單元二 簡單幾何與線對稱 · 4. 對稱角——重疊的兩角稱為對稱角，如：∠1...
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二-1
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-1
單元二 簡單幾何與線對稱
主題一 認識銳角、鈍角與直角
小美先找到量角器的 0°線與 90°線，將量
角器０°線與Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ的一邊對齊，
如右圖。於是小美將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ分為
三類，分別為：
小於 90 度 等於 90 度 大於 90 度
再分別將 A 與 D 及 C 與 E 量角度比較大小，得到：
A D B C E
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二-2
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-2
最後恭喜小美得到巧克力蛋糕!!
依照上述小美的作法，我們可以得到一個簡單的分類：
《隨堂練習》 觀察各角，回答下列問題：
(1) 哪幾個為銳角_______________________________________。
(2) 哪幾個為鈍角_______________________________________。
(3) 哪幾個為直角_______________________________________。
>
> >
>
A D B C E
如下圖：
1. 若∠A＝90°，則稱∠A 是直角，PA̅̅̅̅ 垂直QA̅̅ ̅̅ ，記為PA̅̅̅̅ ⊥ QA̅̅ ̅̅ ，A 為
垂足。
2. 若 0° <∠B < 90°，則稱∠B 是銳角。
3. 若 180° >∠C > 90°，則稱∠C 是鈍角。
P
A Q
B C
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二-3
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-3
主題二 角度互餘與互補
《活動》利用量角器量出〈附件一〉的各角度數，並觀察（圖ａ）與
（圖ｂ），回答下列問題：
（圖ａ） （圖ｂ）
〈附件一〉中，哪兩個角度拼在一起恰好可以等於（圖ａ）呢？
根據上面表格，你發現了什麼事呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
〈附件一〉中，哪兩個角拼在一起恰好可以等於（圖ｂ）呢？
根據上面表格，你發現了什麼事呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
角 角度 角 角度 角 角度
例：C 35°
F 55°
角 角度 角 角度 角 角度
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二-4
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-4
〈附件一〉
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二-5
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-5
如圖(一)：
∠1＋∠2＝90°，此時就說∠1是∠2的餘角，∠2也是∠1的餘角。
圖(一)
如圖(二)：
∠1＋∠2＝180°，此時就說∠1是∠2的補角，∠2也是∠1的補角。
圖(二)
因此我們可由上一頁的《活動》當中，得知：
(1)∠C 與∠F、＿＿與＿＿、＿＿與＿＿ 互為餘角。
(2)＿＿與＿＿、＿＿與＿＿、＿＿與＿＿互為補角。
1. 若兩個角的角度和是 90°，則稱這兩個角互餘，其中一個角稱為
另一個角的餘角。
2. 若兩個角的角度和是 180°，則稱這兩個角互補，其中一個角稱
為另一個角的補角。
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二-6
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-6
【範例】
1. 右圖為直線Ｌ，若∠2＝45°，請問：
(1) ∠1和∠2是否為互補角？＿＿＿。
(2) ∠1＝＿＿＿＿度。
《隨堂練習》
1. 右圖∠BAC 為直角，若∠1＝35°，請問：
(1) ∠2＝＿＿＿＿度。
(2) ∠1與∠2的關係是＿＿＿（互餘或互補）。
【範例】
若∠A＝35°，請問(1) ∠A的餘角為＿＿＿度。
(2) ∠A的補角為＿＿＿度。
《隨堂練習》
1.下列哪組角度不互餘？
(A)25°，65° (B)80°，10° (C)38°，42° (D)58°，32°
2.下列哪組角度不是互為補角？
(A)135°，55° (B)80°，100° (C)38°，142° (D)98°，82°
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二-7
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-7
【範例】
若∠2＝45°，請問：
(1) 若 ∠1和∠2互餘，則∠1＝＿＿＿＿度
(2) 承(1)，若∠3和∠1互補，則∠3＝＿＿＿＿度
《隨堂練習》
1. 若∠1 和∠2 互餘，∠1 和∠3 互補，且∠2＝33°，
求∠1＝＿＿＿＿度，∠3＝＿＿＿＿度。
2. 若∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互餘，且∠A＝127°，
求∠C＝＿＿＿＿度。
3. 若∠3＝50°，∠3 和∠2 互餘，∠1和∠2 互補，
求∠2＝＿＿＿＿度，∠1＝＿＿＿＿度。
4. 右圖中直線L1與L2交於 A，已知∠PAQ 為直角，
∠1＝68°，∠5＝60°，請問：
(1) ∠2＝＿＿＿＿度。
(2) ∠4＝＿＿＿＿度。
(3) ∠3＝＿＿＿＿度。
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二-8
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-8
主題三 對頂角
相交的兩條直線可形成四個角，則在這四個角中不相鄰的兩個角
稱為對頂角。
如右圖：∠1 與∠3 互為對頂角
∠2 與∠4 互為對頂角
利用《主題二》所學到的回答下列問題：
(1) ∠1與∠2是否互補？＿＿＿＿。
(2) 若∠1＝ａ度，則∠2＝＿＿＿＿度。
(3) ∠2與∠3是否互補？＿＿＿＿。
(4) 承(2)，則∠3＝＿＿＿＿度。
(5) ∠1是否等於∠3？＿＿＿＿。
由上述可以得到∠1＝∠3，同樣地，我們可以得到∠2＝∠4。
整理結論如下：
【隨堂練習】
右圖中，AB與CD交於一點，且∠1＝40°，
求∠2、∠3、∠4 的度數？
若兩直線交於一點，形成的四個角中不相鄰的兩個角稱為對頂角，
且對頂角相等。
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二-9
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-9
【範例】
右圖中，三條直線 L、M、N 相交於 P 點，若∠1
與∠2 的和為 125°，請問：
(1) ∠3＝＿＿＿＿度
(2) ∠4＝＿＿＿＿度
《隨堂練習》
1. 右圖中，三條直線 L、M、N 相交於 P 點，若
∠1＝30°，∠2＝110°，則∠3＝＿＿＿＿度。
2. 右圖中，已知三直線交於一點，
若∠1＝36°，∠2＝(2X－10)°，∠3＝(5X＋28)° ，請問：
(1) X＝＿＿＿＿。
(2) ∠2＝＿＿＿＿度，∠3＝＿＿＿＿度。
(3) ∠4＝＿＿＿＿度。
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二-10
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-10
主題四 角平分線
請同學自己在紙上畫一個角∠A，將∠A 對摺，攤開後將摺痕描
出來，如下圖：
這條摺痕將∠A 分為兩個角，分別是 ∠1 與∠2，且∠1＝∠2。
重點整理：
《隨堂練習》
1. 如右圖，已知AB⊥BC，若BD �平分∠ABC 請問：
(1)∠CBD＝＿＿＿度，∠ABD＝＿＿＿度。
(2)若BE平分∠ABD，請問∠ABE＝＿＿＿度。
2. 如右圖，已知 BP 平分∠ABC， BQ 平分∠ABP，
若∠ABQ＝30°，請問：
(1) ∠QBP＝＿＿＿度，∠ABP＝＿＿＿度。
(2) ∠PBC＝＿＿＿度，∠ABC＝＿＿＿度。
3. 如右圖，A、P、B 三點共線，∠APC＝110°且PD�平分∠APC，
請問：
(1)∠CPD = ＿＿＿度。
(2) ∠BPC = ＿＿＿度。
(3)若 PE 平分∠BPC，則∠EPC＝＿＿＿度。
(4)求 ∠EPD = ＿＿＿度。
將一個角平分為兩個等角的射線，我們稱為角平分線或分角線。
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二-11
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-11
主題五 中點與垂直平分線
小美手上有一張紙，且紙上有一線段CD，如下圖：
接著...
重點整理：
《隨堂練習》
觀察下列各圖，判斷哪一個圖的直線 L 是 AB 的垂直平分線？
(1) (2) (3)
Q
P P // //
Q
通過一個線段的中點且與此線段垂直的直線，我們稱為該線段
的垂直平分線或中垂線。
A
A
A
B B
B L L
L
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二-12
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-12
主題六 基本線對稱概念
終於段考考完了，小華與小君兩人相約一起出去玩，兩人各摺了
一架紙飛機，沒想到….
同學們！就讓我們來看看什麼是線對稱，幫幫小華完成他的飛機吧！
什麼是線對稱啊？？
誰可以幫幫我做一台線對稱圖形
的飛機呢？
將一個圖形沿著某條直線對摺，對摺後直線兩邊的圖形可完全疊合，這樣
的圖形稱為線對稱圖形。
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二-13
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-13
我們一起來看看小君的飛機：（以AE對摺後圖形完全重疊）
對摺攤開後，我們來認識幾個名稱：
1. 對稱軸——摺線稱為對稱軸。如：AE。
2. 對稱線段—重疊的線段稱為對稱線段。
如：AB與AH、BC與HG、CD與 、DE與 。
3. 對稱點——重疊的兩點稱為對稱點。
如：B 與 H、C 與 ＿、D 與 。
注意：A 的對稱點即為 A；E 的對稱點即為 E。
4. 對稱角——重疊的兩角稱為對稱角，如：∠1 與∠2、∠3 與∠4
現在同學可以自行幫小華完成一架線對稱的飛機唷！！
原來只要對摺後，對稱軸兩邊的圖形
可以完全重疊就是線對稱圖形啊！
線對稱圖形中，對稱線段相等，對稱角相等。
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二-14
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-14
《活動》
1. 請將〈附件二〉的正五邊形 ABCDE 剪下來，對摺使 E 與 B、D 與 C
重疊後攤開，將摺線 AF 畫清楚，再連接BE ，使兩線交於 O 點。
2. 回答下列問題：
(1) 正五邊形 ABCDE是線對稱圖形嗎？ 。
(2) AF 是否平分∠BAE？_______。
(3) A 點的對稱點是 。
(4) C 和 D 是否互為對稱點？ 。AF 是否垂直平分CD？ 。
(5) B 和 E 是否互為對稱點？ 。AF 是否垂直平分BE ？_____。
(6) 正五邊形的對稱軸共有 條。
3. 請將〈附件二〉的正六邊形剪下來，試著將它對摺。
(1) 正六邊形是線對稱圖形嗎？ 。
(2) 任取兩個對稱點的連線段，會被對稱軸垂直平分嗎？ 。
(3) 正六邊形的對稱軸共有 條。
〈附件二〉
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二-15
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-15
由以上活動得到結論：
《隨堂練習》
1. 已知右圖為一個線對稱圖形，根據右圖回答下列問題：
(1) 圖形中對稱軸為 _________。
(2) ∠C 的對稱角是 _____，
∠D 的對稱角是 _____
(3) ∠EFU 與∠MLU 是否相等？_____
(4) 若 AB＝3cm，EF＝8cm，
則 QP＝_____cm，ML＝_____cm
(5) 若 FU＝9cm，ES＝2cm，
則 SM＝_____cm，FL＝_____cm
(6) 對稱軸是否為 EM 與 FL 的垂直平分線？_______。
2. 下列圖形若為線對稱圖形，請在（）中打 ○，並畫出所有對稱
軸。
(1) (2)
（ ） （ ）
(3) (4)
（ ） （ ）
線對稱圖形中，對稱軸會垂直平分兩對稱點的連線段。
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二-16
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-16
3. 圖上的虛線為對稱軸，請依照對稱軸畫出下列線對稱圖形：
(2)
(3)
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二-17
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-17
4. 根據下列圖形回答問題：
(a) 四邊形 (b) 等腰三角形 (c)正方形
(d) 箏形 (e) 等腰梯形 (f)三角形
(g) 梯形 (h) 菱形 (i)平行四邊形
(1) 上述圖形哪些為線對稱圖形________________________。
(2) 呈上題，盡可能地畫出這些線對稱圖形的所有對稱軸。
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二-18
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-18
主題七 線對稱的應用
【範例】
1. 右圖為一個等腰三角形 ABC， AD為△ABC 的對稱軸。請問：
(1) ∠ABC＝∠ 。
(2) ∠BAD＝∠ 。
(3) AD⃗⃗⃗⃗ ⃗是△ABC 頂角∠BAC 的角平分線
嗎？ 。
(4) ∠ADB＝ 度。BD＝ 。
(5) AD是否垂直平分BC？ 。
(6) 等腰三角形頂角平分線是否垂直平分底
邊？ 。
2.右圖為一個箏形 ABCD，請問：
(1) 對角線AC是否為箏形 ABCD 的對稱軸？ 。
(2) B、D 是否互為對稱點？ 。
對角線AC是否垂直平分BD？ 。
(3) 對角線BD是否為箏形 ABCD 的對稱軸？ 。
(4) 對角線BD是否垂直平分AC？ 。
(5) 箏形有幾條對稱軸？ 。
(6) 箏形是否有一對角線為另一對角線的垂直平分線？ 。
等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊
箏形一對角線為另一對角線的垂直平分線
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二-19
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-19
3. 右圖為菱形 ABCD，請問：
(1) 對角線AC是否為菱形 ABCD 的對稱軸？ 。
B、D 是否互為對稱點？ 。
對角線AC是否垂直平分BD？________。
(2) 對角線BD 是否垂直平分AC？ 。
為什麼？ 。
(3) 菱形的兩對角線AC與BD是否互相垂直平分？
。
4.如右圖，已知 ABCD 為正方形，請問：
(1) 正方形ABCD是否為菱形的一種？ 。(考慮是否四邊等長)
(2) 由上一題知菱形的兩對角線互相垂直平分，
則正方形 ABCD 的兩對角線AC與BD是否互相
垂直平分？ 。
(3) 正方形 ABCD 除了兩對角線可為對稱軸，還有
其他的對稱軸嗎？ 。請在右圖試著將
它們畫出來。
菱形的兩對角線互相垂直平分
正方形的兩對角線互相垂直平分
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二-20
國中數學基本學習內容補救教材 第四冊 二-20
《隨堂練習》
1. 如圖，箏形 ABCD 的兩條對角線交於 O，
已知 AD＝x＋2， AO＝x，BO ＝4x，DO＝4，
(1) 對角線BD是否垂直平分AC？ 。
(2) △AOD 是直角三角形嗎？ 。
(3) 由畢氏定理知
( )2＋( )2＝( )2
解 x
(4)分別求出對角線 AC 及BD 的長。
4 O
A
D B
C
X+2 x
4x
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