Universidade Federal do Esprito SantoPrograma de PsGraduao em Engenharia CivilDepartamento de Estruturas e EdificaesDissertao de MestradoInterao Flambagem Global Flambagem Local emPilares Metlicos de Seo I Duplamente SimtricosSob Compresso UniformeDissertaodemestradoapresentadaaoPrograma de PsGraduao em EngenhariaCivildoCentroTecnolgicodaUniversidadeFederaldoEspritoSanto,comorequisitoparcialparaobtenodoGraudeMestreemEngenharia CivilMestrandoWarlley Soares SantosOrientadorLuiz Herkenhoff CoelhoVitria, 13 de setembro de 2002Warlley Soares SantosInterao Flambagem Global Flambagem Local emPilares Metlicos de Seo I Duplamente SimtricosSob Compresso UniformeCOMISSO EXAMINADORA--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho, UFES (Prof. Orientador)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Prof. D. Sc. Walnrio Graa Ferreira, UFES (Prof. Examinador Interno)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Prof. D. Sc. Francisco Carlos Rodrigues, UFMG (Prof. ExaminadorExterno)Vitria, 13 de setembro de 2002Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Biblioteca Central da Universidade Federal do Esprito Santo, ES, Brasil)Santos, Warlley Soares, 1977-S237i Interaoflambagemglobalflambagemlocalempilaresmetlicosdeseo I duplamente simtricos sob compresso uniforme / Warlley Soares Santos. 2002.120 f. : il.Orientador: Luiz Herkenhoff Coelho.Dissertao(mestrado)-UniversidadeFederaldoEspritoSanto,CentroTecnolgico.1.Flambagem(Mecnica).2.Estabilidadeestrutural.I.Coelho,LuizHerkenhoff.II.UniversidadeFederaldoEspritoSanto.CentroTecnolgico.III. Ttulo.CDU: 624___________________________________________________________________________DedicoestetrabalhoaosmeuspaisJosSoaresdosSantoseMariadeFtimaArajodosSantos,quesempremeincentivaram.AgradecimentosGostariadeagradeceraDeusportudo.AosmeuspaisJosSoaresdosSantoseMariadeFtimaArajodosSantos,ameusdoisirmosWelingtoneWelciusquesempremeapoiaram.AomeuorientadorLuizH.Coelho,aosprofessores, especialmente Fernando Musso e Walnrio Graa Ferreira. Ao NEXEM(NcleodeExcelnciaemEstruturasMetlicaseMistasConvnioUFES/CST)peloincentivofinanceiroeaosmeusamigosquesempreestiveramaomeulado.GostariadeagradecertambmaoSr.VirglioS.PrateseaoSr.AntnioCarlosB.Vieira pelo estgio na HEC HANDLE no qual pude obter precioso aprendizado sobreengenhariaeprincipalmentesobreoprogramaANSYS.AgradeoFtimaNogueiraeatodosdaSoftecporsempreesclarecerasdvidasrelativasaoprograma ANSYS.Ao professor Pedro Augusto Cezar Oliveira de S um agradecimento especial pelashoras dispensadas neste trabalho e pelo amigo sincero que sempre foi e ser.Ora, indiscutvel: o inferior que recebea bno do que superior. (Heb 7,7)iSumrioLISTA DE TABELAS.......................................................................................................................................... IILISTA DE FIGURAS......................................................................................................................................... IIIRESUMO.............................................................................................................................................................. VABSTRACT.........................................................................................................................................................VICAPTULO 1 INTRODUO............................................................................................................................ 1CAPTULO 2 ESTADO DO CONHECIMENTO.............................................................................................. 32.1 INSTABILIDADE DE PILARES METLICOS....................................................................................................... 3Introduo...................................................................................................................................................... 3As propriedades dos aos .............................................................................................................................. 4Dimensionamento .......................................................................................................................................... 6Flambagem por flexo................................................................................................................................... 7Flambagem por toro ................................................................................................................................ 15Flambagem por flexo e toro................................................................................................................... 16Flambagem lateral....................................................................................................................................... 17Flambagem Local ........................................................................................................................................ 20Distoro da seo ...................................................................................................................................... 272.2 INTERAO ENTRE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL.................................................................................... 29Introduo.................................................................................................................................................... 29Classificao das instabilidades acopladas................................................................................................. 31Mtodos de Anlise...................................................................................................................................... 34CAPTULO 3 MODELO NUMRICO............................................................................................................ 393.1 CURVA DE FLAMBAGEM ALTERNATIVA...................................................................................................... 393.2 CONSIDERAES PRELIMINARES DO MODELO NUMRICO.......................................................................... 433.3 ESCOLHA DA MALHA .................................................................................................................................. 46Alguns casos estudados................................................................................................................................ 493.4 ESCOLHA DO MATERIAL.......................................................................................................................... 61Alguns casos estudados................................................................................................................................ 62CAPTULO 4 PERFIS LONGOS...................................................................................................................... 65FLAMBAGEM GLOBAL....................................................................................................................................... 65CAPTULO 5 PERFIS CURTOS ...................................................................................................................... 685.1 FLAMBAGEM NA ALMA................................................................................................................................ 695.2 FLAMBAGEM NAS MESAS............................................................................................................................. 715.3 INTERAO FLAMBAGEM NA ALMA E MESA................................................................................................. 73CAPTULO 6 PERFIS INTERMEDIRIOS................................................................................................... 776.1 INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA............................................................ 776.2 INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS......................................................... 816.3 INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS....................................... 84CAPTULO 7 MTODO ALTERNATIVO..................................................................................................... 94Um exemplo ilustrativo................................................................................................................................ 94CAPTULO 8 CONCLUSES........................................................................................................................... 96REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................................................. 100ANEXO: ARQUIVO PARA PARAMETRIZAO..................................................................................... 106iiLista de TabelasCaptulo 4TABELA 4.1 COMPRIMENTOS, CARGA LTIMA RELATIVA E NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DOS PERFIS LONGOS..................................................................................................................................................................... 65Captulo 5TABELA 5.1 ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS A FLAMBAGEM NA ALMA..... 69TABELA 5.2 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.1 ...................................................................................... 70TABELA 5.3 ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NA ALMACUJOS NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DA ALMA ESTO ENTRE 0.8 E 1.8................................................... 71TABELA 5.4 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.3 ...................................................................................... 71TABELA 5.5 ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NAS MESAS72TABELA 5.6 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NAS MESAS .............................................................................................................................. 72TABELA 5.7 ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NAS MESASCUJOS NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DAS MESAS ESTO ENTRE 0.8 E 1.8................................................ 73TABELA 5.8 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS FLAMBAGEM NAS MESAS REFERIDOS NA TABELA 5.7 ................................................................................... 73TABELA 5.9 ESPESSURAS DA ALMA E DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS INTERAOENTRE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS ................................................................................................. 74TABELA 5.10 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS INTERAO DE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS.................................................................................... 75Captulo 6TABELA 6.1 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL EFLAMBAGEM LOCAL NA ALMA...................................................................................................................... 77TABELA 6.2 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIRIOSSUJEITOS INTERAO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ................................ 78TABELA 6.3 REGRESSO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.2 SEGUNDO A EQUAO (3.3) ................................... 80TABELA 6.4 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL EFLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ................................................................................................................... 81TABELA 6.5 CARGA LTIMA RELATIVA E NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIRIOSSUJEITOS INTERAO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ............................. 82TABELA 6.6 REGRESSO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.5 SEGUNDO A EQUAO (3.3) ................................... 83TABELA 6.7 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS, NDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS E RESISTNCIA LTIMARELATIVA DOS PERFIS SUJEITOS INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NASMESAS........................................................................................................................................................... 85TABELA 6.8 REGRESSO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.7 SEGUNDO A EQUAO (3.3) ................................... 90Captulo 8TABELA 8.1 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DOS PERFIS PARA COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOSNUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86......................................................................................... 96TABELA 8.2 COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86 96iiiLista de FigurasCaptulo 2FIGURA 2.1. GRFICO-PARA AOS NO TEMPERADOS.................................................................................. 4FIGURA 2.2. DISTRIBUIO DAS TENSES RESIDUAIS EM SEES DO TIPO I: 1. W 14X730 [KSI] 2. WW 23X681[KIPS/IN] ........................................................................................................................................................ 5FIGURA 2.3. CURVA PDE PILARES SEM DEFORMAES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEARCONSIDERANDO GRANDES DEFORMAES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 8FIGURA 2.4. CURVA PDE PILARES SEM DEFORMAES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NO LINEARCONSIDERANDO GRANDES DEFORMAES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 8FIGURA 2.5. CURVA PDE PILARES SEM DEFORMAES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEARCONSIDERANDO GRANDES DEFORMAES E GRANDES DESLOCAMENTOS....................................................... 9FIGURA 2.6. CURVA PDE PILARES SEM DEFORMAES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NO LINEARCONSIDERANDO GRANDES DEFORMAES E GRANDES DESLOCAMENTOS....................................................... 9FIGURA 2.7. CURVA PDE PILARES COM DEFORMAES INICIAIS E COMPORTAMENTO LINEARCONSIDERANDO GRANDES DEFORMAES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 9FIGURA 2.8. CURVA PDE PILARES COM DEFORMAESINICIAIS E COMPORTAMENTO NO LINEAR.............. 9FIGURA 2.9. CURVA TPICA....................................................................................................................... 12FIGURA 2.10. BANDA DE CURVAS ............................................................................................................. 12FIGURA 2.11. FENMENO DA FLAMBAGEM LOCAL................................................................................................ 20FIGURA 2.12. COMPORTAMENTO DE CHAPAS COM E SEM IMPERFEIES INICIAIS .................................................. 22FIGURA 2.13. CURVA ANTES E DEPOIS DA FLAMBAGEM LOCAL................................................................. 23FIGURA 2.14. DISTRIBUIO DE TENSES APS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA APOIADA................. 23FIGURA 2.15. DISTRIBUIO DE TENSES APS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA LIVRE...................... 23FIGURA 2.16. CONCEITO DE LARGURA EFETIVA...................................................................................................... 24FIGURA 2.17. MODO DE INSTABILIDADE POR DISTORO EM PERFIS U ENRIJECIDOS EPERFIS RACKS. ................. 28FIGURA 2.18. EROSO PRIMITIVA E EROSO DERIVADA INTERAO FLAMBAGEM GLOBAL (1 MODO) FLAMBAGEM LOCAL (2 MODO) ................................................................................................................... 32Captulo 3FIGURA 3.1. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA LIVRE E SEUSCORRESPONDENTES GRFICOS P ......................................................................................................... 47FIGURA 3.2. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA APOIADA E SEUSCORRESPONDENTES GRFICOS P ......................................................................................................... 48FIGURA 3.3. PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO, SOLICITAO EDEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA.......................................................................................... 50FIGURA 3.4. GRFICOS PDOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NA ALMA) 1. PERFIL COM DEFORMAESINICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS CONSIDERVEIS......................................... 50FIGURA 3.5. PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO, SOLICITAO EDEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS....................................................................................... 51FIGURA 3.6. GRFICOS PDOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAESINICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS CONSIDERVEIS......................................... 52FIGURA 3.7. PERFIL LONGO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO, SOLICITAO EDEFORMADA DE FLAMBAGEM POR FLEXO ................................................................................................. 53FIGURA 3.8. GRFICOS PDOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM POR FLEXO) 1. PERFIL COM DEFORMAESINICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS CONSIDERVEIS......................................... 53FIGURA 3.9. PERFIL INTERMEDIRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO,SOLICITAO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA .......................... 54ivFIGURA 3.10. GRFICOS PDOS PERFIS INTERMEDIRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAALMA) 1. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAISCONSIDERVEIS............................................................................................................................................ 55FIGURA 3.11. PERFIL INTERMEDIRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO,SOLICITAO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ....................... 56FIGURA 3.12. GRFICOS PDOS PERFIS INTERMEDIRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NASMESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAISCONSIDERVEIS............................................................................................................................................ 57FIGURA 3.13. PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO, SOLICITAO EDEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS................................... 58FIGURA 3.14. GRFICOS PDOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NASMESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAES INICIAISCONSIDERVEIS............................................................................................................................................ 59FIGURA 3.15. PERFIL INTERMEDIRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIES DE CONTORNO,SOLICITAO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FLAMBAGEM GLOBAL .................................................................................................................................. 60FIGURA 3.16. GRFICOS PDOS PERFIS INTERMEDIRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFILCOM DEFORMAES INICIAIS CONSIDERVEIS .............................................................................................. 60FIGURA 3.17. CURVA DE AOS CARBONO.................................................................................................. 61FIGURA 3.18. CURVA - DO AO CARBONO COMMPa f 2300 E N = 12.................................................... 62FIGURA 3.19. GRFICOS PDOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM GLOBAL) 1. PERFIL COM IMPERFEIESFSICAS 2. PERFIL SEM IMPERFEIES FSICAS .............................................................................................. 64Captulo 4FIGURA 4.1. CURVA DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIES INICIAIS............................................ 66Captulo 5FIGURA 5.1. TUBO CURTO DISTRIBUIO DE TENSES NO ESTADO LIMITE LTIMO 1. TENSES NA DIREODA APLICAO DA CARGA [KN/CM] 2. TENSO EQUIVALENTE DE VON MISES [KN/CM] ............................ 68Captulo 6FIGURA 6.1. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIES INICIAIS INTERAO FLAMBAGEMGLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ................................................................................................... 80FIGURA 6.2. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIES INICIAIS INTERAO FLAMBAGEMGLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ................................................................................................ 84FIGURA 6.3. VARIAO DO PARMETRO ............................................................................................................ 91FIGURA 6.4. VARIAO DO PARMETRO ............................................................................................................. 92FIGURA 6.5. VARIAO DO PARMETROr ......................................................................................................... 92vResumoSANTOS, WarlleySoares.InteraoFlambagemGlobalFlambagemLocalemPilaresMetlicosdeSeoIDuplamenteSimtricosSobCompressoUniforme. 2002. 120 p. Dissertao (Mestrado em Engenharia Civil) UniversidadeFederal do Esprito Santo.Osperfismetlicoscomprimidospodemsubmeter-seflambagemglobal,flambagem das chapas componentes (flambagem local) ou, ainda, interao entreos dois modos de flambagem. Nos cdigos modernos, esta interao consideradaatravsdomtododalarguraefetiva.Naverificaodabarraflambagemglobal,suaesbeltezrelativaesuaresistnciasodeterminadascombasenoconceitodelargura efetiva de chapas. Este conceito, no entanto, no representa perfeitamente ainfluncia da flambagem local na resistncia da barra.Opropsitodoestudoapresentadodemonstrarapossibilidadedesetrataroproblemadainteraoflambagemglobalflambagemlocalemperfismetlicoscomprimidosdeformaalternativa,dispensando-seautilizaodoconceitodelargura efetiva.apresentadoumestudonumrico,baseadonomtododoselementosfinitos,deperfismetlicostipoI,duplamentesimtricos,sujeitosaofenmenodainteraoflambagem global flambagem local na compresso. destacada a influncia destainterao na resistncia do perfil para diversas relaes entre as esbeltezes do perfile de suas chapas componentes.Palavras-chaves:instabilidade;flambagem;instabilidadesacopladas;perfismetlicos.viAbstractSANTOS, WarlleySoares.OverallLocalInteractionBucklingonCompressedDouble Simetrics I Steel Profile. 2002. 120 p. Dissertation (Master Degree in CivilEngineering) Federal University of Esprito Santo.Compressed steel profiles can undergo overall buckling, local buckling or interactionbuckling (coupled instability). Modern codes consider this interaction by the effectivewidth method. Bar strength and slenderness areaffected byeffectivewidthconceptintheoverallbucklingverification.Thisconcept,however,doesnotrepresentsthelocal buckling phenomenon perfectly.The purpose of this work is to show the possibility of the treatment of the interactionbuckling by an alternative way, without the effective width concept.A numeric analysis, by FEM, is present in order to verify the behavior of compressedI steel profile under interaction buckling.The influenceofthisinteractionin theprofilestrength forseveralbarslenderness plate slenderness rates is pointed out.Key words: instability; buckling; coupled instabilities; steel profile.Captulo 1 IntroduoNamaiorpartedasestruturas,ospilaressoelementosdefundamentalimportncia.Aresistnciadospilaresnaestruturaqueoscontm,podeserdeterminista no colapso da mesma como um todo.Em estruturas metlicas, em geral, o colapso dos pilares ocorre basicamente emcondies de instabilidade.Em 1744, Euler apresentou uma soluo do problema de instabilidade de pilaresesbeltosconstitudosdematerialinfinitamenteelstico,simplesmenteapoiados(biarticulados)nasextremidades,deseoconstante,semimperfeiesgeomtricas e fsicas, submetidos a compresso simples.Desdeento,muitosestudostmsidodesenvolvidosbuscandoumamelhorcompreensodoproblemadeinstabilidadeassimcomoumaformulaodesolues considerando todos os fatores que afetam o fenmeno.Ainstabilidadeestruturalpodemanifestar-sededistintasformas,denominadasmodosdeinstabilidade.Assim,empilarespodemocorrerfenmenosdeinstabilidadeporflexo,toro,ouflexotorodaspeascomoumtodo(flambagemglobal),pordistorodaseo,porflexolocalizadadaschapascomponentesdopilar(flambagemlocal)einclusiveporinteraoentredoisoumais modos de instabilidade.Emdeterminadosmodosdeinstabilidade,opilarpodeapresentarumaresistnciapscrtica,fazendocomqueocolapsoocorrasobtensessuperiores tenso crtica. As tenses superiores ao valor crtico, nestes casos,ocorremporque,apsaflambagem,humaredistribuiodastenses,oqueconfere resistncia pscrtica pea.A interao entre dois modos de instabilidade pode ocorrer quando suas tensescrticas so coincidentes, ou com valores suficientemente prximos.Captulo 1 - Introduo 2Pesquisadores, visando otimizar o dimensionamento, formularam o Principio dasInstabilidades Simultneas, que consistia em escolher as dimenses da pea detalmaneiraqueospossveisedistintosmodosdeinstabilidadetivessemamesma tenso crtica sob mesmo esforo solicitante.Entretanto,esteprincipiosomenteseaplicaaestruturasideais,ouseja,estruturasquenoapresentamimperfeiesiniciais.Taisestruturassoinexistentesnaprticadasconstrues.Porestarazo,talprincipiofoidenominado Principio Ingnuo de Otimizao.Nasestruturasreaissabe-sequeainteraoentredoismodosdeinstabilidadeprovocaumnovomododeinstabilidadequecorrespondeaumacargadecolapsogeralmenteinferioraqueseobteriaconsiderandoisoladamenteospossveis modos de instabilidade.Recentemente,otemadainteraotemsidoestudadocommaiorfreqnciaecontemplado nas verses mais atuais das normas.A proposta deste trabalho estudar a instabilidade de pilares metlicos tendo emvista a interao entre flambagem global flambagem local, utilizando o mtododos elementos finitos.Sero considerados:Pilares submetidos a compresso centradaSees do tipo I duplamente simtricaAos carbono comum de mdia resistncia sem tratamento trmicoImperfeies geomtricas iniciais (deformaes iniciais)Imperfeies mecnicas (tenses residuais).Comoresultadodesteestudo,pretende-sedesenvolverprocedimentosalternativoparadimensionamentodepilaresmetlicossuscetveisinteraoentre os modos de flambagem local e o modo de flambagem global.Captulo 2 Estado do Conhecimento2.1 Instabilidade de Pilares MetlicosIntroduoA flambagem estrutural caracterizada pelo aparecimento, nos elementosestruturaissubmetidosatensesdecompresso,degrandesdeformaes decorrentes de pequenas variaes do carregamento.Existem vrios tipos de instabilidade, dependendo do tipo da estrutura, dotipo da solicitao a que est submetida e de suas condies iniciais.Os pilares e chapas, em condiesideais,perdemestabilidade portrocarepentinadomododedeformao,caracterizando,assim,ofenmenoconhecido por bifurcao do equilbrio. O novo modo de deformao noparece, em princpio, compatvel com as solicitaes. Em condies reais,ou seja, com imperfeies iniciais, no h mudana repentina de modo dedeformaoesimumasignificativaampliaodasdeformaessobpequenos incrementos do valor da carga.Oaparecimentodasgrandesdeformaescaracterizaachamadafasepscrticadocomportamentomecnicodopilaroudaschapas.Seacargaqueapeapodesuportarapsoiniciodafasepscrticacrescecomasdeformaes,aestruturatemumcomportamentopscrticoestvel.Seocorreocontrrio,apresentaumcomportamentopscrticoinstvel (Galambos, 1998).Os fatoresqueinfluenciamo modo deinstabilidade eacargacrticasoas relaes geomtricas do elemento estrutural, suas condies de apoio,suasimperfeiesiniciaiseascaractersticasmecnicasdomaterial.Almdoque,asestruturasemregimeelsticolinearsecomportamdeCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 4formadistintadasestruturasemregimeplsticoounolinear,comrelao instabilidade.As propriedades dos aosAscaractersticasmecnicasdosmateriaispodemserobtidaspormeiodotradicionalensaiodetraooudecompresso.Osaoscarbonocomunsapresentamdiagramastensodeformaoidealizadoscomooque mostrado na Figura 2.1 (Galambos, 1998).Figura 2.1. Grfico -para aos no temperadosNa Figura 2.1 acima apresenta-se somente a parte inicial dos diagramas,onde a tenso normal, sua correspondente deformao linear eyf o limite de escoamento do ao. A linha com trao descontinuo de corvermelha representa a alterao que pode sofrer o grfico quando corposde prova ensaiados possuem tenses residuais.As tenses residuais surgem nos perfis metlicos como conseqncia doesfriamentoirregular,ouporalgumaquecimentolocalizadoquepossamsofrerestesperfisduranteoprocessodesuafabricao,oumesmodurante o processo de conformao a frio.Na Figura 2.2 mostra-se a distribuio de tenses residuais na sees dedoisperfistipoI,oprimeirolaminadoeosegundosoldado(Galambos1998).yfCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 5Figura 2.2. Distribuio das tenses residuais em sees dotipo I: 1. W 14x730 [ksi] 2. WW 23x681 [kips/in]Osaoscarbonocomtensesresiduaisdiferemdosaoscarbonosemtensesresiduaisporapresentarumarelaotensodeformaonolinear(Galambos,1998;Olsson,1998).Asrelaestensodeformaodestes aos so representadas analiticamente pela frmula de Ramberg Osgood(1941),modificadaporHill(1944)eporvanderMerwe(1987)(Arnedo et al., 1998; Bredenkamp et al., 1998):nof E

,`

.|+ 00(2.1) a deformao linear especifica, a tenso axial, oE o mdulo deelasticidadeinicialdoao, 0f atensolimitedeescoamentoconvencional,talquegeraumadeformaoresidual 0 .Geralmente% 2 . 00 e, portanto,2 . 00f f .O parmetroncaracteriza o grau de nolinearidade da relao doao. Valores distintos denpermitem representar esta relao para outrostipos de metais, por exemplo ao inoxidvel (Rasmussen e Rondal, 1998;Rondal, 1998).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 6Omdulotangente,utilizado,comoseveradiante,paradeterminarresistncia de peas solicitadas, pode determinar-se mediante a seguinteexpresso,obtidaapartirdaderivadadatensoemrelaoadeformao da equao (2.1) (Bredenkamp et al., 1998; Rondal, 1998)10000

,`

.|+nootfnE fE fE(2.2)DimensionamentoO processo analtico tradicional de dimensionamento de pilares metlicostoma em conta a expresso (Galambos, 1998; Richard Liew et al., 1992)1 + +yuyxuxuMMMMPP(2.3)ondeP , xMe yMso, respectivamente, o esforo axial de compressoeosmomentosfletoresrelativosaoseixosprincipaisdaseo( x ey ),calculados por anlise de segunda ordem. Os valores uP , xuMe yuMsoas respectivas resistncias.Osvaloresdasresistnciassoesforoslimitesque,namaioriadoscasos prticos, so os esforos crticos de instabilidade.Os pilares metlicos flexocomprimidos podem estar sujeitos a modos deinstabilidadedetrsnaturezasdistintas:aflambagemglobal,aflambagem local e a distoro da seo (flambagem por distoro).Os tipos de flambagem global so: flambagem por flexo, por toro e porflexotoro,devidascompresso,eaflambagemlateralporflexoetoro, devida flexo.Captulo 2 - Estado do Conhecimento 7Flambagem por flexoAflambagemporflexonacompressoocorre,emgeral,nospilareslongos duplamente simtricos.Acargacrticanoregimeelsticolinear,obtidaporEuler(1744)parapilaresprismticosideaisamenordascargas(Bjorhovde,1992;Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961):22xcrxEAPe 22ycryEAP(2.4)ondex ey sooseixosprincipaisdaseo,E omdulodeelasticidade do material,A a rea da seo do pilar e x e y so osparmetrosdeesbeltezdopilaremrelaoaoseixosx ey ,respectivamente, determinados porxx xxrL k e yy yyrL k (2.5)Oscoeficientes xk e yk sooscoeficientesdeflambagem,quedependemdascondiesdeapoiodopilarnosplanosz y ez x ,respectivamente, xL e yL sooscomprimentosdestravadosdopilarnestesplanos,ouseja,distnciasentreduasseesconsecutivasquetm impedida sua translao em cada plano e xre yr , os raios de giraodaseocomrelaoaosseuseixosprincipais.Oeixoz olugargeomtrico dos centros de gravidade das sees do pilar.Se o pilar tem comportamento no linear, seja pela existncia de tensesresiduais,sejapelofatodomaterialentrarnoregimeplstico,acargacrtica, obtida por Engesser(1898)econfirmadaporShanley(1947), aCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 8menordasseguintes(Bjorhovde,1992;Galambos,1998;TimoshenkoeGere, 1961):22xtcrxA EPe 22ytcryA EP(2.6)onde tE o mdulo tangente do material.Ascurvas P representativasdoscomportamentoslinearenolineardopilarsoasmostradasnasFigura2.3eFigura2.4,respectivamente,considerandograndesdeformaesepequenosdeslocamentos.Nestesgrficos,P o esforo axial de compresso, o deslocamento lateralmximodeflexodasseesdopilare crP acargacrticadeflambagem.Figura 2.3. Curva Pdepilares sem deformaesiniciais e com comportamentolinear considerando grandesdeformaes e pequenosdeslocamentosFigura 2.4. Curva Pdepilares sem deformaesiniciais e comcomportamento no linearconsiderando grandesdeformaes e pequenosdeslocamentosAscurvas P representativasdoscomportamentoslinearenolineardopilarsoasmostradasnasFigura2.5eFigura2.6,considerando,grandes deformaes e grandes deslocamentos. P PcrPcrPCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 9Figura 2.5. Curva Pdepilares sem deformaesiniciais e comcomportamento linearconsiderando grandesdeformaes e grandesdeslocamentosFigura 2.6. Curva Pdepilares sem deformaesiniciais e comcomportamento no linearconsiderando grandesdeformaes e grandesdeslocamentosConsiderandoagora,grandesdeformaesapenaseasdeformaesiniciais,ascurvas P somostradasnasFigura2.7eFigura2.8pormeio de linha slida, onde ie o mximo deslocamento lateral inicial.Figura 2.7. Curva Pdepilares com deformaesiniciais e comportamentolinear considerando grandesdeformaes e pequenosdeslocamentosFigura 2.8. Curva Pdepilares com deformaesiniciais e comportamentono linearconsiderando grandesdeformaes e pequenosdeslocamentosAsdeformaesiniciais,portanto,diminuemaresistnciaflambagemporflexodepilaresearesistnciaaqualqueroutromododeinstabilidade.Sabendo que as deformaes iniciais e as tenses residuais tornam difcilaobtenodeumasoluoanaltica,acargadedimensionamentodePcrPmxPPcrPPPcrPcrPieieCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 10pilaresprismticoscomprimidosrequerfrmulasempricas.Existem,essencialmente,quatroprocessosparaobtenodestasfrmulas(Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998):a)o processo baseado em frmulas empricas obtidas a partir detestesemcolunasdedimensesematerialusuais,quemuitolimitado,poisosresultadossomentesoaplicveisaospilaresquetenham as mesmas caractersticas dos pilares ensaiadosb)oprocessobaseadonoestadolimitedeplastificao,quedeterminaaresistnciadeumpilarcomprimidocomosendoacargaqueproduzumatensoigualaolimitedeescoamentodomaterial,considerandoaflexoelsticadopilarcomdeformaesiniciaissubmetido a cargas centradas ou excntricasc)oprocessobaseadonateoriadomdulotangente,queconsideraocomportamentonolineardopilar,entretantosemlevaremconta,deformaexplcita,asdeformaesiniciaisetampoucoaseventuais excentricidades da cargad)oprocessobaseadonamximaresistncia,queconsisteemobterfrmulasquesoajustesnumricosdecurvas uP obtidaspor meio de anlises numricas e/ou experimental, da carga ltima uPdeumaamostrarepresentativadepilares,geometricamenteimperfeitosecontendotensesresiduais;acargaltima uP ocarregamentocrticorealdeflambagem,sesupe-sequeocolapsoocorre em condies de instabilidade.O processo de dimensionamento baseado na mxima resistncia o maisatual e utilizado pelas verses mais recentes das normas. Mesmo assim,pode-serecorrer,emmuitoscasos,aosdemaisprocessos,comresultados satisfatrios.OprocessobaseadonoestadolimitedeplastificaofoioriginadopelaobtenodaCurvadePerry,umacurva uP obtidapormeiodaconsiderao de um pilar com comportamento elsticolinear, comprimidode forma centrada e com uma imperfeio geomtrica senidal, e a CurvaCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 11da Secante, que considera o pilar carregado excentricamente (Bjorhovde,1992).Ambasascurvasforamutilizadasdurantemuitosanosnoprocessodedimensionamentodepilaresmetlicoscomprimidos.Emdeterminadascondies,afrmuladasecantepodeserutilizadaadequadamente para perfis formados a frio comprimidos.A teoria do mdulo tangente determina a resistncia do pilar com base naaplicao da expresso (2.6) mencionada anteriormente. Este processo recomendado para pilares de ao inoxidvel (Berg, 1998; Bredenkamp etal.,1998;Galambos,1998).Poroutrolado,osestudosexperimentaisrealizadoscomopropsitodeprovaravalidadedesteprocedimento,foramdesenvolvidossobrepeasquehaviamsidotratadaspreviamentecom o objeto de reduzir as imperfeies geomtricas iniciais e as tensesresiduais.Evidentemente,talformadeprocederdlugarobtenoderesultadosexperimentaismuitoprximosdostericos.AnormanorteamericanaANSI/ASCE-8-90,paraaosinoxidveis,utilizaateoriadomdulotangente,combasenocomportamentonolineardomaterialeem resultados experimentais. Por outro lado, o Eurocdigo 3 (ENV 1993-1-1,1996)utilizaumacurvaobtidaapartirdoprocessobaseadonamxima resistncia.Emgeral,acurva uP substitudaporoutraequivalente,dotipo , ondeyuyuf PP (2.7) a resistncia ultima relativa (adimensional) do pilar, eeyeyfPP (2.8)Captulo 2 - Estado do Conhecimento 12suaesbeltezrelativa.Nestasexpresses, yP acargalimitedeescoamentodopilar, u atensoltimaoutensocrticarealdeflambagem e ePe eso, respectivamente, a carga e a tenso crticas dopilar ideal (regime elstico linear).Paraaoscarbono,estacurvatemoaspetomostradonaFigura2.9emuitas so as frmulas que tem sido enunciadas para represent-la.Figura 2.9. Curva tpicaBeereSchultz(1970)eBjorhovde(1972)demonstramqueainflunciadasimperfeiesiniciaisdistintaparadistintostiposdeseesedeaos, fazendo-se, ento, necessrio vrias curvas para representartoda a gama de possibilidades prticas.Estas curvas esto dentro de uma banda, como se mostra na Figura 2.10.Figura 2.10. Banda de curvas 1 0Curva de Eulerr 0 0Curvas limites da banda0Captulo 2 - Estado do Conhecimento 13Parafinsprticos,soescolhidasalgumascurvasrepresentativasdepartesdabanda,comopropsitodedeterminaracargacrticadedimensionamento dos pilares correspondentes.AsmaisimportantesfrmulasrepresentativasdestascurvassoasqueforamdesenvolvidasporBjorhovde(1972),conhecidascomoascurvasdoSSRCStructuralStabilityResearchCouncil,easqueforamdesenvolvidasporBeer, Schultz,Jacquete Sfintesco(1970),conhecidascomoascurvasdoECCSEuropeanConventionforConstructionalSteelwork (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998).As curvas do SSRC podem ser representadas pela expresso

,`

.| 222421 (2.9)onde( )215 . 0 1 + + (2.10)e oparmetrodeimperfeio,umcoeficientenumricoquedefinetrs curvas representativas de partes da banda.Umaexpressoequivalente(2.9)utilizadapelanormacanadenseCSA Standard S16.1-94. As normas norte-americanas AISC-1993 e AISI-1996utilizamumafrmuladistinta,mas,tambmbaseadanaexpressodo SSRC.Com base na formulao do ECCS, o Eurocdigo 3 (ENV 1993-1-1, 1996)utiliza a expresso221 +(2.11)Captulo 2 - Estado do Conhecimento 14onde( ) [ ]22 . 0 121 + + (2.12)e ,tambm,umparmetrodeimperfeio,diferenteparacadaumadas curvas de flambagem consideradas.Rondal eMaquoi(1978,1979)demonstraramqueascurvasdoECCSedo SSRC podem ser consideradas como uma curva de Perry, por meio daescolhaadequadadoparmetrodeimperfeio(Gioncu,1998;Rondal,1998). De fato, a curva de Perry, escrita em funo das variveisepode ser representada pela expresso( )( ) 21 1(2.13)onde um parmetro que leva em contas as imperfeies do pilar.Escolhendo-se adequadamente o parmetro , esta expresso d origema expresso do SSRC.RasmusseneRondal(RasmusseneRondal,1998)propemumaformulao geral para todos os tipos de pilares metlicos, considerando ageometria,seusprocessosdefabricaoeosmateriaisqueosconstituem (aos de todo tipo, alumnio, etc.). A formulao se baseia naexpresso(2.1),deRambergOsgood,enaexpresso(2.11),entretanto, generalizando os valores dee depor meio das seguintesexpresses( )2121 + + (2.14)oEyf (2.15)Captulo 2 - Estado do Conhecimento 15onde( ) [ ] o 1(2.16)O parmetro o parmetro geral de imperfeio, oE a tenso crticado pilar ideal obtida trocandoEpor oEe , ,o e1 so valores quedependemdotipodematerialmetlicoequesodefinidospelosparmetros 0f , oE en daexpresso(2.1) deRambergOsgood.Emsuma, o parmetro funo de 0f , oEen .Flambagem por toroAflambagemportoroempeasmetlicassubmetidascompressoocorrecommaiorfreqnciaemperfisabertosduplamentesimtricos,com as mesas largas e com baixa rigidez toro.Nestecaso, acargacrticaemregimeelsticolinear,obtidapor Wagner(1929)parapilaresprismticosideais(Rhodes,1992;TimoshenkoeGere, 1961)( )

,`

.|+ 22z zTocrzL kECGIIAP(2.17)onde oI o momento polar de inrcia da seo relativo ao seu centro decisalhamento,G omdulodeelasticidadetransversaldomaterial,ouseja( ) + 1 2 E G , o coeficiente de Poisson, TI o mdulo de toro(SaintVenant)daseo, C suaconstantedeempenamento, zk oparmetrodeflambagemportorodopilar,quedependedesuascondies de apoio, e zL seu comprimento.Para pilares prismticos com imperfeies iniciais, a carga crtica pode serdeterminadamediantecurvasdotipo ,considerando crz eP P naexpresso (2.8).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 16Flambagem por flexo e toroAflambagemporflexoetoroempeassubmetidasacompressoocorreemperfisabertoscombaixarigideztoro,assimtricosoumonossimtricos,nosquaisocentrodegravidadenocoincidecomocentro de cisalhamento (perfis formados a frio).Acargacrticaemregimeelsticolinear,obtidaporKappus(1937),amenordentreassoluesdaequao(Rhodes,1992;TimoshenkoeGere, 1961)( )( )( ) ( ) ( ) [ ] 02 2 2 + o cry cr o crx cr cr crz cr cry cr crx crox P P y P P P P P P P P PAI (2.18)onde ox e oy soascoordenadasdocentrodecisalhamentodaseoemrelaoaoseixosprincipaiscentrais, crP acargacrticadeflambagemporflexoetoro,e crxP , cryP e crzP soascargascrticasindicadas em (2.4) e (2.17).Poroutrolado,emdeterminadasestruturasmetlicas,perfisformadosafrio monossimtricos podem estar submetidos a compresso excntrica. Acargacrticadeflambagem,nestecaso,asoluodaequao(Timoshenko e Gere, 1961)( )( ) ( ) ( )]]]

+ + x y y x crocrz cr cry cr crx cre e PAIP P P P P P ( )( ) ( )( ) [ ] 02 2 2 + x o cry cr y o crx cr cre x P P e y P P P(2.19)naqual xe e ye soasexcentricidadesdacarganasdireesx ey ,respectivamente,e x e y soobtidospormeiodasseguintesexpressesCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 17( )oAxxy dA y x yI212 2 + (2.20)( )oAyyx dA y x xI212 2 + (2.21)Observa-se que a equao (2.18) um caso particular da equao (2.19),fazendo-se0 y xe e .Para pilares prismticos com imperfeies iniciais, a carga crtica pode serdeterminada mediante curvas do tipo , considerando,naexpresso(2.8), um valor de ePigual soluo da equao (2.18) ou (2.19). Este o procedimento habitual das principais normas de estruturas metlicas.Flambagem lateralAspeasfletidasaoredordeseueixodemaiorinrciapodemestarsujeitasaummododeflambagemporflexoetorocaracterizadoporuma toro associada a uma flexo lateral na direo normal ao plano dascargas.Omomentofletorcrticoidealemregimeelsticolineardeumabarraprismticabirotulada,submetidaamomentofletorconstantesegundooeixoprincipaldemaiorinrcia(eixox )ecomrigideznoplanodeflexomuito superior a rigidez no plano normal (Timoshenko e Gere, 1961): +

,`

.|tcrz cryox cry x crycrxP PAIP PM22 2 ]]]]

+ + ,`

.|t222222 2 EAGIIC EATyx x (2.22)onde yrL (2.23)Captulo 2 - Estado do Conhecimento 18L comprimentodebarracompreendidoentreseesimpedidasdedeslocar-senadireonormalaoplanodascargase yr oraiodegirao da seo em relao ao eixo de menor inrciay .Paranumerosasseestransversaisdepeasmetlicassubmetidasaflexoemtornodoeixodemaiorinrciax ,tem-seque0 x .Nestescasos (Nethercot, 1992),

,`

.|+ t 221y TT crxI GIEACEAGI M(2.24)Seascondiesdecarregamentoeapoiosogerais,pode-seutilizaraseguinte frmula aproximada (Galambos, 1998):]]]]

+ + ,`

.|t222 2222 2 EAGIIC kEA CMTyyzx x bcrx (2.25)onde bC umcoeficientequelevaemcontaavariaodacargaedosmomentos fletores ao longo do comprimento da barra,zyyzkkk e yyrL k (2.26) e (2.27)Emregimenolinear,omomentofletorcrticopodesercalculadosubstituindo-se,nafrmula(2.25),E por tE eG por( ) [ ] + 1 2t tE G .Este um procedimento aproximado, pois, em geral, a rigidez longitudinalA Et (ou y tI E ) varia de forma distinta da rigidez toro T tI Ge, portanto,ovalorde tE noomesmoparaoclculodarigidez(TimoshenkoeGere, 1961).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 19Oprocedimentobaseado na utilizaodomdulotangente,paraobteromomentocrticomedianteaexpresso(2.25),substituindoE por tE ,recomendadoparadimensionamentodevigasdetodotipodeao(Galambos, 1998; Bredenkamp et al., 1998).Algumas normas, no entanto, utilizam curvas do tipo sugeridas por SSRCe por ECCS, que consideram as imperfeies iniciais. Os parmetroseso determinados por meio das expressespuMM e epMM (2.28) e (2.29)onde uM omomentofletorltimooumomentofletorcrticorealdeflambagem, pM o momento de plastificao total da seo,e eMomomento fletor crtico da pea ideal (regime elstico linear).O cdigo AISC-1993 utiliza a equao (2.25) para determinar o momentocrticoemregimeelsticoeaseguinteretaparadeterminaromomentocrtico em regime plstico (Galambos, 1998):( ) ( )( )]]]]

p rpr p p b crxM M M C M ,(2.30)onde rM omomentolimitedeflambagemelsticadaseo,determinadocombasenatensoresidualmximadecompressoquesupostamente atua na seo, p o parmetro de flambagem no qual aseomaissolicitadadavigaplastificaantesdaflambageme r oparmetrodeflambagemdeterminadoapartirdacondio r eM M ,onde eM o momento crtico elstico determinado por (2.25).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 20OsresultadosexperimentaisindicamqueoprocedimentosugeridopeloAISCoqueoferecemelhoresresultados.Anoconsideraodedeformaesiniciais compensadapeloconservadorismodashiptesesdo processo (Galambos, 1998).Flambagem LocalA flambagem local o fenmeno de instabilidade de elementos estruturaisbidimensionais,comoaschapascomponentesdospilaresmetlicos.Ocorre,emgeral,empilarescurtoscomprimidos,fletidosouflexocomprimidos.Oselementossubmetidosaestemododeinstabilidadesofremtranslaesnormaisaoseuplanomdio,comomostraaFigura2.11.Figura 2.11. Fenmeno da Flambagem LocalOsesforosnormaiseosmomentosfletorescrticosemregimeelsticolinearempilaresideaispodemserobtidosapartirdatensocrticaelsticadeflambagemlocalemchapascomprimidas.Estatensoeomodo de deformao das chapas dependem da geometria da chapa e desuas condies de apoio.Atensocrticaelsticadeflambagemlocal,obtidaporBryan(1891),parachapaapoiadaapoiada,eporTimoshenko(1907),parachapaapoiadalivre,podeserescritadeformasimilarexpressodeEuler(DubaseGehri,1986;Galambos,1998;Kalyanaramanetal.,1977;Rhodes, 1992; Timoshenko e Gere, 1961):( )222 22221 12eq chcrE E kt bD k (2.31)abxyxywCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 21ondek ocoeficientedeflambagemlocal,quedepende,basicamente,da relaob ada chapa, das condies de apoio e do tipo de solicitao.Nestaexpresso, ocoeficientedePoisson,a ocomprimentodachapa,bsua largura etsua espessura.( )231 12 EtD(2.32) a rigidez flexo da chapa,tbch e ( )kch eq21 12 (2.33) e (2.34)so,respectivamente,suaesbeltezeseuparmetroequivalentedeesbeltez ou esbeltez reduzida.Emregimenolinear,aobtenodatensocrticadeflambagemlocalno simples, pois a substituio, na expresso (2.31), do mduloEpelomdulotangente tE ,obtidoemumensaiodetrao,nocorretoporque o estado tensional na chapa no igual ao estado tensional a quesesubmeteumcorpodeprovaensaiadotrao(TimoshenkoeGere,1961). No primeiro caso, tem-se um estado biaxial de tenso em lugar doestado simples tenso.Bleich (1952) props substituir, na frmula (2.31), o mduloEpor E ,para chapas submetidas a compresso uniforme, ondeEEt (2.35)sendo tE omdulotangenteobtidonoensaiotrao.Esteprocedimentoconsisteemumaaproximaoconservadora(Galambos,Captulo 2 - Estado do Conhecimento 221998). Outros valores de so sugeridos, sempre em funo do mdulotangente e/ou do mdulo secante (Dubina, 1996; Rondal, 1998).Aexpresso(2.31)pode,portanto,sergeneralizadaparaplacasemregime linear ou no linear, como( )222 22221 12eq chcrE E kt bD k (2.36)As chapas tm um comportamento pscrtico distinto do comportamentopscrticodasbarrasprismticas.Ascurvasqualitativas P ,comesem deformaes iniciais, so mostradas na Figura 2.12 (Dubas e Gehri,1986).Alinhacontnuaindicaocomportamentodachapacomdeformaesiniciaiseadescontnua,seucomportamentosemestasdeformaes.Figura 2.12. Comportamento de chapas com e sem imperfeies iniciaisComosepodeobservarnaFigura2.12,aschapaspossuemresistnciapscrtica.Seucomportamentopscrtico,poroutrolado,caracterizado tambm por uma perda de rigidez e por uma redistribuiode tenses.EnsaiosdecompressoemmateriaiselsticolinearesmostramtalperdaderigidezpormeiodochamadomduloaparentedeelasticidadeapE , como mostrado na Figura 2.13.iePCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 23Figura 2.13. Curva antes e depois da flambagem localAnovadistribuio detenses podeser obtidadoestudoda flambagemlocal a partir da hiptese das grandes deformaes (Timoshenko e Gere,1961).Astensesnomaissedistribuemuniformementenaseo,podendo,inclusive,surgirtensesdetraoemalgunspontos.Asmximastensesdecompressoocorremnasbordasapoiadas.Emgeral,anovadistribuiodetensestemoaspectomostradonaFigura2.14, para chapa apoiada - apoiada, e na Figura 2.15, para chapa apoiadalivre,ondeb alarguradachapae mx , y amximatensodecompresso na seo, na direo da carga aplicada (Kalyanaraman et al.,1977; Rhodes, 1992).Figura 2.14. Distribuio detenses aps flambagemlocal em chapas apoiada apoiadaFigura 2.15. Distribuio detenses aps flambagemlocal em chapas apoiada livreDevido a esta redistribuio de tenses, uma carga aplicada crP P igual resultante das tenses equivalentes de von Mises e maior, portanto, quea resultante da componente de tenso yna sua direo.1tg E2tg apE12crcr mx , yybxmx , yybxCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 24Logo, supondo yconstante ao longo da espessura, a fora resultante nadireo da carga aplicada, na seo crtica da chapa sob flambagem P tdx Rnby 0(2.37)onde1 n um fator, funo deP Pcr,querepresentaaperdarelativaderesistnciacompressodachapaemconseqnciadaflambagemlocal (Queiroz, 1993; Timoshenko e Gere, 1961).Supondo-seatenso y constanteeigualaoseumximovalor mx y, ,medidonasbordasapoiadasdachapa,pormatuandosomenteemtrechos prximosaestasbordas,conformeindicaaFigura2.16,pode-seescrevermx y eftb R, (2.38)onde efb a chamada largura efetiva da chapa, dada pormx yneftPb,(2.39)expresso esta obtida das expresses (2.37) e (2.38).Figura 2.16. Conceito de Largura EfetivaAdmitindo-se o colapsodachapasob aaodacargaP , mx y, passa aser a sua tenso ltima. Situao eqivalente se obteria se a chapa no semx y,mx y,2efb2efbmx y,mx y,efbchapa biapoiadachapa com umaborda apoiada eoutra livreCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 25submetesseflambagemsobtensoconstanteeigualtensoltimamx y, . Nestas circunstncias, se teria o estado simples de tenso emx y mx ybt A P, , (2.40)Comparando-se (2.40) com (2.39), obtm-seb bn ef (2.41)querepresenta,portanto,alarguraquedeveriaterachapaparanoflambar sob tenso constante e inferior a mx y, .Do conceito de largura efetiva surgiu o chamado Mtodo da rea Efetiva,queconsisteemsedeterminararesistnciarelativadapeacomprimidade acordo com a expresso (2.7), y uP P , commx y ef uA P, (2.42)onde( )seoef eftb A(2.43)areaefetiva efA daseotransversal,ouseja,areacalculadacombasenaslargurasefetivasdaschapascomponentesdapeae y yAf P .Isto ,ymx y eff AA. (2.44)Empilarescurtossubmetidossomenteflambagemlocal,ocolapsodachapacorrespondeplastificaodaseoefetiva,isto,serealizaCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 26quando y mx yf , .Nestascircunstncias,tem-se,deacordocomaexpresso (2.44),AAef (2.45)vonKrmn(1932)sugeriuaseguinte frmulaparadeterminaralarguraefetiva (Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 1992)( )b tE kbycryef

,`

.|]]]]

mx , mx ,221 12 (2.46)Estudos posteriores foram desenvolvidos com base na teoria das grandesdeformaesresultandoemfrmulasmaiseficientesparaodimensionamento.JombockeClark(1962)enumeraramalgumasdelas(Galambos, 1998).Winter(1947)formulouumaexpressoparadeterminaralarguraefetivapara chapa apoiada apoiada, que considera imperfeies iniciais. Apssofrerpequenasmodificaesparatodotipodechapas,talexpressoficou uma generalizao (Galambos, 1998)tkE kEbmx y mx yef

,`

.| , ,209 . 0 1 95 . 0 (2.47)Esta frmula utilizada por AISI 1996.AnormabrasileiraNBR8800/86usaumaequaosemelhante(2.47)mudando apenas os coeficientes numricos.Outroconceitoquesepodeenunciarapartirdaobservaodaredistribuiodetensesnachapaoconceitodetensomdia,queconsiste em considerar-se a tensoCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 27mx , yefmbb (2.48)constante ao longo de toda largura efetiva da chapa (Galambos, 1998).Em geral, o dimensionamento de peas comprimidas e fletidas sujeitas flambagemlocaldeseuselementossebaseianadeterminaoderesistncias relativasAAPPQefyu ou pefpuWWMMQ (2.49) e (2.50)Nestasexpresses, efA areaefetivadaseo, efW seumduloresistenteelsticoefetivoflexo,ambosdeterminadosapartirdaslargurasefetivasdesuaschapascomponentes,e pW seumduloresistenteplsticoflexo(Rhodes,1992).Nasexpresses(2.49)e(2.50) se considera y yf mx , .Curvas Q ,com definidopor(2.8)oupor(2.29),poderiamserusadas para dimensionamento.Distoro da seoA distoro da seo um modo de instabilidade que pode ocorrer tantonacompressocomonaflexodeperfisdeparedesfinascomseesabertas(porexemplo:osperfisformadosafriousuais),principalmenteaqueles de ao de altas resistncia (Galambos, 1998; Hancock, 1998).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 28Este modo de instabilidade se caracteriza por uma distoro da seo, ouseja, por movimentos relativos entre as mesas e a alma (Davies e Jiang,1996;DavieseJiang,1998).AFigura2.17ilustraestemododeinstabilidade.Figura 2.17. Modo de Instabilidade por distoro em perfis U enrijecidos eperfis Racks.OsprimeirosestudosrelativosdistoroforamdesenvolvidosporDesmond,PekzeWinter(1981),quepropuseramconsider-la,nodimensionamento,pormeiodaverificaodaflambagemlocalcomreduo do parmetrokda equao (2.31). Este mtodo foi incorporadopela norma AISI-1986 (Galambos, 1998; Hancock, 1998).Lau e Hancock (1987), para sees comprimidas e Hancock (1995), paraseesfletidas,apresentaramfrmulasparadeterminaodatensocrtica elstica de distoro, com base em modelos onde a mesa tratadacomoumelementocomprimido,restringidopormolaseapoiossimplesquerepresentamarigidezdaalmaesubmetidoflambagemporflexotoro(DavieseJiang,1996;DavieseJiang,1998;Galambos,1998;Hancock, 1998). Estas frmulas lhes permitiram sugerir um procedimentodedimensionamentobaseadoemumacurvadotipo ,conhecidacomo parbola de Johnson, e em uma expresso derivada de (2.47), que utilizado na norma australiana (Galambos, 1998; Hancock, 1998).AlgumasalteraessfrmulasdeHancockeLauforampropostasporCharnvarnichbonkarn e Polyzois (1992) e por Davies e Jiang (1996), comCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 29o objetivo de generaliz-la ou obter mais preciso nos resultados (Daviese Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998).Asseessubmetidasdistoroapresentamresistnciapscrtica,entretantoosprocedimentosatagorapropostosnoaconsideram(Galambos, 1998; Hancock, 1998).Este tipo de instabilidade, diferente de todos os outros, pode ser analisadocommaisprecisopelaTeoriaGeraldeVigas(Davies,1998;DavieseJiang,1996;DavieseJiang,1998)massuautilizaoprticaparaodimensionamento de peas com modos de instabilidade por distoro nofoi ainda implementada (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998).2.2 Interao entre Flambagem Local e GlobalIntroduoOinciodachamadaTeoriaGeraldaEstabilidadeElsticacreditadoaKoiter(1945).Estateoriaexplicaocomportamentodesistemasmecnicoscontnuosdopontodevistadaestabilidade,incluindoafasepscrtica e a interao entre distintos modos de instabilidade.A partir do trabalho inicial de Koiter, foram desenvolvidos outros trabalhos,destacandoaformulaodeBudiansky(1974),baseadanaenergiapotencialdedeformao,associandooequilbriodaestruturaavaloresestacionriosdofuncionaldaenergia,eassociandoateoriageraldeestabilidadeelsticaTeoriadoCaos,estabelecidaporThom(1975)(Pignataro, 1996).A Teoria do Caos proporciona um mtodo matemtico universal de estudodasdescontinuidades,dasmudanasbruscasedassbitastrocasqualitativasemsistemasevolutivos,oqueinclui,portanto,asinstabilidades estruturais, tanto simples quanto acopladas (Gioncu, 1998).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 30Entretanto,acomplexidadedemuitosdosproblemasdeestabilidadeimpedem,atomomento,alcanarumasoluotericageral.Destemodo,deve-serecorreraoutrosmtodosdeanliseafimdeobtersoluesparaproblemasprticos.Adiante,osprincipaismtodosseroabordados.NaprimeirametadedosculoXX,aprincipalpreocupaodospesquisadoresfoiainflunciadasimperfeiesnainstabilidade.Assolueseram,emmuitoscasos,difceisdeseremalcanadasdevidoocorrncia simultnea de dois ou mais modos de instabilidade.Inicialmente,sepensavaqueaescolhadeparmetrosmecnicosegeomtricos que permitissem a ocorrncia simultnea de vrios modos deinstabilidade era um critrio adequado de otimizao. Baseando-se nestaidia, Bleich (1952) e Shanley (1967) formularam e difundiram o chamadoPrincipio das Instabilidades Simultneas (Gioncu, 1998).Koiter e Skaloud (1962) questionaram este critrio mostrando que modosdeinstabilidadeacopladospodemapresentargrandesensibilidadesimperfeies geomtricas iniciais (Pignataro, 1996). Alm do mais, se doisoumaismodosdeinstabilidadeocorremsimultaneamente,ocomportamentopscrticopodeserinstvel,mesmoqueocomportamentodecadaumdosmodosisoladamentesejaestvel(Gioncu,1998;Pignataro,1998).Oprincipiodasinstabilidadessimultneassomenteseaplicanasestruturasideais.Porestarazo,Thompson(1972)ochamouprincpioingnuodeotimizao.Suautilizaonasestruturasreaisincrementaainflunciadesfavorveldasimperfeies geomtricas (Gioncu, 1998).NasegundametadedosculoXX,aprincipalpreocupaodospesquisadores foi a interao dos modosdeinstabilidadeem peascomimperfeies. Como foi dito anteriormente, o problema muito complexo eainda se busca solues consistentes (Gioncu, 1998; Pignataro, 1996).Captulo 2 - Estado do Conhecimento 31Comoadistribuiodasimperfeiesaleatria,oestudodainstabilidaderequerumabordagemestatstica.Poroutrolado,aspectosestatsticosdainteraoentremodosdeinstabilidadenoforaminvestigadossuficientemente.Aprincipaldificuldade,justamente,aaleatoriedade das imperfeies (Pignataro, 1996).Amaioriadosestudosconsiderouapenasinteraessimples(ummododeflambagemglobalcomummododeflambagemlocal).Entretanto,necessrio investigar tambm as interaes mltiplas (Pignataro, 1998).Classificao das instabilidades acopladasAlgumasmaneirasdeclassificarasinstabilidadesacopladastmsidosugeridaspordiferentespesquisadores(Gioncu,1998;Dubina,1996;Dubina, 1998). Entretanto, o tipo de interao que interessa, do ponto devistadodimensionamento,achamadainteraonolineardedimensionamento,ouseja,ainteraoentredoismodosdistintosdeinstabilidade,provocadapelaescolhadedimensesapropriadaselevando em conta a influncia das imperfeies iniciais.Existem outros tipos de interao como as chamadas interao natural einteraolinearinata.Aprimeirapodeocorrer,porexemplo,emchapasretangularescomprimidas.Estaschapaspodemsubmeter-seacargassuperiorescargacrticadeflambagemlocalelstica,devidoaoseucomportamentopscrticoestvelquelheconfereresistnciapscrtica.Paraumdeterminadovalordacargaocorreumamudanarepentinadedeformada(trocadenmerodeondas)provocadapelainterao do primeiro modo com o segundo modo de instabilidade.A segunda a interao produzida quando dois modos de instabilidade seacoplamnaorigem,independentementedaexistnciadeimperfeiesiniciais.ocasodaflambagemporflexotoroempeasmonossimtricascomprimidas.Trata-sedeumainteraoentreCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 32flambagemporflexoeflambagemportoro,quepodeocorrernormalmente sem deformaes iniciais.Talcomofoiexpostoanteriormente,umaestruturasemimperfeiesiniciaisperdesuaestabilidadepelabifurcaodoequilbrioeumaestrutura com imperfeiesperdea estabilidadequandoacargaalcanaum valor limite correspondente a uma tangente horizontal na curva P .A diferena entre a carga crtica de bifurcao e a carga limite representaa chamada eroso da carga crtica.Existeaerosoprimitiva,queconseqnciadosefeitosdasimperfeiesnosmodosdeinstabilidadetomadosisoladamente,eaerosoderivada,resultantedainteraoentrevriosmodosdeinstabilidade, (Gioncu, 1998). A Figura 2.18 ilustra estes conceitos.Figura 2.18. Eroso Primitiva e Eroso Derivada Interao FlambagemGlobal (1 modo) Flambagem Local (2 modo)Numacolunasemimperfeiessujeitasomenteflambagemglobal,ocolapso se d por bifurcao do equilbrio quando a carga de compressoatingeovalorPcr,EulerindicadonaFigura2.18.Seacolunaestsujeitaflambagem local, surge deslocamentos lateraisa partirdacargadevalorPcr,Bryan,tambmindicadonaFigura2.18,quecrescemcomoacrscimoda carga at um valor limite.1 modo2 modointerao sem imperfeies com imperfeieseroso primitivaeroso derivadaPuPPcr,BryanPcr,EulerCaptulo 2 - Estado do Conhecimento 33Na colunacomimperfeies,osdeslocamentoslateraisexistem desdeoinicio do carregamento, crescendo consideravelmente quando a carga seaproximadovalorcrticoPcr,EulerouPcr,Bryan,conformeestejasujeitasflambagem global ou local, respectivamente.Se estas cargas crticas so suficientemente prximas, ocorre a interao,quesecaracterizapelosurgimentodegrandesdeslocamentoslateraissob carga significativamente inferior a estas (Pu).Assim,pode-secompreenderqueainteraonolinearnoexistesemimperfeies iniciais.Estainteraofazcomqueaestruturasejamaissensvelsimperfeies.Aerosomximaseascargascrticasdosmodosdeinstabilidade so iguais (Gioncu, 1998).Parapeascomprimidas,se uP acargaltima,nasquaisocorreocolapsopormodossimultneosdeinstabilidade,e crP acargacrticaideal, igual para os dois modos, pode-se escrever que( )cr uP P 1 (2.51)onde ofatordeeroso.Esteparmetrofoiintroduzidocomoumamedida da eroso (Dubina, 1996; Dubina, 1998).Segundoaintensidadedaeroso,Gioncu(1994)sugeriuaseguinteclassificao das interaes (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998):Interao fraca, se1 . 0 ,Interao moderada, se3 . 0 1 . 0 etendeazeroquando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e ao infinito, ou seja,( )022 rdd ; ( )rdd < < , 022; ( )rdd > > , 022;( )0022+ dd e ( )022 dd.A resistncia relativa foi, ento, obtida a partir da expresso( ) ( )( ) 122+rdd(3.1)a qual atende s condies relativas sua segunda derivada, se0 > e2 > .Osparmetros , er devemserobtidosporregressonolinear.Oparmetro utilizado para garantir a condio da resistncia relativa tendera o quandoaesbeltezrelativatendeazeropeladireitaeoparmetro utilizadoparagarantirqueasegundaderivadadaresistnciatendaazeroquando a esbeltez relativa tende ao infinito.Integrando devidamente a expresso (3.1), obtm-se( ) ( ) ( ) [ ]( )( )( )( )12221 3 2 12 3 2 3 2 4 2 3+ + + + + + r r r r rdd(3.2)donde se conclui que ( ) ( )( )( )( ) 3 2 12 30 + r rdd, e integrando novamenteCaptulo 3 - Modelo Numrico 42( )( ) ( ) [ ]( )( )( )( )( )22221 4 3 2 16 8 2 4 4 4 5 2 3+ + + + + + r r r r r (3.3)donde se conclui que( )( )( )( )( )( ) 4 3 2 13 4 20 + r r.Dacondio( ) 0 ,conclui-se,aplicando-seoteoremadeLHospital,que4 > e,dascondies0 > ,4 > e( )+0 ocom0 >o ,conclui-sequer 34 + < .Dacondio ( )0 dd,conclui-se,tambmaplicando-seoteoremadeLHospital,que3 > e,dascondies ( )0 , 0 dde ( )00+ dd,conclui-se que r 23+ . Logo,r 23 4 +