fisica subnucleare di gauge

81
Fisica Subnucleare di Gauge Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo [email protected] Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707. http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor

Upload: abrianna-miles

Post on 31-Dec-2015

40 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

Fisica Subnucleare di Gauge. Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo [email protected] Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707. http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor. Struttura del corso e logistica. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Fisica Subnucleare di Gauge

Fisica Subnucleare di Gauge

Università di Padova

II anno laurea specialistica

T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011

Tommaso [email protected]

Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707.http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor

Page 2: Fisica Subnucleare di Gauge

Struttura del corso e logistica• 40 ore in 8 settimane di 5 ore ciascuna (mercoledì 15.30-17.15, giovedì 14.30-

16.15, venerdì 14.30-15.15)– 20-22, 27-29 ottobre; 3-5, 10-12, 17-19, 24-26 novembre; 1-3, 8-10 dicembre– solo una settimana di “buffer” per lezioni mancate (13-17 dicembre)– 6 di queste settimane di corso le tengo io; 2 le terrà il prof. Ugo Gasparini

• Taglio “sperimentale”– Si danno per acquisite le nozioni del corso di Riccardo Brugnera– L’enfasi non è sui calcoli ma sui fenomeni fisici e la loro interpretazione

• Trasparenze distribuite alla fine di ogni parte (5 parti in totale)

• Esercizi di complemento– siete consigliati a provarli prima della lezione successiva– possono essere chiesti all’esame (solo orale)

• E-mail e numero di telefono vi sono richiesti per potervi avvertire di eventuali assenze improvvise o altre comunicazioni

– Mandatemeli al più presto a [email protected] ! – Subject: Fisica Subnucleare

Page 3: Fisica Subnucleare di Gauge

Miscellanea• Il corso ha un taglio sperimentale enfasi sulla fenomenologia e le indagini

sperimentali, quando possibile– fate attenzione ai (pochi) valori numerici di osservabili che incontreremo– è difficile farmi arrabbiare, ma un modo è venire all’esame a dire che il quark b ha una

massa di 30 GeV (è successo a due vostri colleghi in passato)• Nel corso cercherò di inserire alcune nozioni di base di statistica e discussione delle

problematiche sperimentali nella stima delle grandezze misurate– non compaiono esplicitamente nel programma, ma sono comunque richieste

• Le parti I, II, III sono abbastanza “standard” – non ascolterete nulla che non possiate rileggere in forma equivalente nei testi consigliati; le parti IV e V contengono materiale che non trovate facilmente altrove

• Durante la lezione siete fortemente invitati a interrompere per chiedere maggiori spiegazioni o quant’altro

– chi fa una domanda dimostra ignoranza solo momentaneamente; chi non la fa rimane ignorante per sempre.

– Non sono un’enciclopedia! Potrò in casi particolari rimandare la risposta alla lezione seguente.

– se vado troppo veloce o troppo lento DITELO!

• Per le lezioni di 2 ore, preferisco farle tutte di fila senza intervallo.

• Infine una precisazione...

Page 4: Fisica Subnucleare di Gauge

Mi presentoRicercatore INFN, partecipo all’esperimento CMS al Large Hadron

Collider del CERN dal 2001, e all’esperimento CDF al Tevatron di Fermilab (Chicago) dal 1996.

Mi occupo di ricerche di fisica di alto PT: quark top, bosone di Higgs, nuova fisica

Sono anche membro di:– CMS Statistics Committee Board– CDF Publication Review Group

Tengo da 5 anni un blog dove cerco di spiegare la fisica delle particelle in maniera semplice

Page 5: Fisica Subnucleare di Gauge

Sommario

1) Dal modello a partoni alla QCD– Diffusione, deep inelastic scattering, funzioni di struttura, Bjorken scaling,

Lagrangiana di QCD, il colore, violazioni di scaling, rinormalizzazione e running di s

2) Dalle interazioni deboli al modello GSW– La teoria V-A, Fermi e GT transitions; determinazioni della costante di Fermi;

correnti cariche e neutre

3) Il Modello GSW e i suoi tests sperimentali– sin2w dal neutrino scattering, correzioni radiative, fisica della Z, interferenza e

asimmetrie a LEP, misure a LEP II

4) La rottura della simmetria e il bosone di Higgs– modello di Goldstone, meccanismo di Higgs, Lagrangiana del Modello

Standard, fenomenologia dell'Higgs, ricerche sperimentali, stato e prospettive

5) Fisica ai colliders adronici– fisica ai colliders adronici (Tevatron e LHC), evidenze indirette del top, ricerca

e proprieta' del top quark e bosoni vettori, ricerche di nuova fisica, supersimmetria, limiti sperimentali e prospettive

Page 6: Fisica Subnucleare di Gauge

Testi consigliati

• F. Halzen, A.D. Martin, “Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics”, Wiley 1984

• W.E. Burcham, M. Jobes, “Nuclear and Particle Physics”, Longman 1995

• R.K. Ellis, W.J. Stirling, B.R. Webber “QCD and Collider Physics”, Cambridge U.P. 1996

– Cap. 8, 10, 11

• Appunti dalle lezioni (specie per le parti 4 e 5): disponibili alla fine di ogni parte

• Altri testi utili (livello più avanzato):

– L.B. Okun, “Leptoni e Quarks”, Ed. Riuniti 1986• Cap.19,20

– F. Mandl, G. Shaw, “Quantum Field Theory”, Wiley 1984• Cap. 11,12,13

– J.F. Donoghue, E. Golowich, B.R. Holstein, “Dynamics of the Standard Model”, Cambridge U.P. 1992

• Cap.15

Page 7: Fisica Subnucleare di Gauge

PARTE PRIMADeep Inelastic Scattering e QCD

• Brevi richiami di QED, l’eq. di Dirac, quadricorrente, matrice di transizione

• Diffusione elastica, scattering elettrone-muone, variabili di Mandelstam

• Scattering elettrone-protone e fattori di forma• Scattering inelastico; Bjorken scaling; relazione di

Callan-Gross• Struttura a quark dei nucleoni• La QCD e il colore. Violazioni dello scaling• Running di s e rinormalizzazione

Page 8: Fisica Subnucleare di Gauge

Invarianza di gauge U(1) e QED• La costruzione della Lagrangiana del Modello Standard verrà vista nella

parte IV del corso; tuttavia partiamo proprio con un accenno alla sua proprietà più fondamentale in quanto è alla base dell’interazione elettrone-fotone che ci serve a descrivere lo scattering

• Alla base di tutto c’è la richiesta FISICA che i campi spinoriali che descrivono i fermioni, che dobbiamo rappresentare con funzioni complesse, descrivano la stessa fisica indipendentemente da una fase arbitraria:

• La Lagrangiana di QED per un elettrone libero

(da cui )ci assicura che ciò valga.

• La famiglia di trasformazioni di fase U() = eiforma un gruppo unitario Abeliano U(1). La simmetria sottostante delle funzioni d’onda fisicamente implica la presenza di una quantità non misurabile. Possiamo quindi “fissarla”: una volta deciso il valore di , esso vale in tutto lo spazio.

GLOBAL GAUGE INVARIANCE.• Va notato che sarebbe ancora meglio per la teoria se potesse variare da

punto a punto senza cambiare la fisica: =(x).

)()( xex i

mi L

(1.1)

(1.2) 0)(

mi

Page 9: Fisica Subnucleare di Gauge

• Se vogliamo invarianza di gauge locale, ci serve che L rimanga la stessa per

• Questo non funziona, perché la derivata di (x) compare nella trasformazione.Possiamo imporre la “non fisicità” della fase arbitraria indipendentemente in tutto lo spazio solo se modifichiamo il modo in cui deriviamo il campo, introducendo la derivata covariante

ove A trasforma secondo

• La proprietà del campo A garantisce che L è ora invariante di gauge locale (esempio 1)– Abbiamo avuto bisogno di A per “compensare” le differenze di fase da punto

a punto. Dato che possiamo pensare di dover compensare la fase a distanze arbitrarie, il campo A ha range infinito! Inoltre esso non può avere un termine di massa nella Lagrangiana, per non rompere di nuovo la invarianza di gauge locale.

Discuteremo in dettaglio queste proprietà e le implicazioni fra alcune settimane.

• L’invarianza di gauge locale implica che i nostri fermioni interagiscano, con intensità proporzionale al quadrato della carica elettrica. La Quantum Electrodynamics si basa dunque su una invarianza di gauge U(1) locale.

ieAD

AA

)()( )( xex xie (1.3)

(1.4)(1.5)

Page 10: Fisica Subnucleare di Gauge

La QED è quindi il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge, basata sul gruppo abeliano U(1).La QED descrive l’interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks, la cui equazione del moto “libera” è data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico A.

matrici di Dirac:

0

0

k

kk

10

010

01

101

0

02 i

i

10

013[ k matrici di Pauli: ]

L’equazione del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. è

0])([

meAi

dove A = ( , A) è il quadri-potenziale del campo e.m. :

t

AE

AB

(1.6)

(1.7)

Page 11: Fisica Subnucleare di Gauge

Generalità sullo scattering• Lo scattering di elettroni da una regione di carica elettrica è un

metodo di indagine della sua struttura interna– si può rivelare sia l’angolo di scattering che l’energia finale dell’elettrone

esprimibili in funzione del quadrimomento trasferito, q– si esprime la sezione d’urto di scattering , differenziale nell’angolo

solido d, in relazione alla sezione d’urto per lo scattering da una sorgente puntiforme di carica

• Il rapporto fra le due fornisce informazioni sulla distribuzione incognita di carica, espresse in funzione del quadrimomento trasferito q funzione di struttura

• Vedremo in maniera formale come si calcolano le funzioni di struttura per gli adroni, e scopriremo che lo scattering ad alta energia (“deep inelastic”) ci permette di descrivere gli adroni in termini dei loro costituenti

• La descrizione estesa del calcolo è utile in quanto il DIS è a tutt’oggi utilizzato in esperimenti di alta energia (PDF, fisica dei neutrini, fisica elettrodebole di precisione...)

Page 12: Fisica Subnucleare di Gauge

Concetti di base per lo scattering di elettroni

Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichipuntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e-- e-, e-q e-q.

Per illustrare la tecnologia di indagine, calcoleremo lo scatteringelettrone-muone, che ne è l’archetipo anche se non si misura direttamente!

Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, l’ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (Ef,pf) ) è data da:

xdxxVxiTifif

4)()()( (1.9)

dove V(x) è il potenziale che perturba l’Hamiltoniana di particellalibera Ho : H = H0 + Ve si è introdotto lo spinore coniugato 0

(la quantità è definita positiva e ha il significato di una densità di probabilità)

0

Page 13: Fisica Subnucleare di Gauge

)()( xVAemi

In QED, per la quale l’eq. del moto è:

(1.6)

il potenziale è: AexV )(

ossia:

xdxAxji

xdxxAxieTifif

4

4

)()(

)()()(

)()()( xxexj if

dove si è introdotta la “corrente elettromagnetica”:

(1.10)

(1.11)

i(x) f (x)

e- e-

A(x)

Page 14: Fisica Subnucleare di Gauge

Che abbia il significato fisico di densitàdi 4-corrente j= (,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di continuità , come si può verificare dall’eq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato (esempio 2)

)()()( xxexj if 0

j

Nello scattering elettrone-muone, possiamo considerare il campo A

come il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del muone: la sorgente del campo è la corrente e.m. del muone:

)()()( xxexjmuonmuon

muon

i(x) f (x)e- e-

A(x)

muon(x)

k k’

p p’

4-impulsoiniziale dell’elettrone

4-impulsoiniziale del muone 4-impulso finale

Vediamo come si esprime il propagatore del campo A.

Page 15: Fisica Subnucleare di Gauge

La relazione tra il campo e la sua sorgente jmuon è datadall’ eq. di Maxwell, espressa nella gauge di Lorentz

0

A

)()(2

2

2 xjAt

muon

(1.12) (c = 1)

Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jmuon la soluzione del campo muon che viene dalla eq. libera di Dirac:

ipx

muonmuonepux )()( )( xpEtxppx

ossia: xppi

muonmuonmuonmuon

muon

epupuexxexj )'()()'()()()(

= q (4-momentotrasferito nel processo)Nota: la conservazione del 4-impulso, k+ p = k’+p’

implica che vale q = p’-p = k-k’

Page 16: Fisica Subnucleare di Gauge

Da tale soluzione libera, si vede che )()( 2

2

2

2 xjqjt

muonmuon

)()(

22

2

2 xjq

xj

tmuon

muon

e confrontando con (1.12) si trova 2/)()( qxjxAmuon

L’ampiezza di transizione, al primo ordine perturbativo, è allora:

xdq

xjxjixdxAxjiT

muon

if

4

2

4 )()()()(

Questa esprime il campo elettromagnetico in termini della sua sorgente,la densità di quadricorrente del muone.

xppi

muonmuonmuonmuon

muon

epupuexxexj )'()()'()()()(

Page 17: Fisica Subnucleare di Gauge

Esprimendo anche la corrente dell’elettrone in termini di soluzione dell’equazione di particella libera di Dirac:

ikxe ekux )()(

)()()( xxexj

si ha:

if

muonmuonee

xppi

muonmuon

xkki

ee

muon

if

Mpkpki

pupuq

kukupkpkie

xdepupueq

ekukuei

xdq

xjxjiT

)''()2(

)()'(1

)()'()''()2(

)()'(1

)()'(

)()(

44

2

442

4)'(

2

)'(

4

2

dove si è definito l’ elemento di matrice di transizione:

)]()'()][()'([2

2

pupukukuq

eM

muonmuoneeif

(1.13)

Page 18: Fisica Subnucleare di Gauge

Il calcolo dell’elemento di matrice nel caso di proiettili senza polarizzazione netta comporta prendere il modulo quadro, mediato sugli spin iniziali, e sommata sugli spin finali (se questi non vengono osservati):

I tensori della corrente di elettrone e muone sono

Per la corrente dell’elettrone, che si riduce usando le proprietà delle matrici gamma, dobbiamo allora calcolare

per la quale ci servono le relazioni di completezza degli spinori. Con brevi calcoli (esempio 3) si trova

muonespin

BA

LLq

eM

ssM

4

422

)12)(12(

1

*

*

)]()'([)]()'([2

1

)]()'([)]()'([2

1

pupupupuL

kukukukuL

spinmuon

spinee

)'()()()'(2

1 )'()()(

'

)'(

kukukukuLs

s

ss

s

s

e

)()'(2

1

)()()'()'(2

1 )()(

'

)'()'(

mkmkTr

kukukukuLs

ss

s

ss

e

Page 19: Fisica Subnucleare di Gauge

Quindi ci serve calcolare la traccia del prodotto di quattro matrici. Poiché la traccia di elementi con un numero dispari di matrici gamma è nulla, rimangono solo due termini:

e con i teoremi di traccia si trova (esempio 4):

Lo stesso calcolo, per il tensore della corrente muonica, fornisce la analoga espressione

Inserendo nell’elemento di matrice, e trascurando i termini proporzionali alla massa dell’elettrone, si ottiene (esempio 5):

]')')('())(''[(8 2

4

42

kkMpkpkpkpkq

eM

][2

1][

2

1 2 TrmkkTrLe

])'(''[2 2

gmkkkkkkLe

])'(''[2 2

gMppppppL

muon

Page 20: Fisica Subnucleare di Gauge

Per procedere dobbiamo scegliere un sistema di riferimento. Risulta comodo quello “del laboratorio” (difficile con muoni!), in cui il “bersaglio” è a riposo.

Con alcuni calcoli (esempio 6) si trova l’espressione:

Raccogliendo un furbo fattore 2M2EE’ e tenendo conto che

q2 = -2k*k’ ~ -2EE’(1-cos) = -4 EE’ sin2/2,

e che l’energia del fotone è = E-E’ = -q2/2M, si ottiene infine (esempio 7)

]2

1'2)'(

2

1[

8 2222

4

42

qMMEEEEMqq

eM

2sin

22cos'2

8 2

2

2

22

4

42

M

qEEM

q

eM

k = (E,k)

k’ = (E’,k’)

q=(,q)

p = (M,0)

p’ = (E’,p’)

Page 21: Fisica Subnucleare di Gauge

• Abbiamo ottenuto l’elemento di matrice dell’interazione e.m. fra un elettrone e un muone (o un altro fermione puntiforme di massa M), mediato sugli stati di spin

• Da questa espressione si ricava la sezione d’urto per lo scattering, che è la quantità osservabile sperimentalmente, espressa in funzione dell’unica grandezza indipendente, l’angolo di scattering .

• Bisogna far attenzione alla normalizzazione delle funzioni d’onda, e esprimere il tutto in forma covariante per trasformazioni di Lorentz

• Vediamo allora come sono normalizzate le funzioni d’onda nei casi non relativistico (Schroedinger) e relativistico (Klein-Gordon).

Page 22: Fisica Subnucleare di Gauge

• Schroedinger:

l’eq. di continuità per un flusso di particelle si scrive

, e con

si trova che che segue da

che segue (esercizio 1.6) da

• Klein-Gordon:

sommando l’equazione moltiplicata per –i* alla coniugata moltiplicata per -i, la stessa eq. di continuità, e la stessa equazione di particella libera di energia E e impulso p, portano alle espressioni

0

jt

iEtxpiNe

2

2

Nm

pj

N

2

)(2

** m

ij

02

1 2

mti

22

2

2

mt

2

2

2

2

Npj

NE

Che sia proporzionale a E dipende dalla contrazionerelativistica del volume d3x d3x (1-v2)0.5 che obbligala densità di probabilità a bilanciare la diminuzione

Page 23: Fisica Subnucleare di Gauge

Dunque possiamo normalizzarci a 2E particelle in un volume V, e questo manterrà la covarianza. Da =2EN2 si trova quindi

Riprendiamo allora l’ampiezza di transizione espressa in funzione dell’elemento di matrice:

e normalizzando come deciso, e prendendo la frequenza di transizione per unità di volume

tenendo conto di

Si ottiene

EdVV

2V

N1

)()2( 44

BADCfippppiMT

tV

TW fi

fi

2

tVpppp

pdepppp

pppp

BADC

ppppi

BADC

BADC

BADC

)()2(

)2()()2(

)]()2[(

44

4

4)(

48

244

2

4

4

4 )()2( M

V

ppppW BADC

fi

Page 24: Fisica Subnucleare di Gauge

La sezione d’urto si calcola dalla frequenza di transizione per unità di volume Wfi moltiplicandola per il numero di stati finali disponibili e dividendo per il flusso iniziale di particelle. ha il significato di “area efficace” ove l’interazione ha luogo.

Il numero di stati finali disponibili (C,D) per elemento di impulso d3p è Vd3p/(2)3 , ma noi abbiamo 2E particelle per unità di volume quindi gli stati finali per ciascuna particella sono Vd3p/[2E(2)3]

Per il flusso incidente si prende il numero di particelle incidenti (A) per unità di area e tempo, |vA|2EA/V , e lo si moltiplica per il numero di bersagli per unità di volume, 2EB/V

Si trova quindi l’espressione infinitesima della sezione d’urto:

DC

DC

BADC

BAAEE

pdpdpppp

V

M

EEv

Vd

4)(

)2(2

33

4

22

22

Il volume arbitrario con cui abbiamo fatto i conti sparisce, come deve.

Page 25: Fisica Subnucleare di Gauge

Facendo i conti nel sistema del laboratorio si trova, con semplici calcoli (esempio 8):

'4

''')'(

44

1

0

3

4

2

2

p

pdddEEpqp

M

MEd

Finalmente possiamo inserire l’elemento di matrice calcolato in precedenza. Tenendo conto di alcune proprietà della delta di Dirac,in particolare che

M

q

MM

q

M

qp

MqqpMqp

22

1

22

1)2())((

22

222 e che

si trova l’espressione

M

q

M

q

q

E

ddE

d

22sin

22cos

)'2(

'

2

2

2

2

4

2

2222

0

4

0

34

0

3

)(')'()'('')'('2

'MqpMpppqpdppdpqp

p

pd

Page 26: Fisica Subnucleare di Gauge

Possiamo anche integrare in dE’ e usare ancora le proprietà della delta di Dirac, esprimendo:

)/'(2

1

2

)cos1('2'

2

2

AEEMAM

EEEE

M

q

ove si è espresso con A il fattore di rinculo 2

sin2

1 2 M

EA

per ottenere la formula di Mott:

)2/(sin2

)2/(cos)2/(sin4

)/'(

)2/(sin2

)2/(cos)/'('4

2

2

2

2

42

2

2

2

2

2

4

22

M

q

E

EE

M

q

q

EEE

d

d

La formula di Mott esprime nel laboratorio la sezione d’urto di scatteringdi elettroni da fermioni puntiformi massivi. Si può verificare (vedi H.M. es.6.8) che l’aver assunto spin ½ per il bersaglio porta al fattore sin2(/2) (scattering dal momento magnetico del bersaglio)

Page 27: Fisica Subnucleare di Gauge

E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,la sezione d’ urto è solo funzione dell’angolo di scattering , essendo

detto “fattore di rinculo” (esempio 9))]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE

Infine, è utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in formaLorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:

pkkppkpku

qkkt

pkkppkpks

'2'2)'()'(

)'(

''22)''()(

22

22

22

k

p p’

k’

kk’

pe quark

2

22

4

22

2

4

4

42

244

2

)]')('())(''[(8

t

use

us

t

e

kppkkppkq

eM

if

Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezzadi transizione (trascurando la massa del muone):

Page 28: Fisica Subnucleare di Gauge

La possibilità di “crossing” dell’elemento di matrice usando le variabili di Mandelstam è conveniente, e permette di ottenere subito dall’espressione precedente (non verificabile sperimentalmente!) l’elemento di matrice per la produzione di coppie di muoni da scattering e+e-

– Lo scambio necessario è k’-p, cioè st:

Otteniamo così la previsione della sezione d’urto:

che integrata in d e d dà

)cos1(4

)]cos1(2

1[2

64

1

64

1

2

2

24

2

2

2

s

es

Mp

p

sd

d

i

f

CM

2

22

42

2s

uteM

if

see

3

4)(

2

Page 29: Fisica Subnucleare di Gauge

La costante di struttura fine

La costante fondamentale dell’interazione e.m.: 4/2e

detta “costante di struttura fine” si misura con grande precisione osservandola struttura fine dei livelli energetici atomici. E’ espressa in unità naturali nel sistema di unità di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a equazione di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) è espressa nella forma

(ossia 0=1 ; nel S.I. invece ), o equivalentemente lalegge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica è:

La costante è adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unitànaturali ] come rapporto tra una sezione d’ urto (dimensione: [] = m2)e l’inverso del quadrato di un’energia ([1/s] = J-2 ); queste quantitàsono tra loro omogenee, essendo [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’espressione di è

)1( c

E

0/ E

22 4/ reF

ce 02 4/

Page 30: Fisica Subnucleare di Gauge

Infatti: mJmNe

2

0

2

(dalla legge di Coulomb)

mJsmsJc 1

e quindi la combinazione è adimensionale.

Numericamente:

ce 02 4/

137

11073.0

10997.21005.11085.84

)106.1( 2

83412

219

Page 31: Fisica Subnucleare di Gauge

Lo scattering elastico elettrone-nucleone

Il processo di scattering elettromagnetico epep non è un processo point-like (come eq eq o e e)

La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio èdata dalla (1.16):

)2/(sin

2)2/(cos 2

2

22

M

q

d

d

d

d

Rutherford

va modificata. La corrente adronica diventa e- e-

k k’

p p’

protone

)()'( pupuej qqqquark

)()(2

)()'( 22

21 puqqF

M

ikqFpuej pp

hadr

(1.17)

con 2/)( i ed M è ora la massa del nucleone.

Page 32: Fisica Subnucleare di Gauge

Va notato che la corrente vettoriale dell’elettrone si scrive normalmente

ma questo equivale, per la decomposizione di Gordon della corrente (vedi HM esercizio 6.2), a

da cui si vede che la scrittura concisa dell’accoppiamento contiene già una parte che descrive lo scattering elettrico (come per una particella senza spin) e una che descrive l’interazione magnetica. Quest’ultima contribuisce solo quando k-k’ è grande, ovvero quando l’interazione è ad alto q2.

La parte che permette lo scattering dal momento magnetico del bersaglio, contenuta nella quadricorrente dell’elettrone, è quella dovuta allo spin dell’elettrone.

Quando scriviamo la corrente del sistema adronico, al termine corrispondente si va a sommare la parte “anomala” dovuta al momento magnetico anomalo dell’adrone.

)()'( kukueje

e

)()'()'()(2

)()'( kukkikkkum

ekukue

ee

(1.18)

Page 33: Fisica Subnucleare di Gauge

Si dimostra (esempio 10) che il termine entro parentesi nella corrente (1.17)

è il più generale 4-vettore che può essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q = k-k’ = p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jhadr deve essere conservata: , ossia qj = 0.

Le funzioni F1(q2), F2(q2) descrivono la struttura dell’adrone, e non siamo in grado di scriverle: esse devono essere determinate sperimentalmente, come verrà discusso in seguito.

Si noti anche che il fattore k che moltiplica F2(q2) è il momento magnetico anomalo del nucleone: misura la parte aggiuntiva del momentomagnetico del nucleone rispetto a quello di una particella point-like dispin ½ come l’elettrone.

Notiamo anche che per q20 il fotone virtuale ha lunghezza d’onda grandee il protone gli appare come una particella di carica +e e momento magnetico(1+k)e/2m . Deve anche aversi F1(0)=F2(0)=1.

0 j

)()(2

)()'( 22

21 puqqF

M

ikqFpuej pp

hadr

Page 34: Fisica Subnucleare di Gauge

xdxAxjTif

4)()(

In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) trauna corrente e il 4-potenziale:

si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Ciò discende dalladecomposizione di Gordon della corrente

)()'()'()'(2

)()'( puppipppuM

epupuej ifif (1.18)

(1.10)

e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) dà, nel limite nonrelativistico:

xdB

M

exdAppi

M

eifif

3)2()2(4

2)'(

2

dove (2) è uno spinore bidimensionale, sono le matrici diPauli; il termine a destra dà l’interazione B di una particella di momentomagnetico =e/2M col campo magnetico B

),,( 321

[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

Page 35: Fisica Subnucleare di Gauge

)2/(tan)()()2/(cos

)2/(sin)(2

)2/(cos4

2222

.

22212

222

22

222

1.

qBqAd

d

kFFM

qF

M

qkF

d

d

d

d

Ruth

Ruth

(1.19)

hadrelettr

ifj

qjM

2

1 (ricordiamo che: ))]()'([ kukuej eeelettr

la sezione d’urto che si ottiene è data dalla “formula di Rosenbluth”:

Se si inserisce jhadr nell’ elemento di matrice (1.13):

)()(2

)()'( 22

21 puqqF

M

ikqFpuej pp

hadr

Riscriviamo la forma più generale della corrente adronica:

Per piccoli q2, non riusciamo a vedere struttura nel protone: ci apparecome una carica puntiforme +e con momento magnetico 2.79e/2M.

Page 36: Fisica Subnucleare di Gauge

La formula di Rosenbluth può essere riscritta come segue (per casa) :

)2/(tan

24/14)2/(cos

' 22

2

2

22

2

2

2

2

2

.

M

ME

Ruth

GM

q

Mq

GMq

G

E

E

d

d

d

d(1.19’)

)(4

)()(

)()()(

222

22

12

22

21

2

qFM

kqqFqG

qkFqFqG

E

M

che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magneticoed elettrico del nucleone. Non sono interpretabili direttamente cometrasformate di Fourier delle distribuzioni di carica e momento magnetico,perché il bersaglio non è più statico; tuttavia ne sono vicini parenti.

L’introduzione di GE e GM ci permette di “disaccoppiare” F1 e F2 nellaformula di Rosenbluth: spariscono i termini di interferenza F1F2.

(1.20)

E’ utile introdurre le combinazioni lineari:

Page 37: Fisica Subnucleare di Gauge

Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, ilmomento trasferito è determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:

)2/(sin'4)'( 222 EEkkq

Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:

)2/(cos

'/ 2

.

E

E

d

d

d

d

Ruth

)2/(tan2

[Perkins, fig.6.4]

la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).

e-

E

E’

M

Page 38: Fisica Subnucleare di Gauge

Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi è possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:

epepededenen d

d

d

d

d

d

e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone, nonostantealcuni problemi con la struttura nucleare del deuterio.GE,M

p,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]

[Burkham-Jobes, Fig.12.8]

GMp

GEp

GMn/(1.91)

GEn

1.0

2.0

2.79

Page 39: Fisica Subnucleare di Gauge

Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:

0)(

)()(

)/1(

1)(

2

22

2222

qG

qGqG

mqqG

nE

n

nM

p

pMp

E

dove il fit ai dati sperimentali dà: m2 = 0.71 GeV2

e le quantità:)0( 2 qG p

Mp )0( 2 qGnMn

misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:

NNp m

e

279.279.2

Nn 91.1

1141015.32

JMevm

e

NN

è il ‘magnetone nucleare’, momentomagnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il

“magnetone di Bohr” vale: 1111079.518362

JMevmm

eN

eB

(1.21)

(1.22)

Page 40: Fisica Subnucleare di Gauge

Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magneticodel nucleone, sono cioè in relazione con la sua distribuzione di densità di carica elettrica e di momento magnetico. Osserviamo infatti che dalla (1.20):

)()( 210

22 qFqG

qE

e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2 0 :

)()2/(cos 222 qGd

d

d

dE

Mottepep

(1.23)

xdxAxjTif4)()(

a bassi q2( basse velocità), l’elettrone ‘vede’ solo il potenzialeelettrostatico (la parte magnetica è trascurabile), ossia nell’ ampiezzadi scattering

possiamo porre con)0),(( xA )(),()( rtrx

)(4

)()(

)()()(

222

22

12

22

21

2

qFM

kqqFqG

qkFqFqG

E

M

Page 41: Fisica Subnucleare di Gauge

rdredtekukue

xdxekukuexdxxjT

rkkitEEi

xkkiif

3)'()'(

0

4)'(0

40

)()()'(

)()()'()()(

(x) elettrostatico,non dipende dal tempo

)'(2 EE

rdreEEkukueT rqiif

3

0 )()'(2)()'(

Utilizzando l’ integrazione per parti:

rderrderde rqirqirqi 323232 )(

rderq rqi 32 )( 0

rqie

e l’ eq. di Poisson per il potenziale: )(2 r ( è la densità

di carica elettrica)

kkq

'

dove:

Page 42: Fisica Subnucleare di Gauge

rderq

rder rqirqi

3

2

3 )(1

)(

Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:

if

rqiif MEErderEE

q

kukueT )'(2)()'(2

)()'( 3

20

con: rderq

kukueM rqi

if

3

20 )(

)()'(

Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:

dE

dppM

d

dif 4

22

2)2(

1

si ottiene:232

.

)()2/(cos

rdere

d

d

d

d rqi

Ruthepep

(1.24)

Page 43: Fisica Subnucleare di Gauge

e confrontando con (1.23) si vede che rdereqG rqiE

32 )()(

ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) è la trasformata di Fourierdella densità di carica elettrica e(r) del nucleone.

Sperimentalmente, si trova che i dati sperimentali sui fattori di formasono ben descritti da una formula di dipolo:

2222

)/1(

1)(

mqqG p

E

Con m2=0.71 GeV2; questo risultato può essere direttamente messo inrelazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:

(la costante di normalizzazione è A = m3/8, imponendo )

mrAerr )()(

(1.25)

Dalla (1.25) si ha:

0 0

2cos32 sin)(2)()(r

iqrrqi

EddrrerrdereqG

drdr 2sin2

-dcos

14)( 2drrr

Page 44: Fisica Subnucleare di Gauge

0

2

0

21

10

22

)(2

)(2)(2)(

r

iqriqr

r

iqr

iqr

ziqrx

r

E

driqr

eerr

drdzeiqr

rrdrdxerrqG

In definitiva, inserendo si ottiene:mrAer )(

222222222

0

)(

0

)(2

)/1(

1

)(

42

)(

1

)(

12

2)(

mqqim

iqm

iq

A

iqmiqmiq

A

rdrerdreiq

AqG

r

riqm

r

riqmE

dove per brevità negli integrali si è sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;nell’ espressione

2222

)/1(

1)(

mqqG p

E

con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito

q=(k’-k): q2 -2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.

qq

x

coscon:

8/3mA

Page 45: Fisica Subnucleare di Gauge

Il valore m2=0.71 GeV2 è quindi legato al “raggio” R della distribuzionedi carica: Rrmr AeAer /)(

fmGeVm

R 235.071.0

112

(vedi esercizio 1.5)

Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico delprotone è dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.Più precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzionedi carica è:

24

3

43

222

12

2

48

4)(

mdrre

m

drrem

drrrrr

mr

mr

fmm

rrrms 80.0122

SLAC,Hofstadter et al.

=(4!) / m5

Page 46: Fisica Subnucleare di Gauge

Sommario delle sezioni d’urto• Abbiamo fin qui visto cosa succede nello scattering elastico di un

elettrone (o altro fermione carico) da un altro fermione a riposo nel laboratorio

• Riepiloghiamo brevemente le caratteristiche principali previste dal modello (QED, approssimazione single-photon exchange):

– scattering da fermione puntiforme (e-m-): formula di Mott

(notare il comportamento per q20 e che il secondo termine è assente per bersagli statici spinless)

– scattering da fermione con struttura (e-p) - carica e momento magnetico anomalo: formula di Rosenbluth

)2/(tan

24/14)2/(cos

' 22

2

2

22

2

2

2

2

2

.

M

ME

Ruth

GM

q

Mq

GMq

G

E

E

d

d

d

d

)2/(sin

2)2/(cos

)2/(sin4

)/'( 2

2

2

2

42

2

M

q

E

EE

d

d

Page 47: Fisica Subnucleare di Gauge

Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford

LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione aStanford (California) a metà degli anni ’50:

Spettrometro supiattaforma rotante

contatore dielettroni

[R.Taylor, J.Friedman, W.Kendall, Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys. 63 (1991),573 ]

Page 48: Fisica Subnucleare di Gauge

Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)

Alla fine degli anni ’60, entra in funzione l’acceleratore lineare (lungo 2 miglia)con Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 è notevolmente esteso rispetto al passato - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale)

Furono realizzati3 spettrometridedicati per elettroni da 1.6,8 e 20 GeV

Page 49: Fisica Subnucleare di Gauge

Gli esperimenti a SLAC

Spettrometri a piccolaaccettanza angolare (d 1 msterad)posizionabili a diversiangoli di diffusione(1,5 - 250 per E=20 GeV)

Page 50: Fisica Subnucleare di Gauge

separatore e/

1GeV2

Esperimenti precedenti:

Page 51: Fisica Subnucleare di Gauge

Spettrometro da 20 GeV

Primo uso massicciodi computer nelcontrollo on-line…

Page 52: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 1.1: variabile s di Mandelstam

2222

22222

4)cos(2

)(22)(

CM

qeqeqeqeqeqe

Eppp

ppEEmmpppppps

e-e-

pepe’

pq

pq’

per me, mq << E

essendo ECM=2p

In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)

mEs e2 mEE eCM 2Ad esempio, negli esperimenti a SLAC:

Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM 6 GeV

Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece: ECM = 2 Ebeam

(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.98 TeV );

con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV ECM 320 GeV )

212 EEECM

Page 53: Fisica Subnucleare di Gauge

)2/(sin'4)'( 222 EEkkq

Esercizio 1.2: momento trasferito e angolo di scattering

Dimostrare che:

e-E’

ME

)2/(sin'4)cos1('2

'2')'(2

2222

EEEE

kkkkkkq

angolo di scatteringnel laboratorio )2/(sin)cos1(

2

1 2

Si ha:

Page 54: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 1.3: formula di Mott

2/sin

22/cos'2]')')('())(''[( 2

2

2222

M

qEEMkkmkppkkppkA q

Dimostrare che:

Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’ = p+q = p+k-k’ , si ha:

2'2)'(

2

2))('(2)'(

2

2]

2)['()]('

2[

2]')['()]('''[

')]'()['())]('('[

222

2

22

2

22

22

2222

2

qMEEMEEM

q

qMkppkpkkp

q

qMkp

qpkkppk

q

qMkpkkkpkkppkkkk

kkMpkkkpkkppkkk

0 0

[ q2=(k-k’)2 -2kk’ ]

Nel laboratorio:p=( M, 0)k=( E , k)k’=(E’, k’)

Page 55: Fisica Subnucleare di Gauge

2/sin12/sin2

'2

'41

'22

)'('2

2'2)'(

2

222

22

2

2

22

222

2

M

qEEM

EE

q

EEM

EEMqEEM

qMEEMEEM

qA

Allora:

)2/(sin'4 22 EEq [es. 1.2]

2/sin'2

)'( 2

EE

EEMMEEpkkqp

EEq

)'(2)'(22

)2/(sin'4 22

'ppq 0'2 222 pkppq kpq 22 [si osservi:

0

]In definitiva:

2/sin

22/cos'2 2

2

222

M

qEEMA

Page 56: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p

Dimostrare:)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE

MEEpkkqp

EEq

)'(2)'(22

)2/(sin'4 22

Abbiamo visto che [es. 1.3]:

2/sin'2

)'( 2

EE

EEM

Allora:2/sin

'2' 2

M

EEEE 2/sin

21

'2

M

E

E

E

2/sin2

1

1'

2 MEE

E

Esperimento a SLAC:

E= 401 MeV, =75o

M=939 MeV(targhetta di idrogeno) E’ = 305 MeV[Hofstadter e collab.,

1956]

Page 57: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 1.5: raggio del nucleone

Ricordiamo che in “unità naturali”:

1/103

11005,18

34

smc

sJ

sm

Js8

134

1033,01

1095,01

inoltre: JGeV 10106,11 1101 106,11 GeVJ1103488 106,11095,01033,01033,01 GeVsmPertanto:

1151007.51 GeVm

mGeV 151 1007,5

1 fmGeV 197.01

Allora: fmGeVGeVm

R 235.071.0

1

71.0

11 1

2

fmm

rrrms 80.0122 Come già discusso:

[Nota: un altro utile fattore di conversione è il seguente: infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]

mbGeV 388.02

Page 58: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 1.6

Calcolare la densità di corrente nel caso non relativistico dell’eq. di Schroedinger

L’equazione di Schroedinger e la sua coniugata si scrivono

02

1 2

mti 0

2

1 *2

*

mt

i

02

1

02

1

*2

*

2*

mtii

mtiiMoltiplicandole

opportunamente e sommando:

02

022

*22*

2***2

*

m

i

t

m

i

tm

i

t

)(2

** m

ij

e quindi da 0

jt

si trova

Page 59: Fisica Subnucleare di Gauge

Parte I Capitolo 2Dal Deep Inelastic Scattering

al modello a Quark

Sommario:

• Scattering inelastico eN• Bjorken scaling• Relazioni di Callan-Gross• Modello a quark del nucleone

Page 60: Fisica Subnucleare di Gauge

Deep Inelastic ScatteringNel processo di diffusione fortemente inelastico (“DIS”) eNeX il sistema adronico X nello stato finale non è più il nucleone, che viene distrutto dall’urto; il sistema ha una massa invariante arbitraria W2=(P+q)2

(nello scattering elastico era W2=MN2 )

dove P è il 4-momento iniziale del nucleone (nel laboratorio: P = (MN,0) ) eq=(k’-k) è il 4-momento trasferito nell’urto con l’elettrone.

e- e-k

k’

P=(MN,0)

nucleoneX

q=k’-k

L’energia del sistema adronico finale ed ilmomento trasferito:

22 )'(

'

kkq

M

qPEEE

Nadr

(2.1)

sono ora variabili cinematiche indipendenti.[Nota: l’invariante Pq calcolato nel sistema del laboratorio dà: ])'(0 EEMqMqP NN

Page 61: Fisica Subnucleare di Gauge

Infatti: qPqPqPW 2)( 2222

)(2

1)(

2

1 222222 qMWqPWMqP NN

In definitiva:2222 qMWM NN (2.2)

dove la massa invariante W può essere arbitraria(nella diffusione elastica era invece fissa: W2 = MN

2 da cui )22 qM N

Da un punto divista puramente fenomenologico, si può ottenere la sezioned’urto di diffusione in maniera analoga a quanto fatto per la sezione d’urtoelastica, modificando la corrente adronica nell’ampiezza di scattering rispetto all’ampiezza point-like; le funzioni che sostituiscono i fattori di formaelastici F1(q2) e F2(q2) sono ora funzioni, a priori, delle due variabili cinematiche indipendenti q2 e.

Page 62: Fisica Subnucleare di Gauge

La sezione d’urto di scattering va ora scritta in forma doppio differenziale:

)2/(sin)(2

)2/(cos4

22212

222

22

222

1.

kFF

M

qF

M

qkF

d

d

d

d

RutheNeN

Scattering elastico[eq. (1.19)]

Scattering inelastico:

)2/(sin),(2)2/(cos),('

221

222

.

qWqW

d

d

ddE

d

RutheXeN

(2.3)

4

22

422

22

42

2

.

'4

)2/(sin'4

'

)2/(sin4 q

E

EE

E

Ed

d

Ruth

[ricordiamo, eq. (1.16):

)2/(sin'4 22 EEq ]

Le “funzioni di struttura inelastiche” W1(q2,) e W1(q2,) vannodeterminate sperimentalmente.

Page 63: Fisica Subnucleare di Gauge

• Per comprendere la differenza e le caratteristiche cinematiche del processo di scattering elastico e inelastico è utile costruire un diagramma ove in ascissa c’è la variabile 2M e in ordinata il Q2 dello scattering.

Fermiamoci un attimo a ragionare su cosa stiamo descrivendo. Nello scattering eP, all’aumentare del Q2 la sezione d’urto elastica decresce,come visto dalla formula di Rosenbluth. Invece vi è una sempre maggiorprobabilità di rompere il protone.

Per Q2 intermedi lo stato finale comprenderà una “eccitazione barionica”, che può decadere in protone-pione. Per Q2 ancora maggiori la QCD cipresenta uno stato finale molto complicato, che non si può descriverecon facilità.

Questo sistema adronico non si misura: si rivela solo l’elettrone, il suoangolo, e la sua energia, oltre alla frequenza del processo.

La variabile indipendente = -Q2/2M non è più unica in quanto la massa invariante del sistema adronico è anch’essa variabile. Usando x = Q2/2m sidescrive il processo elastico a x=1, inelastico per x<1.

Page 64: Fisica Subnucleare di Gauge

2M

Q2x=1, W=M

x=0.5

W=M’

W=M’’

DIS:Q2, grandi

Zona cinematicamente inaccessibile

W’’2-M2

Page 65: Fisica Subnucleare di Gauge

• Hoftstadter et al., scattering di elettroni da nuclei di 4He. A 45° si osserva un picco elastico (corrispondente a x=1), e un bump meno definito a x=0.25, che corrisponde allo scattering dai nucleoni. Il bump non è stretto per via del moto di Fermi dei nucleoni nel nucleo di elio.

• A maggior angolo di scattering (60°), il quadrimomento trasferito è maggiore, e si osserva una riduzione della parte elastica, dovuta alla diminuzione col Q2 del fattore di forma; lo scattering inelastico invece “scala”.

Page 66: Fisica Subnucleare di Gauge

66

(2.4)

Vediamo ora a quale predizione porta per le funzioni di struttura l’ “ipotesi partonica” sulla struttura del nucleone, ossia la supposizione che il processo di diffusione inelastica eN eX risulti dalla sovrapposizione incoerente delle sezioni d’urto di processi di scattering elastico ‘point-like’ su singoli partoni, oggetti ‘puntiformi’ (come l’ elettrone) di spin ½ e carica elettrica frazionaria, che identificheremo successivamente con i quarks.

)2/(sin2

)2/(cos)/'('4 2

2

22

4

222

m

q

q

EEEe

d

d q

eqeq

(1.16’)

può essere riscritta ( ) :''dE

dEd

d

d

d

m

q

m

q

q

EEEe

dEd

d q

eqeq 2)2/(sin

2)2/(cos

)/'('4

'

22

2

22

4

222

La funzione in (2.4) esprime il fatto che E’ deve essere tale da soddisfare larelazione di elasticità : , dove ora però con pq momento del partone e m massa del partone (vedi prossima slide).Il fotone deve avere il giusto q2 per interagire con il quark!

mq 2/2 mqpq /

La sezione d’urto di Mott (1.16’) per lo scattering elastico elettromagnetico eq eq :

Page 67: Fisica Subnucleare di Gauge

Il partone i-esimo all’interno del nucleone porta una frazione x del momentototale: pq = xP; valgono le relazioni:

mq2 = x2P2 = x2MN

2, ossia mq = xMN e quindi = pqq/mq = xPq/ xM = Pq/M

ossia la variabile = pqq/mq che entra nell’ espressione dello scattering Mott elettrone-quark è la stessa variabile = E-E’ che compare nella cinematica dello scattering del nucleone.

La conservazione del momento impone inoltre:

dove fi(x) sono le funzioni di densità partoniche (“PDF”) che danno ladensità di probabilità di trovare il partone i-esimo con momento frazionario xall’ interno del nucleone. Non stiamo sommando ampiezze: questa è unasomma incoerente! (lo scattering elastico è azione coerente dei partoni!)

1)( xdxxfi

i

Se si confronta l’espressione della sezione d’urto inelastica (2.3) con (2.4),si vede che ponendo:

(2.5)

i eqeqeXeN iidEd

d

dEd

d

''

deve essere:

Page 68: Fisica Subnucleare di Gauge

iii

i Mqx

ii

ii

ii

ii

xxfev

xq

Me

xf

dxMx

qe

xfdx

m

qexfqW

)(12)(

)2

1()(

)2

()(),(

2

2/

22

2

22

222

2

2

(z)=(z)/= g(x)

|)('|

)()]([)(

xg

xfdxxgxf

e analogamente:

i

ii

i Mqx

ii

i

ii

M

xfex

q

M

xM

qexf

dxMx

q

xM

qexfqW

)(2

2)(

)2

(2

)(),(2

2

2/

2222

22

2

22

222

1

2

Page 69: Fisica Subnucleare di Gauge

In definitiva:

)()(),(

)(2

)(),(

222

2

122

1

xFxxfeqW

xFxf

eqMW

iii

i

ii

(2.6)

ossia l’ipotesi che il DIS eN eX sia la sovrapposizione incoerente

di scattering elastici eq eq su oggetti puntiformi di spin ½ porta a prevedere che le funzioni di struttura W1(q2,), W2(q2,) sianofunzioni dell’ unica variabile adimensionale x = -q2/2M, detta“variabile di Bjorken”:

Inoltre dalla (2.6) segue la relazione:

detta “relazione di Callan-Gross”, che è verificata sperimentalmente.La relazione verifica che i quarks sono fermioni di spin ½.

)(2)( 12 xxFxF (2.7)

“invarianza di scala” (o “Bjorken scaling”) delle funzioni di struttura

Page 70: Fisica Subnucleare di Gauge

E’ importante notare che mentre nello scattering elastico elettrone-protone avevamo usato dei fattori di forma GE e GM che dipendevano dal q2 del processo –una variabile con dimensione e scala fissata dal valore empirico Q2 = 0.71 GeV2, ovvero una scala di massa che riflette la dimensione inversa della distribuzione di carica e momento magnetico del nucleone, ora ci troviamo invece con funzioni di struttura che dipendono da una variabile adimensionale x = -q2/2M.

E’ chiaro cosa questo significa: sono funzioni che descrivono oggetti puntiformi all’interno del protone.

Page 71: Fisica Subnucleare di Gauge

Possiamo comprendere appieno l’importanza del DIS e la relazione fra scattering elastico e inelastico, e lo scaling, ipotizzando di fare scattering elettrone-nucleo a valori sempre maggiori di Q2.

Man mano che si aumenta il Q2, si “vede” più in profondità nel nucleo, risolvendo i singoli N nucleoni, e poi all’interno di questi i nN partoni che li costituiscono. Il moto di Fermi diventa irrilevante quando l’energia della sonda diventa molto superiore.

Page 72: Fisica Subnucleare di Gauge

Gli esperimenti a SLAC hanno verificato l’invarianza di scala[Ann.Rev.Nucl.Sci. 22 (203) 1972]:

W2

x=q2/ 2M(E-E’) fissato

)2/(sin'4 22 EEq

e la validità della relazione di Callan-Gross:

2xF1/F2

x=-q2/ 2M

[da: Burcham-Jobes, Fig.12.15]

[da: Burcham-Jobes, Fig.12.18]

Page 73: Fisica Subnucleare di Gauge

La relazione di Callan-Gross ha conseguenze interessanti sulla

espressione della sezione d’urto (2.3):

'2

11'4)2/(sin)2(

'4

)2/(sin),(2)2/(cos),('4

'

22

4

222

2124

22

221

2224

22

E

xyM

MxF

F

q

EWWW

q

E

qWqWq

E

ddE

d

eXeN

1-sin2/2

=F1/M =F2/ )(2)( 12 xxFxF

dove si è introdotta la “ variabile di inelasticità” :EE

EE

E

Ey adr

'

(2.8)

da cuiMy

E

MEy

EE

M

qx

2/sin'2

2

2/sin'4

2

222

'2

2/sin 2

E

Mxy

Nel CM invece, la relazione tra y e l’ angolo di scattering * è: 1 – y = (1/2)(1+cos*) [esercizio 2.1 ]

e si è usato

Page 74: Fisica Subnucleare di Gauge

In definitiva:

'22'1

'4

'21

'4

'2

11'4

'2

24

22

24

22

22

4

22

E

Mxyy

E

E

Ey

F

q

E

EE

MxEyEy

Ey

F

q

E

E

xyM

MxF

F

q

E

ddE

d

eXeN

E’ conveniente esprimere la sezione d’urto doppio-differenziale in funzionedelle variabili x ed y; utilizzando:

ydxdyE

EMddE

'2'

si ha:

'22'1

'4

2

' 22

4

22

E

Mxyy

E

E

Ey

F

q

E

ydxdyME

dE

eXeN

21

4

22

'4

'22'1

'4

2

24

2

2

24

22

24

2

yyF

q

s

E

Mxyy

E

EF

q

s

E

Mxyy

E

EF

E

E

q

s

dxdy

d

eXeN

= s (stiamoconsiderandoE>>M)

= 1-y

= 0 per E>>M

[esercizio 2.2]

Ey

Page 75: Fisica Subnucleare di Gauge

)()1(12

22

4

2

xFyq

s

dxdy

d

eXeN

Sviluppando: 22

)1(12

1

21 y

yy

si ottiene infine:(2.9)

dove, ricordiamo dalla (2.6): i

ii xxfexF )()( 22

La sezione d’urto di DIS elettromagnetico eNeX misura le densità partoniche f(x) all’ interno del nucleone. Dal modello statico a quark delnucleone sappiamo che possiamo descrivere p=(uud), n=(udd); tuttaviail modello rimane valido se aggiungiamo ai quarks di valenza una componentedel “mare”, quarks e antiquarks che elidano il loro contributo alle proprietàstatiche.

Se indichiamo con:

)()()(

)()()(

xdxuxq

xdxuxq

pp

pp

le densità di quark e di antiquark nel protone(up(x) e dp(x) sono le densità di quark di tipo “up”,con carica 2/3, e di tipo “down”, con carica -1/3)

(2.10)

si ha

Page 76: Fisica Subnucleare di Gauge

per il protone:

)()(9

1)()(

9

4

)()(3

1)()(

3

2)()(

222)(

2

xdxdxuxux

xdxdxuxuxxxfexF

pppp

ippppii

p

e per il neutrone, utilizzando l’ invarianza di isospin, per cui un(x)=dp(x) e dn(x)=up(x):

)()(9

1)()(

9

4

)()(9

1)()(

9

4)()(

2

xuxuxdxdx

xdxdxuxuxxF

pppp

nnnnn

Per il nucleone in un processo di scattering su una “targhetta isoscalare”, in cui:

npN ||2

1|

)()(9

5)()(

9

5

2

1

)()(2

1)( )(

2)(

22

xdxdxuxux

xFxFxF

pppp

np

Possiamo quindiprevedere che sei quarks di valenzadominano, il rapportofra F2 del neutronee F2 del protonedeve valere ¼;viceversa =1

Page 77: Fisica Subnucleare di Gauge

Il modello a partoni, con l’assegnazione di carica elettrica ai quark up e downderivata dal modello statico a quark degli adroni, predice quindi:

xxqxqxF )()(18

5)(2

xxqxqyq

s

dxdy

d

eXeN

)()(18

5)1(1

2 24

2

(2.9’)

Confronteremo questa predizione con quella che deriva dall’ analogo processodi diffusione da interazione debole N X (in cui non sono in gioco le cariche elettriche), per il quale viene predetto lo stesso andamento nelle variabili y e xma senza il fattore 5/18, che è una conseguenza delle assegnazioni dicarica ai quark.

Lo scattering elettromagnetico non permette di separare il contributo dei quark(di valenza) da quello degli antiquark (dal ‘mare’) dei processi di annichilazioneqq all’interno del nucleone; ciò come vedremo sarà possibile usando i neutrini al posto degli elettroni come ‘sonde’ per scandagliare la struttura subnucleare.

Per un bersaglio isoscalare abbiamo quindi

Page 78: Fisica Subnucleare di Gauge

Si osserva che a basso x dominano i quark del “mare”, e ad alto x dominano invece i quarks di valenza.

Page 79: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 2.1: la variabile di inelasticità

pk

pk

Em

Em

E

Ey

q

q'''

1

Dimostriamo la relazione: )cos1(2

11 * y

Si ha:

k=(E,k)

k’=(E’, k’)

-

d*

up

p’

( E, E’ si intendono misurate nel laboratorio, in cui p=(mq,0) e quindi pk’=mqE’ e pk = mqE )

)cos1(||

))cos(1(||'|'|||'*2

*2

p

pkpkppk

||2)cos1(|| 22 pppk

)cos1(2

1 *'

pk

pke quindi:

p

k’-

d

**

per la variabile di inelasticitàE

EEy

'

[ *: angolo di diffusione nel CM; nel laboratorio: ]

Allora:

2/sin'2 2

Mx

Ey

Page 80: Fisica Subnucleare di Gauge

Esempio 2.2: calcolo di dE’d

Dimostriamo la relazione: ydxdyE

EMddE

'2'

Ricordiamo:

E

E

E

EE

Ey

'1

'

EdydE '

cos2' dEdyddE

cos2sin2 ddd

Inoltre: )cos1)(2/1()2/(sin 2

cos)2/(sin2 2 dd )2/(sin4' 2 dEdyddE

Ricordiamo inoltre:My

E

MEy

EE

M

qx

2/sin'2

2

2/sin'4

2

222

Ad` un fissato y :My

dEdx

2/sin'2 2

e quindi: ydxdyE

EM

E

MydxEdyddE

'2

'24'

'22/sin 2

E

Mydxd

Page 81: Fisica Subnucleare di Gauge

Esercizio 2.3: relazioni tra variabili di Mandelstam

Ricordiamo le relazioni tra le variabili di Mandelstam:

pkkppkpku

qkkt

pkkppkpks

'2'2)'()'(

)'(

''22)''()(

22

22

22

k

pp’

k’

In funzione dell’ angolo di scattering nel CM:k

k’

p quark

)cos(2

)(22)(22

2

kk

pkEEkppks q

)cos1(2)cos''(2

'2)'(2

2

kkkEE

kkkkt)cos1(

2

st

)cos1(2))cos(1(2

'2)'(22

2

kk

kppku)cos1(

2

su

224 CMEks

p’