la causa de la falla requerira ser ana lizada para aplicar ese conocimiento a las construcciones futuras de ese tipo. Es importante sealar que el cientfico define como causa la sucesin de hechos fsicos que desembocan en un efecto. 19. Cmo estudiar fsica?3Q u Importancia tienen las matemticas?Las matemticas sirven para muchos fines. Son a la vez filosofa, arte, metafsica y lgica.Sin embargo, todos estos aspectos se subordinan a su funcin principal: son una herramientapara el cientfico, el ingeniero o el tcnico. Una de las mayores satisfacciones que brinda unprimer curso de fsica es que se cobra mayor conciencia de la importancia de las matemticas.Un estudio de fsica revela aplicaciones concretas de las matemticas bsicas. Supongamos que se desea predecir cunto tarda en detenerse un automvil que se desplaza con cierta rapidez. Primero es necesario controlar cuantas variables sea posible. En laspruebas, buscar que cada frenado sea uniforme, de modo que la rapidez media se aproximea la mitad de la rapidez inicial. Expresado en smbolos esto puede escribirse:^ media ^ Tambin se controlarn las condiciones y la pendiente de la carretera, el clima y otros parmetros. En cada prueba se registrar la rapidez inicial (v.), la distancia a la que se detiene elvehculo (.v) y el tiempo en que lo hace ( t ) . Tambin puede tomar nota de la rapidez inicial, delcambio de rapidez, as como de la distancia y el tiempo necesarios para detener el automvil.Cuando todos estos factores se han registrado, los datos sirven para establecer una relacintentativa. No es posible hacer esto sin usar las herramientas que ofrecen las matemticas. Con base en la definicin de rapidez como la distancia recorrida por unidad de tiempo seobserva que la distancia de frenado, x en nuestro ejemplo, puede ser producto de la velocidadmedia v /2 multiplicada por el tiempo, t. La relacin tentativa podra ser ^ tX = t O X =2 2Obsrvese que hemos usado smbolos para representar los parmetros importantes y las matemticas para expresar su relacin. Esta proposicin es una h i p t e s i s v i a b l e . A partir de esta ecuacin es posible predecir ladistancia a la que se detendr cualquier vehculo con base en su rapidez inicial y el tiempo defrenado. Cuando una hiptesis se ha aplicado el suficiente nmero de veces para tener un gradode seguridad razonable de que es verdadera, se le llama t e o r a c i e n t f i c a . En otras palabras, cualquier teora cientfica no es ms que una hiptesis viable que ha resistido la prueba del tiempo. Por tanto, podemos damos cuenta de que las matemticas son tiles para obtener frmulas que nos permiten describir los hechos fsicos con precisin. Las matemticas adquierenmayor relevancia aun en la resolucin de esas frmulas con cantidades especficas. Por ejemplo, en la frmula anterior sera relativamente fcil hallar los valores de x, v y tcuando se conocen las otras cantidades. Sin embargo, muchas relaciones fsicas implican mayores conocimientos de lgebra, trigonometra e incluso clculo. La facilidad con que puedadeducir o resolver una relacin terica depende de sus conocimientos de matemticas. En el captulo 2 se presenta un repaso de los conceptos matemticos necesarios para entender este texto. Si desconoce alguno de los temas expuestos debe estudiar atentamente esecaptulo. Preste especial atencin a las secciones sobre potencias de 10, ecuaciones literales ytrigonometra. De su habilidad para aplicar las herramientas matemticas depender en granmedida su xito en cualquier curso de fsica.Cmo estudiar fsica?La lectura de un texto tcnico es diferente de la de otros temas. Es indispensable prestar atencin al significado especfico de las palabras para comprender el tema. En los textos tcnicosse utilizan a menudo grficas, dibujos, tablas y fotografas, elementos siempre tiles y a vecesincluso esenciales para describir los hechos fsicos. Debe estudiarlos con detenimiento paraentender bien los principios. Gran parte del aprendizaje se obtiene a partir de las exposiciones en el aula y de losexperimentos. El alumno principiante suele preguntarse: "Cmo puedo concentrarme por 20. 4 Captulo 1 Introduccin completo en la clase y al mismo tiempo tomar notas precisas? Por supuesto, quiz no sea po sible comprender cabalmente todos los conceptos expuestos y, adems, tomar apuntes com pletos. Por ello, debe aprender a anotar slo las partes importantes de cada leccin. Cercirese de escuchar bien la explicacin de los temas. Aprenda a reconocer las palabras clave, como trabajo, fuerza, energa y cantidad de movimiento.La preparacin adecuada antes de la clase le dar una buena idea de qu partes de la ex posicin se explican en el texto y cules no. Si se presenta un problema o una definicin en el texto generalmente es mejor que anote una palabra clave durante la clase y centre toda la atencin en lo que explica el profesor; despus puede complementar la nota.Cada estudiante que entra en un curso de fsica para principiantes cuenta ya con los re quisitos y las habilidades necesarias para aprobarlo; por ende, si no lo hace se deber a otras razones: acaso falta de motivacin, una excesiva carga de trabajo, un empleo externo, enfer medades o problemas personales. Los consejos siguientes provienen de profesores con expe riencia que han tenido xito en los cursos para estudiantes de los primeros niveles de fsica. La responsabilidad fin al del aprendizaje corresponde al estudiante. El maestro es unmero facilitador, la escuela es un simple campus y el texto es slo un libro. Asista puntualmente a las clases, preparado para los temas que se expondrn. Estudie antes el material y anote las preguntas que desee plantear al profesor. E l aprendizaje oportuno es aprendizaje eficaz. Es mejor estudiar una hora cada da de lasemana que 20 el sbado y el domingo. Despus de cada clase o exposicin emplee su horalibre ms prxima para reforzar lo que ha aprendido de los temas presentados. Repase algunos ejemplos. Cuanto ms tiempo deje pasar ms olvidar de la clase y perder ms tiempo.Si espera hasta el fin de semana necesitar al menos una hora simplemente para revisar yreconstruir la clase a partir de sus notas. Estudiar todo poco antes del examen no funciona,mejor repase los problemas que ya haya resuelto y trabaje en el libro otros semejantes. E l aprendizaje cabal va ms all del saln de clases. A fin de retener y aplicar lo aprendido en el saln, es indispensable que resuelva problemas por su cuenta. Solicite la ayudade otras personas, incluida la del profesor, despus de haberse esforzado en contestar losproblemas asignados. No hay sustituto para la participacin activa en el pensamiento yen los procedimientos necesarios para resolver problemas. Repase las habilidades bsicas. En el captulo 2, que versa sobre matemticas tcnicas,destaca las habilidades que tal vez estn un tanto dbiles o haya que pulir. Asegrese deque entiende bien esos temas. Estudie el plan de actividades. Procure estar enterado de los temas que se incluirn enlos exmenes, cundo se llevarn a cabo stos y cmo influirn en la calificacin final. Busque un compaero y pdale su nmero telefnico. Establezca un sistema de compaerismo donde cada uno informe al otro sobre las actividades de clase o de laboratorioa las que no haya asistido. Pida a esa persona que recoja los materiales impresos y lasinstrucciones que se den cuando usted no est presente. La organizacin es la clave del verdadero aprendizaje. Mantenga al da una carpeta deargollas, dividida por secciones con sus respectivos ttulos: Material impreso recibido,Notas, Problemas, Exmenes calificados, Prcticas de laboratorio calificadas. Si tiene dificultades, pida ayuda cuanto antes. Hoy da los estudiantes tienen a su alcance una gran cantidad de material de estudio que otrora slo exista en sueos. Hay tutoriales asistidos por computadora, internet, guas de soluciones, manuales de resolucinde problemas e incluso otros libros de textos que explican los mismos temas. Su profesoro bibliotecario le indicarn qu y cmo puede conseguirlos, pero usted es responsable deobtenerlos. Tras muchos aos de ensear fsica en el bachillerato he notado que la razn ms comn por la que a muchos estudiantes de los primeros niveles se les dificulta la materia es la mala 1 Como sinnimos de cantidad de movimiento, tambin se emplean momento lineal e mpetu. (N. del E.) 21. Cmo estudiar fsica?5planificacin y organizacin. Hoy da un estudiante puede tomar dos o tres materias, inclusoms, mientras cursa fsica. Por aadidura, puede trabajar en un empleo de medio tiempo; o estar casado y tener hijos; o contar con varias actividades extraclase; o asistir al curso de fsicaaun antes de terminar los cursos de matemticas necesarios para entender la materia. Prontose torna evidente que no alcanza el tiempo para ahondar en una sola rea de estudio. Porconsiguiente, debe establecer un calendario riguroso, con objetivos y prioridades firmes. Paraayudarle en su elaboracin, le recomiendo que considere tambin los aspectos siguientes: En cuanto a la preparacin para el bachillerato y para su futuro en el mundo tcnico de la actualidad, la fsica es el curso ms importante de los primeros niveles. (Debatir con gusto sobre esta afirmacin con cualquier persona, y a menudo lo hago.) No espere entender a cabalidad los principios de la fsica del mismo modo que aprende los de otras materias no tcnicas. La verdadera comprensin de la disciplina se logra con la aplicacin y la resolucin de problemas. Debe aplicar un concepto poco despus de que se le haya explicado; de otro modo, slo perder el tiempo intentando reconstruir sus ideas. Trate de programar una hora libre inmediatamente despus de su clase de fsica e intente trabajar con los ejemplos mientras la leccin an est fresca en su mente. Organice sus hbitos de estudio en tomo a la naturaleza de las materias que cursa. M u chas disciplinas obligatorias precisan numerosas lecturas y elaboracin de informes, y pueden encararse diferente de las matemticas y la fsica. Todas son importantes, pero estas ltimas no pueden aprenderse bien si estudia todo al final. Cuando los temas suce sivos requieren entender los temas anteriores crece la posibilidad de rezagarse pronto. Nunca he dado un curso de fsica sin que falte alguien que se queje porque la ansiedad por los exmenes es la principal razn de sus malas calificaciones. Cierto, se trata de un problema real, ms grave en unos que en otros. Me parece que la mejor forma de lidiar con l es procurndose una preparacin completa y apropiada. Debe trabajar con cuantos ejemplos sea posible antes del examen. En el basquetbol la victoria puede depender de un tiro libre al final. El triunfador es el jugador que ha encestado tantos tiros libres que sus reflejos se hallan condicionados para responder incluso bajo presin. 22. Matemticas tcnicasLas matemticas son unaherramienta fundamentalpara todas las ciencias. Enla grfica que aparece en lapantalla de la computadorase muestra una aplicacinde la trigonometra.(Foto de Paul E. Tippens.) Objetivos Cuando termine de estudiar este captulo el alumno:1. Demostrar su habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir unidades tc nicas de medida.2. Resolver frmulas sencillas para cualquier cantidad que aparezca en la frmu la y realizar evaluaciones por sustitucin.6 23. 2.1 Nmeros con signo 7 3.Resolver problem as sencillos que im pliquen operaciones con exponentes y radicales. 4.Realizar operaciones m atem ticas com unes en notacin cientfica. 5.Trazar una grfica a p a rtir de datos tcnicos especficos e interpretar nueva inform acin con base en aqulla. 6 . A plicar las reglas elem entales de la geom etra para calcular ngulos descono cidos en situaciones concretas.Suele ser decepcionante abrir un libro de fsica y ver que empieza con matemticas. Naturalmente, usted desea aprender slo las cosas que considera necesarias. Quiere tomar medidas,operar mquinas o motores, trabajar con algo o al menos saber que no ha perdido el tiempo.Segn su experiencia, podr omitir gran parte o todo este captulo, a juicio de su profesor.Tenga presente que los fundamentos son importantes y que ciertas habilidades matemticasson indispensables. Tal vez comprenda perfectamente los conceptos de fuerza, masa, energa yelectricidad, pero quiz no sea capaz de aplicarlos en su trabajo por falta de conocimientos matemticos fundamentales. Las matemticas son el lenguaje de la fsica. A lo largo de la obra noshemos esforzado por lograr que ese lenguaje sea tan sencillo y relevante como sea necesario. En cualquier ocupacin industrial o tcnica tenemos que efectuar mediciones de algntipo. Puede tratarse de la longitud de una tabla, el rea de una hoja de metal, el nmero detornillos que hay que pedir, el esfuerzo al que est sometida el ala de un avin o la presinen un tanque de aceite. La nica forma en que podemos dar sentido a esos datos es mediantenmeros y smbolos. Las matemticas brindan las herramientas necesarias para organizarlos datos y predecir resultados. Por ejemplo, la frmula F = ma expresa la relacin entreuna fuerza aplicada (F) y la aceleracin (a) que sta produce. La cantidad m es un smboloque representa la masa de un objeto (una medida de la cantidad de materia que contiene). Atravs de los pasos matemticos apropiados podemos usar frmulas como sa para predeciracontecimientos futuros. Sin embargo, en muchos casos se precisan conocimientos generalesde lgebra y geometra. Este captulo le ofrece un repaso de algunos de los conceptos esenciales en matemticas. El estudio de las diferentes secciones del captulo podr ser asignadou omitido a criterio de su profesor.Nmeros con signoA menudo es necesario trabajar con nmeros negativos y positivos. Por ejemplo, una temperatura de - 10C significa 10 grados "abajo del punto de referencia cero, y 24C una temperaturaque est 24 grados arriba del cero (vase la figura 2.1). Los nmeros se refieren a la magnitudde la temperatura, mientras que el signo ms o menos indica el sentido respecto al cero. Elsigno menos en 10C no indica falta de temperatura; significa que la temperatura es menorque cero. El nmero 10 en 10C describe cuan lejos de cero se halla la temperatura; el signomenos es necesario para indicar el sentido respecto del cero. El valor de un nmero sin signo se conoce como su valor absoluto. En otras palabras, siomitimos los signos de + 7 y 7, el valor de ambos nmeros es el mismo. Cada nmero esta siete unidades del cero. El valor absoluto de un nmero seindica por medio de un smboloformado por barras verticales. El nmero + 7 no es igual queel nmero 7;pero 1+71 s esigual que I71. Cuando se realizan operaciones aritmticas que incluyen nmeros con signo seusan sus valores absolutos. Los signos ms y menos tambin se emplean para indicar operaciones aritmticas; porejemplo: -----24C+7 + 5 significa sumar el nmero + 5 al nmero + 7"0C 7 5 significa restar el nmero + 5 del nmero + 7 Si queremos indicar la suma o la resta de nmeros negativos, resulta til emplear parntesis: y ------ 10C-(+7) + ( - 5 ) significa sumar el nmero 5 al nmero + 7 Figura 2.1(+7) ( 5) significa restar el nmero 5 del nmero + 7 24. 8 C aptulo 2 M atem ticas tcnicasCuando se suman nmeros con signo es til recordar la regla siguiente: R egla d e la su m a: para sum ar dos nm eros del m ism o signo, sumam os sus valores absolutos y ponem os el signo en com n al resultado (suma). Para su mar dos nm eros de diferente signo, encontram os la diferencia entre sus valo res absolutos y asignam os al resultado el signo del nm ero de m ayor valor.Considere los ejemplos que siguen:(+ 6 ) + (+ 2 ) = + (6 + 2) = + 8(-6 ) +( - 2 ) = - ( 6 + 2) = - 8(+ 6 ) + ( - 2 ) = + (6 - 2) = + 4(-6 ) +(+ 2 ) = - ( 6 - 2) = - 4 Examinemos ahora el procedimiento de la resta. Siempre que a un nmero le restamosotro, cambiamos el signo del segundo nmero y despus lo sumamos al primero, aplicandola regla de la suma. En la expresin 7 5, el nmero + 5 va a ser restado del nmero +7. Laresta se realiza cambiando primero + 5 por 5 y luego sumando los dos nmeros que ahoratienen diferente signo: (+ 7 ) + (5) = + (7 5) = +2. R egla d e la re s ta : para restar un nm ero, b, con signo de otro nm ero, a, con signo, cam biam os el signo de b y luego sumam os este nm ero a a aplicando la regla de la suma.Analice los ejemplos siguientes:(+ 8 ) -- (+ 5 ) = 8 - 5 = 3(+ 8 ) -- ( - 5 ) = 8 + 5 = 13( - 8 ) -- (+ 5 ) = - 8 - 5 = - 1 3( - 8 ) -- ( - 5 ) = - 8 + 5 = - 3 r/sviLa velocidad de un objeto se considera positiva cuando ste se mueve hacia arriba y negativa cuando se mueve hacia abajo. Cul es el cambio de velocidad de una pelota quegolpea el piso a 12 metros por segundo (m /s) y rebota a 7 m /s? Consulte la figura 2.2.Plan: Primero establecemos como positiva la direccin ascendente o hacia arriba, +7 m/sas que podemos usar los mismos signospara la velocidad. La velocidad inicial es12 m /s porque la pelota se est moviendo hacia abajo. Despus su velocidad es+ 7 m /s, pues se mueve hacia arriba. Elcambio de velocidad ser la velocidad finalmenos la inicial.-12 m/s Figura 2.2 25. 2.1 Nmeros con signo 9S olucin: Cambio en la velocidad = velocidad final velocidad inicial = ( + 7 m /s) (12 m /s) = 7 m /s + 12 m /s = 19 m /sSin entender los nmeros con signo podramos haber supuesto que el cambio registrado enla rapidez era de slo 5 m /s (12 7). Sin embargo, tras pensarlo un momento, nos damoscuenta de que la rapidez debe disminuir primero a cero (un cambio de 12 m /s) y que luego sealcanza una rapidez de 7 m /s en direccin opuesta (un cambio adicional de 7 m /s).En una multiplicacin cada nmero se llama fa cto r y el resultado es el producto. Ahora podemos establecer la regla de la multiplicacin para nmeros con signo: Regla de la multiplicacin: si dos factores tienen signos iguales, su pro d u cto es positivo; si tienen signos diferentes, su p ro d u cto es negativo.Veamos estos ejemplos: (+ 2 )(+ 3 ) = + 6 ( 3)(4) = +12 (2)( + 3) = 6( 3)(+ 4) = 12Suele resultar til una ampliacin de la regla de la multiplicacin para los productos queresultan de multiplicar varios factores. En vez de multiplicar una serie de factores, de dos endos, podemos recordar que El p ro d u cto ser positivo si to d o s los factores son positivos o si existe un n m ero par de factores negativos. El p ro d u cto ser negativo si hay un nm ero im par de factores negativos.Considere los ejemplos que siguen:( 2 )(+ 2 )(3) =+ 12 (dos factores negativos,par) (2 )(+ 4 )(3)(2) =-4 8 (tres factores negativos,impar) (3)3 = (3)(3)(3) = -2 7 (tres factores negativos, impar)Observe que en el ltimo ejemplo se us un superndice 3 para indicar el nmero de vecesque el nmero 3 deba usarse como factor. El superndice 3 escrito en esta forma se llamaexponente.Cuando se desea dividir dos nmeros, el que va a ser dividido se llama dividendo y entreel que se divide ste se llama divisor. El resultado de la divisin se denomina cociente. Laregla para dividir nmeros con signo es la siguiente: Regla de la divisin: el cociente de dos nm eros con signos iguales es p o siti vo y el cociente de dos nm eros con signos diferentes es negativo.Por ejemplo ( + 2) -v ( + 2) = +1-( - 4 ) -h ( - 2 ) = + 2En caso de que el numerador o el denominador de una fraccin contenga dos o ms factores, la regla siguiente tambin es til: El cociente es negativo si el nm ero to ta l de factores negativos es im par; en caso contrario, el cociente es positivo. 26. 10 C aptulo 2 M atem ticas tcnicas Por ejemplo, (~4)(3) = 6 par2(~ 2 )(~ 2 )(3) +2 impar (2 )(-3 )Es conveniente que practique la aplicacin de todas las reglas expuestas en esta seccin. Es un grave error suponer que ha entendido estos conceptos sin comprobarlo adecuadamen te. Una fuente importante de errores en la resolucin de problemas de fsica es el uso de los nmeros con signo. Repaso de lgebra El lgebra es en realidad una generalizacin de la aritmtica, en la que se usan letras para reemplazar nmeros. Por ejemplo, aprenderemos que el espacio ocupado por algunos objetos (su volumen, V) puede calcularse multiplicando el largo (/) por el ancho (>) y por la altura (h). Si se asignan letras a cada uno de esos elementos, establecemos una frm ula general, como Volumen = largo X ancho X altura V = l b h(2.1)La ventaja de las frmulas es que funcionan en cualquier situacin. Dado el largo, el an cho y la altura de cualquier slido rectangular podemos usar la ecuacin (2.1) para calcular su volumen. Si deseamos averiguar el volumen de un bloque rectangular de metal, slo debemos sustituir los nmeros apropiados en la frmula. 3EX23&Calcule el volumen de un slido que tiene las medidas siguientes: largo, 6 centmetros (cm); ancho, 4 cm, y alto, 2 cm. Plan: Recuerde o localice la frmula para calcular el volumen y luego sustituya las letras (literales) con las cantidades proporcionadas. S olucin: La sustitucin da por resultadoV = Ibh = (6 cm)(4 cm)(2 cm) = 48 (cm X cm X cm) = 48 cm3 El tratamiento de las unidades que dan por resultado un volumen expresado en centmetros cbicos se comentar ms adelante. Por ahora, cntrese en la sustitucin de nmeros.Cuando las letras se sustituyen por nmeros en una frmula es muy importante insertar el signo apropiado de cada nmero. Considere la frmula siguiente: P = c2 ab Suponga que c = + 2 , a = - 3 y b = +4. Recuerde que los signos ms y menos incluidos en las frmulas no se aplican a ninguno de los nmeros que pueden ser sustituidos. En este ejemplo, tenemos:P = (c)2 - (a)(b)= (+ 2 )2 - ( - 3 X + 4 )= 4 + 12 = 16 Resulta sencillo advertir que si se confunde un signo de la frmula con el signo de alguno de los nmeros sustituidos podra cometerse un error. 27. 2.2 Repaso de lgebra 11 Con frecuencia es necesario resolver (despejar) una frmula o una ecuacin para unaletra que es slo parte de la frmula. Suponga que deseamos encontrar una frmula para calcular el largo de un slido rectangular a partir de su volumen, su altura y su ancho. Las letrasque aparecen en la frmula V = ah tendrn que reorganizarse para que la / aparezca sola enel lado izquierdo. El reordenamiento de la frmula no es difcil si recordamos algunas reglaspara trabajar con ecuaciones. Bsicamente, una ecuacin es un enunciado matemtico que dice que dos expresionesson iguales. Por ejemplo,2b + 4 = 3b - 1es una ecuacin. En este caso, es evidente que la letra b representa la cantidad desconocida o,mejor dicho, la incgnita. Si sustituimos b = 5 en ambos lados o miembros de esta ecuacin,obtenemos 14 = 14. Por tanto, b = 5 es la solucin de la ecuacin.Podemos obtener soluciones para igualdades realizando las mismas operaciones en losdos lados de la ecuacin. Considere la igualdad 4 = 4. Si sumamos, restamos, multiplicamoso dividimos el nmero 2 en ambos lados, no se altera la igualdad. Lo que hacemos es, enefecto, aumentar o disminuir la magnitud de cada lado, pero la igualdad se conserva. (Serconveniente que usted verifique el enunciado anterior para la igualdad 4 = 4.) Observe tam bin que si se eleva al cuadrado o se obtiene la raz cuadrada en los dos lados no se altera laigualdad. Si se realiza la misma serie de operaciones en cada miembro de una ecuacin esposible obtener finalmente una igualdad con una sola letra en el miembro izquierdo. En estecaso, se dice que hemos resuelto (o despejado) la ecuacin para esa letra.Resuelva para m la ecuacin que sigue:3m 5 = m + 3Pa n: La clave es dejar sola la m en un lado del signo igual y del otro un nmero solo.Mientras sumemos o restemos la misma cantidad en cada lado, la ecuacin seguir siendoverdadera.S olucin: Primero sumamos + 5 a ambos lados y luego restamos m de los dos lados: 3/72 5 + 5 = m + 3 + 5 3m = m + 8 3m m = m + 8 m 2m = 8Por ltimo, dividimos ambos lados entre 2: 2m8 ~2~ ~ 2~ m = 4Para comprobar esta respuesta, sustituimos m = 4 en la ecuacin original y obtenemos7 = 7, lo cual demuestra que m = 4 es la solucin. En las frmulas, la solucin de una ecuacin tambin puede expresarse por medio deletras. Por ejemplo, la ecuacin literal ax 5b = cpuede resolverse para x en trminos de a, b y c. En casos como ste, decidimos de antemanocul de las letras ser la incgnita. En nuestro ejemplo, elegiremos x. Las dems letras setratan como si fueran nmeros conocidos. Sumando 5b a ambos lados se obtiene ax 5b + 5b = c + 5bax = c + 5b 28. 12 C aptulo 2 M atem ticas tcnicas Ahora dividimos ambos lados entre a para obteneraxc + 5baac + 5bx = a que es la solucin para x. Los valores para a, b y c en una situacin concreta se sustituyen para hallar un valor especfico de x.w /y / V! El volumen de un cono circular recto se expresa con la frmula tj r 2hV= (2.2) Cul es la altura del cono si su radio es r = 3 cm y V = 81 centmetros cbicos (cm3)? (Suponga que tt = 3.14.) Plan: Primero resolvemos la frmula para h en trminos de r y V; luego debemos sustituir los valores que tenemos para V, tt y r. Solucin: Al multiplicar ambos lados por 3 se obtiene 3V = ir r h Si dividimos ambos miembros entre rrr2 resulta3y_ irr2h3Vht t }-27r r 27r r 21 Por tanto, la altura h est dada por: 3Vh = 27r r Sustituyendo los valores que tenemos de V,tt y r nos queda 3(81 cm3) 243 cm3n = ------------------r = ------------ t = 8.60 cm(3.14)(3cm ) 28.26 cm- La altura del cono es 8.60 cm. Exponentes y radicales (optativo) Con frecuencia resulta necesario multiplicar una misma cantidad cierto nmero de veces. Un mtodo abreviado para indicar el nmero de veces que una cantidad se toma como factor de s misma consiste en usar un superndice numrico conocido como exponente. Esta notacin sigue el esquema presentado a continuacin:Para cualquier nmero a:Para el nmero 2:a = a1 2 = 21a X a = a22 X 2 = 22 a X a X a = a3 2 X 2 X 2 = 23a X i X a X f l = a4 2X2X2X2= 24 29. 2.3 Exponentes y radicales (optativo)13Las potencias del nmero a se leen como sigue: a2 se lee a cuadrada : a3, a cbica";y a4, a a la cuarta potencia. En general, se dice que a" representa a elevado a la 77-simapotencia. En tales ejemplos, la letra a es la base y los superndices numricos 1, 2, 3, 4 y nson los exponentes.Repasaremos varias reglas que es necesario seguir al trabajar con exponentes. Regla 1 : C uando se m ultiplican dos cantidades de la misma base su pro d u cto se ob tie n e sum ando algebraicam ente los exponentes: (a")(a") = an+" Regla de la multiplicacin (2.3)Ejemplos:(24)(23) = 24+ 3 = 27 2 5 3 32+ 5+ 3 3 10 3xx y x = x y= x y Regla 2 : C uando a no es cero, un exponente negativo se define con cualquie ra de las expresiones siguientes: 1 1a~n = yya"a" = Exponente negativo (2.4)a" a~nEjemplos: a -4 1i 1 10234 8 l _ 10-21A -3)2a4y 2 K = a n* m r& r or=ssc va smH V a m o s a suponer que la distancia x medida en metros (m) es una funcin de la rapidez inicialvQen metros por segundo (m/s), de la aceleracin a en metros por segundo al cuadrado (m/s2 )y del tiempo t en segundos (s). Demuestre que la frmula es dimensionalmente correcta.x = v0t +a fPlan: Hay que recordar que cada trmino debe expresarse en las mismas dimensionesy que las dimensiones en cada lado de la igualdad deben ser las mismas. Puesto que lasunidades de x estn en metros, cada trmino de la ecuacin debe reducirse a metros si staes dimensionalmente correcta. 61. 3.7 Cantidades vectoriales y escalares45Solucin:Alsustituir las unidades por las cantidades en cada trmino, tenemos mm , m = () H ^ isT se obtiene m = m + mCon esto se satisfacen tanto la regla 1 comola regla 2. Por tanto, la ecuacin es dimensionalmente correcta.El hecho de que una ecuacin sea dimensionalmente correcta es una forma de comprobacin. Una ecuacin as, puede no ser una ecuacin verdadera, pero al menos es consistentedesde el punto de vista dimensional.Cantidades vectoriales y escalaresAlgunas cantidades pueden describirse totalmente por un nmero y una unidad. Slo importan las magnitudes en los casos de un rea de 12 m2, un volumen de 40 ft3 o una distancia de50 km. Este tipo de cantidades se llaman cantidades escalares. Una cantidad e sc a la rse especifica totalmente por su magnitud que consta de un nmero y una unidad. Por ejemplo, rapidez (15 mi/h), distancia (12 km) y volumen (200 cm3). Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarseen la forma acostumbrada. Por ejemplo, 14 mm + 13 mm = 27 mm20 ft2 4 ft2 = 16 ft2Algunas cantidades fsicas, como la fuerza y la velocidad, tienen direccin y ademsmagnitud. Por eso se les llama cantidades vectoriales. La direccin debe formar parte decualquier clculo en el que intervengan dichas cantidades. Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una di*E1 autor, como es reccin.* Consiste en un nmero, una unidad y una direccin. Por ejemplo,costumbre en los librosdesplazamiento (20 m, N) y velocidad (40 mi/h, 30 N del O).en ingls, especifica unvector por su magnitudLa direccin de un vector puede indicarse tomando como referencia las direcciones cony direccin, dando porvencionales norte (N),este(E), oeste (O) y sur (S). Considere, porejemplo, los vectores 20supuesto un sentido sobre m, O y 40 m a 30 N del E, como se observa en la figura 3.7. La expresin al Nortedel Estela recta que determina la indica que el ngulo se forma haciendo girar una lnea hacia el Norte, a partir de la direccindireccin, en trminos de Este.un sistema de referencia,tal idea se encuentra N 90implcita cuando habla deun ngulo con respectoal eje positivo de las x(orientacin angular).No obstante, puededecirse que, estrictamentehablando, un vector quedaespecificado por estas trescaractersticas: magnitud,direccin y sentido(N. del E.).Figura 3 .7 La direccin de un vector se indica con referencia al norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O). 62. 46 Captulo 3Mediciones tcnicas y vectores eje y90 270AtlantaFigura 3.8 La direccin de un vector se indica com o un ngu Figura 3.9 El desplazamiento es una cantidad vectorial; su direclo m edido a partir del eje positivo x. cin se indica mediante una flecha continua. La distancia es una cantidad escalar, representada con una lnea discontinua.Otro mtodo para especificar la direccin, que ms tarde ser de gran utilidad, consiste en tomar como referencia lneas perpendiculares llamadas ejes. Estas lneas imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, pero pueden estar orientadas en otras direcciones siempre que sean perpendiculares entre s. En general, una lnea horizontal imaginaria se llama eje x, y una lnea vertical imaginaria se llama eje y. En la figura 3.8 las direcciones se indican mediante ngulos medidos en sentido directo, es decir, en contrasentido al avance de las manecillas del reloj, a partir de la posicin del eje x positivo; los vectores 40 m a 60 y 50 m a 210 se indican en la figura.Suponga que una persona viaja en automvil de Atlanta a San Luis. El desplazamiento a partir de Atlanta se representa por un segmento de recta, dibujado a escala, que va de Atlanta a San Luis (vase la figura 3.9). Para indicar la direccin se dibuja una punta de flecha en el extremo correspondiente a San Luis. Es importante observar que el desplazamiento, represen tado por el vector D i; es completamente independiente de la trayectoria real o de la forma de transportarse. El odmetro muestra que el automvil ha recorrido en realidad una distancia escalar sx de 541 mil, pero la magnitud del desplazamiento es de slo 472 mi.Otra diferencia importante entre un desplazamiento vectorial y un desplazamiento esca lar es que la componente del vector tiene una direccin constante de 140 (o 40 N del O). Sin embargo, la direccin del automvil en cada instante del recorrido no es importante cuando se mide la distancia escalar.Suponga ahora que el viajero contina su viaje hasta Washington. Esta vez, el vector desplazamiento D2 es 716 mi en una direccin constante de 10 N del E. La correspondiente distancia por tierra s2 es 793 mi. La distancia total recorrida en todo el viaje, desde Atlanta, es la suma aritmtica de las cantidades escalares s y s .Sj + s2 = 541 mi + 793 mi = 1334 mi En cambio, el vector suma de los dos desplazamientos ! y debe tomar en cuenta la direc cin, adems de las magnitudes. Ahora el problema no es la distancia recorrida, sino el des plazamiento resultante desde Atlanta. Este vector suma aparece en la figura 3.9, representado por el smbolo R, dondeR = D, + D2Los mtodos que se analizarn en la siguiente seccin permiten determinar la magnitud y la direccin de R. Utilizando una regla y un transportador, es posible apreciar que R = 549 mi, 51 Conviene recordar que cuando se habl de sumas de vectores, se dijo que deben considerarse tanto la magnitud como la direccin de los desplazamientos. Las sumas son geomtricasy no algebraicas. 63. 3.8 Suma o adicin de vectores por mtodos grficos47Es posible que la magnitud del vector suma sea menor que la magnitud de cualquiera de losdesplazamientos componentes. Por lo comn, en materiales impresos los vectores se indican mediante el tipo negritas.Por ejemplo, el smbolo D denota un vector desplazamiento en la figura 3.9. Un vector puedeindicarse convenientemente en letra manuscrita subrayando la letra o dibujando una flechaencima de ella. En textos impresos, la magnitud de un vector se indica generalmente en cursivas (itlicas); por tanto, D indica la magnitud del vector D. Con frecuencia, un vector seespecifica con un par de nmeros (R, 6). El primer nmero y su unidad indican la magnitud,y el segundo nmero indica el ngulo, medido en contrasentido al avance de las manecillasdel reloj, a partir de la parte positiva del eje x. Por ejemplo,R = (R, 9) = (200 km, 114) Observe que la magnitud R de un vector es siempre positiva. Un signo negativo colocadoantes del smbolo de un vector slo invierte su direccin; en otras palabras, invierte la direccinde la flecha, pero no afecta la longitud. Si A = (10 m, E), entonces sera (10 m, O).A^ Suma o adicin de vectores por mtodos grficosEn esta seccin se estudian dos mtodos grficos muy comunes para hallar la suma geomtrica de vectores. El mtodo del polgono es el ms til, ya que puede aplicarse fcilmente a msde dos vectores. El mtodo delparalelogramo es conveniente para sumar slo dos vectoresa la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud deun segmento de recta. La direccin se marca colocando una punta de flecha en el extremo delsegmento de dicha recta.Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer da de viaje, 60 km al noreste elsegundo da y 120 km hacia el Este el tercer da. Encuentre el desplazamiento resultantecon el mtodo del polgono.Plan: Tome como punto de inicio el origen del viaje y decida una escala apropiada. Useun transportador y una regla para dibujar la longitud de cada vector de manera que seaproporcional a su magnitud. El desplazamiento resultante ser un vector dibujado desde elorigen a la punta del ltimo vector.Solucin: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm, como se observa en la figura3.10. Utilizando esta escala, notamos que 100 km = 100 kn ---- = 5 cm X20 km 1 cm60 km = 60 lat X --------= 3 cm20 kar 1 cm 120 km = 120 knT X --------= 6 cm20 kmAl realizar la medicin con una regla, a partir del diagrama a escala se observa que la flecha resultante tiene 10.8 cm de longitud. Por tanto, la magnitud es 20 km10.8 cm = 10.8 ch X -------- = 216 km1 Gt 64. 48 Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores Figura 3.10 M todo del polgono para sumar vectores. Si se mide el ngulo 9 con un transportador, resulta que la direccin es de 41. Por tanto, el desplazamiento resultante esR = (216 km, 41)Observe que el orden en que se suman los vectores no cambia en absoluto la resultante. Se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas por el barco del ejemplo anterior.Los mtodos grficos sirven para hallar la resultante de todo tipo de vectores. No se li mitan slo a la medicin de desplazamientos, pues son particularmente tiles para encontrar la resultante de numerosas fuerzas. Por ahora, consideremos como definicin de fuerza un empujn o tirn que tiende a producir movimiento. El vector fuerza se especifica tambin por medio de un nmero, unidades correspondientes y ngulo, as como desplazamientos, y se suma de la misma manera que los vectores de desplazamiento. Estrategia para resolver problemasEl mtodo del polgono para sumar vectores 4. Contine el proceso de unir el origen de cada vector con las puntas hasta que la magnitud y la direccin de 1. Elija una escala y determine la longitud de las flechas todos los vectores queden bien representadas.que corresponden a cada vector. 5. Dibuje el vector resultante con el origen (punto de par 2. Dibuje a escala una flecha que represente la magnitudtida) y la punta de flecha unida a la punta del ltimo y direccin del primer vector.vector. 3. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su colacoincida con la punta de la flecha del primer vector. . 6 Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y la direccin del vector resultante.En el ejemplo 3.4 se determina la fuerza resultante sobre un burro que es jalado en dos direcciones diferentes por dos cuerdas (vase la figura 3.11). En esta ocasin se aplicar el mtodo del paralelogramo, que slo es til para sumar dos vectores a la vez. Cada vector se dibuja a escala y sus colas tienen el mismo origen. Los dos forman entonces dos lados adya centes de un paralelogramo. Los otros dos lados se construyen trazando lneas paralelas de igual longitud. La resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo, a partir del origen de las dos flechas vectores. 65. 3.9 Fuerza y vectores 492 0 Ib 20 libras 010 20 30 4( ------ 1---- 1---- 1------ 11 - - - 0 1 2 3^ 6 0 Ib centmetrosEncuentre la fuerza resultante sobre el burro de la figura 3.11, si el ngulo entre las doscuerdas es de 120. En un extremo se jala con una fuerza de 60 Ib y, en el otro, con unafuerza de 20 Ib. Use el mtodo del paralelogramo para sumar los vectores.Plan: Construya un paralelogramo formando dos de los lados con vectores dibujados quesean proporcionales a las magnitudes de las fuerzas. Por tanto, la fuerza resultante puedeencontrarse al medir la diagonal del paralelogramo.Solucin: Utilizando una escala de 1 cm = 10 Ib, se tiene 1 cm 1 cm60 Ib X ------ = 6 cm 20 Ib X= 2 cm 101b 101b En la figura 3.11 se construy un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas apartir de un origen comn. Utilice un transportador para asegurarse de que el ngulo entreellas sea de 120. Al completar el paralelogramo se puede dibujar la resultante como unadiagonal desde el origen. Al medir R y 6 con una regla y un transportador se obtienen 52.9Ib para la magnitud y 19.1 para la direccin. Por consiguiente,R = (52.91b, 19.1)Un segundo vistazo al paralelogramo le mostrar que se obtendra la misma respuestaaplicando el mtodo del polgono y agregando el vector de 20 Ib en la punta del vector de601b.Fuerza y vectoresComo vimos en la seccin anterior, los vectores fuerza pueden sumarse grficamente de lamisma manera que sumamos antes en el caso de desplazamientos. En virtud de la importanciade las fuerzas en el estudio de la mecnica, conviene adquirir destreza en las operaciones convectores, estudiando aplicaciones de fuerza adems de las aplicaciones de desplazamiento.Un resorte estirado ejerce fuerzas sobre los dos objetos que estn unidos a sus extremos; elaire comprimido ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente que lo contiene, y un tractor ejerce una fuerza sobre el remolque que lleva arrastrando. Probablemente la fuerza msconocida es la atraccin gravitacional que ejerce la Tierra sobre un cuerpo. A esta fuerza sele llama peso del cueipo. Existe una fuerza bien definida aun cuando no estn en contacto la 66. 50Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores Tierra y los cuerpos que atrae. El peso es una cantidad vectorial dirigida hacia el centro del planeta. La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton (N), el cual se definir de forma adecuada ms adelante. Conviene sealar que su relacin con la libra es: 1 N = 0.225 Ib1 Ib = 4.45 NUna mujer que pesa 120 Ib tiene una equivalencia de 534 N. Si el peso de una llave inglesaes 20 N, pesar unas 4.5 Ib en unidades del SUEU. Mientras no llegue el da en que todas lasindustrias hayan adoptado ntegramente las unidades del SI, la libra seguir usndose, y confrecuencia ser necesario realizar conversiones de unidades. Aqu se utilizarn ambas unidades de fuerza al trabajar con cantidades de vectores.Dos de los efectos producidos por las fuerzas que pueden medirse son: (1) cambiar lasdimensiones o la forma de un cuerpo y (2) cambiar el movimiento del cuerpo. Si en el primercaso no hay un desplazamiento resultante de dicho cuerpo, la fuerza que causa el cambiode forma se llama fuerza esttica. Si una fuerza cambia el movimiento del cuerpo se llama fuerza dinmica. Ambos tipos de fuerzas se representan convenientemente por medio de vectores, como en el ejemplo 3.4.La eficacia de cualquier fuerza depende de la direccin en la que acta. Por ejemplo, es ms fcil arrastrar un trineo por el suelo usando una cuerda inclinada, como se observa en la figura 3.12, que si se le empuja. En cada caso, la fuerza aplicada produce ms de un solo esfuerzo. Dicho de otro modo, la fuerza ejercida sobre la cuerda levanta el trineo y lo mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar el trineo se produce el efecto deaadirle peso. Esto nos lleva a la idea de las componentes de una fuerza: los valores reales de una fuerza en direcciones diferentes a la de la fuerza misma. En la figura 3.12, la fuerza F puede Los escaladores usan reemplazarse por sus componentes horizontal y vertical, F r y F . una combinacin de Si una fuerza se representa grficamente por su magnitud y un ngulo (R , 0), se pueden fuerzas para escalardeterminar sus componentes a lo largo de las direcciones x y y. Una fuerza F acta con un n superficies empinadas.gulo d sobre la horizontal, como se indica en la figura 3.13. El significado de las componentes Al empujar contra rocas x y y> F vy F,, se puede apreciar en este diagrama. El segmento que va desde O hasta el pie salidas los escaladores usan las fuerzas de la perpendicular que baja de A al eje x, se llama componente x de F y se indica como F . horizontal y vertical deEl segmento que va desde O hasta el pie de la perpendicular al eje y que parte de A se llama las rocas para impulsarse componente y de F y se suele indicar como F,. Si se dibujan los vectores a escala, se puede hacia arriba. determinar grficamente la magnitud de las componentes. Estas dos componentes, actuando juntas, tienen el mismo efecto que la fuerza original F.(Foto Vol. 20/Corbis.)y Figura 3.13 Representacin grfica de las componentes x y y de F. 67. 3.10 La fuerza resultante51 W f/IUna cortadora de csped se empuja hacia abajo por el asa con una fuerza de 160 N, en unngulo de 30 con respecto a la horizontal. Cul es la magnitud de la componente horizontal de esta fuerza?Plan: A partir de la figura 3.14a, se observa que la fuerza ejercida sobre el asa acta en elcuerpo de la cortadora. Usaremos una regla y un transportador para dibujar las fuerzas yngulos a escala, como se muestra en la figura 3.15b. Por ltimo, mediremos las componentes y las convertiremos a newtons para obtener las dos componentes.Solucin: Una escala conveniente puede ser 1 cm = 40 N, lo cual significa que el vectorF tendra una longitud de 4 cm con un ngulo de 30 con respecto a la horizontal. La componente x de la fuerza se dibuja y se le llama F . La medicin de esta recta revela que Fx corresponde a 3.46 cmPuesto que 1 cm = 40 N, se obtiene / 40 NA Fx = 3.46 cm ------ = 138 N 1 cm /Observe que la fuerza real es bastante menor que la fuerza aplicada. Como ejercicio adicional, demuestre que la magnitud de la componente descendente de la fuerza de 160 Nes Fy = 80.0 N. F = 160 N,< - 30 V(a) (b)Figura 3.14 Obtencin de las com ponentes de una fuerza por el m todo grfico. (Foto de Paul E. Tippens.)La fuerza resultanteCuando dos o ms fuerzas actan sobre un mismo punto de un objeto, se dice que son fuerzasconcurrentes. El efecto combinado de tales fuerzas se llama fuerza resultante. La fuerza resultante es la fuerza individual que produce el mismo efecto tanto en la magnitud como en la direccin que dos o ms fuerzas concurrentes.Las fuerzas resultantes pueden calcularse grficamente al representar cada fuerza concurrente como un vector. Con el mtodo del polgono o del paralelogramo para sumar vectores seobtiene la fuerza resultante. 68. 52Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores 1----------------- ->1 20 N 15 N20 N(a) Fuerzas en la misma direccin. R = 5 N, E 1 1 i i 15N20 N ! > < 20 N i i (b) Fuerzas que actan en direcciones opuestas.15 N(c) Fuerzas que actan a un ngulo de 60 entre s. Figura 3.15 Efecto de la direccin sobre la resultante de dos fuerzas.Con frecuencia las fuerzas actan sobre una misma recta, ya sea juntas o en oposicin. Si dos fuerzas actan sobre un mismo objeto en una misma direccin, la fuerza resultante esUna escalera mecnica igual a la suma de las magnitudes de dichas fuerzas. La direccin de la resultante es la mismay una montaa rusamueven a las personas que la de cualquiera de las fuerzas. Por ejemplo, considere una fuerza de 15 N y una fuerzaque se suben ende 20 N que actan en la misma direccin hacia el Este. Su resultante es de 35 N hacia el Este,ellas. En una escalera como se observa en la figura 3.15a.mecnica, las personasSi las mismas dos fuerzas actan en direcciones opuestas, la magnitud de la fuerza resulsienten su peso normal tante es igual a la diferencia de las magnitudes de las dos fuerzas y acta en la direccin deporque se mueven a unavelocidad constante. la fuerza ms grande. Suponga que la fuerza de 15 N del ejemplo se cambiara, de modo queUna montaa rusa tirara hacia el Oeste. La resultante sera de 5 N, E, como se indica en la figura 3.15b.acelera y desacelera, Si las fuerzas que actan forman un ngulo de entre 0o y 180 entre s, su resultante espor lo que las personasel vector suma. Para encontrar la fuerza resultante puede utilizarse el mtodo del polgono o else sienten ms pesadas mtodo del paralelogramo. En la figura 3.15c, las dos fuerzas mencionadas, de 15 y 20 N,y ms ligeras a medidaque cambia la velocidad. actan formando un ngulo de 60 entre s. La fuerza resultante, calculada por el mtodo del paralelogramo, es de 30.4 N a 34.7. Trigonometra y vectores El tratamiento grfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pero con frecuencia no es muy preciso. Un mtodo mucho ms til consiste en aprovechar la trigono metra del tringulo rectngulo simple, procedimiento que en gran medida se ha simplificado, gracias a las calculadoras actuales. El conocimiento del teorema de Pitgoras y cierta expe riencia en el manejo de las funciones seno, cose