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Fisica per MedicinaLezione 23 - Onde
Dr. Cristiano Fontana
Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova
4 dicembre 2017
Indice
OndeMoto delle ondeEnergia di un’onda
2/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Densità di carica sulla superficie di un conduttore III
Scaricatori dicarica elettrostatica
Sulle ali degli aerei sono montati deibastoncini che servono a creare dellezone ad alta curvatura. Attorno aqueste punte il campo elettrico siconcentra e può diventare moltointenso se l’aereo ha accumulatomolta carica elettrostatica durante ilvolo. Se il campo elettrico è moltointenso le cariche sono espulse dalcampo elettrico stesso e quindivengono dissipate lentamente,evitando scariche improvvise.
3/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Onde
Figura: La grande onda di Kanagawa[wiki]
Le onde sono delle perturbazioniche si propagano nel tempo e nellospazio, trasportando energia equantità di moto.Esistono diversi tipi di onde, e.g.
I onde meccaniche in un mezzoelastico: perturbazioni deglielementi del mezzo attornoall’equilibrio;
I onde elettromagnetiche nelvuoto: campoelettromagnetico variabile.
4/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Tipi di onde
v ⃗
Onde trasversali(e.g. oscillazione diuna corda)
xy
Perturbazionex
y
Onde longitudinali(e.g. suono nell'aria)v ⃗
Due tipi di onde molto comuni sono le onde trasversali e le ondelongitudinali, che si differenziano per la diversa direzione dellaperturbazione rispetto alla direzione di propagazione.
5/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Propagazione dell’onda I
L’affermazione che un’onda si propaghi sia nel tempo che nello spazioimplica che sia funzione di entrambe le variabili:(
t ,~r)7→ u
(t ,~r
)(1)
ove u(·) è una funzione che descrive la forma e l’evoluzione dell’ondanel tempo e nello spazio.
6/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Propagazione dell’onda II
5 0 5 10 15 20 25 30 350.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
v
xu(t,0) = f(t) u(t+ t, x)
Data un’onda che sipropaga con velocità~v lungo x , diciamoche nel punto x = 0abbia una certaforma descritta daf (·):
u(t ,0) = f (t). (2)
Assumendo che la forma dell’onda non varia abbiamo che, dopo uncerto tempo ∆t = ∆x
v , nel punto x = ∆x avrà la stessa forma cheaveva precedentemente nel punto x = 0. Ovvero la forma in(t ′ = t +∆t , x ′ = ∆x) dovrà essere uguale a quella in (t ,0):
u(t ′, x ′) = u(t +∆t ,∆x) (3)= u(t ,0) = f (t) (4)
7/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Propagazione dell’onda III
Risolvendo t rispetto a t ′ otteniamo
t = t ′ −∆t (5)
ottenendo che
u(t ′, x ′) = u(t ,0) (6)= u(t ′ −∆t ,0) (7)= f (t ′ −∆t) (8)
= f(
t ′ − ∆xv
)(9)
Di conseguenza in generale la formula che descrive un’onda che sipropaga è
u(t , x) = f(
t − xv
)(10)
8/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Equazione delle onde
In generale l’equazione di un’onda unidimensionale soddisfal’equazione differenziale
∂2u∂t2 − v2 ∂
2u∂x2 = 0 (11)
che ammette soluzioni del tipo
u(t , x) = f(
t − xv
)+ g
(t +
xv
)(12)
che rappresentano due onde che si propagano con versi opposti.
9/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Onda piana in tre dimensioni
In generale per un’onda piana che si propaga in una direzionearbitraria vale
u(t ,~r) = f(
t − ~k ·~r)
(13)
ove ~k è detto vettore d’onda ed è diretto lungo la direzione dipropagazione dell’onda, ovvero:
~k ‖ ~v (14)
ed il modulo del vettore d’onra è l’inverso della velocità dipropagazione. ∣∣∣~k ∣∣∣ = 1
v(15)
10/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Forme d’onda
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
Le onde periodiche possono avere forme molto diverse tra loro, ma glisi può sempre associare una frequenza ν: rappresenta il numero divolte che l’onda si ripete nell’unità di tempo.Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html
11/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Onde sinusoidali
Un’onda sinusoidale, nel punto x = 0, ha forma
u(t ,0) = A sin (ωt) (16)
usando l’equazione (12) si ottiene
u(t , x) = u(t −∆t ,0) = A sin(ωt − ω
vx)
(17)
definendo il numero d’onda come
k =ω
v(18)
otteniamou(t , x) = A sin (ωt − kx) (19)
12/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Propagazione di un’onda sinusoidaleVediamo come si muovono le creste dell’onda. Osserviamo due puntidell’onda che hanno la stessa perturbazione
u(t , x) = u(t ′, x ′) (20)A sin (ωt − kx) = A sin (ωt ′ − kx ′) (21)
ωt − kx = ωt ′ − kx ′, (22)
quindi per ωt − kx = cost. possiamo osservare l’evoluzione dei puntidell’onda ad un certo valore di perturbazione.Se per un certo valore (t0, x0), si ha che u(t0, x0) è massima, possiamoandare a seguire l’evoluzione del massimo calcolando la derivata diquell’espressione
ddt
(ωt0 − kx0) =ddt
(cost.) (23)
ωdt0dt
− kdx0
dt= 0 (24)
vcreste = c =dx0
dt=
ω
k(25)
13/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Rappresentazione grafica di onde sinusoidali
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(0,x) = A sin(-kx)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(t,0) = A sin( t)
I due grafici, all’apparenza molto simili, hannosignificati molto diversi. Data un’onda del tipo
u(t , x) = A sin (ωt − kx) (26)
1. Il primo grafico rappresenta la posizionedi tutti i punti dell’onda congelati ad unistante t = 0 (e.g. una fotografia di unacorda che oscilla).
u(t , x) = A sin (−kx) (27)
2. Il secondo grafico rappresental’evoluzione temporale della posizionedel punto a x = 0.
u(t , x) = A sin (ωt) (28)
14/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Lunghezza d’onda
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(0,x) = A sin(-kx)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(t,0) = A sin( t)
La lunghezza d’onda si calcola cercando leposizioni dei massimi delle onde, per il seno imassimi sono a
kx0 =π
2(29)
la posizione del massimo successivo è
kx1 = 2π +π
2(30)
La distanza tra i due è
λ = x1 − x0 =2πk
+π
2k− π
2k=
2πk
(31)
ove abbiamo definito λ = 2πk come la
lunghezza d’onda dell’onda.
15/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Periodo
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(0,x) = A sin(-kx)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(t,0) = A sin( t)
Un discorso analogo può essere applicatocercando gli istanti dei massimi delle onde:
ωt0 =π
2, ωt1 = 2π +
π
2(32)
La differenza tra i due è
T = t1 − t0 =2πω
(33)
ove T è il periodo dell’onda. La frequenza ν èlegata al periodo dalla relazione
T =1ν
(34)
16/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Frequenza e lunghezza d’onda
Ricordiamo l’espressione della velocità di propagazione dell’onda:
c =ω
k(35)
Sostituendo le relazioni appena trovate:
λ =2πk
, T =2πω
(36)
si ottienec =
λ
T= λν (37)
17/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Onda stazionaria I
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Immaginiamo di avere due onde identiche chesi propagano in direzioni opposte in unospazio chiuso:
u(t , x) = A sin(ωt −kx)+A sin(ωt +kx) (38)
Usando le formule di prostaferesi
sin(a)+sin(b) = 2 cos(
a − b2
)·sin
(a + b
2
)(39)
si ottiene
u(t , x) = 2 cos(ωt − kx − ωt − kx
2
)· sin
(ωt − kx + ωt + kx
2
)(40)
= 2 cos (−kx) · sin (ωt) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (41)
ove abbiamo sfruttato la parità del coseno.
18/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Onda stazionaria II
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
u(t , x) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (42)
La funzione è composta da un termine chedipende solamente dallo spazio, che descrivela forma spaziale, e da un termine chedipende solo dal tempo che descrive comequesta forma oscilli nel tempo.
I nodi (punti fissi) si trovano nei punti in cui la componente spaziale siannulla:
cos (kx) = 0 ⇒ kx =π
2+ nπ (43)
ricordando che k = 2πλ si ottiene
x =λ
4(1 + 2n) (44)
19/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Battimenti I
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02.01.51.00.50.00.51.01.52.0
Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html
20/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Battimenti II
È anche possibile vedere l’effetto dei battimenti usando dei motivigrafici.
21/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Effetto Doppler I
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
Immaginiamo di avere una sorgente cheemette un’onda che si propaga con velocità ~v .Se la sorgente stessa si sta avvicinando a noicon velocità ~vS la lunghezza d’onda percepitaλ′ corrisponde alla lunghezza d’onda reale λmeno la porzione di spazio percorsa duranteun periodo T
λ′ = λ− T · vS (45)
Ricordando che
v = λν ⇒ T =1ν=
λ
v(46)
otteniamo
λ′ = λ− λ
v· vS = λ ·
(1 − vS
v
)(47)
22/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Effetto Doppler II
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
La frequenza percepita è
ν′ =vλ′ =
vλ ·
(1 − vS
v
) (48)
= ν · vv − vS
(49)
ove abbiamo usato la velocità dipropagazione dell’onda v perché il mezzo dipropagazione non è in movimento.
23/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Effetto Doppler III
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
Riassumendo
λ′ = λ ·(
1 − vS
v
)(50)
ν′ = ν · vv − vS
(51)
la lunghezza d’onda percepita λ′ diminuiscese la sorgente si avvicina e la frequenza ν′
aumenta. Se la sorgente si allontana (ovverovS < 0) allora la lunghezza d’onda percepitaλ′′ aumenta e la frequenza ν′′ diminuisce.
Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html
24/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Energia di un’onda I
dx
ds
ds'
dx'
v ⃗
Prendiamo una stringaelastica su cui si propagalungo x un’ondasinusoidale:
u(t , x) = A sin (ωt − kx)(52)
Assumiamo che il movimento degli elementi della stringa sarà soloverticale e non orizzontale. Osserviamo che u(t , x) soddisfa lecondizioni dell’oscillatore armonico
d2
dt2 u(t , x) = −αu(t , x) (53)
Un elemento infinitesimo della stringa ds si comporta quindi come unoscillatore armonico.
25/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Energia di un’onda IIL’energia totale di un elemento quindi è data dall’energia totale di unoscillatore armonico
dE =12κA2 (54)
ove A è lo spostamento massimo e κ è la costante elastica dellastringa. Ricordiamo che l’enegia totale non dipende dal tempo.Ricordiamo la pulsazione del moto armonico per un sistema elastico
ω =
√κ
m(55)
e risolviamola per κ:
κ = ω2 dm (56)
quindi sostituiamola nella formula precedente
dE =12κA2 =
12ω2A2 dm (57)
26/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017
Energia di un’onda IIIEssendo il movimento delle porzioni di stringa solo verticale possiamocalcolare la massa come
dm = ρdx (58)
ove ρ è la densità lineare della stringa. ottenendo l’energia dellaporzione infinitesima
dE =12ω2A2 dm =
12ω2A2ρdx (59)
che integrata ci da il valore dell’energia conservata in tutta la stringa
Etot =
∫dE =
∫ L
0
12ω2A2ρdx =
12ω2A2ρL (60)
In generale si può dimostrare che l’energia trasportata da un’ondaqualunque è proporzionale al quadrato dell’ampiezza
Etot ∝ A2 (61)
27/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017