t' elEnrique D,Flie$S.:onstituyeunadestacadacontri-bucinalaensCn;.n1,ayestudiodeesa importanteramadclaIngenieraqueesla EstabilidaddelasConstrucciones,Enella desarrollaelprimercursode taJ comolodictaensuctedradelaFacultad deIngenieradelaUniversidadNacionalde BuenosAires. SiguiendolaescueladeTimoshenko, partedelprincipio delparafelogramoy sobre l construyetodoeledificiodela Esttica a t ravsdeunasucesindesecuenciasriguro-, ,,ncllteencadenadas.desencilladeduccin, Dclosdiezcaptulosquecomponenla ' ,b!;>,10$tresprimerosse destinan al estudio l' Ivs planosyespacialesdefuer-:1. ,15:sigil e/:1 cuarto con Geometra de masas, pararc.Ji l dr ,('1]elquinto,elestudio delas fuerzasJislri!.>uidas,Loscaptulossexto, sptimoyoctavo,estudiantodo lo referente alequilibriodecuerposvi nculados,sistemas deretkuladoysistemasdeaJmaBena.El principiodelostrabajosvirtualesylos sistemasplanossujetosacargasmviles cierranelciclodeEstabilidad,primer curso. Laabundanciadeejemplosprcticos relativosacadaunodelostemasdesarrolla-d os,consti tuyemiefica;r;o;;omplementode losconce pt ostericosenunciadosY1 que, ademsdeponer en evidencia susrespectivos Gunposdeaplicacin,facilitaconsiderable-rrtCllll'asi miladnporpartedelosestu-dLlmes,aquienes,sinduda,laobraest destJ1,lda, Adems,elingenie roAiess,aleviden-ciar,un;1vezms,sus conoddas condiciones didcticas,haceunvaliosoaporteenbenefi-ciodelatareaquedesarrollaelequipode colaboradoresqueloacompaaenla Cte-dra deEst;bilidad, primer curso. EstaobrasecompletaconEstabilidad 11, delmismo autor que cubre las temasdela asignaturatalcomosedictaenlaFacultad deIngenier:tde , laUniversidaddeSuenos AiresyenlaEscuelaSuperiorTcnicadel Ejrcito. Cubre,tambin, temas delos cursas delaUniversidad Tecnolgica, SITARIA " ! , , 1 ,.-F ERNANDOM,L OPEZ II!e-C,ANI CO INGENIEROCIVIL EnriqueD.Flie'ss ProfesortitulordeEstabilidoddelaFacultad deIngenieradelaUniversidaddeBuenosAires, VdelaEscue laSuperiorTcnicadelEjrcito . . JefedelDepartomentoTcni codelInstitulo delCementoPort londArgentino. E Stab II Id ad primer curso ED I TORIA l :ac......ELeBz Moreno372Bu. nosA lr Todaslas par1910 )EDITORIALKAPELUSZS. A ..Molo'"'' 312.BuenosA"lls.HuchoelrleiJ , M0 '#OQ rb) (P,J(p,J rO) (e) Fig.1.8. tativosdelasfuerzascomponentes(fig.1.9).Generalizandodiremos quelaresultantededosfuerzasconcurrentescuyasrectasdeaccinson coincidentes,sepbtienedirectamentecomosumaalgebraicadelosvecto-resrepresentativosde lascomponentes. EI principiodelparalelogramodefuerzasnosdicequesiemprees posiblereemplazardosfuerzasconcurrentespor s uresultante,o,enotras palabras,queambossistemassonequivalentes.Comocorolariodeello setienequelanicaposibilida.ddequedosfuerzasconcurrentesseen AP,

Fil.1.9. -R

-R "> Fil.1.10. cuentren en equilibrio es que su resultante seanula. Cuandolas dosfuerzas tenganlamismarectadeacci6n,comosuresultanteseobtieneporla sumaalgebraicadeambasfuerzas,esevidente queparaquelaresultante seanula,laintensidad delasdosfuerzasdebe serlamismaysussentidos contrarios.Estaconclusinpuedegeneralizarseenel29principiodela Esttica, quereza: 8CON(2PTQSF UNDAMENTALES "ParlJquedosfuerza!.seequilibrenesnecesarioque.seanopuesta.!" entendindoseporfuerzasopuestasaquellasqueteniendolamismarec: tadeaccin,sondeigualintensidadysentidoscont rarios. Lossistema'!constituidospordosfuerzasenequilibriosedenominan a;sten:"Jlnul"". Consider emosnuevamenteelcasodedosfuerzasconcurrentesaun puntoA(fig.1 . 10 ).El29principiodelaEstticanosdicequepara equilibrarelsist ema,bastarqueenAacteunafuerzaopuestaalare-sultanteR ,denominadaequiJibrante.Eaelcorrespondientetringulode fuerzas,laequilibrantetendrsentidocontrarioalaresultanteR,Yen consecuenciaset endrqueeltringulodefuerzassercerrado,coi nci -diendoelori gendelaprimerafuerzaconel extremo delaequilibrante. EltercerprincipiodelaEsttica, evidente por smismo,el;Cpresa que: El efecto deun sistemade(uerza.s dado,sobr euncuerpo no se modifica,.siadicho.sistemaseagregaoquitaun sist emadeJuerza.s nulo. BasndonoseneltercerprincipiodelaEsttica,. demostraremosel teoremadelatransmisibilidaddeunafuer za,cuyoenunciadoeselsi guiente: Siunafuerzaacta.tabreuncuerporgido,espo&ibledesplazarsu puntodeaplicncinsobresurectadeaccinsinqueresultealteradosu efecto.Para demostrarlo, consideremos elCl.1erporgido de lafiltural . 11a, -t}-PAP'8P" -8--(d)lb)(e) Fi.1.11. enelqueactalafuerzaPaplicadaenelpuntoA.Apl iquemosahoraen elpuntoB,ubicadosobrelarectade 'accindeP,dosfuerzasP'yP", opuestas,ydeigualintensidadyrectadeaccinqueP(lig.1. 11b). Portratarse deunsistemadefuerzasenequilibrio(sistemanuJo) ,laexis-tenciadelmismonoalteraennadaelefecto de P.Consideremosahorael conjuntodelasfuerzasPyP"quetambinconstituyenunsistemanulo yaquePyP"sonopuestas.EnvirtuddeltercerprincipiodelaEsttica podemos eliminarambasfuerzassinquesealterelaaccindelsistema,y . obtenemosasactuandosobr eelcuerporgidonicamentelafuerzaP', aplicadaenelpuntoB.ComoP'yPeran enintensidadysentido yactuabansobr elamismarectadeaC(:in.hemosobtenidocomorelul tadounatransl aci6nde lafuerzaPdelpunto AalpuntoB.Comoelpun-to Blohemos eleido arbitrariamente sobrelarectade accinde P , queda sLOSPRINCIPIOSDELAESTTtCA , conellodemostrado queesposible desplazarunafuerzaaplicadasobreun cuerpor gido,sinquesuefectose altereenabsoluto. Destacamosqueelteoremadelatransmisibilidaddeunafuerzaes aplicablenicamentealcasodeloscuerposrgidos,yQuepierdevalidez cuandosetratadecuerposdeforma bies.Elejemploquedesarrollaremos acontinuacinpermiteapreciarperfectamenteloqueacabamosdeenuo. ciar.Sea(fig.1. 12)unconjunto dedoscuerposelsticos(deformables), quelosvisualizaremoscomodosresortessuspendidos,unoacontinuaci6n elotro,deunpuntofijoO.SienelpuntoA,aplicamosunafuerzaPdi oo A' A" ------ir

8'bP lb)__ 8" (CI Fi g.1.12. rigidahaciaabajo,elresorte superi orexperimentarunadeformacin, des-. plazndose el punto A de .\8,ypasar aocupar laposicinA',mientras que elresorteinferiornohabrexperimentado ' ala rgamientoalguno,transla dndoseelpuntoBalaposicinB'.SiahoraaplicamoslafuerzaPenel puntoB',elresorteinferiorsedeformarincrementndosesulongitudde Ab.Delcaso(b)sepasaal(e)simplementedeslizandolafuerzaPalo largodesurectadeaccindeAB.Estedeslizamientonopuedereali zarsesinmodificarelefectodelafuerzasobreelcuerpo,eneste casodeformable. Silasdosfuerzasactuantessobreuncuerporgidonoseaplicadasaunmismopunto,talelcasodelafigura1.13, enquelasfuer 8 P, FiC.1. 13. 10CONCEPTOSFUNDAMENTALES zasPlYp .actanrespectivamenteenlospuntosAyB,envirtuddel teoremadelatransmisibilidaddelasfuerzas,esposibledeslizarambas alolargodesusrespectivasrl!(:tasdeaccinhastaaplicarlasenelpunto e,deinterseccindestas,yenbasealprimerprincipiodelaEsttica, reemplazarlasporsuresultante.Sielpuntodeinterseccinnopertenece alcuerpo rgido,laconstruccinindicada es vlida, pues podemosimaginar laexistenciadeunaprolongacindelcuerpoquecontengaalpuntode interseccin. ElcuartoprincipiodelaEsttica,sumamenteimportanteporsus aplicacionesenlosdistintosproblemasdelatcnica,eseldenominado principiodelaaccinyreaccin.Suenunciadodicequetodaacci6nim-plicaexistenciadeunareacci6n,deil1ualintensidadysentidocontrario. Sealaesferadefi,gura1.14,queseencuentraapoyadasobreun plano.Laesferaestsujetaalaaccindelagravedad,esdecirdeuna fuerzaPcuyaintensidadesigual&1 peso delaesfera,dirigidahaciaabajo yaplicadaensucentrodegravedad.Laesferaapoydasehallainm- II Fil.1. 14. vil,esdecir,enequilibrio.Sisuprimimoselpia-no de apoyo,esevidente que la esfera caer. Para evitarlo,debemosaplicarenelpuntodeapoyo unafuerzaopuestaalpesoP;talqueequilibre aesteltimo.Aplicadaestafuerza,laesferase encontrarnuevamenteene porlossignosdeP,yp 1. 15 .Signo delasfuerzas. +y Alosefectosdefaci litarlasolucineinterpretacindelosresulta-dosdedistintosproblemas,esnecesarioadj udi carsignoalasfuerzas. Cuandosetratedefuerzasvert icalesuhori zontales,elsignoserelde sus proyecciones sobreelejeyyzrespectivamente.As, enlafigura1 .30, lafuerzaP, ' serpositiva,la negativaylap .tambinnegativa.Si, encambio,ladireccindelafuerzanocoincideconningunodelosejes coordenados, comoenel caso de lafuer zap .de lafigura1. 30, exist e 'idad designosegnseael ejesobreelqueselaproyecte.Siconsideramos laproyeccinp",susignosernegat ivo,yencambiosilaproyectamos sobreelejey,susignoserpositivo.Enconsecuencia,esnecesarioes tablecerapr iorielejesobreelcualseconsiderarlaproyeccindela fuerzaaefectosdeestablecersusigno.Laeleccindel' eje,denominado eje director,esconvencional,yadoptaremosenloque sigue,elejeZ. ro-mo eje di rector.Porconsiguiente, el signo de lafuerzaP., deacuerdo con laconvencinque adoptamos, es negativo. 241 l . 16.Proyeccindeunparsobreun ejecoordenado. Lasexpresione.s[1. 17]nosdfcen que :laproyeccin de una fuerzabreunejesernulacuandoloseasuintensidad,obien.i I Urectade acci6nesnormalaleje. Consideremosahoraelcasodeunpardefuerzasproyectadosobre uneje.Porestarconstituidoelparpordosfuerzasdeigualintensidad, sentidoscontrariosyserparalelassusrectasdeaccin,resultaevidente quelasdosproyeccionesresultar ndeigualvalorabsolutoydesentido contrario,porloqueseanularn.Enconsecuencia,laproyeccindeun par sobre un eje es siempre nul a , 11IJ 1III --1-----, 1 1 pi P,4_ _ __ _ Fi.1.30. o

ty 1. 17 .Expresinanalticadelmomentodeunafuerzarespecto de un pUnto. Sea(fig.1. 31)lafuerzaPyunpuntoM .Sidescomponemos,la fuerzaPen suscomponentesnormalesPwyP"deacuerdo con e'lt eo-remadeVARIONON,sumomentorespectodeMserigualalasuma algebraicadelosmomentosde "'P.yP,respecto delmismopuntoM. Ladistanciadecadaunadelascomponentesalcentro demomentos esigualaladiferenciadecoordenadasentre elcentro demomentosyun puntocualquieradelarectadeaccindelafuerza,quesesuponecomo puntodeaplicacinde lamisma.Tendremos as [1.20] Seafectadelsigno(-) alsegundotrminodelsegundomiembro delaexpresin[1 . 20]paraqueexistaconcordanciaenlossignosdelos 17EXPU:SINANATICADEL MOMENTOUSPEC'roDB UNPUNTO25 " O/ / y. Y, Z. H / Pz IZ A PY. +y Fi..1.31. momentos.Enelprimer trminoparntesispositivo, poraer%M>%.t Y f Ifpositiva,loeseldeam-bos,existiendo concordanciade signosporcuantoelmomentodePIIres. ...< '1meto deMesPositivO. cambio,elsegundo tiene SIgnOne-g.Hvoporsery Iicaso)seaopuestaalaresultante delasotrasdos.Generalizandoesteconcepto,diremosque,enunsistema de fuerzB8concurrentesaun mismopunto deun cuerpo cualquierlil delasfuerzasdelsistemaessiempreopuestaalaresultantedelasres-tantesfuerzas. 2. 1 .5.Reduccindesistemas.Solucinanaltica. En 2. 1 . 1 noshemosocupadodelareduccindesistemas de fuerzas concurrentes,utilizandoprocedimientosgrficos.Resolveremos,ahora,e, problemadehallarlaresultantedeunsistemadefuerzasconcurrentes un punto, en formaanaltica. Consideremos,figura2.9,elsistemadedosfuerzasconcurrentesen A,P1. YP2, YhallemossuresultanteRaplicandoelprincipiodel paralelog-amodefuerzas,llevandolosvectoresrepresentativosdelASdo:; componentesapartirdeASiproyectamoslasfuerzasP,yP2sobre ambosejescoordenados,vemosquelasumadesusproyeccionesresulta igualala proyeccin de la resultante;es decir: A' Q'=(A'M' )+(M' Q'),y A" Q".=(A"N")+ (N" 0"). (2,1] Pero,deacuerdocon[1.14 J,lasexpresiones[2.1]puedenescribir-se en laformasiguiente Ra-I =Reos !:PE =PIcos!:Pt+ P.,. coscp" } . =Rsen!:pB=P, sen 1. +P,sen'JII. [2.12] Estesistemadedosecuacionesnqspermitereso\yerelproblemade la descomposici6nde unafuerzaen doscomponentes,cualquiera de las cuat!:9posibilidadesenunciadasyresueltasgrficamen;een2.2.. ,,'",., Cuandoseconocenlasdireccionesdelasfuerzasysebuscansus intensi.dades,eniasecuaciries[2.12]aparecern incgnitasnica men.te ' PIyPI' siendoconocidoslosrestanteslementosqueapareceq en laSpor cuanto son del problemaP,CP.'JIlY!:p,;. Siseconocela ';1YladePI ,las nitasresultanencaso'l'ly1p .l.En cambio, sedan com9 datolasintensida,desdeamb.aslasinc6,gp.itassonloe mentos'1yWtdelasmismas; siunalasest definida;es decir, si,seI P I I Y'PI' lasinc6gnitas sernI p .I y .. ,' 1, Es evidentequeelhechodedisponerdesolamentedosecuaciones. hace problema deladescomposicindeunafuerzaentrescompo.-nente9aincurrentesaunpunto recta deresulte ..'-" do,por estaremosenpre!ien.9.iadep,robJemade tresinc6gnitas. 2. L 7. sistemasdeconcurrentes.UticaaDcei84r suficientes...-l'" , .,. Vimos en2. 1. 1. quelacondici6ngrficade equilibriodeunsistema defuerziii aunpuntoconsiStaenquesupotinodefuer zasVeremosacontinuad"quelas necesariasy quedebecumPlffunsistemaderrentes enequilibrio, sn' d.os,yque existendistintasdeeiPresarlas:mediante dosde,- ,. .ejes nocoincidentesniparalelos;meiianteunaecuacindemomentosy .j.:.-..' 1FUltRZAS aHm;. PLANO41 una de proyeccin sobreunejequeno seanormalalarectadeterminada porelcentrodemomentoSyelpuntode concurrencia .delasfuerzas;o bien,mediantedosecuacionesdemomentosrespectodedospuntosno alineadosconelpuntodeconcurrencia delsistema. 1,r.caso.Seaelsistemadefuerzas P,concurrentesenA,delafigura 2.14.Supongamosque,proyectadas lasfuerzassobreelejez.lasumade susproyeccionesresultenula;esdecir, =O. , [1. 13) Decumplirseestacondicin,se presentandosposibillidades: a)la'resultanteesdecir, elsistemaseencuentraenequilibrio; z R R Fi g.2'. 14 . y b)existeresultante,yentalcasosudireccinesnormalalejez. Quedaexcluidalaposibilida'ddequeelsistemase reduzcaaun par. Enefecto,sibienelparcumpliralacondicindeproyeccin' nulasobre el .eje,lanaturalezadelsistema(concurrenteenA) -exigelaconcurren-ciadelaresultanteconlasfuerzascomponentes, condicinqueno cumple elpar. Siproyectamosahoraelsistemasobreelejey,ylasumadelas proyeccionesesnula,sepresentanlasmismasposibilidadesanteriores: a)resultantenula;b)resultantenormalalejey. Si,simultneamente,secumplenlascondicionesdenulidadde proyeccionesdelsistemasobrelosdosejes,seexcluyenautomticamente lasposibilidadesb), por cuantolaresultante,de existir,nopuede cumplir simultneamentelacondicindeperpendicularidadadosejesnormales. Enconsecuencia,lanicaposibilidadquelerestaalsistemaeslade encontrarseenequilibrio. Diremosentoncesque,paraqueunsistemadefuerzasconcurrentes seencuentreenequilibrio,68necesarioysuficientequelasumadelas proyeccionesdelasfuerzasqueconstituyenelsistemasobredosejesno coincidentes. niparalelosseanula. 2'Jcaso.ConsideremoselsistemadefuerzasP.,concurrentesen A,t;lela figura2.15 yelpunto M. Si tomamos momentos del sistema 422 pedo deM,ylasumade losmismosesnula,porelteoremade V ARlG-NONtambin ser nulo elmomento de laresultante conrespectoal mismo punto.Siestoocurre,cabenlasdosposibilidadessiguientes: a)laresultanteesnula,yenconsecuenciaelsistemaseencuentra enequilibrio; b)existeresultante,y,ental en 1.6, la misma debe pasar porM. zo R R y Fig.2.U. caso,deacuerdoconloestablecido o N R y Fig.2.16. Siproyectamoselsistemasobreelejez ,porejemplo,yencontra-mosquelasumadelasproyeccionesesnula,cabenlasdosposibilidades analizadasalestudiarelcaso19,esdecir,resultantenula,obientantenormalalejez. Sielsistemacumplesimu1tneamentelascondicionesdeproyeccin nulaymomentosnulos,evidentemente quedadescartadala posibilidad de existenciaderesultante,porquelamisma,pasandonecesariamente porA portratarsedeunsistemaconcurrente,nopuede,simultneamente,tener dosrectasdeaccin,unanormalalejezylaotrapasandoporM.'En consecuencia,paraqueunsistema defuerzasconcurrentes enunpunto se encuentreenequilibrio,escondicinnecooariaysulicifmtequelasuma delas. proyeccionesdelsistemasobreuneje .seanula,yque mente sea nulo el momento del sistema respectode unpunto,siempre que elpuntonoseencuentresobrelanormalalejetrazadaporelpuntode concurrenciadelasfuerzas.Sielloocurriera, alcumplirselaprimeracon-dici6n;esdecir,sumademomentosrespectodeAigualacero,deno existirequilibrio,laresultante,debiendopasarporA,necesariamente FUERZASCONCURRENTESENn.PLANO43 ser anormalalejez,ylaecuaCindeproyeccinsobreesteeje,deser nul a,noimpondraningunanuevacondicin,porcuantoladeperpen dicul ar idadyaestabaimpuestaimplcitamenteporlacondicindemo--mentas. caso.Simomentos .delsistemaPidelafigura2 . 16 respectodelpuntoM,ylasumadelosmismosesnula,esposible: a)quelaresultanteseanula;esdecir,queelsistemaseencuentre enequilibrio;. b)quelaresultante exista,yentalcsodebenecesariamentepasar porM. Si,altomarmomentosconrespectoalpuntoN,lasumaresulta cero,lasposibilidadessonlasmismasqueantes,pero,enestecaso,de existirresultante, debepasar porN. Silasdoscondicionesse cumplensimultneamente, quedanexcluidas lasposibilidadesb),porcuanto,debiendolaresultantepasarporA,da-daslascondici onesdelproblema,nopuedesimultneamentepasarpor dospuntosnoalineadosconA.Enconsecuencia,paraqueunsistema de fuerzasconcurrentesaunpuntoseencuentreenequilibrio,esoondicin necesariaysuficientequelasumadeJosmomentosdelsistemarespecto dedospuntosnoalineadosconeldeconcurrencia,seanula. Siloscentrosdemomentoselegidosseencuentranalineadosconel puntodeconcurrenciadelasfuerzas,lanulidaddelosmomentoscon respectoadichoscentrosnoaseguraelequilibrio,porcuantoelsistema puedereducirseauna cuyarectadeaccincontengaalostres puntos,siendodehechonulossusmomentosrespectodelosmismos. Resumiendo,diremosque'unsistemadefuerzasconcurrentesestar enequilibriosiemprequeseverifiquecualquieradelossistemasdedos ecuacianessiguientes: " } LP icosepiO LP,senepi -O [2.14] " -P ;cos'4' .=O ,(p senepi=O), } [2 . 151 M'" =O SIS'I'EMASPLANOSDE FUUZAS2 " } LM" = O , , " LM" = O. ,; [2.16] 2.2 .Fuerzasno concurrentesen elpI.ano. 2.2.1.Reduccindesistemasnoconcurrentes. Enlareduccindesistemasconcurrentesanalizadagrficamenteen 2.1.1, noslimitbamosaconstruirelpolgonodefuerzas,obteniendoasi elvectorrepresentativodelaresultantedelsistema.Comonecesaria-mentestadebapasarporelpuntodeconcurrencia,larectadeaccin delamismaseobtenatrazandoporeste unaparalelaalvector representativodelaresultante. Tratndosedesistemas defuerzasnoconcurrentes,elsimple trazado delpolgonodefuerzasnoessuficienteparadefinirlaresultante,por cuantonoseconoceningnpuntodesurectadeaccin. Unprimerprocedimientoparahallarlaresultantedeunsistemade fuerzasnoconcurrentes,consisteendeterminar' laresultantededoscua-lesquieradeellasporaplicacindelprincipiodelparalelogramodefuer-zas.deslizardicharesultanteparcialhastaelpuntodeinterseccindesu P, R'.2 N P, T Fi.2.17. rectadeaccinconotracualquieradelasfuerzas,componerlaconla misma,y,procediendoenformasimilarconlasrestantesfuerzas,llegara obtenerlaresultantebuscada.Sea,porejemplo,elsistemaP "p ., yp .delafigura2.17. , PUZR%AS NOCONCURREHUSENELPLANO45 LaresultantedeP,YP 3pasarporelpuntodeconcurrenciaA. delasmismas,vsudireccineintensidadestarndadasenelpolgono defuerzasporsuvesultantesnocoinciden. Enamboscasossepuedenpresentarlasdosposibilidadessiguientes: a)Lasintensidadesdeambasresultantessonlasmismas. b)Lasdosresultantessondedistintaintensidad. Analizaremosacontinuacinlasdistintasposibilidadesquepueden presentarse. Cuandolasdosresultantestienenlamismarectadeaccineigual intensidad,alsersussentidoscontrarios,constituyenunsistemanuloy, enconsecuencia,existeequilibrio.Si,encambio,lasintensidades difieren, constituyenunsistemacolineal,cuyasumaalgebraicanosdarlaresul-tanteRdelsistema. Enelcasoenquelasrectasdeaccindeambasresultantessean distintas,ascomotambinsusintensidades,elsistemasehabrreducido 9dosfuerzasparalelasdesentidos contrarios que, compuestasenlaforma 14281STl.MASESPAClALESDE PUERZAS3 conocida,nosconducentambinalaresultanteRdelsistema.Si,en cambio,lasintensidadessoniguales,alsercont rariossussentidos,elsiso temasehabrreducidoaunpar defuerzas. Unprocedimientoprcticoparaladeterminacindelaresultantede unsistemadefuerzasparalelasenelespacioeselquejustificaremosa continuacin.SeaelsistemaP l'P 2YP, delafigura3.20,Yrefit-mosloaunatemadeejescoordenadosortogonalesK ,y,z,orientada enformaqueunodelosejes,elzporejemplo,estdirigidosegnla di reccincomndelasfuerzas.Supongamoshaberdeterminadosure-sultanteRyproyectemosestaltimayelsistemacomponenteenlos planosortogrficoydeperfil, esdecir,xzyzrespectivamente.Siendo lasfuerzasysuresultanteparalelasalejez,seproyectarnenambos planosenverdaderamagnitudy,adems,laproyeccindelaresultante resultarserlaresultantedelasproyecciones. Siahoraabatimosambasproyeccionesalrededordelosejesxy, lasmismassedispondrnsobrelastrazasicnogrficasdelosplanospro-yectantes,yconstituirndossitemasplanosdefuerzasparalelas,ortogo-nalesentres.Lasrectasdeaccindelasdosresultantesabatidas,se cortarnenunpunto,queeslatrazaicnogrfica delaresultanteR delsistema,comoesdableobservarenlafigura.Enconsecuencia,para hallarlaresultantedeunsistemadefuerzasparalelasenelespacio,bas-tarconsiderarunplanonormalaladireccincomndelasfuerzasy determinarlastrazassobredichoplanodelasrectasdeaccindelas fuerzas.Halladaslastrazas,seabatenlasfuerzasalrededordelasmis-massobreelplanoconsiderado,endosdireccionesnormalesentres,y sedeterminanlasresultantesdelosdossistemasabatidos,medianteel trazadodepolgonosfuniculares. Lainterseccindelasrectasdeaccindelasresultantesasdeter-minadasserlatrazasobreelplanoconsideradodelaresultantedelsis-tema;laintensidadysentidoseobtienendelasumaalgebraicadelas fuerzascomponentes. !I.3.2.Reduccindesistemasdefuerzasparalelasen elespacio.Solucin analtica. Consideremoselmismosistemadefuerzasdefigura3.20,referido alatemaJC,y,z,y quesehahechocoincidiralejezconla direccincomndelasfuerzas. Sitomamosmomentosdelsistemarespectodelejex,deacuerdo 3FUERlASPARALELASENEL'ESPACO143 conelteoremadeVarignon,llamandoyladistanciagenricadela rectadeaccindecadaunadelasfuerzasalejex,tendremos: [3.59] ProcediendoahoraatomarmomentosrespectodelejeyIsetiene: . R .xl=l:P; .x , [3 .60] Lasexpresiones[359]Y[3.60]correspondenalasecuacionesde dosplanos,paralelosalosplanosxzyzrespectivamente,cuyaint er-seccindefinelarectadeaccindelaresultanteRdelsistema.Resta ahoradeterminarsuintensidadysentido,paralocualproyectamosel sistemasobreelejezque,porserparaleloaladireccincomndelas fuerzas,conduceaquelasmismasseproyectenenverdaderamagnitud. Resultaas: R=f pi ;[3 . 61] , ecuacinquenosdalaIntensidadysentidodelaresultantecomosuma algebraicadelascomponente!!. z P, P' P, , P J ~ 'P,'" p. , , R"p;' Pj' RP, O Fig.3. 20. '44SISTaMAB'ESPAClAlZSDE' UUZAS3 Sisuponemosaplicadaslasfuerzasenlastrazasicnogrficasdesus rectasdeaccin,losvaloresdeXlieYndadosporlas[ 3.59]Y[3,60] correspondenalascoordenadasenelplanoicnogrficodelatrazadela resultanteR.Vemos,pues,queesposibledeCinirlaresultantedeun sistemadefuerzasparalelasenelespacio,mediantedosecuacionesde momentosrespectodedosejes yunaecuacindeproyeccinrespectode untercero,esdecirmedianteelsistemadeecuaciones ) M" =:l:Mf R , M'- :l:Mf[3.62] , R = l:P, Siestablecidas,paraun sistema defuerzasparalelasenelespacio,las trescondiciones[3.62],encontramosque'laterceradeellas,esdecir,la condici6ndeproyecci6nsobreunejeesnula,evidentementequedades-cartadalaposibilidaddequeelsistemasereduzcaaunaresultante; tampocoelsistemapodrestarenequilibrioporcuantolasdosprimeras ecuacionestienenunvalorperfectamentedeterminado.Enconsecuencia, lanicaposibilidadquelerestaalsistemaeslader educirseaWlpar defuerzas. Finalmente,silastrescondicionessonnulas,esdecirsisecumple ) l:M:=O , l:M[ -O[3 . 63] , ;: P, - O elsistemadefuerzasparalelasenelespacioseencuentraenequilibrio. 3.3 . .3.Centrodefuerzas paralelas en el espacio. El concepto de centro defuerzas paralelas, establecidoen2.3 . 5par a lossistemasplanosdefuerzasparalelas,seextiendealcasodefuerzas paralelasenelespacio,comoveremosacontinuacin. Consideremos,figura3.21, elsistemaPI'Pt ,p. ,aplicadoenlos puntQSAl, A2YAl 'respectivamente,cuyascoordenadasrespectodel sistemadeejeselegidos,seanXi,y"z .Supongamosconocidalare-3FUERZASPARALELASENELESPACIO145 sultantededosdelasfuerzas,lasPIyp .porejemplo,resultanteque llamaremosRl. aY queestaraplicadaenelpuntoe',centrodefuer zas paralelas en el plano definido por las rectas de acci6n de ambas fuerzas. Hagamosgirarlasdireccionesdelasdosfuerzasunmismongulocpendosplanosparalelos,entornoasuspuntosdeaplicacin,conloque resultannuevamenteparalelas. z x y Fill:.3.21. LaresultanteR ~ "delnuevosistemaparalelo,deberpasarporC' paraquecumplaconlarelacin[2.63] ,quedefinelaposicindela resultantededosfuerzasparalelasplanas.Enconsecuencia,comoR'.3 deber encontrarse en elplano definido porP1 yP,en su nueva posicin yserparalelaalasmismas,enddinitivahabrgiradoalrededordee' elmismongulo Fi,.6.4. ys _CfII , I I / I / :YA lB .. , , I , __ ,A , I , I , FiC 6.5. o y O y O Y hacerlomanteniendoelpuntoAsobrela rectadeecuacinZ A=ej,Hemosres-tringidoasungTadodelibertad, por cuan-tolachapanopuede ocuparcualquier po-sicinenelplano,yaquesloleestper-mitidodesplazarseparalelamentealejey yalrededordeA.Enotraspalabras,he-mosimpuestoalachapaunacondici6nde vnculo.SiahorafijamoselpuntoA ,es decir,imponemosquedebacumplirse [6.2) alachapas610lerestacomoposibilidad demovimientounarotacinentornodel puntoA.Enefecto,cualquierotro punto queconsideremos,elBporejemplo,al estarligadoalAporelvnculodelari-gideznopuedealterarsudistanciadal mismoy,por tanto, sedesplazarsobreun arcodecircunferenciadecentroenA . Comotodoslospuntosdelachapadeben describircircunferenciasdecentroAtel nicomovimientoposibledelachapaser unarotacinentornodedichopunto. Resultanasrestringidosparalacha-padosgradosdelibertad,habindosele impuestoalamismadO$condicionesde vinculo. Unachapaalacualselehanfijado lascoordenadasdeunpuntoyque,en consecuencia,poseesolamenteungrado delibertad,sediCequeseencuentraar ticulada.,constituyendoelpuntofijouna articulacinatierraalrededordelacual puedegirar. Consideremosfinalmentelachapade lafigura6.5,alaquehemosfijadoel puntoA.Deacuerdocon10expuesto, podrgirarentornodelmismo,yotro puntocualquieradelachapa,elBpor ejemplo,estarobligadoadesplazarseso-bre un Brco de circunferencia de centroA . .LOS SISTEMASPLANOSVINCULADOS265 SiaestesegundopuntoleimponemosademslacondicindequeSf:: desplacesobrelarectadeecuacinYII= Cte. ;esdecir,lefijamossu coordenadaYo,elpunto resultar inmvil, al nopoder desplazarse simul-tneamentesobreelarcodecircunferenciadecentroAylarectade ecuacinYII= C te. .Lachaparesultaascondospuntosfijosy,en consecuencia,fijaellamisma,porcuantocualquierotropuntoqueconsi-deremos,elC.por ejemplo, alestar ligadolosanteriorespor elvnculo delarigidez,resultafijo.Hemosrestringidodeestamaneraalachapa sustresgradosdelibertadeimpuestotrescondicionesdevinculo. Llegamosasalaconclusindeque,parafijarunachapaatierra, esnecesarioimponerletantascondicionesdevnculocomogradosde libertadposea. 6 . 1.4 .Oesl)lazamientosdeunachapa. Losdesplazamientosquepuedeexperimentarunachapaensuplano sonrotacionasotraslaciones. Sedicequeunachapaexperimentaunarotaci6ncuandotodossus puntos sedesplazansobre arcosdecircunferenciadecentro comn, deno-minadocentroopoloderotaci6n.Encambio,lachapasufrirunatras-laci6nsieldesplazamientoesde naturalezatalquetodossuspun-sedesplazanenunamisma direccin;esdecir,experimentan corrimientos Consideremoslachapadela figura6.6(8) Y dos posiciones cua-lesquieradelamisma.SeanA, B yA' , B 'lasposicionesrespectivas dedospuntosdelachapa.Sipor lospuntosmediosSyTdelos segmentosAA'yB8'trazamos lasnormales,lasmismassecor-tarnenunpuntoO.Enlos tringulosAOA'y80B',iss-celesporconstrucc.in,setiene OA = OA';OB = OB'.[6.3] ahoralostrin-gulosAOByA'OB'.Paralos o (d > T l b ' ". ItQUJUBJUOOB CUBRPOSVINCULADOS mismossecumplenlas[6.3]y,adems.,porlacondicinderigidez, resultaAB =A' B'.En consecuencia,ambostringulosserncongruen-tesy,comodeacuerdoconlahiptesis,elsegmentoABluegodeldes-plazamientopasaaocuparlaposicinA' B',anlogamente,eltringulo A O BocuparlaposicinA' Of B" ,permaneciendofijoelpuntoO. Cualquierotropuntodelachapaensuposcinprimitivavinculadoa losanterioresporlacondicinderigidez,pasarasunuevaposicin describiendounarco decircunferenciadecentroO .Enelcasoparticu-lardequeloscorrimientosdelospuntosAyBseanparalelos(figura 6.6 b),lasnormalestrazadasporlospuntosmediosdelossegmentos AA'yB B'tambinresultarnparalelaseatres,ysupuntodeinter-seccinOserimpropio. Enconsecuencia,podemosinterpretarunatraslacincomounarota-cinentornodeunpoloimpropio,loquenosconducealasiguiente generalizacin: Tododesplazamientodeunachapa.ensuplanoesunarotaci6n en tornodeunpolo,propiooimpropio. Sealachapadelafigura6.7 que experimentaunarotacindeinten-sidadOentornodelpoloO.UnpuntocualquieraAdelamisma, , , , , ,9 ' ' ,+ p .COS q>+ ,_. + Rb.coSq>b+R c.cosll'c=O 2)Va + l:p.P .sen q>+ ,-, +R&.senq>b+R e. sen q>c =O 3)Pi. [sentp, (z ... - z, )- cosq>,(y..- y,)] + " +PJ. [senq>J(z ... - z, )- COS'P, (y" - Y,)]+ -, + Rb. [sen q>B(Z ... - %0)- COSCllB(Y"- Yo)]+ +Rc. [sen q>c(Z ..- %0)- cos q>c(Y ... - Yo)].=O 4) - z, )- cOSfJl(YD- y )] + -, [6.18] Comopuedeobservarse,lacuartaecuacincontienenicamentea R"comoincgnita,loquepermitedespejarladeinmediato.Conocido elvalordeR .eintroducidoenla1:erceraecuacin,esposibledespejar directamenteR&.Finalmente,introduciendolosvaloresascalculados enlasdosprimerasecuaciones,ladeterminacindeH ..yVaesin-mediata. Analizaremosacontinuacinelcaso39,esdecir,elcorrespondiente aunacadenacinemticadedoschapas,unadelascualesseencuentra empotradaensuseccinextrema,ylaotravinculadaatierramediante unapoyomvil. Para"-asolucingrficadelproblemaseprocedeenlaformasi-guiente(figura6.39a):siendoA ,,=unpuntofijodelachapaS"se comportaralosefectosdelasustentacin de comounaarticulacin fijaatierra.SiResla resultante de lasfuerzasexteriores activas apli. cadasenSz.lareaccinenA1. ,'J deber concurrir alpuntoNdeinter_ seccindelasrectasdeaccinde yR b.Luego,descomponiendo elvectorrepresentativodeRendireccionesparalelasaBNyAu.N, obtendremoslosvectoresrepresentativosdeR by-T.LlamandoTa la ,fuerzaopuestaaestaltimareaccin,obtendremoslaaccinquela chapaS,transmitealaSlQue,compuestaasu vez conR,resultante delasfuerzasactivasaplicat!asenla'l1timade Qaschapasmencionadas, 11./ I I LOSSISTEMASPLANOSVINCULA&OS \I../' \I...,"'..\f... ........1ft I I I I A"z T -Ri (o) Ve (b) ti. 6.89. '" !I ,..EQUILIBRIODK CUERPOSVINCULADOS nosdarlaresultantetotalR;.Larectadeaccindeestaltimaresul tante pasarporelpuntoM .ysuintensidad,direccinysentido resul tandecomponerenelpolgonodefuerzaslosvectoresrepresentativos deTyR i .FinaJmente,lareaccindelempotramiento serunafuerza R. , deigualintensidadyd"eaccinqueR: ' perodesentidocon trario.Elvalordelpardeempotramientoestardadoporelmomento deR.respectodeA,esdecir,M .=R e. d.Paradeterminaranalti-camentelasreaccionesdeytnculoenelcasoanalizado,unavezreferido elsistemaaunpardeejesc,oordenados,ponemosenevidencialasreac-ciones,eligiendocomoincgnitasparalareaccinoeel pardeempotramientoylasdoscomponentesdeaqulla,pralelasalos ejescoordenadosypasantesporA(figura6.39b). Enelcasoanalizado,lareaccindevnculoenBesvertical,es decir,paralelaa lejey,conloquesuproyeccinsobreelejezser nula.LasecuacionesdeequilibrioqueresuelvenelJ:;!roblemasonlas siguientes: ." ." 1) =O I".. ..,. . 2)=O l '_+1 Pi . [sen cp(z,t- Z)- COSCP(YA- Y)] + , [6.19] 4)L PI ' [sen CP/ (ZD- Z)- COS (P(YD- Y)]+ Enlasmismassehaelegido,comocentro de momentospara elplan-teQdelaecuacingeneral "momentos,elpuntoA. con respecto almismo, se anulanlos deH.yV .Por 9traparte, enlasecuacionesde proyecci6n s'brelosejes, no aparece elpar ae empo-tramiento,porcuantosuproyecci6nesnula. simplificarlaresolucindelsistemadeecuacionesconviene comenzarlaltimaecuacin,quenos'despejardirectamente valor que,introducido erila3), conduce"crectamente al valor deM . Lasdosprimerasecuacionessonindepend"ientgjenH.yV por)0 que8Uresolucinesinmediata."'"" . LOSSISTEMASPLANOSVINCULADOS 6 . 1 . 11 .Arcoatresarticulaciones. Alenunciarenelpar-grafo anterior las distintas for; mas en que podan distribuirse lascondicionesdevnculoen unacadenacinemticacons-tituidapordoschapasarticu_ ladasentresi,mencionamos elcaso en que estuvieran apli-cadasdoscondicionesacada unadelaschapas,constitu-'07 (d) yendounaestructura denomi-nadaarcoatresarticulacio-nes.Elnombrederivadel hechoque,efectivamente,di-chaestructuraposeetresar-ticulaciones:dosdeellasab-solutas.constituidasporarti-culaciones fijasentierra opor dosapoyosmvilesencada chapa cuya casolasarti-culacionesresultanficticias-,n el _________ _ _lb) Fil:.6.40. yunaterceraquevinculaambaschapasentres,oarticulaci6nrelativlt. En10quesiguenoslimitaremosalanlisisdeltasoenquelasarticula-cionesabsolutasestnconstituidasporapoyosfijos, ' porcuantoloscorres-pondiente!!desarrollos,tantogrficoscomoanalticos,sondirectamente aplicablesalcasoenqueseutilicencomovinculosapoyosm6vileso bielas.Consideremoselsistemadelafigura6.40 a,sujetoatierrame-dianteunaarticulaci6nfijaenAyotraenS. Enprimertrminosielsistemaseencuentraisostti-camentesustentado,yqucondicionessedebencumplirparaqueno existavnculoaparente. Cadaunadelaschapasdelsistemadelafigura6.40 aconsideradas independientemente,poseedoscondicionesdevnculodirectNJatierra, esdecir,unamenosdelasnecesariasparaestarfijas.Evidentemente, paracadauna delaschapas la condici6nde vinculorestante debe resultar desuvinculaci6nalaotrachapa.Enefecto,consideremoselpuntoe , articulaci6nrelativa,comopertenecientealachapaS2'Elnicogradc delibertadqueposeeestaltimachapasetraduceenlaposibilidadd\.29. , girarentornodelpuntoB,polodelarotaci6n.Comoconsecuenciade lamisma,elpuntoCestobligadoadesplazarseenladirecci6nnon, normalaBe.Ahorabien.,epertenecetambinalachapaS1 y,por lodicho,est otiligadoadesplazarseenunadirecci6nperfectamenteesta-blecida.PerolaexistenciadelapoyofijoenA ,obligaalpuntoea desplazarsetambin segnlanormalaAC,resultando,enconsecuencia, fijo.Esdecir,queaJosdelasustentacindelachapa51'laSz secomporta comounabielade direccinse, otambincomounapoyo m6vilaplicadoeneydedireccinnormalaBe.Igualrazonamiento podemoshacerparalachapaS2'paracuyasustentacinlaexistencia. delaS,equivaleaunapoyomvilaplicadoene,dedirecci6nm-m normalaAe.Enltimainstanciatenemosqueenelpuntoe aplicadosdosapoyosmvilesficticios,equivalentesaunofijo,tambin ficticio,coincidentecon'C,porloqueestepuntoresultfijo. Alestudiarlachapasimpleisostticamentesustentadamedianteun apoyofijoyotrom6vilvimosque,sila aesteltimopasapor laarticulacinfija,existevnculoaparente.Enconsecuencia,enelarco atresarticulaciones,paraqueexistavnculoaparente,esnecesarioque elapoyom6vilficticioaqueequivalelaexistenciadeunadelaschapas conrespectoalaotrapaseporlaarticulaci6nabsolutadeesta1tima. Paraqueelloseaposibleesnecesarioquelastresarticulacionesseen-cuentrenalineadas,comomuestralafigura6.40 b.Delanlisisdela mismasurgequee'lpuntoe,comnalasdoschapas,esmvil,por cuantoexistenaplicadosalmismodosapoyosmvilesficticios,dedirec-cionescoincidentes,permitiendoasidesplazamientoldeeenladirec-ci6ndelosmismos. Enconsecuencia,sededucelasiguientecondici6n:paraqueenun arcoatresarticuladonesnoexistavnculoaparenteesnecesarioque1M articulacionesnoseencuentrenalineadas. Paraladeterminaci6ngrficadelasreaccionesdevinculodeun arcoatresarticulaciones,seprocededelamanerasiguiente:Supuesta descarlitadalachapaS2delsistemadelafigura6.41,equilibramOsla resultanteRdelasfuerzasexterioresactivasaplicadasenS,condos fuerzas:una,dedireccines,esdecir,normalalapoyom6vilficticio aplicadoenealachapaS"ylaotra,definidaporelpuntoAyel deinterseccinMdelasrectasdeacci6ndeR Ylareacci6nenel apoyom6vilficticioene.LaprimeradeellasactaenelapoyofijoB yla segundaenelaplicadoenA,Y correspondenrespectivamentealas reaccionesde vnculoparciales yoriginadasexclusivamentepor lasfuerzasaplicadasenlachapaS 1.encontrndosedescargadalaS2' LOSSISTI!.MASPLANOSVINCULADOS ". J Fi:;. 6.41. Determinadasestasprimerasreaccionesparciales,descargamoslachapa S,ysuponemos cargadalaS .DescomponiendoahoralaresultanteR delasfuerzasexterioresactivasaplicadasen5 ten 'lasdireccionesAN yB Nobtendremosdoscomponentesque,cambiadasdesigno,corres-ponden alasreacciones parciales enAyB,R;'YR'respectivamente, originadasporelsistemaPi 'cuandosuponemoscargadalachapaS,y descargadalaS,.Trazandoahoraenelpolgonodefuerzas,porelex-tremodelvectorrepresentativodeR; unaparalelAalvectorrepresente-tivodeR:',yporel origendeesteltimootraparalelaaldeleprim'!ra, obtenemoslosvectoresrepresentativosdelasreaccionesparcialescorres-pondientesacadaapoyo,ubicadosunoacontinuacindelotro.Deesta manerapodemossumarlosgeomtric3mente.obteniendoaslosrepresentativos delas reacciones totalesR4y R"que nosla nten-300EQUIUBRIOD& CUe:JIPOSVINCULADOS6 sidad,direccinysentidodelasmismas. . TrazandoporAyBpara-lelasadichosvectoresobtenemoslasrectasdeaccindelasreacciones buscadas,con10quequedacompletamenteresueltoelproblemadesu determinacin. Lasintersecciones delas rectas de accindeR.yR .con las corres-pondientes aRyRJdeterminanrespectivamente dospuntosEyF, que debenencontrarse alineadosconlaarticulacinrelativaC.Enefec_ to,laresultante deR.yR debepasarporE,Y lade yRJdebe hacerloporF.Porotraparte, elequilibrio delsistemaexigequelasdos resultantesdebentenerlamismarectadeaccin,igualintensidadysen-tidoscontrariosy,adems,debenpasarporC.Enconsecuencia,lanica posibilidadde que e1losecumplaesqueE,eyFseencuentrensobre unamismarecta.LaintensidadysentidodelafuerzaT,resultantede lasfuerzasqueactanalaizquierdadelaarticulacine,estndados enelpolgonodefuerzasporelvector2 - 4,correspondiendoelvector opuesto4-2,alaresultante- Tdelasfuerzasqueactanaladerecha deC.Dichasfuerzascorrespondenalareaccininternadelaarticula-cinrelativae,cuyainterpretacineslasiguiente:Teslafuerzaque esnecesarioaplicaralachapa paramantenerlaenequilibriobajola accindelsistemaP isisuprimimoslachapaS" , Anl ogamente,- T eslafuerzaquecorrespondeaplicaralachapaSIsisesuprimelaS" o s, s, A y Fi:;. 6.42. LOS8tSTZMASPLANOSVINCULADOS Ladetermi naci6nanalticadelasreaccionesdevncutoessimple, ysereducealplanteodecuatrocondicionesdeequilibrio,lasmismas utilizadasen'laresoluci6ndelascadenascinemticasestudiadasenel pargrafoanterior. Consideremoselsistemadelafigura6.42,referidoaunpar de ejes coordenados.Ponemosenevidencialasreaccioneseligiendocomoincg-nitaslascomponentesdereacci6nsegnlasdireccionesdelosejescoor-denados,yplanteamosdosecuacionesdeproyecci6nsobrelosmismos,y dosecuacionesdemomentos.Unadeestasltimascorrespondeala ecuaci6ngeneraldemomentosenqueintervienelatotalidaddelasfuer-zasexterioresactivasyreactivas,yparalaqueelegimoscomocentro demomentoselpuntoA,poranularseconrespectoalmismolosmo-mentosdeH.yV .IgualmentepodrahaberseelegidoelpuntoB. Laecuaci6nrestantees laqueestablece elequilibriorelativo entre ambas chapas,yexpresa quelasuma de losmomentosdelasfuerzasque actan aunouotroladodelaarticulacinedebesernulaconrespectoala misma.Enconsecuencia,teridremos: - . 1) _O ,- , 2) O ,-, 3) [sen cp (z,,- - z}- coup(y"- y, )] + , + l:p,.[sen q (z",- z, )- cos qJ(Y"- YJ)] + [6 .20] ... + V b(z ..- z". )-Hb(YA-YB );:::O 4)PJ. ( sen qlJ(zo - z, )- cos ql(YC - y ) 1 -.. , Lasecuaciones3)Y4)constituyenunsistemaparticulardedos ecuacionescondosincgnitas:HbyV b.Resueltaslasmismaseintro-ducidoslosva loresobtenidosenlas1)y2),esposibledespejardirec-tamenteJosvaloresdeH.yV . Consideraremosacontinuacin,paraelarcoatresarticulaciones,e1estadoparticulardecargas.constituidoporunsistemadefuerzasPI aplicado enlachapaSI(figura6.43)Y otroPIenlachapaS 1 'cuyas respectivasresultantestenganlamismarectadeaccin,igualintensidad ysentidoscontrarios. 302 z A. EQUILIBRIODE CUERPOSVlNCVLAD08 e __I?i s, Fi.6.43. BR 8 o y Alplantearlascuatroecuaciones de .equilibrio, elegimos como centro demomentosparalacondicingeneraldemomentosalpuntoBY. adems,t eniendopresent.eelTeoremadeVarignon,reemplazamoslos sistemasp yPJpor susrespectivasresultantesR YR , . Comoconsecuenciadeello,lasecuacionessesi mplifican,porcuanto, alserigualeslasproyeccionesdeR ,yR ,susproyeccionesseanulan mutuamente.Adems,lasumadelosmomentosdedichasresuttantes, esnul arespecto de cualquierpuntodelplano,porlaraznindicada.En consecuencia,la expresindelas ecuaciones de equilibrio ser lasiguiente: 1) 2) 3)l: 4) Ha + Hb =O Va + V b= O V . (zB-z .. ) - H/I '(YB- Y");:::0 VA,(zc-z.. )- H . (yc- Y ..)+ +- z)- - Y )];:::O Discutiremosacontinuaci6nlasecuaciones[6.21]conelobjetode llegaraalgunaconclusi6nrespectodelasreaccionesdevnculo. Delas1)y2)obtenemosrespectivamente: } [6. 22] Sielloocurre,existen las siguientesPosibilidadespara lasreaceioo_ devinculo: a)QueR..yR.constituyanunpardefuer%8& b)Queambasreaccionestenganlamismarectadeaccin,igual intensidadysentidocontrario.Eneste casola rectadeaccinresultarla serlaquepasaporAyB. e)Quelasdosreaccionesseannlas. La terceraecuacin nos dice que elmomentodeR.respectodeB esnulo,conloquequedadescartadalaposibilidada).,porcuantoel momentode unparesconstanteconrespectoaunpuntocualquierade suplano.Finalmente,laecuacin4)expresaqueelmomentodeR. respectodeedebeseropuestoaldeRrespectodelmismopunto. Comoeste1.timomomentonoeanulo,quedaasdescartadalaposibi. lidad e).En consecuencia,cuando un arco atres articulaciones se encuen. tracargadoenformatalquelasresultantesdelasfuerzasqueactan enunayotrachapatenganlamismarectadeaccin,igualintensidady sentidos contrarios,lasreaccionesde vnculoestarn asu ve.tconstituidas pordosfuerzasdeigualintensidad,sentidoscontrariosycuyarectade accincomnquedadeterminadaporlospuntosenqueseencuentran aplicadaslasarticu'lacionesfijas.Estaconclusi6nseextiendetambim alcasoenquelosdossistemasdefuerzassereduzcanasendospares defuerzas,opuestos. 6. 1 . 12.Cadenascinemticasdetreschapas. Lascadenascinemticasdetreschapasrequieren,parasusustenta-cin,c ~ n c o(Xmdicionesdevnculo,distribuidasenformatalque ninguna delaschapasposeamsdetrescondicionesabsolutas. De acuerdoconladistribucindelosvnculosentrelastreschapas, puedenpresentarseloscincocasossiguientes(figura6.44): a)Tres condicionesde vnculoen unachapa extrema. una en la cen-tralyotraenlarestante. b)Dos condicionesde vnculo enunachapaextrema,dosenla cen-tralyunaenlarestante.," 304 A 'w.---(e) A (e) A KQUILmRlODI!: Ct1E.RPOS VINCULA.DOS S3 o M------------------, ,S2\/-----s,S3 B S2 s, S3 s, 53 s, 53 7 1LOSSISTEMASPLANOSVINCULADOS30S e)Trescondicionesd,evnculoenunachapaextrema,ninguna.en lacentralydosenlarestante. d)Trescondicionesdevnculoen lachapacentralyunaencada unade las extremas. e)Doscondicionesdevnculoencadachapaextremayunaenla central Laresolucingrficadelcasoa),essimilaralacorrespondienteal casoa) del pargrafo 6.1.10.En efecto,lachapaS,se encuentra fijada en tierramediantelaarticulacinNyelapoyomvilD:Halladaslas reaccionesDyNoriginadasporelsistemadecargasaplicadoenla chapaSa ,lasegwtdadeellas,cambiadadesentido,corresponderala acci6nejercidapordichachapa' sobrela Compuestaconlaresul-tantedelascargasqueactUanensta,obtenemosunanuevaresultante queoriginareaccioneseneyM.Estaltimareacci6n,cambiadaasu vezdesigno, laaccinque,sobrelachapaS"ejercenlas actuantessobre ySa ,accinque,compuestaconlasfuerzas aplicadasenS"nospermitedeterminarlasreaccionesenAyBen laformaconocida. Elcasob)seresuelvedeterminandoprimeramentelasreacciones eneyNoriginadasporlascargasaplicadasenSs .Cambiandoel sentidoalaltimadelasreaccionesmencionadas,obtenemoslaaccin quelascargasactuantesenSsejercensobrelaS2'Finalmente,elcon-juntodelaschapasS1yS2seresuelvecomoWlarcoatresarticula-ciones,enlaformavistaen6. 1 . 11 . Elcasoc)difiereWltanto delosanteriores.En' efecto,elconjWlto delaschapasSzySI 'articuladasentresienN.poseedosarticu-ladonesfijasatierra:C.apoyofijoyMarticulacinaWlachapa fija,laSI"Enconsecuencia,configuraunarcoatresarticulaciones. ResueltoelsistemaS2.Ss.lacorrespondientereaccinenM,cam-biada de signo,corresponder ala accintransmitida aSIpor las fuerzas aplicadas en SJ'Ss ,yque corresponde considerar como una fuerzaexte-rioracomponerconlasdirectamenteaplicadasenS"Finalmente,las reaccionesenA:)[ Bdeestaltimachapa,sedeterminanenlaforma conocida. Enelcasod)sedeterminanenlaschapasextremas,articuladasen MyNysimplemente apoyadasenAyDrespectivamente,lascorres-pondientesreaccionesde vnculo.Cambiando el sentidode lasreacciones enMyNobtenemoslasaccionestransmitidasalachapaS2porlas chapasvecinasquecorresponde considerar, como sehadicho,comofuer-zasexterioresaplicadasenS2'Finalmente,ladeterminacindelasre-accionesdevinculoenByeseefectaenlaformacorriente. 306EqUILIBRIODI!: CUERPOSVINCULADOS6 Elcasoe)esderesolucinuntanto mslaboriosaporcuantono existeenlacadenacinemticaningunachapaqueposeatrescondiciones devnculodirectasatierra.Porestarazn,desarrol1aremosenforma detalladaladeterminacindelasreaccionesdevnculo,medianteun Seala cadenacinemticaisostticamente sustentada de la figura 6.45,enlaquelaschapasSl.S,YSaseencuentransolicitadaspor R' Fi.6.45. LOS8IST1tMASPLANOSVINCULADOS307 tressistemasdefuerzas,cuyasrespectivasresultantes-llamaremosRI I Rt ,YR a Ladeterminacingrficadelasreaccionesdevnculoseefectaen formasimilaralautilizadaparaelarcoa tresarticulaciones:sesuponen sucesivamentedescargadasdosdelaschapas ycargadalarestante,deter-minndoseencadaCasOreaccionesdevnculoparcialesque,sumadas,en virtuddelprincipiodesuperposicindeefectos,nospermiteobtenerlas reaccionesdefinitivas. ComenzandoporlachapaS),debemosanalizarpreviamenteen quformaseencuentrasustentada.Lamismaposeeunapoyofijoen A.Porotraparte,labielaNC(chapaS1)yelapoyomvilBcon-figuranunapoyolijo ficticioenF,paralachapaqueconelpunto M,articulacinrelativaentreS!yS),definenunapoyomvilficticio paraestaltimachapa,aplicadoenM.Enconsecuencia,descompo-niendoR IenlasdireccionesAEyEM,cambiandoelsentidoa dichascomponentes,obtenemoslasreaccionesenAyMdebidasaRt. LareaccinenMconcurreenFconlanormalalapoyomvilBy labielaNC,por10que,descomponindolaendichas direcciones,obte-nemoslasreaccionesR;Y . PasandoaconsiderarlachapaS2'vemosqueseencuentrasusten-tadaporunapoyomvilBylasdosbielasA MYC N.Enconse-cuencia,descomponiendolaresultanteRtdelasfuerzasexterioresapli-cadasadichachapaenlas direccionesdelasbielasmencionadasydela normalalapoyomvilBobtenemos,unavezcambiadoelsentido delas mismas,lasreaccionesparciales YParala descomposicin anteriorsehautilizadocomorectaauxiliardeCulmannlaGG'. Finalmente,operandoconlachapaelprocesoessimilaraluti-lizadoconlachapaSI'Enefecto,lachapaS: .poseeunapoyomvil enBylabielaAM.AmbasdeterminanunapoyofijoficticioenG I puntoque,unidoconlaarticulacinrelativaN,defineladireccinnor-malaunapoyomvilficticioaplicadoalachapaS,enN.Descom-poniendoRoenlasdireccioneseHyNH,Y cambiandoelsentidoa estascomponentes,obtenemoslasreaccionesenCyNoriginadaspor Estaltimareaccin,descompuestaasuvezenlasdireccionesB.G yAG,nosdeterminalasreaccionesparciales yR;'.Finalmtmte, componiendoencadaapoyolasreaccionesdevnculoparcialesobtenidas en'laformaindicada,obtenemoslasreaccionestotalesdevnculo(en lafigura6 . 45hemosprescindidodelacomposicinfinalindicada).Co-mocontroldebe'tenersequelasreaccionesdefinitivasRA,'RBYR e debe'nformar,conlasresultantesparcialesR.,R2YRs ,unpolgono defuerzasCi!rrado. 08 Ladeterminacinanalticadelas reacciones de vnculodelacadena cinemticadetreschapasisostticamentesUstentadasignificalareso-lucindeunproblemadecincoincgnitas,una porcada reaccinocom ponentedereac:cin.Paraelloesnecesario'plantearcincoecuaciones entrelascincoincgnitasmencionadas,'10quesiempreesposible.En efecto,elsistemaconstituidoporlas fuerzasexteriores,activas yreactivas, debeencontrarseenequilibrio.Deahquecondicionesnecesariasy suficientesparaasegurardichoequilibrio,nosproporcionentresdelas cincoecuacionesnecesarias.Lasdosrestanteslasobtenemosalplantear lascondicionesparticularesdeequilibriorelativoentrelaschapas,yse traducenendosecuacionesdemomentosrespectodelasdosarticula-cionesintermedias,enlas que intervienen exclusivamente lasfuerzas,acti vasyreactivas,ubicadasaunouotroladodedichasarticuls.ciones. DichasGumasdemomentosdebennecesariamentesernulaspues,delo contrario,noexistiraequilibrio.LlamandoenformasimblicaHalal proyeccioneshorizontales,tantodelasfuerzasactivascomodelasreac-cionesincgnitas,yValascorrespondientesverticales,elsistemade ecuacionesaplantearparacualquieradeloscasose)a),serelai-guiente: l;H -O l;V= O l;M' -O[6.231 l:M;- =O l:M;= O dondeM'cbrrespondealasumadelosmomentosde todaslasfuerza. exteriores,activasyreactivas,respectode unpuntocualquieradelplanoi Mi,a-ladelosmomentos de las fuerzas de laizquierdadeMrespecto dedichopunto,yM:aladelas ubicadasaladerechadeNecnr. pectoalmismo.El ordenenqueconvengaresolver1.. (atintasecuaclo-nesdepende,encadacaso,delaubicacinydistribucinde '101vinculo. entrelasdistintas chapas,aefectosde el problema de la deter-minacindela.incnitaa. 6.1..15.Cadenucinem4ticasdem detreschapas. Ladeterminacin de las reaccionesde vinculosen101si.tema.tituidosporm detreschapas,noofrecemayoresdificultad... LOSSISTEMASPLANOSVINCULADOS309 . En 10queserefierealadeterminacingrficadelasreacciones,el procesooperativo essimilaralanalizado enlos pargrafosanteriores. Encuantoa11aresolucinanalticadelproblema,comohemosvisto, consisteenplanteartantasecuacionescomoincgnitaspresenteelpro-blema.Paraunacadenacinemticaconstituidapornchapas,quere-quiereparasufijacinatierralaimposicinden+ 2condicionesde vnculo,laexistenciade estosltimosimplicalanecesidad dedeterminar n+ 2reaccionesincgnitas,loquerequiereelplanteoden+ 2ecua-cionesentre stas ylasfuerzasexterioresactivas.Ellosiempreesposible. Enerecto,elequilibriodelsistemadefuerzasexterioresactivasyreacti-vasexigealasmismaselcumplimientodetrescondiciones,loquenos permiteelplanteodetresecuaciones.Siendonelnmerodechapas, existirnsiempren- 1articulacionesintermedias.Comoelequilibrio relativoentrechapasexigequelasumadelosmomentosdelasfuerzas ubicadasaunouotroladodecadaarticulacin 'seanulaconrespectoa lamisma,podremos,enconsecuencia,plantearn- 1ecuaciones deeste tipo,que sumadas alastresanterioresnoscompletanelnmeronecesario paraqueelproblematengasolucin. 6. 114.Cadenascinemticascerradas_ Enlos anterioresnoshemosocupado delanlisis delequi-librioydeladeterminacindelasreaccionesdevnculooriginadaspor fuerzasaplicadasencadenascinemticasconstituidasporunaseriede chapasarticuladasentres,peroen,lasquelaschapasextremasslo10 estabanaunachapa,mientrasquelasintermediasloeranados.Tales cadenascinemticassedenominanabierl88,encontraposici6nalascade-nascerradas.Entenderemosporcadenascinemticascerradasaquellas cadenasenquesuschapasextremassearticulanentres.Resultaas quelatotalidaddelaschapasqueintegranlacadenaseencuentran articuladasadoschapasvecinas. Alestudiarlosgradosdelibertaddeunacadenaabierta,vimos quesunmeroeraden+ 2,siendonlacantidaddechapas.Por otraparte,sabemosqueunaarticulacin,fijaorelativa,siempreres-tringedosgradosdelibertad.Enconsecuencia,siarticulamosentreslas chapasextremasdeunacadenaconstituidaporndeellas,obteniendo unacadenacerrada,elnmero degradosdelibertaddeestaltimaser igualal de "laabierta que laoriginamenos larestriccindebida ala articu-lacin entre chapas extremas, es decirn+ 2_2= n_En otras palabras, 310KQUILlEIRlOPECUERpOSVINCULADOII6 el nmero de 1rados de libertad de una cadena cinemtica oo"ada e.si1ual alnmerodechapasquelainte1ran. Consecuentemente,parafijaratierraunacadenacinemticacerrada denchapas,sernecesarioimponerlencondicionesdev.nculo,distri-buidasenformatalqueningunachaparesultevinculadaatierrapor msdetresdeellas. Lacadenacerradamssimple eslaconstituida por slotreschapas, figura6.46,queposeetresgradosdelibertad,esdecir,elmismonmero queunachapaaisladaenIII plano.Enconsecuencia,unacadenacerrada detreschapassecomporta,desdeelpuntodevistacinemtica,como unachapargida.Parafijaratierraestacadena ser necesarioimponerle trescondicionesdevnculolasque,deacuerdoconlaformaenquese encuentrendistribuidas,conducenalassiguientesvariantesencuantoa lasustentacin;figura6.46a,b,c. Ladeterminacin de lasreaccionesde vinculo en unacadena cerrada detreschapas,solicitadaporunsistemadefuerzasexteriores,noofrece mayoresdificultades,tantosiselaencaraporprocedimientosgrficos comoanalticos.En- efecto,siendotreselnmerodeincgnitasadeter-minar,elproblemaencaradoenformaanalticaseresuelvemedianteel planteodelasecuacionesderivadasdelascondicionesgeneralesdeequi-libriode108sistemasplanosdefuerzasaplicadosacuerposrgidos,ya quelacadenasecomportacomotal.Encuantoalasolucingrfica,es la correspondiente ala chapasimple,sustentada mediante tres condiciones devinculo,porloquenoentraremosenmayoresdetalles. ocuparemos acontinuacinslodelacadenacinemticacerrada decuatrochapas,porcuantoelestudiodelasdemayornmerodeellas escapa,porsucomplejidad,alosalcancesdelpresentecurso. Siendocuatroelnmerodegradosdelibertaddelacadenacerrada decuatrochapas,ser necesarioimponerlecuatrocondicionesdevnculo parasustentarlaisostticamente.Deacuerdoconlanaturalezadelos id)(b)( e ) LOSSISTEMASPLANOSVINCUL.UlOS311 apoyosquematerializanlosVnculosyasu entre lasdistintas chapas,resultanJosca.sossiguientes: a)Tres condicionesen unathapa yuna en una chapa adyacente. b)Tres condicionesenuna chapa yuna en otra no adyacente. e)Doscondicionesen unachapa ydosen otraadyacente. d)Doscondicionesenunachapaydosen otra no adyacente. El)Doscondicionesenunachapayunaencadaunadelaschapas adyacentes. f)Doscondicionesen otraenlanoadyacente. N unachapa,unaenunadelasadyacentesy Fil.6.47. m Unacondicindevnculoencadachapa. Lafigura6.47muestraenformadetalladalosdistintosasosde sustentacindescritos. Delossietecasosindicados,losseisprimerosadmitenunasolucin directa,seagrficaoanaltica,mientrasqueelltimos610esresoluble enformaindirecta,comoveremosmsadelantealtratarloendetalle. Analizaremosa continuacin,paracadaunodeloscasosindicados, R, ---R,', s, ladeterminacindelas reaccionesdevinculo originadasporcar81 aplicadaten1..diltin-taschapas. ,q,Casoa). - Supon-gamoslacadenaeme-mticacerradadelafi-ura6.48,aujetaala accindefuerzascuya resultantesencadacha-pa seanR 1 ,R, R.Y R .Laschapas51y S.,articuladasentreti enMysustentadas mediantecuatrocondi-cionesdevnculo,cora.-Fi,.6.48.tituyenunsistemaisos-tticamentesustentado. En consecuencia, puntosNyTsern fijos,yelconjunto dela. cha-pas5,y56secomportarcomounarcoa.tresarticulaciones.Deter-minadaslasreaccionesdelmismoRNyR",estasfuerzas,cambiadu desentido,constituyennuevascargasexterioresparaelaiatema51 S. que,sumadasgeomtricamenteconR2yR 1 respectivamente, conducen alasresultantesdefinitivasR:y . LadeterminacindelasreaccionesdevinculoRA RB YRoes inmediata, tanto grficacomoanalticamente,por constituir elrrismocaso analizadoenla figura6.36 paralacadena cinemticadedoschapas. Casob).-En estecaso,elconjuntodelaschapasS S.yS., figura6.49,secomportacomounacadenacinemAticaabiertadetres chapas,condoscondicionesdevinculoencadaunade 'laschapasexU&-mas(puntosMyT,fijosporperteneceraunachapafija)yunaen lachapaintermedia.La determinacin delasreaccionesenM.CyT seefectaenlaformaindicadaparaelcaso$)delparlP"afo6.1.12. LOSSlST&MASPLANOSVINCULADOS313 Q s, R, -R, Filoti.4P.Fir.ti.50. CMOe). - ElconjuntodelaschapasSIyS2constituyeunarco atresarticulaciones(figura6.50).Enconsecuencia,lospuntosNyT sernfijosyelsistema formadopor5 ,y5,constituir,asu vez,otro arcoatresarticulaciones.UnavezdeterminadasreaccionesRNy R'rdeesteltimoarcoatresarticulaciones,lasmismas,cambiadasde .igno, se consideran como fuerzaserleriores aplicadasalsistema51 - S,, ladeterminaci6ndecuyasreaccionesesinmediata. Casod) . - Paraladeterminacindelasreaccionesdevnculoco- . rrespondientesaeste caso es necesarioconsiderar dos variantes:19)cuan-do las fuerzasexterioresactivasactanenchapas vinculadas directamente atierra,y29)cuandolasmismas seencuentranaplicadasenchapas"jn vinculacindirectaatierra. En elsistemade lafigura6.51 a,parala determinaci6n de las reac-cionesdevnculo,supondremosprimeramentedescargadaslaschapas5, yS,ycargadaslasdosrestantes. LaschapasSsyS"alosefectosdelasustentacindelasotras doschapas,secomportancomodosbielasdedireccionesMNyQT respectivamentelasque,asuvez,equivalenaunaarticulaci6nrelativa ficticiaAl,. ,ubicada enlainterseccin delasmismas.EnelconjuntodelaschapasS1.yS.secomportarcomounarcoatres articulaciones,cuyasreaccionesenAyB.determinadasenlaforma conocida,constituyenlasreaccionesparcialesdebidasexclusivamentea lasfuerza.aplicadas enS1yS. .Analizaremosacontinuacin laforma dedeterminar 'lasreaccionesde vnculo enAyBdebidas alas fuerza. actuantesUllasdoschapasrestantes. Paraello,seconsideranindependientementelasaccionessobrecada chapa.sumndoseluegolasreaccionesparcialesasobtenidas.Enla ,. . 314 figura6.51 b ,hemossupuestocargadalachapaS2ydescargadala S..Describiremosacontinuacinelprocesooperativo,queessimilar paralasituacininversa,esdecir,cuandoseencuentracargadalachapa S.y laSI Iporlo quenoslimitaremosalprimercaso. s, Fil,6.51. Enprimertrmino,analizarenqu fonnase 'IachapaS"esdecir,cmo sematerializanlas tresnes necesariasparasusustentaci6n. LOSSfS1'EMASPLANOSVINCULADOS315 LachapaS,se articulaenMyNconlasS1yS. ,respectiva-mente.AlestarestasltimasarticuladasatierraenAyB .podemos admitirdosbielasAMyB No,loqueesequivalente,dosaPoyosm6-vilesficticiosaplicadosenMyN,dedireccionesrespectivamente normalesalasdelasbielasmencionadas. Porconsideracionesanlogasllegamosalaconclusi6ndequela chapaS.poseedosapoyosm6vilesficticiosaplicadosenQyTde direccionesnormalesaB QyA Trespectivamente,equivalentesaun apoyofijo,tambinficticio,aplicadoenK.Porotrapar te,laschapas S,yS.seencuentranarticuladasentresporlaarticulacionrelativa ficticiaA2. .que,conK ,defineparalachapaS2unapoyoinvilfic-ticionormalaKA2 ,queconstituyelaterceracondici6ndevnculode dichachapa. Halladosaslostresapoyosmvilesficticiosquesustentanlachapa S"sernecesarioequilibrarlaresultantedelasfuerzasexterioresapli-cadasenlamisma,R" mediante-tresfuerzascuyasrectasdeacci6n seanAM,B NYK Al...Las dosprimeras nosdan reaccionesparciales enAyB ;finalmente,descomponiendolaterceraenlasdirecciones AKyB K ,obtenemosdosnuevasreaccionesparcialesque,sumadas geomtricamentealasanteriores,nosdanlasreaccionesbuscadas. Cssoe). - Ladeterminaci6ndelasreaccionesdevnculoeneste casoresultauntanto ms laboriosa,siendonecesariocargar sucesivamente cadachapaydeterminar,en cadacaso,laformaenquelachapacargada seencuentrasustentada.Unavezconocidoslostresvncul os,realeso ficticios,seprocede ahallarlasreaccionesenlosmismos.Acontinuacin. lasreaccionesenlosvnculosficticiossedescomponenenlasdirecciones quepermitierondefinirlosyqueconcurrenalosrestantesvnculosreales delsistema,obtenindoseaslasreacci onesenlosmismos.Enlafigura 6.52 a,byc,sehanconsideradolastresposibilidadesdistintasde cargaquepresentaestecaso,indicndoselasconstruccionesquepermiten determinarlosvnculosdelachapacargada,encadacaso.Noseha procedidoaindicarlossucesivospasosdedescomposicindefuerzas,por susencillez. Casof). - Estecasoessimilaralanterior,yseresuelveenforma anloga,porloquenoentraremosenmayoresdetallesalrespecto. Csso~ ) .- Comodijramosanteriormente,ladeterminacindelas reaccionesdevnculodeunacadenacinemticacerradadecuatro chapas conunacondicindevnculoencadaunadeellasycargadaenforma cualquiera,no admite solucin directa.Pararesolverelproblemaesnece. 3 ' 0EQUIUBRJO DE CUERPOS _VINCULADOS K ..--'\", ----\"------ N , ,--',,"'-'''''' \~ B \ \' N (C) , \ , M Fic.6. 51. (b) o I.08IIS'l'IEMAIPLA.NOSVlNcut.A.DOS311 sariorecurriralasoiuci6nindirectadeHenneberA",porcuanto, alno existirningnpuntoinmovilizadomediantevnculosdirectosatierra,es imposibleestablecerlosvnculosdecadachapa. LasolucinindirectadeHennebergpermiteencararendosformal distintaslasolucin del problema.La primera de ellasopera manteniendo cerradalacadenacinemticayenlasegunda,seabrelacadenay ' se agreganlascondicionesdevnculoexigidasporlosgradosdelibertad conferidosalsistemaaldesarticularlaschapas. Consideraremoslaprimeraformadeencararlasolucindelproble-ma.Sealacadenacinemticacerradadecuatrochapasdelafigura 6.53 a,con ..unacondicindevnculoencadachapa ycargadaconfuer. zasexteriore.cuyasresultantesparacadachapasonRl'"R, . R,'n , "J (O) Pi,.6 . .53. Suprimamosunocualquieradelosapoyosmviles,elBporejem-plo.Lacadenacinemticaadquiereconelloungradodelibertad.Para fijarlanuevamenteyrestituirelequilibriodebemosimponerotracondi-cindevinculo,loquehacemosagregandoenotracualquieradelascha-pas,la51porejemplo,unapoyomvilenE. Elsistemaassustentadocaedentrodeunodeloscasosanalizados anteriormente,loquenospermitedeterminarlasreaccionesdevnculo correspondientesalnuevo sistema, que denominaremossistema indicandolasmagnitudes correspondientes al mismoconelTendremosasl,paracadaapoyomvil,unareaccindebidaalasfuerzi!-' exterioresp"quedenominaremosen(armagenricaR[C')-"Latolud6nIndiTectadaHenneberha.idodMarrolladaori,ineriemant.p .... lar .aluel6nd.c..oeparticular..d. pleno.oesp.dal. 318aQUlLlIIRlODECuuPosVlNct1l.ADOS , Enespecial,paraelapoyoEquehemosagregado, 1areaccinser R;(, .DescarguemosahoraelsistemayhagamosactuarenByenla direccindelareaccincorrespondientealapoyosuprimidounafuerza unitariaypositivaU.Dichafuerzaoriginarenlosdistintosapoyos Re.}y,enespecial,enelapoyoagregadoE,unareac-cinR:(.) .hacemosactuar simultneamenteambos estados decarga, elPIyelU,por elprincipiode superposicin de efectos,lasreacciones sernigualesalassumasdelascorrespondientesalosestadosparciales decarga,esdecir [6.24] y,enespecialparaelapoyomvilE, [6.25] Sienlugardelafuerza,hacemosactuarenBunafuerzade X (kg) ,lasreaccionesdebidas alasmismassern igualesa "lasoriginadas porUmultiplicadasporX,esdecir [6.26] ytambin R.= R;c.+ X [6.27.] Entrelosinfinitosvaloresque puedetomarXhabrunoqueanule laecuacin[6.27], esdecir,queresulte R.= O.[6.28] Pero, sisecumple la[6.28],noesnecesarialaexistencia delapoyo mvilenEparaasegurarelequilibrio delsistema,elqueseencontrar enlascondicionesprimitivas,esdecir,contresapoyosmvilesenA,e yDYun(uerzaXaplicadaenB,cuyarectadeaccincoincide conladelareaccinR..Estafuerza,enconsecuencia,serlareaccin devnculoenB>Y8Uvalorloobtenemosdespejndolodela[6.27] iualada acero: [6.29J LOSSISTEMASPLANOSVINCULADOS Finalmente,paraobtenerelvalordefinitivodelasreaccionesres-tantes,bastaintroducirenla[6.26]elvalorde. Xdeducidodela (6.29],tenindoseas: [6.30] Lasegundaformadeencararlasolucindelproblemaconsiste,como dijramos,enabrirlacadena.Conellose confierealamismadosgrados de libertad,por lo que se hace necesario agregar doscondicionesdevinculo externopararestablecerelequilibrio. Enlacadenacinemticadelafigura6.54,unavezquitadalaarti culacinM,esposiblerestablecerelequilibrioaplicandoacadauna delaschapasdesarticuladaslasreaccionesinternasUy- Uquese \(;) \\;/(C) -V Fil.6.54. 320EQUlLlBRIODECUEiU'OSVINCULADOS6 transmitenatravsdelaarticulacinrelativa.Conocidasstas,ladeter-minacin delasreacciones. en lacadena cinemtica abierta, conlosvncu-losoriginales,esinmediata. Paradeterminarelvalordela:reaccininternaenlaarticulacin relativaMseprocedeenlaformasiguiente:abiertalacadenayagre-gadoslosapoyosmvilesEyF,secalculanlas reaccionesdevnculo debidasalascargasexterioresactivas,obteniendolosvaloresgenricos Rt(.)y,enespecial losvnculosagregados,.. )y..) . LuegosesuponelareaccininternaenM,descompuestaendos componentesortogonales,yseaplicansucesivamenteenMyenlas direccionesdelasmismas,dosfuerzasunitariasU,.yU"'unavezenla chapaS,yotravezenlachapaS::.Paracadaconjuntodedosfuerzas sedeterminanlasreaccionesdevnculocorrespondientes,cuyasexpresio.. - -nesgenricassonR yR y,enespecialparalosapoyosEyF: R ".R,R.R"-11 ( 0 );h'(o) ;1'(0)Y' (0) ' Si en lugar de lasfuerzasunitariasUI yU"hacemos actuar fuerzas X(kg)Y(kg)respectivamente,las correspondientesresul-tarndemultiplicarlasdebidasaUIyV"poraquellosvalores. Cuandoactensimultneamentelostresestadosde cargaPI J X Y,lasreaccionesde vnculo se obtendrncomo sumade losvalorespar-cialesdeterminados,esdecir: [6.31J y,enespecial,paralasreaccionesenEyF [6 .32J Delosinfinitospares de valoresdeXY,habr uno que anule simul-tneamentelasdosecuaciones[6 . 32].Entalcasosetendr: Rs=R,=O;[6.33J es decir, que elequilibrio se lograpara un par de valores deXYque haceninnecesarialaexistenciadelosapoyosmvilesEyF.Encon secuencia,dichosvalores deXYcorrespondenalascomponentes de lareaccininternaenlaarticulacinrelativaM. 2LOSSISTEMASUPAClALl;SVINCULADOS 32. Despejadoslosvaloresmencionadosdelasecuaciones[6.32]igua. ladas8ceroeintroducidose'lla[6.31],obtenemosdirectamentelos valoresdelasreaccionesdevnculoenloscuatroapoyosmvilesque sustentanelsistema. 6. 2.Lossistemasespacialesvinculados. {) . 2. 1 .Gradosdelibertaddeunslidoenelespacio. Consideremos,figura6 . 55,unpuntomaterialque,referidoauna ternadeejes%.y,2pasadeunaposicininicialAaotrafinalB . Estaltimaposicinque-daperfect amenteestable- z cidacuandoseconocen tutrescoordenadasx", YIlYquedefinenla posicindelpuntomate-rial.Luego, unpunto ma terialenelespacioposee trescoordenadaslibres -y, enconsecuencia,tresgrao dos dalibertad. Supongamos ahora un slidomaterializadopory elcubo delafigura6 . 56, x, 0.. ____ _ x-referidoalaterna;r:,y,Fi&- 15 . .5.5.z,yadmitamosqueel mismohapasadodeunaciertaposici6ninicialalafinalindicadaenla figura.Vnpunto delslido, por ejemplo el vrticeA.queda determinado cuandoseconocensustrescoordenadasr A,YAYZA.Paraotrode lospuntos,comoserelB,s610nos es posible fijardos de suscoordena-I , " , 322EQUILlBIUODI:CUI:RPOSVINCUt..AOOS , das,porejemploXII YII ,porcuantoladistanciaaentreAyB debepermanecerinvariableporlacondicinderigidezquevinculaambos puntos.LaterceracoordenadadeBestligadaalasanterioresporla relaci n (X"- X/f) ;: + (Y.,- + (z., - ZIl) 2=[6.34) Esdeci rqueparafijarlaposicinenelespaciodedospuntospertene-cientesaunmismocuerporgido,slodisponemosdecincocoordenadas libres,enlugardelasseisque,consideradasindependientemente,posean enconjunto.Esdeci rquelacondicinderigidezrestringeungradode libertad. z Vigo 6.56. Sea ahorauntercer puntoC.Por pertenecer almismocuerpor gido seencuentraligadoalospuntosAyBporlacondici 6nderigidez, q ueexigequelasdistanci asACyBCpermanezcaninvariables.Es decirque,delast rescoordenadaslibresqueposee,consideradoindepen-dientemente,lascondicionesdeinvariabilidaddelasdistanciasmencia--nadasfijandos,restndolesolamenteunalibre.Enconsecuencia,para fijarlaposicinenelespaciodetrespuntospertenecientesaunmismo cuerporgidodisponemosdese;3coordenadaslibres.Perositrespuntos , LOSSISTEMASESPACIALESVlNCtlLADOl '" de un slidosonfijos,ste tambinloes.En efecto, cualquier otropunto queconsideremospertenecientealmismoslidotienesuposicinperfec-tamente definida,por cuanto susdistanciasalostrespuntos mencionados soninvariablesporlacondicinderigidezy,enconsecuencia,noposee ningunacoordenadalibre. Deloanteriorconcluimosqueuncuerporgidoenelespacioposee seisvados delibertad. 6.2.2.Vinculacindeslidosenelespacio. Siqueremosfijaruncuerporgidoespacialsernecesariorestringirle latotalidaddesusgradosdelibertad,imponindoleunnmeroigualde condicionesdevnculo.. Alanalizarlasustentacindeunachapaplana,distinguimostres clasesdevnculos,denominadosdeprimera,segundaoterceraespecie, segnrestrinjanrespectivamenteuno,dosotresgradosdelibertad.En elcasodelslidoenelespacio,anlogamente,podemosconsiderarlos sieuientesvnculos: a)Deprimeraespecieoapoyosuperficial.Restringeungradode libertadypuedeestarconstituidoseaporunabjela(figura6.57 a)o bienporundispositivodeapoyo,deformatroncopiramidal.apoyadoso-breunplano coninterposicindeunsistemadeesferas,yque ensu parte superiorsevinculaconelcuerpoalcualsustentamedianteunartula (figura6.57 b).Estetipodevnculoimponea lpuntodelcuerporgido enelqueestaplicado,lacondicindemoversesobreunplano,circuna-(al Fi,.6.57. -oun.mRIoD&ctnRPOSVlNCUL0\D08 tandastade ' dondeprovienesudenominacin.Ensielapoyo deprimeraespecie estconstituidoporunabielaaplicadaenB(figura 6.57 a)yarticulada atierra enA ,para desplazamientos finitos,el punto BestobligadoamoversesobreunaesferaderadioAB .Pero,silos desplazamientossoninfmitsimos,enellmite,elmovimiento deBdrlugar sobreunplano ,tangntealaesferaendichopunto ynormala AB.Cuandoelvnculo10constituye eldispositivodeapoyode lafigura 6.57 b,elpuntoBtendrelmovimientodeesteltimo,elque,como esfcildever,necesariamentedebeserparaleloalplanoydeapoyo. Enamboscasoselmovimientodelpunto enqueestaplicadoelvnculo tienelugarsobreunplano.Ambasformasdesustentacinrestringenun gradodelibertadporcuantoimpidenelmovimientosegnABenel primercaso,ynormalmentealplanoyenelsegundo. b)Desegundaespecieoapoyolineal.Estevnculorestringedos gradosdelibertad,ypuedematerializarseseamediante dosbielastrentesaunpWltodelcuerporgidoalqueseencuentranaplicadas, figura6.58 a,obienporeldispositivodeapoyodelafigura6.58 b, similarenuntodoaldelafigura6.57 b, salvoqueenlugardeapoyar sobreun'sistemadeesferas,lohaceporinterposici6ndeunasucesi6n derodillosparalelos. Fig.6.58. Ladenominaci6ndelinealprovienedelhechoque,enamboscasos, seimponealpuntoenqueseencuentranaplicadoslaobligaci6ndedes-plazarseunarectaperfectamentedefinida. Enefecto,sielapoyodesegundaespecieestconstituidopordos bielasconcurrentes,cadauna deeUasimponealpunto enque se traaplicadalacondici6ndedesplazarsesobreunplanonormalasu direccin.Luego,lanicaposibilidadquelequedaalpuntoeslade moversesobreunarecta,interseccindeambosplanos.Dicharectaes, LOS81STBMASESPACLU.ZSVlHCULADOS '" asuvez, normal alplano definido por lasbielas.Si, en cambio,elvnculo estconstituidoporeldispositivodeapoyodelafigura6.58 b,elpunto Bdelmismodeberdesplazarsejuntamenteconelcuerpodeldisposi-tivo,elque,porlaexistenciadeltren de rodillos, debe hacerlo en la direc-cinnon,comcidente conladerodamientodeestosltimos. Ambas(ormasde sustentaci6nrestringendosgradosdelibertad,por cuantoimpidenlosdesplazamientosdelpuntoB,alquesehallanapli-cadas,endosdirecciones.Enelcasodelasdosbielasconcurrentes,el puntoBnopuedemoverseenlasdireccionesASyBey,parala segundaformadesustentacin,eldesplazamientonopuedetenerluiar nienladirecci6nnormalalplanodeapoyo,nitampocose(nlasgene-ratricesdelosrodillos. e)De terceraespecie,denominado tambinapoyo fijo ortula.Ma-terializadoencualquieradelasdosformasquemuestralafigura6.59; estetipodevnculorestringetresgradosde libertad. En efecto,sielvnculoestconstituidoportresbielasconcurrentes yno ooplanares(figura6.59 a), elpuntoB,alcualse encuentranapli-cadas,resultaconsustresgradosdelibertadrestringidosy,enconse-cuencia,esfijo,restandoalcuerpo rgidoalcualpertenece solamentetres gradosdelibertad.Anlogamente,enel caso delafigura6.59 b, enque I I I (d) Fi,.6.S9. elvinculoestconstituidoporundispositivodeapoyosemejantealos delasfiguras6.57Y6.58,conlasoladiferenciadequelabasedesu cuerpoestrgidamenteligadaatierra,elpuntoBresultafijo. d)Decuartaespecie.Esta(armadevinculaci6n,utilizadaprinci-palmenteenMecnicaAplicadacomoelementodesujeccindemeca-nismosyelementos de mquinas,restringecuatrogradosdelibertad.Un ". EQUILI8RIOD ~CUERPOSVINCULADOS ejemplodelamismaloconstituyenloscojinetes-gua,quepermitengiros ydesplazamientosenelsentidodelasgeneratricesdelosmismos,impi-diendotodootromovimiento. e)Dequintaespecie.Restringecincogradosdelibertady,como losanteriores,sondeaplicacinenmecanismosyelementosdemquinas; comoejemplodelosmismoscitaremosloscojinetesdeehlpuje,ques6lo permitengiros. f)Desextaespecieoempotramientosespaciales.Restringenseis gradosdelibertadalimpedirtodomovimientoalcuerporgidoalcual seencuentranaplicados. Enloquesigue,utilizaremosexclusivamentevnculosdeprimera, segundayterceraespeCIes,porserlosqueseutilizannormalmenteenla sustentaci6nde loselementos constructivos de que seocupalaEstabilidad delasestructuras. 6.2.11.Elslidoisostticamentesustentado. Hemosvistoqueunslidoposeeseisgradosdelibertadyque,en consecuencia,parafijarloen tierra es necesarioimponerle seiscondiciones devnculo. Consideremoselcuerporgidodelafigura6.60ycomencemospor fijaratierraunpuntocualquieradelmismo,porejemploelA.Para B Fil{.6.60. ellobastaraplicarenelmismotres bielasnocoplanaresque,enconjunto, constituyenunvinculodeterceraes-pecie,querestringetresgradosdeli-bertad.Silastresbielasfuerancopla-nares,elpuntopodradesplazarseen direcci6nnormalalplano definidopor lasmismas,existiendo enconsecuencia unvinculoaparente. Fijemosahoraunsegundopunto B.Paraellonosbastarimponerle s6lodoscondicionesdevnculoexter-no,porcuantoeltercero,necesariopararestringirlesustresgradosde libertad,seencut:ntraimplcitoenlacondicinderigidezquelovincula alpuntoA:ladistanciaABdebepermanecerinvariable.Estasdos condicionesdevnculoexternolasmaterializamosmediantedosbielas aplicadasenB,que nodeben sercoplanaresconlarectaA Bpues,de serlo,Bpoddadesplazarsenormalmentealplanodelasmismas. , LOSSlSTEMASESPACIALESVlNCUUDOS Fina lmente,fijandountercerpuntoC .elslidoquedaasuvez fijadoatierra,porcuanto,deserfi jostrespuntos,10estambincual quierotropuntopertenecientealmismocuerporgido,porestarligado alosanterioresporlacondicinderigidez. Parafijarestetercerpuntobastarimponerlesolamenteunacon-dicindevnculoexterno,materializadaenlafigura6.60porunabiela. Lasdosrestantescondicionesnecesarias,surgendelacondicinde rigidez, que exigelainvariabilidaddelasdistanciasACyBe.Esevidenteque estaltimabielanodebesercoplanar conlasrectasACyBeporque, deotromodo,elpuntoeserasusceptibledeexperimentardesplaza-mientosdedireccinnormalalplanoABe. Lasustentacindelslidoquenosocupapodramoshaberlareali-lizadoenformadistintaalaenunciada.Enefecto,noesnecesarioque tresdelasseisbielasnecesariasconcurranaunpunto.Enelcasodela fi gura6.61a,lasustentacinsehalogradomediante seisbielas,aplicadas dosadosentrespuntosdist intosy,paralasituaci6ndelafigura6.61 b , empleando seisbielas,ubicadasen seisdisti ntospuntosdel s6lido.Aparte delosindicados,existentodaslasvariantesposi blesint ermedias. Enelprimercasodesustentacinanali zado,separtedeunpunto fijadoatierraenformadirectaysi,paralasrestantesbielas,nose cumplenlascondicionesdecoplanaridadindicadasaltratarlo,noexiste Id) lb) Fill:.6 .61. vnculoaparentey,enconsecuencia,elslidoseencuentraisosttica-mentesustentado. Enloscasosdesustentacinenquenoexisteningnpuntounidoa tierramedianteunvnculode terceraespecie,nopuede asegurarse apriori , sielsistemaseencuentraisostticamentesustentadoosihayvnculo aparente.Paraestablecerlaexistenciaonodeestaltimaposibilidad, nosvaldremosdelsiguientecriteriogeneral: En un slido wstGntado atierra mediante seis bie/&!hay vnculo apa-renta cuandoexiste unarectaquecortalasseisbielas. Lajustificacindeestecriteriogeneralsebasaenlascondiciones deequilibriodelossistemasgausosdefuerzas.Sicargamosunslido conunafuerzaPyponemosenevidencialasreaccionesdevinculoX, correspondientesalasseisbielas,tendremosunsistemadefuerzasno concurrentesenelespacioP,X"X ... XIquedebeencontrarseen equilibrio.Enelcaptulo3vimosquelasnecesariasysufi-cientesparaelequilibriodeunsistemagausodefuerzaseranseis,yque podanexpresarsemedianteseiscondicionesde.nulidaddemomentos respectodeseisejes,delosquetresnodebanserconcurrentes.Si existeunejequecortalasrectasdeaccindelasseisreaccionesincg-nitas,dehecholosmomentos destasrespectodelejemencionadoresul tannulos.P ero.como1arectadeaccindePnocortaeleje, sumo-mentorespectodelmismoesdistinto deceroy,enconsecuencia,unade ", Fi,.6 .62. lascondicionesdenulidaddemomentosno secumple,por loquenopuedeexistirequi-librio. En elcaso delafigura6.62elsistema noseencuentraisostticamentesustentado. Enefecto,el eje n-n, comoesfcilobservar, cortalasdireccionesdelasseisbielas,exis-tiendoconello,ydeacuerdoconelcriterio generalexpuesto,vnculoaparente. Attuloilustrativomencionaremosel casoquemuestralafigura6.63.Setrata deunslidovinculadoatierramediante seisbielas,concurrentestresa,tresalos puntosAyB.Deacuerdoconlodicho anteriormente,hayvinculoaparente,por cuantoexisteuneje,elAH,quecortalasseisbielas.Paraunafuerza talcomolaP ,ladeterminacindelasreaccionesdevnculoconstituye unproblemaindeterminado.Noobstanteello,existenposicionesdeter-minadas delafuerza,quetransformanelsistemadehipostticoen hiper-esttico,porvnculoexterno,otambin,quepermitenladeterminacin delasreaccionesdevnculo.Elprimercasose presentacuandolarecta LOSSISTI!:MASESPACLU.J:SVINCULADOS deacci6ndelafuerzaexterior activacortaeleje(fuerzaP' delafi gura6 .63).Entalcaso existeequilibrioporcuanto,con respectoalejeAH.secumple lacondici6ndenulidaddemo-mentos,peroladeterminacin delasreaccionesdevnculono esposiblerealizarlautilizando solamentelasecuacionesderiva-dasdelascondicionesdeequi-libriodelossistemasgausosde fuerzas,siendo,enconsecuencia, Fia;.6.63. '" elsistemaestticamenteindeterminado.Encambio,silafuerzaexterior activaocupaunaposici6ntalcomolapn,resultaevidentequelas reaccionesenlastresbielasconcurrentesenAsonnulas,ylascorres-pondientesalastresbielasrestantes,fci lmentedeterminables,reducin-doseelaldeladescomposici6ndeunafUerzaentrescompo-nentesconcurrentes. Elcasoexplicadoesun casomuy especial,ylascircunstancias apun-tadassepresentancuandoelslidoseencuentrasolicitadoporunanica fuerzaoporunsistemadefuerzasconcurrentes.Enelcasomsgeneral de un sistema de fuerzasno concurrentes, salvo circunstancias muyparticu-lares,ladeterminaci6nde las reaccionesde vnculoconduce aun problema indeterminado. Paraunslidosustentadomedianteseisbielas,existirunejeque cortelatotalidaddelasmismas,enlossiguientescasos: a)Si cuatro .(0 ms) delasbielas ooncurren aunpunto.En efecto, siempreserposibletrazarporelpuntodeconcurrenciaunarectaque seapoyesobrelasdosrestantes. b)Si cuatro(o ms) de lasseis bielas son ooplanM9S.Las dosbielas restantescortan,enestecaso,elplanoquecontienealasotras,endos puntosquellamaremosMyN.Larectadeterminadaporlosmismos escoplanar cOnlascuatrobielas .queyacenenelplanoconsideradoy,en consecuencia,las corta.Ycomo por otra parte cortalas dosno coplanares, cortalasseis. c)Cuando las seis biellJSconcurrentres atres adospuntos.La recta definidaporlospuntos deconcurrenciacortalasseisbielas. d)Si1Mseisbielasyaoentresatresen dosplanos.Laintersecci6n de losdosplanos defineunarectaque corta lasseisbielas,por pertenecer alosdosplanos. 330EQUlLt8RtODE CUERPOSVJNCULAOOS 6 .2.4 .Determinacindelasreaccionesdevnculoenel espacio.Solucin analtica. Ladeterminaci6ndelasreaccionesdevnculodeuns61idocargado constituyeunproblemadeseisincgnitas,unaporcadareacci6nocom-ponentedereaccin. Un vnculo deprimera especie, si est constituido por URllbiela, puede reaccionarnicamenteenladireccindelamismaoendireccinnormal alplano deapoyocuando seutilizaundispositivodeapoyoaesferas.En cambio, paralosde segundaespecie,lareaccin debe encont rarse contenida enelplanodelasdosbielasqueJoconstituyeno,deutilizarseundispo-sitivoarodi llos.enelplanoparaleloalasgeneratricesdelosmismos. Finalmente, los apoyosde terceraespecie ortulas,reaccionan en cualqui er direcci6n. Puestasenevidencialasreacciones,elsistemadefuerzasexteriores, activasyreactivasdebe encontrarse enequil ibrioyparaello,portratarse deunsistemagausodefuer zas,debercumplirconlascondicionesnece-sarias ysuficientes establecidas en elcaptulo 3, paraesta clase desistemas defuerzas. Delasdistintasformasenque sepuedenexpresarlascondicionesde equilibriomencionadas,lamsconvenientedesdeelpuntodevistadesu aplicaci6neslaquelohacemedianteelplanteodeseisecuacionesde momentorespectodet resejesentrelasseisreaccionesinc6gnitasylas fuerzasexter ioresactivas. Estaformade encararelproblemaconduce,engeneral,aunsistema deseisecuacionessimultneasconseisinc6gnitas.Laresoluci6ndeun sistema como elindicadoresultauntantolaboriosa,por locualconvendr, entodosloscasos,encararlaeleccinde losejesconrespectoaloscuales setomanmomentosenformatalquese. anulenalgunosdestos. Elidealserapoderubicarejesquecortarancadavezcincodelas seisrectasdeacci6ndelasincgnitas,demodotalque,alplantearla correspondienteecuaci6ndemomentos,seanularantodosellosmenoslos correspondientesalasfuerzasexteri oresactivasyauf,lade l asreacciones inc6gnitas.De serellofactible,elsistemadeseisecuacionessimultneas setransformaraenotro deseisecuacionesindependientes,conunaincg-nitacadauna,deresolucininmediata.Elloesposibleenciertoscasos, peronoengeneral. , LOSSI!::TI':M...SESPACIALESVINCULADOS331 Cuandonoesposiblehallarejesquecortencincode1asseisrectas deaccindelasincgnitas,elproblemaadmit eunasimplificacinmenor, queconsisteendeterminardosejesquecortencuatrodelusrectasde accindelBSincgnitas.Enestaformaseobtiene un sistemadedos ecua7 cion2scondosincgnitas,quenospermite determinar dosdelasseisreac-ciones,asX ,yX.,por e jemplo.Eligiendoacontinuacinotroparde ej es.quecortenlasrectasdeaccindelasincgnitasyadeterminadasy lasX3 yX "podemoshallar,mediante elplanteo deunsistemade dos ecuacionescondosincgnitas,losvaloresdeX .yX e Finalmente,un tercerpMdeejesquecortelasrectasde accindeX"X .,.X , yXe , nospermitedeterminarenformaanlogalosvaloresdeX 3 y Estasolucinsiempreesposibleporcuanto,dadasseisrectasnoca-planares,existensiempredosejes (luecortancuatro de ellas.Parademos-trarelenunciado anteriorpartimosdelhp.cho de quetresrectasalabeadas unhiperboloidedeunanapa.Consideremos,figura6.64,lastres directricesa,bycyunarectacual-quieram-m,quecortarlasuperficie delhiperboloideendospuntosAyB. Peroporcadaunodeestospu.ntosp.-::.sa unageneratrizdelhiperboloideque,por tal,seapoyarsobretresdirectri-cesyademscortarlarectam-m,es decirquecortacuatrorectas. Conelobjetodeaclararloscon-ceptosexpuestosanalizaremosloscasos delafigura6.658.Yb.ElprimeroFig.6.64. deellosserefiereaunslidocargado m conunafuerzaPysustentadomedianteseisbielasdelascualeslasA F yBFconcurrenalpuntoF,YlasBGyCGlohacenaG.Las doscondicionesdevnculorestpntesestn constituidasporlasbielasAD yA E,aplicadasenlospuntosDyErespectivamente. Paradetermi ml rlp-,sdevnculoplanteamos seisecuaciones demomento,respectodeseisejes,entrelafuerzaPylasreacciones incgnitasX i .Conelobjetodesimplificarlasecuaciones,tratemosde hanarejesquecortencincodelasr.eisdireccionesdelasincgnitas. ElejeI-Icumplecondichacondicin,porsercoplanarconlas bielasAD,AF,BF,BGYCG ..Enconsecuencia,tomandomomen-tosrespectodelmismodespejamosdirectamentelaintensidaddelareac-cincorrespondientealabielaA E.Anlogament.e,elejeU-Ilresl.llta ser coplanarconlasbielasAD,AE,AF,BFYca(conestaltima porserparalela).Delacorrespondienteecuacindemomentosobtene- DE CUERI"OSV/!'IIJJIAOOS ( b ) ....}(/ B IV Fig.6.65. p 6 maselvalordelareaccinenladireccindelabielaBG.Untercer ejequecortacincorectaseselllI.Ill, quepasaporelpuntodeconcu-rrenciadeAD,AEyAFytambinpor eldeBFyBG.Mediante unaecuacindemomentosrespectodelmismo,obtenemoslareaccin correspondienteaCG.Conrespecto aleje IV -IV, definidoporlospun-tosAya, se nulanlosmomentos de lasreaccionessegnAD,AF, AE,BGYCG.10quenospermitecalculardeinmediatoelvalorde lareaccinsegnB F. Paraladeterminacindelasdosreaccionesrestantesnoesnece-sarioencontrarejesquecortencincorectas,' lasque,porotraparte,no sonyadefcildeterminacin.Eligiendocomoeje demomentoselV-V, conrespectoalmismoseanulanlosmomentosdelasreaccionesA F, B F,B GYC G,apareciendoenlaecuacinloscorrespondientesa P,ADYAE.Pero, siendo conocidalaintensidaddeAE, la ecuacin , LOSSISTEMASItSPAct.\lZSVINCULADOS333 contienecomoincgnitanicamentelareaccinAD.Finalmente,to-mandomomentosrespectodeVI - VI,resultannuloslosdeBG,CGy AE.eintervienencomoelementosconocidosloscorrespondientesaP, ADYB F,10quenospermitedespejarelvalordeAF. Elcasod; lafigura6.65 bcorrespondeaunaplacatriangular,sus-tentadamedianteseisbielasconcurrentesdosadosalospuntosD,E YF,YcargadaporlafuerzaP.Enestecasonoexisteningneje quecortecincobielas.Debemos,.pues,encararlasolucintomandomo-mentossucesivamenterespectodeparesdeejesquecortencuatrobielas-Eleje1-1,definidoporlospuntosEyFcortalasbielasAF.CF, BEYCE.Adems, eleje 11-11,porser coplanarconlasbielasAFy e FporunaparteyconlasB EYe Eporotra,cortalascuatro.En consecuencia,tomandomomentosconrespectoadichosejesobtenemos unsistemadedosecuacionescondosincgnitas,quesonlasreacciones correspondientes alasbielasA DyBD.Anlogamente, los ejes nI- Ill yIV-IVporunaparte,yV-VyVI _VIporotra,nosconducenasiste-masdeecuacionesenque lasincgnitasson,respectivamente,AFyCF yBEYCE.Enestaformaquedacompletamenteresucitoelproblema deladeterminacindelasreaccionesdevnculo. Comocadacasoconstituye,eogeneral,unproblemaparticular,al plantearlasecuacionesderivadasdelascondicionesdeequilibrio,deber analizarsequformaconvienedarlealasmismas,esdecir,sitodaslas condicionesseexpresancomocondicionesdemomentos osiconviene que algunaloseaenformadeecuacionesdeproyeccin. 6.2. 5 .DeterminacingrficadelasreaccionesdeVlculoenelespacio. Ladeterminacindelasreaccionesdevnculodeunslidoisost ticamentesustentadotienesolucingrficadirectacuandounodesus vnculosesdeterceraespecie,esdecir,sielslidoposeeunpuntofijado directamenteatierraportrescondicionesdevnculo. Consideremoselslido delafigura6.66 conunartulaenA(tres bielasconcurrentes),una.bielaenBydosbielasconcurrentesenC. Supongamosquesobreelmismoacteunsistemadefuerzasnoconcu-rrentesen elespacio.En primer lugar, para poder operar en formagrfica con elsistema de fuerzas,sernecesarioreducirlo.Vimosenelcaptulo3 lasdistintasformasdereducirunsistema.gausodefuerzas.Deentre ellas,lamsconveniente anuestrospropsitosesla que reduceelsistema adosnicasfuerzasnocoplanares.Supongamosque,operandodeesta manera,hemos.reducidonuestrosistemaalasfuerzasRyR'.Las 334EQUlLlDRIODE CUERPOSVINCULADOS reaccionesde vnculodefinitivassernlasumadelasoriginadaspor cada unadeestasfuerzas.Enconsecuencia,operaremosconunadeellas,la R.prescindiendodehacerloconlaR',porcuantoelprocedimiento essimilar. Unafuerzaenelespacioesposibledescomponerlaentrescoml>-" nentesconcurrentesaunpuntodesurectadeaccin,yquenosesn coplanares.Eligiendo sobrelarectadeaccindeRunpuntocualquiera Fill:.6 . 66. M,estepunto,unidoconA.ByCdefinetresrectasconcurrentes enMy,por10tanto,podemosdescomponerRenlastresdirecciones indicadas.Cambiandoelsentidodeestastrescomponentestendremos tresreaccionesquedenominaremosR:\ , yDeestastresre-accionessolamentelaprimerapuedeserabsorbidadirectamenteporel vinculoytransmitidaatierra,porcuantounaarticulacinfijapuede reaccionarencualquierdireccin.Noocurrelomismoconlasrestantes. LapodrlaserabsorbidaporlabielaaplicadaenBnica-mente sisu direccincoincidieraconlade esta ltima,cosaqueengeneral noocurre.Enconsecuenciasernecesariodescomponerlaasuvezen trescomponentes, delascualesunadebeserladelabiela.ylasrestantes lasdelasbielasficticiasAByBC ,cuyaexistenciaderivadelacon-dicinderigidezquevinculaelpuntoBconAyC.Lacompon'ente segnAB,R;,esabsorbidadirectamenteporlaarticulacinA.En cambio,enC,tanto comoR ;:nopuedenserloporlasbielas concurrentesenC.salvoqueambasresultasencoplanaresconlasmis-2LOSSISTEMASESPAClAlZSVINCt1LADOS 335 mas.Enconsecuencia,sernecesariohallarlaresultantede yYdescomponerlaasuvezenlasdireccionesdelasbielasconcurrentes eneylabielaficticiaA e . Finalmente,laresultantedelastresreaccionesparciales R; YR::- constituyelareaccintotalenA que,descompuestasegnla di reccindelastresbielasqueconcurrenadichopWltO.nospermite lasrestantescomponentesdereaccin. 7.Sistemas dereticulado. 7.1.Lossistemasdereticuladoenelplano. 7.1.1.Definiciones. Enloquesiguedenominaremosbarraatodachapacuyadimensin transversalseapequeaenrelacinconsulongitud,demodotalque puedarepresentrselaporsueje(figura7.. 1). / / / / / / /( b ) / A Fig.7.1. / BB ce ) A Siimaginamosunaharralibreenelplano,lamismaposeertres gradosdelibertad,losmismosdelachapadelaquederiva. ConsideremosahoradospuntosAyB(figura7.2 a), unidosentre smediantelabarraA B.Supongamos aplicadasenAyBdosfuerzas opuestasPy- Pcuyarectadeaccincoincidaconelejedelabarra. Portratarsedeunsistemanuloaplicadoaunmismocuerporgido,el sistemaseencontruenequilibrio.Siahorasuprimimoslabarraque vinculalospwltosAyB,stos,alencontrarse sometidos alaaccinde lasfuerzasPy-P,tendernadesplazarseenladireccindelasmis-mas,esdecir,sehabrrotoelequilibrio.Pararestituirloencadauno delospuntos,sernecesarioaplicaralosmismosfuerzasP' =-Py - P' =-(-P)=Pque,conlasanteriores,constituyanasuvezsistemas 338SIST&MASDI!: RETlCULADO7 nulosaplicadosaambospuntos(figura7.2 b).Estasnuevasfuerzas, quereemplazanensusefectosalabarraAB,ensuconjuntosedeno-minanesfuerzointernoenlabarra 0,ms simplemente, esfuerzo enbarra. Cuandolasfuerzasexterioresquesolicitanalabarratienensentidos divergentes,originanenlamismaunesfuerzointernoquesedenomina esfuerzodetraccinyquesematerializamediantedosfuerzasquese alejandelosextremosdelabarra(denominadosnudos).Talelcasode p A (di -p B Fil.7.2. P /'A p ~ - p /o....(C) lafigura7.2 b.Encambio,silasfuerzasexterioresaplicadasenlabarra tienensentidosconcurrentes,losesfuerzosinternosdesarrolladosenla mismaserndecompresin,ysematerializanmediante~ o sfuerzasque .concurrenalasnudos(figura7.2c). Porconvencin,designaremoscomopositivCMlosesfuerzosdetrac-cinycomonellativosalosdecompresin. 7 . 1 .2.Sistemasde ' reticulado.Sugeneracin. Supongamos,figura7.3 a,tresbarrasarticuladasentres,demodo queconstituyanunacadenacinemticaabierta,concincogradosdeliber-tad.Siarticulamosen,treslasdosbarrasextremasrestringiremosenel conjuntodosgradosdelibertad, 'alquelerestarnentoncess610tres, comportndosecomounanicachapargida. Hemosllegadoasalaconclusindequeuntringuloformadopor tres barrasrgidasarticuladasentresporsus extremossecomportacomo unanicachapargidaeindeformable. Siadoscualesquieradelosvrticesdeltringuloasobtenido,les articulamosdosnuevasbarras,elresultadoserunanuevacadenacine-mticadetreschapasconcincogradosdelibertad.Articulandoentres losextremosdelasdosbarrasagregadasaltringuloprimitivo,restamos LOSSISTEMASDE. nnCULADO ENltl.PLANO "9 d . ~ ' b b (b) (a) b b d d d (e)e (o ) e F i ll:.7 .3. alconjuntodosgradosde libertad, conloque elsistemaresultante poseer nicamentetres,esdecir,secomportarcomounachapargida.Pro-siguiendoenestaforma;esdeci r,agregandoparesdebarrasarticuladas entresyavrticesdeltriangulado,obtendremosloquesedenominaun sistemadereticulado.Lafigura7.4muestradosejemplos:elcasoa Id)(b) Fia:.7 . 4. constituyeloqueseconocecomotrianAuladosimple,ysugeneracin resultade .agregarunnuevopardebarrasadosnudosovrticesconse-cutivos.Encambio,elcasobconstituyeunreticuladocompuesto,por cuanto,comoesfcildeobservar,laharTam- nvinculadostriangul ados simpleS,Tigidosindependientementeyarticuladosentresienelnudob. 340SISTEMASDE R&TTCtJLADO 7 7. 1 .3.Condicinderigidez.Relacinenueelnmerodebarrasyde vrtices. Enelpargrafo anteriorvimosque,paragenerarunreticuladoplano, partamosdeuntringulorgido,constituidoportresbarrasytresvrti-ces. 'alquebamosagregandoparesdebarrasque,alarti cularseentres, ori ginabanunnuevovrtice.Sillamamosnelnmerodeparesde barras que seagreganal tringuloprimitivo, elnmerototaldebarrasser b=3 +2n.[7 . 1J Comocadapardebarrasdaorigenaunvrtice,elnmerodestos ser: v=3 + n.[7.2J Despejandondela[7.2]Y reemplazandoenla[7.1]setiene: b=3 + 2(v - 3)=2v-3.[7 . 3J Laecuacin[7. 3JcorrespondeBlacondicinderiAidezdeunre-t iculadoplano,queestablece,paraqueunreticuladoseaest rictamente indeformable,queelnmerodebarrasdelmismodebeserigualaldoble delnmerodevrticesmenostres. Estacondicinderigidezesnecesaria,peropuedenosersuficiente silad istribucindelasbarrasnoeslaconveniente. Enelcasodelafigura7.5 a , elreticuladocumplelacondicin[7.3) y,el)consecuencia,esr gidoeindeformable.Perosisuprimimoslabarra F, F G G e B A (b) E Fia:. 7.5. l..OS SISTI:MASOERItTICUl..A. DO ENIt!.PUNO341 BGYlareemplazamosporlaAE ,lacondicinb =2v - 3seguir cumpl indose,peroelsistemanosermsindeformable.Enefecto,con lasustitucindebarrashemostransformadoelsistemaenunacadena cinemticadedoschapaseneconcuatrogradosdelibertad, unomsdelosquecorrespondenaunachapargida.Porotraparte,la chapaA,B,. ..,E ,nocumple independientemente conlacondicin f7 . 3).Enefecto,siendocincoelnmer