Fizika IV: Toplina i osnove statističke fizike

1. kolokvij - GRUPA A

25.5.2018.

1. Cilindar s pomičnim klipom napunjen je s 22,4 l plina pri temperaturi 25 ◦C itlaku 1 atm. U takvom stanju klip spojimo s elastičnom zavojnicom koeficijenta2000 Nm−1 prema slici.

(a) Za koliko će se podignuti klip ako povisimo temperaturu na 125 ◦C? Površinaklipa iznosi 0,01 m2 i ima zanemarivu masu. (2 boda)

(b) Koliki je omjer srednjih slobodnih putova molekula nakon pomaka klipa i prijepomaka klipa, ako se u cilindru nalazi vodik (H2) koji se ponaša kao idealniplin. (2 boda)

(c) Koliki je prirast unutrašnje energije? (1,5 bod)

(d) Koji uvjet mora vrijediti za rad koji se obavi nad plinom u cilindru kako bibilo moguće pomicanje klipa? (0,5 boda)

2. Cijev primarnog rashladnog kruga reaktora duljine 5 m izradena je od čelika(λ1 = 40 Wm

−1K−1) debljine 2 cm i unutarnjeg promjera 1 m. S vanjske stranecijev je izolirana materijalom debljine 4 cm (λ2 = 0,02 Wm

−1K−1). Temperaturarashladnog sredstva iznosi 350 ◦C, a temperatura okoline 26,85 ◦C. Koliki je toplinskitok ako se pretpostavi da se unutarnja i vanjska strana cijevi održavaju na timtemperaturama? (5 bodova)

3. Mol zraka se zagrijava od 200 K do 800 K. Ovisnost molnog toplinskog kapacitetapri konstantnom volumenu dana je izrazom Cm,V = (15 + 0,05T ) J mol

−1 K−1.

(a) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izobarno? (2 boda)

(b) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izohorno? (1 bod)

4. Za 1 mol plina koji zadovoljava jednadžbu stanja(p+

n2

V 2

)V = nRT

odredite koeficijente:

α =1

V

(∂V

∂T

)p

(1 bod)

β =1

p

(∂p

∂T

)V

(1 bod)

i razliku Cp − CV (1 bod). Ako se stanje takvog plina mijenja od A(4 K, 5 m3) doB(4 K, 2 m3) izračunajte promjenu unutrašnje i (Helmholzove) slobodne energije.(3 boda).

Fizika IV: Toplina i osnove statističke fizike

1. kolokvij - GRUPA B

25.5.2018.

1. Za 1 mol plina koji zadovoljava jednadžbu stanja(p+

n2

V 2

)V = nRT

odredite koeficijente:

α =1

V

(∂V

∂T

)p

(1 bod)

β =1

p

(∂p

∂T

)V

(1 bod)

i razliku Cp − CV (1 bod). Ako se stanje takvog plina mijenja od A(4 K, 3 m3) doB(4 K, 1 m3) izračunajte promjenu unutrašnje i (Helmholzove) slobodne energije.(3 boda)

2. Mol zraka se zagrijava od 133 K do 331 K. Ovisnost molnog toplinskog kapacitetapri konstantnom volumenu dana je izrazom Cm,V = (17 + 0,03T ) J mol

−1 K−1.

(a) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izobarno? (2 boda)

(b) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izohorno? (1 bod)

3. Cijev primarnog rashladnog kruga reaktora duljine 7 m izradena je od čelika(λ1 = 40 Wm

−1K−1) debljine 8 cm i unutarnjeg promjera 80 cm. S vanjske stranecijev je izolirana materijalom debljine 10 cm (λ2 = 0,03 Wm

−1K−1). Temperaturarashladnog sredstva iznosi 400 ◦C, a temperatura okoline 16,85 ◦C. Koliki je toplinskitok ako se pretpostavi da se unutarnja i vanjska strana cijevi održavaju na timtemperaturama? (5 bodova)

4. Cilindar s pomičnim klipom napunjen je s 67,2 l plina pri temperaturi 25 ◦C itlaku 1 atm. U takvom stanju klip spojimo s elastičnom zavojnicom koeficijenta3000 Nm−1 prema slici.

(a) Za koliko će se podignuti klip ako povisimo temperaturu na 125 ◦C? Površinaklipa iznosi 0,02 m2 i ima zanemarivu masu. (2 boda)

(b) Koliki je omjer srednjih slobodnih putova molekula nakon pomaka klipa i prijepomaka klipa, ako se u cilindru nalazi dušik (N2) koji se ponaša kao idealniplin. (2 boda)

(c) Koliki je prirast unutrašnje energije? (1,5 bod)

(d) Koji uvjet mora vrijediti za rad koji se obavi nad plinom u cilindru kako bibilo moguće pomicanje klipa? (0,5 boda)

Fizika IV: Toplina i osnove statističke fizike

2. kolokvij - GRUPA A

17.6.2018.

1. Zadana je funkcija raspodjele f(x) = C x e−b4x2 duž pozitivnog smjera osi x. Odred-

ite srednju vrijednost koordinate i standardnu devijaciju σ(x). (5 bodova)

2. Zadan je hamiltonijan jednodimenzionalnog sustava:

H =p2

2m+ Ax2, 0 ≤ x

Fizika IV: Toplina i osnove statističke fizike

2. kolokvij - GRUPA B

17.6.2018.

1. Kolika je vjerojatnost da je iznos x -komponente translacijske brzine izmedu najv-jerojatnije brzine i srednje kvadratne brzine? (4 boda)

2. Zadan je hamiltonijan jednodimenzionalnog sustava:

H =p2

2m+ Ax2, 0 ≤ x

t tbtohif r;_,_r::; ~~ 21_ 1~~

@'1e (9/40 Zo.Jo._V'O : V, I 11 I 'PI I k_ Cl} ( 1- I S

X -? - ? 7

r~ v~ _ ~ · ~ --

1 1 ll

- ttip f:l( FX' "I C(;, pr(" 'tV'(:\ 5 G(e; : v 2 / v1 -=) f 2_ 7 f '1 V 2 == V1~ S·x

2- nocin ~

.r\ = ll 'lo V

?V::;N~Tjvr_f

li~-P-v k_(

c) 6U4i=? ~ = 5 ( ducxdorm nm rYVtJe~c (0..)

U ==4_ N rT =f n Nflk.T fV\rr ~ ~ ~

(\-=- (

bU~2 ~, r~ -\ ~2. ?.:.. '

1. nacw1-.

~-i n'KJJI~ '-T rV"nK'T(d

d(pVJ~ntdT

!l(pv)- nC.6-T

( p2V2 p,V~)- n1: (lz 1~)

L\U12-= -f ( p1-V,_-p~V~J 3_ netoi(l: ,__________ JU I C..,.,,v = ~ dT . VldT

dU =- V)c ,v JT IS ~ clU ::: ~ rt ~,v d , · uU-= n Cm~v A/

I

/ ~---

C~11 -c 1v- r /: C~,v cc[- ~ := itv ( ?r) C v- rr_

tt-1

d) COW:::? iiW 12=-? v9_-v, >O ~>0

~;:, \ ,,2 > 0 iJ _ SW>-cJ ~

-======~~-----------

,./\ - ,.. -t X - .cil Yz. 04 '1 2..

( 3 = {, "L- d{ -\- Li(n -1 L1 (!1.)

~ ;2(,~1 ~ a1-r7) !l rL tV! (1

1?-. = 91f Al e C --r; -t ::) I /) (!>

(V) {1...-

(

~ !;_ =-62~~5 ~

P-:=:. 2_ f3 Cj O'g vJ - r

("y, 1;:._ ~?2.1 8 DK ,~W

fJ

~- 25r((TcT?J) - -en( If.) + {VI (~J

~'\ . (\l~

~ - p rc b lzr--ptfq):,; h o tpov '}__ 1sS N~e v I IY'( G"~ c VVVl nptj LA I

~=1c ?;

®~f.) ; (32-fuJQV\0: (\ I~ _LT ~ l_~_'_ ~

i) P1 '='W"' p = ;.,0'/l,L

dS= It/~ ~dS= j-¥

f

\!> S12-= 69_l3'2 "J;K (f) r;, AS 12:=' 1 gr e:J'L J /1(

6) V, =V2- \[

dS= ~ /S '

-- I 1

I

uS = ( n C,.,,vdT 11- j T

,, \ l ~51~- n { aven ~: + &-hz-71)~ ®~ ~c;1?--~~ d/K

@-., A-9?1'L = 2_1//zl--J J IK

tg. ( (!7 tl.

locb.V\0 ~ (\ ::::- ~ ff'/10~

fp+ ~~) \J =l'll?T - jcdVl nt0T' (t:'Jtc rdfD-tVI· l' re;V\ l 1 )

(P -t ~)V=V1~T I d d ( F -+~) V -t {p+ ~) dV := nTd/

(clp - 2-v~dV}V+( pdV+ ~~dV)= n7?dT

Vdp- r~~BY + \dV+ ~- nl?dT 0

Vdp-n~dT + dV(r-~) ~ 0

~ l=_i(;J~\ =7 v 'J( Jp .

~ .. dV ( f-~)- n1:Jf

#~ph~~ -(~Jf ---

(\12.-- v

Vdp- n12dT + JV ( YJ~_ V:J=o ' '

Gl) Qy _ ~ 12- "" _cp_ __ ~ ~ V2 dT - ~IT -~ 7!7 V- 2 n T7 V 2 n

v v'-- v~. __

------

R(T~ I v1) ~ b(TQ_ I v2) T, =12 ~T V~ >V2._ ~

l R:o 1 C{rrr Ov Poi'VV' ~ r

J

pt'Arc. et{' !1Jf ;J~ In ~

d u = cv T-+ TT- (~) - pl dV ~oitll ~t::'PH II ttCVfl / ~o L' v J J 'Ji J:JIJf

@ () 6l~ !=? - 2-- \ ~ -0 3J ,0 rt-B 1o d r

®~ :JL~r;=-~a =-qat-J

~

(;~I=-~ (~V -p .-JEDII)AreBi)

(~ U \ = V1 ~ .q:--Jmm CJV /T V

dU ~ V)?_ ____, - -d\J vl,

dU= ~JV/5 ' '

~e hio koo r\Q ~, na'tlr1

e) .t~Jfre=? F= U -TS/d

dF-dU lJS c

dF~dU -T(~tJv

d F = dU - T n; dV dF~ ~cW- TfdV ('

I'?:, {':, frB - -:;CI'J, H-J @ "" 6 F f'r'f, = ·::, _ c UJ }. f\OC1V\~ I ~ F= U ')S(a

dF::-d\J 1~

A ~1:> = uU11b-1 D- S113

b Fll~ = ~ -~'--

@'1 @3

10 b,~httj" ~~. 6 1048 ..

lu.do.,l'lo ~ ( x.) == C x e & \2. ------ -~x ~? ~6{x)~?

cv;>

~ X=) x~{x)dx 0

C/) (r '1 2-X :=: )xCxe- xdK

\ 8(\J : (JQrj~e-f(A c \ ~e;J{o X-CA

0

L nor~1cac~'o_ ~troj~ivio:ib': ,,..,

)~(>e)dx~~ c

~ rer) tr)

S Cx e,- 6-~x'2dx c=.. ~ 0

C~,xe-{C)xdx-1 :> -fi,, ·1 =0 C-U) ~1

l11 -:=; 1rA ~ 2. (;'1 (/)

X- )x 2er\ e&\Jx

x-=- 'l er '1 f x"-e_ -(&~x 2_, 0.. 9_ v ~ 9_J!r Vi 2_, ~ e;t, L, fr6

[

ii= 'lf7~~%1 - ~ X?_=-~ ~

ct) E =?

E =- Ek.+ tP-= H 1-

E;i = f;, E- A-x z p

_J_?-- A ~ ? ~ '"L ~=~p~-~ p-r;;;--1:

t -~ 2.: p b p ~ (. I

I> I

f l7-e--tdt~I2_~%;1Jc- ~ r e-t~t}I.=fi!=t

I~

C) t-QdQY\O T, () U ==? Cv=? . .

U "" N · e = n · N1t · E = n · NFJ · k · T = n 'KV ~

dU Cv"" Ti= n y ~ E"" k, T

1 U= i09S; 1~ J

1 Cv == g131ti J/K

@~ E-=~ T 1 u =2013111 J, c" =1

Cl:) C/)

1 t...=- -h f e -f:>i; dp f e -r1iA )?dx ~~

l 17_

11 ~ f e-(~lpdp=Io= -k{[ ~f {2f~ 0

®~- ® '1. lo.clo.n: ~{E) ==CV E":> E~ 0

a.,) T=OK w (E> E)=?

w(E>E)= LI.;= N(~>E) ~ ~enmione nc T 0 k:: g(e) ~ 1

o 1

E>-µ~

µ"

N = ~ C V c" ~ ~ ~utvrci~ er":J cmliCo._ 0

/Ao

N ( E >E) ==) c v~)d[ ~ 6nj cm{icu (A, E> E E

. µc E~ !..Po

i CVE?,dE ~ JJ0ti_ E1

w(E>E) =-Er CV 3 b - -_"'i"-t c=:: ~ 0

()

1~ (E>~) ==C),5~00

®,~~ E= ~,u~ 1

w(E>E)""etr~('.)li 6i tiE=?

l=ff _ ( E .

LJE= 6'(E/=~ ~- E'-

'-L(Ef (~µj2 ~µo'l

E

,A.A-o

2 f e2,gle)gCc)dE fE\;JtE'clt? _ J Esdc; E = ~~(~_fCehJE "" .. r~Vc=?de - -rE3df

-E

~ 4. ® f1e A-;>

w ( \)"" z ~

j_ ~~ -C1 Wx.==- - . e-t-JJ_ - 2=_ J -'l.d ,__ fr ~ ffe v

\__-()~ ~-

er~(~ . er{(t1)

UJ)(~ er~( 1,118) - ('rf (~)

I \IJJ(= ©,00Gb?;,0 J * U --; 36\Jf'' j e ~or~ c;Jfb.vi1~ CJO~ 1/1 lf' 1 F'- 0S

Oll\CI /Ju pr5!r1u 1 !tx ~d to CL VY).~ v lfl O 'I!'.".. ~ j 8 (Qvl/'ce' . u =~31::..T

tJe ~ . 0

-t~=~ ~-v~e=~-;~ \J~ ~-1,9-iS . ~

\Nx= ecf ( ~.ns) -er~ (1)

l ~v =-Op':l-00

1.KOLOKVIJ-F4_20181. kolokvij_2018 - GRUPA A1. kolokvij_2018 - GRUPA BRješenje 1. kolokvija s postupkom_scan1 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0019 00110 00111 00112 00113 00114 001

2.KOLOKVIJ-F4_20182. kolokvij_2018 - GRUPA A2. kolokvij_2018 - GRUPA BRješenje 2. kolokvija s postupkom_scan1 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0019 00110 00111 00112 001