fluxo de fluidos - fis.uc.pt · teorema de torricelli pa =pb =patm patm +ρgh+0 =patm +0+ 1 2 ρv2...
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Fluxo de Fluidos
Linha de fluxo: trajectória de uma partícula individual
Curva que é tangente àvelocidade do fluido em qualquer ponto.
Tubo de fluxo: formado pelas linhas de fluxo que passampela borda de uma área A qualquer.
Fluxo Laminar
Fluxo estático: O padrão do fluxo não muda com o tempo
— fluido dentro de um tubo de fluxo não sai desse tubo— tubos de fluxo diferentes não se cruzam— fluido em tubos de fluxo diferentes não se misturam
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Fluxo Turbulento
— linhas de fluxo (e tubos de fluxo) cruzam-se, desaparecem e apareceme a sua forma e propriedades variam com o tempo.
Tubo contendo fluido incompressível
Todo o fluido que entra num extremo
Sai no outro extremo
Fluxo: Q =∆V∆t
m3 s-1⎡⎣ ⎤⎦
Equação de continuidade: Q1=Q2
A Equação de Continuidade
Fluxo: volume de fluido que atravessa qualquer superfície na unidade de tempo
Q1 = Q (A1)
Q2 = Q (A2)
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Fluido incompressível com densidade ρ constante:
No intervalo de tempo dt:
— fluido em move-se A1 v1dtem entra, dentro do volume, o fluidoA1
dV1 = A1v1dt
— em sai do volume o fluidoA2
dV2 = A2v2dt
com massa dm1 = ρA1v1dt
com massa dm2 = ρA2v2dtSe o fluxo é estático a massa total dentro do tubo é constante:
dm1 = dm2 ρA1v1dt = ρA2v2dt A1v1 = A2v2
A Equação de Continuidade
Av é a taxa de fluxo volumétricadVdt
= Av
A taxa de fluxo mássica édmdt
= ρAv
A1v1 = A2v2
Se, para o mesmo fluxo,a área da secção variar
A Equação de Continuidade
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A Equação fundamental da hidrodinâmica:
Equação de Bernoulli
Relaciona o trabalho realizado num fluido com a variação da sua energia cinética
Só é válida para:
1.Fluidos incompressíveis (densidade constante)
2. Fluido não viscoso (atrito interno é desprezável)
3. Fluxo estável (não turbulento)
4. Fluxo estacionário (velocidade do fluido num ponto
não varia com o tempo)
fluido incompressível
Equação de Bernoulli
Aplicar a conservação de energia a um tubo de fluxo
no intervalo de tempo dt :
a ➞ bc ➞ d- fluido em e moveu-se
ds1 = v1dtds2 = v2dt
- equação de continuidade (A1v1 = A2v2 )com v=ds/dt A1ds1 = A2ds2 (= dV )
O movimento do fluido faz-se sob a acção de:
- Peso (conservativa, energ. mecân. conserva-se)
- Pressão (conservativa, Força externa)
∆Wext = ∆Ec + ∆Ep
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Equação de Bernoulli
Em a:m = ρA1ds1
v = v1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒ Ec1
=12ρ(A1ds1 )v1
2
Em b:m = ρA2ds2
v = v2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒ Ec2
=12ρ(A2ds2 )v2
2
dWext = dEc + dEp
dEc =12ρdV (v2
2 − v12 )
dEc = Ec2− Ec1
Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dEp
Em a:
Em b:
m = ρA1ds1
h = y1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒ Ep1
= ρ(A1ds1 )gy1
m = ρA2ds2
h = y2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒ Ep2
= ρ(A2ds2 )gy2
dEp = Ep2− Ep1
dEp = ρdVg(y2 − y1 )
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Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dEp
Em a:
Em b:
F = p1A1
s = ds1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒W1 = p1A1ds1
F = − p2 A2
s = ds2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒W2 = − p2A2ds2
dW =W1 +W2 = p1A1ds1 − p2A2ds2
dW = (p1 − p2 )dV
dWext = dEc + dEp
dW = (p1 − p2 )dV
dEp = ρdVg(y2 − y1 )
dEc =12ρdV (v2
2 − v12 )
(p1 − p2 )dV =12ρdV (v2
2 − v12 )+ ρdVg(y2 − y1 )
(p1 − p2 ) = 12ρ(v2
2 − v12 )+ ρg(y2 − y1 )
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
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Equação de Bernoulli
(p1 − p2 ) = 12ρ(v2
2 − v12 )+ ρg(y2 − y1 )
p1 + ρgy1 +12ρv1
2 = p2 + ρgy2 +12ρv2
2
p + ρgy + 12ρv2 = Const
Equação de Bernoulli - fluidos estáticos (hidroestática)
Lei de Pascal
Princípio dos vasos comunicantes
PA = PE = ...= Patm hA = hE = ...= h
Fluido em repouso: v = 0
P + ρ gy = Const.
PA = 1 atm
PB = ?
PA + ρ gh = PB + ρ gyB
PB = PA + ρ g d (d= h - yB)
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Equação de Bernoulli - circulação sanguínea
Velocidades pequenas e ≈ iguais
Podemos desprezar o termo
As forças viscosas no sangue são pequenas
P + ρ gh = Const
2
21 vρ
PF = PH + ρghH = PB + ρ ghB
Valores típicos para um adulto são:
hH = 1,3 m
hB = 1,7 m
PH = 13,3 kPa
PF = 26,8 kPa e PB = 9,3 kPa
_ impedir que o sangue “fuja” da cabeça
_ obrigar o sangue a subir das pernas
-Diminuir φ das veias na cabeça e no pescoço
- Nas pernas:
-válvulas que impedem que o sangue desça
- Movimentos constantes nos músculos
Equação de Bernoulli - exemplos dinâmicos
p + ρgy + 12ρv2 = Const
Ex. 1 - Fluxo Horizontal ⇒ ρ gy = Const.
200
2
21
21 vPvP BB ρρ +=+
)(21 22
0 ABB vvPP −=− ρ
Como ⇒ as folhas aproximam-se0vvB > BPP >0
Ex. 2 – Automóvel cruza com camião
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Eq. Bernoulli - Aplicações
Qual é a velocidade com que o líquido sai?
Da Equação de Bernoulli:
v = 2gh
Fluido num tubo horizontal:
P1 +12ρv1
2 = P2 +12ρv2
2v >⇒ P <
Patm
Teorema de Torricelli
Pa = Pb = Patm
Patm + ρgh + 0 = Patm + 0 + 12ρv2
Eq. Bernoulli - Aplicações
Tubo de Venturi
P1 +12ρv1
2 = P2 +12ρv2
2
A1v1 = A2v2
⎫⎬⎪
⎭⎪v = 2A2
2∆Pρ A1
2 − A22( )
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O voo das aves e dos aviões
Avião ou ave perturbam temporariamente o ar ⇒ não se pode aplicar a eq Bernoulli
Porém, se estivermos dentro do avião, vemos um fluxo de ar estável em torno do aparelho e das asas ⇒ Podemos pois aplicar a eq Bernoulli
PA
PB
rFL
Linhas de fluxo acima da asa estão mais juntas
VA > VB
E da eq. Bernoulli
vem: PA < PB
p + ρgy + 12ρv2 = Const
e a força (para cima) aplicada na asa de área A é:
)(2
)( 22baabL vvAAPPF −=−=
ρ
)(21 22
baab vvPP −=− ρ
11
)(2
)( 22baabL vvAAPPF −=−=
ρ
Experimentalmente verifica-se que: e vva ∝ vvb ∝
E a força de Sustentação será 2
2vCAF LL
ρ=
Em que CL é o Coeficiente de Sustentação – pode ser medido experimentalmente e depende da forma da asa, do ângulo de ataque etc.-
Atomizador:
Eq. Bernoulli - Aplicações
- P no estrangulamento é menor- Fluido sobe no tubo e pulveriza
P1 +12ρv1
2 = P2 +12ρv2
2
Bola de Ping-pong suspensa
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Eq. Bernoulli - Aplicações
“Efeito” nas bolas em movimento
P1 +12ρv1
2 = P2 +12ρv2
2
rF
Circulação Sanguínea
AIT - Acidente Isquémico Transitório
Síndroma de Roubo da Subclávia
P1 +12ρv1
2 = P2 +12ρv2
2