Віртуальна школа у номінації «МАТЕМАТИКА» Тема...

Віртуальна школа у номінації

«МАТЕМАТИКА»

Тема заняття:

«ЕЛЕМЕНТАРНІ

ФУНКЦІЇ, ЇХ ГРАФІКИ

ТА ВЛАСТИВОСТІ»

Біляніна Ольга Ярославівна, методист вищої категорії науково-методичного центру природничо-математичних дисциплін Інституту післядипломної педагогічної освіти Чернівецької області.

Герман Тетяна Іванівна,

вчитель математики Молницької ЗОШ І-ІІІ ступенів Герцаївського району, спеціаліст вищої категорії, старший вчитель

Заняття ведуть:

• ФУНКЦІОНАЛЬНА ЗАЛЕЖНІСТЬ

Незалежна та залежна змінні

Прямо та обернено пропорційні функціональні

залежності

• ОCНОВНІ ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦІЮ

Область визначення та область значень функції

Способи задання функції.

Графік функції

• ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ

Нулі функції

Проміжки знакосталості

Парність функцій Періодичність функцій.

Монотонність функції.

• НАЙПРОСТІШІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

КОРОТКИЙ ЗМІСТ

)()1 xfy )()3 mxfy

nxfy )()2 )()4 xkfy

Функціональні залежності

Алгебра є не що інше, як математична мова,

пристосована для позначення відношень між кількостями.

І.Ньютон

Залежності між різними величинами (змінними): від «довжини» залежить «площа», «маса», «час»; від «ціни» – «кількість», «вартість»; від «маси одного предмета» – «кількість предметів», «загальна маса»; при рівномірному русі тіла від «швидкості» – «шлях», «час»; від «компонентів» – «результат арифметичної дії» тощо. Однак серед названих є такі залежності між двома величинами (змінними), що як тільки змінюється одна величина (змінна), то вона спричиняє другу величину (змінну). змінюватися за певним правилом

У природі все перебуває у стані неперервної зміни, розвитку та в деякій залежності або незалежності. У практичній діяльності людини постійно доводиться мати справу з величинами. Величина – одне з основних математичних понять, яке важко визначити, бо воно широке і всеохоплююче. Приклади величин - маса, сила, довжина, тиск, напруга, вік, ріст, число тощо. Величини в деякому процесі можуть набувати різних (змінна) або однакових значень (стала).

Прикладом сталої величини є число 𝜋 , яке у будь-якому випадку дорівнює відношенню довжини кола С до його діаметра d. Однак, у багатьох реальних явищах можна вказати величини, які лише умовно будуть сталими. Тобто, стала величина вважається окремим випадком змінної: стала – це така змінна, всі значення якої рівні між собою. Тому змінну величину називають словом «змінна».

Спільним серед них є те, що описується зв’язок між змінними

величинами за ПЕВНИМ ПРАВИЛОМ:

кожному із значень однієї змінної (яке вибирають), відповідає єдине

значення другої змінної (значення якої отримують у результаті вибору

значення першої).

Розглянемо приклади залежностей:

1) від кількості різних підручників, покладених у портфель,

залежить його вага;

2) від кількості 10-играмових грудочок цукру, не більшої 5,

залежить відсоток розчину чаю у 200-іграмовій чашці;

3) від довжини сторони квадрата залежить його периметр

(площа);

4) від кількості закуплених комп’ютерів, за ціною одного в

n грн., залежить загальна сума розрахунку (вартість);

5) від кількості гнізд на цукерки в одній пакувальній коробці

(20, 25, 40, 50) залежить їх кількість, яка буде потрібна для

однакової розфасовки 10 000 цукерок;

6) від величини швидкості автомобіля залежить затрачений

час для подолання деякої відстані;

7) від ціни одного комп’ютера (8000, 10000, 12500 грн)

залежить кількість придбаних комп’ютерів на деяку суму,

наприклад, в 100000 гривень.

Поняття функціональної залежності є одним з

основних понять всієї математики і математичною

моделлю реальних процесів!

ДВА ВИДИ ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ І. Чим більше значення незалежної змінної (приклади 1-4), тим більше

значення залежної змінної – це функціональна залежність, яку називають

прямо пропорційною;

ІІ. Чим більше значення незалежної змінної (приклади 5-7), тим менше

значення залежної змінної – це функціональна залежність, яку називають

обернено пропорційною.

Розглянемо приклади залежності між величинами, які не є

функціональними.

Приклад 1. Результати написаної контрольної роботи з геометрії

учитель представив у класному журналі оцінками за 12-ибальною

системою, а на стенді – таблицею:

Рівень

навченості Початковий

(1-3 бали)

Середній

(4-6 балів)

Достатній

(7-9 балів)

Високий

(10-12

балів)

Кількість

учнів 2 5 12 9

а) До якого списку рівня навченості занесено

Коваленко Дарину, якщо за контрольну роботу вона

отримала 10 балів? - приклад функціональної


б) Яку оцінку за контрольну роботу отримав Петренко

Ігор, якщо він знайшов себе у списках стовпчика

«Достатній рівень»?- приклад нефункціональної


Зауважте!

Не кожна залежність між змінними

величинами є ФУНКЦІОНАЛЬНОЮ!

Приклад 2. Нехай два хлопчики купили дві

лотереї «Забава» і виграли по 5000 грн.

Скільки гривень виграють три хлопчики,

які купили такі ж три лотереї?

Приклад. Подайте таблицею квадрат і куб натурального числа, не

більшого 5.

Розв’язання

n 1 2 3 4 5

у1 = n2

1 4 9 16 25

у2 = n3

1 8 27 64 125

Ця таблиця є математичною моделлю залежності величин n

2 і n

3 від величини n, де n –

натуральне число, 10n . За таблицею можна надати таку характеристику реального

процесу:

1) Обидві залежності є функціями, оскільки кожному значенню змінної n відповідає

єдине значення змінної n2

( n3 ).

2) Функції можна записати у вигляді 2

11 nnfy ; 3

22 nnfy .

3) Аргументом функцій є натуральні числа: 1, 2, 3, 4,5.

4) Областю визначення обох функцій є натуральні числа, що задовольняють нерівність:

,51 n де n – натуральне число.

5) Областю значень функцій є всі натуральні числа:

а) другого рядка таблиці: 1, 4, 9, 16, 25 – для 2

11 nnfy ;

б) третього рядка таблиці: 1, 8, 27,64,125 – для 3

22 nnfy ;

6) Більшим значенням аргументу n відповідають більші значення обох функцій –

прямо пропорційна залежність.

Приклад. Таблицею нижче відображено температуру тіла хворого

впродовж доби що дві години (n – години дня, t, ºС – температура тіла

хворого). Охарактеризуйте усно стан хворого впродовж дня.

Час доби

n (год) 0

00 2

00 4

00 6

00 8

00 10

00 12

00 14

00 16

00 18

00 20

00 22

00 24

00

Температура

тіла t ( ºС) 39 38,5 38,5 38 37,7 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,7 38,2 38,5

Отже, за даними таблиці можна охарактеризувати температуру тіла –

стан хворого впродовж доби: час підвищення температури, зниження та

стабільність. Таблиця залежності температури тіла від часу доби –

математична модель залежності двох величин.

Дані цієї таблиці позначимо на координатній площині, вибравши

систему координат у такий спосіб: горизонтальна вісь (абсцис) Оn – час

доби в годинах, а вертикальна вісь (ординат) – Оt – температура хворого в

ºС. За одиничний відрізок візьмемо на осі абсцис одну клітинку – 2

години, а на осі ординат – 2 клітинки – 1ºС, починаючи не із 0ºС, а з 36ºС.

Сполучивши позначені точки плавною лінією, отримаємо «зображення» –

графік залежності температури тіла хворого від часу доби: час

підвищення температури, зниження та стабільність.

37,4

37,6

37,8

38

38,2

38,4

38,6

38,8

39

39,2

000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400

Час

доби

n (год)

Температура

тіла t ( ºС)

Графік залежності температури тіла від часу доби –

математична модель залежності двох величин.

Розглянута залежність температури тіла хворого від

часу доби задається правилом: кожному значенню часу n

– незалежної змінною (аргументу), відповідає єдине

значення температури тіла хворого t – залежної змінної

(функції). Така залежність є, за означенням, функцією, а

графік залежності температури тіла від часу доби –

графіком функції. Її можна записати, наприклад, у

вигляді nTt . Графіком функції nTt є точки

площини, координати яких tn; , де n – значення

аргументу, t – відповідне значення функції при цьому

значенні аргументу. Тобто, кожній парі значень змінних

(n; t) – парі (аргумент; значення функції), відповідає

єдина точка координатної площини і, навпаки, кожна

точка графіка функції nTt має координати tn; .

Таку залежність однієї змінної від іншої називають функціональною, а саме правило – функцією.

• Змінну величину, для якої вибирають значення, називають незалежною змінною.

• Змінну величину, значення якої отримують у результаті вибору значення першої, називають залежною змінною.

Функція - означення! Залежність однієї змінної від іншої

називається функцією, якщо кожному значенню незалежної змінної за деяким правилом відповідає єдине значення залежної змінної.

Функціональна залежність

ВАЖЛИВО!

Кожна із названих залежних і незалежних

величин характеризується КІЛЬКІСТЮ.

Оскільки, якщо одна величина в залежності від іншої,

то при зміні останньої (незалежної змінної), перша

(тобто функція) буде змінюватися по деякому ЗАКОНУ:

кожному «приватному» значенню незалежної змінної

цілком однозначно визначається відповідне значення

функції.

Шлях до появи поняття функції заклали у XVII столітті два вчені Франсуа Вієт (1540-1603), французький математик, основоположник символічної алгебри і Рене Декарт (1596-1650), французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії.

Вони розробили єдину буквену математичну символіку, ввели єдині позначення: невідомі – останніми буквами латинського алфавіту – x, y, z, відомі – початковими буквами того ж алфавіту – a, b, c і т.д. У математику прийшла ідея зміни – з’явилася можливість записувати загальні формули.

Саме слово “Функція” (від латинського functio – вчинення, виконання) почав

вживати у 1673 р. Ґотфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) – провідний німецький філософ, логік, математик, фізик, мовознавець та дипломат. Спочатку він його використовував, як величину, що виконує ту чи іншу функцію, а пізніше – як вираз “функція від х”.

У 1671 році Ісаак Ньютон (1643-1727 р.), англійський фізик, математик, механік і астроном, під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав її “флюентой”).

Вперше визначення функції було дано у 1718 р. видатним швейцарським математиком Йоганном Бернуллі.

Поняття функції, починаючи зі XVII століття, є одним з найважливіших понять. Воно відіграло і понині грає велику роль в пізнанні реального світу. Цікавим є той факт, що більше 4-5 тисяч років тому вавилонські вчені знайшли, хай і не свідомо, для обчислення площі S круга радіусом r формулу S = 3r2 (грубо наближену) і тим самим було встановлено, що площа круга є функцією від його радіуса. Мико́ла (Нікола) Оре́змський (1330-1382) – один з найвідоміших французьких природознавців і філософів XIV ст., єпископ, математик, фізик, астроном та економіст у своїй роботі “Про конфігурацію якості”, висловив ідею функціональної залежності від однієї, двох і трьох змінних і її графічному зображенні.

:

№

з/п

Незалежна змінна Залежна змінна

1. Кількість підручників у

портфелі Вага портфеля

2. Кількість 10-играмових

грудочок цукру

Відсоток розчину чаю у 200-

іграмовій чашці

3. Довжина сторони квадрата Периметр (площа) квадрата

4. Кількість закуплених

комп’ютерів за певною ціною

Загальна сума розрахунку

(вартість)

5. Кількість гнізд на цукерки в

одній пакувальній коробці Кількість пакувальних коробок

6. Величина швидкості

автомобіля Час для подолання деякої відстані

7. Ціна одного комп’ютера Кількість придбаних комп’ютерів

ФУНКЦІЯ В ЗАДАЧАХ 7 опорних задач

Ідея функціональної залежності в математиці сходить до

старовини, вона міститься вже в перших математично виражених

співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над

числами, в перших формулах для знаходження площі та об’єму

тих або інших фігур. У математиці домовилися:

1) зв‘язок між змінними величинами символічно

записувати у вигляді формули: xfy , де функцією

названо не змінну xf , а відношення f (читають:

“ігрек дорівнює еф від ікс”);

2) відповідні поняття “змінна” і “залежність” замінити

відповідними термінами “аргумент” і “функція”

(значення незалежної змінної х – аргумент, а значення

залежної змінної у – функція).

Функція – у вигляді формули

Незалежна змінна – аргумент (х) та залежна

змінна (у) – функція можуть набувати певних

значень, при цьому:

1) усі значення (множина значень), яких може

набувати аргумент (незалежна змінна),

утворюють область визначення функції;

2) усі значення (множина значень), яких може

набувати функція (залежна змінна),

утворюють область значень функції.

Функція – ОВ і ОЗ

№ з/п Область визначення функції Область значення функції

1. Множина натуральних чисел

(можлива кількість підручників)

Множина додатних чисел

(можлива вага портфеля)

2. Множина невід’ємних чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5

(можлива кількість грудочок цукру)

Множина невід’ємних чисел:

0, 21

164 ,

11

19 ,

23

113 ,

3

216 , 20

(можливий відсотковий вміст

цукру в чаї)

3. Множина додатних чисел

(можлива довжина сторони квадрата)


(можливий периметр (площа)

квадрата)

4. Множина натуральних чисел

(можлива кількість вибраних

комп’ютерів)

Множина додатних чисел, не

менших, ніж деяке число n (ціна

одного комп’ютера)

(можлива вартість покупки)

5. Множина чисел: 20, 25, 40, 50

(можлива кількість гнізд на цукерки в

одній пакувальній коробці)

Множина чисел: 200, 250, 400, 500

(можлива кількість пакувальних

коробок)

6. Множина додатних чисел

(можлива швидкість автомобіля, яка буде

більшою від 0)


(можливий час руху, який більший

від 0)

7. Множина чисел: 8000, 10000, 12500

(можливі ціни одного комп’ютера ).

Множина чисел: 8, 10, 12

(можлива кількість придбаних

комп’ютерів)

ОВ і ОЗ у задачах

Способи задання функцій:

1) Табличний спосіб;

2) Аналітичний спосіб;

3) Словесний спосіб;

4) Графічний спосіб;

Означення! Графіком функції називається множина точок

координатної площини, абсциси яких є всі можливі значення

аргументу, а ординати – відповідні їм значення функції.

Якщо розглядати залежність часу доби n від температури тіла

хворого t, то однозначно сказати о котрій годині була температура

37,7 ºС не можна, бо вона такою була двічі: о 800 і о 2000. Тобто,

одному значенню незалежної змінної t відповідає два різні значення

залежної змінної n. Звідки: залежність часу доби n від температури

тіла хворого t не є функцією. Отже, ми переконалися ще раз, що не

кожна залежність між змінними величинами є функціональною!

xfy . y – функція, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

х – незалежна змінна (аргумент),

у – залежна змінна (значення функції).

Графік функції

00 ; yxM – точка графіка функції. Довільна

пряма ax перетинає криву в одній точці.

Графік не функції

Довільна пряма ax перетинає криву не

лише в одній точці, наприклад в точках K, Z,

M – трьох точках.

00 ; yxM – точка графіка xfy , якщо 00 yxf (перетворює формулу у правильну

числову рівність).

K

y

0

ax

М

Z

x

K

y

0 ax 0x

М 0y

xfy

x

Графіки функції

Функція задана аналітично

1) у = 3 4;x у = 3 2;x у = 4 1.x

2) 2

4 ;y x 2 4;y x

2 4;y x

3) у = |x| – 2; 5 ;y x у = |x| +7

4) 4;y x

2 1y x ; y x ;

5) 2 1

;1

xy

x

2

1y

x x

; 2

2;

5 4

xy

x x

Розв’язання Чому саме так?

1) Якщо y(x) = 2x – 4, то

D(y): x – будь-яке число.

Відповідь. D(y) = .

2) Якщо y(x) = x2 + 5, то


Відповідь. .

3) Якщо y(x) = 4, то


Відповідь. x – будь-яке число.

1) Функція задана правилом: значення

аргументу множиться на 2 і від

добутку віднімається 4. Кожна з дій не

має жодних обмежень, тому x може

набувати будь-яких значень.

2) Міркування аналогічні до міркувань,

наведених у попередньому прикладі.

Отже, x – будь-яке число.

3) Оскільки функція задана сталою

величиною і значення виразу не

залежить від x, то аргумент x може

набувати будь-яких значень.

;

Rx

Приклади на знаходження області визначення.

Знайдіть D(y), якщо:

1) y (x) = 2x – 4;

2) y (x) = x2 + 5;

3) y (x) = 4.

4) у = |x| – 2;

5) y x ;

6)

2 4.

2

xy

x

Приклад 1.(ЗНО 2012)

Відповідь. Б.

Відповідь. Г.



y(x) = , D(y): x 5,

y = (x – 5) при x 5,

y(x – 5) = 7;

yx – 5y = 7;

yx = 5y + 7.

Звідки: x = , тобто E(y): y 0.

Відповідь. y – будь-яке число, крім

y = 0.

Щоб знайти область

значень функції, виразимо x

через y. Знайшовши D(y),

помножимо обидві частини

початкової рівності на (x – 5),

відмінне від нуля. Отримаємо

рівність y(x – 5) = 7, в якій

розкриємо дужки і доданки,

що містять x, перенесемо в

ліву частину, решту – в праву

частину рівняння. З останньої

рівності знаходимо х.

Дріб, який ми отримали,

залежить від значень y, тому

знаходимо допустимі значення

y, враховуючи, що знаменник

дробу має бути відмінний від

нуля, тобто y 0.

5

7

x

5

7

x

5

7

x

y

y 75

Приклад на знаходження області значень.

Знайдіть область значеннь функції y (x) =

.



Розв’язання.

𝑥2 ≥ 0; 𝑥2 + 9 ≥ 3; 𝑥2 + 9 - 6≥ −3.


Відповідь. А.

Якщо провести пряму y = − 2, то множиною розв'язків буде частина точок графіка, яка міститься нижче, ніж прямої. Отримуємо f(𝒙)≤−2 при 𝒙є[0;3].



Відповідь. 2,5.


Якщо функцію задано графічно, то

D(y) – проекція графіка на вісь абсцис.

D(y) = 5;4 .

Якщо функцію задано графічно, то

E(y) – проекція графіка на вісь ординат.

E(y)= 2;3

y

O

x

–4 5

y

O

x

–4 5

2

-3

Функція задана графічно

y=3

D(y) = .

x=-4

E(y)=

y

O

x

y

O x

– 4

Окрім області визначення та області значень функції, є ще

кілька характеристик функції, які дають можливість детально

дослідити функцію та пояснити реальну ситуацію, яку вона

описує. Зокрема:

Означення Правило Геометричний зміст Приклад

Нулями

функції називаються

допустимі

значення

аргументу, при

яких функція

дорівнює нулю

Щоб знайти нулі функції

y = f (x), досить у

формулу, якою задано

функцію, підставити y = 0

і розв’язати рівняння

відносно x

(з урахуванням області

визначення).

Отримані корені і будуть

шуканими нулями

функції

x1, x2, x3 – нулі функції –

абсциси точок пере-

тину графіка функції з

віссю абсцис

Знайдіть нулі функції:

y = 2x + 6.

Розв’язання

Підставимо у формулу

y = 0: 0 = 2x + 6 ,

звідки 2x + 6 = 0;

2x = –6; x = –3.

x = –3 – нуль функції.

Відповідь. x = –3

x1 x2 x3 x

y

Нулі функції

Означення Правило Геометричний зміст

Проміжками

знакосталості

функції

називаються

проміжки осі

абсцис, на яких

функція

набуває лише

додатних (або

лише

від’ємних)

значень

Щоб знайти проміжки, де

функція набуває додатних

значень, досить знайти

частини графіка, які

знаходяться вище від осі

Ox, і спроектувати їх на

вісь абсцис.

Проміжки, де функція

набуває додатних значень,

це та частина осі абсцис,

на якій графік функції

знаходиться вище неї;

Проміжки, де функція

набуває від’ємних

значень, це та частина осі

абсцис, на якій графік

функції знаходиться

нижче неї.

Отже, область визначення

функції розбивається

нулями функції на

проміжки

знакосталості.

Графічна інтерпретація пошуку

проміжків знакосталості

Виділимо окремими позначками частини графіка

над віссю абсцис і під віссю:

– частини графіка, де функція набуває

додатних значень,

– частини графіка, де функція набуває

від’ємних значень.

Отже, y > 0 при x1 < x < x2, x3 < x < x4;

y < 0 при x < x1, x2 < x < x3, x > x4

x1 x2 x3 x4 x

y

Проміжки знакосталості


1) ОДЗ: х2 1 0 , х 1, тоді х3 = 0.

Звідки х = 0 – нуль функції.

2)

0xf , якщо х (∞; 1) (0; 1);

0xf , якщо х (1; 0) (1; ∞).

Відповідь. 1) х = 0 – нуль функції;

2)(∞; 1) (0; 1);

(1; 0) (1; ∞).

Щоб знайти нулі функції, треба розв’язати

рівняння: 3

20

1

x

x

на області його

визначення. Отже, в точці (0; 0) графік

даної функції перетне вісь Ох, тобто х = 0

– нуль функції.

Для знаходження проміжків знакосталості

наносимо на числову вісь числа: 1, 0, 1.

Шукаємо знак на кожному проміжку.

Отже, для х (∞; 1) (0; 1) функція

від’ємна і її графік міститься нижче осі Ох,

а для х (1; 0) (1; ∞) функція додатна і

графік знаходиться вище осі Ох.

-1 0 1

+ + _ _

Приклад 6. Знайдіть для функції :

12

3

x

xxf

1) нулі функції;

2) проміжки знакосталості.

Парність функцій.

Всі функції поділяють на: парні, непарні та індиферентні.

Функція f (х) з областю визначення А називається парною, якщо для

будь-якого х з множини А (–х), теж належить А, і при цьому

виконується рівність: f( – х ) = f( х ).

Наприклад, функції: f(х) = х2 + 2;

f(х) =ǀхǀ+1;

f(х) = ǀхǀ є парними, оскільки f(х) = f(х).

Функція f (х) з областю визначення А називається непарною, якщо

для будь-якого х з множини А (х), теж належить А, і при цьому

виконується рівність: f(х) = f(х).

Наприклад, функції: f(х) = х3;

f(х) = хх;

f(х)=х3+х є непарними, оскільки f(х) = f(х).

Графік парної функції

симетричний відносно осі

ординат Oy.

Графік непарної функції

симетричний відносно

початку координат O(0;0).

Наприклад, графік функції

у = |х| (Рис. 1)

симетричний відносно осі

Оу.

Наприклад, графік функції 3xy (Рис. 2) симетричний

відносно точки О.

Рис.1

y

1

0

х

1

Рис. 2

y

1

0

х

1



f(х) = (-𝑥)3-(-x)= - 𝑥3+x = -(𝑥3-x) = f(х).


Відповідь.Д.

Відповідь. Д.




Відповідь. В.

Періодичність функцій.

Функція f називається періодичною з періодом Т 0, якщо

для будь-якого х із області визначення (х + Т) і (х Т), також

належать області визначення, і при цьому виконується

рівність:

f(х Т) = f(х)= f(х + Т).

Число Т називається періодом функції f. Якщо число Т

період функції, то число пТ, де пєZ, n≠0, також буде періодом

функції.

Розглянемо функцію f(х) = х [х]. Віднімаючи від числа

його цілу частину, що не перевищує самого числа, завжди

будемо отримувати дріб. Таку функцію називають дробовою

частиною числа х і коротко позначають f(х) = х.

Складемо таблицю значень функції:

х 2 1,8 1,2 1 0,8 0,2 0 0,2 0,8 1 1,2 1,8 2,2 3,2

у 0 0,2 0,8 0 0,8 0,2 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0,2 0,2

y

х

1 0 -1 2

Рис. 3

Таким чином, при додаванні до х будь-якого цілого числа Т отримуємо

значення функції: дробове число, що належить проміжку 0; 1).

Тобто f(х + Т)= (х + Т) [(х + Т)]=(х + Т)[х] Т = х – [x] = f(х).

Це означає, що задана функція періодична і її періодом є будь-яке ціле число. Часто

для періодичної функції вибирають найменший додатний період (якщо він існує).

Для функції f(х) = х [х] періодом буде число 1, Т = 1.

Отже, функція f(х) = х [х] періодична з найменшим додатним періодом Т = 1. На

рисунку 3 зображено її графік. Із означення періодичності функції слідує, що

графік періодичної функції буде «повторювати себе через проміжок Т». Тому,

якщо треба побудувати графік періодичної функції, то його будують, як правило,

на проміжку [0; Т], де Т – найменший додатний період. Наприклад, для функції

f(х) = х [х] достатньо побудувати спочатку графік на проміжку ,а потім,

переміщуючи його вздовж осі абсцис, отримати графік цієї функції (Рис. 3).

10 x

Монотонність функції.

Якщо більшому значенню аргументу завжди відповідає більше

значення функції, то її називають строго зростаючою (якщо для

будь-яких х2 х1,то f (х2) > f (х1) ), а якщо більшому значенню

аргументу відповідає не менше значення функції, то неспадною

(або монотонно зростаючою) ( якщо х2 х1, то f(х2) f(х1)).

Якщо більшому значенню аргументу завжди відповідає менше

значення функції, то її називають строго спадною

( х2 х1, то f (х2) < f (х1)), а якщо більшому значенню аргументу

відповідає не більше значення функції, то незростаючою (або

монотонно спадною) (якщо х2 х1, то f(х2) f(х1)).


Відповідь. Б.


Розв’язання. Функція не є періодичною і парною. Вона зростає на проміжках [-6;3], [-1;1], [3;6], спадає на проміжках [3;-1], [1;3]. Функція є непарною, оскільки її графік симетричний відносно початку координат.



Скористаємося означенням спадної функції.

y=f(𝒙) спадає, якщо х2 х1, то f (х2) < f (х1) .

Даній умові задовольняє f(1)>f(10).



Функція

Область

визначення Область

значень

Способи

задання

Графік

функції

Парність і

непарність Монотонність

функції

Нулі

функції

Проміжки

знакосталості

Мінімальні та

максимальні

значення

Визначити властивості функції за графіком

1. 𝐷(𝑦) = [−3; 3] 2. 𝐸(𝑦) = [−2; 3] 3. Функція ні парна, ні непарна

4. 𝑓(𝑥) = 0, 𝑥1 = −2,5, 𝑥2 = 1

5. 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑥є −3; −2,5 ∪ 1; 3

6. 𝑓 𝑥 ≤ 0, 𝑥є −2,5; 1

7. 𝑥є −0,5; 2 − функція зростає 8. 𝑥є [−3; −0,5] ∪ [2; 3]

− функція спадає

Приклад 14


Відповідь. 1-А , 2-Б, 3-Г, 4-В.

0

х

у

k < 0

k > 0

b

Лінійна функція Лінійною функцією

називається функція виду

y(x)=kx+b,

де x – аргумент,

k і b – числа.

1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є −∞; +∞ ; 3. Ні парна ні непарна;

4. k>0 - зростає; k < 0 – спадає.

0

х

у

k < 0

k > 0

k

k

1

y = kx (b = 0)

Пряма пропорційність Графік – пряма, що

проходить через

початок координат,

k – кутовий

коефіцієнт прямої.

1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є −∞; +∞ ; 3. непарна;


0

х

у

b b > 0

b b < 0

k = 0, b 0, тоді y = b. Графік функції y = b – пряма,

паралельна осі абсцис і

проходить через точку (0; b). 1. x є (−∞; +∞) ;

2. y= 𝑏; 3. парна;

4. стала.

Лінійні функції Аналітична умова Графічний висновок

111 bxky

та

222 bxky

1) 21 kk , 21 bb ;

Прямі паралельні

2) 21 kk , 21 bb ;

Прямі збігаються

x

y

x

0

x

y

0

3) 21 kk ;

Прямі перетинаються

4) 121 kk .

Прямі перпендикулярні

x

y

0

x

y

0


Графік лінійної функції y=ax+b паралельна осі абсцис (Ox), то

a=0, тобто y=b. Враховуючи умову проходження через точку

A(-2;3), отримуємо y=3.



Приклад 2. (ЗНО 2014)


Приклад 3. (ЗНО 2016)


k>0 k<0

0 х

у

k<0 k>0

Функція x

ky .

x

ky

x

ky

Графіком функції є дві криві лінії, які

називаються гіперболою. Гіпербола складається з двох віток – це

графік оберненої пропорційності. 1. x ≠ 0 ;

2. y ≠ 0 ; 3. непарна;

4. k>0 - спадає на кожному з промежків (-∞; 0) і (0; +∞) ; k < 0 – зростає на кожному з промежків (-∞; 0) і (0; +∞) .

0

х

у

2аxy

Квадратична функція 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐, 𝒂 ≠ 𝟎

2аxy

𝒂 > 𝟎

𝒂 < 𝟎

1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є [0; +∞); 3. парна ; 4. спадає на проміжку (−∞; 0]; зростає на проміжку [0; +∞).

1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є (−∞; 0]; 3. парна ; 4. зростає на проміжку (−∞; 0]; спадає на проміжку [0; +∞).

Квадратична функція 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+bݔ+c (𝒂 ≠ 𝟎, 𝒙𝟎= − 𝒃

𝟐𝒂)

𝒂 > 𝟎 1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є [𝑦0; +∞); 3. Ні парна ні непарна; 4. спадає на проміжку (−∞; 𝑥0]; зростає на проміжку [𝑥0; +∞).

𝒂 < 𝟎 1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є (−∞; 𝑦0]; 3. при b=0 функція 𝑦 = 𝑎𝑥2+c парна ; 4. зростає на проміжку (−∞; 𝑥0]; спадає на проміжку [𝑥0; +∞).


• 𝑦 = 𝑎𝑥2+bݔ+c— парабола; • при 𝑎 <0 вітки параболи напрямлені вниз; • якщо 𝑎 і b з однаковими знаками, то вершина параболи

розташована в лівій півплощини; якщо знаки різні, то в правій півплощини.Так як вершина розташована в правій півплощини і 𝑎 <0, то отримуємо b>0;

• c=y(0); Одна з точок перетину (0;0), тобто y(0)=0, а значить c=0.



0

х

у

Степенева функція y=k 3 ݔ

k<0 k>0

1. x є (−∞; +∞) ;

2. y є −∞; +∞ ; 3. непарна;


Коренева функція xy

0 х

у

1. x є [0; +∞) ;

2. y є[0; +∞) ;

3. ні парна ні непарна;

4. зростає.

xy

Графіки функцій симетричні відносно осі абсцис

)()1 xfy

Найпростіші перетворення графіків функцій.

xy

х

у

xy

2xy

х

у

2xy

х

у

х

у

xy 2

xy

xy2

1

2xy

22xy

2

2

1xy

)()2 xаfy

Щоб побудувати графік функції y=аf(x), де а>0, треба: якщо а>1, графік функції y=f(x) розтягнути від осі абсцис в а разів, якщо 0<а<1 графік функції y=f(x) стиснути його в а разів, до осі абсцис.

х

у

х

у

xy

2xy 2 xy

2 xy

22 xy

22 xy

nxfy )()3 Щоб одержати графік функції y=f(x)+n, треба графік функції y=f(x) паралельно перенести уздовж осі Оy • на n одиниць угору, якщо n>0, • на n одиниць униз, якщо n<0.

х

у

х

у

xy

2xy

)()4 mxfy

2 xy2 xy

22 xy

22 xy

Щоб одержати графік функції y=f(x+m), треба графік функції y=f(x) паралельно перенести уздовж осі абсцис • на m одиниць вліво , якщо m>0, • на m одиниць вправо, якщо, m<0.

Модуль у лінійній функції.

х

у

х

у

х

у

2 xy 2 xy 2 xy

)(xfy )( xfy

Вище осі О𝒙 (і на самій осі) графік функції 𝒚 = 𝒇 𝒙 залишається без зміни ; нижче осі О𝒙 - відображається симетрично відносно осі абсцис О𝒙.

Праворуч від осі О𝒚 (і на самій осі) графік функції 𝒚 = 𝒇 𝒙 залишається без зміни; та сама частина графіка відображається симетрично відносно осі ординат О𝒚.

х

у

2 хy

х

у

х

у

2xy 42 xy

х

у

322 xxy

Модуль у квадратичній функції.

322 xxy

х

у

Точка N(1;3) розташована на 2 одиниці вище точки M(1;1),

тобто відбудеться зсув графіка на 2 одиниці вгору. Отримали

a=2.




Відповідь. 1-Б , 2-В, 3-А, 4-Д.



Так як перед (𝒙 − 𝟏)𝟐 стоїть знак мінус, то вітки параболи спрямовані вниз. Вершина параболи знаходиться в точці (1;4). Отже ескіз графіка функції зображено на рисунку Д.




Відповідь. 1-В , 2-Б, 3-А, 4-Г.


Відповідь. 1-Д , 2-В, 3-А, 4-Б.

Відповідь. 9.

Приклад 16.

Приклад 17.

Відповідь.1) -15.

2) 52.

Відомо, що множина значень функції )(xfу :

8;3)( уЕ .

1) Знайдіть найменше значення функції )12(5 xfу .

2) Знайдіть найбільше значення функції 12)(5 xfy .


1) 𝑓 𝑥 𝐸 𝑦 = −3; 8 𝑓 𝑥 + 12 𝐸′ 𝑦 = −3; 8 5 · 𝑓 𝑥 + 12 𝐸′′ 𝑦 = −15; 40

2) 𝑓 𝑥 𝐸 𝑦 = −3; 8 5 · 𝑓 𝑥 𝐸′ 𝑦 = −15; 40 5 · 𝑓 𝑥 + 12 𝐸′′ 𝑦 = −3; 52

Приклад 18.

Відповідь.1) 15.

2) 25.

Задано дві функції: 2)( xxf і 2)( xxg .

1) Знайдіть )4()3( gf .

2) Знайдіть )3(h , якщо ))(()( xgfxh .


1) 𝑓 −3 = 9; 𝑔 4 = 6;

𝑓 −3 + 𝑔 4 = 15.

2) ℎ(𝑥)=(𝑥+2)2;

ℎ(3)=(3+2)2=25

Приклад 19.

Відповідь. - 15.

Відомо, що графік функції bkxy проходить

через точки А(1; 2) і В(2; 7). Знайдіть значення

параметрів k i b.

У відповідь запишіть їх добуток.


Оскільки графік функції bkxy проходить через

точки А(1; 2) і В(2; 7), то

bk 2 ,

bk 27 , звідки k=5, b= -3.

k·b=5·(-3)= -15.

Відповідь.𝑬 𝒚 = −𝟑; +∞ ..

Віртуальна школа у номінації «МАТЕМАТИКА» Тема...

Documents