fissiamo i concetti · m odu l ev t r c un numero pari al modulo del vettore d un vettore di modulo...
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F I S S I A M O I C O N C E T T I
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MO
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C
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I
Le grandezze fsiche scalari sono caratterizzate da un modulo (o intensità) e da un’unità di misura. Esempi di grandezze fsiche scalari sono : il tempo, la lunghezza, la massa, la temperatura, la pressione … Le operazioni con questa classe di grandezze si eseguono con le regole dell’aritmeti-ca.
Le grandezze fsiche vettoriali sono caratterizzate da un modulo (o intensità), da un’unità di misura, da una direzione e da un verso. Esempi di grandezze fsiche vet-toriali sono: lo spostamento, la forza, la velocità, l’accelerazione. Le operazioni con questa classe di grandezze si eseguono con le regole dell’algebra vettoriale. In particolare, la somma e la sottrazione tra vettori si eseguono con la re-gola del parallelogramma, o in modo equivalente, con il metodo del punta-coda.
Per sommare due vettori aventi direzioni diverse e diversi punti di applicazione, si traslano i vettori nel piano in modo tale che la punta di uno tocchi la coda dell’altro e poi si disegna il vettore che congiunge la coda del primo con la punta del secondo (regola del punta-coda).
Per sommare due vettori con la regola del parallelogramma si traslano i due vettori in modo da portarli ad avere l’origine in comune. Quindi si disegna il parallelogramma avente per lati i due vettori assegnati.
Disegnato il parallelogramma, si traccia il vettore _ › r , diretto come la diagonale che ha
l’origine in comune con i due vettori addendi. Il vettore _ › r è la somma o risultante dei
due vettori: _ › r =
_ › a +
_ › b .
Il prodotto del vettore _ › a per lo scalare k positivo è un nuovo vettore, che indichiamo
con _ › r , avente per modulo ka cioè il prodotto di k per il modulo di
_ › a , la stessa direzio-
ne e lo stesso verso del vettore _ › a . Se k è negativo il vettore
_ › r ha verso opposto.
Per le applicazioni alla Fisica risulta particolarmente utile imparare a scomporre un vettore lungo gli assi di un sistema di riferimento cartesiano. Questa operazione ci porta a una seconda defnizione di vettore. Una grandezza vettoriale è identifcata, nel piano, da una coppia di numeri con la stessa unità di misura e, nello spazio, da una terna di numeri con la stessa unità di misura.
È possibile scomporre un vettore _ › r nel piano una volta assegnate due direzioni. I due
componenti individuati sulle rette prendono il nome di componenti vettoriali. Di particolare importanza è la scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani.Il vettore
_ › r risulta scomposto in due nuovi vettori tra loro perpendicolari:
– il componente _ › r x, un vettore avente la direzione dell’asse x e di modulo r
x,
– il componente _ › r y, un vettore avente la direzione dell’asse y e di modulo r
y.
Vale la relazione: _ › r =
_ › r x +
_ › r y mentre in modulo r = √
_____ r
x2 + r
y2 .
BOOK
MULTI
3UHSDUDWL??DOOD?YHULILFD
aA
rA
= aA
+ bA
bA
rA
O
rAy
rAx x
y
aA
bA
rA
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12 Esegui la somma dei vettori _ › a e
_
›
b (vedi fgura) con il metodo del punta-coda e con quello del parallelogramma. Verifca che il risultante non cambia.
aA
bA
[…]
13 Sono dati i vettori _
›
h e _
›
k (vedi fgura). Ricava il ri-
sultante _
›
h + _
›
k .
hA
kA
14 Ricava il risultante dei tre vettori _ › a , _
›
b e _ › c (vedi fgura).
aA
cA
bA
[…]
Ricava il risultante di tre vettori concorren-
ti (aventi cioè lo stesso punto di applica-
zione).
Applichiamo il metodo del punta-coda tra-
slando il vettore _
›
b sulla punta di _ › a e suc-
cessivamente traslando il vettore _ › c sulla
punta di _
›
b .
Il vettore che congiunge la coda di _ › a con
la punta di _ › c è la somma vettoriale dei tre
vettori.
Ricaviamo lo stesso risultato applicando la
regola del parallelogramma.
Eseguiamo la somma tra i vettori _ › a e
_
›
b che
indichiamo con _ › r ’, …
… infne, la somma tra _ › r ’ e
_ › c fornisce il
risultante _ › r dei tre vettori.
Il vettore risultante è lo stesso con entram-
bi i metodi. Più precisamente, i due vettori
risultanti non hanno solo la stessa lunghez-
za, ma anche la stessa direzione e lo stesso
verso e quindi sono uguali.
(VHUFL]LR?JXLGDWR
aA
cA
bA
cAb
A
rA
aA
rAr
A’
aA
cA
bA
rA’
aA
cA
bA
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DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?
???? ,O?PRGXOR?GHO?YHWWRUH?VRPPD????? /D?VRWWUD]LRQH?GL?YHWWRUL?QHO?SLDQR
15 Se due vettori _ › a e
_
›
b sono fra loro perpendicolari, il modulo della loro somma è:
a a + b c √______ a2 + b2
b √__ aI + √
_ b d √
______ (a + b)2
16 Se due vettori _ › a e
_
›
b sono fra loro perpendicolari, il modulo della loro differenza vale:
a √______ a2 – b2 c √
______ a2 + b2
b √__ aI – √
_ b d √
_ a + √
_ b
17 Un pallone si sposta di 34 m e, rimbalzando su un altro giocatore, cambia direzione seguendo la perpendico-lare, spostandosi di altri 6 m. Quanto vale lo sposta-mento complessivo del pallone? [35 m]
Due vettori __
› m ed
_ › n formano un angolo di 120° e ciascuno in modulo vale, rispettivamente, 50 u e 30 u. De-
termina il loro risultante.
Fissiamo una scala delle lunghezze. Decidiamo di
far corrispondere a 1 cm il valore 10 u. Scriveremo
perciò in uno dei due modi equivalenti:
1 cm : 10 u oppure ___10 u___
Tracciamo una linea retta a piacere e mediante un
goniometro fssiamo l’altra linea in modo che formi
un angolo di 120° con la precedente.
Tenendo conto del campione di misura delle lun-
ghezze che abbiamo scelto tracciamo su queste li-
nee i vettori __
› m ed
_ › n assegnati. Il vettore
__ › m risulta
lungo 5 cm mentre il vettore _ › n è di 3 cm.
Applichiamo uno dei modi grafci per eseguire la somma vettoriale, per esempio la regola del parallelogram-
ma, e ricaviamo il risultante.
Misuriamo la lunghezza del risultante _ › r . Risulta lungo circa 4,4 cm.
L’intensità del risultante si ricava dal prodotto:
r = lunghezza vettore × scala = 4,4 cm × 10 u ___ cm = 44 u
Il risultato è approssimato per eccesso non riuscendo a valutare i decimi di millimetro.
Notiamo che l’intensità del risultante è diversa dalla somma dei moduli dei due vettori addendi.
(VHUFL]LR?JXLGDWR
10 u
120°
nA
mA
10 u 10 u
rA
nA
mA
???
e
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18 Determina la somma di due vettori spostamento _ › p e
_ › q
di direzioni, rispettivamente, a e b.
p = 30 mq = 20 m
a
b[…]
19 Una pallina da golf percorre 200 m lungo la direzione r e successivamente torna indietro di 15 m lungo la stessa direzione. Quanto vale lo spostamento complessivo?
[185 m]
20 I vettori _
›
h e _
›
k , giacciono, rispettivamente, sulle
direzioni a e b. Conoscendo le loro intensità, h = 9 u e
k = 12 u, ricava la loro somma ( _
›
h + _
›
k ) e la differenza
( _
›
h − _
›
k ). Considera per entrambi i casi la scala 1 cm : 3 u.
a
b
SOMMA
u
DIFFERENZA
Confronta e commenta i risultati dell’operazione
( _
›
k − _
›
h ) e dell’operazione ( _
›
h − _
›
k ). Possiamo dire che la sottrazione di vettori gode della proprietà commu-tativa? Perché? […]
21 Siano dati i vettori _ › a e
_
›
b (vedi fgura). Ricava la
differenza _ › a −
_
›
b dei due vettori.
aA
bA
[…]
DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?
???? ,O?SURGRWWR?GL?XQ?YHWWRUH?SHU?XQR?VFDODUH
22 Moltiplicando uno scalare positivo per un vettore, ri-caviamo:
a lo stesso vettore
b un numero pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore
c un numero pari al modulo del vettore
d un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore
23 Se moltiplichiamo un vettore per uno scalare negativo, ricaviamo:
a un vettore di pari modulo, ma con verso opposto
b un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore e con lo stesso verso
c un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare cambiato di segno per il modulo del vettore e con verso opposto
d un numero negativo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore
24 Assegnato il vettore _ › t (vedi fgura) rappresenta il
vettore che risulta dalle operazioni indicate:
+ 2 _ › t ; –
_ › t ; + 3 _
2 _ › t ; –
4 _
3 _ › t . […]
tA
25 Dati i tre vettori della fgura con:
_ › a = 4 u
_
›
b = 2 u _ › c = 3 u
u
cA
bA
aA
calcola la seguente espressione vettoriale:
_ › r =
_ › a __
2 – 2
_
›
b + 4 _
3 _ › c , indicando modulo, direzione e
verso del risultante _ › r . Quanto vale l’intensità del
risultante _ › r ? […]
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DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?
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26 Completa le seguenti frasi. Possiamo ritenere la ............................. di un vettore
l’operazione inversa della somma vettoriale. Infatti, assegnate nel piano ............. direzioni, è possibile scomporre un vettore conducendo dalla sua punta la parallela alla prima direzione e successivamente la ..................... alla seconda. Si individua in questo modo un ................................. la cui diagonale uscente dal punto di origine è il ................... assegnato, mentre i due lati del parallelogramma indicano i .......................... del vettore lungo le ..................... assegnate.
27 Individua la scomposizione corretta del vettore _ › a
lungo le direzioni assegnate r ed s.
aA
s
r
aA
s a b
r
aA
s
aA
s c d
28 Determina i componenti del vettore _ › a lungo le direzioni
assegnate. Come variano le intensità dei componenti del vettore a seconda dell’angolo tra le due rette? […]
aA
aA
aA a
A
29 Un vettore _ › g viene scomposto lungo gli assi cartesiani
e si trova che la componente gx misura 12 u, mentre la
componente gy misura 14 u. Quanto vale il modulo del
vettore _ › g ?
a 13 u c 26 u
b circa 18 u d circa 7 u
30 Individua la scomposizione corretta del vettore _ › r lungo
gli assi cartesiani.
x
rA
rA
y
x
y
a b
rA
rA
x
y
x
y
c d
31 Determina i componenti dei vettori indicati lungo gli assi cartesiani. In quali casi i componenti del vettore coincidono col vettore stesso? […]
x
y
x
y
x
y
x
y
aA
bA
cA
dA
32 Determina le componenti cartesiane del vettore asse-gnato in fgura, sapendo che il modulo del vettore
_ › c
vale 85 u.
x
y
315°
cA
[cx = 60 u; c
y = …]
???
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33 Un vettore _
›
b di modulo 50 u è applicato nell’origine O degli assi cartesiani e forma un angolo di 225° con il semiasse positivo delle ascisse. Disegna il vettore e calcola le sue componenti b
x e b
y. [− 35 u; − 35 u]
34 Scomponi il vettore _ › a in fgura e calcola le sue com-
ponenti ax e a
y. Il modulo di a vale 30 u. [− 21 u; 21 u]
x
y
135°
aA
35 Tre vettori sono disposti come in fgura. Sapendo che a = b = 10 u e c = 20 u, determina il vettore risultante. [r = 6 u]
x
y
45°
cA
aAb
A
6 7 5 $7 ( * , $ SHU?DIIURQWDUH?H?ULVROYHUH?L?SUREOHPL
Le componenti cartesiane di un vettore spostamento _ › s valgono rispettivamente, 20 m e 12 m.
Quanto vale il modulo del vettore? [23 m]
STRATEGIA Rifessione sul testo
I Leggere attentamente il testo e individuare l’area tematica e l’argomento specifco
Scomposizione cartesiana di un vettore nel piano
II Conoscere le formule relative a quell’argomento
Risultante di un vettore: s = √_____ s
x2 + s
y2
III Considerare i dati del problema e verifcare che le grandezze siano in unità SI, altrimenti fare le trasformazioni necessarie
sx = 20 m
sy = 12 m
IV Individuare eventuali dati sottintesi Tutti i dati sono espressi esplicitamente
V Individuare le richieste del problema Determinare: – il modulo del risultante
VI Confrontare le grandezze che compaiono nel problema con quelle presenti nelle formule (A punto II)
Tutte le grandezze sono presenti ed è possibile determinare la richiesta
VII Se i dati sono suffcienti sostituirli nella formula (A punto II) ed eseguire il calcolo
s = √_____ s
x2 + s
y2 = √
_______ 202 + 122 = √
________ 400 + 144 =
= √___ 544 = 23,32 ... m
Dobbiamo scrivere il risultato con lo stesso numero di cifre signifcative dei dati presenti nella formula. Scriviamo perciò : s = 23 m
VIII Se i dati non sono suffcienti, identifcare la grandezza mancante e calcolarla utilizzando i dati assegnati, sottintesi o calcolati; sostituire i dati così calcolati nella formula e trovare il risultato
Tutti i dati sono suffcienti
IX Scrivere il risultato fnale s = 23 m
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36 Durante una partita di pallanuoto una squadra riesce a fare goal con tre lanci. Il primo sposta la palla di 5,0 m verso Sud; il secondo la sposta di 3,0 m lungo la direzione Sud - 45° Est e l’ultimo colpo la sposta di 2,0 m in direzione Sud - 45° Ovest. Rappresenta il diagramma vettoriale degli spostamenti della palla.Disegna lo spostamento necessario per mandare la palla in rete con un solo colpo e calcola la sua intensità. [8,6 m]
37 Ricava il risultante dei quattro vettori concorrenti in-dicati in fgura.
aA
bA
cA
dA
[…]
38 I moduli dei vettori rappresentati in fgura misurano:
a = 5 u; b = 3 u; c = 5 u; d = 5 u
Determina modulo, direzione e verso dei seguenti vettori:
_
›
b + _
›
d _ › a +
_
›
b + _
›
d _ › a −
_ › c
aA
cA
dA
bA
39 Quale dei diagrammi seguenti mostra correttamente il risultante dei due spostamenti di 4 m e di 3 m ?
3 m5 m
4 m
3 m5 m
4 m
a b
3 m5 m
4 m
3 m5 m
4 m
c d
40 Due vettori _ › a e
_
›
b di uguale intensità pari a 20 u sono applicati a un punto O. Quanto deve valere l’angolo fra i due vettori affnché il vettore risultante abbia anch’esso un modulo di 20 u? Disegna i due vettori e cerca la soluzione per tentativi. Giustifca poi la risposta.
41 Disegna tre vettori a piacere situati nel piano e
verifca che _ › a + (
_
›
b + _ › c ) = (
_ › a +
_
›
b ) + _ › c . Verifcata
questa proprietà, avrai imparato che quando svolgi una somma tra vettori l’ordine in cui esegui la somma non ha importanza, ovvero hai verifcato la proprietà ........................... […]
42 Considera i vettori _ › a ,
_
›
b , _ › c ,
_
›
d della fgura. Determina modulo, direzione e verso del vettore:
_ › r =
_ › a +
_
›
b + _ › c +
_
›
d .
aA
bA
cA
dA
p R O B L E M I F I N A L I