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Flussi di campi vettoriali, il teorema di Stokes e ilteorema della divergenza
Riccarda Rossi
Universita di Brescia
Analisi II
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 1 / 96
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Richiami di teoria• Sia S una superficie, con rappresentazione parametrica data da T ⇢ R2
e�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare.
Il versore normale a S e
�!n =1����
@�!r@u
⇥ @�!r@v
����
✓@�!r@u
⇥ @�!r@v
◆
Flusso di un campo vettoriale attraverso SSia A ⇢ R3 aperto, �!r (T ) ⇢ A,
�!F : A ! R3 di classe C1. Il flusso di
�!F
attraverso S e ZZ
S
�!F ·�!n dS
con · il prodotto scalare.
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•
-
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Quindi
ZZ
S
�!F ·�!n dS =
ZZ
T
�!F (�!r (u, v)) ·
✓@�!r@u
(u, v)⇥ @�!r@v
(u, v)
◆du dv
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0
|pnodolto scalare
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• Nel caso di S in forma cartesiana
S : z = f (x , y), (x , y) 2 T ⇢ R2
si ha
�!n =1s
1 +
����@f
@x
����2
+
����@f
@y
����2
✓�@f
@x
�!i 1 �
@f
@y
�!i 2 + 1
�!i 3
◆
quindiZZ
S
�!F ·�!n dS
=
ZZ
T
�!F (x , y , f (x , y)) ·
✓�@f
@x
�!i 1 �
@f
@y
�!i 2 + 1
�!i 3
◆dx dy
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Es. 1.Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + z
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
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Sein foma aartesrana
Z= fcay ) con fcxiytt -2-42,
( x. g) ET :eT={ ↳ .y\eR4x4y< if1-1-2-42=2-20
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§p F ix. y , Fay ) ) . f¥x ,
- ¥ , a) day
= Hp ( xy , xy , txzy 2) • ( zxiry , 1) dx
dy
= ffp 2×2 y dxdy + $+2 xyzdxdy
fxiyktxzyz+ ¥ they ? ) dxdy
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§ 2×4 dxdy = 0 ay
jacket left .
T>
tmnegvemde I 1 ×
despise imy
Amalgam ffp 2×42 dlxoky-0COOND
. POLARIRimane solo -
§T( txtiddxdy I..
..
. = its
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Es. 2.Calcolare il flusso del rotore di
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + z
�!i 2 + x
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
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]e- he stessedele ' ES
. I
dato Fi. AeR3→R3,
not # e- R
Campo Vdtomlale do A a 1123 defrwtoLfomalmente ) old
not # =detfE¥gEggs3¥33 )
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# c * y , zt ( y ,z
,x )
not ⇒ * f stg?EEE¥ ]of
0of
1
=P ( Ep - aszttiz ffxxstzy)tip ( Fit -
§y y ) =- iiuiz - rise
= C- 1, -1
,-1 )
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Per calendar rl flwsoo del noise
ahtroverso S, afghrco he formula
fer R coledo del fins so di run compo
vector ale, con camp dato do not #
§ not # ( x. y , fcxy )) • f3fzi¥y , 1) day
= §p ft ,-1
, -1) . ( 2×. 24 , 1) dxdy =
= { Kindel x4y4r}
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to
= - 2 S{ × dxdy - zffydxFy°- § edxdya Y
T>
×
= - area A)=
- I
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Il teorema di Stokes
Sia S una superficie, con rappr. parametrica
�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare e semplice.
e sia� = @S (curva semplice, chiusa, reg. tratti)
percorsa lasciando a sinistra il versore normale a S , A ⇢ R3, e
�!F : A ! R3 di classe C1.
Si ha ZZ
Srot(
�!F ) ·�!n dS =
I
�
�!F · d�
Si passa da un integrale di superficie a un integrale curvilineo!
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SE una superfinecon bordo
=
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fifond
as
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Es. 3. (e ancora l’Es. 2.)Il flusso del rotore di
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + z
�!i 2 + x
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
Stokes: ZZ
S
�!rot(
�!F ) ·�!n dS =
I
�=@S
�!F · d�
qui: � : x2 + y2 = 1
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-
in
....
-- --⇒
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→
Pyeboudodi
I=§pFsauna
amain 1213
Fcxiy,z)= ( y ,Z ,x) eva
1
parumetzizsoata
P :
come tale.
Mitt ( eoskhsrmitl, ,P) ,
ttto ,at] pocket Pwvemel piano z=o
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I = ft FCFYH) . r→hH at
= but formal ,0
,cos HH . fsrnitt ,
cos # itdt
= - So"T
srsietidt = - E
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 31 / 96
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 32 / 96
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 33 / 96
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Es. 4.Il flusso del rotore del campo
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + 2z
�!i 2 + 3x
�!i 3
attraverso
S :
(x2 + y2 + z2 = 1
z � 0
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 35 / 96
Applin Stokes,
n→q iebondo dis
Eplaakwnf .
×4y2=1,
nelFanoto
,
in sense
>
AMTORARLO
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 36 / 96
Stokes
§rot¥mds=§pFIIFI, ,y ,-2k ( y ,
ZZ ,3x)P : tttk (eoslthsrmktl, 0 )
, tttazef
I=fo⇐F7r→HH . eetttdt = . ... = I- -
H
( smltl ,o,3wsky" tsrmlthasltl ,
o )
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 37 / 96
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 38 / 96
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Es. 5.
Il flusso del rotore del campo
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + 0
�!i 3
attraverso la regione piana S = S1 [ S2, con
S1 =n(x , y) 2 R2 : 0 x 1, 0 y sin
⇣⇡2x⌘o
,
S2 =n(x , y) 2 R2 : 1 x
p2, 0 y
p2� x2
o.
Applichiamo la formula di Stokes studiamo � = @S
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con
8><
>:
�1 segmento fra (0, 0) e (p2, 0)
�2 arco circonf. x2 + y2 = 2 da (p2, 0) a (1, 1)
�3 curva y = sin�⇡2 x
�da (1, 1) a (0, 0)
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Stokes
§ not
,,F?nds
$pF*
s, sz
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fore = f,
F the HEE
. Estrin : Venfrcore eke
SF - o
essegment ( sultassex )
de ( as a ( Eco )
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 48 / 96
% ! I llano della unaouferenhe
x4y2=2 , congungente ( k,
d
a ( list - Una param .
di Pze '
data de
§•n'"q settle Vawsitiiistrsrmftlizs,
isna teeing ]
fate festal.ee#dt=0 . . . .
. .
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= eek
-
3--
§F→ : B Perone R guefrw di
fxtsrm ( Dzx)do a ,sl a ( 0,0 )
d.Yi; ritytshtieeaii>
× Oft< 1
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Awamo § be avwa Tz ferursain tens offosto ,
woei da ( 94 a a 1).
Ossewoehe
Sg.
=- See
Caleolo
fgF→ ,
oseewaudo eke nine param .
di
IF e- Pat tilt sinceHis,
teto, D
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E :
fg F = ¥2 thIn five
,
§ Ft = 0 + 2%2 -
Zz-
ttzz - ft4 furs u B
= 2kg - ttz - ¥2
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Es. 5.Calcolare ZZ
Srot
�!F ·�!n dS
con �!F (x , y , z) = x2
�!i +
�!j + z
�!k ,
S e il triangolo di vertici (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) ed �!n e la normale
tale che �!n ·�!i > 0.
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Voglio appleone P=2S,
Stokes :•coast pocome
intense
§rotE.m→dS → entronarioK M
of,E ←in
• amid
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On§
,# =o puke Pena
Cerna chiusa,
e# e- conservator
Fnfalti Ft x. yizt ( E,
e,
Z) ECLCRT
e soddrsfa language .
delle derivate vicious.
Eg .o= FE , F¥o=g¥ ,
If
§z=o= NIoy
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Richiami di teoria: il teorema della divergenza
V ⇢ R3 chiuso e limitato
S = @V superficie regolare chiusa�!F : A ⇢ R3 ! R3,
�!F 2 C 1(A) con A insieme aperto, V ⇢ A.
Allora ZZZ
Vdiv(
�!F ) dxdydz =
ZZ
S
�!F ·�!n dS
ove �!n e versore normale esterno a S e
div(�!F ) =
@F1@x
+@F2@y
+@F3@z
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 66 / 96
passaggido on
-integrate
< mt3 ) -
dimensionedeumnintegnak
drsupufrue ,
2- dimension
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Es. 6.Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + z
�!i 3
attraverso la superf. S1 [ S2, dove
S1 :
(z = 1� x2 � y2
z � 0e S2 :
(z = 0
x2 + y2 1
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 67 / 96
-paraboloid
-
non convene pocket 5=5 ,u{,Caledon .
drreieem. €fSi gwmdi$#n→ds#¥¥¥e
' $s¥g.FI#e?rS )
sz
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 68 / 96
⇐#*⇐•¥¥Fs'
Sz
Applreo R tame della divergence!
§F?m→dS=${ divfsdxdydzOn V volume racawiuso old S
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 69 / 96
. Ffxy ,H=
##¥#¥⇐Fs' a a '⇒
Sz
V= { k.y.ae#/0sZEtx2y2 ,
Rates }${
d.FI/SfCTtxt3EytoFgDdxaydzY4x
41
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 70 / 96
.
.
afterDSPARL ni my
Sz e ✓ e- srmm.
kop . piano
=${ ydxdydz =
7=0
peeled flxiyiztx
tffy X dxdydz =D£ DISPARI in ×
e V e- srmmetrco
wsp.ae pianot fSS✓1d×dydZ X=oC piamoyz )
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 71 / 96
= volt U ) = S$✓ hdxdydz
V= { key ,HelR3 / XEYZEL, z
Of zzl- x2 - y'
yPaseo ate coons
.
ulimhttiohe
T= { ( s ,oiz ) / fee
,oszei - p ,
0€to ,zI] }${ Ldxdydz = $g fdgdodz =
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 72 / 96
KEE.
§,
.ua#otl0ohfdsoeo
= %, , ]× an ⇒
Pat " dsdd
= .
. . . . =D2
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 73 / 96
![Page 74: Flussi di campi vettoriali, il teorema di Stokes e il teorema della … · 2019. 12. 9. · Flussi di campi vettoriali, il teorema di Stokes e il teorema della divergenza Riccarda](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062403/6103965d524a9018417d999a/html5/thumbnails/74.jpg)
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 74 / 96
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 75 / 96
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Es. 7.
Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = y
�!i + x
�!j + z3
�!k
attraverso la superficie sferica S di centro (0, 0, 0) e raggio 2.
Applichiamo il Teorema della divergenzaZZ
S
�!F ·�!n dS =
ZZZ
Vdiv
�!F dxdydz
doveV = {(x , y , z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4} .
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 76 / 96
÷
:'
8
Fhd component' date deft . pdimomiahn ,
di ✓ F e- fz . polinomiak di giraffe -
05of
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 77 / 96
Onvaleperhk $✓Z2dxdydZfepariimt ¥2$fn€{izzo
}evsrmm .
zsp .
al�2�
piano =2.z.$fZ2Zeo Vnfxzyzzg�2� FE
PAM imx.
e Vsrmm.
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