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FÍSICA. PRUEBA ACCESO A LA UNIVERSIDAD +25 TEMA 2. Cinemática.

Cinemática: Estudio de los movimientos En la sociedad actual nos habituamos desde pequeños a los medios de locomoción que permiten rápidos desplazamientos. Términos como velocidad y aceleración son de uso habitual y todos creemos saber su significado. Estas circunstancias pueden hacernos pensar que «el movimiento» esconde pocos secretos para nosotros, e incluso nos cuesta trabajo creer que pensadores tan importantes como Galileo o Newton tuviesen dificultades para llegar a establecer las leyes del movimiento. Sin embargo, no resulta tan evidente todo lo que está relacionado con el movimiento, y para darnos cuenta basta con plantearnos algunas preguntas: ¿es cierto que, aunque estemos sentados leyendo, en realidad recorremos 30 km cada segundo? ¿Es posible que un cuerpo con una aceleración alta vaya despacio mientras que otro cuerpo que vaya muy rápido no tenga aceleración? ¿Qué condiciones deberían cumplirse para que una persona, empujando a un tren, pudiese ponerlo en movimiento? ¿Por qué no cae la Luna sobre la Tierra a pesar de la atracción que existe entre estos dos astros? Aunque las preguntas anteriores tienen respuestas en el marco de la ciencia clásica, son representativas de algunas de las complicaciones que pueden surgir al estudiar los fenómenos relacionados con el movimiento. Pero incluso hay otras preguntas que en estos momentos se plantean los científicos directamente relacionadas con el movimiento y que dan lugar a investigaciones: ¿a qué velocidad se están alejando las estrellas?, ¿cómo afecta a algunas reacciones químicas de interés industrial el que se lleven acabo en situaciones en las que la gravedad es muy pequeña? Preguntas como éstas, junto con muchas otras, están en el centro de la actividad de muchos programas de investigación, por no hablar de los problemas tecnológicos que plantea la disminución del rozamiento con el aire en los vehículos que alcanzan grandes velocidades, o las mejores características para los neumáticos. Magnitudes necesarias para describir el movimiento Describir un movimiento significa decir en todo instante dónde está el móvil, qué hace el móvil y cómo lo hace el movimiento el móvil. En primer lugar, el móvil es el objeto cuyo movimiento queremos estudiar que para simplificar supondremos que es un punto que solo se traslada (no rota). Para localizar el móvil tomaremos un sistema de referencia que puede ser un punto si el móvil se mueve en una línea, un eje de coordenadas cartesianas si el móvil se mueve en un plano o un sistema de coordenadas rectangulares si el móvil se mueve en el espacio de tres dimensiones.

Dado que el sistema de referencia puede estar en reposo o en movimiento, resulta que un móvil puede estar en reposo o en movimiento según el sistema de referencia que tomemos. Así por ejemplo, si subes por unas escaleras mecánicas estarás en reposo respecto del escalón en el que te encuentras pero estarás en movimiento respecto de cualquier punto de referencia fuera de la escalera mecánica. De aquí el carácter relativo de los movimientos. Ya estamos en condiciones de localizar al móvil, para ello utilizaremos un vector que está aplicado en el origen del sistema de referencia y cuyo extremo se encuentra en el móvil.

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

r

rr r

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

y

x

),( yx

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

Y

X

z

),,( zyx

y

x

Z

r

rr r

2

El vector r que apunta a la posición del móvil se le llama vector posición. Solo me queda recordar que los vectores tienen módulo (valor, cantidad), dirección y sentido; y que en el tema anterior hemos deducido su ecuación:

kzjyixr (también llamada ecuación del movimiento)

Un móvil realiza un movimiento si al pasar el tiempo cambia de posición. Las sucesivas posiciones por las que pasa el móvil determinan una línea que se denomina trayectoria que puede ser una recta o curva por lo que podemos clasificar los movimientos, según su trayectoria, en rectilíneos y curvilíneos. Supongamos que nuestro móvil se mueve sobre una trayectoria cualquiera y que se encuentra inicialmente (to=0 s) en la posición señalada por el vector 0r

y que un tiempo después t se

encuentra en la posición r como describe el gráfico. Diremos pués, que el

móvil se ha desplazado el vector desplazamiento 0rrr . Es el momento de que nos fijemos en que en el lenguaje habitual las palabras desplazamiento, distancia, espacio tienen significados semejantes pero en física no es así. Cuando en física utilizamos la palabra desplazamiento nos referimos al vector desplazamiento; y cuando utilizamos distancia o espacio nos referimos a la longitud sobre la trayectoria. Como podemos observar en este caso, el módulo del vector desplazamiento no coincide con la distancia recorrida. A.1 ¿En que caso coincidirán el módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida? A.2 Un gachó saca el coche de su cochera y se va a Motril a comer “pescaito”, regresa y deja el coche en la cochera. a) ¿Cuál es el desplazamiento total? b) ¿Es el mismo el desplazamiento Granada-Motril que Motril-Granada? c) ¿Qué distancia total ha recorrido? (Utiliza Google Earth) A.3 El camión de bomberos de un tiovivo se encuentra a 3 m del eje. Si el paseo son 10 vueltas completas. a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento? b) ¿Qué distancia ha recorrido el camión de bomberos? (Sol: 1,9x102 m) Volvemos a nuestro móvil. Ahora queremos saber si el cambio de posición ha sido rápido o lento, que como sabemos son conceptos relacionados con el tiempo; para ello comparamos el desplazamiento con el tiempo que

ha tardado: trvm

; a esta razón se le denomina velocidad media que como puedes apreciar es una magnitud

vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. Se denomina velocidad media porque corresponde a un intervalo de tiempo en el que el vector desplazamiento ha ido cambiando. Como el módulo del vector desplazamiento es una longitud y el intervalo de tiempo es un tiempo, la unidad de la velocidad en el Sistema Internacional será m/s, aunque habitualmente utilizamos km/h. En nuestro lenguaje habitual solemos referirnos a la velocidad como una magnitud escalar, sin tener en cuenta la dirección y el sentido, lo cual es incorrecto. A.4 ¿Qué significa para ti que un ciclista lleva una velocidad de 40 km/h? A.5 Un móvil A se mueve a 1 m/s y otro móvil B a 1 km/h ¿son igual de rápidos? ¿cuál es más rápido? ¿cuánto más rápido? Cuando el vector posición cambia con el tiempo, t aparece dentro de su ecuación. Para calcular el vector posición en un instante (una posición en el tiempo) nos bastará con sustituir t por el valor de ese instante (2 s, 3,45 s, etc.) A.6 La ecuación de un movimiento es ktjitr

325 3 en SI

a) Calcula el vector posición para t=2 s y para t=5 s. (Sol: kjir 62402 m; kjir

1526255 m)

b) Calcula el vector desplazamiento entre esos dos instantes. (Sol: kirrr 958525 m)

c) Calcula la velocidad media entre esos dos instantes. (Sol: kivm

3195 m/s) Pero supongamos que queremos saber cual es la velocidad de nuestro móvil en un instante determinado (no en un intervalo como calcula la velocidad media). La idea consiste en calcular, repetidas veces, la velocidad media en intervalos cada vez más cerrados entorno al valor de t en el que deseamos saber la velocidad

r

r

0r

r

r

0r

3

instantánea. Estos cálculos constituyen una sucesión de valores que se aproximan al valor de la velocidad media en un intervalo tan cerrado sobre el valor buscado que podemos considerar que es el valor de la velocidad en un instante t. Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que la ecuación de movimiento de un móvil es itr

32 y queremos saber cuál es la velocidad del móvil en t=3 s.

to t 0r

r tr

2 4 16 i

128 i

56 i

2,1 3,9 18,5 i

118,6 i

55,6 i

2,2 3,8 21,3 i

109,7 i

55,3 i

2,3 3,7 24,3 i

101,3 i

55 i

2,4 3,6 27,6 i

93,3 i

54,7 i

2,5 3,5 31,3 i

85,7 i

54,4 i

2,6 3,4 35,2 i

78,6 i

54,3 i

2,7 3,3 39,4 i

71,9 i

54,2 i

2,8 3,2 43,9 i

65,5 i

54 i

2,9 3,1 48,8 i

59,6 i

54 i

2,91 3,09 49,3 i

59 i

54 i

Los matemáticos han buscado un procedimiento para hacer esto de una manera menos tediosa, lo llaman derivadas y lo expresan:

vdtrd

trLím

t

0

Dada una función del tiempo cualquiera itr 32 su derivada respecto del tiempo se expresa it

dtrd

26 Observa

que para este caso, hemos multiplicado el coeficiente 2 por el exponente de la variable t y hemos disminuido el

exponente de t en 1. Para t=3 s, iiitdtrd

54)3(66 22 que como puedes observa es el mismo valor que ha

resultado en la tabla. Por tanto, la velocidad instantánea se calcula a partir de la ecuación del movimiento derivando respecto del tiempo:

dtrdv

Como podemos ver, para el caso anterior, la velocidad itv 26 depende del tiempo, esto quiere decir que varía

con el tiempo por lo que puede ser rápida o lenta (¡esto te suena!). Para saber que tan rápido o lento cambia la velocidad con el tiempo haremos una comparación:

tvam

(que se mide en m/s2)

¡Exacto! Es la aceleración media. Como puedes ver es una magnitud vectorial (tiene módulo, dirección y sentido) como la velocidad y que en el lenguaje habitual también tratamos como una magnitud escalar. A.7 ¿Qué significa para ti que un coche sufre una aceleración de 3 m/s2? Esto también te suena. Se trata de saber la aceleración del móvil en un instante determinado (no en un intervalo como calcula la aceleración media). La idea es similar a la que hemos visto para la velocidad instantánea.

dtvd

tvLíma

t

0

Para el caso anterior: itdtvda

12

A.8 Dado el vector posición de un móvil jtitr )2()14( 22 (en m)

a) Calcula los vectores v y a para t=2 s. (Sol: jiv 4162 ; jia

282 )

b) Determina la ecuación de la trayectoria del móvil. (Sol: 24

1

xy )

¡Bien!, ya sabemos como describir un movimiento: dónde r , qué v y cómo a . Pero a veces se nos olvida que

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son vectores que además de módulo tienen dirección y sentido. ¿Cuál es la dirección y sentido de la velocidad y la aceleración? Fácil, vienen dadas por sus ecuaciones vectoriales, pero observa: De manera intuitiva, si tomamos intervalos cada vez más cerrados sobre un instante, los vectores desplazamiento se aproximan a la trayectoria de tal manera que en un instante es tangente a ella. No debes interpreta que la velocidad instantánea es muy pequeña ya que si bien r se hace pequeño, al

igual que t , pero su cociente tr

puede ser un valor grande

( 20000001,00002,0

). En definitiva, el vector velocidad instantánea v tendrá

dirección tangente a la trayectoria. Veamos cuál será la dirección y sentido del vector aceleración. Tengamos un móvil que describe una trayectoria

cualquiera y consideremos su velocidad en dos instantes. Teniendo en cuenta que tvam

y como v es

secante a la trayectoria resultará que ma también es secante a la trayectoria.

Es costumbre descomponer el vector aceleración en dos vectores llamados componentes intrínsecas de la aceleración: Una tangente a la trayectoria ta llamada aceleración tangencial (que mide la variación del módulo

de la velocidad) y otra perpendicular a la trayectoria na llamada aceleración normal (que mide la variación de la dirección del vector velocidad). Se puede demostrar que el valor de los módulos (observa que no tienen flecha) de ambas componentes intrínsecas de la aceleración son:

tvat

y

Rvan

2

siendo R el radio de la curva. De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones:

Si la trayectoria es recta y la rapidez ( v , módulo de la velocidad) no varía, las dos componentes de la aceleración serán nulas. Piensa que una recta se puede considerar como una curva de radio infinito:

02

van y 0

tvat

Si la trayectoria es recta y la rapidez varía, la componente normal será nula (igual que en el caso anterior)

pero la aceleración tangencial no será nula 0

tvat . En los movimientos rectilíneos, la aceleración

taa

Si la trayectoria es curva y la rapidez no varía, entonces 0

tvat pero 0

2

Rvan . Este es el caso

de los MCU, que veremos más adelante.

Si la trayectoria es curva y la rapidez varía, entonces 0

tvat y 0

2

Rvan . Este es el caso de los

movimientos circulares variados, que veremos más adelante.

v

y

x

ta

na

ma

y

xv

0v

0v

0vvv

v

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A.9 De las siguientes frases, que se refieren al movimiento circular uniforme, discute si son verdaderas o falsas:

a) En este tipo de movimiento no existe aceleración normal, pero sí aceleración tangencial. b) En este tipo de movimiento no existe aceleración tangencial pero sí aceleración normal. c) En este tipo de movimiento varía la velocidad tanto en módulo como en dirección. d) En este tipo de movimiento sólo varía la dirección de la velocidad y no varía su módulo. e) En este tipo de movimiento el módulo de la velocidad lineal se mantiene constante.

Clasificación de los movimientos Según la trayectoria: Rectilíneos y curvilíneos. Según la velocidad: Uniformes (si no varia la velocidad) y Variados (si varía la velocidad) Combinando estos criterios, vamos a estudiar:

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Movimiento rectilíneo uniformemente variado o acelerado (MRUV). Caída de graves. Movimiento circular uniforme (MCU) Movimiento circular uniformemente variado (MCUV) Movimiento armónico simple (MAS)

El tratamiento vectorial de los movimientos es un procedimiento general que se puede simplificar para aquellos casos en los que la dirección y sentido de la velocidad no cambie (movimientos rectilíneos) o bien cuando el sistema de referencia se encuentre sobre la trayectoria conocida. En estos casos determinaremos los módulos de las magnitudes vectoriales. Las posiciones las entenderemos como la distancia al punto de referencia sobre la trayectoria y las significaremos de manera general como s (o x si estamos sobre el eje X; o y si estamos sobre el eje Y; o como e) Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) El móvil describe una trayectoria rectilínea con velocidad constante (en módulo, dirección y sentido) por lo que no tiene aceleración (ni tangencial ni normal). De otra manera podemos decir que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, es decir se mueve con rapidez (nombre que le damos al módulo de la velocidad v ) constante. La descripción de estos movimientos se puede realizar de tres maneras: Tabla de datos (posición-tiempo)

Los siguientes datos corresponden a un movimiento uniforme. Como podemos observar, cada 2 s recorre la distancia de 3 m. La rapidez media de todo el recorrido

será: 5,1010015

0

0

ttss

tsvm m/s. Esta rapidez será la misma en cualquier intervalo de

tiempo que tomemos, ¡compruébalo!

Gráfica posición-tiempo Representamos las posiciones (s) en el eje de ordenadas y el tiempo (t) en el eje de abscisas. Para el caso anterior obtenemos la gráfica de la derecha. En este punto hay que aclarar que la línea de la gráfica no es la trayectoria o camino recorrido por el móvil sino que establece la relación entre el tiempo y la posición. Nos dice la posición en cada instante pero no informa nada de la trayectoria. A.10 ¿Qué forma tendrá la gráfica que representa la variación de la rapidez con el tiempo v-t en los movimientos rectilíneos uniformes? Ecuación del movimiento Se trata de una ecuación matemática que relaciona la posición con el tiempo. La podemos deducir de la representación gráfica y para este caso se trata de una recta cuya ecuación general es y=k+px donde k es la

ordenada en el origen y p la pendiente que se deduce xyp

. Para este caso particular la ecuación será:

t(s) s(m) 0 0 2 3 4 6 6 9 8 12

10 15

MRU

t(s)

s(m

)

0 2 4 6 8 10

0

3

6

9

12

15

0 1 2 3123

0 1 231

23

0 1 2 3123 0 1 2 3123

0 1 231

23

6

s=0+1,5t. En general para cualquier MRU la ecuación será: tvss 0 donde 0s es la posición inicial (para t=0) y v es la rapidez. A.11 La tabla te muestra los datos de un movimiento:

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 s(m) 56 42 28 14 0 -14 -28

a) ¿Es un movimiento uniforme o variado? Explícate. b) ¿En qué instante pasa el móvil por el punto de referencia? Explícate. c) ¿Qué distancia recorre durante los 6 últimos segundos? Explícate. d) Deduce la ecuación de ese movimiento. e) Construye el gráfico posición-tiempo s-t. A.12 Describe detalladamente el movimiento representado en la gráfica. A.13) Una pista de atletismo tiene 400 m (100 m cada recta y otros 100 cada curva)

a) Tomando como punto de referencia la meta, determina la posición de salida de una carrera de 3000 m para que ésta finalice exactamente en la meta. Ayúdate del dibujo y explícate. b) El ganador de dicha carrera ha invertido 9 minutos y 20 segundos ¿Cuál ha sido su rapidez media? Explica lo que significa el resultado. (Sol: 5,4 m/s) A.14) Un ciclista de contrarreloj marcha a 54 km/h y se encuentra a 600 m de la entrada de un túnel.

a) Toma un punto de referencia y escribe una ecuación para su movimiento. b) ¿Qué tiempo le falta para entrar en el túnel? (Sol: 40 s) c) ¿Qué longitud tiene el túnel si tarda 24 s en atravesarlo? (Sol: 360 m) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) En este caso el móvil no recorre distancias iguales en tiempos iguales, pues su rapidez varía de manera uniforme; es decir, aumenta o disminuye en igual cantidad cada unidad de tiempo. Al variar la rapidez de manera constante, la aceleración es constante y como la trayectoria es rectilínea sólo puede variar en módulo por lo que

sólo tiene aceleración tangencial cuyo valor será: tva

que también podemos expresar: tavv 0

Tabla de datos rapidez-tiempo

Tiempo(s)

0

2

4

6

8

10

12

Rapidez(m/s) 5 8 11 14 17 20 23

Como podemos observar, la tabla muestra la variación de la rapidez v con el tiempo. Cada dos unidades de tiempo la rapidez se incrementa en tres unidades por lo que la

aceleración media será 5,1012523

a m/s2, que es válida para

cualquier intervalo de tiempo que tomemos (¡compruébalo!). La representación gráfica de la rapidez frente al tiempo será una línea recta pues la ecuación tavv 0 se corresponde a la de una línea recta. Ecuación del MRUV Observa en la tabla:

142

14142

17112208

2235

Para este tipo de movimiento se puede establecer que 2

0 vvvm

o como antes se definió tssvm

0 luego

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

t(s)

v(m

/s)

0 2 4 6 8 10 12

0

4

8

12

16

20

24

t(s)

v(m

/s)

0 2 4 6 8 10 12

0

4

8

12

16

20

24 MRUV

7

tssvv 00

2

y teniendo en cuenta que para este tipo de movimiento se verifica que tavv 0 . Realizando

sustituciones y simplificaciones obtenemos la ecuación general del MRUV:

2

2

00tatvss

Como puedes observar se trata de una ecuación de segundo grado cuya representación gráfica será una rama de parábola. A.15) La tabla te muestra los datos de un movimiento:

a) ¿Es un movimiento uniforme o variado? Explícate. b) Deduce las ecuaciones de ese movimiento. c) ¿Qué distancia recorre durante los 6 últimos segundos? (Sol:72 m) d) Haz la representación gráfica posición-tiempo. A.16) Las gráficas corresponden a dos movimientos. a) Describe lo más detallado que puedas el movimiento de la gráfica A. b) Describe lo más detallado que puedas el movimiento de la gráfica B. A.17) Un avión comienza a rodar sobre la pista y a los 20 s despega con rapidez de 360 km/h. a) Calcula la aceleración sufrida por el avión. (Sol: 5 m/s2) b) La distancia recorrida por el avión sobre la pista. (s-s0= 1000 m) A.18 Un conductor circula a 60 km/h cuando ve un semáforo en rojo a 20 m. a) ¿Qué aceleración de frenada constante debe aplicar para detenerse exactamente en el semáforo? (Sol: -7,2 m/s2) b) ¿Qué tiempo tarda en detenerse el vehículo? (Sol: 2,4 s) A.19) Las ecuaciones de los movimientos de dos móviles A y B son: xA = 8 - 2t y xB = -2 + 3t en el SI. a) ¿Se mueven ambos móviles en el mismo sentido o en sentido contrario? ¿cuál se mueve más rápido? Explícate. b) ¿En qué instante y posición coincidirán ambos móviles? Explícate. (Sol: 2 s; 4 m) A.20) La gráfica representa la posición frente al tiempo para un movimiento. Describe el movimiento (tipo) calculando v, a y la distancia recorrida así como la rapidez media total. A.21) Un automóvil parado se pone en marcha con aceleración constante de 2 m/s2 cuando es adelantado por una moto que circula a 60 km/h. a) Calcula donde y cuando alcanzará el automóvil a la moto. (Sol: s=289 m; t=17 s) b) ¿Cuál será la rapidez del automóvil en el momento del adelantamiento? (Sol: 122 km/h) Caída de graves (caída libre) Un caso particular de MRUV es la caída de graves o caída libre. Si en las proximidades de la superficie de la Tierra dejamos libre un cuerpo, éste se moverá en un movimiento rectilíneo con rapidez creciente. Este tipo de movimiento es independiente de la masa del cuerpo, de su tamaño y forma sólo en el caso de que no haya aire o de que la velocidad que alcance sea pequeña de tal manera que el rozamiento con el aire sea despreciable. Con estas condiciones (ideales) podemos hablar de caída libre. Si lanzamos verticalmente y hacia arriba un cuerpo también realizará un MRUV semejante al de caída libre y que no le llamaremos de manera diferente. Comenzaremos por establecer un sistema de referencia: Para la caída libre, la aceleración es un valor fijo que depende del astro. Para la Tierra es costumbre denominarlo

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 v(m/s) 3 5 7 9 11 13 15

s(m)

T(s)

s(m)

T(s)

0h

0h

0h

sube

baja0v0v

0a0a

0v0v

thv

tva

8

aceleración de la gravedad o intensidad del campo gravitatorio, se denomina g y toma el valor -9,8 m/s2. Al tratarse de un MRUV las ecuaciones serán:

tgvv 0

2

2

00tgtvhh

Como puedes observar ahora la posición la significamos con h (te recuerdo que altura no lleva h) A.22) Se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con rapidez inicial de 80 m/s. a) A los 5 s ¿está subiendo o bajando? (Sol: Sube) b) ¿Hasta qué altura sube? (Sol: 327 m) c) ¿Cuál será la rapidez al llegar al suelo? (Sol: -80 m/s) A.23) Desde cierta altura cae un cuerpo que llega al suelo a 40 m/s a) ¿Qué tiempo ha tardado en llegar al suelo? (Sol: 4,1 s) b) ¿Desde qué altura ha caído? (Sol: 82 m) A.24) Desde 40 m de altura se deja caer un cuerpo y simultáneamente se lanza desde el suelo y hacia arriba otro cuerpo con rapidez de 20 m/s. a) ¿En qué posición (altura) se encuentran? (Sol: h=20 m) b) ¿A qué altura se encuentra el segundo cuerpo cuando el primero llega al suelo, y qué hace? (Sol: 17 m; bajando a -8 m/s) Movimientos circulares Son aquellos en los que el móvil realiza una circunferencia como trayectoria. Al igual que en los movimientos lineales (trayectorias abiertas) habrá que fijar un sistema de referencia que por comodidad tomaremos sobre la trayectoria (punto O). Un móvil que inicialmente está en la posición 0s pasa a la posición s

en un intervalo de tiempo t . Sin embargo, podemos plantear la posición como el ángulo1 que forma el radio de la posición con el eje +X. Ambos enfoques están relacionados pues se cumple que:

Rss 00 o también Rs

siendo: el ángulo barrido; s , el arco recorrido o la distancia y R el radio de la trayectoria. Diremos que el móvil se ha movido si cambia el ángulo posición con el tiempo. Este cambio puede ser más o menos rápido y lo podemos

cuantificar comparándolo con el tiempo: tm

siendo este valor la

rapidez angular media, cuya unidad es 1/s pues el ángulo es adimensional por ser la relación entre dos longitudes (aunque el SI de medidas admite que se le denomine rad, por lo que sería rad/s). También es frecuente expresar la rapidez angular en Nrpm (revoluciones por minuto) o Nrps (revoluciones por segundo) cuyo equivalente será:

602

rpmN o

12

rpsN

Durante el intervalo de tiempo que consideramos el movimiento puede ocurrir que el móvil lleve siempre la misma rapidez angular o que ésta sea variable en cuyo caso podríamos plantearnos varias cuestiones:

¿Cuál es la rapidez angular en un instante cualquiera (por ejemplo a t=3 s)? Para contestar a esta pregunta podemos pensar de la siguiente manera: calculamos la rapidez angular media entre 2 y 4 s, después entre 2,1 y 3,9 s, después entre 2,2 y 3,8 s, después entre 2,3 y 3,7, y así sucesivamente hasta que el intervalo de tiempo sea muy próximo a 3 s (2,99999 y 3,00001 s) de tal manera que en ese intervalo podamos considerar que no hay cambio de rapidez angular. Este razonamiento lo hemos utilizado antes para introducir el concepto de valor instantáneo de velocidad y aceleración)

Por otra parte ¿qué tan rápido es el cambio de rapidez angular? ¿cómo podemos cuantificar este cambio? La respuesta es inmediata (ver como se ha procedido antes con el cambio del ángulo posición).

1 Es el momento de recordar que los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales o en radianes; en el primer caso la circunferencia completa tiene 360º o 2π radianes en el segundo.

00s

s

o

00s

s

o

9

Surge una nueva magnitud que se denomina aceleración angular tm

que se mide en 1/s2 o rad/s2 en el

SI. De igual manera a como sucedía con la rapidez angular, durante el intervalo de tiempo que consideramos el movimiento puede ocurrir que el móvil lleve siempre la misma aceleración o que esta sea variable; en este caso tenemos que hablar de aceleración media. Finalmente debemos considerar en los movimientos circulares: Teniendo en cuenta que Rs para un cambio que se de en un intervalo de

tiempo t se verifica que Rtt

s

o lo que es lo mismo Rv .

La aceleración normal RRvan 2

2

nunca es nula.

La aceleración angular tR

v

t

de donde se deduce que Rat

Movimiento circular uniforme (MCU) El móvil describe una trayectoria circular barriendo ángulos iguales en tiempos iguales. Es decir, el móvil se mueve con rapidez angular constante (también la rapidez lineal v es constante) pero la velocidad v no es constante puesto que su dirección cambia. Para describir este tipo de movimiento podemos utilizar tablas, gráficas o ecuaciones como hemos visto para los movimientos lineales. Las gráficas y las ecuaciones tienen una gran semejanza:

t

o bien t 0

A.25) Una noria de feria de 10 m de radio gira a razón de 8 vueltas por minuto. a) Calcula la rapidez angular de una canasta. (Sol: 0,2π 1/s) b) Calcula la rapidez lineal de una canasta. (Sol: 2π m/s) c) Calcula la aceleración normal de una canasta. (Sol: 0,4π2 m/s2) d) Si el paseo dura 5 minutos ¿Qué distancia recorre una canasta? (Sol: 600π m) A.26) Un tiovivo de feria gira a razón de 12 vueltas por minuto. El caballito blanco se encuentra a 2 m del centro y el caballito negro a 3 m del centro. a) Calcula la rapidez angular de ambos caballitos. (Sol: 0,4π 1/s) b) Calcula la rapidez lineal de ambos caballitos. (Sol: vB=0,8π m/s; vN=1,2π m/s) c) Calcula la aceleración normal de ambos caballitos. (0,32π2 m/s2; 0,48π2 m/s2) A.27) Un satélite artificial realiza un movimiento circular uniforme a 400 km de altura sobre la superficie de la Tierra dando 16 vueltas diarias. a) Calcula la rapidez angular (ω) del satélite. (Sol: 3,7x10-4 π 1/s) b) Calcula la rapidez lineal (v) del satélite. (Sol: 28440 km/h) c) Calcula la aceleración del satélite. (Sol: 9,2 m/s2) DATOS: Radio de la Tierra=6400 km A.28.a) Calcula la rapidez angular y lineal de un punto del ecuador terrestre. (Sol: 2,3x10-5 π 1/s; 148 m/s) b) Calcula la aceleración normal en el mismo punto. (Sol: 3,4x10-2 m/s2) DATOS: Radio de la Tierra: 6400 km (necesitas otro dato) Los movimiento circulares uniformes son de tipo periódico, es decir, el móvil repite el movimiento cada cierto tiempo que denominamos periodo T. El periodo T es el tiempo que el móvil tarda en recorrer un ciclo ( 2 ) completo. El concepto inverso al periodo es la frecuencia N, que no indica el número de vueltas que realiza cada unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia es 1/s que también se denomina Hercio Hz. La relación

entre ambas magnitudes es N

T 1

v

vv

v

v

vv

v

10

Movimiento circular uniformemente variado (MCUV) En este caso, el móvil no barre ángulos iguales en tiempo iguales pues su rapidez angular varía con el tiempo de manera uniforme. Al variar su rapidez angular de manera uniforme con el tiempo, la aceleración

angular t

es constante de donde t 0 . De manera semejante a los movimientos lineales,

podemos demostrar que:

2

2

00tt

A.29) El tambor de una lavadora gira a 600 rpm cuando sufre un corte de corriente y se detiene de manera uniforme en 12 segundos. a) Calcula la aceleración angular. (Sol: -0,17π rad/s2) b) Calcula el número de vueltas que da el tambor desde el corte de luz hasta detenerse. (Sol: 114 vueltas) Movimiento armónico simple (MAS) Los movimientos periódicos son aquellos en los que el móvil repite su movimiento (posición, velocidad y aceleración) cada tiempo llamado periodo (T). Son ejemplos de movimientos periódicos el de la Tierra alrededor del Sol o el de la Luna alrededor de la Tierra. Los movimientos oscilatorios son movimientos periódicos entre dos posiciones extremas alrededor de una posición central de equilibrio. El caso más sencillo de movimiento oscilatorio es el movimiento armónico simple (MAS) como el que realiza una masa puntual sujeta por un muelle. De la simple observación de este movimiento podemos apreciar que:

i) En un movimiento variado ya que la velocidad varía. ii) La velocidad es máxima en el centro de la trayectoria. iii) La velocidad es mínima (nula) en los extremos de la trayectoria.

Para deducir las ecuaciones de este movimiento nos serviremos de un MCU. En el esquema tenemos un punto circular que realiza un MCU en el sentido que indica la flecha (podría ser el contrario). Su proyección sobre el eje Y (también podríamos proyectarlo sobre el eje X) es un punto cuadrado que realiza un movimiento oscilatorio entorno a la posición central con trayectoria rectilínea; es decir, el punto cuadrado hace un MAS. Veamos algunos conceptos que vamos a aplicar: Período (T): Tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación o ciclo completo (se mide en s). Debemos entender que se completa un ciclo cuando el móvil pasa dos veces consecutivas por el mismo punto de la trayectoria haciendo lo mismo (misma velocidad y aceleración) Frecuencia (N): Es el número de oscilaciones o ciclos que realiza el móvil cada unidad de tiempo (se mide en ciclos/s o Hz o 1/s). De las definiciones anteriores se deduce que T=1/N. Centro de oscilación: Es el punto medio de la trayectoria del móvil o posición de equilibrio. Elongación (y o x): Es la posición del móvil con MAS sobre el eje de proyección (y o x) (se mide en m). Amplitud (A): Es la elongación máxima; es decir, la máxima separación desde el centro de oscilación. Pulsación (frecuencia angular): Es la velocidad angular ω del MCU que genera el MAS. También:

NT

22

Vamos a buscar una ecuación que nos permita calcular la posición y(t) del MAS en cualquier instante de tiempo t. Supongamos que el móvil (punto redondo) se encuentra inicialmente (t=0 s) en la posición 1 y pasa con un MCU hasta la posición 2. Al ser un MCU se cumple: t 0 ¿Cuál será la posición o elongación del móvil (punto cuadrado) con MAS sobre el eje de ordenadas Y? Pues aplicando trigonometría y teniendo en cuenta que r=A (es decir, el radio del MCU es igual que la A del MAS):

senAy y sustituyendo )()( 0 tsenAty Veamos algunas cosas:

11

Al término )( 0 t se le llama fase del movimiento y 0 es la fase inicial, que será nula cuando el

MAS comienza en el centro de oscilación es decir, cuando para t=0 la elongación es y=0. Teniendo en cuenta que la función seno toma valores entre -1 y +1, tenemos que la elongación tomará

valores AyA Si en vez de proyectar el MCU sobre el eje de ordenadas lo proyectamos sobre el eje de abscisas (X), la

ecuación de la elongación será: )cos()( 0 tAtx . Por tanto si supones (o te dicen) que el

movimiento MAS es en el eje Y, utilizarás la ecuación )()( 0 tsenAty . Pero si supones (o te

dicen) que el MAS es en el eje X, utilizarás la ecuación )cos()( 0 tAtx

La rapidez instantánea de un MAS será: dt

tsenAddtdyv ))(( 0

es decir:

)cos( 0 tAv Teniendo en cuenta que la función coseno toma valores entre -1 y +1, tenemos que la rapidez máxima de un MAS será: Avmáx .

De igual manera, la aceleración instantánea será: dt

tAddtdva ))cos(( 0

es decir:

)( 02 tsenAa

y de donde se deduce que 2 Aamáx . Y si tenemos en cuenta la ecuación de la elongación, podemos expresar:

ya 2 A.30 Un móvil realiza un MAS vertical, partiendo del centro de oscilación, con amplitud de 10 cm y frecuencia de 10 Hz. a) Construye las ecuaciones de y, v y a. (Sol: y=0,1Sen(20πt) m; v=2πCos(20πt) m/s; a=-40π2Sen(20πt) m/s2) b) Calcula los valores de la tabla:

t y v a 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 . . . . 0,20

c) Representa las gráficas y-t, v-t y a-t A.31 Construye las ecuaciones de x, v y a para un MAS de 0,2 m de amplitud, 4 s de periodo y π/3 de fase inicial. Determina los valores de x, v y a entre t=0 y t=4.5 s cada 0.5 s. (Sol: x=0,2Cos(πt/2 + π/3) m; v=-0,1πSen(πt/2 + π/3) m/s; a=- 0,05π2Cos(πt/2 + π/3) m/s2) A.32 Un MAS viene descrito por la ecuación x=0,05 Cos(200πt) (SI) a) Deduce: la Amplitud, pulsación, frecuencia, periodo, la ecuación de v y ecuación de a. (Sol: A=0,05 m; ω=200π 1/s; N=100 Hz; T=0,01 s; v=-10πSen(200πt) m/s; a=-2000π2Cos(200πt) m/s2) b) ¿En qué instante t, la elongación vale -0,015 m? (Sol: 0,003 s) c) Calcula vmáx y amáx (Sol: vmáx =-10π m/s; amáx =-2000π2 m/s2) Composición de movimientos Muchos movimientos reales pueden ser considerados como la composición de dos movimientos sencillos como los que acabamos de estudiar. Por ejemplo, cuando cruzamos un río en una barca propulsada podemos considerar que el movimiento real realizado por la barca es un MRU realizado por el motor de la barca ( yv ) y otro MRU, perpendicular al anterior, producido por la corriente

del agua ( xv ). Ambos movimientos tienen la misma duración t y cualquier pregunta que podamos hacernos se resuelve mediante un sistema de dos ecuaciones:

x

y s

x

y s

12

tvytvx

y

x

y como podemos apreciar en el esquema, la distancia recorrida por la barca será: 22 yxs y la rapidez real

de la barca será: 22yx vvv por ser la velocidad una magnitud vectorial.

Otro caso, algo más complicado, es el lanzamiento horizontal de un cuerpo desde lo alto de un acantilado o cualquier otra plataforma sobre el suelo, una bola que rodando sobre una mesa llega al borde y cae. En este caso el movimiento real del cuerpo se puede considerar compuesto por de MRU horizontal (x) y otro movimiento de caída libre (y). En este caso ambos movimientos también tienen la misma duración t y cualquier pregunta que podamos hacernos se resuelve mediante un sistema de dos ecuaciones:

2

21 tgy

tvx x

De igual manera la rapidez en cualquier instante t de la caída será: 22yx vvv donde tgv y

A.33 Un nadador avanza a 0,5 m/s perpendicularmente a la corriente de un río de 3 m/s. Si tarda 2 minutos en cruzar el río: 28.a) ¿Qué anchura tiene el río? (Sol: 60 m) 28.b) ¿Qué deriva (desplazamiento en la dirección de la corriente) sufre el nadador al cruzar el río? (Sol: 360 m) 28.c) ¿Qué rapidez ha mantenido el nadador? (Sol: 3,04 m/s) A.34 Desde lo alto de un castillo a 120 m sobre el nivel del mar, se lanza horizontalmente un proyectil a 500 m/s hacia un barco pirata que se encuentra a 2 millas náuticas de la vertical del castillo. 29.a) ¿Qué tiempo dura el vuelo del proyectil? (Sol: 4,95 s) 29.b) ¿Dará el proyectil en el barco pirata? (Sol: se queda corto) 29.c) Si no le damos al barco pirata ¿qué podemos hacer? i) meterle más pólvora al cañón, explícate; ii) poner inclinado el cañón, explícate, iii) rendirnos. (Sol: Ver ayudas) A.35 Una pelota rueda por un tejado que forma 30º con la horizontal y llega al borde a 10 m/s. Si el borde del tejado está a 60 m de suelo de la calle y ésta tiene 15 m de ancho ¿botará la pelota en la pared de enfrente o en la calle? DATO: g= -9,8 m/s2.

x

y

x

y

13

Ayudas para la resolución de los ejercicios del texto

Hay distintos tipos de cuestiones; en algunas te piden una definición que podrás buscar en el texto; en

otras te piden que evalúes la variación de una magnitud cuando varia otra con la que está relacionada mediante alguna ley física (ecuación o fórmula) para lo cual tendrás evaluar cualitativamente dicha ley. Por ejemplo: para Ec=mv2/2, al duplicar la rapidez, la energía cinética aumenta cuadruplicándose.

Para resolver los problemas: o Lee atentamente el problema e identifica las magnitudes y los valores que te dan en los datos, ten

en cuenta que algunos datos vienen dados de manera implícita, por ejemplo si el cuerpo se para significa v=0.

o Ayúdate de un esquema que represente la situación que te plantean. o Identifica las leyes físicas (una o varias ecuaciones) que sintetizan la situación física. o Sustituye los datos en las ecuaciones teniendo cuidado que las unidades sean del SI. o Después resuelve los cálculos y evalúa físicamente el resultado; es decir, el resultado tiene que

ser verosímil; por ejemplo, la energía cinética no puede ser negativa. Si tienes dificultad con el planteamiento físico del ejercicio, consulta la ayuda correspondiente, pero antes

inténtalo tú. Si no consigues resolver el ejercicio, plantéale al Profesor tus dificultades el próximo día (no al cabo de

una semana o de un mes) A.1 Si la trayectoria es rectilínea (línea de puntos) el módulo del vector desplazamiento

r coincide con la distancia recorrida sobre la trayectoria. A.2 a) Dado que el vector posición inicial y final son iguales, el desplazamiento total será nulo. b) No, son vectores opuestos, tienen la misma dirección, el mismo módulo (unos 48 km) pero sentido contrario. c) Unos 140 km. A.3 a) Como realiza 10 vueltas completas, el vector posición inicial 0r

y final r serán los mismos por lo que el desplazamiento será nulo 00 rrr

b) Cada vuelta recorre r2 A.4 No podemos saber en qué dirección y sentido se desplaza. Lo correcto sería decir que lleva una rapidez (módulo de la velocidad) de 40 km/h y que de mantener dicha rapidez recorrerá una distancia de 40 km en una hora. A.5 Recuerda que 1 hora equivale a 3600 s. El móvil A cada 1s recorre 1 m por lo que en 1 hora recorrerá 3600 m (3,6 km); por su pare el B, en 1 hora recorre solo 1 km. El A es más rápido porque en el mismo tiempo recorre más distancia, en concreto 3,6 veces más. A.6 a) Sustituye los valores de t (2 s y 5 s) en la ecuación ktjitr

325 3

b) Realiza la operación 25 rrr con los vectores que has calculado antes.

c) Aplica trvm

donde ∆t=5-2

A.7 Como no sabemos ni la dirección y ni el sentido de v y de a , pues no significa nada. Pero si suponemos que la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección habrá que ver que sentido tienen ambos: Si ambos, v y a , tiene el mismo sentido, la rapidez v aumentará 3 m/s cada segundo. Si ambos, v y a , tiene sentido contrario, la rapidez v disminuirá 3 m/s cada segundo.

r

r0r

r

r0r

va va

14

A.8

a) Primero tiene que deducir dtrdv

y

dtvda

, después sustituye t= 2

b) En la ecuación jtitr )2()14( 22 ; 4t2-1=x y t2+2=y si combinas ambas ecuaciones eliminando t

obtendrás la ecuación de la trayectoria. A.9

a) Falso. 0

tvat dado que 0v ; 0

2

Rvan

b) Verdadero. c) Falso. ¡Mira! el gráfico. d) Verdadero. ¡Mira! el gráfico. e) Verdadero. ¡Mira! el gráfico.

A.10 Como puedes ver en la gráfica, para cualquier valor del tiempo la rapidez toma el mismo valor como corresponde a un MRU. A.11 a) Observa en la tabla que cada 2 s el móvil se recorre -14 m; es decir, recorre distancias iguales en tiempos iguales como los movimientos uniformes (no puedo afirmar que sea rectilíneo porque no tengo información de la trayectoria). El signo – indica que el móvil se

ha desplazado en el sentido de posiciones positivas hacia posiciones negativas. b) Cuando el móvil pasa por el punto de referencia está en la posición s= 0 m, lo que ocurre para t=8 s. c) s12 – s6= (-28) – 14 = -42 m. d) Al ser un movimiento uniforme de trayectoria desconocida: tvss 0 . Para este caso 560s y

7012

)56()28(

v m/s por lo que la ecuación del movimiento será: ts 756

e) ... A.12 Observa que la gráfica relaciona el tiempo t con la posición s que ocupa el móvil y que podemos apreciar tres tramos:

t=0 s a t=6 s: El móvil desde la posición s0=0 m alcanza la posición s=24 m de manera uniforme en 6 s con una rapidez media

406024

tsvm m/s y sin aceleración (movimiento uniforme)

t=6 s a t=10 s: el móvil permanece en la posición s=24 m. Como no

cambia de posición diremos que permanece en reposo.

t=10 s a t=20 s: el móvil se desplaza de s0=24 m hasta s=0 m en

20-10=10 s con una rapidez media 4,21020240

tsvm m/s y sin aceleración (movimiento

uniforme). El signo – significa que se ha movido en sentido contrario al primer tramo.

En total de t=0 s a t=20 s. El móvil no se desplaza (vector desplazamiento nulo) pero si recorre distancia

48 m en 20 s por lo que su rapidez media será: 4,22048

tsvm m/s

Sobre la trayectoria no podemos decir nada, puede ser cualquier línea. A.13 a) Recuerda que en las pistas de atletismo se corre tomando las curvas a la izquierda (visto desde arriba, en el sentido contrario a las agujas del reloj) Para recorrer 3000 m tiene que dar 3000/400=7,5 vueltas. Primero media vuelta y después 7 vueltas más.

va va

v

vv

v

v

vv

v

MCU

v

vv

v

v

vv

v

MCU

v

t1t 2t 3t

v

t1t 2t 3t

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

4

8

12

16

20

24

28

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S(m)

T(s)

15

b) La rapidez media será: 4,55603000

tsvm m/s

A.14 a) Como no nos informan de la trayectoria, suponemos que es rectilínea por lo que se trata de un MRU ya que me dan a entender que el ciclista no cambia de rapidez. Tomamos el punto de referencia en la posición inicial del ciclista s0=0 m de esta manera la ecuación del movimiento es:

tvss 0 que para este caso es: ts 150 (habrás comprobado que 54 km/h equivale a 15 m/s)

b) Para entrar en el túnel tendrá que recorrer 60 desde la posición inicial tsvm

de donde

4015600

mvst s

c) De la ecuación tsvm

se deduce 3602415 tvs m

A.15 a) De los datos no podemos deducir el tipo de trayectoria por lo que supondremos que es rectilíneo. La tabla de datos pone de manifiesto que el móvil varía de rapidez de manera uniforme con el tiempo, cada 2 s su rapidez aumenta en 2 m/s. Podemos concluir que es un MRUV. b) Las ecuaciones del MRUV son:

tavv 0 2

2

00tatvss

tendremos que deducir todos los valores menos el tiempo.

v0 es la rapidez a t=0 s, de la tabla se deduce que v0= 3 m/s s0 es la posición a t=0 s. La tabla no da información. Este valor depende de dónde pongamos el sistema

de referencia y por tanto supondremos que s0=0 m, es decir el móvil está inicialmente en el punto de referencia.

a es la aceleración (tangencial) 112

315

tva m/s2

Y ya podemos construir las ecuaciones:

tv 13

2130

2tts

c) Piensa de la siguiente manera: La distancia que recorre durante los 6 últimos segundos será la distancia que recorre hasta el 12 s menos la que ya había recorrido hasta 6 s: s12 –s6

Para t=12 s 10821211230

2

12

s m

Para t=6 s 36261630

2

6

s m

Por tanto: s12 –s6=108 – 36= 72 m d) Primero tendrás que hacer una tabla que relaciones las posiciones con el tiempo utilizando la ecuación de la

posición: 2

1302tts

. Después haces la representación gráfica s-t.

t(s) s(m) 1 0 2 ... 15

SalidaSalida

16

A.16 a) Es una gráfica posición-tiempo s-t que me informa de la posición del móvil sobre la trayectoria de la que no me da información (puede ser cualquiera) y que suponemos que es rectilínea.

Primer tramo: De la gráfica se deduce que el móvil pasa de s0=25 m a s3=10 m en 3 s de manera uniforme. Luego podemos afirmar que se trata de un MRU que lo realiza con rapidez constante

53

2510

v m/s (el signo menos significa que el móvil se desplaza en el sentido positivo-negativo

de las posiciones sobre la trayectoria). La ecuación del movimiento para este tramo será: ts 525

Segundo tramo: El móvil no cambia de posición con el tiempo, está en reposo en s=10 m. b) Es una gráfica rapidez-tiempo v-t que me informa de la rapidez del móvil sobre la trayectoria de la que no me da información (puede ser cualquiera) y que suponemos que es rectilínea.

Primer tramo: De la gráfico se deduce v0=15 m/s y en 3 s pasa a v=6 m/s de manera uniforme, luego se

trata de MRUV con aceleración (tangencial) 33156

303

vva m/s2 (el signo menos indica que la

aceleración es de sentido contrario a la velocidad). De las posiciones no tenemos información, pero si ponemos el sistema de referencia en la posición inicial del móvil s0=0 m las ecuaciones serán:

tv 315

2)3(150

2tts de esta ecuación podemos deducir la posición del móvil en todo instante. En

concreto para t=3 s será 5,312

)3)(3(31502

s m y como inicialmente estaba en s0=0 m durante

los 3 s habrá recorrido 31,5 m. Segundo tramo: El móvil no cambia de rapidez con el tiempo, realiza MRU durante 8-3=5s con rapidez de

6 m/s por lo que a t=8 s se encontrará en s=s0+vt=31,5+6(5)=61,5 m habiendo recorrido 30 m. A.17 Suponemos que el avión realiza un MRUV y que ponemos el sistema de referencia en la posición inicial del avión.

tavv 0 aplicando 100= 0+ at se deduce a=5 m/s2. Con la ecuación 2

2

00tatvss

deducimos la

distancia recorrida 0ss . A.18 Por la información deducimos que se trata de un MRUV con v0=17 m/s; v=0 m/s; s-s0= 20 m.

tavv 0 ;2

2

00tatvss

; en ambas ecuaciones hay dos valores desconocidos por lo que tendrás que

tratarlas como un sistema de dos ecuaciones. A.19 Ambas ecuaciones posición(sobre X)-tiempo se corresponden a dos movimientos uniformes de los que no sabemos la trayectoria. a) Para los movimientos uniformes: tvss 0 . De las ecuaciones se deduce: 2Av m/s y 3Bv m/s. Luego, por los signos, se deduce que circulan en sentido contrario sobre la trayectoria, siendo B más rápido. b) Al coincidir, ambos están en la misma posición, luego haz xA=xB y resuelve para calcular t; después calcula x para ambos y comprueba que es el mismo valor (¡claro, están en la misma posición!) A.20 Es una gráfica posición-tiempo y como los tres tramos son rectilíneos (recuerda que para los MUV, la gráfica posición-tiempo es una rama de parábola) se trata de movimientos uniformes. Primer tramo: s0=50 m; s=20 m; ∆t=10 - 0=10 s; luego recorre s-s0=20 - 50= -30 m. El signo menos significa que el móvil se mueve en el sentido positivo-negativo de las posiciones, con una rapidez media de

310

5020

tsvm m/s; al ser movimiento uniforme a=0 m/s2.

Segundo tramo: El móvil no cambia de posición con el tiempo. Tramo tercero: s0=20 m; s=40 m luego recorre s-s0=40 - 20= 20 m en el sentido negativo-positivo de las

17

posiciones, con una rapidez media de 54

2040

tsvm m/s; al ser movimiento uniforme a=0 m/s2.

En total la distancia recorrida ha sido de 30+20= 50 m en un tiempo de 24 s por la que la rapidez media ha sido de

1,22450

tsvm m/s.

A.21 Se trata de dos movimientos: La moto realiza un movimiento uniforme y el automóvil realiza un movimiento uniformemente variado. Tomaremos el punto de referencia en la posición inicial de ambos móviles: s0=0 m para ambos. a) Utilizaremos la correspondiente ecuación de movimiento para ambos móviles: Para la moto: s=s0+vt; s=0+17t Para el vehículo: s=s0+v0t+at2/2; s=0+0t+2t2/2; En el momento de alcanzar el vehículo a la moto, ambos se encuentran en la misma posición por lo que entre las dos ecuaciones podemos deducir t para el alcance, siendo t=17 s. La posición del alcance se puede calcular por cualquiera de las dos ecuaciones: s=289 m. b) Aplica v=v0+at para el vehículo. A.22 a) Para saber si sube o baja nos bastará con determinar el signo de la rapidez en ese instante: v=v0+gt=80+(-9,8)(5)=+31 m/s; luego está subiendo. También podemos calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, donde sabemos que v=0 m/s. 0=80+(-9,8)t; de donde t=8,2 s. Como tarda 8,2 s en alcanzar la altura máxima, a los 5 s todavía está subiendo. b) Como hemos visto tarda 8,2 s en alcanzar la altura máxima, luego h=h0+v0t+gt2/2 y poniendo el punto de referencia en el punto de partida (cuando se lanza) h0=0 m; luego h=0+80(8,2)+(-9,8)(8,2)2/2 c) Dado que la aceleración tiene el mismo valor absoluto para la subida y la bajada, los movimientos de caída libre son simétricos, es decir, el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar. Luego el tiempo total que tarda en regresar al suelo será el doble que tarda en alcanzar la altura máxima, para este caso t=8,2+8,2=16,4 s. Si aplicamos v=v0+gt= 80+(-9,8)(16,4)= - 80,7 m/s. Dos aclaraciones:

Debería haber salido – 80 m/s. El signo menos indica que cuando llega al suelo lo hace en sentido contrario a cuando se lanzó.

¿Por qué no sale justo 80? Pues por que hemos hecho redondeos; es decir, hemos introducido errores. A.23 Se trata de una caída libre. a) En este caso nos están dando un dato numérico de manera implícita, “cae” significa que v0=0 m/s. Por otra parte, hay un dato “erróneo”. Teniendo en cuenta el sistema de referencia, los móviles caen con rapidez negativa v=-40 m/s. Aplicando: v=v0+gt; -40=0+(-9,8)t deducimos el tiempo de caída. b) Teniendo en cuenta el sistema de referencia; h0 es la posición inicial (arriba) y h=0 m pues coincide con el sistema de referencia. Te preguntan h0. Aplicando: h=h0+v0t+gt2/2; 0=h0+0t+(-9,8)t2/2 A.24 Se trata de aplicar simultáneamente las mismas leyes para dos móviles y que ambos móviles se encuentra en la misma posición a la vez (mismo tiempo). a) Móvil A: Se deja caer: h=h0A+v0A+gt2/2=40+0t+(-9,8)t2/2 Móvil B: Se lanza hacia arriba: h=h0B+v0B+gt2/2=0+20t+(-9,8)t2/2 Tratando simultáneamente ambas ecuaciones, el suceso ocurre a t=2 s que sustituyendo en ambas ecuaciones obtendrás h (igual para ambos casos A y B) b) ¿Cuándo llega A al suelo? En el suelo h=0 m luego 0=40+0t+(-9,8)t2/2 de donde deduce t. Y dónde estará B en ese instante, pues: h=0+20t+(-9,8)t2/2. Y qué hace: v=v0+gt A.25 Se trata de un MCU

a) 2,060

822

tN

rad/s o 1/s

b) 2102,0 Rv m/s

c) RRvan 2

2

d) tvs

h

0h

h

0h

18

A.26 Se trata de MCU

a) Ambos tienen la misma rapidez angular: tN 2

b) Aplica Rv para ambos casos, pero ten en cuenta que los radios son diferentes. El caballito negro va más rápido.

c) Aplica RRvan 2

2

A.27 Se trata de un MCU. La única dificultad es que tienes que tener en cuenta que el radio de la trayectoria será el radio de la Tierra más la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra. A.28 La Tierra da una vuelta sobre su eje cada 24 horas.

a) 606024

122

tN

b) Aplica RRvan 2

2

A.29 Se trata de un MCUV.

a) Aplica tt

0

donde ω= 0 1/s ya que al final se para; y 2060

60020

1/s.

b) Aplica 2

2

00tt

para calcular el ángulo que barre durante los 12 s de parada. Luego piensa que

cada vuelta son 2π rad. A.30 Dado que los ángulos están medidos en rad tendrás que poner la calculadora en modo RAD o R. a) Aplicamos )()( 0 tsenAty teniendo en cuenta:

Inicialmente está en la posición de equilibrio, luego 00 ; A=0,1 m; 201022 N 1/s b) Tienes que repetir los cálculos veinte veces para completar la tabla y luego hacer las tres gráficas. A.31 Ahora el movimiento es en el eje X. Aplica )cos()( 0 tAtx . Otra vez te recuerdo que la calculadora debe estar en modo RAD o R. A.32 a) Por similitud con )cos()( 0 tAtx deducimos que A=0,05 m; ω=200π 1/s, y como ω=2πN deducimos

N; T=1/N; para )(.))cos((0

0

tsenA

dttAd

dtdxv , y para

)cos())((0

20

tA

dttsenAd

dtdva

b) En ese instante -0,015=0,05 Cos(200πt) de donde Cos(200πt)=-0,03; ¿qué ángulo, en radianes, tiene de coseno el valor -0,03? Utiliza la calculadora y aplica cos-1(-0,03) = 1,6 por lo que 200 π t=1,6 de donde t=0,0027 s c) Aplica Avmáx y 2 Aamáx A.33 Se trata de la composición de dos movimientos uniformes. a) La achura del río será y. Esta dirección se corresponde con el movimiento del nadador 601205,0 tvy y m. b) Este movimiento tiene la dirección de la corriente,

3601203 tvx x m.

c) Al tratarse de dos movimientos con direcciones perpendiculares, la rapidez resultante será: 22yx vvv

A.34 Ahora se trata de dos movimientos: uno en Y (caída libre) y otro en X MRU.

a) El tiempo de vuelo del proyectil lo podemos deducir del movimiento en Y (caída libre): 2

2

00tgtvyy

x

y s

x

y s

19

que con los datos

28,901200

2tt de donde t=4,95 s.

b) En este tiempo, el movimiento horizontal en X (que es MRU) recorrerá una distancia 247495,4500 tvx x m desde el pié la vertical del castillo, lo

cual es insuficiente para alcanzar al barco pirata que se encuentra a 3704 m (busca milla náutica y encontrarás que equivale a 1852 m). c) i) Meterle más pólvora al cañón será la solución ya que el proyectil sale más rápido y puede alcanzar más distancia en el mismo tiempo:

74895,4

3704xv m/s; es decir, habrá que meter pólvora para que el

proyectil salga del cañón a 748 m/s. ii) Consultar tiro parabólico en algún texto de Física. Ponerle inclinación, por si solo no sería solución, además habrá que poner más pólvora aunque menos que en el caso anterior. iii) Es una cuestión de Ética que se estudia en Filosofía. A.35 Se trata de la composición de dos movimientos: Uno horizontal en X (MRU) y otro vertical en Y (caída libre). Cuando la pelota cae del tejado su velocidad v la podemos descomponer en dos componentes yx vvv . Los valores de ambas componentes de la velocidad serán (observa que hay un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo):

7,8º30cos10º30cos vvx m/s

5º3010º30 sensenvvy m/s Como puedes observar la componente vertical es una caída libre con rapidez inicial (hacia abajo) de -5 m/s ¿cuánto tardará en llegar al suelo? Veamos:

2

2

0tgtvyy yo

que con los datos será 28,95600

2tt de donde t=3 s. En este tiempo

horizontalmente (x) la pelota se desplaza x=vx t = 8,7 x 3= 26,1 m; es decir, más que el ancho de la calle, por lo que la pelota chocará con la pared de enfrente antes de llegar al suelo.

x

y

x

y

v

xv

yv º30

º30 y

x

v

xv

yv º30

º30 y

x

20

EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO 1) Un remero intenta cruzar un río de 60 m de ancho. Para ello utiliza una barca que impulsa, perpendicularmente a la corriente, con una velocidad de 0,3 m/s. Si la corriente del río lleva una velocidad de 5 m/s: 1.a) Calcule el tiempo que tarda en cruzar el río. 1.b) ¿Qué distancia habrá entre el punto de salida y el de llegada en línea recta? 2) Un movimiento armónico simple (MAS) viene descrito por la expresión tsenatx )( 2.a) Indique el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en ella. 2.b) Escriba la velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo y explique por qué también es correcta la expresión tatx cos)( para el mismo movimiento. 3) Razone cuál de las gráficas adjuntas se aproxima más a las descripción de la velocidad de una piedra que se lanza verticalmente hacia arriba en el instante t=0 desde un punto próximo a la superficie de la Tierra. 4) Una partícula al pasar por el punto A tiene una velocidad de 10 m/s y al pasar por el punto B, distante 50 m de A, tiene una velocidad de 25 m/s. Si el movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado calcule: 4.a) La aceleración del movimiento. 4.b) El tiempo que tarda la partícula en ir de A hasta B. 5) Un automóvil sigue una trayectoria rectilínea. Inicialmente su velocidad es de 30 km/h y acelera a 3 m/s2 manteniendo constante su aceleración durante 10 s. Finalmente frena con aceleración constante hasta detenerse, recorriendo durante el frenado 90 m. 5.a) ¿Qué espacio ha recorrido en los primeros 10 segundos? 5.b) ¿Cuál ha sido la aceleración durante el frenado?

v

t

v

t

v

t

A B Cv

t

v

t

v

t

v

t

v

t

v

t

A B C