OPERACIONES UNITARIAS 1 

PROF. PEDRO VARGAS UNEFM 

DPTO. ENERGÉTICA Disponible en: www.operaciones1.wordpress.com 

FLUJO COMPRESIBLE  2.1 Consideraciones básicas y relaciones P‐V‐T Al considerar el movimiento de un fluido compresible a lo largo de  una  tubería  horizontal,  es  de  hacer  notar  que  si  se experimenta un cambio de presión a lo largo de su trayectoria, por efecto de la perdida de energía por fricción, la densidad del fluido deja de ser constante. Esto  le otorga un carácter especial a este  tipo de  flujo que  lo diferencia  de  una  manera  clara  de  lo  estudiado  en  flujo compresible a través de la ecuación de Bernoulli. Por  ejemplo  la  ecuación  de  continuidad  escrita  en  estado estacionario  entre  los  puntos  1  y  2  (Figura  1),  establece  lo siguiente: 

 Figura 1. Flujo compresible a través de una tubería horizontal 

 

S

.

E

.

mm           (1)  Flujo másico de entrada es igual al flujo másico de salida, lo cual escrito en función de sus variables constituyentes  

SE VAVA          (2) 

 Si la tubería es de sección transversal constante, entonces:  

GVV SE         (3) 

G:  Flujo másico por unidad de área de flujo 

sm

kg2

 

 El producto ρV es conocido como el flujo másico por unidad de área.  Es  de  hacer  notar  que  ahora  el  producto  VA  (flujo volumétrico), ahora varia a lo largo de la tubería por efecto de la expansión del gas. Antes de  seguir en análisis de  las ecuaciones  involucradas, es necesario  introducir  las  consideraciones  relacionadas  con  las relaciones  Presión,  volumen  y  temperatura  para  flujo compresible. El comportamiento P‐V‐T de los gases en un rango considerable de presiones, puede ser descrito por la Ley de gases ideales.  

RTPM

mnRTPV         (4) 

RT

MP    Densidad 

MP

RT    Volumen específico 

 Donde: M: Peso molecular del gas T:  Temperatura absoluta P:  Presión Absoluta  Número de Reynolds Otro  parámetro  importante  que  es  necesario  analizar,  es  el número  de  Reynolds  para  flujo  compresible,  el  cual  en cualquier punto de la tubería se puede escribir como sigue:  

GDVD

Re             (5) 

 Ahora  es  conveniente  expresarlo  en  función  del  flujo másico por  unidad  de  área,  dado  que  esta  variable  permanece constante. Viendo  la expresión para el número de Reynolds se puede  observar  que  si  la  viscosidad  del  fluido  no  varía considerablemente  a  lo  largo de  la  tubería  se puede  suponer que el número de Reynolds es constante a lo largo de la misma.  Retomando  el  análisis  de  la  figura  1,  a medida  que  el  gas  se mueve entre 1 y 2, experimenta una pérdida de energía que se traduce en una caída de presión, la cual dependiendo del largo de  la  tubería  puede  ser  considerablemente  alta,  lo  cual modificaría de manera proporcional de acuerdo a la ecuación 4 al valor de la densidad. Por esta razón la velocidad en el punto 2, queda expresada como  

2

112 VV

 

 A medida que la presión cae más, más pequeño será el valor de la densidad en dos y por consiguiente más alto será el valor de la  velocidad  en  este  punto.  Sin  embargo,  la  velocidad  no aumenta  de  manera  indefinida.  La  condición  límite  para  la elevación de  la velocidad se consigue, cuando el gas alcanza  la velocidad del sonido, la cual por definición es:    

1  2 

Flujo crítico y velocidad del sonido 

s

P*V

            (6) 

 Número de Match Con  frecuencia  para  referir  cuan  cerca  o  lejos  se  está  de  la condición  de  flujo  sónico,  se  utiliza  una  relación  entre  la velocidad y la velocidad del sonido a las mismas condiciones. A esta nueva variable se le denomina número de Match. 

*V

VNm             (7) 

 Nm<1  Flujo subsónico Nm=1  Flujo sónico Nm>1  Flujo supersónico  Cuando  el  flujo  alcanza  las  condiciones  de  la  velocidad  del sonido,  se  dice  que  se  está  bajo  condiciones  de  flujo  sónico. Para estimar la relación entre las variables entre el punto 1 y 2, se  debe  introducir  una  información  adicional,  acerca  de  la forma  como  ocurre  el  proceso  entre  1  y  2  (adiabáticamente, isotérmicamente o politrópicamente).   2.6 Balance de energía en flujo compresible Generalmente la mayoría de los casos de flujo compresible con aplicaciones prácticas se pueden englobar en uno de estos tres casos:  Flujo Isotérmico    cteP  

Flujo Adiabático    cteP   CvCp  

Flujo Politrópico    cteP k   La  ecuación  de  balance  de  energía  sobre  un  elemento diferencial dL establece que  

0D2

dLfG

dPdzg

dG 22

        (8) 

 Para  poder  integrar  esta  ecuación  a  lo  largo  de  todo  el recorrido, es necesario incorporar información relacionada con el  proceso.  La  selección  de  un  proceso  u  otro,  estará relacionada con las características físicas cerca del proceso:  Flujo Isotérmico: Tubería  larga (L/D>1000) en  la que el tiempo de  residencia  es  lo  suficientemente  largo  como  para  que  la tubería  alcance  el  equilibrio  térmico  con  los  alrededores.  Al sustituir en las ecuaciones 6 y 8 la condición de flujo isotérmico ( cteP ), obtenemos las siguientes expresiones:  

1

1* P

M

RTV

             Flujo Isotérmico    (9) 

2/1

2

1

22

21

PPLn2)D/L(f

RT

MPP

G

  (10) 

f: Factor de fricción de Darcy‐Weisbach   Donde las pérdidas de energía están incluidas esencialmente en el termino (fL/D), por esta razón, si el tramo de tubería, tuviera algún accesorio, al termino (fL/D) se le debe añadir las perdidas por accesorios como ΣK.   Flujo adiabático: Tuberías cortas y bien aisladas. Al sustituir en las  ecuaciones  6  y  8  la  condición  de  flujo  adiabático 

( cteP ), obtenemos las siguientes expresiones:  

M

RTV*

    Flujo adiabático 

2

1

1

1

2

11

PP

Ln2

)D/L(f

P

P1

12

PG   (11) 

2/N11

2/N11

N

N

P

P21M

22M

1M

2M

2

1

  (12) 

2/N11

2/N11

N

Nln

2

)1(

N

1

N

11

D2

Lf

22M

21M

21M

22M

22M

21M

  (13) 

 Cuando NM2=1 la L se corresponde a L*  Figuras del comportamiento de las Variables   Análisis dimensional de las ecuaciones    Métodos aproximados  Si  la  perdida  de  presión  estimada  es menor  del  10  %  de  la presión  de  entrada,  se  obtiene  una  exactitud  razonable,  si  la densidad  que  se  introduce  en  la  formula  se  basa  en  las condiciones  de  entrada  o  en  las  de  salida  (cualquiera  que  se conozca).  Si la caída de presión es mayor a un 10 %, pero menor a un 40 %  que  la  presión  de  entrada,  la  ecuación  de  Darcy  puede aplicarse  con  razonable  precisión  utilizando  la  densidad promediada entre la entrada y la salida.  

Medidores de Flujo para flujo compresible La  ecuación  base  de  diseño,  es  la  obtenida  para  flujo incompresible, pero con un factor de corrección que cuantifica la expansión del fluido.  

10 P2YCAW         (6) 

101

P2YCAQ

        (7) 

 Donde: D:  Diámetro de la tubería [m] d:  Diámetro de la restricción [m] 

:  Relación entre el diámetro de la restricción y diámetro de la 

tubería. (=d/D). 

A0: Área de flujo en la restricción 2

0 d4A  

C:  Coeficiente de Flujo, función del Reynolds y del  (Figuras 4 y 5). 

4

D

1

CC

 

CD: Coeficiente de descarga del medidor [‐‐] 

Y:  Factor de expansión y es función de  CvCp , 

1PP y  

(Figura 2 y 3). Cp y Cv:   Calores específicos a presión y volumen constante 

:P Caída de presión temporal en el medidor [Pa] 

:1 Densidad del fluido justo antes de la restricción. 

W: Flujo másico que pasa por el medidor [kg s‐1]  

1PP

Orificio Orificio

Venturi Venturi

Y‐Factor de expansión

Y‐Factor de expansión

1PP

Aire, H2, O2, N2, CO, NO, HClCO, SO, H2O, H2S, N2O, Cl2, C2H2, C2H4

γ=1.3 γ=1.4

 Figura 2 y 3. Factores de expansión para medidores, en flujo compresible (Crane, 1976). 

Re (Basado en el diámetro de la tubería) Re (Basado en el diámetro de la tubería)

Coeficiente de flujo (C)

Coeficiente de flujo (C)

 Figura 4 y 5. Coeficientes de flujo para los medidores de flujo placa orificio (Crane, 1976). 

 La  diferencia  básica  entre  la  ecuación  del medidor  para  flujo incompresible y compresible está en  la presencia del factor de expansión Y expresado en  las figuras 2 y 3. Cuando  la caída pe presión  temporal en el medidor es muy pequeña,  la ecuación tiende a ser similar a la de flujo incompresible, dado que como se observa en las figuras, el factor de expansión tiende a uno.  Procedimiento de diseño para medidores de flujo Las condiciones de  P , P1  ,D, d, W, Q1, C, …, mantienen una relación expresada de diversas formas: Ecuación del diseño del medidor, relación PVT y figuras para los factores de expansión y coeficiente de flujo. Los  diversos  casos  para  determinar  la  relación  entre  estas variables  se  determinan  generalmente  mediante  procesos iterativos,  dado  que  existe  una  mezcla  entre  expresiones matemáticas y figuras que relacionan variables. Existe una combinación específica de variables que constituye la  solución  a  los problemas de diseño en estos medidores de flujo.  La  forma  como  se  encuentre  las  combinaciones  de  las variables  que  hacen  que  se  satisfagan  simultáneamente  las ecuaciones y relaciones graficas, no tienen un camino único. En esta sección se muestra un procedimiento posible para cada caso planteado.   Caso 1: Flujo másico y volumétrico Conocidos:  P , P1 ,D, d 

10 P2YCAW  

1. Asumir C=0.6 

2. Con 1P

P y γ, Determinar el factor de expansión Y. 

3. Estimar el flujo másico de la ecuación del medidor 

4.  Determinar 1

1WQ   y  con  el  caudal  volumétrico  en  1, 

determinar la velocidad en 1. 5. Con la velocidad en 1, estimar el Re basado en el diámetro de la tubería. 

6.  Con  Re1  y    estimar  el  coeficiente  de  flujo,  si  es  igual  al supuesto en el paso 1. Fin, si no comenzar nuevamente con el C calculado.  Caso 2: Diámetro del medidor Conocidos:  P , P1 ,D, W 

1

1

P2CY

Q4d

 

1. Suponer =0.7 2. Con 

1PP y γ, Determinar el factor de expansión Y. 

3. Calcular el Número de Reynolds 

4. Leer el coeficiente de flujo C en función de  y Re. 5. Estimar el diámetro del orificio de la ecuación del medidor. 

6. Calcular el valor de . 7.  Comparar    supuesto  con  el  calculado.  Si  los  valores  son razonablemente cercanos, fin, si no, volver al paso 1. 

Caso 2: Caída de presión Conocidos:, P1 ,D, d, W 

1

2

0 2

1

YCA

WP

 

1. Estimar la densidad en el punto 1 a través de la ecuación de gases ideales (papa presiones inferiores a 10 atm). 

2. Estimar  y Re. 3. Leer el coeficiente de flujo. 4. Suponer Y=1. 5. Estimar  P  de la ecuación del medidor. 6.  Determinar  el  factor  de  expansión  y  comparar  con  el supuesto en el paso 4. Si no es razonablemente igual, volver al paso 4.   

BIBLIOGRAFIA  Crane. Flujo de Fluidos en válvulas accesorios y tuberías  Darby. Chemical Engineering Phluid Dynamics.  Geankoplis  C.,  Procesos  de  transporte  y  operaciones 

unitarias. Tercera edición. Compañía editorial continental.  Ocon Tojo.  Shames  I. Mecánica  de  fluidos.  Tercera  edición. Mc Graw 

Hill.  

Ejercicio 1.(8.5 McCabe pag 241) Gas  natural,  con  una  densidad  relativa  al  aire  de  0,60  y  una viscosidad de 0,011 cP, circula a través de una tubería de acero de  6  pulg,  Catálogo  40,  en  la  que  se  ha  instalado  un  orificio normalizado de bordes rectos provisto de tomas a  la brida. En la toma situada aguas arriba el gas está a 100 ºF y 20 psia. La lectura del manómetro es 46,3 pulg de agua a 60 ºF. La relación de calores específicos para el gas natural es 1,30. El diámetro del orificio es de 2,00 pulg. Calcúlese  la velocidad de  flujo de gas a través de la línea, en pies cúbicos por minuto, a la presión de 14,4 psia y a la temperatura de 60 ºF.  Ejercicio 2. (2.11‐I Geankoplis, pag 117) Se está bombeando gas natural, que es esencialmente metano, a  través  de  una  tubería  de  acero  de  1.016  m  DI  por  una distancia  de  1,609  x  l05  m  (Dl)  a  una  velocidad  de  2,077 kgmol/s. Puede suponerse que la línea es isotérmica a 289 K. La presión P2 en el extremo de descarga de  la  línea es 170,3x103 Pa y es absoluta. Calcule la presión P1 en la admisión de la línea. La viscosidad del metano a 289 K es de 1,04x10‐5 Pa .s.  Ejercicio 3 (6.2 McCabe, pag 145) A  través  de  un  gaseoducto  de  20  pulg  de  diámetro  interior, situado  sobre un  terreno  llano y horizontal,  se  transporta gas natural, que está constituido esencialmente por metano. Cada estación  de  bombeo  aumenta  la  presión  hasta  100  psia,  y  la presión  experimenta  una  caída  de  25  psi  entre  dos  bombas consecutivas  separadas  entre  sí  una  distancia  de  50  millas. ¿Cuál será el flujo de gas en pies cúbicos por hora, medido a 60 º F y 30 pulg Hg de presión?  Ejercicio 4 (2.11‐2 Geankoplis pag 128) Se está bombeando metano gaseoso a través de 305 m de una tubería de acero de 52.5 mm de diámetro interior, a velocidad de  41,0  kg/m2s.  La  presión  de  entrada  es  P1=345  kPa  abs. Suponga un flujo isotérmico a 289 K.  a) Calcule  la presión P2 al  final de  la  tubería.  La viscosidad es 1,04xl0‐5 Pa.s. b) Calcule  la velocidad máxima que se puede alcanzar en esas condiciones y compárela con la velocidad del inciso a.  Ejercicio 5 (2.11‐3 Geankoplis pag 128) Entra aire a 288 K y 275 kPa absolutos en una tubería y fluye en flujo  isotérmico  compresible  por  una  tubería  comercial  que tiene un DI de 0,080 m. La longitud de la tubería es de 60 m. La velocidad de masa ala entrada de la tubería es de 165,5 kg/m2s. Considere  que  el  peso  molecular  del  aire  es  29.  Calcule  la presión en  la  salida, así como  la velocidad máxima permisible que puede alcanzarse, y compárela con la real.  Ejercicio 6.(8.6 McCabe pag 241) Un  medidor  de  venturi  horizontal,  cuyo  diámetro  del estrechamiento es de 20 mm, está situado en una tubería de 75 mm de diámetro interior. A través de la línea circula agua a 15 ºC. Un manómetro, que contiene mercurio bajo agua, mide  la presión  diferencial  en  el  instrumento.  Cuando  la  lectura  del manómetro  es  500  mm,  ¿Cuál  es  la  velocidad  de  flujo  en 

galones por minuto? Si el 12 por 100 de  la presión diferencial corresponde  a  pérdida  permanente,  ¿Cuál  es  el  consumo  de potencia del medidor?  Parcial (I‐2009) Por  una  tubería  de  acero  comercial  de  4  pulg  de  diámetro nominal cat 40 circula Aire a 25 ºC. La presión de entrada del aire es de 200 psig. A que  longitud se alcanzan  las condiciones del flujo sónico si la velocidad en el punto 1 es de xx m/s? ¿Cuál es la presión en el punto donde se alcanzan las condiciones de flujo sónico? Suponga válida  la ecuación de gases  ideales a  las condiciones especificadas del ejercicio.