VEKTOR

M Alief Kurniadi Putra

1.E.C

Cara menggambar vektor

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah. Panjang anak panah menggambarkan nilai (besar) vektor, sedangkan arah anak panah menunujukkan arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua

huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya  atau seperti gambar di bawah ini.

A B

A→

AB→

B B

B A A

A B

Pangkal vektor ujung vektor

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif.Untuk menentukan panjang suatu vektor kita dapat menggambarkan vektor tersebut dalam koordinat kartesius seperti gambar di bawah.

y

a R(a,b)

F b

O x

W = U+V

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan membuat ujung satu vektor berimpit dengan pangkal vektor lain. Jumlah dua vektor u dan v adalah suatu vektor w yang dituliskan dengan diagonal jajargenjang yang sisinya u dan v, ditulis w = u + v. Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.

Secara geometris :

W=U+V V V

U U

Penjumlahan vektor menggunakan bentuk pasangan bilangan atau secara aljabar :

Misalkan U⃗=(ab)V⃗=(c

d ),

maka U⃗+V⃗ =(ab)+(c

d )=(ab+cd)

Sifat-sifat penjumlahan vektor

Sifat BentukKomutatif a⃗+ b⃗= b⃗+a⃗Asosiatif ( a⃗+b⃗ )+ c⃗=a⃗+( b⃗+c⃗ )Elemen identitas 0⃗ , dimana 0⃗+ a⃗= a⃗+0⃗

Negatif −⃗a ,dimana−⃗a+a⃗=a⃗+(−⃗a )=0⃗

Pengurangan vektor

Operasi pengurangan vektor dapat dijabarkan dari penjumlahan dengan menyatakan negatifdari satu vektor. Pengurangan vektor a⃗ dan b⃗ didefinisikan oleh a⃗−b⃗=a⃗+(−⃗b ).Pengurangan Vektor Menggunakan Aturan Segitiga dan Jajargenjang

Secara geometris :

A A A - B

B B

Pengurangan vektor menggunakan bentuk pasangan bilangan atau secara aljabar:

Misalkan A⃗=(ab)dan B⃗=(c

d ), maka

A⃗−B⃗=(ab)−(c

d)=(a−bc−d )

A - B

Perkalian vektor

Perkalian DOT (titik)

Definisi Perkalian titik Misalkan A= (ax , ay , az) dan B= (bx , by , bz) adalah vektor di R3 . Perkalian titik dari A dan B, dinotasikan A . B

adalah A . B= axbx + ay by+ azbz. Hasil dari perkalian ini berupa skalar.

Secara geometris :

A

θ

B

Secara aljabar :

Misalkan C adalah skalar maka C = A⃗ . B⃗=|a⃗|.|b⃗|cosθ

Atau A⃗ . B⃗=ax bx+a y b y+az bz

Perkalian skalar

Yaitu apabila vektor dikalikan dengan skalar atau konstanta bilangan real.

Secara aljabar : Misalkan A dan B adalah vektor dan k adalah konstanta. Jadi

B⃗=k A⃗

= k (ab) = (ka

kb)

Perkalian silang (cross product)

Perkalian silang dari dua buah vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, sehingga perkalian silang dua buah vektor juga disebut dengan perkalian vektor. Hasil perkalian silang vektor A dan vektor B (dibaca A cross B) menghasilkan vektor C. Vektor C yang dihasilkan ini selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B

Secara aljabar :

C = A X B = |a||b|sin θ atau

A × B= (ay bz−azb y ) i+( azbx−ax bz ) j+¿

(ax by−ay bx ) k

Secara geometris :

k

θ i

j

Vektor 2 Dimensi

Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen :

A⃗B=(x2−x1

y2− y1)

Dilukiskan sebagai :

y

B (x2, y2)

A (x1, y1)

x

Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk :

- Kombinasi linear vektor satuan i, j , misalnya vektor a = xi + yj.

- Koordinat kartesius, yaitu : a = (a1, a2).

- Koordinat kutub, yaitu : a = r dengan r = √( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2

dan tg =

y2− y1

x2−x1 .

Operasi hitung vektor 2 Dimensi

1. Operasi Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dikerjakan dalam dua cara yaitu cara grafis

dan analitis.

a. Cara Grafis

1) Dengan cara penjumlahan segitiga atau segitiga vektor

b a +b

b

a a

Cara: pangkal vektor b digeser ke ujung vektor a maka vektor hasil a +b

adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor a dengan ujung

vektor b .

2) Dengan cara penjumlahan jajar genjang atau jajar genjang vektor

b

b a +b

a a

Cara: pangkal vektor b digeser ke pangkal vektor a , dilukis jajar genjang,

maka diagonal dari ujung persekutuan adalah a +b .

b. Cara Analitis

1) Apabila kedua vektor diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan perhitungan dengan memakai rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri.

a a+b

θ

b

Apabila sudut antara a dan b adalah , maka :

(a +b )2 = a 2 +b 2 + 2a b Cos

(a +b ) = √a2+b2+2a bCosθ

2) Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya.

Misalnya: a = (x A

y A)

dan b = (xB

yB)

maka a +b = ( x A+xB

y A+ yB)

2. Pengurangan Vektor

Memperkurangkan vektor b dari vektor a didefinisikan sebagai menjumlahkan

vektor negatif b pada vektor a dan ditulis : a b = a + (-b ).

a a

b

a b

-b

Apabila vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika a suatu vektor dan m adalah skalar (bilangan nyata), maka ma atau a m adalah suatu vektor dengan kemungkinan :

a. Jika m > 0 maka ma adalah vektor yang besarnya m kali a dan searah

dengan a .

b. Jika m < 0 maka ma adalah vektor yang besarnya m kali a dan

arahnya berlawanan dengan a .

c. Jika m = 0 maka ma adalah nektor nol.Contoh perkalian vektor dan scalar

a. Vektor diberikan dalam bentuk gambar

a 2a 12a -3a

b. Vektor diberikan dalm bentuk kmponen

Jika a = (32 )

maka 2a = 2(32 )

= (64 )

Jika b = (4

2) maka

12 b =

12(4

2) =

(21 )

Jika c=(25)

maka −2 c=−2(2

5 )=(−4−10)

Apabila titik-titik dalam vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor yang lain, titik-titik itu disebut kolinier (segaris).

4. Perkalian Dua vektor

Operasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut :

a. Sudut antara kedua vektor diketahui

Diberikan vektor a =(a1, a2), b =(b1, b2) dan sudut yang dibentuk oleh

vektor a dan b adalah . Perkalian antara vektor a dan b dirumuskan sebagai berikut :

b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahui

Diberikan vektor a =(a1, a2) dan b =(b1, b2). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut :

a .b = a .b . Cos

a .b = a1b1 + a2b2

Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat kartesius dapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yang dirumuskan sebagai berikut :

Vektor 3 Dimensi

Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang (R3) dapat digunakan sistem sumbu koordinat siku-siku X, Y dan Z dengan masing-masing sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O yang disebut pusat sumbu koordinat.

Jarak P sampai bidang YOZ adalah X, atau PP1 = Xp.

Jarak P sampai bidang XOZ adalah Y, atau PP2 = Yp.

Jarak P sampai bidang XOY adalah Z, atau PP3 = Zp.

Dinyatakan bahwa koordinat ruang dari P ditulis P (Xp, Yp, Zp).

Vektor OP dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:

Z

Zp P1

P2 P

O Yp Y

Xp P3

X

a. OP = Xpi⃗ + Yp

j⃗ + Zpk⃗ merupakan bentuk kombinasi linear dari i⃗ , j⃗ , k⃗ .

Dengan i⃗ , j⃗ , k⃗ merupakan vektor satuan dalam koordinat ruang (i⃗ =

Cos =

a1b1 + a2b2

|a||b|

vektor satuan pada sumbu X, j⃗ = vektor satuan pada sumbu Y dan k⃗ = vektor satuan pada sumbu Z).

b. OP = (X p

Y p

Z p) merupakan bentuk kmponen vektor.

Operasi Hitung Vektor 3 Dimensi

1. Penjumlahan Vektor

a. Jika dua vektor a = (a1

a2

a3) dan vektor b =

(b1

b2

b3) adalah vektor-vektor

tidak nol di R3 maka operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

a + b = (a1

a2

a3) +

(b1

b2

b3) =

(a1+b1

a2+b2

a3+b3)

b. Jika vektor a = a1i⃗

+ a2j⃗

+ a3k⃗ dan vektor b = b1i⃗

+ b2j⃗

+ b3k⃗ maka operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

a + b = (a1 + b1)i⃗ + (a2 + b2) j⃗ + (a3 + b3)k⃗

2. Pengurangan Vektor

a. Jika dua vektor a = (a1

a2

a3) dan vektor b =

(b1

b2

b3) maka operasi

pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut :

a b = (a1

a2

a3)

(b1

b2

b3) =

(a1−b1

a2−b2

a3−b3)

b. Jika vektor a = a1i⃗

+ a2j⃗

+ a3k⃗ dan vektor b = b1i⃗

+ b2j⃗

+ b3k⃗ maka operasi pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut :

a b = (a1 b1)i⃗ + (a2 b2) j⃗ + (a3 b3)k⃗

3. Perkalian Skalar dengan Vektor

a. Hasil kali vektor a = (a1

a2

a3) dengan suatu skalar c didefinisikan sebagai

berikut :

c. a = (c . a1

c . a2

c .a3)

b. Hasil kali vektor a = a1i⃗

+ a2j⃗

+ a3k⃗ dengan skalar c didefinisikan sebagai berikut :

c. a = c.a1i⃗

+ c.a2j⃗

+ c.a3k⃗

4. Perkalian Skalar Dari Dua Vektor / Perkalian Titik (Dot

Product)

Perkalian skalar dari dua vektor a dan b didefinisikan dengan rumus :

Apabila = 0 maka a .b = a .b

a .b = a .b . Cos

Apabila = 90 maka a .b = 0

Apabila = 180 maka a .b = a .b

Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk komponen :

a = (a1

a2

a3) dan b =

(b1

b2

b3)

Diperoleh :

5. Perkalian Vektor Dari Dua Vektor / Perkalian Silang ( Cross Product)

Apabila vektor disajikan dalam bentuk a = a1i⃗

+ a2j⃗

+ a3k⃗ dan b = b1i⃗

+

b2j⃗

+ b3k⃗ maka:

Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan aturan Sarrus atau Cramer.

a .b = a1b1 + a2b2 + a3b3

a x b =

|i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

|

mangnandar.files.wordpress.com/2011/04/materi-vektor.doc