flexion-transversale des sections monocellulaires
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Séance n° 6
Flexion-transversale Des sections
Monocellulaires
T. DUCLOS – VINCI-Construction GP
Flexion transversale
1. 2 types de sections seront analysées pour la partie « étude locale »
2. l’étude globale du caisson sera effectué sur une structure régulière à 2 âmes
Flexion transversale - box girder 3
Type 2
Type 1
Flexion transversale - box girder 4
Etude locale des hourdispour les caissons classiques de
type 1
• I - Sections de calcul• II - Charges permanentes• III - Charges routières
Flexion transversale - box girder 5
Type 1
• I - Sections de calcul
• 1 encorbellement• 2 dalle centrale - côté âme• 3 dalle centrale - milieu
1 2 3
Flexion transversale - box girder 6
– encorbellement • console classique (h=cte)
– dalle centrale • ouvrage classique de largeur modérée telle que Longueur >>
largeur (a >> b) caisson en B.P. à deux âmes :
assimilé à une poutre encastrée sur appuis (âmes) et de largeur unitaire
PM pont mixte bipoutre : (à ne pas appliquer sur caisson en BP)
assimilé à une poutre appuyée sur 2 appuis et de largeur unitaire
II - Charges permanentes = charges linéiques ou surfaciques dans le sens longitudinal
2
2l
p−
2
2d
p−
28
22 dp
Lp −
L d
Flexion transversale - box girder 7
– Console (h=cte)
II - Charges permanentes
Flexion transversale - box girder 8
– Console (h=cte)
II - Charges permanentes
Flexion transversale - box girder 9
– Hourdis central (h=cte)
II - Charges permanentes
Flexion transversale - box girder 10
– Hourdis central (h=cte)
II - Charges permanentes
Flexion transversale - box girder 11
II - Charges permanentes
– Hourdis central (h=variable)– Utiliser les formules de la méthode des 3 moments
en ne gardant que les termes de la travée – Exemple de la charge linéique
W’
Ma
∫ ∫ =−×+−×l l
wxEI
dx
l
x
l
xMb
xEI
dx
l
xMa
0 0
2 ')(
)1()(
)1(
Mb=Ma
Flexion transversale - box girder 12
III charges roulantes
• Sur la dalle centrale: Abaques de Pücher • Rappel :
Flexion transversale - box girder 13
III charges roulantes sur dalle
• Abaques de Pücher
Flexion transversale - box girder 14
• Abaques de Pücher
Largeur du hourdis
45°Largeur du hourdis
P
µ=1,5 ≈
πµ
8
PMxt ×=
III charges roulantes sur dalle
Ligne d’influence du moment Ma au centre
Axe du moment Mx
Attention aux orientations des axes , Mx est orthogonal à l’axe des x
Flexion transversale - box girder 15
III charges roulantes sur dalle
Le moment Myt s’obtient de la même façon
Le moment total Mx vaut: Mx= Mxt +ν Myt avec ν=0,2
Flexion transversale - box girder 16
III charges roulantes sur dalle
Le moment à l’encastrement s’obtient aussi de la même façon
Le moment transversal est nul
Flexion transversale - box girder 17
III charges roulantes sur la console
Méthode analytique fascicule 62 titre I section II règles BPEL, indépendante du règlement, applicable aussi avec l’EC2
Flexion transversale - box girder 18
III charges roulantes sur la console
Méthode analytique
Flexion transversale - box girder 19
• Les charges peuvent aussi être analysées par une méthode simplifiée
III charges roulantes sur la console
– Méthode simplifiée diffusion à 45 °
moy
i
L
MM
∑=
2
21 LLL
avec
moy
+=
L1
L2
vue en plan
P
d
Flexion transversale - box girder 20
Etude locale des hourdispour les caissons classiques de
type 2
• I - Sections de calcul• II - Charges permanentes• III - Charges routières
Flexion transversale - box girder 21
Type 2
B
0,25 B ( maxi 5 m ) 0,25 B0,5 B
Flexion transversale - box girder 22
Type 2• Sections de calcul: typologie
âme âmeNervure latérale
Nervure latérale
nervuresaxb,
a>b
axb,
a>>>b
Direction principale des efforts
Nervure latérale servant au support de la BN4 ou du système de sécurité, cette nervure est aussi un raidisseur
Flexion transversale - box girder 23
Type 2
• Méthode:– Analyser les dalles – charges locales –
utilisation des abaques de Pücher– Dalle entre âmes abaques
Flexion transversale - box girder 24
Type 2 (nota)• Pour les dalles centrales la direction
principale de flexion est dans le sens de la contrainte normale principale longitudinale du tablier
• Intégrer l’état de contrainte global à cet état local de flexion
Flexion transversale - box girder 25
Type 2
• Méthode:– Dalle entre nervures et poutre latérale sur
l’encorbellement
Flexion transversale - box girder 26
Type 2
• Dalle sur encorbellement: exemple
Flexion transversale - box girder 27
Type 2• Analyse des poutres latérales
– Les charges sont rapportées sur les poutres– Principe d’analyse des dalles de bâtiments
âme âmeNervure latérale
Nervure latérale
Nervure latérale servant au support de la BN4 ou du système de sécurité, cette nervure est aussi un raidisseur
Flexion transversale - box girder 28
Type 2
• Les poutres latérales sont calculées comme des poutres continues
• 2 méthodes: poutres sur appuis élastiques ou poutres sur appui simples.
• Cette dernière méthode est suffisante, on obtient ainsi les réaction Ri au droit des nervures
Ri Ri+1 Ri+2 Etc….
Flexion transversale - box girder 29
Type 2
• Rapporter toutes les charges sur les nervures
• Évaluer les sollicitations dans les poutres • 2 méthodes:
– Méthode dalle isostatique
2
2d
p−
28
22d
pL
p −
L d
Rg iRd i
Flexion transversale - box girder 30
Type 2
– 2ème méthode
Considérer l’encastrement sur l’âme => calcul de la console , puis du hourdis encastrés sur les âmes
Milieu de hourdis
Calculs au niveau des Encastrements
Flexion transversale - box girder 31
Type 2
• Conception de la nervure => poutre précontrainte
• En général calcul en précontrainte partielle• Limiter la fissuration, mais dimensionner
sous ELS fréquent en non décompression dans la zone d’enrobage
• Attn: zone d’enrobage EC2 100mm
Flexion transversale - box girder 32
Type 2
• Positionner la précontrainte suivant le fuseau de passage
• Intégrer les contraintes liées au câblage longitudinal
• Intégrer les contraintes de ferraillage, direction principale
• Conditions d’enrobage à définir (note d’hypothèses)
Flexion transversale - box girder 33
Notes:
Flexion transversale - box girder 34
Flexion transversale - box girder 35
Condition de ferraillage
• Section d’armatures à vérifier: – Retenir environ As = 0,01 x b en m² pour
s≤0,3mm (voir plus bas)– En deçà modifier l’épaisseur– En dessous la section de béton peut-être
réduite.– Pour l’évaluation prendre pour s≤0,3mm
σs≤240 MPa, et pour s≤0,2mm σs≤190 MPa
Disposition des charges: EC1
• Voie principale• Dispositif de sécurité• Cohérence des dispositions de
chargement• Calage des charges par rapport au limite
de largeur chargeable, par rapport à la zone d’analyse
Flexion transversale - box girder 36
Flexion transversale - box girder 37
Methode de calcul de la flexion transversale du caisson
• Les charges sur les hourdis sont donc connus et on est capable de calculer la réduction des efforts aux nœuds des hourdis et encorbellements sur les âmes
=>
RA RB
MAdMAg MBg MBd
• Charge répartie permanente• Charge répartie des charges d’exploitation• Les charges locales
• Chercher les couples (R,Mt) de réduction aux noeuds
Flexion transversale - box girder 38
Methode de calcul de la flexion transversale du caisson
Flexion transversale - box girder 39
Methode de calcul de la flexion transversale du caisson
• Ces charges sont concomittantes aux charges qui sollicitent la structure longitudinalement pour obtenir le Tmax, Mmax ou autres
• On suppose dans la suite que le fonctionnement de la structure transversale est rigide
=>
RA RB
MAdMAg MBg MBd
Flexion transversale - box girder 40
Flexion transversale
• Pour mener le calcul• On isole une longueur dx=1m et on écrit
l’équilibre de cette tranche de tablier
dx
q(x)=P
T(x) T(x+dx)
τ(x) τ(x+dx)
Sous les efforts tranchants, l’élément est en équilibre sous l’action des cisaillements
Flexion transversale - box girder 41
Rappel de RDM: équilibre sous tranchant
Flux en section ouverte
Flexion transversale - box girder 42
Flexion transversale - box girder 43
∑+Φ=Φn
jjiso X1
ϕ
ϕj: flux de cisaillement unité parcourant la cellule n°j (j=1 à n)
Xj: grandeur scalaire matérialisant l’intensité du flux de cisaillement inconnu φj
φj=Xj .ϕj
Φiso est le flux de cisaillement dû à l’effort tranchant, calculé dans la section rendue isostatique par les coupures
Flux en section fermée:
∑ =+n
i
, ij 0isoijX δδ
Les inconnues Xj sont obtenues par l’équation d’équilibre des actions du cisaillement par cellule i
ni .....2,1=∀
Flexion transversale - box girder 44
∫∫ ==i
ii
li
iiie
ds
e
dsδϕδ L
∫ ∫∫ −−=Φ=i i
z
y
yz
i
isoisoie
dsS
Iz
V
e
dsS
Iy
V
e
ds **
,δ
Où ∮ est l’intégrale portant sur le contour complet de la cellule i
∫ij une intégrale ne portant que sur la partie commune aux cellules i et j
S*y ou z correspondent aux moments statiques et doivent être affectés des signes en rapport avec l’orientation de circulation des flux
∫∫ ==ij
ij
ljli
ijije
ds
e
dsδϕδ L
,
Flexion transversale - box girder 45
Qr/2 Qr/2
Tranchant Q/mlFlux φInconnue X1
1/2 1/2
φi
Symétrie => X1=0
Flexion transversale - box girder 46
Equilibre sous la torsion
• Sous l’ action d’un moment de torsion réparti, on peut équilibrer la section
• Par des flux de torsion appliqué sur le pourtour
Mt(x+dx)
dx
Mt(x)
T=P
Mt=Pδ
Centre de flexion
Flexion transversale - box girder 47
Equilibre sous la torsion
• Le flux est défini par l’équation• où • ti est le cisaillement dans la paroi i• ei est l’épaisseur de la paroi i• Ω est l’aire délimitée par le contour
moyen de la cellule ( pour une caisson mono cellulaire)
• La torsion génée et ses effets peuvent être négligés dans le cas des caissons (voir « Torsion et Profil fermé » in Stahlbetonbau Hedt 9/1970 – 10/1970 und 5/1972 von A. STEINLE)
Ω×=×
2
Mtet ii
Flexion transversale - box girder 48
Méthode de calcul
• L’équilibre de la section peut donc s’écrire entre les 2 sections
• T(x)-qdx-T(x+dx)=0 =>
• Et de la même façon on peut écrire l’équilibre vis-à-vis de la torsion:
• Mt(x)-Pδ-Mt(x+dx)=0 =>
• Conclusion: l’étude peut se réaliser en cherchant l’équilibre des charges extérieures par des efforts internes correspondant aux flux de cisaillement et de torsion générés par les charges appliquées
)(xqdx
dT=
δ×= )(xqdx
dMt
Flexion transversale - box girder 49
On remarque que la méthode consiste•À se rapporter à 1m de caisson, donc à évaluer localement les charges en se ramenant à cette unité de mesure
•Soit utiliser les abaques qui donnent des charges au mètre linéaire
•Soit ramener les charges ponctuelles à des charges linéiques (méthode de décomposition par séries de Fourier des charges, ou évaluation de charges équivalentes…)
•À évaluer des flux pour équilibrer ces charges
Flexion transversale - box girder 50
Méthode de calcul
• Nous avons indiqué que les charges quelconques pouvaient se réduire au niveau des âmes
• Ce qui revient à ne retenir aux nœuds que les efforts globaux
RA RB
MAdMAg MBg MBd
RA RB
MAdMAg MBg MBd
RA RBMA=Mag-Mad MB=Mbd-Mbg
Efforts aux noeuds
Flexion transversale - box girder 51
Méthode de calcul
• Ces sollicitations peuvent se décomposer en sollicitations symétriques et antisymétriques
Qr’/2 Qr’/2Mr’/2 Mr’/2
++++Où
Qr=RA+RB
Mr=MA+MB
Qr’=RA-RB
Mr’=MA-MB
Qr/2 Qr/2Mr/2 Mr/2
RA RBMA=Mag-Mad MB=Mbd-Mbg
Flexion transversale - box girder 52
Méthode de calcul
• Analyse des sollicitations symétriques
Mr/2 Mr/2++++
Les charges verticales sont équilibrées par des flux de cisaillement, l’ensemble engendrant des efforts internes
Les moments symétriques sont équilibrés par des efforts internes
Qr/2 Qr/2Mr/2 Mr/2
Qr/2 Qr/2
Flexion transversale - box girder 53
Méthode de calcul
• Utilisation de la méthode des forces – analyse de l’effet de la charge Qr
++++
Qr/2 Qr/2 Qr/2 Qr/2
1 1x
X1
1 1
x
X2
1 1x
X3
Flexion transversale - box girder 54
Méthode de calcul
• On écrit l’équilibre aux lèvres de la coupure
• Théorème de l’énergie de déformation
• On néglige l’effet local de flexion des parois sous l’effet de N (flambement) et les déformations locales d’effort tranchant
• Les déplacements sont nuls aux lèvres de la coupure
• On obtient alors en posant:
∑ ∫ ∫∫
++×=
i
l l
i
i
l
i
i
i
i
i ii
dxGS
Tdx
ES
Ndx
EI
MW
0 0
2
0
22
*2
1
00
=
′×=∑ ∫
i
l
i
ii
i
dxEI
MMδ
Flexion transversale - box girder 55
Méthode de calcul
• On obtient ainsi autant d’équations qu’il y a d’inconnues
• Le diagramme des moments est alors obtenu (ce que l’on cherche) par l’équation (I)
∑ ∫
′×′=
k
l
k
kjki
ji
k
dxEI
MM
0
,,
,δ
0
31
,
3
1
, =+×
→=
∑=
isoi
j
jji X
ipour
δδ
K
contourlesurbarreskipour
XMMisoM i
ki
kiglobal
,31
,
,
→=
×′+= ∑
K
et ∑ ∫
′×=
k
l
k
kikiso
isoi
k
dxEI
MM
0
,,
,δ
(I)
Flexion transversale - box girder 56
Méthode de calcul
• L’analyse particulière du diagramme fera intervenir l’effet des flux de cisaillement.
• Le but étant de trouver les diagrammes isostatiques d’effort, on recourt à l’évaluation des glissements , on pose v la position du CDG par rapport à la fibre sup et Izl’inertie de la section
• On oriente les moments en disant qu’ils sont positifs quand ils tendent la fibre intérieure
∫ ×=kl
kkk dxextg0
)(
Qr/2 Qr/2a
bc d
f
h α
bi
1
2
3
4
5
bs
t1(0)=0
QrIz
×××
=e1/2)-(v e1 bs
1t1(bs/2)xe
g1=e1.bs/2.(t1(bs/2)+t1(0))/2
1’
Méthode de calcul
• Ceci revient à écrire:• X1 x NN + X2 x NT + X3 x NM+ NxMiso=0• X1 x TN + X2 x TT + X3 x TM+ TxMiso=0• X1 x MN + X2 x MT + X3 x MM+ MxMiso=0
Flexion transversale - box girder 57
Flexion transversale - box girder 58
Méthode de calcul
• Le moment au nœud b est alors égal à:
∫ ×=kl
kkk dxextg0
)(
Qr/2 Qr/2a
bc d
f
h
bi
1
2
3
4
5
bs
Du fait de la symétrie des charges seule l’inconnue X1 est à évaluer (à démontrer – application)
)cot(2
)(
)2
(2
)2
(2
1111
111
111
α
µµ
µ
µ
⋅⋅−⋅=
⋅′
−=
′−=
−⋅⋅′
=′
−⋅⋅=
hQ
hgM
QI
ggg
eve
sb
eve
bs
rab
r
z
a
bs’
Flexion transversale - box girder 59
Méthode de calcul
• analyse de l’effet des moments symétriques Mr/2
++++
Mr/2 Mr/2
1 1x
X1
1 1
x
X2
1 1x
X3
Mr/2 Mr/2
Flexion transversale - box girder 60
Méthode de calcul• Analyse des sollicitations dissymétriques
Les charges verticales sont équilibrées par des flux de torsion, l’ensemble engendrant des efforts internes
Comme les moments dissymétriques
Qr’/2 Qr’/2Mr’/2 Mr’/2
=bs
Qr’/2 Qr’/2
Mt=Qr’/2 x bs
A
Mtft
×=
2
A est la section définie par le contour du caisson (en bleu)
++++
∫ ⋅=kl
tt dskfF0
)(
Synthèse de la 1ere phase
• Combinaison des décompositions
• MtCas=Mt iso+Mn X1 + Mt X2 + Mm X3
• Où Mt iso = Mt(MQr + Mr)iso
Flexion transversale - box girder 61
Flexion transversale - box girder 62
Méthode de calcul• Analyse des sollicitations dissymétriques
Les moments dissymétriques créent eux aussi un flux de torsion égal à
Mr’/2
++++Mr’/2
A
Mtft
×=
2
Mt=Mr’
Ces 2 diagrammes vont faire l’objet d’une analyse par la même méthode que pour les sollicitations symétriques.
∫ ⋅=kl
tt dskfF0
)(
Flexion transversale - box girder 63
Méthode de calcul• Résultat
– Pour chaque type de charges symétriques et antisymétriques, les diagrammes des moments sont obtenus
– Les efforts globaux dans la section sont alors égaux à la somme des distributions de moments des charges symétriques et antisymétriques
– il est alors intéressant de généraliser la méthode en évaluant les diagrammes de moments pour des charges unitaires: Qr=1, Qr’=1, Mr=1, Mr’=1, et en établissant des combinaisons linéaires des diagrammes de moments issus de ces charges unitaires
Impossible d’afficher l’image.
)()()()( '' BAMrBArQBAMrBAQrglobal MMMQQMMMMQQMM −⋅+−⋅++⋅++⋅=
Flexion transversale - box girder 64
Utilisation de programme à barres: on isole un tronçon de 1m-soumis à P ce tronçon est en équilibre sous l’action des flux de cisaillement et de torsion
Les charges /ml quelconques sont équilibrées par des flux de cisaillement et de torsion de façon que les réactions d’appui au nœud d’encastrement soient nulles:
Rb=0 et Mb=0
δP
++++
++++gk(P)
Fk(Pδ)
b
Flexion transversale - box girder 65
Il est alors nécessaire de s’assurer que les charges appliquées soient bien des charges par mètre linéaire
La charge de convoi peut par exemple être remplacée par la charge linéique équivalente donnant localement les mêmes moments obtenus sur les abaques de Pücher
δP
++++
++++gk(P)
Fk(Pδ)
b
Flexion transversale - box girder 66
Rappel de cours
Flexion transversale - box girder 67
Flexion transversale - box girder 68
Flexion transversale - box girder 69
Flexion transversale - box girder 70
Intégrales de Mohrl
xfdsMM
l
G
l)(1
0
⋅Ω=′′⋅′∫
3
)(
3
2)(
2
212
1
MM
l
xfdoncMxf
lM
GG
⋅=
⋅Ω=
⋅=Ω
Triangle x triangle
Flexion transversale - box girder 71
Intégrales de Mohr
Flexion transversale - box girder 72
Extraits du Extraits du Extraits du Extraits du document 1 de document 1 de document 1 de document 1 de l’IABSE l’IABSE l’IABSE l’IABSE concernant le concernant le concernant le concernant le calcul des calcul des calcul des calcul des caissons caissons caissons caissons monocellulairesmonocellulairesmonocellulairesmonocellulaires
À comparer ou à compléter avec:
Flexion transversale - box girder 73
Flexion transversale - box girder 74
Voir méthode de calcul de section déformable
diagonale
Flexion transversale - box girder 75
Symetrical loads
Nota: dans n0, il faut diviser par d et non multiplier
Flexion transversale - box girder 76
• avec la valeur des paramètres suivants:
• On retrouvera ces valeurs avec une formulation un oeu différente dans le livre ref II
Flexion transversale - box girder 77
Cas anti-symétrique
Flexion transversale - box girder 78
• Fluage: méthode forfaitaire
t<tc
t>tcf f’
w w’
εi=n1/Ei
εf=εi+εd
εd=n2/Ed
2
1)(
5,0)1)((n
n
121
121f
21f
⋅−+=
=−−+=
⋅+⋅=⋅=
SSSS
E
Esiautreentre
E
Ennn
E
En
E
EnE
f
i
f
i
f
d
f
i
f
ff ε1/Ef=1/Ed+1/Ei