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Fluidos: hidrodinâmica
Física
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Fluido Ideal em Movimento
Considerando o fluido: • Incompressível
• Não-viscoso
• Com temperatura constante
e o fluxo: • Estacionário (velocidade e pressão num dado
ponto independentes do tempo)
• Laminar (não-turbulento)
• Irrotacional (sem vórtices)
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Compressibilidade
atmp 100≈Δ%3,0003,0 3 →≈Δ
cmg
ρ
Densidade da água do mar vs profundidade
y < 1000 m:
y > 1000 m:0≈Δρ
(Picnoclina)
y
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Viscosidade
• Ex.: A velocidade de aglutinação de 2 gotas de um líquido depende da sua viscosidade.
• É equivalente ao ATRITO
• Sem VISCOSIDADE = = Sem dissipação de energia
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Turbulência
LINHA DE CORRENTE: É a trajetória de um pequeno elemento do fluido
Fluxo laminar: Linhas de corrente não se cruzam
Fluxo turbulento:
Cruzamento de linhas de corrente
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Fluxo Ideal
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Fluxo irrotacional
O fluxo é irrotacional se a integral da velocidade ao longo de uma trajetória fechada no fluido for nula.
Velocidade de escoamento do fluido:
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Equação da continuidade
tLA
tLA
tV
tm
Δ
Δ=
Δ
Δ=
Δ
Δ=
Δ
Δρ
ρρ Fluxo de massa
Δ
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Caso Geral:
Vazão ou Fluxo de massa
Equação da continuidade
Avtm
ρ=Δ
Δ
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=Δ
Δ=
Δ
Δ=
tV
tlAvA 11
111Vazão:
222111 vAvA ρρ =
1lΔ
2lΔ
.222 CteAv
tVvA ==Δ
Δ=
Equação da continuidade
• Massa que entra é igual a massa que sai.
Ou (mais geral):
(Fluidos incompressíveis)
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Exemplo: Fluxo sangüíneo
a) RV = Av = 2×10-4 m2 ×0,35 m/s = 7×10-5 m3/s
Suponha que o sangue flui através da aorta com velocidade de 0,35 m/s. A área da seção reta da aorta é de 2 x 10-4 m2.a) Encontre a vazão de sangue;b) Os ramos da aorta se dividem em dezenas de milhares devasos capilares com área de seção reta total de 0,28 m2. Qual é a velocidade média do sangue nesses vasos?
m/s 105,2m 0,28
/m 107v 42
35
c−
−
×=×
=s
cccc AAvvvAAv =→=b)
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Equação de Bernoulli
VpdtvApWVpdtvApWΔ−=−=
Δ==
22222
11111
)()(
Trabalho realizado para mover o fluido:
2p
1p
dtv1
dtv2
VΔ
VΔ
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)Físico e Médico Holandês
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Trabalho total realizado ao longo do tubo:
Teorema trabalho-energia:
)()(21
1221
2221 hhgvvpp −+−=− ρρ
Equação de Bernoulli
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cteghvp =++ ρρ 2
21
...ao longo de uma linha de corrente ou escoamento
)()(21
1221
2221 hhgvvpp −+−=− ρρ
Equação de Bernoulli
22221
211 2
121 ghvpghvp ρρρρ ++=++
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Escoamento horizontal: cteh =
CABCABCAB pppvvvAAA =<→=>→=<
Equação de Bernoulli
AvCv
Bv
BBCCAAV vAvAvAR ===
222
21
21
21
BBCCAA vpvpvp ρρρ +=+=+pois:
ctevp =+⇒ 2
21ρ
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Fluxômetro de Venturi
Mede a velocidade de escoamento de um fluido
CABCABCAB pppvvvAAA =<→=>→=<
A CBv
cteghvp =++ ρρ 2
21
BBCCAA vAvAvA ==
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Sustentação aerodinâmica
cteghvp =++ ρρ 2
21
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Efeito Magnus
Bola com o efeito de força vertical:
+ =
F
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Exemplo: Eq. de Bernoulli
22221
211 2
121 ghvpghvp ρρρρ ++=++
P2=?
cteghvp =++ ρρ 2
21
)()(21
2122
2112 hhgvvpp −+−+= ρρ e m/s 11,25 1
2
12 == v
AAv
kPa 6,42 =pLogo:
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Exemplo: Eq. de Bernoulli
A1 A2
Δp
A1 = 1,2 x 10-3 m2; A2 = A1/2; ρ = 791 kg/m3; Δp = 4120 Pa, Rv= ?
ghvpghvp ρρρρ ++=++ 222
211 2
121
)(21 2
12221 vvpp −=− ρ
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Fluidos reais
Lei de Newton da Viscosidade:
1cp = 10-2 Poise = 10-3 Ns/m2
Fluxo laminar com VISCOSIDADE
Ad
x
y
z 0=v
• Placa superior em movimento; • Placa inferior parada
η : coeficiente de Viscosidade
Fluido entre duas placas:
Gradiente de velocidades:
Unidade:
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Lei de Poiseuille
)(4
)()( 2221 rRLpprvz −
−=
η
Vazão: 421
8)( R
LppV π
η−
=
Fluido Viscoso Força: diferença de pressão para manter fluxo
Perfil de Velocidades:
TUBO CILÍNDRICO
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Turbulência
Previsão de Turbulência:
Cilindro de diâmetro D
Número de Reynolds: Re
!!"
#$$%
&=
η
ρvDRe
• Velocidade e pressão num ponto variam no tempo;• Fatores: Velocidade do fluido, viscosidade, densidade, obstáculos.
2000Re ≥
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