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Fisica per MedicinaLezione 21 - Circuiti
Dr. Cristiano Fontana
Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova
28 novembre 2017
Indice
ElettromagnetismoCircuitiCampo magneticoCampo magnetico e correnti
2/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuiti elettrici
Sono dei sistemi fisici in cui la carica elettrica può fluire in modocontinuo. Possono essere costituiti da diversi componenti, ad esempio:
Generatori di tensioneSono in grado di compiere lavoro ed indurre il movimento delle carichecreando una differenza di potenziale costante.
ResistenzeLimitano il passaggio della corrente e dissipano energia sottoforma dicalore.
CondensatoriAccumulano carica che poi possono cedere (e.g. per stabilizzarecorrenti).
3/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Conservazione della carica
dqin
dqAdqB
Iin
IB IA
Se prendiamo in considerazione un nodo in uncircuito la quantità di carica in ingresso deveessere pari alla somma delle cariche in uscita
qin = qA + qB (1)
questa relazione deve essere valida anche inogni istante
dqin = dqA + dqB (2)dqin
dt=
dqA
dt+
dqB
dt(3)
Iin = IA + IB (4)
4/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito resistivo
+
I
R
VA = cost.
A
B
VB = cost.
Conduttori Il generatore, creando una differenza dipotenziale, riesce a spostare cariche dalcoduttore inferiore al coduttore superiore,provocando così la corrente nel circuito.
Vgen = ∆VR = IR (5)
quindi l’intensità di corrente che fluisce è
I =Vgen
R(6)
5/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Resistenze in serie
+
VA
I
VB
VC
R1
R2
Nel caso in cui si abbiano due resistenze in seriein un circuito, la corrente I che passa attraversodi esse è la stessa. Andando ad applicare lalegge di Ohm per calcolare la resistenzaequivalente si ottiene
ReqI = VA − VC (7)
Req =VA − VC
I=
VA − VB + VB − VC
I(8)
=VA − VB
I︸ ︷︷ ︸=R1
+VB − VC
I︸ ︷︷ ︸=R2
= R1 + R2 (9)
Ovvero la resistenza equivalente di delleresistenze in serie è la somma delle resistenze
Req =∑
i
Ri (10)
6/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Resistenze in parallelo I
+
VA
VB
R1 R2
I
I1 I2
Nel caso in cui si abbiano due resistenze inparallelo in un circuito, la somma delle correnti Iiche passano attraverso a ciascuna di esse è parialla corrente che scorre nel circuito:
I = I1 + I2 (11)
Inoltre la differenza di potenziale ai capi dientrambe le resistenze è la stessa. Andando adapplicare la legge di Ohm per calcolare laresistenza equivalente si ottiene
1Req
=I
VA − VB=
I1 + I2VA − VB
(12)
=I1
VA − VB+
I2VA − VB
=1
R1+
1R2
(13)
7/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Resistenze in parallelo II
+
VA
VB
R1 R2
I
I1 I2
Ovvero l’inverso della resistenza equivalente didelle resistenze in parallelo è la somma degliinversi delle resistenze
1Req
=∑
i
1Ri
(14)
8/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in carica I
+
VA
I
VB
VC
R
C
Vediamo le relazioni che governano gli elementicircuitali in questo circuito
V = IR Resistenza (15)q = CV Condensatore (16)
Vgen = ∆VAC = cost. Generatore (17)
La tensione ai capi del generatore sarà pari allasomma delle tensioni ai capi dei due componenti
Vgen = IR︸︷︷︸∆VAB
+qC︸︷︷︸
∆VAB
(18)
9/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in carica II
+
VA
I
VB
VC
R
C
Deriviamo l’espressione (18) ricordando che ilgeneratore genera una tensione costante
0 =ddt
Vgen (19)
=ddt
IR +ddt
[ qC
](20)
= RdIdt
+1C
dqdt︸︷︷︸=I
(21)
otteniamo così un’equazione differenziale avariabili separabili
RdIdt
= − IC
(22)
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Circuito RC in carica III
Risolviamo l’equazione
RdII
= − dtRC
(23)∫ I(t0)
I(0)R
dII
= −∫ t0
0
dtRC
(24)
log[
I(t0)I(0)
]= − t0
RC(25)
I(t0) = I(0)e− t0RC (26)
nel momento di accensione del circuito in fase di carica abbiamo
I(0) =Vgen
R(27)
perché all’inizio il condensatore è scarico e non si oppone alpassaggio di corrente.
11/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in carica IV
0 2 4 60
2
4
6
I [m
A]
0 2 4 6t [ms]
0
2
4
6
V [V
]
Figura: Esempio conR = 1 kΩ, C = 1 µF equindi τ = 1 ms.
La corrente che scorre nel circuito è quindi
I(t) =Vgen
Re− t
τ ove τ = RC (28)
La tensione ai capi del condensatore si calcolausando l’equazione (18):
Vcap(t) = ∆VBC(t) (29)= Vgen − RI(t) (30)
= Vgen − R ·Vgen
Re− t
τ (31)
= Vgen
[1 − e− t
τ
](32)
12/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in scarica I
+
VA
I
VB
VC
R
C+q0
–q0
Il generatoreè tolto
Le tensioni ai capi capi dei due componentidevono essere uguali ed opposte perché ilgeneratore è stato sostituito con un conduttore
0 = IR +qC
(33)
derivando l’espressione otteniamo
ddt
IR = − ddt
[ qC
]= − I
C(34)
dII
= − dtRC
(35)∫ I(t0)
I(0)
dII
= −∫ t0
0
dtRC
(36)
log[
I(t0)I(0)
]= − t0
RC(37)
I(t0) = I(0)e− t0RC (38)
13/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in scarica II
0 2 4 66
4
2
0
I [m
A]
0 2 4 6t [ms]
0
2
4
6
V [V
]
Figura: Esempio conR = 1 kΩ, C = 1 µF equindi τ = 1 ms.
Se la carica iniziale presente nel condensatore èq0 allora la tensione iniziale è
V0 =q0
C(39)
e quindi la corrente iniziale è data dalla (33)
0 = I0R + V0 I0 = −V0
R(40)
ottenendo la corrente in funzione del tempo
I(t) = −V0
Re− t0
τ ove τ = RC (41)
e le tensioni ai capi della resistenza e dellacapacità
Vres(t) = RI(t) = −V0e− t0τ (42)
Vcap(t) = −Vres(t) = V0e− t0τ (43)
14/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Circuito RC in scarica III
+
VA
I
VB
VC
R
C+q0
–q0
Il generatoreè tolto
Abbiamo ottenuto una corrente negativa:
I(t) = −V0
Re− t0
τ (44)
Perché? Se la capacità è caricata come in figura,ed abbiamo considerato il verso della corrente infigura come positivo, il verso della corrente dopola chiusura del circuito sarà negativo. Perché lecariche positive sulla piastra superiore delcondensatore tenderanno a seguire il percorsoinverso rispetto alla freccia indicata in figura.
15/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Lavoro di un generatore di tensione
+
VA = cost.
dq
VB = cost.
UB
UA
Un generatore compie lavoro per portare lecariche da zone a basso potenziale a zone adalto potenziale, in modo che poi queste seguanoil potenziale nel loro percorso nel circuito.Calcoliamo quindi il lavoro compiuto da ungeneratore per trasportare una carica dq da VB aVA:
dW = −dU (45)
= −(UA − UB
)(46)
= VB dq − VA dq (47)= ∆V dq (48)= Vgen dq (49)
16/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Potenza di un generatore di tensione
+
VA = cost.
dq
VB = cost.
UB
UA
Calcoliamo la potenza del generatore, ricordandoche per un generatore la differenza di potenzialedeve essere costante
Pgen =dWdt
(50)
=ddt
(Vgen q
)(51)
= qddt
(Vgen
)︸ ︷︷ ︸
=0
+∆Vdqdt
(52)
= I ·∆V (53)
la cui unità di misura ovviamente è il Watt
[P] = [V ][I] =kg m2
As3 · A = W (54)
17/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Potenza dissipata da una resistenza
Una resistenza dissipa energia elettrica sotto forma di energia termica(il cosiddetto effetto Joule). La quantità di energia termica prodotta perl’unità di tempo è calcolabile dalla potenza dissipata e dalla legge diOhm:
Pres = I · V (I) = I2R (55)
18/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico I
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
NS
Oltre alle forze elettrostatiche in natura si vedono le cosiddette forzemagnetiche, che si possono esercitare tra particolari materiali.Un’importante differenza col campo elettrostatico è che non esistonomonopoli magnetici isolati, solo dipoli (e.g. le calamite).
19/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico II
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
NS NS
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
NS N S
Le calamite sono dei dipoli magnetici possono attrarsi e respingersireciprocamente. Questo comporta che i dipoli tendono ad orientarsinella stessa direzione. Si comportano in modo simile ai dipoli elettrici.
20/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico III
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
NS NS
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
NS N S
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
-1 1 -1 1
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
-1 1 1 -1
21/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Bussole
Le bussole sonocostituite da piccoliaghi magnetizzati,liberi di ruotare, chetendono ad allinearsicon le linee di campomagnetico.
22/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Forza di Lorentz
x
y
z
v
B F
Sperimentalmente si vede che lecariche elettriche in movimentosono soggette ad una forza, dettadi Lorentz, se si trovano immersein un campo magnetico.
~F = q~v × ~B (56)
23/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico I
Sfrutteremo la forza di Lorentz per derivare una definizione operativadel campo magnetico:
F = qvB ⇒ B =Fqv
(57)
Determiniamo l’unità di misura:
[B] =[F ]
[q][v ]=
NC · m/s
=N
A · m= 1 T (58)
Che è detta Tesla. Si usa spesso il Gauss che è definito come:
1 G = 1 · 10−4 T (59)
24/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico II
E.g. Il campo magnetico terrestre non è uniforme sulla superficieterrestre e varia tra
Bterra = 0.2 G ↔ 0.7 G (60)
Nella prossimità di una calamita di ferrite possono esserci campidell’ordine di
Bferrite ≈ 0.1 T = 1000 G (61)
mentre per delle calamite al neodimio
Bneodimio ≈ 1 T (62)
25/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico III
Figura: Alcuni animali sono in grado di orientarsi usando il campo magneticoterrestre [C. Walcott, J. of Exp. Biology 199 (1996) 21-27]
26/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Campo magnetico IV
Figura: Un recente articolo afferma che i cani si orientano in direzionenord-sud quando defecano. [Hart et al. Frontiers in Zoology 10 (2013) 80].Sebbene le affermazioni siano state contestate [The SkeptVet: Do Dogs LineThemselves Up With the Earths Magnetic Field to Poop?].
27/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Lavoro del campo magnetico
x
y
z
v
B F
Il campo magnetico non compie lavoro.Ricordiamo che la velocità è la derivata dellaposizione, quindi d~r = ~v dt e calcoliamo il lavorocompiuto
d ~W = ~F · d~r (63)
=(
q~v × ~B)· d~r =
(q~v × ~B
)· ~v dt (64)
= q(~v × ~v
)︸ ︷︷ ︸=0
·~B dt = 0 (65)
ove abbiamo usato l’identità(~a × ~b
)· ~c =
(~b × ~c
)· ~a =
(~c × ~a
)· ~b. (66)
Intuitivamente ~v × ~B ⊥ ~v per le proprietà del protto vettoriale, quindi ilprodotto scalare con ~v stesso annulla l’espressione.
28/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Moto in un campo magnetico uniforme
B
v1
v2
F
F
Una carica elettrica in un campomagnetico uniforme, in primaapprossimazione, si muove di motocircolare uniforme se la suavelocità è perpendicolare al campomagnetico. Assumiamo che
~B = (0,0,Bz) & ~v = (vx , vy ,0)(67)
Possiamo eguagliare la forza centripeta con la forza magnetica:
~Fc = ~Fm (68)
mω2r = qvB = qωrB (69)
ω =qBm
(70)
quindi la frequenza di rotazione è f = qB2πm .
29/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017
Ciclotrone
Figura: Una nota applicazione del moto circolare nei campi magnetici è ilciclotrone. Sono usati per la produzione di radioisotopi medici e perl’adroterapia. Immagine del brevetto di Ernest O. Lawrence [wiki]
30/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017