fizika - gaf.ni.ac.rs

Univerzitet u NisuGradevinsko - arhitektonski fakultet

Dr Jugoslav Karamarkovic

Fizika

Nis, 2005.

Predgovor

Ovaj udzbenik namenjen je pre svega studentima Gradevinsko-arhitek-tonskog fakulteta u Nisu, ali moze biti koristan i studentima drugih fakultetai visih skola koji izucavaju teme sadrzane u njemu, kao i strucnjacima ra-zlicitih profila koji imaju interesovanja za pojedine obradene oblasti. Sadrzajudzbenika u najvecem delu pokriva gradivo koje je bilo deo kurseva Fizike(ranije Tehnicke fizike) na oba odseka Gradevinsko-arhitektonskog fakul-teta, koje je autor predavao pocevsi od 1996. godine do danas. Medutim,udzbenik sadrzi i neke naslove koji nikada nisu predavani, ali koji po au-torovom misljenju treba da se nadu u udzbeniku zbog kompletnosti gradivai/ili cinjenice da se te teme tesko pronalaze u domacoj udzbenickoj literaturi.Struktura predavanih kurseva je takva da predstavljaju kombinaciju opstegkursa fizike i onih delova primenjene fizike koji su od interesa za gradevinsko-arhitektonsku struku, tako da pojedine teme predstavljaju kopcu sa gradi-vom drugih, strucnih predmeta pa se pojedinim temama studenti moguvracati i kasnije u toku svog skolovanja. Jedan od zadataka predavanih kur-seva, a samim tim i ovog udzbenika, bio je razumevanje ekoloskih fenomenai jacanje ekoloske svesti studenata.

Za veliku pomoc u tehnickoj pripremi udzbenika dugujem zahvalnostsvom kolegi dr Cedomiru Maluckovu, docentu Tehnickog fakulteta u Boru.Zahvaljujem se recenzentima na korisnim sugestijama koje su podigle kvalitetovog udzbenika, kao i bivsem saradniku Gradevinsko-arhitektonskog fakul-teta Zoranu Stojiljkovicu, za izradu velikog broja pocetnih verzija slika.

U Nisu 11.7.2005.g. J. Karamarkovic

1

Sadrzaj

Uvod 9

Fizicke velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Priroda fizickih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Osnovni modeli u fizickim teorijama . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Oscilacije i talasi 15

1.1 Harmonijske oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Linearni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Realni oscilatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora . . . . . . . 20

1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.5 Razlaganje oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Prigusene oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Jednacina kretanja kod prigusenih oscilacija . . . . . . 28

1.2.2 Brzina, ubrzanje i energija prigusenih oscilacija . . . 33

1.3 Prinudne oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.1 Vrste talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa . . . . . . . . . . 41

1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa . . . . . . . . 43

1.4.4 Fazna i grupna brzina talasa . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.5 Energija i intenzitet talasa . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.6 Interferencija talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.7 Stojeci talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5 Talasi u Zemljinom omotacu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.1 Grada Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.2 Seizmicki talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.3 Talasi u tecnostima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

4 Sadrzaj

2 Akustika 63

2.1 Osnovne karakteristike zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 Zvucni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3 Karakteristike govora i muzike . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3.1 Karakteristike govora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3.2 Karakteristike muzike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4 Intenzitet i nivo zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5 Subjektivna jacina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Akustika prostorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije . . . . . . . . . 77

2.6.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije . . . . . . . 80

2.7 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke . . . . . 81

2.7.1 Buka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7.2 Karakteristike buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.7.3 Prihvatljivi nivoi buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7.4 Izolaciona moc materijala i veza sa akustickom izolo-vanoscu prostorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.8 Ultrazvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Elektromagnetni talasi i optika 93

3.1 Elektromagnetni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1 Dualisticka priroda elektromagnetnog zracenja . . . . 94

3.1.2 Spektar elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . 96

3.1.3 Energija elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . 97

3.2 Svetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.1 Spektar vidljive svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.2 Odbijanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.3 Prelamanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.4 Razlaganje (disperzija) svetlosti . . . . . . . . . . . . . 104

3.2.5 Boja tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.3 Infracrvena i ultraljubicasta svetlost . . . . . . . . . . . . . . 106

3.4 Oko i videnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.4.1 Grada oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.4.2 Proces videnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.4.3 Spektralna osetljivost oka . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.4 Teorija boja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.5 Svetlosni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.6 Fotometrija i osvetljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.6.1 Fotometrijske velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Sadrzaj 5

3.6.2 Svetlosni komfor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.6.3 Fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.7 Fizicka (talasna) optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.7.1 Interferencija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.7.2 Difrakcija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.7.3 Polarizacija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Toplota 149

4.1 Temperatura i toplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2 Merenje temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2.1 Temperaturske skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.2.2 Termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.3 Zakoni sirenja cvrstih i tecnih tela . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.1 Zakon linearnog sirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.2 Povrsinsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.3.3 Zapreminsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.3.4 Termicko naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4 Gasni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.4.1 Jednacina stanja idealnog gasa . . . . . . . . . . . . . 157

4.4.2 Bojl-Mariotov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.4.3 Gej-Lisakov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.4.4 Sarlov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4.5 Avogadrov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4.6 Daltonov zakon parcijalnih pritisaka . . . . . . . . . . 161

4.5 Kalorimetrijska jednacina. Specificne toplote . . . . . . . . . 162

4.6 Promene agregatnih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.7 Dijagram stanja. Trojna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.8 Van der Valsova jednacina stanja za realne gasove. Konden-zacija realnih gasova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5 Jednosmerne i naizmenicne struje 169

5.1 Intenzitet i gustina struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.2 Omov zakon. Elektricna provodnosti otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.3 Dzulov zakon. Snaga elektricne struje . . . . . . . . . . . . . 173

5.4 Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje . . . . . . 174

5.4.1 Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4.2 Otpornici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4.3 Ampermetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6 Sadrzaj

5.4.4 Voltmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5 Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni . . . . . . 180

5.6 Vitstonov most . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.7 Naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.7.1 Elementi kola naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . 187

5.7.2 Redno RLC kolo. Impedansa . . . . . . . . . . . . . . 189

5.8 Snaga naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.9 Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije . . . . . 192

5.9.1 Generatori elektricne struje. Trofazne struje . . . . . . 194

5.10 Nacini dobijanja elektricne energije . . . . . . . . . . . . . . . 197

6 Transportni procesi 199

6.1 Prenosenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2 Provodenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.1 Osnovne postavke provodenja toplote . . . . . . . . . 201

6.2.2 Diferencijalna jednacina provodenja toplote . . . . . . 203

6.2.3 Provodenje toplote kroz jednoslojni zid . . . . . . . . 205

6.2.4 Provodenje toplote kroz viseslojni zid . . . . . . . . . 209

6.2.5 Prenosenje toplote kroz zid okruzen fluidima . . . . . 210

6.2.6 Nestacionarno provodenje toplote . . . . . . . . . . . . 213

6.3 Prenosenje toplote strujanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.4 Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja . . . . . . . . 218

6.5 Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.6 Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene pare u atmosferi . 227

6.7 Vazdusni komfor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.8 Temperatura i pritisak atmosferskog vazduha . . . . . . . . . 230

6.9 Toplotni komfor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.10 Zagrevanje i hladenje zgrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.11 Difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.12 Difuzija i kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.12.1 Difuzija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.12.2 Kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7 Nuklearna fizika 247

7.1 Sastav i osobine jezgra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.2 Defekt mase i energija veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.3 Prirodna radioaktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.3.1 Zakon radioaktivnog raspada . . . . . . . . . . . . . . 251

7.3.2 Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Sadrzaj 7

7.3.3 Radioaktivni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.3.4 Radijum i radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.4 Jonizujuca zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.4.1 Alfa zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.4.2 Beta zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4.3 Gama zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.4.4 Rendgensko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.4.5 Neutronsko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.4.6 Kosmicko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.5 Dozimetrija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.6 Uticaj zracenja na organizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.7 Detekcija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Literatura 273

Dodatak 1: Spektar vidljive svetlosti 276

Dodatak 2: Primer za aditivno i supstraktivno mesanje boja 277

Dodatak 3: CIE Dijagram 278

Dodatak 4: Elektro-energetski sistem Srbije 279

8 Sadrzaj

Uvod

Fizika kao osnovna prirodna nauka

Fizika je osnovna prirodna nauka, ona proucava prirodu i to najvecim de-lom nezivu. Prema materijalistickoj koncepciji predmet proucavanja fizikeje materija - objektivna realnost koja postoji nezavisno od nas, naseg uma istepena naseg saznanja. Prema idealistickim koncepcijama fizika proucavasamo spoljasnji, materijalni svet, cija je sustina nematerijalna. Osnovnakarakteristika materije je kretanje. Kretanje je nacin postojanja materije.Kretanje nije samo mehanicko, vec obuhvata i procese promene stanja ma-terije. Sve promene desavaju se u prostoru i vremenu. Prostor i vreme suentiteti direktno vezani za materiju. Materija postoji u dva osnovna vidasupstancija (ili supstanca, materijal, gradivo) i fizicko polje. Osnovna karak-teristika supstance je masa a fizickog polja energija. Supstancu cine atomi,molekuli, hemijski elementi i jedinjenja, itd. Fizicko polje je poseban ob-lik postojanja materije koga karakterise dejstvo izmedu tela bez postojanjadirektnog mehanickog kontakta. Poznata su fizicka polja: gravitaciono,elektricno, magnetno, itd.

Veza fizike sa drugim naukama

• Fizika i filozofija. U anticko vreme filozofija je bila jedina nauka kojaje obuhvatala sva znanja o prirodi, drustvu i misljenju. Proces odvajanjaprirodnih nauka od filozofije odigrao se u periodu od 15. do 18. veka. Udanasnje vreme, osnovni pojmovi fizike - materija, kretanje, prostor, vreme,predstavljaju i aktuelne oblasti filozofskih proucavanja. Razvoj modernefizike doveo je do niza teorija (teorija relativnosti, kvantna teorija) za cijeje tumacenje zainteresovana i filozofija.

• Fizika i matematika Fizika predstavlja egzaktnu (tj. tacnu) nauku.To ne znaci da su fizicki zakoni apsolutno tacni, vec da se u fizici primenjuje

9

10 Uvod

matematicki nacin izrazavanja.

Razvoj matematike i fizike tekao je uporedo. Razvoj klasicne fizike doveoje do razvoja diferencijalno-integralnog racuna, a razvoj modernih fizickihteorija takode povlaci razvoj novih matematickih teorija.

• Fizika i druge prirodne nauke. Iz fizike kao osnovne prirodnenauke, izdvojile su se i druge prirodne nauke: hemija, biologija, astronomija,geologija, seizmologija, meteorologija, itd. Danas je vrlo tesko povuci granicuizmedu posebnih prirodnih nauka.

• Fizika i tehnika. Razvoj prirodnih nauka, a posebno fizike, doveo jedo burnog razvoja tehnike. Industijska revolucija zasnovana je na pronalaskuparne masine i kasnije elektricne struje. Pojedini delovi fizike postajuzasebne nauke, pa se tako sredinom proslog veka iz fizike npr. izdvajaelektrotehnika. Moze se smatrati da nova tehnoloska era pocinje otkricemtranzistora, a u danasnje vreme, prisutan je intenzivni razvoj informacionihtehnologija (mikroelektronika (sve vise i nanoelektronika), racunari, teleko-munikacije).

Metodologija u fizici

Osim sto je egzaktna, fizika je i eksperimentalna nauka. Kad god je tomoguce, izvode se eksperimenti (ogledi). Ogled je reprodukovanje fizickihpojava u uslovima kada je moguce procavati uticaj pojedinih faktora na tokpojave i uspostavljanje zakonitosti izmedu relevantnih velicina.

Na osnovu rezultata ogleda, ili teorijskih analiza postavlja se hipoteza, tj.pretpostavka o mehanizmu i povezanosti fizickih pojava. Nakon studioznihprovera pomocu novih ogleda, ali i povezivanjem sa postojecim znanjimadolazi se do fizicke teorije. Fizicka teorija predstavlja sistem saznanja oodredenoj grupi pojava i njihovoj medusobnoj povezanosti.

Mikro, makro i mega svet

Fizika proucava kako onaj svet koga covek uocava oko sebe svojim culima,Zemlju, tela i pojave na Zemlji, planete, mesec, sunce, tzv. makrosvet, takoi svet minijaturnih dimenzija, molekula, atoma, atomskih jezgara, elemen-tarnih cestica - mikrosvet, kao i svet ogromnih dimenzija - megasvet , svetzvezda, zvezdanih jata i galaksija.

Fizicke velicine 11

Klasicna i moderna fizika

Klasicna fizika stvorena je na osnovu ljudskih saznanja i iskustava kojeje ljudski rod sticao pomocu svojih cula i razuma, a bazirana je na diferen-cijalno-integralnom racunu kao matematickoj podlozi. Bazicni deo klasicnefizike predstavlja Njutnova mehanika, koja u svojim fundamentalnim prin-cipima ima Euklidski prostor i apsolutno vreme, a vrhunskim dometomklasicne fizike moze se smatrati Maksvelova teorija elektromagnetizma.

Moderna fizika stvorena je pre svega intelektualnim naporom da se ob-jasne pojave koje nisu mogle biti objasnjene klasicnom fizikom. Modernafizika zahteva kao svoj osnov nove matematicke discipline koje su takodemorale biti razvijene. Ona omogucava da se predmet saznanja prosiri naoblasti mikro i mega sveta. Npr. Ajnstajnova opsta teorija relativnostiomogucava razvoj teorija o nastanku i razvoju Univerzuma, dok se razvo-jem kvantne mehanike uspelo sa dubljim prodorom u saznanja u oblastimikrosveta.

Fizicke velicine

Fizicka velicina je parametar koji kvantitativno opisuje neki fizicki pro-ces. Postoje osnovne i izvedene velicine. Izvedene su one velicine koje semogu izvesti iz osnovnih, dok se osnovne ne mogu izvoditi. Tako na primeru geometriji postoji samo jedna osnovna fizicka velicina - duzina, dok sesve ostale, povrsina, zapremina, ugao, prostorni ugao, mogu izvesti iz nje.U kinematici, osnovne velicine su duzina i vreme, dok su izvedene brzina,ubrzanje, ugaona brzina, ugaono ubrzanje. U dinamici postoje tri osnovnevelicine, duzina, vreme i masa, dok su izvedene impuls, sila, moment im-pulsa, moment sile, energija, rad, snaga, itd.

Osnovnih fizickih velicina ima sedam, i one su, zajedno sa svojim jedini-cama, prikazane u tabeli 1.

Svaka fizicka velicina ima svoju dimenziju, po kojoj se razlikuje oddrugih. Osnovne fizicke velicine definisu osnovne dimenzije, dok se dimenz-ije izvedenih fizickih velicina izvode na osnovu njih. Npr. dimenzija brzineje dimenzija duzine kroz dimenziju vremena:

[v] =[L]

[t],

a dimenzija sile ima dimenziju mase umnozenu dimenzijom duzine a sve to

12 Priroda fizickih velicina

Tabela 1. Osnovne fizicke velicine Intenacionalnog sistema jedinica (SI).

naziv osnovne velicine oznaka jedinica oznaka

duzina L metar m

masa m kilogram kg

vreme t sekunda s

jacina elektricne struje I amper A

termodinamicka temperatura T kelvin K

svetlosna jacina Iv kandela cd

kolicina supstancije N mol mol

podeljeno dimenzijom vremena na kvadrat:

[F ] =[m] · [L]

[t]2,

i tako dalje. Izuzetno, mogu postojati i razlicite izvedene fizicke velicinesa istom dimenzijom. Npr. postoje razlicite bezdimenzione velicine: ugao,prostorni ugao, indeks prelamanja, itd. Takode, npr. i pritisak i normalninapon imaju dimenziju sila kroz povrsinu, a rad, energija i moment sileimaju dimenziju sile pomnozenu dimenzijom duzine.

Priroda fizickih velicina

Za opisivanje nekih fizickih velicina dovoljno je poznavati jedan broj.Primer za to je temperatura koja se meri na nekom mestu. Ovakve fizickevelicine nazivaju se skalarne velicine ili prostije skalari. Ukoliko je za poz-navanje neke fizicke velicine potrebno poznavati njen intenzitet, pravac ismer, ili, ekvivalentno, vrednosti tri koordinate, onda se takve velicine nazi-vaju vektorske velicine ili vektori. Osim skalara i vektora, postoje i slozenijefizicke velicine, koje se nazivaju tenzorske velicine ili tenzori. Tenzor jevelicina koja svakom vektoru pridruzuje drugi vektor koji nije kolinearansa datim vektorom, i za njegovo poznavanje potrebno je poznavati devetskalarnih odnosno tri vektorske velicine.

Osnovni modeli u fizickim teorijama 13

Osnovni modeli u fizickim teorijama

Jedan od osnovnih pojmova mehanike je materijalna tacka. To je telokoje nema dimenzija, ali ima masu, i u svakom trenutku se poklapa sa nekomtackom prostora. Materijalna tacka predstavlja idealizaciju koja u realnostine postoji.

Tela cije su dimenzije zanemarljivo male u poredenju sa dimenzijamatrajektorije po kojoj se telo krece zovemo cestice (ili materijalne tacke ufizickom smislu).

Skup fizickih objekata od kojih se svaki moze tretirati kao cestica zove sesistem cestica. Ukoliko se medusobna rastojanja cestica u sistemu ne mogumenjati, onda se takav sistem naziva kruto telo.

Ukoliko je broj cestica u sistemu vrlo veliki, onda se pristupa jos jednojidealizaciji koja se naziva neprekidna (kontinualna) sredina ili kontinuum.To je materijalna sredina u kojoj je materija rasporedena kontinualno, tj.svakoj tacki prostora koji se posmatra mogu se pridruziti neke fizicke velicine(gustina, brzina, pritisak...).

14 Osnovni modeli u fizickim teorijama

Poglavlje 1

Oscilacije i talasi

Periodicno kretanje je kretanje cestice pri kome ona posle konacno dugogvremena iznova prolazi kroz svaku tacku svoje putanje. Vreme potrebno dase kretanje ponovi naziva se period i obelezava sa T . Najjednostavniji primerperiodicnog kretanja je rotacija planeta oko Sunca.

Ukoliko je putanja po kojoj se cestica krece otvorena, onda se cesticanaizmenicno nalazi sa jedne i druge strane ravnoteznog polozaja, a ovakvokretanje se naziva oscilatorno kretanje, ili krace oscilacije.

1.1 Harmonijske oscilacije

Najjednostavniji slucaj oscilatornog kretanja je kada se koordinata ko-jom se opisuje polozaj cestice koja se krece izrazava pomocu prostih har-monijskih funkcija, sinusa i kosinusa. Ovakvo oscilovanje naziva se prostoharonijsko oscilovanje, a cestica koja vrsi ovakvo kretanje naziva se linearniharmonijski oscilator (LHO).

1.1.1 Linearni harmonijski oscilator

Posmatrajmo cesticu mase m koja moze da se krece samo po pravojliniji. Postavimo x osu duz ove prave tako da se ravnotezni polozaj nalaziu koordinatnom pocetku. Neka, kao na slici 1.1, na cesticu deluje sila kojaje usmerena prema ravnoteznom polozaju i proporcionalna je elongaciji.Takva sila naziva se restituciona sila, i matematicki se izrazava kao

F = − k x. (1.1)

15

16 Poglavlje 1. Oscilacije i talasi

Tada drugi Njutnov zakon glasi:

ma = mx = −k x. (1.2)

Ako konstantu k izrazimo preko

xO

mF

a)

xO

m F

b)

Slika 1.1. Restituciona sila koja delujena cesticu mase m: a) kada je cesticana pozitivnom delu x-ose, b) kada jecestica na negativnom delu x-ose.

nove konstante ω kao:

k = m · ω2, (1.3)

onda se (1.2) pretvara u diferencijalnujednacinu:

x+ ω2 x = 0 (1.4)

cije je resenje oblika:

x(t) = x0 sin(ω t+ ϕ), (1.5)

gde su:

x(t) - trenutno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (elongacija),

x0 - maksimalno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (amplituda),

ω - ugaona ucestanost (ugaona frekvencija),

t - nezavisna promenljiva - vreme,

ϕ - pocetna faza.

Jednacina (1.5) naziva se jednacina linearnog harmonijskog oscilatora ipredstavlja jednacinu koja opisuje oscilovanje, tj. daje zavisnost elongacijeod vremena. Dakle, mozemo reci da ako na neku cesticu deluje restitucionasila oblika (1.1), onda cestica vrsi osilatorno kretanje. Grafik funkcije (1.5)za ϕ = 0 prikazan je na slici 1.2.

T

x

x0

-x0

t

Slika 1.2. Zavisnost elongacije linearnog harmonijskog oscilatora od vremena.

1.1. Harmonijske oscilacije 17

Ugaona velicina1

Φ = ω t+ ϕ (1.6)

odreduje trenutni polozaj cestice i naziva se faza oscilovanja. Ugaona uces-tanost ω povezana je sa periodom oscilovanja T relacijom:

ω =2π

T, (1.7)

gde je period T vreme potrebno da se izvrsi jedna puna oscilacija, kao sto sevidi sa slike 1.2. Koristeci vezu perioda i obicne (tzv. linijske) ucestanostiν, koja predstavlja broj oscilacija u jedinici vremena, moze se uspostavitiveza izmedu dveju ucestanosti:

T =1

ν⇒ ω = 2πν. (1.8)

Ugaona velicina ϕ naziva se pocetna faza jer odreduje polozaj cestice upocetnom trenutku

ϕ = Φ(t = 0) ⇒ x(t = 0) = x0 sinϕ,

i nalazi se u opsegu [0, 2π] ili u opsegu [−π, π].

0T 0.5T 1T 1.5T 2T

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t

xt

vt

at

(),

(),

()

ubrzanje ( )a t

brzina ( )v telongacija ( )x t

Slika 1.3. Uporedne zavisnosti elongacije, brzine i ubrzanja linearnog harmonijskogoscilatora od vremena.

Brzina cestice koja osciluje moze se odrediti diferenciranjem izraza (1.5)po vremenu:

v =dx

dt= x = ω x0 cos(ω t+ ϕ), (1.9)

1Bezdimenziona velicina koja predstavlja argument trigonometrijske funkcije i izrazavase u jedinicama za ugao, tj. radijanima ili stepenima.


a ubrzanje jos jednim diferenciranjem:

a =dv

dt= v = x = −ω2x0 sin(ω t+ ϕ) = −ω2 x(t) (1.10)

Grafici elongacije, brzine i ubrzanja LHO prikazani su na slici 1.3.

1.1.2 Realni oscilatori

Kao primer oscilatornog sistema razmotricemo slucaj tega mase m oka-cenog o oprugu konstante (koeficijenta krutosti) k. Konstanta opruge izraza-va elasticna svojstva opruge2 i predstavlja faktor proporcionalnosti izmeduelasticne sile u opruzi i njenog izduzenja. Ako oprugu opteretimo silomF , ona ce se izduziti za rastojanje x, tako da elasticna sila u oprugi k · xuravnotezi spoljnu silu F . Dakle:

F = k x ⇒ k =F

x, (1.11)

tj. konstanta opruge brojno je jednaka sili koja izvrsi jedinicno izduzivanjeopruge. Zbog toga se ova konstanta naziva i direkciona sila, iako to nijefizicka velicina koja predstavlja silu, vec ima dimenzije N/m tj. kg/s2. Uslucaju okacenog tega mase m, spoljasnja sila je tezina tega mg i ona jeuravnotezena elasticnom silom u opruzi kxs, gde je xs tzv. staticko izduzenjeopruge (slika 1.4):

mg = kxs ⇒ xs =mg

k. (1.12)

Ako se na teg u miru deluje nekom dodatnom silom i on izvede izravnoteznog polozaja, pojavice se nekompenzovana elasticna sila oprugekoja ima oblik restitucione sile i koja izaziva oscilovanje oko ravnoteznogpolozaja (polozaja staticke ravnoteze), pa se sistem opruga-teg u oscilo-vanju naziva i harmonijsko klatno. Dinamicka jednacina sada glasi:

mx = mg − kx = −k(x− xs) (1.13)

gde je x rastojanje koje se meri od polozaja neistegnute opruge. Resenjeove diferencijalne jednacine je

x = xs + x0 sin(ω t+ ϕ), (1.14)

dakle, dobijaju se oscilacije oko polozaja staticke ravnoteze. Ovaj ravnoteznipolozaj harmonijskog klatna, meren od polozaja neistegnute opruge, zavisi

2Krutost i elasticnost su dva suprotna pojma, sto je vece k opruga je manje elasticna.


xs

x0

x0m

m

m

0

x

d)a) b) c)

Slika 1.4. Sistem opruga-teg: a) neistegnuta opruga; b) staticko izduzenje opruge;c) i d) amplitudni polozaji harmonijskog oscilovanja.

od mase tega, i utoliko je veci ukoliko je masa tega veca, a konstanta oprugemanja, sto se vidi iz jednacine (1.12).

Drugi primer linearnog harmonijskog oscilatora je matematicko klatno.Matematicko klatno cini cestica mase m okacena o neistegljiv konac duzi-ne l zanemarljive mase, slika 1.5.a. Ako se cestica izvede iz ravnoteznogpolozaja, otpocece njeno oscilovanje po delu kruzne putanje pod uticajemtezine cestice. Ukoliko pretpostavimo da je ugao maksimalnog otklona θmax

mali, tada se kretanje po delu kruzne putanje moze aproksimirati kretanjempo pravoj liniji, tj. tangenti kruzne putanje, tj. vazi (slika 1.5.b):

sin θ ≈ θ ≈ tan θ =x

l. (1.15)

qmax q

q

m m

Q

QnQ

t

a) b)

x0

Slika 1.5. Matematicko klatno: a) amplitudni i ravnotezni polozaj; b) analiza sila.

Sada se za tangencijalnu komponentu tezine moze napisati:

Qt = −Q sin θ ≈ mgxl= −kx (1.16)


Vidi se da Qt ima oblik restitucione sile3, tj. izazivace oscilacije cestice.Uocava se takode da je konstanta matematickog klatna, tj. koeficijent pro-porcionalnosti izmedu restitucione sile i elongacije:

k =mg

l, (1.17)

odakle mozemo odrediti period oscilovanja matematickog klatna kao:

k = mω2 =mg

l⇒ ω =

√

g

l=

2π

T⇒ T = 2π

√

l

g. (1.18)

1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora

Cestica koja vrsi harmonijsko oscilatorno kretanje poseduje kinetickui potencijalnu energiju. Posto se kineticka energija definise kao polovinaproizvoda mase tela i kvadrata njegove brzine, koristeci (1.9) dobijamo:

Ek =mv2

2=

1

2mx20 ω

2 cos2(ω t+ ϕ) =k x202

cos2(ω t+ ϕ). (1.19)

Posto je restituciona sila koja izaziva oscilatorno kretanje potencijalna,njena potencijalna energija se moze izraziti kao:

Ep =k x2

2=

1

2mω2 x20 sin2(ω t+ ϕ) =

k x202

sin2(ω t+ ϕ) (1.20)

Lako je uociti da je ukupna energija cestice, koja se odreduje sabiranjemkineticke i potencijalne energije, konstantna, tj. ne zavisi od vremena, teda je proporcionalna kvadratu amplitude oscilovanja:

E = Ek + Ep =1

2mω2 x20 =

k x202

= const = E0 (1.21)

Na slici 1.6 prikazane su vremenske zavisnosti kineticke, potencijalne iukupne energije LHO, dok je na slici 1.7 prikazana zavisnost potencijalneenergije od elongacije cestice. Zakljucujemo da se kretanje linearnog har-monijskog oscilatora (tj. prosto harmonijsko oscilovanje) desava tako da sevrsi stalna promena kineticke energije u potencijalnu i obrnuto, pri cemunjihov zbir, tj. ukupna energija ostaje konstantna. U trenucima prolaska

3Za razliku od harmonijskog klatna (tj. sistema opruga-teg) kod koga je ulogu resti-tucione sile igrala elasticna sila u opruzi, jasno je da kod matematickog klatna ulogurestitucione sile preuzima gravitaciona sila, tj. njena tangencijalna komponenta.


E E E, ,k p

Ek

Ep t

E

Slika 1.6. Zavisnost energija od vre-mena za LHO.

Ep

Ek

E

Ep

x-x0 x

0

Slika 1.7. Zavisnost potencijalne en-ergije od elongacije za LHO.

kroz ravnotezni polozaj, brzina tela je maksimalna pa samim tim i njegovakineticka energija, tj. u ravnoteznom polozaju ukupna energija jednaka jekinetickoj. Nasuprot tome, u trenucima prolaska kroz amplitudne polozaje,brzina tela jednaka je nuli (jer u tim polozajima brzina menja smer), pa jekineticka energija takode jednaka nuli, dok je potencijalna energija maksi-malna i jednaka ukupnoj energiji. Jednakost kineticke i potencijalne energijeostvaruje se cetiri puta u toku jednog perioda, tj. u svakoj cetvrtini periodapo jednom, onda kada faza oscilovanja zadovoljava uslov

Φ = ωt+ ϕ =π

4+ n

π

2, n ∈ Z. (1.22)

1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija

Pretpostavimo sada da na neko telo u jednom trenutku vremena delujevise restitucionih sila. Zbog jednostavnosti, proucicemo slucaj dve, a analog-ni tretman je i za slucaj vise sila. Zbog linearnosti diferencijalne jednacine(1.2) koja opisuje dinamiku oscilujuce materijalne tacke, vazice princip su-perpozicije, tj. rezultujuce kretanje bice zbir dva kretanja nastala pod de-jstvom pojedinacnih restitucionih sila. U zavisnosti od pravaca datih silamozemo razlikovati dva slucaja, kada se pravci delovanja sila poklapaju ikada se ne poklapaju (tada ovi pravci odreduju jednu ravan). Prvi slucajdovodi do slaganja oscilacija istog pravca, a u drugom slucaju, posto jerec o komplanarnim silama, uvek je moguce izvrsiti njihovo projektovanjena dve unapred zadate medusobno upravne ose, cime dolazimo do slaganjaoscilacija upravnih pravaca.


Slaganje oscilacija istog pravca

Pretpostavimo da na telo u istom trenutku deluju dve restitucione sileduz istog pravca x. Oznacimo sa x1 i x2 oscilacije koje nastaju kao posledicapojedinacnog dejstva ovih restitucionih sila, i, za pocetak, pretpostavimo daove oscilacije imaju jednake ugaone frekvencije i amplitude, a da se razlikujusamo po pocetnoj fazi:

x1 = A sin(ω t+ ϕ1), x2 = A sin(ω t+ ϕ2). (1.23)

Rezultujucu oscilaciju je vrlo jednostavno odrediti prostim algebarskim sabi-ranjem ova dva izraza

x = x1 + x2 = A[sin(ω t+ ϕ1) + sin(ω t+ ϕ2)] =

= 2A cosϕ1 − ϕ2

2sin(ω t+

ϕ1 + ϕ22

) = Ar sin(ω t+ ϕr), (1.24)

te uocavamo da rezultujuca oscilacija ima istu ugaonu frekvenciju kao i poje-dinacne oscilacije, da se njena pocetna faza nalazi izmedu vrednosti pocetnihfaza ovih oscilacija, a njena amplituda bitno zavisi od razlika povcetnih fazaoscilacija koje se sabiraju.

Pretpostavimo sada da ponovo slazemo oscilacije iste ugaone frekvencije(sto zapravo znaci da su iste konstante k restitucionih sila koje deluju namaterijalnu tacku), ali da su sada osim pocetnih faza, razlicite i amplitude:

x1 = A1 sin(ω t+ ϕ1), x2 = A2 sin(ω t+ ϕ2). (1.25)

Do resenja se sada moze doci na dva nacina, algebarski i geometrijski. Po-trazimo najpre algebarsko resenje. Transformisimo izraz za zbir oscilacijax = x1 + x2 do oblika:

x = A1[sinωt cosϕ1 + cosωt sinϕ1] +A2[sinωt cosϕ2 + cosωt sinϕ2] =

= sinωt[A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2] + cosωt[A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2]. (1.26)

Ako sada uvedemo dve nove konstante, A i ϕ, tako da vazi:

A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2 = A cosϕ, A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2 = A sinϕ, (1.27)

onda ocigledno za rezultujucu oscilaciju dobijamo:

x = A sin(ω t+ ϕ). (1.28)


Valjanost uvodenja A i ϕ pomocu jednacina (1.27) odreduje se na osnovutoga da li ih je iz datih jednacina moguce jednoznacno odrediti. Ako se ovejednacine medusobno podele, ili kvadriraju pa saberu, dobijaju se trazeniizrazi za rezultujucu amplitudu i pocetnu fazu:

tanϕ =A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2

, (1.29)

A =√

A21 +A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1) (1.30)

Do istog rezultata moze se doci i

f1

f2

f

A1

A2

A b

Slika 1.8. Fazorski dijagram slaganjaoscilacija istog pravca.

na geometrijski nacin. Naime, svakojoscilaciji moze se pridruziti jedan roti-rajuci vektor u ravni (tzv. fazor) kojiima osobinu da se obrce u smeru sup-rotnom od kretanja kazaljke na satuugaonom brzinom ω koja se poklapasa ugaonom ucestanoscu oscilovanja,ima intenzitet jednak amplitudi os-cilovanja A, a ugao koji u pocetnomtrenutku zaklapa sa pozitivnim de-lom x ose ima vrednost pocetne fazeoscilovanja ϕ. Tada, ako nacrtamo dva fazora koji odgovaraju pojedinacnimoscilacijama, fazor rezultujuce oscilacije odredujemo njihovim vektorskimsabiranjem, slika 1.8.

Rezultujucu amplitudu odredujemo na osnovu kosinusne teoreme:

A2 = A21 +A22 − 2A1A2 cosβ, β = π − (ϕ2 − ϕ1), ⇒

A =√

A21 +A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1), (1.31)

a pocetnu fazu na projekcija rezultujuceg fazora:

tanϕ =Ay

Ax=A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2

. (1.32)

U zavisnosti od faznog stava polaznih oscilacija razlikujemo dva karak-teristicna slucaja. Ako je razlika pocetnih faza jednaka nuli (ili 2π), tj. akosu one jednake,

ϕ2 − ϕ1 = 0 ⇒ A = A1 +A2, (1.33)


onda je rezultujuca amplituda maksimalna i jednaka zbiru amplituda poje-dinacnih oscilacija. Ako je pak razlika pocetnih faza jednaka π:

ϕ2 − ϕ1 = π ⇒ A = |A1 −A2| (1.34)

onda je rezultujuca amplituda minimalna i jednaka modulu razlike ampli-tuda pojedinacnih oscilacija.

Potrazimo sada rezultujucu oscilaciju u specificnom slucaju slaganja os-cilacija razlicitih ugaonih ucestanosti, kada su te ucestanosti vrlo bliske.Radi jednostavnosti pretpostavimo da oscilacije koje slazemo imaju isteamplitude i pocetne faze jednake nuli:

x1 = A0 sinω1 t, x2 = A0 sinω2 t, ω1 ≈ ω2. (1.35)

Tada se za rezultujucu oscilaciju dobija

x = x1 + x2 = 2A0 cosω1 − ω2

2t sin

ω1 + ω22

t ≈ A(t) sinω t, (1.36)

tj. slozeno oscilovanje koje se moze okarakterisati kao oscilacija sa sporopromenljivom amplitudom A(t) ((ω1 − ω2)/2¿ ω) i ugaonom ucestanoccuω koja je priblizno jednaka ucestanostima pojedinacnih oscilacija ω ≈ ω1 ≈ω2. Ovakva slozena oscilacija, ciji je grafik skiciran na slici 1.9, naziva seizbijanje (ili kolebanja, udari), zbog toga sto postoje vremenski trenuci kadase oscilovanje gubi. Ucestanost i period udara mogu se odrediti kao:

t

xA t( )

Tu

Slika 1.9. Graficki prikaz slaganja oscilacija bliskih ucestanosti-izbijanje (1.36).

|ω1 − ω2|2

=ωu

2⇒ |ν1 − ν2| = νu ⇒ Tu =

1

|ν1 − ν2|. (1.37)


Slaganje oscilacija sa medusobno upravnim pravcima

Posmatrajmo sada slucaj postojanja dve restitucione sile upravnih pra-vaca koje deluju na oscilator. Postavimo koordinatni sistem tako da sepravci sila poklapaju sa x, odnosno y osom. Neka su pojedinacne oscilacijekoje se javljaju kao posledica dejstva ovih dveju sila date izrazima

x = A1 sinω t, y = A2 sin(ω t+ ϕ), (1.38)

sto znaci da imaju istu ugaonu ucestanost. Problem slaganja oscilacijaupravnih pravaca svodi se na odredivanje trajektorije po kojoj se u stvarikrece cestica pod istovremenim dejstvom dve restitucione sile. Da bi seodredila ova trajektorija neophodno je iz jednacina (1.38) eliminisati vreme.U konkretno zadatom slucaju to se moze uraditi tako sto se iz prve jednacineodrede sinωt i cosωt a zatim zamene u drugu jednacinu, koja se pre toganapise u razvijenom obliku:

sinω t =x

A1, cosω t =

√

1− x2

A21,

y

A2= sinω t cosϕ+ cosω t sinϕ.

odakle se dobije trazena jednacina trajektorije:

x2

A21− 2xy

A1A2cosϕ+

y2

A22= sin2 ϕ (1.39)

x

y

y A=2

y A= -2

x A= -1

x A=1

Slika 1.10. Opsti oblik eliptickog polarizovanog rezultujuceg oscilovanja za slucajjednakih ucestanosti upravnih oscilacija, jednacina (1.39).


Jednacina (1.39) predstavlja jednacinu elipse cije poluose zaklapaju iz-vesni ugao sa koordinatnim osama (slika 1.10), a rezultujuce oscilovanje senaziva elipticki polarizovano.

Postoje neki karakteristicni slucajevi kada se jednacina trajektorije (1.39)moze pojednostaviti. Na primer, ako je fazna razlika upravnih oscilacija jed-naka ±π/2,

ϕ = ϕy − ϕx = ±π2⇒ x2

A21+y2

A22= 1, (1.40)

onda je dobijena trajektorija elipsa cije se poluose poklapaju sa koordinat-nim osama. Ako su jos i amplitude upravnih oscilacije jednake

A1 = A2 = R ⇒ x2 + y2 = R2, (1.41)

onda se elipsa degenerise u krug, a za takvo rezultujuce oscilovanje kazeda poseduje kruznu polarizaciju. Ove dve trajektorije prikazane su na slici1.11.

y y

x x

x A= -1 x A=

1x R=

y A=2

y R=

y A= -2

y R= -

x R= -

Slika 1.11. Polarizovano rezultujuce oscilovanje za slucaj fazne razlike jednake±π/2 za slucaj razlicitih (1.40) i jednakih amplituda (1.41).

Karakteristicni slucajevi su i kada je fazna razlika upravnih oscilacijajednaka nuli ili ±π:

ϕ = ϕy − ϕx = nπ ⇒ x2

A21+y2

A22± 2xy

A1A2= 0 ⇒ y = ±A2

A1x. (1.42)

gde je n = −1, 0, 1, i tada se kao jednacina trajektorije pojavljuje pravaprikazana na slici 1.12, a rezultujuce oscilovanje naziva linearno polarizo-vano.


y

x

x A= -1 x A=

1

y A=2

y A= -2

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

y x=A

A2

1

y x=A

A2

1

Slika 1.12. Linearno polarizovano oscilovanje kao posledica fazne razlike kojaiznosi celobrojni umnozak π, jednacina (1.42).

.

.

.

...

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

w

wx

y=

1

2j - j = 01 2

w

wx

y=

1

2j - j =1 2

p

2

Slika 1.13. Lisazuove figure.

Pri slaganju oscilacija sa medusobno upravnim pravcima kod kojih uces-tanosti nisu iste, vec stoje u odnosu celih brojeva, dobijaju se otvorene ilizatvorene linije, sa ili bez tacaka u kojima kriva sece samu sebe4. Ove krivese nazivaju Lisazuove figure i prikazane su na slici 1.13.

1.1.5 Razlaganje oscilacija

Oscilacije mogu biti proste i slozene. Prosta oscilovanja opisana su pros-tom harmonijskom funkcijom (sinusnom ili kosinusnom), tj. jednacinom(1.5). Za razliku od prostih oscilacija, postoje i slozene oscilacije koje seopisuju tzv. slozeno periodicnim funkcijama. U matematici se pokazujeda se svaka slozeno-periodicna velicina f(t) moze razloziti na prebrojivo

4sto zavisi od razlike pocetnih faza ϕ1 − ϕ2


beskonacan (ili u nekom posebnom slucaju konacan) broj prostih harmoni-jskih oscilovanja. Ovo razlaganje se naziva harmonijska analiza, a dobijenired Furijeov red:

f(t) =1

2a0 +

∞∑

k=1

(ak cos kω t+ bk sin kω t) =1

2a0 +

∞∑

k=1

ck sin(kω t+ ϕk).

(1.43)

Koeficijenti Furijeovog reda ak, bk (k = 0, 1, 2, ...) ili a0, ck, ϕk (k =1, 2, ...) odreduju se integracijom polazeci od funkcije f(t). Vise detaljao Furijeovim redovima moze se dobiti u okviru matematickih kurseva.

1.2 Prigusene oscilacije

Prilikom izvodenja jednacine kretanja LHO (1.5) ucinili smo pretpos-tavku da na telo deluje samo restituciona sila, sto znaci da smo zanemarilisvaki uticaj sredine u kojoj se odvija kretanje. Posto se oscilacije najcescene odvijaju u vakuumu, vec u vazduhu ili nekoj drugoj sredini, potrebnoje uzeti u obzir dejstvo okoline na kretanje. Sila kojom okolina deluje natelo u kretanju zavisi od svojstava sredine (gustine, viskoznosti, itd.,), odoblika tela koje se krece, i od njegove brzine. Na primer, ljudski organizamje naviknut na kretanje kroz vazduh, i otpor vazduha kretanju, koji je mali,uopste ne oseca, ukoliko nema kretanja vazduha, tj. vetra. Za razliku odvazduha, prilikom kretanja kroz vodu jasno se oseca otpor kretanju. Iskus-niji plivaci osetice cak i razliku prilikom plivanja u slatkovodnoj i morskojvodi. Voznja na motociklu, ili u otvorenim kolima, pokazace da se otporsredine povecava sa porastom brzine. Oblik tela koje se krece narocito jebitan kod konstrukcije automobila (a posebno kod sportskih bolida), brzihvozova, automobila, projektila, i sl., kako bi se smanjio otpor sredine kre-tanju i time smanjila potrosnja goriva.

1.2.1 Jednacina kretanja kod prigusenih oscilacija

Na osnovu prethodne analize jasno je da ce se realnije opisivanje os-cilovanja ostvariti ako se osim restitucione sile uzme u obzir i sila otporasredine. Iz iskustva je poznato da ce se oscilovanje tega okacenog o oprugu(i izvedenog iz ravnoteznog polozaja da zapocne oscilovanje) zavrsiti posleodredenog vremena, tj. da nece trajati beskonacno dugo kako to sledi izanalize LHO. Radi jednostavnosti analize, a i zbog cinjenice da su brzine

1.2. Prigusene oscilacije 29

kretanja oscilatornih tela male, pretpostavicemo da je sila otpora sredinelinearno proporcionalna brzini

Fotp = − b v = − b x, (1.44)

gde je b faktor proporcionalnosti sile i brzine. Zavisnost sile otpora odbrzine je jako komplikovana i zavisi od niza faktora, ali se za male brzineova zavisnost moze razviti u red i uzeti samo linearni clan. Znak minus uizrazu (1.44) oznacava da sila otpora sredine uvek ima smer suprotan brzini,tj. tezi da ukoci telo. Prema tome, osnovna dinamicka jednacina sada osimrestitucione sile sadrzi i silu otpora sredine, i ima oblik:

mx = −k x− b x (1.45)

Ovodeci nove velicine ω05 i β pomocu:

k = mω20, b = 2mβ, (1.46)

iz (1.45) dobija se diferencijalna jednacina u obliku:

x+ 2β x+ ω20 x = 0 (1.47)

Kada je ispunjen uslov β < ω0 (tj. prigusenje je malo)6 kao resenjediferencijalne jednacine (1.47) dobija se kvazi-periodicno kretanje7 opisanojednacinom:

x(t) = A0 exp−β t sin(ω t+ ϕ). (1.48)

Ova zavisnost prikazana je na slici 1.14, za razlicite vrednosti prigusenja.

5ω0 predstavlja ugaonu ucestanost oscilovanja kada ne bi bilo prigusenja.6U zavisnosti od vrednosti faktora prigusenja β jednacina (1.47) moze imati kvalita-

tivno razlicita resenja:

1. β > ω0 kretanje je aperiodicno;

2. β = ω0 kretanje je kriticno aperiodicno;

3. β < ω0 kretanje je kvazi-periodicno;

U slucaju velikih prigusenja (β > ω0) telo izvedeno iz ravnoteznog polozaja nece uopste nizapoceti oscilacije i pored dejstva restitucione sile, vec ce se nakon otpocinjanja kretanjazaustaviti. U slucaju kriticno aperiodicnog kretanja proces gubljenja energije tela tecenajbrze.

7Kretanje kod prigusenih oscilacija se naziva kvazi-periodicno jer nije ispunjen strogiuslov periodicnosti elongacije x(t + T ) = x(t), gde je T period oscilovanja. Medutim,kod kvazi-periodicnog kretanja postoji periodicnost faze oscilovanja Φ = ωt+ ϕ, tj. vaziΦ(t + T ) = Φ(t), pa se ipak moze definisati period T , te se stoga i govori o kvazi-periodicnom kretanju. Tacnije, kvazi-periodicno kretanje se moze razloziti na proizvodjedne periodicne (sin(ω t+ ϕ)) i jedne neperiodicne (A0 exp−β t) funkcije vremena.


x

x

x0

-x0

A t( )x t( )

t

t

x

A0

A0

-A0

-A0

t

A t( )

x t( )

b w= 0.051 0

T0

T1

T2

d = 0.315

Q = 2.14

b = 0

d = 0

Q r ¥

b w= 0.12 0

d = 0.631

Q = 1.39

2

2

1

1

Slika 1.14. Zavisnost elongacije od vremena kod prigusenih oscilacija.

Amplituda8 kod ovakvog kretanja je eksponencijalno opadajuca funkcijavremena:

A(t) = A0 exp−β t. (1.49)

Ugaona ucestanost, odnosno period, prigusenih oscilacija dati su izrazi-ma:

ω2 = ω20 − β2, T =2π

ω=

2π√

ω20 − β2(1.50)

8Videcemo kasnije da strogo govoreci ova velicina nije amplituda i da bi bilo pravilnijezvati je envelopa, sto ona i jeste sa matematicke tacke gledista.


Dakle, uporedujuci prosto harmonijsko oscilovanje dato jednacinom (1.5)i prikazano na slici 1.2 sa prigusenim kvazi-periodicnim oscilovanjem datimjednacinom (1.48) i prikazanim na slici 1.14, mogu se odmah uociti dve bitnerazlike koje se pojavljuju usled postojanja otpora sredine:

• amplituda oscilacija eksponencijalno opada sa vremenom, i

• ugaona ucestanost se smanjuje (a period povecava) u odnosu na situ-aciju kada nema prigusenja; ove zavisnosti prikazane su na slici 1.15 iono sto se lako uocava je da se za slucaj malog prigusenja ove promenemogu zanemariti.

Osim ovih, postoje jos nekoliko razlika, koje se ne uocavaju na prvi pogled,i o kojima ce biti reci kasnije.

0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

T

0T

w

0w

b

0w

Slika 1.15. Promena perioda i ugaone ucestanosti u zavisnosti od prigusenja.

U dosadasnjoj analizi kao meru prigusenja koristili smo faktor b kojise pojavljuje u izrazu za silu otpora sredine (1.44), sa dimenzijom b[=]N·s/m=kg/s, i faktor β koji se javlja u diferencijalnoj jednacini prigusenih os-cilacija (1.47), koji ima dimenzije ucestanosti β[=]s−1. Medutim, uobicajenoje da se stepen prigusenja opisuje nekim drugim faktorima:

• vreme relaksacije τ definise se kao vreme potrebno da se amplitudaprigusenih oscilacija smanji e puta, gde je e osnova prirodnih logari-tama. Iz A(t+ τ) = A(t)/e dobija se

τ =1

β; (1.51)


0.001 0.01 0.1 1

0.01

0.1

1

10

100 d

b/w0

Slika 1.16. Zavisnost logaritamskogdekrementa δ od stepena prigusenjaβ/ω0.

0.001 0.01 0.1 11

10

100

Q

d

Slika 1.17. Zavisnost Q-faktora odlogaritamskog dekrementa δ (punalinija). Aproksimativni izraz (1.54)dat je isprekidanom linijom.

• dekrement prigusenja k definise se kao odnos za koji se smanji ampli-tuda u toku jednog perioda:

k =A(t)

A(t+ T )= expβT; (1.52)

• logaritamski dekrement prigusenja δ predstavlja prirodni logaritamdekrementa prigusenja:

δ = ln k = lnA(t)

A(t+ T )= βT =

T

τ; (1.53)

Zavisnost logaritamskog dekrementa od odnosa β/ω0 prikazana je naslici 1.16.

• Q faktor (faktor dobrote) definise se kao reciprocna vrednost relativnoggubitka energije oscilatora u toku jednog perioda Q = E(t)/[E(t) −E(t+ T )]. Na slici 1.17 prikazana je zavisnost Q-faktora od vrednostilogaritamskog dekrementa. Moze se pokazati (a sto je vidljivo i saslike) da za mala prigusenja vazi

Q ≈ 1

2δ. (1.54)

Dekrement i logaritamski dekrement utoliko su veci ukoliko je vece pri-gusenje, dok su vreme relaksacije i Q faktor utoliko veci ukoliko je prigusenjemanje. Na slici 1.14 su osim odnosa β i ω0 kao parametri prigusenjaprikazane i odgovarajuce vrednosti logaritamskog dekrementa i Q-faktora.


1.2.2 Brzina, ubrzanje i energija prigusenih oscilacija

Osim eksponencijalnog opadanja amplitude i povecanja perioda (tj. sma-njivanja ugaone ucestanosti) zbog postojanja prigusenja, kod prigusenih os-cilacija mogu se uociti jos neke razlike u odnosu na neprigusene oscilacije.Prvo, simetrija elongacije je narusena ne samo zbog postojanja smanjivanjaamplitude, vec se pojavljuje i pomeranje trenutka u kome oscilator postizeamplitudni polozaj. Drugim recima, vreme za koje se oscilator krece odravnoteznog do amplitudnog polozaja je razlicito (tacnije, uvek je manje)od vremena za koje se on vraca iz amplitudnog u ravnotezni polozaj (kodneprigusenih oscilacija oba ova vremena su ista i iznose cetvrtinu periodaT/4). Drugo, fazna razlika izmedu brzine i elongacije, kao i izmedu ubrzanjai brzine, nije vise π/2 vec veca, a samim tim elongacija i ubrzanje nisu vise uprotivfazi (tj. razlika njihovih faza nije vise π). Konacno, srednja vrednostelongacije u jednom periodu nije vise jednaka nuli, kao kod neprigusenihoscilacija. Analizirajmo sada detaljnije ove fenomene.

Odredimo najpre izraze za brzinu i ubrzanje kvazi-periodicnog oscila-tora. Izraz za brzinu se dobija diferenciranjem izraza (1.48):

v(t) = x = A0 exp−β t[ω cosΦ(t)− β sinΦ(t)] =

= ω0A0 exp−β t cos(Φ(t) + Ψ), (1.55)

gde su

Φ(t) = ω t+ ϕ, tanΨ =β

ω. (1.56)

Izraz za ubrzanje kvazi-periodicnog oscilatora dobija se jos jednim diferen-ciranjem:

a(t) = x = v = −A0 exp−β t[(ω2 − β2) sinΦ(t) + 2βω cosΦ(t)] =

= −ω20 A0 exp−β t sin(Φ(t) + 2Ψ). (1.57)

Na slici 1.18 prikazane su vremenske zavisnosti elongacije, brzine i ubr-zanja kod prigusenih oscilacija za slucaj prigusenja β = 0.25ω0, tj. δ =1.62. Sa ove slike moze se uociti da je fazna razlika izmedu elongacije ibrzine, kao i izmedu brzine i elongacije veca od π/2 (vrednosti koja postojikod neprigusenih oscilacija). Povecanje fazne razlike je zavisno od stepenaprigusenja i raste sa njegovim povecanjem. Na slici 1.19 je prikazana za-visnost ugaonog faktora Ψ od stepena prigusenja β/ω0, a na slici 1.20 odlogaritamskog dekrementa δ.


0T 0.5T 1T 1.5T 2T

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

t

xt

vt

at

(),

(),

()

ubrzanje ( )a t

brzina ( )v t

elongacija ( )x t

Slika 1.18. Uporedne zavisnosti elongacije, brzine i ubrzanja kod prigusenih os-cilacija.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

30

60

90 Y ( )

b w/ 0

Slika 1.19. Zavisnost ugaonog faktoraΨ od stepena prigusenja β/ω0.

0.1 1 100

30

60

90

d

Y ( )

Slika 1.20. Zavisnost ugaonog faktoraΨ od logaritamskog dekrementa δ.

Ako sada potrazimo vremenske trenutke u kojima oscilator postize mak-simalno udaljenje od ravnoteznog polozaja, dobicemo ih iz izraza x = 0 kao

t(xext)n =

1

ω

[

(2n+ 1)π

2− ϕ−Ψ

]

, n = ...− 2,−1, 0, 1, 2, ... (1.58)

i uocavamo da se oni razlikuju od trenutaka u kojima se elongacija oscilatoraizjednacava sa vrednoscu eksponencijalno opadajuce amplitude:

t(x=A)n =

1

ω

[

(2n+ 1)π

2− ϕ

]

, n = ...− 2,−1, 0, 1, 2, ... (1.59)

za faktor ∆t = Ψ/ω. To prakticno znaci da ako posmatramo kretanjeoscilatora izmedu dva ravnotezna polozaja, onda kretanje do amplitudnog


0T 0.25T 0.5T 0.75T 1T

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

x t A( )/ 0

t1 t2

Slika 1.21. Nesimetricnost ampli-tudnih polozaja kod prigusenih osci-lacija.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

0.25

0.5

T/4

t2

t1 b w/ 0

t T t T/ , /1 2

Slika 1.22. Vrednosti vremen-skog pomeraja amplitudnih polozajau funkciji stepena prigusenja.

polozaja uvek traje krace (t1 = T/4 − ∆t) od povratka iz amplitudnog uravnotezni polozaj (t2 = T/4 + ∆t). Na slici 1.21 prikazana je elongacijaoscilatora u toku prvog perioda kretanja (za ϕ = 0 i β = 0.5ω0) odaklese jasno uocava razlika izmedu t1 i t2. Odstupanja t1 i t2 od vrednostiT/4 koja predstavlja odgovarajucu vrednost za slucaj neprigusenih oscilacijaprikazana su na slici 1.22 u zavisnosti od stepena prigusenja.

Jos jedna interesantna osobina prigusenih oscilacija je ta da je srednjavrednost elongacije u toku jednog perioda definisana kao

xsr = x =1

T

∫ t+T

tx(t) dt (1.60)

razlicita od nule. Srednja vrednost elongacije naravno zavisi od vrednostiprigusenja, ali i od trenutka vremena t u kome pocinje usrednjavanje. Mozese pokazati da je

x =1− exp−β T

2πexp−β t

[

cos(ωt+ ϕ) +β

ωsin(ωt+ ϕ)

]

(1.61)

i da x varira u opsegu do minimalne, preko nulte do maksimalne vrednosti.Ove vrednosti odredene su odgovarajucim trenucima u kojima pocinje usred-njavanje tako da vazi:

• minimalno x - usrednjavanje pocinje kada oscilator krece iz ravnoteznogprema negativnom amplitudnom polozaju

• maksimalno x - usrednjavanje pocinje kada oscilator krece iz ravnoteznogprema pozitivnom amplitudnom polozaju


• x = 0 - usrednjavanje pocinje u nekom karakteristicnom polozaju kojizavisi od stepena prigusenja.

Na slici 1.23 prikazana su ta tri karakteristicna slucaja za prigusenje defini-sano sa β = 0.5ω0.

0 0.25T 0.5T 0.75T T

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0 0.25T 0.5T 0.75T T

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 0.25T 0.5T 0.75T T

-0.4

-0.2

0.0

0.2

t

x

t

x

t

x

x

x

a)

b)

c)

Slika 1.23. Usrednjavanje elongacije u toku jednog perioda: a) nulta srednjavrednost; b) maksimalna srednja vrednost; c) minimalna srednja vrednost.

Izrazi za kineticku i potencijalnu energiju su sada:

Ek =mv2

2=

mA202

exp−2βt[

ω20 cos2Φ+ β2(sin2Φ− cos2Φ)−

− 2βω cosΦ sinΦ] (1.62)

Ep =kx2

2=mω20A

20

2exp−2βt sin2Φ, (1.63)

1.3. Prinudne oscilacije 37

E0

tT 2T 3T 4T

E t( )

(1.65)

(1.64)

0

Slika 1.24. Promena ukupne energije kod prigusenih oscilacija.

pa je izraz za ukupnu energiju:

E = Ek + Ep =kA202

exp−2βt[

1 +

(

β

ω0

)2

(sin2Φ− cos2Φ)−

− 2ωβ

ω20cosΦ sinΦ

]

. (1.64)

Ovaj komplikovani izraz se moze uprostiti ako se pretpostavi malo pri-gusenje, tj. β ¿ ω0 ⇒ ω ≈ ω0, kada se druga dva sabirka u izrazu (1.64)mogu zanemariti u odnosu na prvi pa imamo:

E(t) ≈ kA202

exp−2βt = kA2(t)

2= E0 exp−2βt, (1.65)

pa ukupna energija opada eksponencijalno s vremenom. Matematickomanalizom izraza (1.64) moze se pokazati da se i u slucaju vecih prigusenjamoze koristiti aproksimacija (1.65). Na primer, na slici 1.24 prikazan jevremenski oblik promene energije prema tacnom (1.64) i aproksimativnom(1.65) izrazu za slucaj β = 0.2ω0.

1.3 Prinudne oscilacije

Do sada smo proucavali oscilacije sa i bez prigusenja. U teoriji i praksimoze se pojaviti jos jedan vazan slucaj oscilacija - prinudne oscilacije, kojenastaju pod dejstvom spoljasnje periodicne sile, koja konstantno predaje


odredenu energiju oscilatoru. Dakle, ako na materijalnu tacku osim resti-tucione i sile otpora sredine deluje i neka spoljasnja prosto-periodicna silaF = F0 sinωp t, gde su F0 i ωp amplituda i ucestanost prinudne sile, respek-tivno, tada ce diferencijalna jednacina koja opisuje kretanje te materijalnetacke imati oblik:

mx = −k x− b x+ F0 sinωp t (1.66)

Ako uvedemo sledece oznake:

k = mω20, β =b

2m, f0 =

F0m, (1.67)

dolazimo do jednacine:

x+ 2β x+ ω20 x = f0 sinωp t. (1.68)

Jednacina (1.68) predstavlja nehomogenu diferencijalnu jednacinu (jerna desnoj strani nije nula vec neka funkcija), cije se resenje moze pred-staviti u obliku zbira dva resenja: resenja homogenog dela i jednog par-tikularnog integrala koji odgovara nehomogenom delu. Posto homogenideo jednacine (1.68) (tj. jednacina sa nulom na desnoj strani) u stvaripredstavlja jednacinu prigusenog oscilovanja (1.45), onda za odgovarajuceresenje vazi diskusija iz prethodne sekcije, pa ako je prigusenje malo (β <ω0), resenje jednacine (1.68) mozemo napisati u obliku:

x = A0 exp−β t sin(ω t+ ϕ) + xp, (1.69)

gde je xp partikularni integral nehomogenog dela, koga treba traziti u obliku:

xp = x0 sin(ωpt− ψ). (1.70)

Gornja matematicka diskusija ima i svoju fizicku pozadinu. Kretanjeoscilatora na koga deluje prinudna sila sastoji se iz dva kretanja: sopstvenihoscilacija koje su karakteristika samog oscilatora i prinudnih oscilacija kojese desavaju pod dejstvom spoljasnje prinudne sile. Sopstvene oscilacije ustvari definisu prelazni rezim koji posle dovoljno dugog vremena iscezava,te preostaje samo partikularno resenje xp(t) koje predstavlja prinudne os-cilacije. Primecujemo da je ucestanost prinudnih oscilacija identicna saucestanoscu prinudne sile.

Tangens faze kasnjenja ψ, i amplituda prinudnih oscilacija mogu seodrediti zamenom (1.70) u (1.68):

tanψ =2β ωp

ω20 − ω2p= f1(β, ω0, ωp),

1.3. Prinudne oscilacije 39

x0 =f0

√

(ω20 − ω2p)2 + 4β2ω2p

= f2(β, ω0, ωp). (1.71)

Zavisnosti x0(ωp) i tanψ(ωp), za razlicite vrednosti faktora prigusenjaβ, prikazane su na slici 1.25.

x0

wpwr1

wr2w

0

w0

w0

b = 0b = 0

b1

b2

wp

y

= 0.1

w0

b1

= 0.1

= 0.5

w0

b2

= 0.5

w0

Slika 1.25. Frekventna zavisnost amplitude i faze prinudnih oscilacija.

Rezonanca

Sa slike 1.25 uocava se da postoji vrednost ucastanosti prinudne sileωp za koju se postize maksimalna amplituda. Ostvarivanje maksimalneamplitude prinudnih oscilacija naziva se rezonanca, a ucestanost na kojoj seona ostvaruje rezonantna ucestanost i oznacava sa ωr. Ona se moze odredititrazeci ekstremum funkcije x0(ωp):

∂x0∂ωp

∣

∣

∣

∣

ωp=ωr

= 0 ⇒ ωr =√

ω20 − 2β2 =√

ω2 − β2 (1.72)

Za rezonantne vrednosti amplitude i tangensa faznog kasnjenja dobijajuse vrednosti:

x0(ωr) =f0

2β√

ω20 − β2=

f02β ω

, tanψ(ωr) =

√

(

ω0β

)2

− 2. (1.73)

Za slucaj neprigusenih prinudnih oscilacija (β → 0) imacemo da je faznokasnjenje nula, a rezonatna ucestanost ωr jednaka sopstvenoj ucestanosti ω0:

β → 0 ⇒ ψ = 0, x0 =f0

ω20 − ω2p, ωr = ω0. (1.74)


Za slucaj ostvarene rezonance, amplituda neprigusenih prinudnih oscilacijatezi beskonacnosti, bas kao sto se vidi na slici 1.25:

x0(ωp = ω0)→∞. (1.75)

1.4 Talasi

Do sada smo proucavali oscilatorno kretanje jedne materijalne tacke.Medutim, cesta je situacija da oscilacija jedne materijalne tacke, koja je npr.izazvana elasticnom silom, izaziva oscilaciju susedne tacke, ova naredne,te se tako progresivno uspostavlja oscilatorno kretanje citavog niza tacakakoje se naziva talas. Takode se govori i o prostiranju poremecaja, jer sesvaka elongacija materijalne tacke moze shvatiti kao poremecaj u odnosuna ravnotezni polozaj.

Dva osnovna elementa svakog talasa su talasni izvor i talasni front:

• Talasni izvor predstavlja tac-ku iz koje zapocinje prostira-nje oscilacija.

• Talasni front predstavlja po-vrsinu koju cine tacke do kojeje u jednom trenutku stigaotalas.

Slika 1.26. Superpozicija sekundarnihtalasa - prostiranje talasa po Hajgen-sovom principu.

Prostiranje talasa moze se opisati i pomocu Hajgensovog principa. Haj-gensov princip izrazava cinjenicu da se svaka tacka pogodena talasom mozesmatrati izvorom novog sekundarnog talasa. Sekundarni talasi nastali natalasnom frontu u jednom trenutku vremena medusobno se ponistavaju usvim pravcima, osim u pravcu sirenja talasa, tj. novi talasni front se formirana spoljasnjoj obvojnici sekundarnih talasa (slika 1.26).

1.4.1 Vrste talasa

Podela talasa moze se izvrsiti na vise nacina:

• Prema nacinu prostiranja talasi se dele na:

– linijske (jednodimenzione) - koji se prostiru duz jednog pravca;

1.4. Talasi 41

– povrsinske (dvodimenzione) - koji se prostiru po nekoj povrsini;

– prostorne (trodimenzione) - koji se prostiru u prostoru.

• Prema obliku talasnog fronta razlikujemo:

– sferne talase - kod kojih je talasni front sfera;

– ravanske talase - kod kojih je talasni front ravan; ravanski talasise mogu shvatiti i kao sferni talasi velikog poluprecnika krivine,tj. sferni talasi na velikim rastojanjima izgledaju kao ravanski.

• Prema prirodi oscilacija talasi mogu biti:

– mehanicki - kod kojih osciluju cestice materijalne sredine;

– elektromagnetni - kod kojih osciluju vektori elektricnog i mag-netnog polja;

– de Broljevi - ili ”talasi materije”; prema kvantno-mehanickimtumacenjima svakoj cestici moze se pridruziti talas i obrnuto.

• Prema odnosu pravaca oscilovanja i prostiranja postoje:

– transverzalni talasi - kod kojih je pravac prostiranja talasa upra-van na pravac oscilovanja talasa; za njihovo postojanje neopho-dan je napon smicanja koji postoji samo kod cvrstih tela, te seovi talasi prostiru samo u cvrstim sredinama;

– longitudinalni talasi - kod kojih se pravci prostiranja talasa ioscilovanja tacaka talasa poklapaju; ovi talasi prostiru se krozcvrste, tecne i gasovite sredine.

• Konacno, prema slozenosti talase delimo na:

– proste (sinusni ili kosinusni talas) - kada se kao talas uspostavljasamo jedna prosta harmonijska oscilacija;

– slozene talase - kada tacke talasa vrse slozeno oscilovanje.

1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa

Brzina prostiranja talasa zavisi od vrste talasa i karakteristika sredinekroz koju se obavlja prostiranje:


• Brzina prostiranja transverzalnih talasa u cvrstom telu data je izrazom

c =

√

F

µ, (1.76)

gde je F - sila zatezanja, a µ - masa po jedinici duzine (poduznamasa).

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u cvrstom telu:

c =

√

Ey

ρ, (1.77)

gde je Ey - Jungov modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u tecnoj sredini:

c =

√

EV

ρ(1.78)

gde je EV - zapreminski modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u gasovitoj sredini:

c =

√

pκ

ρt(1.79)

gde su p - pritisak gasa, κ = cp/cV - adijabatska konstanta (odnosspecificnih toplota pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini),a ρt - gustina gasa na temperaturi t.

Posto i pritisak i gustina gasa zavise od njegove temperature, izraz(1.79) se moze transformisati koriscenjem jednacine stanja idealnihgasova na oblik:

c = c0

√

T

T0= c0

√

1 +t

273(1.80)

gde su sada, c0 - brzina talasa na 0C, T - apsolutna temperaturagasa, T0 = 273 K - Kelvinova temperatura na nuli Celzijusove skale, it - temperatura gasa u Celzijusovim stepenima.

1.4. Talasi 43

1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa

Za razliku od jednacine oscilovanja koja daje zavisnost elongacije od vre-mena za jednu tacku koja osciluje, jednacina talasa mora dati ovu zavisnostza sve tacke do kojih je talas propagirao. Zbog toga je sada elongacija xfunkcija dve promenljive t i y:

x(t, y) = x0 sin(ω t− k y) (1.81)

gde su:x(t, y) - elongacija tacke na mestu y u trenutku vremena t;x0 - amplituda oscilovanja tacaka talasa;ω - ugaona ucestanost oscilovanja tacaka talasa;k - talasni broj (talasni vektor);Φ(t, y) = ω t−k y - faza oscilovanja tacke na mestu y u trenutku vremena

t;Veze izmedu ugaone ucestanosti ω i perioda T , kao i talasnog broja k i

talasne duzine λ, date su izrazima:

ω =2π

T, k =

2π

λ. (1.82)

Koristeci (1.82), jednacina talasa moze se napisati i u alternativnomobliku9 :

x(y, t) = x0 sin 2π

(

t

T− y

λ

)

. (1.83)

9Treba napomenuti da je pri pisanju jednacina (1.81) tj. (1.83) ucinjeno nekolikoimplicitnih pretpostavki:

• pretpostavljen je ravanski talas ciji je talasni front zadat jednacinom y = const;

• pretpostavljen je transverzalni talas kod koga se oscilacije desavaju duz x, a talasprostire duz y pravca; medutim, vazenje ove jednacine se moze jednim misaonimeksperimentom prosiriti i na slucaj longitudinalnih talasa: zamislimo da se lon-gitudinalni talas prostire duz y ose, i da umesto jedne x ose koja postoji kodtransverzalnih talasa, i koja ima jednacinu y = 0, sada svaka tacka (npr. yi) na yosi ima svoju x osu, koja se po pravcu poklapa sa y osom, ali tako da se koordinatnipocetak x ose nalazi upravo u tacki yi (tj. za svaku tacku yi postoji x osa xi sajednacinom xi = y − yi); tada, fiksirajuci jedno y = y1 u jednacini (1.81), ponovodobijamo elongaciju date tacke u vremenskom trenutku t;

• usvojeno je da nema slabljenja amplitude ni u prostoru ni u vremenu, tj. sve tacketalasa imaju istu, nepromenljivu amplitudu;

• pretpostavljeno je da se talas prostire kroz beskonacnu sredinu bez diskontinuiteta(prepreka), koje bi mogle da izazovu refleksiju i stvaranje slozenog talasa.


Graficki nacin predstavljanja talasa je moguc na tri razlicita nacina:

1. x(t, y) predstavlja povrsinu u x, t, y dijagramu;

2. x(t, y = y1) predstavlja jednacinu oscilovanja neke fiksirane tacke (y =y1 = const);

3. x(t = t1, y) predstavlja snimak oscilovanja svih tacaka talasa u jednomtrenutku vremena t = t1 = const (slika 1.27).

l

x

y

vp

Slika 1.27. Oblik sinusnog talasa za t = t1.

Smisao talasne duzine vidi se iz sledeceg razmatranja. Posmatrajmo dvetacke talasa, koje se nalaze na rastojanjima y1 i y2 od izvora talasa, u istomvremenskom trenutku t:

x1 = x0 sin(ω t− k y1), x2 = x0 sin(ω t− k y2), (1.84)

te odredimo njihovu faznu razliku

∆Φ = ω t− k y2 − ω t+ k y1 = k (y1 − y2) =2π

λ(y1 − y2). (1.85)

Ukoliko je

y1 − y2 = nλ ⇒ ∆Φ = 2π n, (1.86)

odakle zakljucujemo da talasna duzina predstavlja minimalno rastojanjeizmedu tacaka koje se nalaze u istoj fazi oscilovanja talasa (slika 1.27).

Brzina prostiranja talasa vp definise se kao:

vp = c =ω

k=λ

T= ν λ. (1.87)

1.4. Talasi 45

1.4.4 Fazna i grupna brzina talasa

Izrazom (1.87) definisana je brzina prostiranja talasa vp. Posto se onamoze izvesti kao brzina prostiranja konstantne faze duz y-pravca, cesto senaziva i fazna brzina talasa, i oznacava sa vf . Naime, iz

Φ = ωt− ky = const, (1.88)

diferenciranjem dobijamo

vp = vf = vy =dy

dt=ω

k. (1.89)

Dokle god je talas koji se prostire prost (ili kako se to kaze, po analogiji sasvetloscu, ”monohromatski”), sa jednim talasnim brojem (odnosno jednomtalasnom duzinom), onda je fazna brzina talasa jedina brzina prostiranjakoja postoji. Medutim, ako je talas koji se prostire kroz neku sredinu slozen(”polihromatski”), onda se on moze prikazati kao konacna ili beskonacna(n→∞) suma prostih talasa

x =n∑

i=1

x0 i sin(ωit− kiy), (1.90)

od kojih svaki ima svoju amplitudu x0 i, ugaonu ucestanost ωi (tj. periodTi = 2π/ωi) i talasni broj ki (tj. talasnu duzinu λi = 2π/ki). Svaki od ovihtalasa ima i svoju faznu brzinu prostiranja

vf i =ωi

ki=λiTi. (1.91)

Kljucno pitanje koje se postavlja je da li su fazne brzine svih prostih talasakoje cine slozeni talas jednake (tj. da li vazi da je vf i = vf , i = 1, 2, ...).Odgovor na ovo pitanje je dosta komplikovan i zavisi od vrste talasa i sredinekroz koju se on prostire. Na primer, kod zvucnih talasa ove brzine jesujednake, dok npr. kod svetlosti (koja predstavlja elektromagnetni talas) unekim sredinama jesu, a u nekim nisu, o cemu ce vise biti reci u poglavljuposvecenom optici.

Na osnovu prethodne analize sledi da ako su brzine prostih talasa kojicine slozeni talas jednake, onda postoji samo jedna vrednost brzine kojakarakterise kretanje slozenog talasa kao celine, i ona je jednaka faznoj brzini.Sredine koje imaju osobinu da se odredena vrsta talasa prostire na ovajnacin nazivaju se nedisperzivne sredine (disperzija = rasturanje, rasipanje),


jer se oblik slozenog talasa ne menja s obzirom da svaka njegova komponentaputuje istom brzinom. Osim kretanja kroz homogenu sredinu, talas pri svomkretanju moze prelaziti iz jedne sredine u drugu. Bez obzira na sredinu,njegova frekvencija se ne menja (tj. za slozeni talas niz ωi ostaje isti), dokse talasni broj (tj. niz ki) moze menjati. Kada slozeni talas prelazi izjedne u drugu nedisperzionu sredinu zbog promene ki odnos ωi/ki se mozepromeniti, ali je on i dalje isti za svako i, tj. brzina ostaje jednaka za sveproste talase koji cine slozeni talas.

Za razliku od nedisperzivnih sredina, postoje i disperzivne sredine, kodkojih brzine prostiranja prostih talasa koji cine slozeni talas nisu jednake(tj. odnos ωi/ki je razlicit). Zbog toga, slozeni talas menja svoj oblik utoku prostiranja, jer pojedine njegove komponente putuju razlicitim brzi-nama. Posmatrano matematicki, ukoliko zelimo da znamo brzinu svakogpojedinacnog prostog talasa, umesto proste linearne veze izmedu ugaoneucestanosti i talasnog broja koja vazi za nedisperzivne sredine

vf =ω

k= const =⇒ ω = vf · k, (1.92)

u nedisperzivnim sredinama je neophodno da poznajemo slozeniju relacijuoblika

ω = f(k), (1.93)

koja sada zamenjuje izraz (1.92), i koja se naziva disperziona relacija, jerupravo ona rezira disperziju, tj. rasipanje slozenog talasa. Disperzionarelacija moze biti zadata i u inverznom obliku k = f−1(ω), ili implicitnoφ(ω, k) = 0, a takode ju je moguce napisati i preko talasne duzine koristecismenu k = 2π/λ, sto daje ω = f(k(λ)) = g(λ), λ = g−1(ω), ili φ(ω, k(λ) =φ1(ω, λ) = 0.

U disperzivnim sredinama ima smisla definisati osim fazne i takozvanugrupnu brzinu, u oznaci vg:

vg =dω

dk. (1.94)

Grupna brzina pruza vise informacija o kretanju slozenog talasa kao grupeprostih talasa. Ona u stvari predstavlja brzinu kojom slozeni progresivnitalas prenosi energiju. Na osnovu definicije, jasno je da fazna i grupnabrzina imaju istu vrednost u slucaju nedisperzivnih sredina vg = vf =ω/k = dω/dk, dok se kod disperzivnih sredina ove brzine razlikuju, tj.vg 6= vf .

1.4. Talasi 47

1.4.5 Energija i intenzitet talasa

Pretpostavimo da u nekoj sredini postoji talasni izvor od koga se u svimpravcima siri jedan sferni talas. Uocimo sada jednu tacku u toj sredini. Prenego sto talas dopre do nje ona miruje (ako zanemarimo njeno termicko kre-tanje), pa prema tome nema mehanicku energiju. Kada bude pogodena tala-som ona zapocinje oscilovanje, sto znaci da je primila odredenu kolicinu en-ergije, koju, ako zanemarimo prigusenje, zadrzava trajno. Proces prenosenjaenergije nastavlja se dalje sa drugim, udaljenijim, tackama. Prema tome,talas mozemo da shvatimo i kao jedan transportni proces u kome se vrsitransport mehanicke energije. Posto cemo se u ovom kursu sretati sa ra-zlicitim transportnim procesima na ovom mestu cemo pokusati da razvi-jemo odgovarajucu matematicku metodologiju i definisati nekoliko karak-teristicnih velicina kojima se opisuje transport. Ove velicine date su u tabeli1.1.

Tabela 1.1. Karakteristicne transportne velicine za mehanicki talas.

Transportni proces Mehanicki talas Jedinica

Skalarna velicinakoja se transportuje Mehanicka energija J

Fluks Fluks (protok) energije(snaga mehanickih talasa) Φ W

Vektor gustine fluksa Intenzitet talasa ~I W/m2

Posmatrajmo ravanski talas ciji deo

S

dx

Slika 1.28. Prostiranje dela frontaravanskih talasa.

talasnog fronta u trenutku t predstavljazadnju stranu kvadra prikazanog na slici1.28. Nakon vremenskog intervala δt ta-lasni front ce se pomeriti za rastojanjeδx = c·δt, gde je c brzina prostiranja ta-lasa. Energetski fluks (protok) Φ pred-stavlja energiju koju talas kroz definisanupovrsinu S prenese u jedinici vremena10

Φ =wS δx

δt= wS c [=]W, (1.95)

10uz pretpostavku da je vrednost intenziteta talasa ista u svim tackama povrsine S


gde je w - gustina energije talasa, tj. energija oscilovanja cestica sredine ujedinici zapremine.

Intenzitet (jacina) talasa predstavlja energiju koju u jedinici vremenatalas prenese kroz jedinicnu povrsinu:

I =Φ

S= w c [=]

W

m2(1.96)

Ako se gustina energije talasa izrazi preko energije oscilatora ciji je broj ujedinici zapremine N ,

w = nmω2A2

2=ρ v202, (1.97)

dobija se:

I =1

2ρω2A2 c, (1.98)

gde je ρ = nm gustina sredine, A amplituda oscilovanja, a ω kruzna uces-tanost osilovanja cestica, dok je v0 maksimalna vrednost brzine oscilujucecestice. Tacnije, intenzitet talasa je vektor koji je u svakoj tacki kolinearansa brzinom prostiranja talasa, tj. upravan na talasni front:

~I = w~c =1

2ρω2A2 ~c, (1.99)

U slucaju sfernog talasnog fronta, ukupna povrsina talasnog fronta biceS = 4πr2 gde je r rastojanje od talasnog izvora do talasnog fronta u trenutkut. Sada je veza izmedu energetskog fluksa i intenziteta talasa data izrazima:

I =Φ

4π r2, Φ = I 4π r2, (1.100)

sto dovodi do zakljucka da ako izvor talasa emituje konstantnu kolicinu en-ergije u jedinici vremena, onda intenzitet sfernog talasa opada sa kvadratomrastojanja od izvora.

1.4.6 Interferencija talasa

Ako se u nekoj tacki prostora pojave dve oscilacije, onda ce nastatirezultujuca oscilacija prema pravilima za slaganje oscilacija. Ako su uzrocinastanka ove dve oscilacije prostiranje dva talasa, onda govorimo o interfer-enciji talasa u datoj tacki. Da bi matematicki tretirali ovaj slucaj, posma-tracemo dva talasa koja od razlicitih izvora u istom vremenskom trenutku

1.4. Talasi 49

stignu u istu tacku A, kao na slici 1.29, a radi jednostavnosti, izabracemonajprostiji slucaj kod koga se oscilacije tacke A poklapaju po pravcu. Da biuprostili algebarsku analizu pretpostavicemo i da je amplituda oba talasaista.

Ove oscilacije date su izrazima:

A

O

O’

Slika 1.29. Interferencija ta-lasa u tacki A.

x1 = A sin(ω t− k y1),x2 = A sin(ω t− k y2), (1.101)

tako da se za rezultujucu oscilaciju dobija:

x = x1 + x2 =

= 2A cos ky2 − y1

2sin

(

ω t− k y1 + y22

)

= B sin(ω t− ϕ). (1.102)

Uocavamo da je rezultujuca oscilacija pros-ta harmonijska oscilacija cija amplituda zavisi od putne razlike dva super-ponirajuca talasa. Posmatrajmo dva karakteristicna slucaja: ako je putnarazlika dva talasa koji se susticu u tacki A jednaka celobrojnom umnoskutalasnih duzina,

y2 − y1 = nλ ⇒ B = 2A cosnπ = ±2A, (1.103)

amplituda rezultujuce oscilacije je maksimalna i jednaka dvostrukoj vred-nosti amplitude talasa koji interferiraju (jer smo pretpostavili A1 = A2 =A), dok ako je putna razlika jednaka neparnom umnosku polovina talasnihduzina,

y2 − y1 = (2n+ 1)λ

2⇒ B = 2A cos(2n+ 1)

π

2= 0 (1.104)

amplituda rezultujuce oscilacije je minimalna, tj. jednaka nuli (zbog A1 =A2 = A).

Uslovi putne razlike u jednacinama (1.103) i (1.104) nazivaju se putniuslovi maksimalnog pojacavanja (1.103) i maksimalnog slabljenja (1.104) priinterferenciji talasa.

1.4.7 Stojeci talasi

Posmatrajmo sada specijalan slucaj interferencije dva ravanska talasakoji imaju iste amplitude, ucestanosti i talasne duzine, prostiru se duz istog


pravca (y-ose), nalaze se u fazi za y = 0, a jedino se razlikuju po smeru svogprostiranja. Jednacine ovih talasa ce biti

x1(t, y) = A sin(ω t− k y), x2(t, y) = A sin(ω t+ k y), (1.105)

pri cemu x1 predstavlja talas koji se prostire u pozitivnom a x2 u negativnomsmeru y ose. Posto ove jednacine definisu talase duz citave y ose, njihovimsabiranjem dobijamo takode talas11 koji ima oblik

x(t, y) = x1 + x2 = 2A cos k y sinω t = B(y) sinω t, (1.106)

sto predstavlja vrlo specifican niz oscilujucih tacaka koji se naziva stojecitalas.

Stojeci talas pokazuje sledece osobine:

• Amplitude oscilovanja pojedinih tacaka talasa nisu konstantne i za-vise od polozaja tih tacaka. To znaci da cestice u razlicitim tackamatalasa imaju razlicite amplitude oscilovanja. Ako potrazimo cestice samaksimalnom i minimalnom amplitudom oscilovanja, imacemo

yt = nλ

2⇒ B = ±2A, (1.107)

yc = (2n+ 1)λ

4⇒ B = 0. (1.108)

Tacke u kojima se nalaze cestice sa maksimalnom amplitudom oscilo-vanja nazivaju se trbusi a one u kojima su cestice cija je amplitudaoscilovanja jednaka nuli12 cvorovi stojeceg talasa.

• Faze oscilovanja cestica stojeceg talasa ne zavise od njihovog polozajavec samo od vremena. To prakticno znaci da sve cestice stojeceg talasaosciluju u fazi, tj. u nekom vremenskom trenutku sve cestice nalazese u ravnoteznom polozaju, a u nekom drugom trenutku sve ce se naciu amplitudnom polozaju (slika 1.30).

• Posto faze oscilovanja cestica stojecih talasa (tj. jedna, jedinstvenafaza, kako smo videli malocas) ne zavise od polozaja, to prakticnoznaci da stojeci talas nema svoj talasni broj, odnosno talasnu duzinu.

11za razliku od analize u prethodnoj sekciji posvecenoj interferenciji gde smo sabiralidve oscilacije, tj. dva talasa u jednoj tacki, pa je i rezultat bila jedna oscilacija.

12tj. cestice koje se u miru i koje ne vrese oscilovanje;

1.5. Talasi u Zemljinom omotacu 51

t =5T8 ,

7T8

,13T

8,15T

8 ,...

t =3T

4,

7T

4,

11T

4,...

t = 0,T

2,

3T

2,T , 2 ,...T

t =T

8,

3T8

,9T

8,

11T

8,...

t =T

4 ,5T

4 ,9T

4,...

y

x

Slika 1.30. Oscilovanje tacaka stojeceg talasa.

To znaci da se ne moze definisati ni brzina prostiranja stojeceg ta-lasa, sto navodi na cinjenicu da se stojeci talas ne prostire, tj. nijeprogresivni, vec stojeci, kako mu samo ime kaze. Posto nema brzineprostiranja ne postoji ni njegov intenzitet, odnosno stojeci talas neprenosi energiju13.

Stojeci talasi najjednostavnije nastaju kada se neki progresivni talasodbije od idealno reflektujuce prepreke tako da se ostvari odgovarajuci fazniuslov za incidentni i reflektujuci talas. Stojeci talasi igraju veliku ulogu kakou akustici (zvucni stojeci talasi), tako i u elektromagnetizmu (elektromag-netni stojeci talasi).

1.5 Talasi u Zemljinom omotacu

1.5.1 Grada Zemlje

Unutrasnjost Zemlje sastoji se od vise slojeva, ali u pojednostavljenojslici mozemo reci da su njeni delovi (slika 1.31):

13Prethodna, na prvi pogled cudna, tumacenja treba shvatiti na pravi nacin. Stojecitalas predstavlja stanje oscilovanja odredene oblasti nastalo superpozicijom dva specificnaprogresivna talasa. Iako ne postoji talasna duzina stojeceg talasa, u analizama se koristipostojeca talasna duzina interferirajucih talasa. Takode, iako stojeci talas ne prenosienergiju, to ne znaci da energija ne postoji u oblasti u kojoj egzistira stojeci talas. Tozapravo samo znaci da je kolicina energije koju u posmatranu oblast unese jedan odinterferirajucih talasa jednaka kolicini energije koju onaj drugi iznese, pa je prakticnokolicina energije lokalizovane u prostoru u kome je formiran stojeci talas konstantna (ijednaka zbiru energija svih oscilatora u datoj oblasti)


Kora

Plašt

Spolja njejezgro

š

Unutrašnjejezgro

Slika 1.31. Pojednostavljenagrada Zemlje.

• untrasnje jezgro poluprecnika 1 200 km,sacinjeno od gvozda i nikla, koje se zbogogromnog pritiska nalazi u cvrstom stanju;

• spoljasnje jezgro, debljine oko 2 300 km,takode sacinjeno od gvozda i nikla, ali utecnom stanju;

• plast, debljine oko 2 800 km, sastavljenod cvrstih silikatnih stena;

• kora, debljine 6 do 40 km, takode sacinje-na od silikatnih stena;

Kada govorimo o Zemlji kao slozenom ekoloskom sistemu, i analiziramoprocese na planeti, onda se takode razlikuju nekoliko interagujucih eleme-nata:

• litosfera koja odgovara Zemljinoj kori;

• hidrosfera koja predstavlja Zemljin vodeni omotac sacinjen od okeana,mora, jezera, reka, itd. ;

• atmsofera koja predstavlja vazdusni omotac;

• magnetosfera koja predstavlja oblast u kojoj se oseca dejstvo Zem-ljinog magnetnog polja;

• biosfera sastavljena od zivog sveta koji prozima sve prethodne ele-mente.

1.5.2 Seizmicki talasi

Vecina od nas ima iskustva sa podrhtavanjem tla - zemljotresima. Seiz-micki talasi su vibracije zemljotresa koje se prenose kroz Zemljinu koru.

Zemljotresi (ili trusovi) se prema nacinu nastanka mogu podeliti naprirodne i vestacke. Prirodni zemljotresi mogu biti:

• urvinski - nastaju obrusavanjem velike mase zemlje u podzemnimsupljinama; dejstvo im je lokalno;

• vulkanski - nastaju kada lava prodre kroz kratere ili usled naglogoslobadanja gasova i vodene pare pod visokim pritiskom; takode sulokalnog dejstva;


• tektonski - nastaju nabiranjem Zemljine kore sto dovodi do velikihpomeranja i dislokacija u Zemljinoj kori; pomeranja nailaze na ot-por trenja, tako da pomereni blok moze da se zaustavi; tom pri-likom tlo podrhtava, a zatim se smiruje posto dolazi do privremenoguravnotezavanja bloka; medutim, daljom aktivnoscu Zemljine koremoze da dode do naglog klizanja, kada naponi nadmase sile trenja,i tada dolazi do velikog trusa;

Vestacki zemljotresi nastaju dejstvom coveka na prirodnu sredinu. Oni npr.nastaju u slucajevima nuklearnih proba, a prate i nastanak vestackih aku-mulacionih jezera.

Pojava zemljotresa registruje se in-

Slika 1.32. Seizmograf.

strumentima koji se nazivaju seizmo-grafi a koji se nalaze u seizmografskimstanicama. Seizmograf je u sustinijedno matematicko klatno (vidi sliku1.32). Kada se Zemlja trese, kuglaseizmografa usled postojanja inercijene prati kretanje rama na kome jeklatno obeseno, a pisaljka na kuglibelezi odstupanja od pravca u oblikudrhtave linije koja se naziva seizmo-gram. Kombinacijom razlicitih pravaca zapisivanja, (npr. sever-jug, zapad-istok i vertikalnog kretanja), kao i uporedivanjem podataka iz mreze seiz-mickih stanica, mogu se odrediti vazne karakteristike zemljotresa.

Kretanja seizmickih talasa kroz pojedine delove Zemljine unutrasnjostikoja se karakterisu cestim promenama u brzini i pravcu kretanja, ukazujuna nehomogen sastav kako Zemljine kore, tako omotaca i jezgra. Razni ti-povi talasa prostiru se razlicitim brzinama koje zavise od njihovog nacinaoscilovanja i osobina sredine kroz koju prolaze. Generalno posmatrano pos-toje dva tipa seizmickih talasa: zapreminski, koji se prostiru kroz Zemljinuunutrasnjost, i povrsinski, koji se prostiru po slobodnoj Zemljinoj povrsi.

Zapreminski talasi mogu biti:

• ”P” (engl. push, lat. primus), primarni, poduzni, longitudinalni, ta-lasi kompresije a njihova brzina je c = 7− 8 km/s;

• ”S” (engl. shake, lat. secundus), sekundarni, transverzalni, talasismicanja; a njihova brzina je c = 4− 4.5 km/s.


Talase koji prolaze kroz unutrasnje delove Zemlje prate povrsinski ta-lasi, koji se prostiru po Zemljinoj povrsini. Postoje dve vrste povrsinskihtalasa: Loveovi (Love) i Rejlijevi (Rayleigh) talasi. Povrsinski talasi nastajuna slobodnoj povrsini cvrstog, elasticnog prostora, slicno gravitacionim ta-lasima na povrsini neke tecnosti pod uticajem vetra. Nazivaju se jos i ”L”talasi14 (od engl. long), posto je njihov period veci nego kod ”P” i ”S”talasa. Brzina Rejlijevih talasa je manja, a Laveovih uporediva sa brzinom”S” talasa.

Tri osnovna elementa nekog zemljotresa su hipocentar, epicentar i mag-nituda. Oni su jedinstveni parametri za svaki zemljotres, dok se cetvrtiparametar, makroseizmicki intenzitet razlikuje za razlicite tacke na Zemlji,pogodene zemljotresom.

• Hipocentar (ognjiste, fokus) je oblast u unutrasnjosti Zemlje ukojoj se zacinje inicijalni udar. U zavisnosti od dubine hipocentrazemljotrese delimo na plitke (5-35 km), srednje duboke (35-100 km) iduboke (100-800 km).

• Epicentar je projekcija hipocentra na povrsinu Zemlje. Epicentralnaoblast se najcesce poklapa sa oblascu maksimalnih razaranja.

• Magnituda je mera kolicine energije oslobodene u hipocentru i pred-stavlja najvazniji parametar ognjista. To je broj koji odreduje ukupnusopstvenu energiju zemljotresa, a veza izmedu magnitude (M) i en-ergije zemljotresa (E) data je relacijom

logE = α+ βM, (1.109)

pri cemu se najcesce koriste vrednosti parametara α = 4.4 i β =1.5. Dakle, obzirom na svoju definiciju, ako se magnituda zemljotresapoveca za 1 (npr. sa 5 na 6), ukupna energija zemljotresa se povecava10 puta. Takode, vazno je uociti da mogu postojati i zemljotresi sanegativnom magnitudom (to su vrlo slabi zemljotresi cija je energijamala). Magnituda ne zavisi od dubine hipocentra.

• Makroseizmicki intenzitet je mera ucinka energije oslobodene uhipocentru, u nekoj tacki na povrsini Zemlje. On oznacava merupovredljivosti gradevinskih objekata, ostecenja tla i reakcije coveka.Zavisi od magnitude ali i od dubine hipocentra, epicentralne udalje-nosti, geoloske grade, mehanizma nastanka zemljotresa u hipocentru,

14U delu literature ”L” je oznaka za Laveove talase dok se Rejlijevi oznacavaju sa ”R”.


itd. Za razliku od magnitude koja je karakteristika hipocentra, inten-zitet zemljotresa je razlicit za razlicite tacke na povrsini Zemlje.

Skale. Za medusobno uporedivanje energije i ucinka zemljotresa koristese najcesce dve skale, Rihterova i Merkalijeva.

Rihterova skala je skala u kojoj se zemljotresi razvrstavaju premavrednosti magnitude. U tabeli 1.2 prikazana je podela zemljotresa premavelicini magnitude.

Tabela 1.2. Podela zemljotresa prema velicini magnitude.

Magnituda Efekti zemljotresa

M < 3.5 generalno se ne osecaju ali ih beleze instrumenti

3.5 < M < 5.4 cesto se osecaju ali retko uzrokuju stetu

5.4 < M < 6 najcesce ostecuju dobro projektovane objekte;mogu izazvati znacajna ostecenja na lose izvedenimobjektima u ogranicenom podrucju

6.1 < M < 6.9 mogu biti destruktivni u radijusu od oko 100 km

7.0 < M < 7.9 mogu izazvati ozbiljnu stetu u velikoj oblasti

M > 8 mogu izazvati ozbiljnu stetu u radijusu od visestotina km

Najpoznatija skala makroseizmickih intenziteta je modifikovana Merkali-jeva skala, dobijena na osnovu MCS (Mercalli-Cancani-Siebergova) skale,usvojene od strane Medunarodnog seizmoloskog udruzenja 1917. godine.Postoje i ekvivalentne, ali znatno detaljnije skale: EMS-98 (Evropska Makro-seizmicka Skala iz 1998. godine), odnosno MSK-64 (Medvedev - Sponhauer- Karnik skala definisana 1964. godine). Skale intenziteta su opisne i tek-stualno izrazavaju efekte zemljotresa na Zemljinoj povrsi. U tabeli 1.3prikazani su osnovni elementi MCS skale.


Tabela 1.3. Tablica MCS skale makroseizmickog intenziteta.

amax (m/s2) Stepen Ucinci zemljotresaseizm. int.

0-0.0025 I neosetan trus; registruju ga samoseizmografi;

0.0025-0.005 II vrlo lagan trus; osecaju ga samo osetljiveosobe, pretezno na nizim spratovima;

0.005-0.01 III lagan trus; kao pri prolazu automobila;oseca ga vise ljudi u unutrasnjosti zgrade;

0.01-0.025 IV umeren trus; u kucama ga oseca veci brojljudi, a na otvorenom prostoru samopojedinci; tresu se vrata i pokucstvo, zveceprozori i posude kao pri prolazu teskihkamiona; pojedince probudi;

0.025-0.05 V prilicno jak trus; primecuju ga mnogi naootvorenom prostoru; beseni predmeti senjisu; klatno casovnika se zaustavlja; manjipredmeti se preturaju; vrata i prozori seotvaraju ili zatvaraju; pojedinci bezeiz kuca;

0.05-0.1 VI jak trus; primecuju ga sve osobe koje bezeiz kuca; slike padaju sa zidova; mnogipredmeti se ruse; posude se razbija; komadipokucstva se pomeraju ili prevrcu; manjacrkvena zvona zazvone; na pojedinim dobrogradenim objektima nastaju lagane stete;

0.1-0.25 VII vrlo jak trus; rusenje i razaranje uz znatnestete na namestaju u stanovima; zvone iveca crkvena zvona; ostecuje se veci brojdobro gradenih kuca; crepovi se lome iklizaju sa krovova; ruse se mnogi dimnjaci;voda se talasa i muti;

0.25-0.5 VIII razoran trus; jako ostecuje oko 1/4 zgrada,pojedine kuce se ruse, a mnoge postajuneupotrebljive za stanovanje; u mokromtlu i na strmim padinama nastaju pukotine;


Nastavak tabele 1.3

amax (m/s2) Stepen Ucinci zemljotresaseizm. int.

0.5-1 IX pustosan trus; oko 50% zidanih kuca znatnoje osteceno, mnoge se ruse, a vecina postajeneupotrebljiva za stanovanje;

1-2.5 X unistavajuci trus; tesko ostecuje oko 3/4zgrada, a vecina njih se rusi; u tlu nastajupukotine siroke nekoliko cm; sa brda seodronjava zemlja i otkidaju se delovi pecina;nabiraju se putevi i krive sine;

2.5-5 XI katastrofalan trus; ruse se sve zidane zgrade;padaju mostovi; guzvaju se sine; u tlunastaju siroke pukotine iz kojih prodirevoda, noseci pesak i mulj; zemlja seodronjava; mnoge stene se otkidaju i ruse;

5-10 XII velika katastrofa; nijedna ljudska tvorevinane moze opstati; tlo potpuno menja izgled,jezera se zatrpavaju, reke menjaju korita;

Rezonantna svojstva tla

Seizmicko dejstvo zemljotresa na gradevinske objekte treba posmatratiu vezi sa tri fenomena:

• sopstvene oscilacije tla,

• sopstvene oscilacije gradevine,

• njihovo zajednicko oscilovanje.

Seizmicki talasi koji putuju od hipocentra prema povrsini zemlje, usledintrakcije sa razlicitim slojevima materijala u Zemljinoj kori karakterisu secestim promenama brzine i pravca kretanja. Usled toga dolazi i do promenenjihovog spektra pa je spektar talasa koji interaguju sa gradevinskim ob-jektima drugaciji od spektra inicijalnih talasa. Receno na drugi nacin, tlopredstavlja filter za seizmicke talasa, koji menja relativni odnos energijatalasa u pojedinim oblastima, smanjujuci energiju talasa u nekoj oblasti


ucestanosti vise, a u nekoj drugoj manje. Oblik filterskog dejstva tla zavisiod njegovih mehanickih karakteristika.

Eksperimentalno je utvrdeno da tlo permanentno osiluje pod dejstvomspoljasnjih isla, pri cemu su amplitude reda velicine od 0.1 do 1 mikrometra.Takve oscilacije tla nazivaju se mikroseizmi. Medu mikroseizmima postojedve grupe koje se medusobno razlikuju po periodima oscilovanja:

• dugoperiodicni mikroseizmi izazvani globalnim silama u hidrosferi iatmosferi (dinamika okeana i mora, kretanje vazdusnih masa i sl.),ciji je preovladujuci period od 5 do 10 s;

• kratkoperiodicni mikroseizmi (mikrotremori) izazvani lokalnim silama(opsta ljudska aktivnost, transport i sl.), ciji je preovladujuci periodod 0.05 do 2.07 s.

Za inzinjersko-seizmoloska razmatranja od veceg znacaja su mikrotremorijer su ispitivanja pokazala da preovladujuci periodi sopstvenih oscilacijatla (mikrotremora) imaju priblzno iste vrednosti kao preovladu juci periodioscilovanja tla pri zemljotresu. Tada se pojacavaju rezonantna svojstvatla, tj. dolazi do interferencijskog efekta primarnog seizmickog talasa sasopstvenim oscilacijama tla.

Slicno rezonanciji u samom tlu, rezonantni efekti javljaju se i na samojgradevini. Posto ukopani objekti, npr. zgrade osciluju kao stapovi ucvrscenina jednom kraju, za koje vazi

νn = (2n+ 1)c

4l, (1.110)

ukoliko se istaknute oblasti u spektru vec filtriranih seizmickih talasa pok-lope sa sopstvenim rezonantnim frekvencijama zgrada, doci ce do izraziterezonance koja dovodi do velike amplitude prinudnih oscilacija koja najcesceizaziva velika ostecenja. Najcesce je spektar seizmickih talasa upravo takavda je najveca kolicina energije skoncentrisana u oblasti niskih ucestanosti,sto znaci da su sa seizmicke tacke gledista generalno ugrozeniji objekti vecevisine. Ipak, u zavisnosti od filterskih dejstava tla, moze se pojaviti i nekakarakteristicna ucestanost koja ce stvoriti rezonancu i na objektu manjevisine.

1.5.3 Talasi u tecnostima

Slobodna povrsina tecnosti koja se nalazi u ravnotezi u gravitacionompolju je ravna. Ako se pod uticajem ma kakvog spoljasnjeg dejstva povrsina


tecnosti na ma kom mestu izvede iz ravnoteznog polozaja, onda u tecnostinastaje kretanje. Ovo se kretanje prostire duz cele povrsine tecnosti u oblikutalasa koji se nazivaju talasi na povrsini tecnosti. Ovaj naziv je opravdansamo u slucajevima kada je talasna duzina talasa mala u odnosu na du-binu tecnosti, jer se tada zbog postojanja slabljenja talasa po dubini mozesmatrati da je on lokalizovan u oblasti uz povrsinu tecnosti. U suprotnom,preciznije je ove talase nazivati talasi u tecnostima.

Talasi u tecnostima su po svojoj prirodi sasvim drugaciji od elasticnihtalasa koji nastaju u cvrstom telu. Dok je kod elasticnih talasa restitucionasila u stvari elasticna sila, kod talasa u tecnostima to je sila Zemljine teze ilisila povrsinskog napona. Ako se sila povrsinskog napona moze zanemariti,onda se talasi u tecnostima nazivaju i gravitacioni talasi, posto su uslovljenisamo dejstvom gravitacionog polja.

Posto je voda tecnost sa relativno malom viskoznoscu, analizu cemoograniciti samo na slucaj vode i tecnosti slicnih viskoznosti. U tom slucaju,u prvoj aproksimaciji, mozemo smatrati da se talasi po povrsini tecnosti pro-stiru bez slabljenja, tj. promene amplitude. Takode cemo pretpostaviti da jeamplituda talasa mala u poredenju sa njegovom talasnom duzinom. Analizasprovedena kod prigusenih oscilacija pokazuje da se u slucaju jako viskoznihtecnosti ne mogu pojaviti talasi jer veliko unutrasnje trenje ovakvih tecnostisprecava bilo kakvo oscilatorno kretanje.

Ako se na mirnoj povrsini izazove poremecaj padanjem tela u vodu,cestice vode u blizini povrsine izvode dvostruko kretanje, paralelno povrsinivode i normalno na povrsinu vode. Na slobodnoj povrsini vode se zbog togajavlja izbocina koja se ne zadrzava trajno zbog dejstva Zemljine teze i/ili silapovrsinskog napona. Svaka cestica izvodi slozeno kretanje oscilujuci istovre-meno u horizontalnom i vertikalnom pravcu. Zato su talasi na povrsini vodeistovremeno i transverzalni i longitudinalni. Analiza, zasnovana i na rezul-tatima prikazanim u okviru slaganja oscilacija upravnih pravaca, pokazujeda se svaka cestica tecnosti krece kruzno u vertikalnoj ravni postavljenoju pravcu prostiranja talasa. Kao posledica pretpostavke o malim amplitu-dama, poluprecnik ove kruzne putanje r je mali u poredenju sa talasnomduzinom λ, i opada sa dubinom po eksponencijalnom zakonu,

r = r0 exp

− 2πy

λ

, (1.111)

gde je r0 poluprecnik kruznice na samoj povrsini vode, a y dubina slojavode merena od povrsine. Vec na dubini od y = λ/2, poluprecnik opada navrednost r = 0.04r0. Zbog postojanja ovog slabljenja, koje je posledica rada


gravitacione sile a ne viskoznosti tecnosti, podmornice, na primer, krecucise u dovoljno dubokoj vodi, ne osecaju dejstvo velikih talasa na povrsini.

Mi smo se do sada susretali sa prostiranjem talasa kroz sredine koje seodvijalo tako da je brzina prostiranja talasa ista za talase razlicitih uces-tanosti i talasnih duzina:

c = λ ν =ω

k= const ⇒ ω = const · k. (1.112)

Medutim, prostiranje talasa u tecnostima predstavlja primer kretanja u dis-perzionim sredinama pa je veza izmedu ω i k slozenija. Na osnovu kom-plikovane matematicke analize moze se pokazati da disperziona relacija utecnostima ima oblik:

ω2 = (g k +γ

ρk3) tanh kh, (1.113)

gde je g ubrzanje Zemljine teze, γ konstanta povrsinskog napona, ρ gustinaa h dubina tecnosti.

Na osnovu disperzione relacije (1.113), i koristeci k = 2π/λ za brzinuprostiranja talasa dobija se:

c =

√

(

gλ

2π+

2πγ

ρλ

)

tanh2πh

λ. (1.114)

Posmatracemo sada granicni slucaj kada je talasna duzina velika. Tadavazi: tanh 2πh/λ ≈ 2πh/λ, i gλ/2π À 2πγ/ρλ pa sledi:

c =√

gh. (1.115)

Ovakvi talasi nazivaju se dugi gravitacioni talasi, i njihova brzina je, kakose vidi iz (1.115), ogranicena dubinom tecnosti. Takode se nazivaju i talasiplitke vode jer je λÀ h.

Sa smanjivanjem talasne duzine, vec kada je λ ≈ h, vazi tanh 2πh/λ ≈ 1,tj.

c =

√

gλ

2π+

2πγ

ρλ, (1.116)

odnosno brzina talasa prestaje da zavisi od dubine tecnosti (talasi na povrsinitecnosti).


Izraz (1.116) moze se dalje pojednostaviti. I pored smanjivanja talasneduzine, ona je u praksi najcesce jos uvek dovoljno velika da vazi gλ/2π À2πγ/ρλ, odnosno λÀ 2π

√

γ/ρg, pa je brzina prostiranja talasa

c =

√

gλ

2π. (1.117)

U ovom slucaju povrsinski napon nema prakticnog uticaja i talasi se zovugravitacioni talasi.

Ukoliko je pak talasna duzina toliko mala da je prvi sabirak u potko-renoj velicini u izrazu (1.116) zanemarljiv u odnosu na drugi (tj. gλ/2π ¿2πγ/ρλ, odnosno λ¿ 2π

√

γ/ρg), onda je brzina prostiranja talasa

c =

√

2πγ

ρλ. (1.118)

U ovom granicnom slucaju gravitacioni deo je zanemarljiv a talasi se zovukapilarni talasi.

Na slici 1.33 prikazane su zavisnosti brzine talasa u vodi od kolicnika2π/h i karakteristicne oblasti razlicitih vrsta talasa za dve razlicite dubinevode. Sa ove slike moze se uociti da granica dugih gravitacionih talasa zavisiod dubine, a da je granica prelaza izmedu kapilarnih i gravitacionih talasanezavisna od dubine. Ona zavisi samo od vrste tecnosti i za vodu iznosi oko17 mm.

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

l= 26 m

l= 17 mm

h = 1 m

2 /p lh

gh

c

dugigravitacioni

talasi

gravitacionitalasi kapilarni

talasi

dugotalasnagranica

kratkotalasnagranica

l= 25 km

l = 17 mm

h = 1 km

2 /p lh

dugigravitacioni

talasi

gravitacionitalasi kapilarni

talasi

dugotalasnagranica

kratkotalasnagranica

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

gh

c

10-3

10-1 10

110

310

510

710

910

11

Slika 1.33. Zavisnost brzine talasa u vodi od kolicnika 2πh/λ za h = 1m (levo) ih = 1km (desno).


CunamiCunami (japanska rec za plimni talas, engl. tidal wave15)

je povorka talasa uzrokovana nekim jakim poremecajem kojiizaziva vertikalno pomeranje vodenog stuba. Poredenje obic-nih talasa u vodi kod kojih cestice vrse kruzno kretanje i cu-nami talasa, kod kojih je talasni front skoro ravan, prikazanoje na slici 1.34. Zemljotresi, odroni, vulkanske erupcije, ek-splozije, ali i udari kosmickih tela (npr. meteorita) mogustvoriti cunami. Cunami mogu vrlo opasno napasti obaluizazivajuci razorna ostecenja objekata i gubitak mnogih ljud-skih zivota.

obièan talas u vodi cunami talas

Slika 1.34. Oblik obicnih i cunami talasa.

Cunami cine talasi velikih talasnih duzina tako da oni predstavljaju dugegravitacione talase. Dok na primer obicni talasi koje stvaraju oluje na Paci-fiku mogu imati talasnu duzinu od 150 m i period od 10 sekundi, talasi kojicine cunami mogu imati talasnu duzinu vecu i od 100 km a period reda casa.Posto je npr. tipicna dubina vode u Pacifiku oko 4 km, koristeci izraz (1.115)sracunavamo brzinu cunamija oko 200 m/s tj. 720 km/h. Jos jedna vrlovazna cinjenica vezana je za ove talase: posto je stepen gubljenja energijeobrnuto proporcionalan talasnoj duzini, cunami talasi prelaze velike tran-sokeanske distance skoro bez gubitaka sto omogucuje da se velika energijastvorena na mestu nastanka cunamija u skoro kompletnom obimu prenesedo kopna. Kada se iz dubokih voda okeana priblizi plicim vodama u blizinikopna cunami se transformise, tj. smanjuje brzinu a povecava svoju ampli-tudu (tj. visinu). Cunami dolazi na obalu sa ogromnom energijom i visinomkoja moze biti 10-30 m. Talas zanemarive visine na pucini uz obalu postajeogroman! Kao i svi drugi talasi, cunami talasi gube energiju lomeci se naobali, deo energije se reflektuje, a putujuci talas gubi energiju kroz trenjena dnu i turbulenciju. Cunami imaju ogromni erozioni potencijal, kidajupescane nanose, cupaju drvece iz korena, ruse kuce i druge objekte.

15koriste se jos i nazivi talas luke (engl. harbour wave) i seizmicki morski talas (engl.seizmic see wave);

Poglavlje 2

Akustika

2.1 Osnovne karakteristike zvuka

Akustika je nauka o zvuku. Pod zvukom u uzem smislu, (bioloski ter-min), podrazumevaju se mehanicki talasi koji mogu biti registrovani culomsluha, tj. cija se ucestanost nalazi u intervalu od 20 Hz do 20 kHz. Zvuku sirem smislu, (fizicki termin), predstavlja sinonim za mehanicke talaseuopste, pri cemu se talasi cija je ucestanost ispod 20 Hz nazivaju infrazvuk,a oni cija je ucestanost iznad 20 kHz ultrazvuk. Opseg cujnih ucestanosti jeipak individualna karakteristika, i gornje vrednosti treba shvatiti kao usvo-jene statisticke vrednosti. Takode, kod svakog pojedinca, frekventni cujniopseg se sa godinama smanjuje.

Ukoliko je zvucni talas prost sinusni talas, onda se takav zvuk nazivaprost ton. Medutim, zvucni talasi su najcesce slozeni talasi. Ukoliko serazlaganjem ovih talasa moze dobiti konacan (ili tacnije prebrojivo besko-nacan) broj prostih talasa onda se takav zvuk naziva slozeni ton. Ako zvucnitalas nije periodican, (tj. ne moze se razloziti na proste talase), takva vrstazvuka naziva se sum. Dakle, zvuk mozemo podeliti na ton i sum, pri cemutonovi mogu biti prosti ili slozeni.

Ako nacrtamo amplitude talasa dobijenih dekompozicijom slozenog ta-lasa u funkciji ucestanosti dobijamo amplitudski spektar. Spektar tona jelinijski, tj. on sadrzi linije na frekvencama ν0, ν1 = 2ν0, ν2 = 3ν0, itd. Prostton sadrzi samo liniju na ucestanosti ν0. To znaci da se slozeni ton mozerazloziti na niz prostih tonova cije frekvence stoje u odnosu celih brojevaprema osnovnom tonu frekvence ν0. Ton frekvence ν1 = 2ν0 naziva se prviharmonik, ton frekvence ν2 = 3ν0 drugi harmonik, itd. Zajednickim imenom

63

64 Poglavlje 2. Akustika

svi razlozeni tonovi osim osnovnog, nazivaju se visi harmonici.Osnovne karakteristike svakog tona su: visina, boja i jacina (intenzitet).

Visina tona odredena je vrednoscu ucestanosti osnovnog tona (ili osnovnogharmonika kako se jos naziva). Boja tona odredena je relativnim odnosimaamplituda osnovnog i visih harmonika. Prema boji, razlikujemo tonoveproizvedene glasovima razlicitih ljudi ili pomocu razlicitih muzickih instru-menata. Jacina tona je intenzitet slozenog talasa u smislu definicije iz pred-hodnog poglavlja, tj.:

I = I0 + I1 + I2 + I3 + ... (2.1)

gde je I0 intenzitet osnovnog tona, I1 intenzitet prvog harmonika, I2 inten-zitet drugog harmonika, itd.

Za razliku od tona, sum ima kontinualni spektar. Zbog toga je na or-dinati amplitudskog spektra kod suma uzeta vrednost amplitudske gustinegI = dI/dν. U zavisnosti od oblika spektra, postoje razlicite vrste suma.Spektri tona i suma prikazani su na slici 2.1.

I

n n

dI

dn

n3

n1

n2

n4

n5

n0

Slika 2.1. Spektar tona i suma.

Jedna od vaznih karakteristika zvuka je i njegova brzina prostiranja. Onazavisi od sredine kroz koju se zvuk krece, a neke od vrednosti prikazane suu tabeli 2.1.

2.2 Zvucni izvori

Svaki mehanicki oscilator koji moze da pravilno osciluje stvarajuci tonovenaziva se zvucni izvor. Najcesce korisceni zvucni izvori su zategnute zice,stapovi, vazdusni stubovi, membrane i ploce.

2.2. Zvucni izvori 65

Tabela 2.1. Brzina zvuka u razlicitim materijalima

vazduh (0C) 331.5m/s

vazduh (20C) 343m/s

voda (10C) 1440 m/s

metali 3000− 5000 m/s

drvo 3600− 4600 m/s

plasticne mase 1000− 2500 m/s

meka guma 70 m/s

Zategnute zice

Na slici 2.2 prikazane su oscilacije zice zategnute silom F izmedu dvanepomicna oslonca. Ako se upravnim pomeranjem zice izazove osilovanjejedne njene tacke stvorice se transverzalni talas. Da bi stvoreni talas biostojeci, duzina zice mora biti jednaka celobrojnom umnosku polovina talas-nih duzina, te se otuda mogu odrediti i sopstvene ucestanosti oscilovanjazice:

l = nλ

2, νn =

n

2lc =

n

2l

√

F

µ. (2.2)

n = 2

n = 3

n = 1

l

Slika 2.2. Oscilacije zategnutezice.

n = 1

n = 1

n = 0

l

l

l

Slika 2.3. Oscilacije razlicitoucvrscenih stapova.


Stapovi

Kod stapova je moguce obrazovati kako transverzalne tako i longitudi-nalne oscilacije. Sopstvene oscilacije stapova zavise od toga kako je stapucvrscen. U svakom slucaju, cvorovi stojecih talasa obrazuju se na mestimaucvrscenja a trbusi na mestima slobodnih krajeva stapa (slika 2.3). Ako jestap ucvrscen na jednom kraju onda vazi:

l = (2n+ 1)λ

4, νn = (2n+ 1)

c

4l, (2.3)

a ako, na primer, postoje dve tacke ucvrscenja onda vazi:

l = nλ

2νn =

n

2lc. (2.4)

Brzina prostiranja zvuka c zavisi od toga da li su u pitanju transverzalni ililongitudinalni talasi i data je izrazima (1.76) i (1.77).

Vazdusni stubovi

Oscilovanje vazdusnih stubova zavisi od toga da li su oni otvoreni najednom ili na oba kraja. U svakom slucaju na mestu gde je vazdusni stubzatvorenom preprekom formira se cvor stojeceg talasa na mestu se gdevadusni stub zavrsava bez prepreke formira se trbuh (slika 2.4). Na tajnacin postoji analogija izmedu oscilovanja stapova i vazdusnih stubova.

n = 0 n = 3n = 1 n = 1n = 2 n = 2

Slika 2.4. Oscilacije vazdusnih stubova, otvorenih na jednom i na oba kraja.

2.3. Karakteristike govora i muzike 67

Za vazdusne stubove otvorene na jednom kraju vazi:

l = (2n+ 1)λ

4, νn = (2n+ 1)

c

4l, (2.5)

a za one otvorene na oba kraja:

l = nλ

2νn =

n

2lc. (2.6)

2.3 Karakteristike govora i muzike

Govor i muzika predstavljaju dva najvaznija vida zvucnih signala kojimase prenosi zeljena informacija a koje prima organ sluha. Osim govora imuzike uho prima i veliki broj raznovrsnih sumova. Najveci deo njih spadau nezeljene zvuke koje subjektivno ocenjujemo kao buku, o kojoj ce biti visereci kasnije.

2.3.1 Karakteristike govora

Covek proizvodi govor organom govora koji obuhvata: pluca, dusnik,grkljan sa glasnicama (glasnim zicama), zdrelo sa resicom, usnu supljinu(nepca, jezik, zubi) i nosnu supljinu, i koji se jos naziva i vokalni trakt.Rad organa govora moze se uporediti sa radom gajdi: meh proizvodi stalanprotok vazduha koji svirala modulise, pretvarajuci ga u pulsirajuci protokodredene ucestanosti. U organu govora pluca odgovaraju mehu, a glas-nice svirali. Glasnice suzavaju vokalni trakt, ostavljajuci otvor u vidu uskepukotine, cijim se otvaranjem i zatvaranjem periodicno prekida vazdusnastruja i formira zvucni signal koji se dalje obraduje u raznim suzenjima ikomorama koje svojim polozajem formiraju resica, nepca, jezik, zubi i usne.Na taj nacin se pri datoj osnovnoj ucestanosti zvuka, mogu stvarati razlicitispektri, na osnovu kojih se pojedini glasovi medu sobno razlikuju.

Glasovi se fonetski dele na samoglasnike i suglasnike. Svi samoglas-nici (vokali) su zvucni, a suglasnici mogu biti zvucni i bezvucni. Opisaniproces proizvodenja glasa odnosi se na samoglasnike (vokale), dok je kodsuglasnika razlika u tome sto se umesto generatora relaksacionih oscilacijana mestu glasnica, negde u vokalnom traktu, najcesce na mestu jezika iliusana, javlja generator suma koji usled suzavanja trakta izaziva vrtlozenjeu vazdusnom strujanju. Kod stvaranja bezvucnih suglasnika glasice miruju,dok kod zvucnih suglasnika i one ucestvuju u formiranju glasa.


Kao i svi slozeni zvuci samoglasnici imaju linijski spektar. U njemu suuocljive grupe istaknutih harmonika (slika 2.5) koji se nazivaju formanti.Njih ima cetiri, ali mnogo vazniji od ostalih za raspoznavanje samoglasnikasu prvi i, eventualno, drugi. U tabeli 2.2 navedeni su najnaglaseniji (tj.najvazniji) formanti samoglasnika u nasem jeziku.

100 400 1600 6400 Hz 2 4 6 8 10 12 14 16 kHz

1. formant2. formant

u

””

”s

”I

osnovnafrekvencija

dI

dn

Slika 2.5. Spektri samoglasnika u i suglasnika s.

Polozaj formanata na skali ucestanosti zavisi samo od oblikovanja vo-kalnog trakta, a ne od osnovne ucestanosti glasa, niti od toga da li je upitanju muski ili zenski glas. Sa druge strane, prosecna vrednost osnovneucestanosti iznosi oko 125 Hz za muski glas, oko 250 Hz za zenski glas i oko300 Hz za decji glas.

Tabela 2.2. Raspored prva dva formanta u vokalima srpskog jezika.

Samoglasnik I formant II formant

U 200-400 Hz

O 400-800 Hz

A 700-1200 Hz

E 400-700 Hz 1800-2500 Hz

I 200-400 Hz 2200-3200 Hz

Kod suglasnika se takode moze uociti nesto sto odgovara formantima.To su istaknuti delovi u kontinualnom spektru suma.

Samoglasnici i suglasnici zajedno grade slogove od kojih je nacinjengovor. Trajanje slogova zavisi od brzine govora a u slucaju normalne (tj.prosecne) brzine iznosi oko 0.1-0.2 sekunde. Od toga nesto veci deo ot-pada na samoglasnik jer je suglasnik samo neka vrsta krace prelazne pojaveizmedu dva stacionarna rezima, tj. dva samoglasnika, koji mogu trajati i


vrlo dugo, kao na primer kod pevanja. Posmatrano energetski najveci deosnage govora nose samoglasnici, a narocito komponente glasa u oblastimaformanata. Suglasnici su sa druge strane brojniji, i samim tim vazniji zaraspoznavanje slogova i reci, pa se moze reci da oni odreduju razumljivostgovora.

2.3.2 Karakteristike muzike

Vremenske promene su osnovni elementi muzike. Promena visine tonastvara melodiju, a promena jacine zvuka dinamiku. Sukcesivno naglasavanjepredstavlja ritam.

Ako se dva ili vise tonova proizvode istovremeno, oni stvaraju sazvucje1.Sazvucje dva tona koje je prijatno za sluh naziva se konsonanca, a ono kojeje neprijatno disonanca. Da bi nastala konsonanca, potrebno je da tonovibudu priblizno jednakog intenziteta, i da njihove osnovne ucestanosti stojeu odnosu malih celih brojeva, tj. konsonanca je utoliko bolja ukoliko sedva tona slazu u sto vecem broju harmonika. Najprijatnija konsonancapredstavlja sazvucje dva tona cije ucestanosti stoje u odnosu 1:2, i nazivase oktava. U tabeli 2.3 je dat pregled konsonanci.

Tabela 2.3. Osnovne konsonance.

velika velika mala malaoktava kvinta kvarta seksta terca terca seksta

2:1 3:2 4:3 5:3 5:4 6:5 8:5

Izrazite disonance sagradene su od brojeva 7, 11, 13 i 14. Ako osim ovihbrojeva, za gradenje intervala skoristimo preostale brojeve u intervalu od1 do 16, dobicemo i sledece intervale, koji su vise ili manje disonantni, aliigraju vaznu ulogu u muzici (tabela 2.4):

Tabela 2.4. Ostale (slabe) konsonance.

mala velika mala velika mali polutonseptima sekunda sekunda septima (polutonska

sekunda)

9:5 9:8 10:9 15:8 16:15

1ako u sazvucju imamo samo dva tona onda odnos njihovih ucestanosti odreduje in-terval; sazvucje tri i vise tonova naziva se akord.


Skale (lestvice) predstavljaju niz tonova u okviru jedne oktave. Npr.c-dur skala sacinjena je od tonova prikazanih u tabeli 2.5:

Tabela 2.5. Tonovi u c-dur skali i njihov odnos prema osnovnom tonu.

c d e f g a h c’

1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

prima velika velika kvarta kvinta velika velika oktavasekunda terca seksta septima

Ako uporedimo sve susedne tonove u c-dur skali dobicemo niz intervalaprikazan u tabeli 2.6.

Tabela 2.6. Intervali susednih tonova u c-dur skali.

d:c e:d f:e g:f a:g h:a c’:h

9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15

veliki mali poluton veliki mali veliki polutonceo ton ceo ton ceo ton ceo ton ceo ton

Evo primera jos jedne lestvice. U pitanju je sada c-mol skala, njenitonovi prikazani su u tabeli 2.7, a intervali susednih tonova u tabeli 2.8:

Tabela 2.7. Tonovi u c-mol skali i njihov odnos prema osnovnom tonu.

c d es f g as b (hes) c’

1 9/8 6/5 4/3 3/2 8/5 9/5 2

prima velika mala kvarta kvinta mala mala oktavasekunda terca seksta septima

Uporedujuci intervale c-dur i c-mol skale mozemo uociti da i jedna idruga lestvica imaju pet celih tonova2 i dva polutona, ali drugacije ras-poredenih.

Skalama sa gornjim prostim intervalima odgovara cisto harmonijskosazvucje, koje iziskuje muzicki razvijen sluh. Temperovano (temperirano)sazvucje odgovara usrednjavanju intervala tonova i polutonova. Posto skaleimaju 8 tonova u oktavi, sa pet intervala celih tonova i dva polutona, in-terval polutona odreduje se iz jednacine k12 = 2, tj. za poluton k ≈ 1.059

2pri cemu su od tih pet, tri velika cela tona i dva mala cela tona


Tabela 2.8. Intervali susednih tonova u c-mol skali.

d:c es:d f:es g:f as:g b:as c’:b

9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9

veliki poluton mali veliki poluton veliki maliceo ton ceo ton ceo ton ceo ton ceo ton

(za razliku od 16/15 ≈ 1.067), a za celi ton k2 ≈ 1.122 (za razliku od9/8 = 1.125 i 10/9 ≈ 1.111).

Ako uporedimo harmonijsko i temperovano sazvucje, npr. za c-dur ic-mol skalu, imacemo lagano pomeranje visine tonova (tabela 2.9 za c-dur i2.10 za c-mol skalu):

Tabela 2.9. Odnos tonova pri harmonijskom i temperovanom sazvucju za c-durskalu.

tonovi c d e f g a h c’

cistoharmonijsko 1 1.125 1.25 1.333 1.5 1.667 1.875 2sazvucje

temperovanosazvucje 1 1.122 1.260 1.335 1.498 1.682 1.887 2

Tabela 2.10. Odnos tonova pri harmonijskom i temperovanom sazvucju za c-molskalu.

tonovi c d es f g as b (hes) c’

cistoharmonijsko 1 1.125 1.2 1.333 1.5 1.6 1.8 2sazvucje

temperovanosazvucje 1 1.122 1.189 1.335 1.498 1.587 1.782 2

Uporedenje cistog harmonijskog i temperovanog sazvucja prikazano je ina slici 2.6. Gornji deo slike prikazuje harmonijsko a donji deo slike tem-perovano sazvucje.

Gornjom analizom definisani su odnosi ucestanosti tonova u skali, ali nijedefinisana visina niti jednog tona. U muzici je prihvaceno da tzv. muzickikamerton koji predstavlja ton a u cetvrtoj oktavi i koji se oznacava sa a4


1 1.2 21.5 1.8

c c’d e f g a h

es as b

n

ni

Slika 2.6. Uporedenje tonova pri cistom harmonijskom (gore) i temperovanomsazvucju (dole). Dugim linijama prikazani su tonovi, kratkim polutonovi, a lin-ijama srednje duzine multiplikovani tonovi pri harmonijskom sazvucju. Debelelinije odgovaraju osnovnim konsonancama. Prikazani su i tonovi c-dur (kvadratici)i c-mol (kruzici) skale.

ima ucestanost od 440 Hz. To znaci da ce ton c u istoj oktavi, tj. c4 imatiucestanost od 264 Hz u slucaju skale sa idealnim harmonijskim sazvucjem,tj. ucestanost od 262 Hz za slucaj temperovane skale. Sledece pitanje kojese prirodno postavlja je koliko oktava postoji u opsegu cujnih ucestanosti?Odgovor je dat u tabeli 2.11, pricemu treba voditi racuna o tome da svakipojedinacni instrument (kao i svaki ljudski glas) ima sopstveno ogranicenjebroja oktava3.

3Tako na primer najbolji koncertni klaviri imaju po sedam oktava. Jedini instrumentkoji moze imati sve oktave su orgulje.

2.4. Intenzitet i nivo zvuka 73

Tabela 2.11. Frekventni raspored oktava.

Pocetak oktave ucestanost (Hz) muzicarski naziv

c0 16.5 subkontra

c1 33 kontra

c2 66 velika

c3 132 mala

c4 264 prva

c5 528 druga

c6 1056 treca

c7 2112 cetvrta

c8 4224 peta

c9 8448 sesta

c10 16896 sedma

2.4 Intenzitet i nivo zvuka

Intenzitet zvuka je u stvari intenzitet, najcesce slozenog, zvucnog talasa.Prostiranje zvuka izaziva zapreminsku deformaciju sredine kroz koju se zvukprenosi, sto dovodi do pojave nadpritiska pm u svakoj tacki sredine:

I =ρ v202

c =p2m2ρ c

=1

2ρω2A2 c (2.7)

Kao sto postoje donja i gornja granicna ucestanost za opseg u kome uhopromene pritiska oseca kao zvuk, tako postoje i granice za intenzitet zvuka.Minimalna vrednost jacine zvuka koje ljudsko uho moze da cuje naziva seintenzitet zvuka na pragu cujnosti, ili krace prag cujnosti. On zavisi odstanja organa sluha (razlicit je kod razlicitih ljudi, takode se i kod jednogistog coveka sa godinama menja), ali i od frekvence zvucnog signala. Pragcujnosti za ravne talase u slobodnom prostoru, standardizovan na uces-tanosti od 1000 Hz, odreden je eksperimentalno, statistickim ispitivanjemmladih i zdravih osoba, i iznosi:

I0 = 10−12W

m2= 1

pW

m2. (2.8)

Gornja granica intenziteta zvuka koga ljudsko uho moze da cuje odredenaje pojavom bola do koga dolazi zbog postojanja velikog pritiska na bubnuopnu, pa se zato naziva granica bola. Ona takode zavisi od stanja organa


20 100 1000 10000-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0.00002

0.0002

0.002

0.02

0.2

2

200

20

2000

muzika

granica bola

govor

prag èujnosti

f [Hz]

zvuèn

i pri

tisa

k [P

a]

niv

o z

vuka

[dB

]

Slika 2.7. Cujno podrucje i podrucje govora i muzike.

sluha i od ucestanosti zvucnog signala, i za 1000 Hz je nesto vise od 1012

puta veca od praga cujnosti.

Veliki opseg intenziteta zvuka u oblasti cujnosti je nepodesan. Takode,ljudsko uho, kao organ cula sluha ima logaritamsku osetljivost. Zbog togaje pogodno uvesti novu velicinu, nivo zvuka:

L = 10 logI

I0[=] dB, (2.9)

koja je mera relativnog intenziteta zvuka koji se posmatra u odnosu na pragcujnosti. Sada je citav cujni opseg smesten u interval od −10 do 130 dB.Tipicno (usrednjeno) cujno podrucje govora i muzike, kao i celokupno cujnopodrucje prikazani su na slici 2.7. Sa ove slike se uocava da je srednjadinamika muzike4 veca od dinamike govora. Takode, ove razlike mogu bitii vece. Npr. povremene vrsne vrednosti su kod simfonijskog orkestra oko15 dB iznad dugovremenskog proseka, a one najnize oko -35 dB. Ako se uzmeu obzir i promena jacine zvuka u pojedinim stavovima jednog muzickogdela, onda je dinamika jos veca. Na primer fortissimo orkestra i pianissimojedne violine daju razliku u nivou vecu od 70 dB. Sa druge strane, prosecnasnaga glasa takode varira od saptanja do vikanja, i ta promena moze imativrednost i do 60 dB.

4Pod dinamikom se ovde podrazumeva promena jacine tj. niva zvuka koja postoji uzvucnoj slici u toku vremena.

2.5. Subjektivna jacina zvuka 75

20 100 1000 10000

2 10-4.

2 10

2 10

2 10

2

20

-3

-2

-1

.

.

.

f [Hz]

p [ bar]m

0

20

40

60

80

100

L [dB] 120 fona

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Slika 2.8. Izofonske linije po Fleceru i Mansonu

2.5 Subjektivna jacina zvuka

Iako skala u decibelima dobro odgovara subjektivnom osecaju promenejacine zvuka, zbog postojanja frekventne zavisnosti praga cujnosti i granicebola, nivo zvuka ne moze biti prava mera za subjektivni osecaj jacine. Naprimer, ako posmatramo dva zvuka istog nivoa L =20 dB, ucestanosti 100 i1000 Hz, vidimo da se prvi uopste ne cuje, dok drugi upada u oblast cujnosti.Zato se uvodi nova fizicka velicina koja se naziva subjektivna jacina zvuka, injena jedinica koja se naziva fon. Po definiciji, dva zvuka koja imaju jednakbroj fona, za ljudsko uho izgledaju kao da su jednake jacine, bez obzira navrednost njihovih nivoa zvuka, koji mogu biti razliciti. Na ucestanosti od1000 Hz nivo zvuka u decibelima i subjektivna jacina zvuka u fonima sepoklapaju, dok se za druge ucestanosti, veza izmedu decibela i fona odredujeeksperimentalno (videti sliku 2.8).

U tabeli 2.12 prikazana je subjektivna jacina zvuka karakteristicnihzvucnih fenomena.


Tabela 2.12. Prosecne subjektivne jacine pojedinih vrsta buke

10 fona Sustanje lisca pri najslabijem vetru;

20 fona Vrlo mirna basta izvan grada;

30 fona Vrlo mirna okolina; najniza buka u stanovima;buka gledalaca za vreme pozorisne predstave;

40 fona Prigusen razgovor; tiha muzika;buka u gradskom stanu pri zatvorenim prozorima;

50 fona Normalan govor; mirna ulica u gradu;najniza buka radnih prostorija;

60 fona Pisaca masina; usisivac za prasinu; muzika iz radioaparata(normalna jacina); kancelarijske prostorije;

70 fona Gradski saobracaj; sviranje klavira; bucan restoran;daktilografksi biro; kupe u vagonu;

80 fona Jaka vika; teretni auto na 5m rastojanja; ulice sa jakimsaobracajem; radionica;

90 fona Automobilska sirena na 5m rastojanja; avionska kabina;orkestar koji svira forte; bucna radionica;

100 fona Motocikl bez prigusivaca na 10m rastojanja; brzi vozu prolasku kroz stanicu podzemne zeleznice;buka u tkacnici;

110 fona Parni cekic; kompresorska busilica na rastojanju 2m;

120 fona Avionski klipni motor na rastojanju 3m;eksplozija na 250m rastojanja;

2.6 Akustika prostorija

Prilikom odbijanja zvuka od prepreke, javljaju se jek i odjek. Ako pret-postavimo da izgovaranje sloga traje priblizno 0.1 s, a brzina zvuka je oko340 m/s, onda se, ukoliko je rastojanje prepreke manje od oko 17 m, reflek-tovani zvuk vraca do izvora zvuka u toku trajanja sloga. Ova pojava zove sejek. Ukoliko je pak reflektujuca povrsina na rastojanju vecem od oko 17 mjavlja se odjek, tj. reflektovani zvuk se vraca do izvora nakon zavrsenogizgovaranja sloga.

U zatvorenim prostorijama dolazi do stvaranja stojecih talasa, tj. zasvaku prostoriju postoje njene rezonantne ucestanosti. Posmatrajmo para-lelopipednu prostoriju sa idealno krutim zidovima dimenzija lx, ly, lz. Pret-

2.6. Akustika prostorija 77

postavicemo da se zvucni talas u prostoriji moze opisati jednacinom

ψ(x, y, z, t) = A sin(kx x+ φx) sin(ky y + φy) sin(kz z + φz) sinω t, (2.10)

za koju se moze pokazati da predstavlja resenje talasne jednacine, odaklesledi da mora biti:

(

2π

λ

)2

= k2 = k2x + k2y + k2z . (2.11)

Da bi nastali stojeci talasi, moraju se na zidovima formirati cvorovi, tj.brzine oscilovanja cestica talasa na zidovima moraju biti nula. To ce bitiostvareno ako vazi

lx =nxλx2

=nx 2π

2kx⇒ kx = nx

π

lx,

ly =nyλy2

=ny 2π

2ky⇒ ky = ny

π

ly,

lz =nzλz2

=nz 2π

2kz⇒ kz = nz

π

lz. (2.12)

Koristeci c = λν = 2πν/k i (2.11)-(2.12) za sopstvene rezonantne uces-tanosti paralelopipedne prostorije dobija se:

νnx,ny ,nz =c

2

√

(

nx

lx

)2

+

(

ny

ly

)2

+

(

nz

lz

)2

. (2.13)

Ako su dva od tri broja nx, ny, nz jednaka nuli, onda se stojeci talasdobija refleksijom od dve suprotne povrsine (kao u Kundtovoj cevi), tj.formira se paralelno jednoj koordinatnoj osi pa se naziva aksijalni ili ivicnitalas. Ako je samo jedan od n-ova jednak nuli, onda se stojeci talas formirarefleksijom od cetiri strane paralelepipeda, paralelno jednoj od povrsinaparalelepipeda, i naziva se povrsinski talas. Najslozeniji tip stojeceg talasaje tzv. prostorni talas koji se dobija kada su sva tri broja n razlicita odnule, tj. kada nastaje refleksijom od svih sest stranica paralelepipeda.

2.6.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije

Razliciti materijali razlicito apsorbuju zvucne talase. Koeficijent apsor-pcije definisan je kao

α =Pa

Pu, (2.14)

gde je Pa snaga zvucnog talasa koja se apsorbuje na nekoj povrsini a Pu

ukupna snaga koja pada na tu povrsinu. U tabeli 2.13 prikazane su vrednostikoeficijenta apsorpcije za pojedine materijale.


Tabela 2.13. Vrednosti koeficijenata apsorpcije α za razlicite materijale pri raznimucestanostima zvuka. Vrednost za α izrazena je u procentima.

Materijal 125Hz 250Hz 500Hz 1000Hz 2000Hz 4000Hz

Mermer 1 1 1 2 2 2Beton 1 1 2 2 2-4 3-4Gips 2 4 4 5 4 4Omalterisan zid 1-2 2 2 - 4 4Parket 20 15 10 10 9 10Tvrdo drvo 1 - 5 - 4 4Linoleum 1-2 1-3 2-4 3-5 4-5 3-5Prozorsko staklo 10-22 4-6 3 2 2 2Voda 1 - 1 - 2 -Mineralna vuna(d = 2.5 cm) 6 19 39 54 59 75Staklena vuna(d = 10 cm) 29 55 64 75 80 85Pamuk(d = 17 cm) - 62 80 96 97 93Presovane plocicemineralne ilistaklene vune 15 35 35 85 90 90(d = 2.5 cm)

Cilimod rogozine 4 4 7 15 30 50Zavesa10− 20 cm 7-10 15-25 30-40 40-50 50-60 40-60od zidaMalter nametalnoj mrezisa vazdusnim 25-30 15-30 10 5 5 4-5meduprostoromDaske na resetkiod greda i letava 15 20 10 10 10 10

Sper-ploca(d = 6 mm) 78 50 25 13 9 8

2.6. Akustika prostorija 79

Reverberacija je pojava da se zvuk u prostoriji, zbog postojanja vises-trukih refleksija, odrzava i nakon prestanka rada zvucnog izvora. Vreme re-verberacije definise se kao vreme potrebno da nakon prestanka rada zvucnogizvora nivo zvuka opadne za 60 dB, tj. da se intenzitet zvuka u prostorijismanji milion puta (videti sliku 2.9).

L [dB]

L0

L - 600

0tu ti t + ti

t

t

Slika 2.9. Promena nivoa zvuka pri ukljucivanju i iskljucivanju izvora.

Vreme reverberacije se moze odrediti prema Sabinovom obrascu:

τ = 0.16V

A, A =

∑

i

αi Si, (2.15)

gde je τ vreme reverberacije izrazeno u sekundama, V zapremina prostorijeizrazena u kubnim metrima, a A apsorpciona povrsina prostorije (apsorp-cija prostorije), izrazena u kvadratnim metrima, koja se dobija sumiranjemproizvoda koeficijenta apsorpcije i povrsina svih tela u prostoriji.

Prostorija sa veoma malim vremenom reverberacije naziva se ”gluvasoba” i koristi se za akusticka ispitivanja. Optimalno vreme reverberacijezavisi od spektra zvuka i zapremine prostorije, tj. raste sa povecavanjemzapremine i prikazano je u tablici 2.14 i na slici 2.10.

Tabela 2.14. Optimalno vreme reverberacije za razlicite namene prostorije

namena prostorije τ (s)

crkvena muzika 1.5-2.5koncert 1.3-2.2opera 1.1-1.2muzicki studio 0.7-1.2govor 0.7-1.2govorni studio 0.5-0.65


crkvena muzika

koncert

muzi ki studio

ègovor

drama

slu aoniceš

govorni studio

bioskopi

opera

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]opt

2 5 2 5 2102 103 104V [m ]3

Slika 2.10. Optimalno vreme reverberacije na srednjim ucestanostima u zavisnostiod zapremine prostorije.

2.6.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije

Mogu se podeliti na tri grupe, u zavisnosti od toga u kom delu spektravrse dominantnu apsorpciju:

• porozni materijali - visoke frekvence

• akusticki rezonatori - srednje frekvence

• mehanicki rezonatori - niske frekvence

Porozni materijali. U ovu grupu spadaju materijali kod kojih je krutamasa prozeta kanalicima, tj. porama, medusobno povezanim u neprekinutumrezu. Najcesce korisceni materijali su sve tekstilne materije, staklena imineralna vuna, kao i razne akusticke ploce, npr. heraklit ploce (smesa dr-vene vune i gipsa), fazer ploce (smesa drvenih otpadaka i vezivnog sredstva)i sl. Zvuk prodire duboko u pore ovakvih materijala, gde se usled velikogtrenja, akusticka energija pretvara u toplotu.

Akusticki rezonatori su komore krutih zidova sa uskim otvorima. Onivrse vrlo selektivnu apsorpciju. Da bi se povecala apsorpciona sposobnost usirem frekventnom opsegu, komora se ispunjava apsorpcionim materijalom(staklenom vunom, vatom i sl.), ili se preko otvora na ulazu u rezonatorzalepi tanka tkanina.

2.7. Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke 81

Mehanicki rezonatori su tanke ploce (membrane) iza kojih se nalazevazdusne komore. Ploce vibriraju pod dejstom sile zvucnog pritiska. Akus-ticka energija pretvara se najpre u mehanicku, a ova zatim u toplotnu. Pokarakteristikama slicni su akustickim rezonatorima, ali su rezonatne uces-tanosti nize, a apsorpciono-frekventna kriva je mnogo manje selektivna.

2.7 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastitaod buke

2.7.1 Buka

Akusticka svojstva neke prostorije bitno zavise od buke koja spoljaprodire u prostoriju. Zastita od buke mora biti jedan od faktora kojise uzima u obzir prilikom arhitektonskog resenja oblika i enterijera pros-torija i njihove prakticne realizacije. Sve ono sto zahteva danasnji nacingradenja, brz i jeftin, upravo je suprotno onom kako bi trebalo graditi drzecise pravila akustike. Velike zajednicke stambene zgrade, cvrsto povezaniskeleti od armiranog betona i celika, laki pregradni zidovi, nazidne insta-lacije vodovoda i grejanja ne ide u prilog boljoj zastiti od buke, pa su uvekdobrodosli kompromisi koji poboljsavaju akusticka svojstva prostorija.

Stetno dejstvo buke je veliko. Svaka buka, pa i ona nizeg nivoa, ugrozavapre svega san i odmor, ometa koncentraciju, dovodi do povecanja brojagresaka u radu i uopste otezava svaki posao. Nesto jaca buka ima neposrednofiziolosko dejstvo na ljudski organizam: povecava krvni pritisak, broj otku-caja srca, povecava lucenje nekih zlezda, izaziva napetost nervnog sistema.U takvim uslovima organizam mora da ulaze dodatni napor da bi se prilago-dio buci. Jos jaca buka, koja na zalost postoji na nekim radnim mestima,direktno ostecuje sam organ sluha i vremenom dovodi do odredenog stepenagluvoce. Zbog toga se moraju koristiti licna zastitna sredstva, cepovi za usi,kacige, nausnice i sl.

Postoji nekoliko grupa izvora buke. U prvu grupu spadaju masine iaparati svih vrsta. Npr. sumovi od elektromotora posledica su neide-alno izbalaniranog motora i zavise od broja obrtaja. Kod masina koje nerade neprekidno broj obrtaja se menja u toku ukljucivanja iskljucivanja. Uuredajima za grejanje pumpe i gorionici takode stvaraju sumove. Sumoviod strujanja predstavljaju drugu grupu. Kod uredaja za provetravanje nivozvuka u kanalu zavisi od brzine strujanja vazduha. Slicno je i u vodovod-nim instalacijama gde sum astaje usled strujanja vode, a moze biti naglaseno


pojacan usled postojanja vazdusnih cepova. Takode, mogu se javiti i tzv.udarni sumovi, koji nastaje usled pada vode. Istakanjem vode nastaje isum klokotanja. Sumovi sa vodovodnih instalacija se cesto prenose i nasamu armaturu. U zgradama za stanovanje ne treba zanemairiti ni sumovekoji nastaju od lupanja, kotrljenja ili klizanja liftova, roletni, kao i udarnesumove u kanalima za uklanjanje smeca.

Postoje tri nacina borbe protiv buke:

• suzbijanje buke na izvoru

• udaljavanje od izvora buke

• akusticka izolacija prostorija

Najefikasnije resenje je suzbijanja buke na izvoru, tj. treba omoguciti damasine u fabrikama, aparati u domacinstvu, saobracajna sredstva i drugiizvori stvaraju manje buke. To je tehnicki izvodljivo jer u sustini svakabuka pri radu nekog uredaja je dokaz njegove tehnicke nesavrsenosti. Oviproblemi su najinteresantniji za masinske inzinjere. Pored tehnickih sred-stava, za suzbijanje buke na izvoru treba koristiti i zakonska sredstva jerje u mnogim slucajevima uzrok velike buke neadekvatni postupak u radu,nepazljivo rukovanje i uopste neodgovorni odnos prema okolini, a to se mozeresavati samo strogom primenom zakonskih propisa.

Drugi nacin je jednostavan i jeftin. To znaci da za osetljiv objekattreba izabrati sto mirniju lokaciju tj. izbegavati bucnu okolinu. Npr. bol-nicu treba graditi u zelenom pojasu, daleko od saobracajnica; ucionice uskoli treba okrenuti prema dvoristu; koncertnu salu treba zastiti foajeima isporednim prostorijama od ulicne buke.

Akusticka izolacija prostorija je skup ali efikasan metod zastite od buke,i uvek se primenjuje u kombinaciji sa udaljavanjem od izvora buke. Ovimproblemima bavi se tzv. arhitektonsko-gradevinska akustika. Kao velicinakoja kvantifikuje akusticku izolaciju neke prostorije uvodi se velicina kojase naziva akusticka (zvucna) izolovanost i oznacava sa D. Naime ako znamonivo spoljne buke na mestu izvora L1, mozemo ako su nam poznata izo-laciona svojstva pregradnih zidova odrediti i nivo buke u nekom susednomprostoru L2. Razlika ova dva nivoa, koja u stvari predstavlja slabljenje bukena putu kojim ona prodire, naziva se akusticka izolovanost:

D = L1 − L2 [=] dB. (2.16)


2.7.2 Karakteristike buke

Najvaznija karakteristika buke je njena jacina. Ona moze biti izrazenanivoom buke u odredenom prostoru ili na odredenom rastojanju od izvora,ili akustickom snagom izvora. Kada se radi o pojedinacnim izvorima (razniaparati, sirene i sl.), bolje je dati snagu, pa za razne slucajeve izracunavatinivo buke. Kada je u pitanju buka nastala od vise izvora (npr. saobracajna)postoji samo prosecni nivo koji se dobija merenjem ili procenjuje statistickimmetodama.

50

60

70

80

90

100

50 100 400 1600 6400

srednja frekvencija oktave [Hz]

niv

o b

uke

po o

kta

vi

[dB

]

Slika 2.11. Spektar buke u tkacnici.

40

50

60

70

80

90

100

50 100 400 1600 6400

niv

o b

uk

e p

o o

kta

vi

[d

B]


Slika 2.12. Spektar buke u promet-noj ulici.

Druga vazna karakteristika je spektar buke. Dve buke jednake jacine, alirazlicitog spektra, ne deluju na coveka na isti nacin. Buka u kojoj su jaceizrazene vise ucestanosti, neprijatnija je i vise ometa. Npr. automobilom semozemo voziti vise sati bez nekog narocitog zamora mada nivo buke iznosiponekad i preko 90 dB. Taj nivo se medutim javlja u oktavi oko 50 Hz, dokspektar pri visim frekvencama opada za skoro 10 dB po oktavi. Druge vrstebuke ovog nivoa, pa cak i muzika, mogle bi biti vrlo zamorne, a ponekadi opasne po organ sluha. Poznavanje spektra buke nije vazno samo zbogstepena ometanja, nego i zbog iznalazenja odgovarajucih zastitnih mera.Na slikama 2.11 i 2.12 su prikazani spektri nekih izvora buke.

Treca znacajna karakteristika buke je njeno trajanje (i eventualno ritamprekida). Vrlo jaka kratkotrajna buka ne predstavlja opasnost za organsluha, tj. on ce privremeno biti onesposobljen da prima zvuk (zagluhnut), alice se brzo povratiti u normalno stanje. Medutim, ako jaka buka dugo traje,javljaju se trajna ostecenja organa sluha. Sa stanovista izolacije takode


je vazno trajanje buke. Bilo bi vrlo nerentabilno projektovati akustickuizolaciju prema kratkotrajnoj buci koja se javlja samo u retkim slucajevima(npr. nisko nadletanje aviona ili udar groma). Zbog toga se u akusticinajcesce razmatra ekvivalentni nivo buke koji predstavlja buku prosecnogintenziteta u toku vremenskog intervala (t1, t2):

Leq = 10 logIsrI0, Isr =

1

t2 − t1

∫ t2

t1

I(t) dt. (2.17)

Postoje i drugi subjektivni efekti vezani za vremenske promene buke,npr. promenljiva buka se teze podnosi nego monotona, a jos teze buka saritmickim prekidima.

2.7.3 Prihvatljivi nivoi buke

Granicne linije buke (N-linije) (slika 2.13) po Kostenu i Van Osu pred-stavljaju linije jednake podnosljivosti zvuka. Ordinata spektra za 1000 Hzuzima se kao nazivna (nominalna) oznaka linije. Stalno opadajuci tok ovihlinija ukazuje na cinjenicu da su vise frekvence buke manje podnosljive.

U tabeli 2.15 prikazani su podnosljivi nivoi buke u razlicitim objektima,a u tabeli 2.16 uticaj razlicitih nivoa buke na neke covekove aktivnosti.

Tabela 2.15. Podnosljivi nivoi buke izrazeni preko normalizovane i izmerene buke

objekt norm. buka izm. buka (dB)

radio studio N15 - N20 20 - 25

koncertne sale, pozorista,TV studio N20 - N25 25 - 30

ucionice svih vrsta,vece sale za sednice, N25 - N30 30 - 35spavace sobe

manje sale za sednice ilivece sa ozvucenjembioskopi, stanovi, hoteli, bolnice N30 - N35 35 - 40

kancelarije, citaonice N35- N40 40 - 45

restorani, radnje, salterska sluzba N45 - N50 50 - 55

daktilo-biroi, sportske hale N55 60

radionice N65 70


N65

N60

N55

N50

N45

N40

N35

N30

N25

N20

N15

N10

N5

N0

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

15

10

20

5

0

62.5 125 250 500 1000 2000 4000 8000

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


niv

o z

vu

ka

po

ok

tav

i [

dB

]

Slika 2.13. Normirane linije buke, date u vidu spektra po oktavama.


Tabela 2.16. Uticaj raznih nivoa buke izrazenih kao normalizovana ili izmerenabuka na covekove aktivnosti

norm. buka izm. buka opis i posledice bucnosti(dB)

N25 - N35 30 - 40 vrlo mirno, sastanci moguci iu skupu do 50 osoba

N35 - N40 40 - 45 mirno, govor se cuje dobro do 10 m daljinerazgovor telefonom normalan,moguci sastanci do 20 osoba

N40 - N45 45 - 50 zadovoljava u pogledu bucnosti, govor se cujedo 4 m, telefonski razgovor jos uvek normalan

govor pojacan, dobro razumljiv samo do 2 m,N45 - N55 50 - 60 telefonski razgovor nesto otezan -

tipicno za projektne biroe

moguc razgovor samo 2-3 coveka iz blizine,N55 - N60 60 - 65 telefonski razgovor vrlo otezan -

tipicno za sobe sa masinama

moguc umni rad rutinskog karaktera iN60 - N65 65 - 70 rad upravljan govornim komandama

i akustickim signalima

N70 75 Moguc fizicki rad sa dovoljnompreciznoscu i koncentracijom

N80 85 Moguc fizicki rad bez umnog naprezanja

2.7.4 Izolaciona moc materijala i veza sa akustickom izolo-vanoscu prostorije

Da bi se neki pregradni zid opisao sa stanovista kolicine zvucne energijekoja prolazi kroz njega definisu se odredeni parametri.

Koeficijent transmisije (prenosenja) τ definise se kao kolicnik preneteakusticke snage kroz zid Pt i ukupne upadne snage Pu:

τ =Pt

Pu. (2.18)

Izolaciona moc (akusticka izolacija) materijala se definise umestokoeficijenta transmisije:

R = 10 log1

τ[=] dB. (2.19)


To je osnovni podatak koji karakterise zvucnu izolovanost gradevinskih ma-terijala, elemenata i konstrukcija. Za pregradni zid vazi:

R ≈ 20 logωms cos θ

2ρ c, (2.20)

gde su ω ugaona ucestanost

logw

w = 10w3 1w = 2w

2 1w1

1R

1R +6

1R +20

R [dB]

Slika 2.14. Teorijska frekventna zavisnost izo-lacione moci.

buke, ms masa jedinice pov-rsine pregradnog zida, θ ugaoincidencije zvucnih talasa napregradni zid, ρ gustina ma-terijala od koga je nacinjen zid,a c brzina zvuka u tom ma-terijalu. Vidimo da izolacionamoc raste i sa frekvencijom (20dB po dekadi5 ili 6 dB po ok-tavi6, videti sliku 2.14) i samasom, tj. tezinom pregrade(”zakon mase”). To je jedanod osnovnih zakona koji se nemoze prenebregnuti, a koji stalno dovodi u sukob akustiku i gradevinskutehniku. Npr. velike zgrade sa mnogo stanova postaju jos jeftinije ako seizgradi jedinstven skelet, a pregrade izvedu lakim i tankim materijalima. Sagledista akusticke izolacije to je katastrofa. Cak i kada se ne gradi po skelet-nom sistemu, cesto se koriste suplje opeke pri zidanju. One su po statickojcvrstoci samo nesto malo slabije od punih elemenata, ali su zato lakse, a kaotoplotni izolator cak i bolje. Medutim, zbog smanjene mase one su slabijiakusticki izolatori.

Fleksioni talasi. Izolaciona moc materi-

q

l

Slika 2.15. Fleksioni talasi.

jala koja bazira na zakonu mase (2.20) u prak-si se pokazala nedovoljno tacnom za projekto-vanje izolacionih sistema od kojih se zahtevavelika tacnost akusticke izolacije u sirokomspektru ucestanosti. Uzrok ovog odstupanjaje pojava fleksionih talasa u pregradnim zi-dovima.

Fleksioni talasi (talasi savijanja, ugibni ta-lasi) nastaju kod stapova i ploca i predstavljaju vrstu transferzalnih talasakod kojih se prostiranje talasa desava duz ose stapa, tj. duz prave koja lezi

5Dekada predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 10.6Oktava predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 2.


u ravni ploce, a oscilovanja se vrse u pravcu koji je normalan na osu stapa tj.ravan ploce, sto za posledicu ima njihovo savijanje (slika 2.15). Oni nastajupri kosom udaru zvucnih talasa na tanki zid (λ À l). Posto su pregradnizidovi (pregrade) u stvari oscilujuce ploce, onda oni predstavljaju slozenemehanicko-akusticke sisteme.

Efekat koincidencije. Pojava fleksionih talasa moze u znatnoj merismanjiti izolacionu moc pregrade kada dode do efekta koincidencije, tj. kadasopstveni fleksioni talasi u pregradi koincidiraju po mestu i vremenu saakustickim oscilacijama zvucnog polja, koje pri kosoj incidenciji takodeimaju komponentu brzine prostiranja duz pregrade. Tada nastupa rezo-nanca, oscilacije pregrade se pojacavaju, pa se akusticka energija prenosigotovo bez gubitaka na drugu stranu. U tabeli 2.17 su date vrednosti tzv.granicnih frekvenci koincidencije (kada je θ = 0) fk u zavisnosti od mase pojedinici povrsine ms i faktora prigusenja β za debljinu od 1 cm:

Tabela 2.17. Vrednosti granicnih ucestanosti koincidencije

materijal ms (kg/m2) fk (Hz)

cigla 21 2 100

beton 23 2 000

staklo 25 1 600

celik 76 1 300

drvo 6 2 100

gips 10 3 400

Gradevinski elementi, u kojima je granicna ucestanost koincidencije iz-nad 200 Hz, zovu se elasticne konstrukcije, a oni sa granicnim ucestanostimaispod 200 Hz predstavljaju krute konstrukcije. Ove granicne vrednosti surelativno proizvoljne, i variraju u literaturi.

Uzimanjem u obzir efekata koincidencije, izolaciona moc materijala po-staje komplikovana funkcija frekvence, sto je prikazano na slici 2.16.

Zakljucujemo da pojava koincidencije dovodi do smanjenja izolacionemoci pregrade u sirem frekventnom opsegu. Najnezgodnije je kada je tajopseg u oblasti vaznih srednjih audio-ucestanosti. Zato treba nastojati dafk bude ili vrlo nisko (debele pregrade), ili visoko - iznad 3000 Hz.


Rp6dB

/okt

9dB/o

kt

R2k

zakon

mas

e

0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10k/f f

R

10 d

B

.

Slika 2.16. Izolaciona moc jednostruke pregrade, data u zavisnosti od ucestanosti.

Akusticka izolovanost prostorije. U praksi je najcesci sledeci prob-lem: poznat je nivo (a najcesce i spektar) buke koja u posmatranu pros-toriju dolazi iz susedne prostorije (slika 2.17), kao i nivo (i spektar) bukekoja se u njoj moze tolerisati. Razlika ordinata ova dva spektra daje trazenufrekventnu zavisnost minimalne akusticke izolovanosti.

1 2

S12

Slika 2.17. Putevi prenosenja zvuka iz prostorije 1 u prostoriju 2.

Moze se pokazati da je u ovom slucaju izraz za akusticku izolovanost D:

D = R+ 10 logA2S12

, (2.21)

gde je R izolaciona moc pregradnog zida, A2 ukupna apsorpcija (∑

αi Si)u posmatranoj prostoriji a S12 povrsina pregradnog zida.


2.8 Ultrazvuk

Pod ultrazvukom se podrazumevaju mehanicki talasa cija ucestanostprelazi 20 kHz i koji se ne mogu detektovati culom sluha. Gornja granicaucestanosti u praksi iznosi i do 500 MHz ali se u praksi najcesce koristiucestanost u opsegu od 1 MHz do 10 MHz. Neke zivotinje mogu proizvesti icuti ultrazvuk, te ga koriste za komunikaciju i orijentaciju. Slepi misevi ko-riste ultrazvuk uglavnom za pronalazenje plena, dok kitovi mogu proizvestiultrazvuk koji se moze cuti cak i na nekoliko kilometara.

Uredaji za proizvodnju ultrazvuka se cesto nazivaju sondama. Izvoriultrazvuka u sondama mogu biti:

• piezoelektricni,

• magnetostrikcioni.

Piezoelektricni materijali se pod pritiskom elektricno polarizuju (sto pred-stavlja direktan piezoelektricni efekat), a obrnuto, pod dejstvom elektricnogpolja menjaju svoje dimenzije (sto predstavlja obrnuti (inverzan) piezoelek-tricni efekat). Za ultrazvucne pretvarace koriste se kvarc, Senjetova so,amonijum-dihidrogen fosfat, litijum sulfat, a takode i vestacka polikritalnakeramika barijum-titanat. Ucestanost ovako dobijenog ultrazvuka je redadesetina ili stotina megaherca.

Magnetostrikcioni materijali se pod dejstvom magnetnog polja deformisu(direktan magnetostrikcioni efekat) a pod pritiskom menjaju magnetne os-obine (inverzni magnetostrikcioni efekat). Kao magnetostrikcioni materijalikoriste se nikl, razne legure nikla i gvozda (permaloj, alfer, cekas, permen-dur) kao i keramike nikl-cink-ferit, nikl-ferit, i druge. Na ovaj nacin proizve-den ultrazvuk ima ucestanost i do 100 MHz ali i veliku snagu (do 105W/m2),zbog cega se koristi u industriji.

Iako ga ljudi ne mogu cuti, ultrazvuk ima siroku primenu. Poceo se koris-titi krajem 50-tih godina proslog veka, posle obimnih istrazivanja za vremeDrugog svetskog rata. Ultrazvuk, zbog svoje male talasne duzine pokazujeosobine slicne osobinama svetlosti: pravolinijsko prostiranje, slabu apsorp-ciju i malu difrakciju. Pri promeni akusticke sredine dolazi do parcijalnerefleksije, stvara se povratni ultrazvucni talas koji se moze registrovati.

Zbog toga je nasao siroku primenu u tehnici, hemiji, biologiji i drugimoblastima.

Neke od najvaznijih primena su:

• Primene u medicini:

2.8. Ultrazvuk 91

Medicinska dijagnostika (ispitivanje unutrasnjih organa) - posle ozraci-vanja organa koji se snima, reflektovani talas se detektujem uredajemkoji se naziva transdjuser i salje na obradu. Posle filtriranja mehanickitalas se pretvara u sliku na monitoru - sliku unutrasnjeg organa. Pro-ces snimanja ultrazvukom u medicini je poznat pod imenom sono-grafija. Ultrazvucni aparat ima dugu istoriju koriscenja u medicini,dok se u novije vreme sve vice koriste naprednija tehnoloska resenja:dopler i kolor dopler koji su zasnovana na Doplerovom efektu7 ul-trazvuka. Primenljiv je u razlicitim oblastima medicine: gastroen-terologija, opstetricija, ginekologija, urologija, nefrologija, kardiologija,ortopedija, angiologija, neurologija, endokrinologija, itd.

Osim za dijagnostiku, ultrazvuk se moze koristiti i u terapeutskesvrhe. Npr. tretiranje ultrazvukom oblasti oko ostecenih delova tkivamoze stimulisati lucenje histamina koji pospesuje aktivnost leukocita,i stoga skracuje vreme oporavka.

• Primene u geologiji i arheologiji: sluzi za otkrivanje slojeva zemljista,podzemnih voda, u petrografiji, mikrostruktura stena ili za otkrivanjepodzemnih arheoloskih eksponata i antickih gradevina.

• Primene u okeanografiji - ultrazvucna lokacija pomocu uredaja koji senazivaju sonari. Ispituje se oblik morskoga dna, otkrivaju perforacijena morskom dnu, meri dubina mora, sa bezbedne udaljenosti se mogupronalaziti olupine potonulih plovila otkrivati podmornice i jata riba.

• Ultrazvucna defektoskopija: gotov fabricki proizvod, koji nema nikak-vih gresaka vrlo dobro propusta ultrazvuk, a svaka supljina ispunjenavazduhom gotovo potpuno reflektuje zvuk (slika 2.18), stoga se ultra-zvukom moze ispitivati ispravnost bilo kakvih vrsti proizvoda, ali ivelikih gradevinskih konstrukcija.

• Primene u hemiji i metalurgiji:

Sonde mogu emitovati ultrazvuk velike energije, tako da se unutrasnjastruktura tela kroz koja ultrazvuk prolazi moze poremetiti (efekat ka-vitacije, koagulacije). Npr. ultrazvuk se koristi i za obradu i zavari-vanje metala fokusiranim ultrazvukom. Koristeci efekat kavitacije,

7Doplerov efekat je pojava koju karakterise promena ucestanosti talasa koje primaposmtrac u odnosu na onu koju emituje izvor, usled relativnog kretanja izvora i posma-traca.


izvor

e

k

r

a

n

Slika 2.18. Ultrazvucna defektoskopija.

ultrazvuk se moze iskoristiti za homogenizovanje smese supstanci kojese inace slabo ili nikako mesaju, tj. za dobijanje emulzija i legura.

Ultrazvuk, pri dodiru sa kristalnim supstancama, moze pri povoljnimuslovima raskinuti jedan broj veza u kristalima, razbijajuci velikekristale na sasvim male delove. Ova osobina je iskoriscena u proizvod-nji medikamenata i prehrambenoj industriji.

Ukoliko neki hemijski proces postavimo pod ultrazvucni talas, brzinareakcije se moze povecati i do nekoliko desetina puta, tj. ultrazvukse moze koristiti kao jeftin katalizator. Npr. ultrazvukom je moguceizazvati ubrzano starenje vina.

• Primene u biologiji:

Biolozi koriste ultrazvuk za pracenje i pronalazenje jata riba, kolonijaalgi, vecih morskih organizama. Ukoliko, se ultrazvukom stvori sitnasupljinu u celijskoj membrani kroz nju se u celiju moze ubaciti medika-ment, ili npr. genetski lanac, sto vec zalazi u sferu mikrobiologije. Priehstrahovanju aroma iz biljaka potrebno je najcesce mehanicki delo-vati na biljne celije sa pigmentima radi povecanja efikasnosti procesa.Kao mehanicka sila koristi se nadpritisak sredine pogodene ultra-zvukom. Ultrazvuk moze paralizovati sitnije organizme (mikroorga-nizme) jer deluje na nervne sinapse. U kombinaciji sa UV zracimaultrazvukom se moze vrsiti sterilizacija npr. mleka ili medicinskihinstrumenata. Zbog toga sto je necujan za coveka ali ne i za sve zi-votinje, ultrazvuk se koristi i za zastitu od glodara, insekata i drugihstetocina.

Realne opasnosti po coveka pri primeni ultrazvuka nema - ne vrsi joniza-ciju sredine, nema drasticnih promena u molekularnoj strukturi, medutimnajupecatljivija mana primene ultrazvuka je generisanje toplote u tkivima,kao posledica pretvaranja mehanicke u toplotnu energiju, sto moze dovestido zamora CNS-a ili usporenog rada neuromisicne sinapse.

Poglavlje 3

Elektromagnetni talasi ioptika

Deo fizike koji proucava svetlosne pojave naziva se optika. Svetlost posvojoj prirodi predstavlja elektromagnetni talas cija se talasna duzina nalaziu opsegu od 380 do 760 nm i koji stvara osecaj u culu vida1. Opsti terminsvetlost ponekad podrazumeva i one elektromagnetne talase cija je talasnaduzina u blizini opsega vidljive svetlosti, npr. infracrvenu i ultraljubicastusvetlost, o kojima ce biti vise reci kasnije. Optika u odnosu na elektromag-netne talase ima isti odnos kao i akustika u odnosu na mehanicke talase, tj.proucava samo jedan opseg ucestanosti elektromagnetnih talasa.

3.1 Elektromagnetni talasi

Za razliku od mehanickih talasa kod kojih talas prenosi mehanickuenergiju izazivajuci mehanicko oscilovanje cestica pogodenih talasom, kodelektromagnetnog talasa situacija je kompleksnija. Elektromagnetni talasbaziran je na pojmu fizickog polja, specificnog vida postojanja materije ukome se u svakoj tacki prostora oseca dejstvo nekih sila. Elektromagnetnopolje predstavlja neraskidivo jedinstvo promenljivog elektricnog ~E(~r, t) ipromenljivog magnetnog polja ~H(~r, t). Ova polja imaju osobinu da jednopolje svojom promenom stvara ono drugo polje, i obrnuto. Druga vazna os-obina elektromanetnog polja je ta da se ono ne moze lokalizovati u prostoru,tj. da kad god postoji elektromagnetno polje, da se ono siri kroz prostor,

1Granice talasne duzine za vidljivu svetlost zavise od sredine kroz koju se svetlostprostire kao i od nivoa osvetljenosti.

93

94 Poglavlje 3. Elektromagnetni talasi i optika

sto u stvari predstavlja elektromagnetni talas. Na taj nacin, elektromag-netni talas prenosi elektromagnetnu energiju. Posto kod elektromagnetnogtalasa osciluju vektori elektricnog i magnetnog polja za cije postojanje nisuneophodne cestice sredine kao kod mehanickih talasa, to se on moze prosti-rati i kroz vakuum. Brzina prostiranja elektromagnetih talasa u vakuumuje univerzalna fizicka konstanta i moze se izraziti preko dielektricne ε0 imagnetne µ0 propustljivosti vakuuma:

c =1√ε0 µ0

≈ 3 · 108 m/s. (3.1)

Brzina prostiranja elektromagnetnih talasa u nekoj drugoj sredini zavisiod odgovarajucih dielektricnih i magnetnih osobina date sredine i moze senapisati kao

v =1√

ε0 εr µ0µr=

c√εr µr

, (3.2)

gde su sada εr i µr relativna dielektricna, odnosno relativna magnetna pro-pustljivost.

Kolicnik brzine svetlosti u vakuumu i brzine svetlosti u posmatranojsredini naziva se apsolutni indeks prelamanja te sredine:

n =c

v=√εr µr ≥ 1. (3.3)

To je neimenovani broj (tj. fizicka velicina bez jedinice), koji je uvek veciod 1 (osim za vakuum gde je upravo jednak 1) zbog cinjenice da je premaspecijalnoj teoriji relativnosti brzina svetlosti u vakuumu c najveca mogucabrzina koja moze da postoji.

Ukoliko u nekoj sredini brzina prostiranja talasa nije ista za talase ra-zlicitih talasnih duzina (odnosno ucestanosti), tada i apsolutni indeks prela-manja zavisi od talasne duzine, odnosno ucestanosti, tj.

n = n(λ) = n(ν). (3.4)

Ovakve sredine nazivaju se disperzione sredine.

3.1.1 Dualisticka priroda elektromagnetnog zracenja

U istoriji fizike svetlost je opisivana pomocu dve principijelno razliciteteorije. Prema prvoj, koju je postavio Njutn, svetlost predstavlja snopcestica koje emituje svetlosni izvor. Ova teorija naziva se korpuskularna

3.1. Elektromagnetni talasi 95

(cesticna) teorija svetlosti. Prema drugoj, koju je definisao Hajgens, svet-lost predstavlja talas koji se krece od izvora ogromnom brzinom kroz sredinukoja je nazvana etar, pa se ova teorija naziva ondulatorna (talasna) teorijasvetlosti. Etar je zamisljen kao nepokretna sredina koja ispunjava citavprazan prostor i prozima sva tela, tako da svetlosni talasi predstavljajuoscilovanje etra. Obe teorije su uspesno objasnjavale pravolinijsko prosti-ranje, odbijanje i prelamanje svetlosti, ali su pojave difrakcije, interferencijei polarizacije svetlosti mogle biti objasnjene samo talasnom teorijom.

Stvari su se pojednostavile kada je Maksvel postavio svoju teoriju elek-tromagnetnog polja, kada je postalo jasno da svetlost predstavlja elek-tromagnetni talas, tj. uspostavljena je elektromagnetna teorija svetlosti.2

Medutim, razvojem kvantne fizike u dvadesetom veku, usvojeno je shvatanjeda se svakom fizickom polju pridruzuju cestice (ili kvazi-cestice) koje pred-stavljaju kvante datog polja, preko kojih dato polje interaguje sa odgo-varajucim cesticama. I obrnuto, u kvantnoj teoriji se svakoj cestici mozepridruziti talas koji moze da opise pojedine fenomene kvantne prirode.Razvoj kvantne teorije je zapravo i zapoceo radovima Planka koji je pret-postavio da tela zrace elektromagnetne talase u odredenim ”porcijama” en-ergije koje su nazvane kvanti.

Fotoni su kvanti elektromagnetnog polja. To su kvazi-cestice, cija jemasa mirovanja jednaka nuli, a cija energija predstavlja energiju elektro-magnetnog talasa:

E = h ν, (3.5)

gde je h Plankova konstanta (h = 6.625 · 10−34 J · s). Ajnstajn je kasnijepokazao da svakom fotonu odgovara odredena masa, sto je u stvari oznacilopovratak na korpuskularnu teoriju koja je sada nazvana kvantna teorijasvetlosti, i kojom su uspesno objasnjeni mnogi fenomeni, fotoelektricni iKomptonov efekat, luminiscentne pojave, linijski spektri atoma, itd., cimeje ova teorija potvrdena i eksperimentalno.

Prema savremenom shvatanju koje izrazava dualisticka teorija svetlosti,svetlost poseduje i talasna i cesticna svojstva, tj. predstavlja fenomenkoji se u zavisnosti od uslova moze opisati kao niz elektromagnetnih ta-lasa ili kao povorka fotona. Naime u nekim pojavama (disperzija, interfer-encija, difrakcija, polarizacija) izrazena su talasna svojstva svetlosti, doksu u drugim pojavama (fotoefekat, luminescencija, atomski spektri, itd.)izrazena cesticna svojstva svetlosti. Na ovaj nacin talasna (elektromag-

2Pojam etra je sada mogao biti napusten jer pojam fizickog polja dopusta postojanjematerijalnosti sredine i bez postojanja supstancije.


netna) i cesticna (kvantna) teorija svetlosti ne iskljucuju jedna drugu, vec sedopunjuju, cime se izrazava dualisticko svojstvo svetlosti. Naravno, sve stovazi za svetlost, vazi i jos generalnije, za sve elektromagnetne talase, bezobzira na njihovu ucestanost ili talasnu duzinu. Medutim, treba imati uvidu da na osnovu tzv. de Broljeve relacije3 mozemo izvesti zakljucak da cese cesticna svojstva elektromagnetnog zracenja osecati utoliko vise ukolikoje njihova talasna duzina manja.

3.1.2 Spektar elektromagnetnih talasa

Vidljiva svetlost predstavlja samo jednu malu oblast u sirokom spektruelektromagnetnih talasa. Na slici 3.1 prikazan je spektar elektromagnetnihtalasa.

gama X UVvidljivo

IC radio

l

n 1 MHz1 kHz

1 Hz

1 pm1 nm

1 mm1 mm

1 m1 km 10 km

6

1 GHz1 THz

1015

Hz10

18Hz10

21Hz

10 km3

Slika 3.1. Spektar elektromagnetih talasa.

Elektromagnetni talasi se u zavisnosti od vrednosti svoje talasne duzine(ili ucestanosti) dele u nekoliko grupa. Najvecu talasnu duzinu imaju radiotalasi - to su elektromagnetni talasi velikih talasnih duzina4. Oni poticu odkretanja naelektrisanja u emisionim antenama, dobijaju se pomocu speci-jalno konstruisanih elektronskih uredaja i imaju primenu u telekomunikaci-jama (radio, televizija, telefonija, radari, itd.).

Infracrveni, vidljivi i ultraljubicasti talasi poticu od promena energije uatomima ili molekulima usled prelaska elektrona sa visih na nize elektronske

3koja kaze da je talasna duzina talasa pridruzenog cestici obrnuto proporcionalna im-pulsu cestice tj.: λ = h/p, gde je h Plankova konstanta.

4Korektniji naziv bio bi telekomunikacioni talasi, no iz istorijskih razloga zadrzao senaziv radio talasi jer je radio saobracaj bio prvi realizovani vid komunikacije na daljinu.Koristi se jos i naziv elektricni talasi jer se za njihovo stvaranje koriste elektricna kola. Idok su se radio talasi najpre prema vrednosti svoje talasne duzine delili na duge, kratke,srednje i ultra-kratke, sada im treba prikljuciti i tzv. mikrotalase koji se koriste u mod-ernim telekomunikacijama.


nivoe. Da bi doslo do emisije ovih talasa atomi ili molekuli se moraju naciu pobudenom stanju gde dospevaju na racun termicke energije, sudarimasa drugim cesticama, i slicno.

Rendgenski ili X-zraci su elektromagnetni talasi koji nastaju kada se brzielektroni koce pri sudaru sa nekim materijalom. Osim toga, brzi elektronimogu prodreti u atomski omotac i pri tome udaljiti elektron koji je blizakjezgru. Popunjavanjem tog praznog mesta elektronom sa nekog viseg nivoa,takode nastaju rendgenski zraci. γ- zraci nastaju pri raspadu jezgra nekogelementa. O njima ce biti vise reci u poslednjem poglavlju ovog udzbenika.

Vrlo je vazno istaci da pojedine vrste zracenja u spektru nisu strogoodvojene jedna od druge vec dolazi do njihovog preklapanja.

3.1.3 Energija elektromagnetnih talasa

Svaki elektromagnetni talas nosi sa sobom odredeni kvant energije kojije direktno proporcionalan njegovoj ucestanosti (E = hν). Za razliku odmehanickog talasa koji prenosi mehanicku energiju, elektromagnetni talasprenosi elektromagnetnu energiju koja se jos naziva i energija zracenja ilizracna energija5 i oznacava sa W .

Termini fluks zracenja (ponegde i zracni fluks, engl. radiant flux) i snagazracenja (engl. radiant power) su sinonimi za snagu emitovanu, prenesenuili primljenu u formi elektromagnetnog zracenja (radijacije)6. Oznaka je Φe

a jedinica za ovu fizicku velicinu je vat (W):

Φe =dW

dt[=]W. (3.6)

U zavisnosti od toga da li se posmatra izvor ili prijemnik elektromag-netnog zracenja definisu se i dve velicine koje predstavjaju gustinu fluksazracenja7. Eksitansa (ekscitancija) zracenja (ili emitansa (emitancija) zra-cenja, ili zracna emitansa ili eksitansa, engl. radiant exitance) Me u tackiA izvora je kolicnik fluksa zracenja dΦe emitovanog sa elementa povrsine

5Termin zracenje ili radijacija koristi se ponekad kao sinonim za elektromagnetne talaseali ipak treba imati na umu da se termin zracenje ponekad koristi i za entitete koji nisu(samo) elektromagnetni talasi, npr. radioaktivno zracenje, neutronsko zracenje, i sl.

6tacnije, promena energije elektromagnetnog polja u jedinici vremena kroz definisanupovrsinu upravnu na pravac prostiranja zracenja.

7Primetimo da ove dve velicine odgovaraju gustini fluksa mehanickih talasa koja senaziva intenzitet talasa; kod elektromagnetnog zracenja termin intenzitet se odnosi najednu drugu velicinu koju cemo upoznati malo kasnije.


izvora dSi koji sadrzi tacku A i same povrsine:

Me =dΦe

dSi[=]

W

m2. (3.7)

S druge strane, ako posmatramo tacku B koja se nalazi na prijemniku elek-tromagnetnog zracenja, mozemo definisati velicinu koja se naziva ozracenost(engl. irradiance) Ee i koja predstavlja kolicnik fluksa zracenja dΦe kojipadne na jedinicu povrsine prijemnika dSp koja sadrzi tacku B i samepovrsine:

Ee =dΦe

dSp[=]

W

m2. (3.8)

Osim eksitanse, za svaki izvor zracenja vazne su i velicine koje govore oprostornoj raspodeli izracene energije, jer neki izvori mogu imati osobinu daemituju razlicitu kolicinu energije u razlicitim pravcima. Zato se za izvorezracenja definisu jos dve karakteristicne velicine.

Pre nego sto definisemo ove velici-

. dS

r

r

dW0

Slika 3.2. Prostorni ugao

ne, podsetimo se najpre definicije pros-tornog ugla. Prostorni ugao sa cen-trom u tacki O (slika 3.2) se definisekao kolicnik kalote sfere (sa centrom uO) dS i kvadrata poluprecnika te sferer:

dΩ =dS

r2. (3.9)

Jedinica za prostorni ugao je steradijan, u oznaci sr. Pun prostorni ugaojednak je

Ω =

∫

SdΩ =

4πr2

r2= 4π (3.10)

steradijana. (Prisetimo se takode da se ugao u ravni definise kao kolicnikluka i poluprecnika, te da je vrednost punog ugla 2π radijana).

Intenzitet zracenja Ie definise se kao kolicnik fluksa zracenja dΦe kojisa izvora (tj. iz tacke A) odlazi u elementarni prostorni ugao dΩ odredenpravcem r i same vrednosti prostornog ugla.

Ie(r) =dΦe

dΩ[=]

W

sr. (3.11)

Koncept koji podrazumeva definisanje intenziteta zracenja kao bitnekarakteristike izvora podrazumeva da je izvor zracenja tackasti8 ili da se

8U tom slucaju postoji samo jedan koordinatni sistem sa pocetkom u izvoru, iz kogapolaze svi elementarni prostorni uglovi.


u aproksimaciji moze tretirati kao tackasti9. Ako pak posmatramo izvorzracenja koji ima konacne dimenzije, onda pojedini njegovi delovi moguimati razlicite zracne karakteristike. Da bi se u posmatranoj tacki prijem-nika sabrali uticaji svih delova izvora konacnih dimenzija potrebno je uvestivelicinu koja ce opisivati doprinos pojedinih delova izvora u ukupnoj energijikoju emituje izvor. Zato se uvodi fizicka velicina koja se naziva povrsinskagustina zracenja ili radijansa (radijancija) koja se definise za delic povrsineizvora zracenja dS i definisani pravac prema tacki u kojoj se nalazi prijemnikr:

Le(r) =d2Φe

dΩ dS cos θ, (3.12)

gde je d2Φe elementarni fluks koji se sa povrsine dS emituje u elementarniprostorni ugao dΩ koji obuhvata tacku prijemnika. Ugao θ je ugao izmedunormale na povrsinu dS i pravca prema prijemiku r, tj. d2Φe predstavljaprojekciju povrsine dS na ravan upravnu na r.

U tabeli 3.1 dat je pregled svih navedenih velicina.

Tabela 3.1. Integralne transportne velicine karakteristicne za elektromagnetnetalase.

Opis velicine Naziv velicine Jedinica

Skalarna velicinakoja se transportuje Elektromagnetna energija W J

Fluks Fluks zracenja Φe W

Gustina fluksa izvora Eksitansa zracenja Me W/m2

Gustina fluksa prijemnika Ozracenost Ee W/m2

Prostorna raspodela fluksa(tackastog) izvora Intenzitet zracenja Ie W/sr

Povrsinsko-prostornaraspodela fluksa izvora Radijansa Le W/(sr·m2)

Sve do sada definisane velicine bile su integralne, tj. odnosile su se nacelokupnu energiju elektromagnetnih talasa, ne vodeci racuna o talasnimduzinama ili ucestanostima elementranih talasa koji cine ukupno zracenje,

9Na velikim udaljenjima, mnogi izvori koji nisu tackasti mogu se tretirati kao tackasti.Takav primer je Sunce, koje se u nekim analizama posmatra kao tackasti izvor i poredsvojih ogromnih dimenzija, koje su medutim zanemarljive u odnosu na njegovu udaljenostod Zemlje.


tj. o njegovom spektru. Medutim, za svaku od njih moze se definisati injihova spektralna koncentracija (engl. spectral concentration) ili spektralnagustina (engl. spectral density) koja govori kolika je vrednost odgovarajucevelicine u oblasti spektra sirine dλ oko vrednosti talasne duzine λ. Tako senpr. integralni fluks zracenja Φe moze izraziti preko spektralne koncentracijefluksa zracenja Φe,λ:

Φe =

∞∫

0

Φe,λ(λ) dλ, (3.13)

a integralni intenzitet zracenja preko spektralne koncentracije intenzitetazracenja Ie,λ:

Ie =

∞∫

0

Ie,λ(λ) dλ. (3.14)

Na slican nacin i sve ostale integralne transportne velicine mogu se izrazitipreko svojih spektralnih koncentracija.

3.2 Svetlost

3.2.1 Spektar vidljive svetlosti

Vidljivu svetlost cine elektromagnetni talasi cija se talasna duzina nalaziu intervalu priblizno od 380 do 760 nm10. Ona moze biti monohromatskai polihromatska. Monohromatska (mono - jedna, hroma - boja) svetlost jesvetlost jedne, tacno definisane talasne duzine. To je prosta svetlost, koja sene moze razloziti. Polihromatska (poli - mnogo, vise) svetlost je slozena svet-lost sastavljena iz vise prostih svetlosti. Najvazniji primer polihromatskesvetlosti je Sunceva (ili kako se jos naziva bela ili dnevna) svetlost. Svetlostkoju daju vestacki izvori svetla takode je polihromatska, ali se njen spektaripak vise ili manje razlikuje od spektra Sunceve svetlosti.

Talasni opseg vidljive svetlosti podeljen je na sedam karakteristicnihzona11. Svakoj zoni odgovara naziv jedne osnovne boje svetlosti (videti

10Ovaj jednostavni odnos koji odgovara jednoj oktavi je uobicajen u udzbenickoj lit-eraturi. Strogo govoreci, opseg vidljivog dela spektra odreden je funkcijama relativnespektralne osetljivosti ljudskog oka koje se definisu u sledecem odeljku.

11Broj nijansi (tonova) prakticno je beskonacan ali ljudsko oko razlikuje oko 128 ra-zlicitih nijansi. Granice zona su takode arbitrarne. Spektar vidljive svetlosti prikazan jeu elektronskoj verziji udzbenika u Dodatku broj 1.

3.2. Svetlost 101

tabelu 3.2). U oblasti vidljive svetlosti, ljubicasta svetlost ima najmanju, acrvena najvecu talasnu duzinu.

Tabela 3.2. Spektar vidljive svetlosti.

boja talasna duzina λ (nm)

ljubicasta 380− 440

modra (indigo) 440− 460

plava 460− 510

zelena 510− 560

zuta 560− 610

narandzasta 610− 660

crvena 660− 760

Potrebno je napomenuti da talasna duzina svetlosti nije njena osnovnakarakteristika jer se ona menja u zavisnosti od opticke gustine (tj. indeksaprelamanja) sredine. U opticki guscim sredinama (sredinama sa vecim in-deksom prelamanja) brzina svetlosti je manja (sto se vidi iz izraza (3.3)),pa je na osnovu izraza (1.87) i talasna duzina manja, i obrnuto. Na prvipogled, moglo bi se zakljuciti da svetlost menja boju kada prelazi iz jednesredine u drugu, jer tada menja talasnu duzinu. Medutim, to nije tako, jerje boja svetlosti na primer ista u vazduhu i u vodi, sto znamo iz iskustva. Uvezi sa tim treba ukazati da je prethodna podela vidljive svetlosti na boje,prema talasnoj duzini, uslovna i da se odnosi samo na vazduh (tj. preciznijena vakuum). Bilo bi ispravnije da se ova podela izvrsi prema ucestanosti, jerje ona primarna karakteristika svakog talasa, pa i svetlosti, tj. boja svetlostiodredena je frekvencijom. Zapravo, frekvencija svetlosti je odredena stanjematoma koji emituju svetlost i ne moze se naknadno menjati kada se procesemitovanja posmatranog talasa zavrsi. Ovo je slicno kao kod mehanickogtalasa, cija je ucestanost odredena ucestanoscu oscilatora.

Talas na svom putu moze da menja jedino brzinu prostiranja v, pa timei talasnu duzinu λ, dok frekvencija ne zavisi ni od kakvih spoljnjih faktora,niti od prirode sredine kroz koju se talas prostire, pa se za jedan emitovanitalas frekvencija ne menja kada talas menja sredinu prostiranja, tj. ν jeinvarijanta za jedan emitovani talas.

Interesantno je posmatrati talas koji sukcesivno prelazi u sredine ra-zlicitih optickih gustina, tj. indeksa prelamanja. Takav jedan primer prikazan


je na slici 3.3. Kako je frekvencija talasa invarijanta, to vazi

ν1 = ν2 = ν3 = ... , (3.15)

odnosnov1λ1

=v2λ2

=v3λ3

= ... (3.16)

Deljenjem ove jednacine sa c i uzimanjem reciprocne vrednosti izraza uzprepoznavanje c/vi (i = 1, 2, 3, ...) kao apsolutnih indeksa prelamanja dobijase

λ1n1 = λ2n2 = λ3n3 = ... , (3.17)

ili zapisano u opstem obliku

λn = const, (3.18)

odakle se vidi da je talasna duzina jednog svetlosnog talasa utoliko vecaukoliko je manji indeks prelamanja sredine kroz koju se talas prostire, sto jeuocljivo i sa slike 3.3.

l1

l2

l3

n1v

1

v = v = v1 2 3

v2 v

3n

3n

2

n1

n3

n2< <n

1n

2<

Slika 3.3. Prostiranje talasa kroz sredine razlicitih indeksa prelamanja.

Najvecu talasnu duzinu λ0 ima svetlosni talas koji se prostire kroz va-kuum (a prakticno i kroz vazduh) kada je n0 = 1. U svakoj drugoj sredinitalasna duzina svetlosti je manja i moze se odrediti kao

λ =λ0n. (3.19)

Kao zakljucak, ponovimo jos jednom da se pri prelasku iz jedne sredine udrugu talasna duzina svetlosnog talasa menja, dok njegova ucestanost ostaje

3.2. Svetlost 103

ista, sto znaci da i boja svetlosti ostaje ista, jer je boja svetlosti odredenafrekvencom svetlosnog talasa.

3.2.2 Odbijanje svetlosti

Neka na savrseno glatku povrsinu

a b

O

ABN

Slika 3.4. Odbijanje svetlosti.

pada svetlosni zrak AO koji se nazivaupadni zrak. U tacki O ove povrsineupadni zrak se odbija u pravcu OB inaziva se odbijeni zrak. Ako se kroztacku O povuce normala N na povr-sinu onda ce upadni zrak sa njom da obrazuje ugao α, koji se naziva upadniugao, a odbijeni zrak ugao β, koji se naziva odbojni ugao (slika 3.4). Zakonodbijanja svetlosti glasi:• Odbojni ugao zraka svetlosti jednak je njegovom upadnom uglu tj.α = β.

• Upadni zrak, normala i odbijeni zrak leze u istoj ravni.

3.2.3 Prelamanje svetlosti

Prilikom razmatranja promene sre-

n2

n1

a

b

Slika 3.5. Prelamanje svetlosti.

dine kretanja svetlosti u odeljku 3.2.1pretpostavljali smo da je pravac pros-tiranja svetlosti upravan na razdvoj-nu povrsinu dveju sredina. Medutim,ako to nije slucaj onda osim prome-ne talasne duzine dolazi i do prome-ne pravca kretanja, i ova pojava senaziva prelamanje svetlosti. Zakonprelamanja definisali su nezavisno jedan od drugog Dekart i Snelijus u XVIIveku pa se po njima on naziva Dekart-Snelijusov zakon i glasi:

• Odnos sinusa upadnog ugla i sinusa prelomnog ugla za dve date sredineje stalna velicina koja je jednaka odnosu apsolutnog indeksa prela-manja druge i prve sredine12

sinα

sinβ=n2n1

; (3.20)

12Ovaj odnos naziva se i relativni indeks prelamanja dve sredine, tj. n21 = n2/n1; samzakon prelamanja se moze napisati i u pogodnijem obliku za primenu: n1 sinα = n2 sinβ.


• upadni, prelomljeni zrak i normala leze u istoj ravni (slika 3.5).

Ako je jedna od sredina vazduh, onda se moze usvojiti da je za nju indeksprelamanja priblizno jednak jedinici.

3.2.4 Razlaganje (disperzija) svetlosti

Razlaganje slozene (bele) svetlosti moze se izvesti na vise nacina. Zarazlaganje moze posluziti prizma na kojoj dolazi do dvostrukog prelamanjasvetlosti, na svakoj bocnoj strani. Zahvaljujuci osobini da je providni ma-terijal od koga je nacinjena prizma disperzivna sredina, tj. da brzina prosti-ranja talasa zavisi od njegove talasne duzine, razlicite komponente slozenesvetlosti imace razlicite indekse prelamanja. Zbog toga ce se svaki monohro-matski talas prelamati pod drugim uglom, i nakon napustanja prizme, odjednog polihromatskog talasa, nastace niz monohromatskih talasa koji cinespektar polihromatske svetlosti (slika 3.6). Posmatrajuci dobijeni spektaruocavamo da je indeks prelamanja jedne supstance (u nasem slucaju mater-ijala od koga je nacinjena prizma) obrnuto proporcionalan talasnoj duzini,tj.:

q

c

lj

Slika 3.6. Disperzija svetlosti uz pomoc opticke prizme.

• Za vidljivu svetlost najmanje talasne duzine (ljubicastu svetlost) in-deks prelamanja stakla je najveci, sto znaci da se ona najvise prelama,tj. najvise skrece prilikom prolaska kroz prizmu.

• Za vidljivu svetlost najvece talasne duzine (crvenu svetlost) indeks

3.2. Svetlost 105

prelamanja stakla je najmanji, sto znaci da se ona najmanje prelama,tj. najmanje skrece prilikom prolaska kroz prizmu.

Duga predstavlja spektar Sunceve svetlosti. Naime, disperzija svet-losti moze se videti ne samo pri prolasku svetlosti kroz prizmu, nego iu drugim slucajevima. Tako, na primer, prelamanje Sunceve svetlosti uvodenim kapljicama koje se obrazuju u atmosferi (za vreme kise ili iznadvodopada) dovodi do razlaganja svetlosti, sto se manifestuje kao duga ”nanebu”.

sunèeva svetlost

sunèevasvetlost

AB

B’

C

C’

kapljica

plava plav

acrvena crvena

53o51

o42o40

o

Slika 3.7. Prelamanje svetlosti u kapljicama vode.

Objasnjenje nastanka ove pojave prikazano je na slici 3.7. Zrak suncevesvetlosti pri ulasku u kapljicu u tacki A se razlaze zbog nejednakog indeksaprelamanja vode za pojedine boje koje sadrzi Sunceva svetlost. Posle totalnerefleksije u tacki B, ova razlozena svetlost se prelama u tacki C, usled cegase jos vise siri. Ovako razlozena svetlost na velikom broju kapljica vidi sekao duga, ali samo iz odredenog pravca, koji je odreden polozajem Sunca.

3.2.5 Boja tela

Boja nekog tela zavisi od njegovih osobina ali i od spektra svetlosti kojana njega pada. Takode, boja tela zavisi od toga da li se telo posmatra uodbijenoj ili propustenoj svetlosti. Naime, svako telo, deo svetlosti kojapada na njega odbija (reflektuje), deo upija (apsorbuje) a deo propusta(transmituje). Telo ima belu boju ako potpuno odbija svetlost koja na njegapada. Ako telo propusta svu svetlost onda se naziva transparentno (bezbo-jno) telo, a ako potpuno apsorbuje svetlost onda je to crno telo. Dakle,bela boja je prisustvo svih boja, a crna boja odsustvo svih boja u odbijenojsvetlosti (uporediti sa definicijama u 4.2).

Boje tela u propustenoj svetlosti dolaze uglavnom od apsorpcije odre-denih delova spektra. Tela koja propustaju svetlost odredene boje (talasne


duzine), a svetlosti svih ostalih boja apsorbuju, nazivaju se opticki filtri (ilitacnije transmisioni opticki filtri). Npr. ako neko telo propusta samo crvenusvetlost iz sastava bele svetlosti, dok ostale boje apsorbuje, onda ce to teloposmatrano u propustenoj svetlosti da izgleda crveno.

Osim transmisionih, mogu se definisati i apsorpcioni i refleksioni filtri,mada je koriscenje ovih termina rede. Ako telo apsorbuje samo svetlostjedne boje, a ostale propusta ili reflektuje, rec je a apsorpcionom filtru, dokrefleksija jedne boje predstavlja refleksioni filter. U prirodi, medutim, imamnogo vise tela koje ne propustaju ili odbijaju svetlost samo jedne boje,vec vise boja. Njihova boja u propustenoj ili odbijenoj svetlosti slozena jeod vise boja i moze se poklapati sa nijansom neke od cistih spektralnih boja(videti odeljak o teoriji boja).

Posmatrajmo sada netransparentna tela, tj. ona koja vrse samo apsor-pciju i refleksiju svetlosti koja pada na njih. Boje koje takva tela imajudolaze otuda sto tela ne odbijaju sve boje podjednako. Npr. telo kojeodbija samo crvenu svetlost izgleda kad se osvetli belom svetloscu crveno.Ako u upadnoj svetlosti nema boja koje telo odbija, npr. kada se crvenotelo obasja plavom svetloscu, ono izgleda crno. Kada se u upadnoj svetlostinalazi samo jedan deo boja koje telo odbija, utisak boje stice se na osnovunjih i njihovih intenziteta u odbijenoj svetlosti. Pod bojom tela mi zapravo(nedovoljno precizno) podrazumevamo njegovu boju u slucaju osvetljavanjaSuncevom svetloscu, pa nam prilikom osvetljavanja vestackom svetloscu, cijije spektar siromasniji u malim talasnim duzinama, telo izgleda promenjeneboje. Poznato je, na primer, kako je tesko odabrati obojenu tkaninu privestackom osvetljenju.

3.3 Infracrvena i ultraljubicasta svetlost

Vidljiva svetlost predstavlja samo jednu malu oblast u sirokom spektruelektromagnetnih talasa, ogranicenu sa strane vecih talasnih duzina infracr-venom, a sa strane manjih talasnih duzina ultra-ljubicastom svetloscu.

Infracrvena svetlost. Ako se osetljivi termometar pomera duz spektraSunceve svetlosti primetice se da su njegova pokazivanja razlicita za pojedinedelove spektra. Primeceno je, takode, da se, stavljajuci termometar izagranice vidljivog dela spektra (iza crvene svetlosti), termometar vise zagrevatamo nego u oblasti vidljive svetlosti, na osnovu cega je zakljuceno da izacrvene svetlosti postoji nevidljiva svetlost koja je nazvana infracrvena (IC)svetlost (ili IC zracenje). IC oblast moze se podeliti na blisku, srednju i

3.3. Infracrvena i ultraljubicasta svetlost 107

daleku. Bliska (engl. NIR Near Infra Red) IC oblast sa talasnim duzinamau opsegu od 0.7− 5 µm naslanja se na oblast vidljive svetlosti, zatim sledisrednja (engl. MIR Mid Infra Red) 5 − 30 µm, pa daleka (engl. FIR FarInfra Red) 30− 1000 µm koja u stvari predstavlja termalno zracenje.

Supstance koje su za vidljivu svetlost prozracne mogu da budu pot-puno neprozracne za infracrvenu. Takva supstanca je npr.voda. Ona skoropotpuno apsorbuje IC svetlost, a propusta vidljivu. Zbog toga se kod pro-jekcionih aparata koriste vodeni filtri (sud sa vodom) koji imaju ulogu daapsorbuju IC svetlost koju emituje svetlosni izvor velike jacine i time stitifilm ili foto ploce od nedozvoljenog zagrevanja.

Primena infracrvenih zraka je raznolika. Pomocu infracrvenih zraka semogu praviti snimci kroz atmosferu bogatu aerozagadenjima. Naime, naaerozagadenjima dolazi da znatnog slabljenja vidljive svetlosti, ali IC svet-lost prolazi kroz njih bez znacajne apsorpcije. Takode, pomocu IC svetlostije moguce snimanje i u mraku. Zivi organizmi obicno poseduju visu tem-peraturu od okoline, pa zrace vise u IC oblasti (npr. covekovo telo zraci ICtalase talasne duzine reda 10 µm). Tako ih je na snimku moguce uociti. Toje takozvana IC fotografija, ili termovizija. Ona ima i vojnu primenu kodoptickih nisana. Infracrveni zraci su nasli veliku primenu i u industriji (prisusenju obojenih metalnih, keramickih i drugih predmeta), u poljoprivredi(u susnicama za poljoprivredne proizvode - kukuruz, sljive, i ostalo), itd.Izvori IC svetlosti najsesce su specijalne elektricne sijalice, koje zrace do90% infracrvene i oko 10% vidljive svetlosti.

Ultraljubicasta svetlost. Nevidljiva svetlost cija je talasna duzinamanja od talasne duzine ljubicaste svetlosti naziva se ultraljubicasta svet-lost13. Kvarcno staklo propusta deo UV svetlosti, dok je obicno staklo skoropotpuno apsorbuje. Ova svetlost moze imati izrazito biolosko dejstvo i zbogtoga je njen znacaj u prirodi ogroman. Dejstvo ultraljubicaste svetlosti ko-risti se za sazrevanje voca i povrca, cime se stvaraju vitamini i mnoge drugekorisne supstance znacajne za ishranu ljudi. UV svetlost efikasno unistavabacile, pa se npr. sa uspehom koristi za sterilizaciju vode i mleka.

UV zracenje nastaje na visokotemperaturnim povrinama, kao sto je npr.Sunce. Sunce emituje ultraljubicasto zracenje u sirokom opsegu talasnihduzina i ono se moze podeliti u tri grupe:

• UVA odgovara opsegu talasnih duzina od 315-380 nm, i ima najmanjebiolosko dejstvo;

13Takode i ultravioletna (UV) svetlost ili UV zracenje


• UVB odgovara opsegu talasnih duzina od 280-315 nm, i ima umerenobilosko dejstvo;

• UVC odgovara opsegu talasnih duzina od 10-280 nm, i ima izrazitobiolosko dejstvo.

Na srecu, Zemljina atmosfera apsorbuje u potpunosti UVC i delimicno UVBzracenje, cime je omoguceno postojanje zivota na Zemljinoj povrsini.

U zemaljskim uslovima elektricni luk je najbolji izvor UV svetlosti. Zbogtoga elektrolucni varioci koriste pri radu zastitne naocari. UV svetlosti imatakode u sastavu zivine svetlosti. Kvarcne lampe, kao izvori UV svetlostikoriste se u medicini prilikom razlicitih sterilizacija. Ultraljubicasta svet-lost deluje blagotvorno na coveciji organizam, ali samo ako su doze zracenjamale. Posle velikih doza zracenja UV svetloscu, smanjuje se radna sposob-nost, javlja se avitaminoza i rastrojstvo nervnog sistema. Moze se javiti icrvenilo na kozi, pa je zbog toga neophodna obazrivost pri izlaganju telaultraljubicastom zracenju (suncanju).

3.4 Oko i videnje

3.4.1 Grada oka

Oko predstavlja organ cula vida prikazan na slici 3.8. Ljudsko oko imapriblizno sferni oblik precnika oko 2.5 cm, i spolja je obavijeno beonjacom,koja je u prednjem delu blago ispupcena prema napred. Taj ispupcenideo predstavlja cvrstu i providnu membranu koja se naziva roznjaca (lat.cornea). Iza roznjace, nalazi se komora ispunjena ocnom tecnoscu (humoraqueus). Zatim dolazi okrugli obojeni deo oka koji se naziva duzica ili iris,koji na sebi ima okrugli otvor zenicu (pupila) koji omogucava da svetlostpadne na ocno socivo (lens crystallina). Zenica se moze siriti i skuplja-ti i time regulisati svetlosni fluks koji pada na ocno socivo cime se okostiti od prekomernog nadrazaja. Samo socivo izgradeno je od vlaknaste pi-htijaste mase i preko tetiva vezano za cilijarne misice kojima moze da semenja oblik sociva. Prostor iza sociva ispunjen je pihtijastom masom kojase naziva staklasto telo (corpus vitreum). Zadnja povrsina oka prekrivena jefinim spletom (mrezom) nervnih vlakana, pa se ova oblast naziva mreznjaca(retina). Ova vlakna sacinjena su od celija koje se nazivaju stapici i cepicii koje plivaju u tecnosti koja se naziva vidni purpur. Na mreznjaci se nalazimalo udubljenje - zuta mrlja, u cijem je centru vrlo mala povrsina precnika0.25mm pod latinskim nazivom forea centralis, sastavljena samo od cepica

3.4. Oko i videnje 109

optièka osa

osa gledanja

oèna teènost

zenica

ronjaèa

ciljarni mišiæ

oèno soèivo foveja

mrenjaèa

sudovnjaèa

beonjaèa

staklasto telo

Slika 3.8. Grada organa cula vida - oka.

na kojim se formira najostriji lik. Ocni misici usmeravaju oko uvek tako dalik predmeta koji se posmatra padne na ovu oblast. Iz mreznjace polazi kamozgu ocni nerv (zivac). Sam kraj ocnog nerva predstavlja slepu mrlju, jeru njoj nema ni cepica ni stapica.

• Akomodacija oka Citavo oko ponasa se kao jedan opticki sistem kojivrsi preslikavanje predmeta na mreznjacu oka. Da bi se dobio ostar lik namreznjaci za razlicita rastojanja predmeta, vrsi se promena oblika ocnogsociva pomocu cilijarnih misica. Ova pojava naziva se akomodacija, i onase vrsi bez uticaja nase volje.

Minimalno rastojanje predmeta ciji ostar lik oko moze da stvori nazivase rastojanje bliske tacke, a sama tacka polozaja predmeta bliska tacka.Rastojanje bliske tacke menja se sa godinama, a neke okvirne vrednosti ovedaljine prikazane su u tabeli 3.3. Pored bliske tacke postoji i daljnja tackakoja predstavlja maksimalno udaljenu tacku ciji lik oko moze da stvori.Prema tome rastojanja bliske i daljnje tacke odreduju oblast u kojoj senalaze predmeti cije je jasno videnje moguce. Postoji i odredena daljinapredmeta kada se ostar lik stvara bez ikakve aktivnosti ocnih misica, tj.kada je socivo u opustenom stanju. Ta daljina je razlicita kod razlicitihosoba a kod normalnog oka ovo rastojanje se krece u intervalu od 25 do30 cm i naziva se daljina jasnog vida. Ona takode zavisi od uzrasta, i uvekje veca od udaljenosti bliske tacke.

• Nedostaci oka. Kod normalnog oka daljnja tacka nalazi se u bes-konacnosti. To znaci da oko bez problema stvara lik na mreznjaci pred-


Tabela 3.3. Zavisnost udaljenosti bliske tacke od godina starosti.

starost (godina) udaljenost bliske tacke (cm)

10 7

20 10

30 14

40 22

50 40

60 200

meta ciji zraci padaju paralelno na socivo (slika 3.9), tj. da se ziza ocnogsociva dejstvom ocnih misica moze pomeriti upravo u mreznjacu. Medu-tim, u nekim slucajevima za predmet u beskonacnosti ziza sociva ne lezi namreznjaci vec ispred ili iza nje. Prva anomalija naziva se kratkovidost, adruga dalekovidost.

Kod kratkovidosti, zraci svet-

utamrlja

.

Slika 3.9. Normalno oko.

losti koji poticu od udaljenogpredmeta seku se ispred zutemrlje (slika 3.10). Zbog togakratkovidi ljudi ne vide jasnopredmete koji su udaljeni. Krat-kovidost se otklanja naocarimasa rasipnim socivom.

.. .

utamrlja

.utamrlja

Slika 3.10. Kratkovido oko i ispravljena kratkovidost uz pomoc rasipnog sociva.

U slucaju dalekovidosti (slika 3.11), zraci koji polaze sa predmeta, seseku iza zute mrlje. Ovaj nedostatak otklanja se pomocu naocara sa sabirnimsocivom.

Pored dalekovidosti i kratkovidosti, sesto se javlja jos jedan nedostatakoka - astigmatizam. Za razliku od dalekovidosti i kratkovidosti, koje su u


.

utamrlja

utamrlja

. ..

Slika 3.11. Dalekovido oko i ispravljena dalekovidost uz pomoc sabirnog sociva.

mladim godinama najcesce posledica male ili velike ocne jabucice, astigma-tizam je posledica toga da roznjaca nije sfernog oblika kao kod normalnogoka, vec je zakrivljena u jednom pravcu vise nego u drugom. Osobe kojeimaju ovaj nedostatak vide horizontalne i vertikalne ivice predmeta poduglovima koji se razlikuju od 90. Na slici 3.12 prikazan je dijagram kogaokulist koristi za proveru oka na astigmatizam. Astigmaticno oko nece videtihorizontalne linije u jasnom fokusu ako su vertikalne linije jasno fokusiranei obratno. Astigmatizam se takode moze korigovati naocarima. Medutim,za razliku od dalekovidosti i kratkovidosti gde se koriste jednostavna sfernasociva, kod astigmatizma se koriste cilindricna sociva.

Na kraju, razmotrimo istovremeno

Slika 3.12. Dijagram za odrediva-nje astigmaticnosti oka.

funkcionisanje oba oka. Kada se pred-met posmatra sa oba oka, svako oko stva-ra poseban lik predmeta. Ovi likovi sene vide udvojeno, vec se slivaju u jedin-stvenu sliku. Kada se posmatraju uda-ljeni predmeti, opticke ose oba oka supriblizno paralelne. Ako je predmet bli-zak, ocne jabucice se tako podese da osekonvergiraju ka predmetu koji se pos-matra. Ugao koji one zaklapaju je uto-liko veci, ukoliko je predmet blizi. Povelicini toga ugla mozak refleksno pro-cenjuje udaljenost i velicinu posmatra-

nog predmeta. Osobe sa jednim okom to veoma tesko mogu da ucine. Pos-matranje sa oba oka omogucava da se predmeti vide kao tela u prostoru, ane kao slike u ravni.


3.4.2 Proces videnja

Glavnu ulogu - ulogu detektora u procesu videnja igraju celije nervnihzavrsetaka ocnog nerva - stapici i cepici. U oku ima oko 120 milona stapica,dok je cepica oko 7 miliona. Periferni delovi mreznjace prekriveni su preteznostapicima, dok broj cepica raste prema sredini oka. Stapici i cepici igrajubitno razlicite uloge. Osetljivost stapica na jacinu svetlosti je oko 1000 putaveca od osetljivosti cepica, tako da oni stvaraju osecaj svetlosti vec kadadesetak fotona u sekundi pogada mreznjacu. Medutim, stapici ”ne razaz-naju” boje, tj. nisu osetljivi na boje. Tako, pri slabom osvetljenju oko nerazaznaje boje (efekat sumraka), vidi sva tela kao (razlicito) siva, ali mozeda razazna njihove oblike.

Za videnje boja, koje oko pocinje da razlikuje kod vecih svetlosnih in-tenziteta, odgovorni su cepici koji su manje osetljivi od stapica. Postoje dveteorije o videnju boja14. Najstarija teorija Junga i Helmholca pretpostavljada su cepici specijalizovani, tj. da se mogu podeliti u tri grupe prema os-novnoj boji na koju su osetljivi: Tako jednu cine oni koji su osetljivi nacrvenu, drugu oni koji su osetljivi na zelenu, a trecu oni koji su osetljivi naplavu osnovnu boju. Svaka vrsta cepica maksimalno reaguje samo na jednuodgovarajucu osnovnu boju, a u smanjenoj meri na okolne oblasti tako damesavine i razliciti odnosi tih boja u mesavinama omogucuju oku da vididruge boje i nijanse, kao i belu boju.

Prema Heringovoj teoriji osecanje boja zasniva se na procesima meta-bolizma u culu vida, koji prouzrokuju sest osnovnih osecaja. U cepicimase nalaze tri supstance: jedna za belo-crno, koja omogucuje osecaje svet-loga i tamnoga, druga za crveno-zeleno, sa oprecnim osecajima crvenog izelenog, i treca za zuto-plavo, sa osecajima zutog i plavog. Osecaji be-log, crvenog i zutog nastaju kada se odgovarajuca supstanca usled svet-losti trosi, dok se suprotni osecaji crnog, zelenog i plavog javljaju kada seodgovarajuca supstanca regenerise. Kada nema nadrazaja, supstance su uravnotezi, nema osecaja boja, a supstanca odgovorna za kontrast belo-crnodaje osecaj sivoga.

Potpuno slepilo za boje javlja se retko. Ljudi sa ovim nedostatkom nevide spektar kao neprekidan niz boja, vec otprilike kao sto zdrave oci videniz boja koje postaju pri mesavini dve komplementarne boje, zute i plave.Kraj spektra s jedne strane izgleda zut, a sa druge plav, dok u srednjem deluna oko λ = 500 nm izgleda beo. Mnogo je cesce slepilo za pojedine boje.

14koje, iako na prvi pogled sasvim suprotne, izgleda da nisu nepomirljive (npr. pogledatie-knjigu na http://neuro.med.harvard.edu/site/dh/index.html).


Na primer slepilo za crveno-zeleno se javlja kod oko 4% muske populacije.Razlikujemo one koji ne vide crveno i one koji ne vide zeleno. Obe grupemesaju crveno i zeleno, dozivljavaju dakle jednu boju kao drugu. Kodonih koji ne vide zelenu boju, cesta je pojava da pojedine purpurne bojedozivljavaju kao bele. Postoje sem toga i slepi za ljubicastu ili plavu boju,ali se to slepilo javlja kao posledica izvesnih oboljenja i njega prate i drugepojave. Slepilo za boje (Daltonizam) se objasnjava po Helmholcovoj teorijizakrzljaloscu cepica, a po Heringovoj nedostatkom odgovarajuce supstance.

3.4.3 Spektralna osetljivost oka

Covecje oko nije podjednako osetljivo na svetlost svih boja. Medutim,kriva spektralne osetljivosti oka zavisi od vrste videnja, tj. od sjajnostividnog polja (Definicija sjajnosti sledi kasnije). Mozemo reci da za normalnooko postoje tri vrste videnja:

• fotopsko videnje (videnje po danu), kada je oko adaptirano na jacenivoe sjajnosti (aktivni su cepici),

• skotopsko videnje (videnje po noci), kada je oko adaptirano na nizenivoe sjajnosti (aktivni su stapici),

• mezopsko videnje (videnje u sumrak), kada je oko adaptirano na sred-nje nivoe sjajnosti i kada i cepici i stapici mogu biti aktivni.

Za fotopsko i skotopsko videnje se definisu krive relativne spektralne os-etljivosti (svetlosne efikasnosti) ljudskog oka V (λ) i V ′(λ), respektivno. Ovefunkcije su prikazane na slici 3.13. Funkcija osetljivosti za fotopsko videnjeima vrednosti u intervalu od 360 do 830 nm, a maksimum se nalazi na ta-lasnoj duzini od 555 nm (u vakuumu), sto odgovara zelenoj boji. To znacida je broj fotona potrebnih da izazovu osecaj svetlosti u uslovima dnevnesvetlosti najmanji za ovu talasnu duzinu. Za vece i manje talasne duzineosetljivost sve vise opada. Funkcija za skotopsko videnje V ′(λ) definisana jeu nesto uzem intervalu, od 380 do 780 nm, a svoj maksimum ima na 507 nm,sto odgovara plavoj svetlosti. Tacnije, oblik citave krive V ′(λ) pokazuje daje ona pomerena prema plavoj svetlosti u odnosu na V (λ). Tako, u uslovimaskotopskog videnja, oko postaje vise osetljivo na plavu nego na crvenu svet-lost. To je razlog zbog cega nam na mesecini sve izgleda plavicasto, dok upozoristu jarko crvena boja zavese gubi od svog intenziteta kada se ugasisvetlost.


0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

400 500 600 700

talasna du (nm)ina

rela

tivna

spek

tral

na

ose

tlji

vost

V’( )lV( )l

Slika 3.13. Osetljivost oka pri razlicitim osvetljenjima.

3.4.4 Teorija boja

Kada govorimo o bojama treba naglasiti da boja nije fizicki pojam. Ufizici je svaki svetlosni izvor odreden spektralnom raspodelom intenzitetazracenja Ie,λ(λ) (videti sliku 3.14). Medutim, oko ne vrsi spektralnu anal-izu. Svetlost koja padne na mreznjacu moze da ima vrlo razliciti spektralnisastav, ali oko prima i registruje samo integralni efekat spektra u opseguvidljive svetlosti.

300300 500 700700 l (nm)l (nm)

(ljubièasta)(ljubièasta) (zelena) (crvena)(crvena)

Ie,lIe,l

Raspodela svetlostikoja se vidi kao crvena

Raspodela Sun eve svetlostiè

Slika 3.14. Boja kao spektralna raspodela energije.

Osnovne karakteristike boja - ton, zasicenje i sjajnost. Cistespektralne boje odgovaraju monohromatskoj svetlosti dobijenoj razlaganjemslozene (bele) svetlosti. Medutim, treba napomenuti da se ton (nijansa)


svake boje moze proizvesti na mnogo razlicitih nacina mesanjem vise drugihspektralnih boja. To prakticno znaci da kada oko uoci neku boju, mi neznamo da li je u pitanju monohromatska svetlost ili pak slozena svetlostkoja predstavlja kombinaciju vise razlicitih spektralnih boja.

Ako se pomesaju dve ciste spektralne boje, u zavisnosti od njihovogodnosa u smesi, dobija se niz tonova koji predstavljaju neprekidni prelazod jedne ka drugoj cistoj spektralnoj boji. Pri tome se zapaza znatna ra-zlika u zavisnosti da li obe ciste boje leze u spektru blizu jedna drugoj,ili su jedna od druge udaljene. Kada se pomesaju, na primer, cisto cr-veno i cisto zuto dobijena mesavina boja izgleda potpuno jednako kao icista narandzasta boja, koja se nalazi izmedu njih. Dobijena smesa bojapokazuje karakteristicno zasicenje (jarkost) sto je osobina cistih spektralnihboja koja ih cini vaznim sa stanovista zadovoljavanja estetskih kriterijuma.Ako se, medutim, pomesaju dve ciste boje koje se u spektru nalaze dalekojedna od druge, i onda se javlja neprekidan niz boja izmedu njih, ali u sred-njem delu toga niza boja smese izgleda belja (bleda), tj. manje zasicena odtona iste ciste spektralne boje.

Smesa krajnjih boja spektra - crvene i ljubicaste, pokazuje interesantnuosobinu. Dobijeni tonovi mogu se kretati duz spektra osnovnih boja crveno-zuto-zeleno-plavo-ljubicasto, ali se mogu realizovati i tonovi takozvanih pur-purnih boja, pri cemu se nijanse menjaju od crvenog preko purpurno cr-venog, purpurnog do ljubicastog. Na taj nacin, vidljivi spektar, koji sefizicki prekida kod crvenog i ljubicastog, fizioloski se dopunjava u zatvorenikrug preko purpurnih boja, ciji se tonovi ne poklapaju ni sa jednom cistomspektralnom bojom.

Osim tona (nijanse), i zasicenja (jarkosti), postoji i treca osobina kojakarakterise osecaj boje - sjajnost. Naime, ako analiziramo spektralne boje,primeticemo da nam osim purpurnog nedostaju jos neke boje, npr. siva,mrka (braon) i maslinasto zelena. Za razliku od purpurnih boja, ove bojenisu pravi novi tonovi. Ispitivanje spektra mrkog tela pokazuje da je njegovaprava boja zuto-zelena. Mrka, u stvari zuto-zelena tela, daju narociti utisakboje zahvaljujuci cinjenici da odbijaju jedan relativno mali deo svetosti kojapada na telo, a veliki deo upijaju (apsorbuju). Na taj nacin, ova tela kao damesaju svoj ton (zuto-zeleni) sa ”crnom bojom” zbog svojstva male reflek-sije, pa se kao rezultujuci utisak dobija mrka boja. Prilikom procene nekemrke boje, mi je uvek uporedujemo sa okolnim isto tako jako osvetljenimpredmetima pa konacni utisak o boji zavisi od sjajnosti okoline. Druge dvetipicne ”crnkaste boje” (tj. boje male sjajnosti) su maslinasto-zeleno i sivo.Sivo je u stvari ”crnkasto-belo”, tj. siva tela reflektuju kompletan spektar


bele svetlosti, ali u jako malom obimu, pa se dobija utisak sive boje.

Komplementarne boje. Za svaku cistu spektralnu boju (osim za onekoje se nalaze u intervalu od 492 do 570 nm) postoji druga cista spektralnaboja koje kada se pomesaju u odredenom odnosu intenziteta daju belu boju.Takve dve boje nazivaju se komplementarne boje. Dve komplementarneboje odlikuju se jos i time, sto kada stoje jedna pored druge, izazivajuutisak narocito zadovoljavajuce harmonije boja. Tako na primer ljubicastojboji komplementarna je nijansa zeleno-zute boje, crvenoj boji nijansa plavo-zelene, dok su plava i zuta dve komplementarne boje. Centralni deo spektrakoji obuhvata zelenu kao i deo zute i plave oblasti kao komplementarneboje nema spektralno ciste boje. Komplementarne boje ovog dela spektrasu zapravo purpurne boje, dobijene mesanjem spektralno cistog crvenog iljubicastog. Krug komplementarnih boja prikazan je na slici 3.15.

Komplementarne boje sezelena

zeleno-plava

plavo-zelena

plava

indigoljubièastapurpurna

crvena

narandasta

uta

uto-zelena

Slika 3.15. Sema komplementarnih boja.

mogu definisati i na sledeci na-cin. Ako iz spektra bele svet-losti oduzmemo jednu boju (ko-riscenjem apsorpcionog, tran-

smisionog ili refleksionog filtra)dobicemo slozenu svetlost cijase boja poklapa sa komplemen-tarnom bojom oduzete svetlos-ti. Npr. ako iz bele svetlostieliminisemo plavu svetlost, do-bijena svetlost izgledace zuta,

iako predstavlja kombinaciju vise razlicitih svetlosti.

Aditivno i supstraktivno mesanje boja Mesanje boja o kome jedo sada bilo reci odnosi se na takozvano aditivno mesanje boja. Naime,beo zaklon ili bezbojna providna ploca imaju pri jednobojnoj svetlosti bojuone svetlosti kojom su osvetljeni. Ako je svetlost koja na njih pada slozenaiz dve monohromaticne boje, tada imaju boju koja je mesavina tih dvejuboja. Ako su boje komplementarne, ta mesavina je bela ili siva, sto zavisiod intenziteta svetlosti. Ovakva smesa boja koju pokazuje neko telo kojeodbija ili propusta one boje koje na njega padaju, naziva se aditivna smesa,jer se utisci o bojama, srazmerno sastavnim delovima svetlosti, sabiraju.Utisak bele boje, koji nastaje aditivnim mesanjem moze se poboljsati akose upotrebe tri snopa svetlosti, koji u svom sastavu odgovaraju crvenom,zutom i plavom delu spektra i njihovom intenzitetu.

U svakodnevnom zivotu narocito vaznu ulogu imaju pigmenti ili (indus-


trijske) boje (npr. slikarske, za tekstil, za drvo, za metal, itd...) koje sluzeza dezeniranje razlicitih proizvoda i bojenje gradevinskih objekata. Adi-tivna smesa cistih spektralnih boja koja se moze smatrati zbirom svetlostiponasa se po drugim zakonima u odnosu na mesavinu boja koju upotre-bljava slikar, da bi dobio neku odredenu nijansu boje. Smesa plave i zuteslikarske boje ne daje, kao sto znamo, ni belo, ni sivo, vec zeleno, mada suove boje komplementarne.

Ova prividna protivurecnost razjasnjava se time sto u ovom slucaju bojatela nastaje usled promene koju upadna bela svetlost dozivljava prilikomprodiranja u zrnca boje. Crvena boja apsorbuje od bele svetlosti bojekratkih talasa spektra, plava boja apsorbuje deo dugih talasa, a zelena obakrajnja dela spektra. Boje koje opazamo su ostaci boja, one koje su pre-ostale, pa se ovakva smesa naziva supstraktivna smesa boja. Sve dok supigmentna zrnca na nekom telu poredana jedno pored drugog tako da seuzajamno ne prekrivaju, telo koje je prekriveno zrncima plave i zute bojeje belicasto zeleno, tj. slabo obojeno. Ali ako se zuta i plava boja takopomesaju, da bela svetlost na svakom mestu prolazi kroz zut kao i krozplav pigment pre nego sto se odbije, ili prode kroz sloj, od bele svetlostise oduzima onaj deo koji apsorbuje zuta boja (manje talasne duzine), azatim i onaj deo koga apsorbuje plava boja (vece talasne duzine), pa stogapreostaje najmanje oslabljen srednji deo spektra, tj. zelena svetlost.

Mesanje primarnih boja. Upoznajuci spektar vidljive svetlosti naucilismo da je on podeljen u sedam traka koje definisu sedam osnovnih bojavidljive svetlosti. Medu tim, za dobijanje neke proizvoljne nijanse dovoljnoje mesanje tri boje, koje se nazivaju primarne boje. Na slici 3.16 prikazano jeu pojednostavljenom obliku aditivno i supstraktivno mesanje boja15. Kodaditivnog mesanja, date su tri primarne boje, crvena, zelena i plava. Adi-tivnim mesanjem crvene i zelene, dobijena je zuta, mesanjem zelene i plaveboja koja se naziva cijan (engl. cyan), a crvene i plave boja koja se nazivamagenta. Ove tri boje dobijene mesanjem aditivnih primarnih boja, nazi-vaju se sekundarne boje. Mesanjem sve tri aditivne primarne boje dobijenaje bela boja. Kod supstraktivnog mesanja boja, mesanje se izvodi pomocucijan, magnete i zute boje. Supstraktivnom mesavinom cijan i magente do-bija se plava, magente i zute crvena, a zute i cijana zelena boja. Konacno,supstraktivnim mesanjem sve tri boje, dobija se crna boja. U ovom primeruprimarne (supstraktivne) boje su cijan, magenta i zuta, a sekundarne (adi-

15U Dodatku 2 udzbenika u elektronskom obliku prikazano je na jasniji nacin aditivnoi supstraktivno mesanje boja.


tivne) crvena, zelena i plava.

plava

crvena

zelena

C

cijan

BM

magenta uta

P Z

C

CN

Slika 3.16. Aditivno i supstraktivno mesanje boja.

Na osnovu prikazane analize, mozemo definisati dva sistema primarnihboja: RGB16 sistem i CMY17 sistem18. Prvi sistem, RGB, koga smo vec upo-znali kod ljudskog oka kroz Jung-Helmholzovu teoriju, koristi se kod ra-zlicitih ekrana i monitora, a drugi, CMY u stampariji. Posto se mesanjemcijan, magente i zute boje ponekad dobija neubedljiva crna boja, za stam-panje se cesto koristi sistem CMYK, gde je K sada oznaka za potpunocrnu boju. Ovakav sistem se na primer primenjuje u modernim ink-jetstampacima. Njegova je osnovna prednost sto moze da stvori preko mili-jardu nijansi, mnogo vise nego sto moze aditivni sistem.

Standardni aditivni linearni sistem - CIE hromatski dijagram.Pretpostavimo da smo usvojili aditivni RGB sistem i da imamo tri izvorakoji odgovaraju primarnim bojama R, G i B. Tada se boja X moze izrazitikao kombinacija aditivnih primarnih boja:

X = r ·R+ g ·G+ b ·B, (3.21)

gde su r, g i b odgovarajuci intenziteti crvenog, zelenog i plavog izvora, res-pektivno. Ako se sada ova jednacina podeli sa r + g + b onda se dobijajunormalizovane komponente aditivnih primarnih boja:

x = r/(r + g + b) normalizovana crvena komponenta

16Red-Green-Blue, Crveno-zeleno-plavo

17Cyan-Magenta-Yellow, Cijan-magenta-zuto

18Postoji i treci sistem boja, koga npr. koriste slikari na svojoj paleti. To je RYBsistem koga cine dve aditivne crvena i plava i jedna supstraktivna primarna boja, zuta.U ovom sistemu, koji je po svojoj sustini supstraktivni, dobijanje sekundarnih boja jekrajnje intuitivno. Npr, zuta i crvena daju narandzastu, zuta i plava zelenu, a crvena iplava ljubicastu


y = g/(r + g + b) normalizovana zelena komponenta

z = b/(r + g + b) normalizovana zelena komponenta

i mora vaziti x + y + z = 1. Dakle poznavajuci dve normalizovane kom-ponente, treca se moze jednostavno odrediti, npr. z = 1 − x − y. To sadaomogucava da se sve vidljive ciste boje prikazu u obliku potkovicastog di-jagrama prikazanog na slici 3.17, koji obuhvata sve talasne duzine izmedu380 nm i 780 nm.

Sa ovog dijagrama npr.

520530

550

570

590

620

780

380

480

490

500

510

0.2

0.8

0.6

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

y

Slika 3.17. CIE hromatski dijagram.

mozemo uociti tacku nepos-redno ispod 500 nm, za kojuje x = 0 a y ≈ z ≈ 0.5, stoodgovara cijan boji. Gornjidesni deo ove krive predstav-lja prava linija cija je jedna-cina x+y=1 (tj. z=0), dakleonaj deo kod koga je udeoplave boje jednak nuli. Naovom delu hromatskog dija-grama nalaze se sve boje izspektra u delu od zelene, pre-ko zute i narandzaste do cr-vene. Prava linija u dnu di-jagrama predstavlja oblast iz-medu plave i crvene boje, iodgovara purpurnim bojama koje nemaju odgovarajuce ciste spektralneboje. Ona se naziva magenta linija i zatvara krug boja tako da se hro-matski dijagam moze shvatiti kao numericka modifikacija kruga prikazanogna slici 3.15. Inace boje koje odgovaraju tackama na potkovicastoj liniji hro-matskog dijagrama nazivaju se ciste boje (engl. pure colours), ili potpunozasicene boje (engl. fully saturated colours).

Hromatski dijagram je vrlo koristan jer je baziran na linearnom adi-tivnom sistemu i dodavanje i oduzimanje boja se moze vrsiti i graficki. Naslici 3.18 prikazane je jedna prava linija i jedna karakteristicna tacka kojase naziva bela tacka jer su njene koordinate x = y = z = 1/3 sto znaci dasu jacine sve tri komponente jednake. Posmatrajmo sada pravu liniju kojaprolazi kroz belu tacku i sece potkovicastu liniju u dve tacke koje odgo-varaju cistim bojama i cije su talasne duzine 485 nm (neka nijansa plave)i 595 nm (neka nijansa zute). Ove dve tacke definisu dve komplementarne


boje, a svaka tacka na pravoj predstavlja jednu nepotpuno zasicenu bojukoja se moze shvatiti i kao mesavina zasicene boje sa kraja i bele boje. Nataj nacin, krecuci se s leva u desno po pravoj liniji prelazimo put od zasiceneplave boje, koja zatim postaje sve bleda, da bi u beloj tacki imali belu boju,a zatim preko bledo zutih nijansi dolazimo da zasicene zute boje.

Zasicenje (engl. saturation),

520530

550

570

590

620

780

380

480

490

500

510

0.2

0.8

0.6

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

y

bela taèka (W)

komplentarnaboja (C)

èista boja (P)

nezasiæena boja (U)

Slika 3.18. Koriscenje hromatskog dijagrama.

ili stepen cistoce (engl. thedegree of purity) moze se i nu-mericki kvantifikovati. Ako us-vojimo da je bela tacka pot-puno nezasicena (nema boje),onda se zasicenje za neku bojudefinise kao odnos njenog ras-tojanja do bele tacke i rasto-janja odgovarajuce ciste bojedo bele tacke:

S =WU

WP(3.22)

Oko razlikuje oko 128 razlici-tih nijansi. Za svaku nijansumogu se razluciti 20-30 razli-citih nivoa zasicenja koji se prepoznaju kao razlicite boje. Ako se tomejos doda da oko moze da razlikuje 60-100 nivoa sjajnosti dolazimo do cifreod oko 350 000 razlicitih boja.

Ako posmatramo neku konkretnu napravu zasnovanu na aditivnom sis-temu (neki monitor ili displej, npr.) onda je njegov kapacitet stvaranjaboja odreden karakteristikama svetlosnih izvora i opisuje se povrsinom ko-ja pokriva deo hromatskog dijagrama. Na primer, na slici 3.19 prikazanesu svetlosne karakteristike jednog monitora. Uocavamo da su tri primarneaditivne boje kod njega definisane koordinatama (0.628, 0.346, 0.026) zacrvenu, (0.268, 0.588, 0.144) za zelenu i (0.150, 0.070, 0.780) za plavu boju.

Osim standardnog aditivnog linearnog sistema, boje je moguce posma-trati i u slicnom aditivnom i linearnom sistemu koji se naziva HIS19 prostor.Kao i u standarnom sistemu i ovde se svaka boja opisuje sa tri vrednostiI, S i H koji su povezani sa vrednostima standardnog sistema r, g i b

19Od engleskih reci Hue (ton), Saturation (zasicenje) i Intensity (jacina (intenzitet)),koja je u stvari proporcionalna sjajnosti)


jednacinama:

I =r + g + b

3, (3.23)

S =max(r, g, b)−min(r, g, b)

max(r, g, b), (3.24)

dok seH, koji predstavlja ugaonu

520530

550

570

590

620

780

380

480

490

500

510

0.2

0.8

0.6

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

y

bojemonitora

plava

zelena

crvena

Slika 3.19. Hromatski dijagram monitora.

velicinu koja se nalazi izmedu 0i 360, definise pomocu sledeceprocedure:

ako je r = g = bH je nedefinisano, a boja jecrna (x = y = z = 0),bela (x = y = z = 1/3) ilisiva (0 < x = y = z < 1/3)

ako je r > b i g > b

H = 120 · (g − b)((r − b) + (g − b))

ako je g > r i b > r

H = 120+120· (b− r)((g − r) + (b− r))

ako je r > g i b > g

èista boja(crvena i plava)

belacrvena=zelena=plava

boje

intenzitet

R G B

Slika 3.20. Boja u HIS sistemu.

H = 240 · (r − g)((r − g) + (b− g))

20

Vredi primetiti da se u svakomaditivnom sistemu odredena bojamoze tretirati kao da je sacinjenaod bele boje ciji intenzitet je jed-nak minimumu od r, g i b, i jedneciste boje definisane odnosom dveosnovne boje koje preostanu kadase komponenta belog odstrani (vi-deti sliku 3.4.4). Vredi uociti dasada dobijena boja nije jednaka ne-koj monohromatskoj boji kao sto je to slucaj sa tackama na obodu CIEdijagrama. Zasicenje sada predstavlja udeo ciste boje u datoj boji.

20Na taj nacin je opet stvoren krug nijansi u kome za H ∈ (−60, 60) dominira crvena,za H ∈ (60, 180) zelena a za H ∈ (180, 300(−60) plava boja.


3.5 Svetlosni izvori

Pod svetlosnim izvorom podrazumeva se svako telo koje moze da emi-tuje elektromagnetne talase u vidljivom delu spektra. Treba napomenutida vecina njih emituje i talase koji zalaze u susedne oblasti spektra (tj.ultraljubicastu i/ili infracrvenu svetlost).

Podela svetlosnih izvora moze se izvrsiti na osnovu nekoliko kriterijuma.Prema karakteru emitovane svetlosti izvori se dele na spontane i indukovane(stimulisane). U indukovane izvore svetlosti spadaju laseri i oni daju strogokoherentnu svetlost21 za razliku od spontanih svetlosnih izvora koji emitujunekoherentnu svetlost, koja je vise ili manje polihromatska.

Svetlosni izvori se prema svom poreklu mogu podeliti na prirodne, kojipostoje u prirodi i vestacke (tehnicke), koje je stvorio covek. Najvaznijiprirodni svetlosni izvor je Sunce. Sunce je zvezda u kojoj se stalno odi-gravaju fuzioni procesi koji oslobadaju veliku kolicinu energije. Temperatu-ra na povrsini Sunca je oko 6000 K i ono u prostor oko sebe zraci snagu od3.8·1028Wu vidu elektromagnetnih talasa sirokog spektra. Spektar Suncevesvetlosti koji stize na Zemlju obuhvata osim vidljive svetlosti i ultraljubi-casto i infracrveno zracenje. Vrlo mali deo Sunceve svetlosti moze doci doZemlje cak i nocu, indirektno, nakon refleksije od Meseca. Od ostalih prirod-nih izvora svetlosti pomenimo zvezde, munju (elektrostaticko praznjenje uatmosferi), vatru, polarnu svetlost (procesi u jonosferi), luminiscentne pojavei uzarenu lavu vulkana.

Prema nacinu nastanka svetlosti svetlosni izvori se mogu podeliti natermicke i luminiscentne. Termicki izvori svetla predstavljaju uzarena telakoja emituju energiju prema zakonima zracenja, a deo ove energije nalazise i u oblasti vidljivog spektra svetlosti. Kod uzarenih tela, emitovanaenergija je posledica ogromne kineticke energije molekula koju oni imajuzbog visoke temperature tela. To su Sunce, elektricne sijalice sa uzarenimvlaknom, Voltin luk, plamen svece, vatra i drugi. Kod luminiscentnih pojava(tj. luminiscencije), energija koju telo izraci u vidu svetlosti nadoknadujese na razlicite nacine, pri cemu ti procesi mogu biti i prirodni i vestacki.Razlikujemo cetiri vrste luminiscencije:

• Supstanca (najcesce cvrsta) svetli kao rezultat odredenih hemijskihprocesa u njoj. Ova pojava naziva se hemijska luminiscencija, alicesto i fosforescencija.

21Pojam koherentne svetlosti razmatrace se u temi posvecenoj interferenciji svetlosti.

3.5. Svetlosni izvori 123

• Gasovita supstanca svetli kao rezultat nekog oblika samostalnog elek-tricnog praznjenja. Ova pojava naziva se elektroluminiscencija.

• Cvrsta supstanca svetli kao rezultat njenog bombardovanja brzim elek-tronima (tzv. katodnim zracima). Ova pojava naziva se katodolu-miniscencija i iskoriscena je kod katodnih cevi televizora i monitora.

• Kada se odredene supstance osvetle svetloscu talasne duzine λ1, oneemituju svetlost druge, vece talasne duzine λ2. Ove supstance, koje ustvari vrse transformaciju svetlosti jedne talasne duzine (ili vise njih) usvetlost druge talasne duzine nazivaju se fotoluminiscentne supstance,a sama pojava fotoluminiscencija, ali i fluorescencija.

Kod tehnickih izvora svetla razlikujemo izvore za osvetljavanje zivot-nih i radnih prostora i izvore za specijalne namene. Posto su izvori svetlatipa petrolejskih lampi, baklji i sveca uglavnom napusteni mozemo reci dasu svi tehnicki izvori svetla u stvari elektricni izvori svetlosti, jer rade napretvaranju elektricne energije u svetlost. Elektricni izvori svetla mogu sepodeliti na svetlosne izvore (sijalice) sa uzarenim vlaknom i svetlosne izvoresa elektricnim praznjenjem.

Za osvetljavanje zivotnih i radnih prostora najcesce se koriste sijalice sauzarenim vlaknom i gasne cevi. Sijalice sa uzarenim vlaknom su termickiemiteri kod kojih je vlakno najcesce nacinjeno od volframa. Temperaturavlakna je obicno od 2000 − 3000C, a ukoliko je ona visa, utoliko je vecesvetlosna iskoriscenost izvora (koji se definise kao odnos svetlosnog fluksasijalice i elektricne snage koja ga stvara). Ako je sijalica predvidena zamale snage iz njenog balona je evakusisan vazduh. Kod sijalica za vecesnage u balon se uvode pojedini gasovi (argon, kripton, i dr.) kako bi sesmanjilo isparavanje vlakna. Medutim, dodavanjem ovih gasova povecavase odvodenje toplote i time smanjuje stepen iskoriscenja. Zato se cesto kodvecih snaga sijalice volframsko vlakno izraduje u obliku visestruke spiralei na taj nacin smanjuje njegova efektivna povrsina, pa je gubitak toplotemanji, a time stepen iskoriscenja veci.

Sijalice sa uzarenim vlaknom zrace energiju u sirokoj oblasti UV, ICi vidljivog dela spektra. Pri tome se manje od 15% dovedene elektricneenergije pretvara u svetlost, dok se ostali deo pretvara u toplotu. Spektarvidljivog dela zracenja ovih sijalica je kontinualan i ima svoj maksimum uinfra-crvenoj oblasti.

Svetlosni izvori na principu elektricnog praznjenja emituju svetlost usledelektricnog praznjenja kroz gas, matalne pare (natrijum, ziva) ili smesu


gasova i para. U zavisnosti od pritiska u cevi, izvori na principu praznjenjase dele na izvore na niskom (0.1-1 Pa) i izvore na visokom (104 − 105 Pa)pritisku koji se uglavnom koriste za izvore specijalnih namena.

U gasnim sijalicama nalazi se gas na snizenom pritisku. Uspostavljanjepraznjenja u gasu postize se pri naponima reda nekoliko stotina volti, a po-javu varnice sledi emitovanje svetlosti. Boja svetlosti predstavlja karakter-istiku gasa koji se nalazi u cevi. Tako neon daje jarkonarandzastu svetlost,zivina para ljubicastu, natrijumova para zutu, vodonik crvenu, azot takodeljubicastu, a helijum zlatno-zutu.

Jedna od najvaznijih karakteristika gasnih sijalica je da one imaju znatnoveci koeficijent korisnog dejstva od konvencionalnih sijalica sa uzarenim vla-knom: za isti intenzitet svetlosti one zahtevaju prosecno cetiri puta manjusnagu. Glavni nedostatak gasnih sijalica je izrazita obojenost svetlosti kojeone stvaraju. Ovaj problem se resava upotrebom fluorescentnih zastora.Unutrasnja povrsina cevi u kojoj se vrsi praznjenje oblozena je slojem smesekoja ima osobinu da fluorescira. Svaka komponenta smese apsorbuje svet-lost koja dolazi iz praznjenja, a zatim emituje svetlost neke druge, vecetalasne duzine. Pogodnom kombinacijom sastojaka smese, dobija se da jespektar izlazne svetlosti sto vise nalik spektru Sunceve svetlosti, ali, ipak,po svom spektru, gasne sijalice sa fluorescentnim zastorom su dalje od spek-tra Sunceve svetlosti u odnosu na sijalice sa uzarenim vlaknom. Takode, ugasnom praznjenju postoji znacajan deo energije koja se oslobada u vidunevidljive UV svetlosti (ovo j narocito izrazeno kod cevi sa zivinom parom).Ovi zraci su u slucaju nepostojanja fluorescentnog zastora neupotrbljivi alikada njega ima, onda se i oni apsorbuju a zatim se fluorescencijom i njihovaenergija emituje, ali sada u vidljivom delu spektra, cime se znatno povecavakoeficijent korisnog dejstva.

Izvori svetla za specijalne namene su najcesce razlicite vrste reflektorai lampi, kod kojih je potrebno obezbediti veliku svetlosnu jacinu. Najcescese koriste gasne sijalice pod visokim pritiskom, a za neke primene i Voltinluk.

3.6 Fotometrija i osvetljenje

Fotometrija je deo optike u kome se izucavaju kvantitativne osobinesvetlosnih pojava i odgovarajuce metode merenja. Dakle, primarni cilj fo-tometrije je merenje vidljivog zracenja ili svetlosti, na takav nacin da rezul-tati merenja odgovaraju sto je moguce vise relevantnoj vizuelnoj senzaciji

3.6. Fotometrija i osvetljenje 125

koju dozivljava normalni ljudski posmatrac izlozen datom zracenju. Radipostizanja ovog cilja mora se uzeti u obzir i svetlosna pobuda, tj. zracenjekoje upada u oko, ali i karakteristike organa vida koji stvara odgovarajuciosecaj svetlosti.

Svetlosna pobuda se moze opisati na cisto fizicki nacin, koristeci fizickevelicine i jedinice sa kojima smo se mi sreli u odeljku 3.1.3 i koje se nazivajuradiometrijske, a sama oblast merenja radijacije (zracenja) u ovom smislucini oblast poznatu kao radiometrija. Iako radiometrija moze ukljucivatimerenja zracenja iz bilo kog dela elektromagnetnog spektra, zbog poredenjasa fotometrijom od posebnog interesa je oblast vidljive svetlosti.

I dok se termin fotometrija odnosi na deo fizike, tj. optike, u prime-njenim disciplinama koriste se termini osvetljenje (engl. lightining; franc.l’Eclairage), karakteristican za gradevinsko-arhitektonsku struku, ali i sve-tlotehnika, karakteristican za elektrotehnicku struku.

3.6.1 Fotometrijske velicine

Nase proucavanje velicina i jedinica kojima se opisuju kvantitativnasvojstva svetlosti zapocecemo sa definisanjem fotometrijskih velicina i nji-hovim uporedivanjem sa odgovarajucim radiometrijskim velicinama kojesmo vec upoznali. Kao sto smo videli, sve radiometrijske velicine nose in-deks e (od engl. energetic), a odgovarajuce fotometrijske velicine nosice in-deks v (od engl. visual). Veza izmedu odgovarajucih fotometrijskih (vizuel-nih) i radiometrijskih (energetskih) velicina uspostavlja se na indenticannacin preko spektralne koncentracije odgovarajuce radiometrijske velicine ifunkcije spektralne svetlosne efikasnosti. Ako je na primer radiometrijskavelicina Xe definisana preko Xe,λ:

Xe =

∫ ∞

0Xe,λ(λ) dλ, (3.25)

onda se odgovarajuca fotometrijska velicina Xv definise kao:

Xv =

∫ λ2

λ1

Xe,λ(λ)K(λ) dλ, (3.26)

gde jeK(λ) funkcija spektralne svetlosne efikasnosti, a λ1 i λ2 granice opsegatalasnih duzina u kojima je ona razlicita od nule. Treba znati da se definisudve razlicite funkcije spektralne svetlosne efikasnosti, za fotopsko videnjeK(λ) u opsegu (360 nm, 830 nm) i za skotospko videnje K ′(λ) u opsegu(380 nm, 780 nm), koje su prikazane na slici 3.21.


0

2000

1500

1000

500

400 500 600 700talasna du (nm)ina

Sp

ektr

aln

a sv

etlo

sna

efik

asn

ost

(lm

/W)

K( )l

K’( )l

Slika 3.21. Funkcije spektralne svetlosne efikasnosti za fotopsko i skotopskovidenje.

Funkcije spektralne svetlosne efikasnosti imaju jedinicu lumen po vatu(lm/W) i mogu se normalizovati i predstaviti kao proizvod jedne konstante iodgovarajuce funkcije relativne spektralne osetljivosti za fotopsko, odnsonoskotopsko videnje:

K(λ) = Km · V (λ), K ′(λ) = K ′m · V ′(λ), (3.27)

gde su Km i K ′m maksimalne spektralne svetlosne efikasnosti za fotopsko i

skotopsko videnje, respektivno. Njihove vrednosti su Km = 683 lm/W iK ′

m = 1700 lm/W.

Svetlosni fluks

Svetlosni fluks (engl. luminous flux) za fotopsko odnosno skotopskovidenje22 definise se u skladu sa jednacinama (3.26)-(3.27):

Φv = Km

830nm∫

360nm

Φe λ(λ)V (λ) dλ, (3.28)

22Ovde vredi naglasiti da kada se pomene termin svetlosni fluks, bez detaljnije naznake,onda se najcesce podrazumeva da je rec o fotopskom videnju. Takode, sve velicine ijedinice koje slede u nastavku odnose se na fotopsko videnje.


Φ′v = K ′

m

780nm∫

380nm

Φe λ(λ)V′(λ) dλ. (3.29)

Jedinica za svetlosni fluks je lumen, u oznaci lm.

Intenzitet svetlosti

Intenzitet (jacina) svetlosti (engl. luminous intensity) definise se kaokolicina svetlosnog fluksa dΦv emitovana iz tackastog izvora (ili elementapovrsine izvora konacnih dimenzija) u prostorni ugao dΩ odreden pravcemr (slika 3.22):

dFr^

Taèkasti izvor

dW

Slika 3.22. Ilustracija uz definisanje intenziteta svetlosti.

x

y

z

q

dq

djj

dW

r^

Slika 3.23. Prostorni ugao u sfer-nom koordinatnom sistemu.

Iv(r) =dΦv

dΩ[=]

lm

sr= cd, (3.30)

a odgovarajuca jedinica naziva se kan-dela23.

Prostorni ugao dΩ u koji se izracisvetlosni fluks dΦv odreden je ortom r,ali se njegov polozaj moze odrediti i uzpomoc dva ugla sfernog koordinatnog sis-tema θ i ϕ (slika 3.23).

Ukupni fluks koga emituje neki svet-losni izvor zavisi od prostorne raspodeleintenziteta svetlosti i dobija se integraci-jom po celom prostornom uglu:

Φv =

∫

Ω

I(r) dΩ =

2π∫

ϕ=0

π∫

θ=0

I(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ. (3.31)

23Podsetimo se da je intenzitet svetlosti jedna od sedam osnovnih fizickih velicina akandela je jedna od sedam osnovnih jedinica Medunarodnog sistema (SI). Iako bi bilologicno da se za osnovnu fotometrijsku jedinicu izabere lumen, iz tradicionalnih razlogata uloga i dalje pripada kandeli. U skladu sa tim, lumen se definise kao vrednost svet-losnog fluksa emitovanog od strane izotropnog svetlosnog izvora intenziteta jedne kandeleu jedinicni prostorni ugao, tj. lm=cd·sr.


Medutim neki tackasti svetlosni izvori imaju osobinu izotropnosti - podjed-nako zrace u svim pravcima. Drugim recima, kod njih je ukupni svetlosnifluks koga zrace Φv homogeno rasporeden po celom prostornom uglu pa jeintenzitet svetlosti konstantan i iznosi:

Iv(r) =Φv

4π. (3.32)

Sjajnost

Koncept svetlosne jacine primenljiv je samo na tackaste izvore svetlosti,odnosno za izvore cije se dimenzije u odnosu na udaljenost od tacke u ko-joj se vrsi proracun mogu zanemariti, ili pak na elementarne delove izvorakonacnih dimenzija. Medutim, postoje primarni (oni koji emituju svetlost) isekundarni svetlosni izvori (oni koji svetlost samo reflektuju ili propustaju)kod kojih ova aproksimacija ne vazi, odnosno kod kojih je potrebno poz-navati neku velicinu koja karakterise svetlosna svojstva konacnih dimenzijapovrsina. Konkretan, svakodnevni primer izvora svetlosti cije se dimenzijeni u kom slucaju ne mogu zanemariti je difuzno nebo pri oblacnom danu.U unutrasnjem osvetljenju analogni problem predstavljaju tzv. svetlece ta-vanice kao primarni svetlosni izvori, kao i zidovi i tavanica kao sekundarnisvetlosni izvori. Zbog toga je potrebno uvesti jednu novu, generalnu velicinukoja se moze upotrebiti za opisivanje svetlosnih osobina primarnih i sekun-darnih svetlosnih izvora realnih dimenzija.

dS r^

n^

qdW

d F2

Slika 3.24. Ilustracija uz definisanje sjajnosti.

Tako se za elementarnu povrsinu izvora dS, za definisani pravac r kojipocinje u tacki izvora i odreduje polozaj prostornog ugla dΩ, u koji se emi-tuje svetlosni fluks d2Φe definise fotometrijska velicina koja se naziva sjaj-nost (engl. luminance)24 u oznaci Lv sa jedinicom kandela po kvadratnom

24U literaturi postoji prava mala terminoloska zbrka oko naziva ove fizicke velicine.Osim preporucenog latinizma luminancija srece se i luminacija, a koriste se i nazivi bljesak,


metru cd/m2 (u arhitektonskoj literaturi je uobicajeno da se ova jedinicanaziva nit, u oznaci nt: 1 nt=cd/m2):

Lv(r) = Lv(θ, ϕ) =d2Φv

dΩ dS cos θ, (3.33)

gde je θ je ugao izmedu normale elementarne povrsine dS i pravca r u komese odreduje sjajnost (slika 3.24).

Uzimajuci u obzir izraz (3.30), onda se izrazu za sjajnost elementranepovrsine dS moze dati i sledeci oblik:

Lv(r) = Lv(θ, ϕ) =dIv(θ, ϕ)

dS cos θ. (3.34)

Kao sto sme vec videli, svetlosni izvori kod kojih je I = const nazivajuse izotropni. Za razliku od njih, svetlosni izvori kod kojih je Lv = constnazivaju se Lamberovi izvori, a povrsine koje emituju svetlost kao Lam-berovi izvori nazivaju se savrseno difuzne povrsine. To su sekundarni izvorikoji vrse idealno difuzno rasejavanje na sve strane. Ako izraz (3.34) pri-menimo na konacnu povrsinu ∆S dobicemo za intenzitet svetlosti Lam-berovog izvora:

Iv(θ) = Iv 0 cos θ, (3.35)

gde je Iv 0 = Lv ·∆S a ugao θ ugao u odnosu na normalu n na povrsinu ∆S(slika 3.25).

Pojava bljeska25 svetlosnog izvora

DS

Iv0

I ( )qv

q

Slika 3.25. Idealne difuzne povrsine.

je vazna u praksi jer ponekad izazivaneprijatan osecaj i moze ometati spo-sobnost percepcije boje i efikasnostvida. Psihofizicka ispitivanja govoreda, prema svom uticaju na radnu spo-sobnost coveka, veliki bljesak mozebiti onesposobljavajuci ili samo neu-godni bljesak. Razliciti oblici ispolja-vanja bljeska su veoma brojni, ali sekod malih izvora svetlosti kao sto suautomobilski farovi nocu na drumu,

sjajnost i sjaj. Ovaj poslednji naziv narocito je izrazen u fizickoj literaturi, mada cemomalo kasnije videti da bi ovakav naziv bio pogresan, jer je jedna nova velicina preuzela toime.

25koji je posledica velike vrednosti sjajnosti u nekom pravcu.


ili mali prozori u tamnim podrumskim prostorijama, bljesak javlja u veomaizrazenom obliku.

Najmanja sjajnost pri kome su normalni objekti jos uvek vidljivi je 10nita. U tabeli 3.4 mogu se uporediti odredene vrednosti sjajnosti izvorasvetlosti koji se u prirodi najcesce srecu:

Tabela 3.4. Tipicne vrednosti sjajnosti.

izvor svetlosti nt

oblacno nebo 7− 8 000

vedro nebo 2− 4 000

sunce u zenitu 1.5 · 109pun mesec 2 500

sneg pod suncem 25 000

plamen svece 5 000

sijalica od 100 W 5.5 · 106fluo cev 3− 5 000

Sjajnost i sjaj

Sjajnost (luminancija) se definise za svaku elementarnu povrsinu, bezobzira da li je ona deo primarnog svetlosnog izvora (tj. zraci svetlost),sekundarnog svetlosnog izvora (odbija ili propusta svetlost), ili imaginarnepovrsine (npr. deo neba). Sjajnost predstavlja fotometrijsku velicinu kojanajpribliznije odgovara onome sto se u procesu videnja zapaza kao sjaj.Medutim, sjajnost ipak ne predstavlja onu velicinu koju mozemo direktnokoristiti za opis i vrednovanje ukupnog vidnog okruzenja. Izmedu ostalog,razlog za to je sto je sjajnost definisana ahromatski, tj. ne uvazava se bojate povrsine, koja svakako utice na uslove njenog videnja. Medutim, sjajnostse moze iskoristiti kao osnov za definisanje jedne druge velicine koja ceuzeti u obzir ne samo boje i sjajnosti ostalih prisutnih povrsina u vidnompolju, nego i psiholoske uslove videnja. Ova velicina naziva se sjaj (engl.brightness).

Sjaj je psiholoska interpretacija sjajnosti, odnosno njen subjektivni dozivl-jaj, pa zato sjaj ne mora biti proporcionalan sjajnosti. Npr. ako sjajnostnekog svetlosnog izvora poraste deset puta, posmatraci ce proceniti da jesjaj, kao subjektivni dozivljaj sjajnosti, porastao manje od deset puta. Ovanelineranost izmedu sjaja i sjajnosti omogucuje vidnom sistemu coveka da


ostvari funkciju videnja u gotovo neverovatnom opsegu sjajnosti od 15 re-dova velicina (sunce u zenitu pri vedrom letnjem danu 109 nita, prag videnja10−6 nita).

Na dozivljeni sjaj posmatrane povrsine, pored sjajnosti te povrsine isjajnosti njene neposredne okoline uticu jos i sledeci faktori:

• boja posmatrane povrsine i boje povrsina njenog neposrednog okruzenja,

• osvetljenost povrsine,• koeficijent refleksije i dimenzije povrsine,

• ostvareni kontrast sjajnosti,• raspodela osvetljenosti/sjajnosti svih povrsina u vidnom polju,

• nivo adaptacije i velicina otvora zenice.

Inace, na dozivljaj sjaja uticu i hromatski i ahromatski kanal, odnosnoobe vrste fotoreceptora, i cepici i stapici.

Zbog velikog broja parametra od uticaja, proces percepcije sjaja je kom-pleksan, sto je narocito izrazeno u slozenim arhitektonskim okruzenjimazatvorenih prostora. Medutim, za potrebe jednostavnijeg proracuna, vezaizmedu sjaja i sjajnosti izrazava se Stivensovim zakonom:

B = k (L− Lpr)α, (3.36)

gde je B sjaj, L sjajnost, Lpr prag sjajnosti, uocen od 50% populacije pridatom nivou adaptacije, a k i α koeficijenti koji zavise od nivoa adaptacije:α = 0.33 za oko adaptirano na mrak i α = 0.44 za oko adaptirano na srednjusjajnost vidnog polja od 3000 nita. Vrednost za k krece se u intervaluk = 0.16− 0.2.

Osvetljenost i svetlosna ekscitancija

Za opisivanje povrsinske gustine svetlosnogdF

dS

Slika 3.26. Uz definiciju os-vetljenosti.

fluksa koji pada na neku povrsinu u okolinineke tacke (slika 3.26) definise se fotometrijskavelicina koja se naziva osvetljenost (jacina os-vetljenosti, iluminancija, iluminacija engl. il-luminance), u oznaci Ev kao:

Ev =dΦv

dS[=]

lm

m2= lx. (3.37)

Jedinica osvetljenosti je luks (lx), koji je jednak osvetljenosti kada fluks odjednog lumena pada na povrsinu od jednog kvadratnog metra.


Potrazimo sada izraz za osvetljenost u tacki A na delu povrsine dSkoja potice od izotropnog tackastog izvora ciji je intenzitet svetlosti I (slika3.27). Prema definiciji, osvetljenost tacke A bice kolicnik fluksa dΦv kojipada na povrsinu dS i same te povrsine. Sa druge strane, fluks dΦv je deoukupnog fluksa koga svetlosni izvor emituje u prostorni ugao dΩ pod kojimse povrsina dS vidi iz tacke izvora, tj.

dΦv = I dΩ. (3.38)

S druge strane, prostorni ugao dΩ moze se izraziti kao

dΩ =dS′

r2, (3.39)

gde je dS′ povrsina koja sadrzi tacku A i upravna je na poteg ~r koji povezujetacku izvora i tacku A. Ako definisemo ugao θ kao ugao izmedu normalana povrsine dS i dS ′ jasno je da ce vaziti dS ′ = dS cos θ, pa konacno zaosvetljenost tacke A dobijamo:

Ev =dΦv

dS=Iv dΩ

dS=Ivr2dS′

dS=Ivr2

cos θ. (3.40)

Ovaj izraz poznat je i kao Lamberov zakon.

dF

n^

SI

r^

dW

dS

n^

' dS '

A

q

r

Slika 3.27. Uz izvodenje Lamberovog zakona.


Tabela 3.5. Neke tipicne vrednosti osvetljenosti.

situacija E (lx)

nebo bez mesecine 0.0003pun mesec 0.2moguce citanje 30vestacko osvetljenje desetineoblacan dan stotinepuno sunce 100 000

Neke tipicne vrednosti osvetljenosti prikazane su u tabeli 3.5.Suprotno od osvetljenosti, za opisivanje povrsinske gustine fluksa koji

napusta neku povrsinu u okolini neke tacke te povrsine (slika 3.28), definisese velicina koja se naziva svetlosna ekscitancija (svetlosna emitivnost,osvetljaj26, emitancija, engl. luminous exitance). Ona se oznacava sa Mv

a jedinica je, kao i kod osvetljenosti lumen po kvadratnom metru (lm/m2),ali se ta jedinica ne naziva luks:

Mv =dΦv

dS[=]

lm

m2. (3.41)

Za tela koja predstavljaju samos-dF

dS

Slika 3.28. Uz definiciju ekscitancije.

talne (primarne) izvore svetlosti svet-losna ekscitancija ne zavisi od osvet-ljenosti. Medutim, kod tela koja emi-tuju svetlost na racun rasejavanja ilitransmisije upadne svetlosti (sekun-darni izvori svetlosti), ove dve velicinesu povezane relacijom

Mv = K · Ev, (3.42)

tj. fluks svetlosti koji napusta neku jedinicnu povrsinu proporcionalan jefluksu svetlosti koji na nju pada. U slucaju refleksionih povrsina, K = Rgde je R ukupni efektivni koeficijent refleksije, a u slucaju transparentnihpovrsina K = T , gde je T ukupni efektivni koeficijent transmisije. Vecinatela selektivno rasipa ili propusta svetlost. tj. za njih su R i T razlicitiza razlicite talasne duzine. Takva tela se vide kao obojena kada na njihpada bela svetlost. Rasejana svetlost se razlikuje po svom sastavu od belesvetlosti i izaziva odreden osecaj boje o cemu je vec bilo reci ranije.

26U arhitektonskoj literaturi je uobicajeno da se termini osvetljenost i osvetljaj koristeza istu fizicku velicinu - osvetljenost. Tacnije, termin osvetljaj se koristi za razmatranjednevnog svetla, jer se ono iz sekunde u sekundu menja, dakle ima trenutnu i srednjuvrednost. Termin osvetljenost se koristi pretezno kod pojava vezanih za vestacko os-vetljenje, jer ono prakticno ima stalnu vrednost (sto je tacno ako se zanemari faktorstarosti svetiljke i njene zaprljanosti, a to je zaista gotovo zanemarljivo). No, vremenskapromenljivost sustinski nije parametar koji razlikuje ove dve velicine vec je bitna fizckarazlika u tome sto se osvetljaj vezuje za svetlosni fluks koji napusta neku povrsinu, aosvetljenost za fluks koji pada na neku povrsinu.


Potrazimo sada vezu izmedu vrednosti svetlosne ekscitansu i sjajnostiza Lamberov svetlosni izvor. Na osnovu jednacine (3.33) za svetlosni fluksdΦe koji napusta povrsinu dS moze se napisati:

dΦv

dS=

∫

ΩLv(θ, ϕ) cos θ dΩ. (3.43)

Posto je u pitanju Lamberov izvor Lv = const, uz dΩ = sin θ dθ dϕ icinjenicu da zelimo da odredimo svetlosnu ekscitansu u gornji poluprostor,povezujuci jednacine (3.41) i (3.43) imacemo:

Mv = Lv

2π∫

ϕ=0

dϕ

π/2∫

θ=0

sin θ cos θ dθ = π Lv. (3.44)

U tabeli 3.6 prikazano je poredenje tzv. radiometrijskih velicina kojesmo upoznali u odeljku 3.1.3 i fotometrijskih velicina iz ovog odeljka.

Tabela 3.6. Uporedenje radiometrijskih i fotometrijskih velicina i jedinica

Radiometrijska Fotometrijskavelicina Jedinica velicina Jedinica

Elektromagnetnaenergija W J

Fluks zracenja Φe W Svetlosni fluks Φv lm

Eksitansa Svetlosnazracenja Me W/m2 eksitansa Mv lm/m2

Ozracenost Ee W/m2 Osvetljenost Ev lx=lm/m2

Intenzitet Intenzitetzracenja Ie W/sr svetlosti Iv cd=lm/sr

Radijansa Le W/(sr·m2) Sjajnost Lv lm/(sr·m2)

3.6.2 Svetlosni komfor

Svakodnevni zivot coveka vezan je za svetlost. Ona stvara boje i omo-gucuje poimanje prostora i oblika. Posto je svetlost neophodna da bismou prostoru oko sebe videli, te da bismo obavili bilo kakav radni zadatak,onda se uvodenje svetlosti u arhitektonske prostore moze smatrati jednim od


osnovnih cinilaca u projektovanju. Pod uvodenjem svetlosti podrazumevase kako uvodenje dnevne svetlosti tako i projektovanje vestackog osvetljenja.

Pod ispravnim osvetljenjem podrazumeva se ono koje:

• cini prostor prijatnim

• obezbeduje vedru sredinu

• uklanja stetne uticaje svetlosti

• smanjuje naprezanje oka

• povecava vizuelnu percepciju

• pospesuje odrzavanje higijene

• smanjuje povrede na radu.

Kvalitet projektovanog ili izvedenog unutrasnjeg osvetljenja odreduje sena osnovu nekoliko parametara:

• srednjeg nivoa osvetljenosti povrsina,

• ravnomernosti osvetljenosti povrsina,

• raspodele sjajnosti povrsina,

• ogranicenja fizioloskog i psiholoskog bljestanja,

• difuznosti i senovitosti,

• boje svetlosti i reprodukcije boja,

• ogranicenja stroboskopskog efekta27.

Uz sve navedene osnovne karakteristike ispravnog osvetljenja, moze sereci jos i to da osvetljenje zatvorene prostorije treba u okviru celokupnogarhitektonskog oblikovanja da stvori coveku sredinu koja obezbeduje odgo-varajucu fiziolosko-opticku i psiholosku udobnost. Zbog toga se opsta sub-jektivna impresija o kvalitetu osvetljenih prostora, kojom se utvrduje stepenugodnosti kod lica, postignut ostvarenim svetlosnim efektima u njihovomprocesu videnja moze opisati kao svetlosni (ili vidni) komfor (engl. visualcomfort).

27Stroboskopski efekat predstavlja videnje brze sekvence diskretnih slika povezanih sapokretom.


3.6.3 Fotometri

Glavni cilj ljudi koji se bave fotometrijom ili inzinjera za osvetljenje,kada su u pitanju fotometrijske velicine, jeste merenje svetlosnog inten-ziteta, svetlosnog fluksa, svetlosne ekscitancije i osvetljenosti. Fotometri suinstrumenti koji sluze za uporedivanje i merenje fotometrijskih velicina. Onise mogu podeliti u dve grupe:

• subjektivni (vizuelni) fotometri.

• objektivni fotometri

Kod vizuelnih fotometara, koristi se oko za uporedivanje standardne imerene fotometrijske velicine, dakle komparacija se vrsi subjektivno. Njihovrad zasniva se na sposobnosti ljudskog oka da uoci razliku sjaja od oko 1%,dvaju osvetljenih povrsina iste spektralne raspodele i odgovarajuceg nivoasjajnosti.

U drugu grupu spadaju fotometri koji energiju celokupnog svetlosnogzracenja, ili samo jednog njegovog dela, pretvaraju u drugi oblik energije.Oni mogu biti termicki, fotohemijski i fotoelektricni. Fotoelektricni fo-tometri se zasnivaju na pretvaranju svetlosnih velicina u elektricne. Pomocunjih se meri osvetljenost aktivne povrsine detektora, a posredno mogu dase odrede i druge fotometrijske velicine.

Do otprilike 1940. godine vizuelne tehnike merenja su bile dominantneu fotometriji, pa se ona naziva vizuelna fotometrija. Od posmatraca se za-htevalo da uporeduje sjaj dva vizulena polja koja je posmatrao ili simultano(istovremeno) ili sekvencijalno (jedno za drugim). Iako je direktna primenaorgana vida u svakom merenju u odlicnom slaganju sa primarnim ciljemfotometrije, vizuelna fotometrija je skoro potpuno nestala iz prakse zbogsvoje nepogodnosti, male tacnosti i lose reproduktivnosti kao i razlika kojese beleze izmedu normalnih posmatraca. Medutim, vizuelna fotometrija ceuvek imati vitalno mesto u istrazivanju videnja i njene tehnike se ne smejuzaboraviti.

U modernoj fotometrijskoj praksi skoro sva merenja se vrse sa fizickimdetektorima radijacije, kao sto su na primer fotocelije. Na taj nacin, merenevelicine su definisane na objektivan nacin. One se razlikuju od odgovarajucihradiometrijskih velicina kroz ukljucivanje spektralne oaetljivoati ljudskogoka. Ovakav objektivni nacin merenja naziva se fizicka fotometrija. Onase pokazala mnogo uspesnijom u zadovoljavanju drugog zahtevanog ciljafotometrije, da merenja budu pogodna, precizna i reproduktivna.

3.7. Fizicka (talasna) optika 137

Najpoznatija vrsta objektivnih fotometara su tzv. luksmetri koji sluzeza merenje osvetljenosti. Na njima se merena osvetljenost direktno ocitavana skali. Luksmetar se sastoji od sonde u kojoj se nalazi jedna fotocelijakoja je spojena u kolo galavnometra koji se nalazi u kutiji instrumenta.Struja fotocelije je utoliko veca ukoliko je veca merena osvetljenost, tako dase ovaj instrument moze izbazdariti tako da galvanometar direktno pokazujevrednost osvetljenosti u luksima.

3.7 Fizicka (talasna) optika

3.7.1 Interferencija svetlosti

Interferencija kao opticka pojava, pre svega podrazumeva pojave tamnihi intenzivno svetlih mesta u prostoru nastalih kao posledica Hajgensovogprincipa slaganja svetlosnih talasa odredenih osobina. Ona podrazumevafenomene u kojima se pokazuje da je moguce da je ”svetlost + svetlost =tama”, tj. da je moguce da u jednoj tacki u kojoj postoje dva vremenskipromenljiva opticka elektricna vektora, istih amplituda i ucestanosti, istogpravca a suprotnog smera, koji imaju suprotne faze, rezultujuca oscilacijabude jednaka nuli, tj. da nema svetlosne opticke pojave. Maksimumi svet-losne pojave dobijaju se ako elektricni vektori imaju identicne osobine, alikada je njihovo oscilovanje u fazi. Pojave interferencije predstavljaju jedanprostorni, obicno geometrijski pravilan, raspored tamnih i svetlih mesta,koji se pod uslovom da je vremenski dugo stabilan ili barem vrlo sporopromenljiv moze uociti i posmatrati. Istovremeno to je i jedan prostorni ras-pored gustine energije cija velicina osciluje izmedu odredenih maksimuma iminimuma.

U odeljku 1.4.6 izvedeni su izrazi za putne uslove maksimalnog poja-cavanja (1.103) i maksimalnog slabljenja (1.104) pri interferenciji talasa.U sprovedenoj analizi je pretpostavljeno da su talasi koji se sabiraju ko-herentni. Sa stanovista svetlosti, to su talasi koji imaju istu ucestanost,konstantnu faznu razliku i odredeni polozaj polarizacionih ravni. Opsti po-jam koherentnosti je upravo osobina talasa koja izrazava njihovu sposobnostda medusobno interferiraju. Dva talasa koja su koherentna mogu se kombi-novati tako da stvore nepomicnu raspodelu konstruktivne (pojacavanja am-plitude) i destruktivne (slabljenja amplitude) interferencije u zavisnosti odnjihovih relativnih faza u tacki susreta. Nasuprot tome, kada se kombinujutalasi koji su nekoherentni oni stvaraju brzo promenljive oblasti konstruk-tivne i destruktivne interferencije koja se ne moze uociti kao vizuelna slika.


Koherentnost moze biti vremenska (koherencija talasa sa samim sobom) iprostorna (sposobnost bilo koje prostorne pozicije talasnog fronta da inter-ferira sa nekom drugom prostornom pozicijom). Prostorna koherentnost jevelika za sferne i ravanske talase i povezana je sa velicinom izvora. Tackastisvetlosni izvor emituje prostorno koherentnu svetlost, dok svetlost iz neko-liko tackastih izvora ili iz izvora konacnih dimenzija ima manju koherent-nost. Prostorna koherentnost svetlosti raste ako svetlost putuje daleko odizvora i postaje vise nalik sferom ili ravanskom talasu. Tako na primer,svetlost sa udaljenih zvezda, iako je daleko od monohromaticnosti, ima vrlovisoku prostornu koherentnost.

Pokazuje se da dva izvora svet-

.O

O1

O2

Slika 3.29. Formiranje koherentnihizvora.

losti nikada ne mogu davati koher-entnu svetlost (osim ako nisu u pi-tanju laserski izvori). Svetlost nas-taje emisijom iz pojedinih atoma ilimolekula koji ne emituju jednovre-meno. Zbog toga se za dobijanje ko-herentnih izvora koriste posebne me-tode. Najjednostavnija od njih je tzv.Jungova metoda koja predstavlja de-ljenje svetlosti koja se emituje od jed-nog svetlosnog izvora (slika 3.29).

Za sve slucajeve interferencije opsti znacaj imaju tzv. fazni uslovi zamaksimalno pojacavanje i slabljenje. Oni se izrazavaju razlikama faza talasakoji interfereiraju. Iz ovog uslova dobijaju se putni uslovi, koji, medutim,nemaju opsti karakter, te ih je potrebno izvesti za svaki poseban slucaj.Fazni uslovi odredeni su osobinama prostih harmonijskih funkcija. Ako sutalasi koji interferiraju u fazi onda dobijamo fazni uslov za mesta maksi-malnog osvetljaja:

∆Φ = z · 2π, (z = 0, 1, 2, ...), (3.45)

a ako su talasi u suprotnoj fazi, dobijamo fazni uslov za mesta minimalnogosvetljaja:

∆Φ = (2z + 1)π, (z = 0, 1, 2, ...). (3.46)

Da bi odredili putne uslove interferencije krenimo od zapisa elektromag-netnog talasa preko modula vektora elektricnog polja:

E = E0 sin(ωt− ky). (3.47)


Ako interferiraju dva monohromaticna talasa koja se razlikuju samo po pre-denim putevima do tacke interferencije, i mozda po tome kroz koju sredinuse krecu pre nego sto dodu do tacke u kojoj se vrsi interferencija, onda iznjihovih faza mozemo odrediti faznu razliku:

Φ1 = ωt−2π

λ1y1, Φ2 = ωt−2π

λ2y2, ⇒ ∆Φ = Φ2−Φ1 = 2π

(

y1λ1− y2λ2

)

.

(3.48)Talasne duzine u sredinama kroz koje se interferirajuci talasi krecu mogu seizraziti preko talasne duzine u vakuumu λ0 uvodeci opticku duzinu puta l kaoprozivod geometrijske duzine i odgovarajuceg indeksa prelamanja sredinekroz koju se talas krece:

λ1 =v1ν

=c

n1 ν=λ0n1, λ2 =

v2ν

=c

n2 ν=λ0n2, ⇒ ∆Φ =

2π

λ0(l1 − l2),

(3.49)gde su l1 = n1 y1 i l2 = n2 y2.

A

B

max

min

S1B

S2B

S2A

S1A

S2S1

S

Slika 3.30. Interferencija svetlosti.

Kombinujuci jednacine (3.45)-(3.46) sa jednacinom (3.49) dobi-jaju se putni uslovi i to: za mestamaksimalnog osvetljaja:

∆l = z λ0, (z = 0, 1, 2, ...),(3.50)

i za mesta minimalnog osvetljaja:

∆l = (2z−1) λ02, (z = 0, 1, 2, ...).

(3.51)Ovi izrazi izvedeni su za slucaj

da se interferirajuci talasi krecu dotacke u kojoj se pojavljuje inter-ferencija na identican nacin, stona primer odgovara slici 3.30.

Medutim, u praksi se cesto pojavljuje slucaj da jedan ili oba interferi-rajuca zraka na svom putu do tacke u kojoj se vrsi interefrencija dozivljavajurefleksiju. Za opisivanje interferencije jako je bitno da li se refleksija talasaobavlja od opticki gusce ili opticki rede sredine28 jer prilikom svake reflek-

28Ako posmatramo dve opticke sredine od kojih jedna ima indeks prelamanja n1 a drugaindeks prelamanja n2, i ako, na primer, vazi da je n1 < n2, onda za prvu sredinu kazemoda je opticki reda od druge, a za drugu da je opticki gusca od prve. Drugim recima uopticki redim sredinama brzina svetlosti je veca i obrnuto.


sije od opticki gusce sredine talas trpi promenu faze od π/2 sto odgovarapromeni optickog puta za λ0/2.

Prema tome, prakticno uputstvo kaze da pre odredivanja putnih uslovainterferencije treba izbrojati refleksije od opticki gusce sredine za oba zraka.Ako je taj broj paran, onda se putni uslovi ne menjaju, tj. vaze jednacine(3.50)-(3.51); ako je, pak, taj broj neparan, onda jednacine (3.50)-(3.51)zamenjuju mesta, pa se uslov maksimalnog pojacavanja svodi na optickuduzinu puta jednaku neparnom broju polovina talasnih duzina, i obrnuto.

3.7.2 Difrakcija svetlosti

Kao sto smo videli, interferencija obuhvata pojave slaganja koherent-nih svetlosnih snopova u prostoru i dovodi do odredenog rasporeda svet-losnih maksimuma i minimuma, kao i prostornog rasporeda svetlosne en-ergije. Difrakcija svetlosti pak obuhvata pojave interferencije koje se javljajukao granicne pojave prostornog ogranicavanja talasnog fronta zaklonima iliotvorima. Naziv difrakcija potice od latinske reci difractio, sto znaci savi-janje. Difrakcija nastaje kada svetlosni talas naide na otvor ili preprekucije su dimenzije reda velicine talasne duzine svetlosti29. Difrakcija seobjasnjava Hajgensovim principom, tj. nastankom sekundarnih talasa naivicama prepreke ili na otvorima.

Na slici 3.31 prikazana je neprovidna prepreka AB kruznog oblika i malogprecnika, postavljena izmedu tackastog izvora monohromatske svetlosti S izaklona Z. Kada ne bi bilo difrakcije, na zaklonu bi se dobila kruzna senkaCD. Medutim, na ivicama diska nastaje difrakcija svetlosti, pa svetlosnizraci padaju skoro po celom zaklonu. Zbog toga iza diska nastaje interfer-encija difrakovane svetlosti. U tacku O na zaklonu, koja odgovara sredinidiska, padaju svetlosni zraci A−O i B−O, koji polaze od ivice diska. Kakooni prelaze jednake puteve, njihove faze su u tacki O iste, pa se oni maksi-malno pojacavaju. U ostalom delu zaklona, usled interferencije difrakovanesvetlosti, obrazovace se koncentricni tamni i svetli kruzni prstenovi, takodeprikazani na slici 3.31. Izmedu prstenova maksimalnog pojacanja i slabljenjanalaze se prstenovi delimicnog pojacanja i slabljenja, tako da je prelazak odsvetlih na tamne prstenove kontinualan, sa izrazenim zonama maksimalne ii minimalne osvetljenosti. Ako se umesto monohormatske svetlosti upotrebi

29Difrakcija svetlosti se javlja i u slucaju kada su dimenzije prepreke ili otvora znatnovece od talasne duzine svetlosti, ali je tada za uocavanje difrakcionih efekata potrebnoposmatrati talase na velikoj udaljenosti od prepreke, na mestima gde se nalaze krajevisenke koju stvara prepreka.


A B

C D

OZ

Slika 3.31. Difrakcija na prepreci.

Z

E

S

Slika 3.32. Difrakcija monohromatskesvetlosti na jednom prorezu.

slozena svetlost, na zaklonu ce se umesto svakog svetlog kruga obrazovatispektar u vidu koncentricnih krugova razlicitih boja.

Ako se sada umesto kompaktne neprovidne prepreke na put monohro-matske svetlosti postavi neprovidna prepreka sa uzanim prorezom, tada cese na zaklonu iza pukotine dobiti interferenciona slika u cijoj sredini se nalaziizrazito svetla pruga. Sa leve i desne strane ove svetle pruge naizmenicnose smenjuju svetle i tamne pruge pri cemu je osvetljenost ovih pruga svemanja ukoliko je njihovo rastojanje od srednje najsvetlije pruge vece (slika3.32). Objasnjenje ove interferencione slike analogno je prethodnom.

Dobijena difrakciona slika sa jednim uzanim prorezom nema veliku os-vetljenost posto je propusteni svetlosni fluks veoma mali. On ce biti veciako svetlost prolazi kroz dva bliska uzana proreza, jos veci pri prolasku kroztri, cetiri i tako dalje. U svakom od ovih slucajeva intereferenciona slikaje drugacija, ali je karakteristicno da je osvetljenost pojedinih pruga uto-liko veca ukoliko je broj proreza veci jer je tada propusteni svetlosni fluksveci. Zato se u praksi koriste providne plocice sa velikim brojem paralelnihproreza30 koja se naziva difrakciona (opticka) resetka. Konstanta difrak-

30Kada je izrada uzanih proreza otezana onda se umesto njih izraduju paralelni zljebovi


cione resetke predstavlja rastojanje koje obuhvata sirinu jednog proreza ijednog neprorezanog dela:

d =1

N, (3.52)

gde je N broj zareza po jedinici duzine.Kada snop svetlosti padne na difrak-

01 12 23 3

Slika 3.33. Difrakciona slika.

cionu resetku, tada se po Hajgensovomprincipu svaki prorez ponasa kao novi iz-vor talasa, te emituje talase u svim prav-cima. Usled intereferencije talasa koji seemituju iz pojedinih proreza, na zaklonu

ce se obrazovati odredena interferenciona slika sa tamnim i svetlim prugama(slika 3.33). Svetla pruga u sredini naziva se pruga nultog reda, prve prugelevo i desno su pruge prvog reda, zatim slede pruge drugog reda, itd. Polozajsvetlih pruga zavisi od konstante resetke d ali i od talasne duzine upotre-bljene svetlosti λ . Formula koja povezuje ove parametre naziva se jednacinadifrakcione resetke:

d sin θz = z λ, (3.53)

gde je θz ugao skretanja zraka koji formira interferencioni maksimum z-togreda u odnosu na normalu resetke. Iz jednacine (3.53) takode vidimo da akona resetku pada slozena svetlost, onda ce njene komponente talasnih duzinaλ1, λ2,.. posebno graditi svoje interferencione slike. Na taj nacin umestojedne svetle pruge koja postoji kod monohromatske svetlosti dobijamo nizspektara koji ima sledece osobine:

• Boje ovog spektra su rasporedene prema talasnim duzinama pri cemunajvise skrece svetlost najvece talasne duzine, tj. crvena, a najmanjeljubicasta.

• Izuzetak je svetla pruga nultog reda koja se uvek nalazi na istom mestui ne razlaze se (sto prirodno sledi iz jednacine (3.53) za z = 0).

Za razliku od disperzionih spektara koje smo pominjali kod prelamanjana prizmi, ovi spektri se nazivaju difrakcioni spektri. Za njih je karakter-isticno da ih ima vise u sastavu interferencione slike jedne opticke resetke,ali se za izucavanje primenjuju difrakcioni spektri uglavnom prvog a rede idrugog reda, dok se visi redovi izbegavaju zbog njihove slabe osvetljenosti.

- zarezi. Oni se na staklenim plocicama urezuju dijamantskim nozem. Medutim, i ovimpostupkom se postizu samo ograniceni rezultati. Savremene difrakcione resetke izradujuse foto-postupkom, kao tamne i svetle linije na filmu. Tako se moze postici i resetka sanekoliko stotina linija na jednom milimetru duzine. Svetle linije na filmu ponasaju se kaoprorezi na resetci sa prorezima, ali kod resetki sa zljebovima, prorezima su analogni deloviizmedu zljebova, jer kroz njih svetlost prolazi neometano.


3.7.3 Polarizacija svetlosti

Za razliku od drugih talasnih fenomena kao sto su npr. talasi u vodiili akusticki talasi, elektromagnetni talasi su opisani vektorskim poljima,tj. promenama vektora elektricnog ~E(~r, t) i magnetnog polja ~H(~r, t) (zarazliku npr. od skalarnog polja pritiska kod zvucnih talasa). Njihova drugaosobina koja ih razlikuje od zvucnih talasa je ta da su oni transverzalnitalasi, sto znaci da je pravac oscilovanja vektora uvek upravan na pravacprostiranja talasa. Ako definisemo ravan oscilovanja kao ravan odredenupomocu pravca prostiranja i trenutnog pravca vektora elektricnog polja ~Eonda mozemo reci da elektromagnetni talasi (pa samim tim i oni svetlosni)neprestano menjaju ravan oscilovanja. Ovakvi talasi nazivaju se prirodniili nepolarizovani talasi. I prirodni i vestacki svetlosni izvori (osim lasera)emituju nepolarizovanu svetlost kod koje je pravac vektora elektricnog polja~E potpuno slucajan i u prostoru i u vremenu, tj. niti jedan pravac nemaneko preimucstvo u odnosu na neki drugi. Ako se na neki nacin postigneda postoji raspodela pravaca prema broju pojavljivanja, tj. da se nekeravi oscilovanja javljaju cesce nego neke druge, onda govorimo o delimicnopolarizovanoj svetlosti. Ako se pak ostvari da svetlost ima samo jednu ravanoscilovanja onda se takva svetlost zove polarizovana svetlost, a za vektor~E kaze se da je linearno polarizovan jer osciluje duz samo jednog pravcaupravnog na pravac prostiranja. Jedinstveni pravac oscilovanja vektora ~Ei pravac prostiranja definisu jedinstvenu polarizacionu ravan koja se sadapoklapa sa ravni oscilovanja. Polarizovana svetlost prikazana je na slici 3.34,a razlika izmedu ravni oscilovanja polarizovane i nepolarizovane svetlosti naslici 3.35.

x

O

y

z

Hy

Ex

Pravac prostiranja

Slika 3.34. Prostiranje polarizovane svetlosti.

Slika 3.35. Ravni oscilo-vanja polarizovane i nepo-larizovane svetlosti.


Izmedu linearno polarizovanog vectora ~E (tj. polarizovane svetlosti)i nepolarizovane svetlosti nalazi se jos jedno moguce stanje u kome vrhvektora ~E opisuje elipticku (ili kruznu) putanju u svim ravnima upravnimna pravac prostiranja svetlosti. Ljudsko oko ne razlikuje polarizovanu inepolarizovanu svetlost (za razliku od nekih insekata, riba i ptica) i efektepolarizovane svetlosti moze da oseti samo posredno, npr. preko smanjivanjablestanja kada se nose naocare za sunce31.

Posmatrajmo sada problem polarizacije na matematicki nacin. Akopretpostavimo da se talas prostire u pravcu z-ose, onda se vektori ~E i ~Hmoraju nalaziti u ravni xOy, i uz pretpostavku njihove ortogonalnosti32

imacemo:

~E(~r, t) = Ex 0 sin(ωt− k z + ϕx) ·~i+ Ey 0 sin(ωt− k z + ϕy) ·~j (3.54)

~H(~r, t) = Hx 0 cos(ωt− k z + ϕx) ·~i+Hx 0 cos(ωt− k z + ϕy) ·~j, (3.55)

gde su ~i i ~j jedinicni vektori x i y ose, respektivno. Ogranicimo nasu anal-izu samo na slucaj vektora ~E (analogna analiza vazi i za ~H). Ako uocimojednacinu (3.54) vidimo da ona simultano opisuje dva harmonijska oscilo-vanja koja se odvijaju duz upravnih pravaca x i y. Prema tome, mozemoprimeniti analizu izvedenu u odeljku 1.1.4 posvecenu slaganju oscilacija up-ravnih pravaca i odrediti liniju u xOy ravni koju ce u vremenu opisivati vek-tor ~E. U najopstijem slucaju imamo tzv. elipticnu polarizaciju odredenujednacinom (1.39) u kojoj je x ≡ Ex, y ≡ Ey, A1 ≡ Ex 0, A2 ≡ Ey 0 iϕ ≡ ϕy − ϕx. Elipticki polarizovan talas prikazan je na slici 3.36.a.

Ova elipsa se moze degenerisati u pravu, i tada elipticka polarizacijaprelazi u linearnu polarizaciju u tri slucaja:

1. Ex 0 6= 0, Ey 0 = 0 2. Ex 0 = 0, Ey 0 6= 0 3. ϕ = nπ, n ∈ −1, 0, 1

Prvi slucaj odgovara linearnoj polarizaciji duz x-pravca (taj slucaj je ustvari prikazan je na slici 3.34), drugi polarizaciji duz y-pravca, a treci uslovukada su Ex i Ey ili u fazi, ili u kontra-fazi (videti jednacinu (1.42) i sliku1.12) i prikazan je na slici 3.36.b. Konacno, u slucaju kada je Ex 0 = Ey 0 aϕ = (2m+1)π/2 polarizacija je kruzna (videti jednacinu (1.41) i sliku 1.11)i prikazana je na slici 3.36.c.

31Prilicno je tesko stvoriti predstavu o polarizovanim i nepolarizovanim talasimapomocu dvodimenzionih slika. Puno lepih animacija vezanih za fenomene polarizacijesvetlosti mogu se pogledati na adresi:http://micro.magnet.fsu.edu/primer/lightandcolor/polarizedlighthome.html

32Pokazuje se da je to slucaj na vecoj udaljenosti od izvora talasa


j

Ex

Ey z

qz

q

E0

E0

p2

z

a)

b)

c)

Slika 3.36. Elipticka polarizacija (a) i dva slucaja kada se ona svodi na linearnupolarizaciju (b) i kruznu polarizaciju (c).

Polarizovana svetlost se moze dobiti na vise nacina. Jedan od njih jekoriscenje odbijanja svetlosti. Naime, kada svetlost pada na granicnu povr-sinu koja deli dve sredine, onda se svetlost delimicno reflektuje a delimicnoprelama, pri cemu i reflektovana i prelomljena svetlost pokazuju izvestanstepen polarizacije za razliku od upadne svetlosti koja je nepolarizovana.

Takode, njihove polarizacije su suprotne,

n

a a

b

.n

0~~1

Slika 3.37. Ilustracija Brusterovogzakona.

tako da reflektovani zrak S1 (videti sliku3.37) pokazuje delimicnu polarizaciju uravni koja je upravna na sliku, a ravanpolarizacije prelomljenog zraka S2 lezi uravni slike. Polarizacija oba zraka nijepotpuna vec delimicna, i znatno je vecau odbijenoj nego u prelomljenoj svet-losti. Polarizacija odbijenog zraka zavisiod upadnog ugla, za razliku od preloml-jenog zraka cija se polarizacija vrlo slabomenja. Podesavanjem upadnog ugla moze se postici da polarizacija reflek-tovanog zraka bude potpuna. Takav upadni ugao naziva se Brusterov ugao


a njegova vrednost odreduje se na osnovu Brusterovog zakona koji kaze daje polarizacija odbijene svetlosti potpuna ako su odbijeni i prelomljeni zrakmedusobno upravni. Odavde se koriscenjem zakona prelamanja uz pret-postavku da svetlosni zrak dolazi iz vazduha n0 ≈ 1, na sredinu indeksaprelamanja n:

n =sinαb

sinβ=

sinαb

sin(90 − αb)=

sinαb

cosαb= tanαb, (3.56)

za vrednost Brusterovog ugla dobija:

αb = arctann. (3.57)

Za staklo indeksa prelamanja n = 1.54 sracunavamo Brusterov ugao αb ≈57, a za vodu indeksa prelamanja n = 1.33 kao αb ≈ 53.

Polarizovana svetlost moze se

Slika 3.38. Polarizator i analizator.

dobiti propustanjem nepolarizova-ne svetlosti kroz uredaj kojim sepostize polarizacija i koji se nazivapolarizator. Sta se desava kada ta-las prolazi kroz dva polarizatora?Ako se njihove polarizacione ravnipoklapaju, onda ce talas polarizo-van na prvom polarizatoru prolaz-iti kroz drugi polarizator bez pro-

mene. Ako je ravan drugog polarizatora normalna na ravan prvog polar-izatora, nastaje gasenje talasa (videti sliku 3.38). U ovakvom ogledu, drugipolarizator naziva se analizator, jer sluzi za analizu stepena polarizacije.

Prirodno se postavlja pitanje koliki ce biti intenzitet svetlosti koji prolazikroz analizator ako je ugao izmedu ravni polarizacije polarizatora i analiza-tora proizvoljan, npr. α. Odgovor na to pitanje daje Malusov zakon oblika:

I = I0 cos2 α, (3.58)

gde je I0 intenzitet svetlosti koja dolazi na analizator, a I svetlosti kojaprolazi kroz analizator.

Polarizatori mogu biti prirodni i vestacki. Prirodni polarizatori su obicnoanizotropni kristali33, kao na primer turmalin. Kod kristala turmalina se

33Anizotropija je svojstvo da kristal u raznim pravcima pokazuje razlicite opticke os-obine.


anizotrpija ogleda u tome da oni jako apsorbuju oscilacije odredenog pravca,a drugog, normalnog pravca znatno manje. Takvo svojstvo kristala nazivase dihroizam. U zavisnosti od debljine turmalinske plocice, na izlasku izkristala mozemo dobiti potpuno ili delimicno polarizovanu svetlost. Nazalost, turmalin vrsi selektivnu apsorpciju, tj. propusta prvenestveno zelenusvetlost.

Vestacki polarizatori nazivaju se polaroidi i dobijaju se nanosenjemtankih slojeva odredenih kristala na staklenu ili celuloidnu plocu. Prednostvestackih polarizatora je da su oni jeftiniji i efikasniji od prirodnih.

Zbog slozene strukture pojedinih kristala proces polarizacije svetlosti unjima je slozeniji od opisanog. U njima se pojavljuje fenomen tzv. dvojnogprelamanja, tj. od nepolarizovanog zraka koji upada na kristal obrazuju sedva zraka polarizovana u medusobno upravnim ravnima. Polarizaciona ra-van jednog od ovih zraka je normalna na glavnu ravan kristala i on se nazivaredovan ili obican zrak (engl. ordinary ray). Polarizaciona ravan drugogzraka lezi u glavnoj ravni kristala i on se naziva neredovan ili neobican zrak(engl. extraordinary ray). Ovi zraci pokazuju razlicite osobine. Redovanzrak prostire se u svim pravcima jednakom brzinom pa je njegov indeksprelamanja konstantan. Za razliku od redovnog, neredovni zrak se pro-stire u razlicitim pravcima sa razlicitim brzinama, tj. njegov indeks prela-manja nije konstantan vec zavisi od pravca prostiranja. Drugim recimakristal ”dvolomac” predstavlja izotropnu supstancu za redovan zrak, a ani-zotropnu za neredovan zrak. Ako upadni zrak nepolarizovane svetlosti padnepod uglom razlicitim od nule na kristal, ova dva zraka se razdvajaju i krozkristal putuju kao odvojeni (videti sliku 3.39). Dvojno prelamanje se javljakod vec pomenutog turmalina, ali on u znatnoj meri apsorbuje redovanzrak. Medutim postoje kristali koji su podjednako providni i za redovan iza neredovan zrak (videti sliku 3.40). Jedan od takvih kristala je kalcijumkarbonat (CaCO3) sa heksagonalnom resetkom, poznat kao islandski kalcit.

. . . . . . . .

nepolarizovanizrak

neredovan zrak

redovan zrak

( )n

( )r

Slika 3.39. Neredovan i redovan zrak kod prelamanja na islandskom kalcitu.


Slika 3.40. Dvojno prelamanje.

Najsavrseniji opticki sistem za dobijanje polarizovane svetlosti dvojnimprelamanjem je Nikolova prizma (slika 3.41). Ona se sastoji od dve prizmekod kojih je jedan ugao 68, a cije su priljubljene stranice najpre poliranea zatim zalepljene specijalnom providnom smolom koja se naziva Kanadabalzam. Kombinacija optickih osobina smole i kristala dovodi do toga dase redovan zrak eliminise iz kristala na bocnoj strani34, dok neredovan zraknapusta prizmu na izlaznoj stranici.

. . . . . . . .68

6890

90...

..

( )n

( )r

Slika 3.41. Dvojno prelamanje na Nikolovoj prizmi.

34koja je obicno zacrnjena tako da vrsi apsorpciju redovnog zraka;

Poglavlje 4

Toplota

4.1 Temperatura i toplota

Prva predstava o toploti i temperaturi je subjektivna i vezana za osecajeposmatraca. Svi smo jos kao mala deca naucili kakav osecaj stvara dodiri-vanje predmeta razlicite zagrejanosti, pa znamo da u dodiru sa rukom telaizgledaju vise ili manje topla, ili vise ili manje hladna. Na osnovu togamozemo dati intuitivnu definiciju da je temperatura kvantitativna mera zastepen zagrejanosti tela. Skala subjektivnih osecaja zagrejanosti (vrelo -vruce - toplo - mlako - hladno - ledeno), medutim, nije pogodna jer nijeegzaktna (kvantitativna) niti objektivna jer zavisi od subjekta koji vrsi pos-matranje. Osecaji su relativni jer zavise od prethodnih osecaja (neki mlakpredmet na primer izgleda topliji ako je ruka koja ga dodiruje bila pre togastavljena u sneg; morska voda izgleda manje ili vise hladna u zavisnosti odstanja okolnog vazduha, ali i zagrejanosti i zdravstvenog stanja organizmakupaca). Konacno, dodir se moze koristiti samo u dosta uskom podrucju.On ne moze dati stepen toplote u slucaju plamena ili tecnog azota jer biruka i krajevi nerava koji se nalaze u njoj bili unisteni.

Formalnija definicija temperature podrazumeva dublju teoretsku ana-lizu koja je van domasaja ovog kursa, ali ipak mozemo, doduse malo po-jednostavljeno, reci da je temperatura parametar koji karakterise raspodeluenergija cestica (molekula, atoma ili jona) koje cine neko telo. Ako je tem-peratura nekog tela niska, onda ima jako malo cestica sa velikom energijom,a kako temperatura raste, povecava se i njihov broj. Na taj nacin, tem-peratura odreduje ukupnu unutrasnju energiju tela koju cini zbir kinetickihenergija svih molekula datog tela. Temperatura kao mera za stepen zagre-

149

150 Poglavlje 4. Toplota

janosti definise i agregatno stanje neke supstance (slika 4.1).

Dokle god je energija termalnog kretanja T

plazma

gas

teènost

èvrsto telo

Slika 4.1. Temperatura kao pa-rametar agregatnog stanja tela.

mala, sile izmedu molekula su dovoljno jakeda telo zadrzava konstantan oblik, sto je ka-rakteristika cvrstog agregatnog stanja. Za-grevanjem, tj. povisenjem temperature, en-ergija molekula postaje dovoljno velika daonemoguci postojanje stalnog oblika, ali semolekuli i dalje drze jedan uz drugi - rec jeo tecnosti. Konacno kada energija dovoljnoporaste medumolekularne sile bivaju nad-vladane i molekuli tela pocinju da se slo-bodno krecu, telo je postiglo gasovito agregatno stanje. Postoji i cetvrtoagregatno stanje materije koje se naziva plazma i koje se karakterise apso-lutnom jonizacijom svih molekula ili atoma koji cine neko telo. Jasno je daje ovo stanje energetski najvise, i da odgovara najvisoj temperaturi.

Toplota je energetska velicina koja karakterise toplotnu energiju nekogtela. Kao energetska velicina, toplota se moze razmenjivati izmedu tela sarazlicitim temperaturama. I tu je kljucna razlika izmedu toplote i temper-ature koju treba uociti: temperatura opisuje toplotno stanje nekog tela, doktoplota predstavlja velicinu koju telo moze da prima ili odaje, povecavajuciili smanjujuci svoju energiju na taj nacin. Proces toplotne razmene trajesve dok su tela koja su u stanju da razmenjuju toplotu na razlicitim tem-peraturama. Toplotna (termodinamicka) ravnoteza oznacava stanje u komenema makroskopskih procesa koji bi bili dostupni culima i instrumentima.To ne znaci da tada nema toplotne razmene, vec samo da ne postoji netobilans koji bi mogao biti detektovan.

4.2 Merenje temperature

Merenje temperature podrazumeva uspostavljanje termodinamicke rav-noteze izmedu tela A ciju temperaturu zelimo da merimo i termometarskogtela T (termometra), pri cemu nema toplotne razmene sa okolinom. Ako seogled ponovi, sada sa telom B, dolazi do nove ravnoteze. Ako termometarT daje iste indikacije kao i malocas, onda to znaci da tela A i B imajujednake temperature. Funkcionisanje termometra zasnovano je na nekomtoplotnom fenomenu (toplotno sirenje, promena otpora sa temperaturom isl.), i neophodno je da se proces uspostavljanja termodinamicke ravnoteze

4.2. Merenje temperature 151

sa telom koje se meri izvede tako da se njegovo stanje u ravnotezi sto manjerazlikuje od onog pre pocetka merenja (a to se postize time da je pocetnatemperatura termometra bliska temperaturi tela koja se odreduje, kao imalim toplotnim kapacitetom termometra).

Opisani osnovni ogled merenja temperature dozvoljava da se definisejednakost dve temperature, ali ne i njihov odnos, jer bi se on menjao uzavisnosti od termometra i pojave na osnovu koje on funkcionise. Zbogtoga se moze reci da (u obicnom smislu reci) temperatura nije merljivavec odredljiva velicina. Svakoj temperaturi daje se jedna numericka vrednostu skali, cije se karakteristicne tacke odreduju na neki definisan nacin.

4.2.1 Temperaturske skale

Posmatrano termodinamicki, postoji samo jedna karakteristicna temper-atura, a to je temperatura apsolutne nule, kada je energija molekula koji cinetelo jednaka nuli, i to je minimalna temperatura koja je moguca u prirodi.Skala cija se nula poklapa sa ovom temperaturom naziva se Kelvinova skala,ili skala apsolutne temperature. Medutim, temperatura apsolutne nule sene moze eksperimentalno realizovati. Istorijski posmatrano, prva prakticnatemperaturska skala bila je Celzijusova. U Celzijusovoj skali dve karakter-isticne tacke, kojima se zadate vrednosti 0 i 100, su izabrane tako da se lakoreprodukuju. To su temperature mesavine leda i vode (0C) i temperaturaciste vode koja kljuca (100C), obe na normalnom atmosferskom pritisku1.Skala izmedu nula i sto, podeljena je na stotinu stepeni, a graduacija jeprosirena i na vise i na nize (negativne) temperature.

Kelvinova skala, kako je vec receno, ima nultu tacku na temperaturi ap-solutne nule, (sto u Celzijusovim stepenima iznosi ≈ −273C), dok je vred-nost jednog Kelvinovog stepena ista kao i Celzijusovog, tj. temperaturnerazlike na obe skale su identicne. Osim Celzijusove i Kelvinove, kuriozitetaradi, u tabeli 4.1 prikazane su i Farenhajtova (koja je jos u upotrebi u nekimdrzavama SAD) i Reomirova (koja se dugo zadrzala u Nemackoj, ali je danasnapustena). Medutim, treba voditi racuna da je prema zakonu, dozvoljenaupotreba samo Kelvinove i Celzijusove skale!

Veze izmedu Celzijusove i ostalih skala mogu se lako odrediti na osnovutabele 4.1:

1Tacnije u pocetku se nula odredivala na opisani nacin; medutim, precizna odredivanjasu pokazala da postoje neznatna odstupanja u zavisnosti od toga da li je voda cista ili jezasicena rastvorenim gasom koji dolazi iz vazduha. Sada je karakteristicna tacka vezanaza temperaturu trojne tacke vode i usvojeno je da je ona 0.01C.


Tabela 4.1. Karakteristicne tacke cetiri temperaturske skale.

Celzijusova Kelvinova Farenhajtova Reomirova

tacka kljucanja vode 100C 373K 212F 80R

tacka mrznjenja vode 0C 273K 32F 0R

tacka apsolutne nule −273C 0K −459.4F −218.4R

T = 273 + tC tC = T − 273

tF = 32 + 1.8 · tC tC =tF − 32

1.8

tR = 0.8 · tC tC = 1.25 · tR

4.2.2 Termometri

Termometri su instrumenti za merenje temperature. Razlikujemo neko-liko vrsta termometara:

Termometar sa tecnoscu sastoji se iz

B

A

Slika 4.2. Termometar satecnoscu.

rezervoara tecnostiA na koga se nastavlja stak-lena kapilara B, koja je na gornjem kraju zato-pljena i iz koje je evakuisan vazduh (videtisliku 4.2). Tecnost, (npr. ziva ili obojeni alko-hol), ispunjava rezervoar u obliku prosirenja adelimicno i kapilaru. Kada se termometar une-se u sredinu u kojoj je temperatura povisenadolazi do povecavanja zapremine tecnosti, ali irezervoara A i kapilare B. Zahvaljujuci cinje-nici da se tecnost siri vise od stakla, njen nivou kapilari ce se podizati sa povecavanjem tem-perature. Ovaj termometar radi na principu

razlike termickog sirenja tecnosti i stakla. Zivini termometri mere tempera-turu u opsegu od −38C do +350C, dok se za merenje nizih temperaturakoriste termometri punjeni alkoholom.

Gasni termometar se zasniva na osobinama sirenja gasa pri zagre-vanju. Sud od stakla A (videti sliku 4.3), u kome se nalazi gas, nastavlja seu staklenu cev B, koja sa gumenim crevom C i staklenom cevi D predstavlja

4.2. Merenje temperature 153

napravu za merenje pritiska gasa, tzv. U manometar. Kad se temperaturagasa poveca, on se siri, sto dovodi do istiskivanja zive iz cevi B i njenogpotiskivanja u cev D. Podizanjem ili spustanjem cevi D nivo zive se mozedovesti do referentne tacke E. Na taj nacin se gas odrzava u konstantnoj za-premini, pa je temperatura direktno proporcionalna pritisku koji se zapravomeri. Prednost ovakvog termometra u odnosu na onaj sa tecnoscu je upra-vo u tome sto je promena pritiska gasa sa promenom temperature mnogopravilnija nego promena zapremine tecnosti. Nedostaci su velike dimenzijegasnih termometara i komplikovanost merenja.

B

A

D

E

C

Slika 4.3. Gasni termometar.

R

E

A

Slika 4.4. Termometar sa elektricnimotporom.

Termometar sa elektricnim otporom funkcionise na principu pro-mene elektricne otpornosti pri promeni temperature. Kad temperaturaraste, povecavanjem otpornosti metalnog provodnika smanjuje se strujapa se temperatura moze meriti osetljivim ampermetrom (videti sliku 4.4).Tacnost ovog termomera je vrlo velika (i do 10−4 C−1) a opseg mernihtemperatura od −190C - +660C.

Bimetalni stap je jednostavni termometar koga cine dve medusobnospojene metalne trake nacinjene od razlicitih metala (slika 4.5). Usled razli-citog sirenja metala, na povisenoj temperaturi dolazi do savijanja stapa kojina svom kraju ima kazaljku koja se pritom krece preko skale prethodno iz-bazdarene za ocitavanje temperature. Ovakav termometar ima malu tacnost.


Slika 4.5. Termometar sa bimetalnimstapom.

. .

Gbakar

konstantan bakar

Slika 4.6. Termoelement.

Termoelement koristi pojavu da se u strujnom kolu, sastavljenom oddva razlicita metalna provodnika (videti sliku 4.6), javlja razlika potencijalaako oba spoja ovih provodnika nisu na istoj temperaturi. Stvorena raz-lika potencijala meri se osetljivim voltmetrom i ona zavisi od temperaturskerazlike spojeva, pa se voltmetar moze izbazdariti da direktno pokazuje tem-peraturu. Jedan od spojeva odrzava se na fiksnoj temperaturi a drugi sepostavlja tamo gde zelimo da izmerimo temperaturu. Ovi termometri suvrlo precizni i imaju dobro osobinu da su minijatruni, pa se njima mozemeriti temperatura tela vrlo malih dimenzija. Za merenja temperatura nizihod 500C upotrebljavaju se termoelemeti od kombinacije bakar-konstantan,a za vise temperature, sve do 1600C, spojevi zica od ciste platine i platinesa 10% rodijuma.

Pirometri sluze za merenje temperature pomocu zracenja. Poznato jeda stepen zracenja zagrejanog tela veoma brzo raste sa povisenjem tempe-rature. Kada se takvom zracenju izlozi termoelement moze se na osnovu in-tenziteta zracenja odrediti temperatura zagrejanog tela. U upotrebi je cestoi opticki pirometar, ciji se rad zasniva na cinjenici da se talasna duzina kojaodgovara maksimumu zracenja menja sa promenom temperature. Pirometrisluze za merenje jako zagrejanih tela (npr. preko 500C).

4.3 Zakoni sirenja cvrstih i tecnih tela

4.3.1 Zakon linearnog sirenja

Iz iskustva nam je poznato da se cvrsta tela sa povecavanjem tempe-rature sire a sa snizavanjem skupljaju. Posmatrajmo najpre kvazi-lineicnatela, tj. tela kod kojih je jedna dimenzija naglasena u odnosu na preostaledve (zice, stapovi, sipke,... ). Kod takvih tela mozemo smatrati da postojilinearni zakon sirenja, jer je promena dimenzija vidljiva u jednoj dimenziji.

4.3. Zakoni sirenja cvrstih i tecnih tela 155

Zakon linearnog sirenja l = f(t), gde je l duzina tela, je nekakva kompliko-vana funkcija temperature. Ova funkcija se moze razviti u red:

l = f(t) = l(0) + l′(0)t

1!+ l′′(0)

t2

2!+ ... , (4.1)

a zatim aproksimirati samo konstantnim i linearnim clanom, zahvaljujucicinjenici da su relativne promene dimenzija tela male

l ≈ l(0) + l′(0) t = l(0)

[

1 +l′(0)

l(0)t

]

⇒ l = l0(1 + αt), (4.2)

gde je l0 = l(0)Velicina α naziva se termicki koeficijent linearnog sirenja i predstavlja

relativnu promenu dimenzije tela pri povisenju temperature za 1K ili 1C:

α =l − l0l0 t

=∆l

l0 t. (4.3)

Vrednosti α za cvrsta tela su najcesce u opsegu od 10−5 do 10−6 K−1.Postoji i alternativni izraz za zakon linearnog sirenja koji koristimo u

slucaju da ne poznajemo dimenziju tela na nula stepeni vec na nekoj drugojproizvoljnoj temperaturi okoline t1:

l2 = l1(1 + α∆t), ∆t = t2 − t1, (4.4)

gde su sada l1 i l2 duzine tela na temperaturama t1 i t2, respektivno.

4.3.2 Povrsinsko sirenje

Posmatrajmo sada dvodimenziono telo, kod koga su dve dimenzije na-glasene u odnosu na preostalu trecu (npr. ploce, membrane, ...). Za svakuod dimenzija mozemo pisati zakon linearnog sirenja, pa imamo:

x = x0(1 + αt), y = y0(1 + αt) ⇒ xy = x0y0 (1 + αt)2 (4.5)

Posto je xy u stvari povrsina pravougaonog tela S, bice:

S = S0(1 + βt), (4.6)

gde je β = 2α termicki koeficijent povrsinskog sirenja.I ovde se moze napisati alternativni izraz:

S2 = S1(1 + β∆t), ∆t = t2 − t1 (4.7)


4.3.3 Zapreminsko sirenje

Za tela kod kojih su sve tri dimenzije naglasene, koristi se zakon za-preminskog sirenja. Do njega dolazimo na analogan nacin:

x = x0(1+αt), y = y0(1+αt) z = z0(1+αt) ⇒ xyz = x0y0z0 (1+αt)3,

(4.8)tj.

V = V0(1 + γt), (4.9)

gde je γ = 3α termicki koeficijent zapreminskog sirenja.Alternativni oblik ovog zakona je:

V2 = V1(1 + γ∆t), ∆t = t2 − t1 (4.10)

Sirenje tecnosti je samo zapre-

0 2 4 6 80.9995

0.9996

0.9997

0.9998

0.9999

1.0000

t [ C]

r[g

/cm

]3

Slika 4.7. Zavisnost gustine vode od tem-perature.

minsko. Termicki koeficijenti zap-reminskog sirenja tecnih tela vecisu nego kod cvrstih tela i iznoseod 10−3 do 10−4 K−1. Zbog togase kod tecnosti fenomen promenegustine sa promenom temperaturene zanemaruje kako se to obicnocini kod cvrstih tela. Promena gus-tine opisuje se na sledeci nacin:

ρ =m

V=

m

V0(1 + γt)=

ρ01 + γt

,

(4.11)gde je ρ0 gustina na 0C.

Voda u malom intervalu temperatura neposredno iznad nule pokazujeodstupanje od ovoga zakona. To je poznata anomalija vode2, prikazana naslici 4.7.

4.3.4 Termicko naprezanje

Termicko naprezanje nastaje pri zagrevanju predmeta koji su ucvrsceniizmedu nepokretnih oslonaca (slika 4.8).

Zbog zagrevanja za ∆t, telo bi se, da ne postoje oslonci, izduzilo za

2Ovaj fenomen jako je vazan za zivot u vodi jer se zahvaljujuci njemu voda ledi odpovrsine prema dnu, stvarajuci ledenu koru koja omogucuje manje vise normalne usloveza zivot.

4.4. Gasni zakoni 157

∆l = α l∆t, (4.12)

ali ga u sirenju sprecava napon koji deluje

F F

Slika 4.8. Termicko naprezanjeucvrscenog tela.

od oslonaca, koji na osnovu Hukovog za-kona mora biti jednak:

σ =F

S= Ey

∆l

l= Eyα∆t, (4.13)

gde je Ey Jungov modul elasticnosti. Ovajnapon naziva se napon termickog naprezanjai moze biti uzrok mnogih ostecenja i deformacija.

4.4 Gasni zakoni

Svojstva gasa menjaju se sa temperaturom, a osim temperature, dveosnovne velicine kojima se opisuje stanje gasa su njegova zapremina i priti-sak. U ovom odeljku govoricemo o zakonima kojima se pokoravaju idealnigasovi. Model idealnog gasa podrazumeva tri pretpostavke:

• zapremina molekula gasa je zanemarljiva;

• nema interakcije izmedu molekula gasa;

• sudari molekula sa zidovima suda su apsolutno elasticni3;

Realni gasovi ponasace se vrlo priblizno kao idealni kada se nalaze u stanjimakoja su daleko od uslova potrebnih za prelazak u tecno stanje, tj. kada supritisak i koncentracija gasa mali, odnosno kada su razredeni.

4.4.1 Jednacina stanja idealnog gasa

Ova jednacina predstavlja osnovnu jednacinu koja povezuje tri termodi-namicka parametra koji opisuju stanje nekog gasa, pritisak p, zapreminu Vi temperaturu T :

p V = nmRT (4.14)

gde je nm broj molova koji se odreduje kao kolicnik mase gasa m i molarnemase gasa M :

nm =m

M, (4.15)

3To prakticno znaci da molekul prilikom sudara sa zidom ne menja svoju energiju.


a R univerzalna gasna konstanta koja iznosi:

R = 8.314J

molK. (4.16)

Jednacinu stanja mozemo izraziti i na sledeci nacin:

p V

T= nmR = const =⇒ p1V1

T1=p2V2T2

, (4.17)

tj. proizvoljne promene stanja neke odredene mase idealnog gasa odvijaju setako da je kolicnik proizvoda pritiska i zapremine, i apsolutne temperature,uvek konstantan.

4.4.2 Bojl-Mariotov zakon

Iz jednacine stanja idealnih gaso-p

V

T1

T1

TT23

>

>

T2

Slika 4.9. Izoterme u p−V dijagramu.

va, kao najopstije jednacine, mogu seizvesti partikularni gasni zakoni kojiodgovaraju nekim specificnim prome-nama stanja gasa. Bojl-Mariotov za-kon govori o izotermnim promenamastanja, tj. onim promenama pri koji-ma temperatura gasa ostaje konstan-tna,

T = const ⇒ pV = const

⇒ p1V1 = p2V2, (4.18)

i kaze da je proizvod pritiska i zapremine odredene mase idealnog gasa kon-stantan ako se temperatura gasa odrzava konstantnom. Promene stanja kojeodgovaraju izotermnim procesima mogu se predstaviti i u p−V dijagramu.Krive koje predstaljaju izotermne promene stanja definisane jednacinompV = const nazivaju se izoterme, i sa matematicke strane gledista pred-stavljaju hiperbole u p− V dijagramu (slika 4.9). Svaka izoterma odgovarajednoj temperaturi, a sa porastom temperature izoterme se udaljuju od ko-ordinatnog pocetka.

4.4.3 Gej-Lisakov zakon

Posmatrajmo sada tzv. izobarne procese, tj. promene stanja idealnoggasa kod kojih se pritisak gasa odrzava konstantnim:

p = const ⇒ V

T= const ⇒ V1

T1=V2T2. (4.19)


Dobili smo Gej-Lisakov zakon koji kaze da se promene stanja odredene maseidealnog gasa pri konstantnom pritisku odvijaju tako da je kolicnik zapremi-ne i apsolutne temperature gasa konstantan. Izobarne promene stanja moguse predstaviti u p − V , ali i u V − T dijagramu, pravama koje se nazivajuizobare (slika 4.10). U p − V dijagramu izobare su horizontalne linije kojeodgovaraju pritisku gasa. Izobare koje odgovaraju razlicitim pritiscima gasau V −T dijagramu cine pramen polupravih sa zajednickim pocetkom u tacki(0K, 0m3). To prakticno znaci da se snizavanjem temperature zapreminagasa smanjuje tako da je na temperaturi apsolutne nule zapremina gasatakode jednaka nuli bez obzira na masu gasa i vrednost pritiska (podsetitese da idealni gas ima molekule cija se masa zanemaruje). Ovaj nefizickirezultat ne treba da brine, jer se snizavanjem temperature realni gasoviudaljavaju od modela idealnog gasa, pa ovaj rezultat treba shvatiti samokao matematicki kuriozitet. Izobare u pramenu u V − T dijagramu imajuutoliko veci koeficijent pravca ukoliko je pritisak koji vlada u gasu nizi.

p

V

V

T

p

p

p

p

p

1

2

2

3

3

<

<

p1

p2

p3

Slika 4.10. Izobare u p− V i V − T dijagramu.

Gej-Lisakov zakon u stvari definise promenu zapremine idealnog gasa satemperaturom, pri konstantnom pritisku. Ako u (4.19) stavimo T1 = T0 =273K, V1 = V0, T2 = T0 + t, V2 = V , dobijamo:

V = V0

(

1 +1

T0t

)

, (4.20)

sto odgovara izrazu za zapreminsko sirenje gasa pri konstantnom pritisku(naravno, kod gasova kao i kod tecnosti ima smisla govoriti samo o za-preminskom sirenju). Vrednost termickog koeficijenta zapreminskog sirenjaje ista za sve idealne gasove i iznosi γ = 1/T0 = 1/273K−1, sto je vrednost


za nekoliko redova velicine veca od onih koje imaju tecnosti, sto znaci da segasovi najvise sire pri zagrevanju u odnosu na tela ostalih agregatnih stanja.

4.4.4 Sarlov zakon

Sarlov zakon opisuje izohorne procese, tj. promene stanja pri kojimazapremina gasa ostaje konstantna:

V = const ⇒ p

T= const ⇒ p1

T1=p2T2. (4.21)

On kaze da je odnos pritiska i apsolutne temperature odredene mase ide-alnog gasa konstantan pri promenama stanja u kojima se zapremina gasane menja. Posmatrano matematicki, Gej-Lisakov i Sarlov zakon imajuidentican oblik, jedino su promenljive p i V zamenile mesta. Zbog toga, zaizohore, tj. prave koje opisuju izohorne procese vaze slicni zakljucci kao zaizobare. Izohore u p−V dijagramu su sada vertikalne prave koje odgovarajurazlicitim zapreminama, dok u p− T dijagramu cine pramen polupravih saosobinom da im je koeficijent pravca utoliko veci ukoliko je zapremina gasamanja (slika 4.11).

p

V

p

T

V V1

V3

2

2

V2

3

3

<

<V V

1V

V

Slika 4.11. Izohore u p− V i p− T dijagramu.

4.4.5 Avogadrov zakon

Do sada smo partikularne zakone izvodili iz jednacine stanja idealnoggasa tako sto smo uocili neku konstantnu masu gasa, a onda birali konstant-nim jedan po jedan parametar (T kod Bojl-Mariotovog, p kod Gej-Lisakovi V kod Sarlovog zakona). Posmatrajmo sada situaciju kada nema nikakve


promene stanja, tj. kada su sve tri osnovne termodinamicke velicine kon-stantne:

p, V, T = const ⇒ nm = const. (4.22)

Zamislimo sada da u nekoliko sudova iste zapremine imamo razlicite idealnegasove pod istim uslovima (jednak pritisak i temperatura). Onda na osnovu(4.22) mozemo iskazati Avogadrov zakon: u jednakim zapreminama idealnihgasova, na istoj temperaturi i istom pritisku, nalazi se isti broj molova gasa.

Podsetimo se na ovom mestu da u jednom molu bilo koje supstance,pa tako i u nekom gasu, ima Avogadrov broj (NA = 6.02 · 1023 mol−1)molekula. Kod gasova se definise i tzv. molarna zapremina koja predstavljazapreminu koju zauzima neki gas pri normalnim uslovima, temperaturi odnula Celzijusovih stepeni (t = 0C), i normalnom atmosferskom pritisku(p = pa = 101 325 Pa). Iz jednacine stanja idealnog gasa moze se tadasracunati da je molarna zapremina idealnih gasova Vm = 22, 41 · 10−3 m3.

4.4.6 Daltonov zakon parcijalnih pritisaka

Posmatrajmo sada sud zapremine V u kome se nalazi smesa sacinjenaod k razlicitih idealnih gasova. Jednacina stanja se tada moze napisati uobliku:

p V = (nm1 + nm2 + ...+ nmk)RT, (4.23)

gde su nm1, nm2, ...nmk broj molova prvog, drugog, ... , k-tog gasa u datojsmesi. Zahvaljujuci svojoj linearnosti, jednacina (4.23) moze se napisati i uobliku

p1 + p2 + ...+ pk = (nm1 + nm2 + ...+ nmk)RT

V, (4.24)

gde su

p1 = nm1RT

V, p2 = nm2

RT

V, ... pk = nmk

RT

V, (4.25)

parcijalni pritisci koji odgovaraju pojedinim komponentama smese.Uporedujuci (4.23) i (4.24) imamo

p = p1 + p2 + ...+ pk, (4.26)

sto uz (4.25) izrazava Daltonov zakon parcijalnih pritisaka: pritisak smesegasova jednak je zbiru parcijalnih pritisaka koji odgovaraju pojedinim kom-ponentama smese, pri cemu je parcijalni pritisak jednak pritisku koju bi datakomponenta imala ako bi sama zauzimala ukupnu zapreminu na konacnojtemperaturi smese.


4.5 Kalorimetrijska jednacina. Specificne toplote

Znamo da je za povisenje temperature nekog tela potrebno da mu sedovede neka kolicina toplote i obrnuto. Neka je Q kolicina toplote koju jepotrebno dovesti telu mase m da bi mu se temperatura povisila od t1 do t2.Vrednost za Q odreduje kalorimetrijska jednacina:

Q = mc (t2 − t1), (4.27)

gde je c specificni toplotni kapacitet (specificna toplota), koji zavisi od ma-terijala od koga je nacinjeno telo. Zbor reverzibilnosti termickih procesa,moze se reci i da je Q toplota koju treba oduzeti od tela mase m, nacinjenogod materijala specificne toplote c, da bi njegovu temperaturu snizili od t2do t1.

Osim specificnog toplotnog kapaciteta koji ima dimenziju

c [=]J

kgK=

J

kg C, (4.28)

definise se i toplotni kapacitet CT kao toplota dovedena telu za povisenjetemperature za jedan stepen (ili kao proizvod mase posmatranog tela i nje-govog specificnog toplotnog kapaciteta):

CT =Q

t2 − t1= mc [=]

J

K=

JC. (4.29)

Toplotni kapacitet jednog mola materijala naziva se molarni toplotni ka-pacitet C:

C =M c [=]J

Kmol=

JCmol

. (4.30)

Koristeci molarni toplotni kapacitet, kalorimetrisjkoj jednacini se mozedati i sledeci oblik:

Q = nmC (t2 − t1) (4.31)

O molarnom toplotnom kapacitetu cvrstih tela govori Dilon-Ptijevo pravilokoje kaze da molarni toplotni kapacitet bilo kog cvrstog tela iznosi priblizno25 kJ/molK.

Za razliku od cvrstih i tecnih tela koja imaju jedinstven specificni toplotnikapacitet, kod gasova postoje dva specificna toplotna kapaciteta, pa samimtim i dva molarna toplotna kapaciteta, u zavisnosti od toga da li se proces

4.6. Promene agregatnih stanja 163

promene temperature odvija u uslovima konstantnog pritiska ili konstantnezapremine4.

Specificni toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku oznacava se cp, aonaj pri konstantnoj zapremini cV . Odgovarajuce molarni specificni toplotnikapaciteti su Cp i CV . Na osnovu razmatranja baziranih na prvom principutermodinamike pokazuje se da je cp vece od cV , tj. zagrevanje gasa odvijase intenzivnije pri uslovu konstantne zapremine jer se tada sva dovedenakolicina toplote trosi na zagrevanje posto nema vrsenja rada od strane gasa(kao kod zagrevanja pri konstantnom pritisku). Izmedu specificnih toplotnihkapaciteta gasova postoje sledece relacije:

κ =cpcV

=Cp

CV; Cp − CV = R, (4.32)

gde je κ takozvana adijabatska konstanta.

4.6 Promene agregatnih stanja

Uocimo neko telo koje se nalazi na temperaturi t1 u cvrstom agregat-nom stanju (tacka O na slici 4.12). Posmatrajmo sada kako ce se menjatitemperatura tela u zavisnosti od dovedene kolicine toplote. Najpre cemoimati zagrevanje tela od pocetne temperature t1 do temperature topljenjatt (duz OA). Ovaj proces opisan je kalorimetrijskom jednacinom Q1 =mc(tt − t1), pa je koeficijent pravca duzi OA proporcionalan sa 1/c gdeje c specificni toplotni kapacitet materijala od koga je nacinjeno telo ucvrstom stanju. Kada se dostigne temperatura topljenja (ovde valja na-glasiti da posmatramo cvrsto telo u kristalnom obliku, jer kod amorfnih telatemperatura topljenja nije jasno definisana), kolicina toplote koja se daljedovodi trosi se iskljucivo na promenu agregatnog stanja tela, tj. na topljenje.Zbog toga se temperatura smese cvrstog i tecnog stanja datog materijalaodrzava konstantnom (duz AB). Kolicina toplote koja se utrosi na topljenjejednaka je Qt = Q2 − Q1. Nakon sto je celokupna masa tela promenilaagregatno stanje i postala tecna (tacka B), dalje dovodenje toplote ponovodovodi do povisavanja temperature sve do dostizanja temperature kljucanjatk (duz BC). Kolicina toplote koju telo prima pri ovom procesu data je

4Naravno, pri procesima promene stanja gasa moguci su i oni kod kojih do promenetemperature dolazi tako da se ni pritisak ni zapremina gasa ne odrzavaju konstantnim.Moze se pokazati da je tada dobijeni ekvivalentni specificni toplotni kapacitet (specificnatoplota) po svojoj vrednosti uvek izmedu vrednosti specificnih toplotnih kapaciteta prikonstantnoj zapremini i konstantnom pritisku.


kalorimetrijskom jednacinom ∆Q = Q3 − Q2 = mc′(tk − tt), pa je koefi-cijent pravca duzi BC proporcionalan sa 1/c′, gde je c′ specificni toplotnikapacitet datog materijala u tecnom stanju, koja se u opstem slucaju raz-likuje od specificnog toplotnog kapaciteta istog materijala u cvrstom stanjuc. Sada ponovo pocinje promena agregatnog stanja, isparavanje, tj. pret-varanje tecnog u gasovito stanje (duz CD), pri cemu se temperatura smesegasovitog i tecnog stanja ne menja. Nakon zavrsenog isparavanja (tackaD), na koje je utrosena kolicina toplote Qi = Q4−Q3, zapocinje proces za-grevanja materijala u gasovitom stanju (pare5), ponovo vazi odgovarajucakalorimetrijska jednacina, a koeficijent pravca duziDE koja odgovara datomprocesu proporcionalan je sa 1/c′′, gde je c′′ specificni toplotni kapacitetdatog materijala u gasovitom stanju (koja je u zavisnosti od vrste zagrevanjajednaka specificnoj toploti pri konstantom pritisku, pri konstantnoj zaprem-ini, ili nekoj ekvivalentnoj specificnoj toploti, videti fusnotu u odeljku 4.5.),i koja nije jednaka sa specificnim toplotnim kapacitetima istog materijala ucvrstom c i tecnom stanju c′.

A. .B

.C D.E

QQi

Qt

Q4

Q3Q

2Q1

tt

t1

tk

t

0

Slika 4.12. Temperature topljenja i kljucanja.

Citav proces pracenja izlomljene linije O−A−B−C−D−E moguc jei u obrnutom smeru, tj. E − D − C − B − A − O. U tom slucaju govo-rimo o oduzimanju toplote od tela, a zbog reverzibilnosti procesa promeneagregatnog stanja i zagrevanja-hladenja linija ostaje nepromenjena. Tadacemo umesto toplote isparavanja imati toplotu kondenzacije pri cemu vaziQisp = Qkon, a umesto toplote topljenja toplotu ocvrscavanja (Qtop = Qocv).

Promene agregatnih stanja nazivaju se i fazni prelazi6 Osim gore nave-denih, postoji i fazni prelaz kod koga se vrsi direktan prelaz iz cvrstog u

5Termin ”para” oznacava gasovito agregatno stanje neke supstance koja je na sobnojtemperaturi u cvrstom ili tecnom stanju.

6Mada je, strogo govoreci, pojam fazni prelaz opstiji. Deo sistema, cije su fizicke i

4.6. Promene agregatnih stanja 165

gasovito stanje (i obrnuto), koji se naziva sublimacija.Pokazuje se da je kolicina toplote koja je potrebna za izvodenje nekog

faznog prelaza proporcionalna masi datog tela. Zbog toga se ova toplota,koja se naziva i latentna (skrivena) toplota faznog prelaza (topljenja, ocvr-scavanja, isparavanja, kondenzacije), najcesce definise po jedinici mase, ipredstavlja karakteristiku materijala od koga je nacinjeno telo:

qFP =QFP

m. (4.33)

Isparavanje i kljucanje. Prelazak iz tecne u gasovitu fazu desava sei na temperaturama nizim od tacke kljucanja. Svi znamo da ce voda izmokrog vesa ispariti, tj. ves ce se osusiti, i bez kljucanja vode. Pri procesuisparavanja molekuli tecnosti napustaju slobodnu povrsinu tecnosti i prelazeu paru koja odlazi u prostor iznad povrsine tecnosti. Posmatrajmo najpreisparavanje u vakuumu.

Zamislimo sud u kome je vakuum i u koga smo uneli odredenu kolicinuneke tecnosti. Molekuli tecnosti prelazice u paru koja ce se lokalizovati usudu iznad tecnosti. Pritisak uzrokovan ovim molekulima naziva se pritisak(napon) pare. Paralelno sa procesom prelaska molekula iz tecnosti u parutece i obrnut proces u kome se molekuli iz pare vracaju u tecnost. Sve dokje pritisak pare nizi od odredene vrednosti, dominira prvi proces, tj, brojmolekula koji u jedinici vremena iz tecnosti prelaze u paru veci je od brojaonih koji se iz pare vracaju u tecnost. Kada pritisak pare dostigne vrednostkoja se naziva pritisak zasicene pare dolazi do ravnoteze izmedu procesaisparavanja i kondenzacije. Tada imamo uspostavljenu dvofaznu ravnotezuizmedu tecnosti i pare posmatranog fluida. Vrednost pritiska zasicene parenezavisan je od mase fluida i od zapremine koja joj stoji na raspolaganju, onzavisi samo od vrste fluida i temperature (raste sa porastom temperature).To je najvisi pritisak koji dati fluid moze imati u gasnom stanju. Ako seizvrsi sabijanje pare, doci ce do kondenzacije jer se njen pritisak ne mozevise povecati, a ako se izvrsi njena ekspanzija smanjuje joj se pritisak kojisada pada ispod vrednosti zasicenja, pa dolazi do dodatnog isparavanja.Dakle u vakuumu, (tj. u odsustvu atmosfere), nema pojave kljucanja.

Posmatrajmo sada proces isparavanja u atmosferi (tj. u prisustvu jednoggasa ili pak neke smese gasova). Osnovna razlika u odnosu na isparavanjeu vakuumu je to sto je ono puno sporije. Molekuli posmatranog fluida

hemijske osobine jednake, u svakoj elementarnoj zapremini, naziva se fazom. Sistemi kojise sastoje samo od jedne faze nazivaju se homogeni (npr. kristal soli), a oni koji se sastojeod dve ili vise faza heterogeni (npr. smesa leda i vode).


nakon prelaza u paru mesaju se sa molekulima gasova atmosfere. Ukolikoje sud zatvoren, pritisak u gasu na osnovu Daltonovog zakona postaje jed-nak zbiru atmosferskog pritiska pa i parcijalnog pritiska pare pp. Kada ppdostigne vrednost pritiska zasicenja pzp, nastaje ravnoteza i kazemo da jevazduh u sudu zasicen. Ako je pak sud otvoren, onda dolazi do difuzi-je molekula pare u atmosferu, pa se uspostavlja neki ravnotezni gradijentkoncentracije molekula pare, pri cemu je najveca koncentracija uz samupovrsinu tecnosti. U ovom slucaju nema zaustavljanja procesa isparavanjasve dok se ”celokupna atmosfera” ne zasiti.

Sta se desava kada tecnost u sudu zagrevamo? Zagrevanjem tecnostipovecava se kineticka energija molekula a samim tim i broj onih koji na-pustaju tecnost i prelaze u paru. Samim tim raste i temperatura pare uoblasti neposredno iznad povrsine tecnosti, pa raste i pritisak zasicenja.Onog trenutka kada pritisak zasicenja pare postane jednak atmosferskompritisku, dolazi do kljucanja koje se manifestuje pojavom mehurica parekoji se odvajaju od toplog zida, rastu penjuci se kroz tecnost i izbijajuna slobodnu povrsinu. Dakle, kljucanje je u stvari vid burnog isparavanja.Ako je atmosferski pritisak konstantan, temperatura pare ostaje konstantnau blizini povrsine kljucajuce tecnosti. Ta temperatura predstavlja temper-aturu kljucanja tecnosti tk pod pritiskom gasovite atmosfere koja se nalaziiznad nje. Jasno je da temperatura kljucanja zavisi od atmosferskog pritiska,i utoliko je visa ukoliko je pritisak visi.

4.7 Dijagram stanja. Trojna tacka

U prethodnom odeljku videli smo da je temperatura kljucanja zavisna odvrednosti pritiska. Slicno vazi i za temperaturu topljenja. Ako sada na jed-nom p− T dijagramu nacrtamo zavisnost temperatura topljenja i kljucanjaod pritiska, dobicemo linije AB i AC, respektivno (slika 4.13). Ove linijeodvajaju oblasti cvrste od tecne, odnosno tecne od gasovite faze. LinijaOA predstavlja liniju sublimacije (tj. zavisnost temperature sublimacije odpritiska), i ona razdvaja cvrstu od gasovite faze. Fazni prelazi odgovarajuprelazima iz jedne u drugu oblast. Ako se prelaz odvija pri konstantnom pri-tisku, onda je on opisan horizontalnom linijom u ovom p−T dijagramu. Saslike 4.13 vidimo da ce se u slucaju dovoljno niskog pritiska prelaz iz cvrstogu gasovito stanje odigrati direktno, dok se na visim pritiscima javljaju dvaprelaza, iz cvrstog u tecno, i iz tecnog u gasovito stanje.

Tacka u kojoj postoji ravnoteza sve tri faze naziva se trojna tacka. Za

4.8. Van der Valsova jednacina. Kondenzacija realnih gasova 167

.

. .èvrstostanje

subli

mac

ija

topl

jenj

e

gas(para)

teènost

kl juèanje

konden

zacijaC

B

A

T

p

oèvr

šæav

an

jeSlika 4.13. Dijagram stanja.

vodu ova tacka ima koordinate tA = 0.01C i pA = 133, 42 Pa.

4.8 Van der Valsova jednacina stanja za realnegasove. Kondenzacija realnih gasova

Vec je bilo reci o tome da se ponasanje realnih gasova moze opisati mode-lom idealnog gasa ako su oni dovoljno razredeni, tj. pod niskim pritiscima(daleko od prelaza u tecno stanje). Za tacnije opisivanje realnih gasova,potrebno je uvesti korekcije zbog efekata koji nisu ukljuceni u model ide-alnog gasa. Postoji vise empirijskih i empirijsko-teoretskih jednacina kojeto pokusavaju da urade, a najpoznatija od njih je van der Valsova jednacinastanja koja ima oblik:

(

p+an2mV 2

)

(V − nm b) = nmRT (4.34)

Uporedujuci van der Valsovu jednacinu stanja za realne gasove sa jednacinomstanja idealnog gasa (4.14) uocavamo da u van der Valsovoj jednacini pos-toje dve korekcije:• an2m/V 2 - clan koji karakterise smanjenje pritiska uzrokovano postojanjemmedumolekularnih sila;• nm b - clan koji karakterise smanjenje efektivne zapremine zbog uracuna-vanja dimenzija molekula gasa.

Iako van der Valsova jednacina daje tacnije opisivanje realnih gasova uodnosu na jednacinu stanja idealnog gasa, ponasanje realnih gasova ponekadodstupa i od onog predvidenog ovom jednacinom. Na slici 4.14 prikazane

168 Glava 4. Toplota

p

V

T1

T2

T3

T1

T2

T3< <

Slika 4.14. Izoterme realnihgasova prema van der Valso-voj jednacini.

Vk

Tk

pk

p

K

V

te nostè

gas

te nost sazasi enom parom

è

æ

nezasi napara

æe

.

Slika 4.15. Eksperimentalno odredene izotermerelanih gasova.

su izoterme dobijene Van der Valsovom jednacinom, a na slici 4.15 izotermerealnih gasova dobijene eksperimentalno. Sa slike 4.15 je uocljivo da je zavisoke temperature ponasanje realnih gasova identicno sa idealnim, izotermesu hiperbole. Medutim, pocevsi od neke temperature Tk, koja se nazivakriticna temperatura, izoterme se menjaju i dobijaju jedan horizontalni deo,koji je utoliko duzi, ukoliko je temperatura niza. Ovaj horizontalni deoizotermi odgovara procesu kondenzacije. Tada se usled sabijanja, u uslovimakonstantnog pritiska i temperature, vrsi pretvaranje gasa u tecnost. Nakonsto celokupna kolicina gasa prede u tecnost, daljim sabijanjem dolazi donaglog rasta pritiska jer su tecnosti prakticno nestisljive.

Tabela 4.2. Koordinate kriticnih tacaka za pojedine gasove.

Gas Tk (K) pk (Pa) Vk (l/mol)

He 5.3 2.26 · 105 0.0578

H2 33.3 1.28 · 106 0.0650

O2 154.4 4.97 · 106 0.0744

N2 126.1 3.35 · 106 0.0901

CO2 304.2 7.28 · 106 0.0942

Kriticna tacka definise kriticnu temperaturu, kriticni pritisak i kriticnuzapreminu. Na temperaturama visim od kriticne nije moguce izvrsiti kon-denzaciju realnog gasa. U tabeli 4.2 prikazani su podaci o kriticnim tem-peraturama, pritiscima i zapreminama za razlicite gasove.

Poglavlje 5

Jednosmerne i naizmenicnestruje

5.1 Intenzitet i gustina struje

Elektricna struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanja. Pokret-ljiva naelektrisanja koja mogu obrazovati elektricnu struju su elektroni kaoi pozitivni i negativni joni.

Uzrok kretanja naelektrisanja je postojanje razlike potencijala, tj. na-pona U1 izmedu dve posmatrane tacke, odnosno, u konacnom, elektricnogpolja u prostoru u kome se ostvaruje kretanje. Ukoliko se posmatraju sta-cionarne struje, tj. one koje se u toku vremena ne menjaju, onda je uzroknastanka ovih struja stacionarno elektricno polje. Za njegovo odrzavanjeneophodno je stalno trosenje energije.

Struja se moze obrazovati u cvrstim, tecnim i gasovitim sredinama, ali iu vakuumu2. Prema karakteru provodenja struje razlikujemo struju u meta-lima (tj. provodnicima) gde su za provodenje odgovorni slobodni elektroni,i struju u poluprovodnicima gde je mehanizam provodenja struje kompliko-vaniji, i u kome ucestvuju elektroni i tzv. supljine. Da bi struja mogla datece kroz tecnosti neophodno je postojanje jona, a oni se najcesce ostvarujuformiranjem rastvora supstanci koje mogu da disosuju. Ovakvi rastvorinazivaju se elektroliti. U gasovima se jonizacija atoma gasa radi stvaranja

1Elektricni napon U predstavlja razliku elektricnih potencijala izmedu dve tacke, tj.U = V1 − V2.

2Vakuum moze biti fizicki i tehnicki. U fizickom vakuumu nema nikakvih cestica, a utehnickom je njihova koncentracija vrlo mala. Ovde se misli na tehnicki vakuum.

169

170 Poglavlje 5. Jednosmerne i naizmenicne struje

elektrona i jona potrebnih za proticanje struje ostvaruje ili dejstvom nekogspoljasnjeg jonizatora, ili samim sudarnim procesima u gasu. Dobijanjeelektrona kao naelektrisanih cestica za formiranje struje u vakuumu obavljase termojonskom ili fotoemisijom iz metalne katode. Na ovom principu radetzv. elektronske (vakuumske) cevi.

Osnovna velicina koja karakterise elektricnu struju je jacina (intenzitet)elektricne struje I. Ona se definise kao kolicina naelektrisanja koja u jedinicivremena protekne kroz poprecni presek provodnika, a jedinica joj je amper(A):

I =Q

t[=]

C

s= A. (5.1)

Ako se intenzitet struje menja u toku vremena onda se on definise kaodiferencijalni kolicnik:

i =dq

dt(5.2)

U ovom poglavlju cemo usvojiti dogovor da se sve vremenski promenljivevelicine oznacavaju malim slovima.

Smer struje definisan je, jos pre otkrica nosilaca struje, kao smer kre-tanja pozitivnih naelektrisanja. Ovaj smer naziva se tehnicki smer struje.Medutim, u metalima gde su slobodni nosioci koji cine struju elektroni,dakle negativno naelektrisane cestice, smer kretanja naelektrisanih cesticaje suprotan, i naziva se fizicki smer struje.

Druga vazna fizicka velicina koja definise proticanje struje je gustinastruje. Najjednostavnija definicija gustine struje je da je ona jednaka jacinistruje kroz jedinicni presek provodnika, tj. jednaka je kolicini naelektrisanjakoja u jedinici vremena protekne, sada ne kroz bilo koji, vec upravo jedinicnipresek provodnika:

J =I

S=

Q

tS[=]

A

m2, (5.3)

a odgovarajuca jedinica je amper po kvadratnom metru. Ova jednostavnadefinicija pretpostavlja da je gustina struje konstantna u svim tackamapoprecnog preseka provodnika kao i da je pravac kretanja naelektrisanihcestica upravan na poprecni presek. Tacnija definicija je da je gustina strujevektor ciji je fluks po povrsini poprecnog preseka provodnika jednak inten-zitetu struje. Da bi stekli intuitivnu sliku ove definicije posmatrajmo najpreslucaj kada je pravac kretanja naelektrisanja upravan na povrsinu poprecnogpreseka, ali je broj naelektrisanih cestica nehomogeno rasporeden po njemu.U tom slucaju mozemo povrsinu poprecnog preseka S podeliti na n delova∆Sk (k = 1, 2, ..., n) tako da mozemo smatrati da u okviru svakog dela

5.1. Intenzitet i gustina struje 171

Si postoji homogeno proticanje struje. Tada se ukupna jacina struje krozprovodnik (koja u najopstijem slucaju moze biti i vremenski promenljiva)moze napisati kao

i =n∑

k=1

jk ·∆Sk, (5.4)

gde je jk konstantna gustina struje kroz delic povrsine ∆Sk. Ako sadapustimo da n → ∞, sume iz izraza 5.4 preci ce u povrsinski integral popovrsini S

i =

∫

Sj dS. (5.5)

Ako sada nacinimo korak dalje i pretpostavimo da pravac kretanja naelek-trisanja nije upravan na poprecni presek provodnika (kao sto se to mozedesiti npr. u anizotropnim kristalnim sredinama), onda za odredivanje in-tenziteta struje treba uzeti samo komponentu protoka naelektrisanja kojaje upravna na povrsinu. To se izvodi na taj nacini sto se definisu vektoripovrsine ~∆Sk ciji je intenzitet brojno jednak vrednosti povrsine ∆Sk i kojije upravan na nju, kao i vektori gustine struje ~jk ciji se pravci poklapajusa pravcem kretanja naelektrisanja. Sada se jednacina (5.4) svodi na sumuskalarnih proizvoda

i =n∑

k=1

~jk ·−→∆Sk, (5.6)

a povrsinski integral (5.5) postaje sada fluks vektora gustine struje ~j:

i =

∫

S

~j · −→dS. (5.7)

Rezimirajuci do sada uvedene velicine, mozemo formirati tabelu 5.1.

Tabela 5.1. Karakteristicne transportne velicine za proticanje elektricne struje.

Transportni proces Elektricna struja Jedinica

Skalarna velicinakoja se transportuje Naelektrisanje q C

Fluks Intenzitet elektricne struje i A

Vektor gustine fluksa Gustina struje ~j A/m2


5.2 Omov zakon. Elektricna provodnosti otpornost

Ako posmatramo neki provodnik, na cijim krajevima se meri napon U ,onda se moze pokazati da je jacina struje kroz provodnik proporcionalnanaponu:

I = GU. (5.8)

Faktor proporcionalnosti G naziva se elektricna provodnost provodnika, aizraz (5.8) predstavlja Omov zakon. Ako se uvede elektricna otpornostprovodnika R kao reciprocna vrednost elektricne provodnosti, onda se Omovzakon moze napisati i kao:

R =1

G⇒ I =

U

R. (5.9)

Svi provodnici konacne provodnosti (R > 0), tj, oni na cijim se krajevimamoze izmeriti ”pad napona” U , nazivaju se otpornici. Jedinice za elektricnuotpornost i provodnost su om i simens, respektivno:

R [=]V

A= Ω, G [=]

A

V= S. (5.10)

Otpornost nekog metalnog provodnika moze se izraziti kao:

R = ρl

S, (5.11)

gde je ρ specificna otpornost materijala od koga je nacinjen provodnik, lnjegova duzina i S povrsina poprecnog preseka.

Ako uvedemo specificnu provodnost σ, kao σ = 1/ρ, onda se za provod-nost nekog provodnika moze pisati:

G = σS

l(5.12)

Napisimo sada Omovog zakon za metalni provodnik u obliku

I = σS

l(V1 − V2) = σ

S

lU, (5.13)

odakle se za proteklu kolicinu naelektrisanja Q u vremenu t moze napisati

Q = I · t = σS

l(V1 − V2) t. (5.14)

5.3. Dzulov zakon. Snaga elektricne struje 173

Deljenjem jednacine (5.13) sa povrsinom S za gustinu struje dobijamo:

J = σV1 − V2

l= σ E (5.15)

gde je E jacina stacionarnog elektricnog polja unutar provodnika. Izraz(5.15) naziva se Omov zakon u lokalnom obliku.

Nadeno je da specificna otpornost nekog otpornika zavisi od temperaturepo linearnom zakonu:

ρ = ρ0 (1 + α t), (5.16)

gde je ρ0 specificna otpornost na 0C, t temperatura izrazena u C, a αtemperaturski koeficijent koji je kod metala najcesce veci od nule, tj. saporastom temperature raste i specificna otpornost.

5.3 Dzulov zakon. Snaga elektricne struje

Posmatrajmo otpornik na cijim krajevima su razliciti potencijali Va i Vb,tj. moze se izmeriti napon U = Va − Vb (slika 5.1)

Rad koji se izvrsi pri premestanju

U+

I

. .a b

aVb

V

Slika 5.1. Optereceni otpornik.

naelektrisanja dq sa jednog kraja na drugikraj otpornika je:

dA = (Va − Vb) dq = U I dt. (5.17)

Ovaj rad se u potpunosti pretvara utoplotuQJ , koja se naziva toplota Dzulovih gubitaka. Sada se moze definisatii snaga Dzulovih gubitaka PJ :

dQJ = dA = U I dt, PJ =dA

dt= U I. (5.18)

Koristeci Omov zakon mogu se dobiti i alternativni izrazi za snagu itoplotu Dzulovih gubitaka:

PJ = U I = RI2 =U2

R, QJ = U I t = RI2 t =

U2

Rt. (5.19)

Jedinica za rad, odnosno toplotu Dzulovih gubitaka je dzul, a za snaguvat:

A = QJ [=] J, P [=]J

s= W. (5.20)

Osim dzula, u praksi se za rad elektricne struje koristi i prakticna jedinica- kilovatcas: 1 kWh = 3.6MJ.


5.4 Elementi elektricnih kola stalne jednosmernestruje

Skup objekata i sredina koja obrazuju zatvoren put elektricne struje zovese elektricno kolo. Ukoliko kroz sve elemente nekog kola protice ista strujatakvo kolo se naziva prosto kolo. Za razliku od prostog, kroz slozeno koloprotice vise razlicitih struja. Svaki deo slozenog kola, kroz koji protice jednastruja naziva se grana. Tacka u kojoj se spajaju tri ili vise grana naziva secvor. Moze se zakljuciti da prosto kolo nema cvorove.

5.4.1 Generatori

Da bi se u kolu odrzavala stacionarna elektricna struja, mora posto-jati nekakav mehanizam koji je u stanju da u jednom delu kola pomerapokretljiva naelektrisanja nasuprot sila stacionarnog elektricnog polja. Ova-kav mehanizam poseduju elektricni izvori, tj. generatori.

Generatori mogu biti:

• hemijski: akumulatori (celicni, olovni), galvanski elementi (suvi, vlazni);

• mehanicki (npr. dinamo masine);

• termicki (npr. termoelementi);

• svetlosni (npr. fotoelementi);

Dve osnovne karakteristike genera-

E R, g

E

Rg+

+-

-

Slika 5.2. Generator elektromotor-ne sile E i unutrasnje otpornosti Rg,dva nacina prikazivanja.

tora su elektromotorna sila E i unut-rasnja otpornost Rg (ili r) (slika 5.2).

Elektromotorna sila (ems) nekog ge-neratora se definise kao kolicnik radadA koji izvrsi generator kada kroz njegaprotekne kolicina naelektrisanja dq i togsamog naelektrisanja:

E =dA

dq. (5.21)

Ems se moze meriti kao potencijalna ra-zlika izmedu pozitivnog i negativnog prikljucka generatora kada je ovaj upraznom hodu (tj. kada na njega nije prikljucen nikakav potrosac).

5.4. Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje 175

Unutrasnja otpornost generatora posledica je konacne specificne pro-vodnosti dela strujnog kola kroz generator. U generatoru zbog toga dolazido Dzulovog efekta cija je snaga Pg J srazmerna kvadratu struje, pa se un-utrasnja otpornost generatora Rg definise kao

Rg =Pg J

I2. (5.22)

Snaga generatora moze se odrediti kao:

dA = E dq = E I dt ⇒ Pg =dA

dt= E I. (5.23)

Posto struja kroz generator za-

E R, g+

- R

I

U

+

Slika 5.3. Kolo generatora i potrosaca.

visi od opterecenja potrosaca

I =E

R+Rg, (5.24)

snaga generatora postaje

Pg = E I =E2

R+Rg. (5.25)

Napon na krajevima opterecenog generatora manji je od napona neop-terecenog generatora zbog postojanja unutrasnje otpornosti generatora:

U = E −Rg I. (5.26)

Snaga potrosaca moze se izraziti kao:

PR = RI2 =RE2

(R+Rg)2= Pg

R

Rg +R. (5.27)

Stepen korisnog dejstva sistema generator-potrosac η moze se izraziti nasledeci nacin:

η =PR

Pg=

R

Rg +R. (5.28)

Stepen korisnog dejstva je veci ukoliko je Rg manje, i u granicnom slucajuRg = 0 on ima maksimalnu vrednost η = 1. Naravno, uslov Rg = 0 se upraksi ne moze nikada ostvariti, ali je insistiranje na sto vecem stepenu ko-risnog dejstva od fundamentalnog znacaja u elektroenergetskim sistemima.


E r,

E r, E r,E r,

E r,

E r,

R R

I

I

Slika 5.4. Redna i paralelna veza identicnih generatora.

Posmatrajmo sada n redno vezanih identicnih generatora E1 = E2 =... = En = E, Rg1 = Rg2 = ... = Rgn = r. Struja koju daje ova redna vezageneratora kroz potrosac otpornosti R je

I =nE

R+ nr=

ER

n+ r

. (5.29)

U slucaju paralelne veze ovih generatora, struja kroz potrosac je

I =E

R+r

n

(5.30)

5.4.2 Otpornici

Elementi elektricnih kola konstruisani tako da u njih unesu odredenuotpornost, koja je velika u odnosu na otpornost veza i kontakata, nazivajuse otpornici3. Delovi kola cija se otpornost moze zanemariti oznacavaju sepunim linijama.

Potrazimo sada ekvivalentnu otpornost redne veze n otpornika (slika5.5): Napon redne veze jednak je zbiru napona na pojedinim otpornicima:

U = U1 + U2 + ...+ Un, (5.31)

3Otpornik se moze definisati i kao element koji materijalizuje fizicku velicinu koja senaziva elektricna otpornost.


U

I

Un

Rn

U2

U1

R2

R1

+

+ + +

Slika 5.5. Redna veza otpornika.

a napon na svakom otporniku se po Omovom zakonu moze napisati kaoproizvod njegove otpornosti i vrednosti jacine struje koja protice kroz rednuvezu:

U1 = R1 I, U2 = R2 I, ... , Un = Rn I. (5.32)

Na taj nacin napon redne veze postaje

U = (R1 +R2 + ...+Rn) I, (5.33)

pa se za ekvivalentnu otpornost redne veze otpornika konacno dobija

Re =U

I= R1 +R2 + ...+Rn =

n∑

i=1

Ri. (5.34)

U slucaju paralelne veze (slika 5.6), na slican

U

Rn

I1

R2

R1

+

I2

In

I I

Slika 5.6. Paralelna veza ot-pornika.

nacin, dobija se da je ukupna struja koja proticekroz paralelnu vezu otpornika jednaka zbirusvih pojedinacnih struja koje proticu kroz po-jedine otpornike:

I = I1 + I2 + ...+ In, (5.35)

pri cemu se svaka od tih struja izrazava prekoOmovog zakona

I1 =U

R1, I2 =

U

R2, ... In =

U

Rn(5.36)

pa se za ukupnu struju dobija

I = U

(

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn

)

. (5.37)


Na taj nacin, reciprocna vrednost ekvivalentne otpornosti paralelne vezeotpornika postaje

1

Re=I

U=

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn=

n∑

i=1

1

Ri. (5.38)

Za slucaj dva paralelno vezana otpornika vazi:

1

Re=

1

R1+

1

R2⇒ Re =

R1R2R1 +R2

(5.39)

5.4.3 Ampermetri

Instrumenti koji sluze za merenje jacine elektricne struje nazivaju seampermetri. U slucaju vrlo malih jacina stalne jednosmerne struje koristise specijalna vrsta ampermetara koji su vrlo osetljivi i koji se nazivajugalvanometri. U elektricnim kolima ampermetri se ponasaju kao otpor-nici. Ukoliko je otpornost ampermetra manja, utoliko on manje utice naraspodelu struja i napona u kolu, odnosno, merenje je tacnije. Idealni am-permetar ima unutrasnju otprornost jednaku nuli Ra = 0. Ampermetar seu kolu vezuje redno sa elementom kroz koji protice struja koju zelimo daizmerimo, slika 5.7.

AI

RRa

Slika 5.7. Ampermetar i potrosac cija se struja meri.

Svaki ampermetar okarakterisan je osim unutrasnje otpornosti Ra i mak-simalnom strujom koju on moze da meri a da ne dode do njegovog ostecenjaImax. Prosirenje mernog opsega ampermetra (tj. povecavanje maksimalnestruje koju on moze da meri) moze se postici vezivanjem nekog otpornikaparalelno sa ampermetrom (slika 5.8). Ovaj otpornik cesto se naziva sant,a sama realizacija santiranje.

Potrazimo sada potrebnu vrednost santa, ako zelimo da merni opsegampermetra povecamo n puta:

n =I ′max

Imax, (5.40)


A

R

Ra

Rs

Imax

I’maxI’max

Is

Ua+

Slika 5.8. Prosirenje mernog opega ampermetra.

i koristeci Is = I ′max − Imax i Ua = Ra Imax = Rs Is za otpornost santadobijamo

Rs =Ra

n− 1. (5.41)

Vidimo da je za prosirenje mernog opsega ampermetra n puta potrebnovezivanje paralelnog otpornika priblizno n puta manjeg (za n À 1) odunutrasnje otpornosti ampermetra. Ako potrazimo ekvivalentnu otpornostsantiranog ampermetra:

Rekv =RaRs

Ra +Rs=Ra

n, (5.42)

vidimo da se santiranjem osim povecanja mernog opsega postize i boljaidealizacija ampermetra, tj. smanjuje se njegova unutrasnja otpornost.

5.4.4 Voltmetri

Instrumenti koji sluze za merenje na-

V

R

Rv

+Umax

Slika 5.9. Voltmetar i potrosac cijise napon meri.

pona nazivaju se voltmetri. U elektricnimkolima voltmetri se takode ponasaju kaootpornici, ali velike otpornosti. Ukolikoje otpornost voltmetra veca, utoliko onmanje utice na raspodelu struja i naponau kolu, tj. merenje je tacnije. Idealnivoltmetar ima beskonacnu unutrasnju ot-prornost Rv → ∞. Voltmetar se u koluvezuje paraleleno sa elementom ciji naponzelimo da izmerimo (slika 5.9).

Kao i ampermetar, i voltmetar se osim unutrasnje otpornosti Rv karak-terise jos jednim parametrom, maksimalnim naponom koji moze da izmeri a


da ne dode do njegovog ostecenja Umax. Prosirenje mernog opsega voltmetra(tj. povecavanje maksimalnog napona koji on moze da meri) moze se posticivezivanjem nekog otpornika redno sa voltmetrom, kao sto je prikazano naslici 5.10. Potrazimo sada potrebnu vrednost toga otpornika ako zelimo damerni opseg voltmetra povecamo n puta:

n =U ′max

Umax, (5.43)

i koristeci Iv = U ′max/(Rs +Rv) = Umax/Rv, dobijamo:

Rs = (n− 1)Rv. (5.44)

V

R

RvRs

+

+Umax

U’max

Iv

Slika 5.10. Prosirenje mernog opsega voltmetra.

Moze se uociti da je za prosirenje mernog opsega voltmetra n putapotrebno vezivanje rednog otpornika priblizno n puta veceg (za n À 1)od unutrasnje otpornosti voltmetra. Ekvivalentna otpornost voltmetra saprosirenim opsegom ce biti:

Rekv = Rv +Rs = nRv, (5.45)

pa se uz sirenje mernog opsega istovremeno postize povecanje njegove ukupneotpornosti, cime se ostvaruje i veca tacnost merenja.

5.5 Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovizakoni

Za odredivanje struje u prostom kolu koristi se Omov zakon za prostokolo, koji izrazava cinjenicu da je struja u kolu jednaka kolicniku algebarske

5.5. Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni 181

R3

R1

R2

E r,1 1

33E r,

22E r,

I

Slika 5.11. Primer prostog kola.

sume svih elektromotornih sila prisutnih generatora i sume svih otpora ukolu. Na primer, za kolo sa slike 5.11, mozemo pisati:

I =

m∑

i=1

Ei

n∑

j=1

Rj

=E1 + E2 − E3

r1 +R3 + r2 +R2 + r3 +R2(5.46)

Smer struje odreduje se na sledeci nacin: najpre se pretpostavi i usvojiproizvoljni, tzv. referentni smer struje, u odnosu na koji se pise algebarskizbir elektromotornih sila, tako da se vrednost elektromotorne sile uzima saznakom plus ako referentna struja ulazi u negativan pol, a izlazi iz pozitivnogpola generatora; u suprotnom, ems se u algebarski zbir stavlja sa negativnimznakom; na kraju, primeni se obrazac (5.46) i sracuna struja; ukoliko je onapozitivna stvarni smer struje poklapa se sa referentnim; ukoliko je pak strujanegativna to znaci da je stvarni smer struje suprotan od referentnog.

Napon izmedu bilo koje dva tacke u kolu moze se odrediti tako da se alge-barski saberu svi padovi napona i elektromotorne sile koje postoje izmedu tedve tacke. Padovi napona na otpornicima uzimaju se sa pozitivnim znakomukoliko struja kroz posmatrani otpornik tece u smeru od pocetne prema kra-jnoj tacki. Sto se tice elektromotornih sila, njihov znak u algebarskoj sumiodreden je onim krajem koji je okrenut prema polaznoj (pocetnoj) tacki,tj. ukoliko pri kretanju od pocetne prema krajnjoj tacki naidemo najprena pozitivan pol izvora njegova ems uzima se sa znakom plus, a ako najprenaidemo na negativan kraj onda se i ems uzima sa negativnim znakom. Na


primer, napon Uab na slici 5.12, bice:

Uab = −E1 + r1 I + E2 + r2 I +RI = −E1 + E2 + I (r1 + r2 +R). (5.47)

R

E r,1 1 22

E r,

. .a b

I

Slika 5.12. Napon izmedu dve tacke u kolu.

Kirhofovi zakoni odnose se na slozena kola. I Kirhofov zakon govori ostrujama jednog cvora i kaze da je zbir svih struja koje uticu u cvor jednakzbiru onih struja koje iz njega isticu, ili, iskazano drugim recima, algebarskizbir struja u jednom cvoru jednak je nuli, pri cemu se struje koje ulaze ucvor uzimaju sa pozitivnim, a one koje izlaze sa negativnim znakom.

II Kirhofov zakon pise se za jednu konturu. Kontura predstavlja zat-voreni put koji prolazi kroz deo kola koga cini odredeni broj grana koje senadovezuju jedna na drugu. II Kirhofov zakon glasi: algebarski zbir elek-tromotornih sila jednak algebarskom zbiru padova napona na otpornicima,tj. algebarskom zbiru proizvoda jacina struja i otpornosti. Posto svakakontura predstavlja generalizaciju prostog kola sa mogucnoscu da razlicitielementi imaju razlicite struje (jer su iz razlicitih grana), formiranje alge-barske sume ems odgovara onom pri pisanju Omovog zakona za prosto kolo.Sto se tice algebarske sume padova napona na otpornicima, kriterijum zaodredivanje znaka u algebarskoj sumi je poklapanje smera struje kroz ot-pornik sa smerom obilazenja po konturi: + ako se ova dva smera poklapaju,i − ako su razlicita. Pisanje Kirhofovih zakona bice ilustrovano u nailazecemprimeru.

Kirhofovi zakoni mogu posluziti za resavanje slozenih kola. Kod slozenihkola broj nepoznatih struja je jednak broju grana slozenog kola. Posmatra-jmo kolo koje ima n cvorova i m grana. Tada imamo m nepoznatih struja,ukoliko se pretpostavlja da su poznate sve ems i svi otpori u kolu. Dabi odredili m nepoznatih struja, potrebno nam je m nezavisnih jednacina.Posto je oblik I Kirhofovog zakona matematicki jednostavniji, pozeljno jenapisati sto vise nezavisnih jednacina po I Kirhofovom zakonu. Posto iman cvorova, ima i n jednacina po I Kirhofovom zakonu, od kojih je n − 1nezavisno. Prema tome, preostaje da se preostalih m − n + 1 jednacinanapise za m− n+1 proizvoljnih kontura u kolu, pri cemu je uslov da svaka

5.5. Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni 183

E r,33

E r,11

66E r,

22E r,44

E r,

55E r,

R3

R1

R4

R2

R5

I1

I5

I6

I3

A . . .CD

B.

I

III

II

Slika 5.13. Primer slozenog (razgranatog) kola.

od izabranih kontura sadrzi bar jednu granu koju druge izabrane konturene sadrze.

Proucimo sada ovaj algoritam na slucaju kola prikazanog na slici 5.13.Dato kolo ima n = 4 cvora (A, B, C, D) i m = 6 grana (AB, BC, CA,BD, AD, CD). U kolu cemo najpre proizvoljno postaviti referentne smerovestruja. Zatim cemo napisati n − 1 = 3 jednacine po I Kirhofovom zakonuza tri proizvoljna cvora, npr. za A, B, i C:

A : I3 = I1 + I5, (5.48)

B : I1 + I4 = I2, (5.49)

C : I2 = I3 + I6. (5.50)

Ove jednacine treba dopuniti sa jos m − 3 = 3 jednacine napisane po IIKirhofovom zakonu za tri proizvoljne konture. Izaberimo konture kao ABDA(I kontura), BCDB (II kontura) i ADCA (III kontura) pri cemu samo Ikontura sadrzi granu AB, samo II kontura granu BC, a samo III konturagranu CA. Jednacine po II Kirhofovom zakonu za ove konture glase:

I : E1 − E4 − E5 = (r1 +R1) I1 − (R4 + r4) I4 − (R5 + r5) I5, (5.51)

II : E2 + E6 + E4 = (R2 + r2) I2 + (r6 +R6) I6 + (r4 +R4) I4 (5.52)

III : E5 − E6 + E3 = (r5 +R5) I5 − (R6 + r6) I6 + (R3 + r3) I3. (5.53)

Sistem jednacina (5.48)-(5.53) predstavlja sistem od 6 linearnih jednacina sa


6 nepoznatih struja koji se sada moze resiti nekim od matematickih metoda(pomocu determinanti, Gausovim algoritmom ili metodom zamene).

5.6 Vitstonov most

Vitstonov most predstavlja razgranato elektricno kolo sastavljeno odotpornika, izvora struje i mernog instrumenta. Pomocu njega se veomatacno i na jednostavan nacin moze izmeriti nepoznati otpor nekog otpornika.

Sema Vitstonovog mosta pri-

A

B

C

D

I3

31

1

2

2I 4

4

Ig

Slika 5.14. Vitstonov most.

kazana je na slici 5.14 OtporniciR1, R2, R3 i R4 vezani su u zatvo-reno kolo tako da cine jedan cet-vorougao, pri cemu se svaki od ot-pornika nalazi u jednoj stranici cet-vorougla. Izmedu tacaka A i D, nadijagonali cetvorougla koja se na-ziva dijagonala napajanja, vezanje izvor struje elektromotorne sileE. U drugoj dijagonali BC, kojase naziva merna dijagonala, vezanje galvanometar G cime se cetvor-ougao premoscuje, te otuda i poti-ce ime most. Promenom vrednostiotpora moze se podesiti da tackeB i C budu na istom potencijalu,

pa kroz galvanometar ne protice struja. Za ovakvu situaciju kazemo dapredstavlja most u ravnotezi.

Potrazimo sada uslov ravnoteze mosta. Vitstonov most predstavlja raz-granato kolo sa m = 4 cvora i n = 6 grana. Napisimo dakle n−m+ 1 = 3jednacine po prvom i m − n + 1 = 3 jednacine po drugom Kirhofovomzakonu:

A : I = I1 + I2 (5.54)

B : I1 = Ig + I3 (5.55)

C : I2 + Ig = I4 (5.56)

ABCA : R1I1 +RgIg −R2I2 = 0 (5.57)

BCDB : RgIg +R4I4 − I3R3 = 0 (5.58)

ABDA : R1I1 +R3I3 = E. (5.59)

5.7. Naizmenicne struje 185

Posto je nas cilj da odredimo struju kroz galvanometar Ig, ovaj sistem rangar = 6 moze se svesti na sistem ranga r = 3 time sto ce se iz druge jednacineizraziti I3 a i iz trece I4 pa se one zamene u poslednje tri:

R1I1 +RgIg −R2I2 = 0 (5.60)

RgIg +R4(I2 + Ig)−R3(I1 − Ig) = 0 (5.61)

R1I1 +R3(I1 − Ig) = E. (5.62)

Resavanjem ovog sistema za Ig se dobija

Ig = ER2R3 −R1R4

Rg(R1 +R3)(R2 +R4) + (R1 +R2)R3R4 +R1R2(R3 +R4),

(5.63)pa se za uslov ravnoze mosta (Ig = 0) dobija

R1R4 = R2R3. (5.64)

Iz jednacine (5.64) moguce je odrediti jedan nepoznati otpor ako su poznatapreostala tri. Npr.

R1 =R2R3R4

. (5.65)

Vitstonov most se cesto koristi kao merni instrument za merenje otpornostiali i neelektricnih velicina4.

5.7 Naizmenicne struje

Elektricna struja cija se jacina i smer periodicno menjaju sa vremenomnaziva se naizmenicna struja. Naizmenicne struje i naizmenicne naponeoznacavamo malim slovom:

i = I0 sin(ωt+ ϕ), (5.66)

u = U0 sin(ωt+ ϕ), (5.67)

gde su I0 i U0 amplitudne (maksimalne) vrednosti struje, odnosno napona.Primecujemo da ove jednacine definisu harmonijsko oscilovanje i da sumatematicki analogne jednacini harmonijskog oscilatora (1.5). Vremenskioblik naizmenicnih velicina prikazan je na slici 5.15

Naizmenicne veli cine imaju nekoliko karakteristicnih vrednosti:

4Npr. elementi mosta mogu biti merne trake koje imaju osobinu da mehanickonaprezanje pretvaraju u elektricnu otpornost.


t

i u,T

i t( )

Slika 5.15. Vremenski oblik naizmenicnih velicina.

• trenutna vrednost i(t)

• maksimalna (amplitudna) vrednost I0

• srednja vrednost definisana preko integrala

Isr =1

T

∫ T

0i(t) dt = 0, (5.68)

koja je za slucaj pravilne sinusoide uvek jednaka nuli;

• efektivna vrednost - predstavlja onu vrednost jacine jednosmerne stru-je koja na zadatoj termogenoj otpornosti razvija istu snagu Dzulovihgubitaka kao sto je i srednja snaga date naizmenicne struje i(t). Postoje snaga Dzulovih gubitaka naizmenicne struje promenljiva, treba jeusrednjiti u toku jednog perioda, tj. postici iste Dzulove gubitke:

P =dQ

dt= R i2 ⇒ dQ = R i2 dt ⇒ Q = R

∫ T

0i2 dt = RI2eff T,

(5.69)pa se za efektivnu vrednost dobija definicioni izraz u obliku:

Ieff =

1

T

∫ T

0i(t)2 dt

1/2

. (5.70)

Ako se sada uzme u obzir sinusni oblik naizmenicne struje dobija se vezaizmedu efektivne i maksimalne vrednosti naizmenicne struje:

I2eff =1

T

∫ T

0I20 sin2 ωt dt =

I20T

∫ T

0

1− cos 2ωt

2dt =


=I20T

(

T

2− sin 2ωt

4ω

∣

∣

∣

∣

T

0

)

=I202⇒ Ieff =

I0√2. (5.71)

5.7.1 Elementi kola naizmenicne struje

Za razliku od kola jednosmerne struje u kojima kalemovi i kondenzatorinisu od interesa, kalemom predstavlja kratak spoj (nultu otpornosti), agrana sa kondenzatorom otvorenu vezu (beskonacnu otpornost), u kolimanaizmenicne struje oni postaju bitni elementi. Naime, u kolima naizmenicnestruje postoje tri vrste otpornosti:

• termogeni (omski) otpor R, definisan je Omovim zakonom

u = R i (5.72)

i predstavlja koeficijent proporcionalnosti izmedu napona i struje (po-vezuje kako trenutne, tako i maksimalne i efektivne vrednosti). Ovakvaprosta linearna veza napona i struje, pokazuje da su oni u fazi, tj. daistovremeno postizu i maksimalne i minimalne vrednosti, slika 5.16.

t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.16. Vremenska zavisnost napona i struje na otporniku kao elementu kolanaizmenicne struje.

• induktivni otpor XL pokazuje otpornost kalema5. Naime, svaki kalemokarakterisan je svojom induktivnoscu L. Takode, veza izmedu naponai stuje na kalemu je diferencijalna

u = Ldi

dt(5.73)

5Kalem je element koji materijalizuje fizicku velicinu koja se naziva induktivnost.


pa polazeci od oblika struje, za napon dobijamo

i = I0 sinωt ⇒ u = I0 ω L cosωt. (5.74)

Induktivna otpornost definise se kao kolicnik amplitudnih (ili efek-tivnih, ali vise ne i trenutnih) vrednosti:

XL =U0I0

= ω L. (5.75)

Sada struja kasni za naponom cetvrtinu perioda T/4 tj. za π/2, (slika5.17):

t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.17. Vremenska zavisnost napona i struje na kalemu kao elementu kolanaizmenicne struje.

• kapacitivni otpor XC pokazuje otpornost kondenzatora. Svaki kon-denzator okaraktrerisan je kapacitivnoscu C6. Veza izmedu napona istruje je sada integralna:

u =q

C=

1

C

∫

i dt ⇒ du

dt=

1

Ci. (5.76)

Polazeci od sinusnog oblika struje, dobija se:

i = I0 sinωt ⇒ u =I0C

∫

sinωt dt = − I0ω C

cosωt (5.77)

Kapacitivna otpornost definise se kao kolicnik maksimalnih vrednostinapona i struje:

XC =U0I0

=1

ω C, (5.78)

a napon sada kasni za strujom za T/4 tj. za π/2 (slika 5.18)

6Kondenzator je element koji materijalizuje fizicku velicinu koja se naziva kapaci-tivnost.


t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.18. Vremenska zavisnost napona i struje na kondenzatoru kao elementukola naizmenicne struje.

5.7.2 Redno RLC kolo. Impedansa

Jedno karakteristicno kolo naizmenicne struje je tzv. redno RLC kolokoje predstavlja rednu vezu otpornika, kalema i kondenzatora, slika 5.19. Dabi odredili koliki je ukupni otpor koji ova redna veza elemenata pokazujeproticanju naizmenicne struje, moramo voditi racuna o razlicitim faznimstavovima napona i struje na razlicitim elementima. Zbog toga, ukupninapon moramo odrediti vektorskim sabiranjem:

~u = ~uR + ~uL + ~uC (5.79)

R L C

uiuR

uC

uL

uL uC-u

Slika 5.19. Redno RLC kolo, sema i fazorski dijagram.

Koristeci sliku 5.19, kao i veze napona i struja na elemntima, imamo

UR = RI, UL = ω L I, UC =I

ω C⇒ U =

√

U2R + (UL − UC)2

(5.80)

Ako sada definisemo impedansu Z kao velicinu koja povezuje maksimalne(ili efektivne) vrednosti napona i struje u nekoj grani kola naizmenicne


struje, onda za redno RLC kola imamo:

U = Z I ⇒ Z(ω) =

√

R2 +

(

ω L− 1

ω C

)2

. (5.81)

Impedansa je fizicka velicina koja ima dimenziju otpornosti, i predstavljarezultujucu otpornost u kolima naizmenicne struje. To je, u stvari, kom-pleksna velicina

Z = Z · exp jϕ (5.82)

ciji modul Z predstavlja kolicnik maksimalnih (ili efektivnih) vrednostinapona i struje, a argument ϕ odreduje fazni stav (faznu razliku) izmenjunapona i struje. Argument ϕ moze imati tri karakteristicne vrednosti kojeodgovaraju trima elementima:

ϕ =

+π

2induktivna otpornost - kalem

0 termogena otpornost - otpornik

−π2

kapacitivna otpornost - kondenzator

(5.83)

ali moze imati i vrednosti izmedu ovih. U tom slucaju govorimo o induk-tivnom (ϕ ∈ (0, π/2) ili kapacitivnom (ϕ ∈ (−π/2, 0)) karakteru impedanse.

Redno RLC kolo pokazuje efekat rezonancije. Naime, ako se vrednostusestanosti postavi tako da kapacitivna i induktivna otpornost postanu jed-nake, tj. ωr L− 1/ωr C = 0, tada impedansa ima minimalnu i realnu vred-nost Z(ωr) = R dok se sama vrednost ucestanosti ωr pri kojoj se to desavanaziva rezonantna ucestanost:

ωr =1√LC

, Tr = 2π√LC, (5.84)

a iz nje se moze odrediti i period oscilovanja rezonantnog kola Tr.

5.8 Snaga naizmenicne struje

Kod naizmenicnih struja moguce je definisati nekoliko razlicitih snaga.Najpre, trenutnu vrednost snage koja se definise kao proizvod trenutnihvrednosti napona i struje. Ako su ove trenutne vrednosti zadate iztrazima

u(t) = U0 sin(ωt+ ϕ), (5.85)

i(t) = I0 sinωt, (5.86)

5.8. Snaga naizmenicne struje 191

onda se za trenutnu vrednost snage dobija

p(t) = u(t) · i(t) = U0 I0 sin(ωt+ ϕ) sinωt. (5.87)

Ako se iskoristi trigonometrijski obrazac za transformaciju proizvoda dvasinusa, dobicemo

p(t) =U0 I02

[cosϕ− cos(2ω t+ ϕ)]. (5.88)

Potrazimo sada srednju snagu. Prvi sabirak u izrazu (5.88) je kon-stantan, a drugi ima srednju vrednost jednaku nuli, pa za srednju snagudobijamo

Psr =1

T

∫ T

0p(t) dt =

U0 I02

cosϕ = Ueff Ieff cosϕ. (5.89)

Kosinus fazne razlike cosϕ, naziva se faktor snage i predstavlja izuzetnovaznu velicinu u kolima sa nazimenicnim strujama. Vec smo videli da je kodotpornika ϕ = 0 pa je cosϕ = 1, tj. srednja snaga je Psr = Ueff Ieff stopodseca na izraz za snagu kod jednosmernih struja. Sa druge strane kodkalema je ϕ = π/2 a kod kondenzatora ϕ = −π/2, pa je na oba elementacosϕ = 0, sto dovodi do cinjenice da je strednja snaga na ova dva elementajednaka nuli Psr = 0. Fizicko objasnjenje ovog rezultata je da se na ovimelementima vrsi transformacija energije iz jednog oblika u drugi, ali da nemanepovratnog procesa pretvaranja energije u toplotu, kao sto se to desava naotporniku. Da bi ovo pokazali i matematicki, transformisemo izraz (5.88)na oblik

p(t) = UeffIeff [2 sin2 ωt cosϕ+ sin 2ωt sinϕ] = pA(t) + pR(t). (5.90)

Iz ovog izraza moze da se vidi da se trenutna snaga prijemnika moze dapredstavi u obliku zbira dve snage, od kojih je prva pA(t) uvek pozitivna(jer je cosϕ > 0) a druga pR(t) je u nekim trenucima pozitivna, a u nekimnegativna. pA(t) predstavlja snagu koju prijemnik permanentno prima izmreze i naziva se trenutna vrednost aktivne snage. Srednja vrednost pA(t)ista je kao i srednja vrednost ukupne snage p(t) i iznosi Ueff Ieff cosϕ, pase srednja vrednost snage Psr naziva i aktivna snaga prijemnika i obelezavasa P :

P = Ueff Ieff cosϕ. (5.91)

Sa druge strane, snaga pR(t) kao sto je vec receno menja znak, sto fizickiznaci da se u nekim vremenskim intervalima energija predaje potrosacu,


a u nekim drugim intervalima prijemnik energiju, koju je akumulirao uprethodnom intervalu vraca nazad u mrezu. Srednja vrednost snage pR(t)jednaka je nuli, a njena amplituda se oznacava sa Q i naziva se reaktivnasnaga:

Q = Ueff Ieff sinϕ. (5.92)

Osim aktivne i reaktivne snage, moguce je definisati i prividnu snagu Skao proizvod efektivnih vrednosti napona i struje

S = Ueff Ieff . (5.93)

Sada su veze aktivne, reaktivne i prividne snage date jednostavnimrelacijama:

P = S cosϕ, Q = S sinϕ, S =√

P 2 +Q2, tanϕ =Q

P. (5.94)

Lako je uociti da se kod otpornika aktivna i prividna snaga poklapajuP = S = Ueff Ieff , dok je reaktivna snaga jednaka nuli Q = 0, pa se zbogtoga kaze da je otpornik aktivni prijemnik. Sa druge strane, kod kalema ikondenzatora akltivna snaga jednaka je nuli, a reaktivne snage su

QL = +Ueff Ieff , QC = −Ueff Ieff , (5.95)

pa se ovi elementi nazivaju reaktivnim prijemnicima.

5.9 Elektricni transformatori. Prenos elektricneenergije

Razliciti delovi elektronskih uredaja koriste razlicite napone. Medutim,u domacinstvima je na raspolaganju samo jedna vrednost napona (220 Vu nasoj zemlji, 230 V u zemljama Evropske unije, 110 V u SAD) i cestoje potrebno taj napon povecati (npr. za rad katodne cevi televizora) ilismanjiti (za razlicite uredaje). Takode, u elektrodistributivnim sistemimase prenos elektricne energije obavlja vodovima na kojima je velika vrednostnapona i mala vrednost intenziteta struje, da bi se smanjili gubici. Efikasnopretvaranje jedne vrednosti napona u drugu vrsi se uredajem koji se nazivaelektricni transformator, a cesto i samo transformator. Posto transformatorradi na principu elektromagnetne indukcije, on ne moze da se koristi zatransformisanje vremenski konstantnih napona, vec samo za naizmenicne,tj. promenljive.

5.9. Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije 193

Transformator se sastoji od feromagnetnog jezgra, na koji su postavljenadva namotaja, kao sto je to pokazano na slici 5.20. Na krajeve jednog odnamotaja prikljucuje se naizmenicni napon i taj namotaj se naziva primarninamotaj, ili krace samo primar, a na drugi namotaj se prikljucuje potrosac,i taj namotaj se naziva sekundarni namotaj, ili krace samo sekundar. Akose svi gubici u transformatoru mogu da zanemare, tada izmedu naponaprimara Up i sekundara Us, kao i odgovarajucih jacina struje Ip i Is, postojijednostavna veza:

Up

Us=np

ns=IsIp, (5.96)

gde su np i ns broj namotaja u primaru i sekundaru.Problem prenosa elektric-

np ns.

.

.

.U , Ipp U , Iss

Slika 5.20. Elektricni transformator.

ne energije na daljinu je uvezi sa gubicima elektricneenergije na zagrevanje pro-vodnika Dzulovom toplotom(Q = RI2 t). Ovi gubici semogu smanjiti smanjenjemotpora provodnika R. To sepostize upotrebom provod-nika velikog preseka i mate-rijala koji imaju mali speci-ficni otpor (npr. bakar). Smanjenje otpora povecanjem preseka provodnikanije efikasno niti ekonomicno jer se ne moze postici veliki stepen smanjenja.Za sada racionalnije resenje je smanjenje jacine struje I koja u gubicimaucestvuje sa kvadratom (I2). Tako, ako se jacina struje smanji 10 puta, gu-bici se smanje 100 puta, smanjenjem struje hiljadu puta, gubici se smanjujumilion puta, itd.

Problem smanjenja jacine naizmenicne struje jednostavno se resava trans-formatorima, (u cemu je njena ogorman prednost nad jednosmernom stru-jom), pri cemu se u istoj meri poveca napon. Naime, za istu snagu (P =U I), koliko se puta poveca napon U , toliko puta se smanji jacina I. Zbogtoga su naponi elektricnih vodova za prenos elektricne energije na velikedaljine vrlo visoki. Kod nas oni iznose 110 kV, 220 kV i 400 kV a u nekimzemljama i 1 000 kV = 1 MV. Ovakvi vodovi - dalekovodi poznaju se povisokim stubovima i velikim izolatorima.

Kod manjih rastojanja i malih snaga upotrebljavaju se i nizi naponi, au gradovima (iz drugih razloga) jos nizi, i nikada visi od 10 kV. Promenanapona vrsi se u transformatorskim stanicama, koje su najcesce povezane u


jedinstveni energetski sitem sa elektricnim centralama. Ako jedna transfor-matorska stanica (ili centrala) u ovom sistemu otkaze, njenu ulogu odmahpreuzima druga.

Nacin prenosenja elektricne energije od elektricne centrale do udaljenogpotrosaca prikazan je na slici 5.21. Od elektricne centrale do obliznjetransforamtorske stanice elektricna energija se prenosi dalekovodima, ciji jenapon najcesce 10 kV ili 35 kV. Udaljene transformatorske stanice povezujuse dalekovodima napona 110, 220 ili 400 kV. U sredistu velikih potrosaca(gradova, preduzeca i sl.) nalaze se transformatorske stanice koje smanjujunapon na 380 ili 220 V. Ovakvim vodovima dovodi se elektricna energijado stambenih zgrada i manjih radionica.

10 kV

110 kV

10 kV

110 kV

110 kV

400 kV

110 kV

35 kV

110 kV

35 kV

35 kV

0.4 kV

centrala centrala

35 kV

0.4 kV

35 kV

0.4 kV

400 kV110 kV

110

kV

110 kV

10 kV10 kV

110kV

35

kV

35

kV

35 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

110 kV

35/0.4

110 kV

35/0.4

400 kV

35/0.4

110 kV

110 k

V

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4kV

0.4 kV

Slika 5.21. Primer elektroenergetskog sistema

U nasoj zemlji, mreza dalekovoda gusto pokriva skoro celu njenu teri-toriju i omogucuje prenos elektricne energije od velikih energetskih sistema,hidrocentrala -Derdap I i II, Bajina Basta, Vrla I, II, III i IV, itd., i termocen-trala Nikola Tesla (u Obrenovcu), Kolubara, Kostolac, itd. Detaljna mapahidro- i termoelektrana u nasoj zemlji prikazana je u dodatku 4. elektronskeverzije udzbenika.

Zbog svega ovoga, danas jednosmerna struja ima vrlo ogranicenu pri-menu (tramvajski i zeleznicki saobracaj, u metalurgiji, i sl.).

5.9.1 Generatori elektricne struje. Trofazne struje

Generatori elektricne struje su elektricne masine koje mehanicku en-ergiju pretvaraju u elektricnu. Oni se mogu podeliti na generatore naiz-menicne struje (alternatore) i generatore jednosmerne struje. Znacaj prvih

5.9. Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije 195

je neuporedivo veci, pa ce se sstoga oni obraditi u kratkim crtama.

Savremeni izvori naizmenicne struje su, skoro iskljucivo, indukcioni ge-neratori, ciji se princip rada zasniva na elektromagnetnoj indukciji. Kodnjih se obrtanjem provodnika u magnetnom polju dobija naizmenicna ems.Danas su skoro svi generatori naizmenicne struje trofazni. To znaci daoni u svom pokretnom delu koji se naziva rotor imaju tri posebna navoja,pomerena medusobno za ugao od 120 u kojima se indukuju tri ems faznopomerene upravo za 120, ili vremenski, za trecinu perioda (slika 5.22):

uR = U0 sinωt, (5.97)

uS = U0 sin(ωt− 2π

3), (5.98)

uT = U0 sin(ωt+2π

3). (5.99)

u

t

uR

uSu

T

Slika 5.22. Trofazni sistem.

Kalemovi se obicno oznacavaju slovima R, S i T i svaki od njih definisejednu fazu. U zavisnosti od vezivanja ovih kalemova, prenos elektricne ener-gije od generatora do potrosaca obavlja se sa 4 ili sa 3 provodnika. Ako supoceci svih kalemova vezani u jednu tacku (tzv. nulta tacka) onda govorimoo vezi u zvezdu. Tada sa svakog drugog kraja kalema krece po jedan, fazni(ili linijski) provodnik, a sa nulte tacke, nulti provodnik (slika 5.23), pa seprenos obavlja sa 4 provodnika. Ako su pak kalemovi vezani tako da jejedan kraj jednog provodnika vezan za pocetak sledeceg, i tako do kraja,onda se takva veza naziva veza u trougao (slika 5.24), a prenos se obavljasa tri provodnika.

Kod veze u zvezdu, naponi izmedu pojedinih faznih provodnika i nul-tog provodnika nazivaju se fazni naponi. Svi fazni naponi ravnomerno


R

T S

0

URS

UR

UST

USU

T

URT

R

S

T

0

Slika 5.23. Veza u zvezdu.

URS

UST

URT

R

T

S

R

S

T

Slika 5.24. Veza u trougao.

opterecene mreze jednaki su i za gradsku mrezu iznose 220V efektivne vred-nosti:

UR = US = UT = 220 V. (5.100)

Sa druge strane, naponi izmedu pojedinih faznih provodnika nazivaju semedufazni ili linijski naponi. Medufazni naponi su URS , UST i URT i onisu√3 puta veci od faznih napona. Njihova efektivna vrednost iznosi

√3 ·

220V ≈ 380V:URS = UST = URT = 380 V (5.101)

Za vezu u zvezdu takode je karakteristicno da je jacina struje kroz nultiprovodnik jednaka nuli, ali samo pri ravnomernom opterecenju sve tri faze.Tada su jacine struja kroz linijske provodnike jednake, ali medusobno faznopomerene za 120. Savrseno ravnomerno opterecenje faza tesko se ost-varuje u praksi, pa kroz nulti provodnik uvek protice slabija ili jaca struja.Medutim, ona je uvek slabija od struja u linijskim provodnicima, usled ceganulti provodnik moze da bude tanji, po cemu se on moze i prepoznati.

R1

R1 R

1R2

R2 R2R3 R3 R3

R

S

T

0220

220220

380380

380

R

S

T

U = 380 VU = 380 VU = 220 V

Slika 5.25. Vezivanje potrosaca elektricne energije na trofaznu elektricnu mrezu.

Vezivanje potrosaca elektricne energije na trofaznu elektricnu mrezu(slika 5.25) zavisi od toga da li je ona cetvorozicna ili trozicna. Kod cet-

5.10. Nacini dobijanja elektricne energije 197

vorozicne mreze (koja se uvek koristi za snabdevanje stanova i ustanova),potrosaci se mogu vezivati kako izmedu nultog i jednog od faznih provod-nika (izmedu kojih vlada napon od 220V), tako i izmedu pojedinih faznihprovodnika (medu kojima vlada medufazni napon efektivne vrednosti 380V).Kod trozicne mreze, potrosaci se mogu vezivati jedino izmedu pojedinihfaznih provodnika.

Prenosenje elektricne energije od trofaznih generatora do potrosaca vrsise posredstvom trofaznih transformatora. Ovi transformatori se razlikujuod jednofaznih jedino po konstrukciji, dok princip rada ostaje isti.

5.10 Nacini dobijanja elektricne energije

Elektricna energija predstavlja tzv. sekundarni (ili transformisani) oblikenergije za razliku od primarnih oblika energije koji se pojavljuju u prirodi.Vec smo govorili da se generatorima elektricne struje mehanicka energijapretvara u elektricnu. Medutim, osim mehanicke, za dobijanje elektricneenergije moze se koristiti i Sunceva energija. Dakle, mozemo kazati da zadobijanje elektricne energije postoje dva nacina:

• direktnim pretvaranjem energije Sunca (elektromagnetnih talasa) uelektricnu energiju, sto se postize solarnim celijama;

• pretvaranjem mehanicke energije u elektricnu, sto se izvodi u elek-tranama.

Direktno pretvaranje Sunceve u elektricnu energiju je sustinski razlicitood pretvaranja mehanicke energije u elektricnu. Iako su suncevi kilovatibesplatni, energija po jedinici povrsine je mala, tako da bi bilo potrebnoinvestirati ogromna sredstva da se ona uhvati i sacuva, osobito onda kadaSunce ne sija. Posto se radi o malim snagama, ovako dobijena elektricnaenergija za sada se uglavnom koristi samo za osvetljenje i rad elektronskihuredaja male snage. Solarne celije i solarni paneli (skupovi solarnih celija)proizvode se u poluprovodnickoj tehnologiji, i stalno se razvijaju, tako dau buducnosti mozemo ocekivati povecanje efikasnosti solarnih sistema zadirektno pretvaranje.

Pogon elektrana koje se jos nazivaju i centrale moze biti razlicit u zavis-nosti od izvora mehanicke energije koja se koristi za proizvodnju elektricneenergije:

• koriscenjem mehanicke energije tekucih voda - tzv. hidroelektrane;


• koriscenjem mehanicke energije stajacih voda tj. plime i oseke - elek-trane na plimu i oseku

• koriscenjem energije vetra - vetrenjace ili vetrogeneratori;

• korisenjem mehanicke energije vodene pare pomocu parnih turbina.

Kod elektrana sa parnim turbinama postoji visestruki proces pretvaranjaenergije. Najpre se neka energija pretvara u toplotnu, zatim se ona pret-vara u mehanicku (pri cemu se od vode dobija vodena para na povisenompritisku), a zatim se uz pomoc turbina mehanicka energija vodene parepretvara u elektricnu. Ovde razlikujemo dva osnovna tipa elektrana:

• nuklearne elektrane, kod kojih se toplotna energija oslobada procesomkontrolisane fisije, tj. lancane reakcije u nuklearnom gorivu

• termoelektrane kod kojih se toplotna energija stvara sagorevanjemnekog energenta.

Energenti koji se koriste za sagorevanje u termoelektranama mogu biti ra-zliciti:

• gas

• neki naftni derivat (dizel ili mazut) (termoelektrane na tecna goriva)

• ugalj

• biomase

• razliciti organski i neorganski otpad

Sve izvore energije koji se koriste za dobijanje elektricne energije mozemopodeliti na

• obnovljive izvore energije,

• neobnovljive izvore energije.

U obnovljive izvore energije spadaju energije Sunca, plime i oseke, te-kucih voda i vetra, a u neobnovljive energija unutar atomskog jezgra, kaoi fosilna goriva (ugalj, nafta, gas). Globalna tendencija je da se proizvod-nja elektricne energije sve vise prebacuje na obnovljive izvore energije izrazumljivih ekoloskih i ekonomskih razloga.

Poglavlje 6

Transportni procesi

6.1 Prenosenje toplote

Postoje tri razlicita nacina prenosenja toplote:

• provodenje (kondukcija),

• strujanje (konvekcija),

• zracenje (radijacija).

Prenosenje toplote provodenjem desava se izmedu tela ili cestica tela kojasu u direktnom kontaktu i imaju razlicite temperature. Shodno shvatanjusavremene fizike, provodenje toplote predstavlja molekularni proces. U me-talima, dominantnu ulogu u provodenju toplote igraju slobodni elektroni,pa se zbog toga uglavnom desava da se dobri provodnici struje pojavljuju ikao dobri provodnici toplote.

Poznato je da kada se neko telo zagreva, kineticka energija njegovihmolekula raste. Cestice u delu tela koje se zagreva slucajno se sudarajusa susednim cesticama, predajuci im deo svoje kineticke energije. Ovakavproces postepeno se siri kroz citavo telo. Ako, na primer, jedan kraj metalnesipke drzimo u plamenu vatre, posle izvesnog vremena oseticemo toplotu ina drugom kraju sipke.

Drugi nacin prenosenja toplote, konvekcija ili strujanje, desava se samou fluidima, tj. gasovima i tecnostima, kada se njihova citava neuniformnozagrejana masa pomera i mesa. Stepen strujanja toplote je utoliko veci uko-liko je veca brzina kretanja fluida. Prenos toplote strujanjem uvek je pracen

199

200 Poglavlje 6. Transportni procesi

i prenosom toplote provodenjem jer su u fluidu cestice razlicite temperatureu stalnom direktnom kontaktu.

Mozemo razlikovati prirodnu (ili slobodnu) i prinudnu konvekciju. Slo-bodna konvekcija nastaje kao posledica razlike gustine pojedinih delovafluida pri njegovom zagrevanju. Prinudna konvekcija nastaje kada se kre-tanje fluida izaziva vestacki (upotrebom propelera, kompresora, pumpi, mik-sera,...).

Treci nacin prenosenja toplote je termalna radijacija (emisija). Ovaj pro-ces se odvija izmedu dva razdvojena tela izmedu kojih se moze, ali i ne moranalaziti neka sredina, tj. proces radijacije se odvija i kroz vakuum. Procesradijacije obuhvata tri faze, pretvaranje dela unutrasnje energije jednog telau energiju elektromagnetnih talasa, prostiranje elektromagnetnih talasa iabsorpciju zracenja od strane drugog tela.

Prenosenje toplote predstavlja transportni proces u kome se transportujevelicina sa dimenzijom energije - kolicina toplote Q. To prakticno znaci dase kao i za druge transportne procese koje smo do sada upoznali mogudefinisati jos dve karakteristicne velicine, toplotni fluks (engl. heat flow, iliheat flow rate)

dQ

dτ= Q [=]W, (6.1)

koji predstavlja kolicinu energije koja se u jedinici vremena prenese krozneku, unapred definisanu povrsinu, i gustina toplotnog fluksa (engl. densityof heat flow1)

q =d2Q

dS dτ=dQ

dτ[=]

W

m2(6.2)

koja predstavlja kolicinu energije koja se u jedinici vremena prenese krozjedinicnu povrsinu. Zbog toga sto se slovo t koristi za oznacavanje temper-ature na Celzijusovoj skali, u problemima prenosenja toplote koristicemo τkao oznaku za vreme.

U narednom izlaganju bice detaljno razmotrena sva tri oblika prenosenjatoplote.

1U literaturi na engleskom jeziku postoji mala zbrka oko naziva ovih velicina. Takose npr, u delu literature Q naziva heat transfer rate, a q heat fluks. Za imenovanje ovihvelicina na srpskom jeziku koriscena je referenca [17], koja je u potpunosti u skladu sanazivima transportnih velicina u drugim oblastima obradenim u udzbeniku.

6.2. Provodenje toplote 201

6.2 Provodenje toplote

6.2.1 Osnovne postavke provodenja toplote

Temperatursko polje predstavlja sveukupnost vrednosti temperatureu datom vremenskom trenutku τ , u svakoj tacki posmatranog prostora(x, y, z), u kome se desava proces prenosenja (provodenja) toplote:

t = f(x, y, z, τ),∂t

∂τ6= 0 (6.3)

Ako je parcijalni izvod temperature po vremenu razlicit od nule onda setakvo polje naziva nestacionarno polje temperature, a sam proces nesta-cionarno provodenje toplote. Ako je pak temperatura posmatranog telafunkcija samo prostornih koordinata, tj. parcijalni izvod temperature povremenu jednak je nuli,

t = f(x, y, z),∂t

∂τ= 0, (6.4)

onda je rec o stacionarnom temperaturskom polju, tj. stacionarnom provo-denju toplote.

Gradijent temperature. Ako np

DpDn

At

t t+ D

.

. .

Slika 6.1. Izotermne povrsine i gradi-jent temperature

spojimo sve tacke nekog tela koje ima-ju jednake temperature, dobicemo izo-termnu povrsinu, koja se nikad ne secesama sa sobom. Posmatrajmo dvebliske izotermne povrsine cije su tem-perature t i t+∆t. Ako posmatramokretanje iz tacke A koja lezi na prvojizotermnoj povrsini (slika 6.1), pri-meticemo da stepen promene tempe-rature zavisi od pravca u kojem se vrsi kretanje: ako se kretanje obavljaduz izotermne povrsine nema promene temperature, ako se krene duz nekogpravca b promena postoji, a promena po jedinici duzine je najveca ako sekretanje odvija duz normale n na izotermnu povrsinu. Gradijent tempera-ture je vektor normalan na izotermnu povrsinu, sa smerom prema susednojizotermnoj povrsi vece temperature, a intenzitet mu je jednak parcijalnomizvodu temperature duz tog pravca:

grad t = lim∆n→0

∆t

∆n~n0 =

∂t

∂n~n0 [=]

K

m=

C

m. (6.5)


Furijeov zakon predstavlja osnovni zakon provodenja toplote, koji jepotvrden i eksperimentalno. On se moze izraziti za sve tri karakteristicnetransportne velicine:

~q = −λ grad t, (6.6)

Q =

∫

S~q · −→dS = −

∫

sλ grad t · −→dS, (6.7)

Q =

∫

τQ dτ = −

∫

τ

∫

Sλ grad t · −→dS dτ, (6.8)

gde je λ koeficijent termicke (toplotne) provodnosti (provodljivosti). Znakminus u jednacinama (6.6)-(6.8) izrazava cinjenicu da se toplota prenosisa mesta vise na mesto nize temperature (tj. posto je gradijent u pravcuopadanja temperature negativan, minus omogucava da transportne velicinebudu pozitivne).

Jednacine (6.6)-(6.8) predstavljaju ekvivalentne formulacije najopstijegoblika Furijeovog zakona. Ovaj najopstiji oblik se najcesce moze prilicnopojednostaviti. Tako na primer, ako pretpostavimo jednostavan slucaj, kojije najcesci u praksi, da je povrsina kroz koju se vrsi provodenje toplote ustvari izotermna povrsina, onda su i grad t i ~q i

−→dS kolinearni, pa prestaje

potreba za pisanjem vektora. Ako nacinimo i korak dalje pa pretpostavimoda je provodenje toplote stacionarno i jednodimenziono (videti sekcije 6.2.3-6.2.5), doci ce do daljeg pojednostavljivanja Furijeovog zakona.

Koeficijent termicke provodnosti (engl. thermal conductivity) mozese definisati na osnovu Furijeovog zakona kao skalarna velicina2 brojno jed-naka kolicini toplote koja prode kroz jedinicnu povrsinu u jedinici vremenapri jedinicnom gradijentu temperature:

λ =dQ

dτ dS grad t[=]

W

mK=

W

m C. (6.9)

Iako se koeficijent toplotne provodnosti λ pojavljuje kao konstanta u Furi-jeovom zakonu, eksperiment pokazuje da se λ kod vecine materijala menjasa temperaturom3, i da se moze uzeti da je ta promena linearna:

λ = λ0[1 + b(t− t0)], (6.10)

2U slucaju da vektor gustine fluksa nije po pravcu identican gradijentu temperature(jednacina (6.6)), kao sto je to moguce u anizotropnim sredinama, λ postaje tenzorskavelicina.

3Ova promena se zanemaruje ako je opseg promene temperature mali.


gde je λ0 koeficijent termalne provodnosti na temperaturi t0, t temperaturau C, a b konstantni koeficijent koji se odreduje iz eksperimenta. Vrednostikoeficijenata termicke provodnosti i znak faktora b, prikazani su u tabeli6.1.

Tabela 6.1. Vrednosti koeficijenta termicke provodnosti i znak faktora b.

metali λ ∈ (3, 458) b < 0

izolatori toplote i gradevinskimaterijali porozne strukture λ ∈ (0.02, 3) b > 0

tecnosti λ ∈ (0.08, 0.65) b < 0

gasovi λ ∈ (0.005, 0.6) b > 0

6.2.2 Diferencijalna jednacina provodenja toplote

Posmatrajmo u prostoru u kome se z

y

x

dQz1

dQz2

dQy1dQx1

Slika 6.2. Provodenje toplote krozelementarnu celiju.

odvija proces provodenja toplote elemen-tarni deo oblika paralelepipeda sa di-menzijama dx, dy i dz. Stranice par-alelepipeda nalaze se na razlicitim tem-peraturama, pa toplota prolazi kroz njihu pravcu x, y i z ose. Prema Furijeovomzakonu, kroz donju stranicu, u pravcu zose ulazi toplota

dQz1 = −λ dx dy∂t

∂zdτ, (6.11)

dok kroz gornju stranicu izlazi toplota

dQz2 = −λ dx dy∂

∂z

(

t+∂t

∂zdz

)

dτ = −λ dx dy ∂t∂z

dτ − λ dx dy dz ∂2t

∂z2dτ,

(6.12)gde je t+(∂t)/(∂z) dz temperatura na gornjoj stranici, a velicina (∂t)/(∂z) dzpredstavlja promenu temperature u z pravcu. Na osnovu ovih jednacina,porast energije u paralelepipedu uzrokovan provodenjem toplote u z pravcuje:

dQz = dQz1 − dQz2 = λ dx dy dz∂2t

∂z2dτ. (6.13)


Slicno, za porast energije paralelepipeda zbog provodenja toplote duz xi y pravca, dobija se:

dQx = dQx1 − dQx2 = λ dx dy dz∂2t

∂x2dτ (6.14)

dQy = dQy1 − dQy2 = λ dx dy dz∂2t

∂y2dτ, (6.15)

pa je ukupni prirastaj energije elementarnog paralelepipeda:

dQ = dQx + dQy + dQz = λ dx dy dz

(

∂2t

∂x2+∂2t

∂y2+∂2t

∂z2

)

dτ. (6.16)

Sa druge strane, u skladu sa zakonom o odrzanju energije, ova energija,tj. toplota, trosi se na povecanje temperature elementarnog paralelepipeda:

dQ = dmc dt = ρ dV c∂t

∂τdτ = ρ c dx dy dz

∂t

∂τdτ. (6.17)

Izjednacavajuci desne strane izraza (6.16) i (6.17) dobija se diferencijalnajednacina provodenja toplote u obliku:

∂t

∂τ=

λ

ρ c

(

∂2t

∂x2+∂2t

∂y2+∂2t

∂z2

)

= a∇2t. (6.18)

Velicina a = λ/ρ c naziva se termicki koeficijent difuzije i izrazava u m2/s.U prethodnom izvodenju pretpostavljali smo da nema izvora toplote

unutar elementarnog paralelepipeda. U suprotnom, diferencijalna jednacinaprovodenja glasi:

∂t

∂τ= a

(

∂2t

∂x2+∂2t

∂y2+∂2t

∂z2

)

+qvc ρ, (6.19)

gde je qv toplotni intenzitet izvora koji se izrazava u W/m3, tj. predstavljaenergiju oslobodenu u jedinici vremena i u jedinici zapremine.

Cilj resavanja diferencijalne jednacine provodenja toplote je odredivanjetemperaturskog polja t(x, y, z, τ) iz koga se nakon toga koriscenjem Furi-jeovog zakona mogu odrediti transportne velicine.

Granicni uslovi

Diferencijalna jednacina provodenja toplote je parcijalna diferencijalnajednacina za cije resavanje je potrebno zadati pocetne uslove i granicneuslove.


Pocetni uslovi se najcesce zadaju kao vrednost temperaturskog polja utrenutku vremena τ = 0:

t(x, y, z, τ = 0). (6.20)

Granicni uslovi se mogu zadati na tri razlicita nacina:

• granicni uslovi prve vrste zadaju raspodelu temperature na povrsiniposmatranog tela u bilo kom trenutku vremena;

• granicni uslovi druge vrste zadaju raspodelu gradijenta temperature(tj. gustinu toplotnog fluksa) na povrsini posmatranog tela u bilo komtrenutku vremena;

• granicni uslovi trece vrste zadaju temperaturu okoline kao i zakonprelaska toplote sa tela na okolinu (ili obrnuto).

6.2.3 Provodenje toplote kroz jednoslojni zid

Posmatrajmo jednoslojni zid kod koga se toplota provodi samo duz jednogpravca upravnog na povrsinu zida. Neka je debljina zida δ, a temperaturena njegovim krajevima t′w i t′′w (slika 6.3).

Parcijalni izvodi temperature po y

.

.

t

l

t’w

t”w

d

x

Slika 6.3. Profil temperature krozjednoslojni zid

i z koordinati bice nula, pa diferenci-jalna jednacina provodenja toplote do-bija jednodimenzioni oblik:

∂t

∂τ= a

∂2t

∂x2. (6.21)

Ako pretpostavimo stacionarni rezimprovodenja toplote, parcijalni izvod povremenu postaje nula, pa parcijalna jed-nacina provodenja postaje obicna difer-encijalna jednacina drugog reda koja sejednostavno integrali:

∂t

∂τ= 0, ⇒ ∂2t

∂x2= 0 ⇒ dt

dx= const = A ⇒ t = Ax+B. (6.22)

Kao vazan rezultat dobili smo da je profil temperature kroz zid u slucajustacionarnog provodenja toplote linearan. Za odredivanje konstanti inte-gracije A i B koristimo se poznatim temperaturama na krajevima zida (sto


znaci da razmatramo provodenje toplote u stacionarnom rezimu uz granicneuslove prve vrste):

x = 0 ⇒ t = t′w = B

x = δ ⇒ t = t′′w = Aδ + t′w ⇒ A =t′′w − t′w

δ=dt

dx.

Nakon sto smo odredili A i B, za gustinu toplotnog fluksa se mozenapisati:

q = −λgrad t = −λ dtdx

= −λt′′w − t′wδ

=λ

δ(t′w − t′′w). (6.23)

Zbog stacionarnosti i homogenosti, integrali po povrsini i vremenu sesvode na mnozenje, pa se dobijaju izrazi za toplotni fluks i provedenukolicinu toplote:

Q =

∫

Sq dS = q · S =

λ

δS (t′w − t′′w), (6.24)

Q =

∫

τQ dτ = Q · τ =

λ

δS (t′w − t′′w) τ. (6.25)

Svaka od jednacina (6.23)-(6.25) predstavlja Furijeov zakon za odredenutransportnu velicinu, za slucaj stacionarnog provodenja toplote u ravanskojgeometriji. Ove jednacine predstavljaju uprosceni oblik opstih jednacina(6.6)-(6.8). Sa druge strane, analizirajuci strukturu transportnih procesa,ove jednacine koje predstavljaju Furijeov zakon za provodenje toplote semogu shvatiti i kao jednacine analogne Omovom zakonu u slucaju proticanjaelektricnih struja. Nije tesko uociti da jednacina (6.23) odgovara jednacini(5.15), jednacina (6.24) jednacini (5.13), a jednacina (6.25) jednacini (5.14).Na osnovu ove analogije mogu se u uvesti jos dve velicine, termicka otpornost(engl. thermal resistance) Rth i termicka provodnost (engl. thermal conduc-tance) Gth:

Rth =1

S

δ

λ[=]

K

W=

C

W, Gth = S

λ

δ[=]

W

K=

WC. (6.26)

Na taj nacin kompletirana je analogija izmedu velicina u Omovom i Furi-jeovom zakonu prikazana u tabeli 6.2. Medutim, u praksi je uobicajeno dase umesto termicke provodnosti i termicke otpornosti koriste odgovarajucevelicine normalizovane po jedinici povrsine, uz zadrzavanje istog imena. U


Tabela 6.2. Analogija izmedu elektricnih i toplotnih velicina.

Elektricna velicina Jedinica Toplotna velicina Jedinica

Naelektrisanje Q C Toplota Q J

Jacina struje I A Toplotni fluks Q W

Gustina toplotnogGustina struje J A/m2 fluksa q W/m2

Elektricni potencijal V V Temperatura t K, C

RazlikaElektricni napon U V temperatura ∆t K=C

Elektricna Toplotna W/K=provodnost G S=A/V provodnost Gth W/C

Elektricna Toplotna K/W=otpornost R Ω otpornost Rth

C/W

Specificna Koeficijent W/(m·K)elektricna toplotne =provodnost σ V/(A·m) provodnosti λ W/(m·C)Specificna Reciprocna vrednost (m·K)/Welektricna koeficijenta toplotne =otpornost ρ (A·m)/V provodnosti 1/λ (m·C)/W

ovom udzbeniku, te velicine ce se razlikovati od originalnih i bice obelezenemalim slovima4:

rth = Rth · S =δ

λ[=]

C ·m2

W, gth =

Gth

S=λ

δ[=]

WC ·m2

. (6.27)

Osim termina termicka otpornost rth se cesto naziva i termicka izolovanost(engl. thermal insulance). Kada su rth i gth definisani na osnovu Furi-jeovog zakona za provodenje toplote za odredeni sloj nekog materijala, ondase takve provodnosti i otpornosti jos nazivaju i internim ili unutrasnjim.Videcemo kasnije da se osim unutrasnjih provodnosti i otpornosti mogudefinisati i spoljasnje kada se u termicki proracun ukljucuju i drugi vidoviprenosenja toplote, strujenje i zracenje.

U prethodnom izvodenju Furijeovog zakona za jednoslojni zid pretpos-tavili smo da je koeficijent termicke provodnosti λ konstantan. Ukoliko

4Potpuno ravnopravno mogu se koristiti i jedinice gde umesto C stoji K.


bi zeleli da u rezultate ukljucimo i korekciju usled njegove zavisnosti odtemperature, onda bi ovu zavisnost

λ(t) = λ0 (1 + b t), (6.28)

trebalo uvrstiti u izraz za gustinu toplotnog fluksa,

q = −λ(t) dtdx

= −λ0 (1 + b t)dt

dx(6.29)

Razdvajajuci promenljive i integraleci dobija se:

q x = −λ0(

t+b t2

2

)

+ C. (6.30)

Koristeci granicne uslove:

x = 0 ⇒ t = t′w 0 = −λ0(

t′w +b t′2w2

)

+ C, (6.31)

x = δ ⇒ t = t′′w q δ = −λ0(

t′′w +b t′′2w2

)

+ C, (6.32)

dobijamo:

q =λ0δ

[

1 + bt′w + t′′w

2

]

(t′w − t′′w). (6.33)

Ako definisemo integralnu srednju vrednost ko-

..

b < 0

b > 0

t’w

t”w

t

d x

Slika 6.4. Profil temperaturekroz jednoslojni zid pri pro-menljivom koeficijentu top-lotne provodnosti.

eficijenta termicke provodnosti λ kao:

λ = λ0

[

1 + bt′w + t′′w

2

]

, (6.34)

onda se gustina toplotnog fluksa moze napisatiu istom obliku kao i (6.23):

q =λ

δ(t′w − t′′w). (6.35)

Profil temperature t(x) moze se odrediti izjednacine (6.30) uz koriscenje vrednosti za C,odredene na osnovu granicnog uslova (6.31):

t(x) =

√

(

1

b+ t′w

)2

− 2 q x

λ0 b− 1

b(6.36)

Konveksnost, odnosno konkavnost profila t(x) zavisi od parametra b (slika6.4).


6.2.4 Provodenje toplote kroz viseslojni zid

Posmatrajmo zid sastavljen od tri sloja, debljina δ1, δ2, δ3, i koeficijentatermicke provodnosti λ1, λ2 i λ3, respektivno. Temperature na krajevimazida su t′w i t′′w, a na spojevima izmedu slojeva t12 i t23 (slika 6.5).

t

x

l1 l

2l

3

d1

d2 d

3

t’w

t”w

..

.

.

Slika 6.5. Profil temperature kroz viseslojni zid

Posto se slojevi nalaze jedan do drugoga i izmedu njih nema nikakvihizvora ni ponora toplote, gustina toplotnog fluksa kroz svaki od slojeva jeista i iznosi:

q =λ1δ1

(t′w − t12), q =λ2δ2

(t12 − t23), q =λ3δ3

(t′23 − t′′w). (6.37)

Ovaj slucaj je analogan rednoj vezi tri otpora kod kojih su jacina (i gustina)struje koja protice kroz njih jednake. Sa druge strane, ukupni napon redneveze otpornika jednak je zbiru napona na pojedinim otporima. To znacida ako resimo svaku od jednacina po razlici temperatura pa ih saberemoimamo:

t′w − t12 = qδ1λ1, t12 − t23 = q

δ2λ2, t′23 − t′′w = q

δ3λ3, (6.38)

t′w − t′′w = q

(

δ1λ1

+δ2λ2

+δ3λ3

)

, (6.39)

odakle se resavajuci po q dobija:

q =t′w − t′′w

δ1λ1

+δ2λ2

+δ3λ3

. (6.40)


Temperature na razdvojnim povrsinama slojeva sada se mogu dobiti iz odgo-varajucih jednacina (6.38):

t12 = t′w − qδ1λ1, t23 = t′′w + q

δ3λ3

= t12 − qδ2λ2. (6.41)

Generalizacijom izraza (6.40) za slucaj zida sastavljenog od n slojeva,dobija se:

q =t′w − t′′w

n∑

i=1

δiλi

. (6.42)

Kod viseslojnog zida se odnos δi/λi naziva interna (unutrasnja) termickaotpornost sloja a suma

∑ni=1 δi/λi ukupna unutrasnja termicka otpornost za

viseslojni zid.Ako se uvede ekvivalentni koeficijent termicke provodnosti λeq:

λeq =

n∑

i=1

δi

n∑

i

δiλi

=δ

n∑

i

δiλi

, (6.43)

gde je δ ukupna deljina viseslojnog zida, onda se izraz (6.42) moze dovestina oblik izraza (6.23):

q = λeqt′w − t′′w

δ. (6.44)

6.2.5 Prenosenje toplote kroz zid okruzen fluidima

U ovom slucaju temperature na krajevima zida t′w i t′′w su nam nepoznate,ali znamo temperature fluida sa razlicitih krajeva zida t1 i t2 (sto znaci darazmatramo provodenje toplote u stacionarnom rezimu uz granicne uslovetrece vrste). Osim ovih temperatura, poznat je zakon prenosenja toplote safluida na zid i obrnuto, iskazan preko Njutnove jednacine

q = α (tf − tw), (6.45)

gde je q intenzitet toplotnog toka, tf temperatura fluida sa koga toplotaprelazi na zid temperature tw, a α predstavlja lokalni koeficijent prenosenjatoplote sa fluida na zid koji obuhvata sve vidove prenosenja toplote (provo-denje, strujanje, zracenje) i izrazava se u W/(m2 C) (u smislu analogije sa


strujama, α ocigledno predstavlja termicku provodnost po jedinici povrsinegth i naziva se spoljasnja termicka provodnost). Prema tome, osim temper-atura fluida sa razlicitih krajeva zida i oblika zakona (6.45), granicni uslovitrece vrste podrazumevaju poznavanje lokalnih koeficijenta prenosa toplotesa fluida na zid α1 i zida na fluid α2 (slika 6.6).

d

la

2

a1

t1

t2

t’w

t”w

x

t

..

Slika 6.6. Profil temperature kroz jednoslojni zid okruzen fluidima

Intenzitet toplotnog toka sa fluida na zid, kroz zid, i sa zida na fluid sujednaki i mogu se respektivno napisati kao:

q = α1 (t1 − t′w), q =λ

δ(t′w − t′′w), q = α2 (t

′′w − t2). (6.46)

Ako iz ovih izraza sracunamo razlike temperatura a zatim ih saberemo,imacemo:

t1 − t′w =q

α1, t′w − t′′w = q

δ

λ, t′′w − t2 =

q

α2, (6.47)

t1 − t2 = q

(

1

α1+δ

λ+

1

α2

)

, (6.48)

odakle se za gustinu toplotnog fluksa dobija:

q =t1 − t2

1

α1+δ

λ+

1

α2

= k (t1 − t2), (6.49)

gde je k5 ukupni (totalni) koeficijent prenosenja toplote (engl. overall heat

5Stari naziv za ovu velicinu je bio i k-koeficijent, novi naziv je U-koeficijent


transfer coefficient6):

k =1

1

α1+δ

λ+

1

α2

, (6.50)

koji se izrazava u W/(m2 C) i brojno je jednak kolicini toplote koja ujedinici vremena protekne kroz jedinicnu povrsinu pregradnog zida sa stranetoplijeg na stranu hladnijeg fluida ako je razlika njihovih temperatura 1C.U smislu analogija sa strujama k predstavlja ukupnu termicku provodnostpo jedinici povrsine gth a njegova reciprocna vrednost

rth =1

k=

1

α1+δ

λ+

1

α2, (6.51)

naziva se ukupna termicka otpornost prenosenju toplote kroz jednoslojnizid. Clanovi 1/α1 i 1/α2 predstavljaju spoljne termicke otpornosti a odnosδ/λ, kao sto smo vec definisali, unutrasnju termicku otpornost pri prolaskutoplote kroz zid.

Nepoznate temperature zida mogu se odrediti iz izraza (6.47):

t′w = t1 −q

α1, t′′w = t2 +

q

α2, (6.52)

sto se nakon koriscenja izraza (6.49) svodi na:

t′w = t1 −k

α1(t1 − t2), t′′w = t2 +

k

α2(t1 − t2). (6.53)

Za odredivanje ukupnog koeficijenta prenosenja toplote k neophodno jenajpre odrediti α1 i α2, koji su obicno komplikovane velicine koje kombinujuprenosenje toplote strujanjem i radijacijom:

α = αconv + αrad. (6.54)

U slucaju viseslojnog zida, lako je izvrsiti generalizaciju:

q =t1 − t2

1

α1+

n∑

i=1

δiλi

+1

α2

= k (t1 − t2), (6.55)

k = gth =1

1

α1+

n∑

i=1

δiλi

+1

α2

, (6.56)

rth =1

k=

1

α1+

n∑

i=1

δ

λ+

1

α2. (6.57)

6Srece se i naziv thermal transmittance.


6.2.6 Nestacionarno provodenje toplote

Kod stacionarnog provodenja toplote, u ravanskoj geometriji, parci-jalna diferencijalna jednacina provodenja svodila se na obicnu diferenci-jalnu jednacinu cijim je resavanjem najpre odredivano temperatursko polje,a zatim nalazenjem gradijenta temperature (koji je u slucaju konstantnogkoeficijenta toplotne provodnosti takode konstantan) i intenzitet toplotnogtoka. U slucaju nestacionarnog provodenja toplote zadatak je isti: najpreje potrebno odrediti temperatursko polje t(x, y, z, τ) a zatim ga povezati satakode nestacionarnom gustinom toplotnog fluksa q(x, y, z, τ).

Odredivanje nestacionarnog temperaturskog polja svodi se na resavanjeFurijeove diferencijalne jednacine provodenja toplote

∂t

∂τ= a

(

∂2t

∂x2+∂2t

∂y2+∂2t

∂z2

)

= a∇2t. (6.58)

U slucaju nestacionarnog provodenja, zadati su najcesce granicni uslovidruge vrste, tj.

−λ(

∂t

∂n

)

S

= α (tw − tm) (6.59)

gde su:λ - koeficijent termicke provodnosti tela (zida) cije temperatursko polje

odredujemo;(∂t/∂n)S - gradijent temperature tela na njegovoj povrsini;α - lokalni koeficijent prelaza toplote sa tela na okolni fluid (ili obrnuto);tw - temperatura povrsine tela;tm - temperatura okolnog fluida (medijuma).Osim granicnog, zadat je i pocetni uslov koji kaze da je temperatura tela

u trenutku τ = 0 uniformna, tj.

t(x, y, z, 0) = const = t0. (6.60)

Resavanjem jednacine (6.58) uz (6.59)-(6.59), dobija se temperaturskopolje oblika

t = f(x, y, z, τ ; a, α, t0, tm, l1, l2, ..., ln), (6.61)

koje pokazuje da temperatura zavisi od cetiri nezavisne promenljive i vecegbroja parametara. Resavanje diferencijalne jednacine provodenja toploteje komplikovani matematicki problem za koji su razvijene brojne numerickemetode. Ovakav tretman prevazilazi granice ovog kursa. Ipak, postoji neko-liko jednostavnih slucajeva koji su reseni, pa su onda na osnovu resenja


nacrtani dijagrami koji se mogu na odgovarajuci nacin citati i tumaciti.Ovu graficku metodu ilustrovacemo na jednostavnom primeru beskonacneploce.

Nestacionarno provodenje kroz beskonacnu plocu

Posmatrajmo hladenje plan-para-

x

t

tmtm

t0

dd

Slika 6.7. Hladenje plan-paralelne plo-ce; pocetni trenutak vremena.

lelne ploce debljine 2δ (slika 6.7). Di-menzije ploce u pravcu y i z ose subeskonacne. Ploca je okruzena flu-idom konstantne temperature tm sasvih strana. Toplotni kapacitet fluidaje vrlo veliki pa se njegova temper-atura ne moze menjati. Oba lokalnakoeficijenta prenosenja toplote izme-du fluida i ploce su jednaka i kon-stantna, i iznose α. Koeficijent ter-micke provodnosti ploce je λ, gustinaρ, toplotni kapacitet c, a termicki ko-eficijent difuzije a = λ/c ρ.

Radi pogodnije analize, potrebno je uvesti bezdimenzione promenljive iparametre:• bezdimenziona koordinata ξ:

ξ =x

δ(6.62)

• bezdimenziono vreme - Furijeov (Fourier) broj (koeficijent) Fo:

Fo =a τ

δ2(6.63)

• bezdimenziona temperatura θ:

θ(ξ, Fo) =t(ξ, Fo)− tmt0 − tm

. (6.64)

Za slucaj hladenja za bezdimenzionu temperaturu vazi

θ(ξ, Fo = 0) = 1, θ(ξ, Fo→∞) = 0,

a za slucaj zagrevanja

θ(ξ, Fo = 0) = 0, θ(ξ, Fo→∞) = 1.


• Bioov (Biot) broj (koeficijent) Bi:

Bi =

δ

λ1

α

=α δ

λ(6.65)

predstavlja odnos unutrasnje i spoljasnje termicke otpornosti.

Ukoliko je Bi < 0.1−0.25 onda se takve ploce mogu smatrati termicki”tankim” strukturama kod kojih vazi kvazistacionarnost - u svakomtrenutku vremena temperatura je drugacija ali priblizno konstantnapo profilu: θ(ξ, Fo) ≈ θ(Fo).Ukoliko je Bi > 0.5 takve strukture se nazivaju termicki debele struk-ture.

Kao resenje diferencijalne jednacine provodenja dobijaju se funkcije θ =f(ξ, Fo,Bi). One se najcesce crtaju za tacke u sredistu ploce ξ = 0 (x = 0)ili na njenoj povrsini ξ = 1 (x = δ), a odgovarajuci grafici su prikazani naslici 6.8.

Ukupna kolicina toplote koju ce deo zagrejane ploce povrsine S predatiokolnom fluidu iznosi:

Q = mc (t0 − tm) = ρS 2δ c (t0 − tm). (6.66)

Udeo toplote predate okolini do vremena τ od pocetka hladenja Qτ u odnosuna ukupnu toplotu Q takode je funkcija Bioovog i Furijeovog broja, a grafikQτ/Q = f(Bi, Fo) takode je prikazan na slici 6.8.

Njutnov zakon hladenja

Potrazimo sada eksplicitni izraz za vremensku zavisnost temperaturetermicki ”tankog” tela koje se hladi od pocetne temperature t0, okruzenfluidom temperature tm. Ako je ukupna povrsina tela S, onda je kolicinatoplote dQ koju telo preda okolini za vreme dτ hladeci se za dt:

dQ = αS (t− tm) dτ = −mcdt. (6.67)

Razdvajajuci promenljive i integraleci, dobijamo:

− αSmc

dτ =dt

t− tm⇒ ln

t− tmt0 − tm

=αS

mcτ, (6.68)


q x( =1)

Fo

=a

/t d=

252

q x( =0)

Bi = /ad l

Fo

= a/t d = 25

2

Bi = /ad l

Fo

=a

/td

= 25

2

Bi = /ad l

q /qt

Slika 6.8. Grafici za nestacionarno provodenje toplote.

6.3. Prenosenje toplote strujanjem 217

te konacno:

t = tm + (t0 − tm) exp

− αSmc

τ

. (6.69)

Jednacina (6.69) predstavlja Nju-t

t

tm

t0.

.

Slika 6.9. Hladenje tela po eksponen-cijalnom zakonu.

tnov zakon hladenja koji izrazava ci-njenicu da se hladenje tela od tempe-rature na koju je zagrejano do tem-perature okoline odvija po eksponen-cijalnom zakonu, kao na slici 6.9.

Moze se pokazati da se Njutnovzakon hladenja moze izraziti prekobezdimenzionih velicina kao

θ = exp−κBiFo, (6.70)

gde je κ konstanta koja zavisi od ob-lika tela.

6.3 Prenosenje toplote strujanjem

Kako je vec receno, koncept pre- T T T+ D

SS

x

x

x dx+

v

Slika 6.10. Prenosenje toplote struja-njem.

nosenja topote strujanjem (konvekci-jom) povezan je sa kretanjem tecnos-ti ili gasa. Posmatrajmo sada nekifluid koji se krece i uocimo elemen-tarni paralelopiped cija je jedna stran-ica dx a povrsina poprecnog presekaS (slika 6.10). Neka se temperaturefluida na krajevima paralelopipeda ra-zlikuju za ∆t i neka u toku vremena dτ kroz paralelopiped protekne fluidmase m. Zbog proticanja fluida specificnog toplotnog kapaciteta c sa krajana kraj uocenog paralelepipeda, prenese se kolicina toplote

Q = mc∆t. (6.71)

Na osnovu izraza (6.71), uzimajuci u obzir da je m = ρS dx, mogu sedefinisati odgovarajuci konvektivni toplotni fluks

Qkonv =dQ

dτ= ρS v c∆t, (6.72)


kao i gustina toplotnog fluksa koja predstavlja vektor kolinearna sa brzinomprotoka fluida ~v:

~qconv =Qkonv

S= ρ~v c∆t. (6.73)

Prenos toplote strujanjem je redovno pracen provodenjem toplote, jerkada se neki fluid nade u pokretu, pojedine cestice koje se nalaze na ra-zlicitim temperaturama neizbezno dolaze u medusobni dodir. Kao posledicatoga javlja se i konduktivna komponenta prenosenja toplote, tako da se zaukupnu gustinu toplotnog fluksa u fluidu dobija:

~q = ~qkond + ~qkonv = −λ grad t + ρ~v c∆t. (6.74)

6.4 Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja

Toplotna energija zracenja nekog tela potice od energije molekula iatoma. Priroda zracenja svih tela je ista - to su elektromagnetni talasikoji se prostiru kroz prostor. Izvor termalne radijacije je unutrasnja en-ergija zagrejanog tela. Kolicina izracene energije zavisi uglavnom od fizickihkarakteristika i temperature emitujuceg tela. U zavisnosti od talasne duzinezracenja ono ima razlicite osobine. Zracenje koje je od najveceg interesa zaproces prenosenja toplote je ono sa talasnim duzinama λ ∈ [0.8 − 40µm],koje predstavlja tzv. termalno zracenje.

Zracenje je proces karakteristican za sva tela. Svako telo neprekidnoemituje i apsorbuje energiju zracenja ako je njegova temperatura razlicitaod 0 K. Zbog toga uvek postoji prenosenje toplote zracenjem izmedu dvatela, cak i kada su ona na istoj temperaturi.

Kada su tela u termickoj ravnotezi kolicina emitovane i apsorbovaneenergije zracenja su jednake. Spektar zracenja vecine cvrstih tela i tecnihfluida je kontinualan, tj. tela emituju zracenje svih talasnih duzina. Skektarzracenja gasova je diskretan, tj. oni emituju elektromagnetne zrake tacnodefinisane talasne duzine.

Svako telo je sposobno ne samo da emituje zracenje, vec i da ih reflektuje,apsorbuje ili propusta kroz sebe. Ako je ukupna kolicina energije zracenjakoja padne na telo W , onda vazi:

W =WR +WA +WT , (6.75)

gde suWR reflektovana, WA apsorbovana iWT propustena (transmitovana)energija zracenja. Ako gornju jednacinu podelimo sa W , dobicemo

1 = r + a+ t, (6.76)

6.4. Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja 219

gde su r = WR/W koeficijent refleksije, a = WA/W koeficijent apsorpcije,i t = WT /W koeficijent transmisije energije zracenja tela. Za vecinu telavazi da je t ≈ 0.

Telo koje apsorbuje sve zrake koji padnu na njega (a = 1, r = 0, t = 0)naziva se apsolutno crno telo, ako reflektuje sve zrake (a = 0, r = 1, t = 0)onda je to apsolutno belo telo, a ako propusta sve zrake (a = 0, r = 0, t = 1)onda se naziva apsolutno providno telo. Apsolutno crno, belo i providnotelo u stvarnosti ne postoje, vec samo predstavljaju granicne modele zaopisivanje realnih tela. Takode, ovi nazivi nemaju direktne veze sa stvarnombojom tela.

Integralna apsorpciona svojstva tela odredena su preko koeficijenta ap-sorpcije a. Medutim, cesto je potrebno znati kakva je apsorpcija pojedinogdela spektra zracenja. Zato se definise jedna nova velicina, spektralna ap-sorpciona moc, kao odnos apsorbovane i upadne spektralne koncentracije(gustine) fluksa zracenja (videti definiciju 3.13):

Aλ =Φa

e,λ(λ)

Φue,λ(λ)

. (6.77)

Plankov zakon zracenja crnog tela definise zavisnost spektralne kon-centracije eksitanse zracenja Me λ od temperature tela T i talasne duzinezracenja λ:

Me λ(T, λ) =c1λ5

1

expc2λT− 1

, (6.78)

gde su c1 i c2 konstante koje imaju vrednosti c1 = 3.74 · 10−16Wm2 ic2 = 1.44 · 10−2m ·K.

Vinov zakon pomeranja. Ako nacrtamo oblik funkcije Me λ(λ) zanekoliko razlicitih temperatura uocava se da se talasna duzina na kojoj senalazi maksimum zracenja λm snizava sa povisavanjem temperature. Meto-dama matematicke analize moze se pokazati da su λm i T povezani relacijom

b = λm · T, (6.79)

koja se naziva Vinov zakon pomeranja, a gde je b Vinova konstanta kojaima vrednost b = 2.9 · 10−3m ·K.

Na osnovu Vinovog zakona (6.79), moze se sracunati da bi temper-atura crnog tela morala da bude reda T = 4 − 7000K da bi se maksimum


T1

llmax1lmax3

lmax2

Il

T T>2 1

3T T>

2

Slika 6.11. Vinov zakon pomeranja.

zracenja nalazio u oblasti vidljivog spektra. To prakticno znaci se mak-simum zracenja nezagrejanih tela i tela zagrejanih do par hiljada kelvinanalazi u oblasti infra-crvenog dela spektra elektromagnetnih talasa.

Stefan-Bolcmanov zakon daje zavisnost integralne eksitanse zracenja7

crnog tela od temperature i moze se dobiti iz Plankovog zakona integracijomMe λ po svim talasnim duzinama:

Me(T ) =

∞∫

0

Me λ(λ, T ) dλ = σ T 4, (6.80)

gde je σ tzv. Stefan-Bolcmanova konstanta koja ima vrednost σ = 5.7 ·10−8W/(m2 ·K4). Iskazano recima, moze se reci da Stefan-Bolcmanov zakonizrazava cinjenicu da je emisiona moc crnog tela proporcionalna cetvrtomstepenu apsolutne temperature.

Realna tela koja se koriste u inzinjerskoj praksi nisu crna tela, i nadatoj temperaturi emituju manju energiju nego crna tela. Da bi se zakonizracenja crnog tela koristili i za realna tela, uvodi se koncept sivog tela izracenja sivog tela. Zracenje sivog tela, prema analogiji sa zracenjem crnog

7koja se u zakonima zracenja cesto naziva i emisiona moc u oznaci E, a po svojojsustini predstavlja gustinu toplotnog fluksa za izvor toplote (zracenja).


tela, ima kontinualni spektar

M (st)e (T ) =

∞∫

0

M(st)e λ (λ, T ) dλ, (6.81)

ali mu spektralna koncentracija eksitanse zracenja M(st)e λ , na svakoj tem-

peraturi, i za bilo koju talasnu duzinu moze biti razlicita od spektralnekoncentracije eksitanse zracenja crnog tela tj.

M(st)e,λ (λ, T )

Me,λ(λ, T )= ε(λ), (6.82)

gde je ε(λ) velicina koja se naziva spektralna emisivnost. Ako sada definisemointegralnu emisivnost (ili samo emisivnost) ε kao

ε =

∫∞

0 ε(λ)Me λ(λ, T ) dλ∫∞

0 Me λ(λ, T ) dλ(6.83)

onda se Stefan-Bolcmanov zakon za sivo telo moze pisati u jednostavnomobliku:

M (st)e = ε σ T 4. (6.84)

Emisivnost zavisi od fizickih osobina tela, a narocito od stanja njegovepovrsine i uzima verdnosti od nula do jedan. U tabeli 6.3 su date vrednostiemisivnosti za neke materijale.

Kirhofov zakon povezuje spektralnu koncentraciju eksitanse zracenjai spektralnu apsorpcionu moc. On tvrdi da odnos ove dve velicine ne zavisiod prirode tela, i da je za sva tela neka univerzalna funkcija talasne duzinei temperature:

Me,λ

Aλ= f(λ, T ). (6.85)

Posto je za crno telo Aλ = 1, zakljucujemo da je f(λ, T ) jednaka spektralnojkoncentraciji eksitanse zracenja apsolutno crnog tela. Integraleci po svimtalasnim duzinama dobija se ista veza i za eksitsnsu zracenja:

Me

a= f(T ), (6.86)

odakle neposrednim uvidom u (6.84) dobijamo da koeficijent apsorpcije ai emisivnost ε imaju istu vrednost. Iz Kirhofovog zakona sledi da ako jeapsorpciona moc nekog tela mala, emisiona moc je takode mala, kao naprimer kod poliranih metala (videti tabelu 6.3). Crno telo, koje posedujeveliku apsorpciju takode ima i maksimalnu emisionu moc.


Tabela 6.3. Vrednosti koeficijenta emisivnosti za razlicite materijale.

Materijal t (C) ε

aluminijum, poliran 50-500 0.04-0.06

bronza 50 0.1

gvozdeni lim, galvaniziran, svetli 30 0.23

kalaj, stari, beli 20 0.28

zlato, polirano 200-600 0.02-0.03

bakar, potamneli 20-350 0.22

bakar, polirani 50-100 0.02

nikl, polirani 200-400 0.07-0.09

kalaj, svetli 20-50 0.04-0.06

srebro, polirano 200-600 0.02-0.03

celicni lim, valjani 50 0.56

celik, oksidisan 200-600 0.8

celik, jako oksidisan 500 0.98

liveno gvozde 50 0.81

azbestne ploce 20 0.96

drvo, izglacano 20 0.8-0.9

fasadna cigla 500-1000 0.8-0.9

samotna cigla 1000 0.75

cigla, hrapava 20 0.88-0.93

lak, crni, potamneli 40-100 0.96-0.98

lak, beli 40-100 0.8-0.95

uljane boje, razlicite 100 0.92-0.96

cad 20-400 0.95

staklo 20-100 0.91-0.94

emajl, beli 20 0.9

Slucaj dva tela. Razmotrimo sada najjednostavniji slucaj dva paralel-na cvrsta tela koja zrace kao siva tela, a cije su dimenzije velike u poredenjusa njihovim rastojanjem (slika 6.12). Neka su njihovi koeficijenti apsorpcijea1 i a2, emisivnosti ε1 i ε2, a temperature T1 i T2 i neka tela razmenjujutoplotu iskljucivo zracenjem (nema ni kondukcije ni konvekcije).


Ukupni fluks koji napusta prvo telo 1 2

Fr1

Fr2

F2

F1

Fout1

Fout2

Slika 6.12. Slucaj zracenja dva tela.

(tzv. izlazni fluks) Φout 18 predstavlja

ukupni upadni fluks za dugo telo, iobrnuto:

Φout 1 = Φin 2,

Φout 2 = Φin 1.

Sa druge strane, ukupni izlazni flukspredstavlja zbir emitovanog i reflek-tovanog fluksa (slika 6.12):

Φout 1 = Φ1 +Φr 1 = Φ1 + rΦout 2 = Φ1 + (1− a1)Φout 2, (6.87)

Φout 2 = Φ2 +Φr 2 = Φ2 + rΦout 1 = Φ1 + (1− a2)Φout 1. (6.88)

Resavanjem ovog sistema jednacina dobijaju se izlazni fluksevi:

Φout 1 =Φ1 +Φ2 − a1Φ2a1 + a2 − a1a2

, Φout 2 =Φ2 +Φ1 − a2Φ1a1 + a2 − a1a2

, (6.89)

a zatim i tzv. neto fluks:

∆Φ12 = Φout 1 − Φout 2 =a2Φ1 − a1Φ2a1 + a2 − a1a2

. (6.90)

Ako pretpostavimo da je povrsina oba tela S jednaka, pa flukseve zracenjaizrazimo preko odgovarajucih eksitansi za koje vazi Stefan-Bolcmanov zakon

Φ1 = S ·M1 = S ε1 σ T41 , Φ2 = S ·M2 = S ε2 σ T

42 , (6.91)

te konacno uzmemo u obzir i Kirhofov zakon po kome je a = ε, za neto fluksdobijamo

∆Φ12 =a1a2

a1 + a2 − a1a2S σ(T 41 − T 42 ). (6.92)

Relacija (6.92) pokazuje da je neto fluks zracenja izmedu dva tela zavisi odapsorpcionih svojstava njihovih povrsina i da je direktno proporcionalan ra-zlici cetvrtih stepena njihovih apsolutnih temperatura, za razliku od procesakondukcije i konvekcije gde je toplotni fluks proporcionalan razlici prvih ste-pena temperatura. To objasnjava veliku vaznost koju ima toplotna razmenazracenjem u slucaju kada temperaturna razlika dvaju tela raste.

8U ovom izvodenju necemo pisati e u indeksu za fluks i eksitansu zracenja.


6.5 Atmosfera

Rec atmosfera koja oznacava spoljni gasoviti omotac Zemlje, dolazi odgrckih reci ατµoζ = para i σϕερα = lopta, i prestavlja mehanicku smesustalnih gasova, hemijskih jedinjenja i raznih gasovitih, tecnih i cvrstih do-dataka.

Gornja granica atmosfere nije jasno izrazena, ona postepeno prelazi umeduplanetarni prostor. Ukupna masa atmosfere iznosi Ma = 5.2 · 1018 kg,sto predstavlja priblizno milioniti deo mase Zemlje MZ = 6 · 1024 kg. Pri-blizno 50% mase atmosfere nalazi se u prizemnom sloju do visine 5 km, 75%na visini do 10 km 90% do 16 km, 95% do 20 km a 99% ukupne mase at-mosfere do visine od 35 km. U odnosu na poluprecnik Zemlje koji iznosiRZ = 6378 km, debljina atmosfere je zanemarljivo mala.

Sastavni delovi atmosfere su:

• gasovi - koji su postojani u odredenim medusobnim razmerama;

• aerosoli - cvrste i tecne cestice nastale prirodnim ili industrijskimprocesima (cestice prasine, morske soli, dima, kondenzovana vodenapara), ciji udeo u sastavu atmosfere moze biti vrlo promenljiv;

• vodena para - gas ciji je udeo u sastavu atmosfere takode promenljiv.

Vazduh bez aerosola i vodene pare naziva se suvi vazduh i karakterise senepromenljivim sastavom. Posto je koncentracija aerosola relativno mala,atmosferski vazduh najcesce se posmatra kao smesa suvog vazduha i vodenepare.

Osnovne komponente suvog vazduha ostaju postojane do visina od oko35 km. Jedinica zapremine suvog vazduha sadrzi: 78.1% azota (N2), 20.9%kiseonika (O2), 0.9% argona (Ar), 0.03% ugljen dioksida (CO2), 0.002%neona (Ne), 0.0005% helijuma (He), 0.0001% metana (CH4), a manje negometana ima: kriptona (Kr), vodonika (H2), azot dioksida (NO2), ozona (O3)i ksenona (Xe).

Prema fizickim procesima koji se desavaju u njoj, atmosfera se mozepodeliti na tri sloja:9 troposferu, stratosferu i jonosferu.

Troposfera predstavlja prvi sloj atmosfere. Visina troposfere nije istaza razlicite tacke na povrsini Zemlje. Na ekvatoru njena visina je 14−16 km,na geografskim sirinama od oko 45 10− 11 km, a na polovima 8− 9 km.

9Ova podela je prilicno pojednostavljena. U stvarnosti, postoji vise slojeva i meduslojeva: troposfera, tropopauza, stratosfera, stratopauza, mezosfera, mezopauza, jonosfera(termosfera), termopauza i egzosfera.

6.5. Atmosfera 225

Vazna karakteristika troposfere je zagrevanje atmosferskog vazduha injegovo kretanje uvis. Temperatura troposfere opada sa visinom oko 0.5−0.6C na svakih 100m sve do temperature od −50 do −70C. Jos jednavazna osobina troposfere vezana je za prisustvo ugljen dioksida u njoj.

Ugljen dioksid je sa bioloske tacke gledista vazan gas jer predstavljabazu za izgradnju organskih supstanci u procesu fotosinteze, zapocinjucilanac ishrane zivih bica. Sa meteoroloske tacke gledista ugljen dioksid imaveliki uticaj na toplotni bilans atmosfere. On nastaje oksidacijom organ-skih jedinjenja, pri sagorevanju, disanju, itd. Pri vulkanskim erupcijamaoslobada se iz Zemljine kore. Zbog toga se koncentracija ugljen dioksidamenja u prostoru i u toku vremena. U toku dana ima ga manje nego nocu,zimi ga ima vise nego leti, nad kopnom ga takode ima vise nego nad morimai okeanima. Narocito je izrazeno njegovo prisustvo nad naseljenim mestimai u industrijskim oblastima.

Ugljen dioksid je gas koji stvara efekat ”staklene baste”. On ima osobinuda apsorbuje deo dugotalasnog infracrvenog zracenja sa Zemlje, pa potomdeo emituje u vasionu, a deo reflektuje na Zemlju. Povecanjem kolicineugljen dioksida u atmosferi, povecava se deo dugotalasnog infracrvenogzracenja koje se vraca na Zemlju. Tako dolazi do povecanja temperature, akako je proces prisutan na celoj planeti, nastaje globalno otopljenje.

Stratosfera predstavlja sloj atmosfere koji se prostire od kraja tropos-fere pa do nekih 50 km iznad povrsine Zemlje. Sa povecavanjem visine,temperatura stratosfere je najpre konstantna, a zatim raste, tako da navisini od oko 30− 40 km dostize vrednost od oko 50C. Ovaj efekat se mozepripisati ozonu.

Ozon je takode izuzetno vazan gas u atmosferi. Njegova koncentracija jevrlo mala, u jedinicnoj zapremini suvog vazduha ima svega 4 ·10−5% ozona.Kada bi se celokupni ozon iz atmosfere sveo na normalne uslove p = 1013mbi t = 0C cinio bi omotac oko Zemlje debljine svega 3mm. Ovako malakolicina ozona apsorbuje deo ultravioletnog Suncevog zracenja koje cini oko1.5% ukupne Sunceve energije usmerene prema Zemlji. Ovom apsorpcijomultravioletnog zracenja stiti se zivi svet na Zemlji. Pre postojanja kiseonikai ozona u atmosferi, zivot se mogao razvijati samo u okeanima, pod zastit-nim slojem vode. Gornji sloj ozonskog omotaca apsorbujuci ultravioletnozracenje znatno zagreva vazduh u stratosferi.

Jonosfera je najvisi sloj atmosfere cija donja granica pocinje negdena oko 50 − 60 km iznad povrsine Zemlje, a gornja granica se proteze svedo preko 300 000 km u visinu. Ovaj sloj atmosfere je jonizovan, te otudpotice njegovo ime, a us sastavu dominiraju helijum i vodonik. Predeli


najjace jonizacije nalaze se do oko 500 km iznad Zemlje, pa se cesto terminjonosfera upotrebljava upravo za ovu oblast.

Po svom hemijskom sastavu jonosfera je u donjem delu pretezno sas-tavljena od molekula azota i kiseonika, u visim predelima pored moleku-larnog azota ima kiseonika u atomskom stanju, a u jos visim i azota uatomskom stanju. Temperatura jonosfere najpre opada sa porastom visine,a zatim raste do oko 100C. Posto se nalazi iznad ozonskog zastitnog sloja,jonosferu karakterise postojanje UVC zracenja velikih energija koje jonizujeprisutne atome i molekule. Ulazeci u Zemljinu atmosferu, koja je sa svojegornje strane vrlo razredena i sve gusca sto se ide ka povrsini Zemlje, ul-traljubicasti zraci gornje predele atmosfere znatno jace jonizuju. Ulazeci svedublje, ovi zraci gube svoju energiju usled sve cesceg sudaranja i u nizimpredelima ne vrse vise tako intenzivnu jonizaciju kao u gornjim predelima.Tako se dobija da su gornji slojevi jonosfere znatno vise jonizovani negodonji. Posto ultraljubicasti zraci sa Sunca obuhvataju relativno veliki opsegfrekvencija i posto se atmosfera sastoji iz atoma i molekula razlicitih eleme-nata na koje ultraljubicasti zraci razlicitih frekvencija razlicito deluju, to seu atmosferi ne stvara samo jedan jonizovani sloj vec vise slojeva od kojih sesastoji jonosfera. Tako razlikujemo cetiri osnovna sloja jonosfere: sloj D,sloj E, sloj F1 i sloj F2, a osim ovih ponekad se javljaju i neki meduslojevi.Sloj D nalazi se na visini od oko 70 km, sloj E na oko 100, sloj F1 na oko200, a sloj F2 na oko 400 km iznad Zemlje.

Slojevi jonosfere karakterisu se promenom gustine slobodnih elektrona.Ove varijacije desavaju se u toku dana, godine, ali i u visegodisnjim cik-lusima koji se poklapaju sa pojavom povecanja i smanjenja broja Suncevihpega i ciji je period 11 godina. Naelektrisane cestice u jonosferu konstantnopristizu sa Sunca. To je takozvani Suncev vetar ciji intenzitet neprestanovarira. Pojacani Suncev vetar pracen je vrlo snaznim promenama Zemljinogmagnetnog polja koje se nazivaju magnetne bure, kada klasicni kompasipostaju prakticno neupotrebljivi i dolazi do smetnji u radio saobracaju.Zahvaljujuci Zemljinom magnetnom polju suncev vetar tesko prolazi u jo-nosferu, osim na polovima. Zbog toga se u jonosferi javlja jos jedan fenomenvezan za Zemljino magnetno polje, tzv. polarna svetlost, koja je vidljiva savelikih geografskih sirina (od oko 80 i na severnoj i na juznoj hemisferi).Ova svetlost se naziva aurora borealis na severu i aurora australis na jugu,i posledica je fluktuacija Zemljinog magnetnog polja u jonosferi izazvanogprodiranjem snaznog Suncevog vetra.

Pored ultravioletnih zraka, na jonizaciju jonosfere utice i tzv. primarnokosmicko zracenje (o kome ce vise reci biti kasnije), kao i kosmicka prasina.

6.6. Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene pare u atmosferi 227

Medutim, ova delovanja su prakticno bez nekog znacaja na stanje jonosfere.

6.6 Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodenepare u atmosferi

Kada govorimo o vlaznosti vazduha onda razlikujemo apsolutnu, mak-simalnu i relativnu vlaznost.

Apsolutna vlaznost predstavlja masu vodene pare prisutne u 1m3

vazduha.

Maksimalna vlaznost predstavlja maksimalnu masu vodene pare kojuvazduh moze da sadrzi u 1m3 na datoj temperaturi. Ako masa vodene pareprede vrednost maksimalne vlaznosti, dolazi do kondenzacije, tj. vazduhpostaje zasicen vodenom parom.

Relativna vlaznost predstavlja kolicnik apsolutne i maksimalne vlaz-nosti.

Maksimalna vlaznost zavisi od temperature vazduha. Ukoliko je vazduhtopliji, veca je maksimalna vlaznost. Sa snizavanjem temperature vazduhaopada maksimalna vlaznost dok je apsolutna vlaznost nepromenljiva, sto zaposledicu ima porast relativne vlaznosti. Ukoliko se temperatura dovoljnosnizi, relativna vlaznost dostize 100%. Ta temperatura na kojoj dolazi dokondenzacije naziva se tacka rose.

Instrumenti za merenje vlaznosti su higrometar i psihrometar. Postojedve vrste higrometara: higrometri sa uglacanom povrsinom i higrometri sdlakom. Kod prvih, dolazi do hladenja suda sa uglacanom povrsinom imerenja temperature na kojoj povrsina postaje zamagljena - tacke rose, pase na osnovu temperature vazduha i tacke rose iz psihrometrijskih tablicaodreduje relativna vlaznost. Slican je princip rada psihrometra, koji sesastoji od dva termometra, obicnog - ”suvog” i ”mokrog” ciji je rezervoarobavijen mokrim platnom. Razlika pokazivanja ova dva termometra je pro-porcionalna isparavanju sa platna, koje je utoliko vece ukoliko je vazduhsuvlji, pa se na osnovu tablica moze odrediti relativna vlaznost vazduha.Princip rada higrometra sa ljudskom dlakom zasniva se na cinjenici da cistavlas kose menja duzinu pri promeni relativne vlaznosti.

Vodena para je od posebnog znacaja kako za zivot na Zemlji tako i zaklimu. U tropskim predelima vodena para dostize i 4% sastava vazduha,dok se u zimskoj sezoni na Arktiku i Antartiku nalazi samo u tragovima.

Vodena para ulazi u atmosferu isparavanjem vode sa okeana, mora, jeze-ra, reka, tla, i slicno. Kondenzacijom i kristalizacijom vodene pare nastaju


hidrometeori.

Hidrometeori su pojave koje mogu da se osmotre u atmosferi ili naZemljinoj povrsini u vidu lebdenja, padanja ili talozenja tecnih ili cvrstihcestica vodenog sastava: oblaci, magla, kisa, rosa, slana, inje, sneg, grad.

Oblaci nastaju usled adijabatskog hladenja vlaznog vazduha pri izdizanjuuvis. Sa snizavanjem temperature vazduh postaje zasicen vodenom paromi para koja predstavlja nevidljivi gas prelazi u vrlo sitne kapljice, precnika1−120µm. Zbog toga ove kapljice padaju vrlo sporo pa ih i najsporiji vetarmoze horizontalno pomerati, pa cak i uzdizati.

Prema svom obliku i visini oblaci imaju razlicita imena10. Cirusi supaperjasti oblaci, visoki 8 − 9 km, sastavljeni iz ledenih iglica i potpunobele boje. Kumulusi (gomilasti oblaci) predstavljaju gomile belicasto sivihoblaka sa horizontalnom donjom povrsinom na visini od oko 1− 3 km i bre-zuljkastom gornjom povrsinom na visini koja moze preci i 12 km. Stratusisu niski (do 1000m) tamno sivi oblaci koji u obliku horizontalnih pantljikazastiru nebo. Nimbusi su crni oblaci razlicitog oblika, koji su vrlo bliskizemlji (do 200m) i daju kisu.

Magla se od oblaka razlikuje samo po mestu postanka, oblaci se javljajuu visinama a magla u prizemlju. Ona nastaje kada preko hladnog zemljinogtla duva topao i vlazan vazduh ili kada preko jezera, reka i mocvara duvahladan vetar. Moze nastati i laganim rashladivanjem mirnog vazduha dotacke rose (jesenje magle).

Kisa postaje kao i oblaci rashladivanjem vlaznog vazduha, samo je ovdehladenje intenzivnije. Pri tome se sitne kapljice spajaju u krupne kapi,precnika 0.5− 7mm, koje padaju na zemlju kao kisa.

Sneg predstavlja kristale leda koji postaju kada je temperatura vazduhaniza od 0C.

Grad predstavlja ledene komade, koji poticu iz gornjih slojeva oblaka.Oni mogu dostici velicinu jajeta, javljaju se za vreme letnjih oluja.

Rosa i slana nastaju kondenzovanjem vodene pare iz vlaznog vazduhausled dodira sa hladnim predmetima (travom, liscem), cija je temperaturaniza od tacke rose, tj. pri stvaranju slane niza i od 0C.

Inje postaje kada prehladene (ispod 0C) vodene kapljice magle, terane

10Podela data u tekstu predstavlja pojednostavljenu podelu oblaka. Za osmatranjeoblaka i pojva koje ih prate u celom svetu koristi se jedinstveni Medu narodni atlasoblaka. U njemu je definisano deset rodova (sa pratecim vrstama i podvrstama) oblaka.To su cirus, cirokumulus, cirostratus (visoki oblaci), altokumulus, altostratus (srednjioblaci), nimbostratus, stratokumulus, stratus (slojasti oblaci), kumulus i kumulonimbus(oblaci vertikalnog razvoja)

6.7. Vazdusni komfor 229

vetrom, dodu u dodir sa cvrstim telima, pri cemu se naglo slede i nahvatajuna njima.

6.7 Vazdusni komfor

Vazdusni komfor korisnika odnosi se na kvalitet vazduha u izgradenimobjektima i obezbedivanje ”cistog” vazduha. Pri razmatranju kvaliteta vaz-duha, u obzir se uzimaju:

• sastav vazduha (potreban je stabilan procenat kiseonika koji omogu-cuje normalno disanje),

• koncentracija zagadivaca (ugljen monoksid, duvanski dim,...),

• koncentracija razlicitih vrsta cestica (prasina, dim, cad,...),

• koncentracija jona (dokazano je da prisustvo negativnih jona u vaz-duhu izaziva osecaj prijatnosti),

• vlaznost vazduha.

Za osecaj ugodnosti nije bitan stvarni sadrzaj vlage u vazduhu vec dali postojeca kolicina vlage omogucava funkcionisanje termoregulacionih sis-tema u organizmu. Zato se, kada se govori o vazdusnom ili toplotnomkomforu ljudi, vlaznost vazduha izrazava relativnom vlaznoscu. Ljudi secesto zale na suv vazduh u prostorijama sa centralnim grejanjem tokomzime, pa teze da na razlicite nacine povecaju njegovu vlaznost. Medutim,brojni eksperimenti pokazuju da ljudi nisu u stanju da osete promene rel-ativne vlaznosti ako su te promene u intervalu 30 − 70%. Ako je relativnavlaznost manja od 30% ljudi se zale na suv vazduh u nosu i grlu, a dolazii do iritacije ociju. Takode, povecava se mogucnost razlicitih infekcija kaoposledica susenja sluzokoze disajnih puteva. Pored ovih direktnih uticajana coveka, mala vlaznost vazduha ima i druge efekte koji mogu da doprinesusmanjivanju komfora:

• povecava se efekat pojedinih zagadivaca (npr. dima od cigarete), bu-duci da se zagadivaci samo u malim kolicinama vezuju za vlagu uvazduhu;

• smanjuje se mogucnost adaptacije covekovog cula mirisa, sto dovodido osecaja zagadenosti vazduha;


• fine cestice prasine se mnogo sporije taloze jer se smanjuje mogucnostnjihovog spajanja sa vlagom u vazduhu;

• pojacava se elektrostaticki efekat - naime, pri malim relativnim vlaznos-tima vazduha razni tekstilni materijali i sinteticke obloge postaju dobriizolatori pa se npr. hodanjem po obicnom tepihu u takvim uslovimacovek moze naelektrisati, sto dovodi do elektrostatickog praznjenja(udara) pri dodiru nekog metalnog predmeta, pri cemu napon priudaru moze dostici i 2 kV.

Prevelika vlaznost vazduh takode ima negativne posledice:

• ugrozava komfor ljudi jer se pri visokoj relativnoj vlaznosti i visokojtemperaturi znatno otezava znojenje kao osnovni mehanizam za sni-zavanje temperature tela;

• na objektima izaziva rosenje, povecanje vlaznosti materijala, pri niskimtemperaturama mrznjenje kondenzovane vlage, a sve to dovodi dostvaranja budi i propadanja materijala.

6.8 Temperatura i pritisak atmosferskog vazduha

Sunceva energija zagreva atmosferski vazduh direktnim zracenjem u vrlomalom obimu. Najvecim delom ova energija najpre zagreva kopno i okeane,a zatim se konvekcijom prenosi i na vazduh.

Temperatura atmosferskog vazduha predstavlja jedan od osnovnihmeteoroloskih parametara. Ona se meri na glavnim (27 puta dnevno, svakog

punog sata i u 7h, 14h i 21h po mesnom (lokalnom) vremenu, koje zavisi odgeografske duzine i razlikuje se od zvanicnog vremena) i obicnim (tri puta

dnevno u 7h, 14h i 21h po lokalnom vremenu) meteoroloskim stanicama.Temperatura vazduha u toku dana najcesce se menja postepeno. Od

minimalne vrednosti neposredno pre izlaska Sunca, sa povecanjem visineSunca iznad horizonta raste sve do prvih popodnevnih sati (maksimalnavrednost je otprilike 2 sata nakon prolaza Sunca kroz zenit), a zatim opada.Razlika izmedu maksimalne i minimalne temperature predstavlja dnevnuamplitudu temperature. Sto se tice godisnjih temperatura, za severnu Zem-ljinu poluloptu vazi da se maksimalne temperature pojavljuju u julu, aminimalne u januaru.

Aritmeticka sredina izmerenih temperatura u toku dana odreduje sred-nju dnevnu temperaturu. Od ovih se dobija srednja mesecna temperatura,

6.8. Temperatura i pritisak atmosferskog vazduha 231

Tabela 6.4. Karakteristicni dani sa stanovistva temperature.

tsr < 12C grejni period

tmin < 0C mrazni dan

tmax < 0C ledeni dan

tmax > 30C tropski dan

tmin > 20C tropska noc

a od srednjih mesecnih dobija se srednja godisnja temperatura. Srednjagodisnja temepratura za grad Nis izmerena u periodu od 1961. do 1990.godine iznosi 11.4C.

Ponekad je potrebno imati informaciju o ucestalosti dana sa vrednos-tima temperature vazduha ispod ili iznad zadate, karakteristicne vrednosti(tabela 6.4):

Linija koja spaja mesta iste temperature na Zemljinoj povrsini zove seizoterma. Kada se na geografskoj karti ucrtaju izoterme srednje godisnjetemperature, redukovane na nivo mora (na svakih 100m nadmorske visinedodaje se 0.75C), onda se moze uociti da:

• Temperatura opada nepravilno od ekvatora prema polovima. Nepravilnostje veca na severnoj nego na juznoj polulopti. Izoterme su vijugave linije kojevise ili manje odstupaju od geografskih uporednika.

•Mesta na krajnjem severozapadu Evrope (Skandinavsko poluostrvo) imajuvisu temperaturu od drugih mesta iste geografske sirine. Uzrok ovog feno-mena je topla Golfska struja koja polazi iz Meksickog zaliva, ide pored obaleSeverne Amerike, prelazi Atlanski okean i uliva se u Severno Ledeno Moreprolazeci izmedu Islanda i Irske i pored Skandinavskog poluostrva. Onadonosi velike kolicine tople vode (njena temperatura je 31C u Meksickomzalivu, 18C u visini Njujorka, 10C kod Skotske i 5C kod Norveske), a uzto od nje poticu topli vetrovi koji dolaze u Zapadnu Evropu i predstavljajuglavne donosioce kise.

Barometarska formula daje zavisnost atmosferskog pritiska od nad-morske visine. Posmatrajmo sloj vazduha debljine dh na visini h. Neka jeprirastaj pritiska na ovom sloju dp (slika 6.13). Ovaj prirastaj je posledicaaerostatickog pritiska ovog sloja, tj. vazi:

p− (p+ dp) = ρ g dh ⇒ dp = − ρ g dh. (6.93)


Koristeci jednacinu stanja idealnog gasa moze se izraziti gustina, izvrsitirazdvajanje promenljivih, i integraliti diferencijalna jednacina (6.93):

ρ =m

V=pM

RT⇒ dp

p= −M g

RTdh ⇒ ln

p(h)

p(0)= −M g

RTh, (6.94)

odakle se dobije barometarska for-

dh

p dp+

p

h

h

Slika 6.13. Uz izvodenje barometarskeformule.

mula:

p = p0 exp

−M g

RTh

, (6.95)

gde je p0 pritisak na visini mora.Na osnovu barometarske for-

mula rade uredaji za merenje vi-sine - visinomeri (altimetri).

Osim nadmorske visine, norma-lni atmosferski pritisak zavisi i odgeografske sirine.

Vetrovi su vazdusne struje prouzrokovane nejednakim pritiskom izmedudva mesta. Promena pritiska uglavnom je posledica nejednakog zagrevanjaZemljine povrsine.

Glavno strujanje atmosferskog vazduha sastoji se u stalnom izdizanjutoplog vazduha u tropskim oblastima i kretanju na velikim visinama kapolovima. Ovi vetrovi nazivaju se antipasati. Suprotno njima, pasati suvetrovi koji na malim visinama prenose hladni vazduh sa vecih geografskihsirina prema ekvatoru. Zbog efekata Zemljine rotacije oko svoje ose dolazido skretanja ovih vetrova pa tako pasati sa severne polulopte umesto popravcu sever-jug duvaju po pravcu severoistok-jugozapad, a oni sa juznepolulopte po pravcu jugoistok-severozapad (slika 6.14). Antipasati se krecudo oko 30 severne i juzne geografske sirine, gde se veci deo vazduha spustananize, zbog cega ove oblasti imaju najvisi srednji pritisak.

antipasatipasati

Slika 6.14. Pravac kretanja pasata i antipasata

6.8. Temperatura i pritisak atmosferskog vazduha 233

Pasati i antipasati su vetrovi stalnog pravca. Osim njih, postoje i peri-odicni vetrovi, koji menjaju smer svaka 24 casa ili dvaput godisnje. U prvespadaju kontinentalni i morski vetrovi: danju se vazduh vise zagreva nadkopnom nego nad morem, te imamo morski vetar, dok je uvece i nocu obr-nuto. U druge spadaju monsuni koji duvaju u Indijskom okeanu, sa kopnana more zimi, a sa mora na kopno leti.

Najzad postoje i lokalni vetrovi, karakteristicni za doticni kraj, koji sejavljaju s vremena na vreme i imaju uvek isti smer. Takvi vetrovi su Mistralu Francuskoj, Bura i Siroko na Jadranskom moru, Kosava u Podunavlju,itd.

Predvidanje vremena. Promena pritiska u toku 24 casa uglavnom jesuprotna promeni temperature. Pritisak je najveci oko 10 casova pre podne,a najmanji oko 4 casa po podne pri vedrim danima. Sto se tice godisnjihpromena, pritisak na kontinentu u toku jedne godine ima maksimum zimikada je vazduh hladan, a minimum leti.

Od raspodele atmosferskog pritiska zavisi stanje vremena posmatraneoblasti. Kada je on visi od normalnog pritiska za datu oblast, preovladujelepo vreme; kada je pak nizi od normalnog, preovladuje ruzno vreme.

Linija koja spaja mesta istog pritiska na Zemljinoj povrsini zove se izo-bara. Proucavanje raspodele pritiska vrsi se ucrtavanjem dovoljnog brojaizobara na geografskim kartama na osnovu podataka koje dostavljaju me-teoroloske stanice. Izobare su zatvorene, priblizno koncentricne linije kojeopkoljavaju jednu tacku u kojoj je pritisak ili najmanji ili najveci. U prvomslucaju imamo ciklon ili barometarsku depresiju, a u drugom anticiklon. ZaEvropu je vazan anticiklon u Atlanskom okeanu (azorski maksimum) i de-presioni prostor izmedu Grenlanda i Skandinavskog poluostrva (islandskadepresija). Ruzno vreme dolazi skoro uvek usled prolaza ciklona (depresije)preko posmatrane oblasti, dok je anticiklon nosilac lepog vremena.

Ciklon je slozena atmosferska pojava u vidu vazdusnih vrtloga koji pos-taju sukobljavanjem toplih i hladnih vazdusnih struja. Vetar u ciklonu jejak kruzni sa smerom kretanja suprotno od kazaljke na satu na severnojpolulopti. Cikloni pri svome kretanju na povrsini Zemlje opisuju nepravilneputanje koje podsecaju na parabole. Smer ovog kretanja je suprotan nasevernoj i juznoj polulopti. Najcesci pravac kretanja ciklona u Evropi jesa zapada na istok. Pravac i brzina pomeranja ciklona odreduje se premapomeranju njegovog minimuma. Zbog toga se radi prognoze vremena nageografskim kartama ucrtavaju meteoroloski podaci (temperatura, pritisak,vlaznost, oblacnost) koji predstavljaju istovremena posmatranja na raznimmestima Zemljine povrsine. Uporedivanjem ovih vremenskih ili sinoptickih


karata, koje predstavljaju stanje i polozaj ciklona, obicno u vremenskimrazmacima od 6 sati, moze se odrediti ne samo putanja i prosecna brzinaciklona, vec se moze dati prognoza vremena koje ce nastupiti u nekom mestuu toku jednog, dva ili tri dana, posto cikloni putuju skoro stalnim puta-njama. Za Juznu Evropu najvaznija je putanja koja ide od Baskijskogzaliva preko Francuske na -Denovski zaliv i dalje preko Italije na severni deoJadranskog mora, gde se racva na tri grane: prva ide prema Poljskoj, drugadolinom Save i Dunava na Crno more, i treca istocnom obalom Jadranskogmora, preko Grcke i izlazi na Egejsko more. Brzina ciklona iznosi od 40 −80 km/h.

6.9 Toplotni komfor

Toplotni komfor se moze definisati kao skup uslova u kojima se ljudiosecaju ugodno, sredinu dozivljavaju kao termalno neutralnu (niti je suvisetoplo, niti suvise hladno), a regulatorni mehanizmi organizma uz minimalnoopterecenje postizu toplotnu ravnotezu organizma.

Parametri toplotnog komfora razlikuju se u zavisnosti od kulture, navikaljudi, socijalnog i ekonomskog statusa, aktivnosti, fizioloskog stanja orga-nizma. Kriterijumi za ocenu toplotnog komfora nisu cvrsti i variraju kakopojedinacno (od coveka do coveka u jednoj istoj zajednici), tako i kolektivno(npr. Eskim i stanovnik Afrike nemaju iste kriterijume za ocenu toplotnogkomfora).

Subjektivni parametri toplotnog komfora vezani su za stanje, po-nasanje i nacin zivota svakog pojedinca:

• utopljenost, buduci da se izborom odece i obuce pojedinac najjednos-tavnije prilagodava spoljasnjim uslovima;

• nivo aktivnosti od koga zavisi kolicina toplote koja se proizvodi uorganizmu;

• stanje zdravlja i kondicija;

• aklimatizacija - mogucnost prilagodavanja, koja je individualne prirode.

Objektivni parametri toplotnog komfora su:

• temperatura vazduha kao najvazniji, ali ne i jedini parametar, kojitek u kombinaciji sa ostalim parametrima daje stvarnu sliku uslovasredine;

6.10. Zagrevanje i hladenje zgrada 235

• vlaznost vazduha;

Buduci da je znojenje jedan od najvaznijih mehanizama za termoregu-laciju covekovog tela, relativna vlaznost vazduha bitno utice na tem-peraturu na kojoj moze da se odrzi toplotna ravnoteza. U tabeli 6.5 suprikazane maksimalne temperature vazduha pri kojima je uz navedenurelativnu vlaznost jos uvek moguce postizanje toplotne ravnoteze or-ganizma. Vidi se da ova temperatura opada sa povecavanjem relativnevlaznosti. Zato se u pustinjama, zbog male vlaznosti, dobro podnosei vrlo visoke temperature, dok se naprotiv, vreme pre letnjih oluja,koje se karakterise vrlo velikom vlaznoscu, jako tesko podnosi i poredrelativno umerene temperature reda tridesetak stepeni Celzijusa.

Tabela 6.5. Maksimalna temperatura vazduha za postizanje toplotne ravnoteze uzavisnosti od relativne vlaznosti vazduha.

Relativna Maksimalna temperaturavlaznost vazduha za postizanje

vazduha [%] toplotne ravnoteze [C]

100 31

50 38

18 45

0 52

• strujanje vazduha, koje pojacava efekte isparavanja i odavanja toplotesa povrsine tela;

• zracenje zagrejanih tela, ukoliko je intenzivno, dovodi do dodatnog,direktnog zagrevanja ljudskog tela, cime se postize njegovo neravno-merno zagrevanje.

6.10 Zagrevanje i hladenje zgrada

Za postizanje toplotnog komfora neophodno je odrzavanje temperatureradnih i zivotnih prostora u odredenom opsegu temperatura. U zavisnosti odklimatskih uslova, to se mora postici ili sezonskim zagrevanjem, ili sezonskimhladenjem, a u slucaju klime sa izrazitim varijacijama temperature leti i zimipotrebno je i zagrevanje u zimskoj i hladenje u letnjoj sezoni.


Zagrevanje objekata moze biti pasivno i aktivno. Pasivno grejanje po-drazumeva izbor lokacije, projektovanje i realizaciju objekata tako da semaksimalno iskoristi toplotna energija sunca koja u datoj oblasti stoji naraspolaganju. Ovim problemima se bavi solarna arhitektura. Takode, pri-likom izbora lokacije i projektovanja i realizacije objekata treba voditi racunai o mikroklimi i lokalnoj ruzi vetrova, jer su to elementi koji mogu smanjitiili povecati zahtevani nivo zagrevanja. Aktivno zagrevanje znaci koriscenjedodatnih izvora toplote. U lancu aktivnog zagrevanja razlikujemo:

• energent,

• radni fluid,

• grejna tela.

Energenti su supstance koji oslobadaju toplotnu energiju, sagorevanjemkao kod goriva (cvrsta goriva, tecna goriva ili gas), ili pomocu Dzulovihefekata kao kod elektricne struje. Koriscenje elektricne energije za zagre-vanje ekoloski je opravdano samo ako je elektricna energija dobijena izekoloski bezopasnih obnovljivih izvora energije (hidropotencijali, energijavetra, i sl.).

Prema mestu gde je lociran energent, aktivno grejanje se moze podelitina lokalno, kod koga se energent nalazi u prostoriji koja se zagreva, i cen-tralno kada se na jednom mestu stvara toplota za zagrevanje vise prostorijaili vise objekata. Ukoliko je izvor toplote udaljen od mesta gde se onadovodi, centralno grejanje se naziva i daljinsko.

Radni fluid ima zadatak da prenese toplotnu energiju od mesta gde seona stvara do grejnih tela. To je najcesce voda kod centralnog grejanja, dimkod lokalnog sagorevanja cvrstih i tecnih goriva, voda ili ulje kod lokalnogrejanih radijatora.

Grejna tela imaju funkciju prenosenja toplote na okolni vazduh. To sunpr. radijatori i cevi, peci i sulundari, elektricni grejaci sa ventilatorom(fenom) - kaloriferi, kvarcne grejalice, termo-akumulacione peci, mermernagrejna tela, konvektori i sl.

Jedan od izuzetaka, tj. grejanje kod koga skoro da nema radnog fluida, jegrejanje kaminom. Tamo se toplota na vazduh dominantno prenosi direktnosa vatre koja gori, a u vrlo malom obimu sa produkata sagorevanja krozodvodni dimnjak. Iako je koeficijent korisnog dejstva ovakvog grejanja vrlomali, ono se ponekad koristi iz estetskih razloga.

Posto je vazduh vrlo los provodnik toplote, grejna tela na njega toplotuprenose konvekcijom i zracenjem. U zavisnosti od vrste grejnog tela, vise je

6.11. Difuzija 237

izrazen je jedan ili drugi nacin prenosenja toplote. Na primer, kod kvarcnihgrejalica izrazito je dominantno prenosenje toplote na vazduh zracenjem, akod kalorifera konvekcijom. Kod termo-akumulacionih peci, ako je venti-lator iskljucen dominira zracenje, a u slucaju rada ventilatora konvekcija.Najugodnije je zagrevanje kod koga je uspostavljen sklad izmedu ova dvanacina prenosenja toplote, kao npr. kod radijatora i peci na cvrsta goriva.

Sistem centralnog daljinskog grejanja obuhvata nekoliko elemenata pri-kazanih na slici 6.15. U podstanicama se vrsi prekid centralnog toplotnogkola pa se preko izmenjivaca toplote uspostavlja veza sa lokalnim toplotnimkolom koje omogucava dovodenje toplote u sve radijatore u posmatranojzgradi.

RADIJATORI

PODSTANICETOPLANA

PUMPE

SAGOREVANJEENERGENATA

IZAGREVANJE

VODE

IZMENJIVAÈTOPLOTE

Slika 6.15. Sistem daljinskog grejanja.

Hladenje prostorija takode moze biti lokalno i centralno. Centralnohladenje je povezano sa provetravanjem pa se projektuje i realizuje na nivoucitavog objekta uz pomoc specijalnih kanala za strujanje vazduha. Lokalnose obavlja izazivanjem strujanja vazduha postojece temperature (kao kodventilatora), ili njegovim dodatnim hladenjem, kao kod klima uredaja (tzv.air conditioning aparata). Moderni klima uredaji vrse nekoliko funkcijaistovremeno, odrzavaju zeljenu temperaturu u prostoriji (tj. po potrebihlade ili zagrevaju vazduh), odrzavaju vlaznost vazduha u prihvatljivomopsegu, vrse promenu vazduha u prostoriji i njegovo filtriranje.

6.11 Difuzija

Spontani proces prelazenja molekula materije, u jednokomponentnoj,dvokomponentnoj ili visekomponentnoj sredini, pod uticajem slucajnog ter-malnog kretanja molekula u uslovima nejednakih koncentracija, iz oblastivise u oblast nize koncentracije, naziva se difuzija. Ukoliko je sredina jed-nokomponentna, difuzija se naziva autodifuzija (samodifuzija).

Difuzija je proces koji se odvija u sva tri agregatna stanja u svim kom-


binacijama, (tj. gasa kroz cvrsto, gasa kroz tecno, gasa kroz gasovito agre-gatno stanje, itd.) po istim zakonima. Difuzija gasa kroz gas odvija senajbrze.

Difuzija predstavlja transportni proces u kome se transportuju cestice,koje sa sobom prenose svoju masu, a eventualno i svoje naelektrisanje(ako su u pitanju naelektrisane cestice). Problem transporta naelektrisanjaproucavan je u poglavlju 5, dok se u ovom poglavlju proucava transportmase, koji je od velikog interesa u gradevinsko-arhitektonskih problemima.Na osnovu analogije sa do sada analiziranim transportnim procesima i sadase mogu definisati karakteristicne velicine kojima se taj transport opisuje. Uslucaju difuzije to su protok mase G i gustina protoka mase g. Protok mase(ili difuzioni fluks) se definise kao kolicina mase koja u jedinici vremenaprode kroz neku povrsinu u pravcu normale na povrsinu:

G =dm

dt[=]

kg

s. (6.96)

Gustina protoka mase (ili gustina difuzionog fluksa) je protok mase po je-dinici povrsine:

g =dG

dS=

dm

dt dS[=]

kg

m2 s. (6.97)

Gustina protoka mase je vektorska velicina, pa se difuzioni fluks moze daizrazi kao fluks vektora gustine protoka mase kroz posmatranu povrsinu:

dG = ~g · d~S, G =

∫

S~g · d~S. (6.98)

Zakoni difuzije su, matematicki gledano, analogni zakonima provodenjatoplote, pa se izmedu odgovarajucih velicina moze uspostaviti korespoden-cija. Na taj nacin, analogija uspostavljena izmedu Omovog zakona kodelektricnih struja i Furijeovog zakona kod provodenja toplote moze se sadaprosiriti i na proces difuzije pri cemu ulogu osnovnog zakona difuzije igra IFikov zakon. Jedina razlika u odnosu na provodenje toplote je to sto tem-peraturskom polju kod provodenja toplote11 kod difuzije mogu odgovaratitri razlicita polja,12 polje gustine, molarne koncentracije ili pritiska. (videtitabelu 6.6).

I Fikov zakon u procesima difuzije predstavlja analogon Furijeovom za-konu provodenja toplote i Omovom zakonu kod elektricnih struja, i definise

11odnosno polju elektricnog potencijala kod proticanja elektricnih struja;12sva tri polja odnose se na materijal koji difunduje i proisticu iz polaznog polja kon-

centracije, tj. broja cestica u jedinici zapremine.

6.11. Difuzija 239

Tabela 6.6. Analogija izmedu velicina karakteristicnih za difuziju (D), provodenjetoplote (T), i elektricnu struju (E)

D masa mT kolicina toplote QE naelektrisanje Q

D protok mase (difuzioni fluks) G

T toplotni fluks QE jacina struje I

D gustina protoka mase (gustina difuzionog fluksa) gT gustina toplotnog fluksa qE gustina struje J

D polje gustine ρ(x, y, z, t)D polje molarne koncentracije C(x, y, z, t)D polje pritiska p(x, y, z, t)T polje temperature t(x, y, z, τ)E elektricni potencijal V (x, y, z, t)

proporcionalnost gustine protoka mase i gradijenta gustine:

~g = −D grad ρ, (6.99)

gde je D koeficijent difuzije koji se izrazava u m2/s. U slucaju jednodimen-zionog problema, ova jednacina se pojednostavljuje i svodi na oblik:

g = −D dρ

dx. (6.100)

I Fikov zakon se moze napisati u jos dva alternativna oblika ukolikose umesto gustine uvede molarna koncentracija C, ili parcijalni pritisak p(sto se koristi ako je difundujuca supstanca u gasovitom stanju). Uvodecimolarnu koncentraciju C kao broj molova supstance u jedinici zapremineC = nm/V , dobijamo:

ρ =m

V=nmM

V=M C, (6.101)

sto (6.99) svodi na

~g = −M D gradC = −DC gradC, (6.102)


ili u jednodimenzionom slucaju

g = −M DdC

dx= −DC

dC

dx, (6.103)

gde je DC koeficijent difuzije u izrazima sa molarnom koncentracijom kojise izrazava u (kg ·m2)/(mol · s).

Ako iz jednacine stanja idealnog gasa izrazimo ρ u funkciji p:

p V =m

MRT ⇒ ρ =

m

V=pM

RT, (6.104)

I Fikov zakon se moze napisati u obliku:

~g = − DM

RTgrad p = −Dp grad p, (6.105)

tj. u jednodimenzionom slucaju kao

g = − DM

RT

dp

dx= −Dp

dp

dx, (6.106)

gde je Dp koeficijent difuzije u izrazima sa pritiskom koji se izrazava usekundama.

Znak minus u jednacinama (6.99), (6.100), (6.102), (6.103), (6.105) i(6.106) oznacava da se difuzija odvija sa mesta vece na mesto manje gustine(koncentracije, pritiska). Koeficijent difuzije D (a samim tim i DC i Dp) jekarakteristika:

• materijala kroz koji se odvija difuzija,

• materijala ciji molekuli difunduju.

U najgeneralnijem slucaju D zavisi od gustine materijala koji difunduje itemperature sredine, pa I Fikov zakon postaje nelinearna relacija:

~g = −D(ρ, T )grad ρ. (6.107)

Ovakav pristup problemima difuzije, prevazilazi granice nasega kursa.II Fikov zakon predstavlja opstu diferencijalnu jednacinu koja opisuje

proces difuzije, i odgovara diferencijalnoj jednacini provodenja toplote uanalogiji difuzije i provodenja toplote. U slucaju konstantnog koeficijentadifuzije, i jednodimenzione analize II Fikov zakon se moze napisati u trirazlicita vida kao:

dρ

dt= D

d2ρ

dx2,

dC

dt= D

d2C

dx2,

dp

dt= D

d2p

dx2. (6.108)

Primecujemo da se u sva tri oblika II Fikovog zakona pojavljuje samo jedankoeficijent difuzije D.

6.12. Difuzija i kondenzacija vodene pare 241

6.12 Difuzija i kondenzacija vodene pare

6.12.1 Difuzija vodene pare

Kod vodene pare cesto je pogodna upotre-p

p’w

p”w

d

x

Dp.

.

Slika 6.16. Profil parcijalnogpritiska vodene pare u jednos-lojnom zidu.

ba relativnog koeficijenta vodene pare koji sedefinise kao kolicnik koeficijenta difuzije vo-dene pare kroz vazduh i koeficijenta difuzijevodene pare kroz neki drugi materijal:

µ =Du vazduhu

Du materijalu. (6.109)

Supstance kod kojih je µ ≈ 1 nazivaju se paro-propustljive, a one sa µÀ 1 parozaptivne.

Posmatrajmo difuziju vodene pare kroz zid,i odlucimo se za jednacine sa parcijalnim pri-tiskom vodene pare u vazduhu koji se nalazi u

porama zida. Na osnovu analogije sa provodenjem toplote, za slucaj jed-noslojnog zida (slika 6.16) mozemo odmah napisati:

g = const = −Dpp′′w − p′w

δ=Dp

δ(p′w − p′′w) =

p′w − p′′wrpd

, (6.110)

gde je δ debljina zida, p′w i p′′w parcijalni pritisci vodene pare na krajevimazida, a rpd difuziona otpornost jedinicne povrsine u jednacinama sa pritiskom:

rpd =δ

Dp=δ RT

DM. (6.111)

Profil parcijalnog pritiska vodene pare u zidu je linearan:

p(x) = p′w −g

Dpx. (6.112)

U slucaju viseslojnog zida (slika 6.17), odgovarajuce jednacine su:

g = const =p′w − p′′wn∑

i=1

δiDp i

=p′w − p′′wrpd uk

, (6.113)

gde je rpd uk ukupna difuziona otpornost viseslojnog zida:

rpd uk =n∑

i=1

δiDp i

. (6.114)


p

p’w p

12

p23

p”w

x

Dp1 Dp2Dp3

d1

d2 d

3

. .. .

Slika 6.17. Profil parcijalnog pritiska vodene pare u viseslojnom zidu.

6.12.2 Kondenzacija vodene pare

Kondenzacija vodene pare nastaje kada parcijalni pritisak vodene paredostigne parcijalni pritisak zasicenja, a to se moze desiti na tri nacina:

• kada se pri konstantnoj temperaturi povecava koncentracija vodenepare cime se povecava i njen parcijalni pritisak;

• kada se pri konstantnoj koncentraciji vodene pare snizava temperaturacime se smanjuje parcijalni pritisak zasicenja;

• kombinacijom prethodna dva nacina.

Stete koje prouzrokuje kondenzacija krecu se od narusavanja estetskogizgleda, preko ugrozavanja zdravlja, do ozbiljnih ostecenja materijala i kon-strukcija. Posledice kondenzacije su magljenja i curenja na povrsinama,pojava budi na povrsinama i u materijalima, korozija, promena fizickih itoplotnih karakteristika materijala i konstrukcija.

Pojava kondenzacije na gradevinskim objektima javlja se u dva oblika:

• povrsinska kondenzacija koja nastaje kada je topao i vlazan vazduh udodiru sa hladnim povrsinama;

• kondenzacija u zidu koja nastaje prilikom difundovanja vodene parekroz zid.

Kao jedna od najboljih metoda za otklanjanje povrsinske kondenzacijeje uvodenje ventilacije, koja onemogucava konstantno prisustvo toplog ivlaznog vazduha u blizini rashladenih povrsina. O ovim problemima vise seuci u strucnim predmetima.


Kondenzacija u zidu

Da bi ilustrovali ovaj fenomen posmatrajmo porozan ravan zid. Neka jeu prvom slucaju uspostavljena hidro-termicka ravnoteza, tj. u zidu postojikonstantno polje temperature, samim tim konstantan je i parcijalni pritisakzasicenja vodene pare pz, a konstantna je i vrednost parcijalnog pritiskavodene pare p, pri cemu vazi da je p < pz pa nema kondenzacije (slika6.18.a). Ako se sada jedna strana (spoljna) zida ohladi, uspostavice se novaravnotezna raspodela temperature sa linearnim profilom duz zida. Ovomtemperaturskom profilu odgovara eksponencijalna promena parcijalnog pri-tiska vodene pare pz. Slicno kao i temperatursko polje, polje parcijalnogpritiska vodene pare dobice linearni profil, pri cemu su moguca dva slucaja:

• profil parcijalnog pritiska vodene pare nalazi se ispod profila parci-jalnog pritiska zasicenja vodene pare (tj. p(x) < ps(x) za svako x)kada ne dolazi do kondenzacije (slika 6.18.b);

• profili parcijalnog pritiska vodene pare i parcijalnog pritiska zasicenjavodene pare se seku pri cemu dolazi do kondenzacije vodene pare uoblasti u kojoj vazi p(x) ≥ ps (slika 6.18.c).

ps1

ps1

p1

p1

b) c)a)

T; p T; p

T

p

ps

x xx

T1

T2

p2

p2 p

s2

ps2

p

.

.

.

.

.

.

..

...

. .

...

Slika 6.18. Raspodela temperature, pritiska zasicene vodene pare i pritiska vodenepare u tri razlicita slucaja.

Posmatrajmo sada zid u kome postoje profili parcijalnog pritiska vodenepare i parcijalnog pritiska zasicenja vodene pare kao na slici 6.19. Konden-zacija vodene pare desavace se u oblasti x ∈ (x1, x2). Kondenzovana masa


vodene pare po jedinici povrsine zida u jedinici vremena bice jednaka razlicigustina protoka mase u oblasti x ∈ (0, x1) i u oblasti x ∈ (x2, δ):

gkond = g1 − g2 = Dp

(

p′w − p1x1

− p2 − p′′wδ − x2

)

, (6.115)

gde su p1 i p2 pritisci na mestima preseka

ps1

ps2

pw2

pw1

p1

p2

dx1

d1 d

2

x2

p

..

..

Slika 6.19. Jednoslojni zidkroz koji difunduje vodena para.Srafirana oblast odgovara oblastikondenzacije.

profila x1 i x2:

p1 = p(x1) = ps(x1),

p2 = p(x2) = ps(x2).

Radi smanjivanja gubitaka toplote, ces-to se u zidove gradevinskih objekata ugra-duje termoizolacioni sloj, koji ima za za-datak povecanje toplotne otpornosti zida,koje rezultira povisavanjem temperature un-utrasnje strane zida. Medutim, uvodenjesloja termoizolacije u konstrukciju moze do-vesti do pojave unutrasnje kondenzacije umaterijalu. Zbog toga se problemima pro-vodenja toplote i difuzije vodene pare uvekmora pristupati objedinjeno - primenjujucitermodifuzionu analizu.

Da bi ilustrovali ovu povezanost, pos-matrajmo najpre jednostavan primer dvo-slojnog zida kod koga se koeficijenti toplotne provodnosti slojeva razlikuju(λ1 6= λ2), a koeficijenti difuzije prakticno ne razlikuju (Dp 1 ≈ Dp 2). Pos-toje dve mogucnosti za postavljanje termoizolacionog sloja koji se karak-terise niskom vrednoscu koeficijenta termicke provodnosti λ1:

λ1 < λ2, (6.116)

gde je λ2 koeficijent toplotne provodnosti preostalog dela zida:

• termoizolacioni sloj se postavlja sa unutrasnje strane zida, na mestuvise temperature T1;

• termoizolacioni sloj se postavlja sa spoljasnje strane zida, na mestunize temperature T2;


Odgovarajuci profili temperatura u zidu prikazani su na slici 6.20. Strminaprofila temperature obrnuto je proporcionalna sa λ kako to sledi iz jednacinekoja je izvedena za temperaturu na razdvojnoj povrsini slojeva dvoslojnogzida:

T12 = T ′w −

q

λx. (6.117)

Primecujemo da ce zbog toga u prvom slucaju profil temperature imativecu strminu u prvom delu zida, sto rezultuje i odgovarajucim profilomparcijalnog pritiska zasicenja vodene pare (slika 6.20.a). U drugom slucajusituacija je obrnuta (slika 6.20.b). Ako sada pretpostavimo da je na spoljas-njoj strani zida vazduh priblizno u zasicenju (p(δ) ≈ ps(δ)), onda vidimoda ce se u slucaju postavljanja termoizolacionog sloja na unutrasnju stranuzida pojaviti kondenzacija vodene pare u zidu.

T

T1

l1 l2

T2 x

l1l2

x

T

p

p p=s2 2

x

p p=s2 2

b)a)

x

p1

ps1

p

. .

.

.

. .

.

..

.

... .

Slika 6.20. Dvoslojni zid sa razlicitim redosledom termoizolacionog sloja; (a) imakondenzacije; (b) nema kondenzacije.

Zakljucak da se termoizolacioni sloj treba da nalazi sa spoljasnje straneda bi se izbegla kondenzacija u zidu je nepovoljan sa stanovista termoizo-lacije. Gradevinski materijali koji imaju dobra termoizolaciona svojstva


(pecena pluta, smolasta pluta, poliuretan, polistiroli, presovane ploce odvlakana drveta i slame, ploce od drvene vune, itd.) ne samo sto nemajudobra mehanicka svojstva da bi se nasli na spoljasnjoj strani zida, negoimaju izrazenu osobinu upijanja vlage, cime se povecava koeficijent toplotneprovodnosti i tako smanjuje termoizolacija.

Da bi se sprecila pojava kondenzacije u zidu, osim pravilnog termo-difuzionog projektovanja zidova na raspolaganju stoji i koriscenje parnihbrana. Parne brane su parozaptivni slojevi (sa velikom vrednoscu relativnogkoeficijenta difuzije µ), koji delimicno ili potpuno sprecavaju prolaz vodenepare koja difunduje kroz zid. To su pvc i aluminijumske folije, kao i njihovekombinacije, a rede bitumenske trake.

Za konstrukcije u kojima ne postoji parna brana cesto se kaze ”konstruk-cija dise”. Istrazivanja vrsena u Svedskoj pokazuju da je kvalitet vazduhau stanovima gradenim na klasican nacin sa masivnim zidovima od opekeznatno bolji, sa manjom koncentracijom bakterija, od onih koji su gradenisa sendvic zidovima koji u sebi sadrze parnu branu.

Poglavlje 7

Nuklearna fizika

7.1 Sastav i osobine jezgra

Rec atom potice od grcke reci ατoµoς sto znaci nedeljiv. Do kraja IXXveka smatralo se da je atom najjednostavnija, nedeljiva cestica, Medutim,dalji razvoj nauke opovrgao je ovo misljenje i pokazao da je atom vrlo slozenfizicki sistem. Izucavanjem elektroprovodnosti gasova i metala ustanovljenoje da u sastav atoma ulaze negativno naelektrisane cestice, koje su nazvanielektroni, i cija je masa me vrlo mala u odnosu na masu atoma. Posto jeatom u celini elektroneutralan, u njemu se pored negativno naelektrisanih,moraju nalaziti i pozitivno naelektrisane cestice. Prema planetarnom mo-delu atoma1 atom se sastoji od pozitivno naelektrisanog jezgra oko kogakruze elektroni kao planete oko Sunca cineci tzv. omotac2. Atomsko jezgroje centar atoma oko koga se krecu elektroni a njegov poluprecnik je reda10−15m, sto je oko oko 105 puta manje od poluprecnika samog atoma. Sadruge strane, masa jezgra cini 99.9% mase celog atoma, sto cini da je gustinau jezgru reda fantasticnih 1017 kg/m3.

Cestice koje cine jezgro (nukleus), nazivaju se nukleoni. Nukleoni suprotoni i neutroni:

• Proton (p) je jezgro atoma vodonika. Poseduje pozitivno naelek-trisanje od jedne elementarne kolicine naelektrisanja (+e) i masu u

1koga je postavio Radeford, 1911. godine;2Po trenutno aktuelnom kvantno-mehnickom modelu atoma oko jezgra se nalazi elek-

tronski oblak, tj. prostor u cijoj svakoj tacki se sa odredenom verovatnocom moze lokali-zovati elektron.

247

248 Poglavlje 7. Nuklearna fizika

mirovanju:

mp = 1.0073 ajm3 = 1836me (7.1)

• Neutron (n) je elektricni neutralna cestica. Njegova masa u mirovanjuje:

mn = 1.0087 ajm = 1836.6me (7.2)

Svako jezgro poseduje tri karakteristicna broja:

• Z - redni broj elementa (atomski broj) - odreduje mesto elementa uPeriodnom sistemu i broj protona u jezgru (tj. njegovo naelektrisanje),

• N - broj neutrona u jezgru, i

• A - maseni broj - broj nukleona u jezgru, pri cemu vazi:

A = Z +N. (7.3)

U oznaku jezgra osim oznake elementa ulaze i redni (kao indeks) i masenibroj (kao stepen), tj. element X oznacava se kao A

ZX ili ZXA.

U zavisnosti od karakteristicnih brojeva jezgra razlikujemo:

• jezgra koja imaju isti broj protona a razlicit broj neutrona nazivajuse izotopi - npr. 8O

17 i 8O18 ili 1H

1, 1H2 i 1H

3;

• jezgra koja imaju isti broj neutrona a razlicit broj protona nazivajuse izotoni - npr. 6C

13 i 7N14;

• jezgra sa istim masenim brojem nazivaju se izobari - npr. 18Ar40 i

20Ca40.

Danas je poznato preko 1 500 razlicitih jezgara. Samo 1/4 ovih jezgaraje stabilna, dok su ostala radioaktivna. Mnoga jezgra dobijena su vestacki,pomocu nuklearnih reakcija. U prirodi se nalaze elementi sa rednim brojemZ od 1 do 92, iskljucujuci tehnicijum Tc (Z = 43) i prometijum Pm (Z =61), koji su dobijeni vestacki. Plutonijum Pu (Z = 94) je najpre dobijenvestacki, pa je zatim pronaden i u prirodi, ali u veoma malim kolicinama.Vestacki su dobijeni i ostali transuranski elementi od rednog broja 93 do105.

3U atomskoj fizici se kao jedinica za masu koristi tzv. atomska jedinica mase, u oznaciajm, pri cemu je 1ajm = u = 1.66 · 10−27 kg

7.2. Defekt mase i energija veze 249

Izmedu nukleona u jezgru postoji veoma jaka interakcija koja ima pri-vlacni karakter i odrzava nukleone na rastojanju reda 10−15m, bez obzira navrlo intenzivno elektrostaticko odbijanje izmedu protona. Ove interakcijenazivaju se nuklearne sile i njihove osnovne osobine su sledece:

• Nuklearne sile su vrlo kratkog dometa. Pri rastojanjima izmedu nuk-leona vecim od 2 ·10−15m njihovo dejstvo se vec ne oseca. Na rastoja-njima manjim od 10−15m privlacni karakter nuklearnih sila zamenjujese odbojnim.

• Nuklearne sile ne zavise od naelektrisanja. One se javljaju izmedu dvaprotona, izmedu dva neutrona, kao i izmedu neutrona i protona.

• Nuklearne sile imaju svojstvo zasicenja. Svaki nukleon stupa u inte-rakciju samo sa odredenim brojem najblizih nukleona.

7.2 Defekt mase i energija veze

Masa jezgra mj u mirovanju uvek je manja od zbira masa cestica kojega sacinjavaju. Razlika izmedu zbira masa cestica koje sacinjavaju jezgro imase jezgra naziva se defekt mase:

∆m = Z mp + (A− Z)mn −mj . (7.4)

Defekt mase je posledica cinjenice da je za zdruzivanje nukleona u jezgro iodrzavanje jezgra kao celine potrebna energija kojom se nukleoni medusobnopovezuju. Ova energija naziva se energija veze i jednaka je radu koji jepotrebno uloziti da bi se jezgro rastavilo na sastavne nukleone i da bi se onidoveli na takva rastojanja da izmedu njih ne postoji jaka interakcija:

Ev = ∆mc2. (7.5)

Na primer, energija veze jezgra helijuma 2He4 iznosi Ev = 28, 4MeV.

Kada se energija veze Ev podeli masenim brojem A, dobija se energijaveze po jednom nukleonu E ′

v:

E′v =

Ev

A. (7.6)

Energija veze po jednom nukleonu najveca je za jezgra sa masenim bro-jem od 50 do 80 i iznosi oko 8, 7MeV. Sa porastom masenog broja, energija


veze po nukleonu se smanjuje i za najtezi prirodni element (92U238) iznosi

7.5MeV. Kod lakih jezgara, energija veze po nukleonu naglo opada sa sman-jivanjem broja nukleona, uz izvesne anomalije kod pojedinih jezgara (slika7.1).

U92

238

Li3

6

B5

10

He2

4

He2

3

H1

2

0 40 80 120 160 200

0

1

2

4

6

8

3

5

7

A

8.7

E’v [

[MeV

nukl.

Slika 7.1. Energija veze po nukleonu u funkciji atomskog broja Z.

Proces raspadanja teskih jezgara pri cemu nastaju dva laksa jezgranaziva se fisija. Proces spajanja laksih jezgara uz nastajanje tezeg jez-gra naziva su fuzija. I jedan i drugi proces praceni su oslobadanjem velikihvrednosti energije.

7.3 Prirodna radioaktivnost

Uran, torijum i neki drugi elementi imaju osobinu da neprekidno i bezikakvog spoljasnjeg uzroka emituju nevidljivo zracenje koje ima jonizujucedejstvo i ostavlja trag na fotografskoj ploci ili filmu. Ova pojava spontaneemisije zracenja nazvana je radioaktivnost. Elementi koji poseduju ovo svo-jstvo nazvani su radioaktivni elementi. Radioaktivnost kod urana prvi jezapazio Bekerel 1896. godine.

Posle otkrica radioaktivnosti urana, Marija i Pjer Kiri ispitivali su znatan

7.3. Prirodna radioaktivnost 251

broj poznatih elemenata i ogroman broj njihovih jedinjenja da bi utvrdilinjihova radioaktivna svojstva. Njihovi eksperimenti su pokazali:

• Radioaktivnoscu se ne odlikuje samo uran vec i njegova hemijska jedi-njenja. Osim toga radioaktivna svojstva poseduju i torijum i njegovahemijska jedinjenja.

• Radioaktivnost bilo kog hemijskog jedinjenja jednaka je radioaktivnosticistog urana ili torijuma sadrzanog u tom jedinjenju.

Iz ovih rezultata se zakljucilo da je radiaoktivnost unutrasnje svojstvo atomaradioaktivnih elemenata.

Marija i Pjer Kiri pronasli su i treci radioaktivni element koga su nazvaliradijum (Ra). Pokazalo se da je maseni broj ovog elementa 226, a atomskibroj 88. Radijum u rudama obavezno prati uran, ali se nalazi u veomamalim kolicinama (na 3 tone urana dolazi oko 1 gram radijuma).

Dalja ispitivanja pokazala su da znatan broj elemenata u prirodi pose-duje radioaktivne izotope. Tako su otkriveni radioaktivni izotopi talijuma(Z = 81), olova (Z = 82), bizmuta (Z = 83), kao i to da su svi elementiiznad rednog broja 83 radioaktivni, osim elemenata sa rednim brojem 85 i87. Osim ovih radioaktivnih elemenata, koji se nalaze pri kraju Periodnogsistema, pronadeni su i radioaktivni izotopi i drugih, laksih, elemenata:ugljenika, samarijuma, kalijuma, rubidijuma, itd.

Osim spontane ili prirodne radioaktivnosti postoji i vestacka (ili induko-vana) radioaktivnost, koja nastaje u nukleranim reakcijama kao posledicabombardovanja jezgara cesticama visokih energija.

7.3.1 Zakon radioaktivnog raspada

Broj jezgara dN , koja se raspadnu u vremenskom intervalu dt, propor-cionalan je broju jos neraspadnutih jezgara N posmatranog radioaktivnogizvora, kao i vremenskom intervalu dt:

dN = −λN dt, (7.7)

gde je λ konstanta proporcionalnosti koja se naziva konstanta radioaktivnograspada. Znak minus u jednacini potice od cinjenice sto se sa povecanjemvremena raspada t (dt > 0) smanjuje broj neraspadnutih jezgara N (dN <0). Integracijom jednacine (7.7) dobija se:

dN

N= −λ dt ⇒

∫ N(t)

N0

dN

N= −λ

∫ t

0dt


lnN(t)− lnN0 = −λ t ⇒ lnN(t)

N0= −λ t,

gde je sa N0 oznacen pocetni broj jezgara (u t = 0), a sa N(t) broj neraspad-nutih jezgara u trenutku vremena t. Konacno, dobija se zakon radioaktivnograspada u obliku:

N(t) = N0 exp−λ t. (7.8)

Broj neraspadnutih jezgara N(t) kao i broj raspadnutih jezgara N0 −N(t)prikazan je na slici 7.2.

Zakon radioaktivnog raspada se

0.00 1 2 3 4 5 t T/

N t( )

N N t- ( )0

N0

N0

2

Slika 7.2. Promena broja neraspadnutih iraspadnutih jezgara kod radioaktivnog ras-pada.

moze napisati i u alternativnomobliku. Naime, ako definisemo vre-me poluraspada T kao vreme pot-rebno da se broj neraspadnutih jez-gara posmatrane radioaktivne sup-stance smanji na polovinu, ondaimamo da je za t = T N = N0/2,tj.

N02

= N0 exp−λT

⇒ λ =ln 2

T.

S obzirom da je expln 2 = 2, zakon radioaktivnog raspada mozemo napisatii u sledecem obliku:

N = N0 2−t/T . (7.9)

Konstanta radioaktivnog raspada λ (ili, ravnopravno, vreme poluras-pada T ) predstavlja jednu od osnovnih karakteristika radioaktivnog izotopa.To je konstantna velicina za jednu radioaktivnu supstancu i ne moze seobicnim fizickim i hemijskim spoljasnjim uticajima menjati. To je posledicacinjenice da radioaktivni raspad predstavlja karakteristiku atomskog jezgra,za cije je promene potrebna ogromna energija.

7.3.2 Aktivnost

Jedna od velicina koja karakterise radioaktivnu supstanciju je aktivnost.Aktivnost predstavlja broj raspadnutih jezgara (dezintegracija) u jedinicivremena, tj. brzinu raspadanja jezgara:

A = − dNdt

= λN. (7.10)

7.3. Prirodna radioaktivnost 253

Aktivnost radioaktivog izvora menja se u toku vremena po istom ekspo-nencijalnom zakonu po kome opada broj neraspadnutih jezgara:

A = λN = λN0 exp−λ t = A0 exp−λ t. (7.11)

Jedinica za aktivnost naziva se bekerel:

A [=] Bq =1

s. (7.12)

Aktivnost od jednog bekerela ima radioaktivni izvor kod koga se ostvarujejedan raspad u sekundi. Ranije je u upotrebi bila jedinica za aktivnost podnazivom kiri (c) koja je predstavljala aktivnost jednog grama radijuma, ikoja odgovara aktivnosti od 3.7 · 1010 dezintegracija u sekundi.

Posto je aktivnost radioaktivnog izvora proporcionalna broju atoma ra-dioaktivnog elementa (tj. njegovoj masi), onda se aktivnosti razlicitih ra-dioaktivnih elemenata ne mogu jednostavno uporedivati. Zato se uvodipojam specificne aktivnosti, koja predstavlja aktivnost jedinicne mase ra-dioaktivnog izvora:

As =Am

[=]Bq

kg. (7.13)

7.3.3 Radioaktivni nizovi

U odnosu na duzinu vremena poluraspada, radioaktivni izotopi dele sena:

• dugozivece. cije je vreme poluraspada duze od nekoliko godina,

• kratkozivece, cije je vreme poluraspada krace od nekoliko dana.

Merenja vremena poluraspada pokazala su da je vreme poluraspada radi-juma 1 600 godina. S obzirom na to da se starost Zemlje procenjuje nanekoliko miliona godina, ocigledno je da bi sve kolicine radijuma za Zemljivec odavno iscezle. Dakle, zakljucuje se da se u prirodi pored raspadanjapojavljuje i radanje atoma radijuma. Cinjenica da se radijum nalazi u ura-novim rudama (i to samo u njima), navodi na pomisao da radioaktivniraspad urana dovodi do obrazovanja atoma radijuma.

Izotop urana sa masenim brojem 238 raspada se sa vremenom poluras-pada od 4,5 milijardi godina, stvarajuci torijum 90Th

234. Prema tome,od trenutka nastanka Zemlje uran se raspao veoma malo. Torijum 234 jetakode radioaktivan i raspada se stvarajuci protaktinijum 91Pa

234. Ovaj se


pak takode raspada stvarajuci sledeci izotop u radioaktivnom nizu. Naime,lanac koji se obrazuje radioaktivnim raspadom izotopa urana 92U

238 nazivase radioaktivni niz urana i on se zavrsava stabilnim jezgrom olova 82Pb

208.U prirodi postoje jos tri radioaktivna niza: torijumski, aktinijumski i nep-tunijumski, kao i jos nekoliko radioaktivnih izotopa drugih elemenata, kojine pripadaju ni jednom nizu.

7.3.4 Radijum i radon

Radijum je najpoznatiji prirodni radioaktivni element zbog svoje istori-jske uloge i svestrane primene u medicinskoj terapiji i naucnim istrazivan-jima izmedu dva svetska rata. Danas poznajemo 26 razlicitih radioizotoparadijuma, od kojih je najpoznatiji 226Ra, cije je vreme poluraspada od oko1600 godina vec pomenuto, i koji kao clan uranovog radioaktivnog niza mozeda se sakupi u nezanemarljivim kolicinama u rudama urana.

Radijum je prisutan u svim stenama, tlu, povrsinskim vodama i buna-rima. Buduci da je hemijski slican kalcijumu, hemijskom elementu obilnoprisutnom u tlu, biljke ga takode efikasno apsorbuju i kroz lanac ishranedolazi do coveka, gde se nagomilava u kostima.

Potomak radijuma 226Ra je radon 222Rn, radioaktivni gas cije je vremepoluraspada 3.8 dana. To je hemijski inertna supstanca (inertni gas) kojalako bezi sa mesta postanka. Nema mesta na Zemlji bez radona buduci danjegov roditelj (radijum) pripada grupi hemijskih elemenata koji su lakorastvorljivi, vrlo pokretni i svuda prisutni.

Koncentracija radona moze u izvesnim slucajevima da bude vrlo vi-soka kao npr. u rudnicima urana gde je ventilacija nedovoljno efikasna.Iskopavanje uranskih ruda oslobada ogromne kolicine radona koji bi inaceostao pod zemljom. Istrazivaja vrsena cetrdesetih godina proslog veka ubavarskim i ceskim rudnicima urana pokazala su da su 75% rudara oboleliod raka pluca zbog udisanja radona.

Oslobadanje radona iz unutrasnjosti Zemlje se povecava prilikom zem-ljotresa i vulkanskih erupcija. Procenjeno je da je 1980. godine samo erup-cija vulkana Sveta Jelena u Severnoj Americi izbacila u atmosferu kolicinuradona sa aktivnoscu od 1017 Bq. U oblastima koje ugrozavaju zemljotresikoncentracija radona se brizljivo prati jer je nadeno da i blaga povecanjamogu da budu prethodnica znacajnih seizmickih zbivanja.

U zgradama se radon probija kroz podove iz tla, ili iz samog gradevinskogmaterijala. Koncentracija radona u zatvorenim prostorima mogu u prosekuda budu desetak puta vece nego napolju, a ponegde, kao npr, u Skandi-

7.4. Jonizujuca zracenja 255

navskim zemljama, cak i vise stotina puta. O ovome se sve vise vodi racunapri izboru gradevinskog materijala za stambene i poslovne zgrade, kao i oadekvatnom provetravanju.

U blizini Nisa, u podnozju Koritnika - ogranka Suve planine, nalazise Niska Banja, lokalitet sa lekovitim izvorima koji spadaju u red najra-dioaktivnijih u nasoj zemlji upravo zahvaljujuci povisenoj koncentraciji gasaradona.

I dok male koncentracije radona u vodi imaju terapeutsko dejstvo, vecemogu biti vrlo opasne. Dva efikasna puta vode radon u covekovo telo: udisa-nje ga unosi u pluca, a vodom se rastvoreni gas raznosi po celom organizmu.Sam radon se lako izbacuje iz organizma disanjem posto je hemisjki inertan,a stvarnu opasnost predstavljaju radionuklidi kratkog zivota koji nastajunjegovim radioaktivnim raspadom. Posebno su opasna dva izotopa poloni-juma koji svojim raspadom emituju alfa cestice visoke energije. Stavise, ovise radioizotopi efikasno vezuju za cestice prasine u vaduhu, i jednom unetiu organizam ostaju kao lokalizovani izvori zracenja, biloski izuzetno opasni.

7.4 Jonizujuca zracenja

Vec smo naveli da radioaktivna zracenja jonizuju materiju i deluju nafotografsku plocu. Da bi se ustanovila priroda radioaktivnih zracenja, po-trebno je ovo zracenje podvrgnuti delovanju elektricnog ili magnetnog polja.

radioaktivniizvor

b g a

fotografskaploèa

+

radioaktivniizvor

fotografskaploèa

+ +

B

b ag

Slika 7.3. Dejstvo elektricnog i magnetnog polja na radioaktivno zracenje.

Na osnovu ovog eksperimenta ustanovljeno je da se radioaktivno zracenjesastoji od tri komponente, α, β i γ-zracenja:


• α-zraci slabo skrecu u elektricnom i magnetnom polju;

• β-zraci skrecu vise, ali na suprotnu stranu od α zraka;

• γ-zraci uopste ne skrecu u ovim poljima.

α, β i γ-zraci znatno se razlikuju jedni od drugih. Na osnovu prethodnogeksperimenta moze se zakljuciti da su α-zraci naelektrisani pozitivno, β-zraci negativno, a da su γ-zraci neutralni. Ovi zraci se takode razlikujupo prodornoj moci. α-zrake zaustavlja vec i obican list hartije debljine0.1mm, dok β-zraci postepeno slabe sa povecanjem debljine apsorpcionogsloja, i zaustavlja ih, na primer, aluminijumska ploca debljine 5mm. Na-jvecu prodornu moc imaju γ-zraci, i njih aluminijumska ploca debljine 1 cm,prakticno, uopste ne slabi. Pokazalo se da elementi sa vecim atomskim bro-jem bolje apsorbuju γ-zracenje od laksih elemenata. Tako, na primer, olovo(Z = 82) debljine 1 cm slabi snop γ-zraka oko dva puta. Zbog toga se zazastitu od radioaktivnog zracenja i koriste teski elementi, pre svega olovo.

7.4.1 Alfa zracenje

Alfa zraci predstavljaju jezgra atoma helijuma, i sastoje se od dva pro-tona i dva neutrona, pa se α-cestica oznacava sa 2α

4 ili 2He4.

Emisija α-cestica vrsi se prilikom α-raspada, koji se odvija po semi:

ZXA → Z−2Y

A−4 + 2α4, (7.14)

gde je sa X oznaceno jezgro pre emisije α-cestice (tzv. jezgro roditelj, ilipredak) a sa Y novoobrazovano jezgro (jezgro potomak). α-raspad je obicnopracen emisijom γ-kvanta od strane jezgra potomka. Iz seme se vidi da seemisijom α-cestice atomski broj jezgra smanji za 2, a maseni za 4. To znacida se u Periodnom sistemu elemenata, α-raspadom jezgro pomeri dva mestaulevo.

Brzina kojom α-cestice napustaju jezgra iznosi priblizno 107m/s, stopriblizno odgovara kinetickoj energiji reda 1MeV (106 eV = 1.6 ·10−13 J). Upocetku se mislilo da jedno jezgro emituje α-cestice, jedne, tacno definisaneenergije. Medutim, kasnije se pokazalo da pojedina jezgra mogu emitovatinekoliko grupa ovih cestica sa razlicitim vrednostima energije. Nadeno je daradioaktivni elemnti koji se brzo raspadaju emituju α-cestice velike energijei velikog dometa, dok elementi cije je vreme zivota duze emituju α-cesticesa relativno malom energijom i kratkim dometom.


Krecuci se kroz materijal α-cestice trose svoju energiju na jonizacijuatoma ili molekula tog materijala, i na kraju se zaustavljaju. Za obrazovanjejednog jonskog para u vazduhu α-cestica utrosi energiju od oko 35 eV, iz cegaproizilazi da ona na svom putu stvori oko 105 jonskih parova. Sa poveca-njem gustine materijala duzina puta α-cestice se smanjuje. U vazduhu, naatmosferskom pritisku, duzina njihovog puta je nekoliko centimetara, a ucvrstim telima oko 10−3 cm.

7.4.2 Beta zracenje

Eksperimenti su pokazali da je masa β-cestica jednaka masi elektrona, ida se naelektrisanje β-cestica, takode, po velicini i znaku poklapa sa naelek-trisanjem elektrona. Prome tome, β-cestice nisu nista drugo nego brzi elek-troni, koji se emituju iz jezgra radioaktivnog elementa i oznacavaju se saβ− ili −1e

0.Prva istrazivanja spektra β-cestica ukazala su na to da je on kontinu-

alan. Neka kasnija ispitivanja pokazala su da su β-cestice, slicno α-cesti-cama, monoenergetske prirode. Ova kontradiktornost razresena je time danajveci broj β-cestica ima kontinualni spektar, a jedan mali deo cini grupemonoenergetskih β-cestica, tj. ima linijski spektar.

Posmatrajuci kontinualni spektar β-cestica, uocava se da je brzina β-ces-tica, vrlo velika i dostize u nekim slucajevima i 99% brzine svetlosti. Njihovaenergija iznosi tada i do nekoliko MeV. Tipican oblik spektra prikazan je naslici 7.4. Za vecinu elemenata ova kriva ima maksimum za E = Emax/3.

Dva pitanja mucila su istrazi-

0 0.5 1.0 1.5 E (MeV)

Emax

n

DE

Slika 7.4. Spektar β-zracenja.

vace: odakle elektroni u jezgru, ka-da je ono sastavljeno od protona ineutrona, i kako objasniti kontinu-alni spektar β-zracenja? Odgovorna ova pitanja dobijen je teorijomprema kojoj do β-raspada dolazikada se jedan neutron pretvara uproton i emituje cestica nazvanaantineutrino:

0n1 → 1p

1 + −1e0 + 0ν

0.(7.15)

Kontinualni spektar β-cestica objasnjava se raspodelom energije izmedu β-cestice i antineutrina. Naime, raspodela energije izmedu β-cestice i an-tineutrina ima statisticki karakter. Nekada, u jednom aktu raspada veci


deo energije nosi β-cestica. Ovo odgovara maksimumu energije na slici 7.15.U nekom drugom slucaju, skoro svu energiju odnosi antineutrino, sto odgo-vara pocetnom delu krive na slici 7.15. Ipak, najcesce se energija deli takoda deo energije odnosi β-cestica, a deo (obicno malo veci) antineutrino, stopak odgovara srednjem delu krive na slici 7.15.

Sema β-raspada prikazuje se jednacinom:

ZXA → Z+1Y

A + −1e0 + 0ν

0, (7.16)

gde je ZXA jezgro roditelj a Z+1Y

A jezgro potomak. Uocava se da se β-raspadom element u periodnom sistemu pomera za jedno mesto udesno, tj.atomski broj se povecava za jedan, dok se maseni broj ne menja.

Pri β-raspadu jezgro potomak moze da se nade u jednom od pobudenihstanja. Prelaskom iz pobudenog u osnovno stanje emitue se γ-kvant. Prematome, emisija β-cestice je pracena emisijom γ-kvanta, pa se ukupna energijatransmutacije jezgra rasporeduje na elektron, antineutrino i γ-kvant.

Kasnija proucavanja vestacke radioaktivnosti pokazala su da postojijos jedna vrsta β-cestica. One imaju istu masu kao elektroni, ali su pozitivnonaelektrisane elementarnom kolicinom naelektrisanja. Ove cestice nazvanesu pozitroni i oznacavaju se sa β+ ili +1e

0. One nastaju pri transformacijiprotona u neutron:

1p1 → 0n

1 + 1e0 + 0ν

0, (7.17)

pri cemu se emituje i cestica neutrino ν. Ova transformacija uzrokuje takoz-vani β+-raspad koji smanjuje redni broj jezgra za 1 (za razliku od β−-raspada koji ga povecava za jedan):

ZXA → Z−1Y

A + 1e0 + 0ν

0. (7.18)

Dok elektroni mogu da budu slobodni neograniceno dugo, vreme zivotapozitrona je reda nanosekunde (10−9 s). Pozitron zahvata elektron pri cemunastaju dva γ-kvanta energije od po 0.51MeV:

+1e0 + −1e

0 = hν + hν. (7.19)

Ovaj proces naziva se anihilacija. Neutrino ν koji nastaje pri β+, i antineu-trino ν koji nastaje pri β−-raspadu, predstavljaju cestice bez naelektrisanja,cija je masa manja od mase elektrona za oko cetiri reda velicine.

β-cestice na svom putu vrse jonizaciju po jedinici duzine puta oko 100puta manje nego α-cestice. Efikasnost jonizacije β-cesticama zavisi odnjihove energije. Ukoliko je njihova energija veca, utoliko je specificna


jonizacija (broj stvorenih jonskih parova po jedinici duzine puta) manja.Maksimalnu jonizaciju vrsi β-cestica energije 1 keV, kada se obrazuje oko103 jonskih parova po 1 cm u vazduhu na atmosferskom pritisku. Sto suenergije β-cestica vece, to je jonizacija slabija.

Posto β-cestice pri prolazu kroz neku sredinu vrse jonizaciju atoma ilimolekula te sredine, njihova energija se smanjuje i posle izvesnog predenogputa one bivaju apsorbovane. Njihov domet veoma malo zavisi od prirodesredine kroz koju prolaze.

Apsorpcija β-cestica vrsi se po veoma slozenom zakonu, jer se one priprolazu kroz neki materijal, zbog svoje male mase, rasejavaju u znatnovecoj meri od α-cestica, pa je moguce skretanje sa prvobitnog pravca i poduglovima vecim od 90. Eksperimenti pokazuju da putanje β-cestica nisuprave linije.

7.4.3 Gama zracenje

Eksperimentalno je pokazano da se γ-zracenje ne javlja kao samostalnioblik zracenja, vec prati emisiju α ili β-cestica, a takode se pojavljuje ipri drugim nuklearnim reakcijama. γ-zracenje je elektromagnetne prirodei njegov spektar je diskretan, tj. linijski. Takav spektar predstavlja jedanod najvaznijih dokaza postojanja diskretnih energetskih stanja atomskogjezgra.

Utvrdeno je da γ-zracenje emituje jezgro potomak, a ne jezgro predak.Jezgro potomak u momentu svog nastanka posle α ili β-raspada ostaje upobudenom stanju izvesno vreme reda 10−14 do 10−13 s, a nakon toga prelaziu osnovno stanje emitujuci γ-kvant.

Pobudena jezgra nekih radioaktivnih elemenata na putu povratka u os-novno stanje mogu proci kroz niz pobudenih stanja. Prema tome, γ-zracenjejednog istog radioaktivnog elementa moze sadrzati nekoliko γ-kvanata ra-zlicitih energija.

γ-kvanti, kao i ostali fotoni, ne poseduju masu mirovanja, krecu sebrzinom svetlosti, te je njihovo usporavanje u sredini kroz koju prolazenemoguce. Prema tome, pri prolazu γ-zraka kroz neki materijal dolazi donjihove apsorpcije ili rasejavanja sto utice na smanjenje intenziteta snopa.Zakon apsorpcije glasi:

I = I0 exp−µd, (7.20)

gde je I0 intenzitet γ-zraka pre prolaska kroz materijal, a I intenzitet posleprolaska kroz materijal debljine d i linearnog koeficijenta apsorpcije µ.


Interakcija γ-zracenja sa materijalom odvija se preko tri osnovna meh-anizma:

• Fotoelektricni efekat ili fotoelektricna apsorpcija γ-zraka je procespri kome atom apsorbuje γ-kvant, a potom oslobada jedan elektron. Uovom slucaju γ-kvant predaje svoju celokupnu energiju elektronu. Postose elektron oslobada sa jednog od unutrasnjih energetskih nivoa atomato upraznjeno mesto se popunjava elektronom sa visih energetskih nivoa,sto uslovljava pojavu karakteristicnog rendgenskog zracenja. Fotoelektricniefekat je dominantan mehanizam apsorpcije u oblasti malih energija γ-kvanta (< 100 keV). Verovatnoca za pojavu fotoelektricnog efekta je vecakod materijala sa vecim atomskim brojem Z.

• Komptonov efekat koji nastaje kada je energija γ-kvanta veca od500 keV. U tom slucaju foton se rasejava na kvazi-slobodnom elektronu,predajuci mu deo svoje energije.

• Stvaranje elektron-pozitronskog para koje nastaje ako je energija γ-kvanta veca od 1.02MeV. Naime, pri prolazu fotona velike energije poredteskog jezgra on prelazi u par elektron-pozitron pri cemu se trosi energijaod 1.02MeV:

hν → −1e0 + +1e

0. (7.21)

Ova pojava suprotna je anihilaciji i naziva se jos i kreacija. Visak energijefotona transformise se u kineticke energije elektrona i pozitrona. Zbog vrlokratkog vremena zivota pozitrona, on prakticno, cim nastane, zahvata na-jblizi elektron, izvodeci anihilaciju, pri cemu se obrazuju dva γ-kvanta en-ergije od po 0.51Mev.

7.4.4 Rendgensko zracenje

Govoreci o spektru elektromagnetnog zracenja videli smo da Rendgenski4

ili X-zraci predstavljaju elektromagnetno zracenje u opsegu talasnih duzinaod 10 pm do 10 nm. Oni nastaju pri bombardovanju cvrstih metala brzimelektronima u specijalno konstruisanim rendgenskim cevima. Rengenska cevje elektronska cev (videti sliku 7.5) kod koje se slobodni elektroni dobijajuzagrevanjem katode K, zatim ubrzavaju do velikih brzina uz pomoc naponana cevi U , i konacno udaraju u anodu (antikatodu) A koja se hladi vodom.

Eksperimentalno je pokazano da postoje dva tipa spektra rendgenskogzracenja. Ako je napon kojim se ubrzavaju elektroni takav da je njihova

4Otkrio ih je Rendgen, 1895. g.


UUp

KA

X

Slika 7.5. Rendgenska cev.

maksimalna energija koju dostizu pre sudara sa antikatodom manja odneke karakteristicne vrednosti koja zavisi od materijala od koga je nacin-jena anoda, onda rendgensko zracenje ima kontinualni spektar, kao na slici7.6. Ovakav tip zracenja naziva se zakocno (belo) rendgensko zracenje i nje-gov spektar je slican spektru bele svetlosti. Sa slike 7.6 se moze uociti dapovecanje napona kojim se ubrzavaju elektroni dovodi do povecanja brojaX-zraka sa vecim energijama (tj. manjim talasnim duzinama), kao i dapostoji karakteristicna minimalna talasna duzina koja se sa povisenjem pri-menjenog napona smanjuje. Naime, ako pretpostavimo da se prilikom su-dara elektrona koji je ubrzan potencijalnom razlikom U sa metalom anode,celokupna vrednost njegove potencijalne energije Ek e = eU preda fotonukoji se stvara, za minimalnu talasnu duzinu dobijamo:

U = 50 kV3

U = 40 kV2

U = 30 kV1

2

4

6

8

10

Ir

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 l (nm)

lmin3

lmin2lmin1

Slika 7.6. Kontinualni spektar x-zracenja.


rela

tivni

inte

nzi

tet

karakteristi norendgenskozra enje

è

è

KaKb

lmin lKa

lKb

l

Slika 7.7. Mesoviti spektar sa karakteristicnim spektrom rendgenskog zracenja.

Eke = eU = h νmax =h c

λmin⇒ λmin =

h c

eU. (7.22)

Ukoliko je, pak, energija elektrona koji udara u anodu veca od nekekarakteristicne vrednosti koja zavisi od materijala anode, u spektru rengen-skom zracenja pojavljuju se pikovi velikih intenziteta koji znatno premasujuintenzitet zakocnog zracenja. Ovakvo zracenje linijskog spektra naziva sekarakteristicno rendgensko zracenje. Ono potice od elektronskih prelazaatoma materijala anode. Posto je u praksi najcesca situacija da na an-odu stizu elektroni razlicitih energija, rezultujuci spektar predstavlja kom-binaciju kontinualnog i linijskog spektra i naziva se mesoviti spektar. Primermesovitog spektra prikazan je na slici 7.7.

Najcesce primene X-zraka su u medicini i industriji. Grana medicinekoja se bavi X-zracima naziva se radiologija. Medicinska primena X-zrakaje dvojaka, kao radiografija i radioterapija. U radiografiji X-zraci se ko-riste kao dijagnosticko sredstvo za snimanje kostiju, tj. skeletnog sistema,ali i za uocavanje patogenih promena na mekim tkivima. U radioterapiji,gde se koriste X-zraci vece energije, njihova uloga je dejstvo na tkiva za-hvacena malignim promenama jer medicinska doktrina uci da su malignecelije manje otporne na dejstvo X-zraka od zdravih. U industriji koriscenjeX-zraka je slicno ultrazvucnoj defektoskopiji, npr. za nedestruktivno ispiti-vanje izlivenih materijala i zavarenih spojeva.

7.4.5 Neutronsko zracenje

Neutrona nema slobodnih u prirodi, izmedu ostalog i zato sto je van jez-gra atoma nestabilan: sa vremenom poluraspada od oko 12 minuta prelazi


u proton emitujuci jedan elektron i antineutrino prema jednacini (7.15).Medutim, slobodni neutron na Zemlji traje u srednjem mnogo krace, redadela sekunde, jer zbog svoje elektricne neutralnosti lako prodire u atomskajezgra okolnih supstanci izazivajuci razne nuklearne reakcije u kojima nes-taje. Zato se slobodni neutroni mogu dobiti samo u vestacki izazvanim nuk-learnim reakcijama, pa neutronsko zracenje postoji samo u blizini nuklearnihreaktora. U zavisnosti od brzine neutroni se mogu podeliti na termicke ibrze.

7.4.6 Kosmicko zracenje

Velikih broj cestica i fotona velike energije dospeva iz kosmickog pros-transtva na Zemlju, u svakom trenutku i iz svih pravaca. To su kosmickizraci, i oni predstavljaju jonizujuce zracenje kao i ono koje emituju radioak-tivne supstance. Ipak, izmedu ovih zracenja postoji bitna razlika u inten-zitetu i energijama. Dok je intenzitet kosmickog zracenja relativno mailiu normalnim uslovima (npr. reda nekoliko cestica na jedan kvadratni cen-timetar u jednoj sekundi), 1 gram radijuma npr. emituje milijarde cesticau sekundi. Sa druge strane energije radioaktivnog zracenja (najvise neko-liko MeV) su beznacajne u poredenju sa energijama kosmickih zraka kojaje veoma velika, i krece se u opsegu od desetina hiljada megaelektronvoltipa cak i do 1.5 · 1020 eV5!

Kosmicki zraci koji pogadaju gornje slojeve atmosfere nazivaju se pri-marni kosmicki zraci. Oni su sacinjeni od protona (77.5%), α-cestica (20%)i tezih joni elemenata cak i do Z = 45 (2.5%). Pri interakciji primarnihkosmickih zraka sa jezgrima atoma atmosfere dolazi do dezintegracije ovihjezgara i citavog niza mnogobrojnih nuklearnih reakcija, koje stvaraju sekun-darne kosmicke zrake, koji putuju dalje Zemljinom atmosferom, stizu donjene povrsine, i prodiru u njen cvrsti i tecni omotac. To su uglavnom pro-toni, neutroni, α-cestice, γ-zraci, elektroni, pozitroni i cestice cija je masaizmedu mase elektrona i mase protona nazvane mezoni.

Utvrdeno je da uzajamnim dejstvom primarnih kosmickih zraka sa sas-tojcima atmosfere nastaju dve komponente sekundarnog zracenja, od kojihse jedna lakse moze apsorbovati, pa se naziva meka komponenta, a drugateze, nazvana tvrda komponenta kosmickog zracenja. Pod mekom kompo-nentom kosmickog zracenja podrazumeva se onaj deo kosmicke radijacijekoji se moze apsorbovati pri prolazu kroz prvih 10 cm olova, a pod tvrdom

5Ova energija odgovara energiji potrebnoj da se jedan kilogram mase podigne na pri-bliznu visinu od 2.5 m.


komponentom onaj deo, koji prolazi kroz ovih 10 cm olova i tesko se mozeapsorbovati. Meka komponenta kosmickog zracenja uglavnom se sastoji izelektrona, pozitrona i fotona, a manjim delom sadrzi protone, neutrone,spore mezone i druge elementarne cestice.

Na osnovu ispitivanja utvrdeno je da je intenzitet kosmickih zraka 150-200 puta veci na granici atmosfere nego na Zemljinoj povrsini, a u dubokimrudnicima 1000 puta manji nego na morskom nivou.

7.5 Dozimetrija jonizujuceg zracenja

Jonizujuce zracenje u odredenoj meri vrsi jonizaciju atoma sredine krozkoju prolaze. Usled interakcije sa atomima materijala jonizujuce zracenjegubi deo svoje energije predajuci je materijalu stvarajuci radijacione efekte.

Grana nuklearne fizike koja se bavi kvantitativnim odredivanjem kolicineenergije koju primi materijal od strane jonizujuceg zracenja naziva se do-zimetrija. Velicina koja karakterise kolicinu deponovane energije naziva sedoza.

Definisu se sledece velicine:

• Doza zracenja (apsorbovana doza) Da, za svako jonizujuce zracenje,predstavlja kolicnik izmedu energije predate elementu ozracene sup-stance i mase tog elementa:

Da =dE

dm[=]

J

kg= Gy, (7.23)

tj. brojno je jednaka apsorbovanoj energiji po jedinici mase. Jedinicaza apsorbovanu dozu je dzul po kilogramu, koja se jos naziva grej(Gy). Stara jedinica bila je rad (1 rad= 10−2Gy).

• Brzina (snaga) apsorbovane doze Da:

Da =dDa

dt[=]

W

kg=

Gy

s(7.24)

tj. brojno je jednaka apsorbovanoj dozi u jedinici vremena.

• Doza ekspozicije (ekspoziciona doza), De, γ ili X-zracenja, predstavljakolicnik izmedu ukupnog naelektrisanja jona istog znaka nastalih priprolazu zracenja kroz element zapremine vazduha i mase tog elementa:

De =Q

m[=]

C

kg. (7.25)

7.5. Dozimetrija jonizujuceg zracenja 265

Jedinica za ekspozicionu dozu je C/kg. Stara jedinica bila je rentgen(1R= 2.58 · 10−4C/kg).

• Brzina (snaga) doze ekspozicije (ekspozicione doze) De je definisanakao:

De =dDe

dt[=]

C

kg s. (7.26)

Ako se radi o tackastom izvoru zracenja i ako se zanemari apsorpcijazracenja u vazduhu izmedu izvora i merne tacke, vazi:

De =ΓAr2

, (7.27)

gde je A aktivnost izvora izrazena u bekerelima, r rastojanje od izvorado merne tacke u metrima, a Γ takozvana specificna konstanta γ-zracenja izrazena u jedinicama Cm2/kg.

• Ekvivalentna dozaH. Dejstvo jonizujuceg zracenja na bioloske sistemene zavisi samo od apsorbovane doze vec i od niza drugih faktora kaosto su, na primer, vrsta zracenja, i njegova energija. Da bi se touzelo u obzir, odnosno da bi se procenio rizik od ozracivanja, uvodi seekvivalentna doza:

H = QN Da [=] Sv, (7.28)

gde je N faktor koji uzima u obzir raspodelu doze u vremenu i pros-toru, i za spoljni izvor zracenja, i manje vise kontinualnu izlozenost semoze uzeti jednakim jedinici. Velicina Q se naziva faktor kvaliteta ilirelativna bioloska efikasnost, koja uzima u obzir razlike u posledicamaozracivanja bioloskih sistema usled razlike u kvalitetu (vrsti i energiji)jonizujuceg zracenja. Vrednosti za Q za pojedine vrste zracenja datesu tabeli 7.1.

Jedinica za ekvivalentnu dozu je sivert, u oznaci Sv. Vrednost ekvi-valentne doze u sivertima dobija se kada se vrednost za apsorpcionudozu u izrazu (7.28) uzme u grejima. Ranije se koristila i jedinica rem(rem) koja se dobijala ako se Da izrazi u radima.

• Brzina ekvivalentne doze H definise se kao kolicnik ekvivalentne dozei vremena u kome je primljena

H =dH

dt, (7.29)

a odgovarajuca jedinica je sivert po sekundi.


Tabela 7.1. Faktor kvaliteta za razlicite vrste zracenja.

Vrsta zracenja Q

X i γ-zracenje 1

elektroni 1

spori neutroni 1-5

brzi neutroni, protoni 10

α-cestice i fisioni fragmenti 20

7.6 Uticaj zracenja na organizam

Ljudski organizam je stalno podvrgnut jonizujucem zracenju koje poticeod razlicitih izvora:

• kosmickog zracenja (na primer, na nultoj nadmorskoj visini ono iznosi oko350 µSv/god, a na visini od 3000m oko 2 500 µSv/god)

• prirodnih izotopa (npr, radijuma, radona, itd.)

• unutrasnjeg zracenja od radioaktivnih elemenata koji su se ugradili u nekood tkiva organizma, npr. 19K

40;

• radioaktivnih izotopa koji su stvoreni kao posledica nuklearnih eksplozijai akcidenata;

• izvora tehnicke primene zracenja (medicina, defektoskopija, radioaktivnigromobrani, katodne cevi, itd.)

Jonizacija dovodi do kidanja hemijskih veza, sto u zivim organizmimamoze da dovede do unistavanja pojedinih celija. U telu postoje mehanizmiza nadoknadivanje mrtvih celija. Medutim, ako je doza zracenja prevelika,ovo nadoknadivanje nije moguce. U tom slucaju dolazi do trajnog ostecenjaorganizma.

Efekti zracenja mogu biti somatski i genetski. Somatski efekti zracenja,odnose se na pojedinca koji je ozracen i mogu se podeliti na akutne, tj.one koji se uocavaju odmah ili posle prva dva meseca nakon ozracivanja, ipozne, tj. one koji se uocavaju nekoliko meseci ili godina nakon ozracivanja,ako je organizam uspeo da se oporavi od akutnih efekata. Genetski efektizracenja odnose se na potomke ozracenog pojedinca. Naime, jonizujucezracenje izaziva mutaciju gena koji su nosioci naslednih osobina kod zivih

7.6. Uticaj zracenja na organizam 267

organizama, a ove mutacije mogu da budu veoma opasne za potomstvo.

Kada se celo telo izlozi dovoljno velikoj dozi zracenja dolazi do nizaspecificnih promena u tkivima organizma koje se nazivaju sindromi. Zasvaki sindrom karakteristicno je vreme pojavljivanja koje direktno zavisi odapsorbovane doze zracenja:

• ≥ 1 kGy dolazi do trenutnog dejstva zracenja na celije organizma,nastupa tzv. molekularna smrt u toku samog zracenja ili neposrednoposle toga;

• 0.1 − 1 kGy dolazi do ostecenja centralnog nervnog sistema koja semanifestuju prenadrazljivoscu, gubitkom koncentracije, tegobama pridisanju, povremenom obamrloscu i gubitkom svesti i konacno nastupasmrt;

• 9−100Gy pojava gastrointestinalnog sindroma, tj. ostecenja organa zavarenje, koja se manifestuje povracanjem, gubitkom apetita, dijarejomi depresijom, a smrt se javlja 3-5 dana nakon ozracivanja.

• 3 − 10Gy pojava hematopatskog sindroma, tj. promene u krvnimcelijama i organima za stvaranje krvi, javljaju se 10-15 dana nakonozracivanja i manifestuju se drhtavicom, malaksaloscu, krvarenjima,nastankom rana i smanjenjem broja leukocita u krvi;

• 0.5− 3Gy javlja se radijaciona bolest cija pojava, trajanje i intenzitetzavise od doze zracenja ali i stanja organizma.

Pomenuti sindromi nisu medusobno vremenski izolovani, tj. ukupna naglaradijaciona povreda je rezultat zdruzenog efekta zracenja na vise razlicitihtkiva i organa i poznata je pod imenom akutni radijacioni sindrom.

Kod organizama koji su se oporavili od ranih (akutnih) i poznih (hro-nicnih) posledica ozracivanja mogu da se posle izvesnog vremena pojaveorganske promene na raznim tkivima i organima. I pored oporavka, dolazido skracivanja zivotnog veka ili zbog naknadne pojave nekog kancerogenogoboljenja, ili zbog indukcije tzv. radioloskog starenja, tj. nespecificnogpropadanja koje je karakteristicno za organizam uopste, ali se kod ozracenihodigrava mnogo brze.

Jonizujuce zracenje takode dovodi do genetskih promena, tj. dolazi domutacije gena, koji su nosioci naslednih osobina kod zivih organizama. Ovemutacije mogu biti vrlo opasne za potomstvo.


Stepen ostecenja organizma ne zavisi samo od doze vec i od brzine doze.Indukcija radijacionih ostecenja za istu dozu zracenja je veca ukoliko je dozaprimljena za krace vreme, tj. ukoliko je brzina doze bila veca. Ova pojavaobjasnjava se eksponencijalnim karakterom spontanog oporavka organizmau toku vremena.

Reakcija organizma na zracenje zavisi od njegove starosti. Deca sunajosetljivija na zracenje, dok se kod odraslih ova osetljivost povecava sastarenjem. Najotpornije su odrasle individue u mladem dobu6.

Eksperimenti pokazuju da male doze zracenja mogu povoljno da uticuna lecenje nekih bolesti infektivnog tipa. Takode se pojedine vrste zracenjakoriste za lecenje kancerogenih oboljenja posto su celije tkiva zahvacenogovom bolescu znatno osetljivije na zracenje od celija zdravog tkiva.

Apsolutno sigurna granica koja bi bila bezopasna po organizam ne pos-toji, jer i namanja doza moze (ali ne mora) da prouzrokuje ostecenja. Utabeli 7.2 su prikazane maksimalne dozvoljene godisnje doze za radnikeizlozene zracenju koje preporucuje Medunarodna komisija za zastitu odzracenja ICRP .

Tabela 7.2. Maksimalne dozvoljene godisnje doze za radnike izlozene zracenjukoje preporucuje Medunarodna komisija za zastitu od zracenja ICRP .

Organ (tkivo) Doza (mSv)

kostana srz, polni organi 50

koza, kosti, stitna zlezda 300

ruke, sake, stopala 750

ostali organi 150

Dozvoljene prosecne doze sa stanovnistvo su 1/30, a za pojedince 1/10vrednosti iz tabele.

7.7 Detekcija jonizujuceg zracenja

Detekcija jonizujuceg zracenja zasniva se na efektima njegove interakcijesa datim materijalom pri cemu se u materijalu pojavljuju razliciti efekti.U zavisnosti od nacina detekcije jonizujuceg zracenja detektori se dele na:

6Misli se na osobe kod kojih je zavrsen razvoj, dakle osobe u dvadesetim i tridesetimgodinama.

7.7. Detekcija jonizujuceg zracenja 269

jonizacione, scintilacione, hemijske, toplotne, i nuklearne. U zavisnosti odagregatnog stanja materijala kroz koje zracenje prolazi detektori se mogupodeliti na cvrste, tecne i gasovite.

Fotoemulzija

Posto je radioaktivno zracenje otkriveno pomocu fotografske ploce, to se,istorijski posmatrano, fotografska ploca moze smatrati prvim (hemijskim)detektorom radioaktivnog zracenja. Metoda fotografske ploce je usavrsena,tako da se doslo do primene nuklearnih emulzija koje sluze za detekcijunuklearnog i kosmickog zracenja, ako i za proucavanje nuklearnih reak-cija. Danas se, naravno, umesto fotografske ploce koriste filmovi sa odgo-varajucom fotoemulzijom.

Vilsonova (maglena) komora

Ovaj detektor zracenja ima veliki istori-

A

B

C

S

ka vakuumpumpi

svet

lost

Slika 7.8. Vilsonova komora

jski znacaj u nukleatrnoj fizici. Princip ra-da je sledeci: u delu komore A (prikazanena slici 7.8), nalazi se vazduh zasicen vode-nom parom; sa donje strane nalazi se klipB koji se moze pomerati promenom vaz-dusnog pritiska ispod njega. Kada se otvoriventil C, ispod klipa se naglo snizi pritisak,usled cega se klip povlaci nanize, sto dovodido sirenja gasa u delu A. Ova nagla adija-batska ekspanzija gasa dovodi do snizava-nja njegove temperature, tako da vodenapara postaje prezasicena. Ukoliko se zbogprolaska radioaktivnog zracenja pojavi nekijonski par u vazduhu, cestice jona postajucentri kondenzacije vodene pare, pa se u komori mogu pratiti tragovi kre-tanja jonizujucih zracenja.

Scintilacioni detektori

Radioaktivno zracenje pri prolazu kroz neke materijale (najcesce kristale)izaziva kratkotrajne emisije vidljive svetlosti - svetlucanja, tj. scintilacije.Scintilacioni detektor sastoji se od kristala koji svetluca i elektronske cevikoja sluzi za pretvaranje svetlosnih impulsa u elektricne - fotomultiplikatora


(slika 7.9). Elektricni impulsi se zatim mogu brojati pomocu elektronskihbrojaca.

+ 220 V + 600 V + 1000 V vakuum

impulsi

R

ka elektronskombrojaèu

+ 1400 V

+ 400 V + 800 V + 1200 V

gzr

ak

Slika 7.9. Scintilacioni detektor.

Gasni detektori

Ovi detektori predstavljaju gasnu cev sa dve elektrode izmedu kojih jeprimenjen odgovarajuci napon. Posto radioaktivno zracenje jonizuje gas,nastali joni se pod dejstvom elektricnog polja krecu izmedu elektroda i us-postavljaju struju. U zavisnosti od vrednosti primenjenog napona, tacnijeod oblasti i− u karakterisike u kojoj se nalazi ovaj napon, postoji nekolikotipova gasnih detektora (slika 7.10):

ja

èim

a st

ruje

napon

I II III

0 U1

U2

U3

U4

jonizacionekomore

proporcionalnibrojaèi

GM broja iè

Slika 7.10. Podela gasnih brojaca prema oblasti rada.

• Jonizacione komore rade u oblasti saturacije struje kada svi stvorenijoni dolaze do elektroda.

• Proporcionalni brojaci rade u oblastima napona 500 − 800V koji sudovoljno visoki da pod dejstvom elektricnog polja primarni joni budu

7.7. Detekcija jonizujuceg zracenja 271

toliko ubrzani da u sudaru sa atomima izazivaju njihovu jonizaciju.Broj nastalih sekundarnih jona proporcionalan je broju primarnih jonapa otuda potice naziv ovih detektora. Odnos ukupnog broja jonai primarnih jona naziva se gasno pojacanje, i kod proporcionalnihbrojaca iznosi 104−105, dok je kod jonizacionih komora jednak jedan.

• Gajger-Milerovi brojaci rade sa radnim naponom7 od 800 − 1 500 Vu oblasti kada bez obzira na mesto primarne jonizacije, u kompletnojcevi nastaje lavinska jonizacija, sto stvara gasno pojacanje reda 108.Kada pod dejstvom nuklearnih cestica u GM brojacu nastane lavinskajonizacija, tada u kolu brojaca pocne da tece struja. Iako mala posvojoj vrednosti, ona na otporniku R velikog otpora stvara pad naponakoji izaziva smanjivanje napona na elektrodama, pa se lavina gasi.Radi lakseg gasenja lavine, u GM cevima je gasovima pridodata paraalkohola. Nakon gasenja lavine, struja u brojacu prestaje da tece, ibrojac je spreman da detektuje sledecu cesticu. U toku kratkotrajnogproticanja struje kroz otpornik R, na njemu se javlja naponski impulskoji se moze registrovati i brojati u elektronskom brojacu.

GMbrojaè

800 - 1500 V+-

R


Slika 7.11. Gajger-Milerov brojac.

Poluprovodnicki brojaci

Predstavljaju jonizacione detektore kod kojih jonizujuce zracenje izazivapovecanje struje zasicenja p − n spoja8 tj. generaciju elektricnog impulsa9

7Koji zavisi od vrste upotrebljenog gasa.8Poznato je da petovalentne primese u kristalima silicijuma i germanijuma uslovljavaju

nastajanje slobodnih elektrona i da su oni poluprovodnici n-tipa. Suprotno, trovalentneprimese uslovljavaju stvaranje supljina a dobijeni poluprovodnici su p-tipa. Spajanjempoluprovodnika p i n tipa dobija se takozvani p− n spoj, ili poluprovodnicka dioda.

9ko Ako sada kroz p−n spoj prode jonizujuca cestica, pod njenim dejstvom ce nastatistvaranje parova elektron-supljina, i to u oba sloja, a pod dejstvom spoljasnjeg elektricnog


koji se zatim vodi na brojac (slika 7.12).

p n

R2 - 6 V- +


Slika 7.12. Poluprovodnicki brojac.

Detektori neutrona

Posto neutroni nisu naelektrisani, ne mogu se detektovati na isti nacinkao α ili β-cestice. Za detekciju neutrona koristi se osobina da pri razlicitimreakcijama sa atomima izazivaju emisiju naelektrisanih cestica koje se zatimmogu detektovati uobicajenim metodama.

Licna dozimetrijska sredstva

Da bi se vrsila kontrola radnika koji se profesionalno izlazu dejstvujonizujuceg zracenja, primenjuje se licna dozimetrija. Obicno se kontrolaprimljenih doza vrsi mesecno, a moze i cesce. Za svakog radnika se vodilicni dozimetrijski karton u koji se unose vrednosti primljenih doza. Da bise do ovih podataka doslo, osoblje mora da nosi licne dozimetre. Za mesecnukontrolu se najcesce koriste film dozimetri ili termoluminiscentni dozimetri,dok se za dnevnu kontrolu koriste penkala dozimetri. Usvojeno je da se licnidozimetri nose s leve strane na grudima.

polja nastace kretanja nastalih supljina iz n sloja u p sloj i elektrona u obrnutom smeru,tako da ce kroz diodu proteci struja. Na taj nacin stvorice se elektricni impuls pri svakomprolasku jonizujuce cestice kroz diodu.

Literatura

[1] E.E. Burns, F.L. Verwiebe, H.C. Hazel, G.E. Van Hooft, Physics - Abasic science, D. Van Nostrand Company, Inc., New York, 1954.

[2] International Commision on Illumination, The basis of physical pho-tometry, Paris, 1983.

[3] Difuzija i kondenzacija u arhitektonskim objektima, priredili B.B.Budisavljevic, V. Georgijevic, M. Jovanovic Popovic, Arhitektonskifakultet Univerziteta u Beogradu, Gradevinski fakultet Univerzitetau Beogradu, Savezni zavod za standardizaciju, Institut IMS, Beograd,1996.

[4] G.L. Dimic, G.T. Mavrodiev, Fizika za III razred gimnazije prirodno-matematickog smera, Zavod za udzbenike i nastavna sredstva,Beograd, 1977.

[5] G.L. Dimic, D.M. Obradovic, M.M. Sekulic, Fizika za IV razred gim-nazije prirodno-matematickog smera, Zavod za udzbenike i nastavnasredstva, Beograd, 1978.

[6] S.Z. -Dokic, Prilog uporednoj karakterizaciji metoda proracuna osvet-ljenja zatvorenih prostora, Magistarska teza, Elektronski fakultet, Nis,2000.

[7] I.G. Draganic, Z.D. Draganic, Z.-P. Adlof, Radijacije i radioaktivnostna Zemlji i u Vasioni, Decje novine, 1991.

[8] V. Georgijevic, Tehnicka fizika izabrana poglavlja, Zavod za udzbenikei nastavna sredstva, Beograd, 1993.

[9] K. Han, Fizika I, Naucna knjiga, Beograd, 1958.

273

274 Literatura

[10] K. Han, Fizika II, Naucna knjiga, Beograd, 1958.

[11] G. Hilbig, Grundlagen der Bauphysik Warme-Feuchte-Schall, Fach-buchverlag Leipzig, 1999.

[12] M. Ilic, Fizika, Privredni pregled, 1974.

[13] D.M. Ivanovic, V.M. Vucic, Fizika II, Naucna knjiga, Beograd, 1980.

[14] D.M. Ivanovic, V.M. Vucic, Atomska i nuklearna fizika (Fizika III),Naucna knjiga, Beograd, 1981.

[15] S. Ivanovic, Inzenjerska seizmologija, autorizovana predavanja,Gradevinski fakultet, Titograd, 1986.

[16] H. Kurtovic, Osnovi tehnicke akustike, Naucna knjiga, Beograd, 1982.

[17] Medunarodna unija za cistu i primenjenu fiziku, Oznake, jedinice,nazivi i fundamentalne konstante u fizici, Sveske fizickih nauka, Insti-tut za fiziku, Beograd, 1990.

[18] A. Milojevic, Talasna optika, Zavod za izdavanje udzbenika Socijali-sticke Republike Srbije, Beograd, 1971.

[19] D. Milosavljevic, Fizika - knjiga I - mehanika, toplota, Naucna knjiga,Beograd, 1954.

[20] V. Nashchokin, Engineering thermodynamics and heat transfer, MirPublishers, Moscow, 1979.

[21] B. Pavlovic, N. Nikolic, D. Stanojevic, Fizika, Naucna knjiga,Beograd, 1990.

[22] M.M. Pejovic, Opsti kurs fizike - mehanika, molekularna fizika, ter-modinamika, Elektronski fakultet, Nis, 1994.

[23] M.M. Pejovic, Opsti kurs fizike - oscilacije, mehanicki talasi i optika,Elektronski fakultet, Nis, 1996.

[24] M.M. Pejovic, Opsti kurs fizike - kvantna mehanika, atomska istatisticka fizika, fizika cvrstog stanja, nuklearna fizika i elementarnecestice, Elektronski fakultet, Nis, 1999.

Literatura 275

[25] M. Rakocevic, Arhitektonska fizika - osvetljenje - skripta prema pre-davanjima prof. arh. Vojislava Damjanovica, Arhitektonski fakultet,Beograd

[26] Z. Topolac, Fizika, Gradevinska knjiga, 1987.

[27] V.M. Vucic, D.M. Ivanovic, Fizika I, Naucna knjiga, Beograd, 1980.

[28] W. Westphal, Fizika, Naucna knjiga, Beograd, 1949.

[29] W. Westphal, Fizika II (toplota i elektricitet), Naucna knjiga,Beograd, 1949.

[30] http://www.arch.hku.hk/teaching/

[31] http://astro.fdst.hr/index.php?p=http://astro.fdst.hr/SuncevSustav/

300 zemlja.php

[32] http://ees.etf.bg.ac.yu/Predmeti/EG5OE/

[33] http://www.efunda.com/formulae/heat transfer/home/overview.cfm

[34] http://en.wikipedia.org

[35] http://www.eps.co.yu/o nama/karta elektro.php#top

[36] http://www.rwc.uc.edu/koehler/biophys.2ed/heat.html

[37] http://www.webelements.com/webelements/elements/text/Rn/

key.html

276 Dodatak 1

Dodatak 1: Spektar vidljive svetlosti

Dodatak 2 277

Dodatak 2: Primer za aditivno i supstraktivno mesanjeboja

Aditivno mešanje boja

Supstraktivno mešanje boja

278 Dodatak 3

Dodatak 3: CIE Dijagram

Dodatak 4 279

Dodatak 4: Elektro-energetski sistem Srbije

fizika - gaf.ni.ac.rs

Documents