flexão simples1
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8/7/2019 Flexo Simples1
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FCTUC Departamento de Engenharia Civil
2007/2008
Apontamentos de Beto IFlexo Simples
Fernanda FreitasSegundo as lies da Prof. Helena Barros
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Beto Armado I 2
NDICE
FLEXO SIMPLES
1. PRINCPIOS DE CLCULO 32. CLCULO DE SECES TRANSVERSAIS 33. DEFORMADAS DE ROTURA DA SECO 64. RESULTANTE DAS TENSES NO BETO E NO AO 75. DIMENDIONAMENTO FLEXO SIMPLES-AO EM CEDNCIA 86. FLEXO SIMPLES SECO NO RECTANGULAR 137. FLEXO SIMPLES SECO EM T 138. EXERCCIOS PROPOSTOS 15
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Beto Armado I
FLEXO SIMPLES
F.1 PRINCPIOS D
As seces plandesprezam-se as
H compatibilidenvolvente, isto
considera haver
F.2 CLCULO DE S
a) BetoPara o clculo de
As tense desprez
As tenseparabola-r
seguido d
Diagrama parbo
As equaes
1 par
CLCULO
s mantm-se planas aps a deform
deformaes por corte da viga.
de entre as deformaes das armad
, a armadura est aderente ao
escorregamento entre os dois materi
ECES TRANSVERSAIS
seces transversais admite-se que n
de traco so nulas,a resistncia do
da.
s de compresso so definidas pe
ectangulo, parablico at uma exte
um valor constante at extenso d
a-rectngulo para o beto comprimi
ue o definem so:
1 2
para0
3
ao por flexo,
uras e do beto
beto, no se
is.
o beto:
beto traco
lo diagrama de
nso e
.
o
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com:
extens
valor d exten expoent
Todos estes par
em funo da classe d
Diagrama biline
O EC2 permite o
Sendo e defini
Diagrama de blo
O EC2 permite t
EC2). Este consiste nu
caractersticas.
0.8 para 0.8
1.0 para
o do beto correspondente resist
clculo da resistncia compressoo ltima
metros encontram-se definidos no Qbeto.
r
uso de um diagrama bilinear (seco
os no quadro 3.1 em funo da class
co rectangular
mbm o uso de um outro diagrama (s
diagrama rectangular de tenses c
50 para 50 90
50
4
cia mxima
do beto
adro 3.1 do EC2
.1.7.2 do EC2).
do beto.
eco 3.1.7.3 do
om as seguintes
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1.0
b) AoO diagrama tens
armaduras de beto ar
Onde:
Diagram Diagram
As tenses no ao pod
por B:
para 50 90
Diagrama rectangular de tenses
es extenses idealizado e de clcul
mado (em traco ou compresso)
idealizado
a de clculo
m ser definidas por um dos dois dia
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para o ao das
seguinte:
ramas indicados
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Beto Armado I
Diagrama elasthorizontal);
Diagrama comextenso limite
F.3 DEFORMADAS
A rotura da seco d-
o ao atinge a extens
rotura medida que a
Consideram-se as segu
largura da sec altura da sec altura til da altura da sec rea da arm
Caso BetoI ; II ; III ;IV ;
(*) Nota: Quando se
extenso l
extenso ao da class
-plstico sem limitao da exten
endurecimento na fase plstica l
0,9(linha inclinada).
DE ROTURA DA SECO
e quando o beto atinge a extenso
de . A figura mostra como evoluilinha neutra baixa na seco (x aumen
intes variveis:
o
o
eco
o de beto comprimido (posio do eix
dura traccionada
Rotura Ao 0 ; ;
usa o diagrama elasto-plstico seimite podemos usar um valor c
enso mxima de 2.5% , corree A.
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so limite(linha
imitado a uma
ou quandoa deformada de
ta).
o neutro)
Rotura ;
m limitao daracterstico da
spondente a um
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F.4 RESULTANTE DAS TENSES NO BETO E NO AO
A resultante das tenses no beto,
, dada por
= , e dista das fibras superiores de .
Nos casos indicados como Caso I, II e III esta resultante obtida
analiticamente de forma simples.
Caso Beto Rotura Ao Rotura
I = ; = 0 < < ; < II = ; = ; III ; = = ;
F.4.1 K1 e K2 PARA AS CLASSES DE BETO C12 C50
Dado que o eurocdigo 2 altera as extenses ltimas do beto em funo da
classe, os parmetros K1 e K2 so variveis. Os coeficientes e parabetes 12 50 so dados por:
Se 2 3.5 (Caso III e betes 12 50): =
3 23
= 3 4 1 0 + 2 1 0
2 3 2 1 0
Corresponde parbola completa e parte do rectngulo.
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Se 3.5 (Casos I e II e betes 12 50)das equaes anterioresvem:
=3 3.52
3 3.5 = 0.80952 0.809
=3.5103 3 . 5 1 0 4 1 0 + 2 1 0
2 3.5 103 2 1 0 = 0.41596.. 0.416
F.4.2 TENSES NO AOA equao de compatibilidade das extenses permite escrever:
=
3.5
=
3.5
Esta equao permite obter a extenso no ao e partir da lei constitutiva a
respectiva tenso. Se diz-se que a seco apresenta rotura dctil,com o ao no patamar de cedncia e tenso constante igual ao valor de
cedncia . Se o ao tiver endurecimento este valor no pode ser
considerado constante.
F.5 DIMENSIONAMENTO FLEXO SIMPLES AO EM CEDNCIA5.1 SECO RECTNGULAR SIMPLESMENTE ARMADA
Caso Beto Rotura Ao Rotura
I = ; = 0 < < ; < II = ; = ; III
; =
= ;
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As equaes de equilbrio de foras e de momentos, so respectivamente:
(1) (2)Fora no beto (resultante do diagrama no linear): = Fora no ao (no caso II o ao est em cedncia): = com:
= ; = ; z =
ou seja:
= =
= 1
Equao 1:
= = =
=
Percentagem mecnica de armadura: = = 1 =1
Equao 2:
= = = =
Momento reduzido: = = 1 = 1 1 2 = 1
Esta equao pode ser usada nos casos I, II e III bastando para isso escolhero valor dos parmetros K1 e K2 convenientes (indicados em F4.1).
5.2 SECO RECTNGULAR DUPLAMENTE ARMADA
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Caso Beto
II
3.5 ;
Quando h armadura
nas equaes de eq
A fora no beto
traccionado e compri
ambos se encontram e
5.3 CLCULO DARMAR DUPLAME
Clculo do mo
rotura deixa de ser d
por isso deve-se usar a
As equaes de equilb
temos:
0.809
Rotura Ao
e compresso tem de se considerar
uilbrio:
inda dada por: . A
ido so: e c
m cedncia.
MOMENTO A PARTIR DO QTE A SECO
ento reduzido limite , valor a
til, a seco rompe com o ao em re
rmadura de compresso.
rio escrevem-se:
0.809
d 0.416
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Rotura;
um novo termo
foras no ao
nsiderando que
UAL SE DEVE
artir do qual a
gime elstico, w
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como:
=0.809 d 0.416
= 0.809 d 0.416
dividindo tudo por ficamos com:
= 0.809 1 0.416
pela equao de compatibilidade das extenses temos:
= 3.5 = 3.5 +3.5
logo:
=
=3.5
+3.5
Ento para os diferentes tipos de ao temos a seguinte tabela:
Ao
S400 1.739 0.668 0.390S500 2.174 0.617 0.371S600 2.609 0.573 0.353
Nota: Desde que > , nos diferentes tipos de ao, dever ser colocadauma armadura de compresso. Pode-se verificar que dimensionando a
seco com esta armadura observa-se uma subida do eixo neutro. O uso de
uma seco em T poder ser uma alternativa ao uso de armadura decompresso.
Exemplo:
Calcule a armadura necessria para uma seco rectangular de
0.60 0.30 , sujeita a um momento flector positivo cujo valor de clculo = 500 . . O beto um 25/30 e o ao 500. A classe ambiental
2.
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Resoluo:
Seja 0.52
= = 0.8 0.4 = 0.8 0.416.6710
= 5334.4 = = 5334.4 0.4 500 = 5334.4 0.55 0.4 = 0.2162ento:
= 1153 = = 1153 =
= 115310
43510 = 26.51 = 29.45 625
Disposies construtivas:
=14 6 = 8
= 600 35 8 25 = 532 = 0.532 = 0.532 = 0.52 ! = 4 0 0 2 3 5 2 8 3 2 5 1
2= 119.5 !
= 25 + 25 = 35.36 = ; + 5; 20 = 35.36 compatibilidade das extenses:
=
3.5 =0.5320.2162
0.2162 3.5 = 5.11 = 2.174
Rotura dctil, com o ao no patamar de cedncia.
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F.6 FLEXO SIMPLES SECO NO RECTANGULAR
Para seces no rectangulares a rea de armadura tem que ser
obtida analiticamente, sempre que no existam tabelas disponiveis. O blocorectangular o diagrama mais conveniente, por ser o mais simples.
onde: rea do banzo reas da alma (at )
A fora de compresso, a soma de duas parcelas.
0 = +
= +
De uma das equaes obtm-se o""da outra a rea de ao.
F.7 FLEXO SIMPLES SECO EM T
Uma seco em T pode ser dimensionada recorrendo a tabelas para secesrectangulares desde que o eixo neutro se encontre em determinadasposies.
Equaes deEquilbrio
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e n hfx
AsAs Fs
Fc
igual a:
Desde que: x hf
e n
beff
hf
h
Eixo neutro no banzo
e n
beff
h
Eixo neutro na alma
bw
HIPTESES DA POSIO DO EIXO NEUTRO
Hiptese 1 Eixo neutro interseptando o banzo da viga.
Neste caso possvel utilizar as tabelas de clculo de secesrectangulares. Claro que se tem de confirmar esta hipotese atraves do
clculo de x.
Hiptese 2 Eixo neutrona alma do T.
Se o eixo neutro interseptar a alma, o beto comprimido composto
por dois rectangulos e a resultante das compresses tem de ser calculada
analiticamente. O diagrama mais conveniente o bloco rectangular.
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Designando por a resultante da compresso na rea epor a resultante da compresso na rea = , a forano beto comprimido = + = + .
= 0 = +
= = +
com = e =
.
Com as equaes de equilbrio possvel calcular a seco.
F.8 EXERCCIOS PROPOSTOS
Exerccio 1:
Considere uma seco em I em beto C30/37 e ao S500 para suportarum momento negativo de 1750KNm. A viga est em ambiente exteriorcarregada aos 60dias, cimento de presa normal.
a) Dimensione a seco e faa um desenho a escala conveniente.Verifique as disposies construtivas.b) Efectue o dimensionamento usando o bloco rectangular e compare as
solues obtidas.c) Efectue as verificaes em servio supondo que o momento para
combinaes raras 1200KNm, frequentes 1000KNm e quasepermanentes 800KNm.
;435;20 MPaydfMPa
cdf ==
a)0.15/d
fh3.33;bw/b1.00m;b86m;.0;96.0 ===== dmh
Tabela 9
)28.51S
(A32425;4250.6cmS
A
162.00.128;1s
;12.0
cm=+=
===
b)
20.50;2176banzo);(no136.0
;1750)4.086.0(;16000)00.1)(20000)((8.0(
cmS
AKNC
Fmx
xC
FxxC
F
===
===
As equaes deEquilbrio so:
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